Examensarbete vid SU och KTH, 30 hp Civilingenjör och Lärare. Mattecentrums räknestugor En undersökning om elevers studier utanför skoltid

Transkript

1 Examensarbete vid SU och KTH, 30 hp Civilingenjör och Lärare Mattecentrums räknestugor En undersökning om elevers studier utanför skoltid Handledare: Erika Stadler, MND, SU Biträdande handledare: Hans Thunberg, Matematikinstutitionen, KTH Examinator: Carl-Johan Rundgren, MND, SU Josephine Brofjorden Juni, 2013

2 Sammanfattning Syftet med detta examensarbete är att undersöka studieformen räknestugor utanför skoltid för att se vilka elever som använder sig av den typen av studiehjälp i matematik samt hur räknestugorna fungerar i praktiken och vad som skiljer dem från traditionell klassrumsundervisning. Metoderna jag använder är en enkätundersökning och observationer av elevernas studier och hjälpen de får i räknestugorna. Med hjälp av Stadlers begrepp matematikens lärandeobjekt, matematiska resurser och eleven som lärande aktör analyseras resultaten. Analysen görs även utifrån teorier från tidigare forskning om lärande, studier utanför skoltid och olika typer av elever. Slutsatser som kan dras från undersökningen är att det främst är ambitiösa elever med ett intresse för både en djupare förståelse och höga betyg i matematik som deltar i räknestugor samt att dessa elever ser lärare som den viktigaste matematiska resursen för deras matematiklärande. Under räknestugorna får eleverna hjälp med att lösa uppgifter i matematik. Volontärerna fungerar som ett stöd för elevernas arbete med de uppgifter de själva tagit med sig. Räknestugorna kan således endast fungera som ett komplement till skolundervisning. Nyckelord: studier utanför skoltid, matematikundervisning, situerat perspektiv på lärande, matematikens lärandeobjekt, matematiska resurser 2

3 Abstract There are study situations outside of school where students can work with mathematical problems at organized occassions with support from volounteers without teachers education. The aim of this degree project is to examine these occassions as study situations, to see which students make use of that opportunity, how the help works out in practice and what separates these occassions from traditional classroom practice. I use a survey and observations as methods of my study and analyze my results using the concepts developed by Stadler regarding mathematical learning; mathematical learning objects, mathematical resources and pupil as an active learner. The analysis is also being made in regards to earlier known theories about learning, studies after school and different types of students. Conclusions that can be drawn from the study are that mainly students with an ambition for deeper understanding and high grades in mathematics use these opportunities, and that these students see the teacher as the most important mathematical resource for learning. The students are helped by volounteers to solve mathematical problems. But the volounteers are only there to support the students in their work with mathematical problems that they themselves have brought with them. This kind of help can therefore only be used as a complement to education in school. Keywords: studysituations outside of school, mathematics teaching, situated perspective on learning, mathematical learning object, mathematical resources

4 Innehållsförteckning 1. INLEDNING 1 2. TEORETISK BAKGRUND Bakgrund Kommunikation och lärande Individuellt arbete och studier utanför skoltid Elevers olikheter och förutsättningar Kvinnligt och manligt Olika ursprung Matematisk begåvning Situerat perspektiv Tre kategorier för matematikinlärning Matematikens lärandeobjekt Matematiska resurser Studenten som lärandeaktör Sammanfattning 7 3. SYFTE OCH FRÅGESTÄLLNINGAR 9 4. METOD Metodisk ansats Urval Mattecentrum Begränsningar Urvalsgruppen 11

5 4.2.4 Pålitlighet Genomförande Enkätens utformning Genomförande av observationerna Bearbetning och analys Enkätundersökningen Observationerna RESULTAT OCH ANALYS Enkätundersökningen Eleverna som deltar Elevernas bakgrund Elevernas studiesituation Räknestugorna i praktiken Diskussion om enkätresultaten Observationerna Matematiska begrepp Förväntningar på räknestugor Utantill-inlärning Användande av styrdokument Hjälp att lösa uppgifter Sammanfattande analys Matematikens lärandeobjekt Matematiska resurser Praktiken på räknestugorna Räknestugor och vanlig klassrumsundervisning 30

6 6. DISKUSSION Resultatdiskussion Eleverna som deltar Räknestugorna i praktiken Metoddiskussion Förslag till fortsatt forskning Implikationer i undervisning 35 REFERENSER 37 Bilaga 1 Utvärdering av Mattecentrums räknestugor Bilaga 2 Enkät för undersökning av Mattecentrums räknestugor Bilaga 3 Kravlista från Mattecentrum

7 1. Inledning Det har under senare år utvecklats ett flertal verksamheter som arbetar för att hjälpa elever i deras matematikstudier (Mattecentrum, 2013; Studybuddy, u.d.; My academy, u.d.; IKU, u.d.; Allakando, u.d.). Denna hjälp kan ske på olika sätt och elever har olika förutsättningar för att ta till sig hjälpen. Verksamheter som ligger utanför skolan är inte styrda av Skolverket och därför kan de själva bestämma hur undervisningen ska gå till och vilket fokus de ska ha. Att många verksamheter har startat under en kort tidsperiod tyder på att det finns ett stort behov av matematikhjälp som inte uppfylls i skolundervisningen. Den traditionella skolundervisningen i matematik är inte optimerad för det faktum att alla elever är olika med olika inlärningsförmåga och olika sätt att studera och lära sig på. En lärare som ska undervisa en grupp om trettio elever känner sig ofta otillräcklig (Pettersson, 2011). Enligt mina uppfattningar tyder detta på att skolan behöver förändring och idag är frågor om vad som gör en bättre skola och bättre förutsättningar för både lärare och elever aktuella (Amin, 2013; Fjelkner & Kornhall, 2013; Olsson, 2006). Idag finns även diskussioner kring, och olika synsätt på, skolarbete som elever gör utanför skoltid. Det finns olika åsikter gällande bland annat syftet med dessa studier (Tokarski, 2011). Elever har inte samma förutsättningar att studera utanför skolan, vissa kan exempelvis få hjälp av sina föräldrar medan andra elever inte har den möjligheten. Verksamheterna i matematikhjälp kan därför vara ett steg i att jämna ut elevernas förutsättningar till att lyckas i matematikstudierna. Detta examensarbete ska ge djupare kunskap om en studieform utanför skoltid där elever får räkna medtagna matematikuppgifter och har möjlighet att få hjälp i beräkningarna av volontärer. Undersökningen belyser vilka elever som använder sig av matematikhjälp i form av räknestugor och vad som skiljer denna studieform från vanlig klassrumsundervisning. 1

8 2. Teoretisk bakgrund Arbetet belyser det som sker i en studiesituation efter skoltid där tillgång till hjälp med studierna finns. Räknestugor där lärare och elever möts för att räkna matematik och utveckla lärande i situationen kan vara praktikgemenskaper där lärandet sker i det sociala sammanhanget. Jag har därför valt att undersöka studieformen räknestugor utifrån ett situerat perspektiv (Wenger, 1998). För att beskriva den sociala situationen under räknestugor används tre kategorier från Stadler (2009) som beskriver elevers lärande av matematik. Tidigare forskning kring kommunikation, lärande, studier efter skoltid och olika elever tas först upp. 2.1 Bakgrund Kommunikation och lärande Kommunikation kan leda till lärande (Lu et al, 2009; Osborne, 2010). Ur diskussioner kommer kreativitet och nya idéer som kan leda till resultat. Diskussioner leder ofta till nya lärdomar. En diskussion där olika åsikter framkommer är ofta en framgångsrik väg till resultat och lärande, det är därför bra att ifrågasätta varandras påståenden och diskutera runt ämnet och åsikterna (Osborne, 2010). Förklaringar som ges inom matematik bör därför diskuteras tills alla parter är överens om betydelsen i förklaringen. Genom kommunikationen bedöms i situationen en förklaring i ett matematiskt sammanhang som acceptabel eller inte (Yackel & Cobb, 1996). Hur en förklaring bedöms beror bland annat på andra personers förväntningar och vanor. Det avgörs av andra om en förklaring är tillräcklig eller inte. Lärare ska arbeta utifrån läroplan, kursplaner och betygskriterier (Skolverket, 1994). I läroplanen finns mål och riktlinjer för alla som arbetar inom skolan. En kännedom om olika styrdokument och vad de innehåller är viktig för såväl lärare som elever för att arbetet i skolan ska ske på en gemensam grund Individuellt arbete och studier utanför skoltid Betydelsen av studier utanför skoltid har länge diskuterats (Schusters, 2009; Tokarski, 2011; Amerine et al 2009; Olsson, 2006). Eftersom forskningsresultaten inom detta område ser olika ut är det mycket svårt att avgöra vad studier utanför skoltid har för betydelse för elevers lärande generellt. Ett flertal olika faktorer, såsom ämne, förberedelser och förutsättningar, måste vägas in. 2

9 Studier utanför skoltid kan ha ett flertal olika syften. Exempelvis att eleverna ska lära sig praktik, förberedelse, förlängning och integrering av ämnet. Elever kan till exempel se läxor som sitt arbete och en chans att lära sig stå emot distraktioner. Andra möjliga syften är personlig utveckling, relation till föräldrar, kommunikation med lärare, elevinteraktion, straff m.m. (Tokarski, 2011). Syftet avgörs dels av hur studierna utformas och vad eleverna har för förutsättningar. Elever som får tid till att påbörja läxor under lektionstid och därmed tid och möjlighet till att ta hjälp av läraren har en större tendens att göra klart sin läxor (Amerine et al, 2009). Detta är ett sätt att motivera elever till att göra sina läxor. Eleverna behöver inte påbörja läxorna hemma, vilket ofta är ett jobbigt steg att ta. Har man väl börjat är det också lättare att fortsätta, vilket skulle kunna få elever att studera vidare hemma Elevers olikheter och förutsättningar Olika typer av elever har olika förutsättningar i sina studier och de studerar på olika sätt. Vid sammanställning av vilka elever som använder sig av räknestugor är det intressant att se vad olika elever har för förutsättningar Kvinnligt och manligt Könsnormer påverkar hur olika elever studerar och upplever sin situation (Rose & Perski, 2008; Lalander & Johansson, 2008). Vad som är kvinnligt och manligt bestäms av normer i samhället (Lalander & Johansson, 2008). Lalander och Johansson (2008) menar att det pågår en maktkamp mellan kvinnor och män och för att skydda sin identitet tar manliga elever makten i denna kamp genom metoder som att t.ex. nedvärdera kvinnor. Kvinnor idag upplever en konflikt mellan de traditionella könsrollerna och det moderna samhällets krav på individuella prestationer (Rose & Perski, 2008). Kraven på unga kvinnor är höga, främst kraven från dem själva. De stressar för att hinna med så mycket som möjligt och prestationer såsom höga betyg är viktigt för deras självkänsla. De känner att de behöver vara omtänksamma, tillmötesgående, söta och duktiga, allt på samma gång (Rose & Perski, 2008) Olika ursprung I multietniska skolor finns elever av olika ursprung och detta innebär att en del 3

10 anpassning krävs (Abreu & Elbers, 2005). Elever kan ha olika kulturbakgrund, vanor, förväntningar och modersmål. Med olika modersmål har de således olika lätt för det aktuella språket. Det finns kulturella verktyg som vi använder i våra handlingar, vilka påverkas av vår historia (Abreu & Elbers, 2005). Språk, matematiska system och fysiska objekt såsom böcker kan vara verktyg vi använder oss av i våra studier eller arbeten. För att delta under en vanlig lektion i ett klassrum idag krävs både språkliga kunskaper och kulturella kunskaper. Exempelvis måste elever med annat modersmål lära sig språket samtidigt som de lär sig genom språket (Abreu & Elbers, 2005) Matematisk begåvning Elever med matematisk begåvning har samma rätt till hjälp som elever med svårigheter i matematik, tyvärr får de inte alltid det i klassrummet (Pettersson, 2011). Svårigheten här ligger i att individualisera undervisningen när den sker på det traditionella sättet då en lärare undervisar en större grupp elever samtidigt. Läraren känner ofta att denne inte räcker till för att hjälpa de särskilt begåvade eleverna i klassen (Pettersson, 2011). Eleverna blir då understimulerade och tröttnar på ämnet. De får således en mindre positiv inställning till matematik och har inte samma möjlighet till att utvecklas. 2.2 Situerat perspektiv I ett situerat perspektiv utgår lärande ifrån deltagande i en praktikgemenskap, på engelska kallad Community of practice (Wenger, 1998). Med praktik menas en process genom vilken vi kan uppleva vårt deltagande i världen som meningsfullt. Wenger (1998, s.52) skriver Practice is about meaning as an experience of everyday life. Genom praktiken ser vi mening i de vardagliga upplevelserna. Boaler (1999) skriver att ur ett situerat perspektiv sker lärande genom praktik i en social gemenskap. Lärande sker i det sociala sammanhanget då elever genom deltagande blir en del av praktikgemenskapen. De som deltar i en praktikgemenskap har en gemensam uppgift eller en gemensam tillhörighet. Där kan man lära av varandra och alla kan bidra med sina erfarenheter och sin kunskap. Lärande och praktik är sammankopplade, genom att delta i en praktik lär man och lärande är det som håller igång praktiken (Boaler, 1999). Situerat lärande sker i alla möjliga typer av miljöer (Edsmond-Cady & Sosulski, 2013). En klassrumssituation och en praktikgemenskap är inte helt olika gällande lärande. Här observeras personer, objekt och interaktioner samtidigt som kopplingar 4

11 med koncept och beteenden görs. Den faktiska platsen för praktiken kan däremot vara hemmet, grannskapet eller var som helst. En person kan delta i flera olika praktikgemenskaper samtidigt. Vuxna är ofta med i fler praktikgemenskaper än vad ungdomar och barn är (Gustafsson, 2010). Föreningar och företag är delar i sina egna praktiker. Föreningen spelar en stor roll i det gemensamma deltagandet (Wenger, 1998). En praktikgemenskap bestäms inte av en person eller en beskrivning. Förutsättningar, krav och tillgångar formar praktiken och praktiken utgörs av alla medlemmar i gruppen. Om en person har högre makt inom företaget formas praktiken av deltagarnas respons i situationen. Många olika saker kan påverka en praktikgemenskap. När elever lär sig påverkas de av sammanhang och miljö (Wenger, 1998). Det handlar till stor del om förväntningar och vanor. När elever t.ex. har vant sig vid att uppgifterna i en lärobok blir svårare och svårare har de svårt att se enkla lösningar på uppgifter som kommer sent i ett kapitel (Boaler, 1999). Det är viktigt att delta för att vara med i gemenskapen även om en person inte måste vara fysiskt närvarande för att delta (Wenger, 1998). Att delta i en praktikgemenskap är att göra, prata, tänka, känna och tillhöra. Det är också möjligt att delta i gemenskapen utan att aktivt välja att göra det. Wenger (1998, s.100) skriver We wanted to point out that the required learning takes place not so much through the reification of a curriculum as through modified forms of participation that are structured to open the practice to nonmembers. Elever har en möjlighet att bli en del av en praktikgemenskap genom perifert deltagande. Med detta avses en approximation av ett fullt deltagande där praktiken som helhet är synlig. Det behöver finnas en insyn i praktikgemenskapen och en tillgång till samarbete med andra medlemmar (Wenger, 1998). En matematisk aktivitet innehåller kulturella och sociala processer då eleverna deltar i en social gemenskap med kulturella skillnader och vanor när de räknar och diskuterar matematik i klassrummet (Yackel & Cobb, 1996). Boaler (2002) skriver om skillnaden mellan att lära sig matematik och att göra matematik i praktiken. Elever får ta in mycket kunskap om matematik, men det krävs att eleverna själva ser samband och relationer mellan olika processer och förhållanden i matematiken för att de ska få en ordentlig förståelse för matematiken och intressera sig för vidare kunskap. En konsekvens av ett situerat perspektiv är att det inte är självklart att den matematiska kunskap som en elev lär sig i en praktikgemenskap kommer vara 5

12 användbar i andra sammanhang (Stadler, 2009, s.12). Elever lär sig genom praktiken i samband med situationer och människor. Det innebär att kunskaper och färdigheter blir specifika och förknippade i en relation till något specifikt. 2.3 Tre kategorier för matematikinlärning Stadler (2009) beskriver tre olika kategorier utifrån vilka man kan beskriva elevers matematikinlärning. Matematikens lärandeobjekt, matematiska resurser och studenten som lärandeaktör beskriver tillsammans hur olika elever lär sig matematik. Dessa kategorier kan beskriva eleverna som deltar i frivilliga räknestugor utifrån ett situerat perspektiv för att ge en tydligare bild av situationen på räknestugorna Matematikens lärandeobjekt Kategorin lärandeobjekt syftar på studentens uppfattning om det huvudsakliga målet med matematikstudierna (Stadler, 2009). Att kunna och förstå matematik är två exempel som båda kan vara lärandeobjekt. Lärandeobjektet för en elev kan ha olika karaktär vid olika tillfällen (Stadler, 2009). I olika avsnitt av matematiken kan en elev ha olika mål. En elev kan sträva efter förståelse i algebra för att kunna lösa en uppgift medan samma elev försöker lösa uppgifter om derivata för att eventuellt få en förståelse senare. Matematikens lärandeobjekt kan vara tillgängligt eller otillgängligt för en elev. Elever kan ha syften med sina studier som de inte kan uppnå av olika anledningar. Stadler (2009) menar att man kan beskriva en elevs matematiska lärandeobjekt med hjälp av en bildlig matematisk vägg som skiljer tillgängligt lärandeobjekt från otillgängligt. Storleken på denna beror på elevers individuella förutsättningar och på samma sätt beror hur lätt en elev har att ta sig förbi väggen i olika avseenden på elevers vilja och drivkraft. Att nå ett lärandeobjekt, eller att ta sig förbi väggen, kan kräva vissa resurser. Om dessa resurser inte finns tillgängliga blir inte heller det matematiska lärandeobjektet tillgängligt och eleven behöver då arbeta mot ett annat matematiskt lärandeobjekt Matematiska resurser För att kunna tillägna sig matematiska lärandeobjekt använder eleverna sig av matematiska resurser. Matematiska resurser syftar på ting och företeelser som studenten använder vid matematikinlärning. Det kan t.ex. vara personer såsom föräldrar eller lärare, det kan vara läroboken eller internet, men det blir inte en matematisk resurs 6

13 förrän eleven använder den som en sådan (Stadler, 2009). Lärare är en potentiell matematisk resurs som enligt många elever är viktig. En bra lärare har mycket kunskap i matematik och kan förklara på många olika sätt, dessutom kan läraren anpassa kommunikationen mot olika elever och förstår var elever har problem och fastnar. Eleverna använder lärare som matematisk resurs på olika sätt. Vissa lyssnar till exempel på läraren under helklassundervisning, medan andra ställer frågor för att kontrollera sina kunskaper. En annan potentiell resurs är kamraterna. Många elever räknar gemensamt för att det känns givande att både kunna få hjälp och kunna hjälpa, medan andra hellre räknar ensamma och använder sig av sina kamrater genom att fråga när de fastnar. Läroboken kan också vara en matematisk resurs, med den sitter nästan alla elever när de studerar. En del ser facit som en viktig resurs, men annars lägger de flesta elever ingen stor vikt vid boken och dess exempel (Stadler, 2009) Studenten som lärande aktör Denna kategori innefattar studentens handlingar och intentioner i olika sammanhang (Stadler, 2009). Det finns olika normer och värderingar att hålla sig till när man studerar matematik. Elever studerar med normer och värderingar, med sitt synsätt på matematik och med hjälp av matematiska resurser. Det är relationen mellan matematikens lärandeobjekt och de matematiska resurserna som utgör kategorin Studenten som lärande aktör. Med olika erfarenheter av matematik arbetar elever på olika sätt för att tillägna sig matematiska lärandeobjekt. Hur elever agerar ger även en bild av elevens tilltro till sin egen förmåga att lära sig matematik (Stadler, 2009). En elev kan vara mer eller mindre begränsad och beroende av resurser som lärande aktör. I det fall eleven ser lärare som en viktig matematisk resurs för sitt lärande blir eleven begränsad som lärande aktör då lärarresurser inte finns att tillgå, t.ex. i hemmet. Tillgången på matematiska resurser är tillsammans med det aktuella lärandeobjektet det som påverkar studenten som lärande aktör (Stadler, 2009). 2.4 Sammanfattning För att analysera elevernas lärande och studiesituation på räknestugorna med utgångspunkt från Stadlers tre kategorier behöver jag veta vad eleverna har för mål med sina studier, vilka matematiska resurser eleverna använder och hur de agerar på plats. 7

14 För att bestämma vilka typer av elever som besöker räknestugor behöver information tas fram om deras bakgrund och studiesituation som kan jämföras mot forskning om elevers olikheter och förutsättningar. Annan tidigare forskning kan även spegla praktiken på räknestugorna genom att jämföra hur praktiken sker mot kända teorier om kommunikation och studier utanför skoltid. För att få fram information om hur praktiken fungerar behöver olika episoder under räknestugorna analyseras. Med vetskap om hur praktiken fungerar kan denna också jämföras mot traditionell skolundervisning och vad vi vet om denna. 8

15 3. Syfte och frågeställningar Syftet är att undersöka lärandesituationen på räknestugor utanför skoltid, vilket mynnar ut i följande frågeställningar: Vilka matematiska lärandeobjekt har elever som besöker räknestugor efter skoltid? Vilka matematiska resurser anses viktiga av elever som besöker räknestugor efter skoltid? Hur ser praktiken ut på en räknestuga utanför skoltid? Vad skiljer lärandesituationen under räknestugor från vanlig klassrumsundervisning? 9

16 4. Metod 4.1 Metodisk ansats Jag har valt att genomföra min undersökning utifrån ett situerat perspektiv på lärande och kunskap. Mattecentrums räknestugor (se avsnitt 4.2.1) är en lärandemiljö som är skild från skolans ordinarie undervisning och där volontärer, ofta utan lärarutbildning, tjänstgör som lärare. Det är därför rimligt att anta att en specifik lärandekultur utvecklas på räknestugorna. För att undersöka denna lärandekultur valde jag att göra observationer av praktiken under flera räknestugor. Med hjälp av observationer skulle praktiken på räknestugorna och skillnaden mot vanlig klassrumsundervisning beskrivas. Stadlers (2009) tre kategorier kan användas för att beskriva elevernas matematikinlärning under räknestugor. För att undersöka vilka elever som deltar valde jag att göra en enkätundersökning. Enkätresultaten skulle ge information om elevers bakgrund och studiesituation. 4.2 Urval En undersökning (Bilaga 1) gjordes på uppdrag av föreningen Mattecentrum (se avsnitt 4.2.1) Mattecentrum ville veta mer om eleverna som deltar i deras räknestugor, hur det gick för de eleverna i deras matematikstudier och vad de tyckte om räknestugorna. Den undersökningen lade grunden för detta examensarbete och urvalet i det Mattecentrum Mattecentrum är en förening som arbetar med hjälp i matematik för barn och unga (Mattecentrum, 2012). Deras verksamhet består av frivilliga och anonyma räknestugor i 18 städer i Sverige och internetbaserat stöd. Eleverna som kommer till räknestugor får ta med sig sin läxa eller egna matematikuppgifter för att räkna individuellt. På plats finns volontärer till förfogande för att försöka hjälpa eleverna i deras matematikstudier. Mattecentrum försöker ha en volontär per tre elever på plats. Räknestugorna äger rum i klassrum på gymnasieskolor efter kontorstid och de pågår i två timmar per tillfälle. Mattecentrum skriver sin vision som: Mattecentrum ska verka för att varje elev erbjuds gratis mattehjälp där tillgänglighet och individanpassning är i fokus. Målet är att motivera och inspirera till ökad kunskap och intresse för matematik (Mattecentrum, 2012). 10

17 4.2.2 Begränsningar Då undersökningen genomfördes inom ramen för mitt examensarbete valde jag att endast undersöka räknestugorna i Stockholm och att dela ut enkäten under en treveckors period Urvalsgruppen Under den treveckorsperioden som enkäten delades ut skulle den besvaras av så många elever som möjligt på de olika räknestugor som Mattecentrum höll i Stockholm. Observationer gjordes under räknestugor både innan och efter perioden av enkätutdelning. Dagarna som valdes för observationer var inte högsäsong för räknestugorna, dvs. perioden var inte i anslutning till de nationella proven eller liknande då det enligt statistik är många fler elever på räknestugor. Detta för att få en generell bild av räknestugor och hur elever som deltar i dessa arbetar utan risk för stressade volontärer och andra faktorer som kan påverka vid press inför viktiga moment Pålitlighet 128 elever har svarat på enkäten och det går enligt statistik ca 150 elever på räknestugorna varje vecka i Stockholm, varav flera är återkommande. Bortfallet i undersökningen var enligt mätningar 4% (de elever som valde att inte svara på enkäten på grund av exempelvis tidsbrist). 4.3 Genomförande Enkätens utformning Enkäten utformades under ungefär två månader. En kravlista från Mattecentrum gällande vilken information de ville få fram blev utgångspunkt för utformningen (Bilaga 3). Målet var att kunna få med allt som var relevant för undersökningen, utifrån kravlistan, på några få frågor. Förutsättningarna för att eleverna skulle vilja svara på enkäten var dels att den inte fick ta alltför lång tid att svara på så att den inte skulle stjäla av deras studietid på räknestugan och dels att eleverna förstod varför det var viktigt att de svarade på enkäten (Dahmström, 2011). Enkäten utformades efter diskussioner med Mattecentrums kansli, vilka var uppdragsgivare för undersökningen, samt med handledare vid KTH och SU. För att få ut användbar information med uppgifter som kunde ge en tydlig bild av räknestugorna ställdes frågorna på ett sätt så att de skulle gå att jämföra mot siffror från Statistiska 11

18 centralbyrån (2013). Ett utkast av enkäten fick sedan genomgå utprövning. Första prövningen gjordes av en elev som tidigare deltagit i räknestugor. Eleven fick svara på enkäten medan jag tittade på. Efteråt diskuterade vi vilka frågor eller delar av enkäten som var lätta eller svåra att förstå. Detta resulterade i en revidering av enkäten. Ytterligare tester gjordes ute på räknestugor i samma situation som när enkäten slutligen skulle besvaras på riktigt. Eleverna fick svara på enkäten med informationen att enkäten var till för att utvärdera verksamheten. De fick också veta att deras svar var till för att testa enkäten. Efteråt fick de möjlighet att ställa frågor. Medan jag läste igenom elevernas svar ställde också jag korta frågor till eleverna för att få en djupare förståelse om deras tankar. På så sätt säkerställdes att informationen var tydlig nog om hur man skulle fylla i enkäten. Dessa tester gjordes på sex stycken elever på två olika räknestugor och resulterade även de i en revidering av enkäten. Efter dessa tester och revideringar var enkäten färdigutformad (se Bilaga 2). Enkäten bestod då av frågor om elevernas bakgrund, studiesituation och specifika frågor om räknestugorna. De flesta frågorna hade alternativ som eleverna skulle kryssa i, dels för att få homogena svar och för att det skulle ta mindre tid för eleverna att besvara. Vissa frågor hade svarsalternativ på en skala mellan ett och fyra. Detta för att eleverna skulle behöva väga sin svar åt något håll utan att ha ett neutralt svarsalternativ i mitten att välja (Dahmström, 2011). Enkäten delades ut på plats på räknestugor varje dag under perioden och skulle lämnas in under samma räknestuga. Jag valde att själv dela ut och samla in enkäterna, dels för att kunna se vilka som svarade på enkäten och vilket bortfall som fanns samt för att kunna svara på elevers eventuella frågor för att säkerställa att alla fick samma förutsättningar när de skulle fylla i enkäten. Under ett tillfälle fick jag be om hjälp att dela ut enkäten och fick då assistans av en behjälplig handledare som var insatt i enkätens utformning och undersökningens syfte. Svaren sammanställdes löpande för analys (sammanställningen skedde i Excel, och Minitab användes som analysverktyg) Genomförande av observationerna För att ge en klarare bild av räknestugorna kompletterades den samlade informationen av enkätundersökningen med observationer av dessa räknestugor. Observationerna gjordes både innan enkätundersökningen och efter, totalt vid sex tillfällen. Vid hälften 12

19 av observationstillfällena observerades alla elever som en grupp för att få en helhetskänsla av studiemiljön och arbetssättet under räknestugorna och under andra hälften av tillfällena observerades grupper om 2-3 elever för att närmare kunna studera deras studiesituation samt den hjälp de fick. Under de senare observationerna satte jag mig bredvid de elever som skulle observeras. Observationerna dokumenterades med anteckningar och ljudupptagningar. Mina anteckningar skrevs inte utgående från något protokoll. Till ljudinspelningarna togs även bilder på elevers och volontärers anteckningar. 4.4 Bearbetning och analys Enkätundersökningen Analys av resultaten har främst gjorts genom bearbetning i programmet Minitab. Alla svar på enkäten lades in i ett Exceldokument uppdelat på alla olika svarsalternativ. Eftersom statistikprogrammet Minitab har många funktioner att bearbeta data med så var överskådligheten över dokumentet mindre viktigt. Prioritering lades på att kunna göra kopplingar mellan olika typer av data (Dahmström, 2011). För att göra informationen lättöverskådlig sammanställdes flertalet grafer och tabeller med olika data och olika urvalsgrupper. För att få en förståelse och en förankring i siffrorna jämfördes resultaten med Statistiska centralbyråns (2013) uppgifter om gymnasieelever i Stockholm. Detta hjälpte även i analysen av skillnaden mellan räknestugor och traditionella klassrum. Med hjälp av teoretiska perspektiv belystes intressanta delar av resultaten. Detta för att förstå vilka elever som väljer att studera efter skoltid på räknestugor och vilka olika faktorer som kan påverka detta val och elevernas studiesituation. Jag reflekterade över matematikens lärandeobjekt för eleverna och vilka resurser de använde sig av och tyckte var viktiga i sitt lärande av matematik Observationerna För att välja ut vilka observationer som skulle användas i analysen försökte jag förstå vad som hände i de olika dialogerna och tolka detta. Jag valde ut dialoger som kunde beskriva praktiken på räknestugorna och elevernas matematikinlärning med fokus på Stadlers (2009) kategorier om ämnet. Dessa dialoger transkriberades från ljudinspelningarna och analyserades utifrån de teoretiska perspektiv som tagits upp i kapitel 2. 13

20 Tidigare forskning kring elever, studier utanför skoltid och kommunikation användes i analysen på så sätt att jag tittade efter tolkningar av observationerna som kunde motsäga tidigare resultat och teorier likväl som jag tittade efter tolkningar som kunde underbygga teorierna ytterligare. I varje dialog funderade jag också över elevernas matematiska lärandeobjekt, vilka resurser som användes eller verkade viktiga och hur eleven agerade som lärande aktör i förhållande till dessa resurser och lärandeobjekt. 14

21 5. Resultat och analys 5.1 Enkätundersökningen När jag i nedanstående resultat och analys skriver om eleverna som deltar i räknestugor syftar jag till den grupp elever som svarade på enkäten Eleverna som deltar Elevernas bakgrund Man 32; 25,4% Könsfördelning Project: MCraknestugor; Worksheet: Sheet1; :08:02; Josephine Brofjorden Kvinna 94; 74,6% Figur 1 Könsfördelning av elever som studerar i Mattecentrums räknestugor. Det är störst andel, ca ¾, kvinnliga elever som besöker räknestugorna (Figur 1). Motsvarande uppgifter om gymnasieelever i Stockholms län visar att ungefär hälften av Stockholms gymnasieelever är kvinnliga elever (Statistiska centralbyrån, 2013). Ungefär hälften av eleverna som besöker räknestugor har utländskt ursprung (Figur 2). Med utländskt ursprung menas att eleven är född utomlands eller att båda föräldrarna är födda utomlands. I Stockholms län har 23 % av gymnasieeleverna utländskt ursprung. Eleverna som deltar i räknestugor talar sammanlagt över 25 olika språk som modersmål och enligt resultat får de också mer sällan hjälp av sina föräldrar med matematik trots att föräldrarna har ganska höga utbildningsnivåer. 15

22 Ursprung Vet ej 4; 3,1% Utländskt 63; 49,2% Svenskt 61; 47,7% Project: SAMMANSTALLNING.MPJ; Worksheet: Sheet1; :20:27; Josephine Brofjorden Figur 2 Ursprung på de elever som deltar i Mattecentrums räknestugor En sak som skiljer räknestugorna från klassrumssituationer är att konstellationen av eleverna ser annorlunda ut. Det är fler kvinnliga elever och fler elever med utländskt ursprung i jämförelse mot en generell gymnasieklass i Stockholms län Elevernas studiesituation Elever som deltar i räknestugor läser främst naturvetenskapliga program på gymnasiet (Figur 3). 50 % av gymnasieeleverna som deltar i räknestugor läser naturvetenskapliga program, vilket kan jämföras med 21 % för gymnasieelever i Stockholms län under samma period (Statistiska centralbyrån, 2013). 60 Program 50 Antal elever Natur Samhälle Estet Gått ut Teknik Ekonomi Humanistiskt El Handel Högstadiet Svenska Project: SAMMANSTALLNING.MPJ; Worksheet: Sheet1; :41:11; Josephine Brofjorden Figur 3 - Gymnasieprogram som elever som deltar i Mattecentrums räknestugor går på 16

23 Elever som går naturvetenskapligt program läser fler matematikkurser än elever på de flesta andra program. Teknikprogrammet är ett program som liknar det naturvetenskapliga med många kurser i matematik, men det är mindre vanligt att elever söker sig till det programmet. På teknikprogrammet går ca 6 % av eleverna som deltar i räknestugor. Det naturvetenskapliga programmet är också högskoleförberedande, vilket innebär att det är vanligt att dessa elever studerar vidare efter gymnasiet. För att komma in på olika högskoleutbildningar finns olika krav på betygssnitt och specifika matematikkurser ska vara godkända. 98 % av gymnasieeleverna som deltar i räknestugor studerar högskoleförberedande program, vilket motsvaras av ca 70 % för gymnasieelever i Stockholms län (Statistiska centralbyrån, 2013). Motivationsfaktorer 2 1,73 1,81 1,76 1,79 Motivation 1 1,18 0,71 0,64 0,55 1,10 0 Studiemiljö Bra hjälp Gratis Kompisarna går Project: SAMMANSTALLNING.MPJ; Worksheet: Sheet1; :03:05; Josephine Brofjorden Betyg Fö rståelse För äldr ar s tr yck T ryck från läraren Lärarens för klaringar dåliga Figur 4 Elever fick de svara hur mycket de motiverades av de olika sakerna med Motiveras mycket, som i grafen motsvaras av 2, Motiveras lite som motsvaras av 1 och Motiveras inte alls som motsvaras av 0. Siffrorna betecknar medelvärden. 17

24 Motivationen för eleverna att studera i räknestugor, generellt sett, ligger främst i att höja betygen och öka förståelsen för matematik (Figur 4). För Mattecentrums räknestugor specifikt är den främsta motivationsfaktorn dock kostnaden, dessa räknestugor är avgiftsfria. Eleverna motiveras också av att hjälpen de får av volontärerna på plats är bra. De som besöker räknestugor tycker att läraren är den viktigaste resursen för inlärning (Figur 5). De ser också läroboken, miniräknaren, formelsamlingarna och kompisarna som viktiga resurser, men läraren tycks som en viktigare resurs i sammanhanget. Detta kan göra dessa elever begränsade som lärande aktörer då lärare som matematisk resurs inte alltid finns tillgänglig. Matematikresurser 4 3, , , , , , ,4876 2, , Läraren Kamraterna Familjen Läroboken Gamlaprov Formelsamling Räknaren Hemsidor Forum Project: SAMMANSTALLNING.MPJ; Worksheet: Sheet1; :06:17; Josephine Brofjorden Figur 5 Eleverna fick svara på hur viktiga de ansåg olika resurser i matematik vara på en skala mellan 1 och 4 där 1 motsvarar helt oviktig och 4 motsvarar mycket viktig. Att eleverna tycker att läraren är den viktigaste resursen för sin matematikinlärning märks även på hur de helst studerar. Det är flest elever som helst studerar tillsammans med en lärare, men det är även många som gärna studerar ensamma (Figur 6). Att studera tillsammans med familjen är det inte många av dessa elever som helst gör. 18

25 50 Studerar helst med Lärare Ensam Kompisar Familj Other Count Percent 34,9 33,3 24,6 4,0 3,2 Cum % 34,9 68,3 92,9 96,8 100,0 Project: SAMMANSTALLNING.MPJ; Worksheet: Sheet1; :46:11; Josephine Brofjorden Figur 6 Personer som eleverna helst studerar tillsammans med Elever som deltar i räknestugor har högre betyg i matematik än genomsnittet i Stockholms län (Tabell 1). Detta kan tyda på att eleverna som deltar är mer ambitiösa och studerar hårdare, men det kan också tyda på att de har lättare att förstå och räkna matematik. Statistik från SCB (länsnivå): Resultat för Mattecentrums gymnasieelever: Betygssnitt MaA: 13,4 13,9 73 Betygssnitt MaB: 11,9 13,5 50 Antal elever från Mattecentrum: Betygssnitt MaC: 11,8 13,5 21 Tabell 1 Betygssnitt i olika matematikkurser för elever på gymnasiet. (Statistiska centralbyrån, 2013) Ser vi till vad eleverna strävar efter gällande betyg så är det tydligt att det finns en stor spridning bland eleverna (Figur 7). Medelvärdet av elevernas betygsmål ligger vid VG, som motsvaras av betyget C i det nya betygssystemet. 19

26 Betygssträvan MVG/A Betyg VG/C G/E Project: SAMMANSTALLNING.MPJ; Worksheet: Sheet1; :58:09; Josephine Brofjorden Figur 7 Elevernas betygssträvan i sina aktuella matematikkurser Räknestugorna i praktiken Under räknestugorna ges eleverna möjlighet att räkna och diskutera. Eleverna tycker sig få hjälp så länge som de behöver och de tycker att hjälpen de får är bra (Figur 8). Elevernas syn på Mattecentrum Data Poäng Studiemiljö Volontärers hjälp Väntetiden Hjälptiden Avancerad hjälp Rekommenderar Project: SAMMANSTALLNING.MPJ; Worksheet: Sheet1; :39:05; Josephine Brofjorden Figur 8 Elevernas syn på Mattecentrum som förening i olika avseenden. Poängen är ordnade så att 4 är mest positivt och 1 minst. 20

27 Elevers upplevda utveckling 4 Upplevd utveckling Antal terminer i räknestuga Project: SAMMANSTALLNING.MPJ; Worksheet: Sheet1; :39:29; Josephine Brofjorden Figur 9 Eleverna fick svara på hur mycket de tycker att de har förbättrat sina kunskaper inom matematik på en skala mellan 1 och 4 sedan de började gå på räknestugor. I resultat från enkätundersökningen kan ingen specifik betygsutveckling visas, men eleverna upplever att de utvecklar sina kunskaper i matematik (Figur 9) och att de får en mer positiv inställning till ämnet (Figur 10). Elevers förändrade inställning till matematik 4 Inställning till matematik Antal terminer i räknestuga Project: SAMMANSTALLNING.MPJ; Worksheet: Sheet1; :53:32; Josephine Brofjorden Figur 10 Eleverna fick svara på hur mycket positivare deras inställning hade blivit på en skala mellan 1 och 4. 21

28 5.1.3 Diskussion om enkätresultaten Att elever med utländsk bakgrund sällan får hjälp av sina föräldrar med matematik kan bero på kulturella och språkliga svårigheter för föräldrarna gällande matematikuppgifter (Abreu & Elbers, 2005). Vissa av eleverna med utländsk bakgrund har inte samma förutsättningar för att klara matematiken i en klassrumssituation som elever med svensk bakgrund. När de får hjälp under räknestugor får de en större möjlighet att lära sig trots kulturella och språkliga skillnader eftersom de här har större tillgång till hjälp med flera volontärer som kan svara på frågor. De behöver således inte fastna på att förstå frågan lika länge, utan kan få hjälp förbi det problemet. Eleverna tycks arbeta mot målet att kunna lösa uppgifter för att få ett bättre betyg eller mot målet att få en djupare förståelse för bakomliggande teorier i matematik, vilket innebär att matematikens lärandeobjekt för dessa elever skiljer sig åt. Att få mer tid, att känna mindre press och att kunna få saker förklarade för sig på flera olika sätt får eleverna att förstå mer och att bli mer positiva till ämnet. Känslan av att de utvecklas kan bero på den sociala utvecklingen som sker när de studerar i räknestugor (Wenger, 1998). Elever kan lära sig sociala sammanhang, kultur och till viss del språkliga termer som gör att de lättare kan lösa uppgifter på egen hand (Abreu & Elbers, 2005). Räknestugorna skiljer sig från klassrum i skolan när det gäller elevernas studiesituation. Elever som går på räknestugor läser olika gymnasieprogram och har troligtvis därför olika framtidsmål. Eleverna tycks också ligga på olika nivå i matematiken och räknar troligtvis därför på olika svårighetsgrader. Även om elever ser olika nytta med sina studier i en vanlig klass är spridningen troligtvis större bland elever i en räknestuga med tanke på elevernas olika val av gymnasieprogram och spridningen i betygssträvan. Den positiva inställningen som eleverna känner att de får när de deltar i räknestugor kan leda till ökade förmågor inom ämnet och således en bibehållen positiv inställning, vilket ger förutsättningar att söka ny kunskap (Pettersson, 2011). Det blir en cirkel som leder till lärande och kunskap. 5.2 Observationerna Nedan följer några utdrag från observationerna. Dessa ska ge en bild av vilka elever som besöker räknestugor och hur situationen på räknestugorna ser ut samt illustrera praktiken i verksamheten och hur den skiljer sig från daglig klassrumsundervisning. 22

29 Elevernas namn i dessa dialoger är fingerade Matematiska begrepp Vid ett tillfälle kom en elev in på en räknestuga och frågade volontärerna om de kunde hjälpa honom inför de nationella proven eftersom han hade problem med svenskan. Volontärerna undrade om det var det nationella provet i svenska eller matematikprovet eleven hade problem med och fick svaret att det var matematikprovet. Eleven berättade att han inte såg några problem i att själv studera till språkprovet, men att språket i matematiken fick honom att inte kunna lösa matematikuppgifterna. Det visade sig även vidare under observationer att en del av eleverna, såväl med utländsk bakgrund som med svensk bakgrund, hade svårt att förstå vissa frågor och formuleringar i matematikuppgifter, vilket gjorde att även om de hade de matematiska kunskaperna att lösa en uppgift kunde de inte göra det eftersom de inte förstod frågan. I följande konversation har Anna fastnat redan i att förstå frågan. Anna: Vilket ordningsnummer har talet hundra i talföljden a n =20+4*n? Volontär: Mm... Anna: Är det då att man tar a ? Volontär: Nej, det är... alltså, det är... Anna: Men blir det inte... [skriver] Volontär: Nej, det är det här n:et. (eleven skriver klart; a 100 =20+4*100) Ja, just det. Så ja. Men det är inte det som är frågan här. Utan frågan är vilket ordningsnummer, och ordningsnummer är det här n:et. Så ta talet hundra, om vi skulle räkna ut hundra som tjugo plus fyra gånger någonting. Anna: Jaha, så då ska man alltså få fram vad det här n:et är. Analys: Anna vet inte vad som frågas efter då hon inte kan tolka betydelsen av ordet ordningsnummer. Anna tycks här tolka frågan som att hon ska sätta in talet 100 där det står n och räkna ut vad a blir. Denna matematiska term kunde hon inte förstå utan hjälp. Elever måste lära sig det matematiska språket innan de kan lära sig genom det matematiska språket, liksom Abreu och Elbers (2005) skriver om språk generellt. Anna står för sin tolkning av frågan. Hon vill trots volontärens motsägelse få fram sin tolkning. När hon sedan får veta hur uppgiften ska lösas tycks hon förstå. Det visar att hennes matematiska kunskaper inte är de som hindrar henne från att lösa 23

30 uppgiften i det här fallet. För Anna är volontären en viktig matematisk resurs för att hon skulle klara av att lösa denna uppgift. Hon använder sig av volontären som resurs genom att fråga om uppgiften skulle lösas på ett sätt som hon föreslår och får då veta att hon misstolkat frågan och begreppet ordningsnummer. På räknestugorna kan alltså elever få hjälp med mer än matematiska lösningar av uppgifter. Elever som fastnar på begrepp eller språkliga termer kan få dessa utredda. Eleverna använder sig av volontärer som en resurs för lärande av matematik. Detta för att göra lärandeobjektet att kunna räkna uppgifter tillgängligt. I den här observationen kan också studeras vilket lärandeobjekt Anna har. Hon vill lösa uppgiften och den korrekta tolkningen av begreppet ordningsnummer får hon följaktligen av att hon försöker räkna. Matematikens lärandeobjekt i det fallet tyder på att Anna just då arbetade mot att kunna räkna på talföljder för att utveckla en förståelse. Situationen skulle också kunna tolkas som att Anna har försökt få en förståelse för talföljder och börjar räkna för att kontrollera att hon har förstått. I det fallet är matematikens lärandeobjekt ett annat, men situationen ser likadan ut då Anna utifrån detta lär sig ett nytt begrepp Förväntningar på räknestugor Under ett par tillfällen kom elever in och frågade hur det fungerade på räknestugorna, de fick som svar av volontärer att det handlade om egenstudier. Några elever tycktes bli besvikna över att det inte skedde någon traditionell undervisning vid tavlan och de gick genast därifrån. Analys: De hade förväntningar som räknestugorna inte kunde leva upp till. Insynen i praktiken kan antas undermålig. För att kunna komma till räknestugorna med förväntningar som kan uppfyllas måste elever ha en viss kunskap om den sociala praktiken på plats Utantill-inlärning En kommentar från en annan elev under en räknestuga var: Paulina: Jag måste verkligen nöta in en formel. Analys: Paulina tyckte att hon behövde kunna en viss formel för att lösa uppgifter på ett specifikt kapitel. Detta tyder på att hon arbetar för att klara uppgifterna. Hennes mål, 24

31 och matematikens lärandeobjektet här, var att hon skulle lära sig formeln utantill för att kunna lösa matematikuppgifter ur det kapitlet Användande av styrdokument Vid ett bord fullt av både elever och volontärer utväxlades dessa ord under en räknestuga: Hanna: Det här är Matte 4. Jag har inte fått den boken, den var typ nio veckor försenad. Volontär 1: Matte 4, det säger mig inte mig nånting, men det är säkert... Volontär 2: Det är efter Matte 3. Volontär 1: Jaha. (Både volontärer och elever börjar skratta) Volontär 2 (till Volontär 1): Det är en som räcker upp handen där borta. Fast du kanske höll på där. Analys: Volontären vet inte vilken kurs Matte 4 är. Han får heller inte förklaring till vad den kursen innehåller, utan situationen skojas bort. Volontärerna arbetar inte utifrån styrdokument från Skolverket för matematikkurserna på gymnasiet Hjälp att lösa uppgifter Följande observationer är exempel på hur volontärer hjälper elever att lösa uppgifter. Under en observation utspann sig följande dialog mellan en elev och en volontär i samband med beräkning av radien i en cirkel med känd area: Volontär: Är det något du kan räkna ut? Gustav: En stor cirkel med radien R har aren niohundra kubikdecimeter. Arean... Volym! Volontär: Nej. Gustav: Inte volym. Eh... Det här är en cirkel alltså. Volontär: Ja, med radien R och arean niohundra. Gustav: Är det en cirkel liksom? Volontär: Ja, en vanlig cirkel. (...) 25

32 Gustav: Det är att jag måste gå baklänges eller? Volontär: Ja, precis. Gustav: Jag måste veta vad gånger Pi som blir det där Volontär: Ja, precis. Exakt. Så du kan ställa upp det som en ekvation Gustav: Att jag gör det här lika med det, eller? Volontär: Mm... arean är given, den är niohundra och samtidigt vet du att arean kan du uttrycka med hjälp av radien sådär. Då har du ett samband här. Det finns... det är R här som är okänd. Gustav: Så att jag ska lösa ut R? Volontär: Ja, precis. Det kan du göra. Gustav: Att jag tar och delar med Pi? Volontär: Ja Gustav: Kan jag göra så bara, eller? ( ) Analys: Volontären försöker hjälpa Gustav att lösa uppgiften genom att fråga honom om det finns något han kan räkna ut i uppgiften. Han låter Gustav resonera själv för att komma framåt i uppgiften. När volontären sedan berättar hur man ska tänka och hur man ska räkna så ifrågasätter Gustav gång på gång. Han avslutar ofta med att fråga eller? för att han inte är säker på att han gjort rätt. Det tyder på att Gustav är osäker och vill ha bekräftelse på att han tänker rätt. Diskussionen pågår i nästan 30 minuter för att han inte bara ska ha löst uppgiften utan även förstå hur den löstes och varför den löstes på det sättet. Han deltar aktivt i praktikgemenskapen, pratar och frågar för att förstå och lära sig mer. Under konversationen tycks Gustav se volontären som en matematisk resurs. Han söker svar på hur uppgiften ska lösas och lyssnar på volontärens hjälp i detta. Gustav har här inte alla förkunskaper som krävs för att lösa uppgiften. Han söker dessa genom att försöka lösa uppgiften. Matematikens lärandeobjekt för Gustav är att han vill kunna räkna uppgiften för att sedan eventuellt få förståelse för den bakomliggande matematiken. Under beräkningen av en annan uppgift får Gustav hjälp på ett annat sätt av en volontär: Gustav: Beräkna folkmängden i kommun b om fem år om tillväxten är linjär. Linjär. 26