Estimering av avkastningskurvor

Transkript

1 < Estimering av avkastningskurvor Räntemodellering som ett realistiskt hjälpmedel för analys inom banksektorn Jori-Pekka Rautalahti Institutionen för finansiell ekonomi och statistik Svenska handelshögskolan Helsingfors 2012

2 SVENSKA HANDELSHÖGSKOLAN Institution: Arbetets art: Avhandling Institutionen för finansiell ekonomi och statistik Författare: Jori-Pekka Rautalahti Datum: Avhandlingens rubrik: Estimering av avkastningskurvor: framtida räntemodellering som ett realistiskt hjälpmedel för beslutsfattningsprocessen inom banksektorn Sammandrag: Avhandlingen granskar huruvida tre olika räntemodeller klarar av att producera godtagbara framtida regimutfall av räntornas terminsstruktur jämfört med realiserade data av avkastningskurvan för tidsperioden Modellerna är definierade i Rebonato et. al. (2005), Stanton (1997) och Vasicek (1977), och dessa simuleras 2000 gånger för att erhålla 95:e och 5:e kvantilytorna av var sin räntemodell. Kvantilytorna utgör de högsta och lägsta värden av de simulerade avkastningskurvorna bortsett från de högsta 5 % och lägsta 5 %. Den tidsvarierande kontinuerliga flerdimensionella täthetsfunktionen som kvantilytorna bildar innefattar en tredimensionell 90 % sannolikhetsyta vart en specifik räntemodell skulle simulera en till avkastningskurva. Täthetsfunktionen testas genom olika mått som rapporterar hur ofta den realiserade avkastningskurvan över- eller underskrider de definierade kvantilytorna, samt med diverse korrelationstest. Den unika metodologin, vilket sedvanligt används för Value at Risk-modellers testande, ger information över hur bra en räntemodell klarar av att realistiskt simulera framtida utvecklingen av räntornas terminsstruktur för att kunna användas inom näringslivet, speciellt inom banksektorn. För att en räntemodell skall vara god, kräver avhandlingen följande egenskaper av en räntemodell: modellen borde fånga cirka 90 % av avkastningskurvans realiserade utveckling innanför täthetsfunktionen, modellen borde ha en tillräckligt stor intervall mellan kvantilen för att påvisa regimförändringsbeteende i simuleringarna och modellens simuleringar borde se realistiska ut för att uppfylla de hypotiserade förklaringarna om räntornas terminsstruktur.

3 En modell borde också i så fall kunna fånga finanskrisen och övriga extremnoteringar genom kvantilytorna, och det visar sig att modellen definierad av Rebonato et. al betecknas av tillräckligt goda egenskaper för att vara ett realistiskt alternativ för att simulera t.ex. en ränteriskutsatt balansräknings beteende i olika regimutfall av framtiden. De andra modellerna presterar sämre, och Vasicek-modellen presterar sämst med ca 50 % av de realiserade räntenivåerna utanför sina kvantilytor. Nyckelord: avkastningskurva, räntornas terminsstruktur, Monte Carlo simulering, banksektor, stokastiska differentialekvationer, räntemodeller, VaR

4 INNEHÅLL 1 INLEDNING Problemformulering Syfte Kontribution Avgränsningar Disposition BAKGRUND Begrepp EURIBOR-räntor (korta räntor) SWAP-räntor (långa räntor) Räntekurva och avkastningskurva Riskneutralitet och icke-arbitrage argumentet HYPOTESER OM RÄNTORNAS TERMINSSTRUKTUR Tre centrala beskrivningar om terminsstruktur Ren förväntningshypotes Rena riskpremiehypoteser Likviditetspremie Föredragen lokal (preferred habitat) Partisk förväntningshypotes Marknadssegmentering Diskussion om hypoteserna Olika former av avkastningskurvan Modellering av dynamiken i avkastningskurvan Binomialträdet i räntemodellering Modeller i kontinuerlig tid Marknadsmodeller TIDIGARE FORSKNING Evolving yield curves in the real-world measures: a semi-parametric approach (2005) Long-horizon yield curve projections: comparison of semi-parametric and parametric approaches (2008) A Nonparametric Model of Term Structure Dynamics and the Market Price of Interest Rate Risk (1997)...26

5 4.4. An Equilibrium Characterization of the Term Structure (1977) Sammanfattning av tidigare forskning RÄNTEMODELLERNA RMJBN Uppbyggandet av modellen VASICEK MARKNADSMODELLEN METOD Monte Carlo simulering Sampelkvantilen Analys om modellernas godhet: 3-dimensionella grafer och resultatanalys enligt justerad VaR-metodologi Pragmatiska vinkeln Konservatism Medeltalet av relativa bias (MRB) Kvadratroten av kvadrerade medeltalet av relativa bias (KMRB) Precision Binär över- och underskridning (binöu) Kvadrerad över- och underskridning (kvadöu) Multipel för att erhålla täckning (MeT) Medeltalet av över- och underskridning (medöu) Effektivitet Spearman s rangkorrelationskoefficient DATA Deskriptiv statistik RESULTAT Pragmatiska vinkeln Resultatanalys Konservatism MRB KMRB Precision binöu... 56

6 kvadöu medöu MeT Effektivitet Spearman s rangkorrelation Spearman s rangkorrelation (lutn.koeff.) DISKUSSION Jämförelse med sammanhängande finansiell litteratur Mervärde till marknadsaktörer Avslutande kommentarer FÖRSLAG PÅ FORTSATTA STUDIER SAMMANFATTNING KÄLLOR BILAGOR Appendix Appendix TABELLER Tabell 1 Tabell 2 Jämförelse mellan räntor vid olika tidpunkter och en syntetisk terminränta En sammanfattning av hur de olika hypoteserna förklarar olika former av avkastningskurvan Tabell 3 Tabellsammanfattning över tidigare forskningarna...29 Tabell 4 Deskriptiv statistik av historiska data (euribor) Tabell 5 Deskriptiv statistik av historiska data (swap-räntor) Tabell 6 Deskriptiv statistik av jämförelse data (euribor)... 46

7 Tabell 7 Deskriptiv statistik av jämförelse data (swap-räntor) Tabell 8 En sammanställning av de olika precisionsmåtten Tabell 9 Spearman s rangkorrelation (månatliga observationer): skildrar styrkan av sammankopplingen mellan realiserade och simulerade räntenivåerna...62 Tabell 10 Spearman s rangkorrelation beräknad enligt de associerade avkastningskurvornas lutningskoefficienter per tidssteg (månatliga observationer) Tabell 11 Deskriptiv statistik av RMJBN-modellens 95:e kvantil, beräknat enligt 2000 simulationer (euribor) Tabell 12 Deskriptiv statistik av RMJBN- modellens 95:e kvantil, beräknat enligt 2000 simulationer (swap-räntor) Tabell 13 Deskriptiv statistik över RMJBN modellens 5:e kvantil, beräknat enligt 2000 simulationer (euribor) Tabell 14 Deskriptiv statistik över RMJBN modellens 5:e kvantil, beräknat enligt 2000 simulationer (swap) Tabell 15 Deskriptiv statistik över MM modellens 95:e kvantil, beräknat enligt 2000 simulationer (euribor) Tabell 16 Deskriptiv statistik över MM modellens 95:e kvantil, beräknat enligt 2000 simulationer (swap) Tabell 17 Deskriptiv statistik över MM modellens 5:e kvantil, beräknat enligt 2000 simulationer (euribor) Tabell 18 Deskriptiv statistik över MM modellens 5:e kvantil, beräknat enligt 2000 simulationer (swap) Tabell 19 Deskriptiv statistik över Vasicek-modellens 95:e kvantil, beräknat enligt 2000 simuleringar (euribor) Tabell 20 Deskriptiv statistik över Vasicek-modellens 95:e kvantil, beräknat enligt 2000 simuleringar (swap) Tabell 21 Deskriptiv statistik över Vasicek-modellens 5:e kvantil, beräknat enligt 2000 simuleringar (euribor)... 83

8 Tabell 22 Deskriptiv statistik över Vasicek-modellens 5:e kvantil, beräknat enligt 2000 simuleringar (swap) FIGURER Figur 1 grafen skildrar olika maturitets räntenoteringar (1 vecka 50 år) under perioden Figur 2 Tvärsnittet formar EURIBOR-Swap avkastningskurvan genom tiden. Y- axeln utgör utvecklingen av Interbank-avkastningskurvan genom tiden, och X-axeln formen av avkastningskurvan. Räntenivåerna mellan maturiteten 12M-3Y kan tänkas vara påverkade av marknadens segmentering, som förklaras i Figur 3 En skildring av realiserad data och en syntetisk andragradspolynom beräknad med hjälp av två realiserade räntor & terminränta Figur 4 Ett enkelt binomialträd för ränteutvecklingen Figur 5 Jämförelse mellan den realiserade avkastningskurvan och Vasicek-kurvan per Figur 6 Exempel på täthetsfunktionen för. Dimensionerna vägvisande. Vi kan se från figuren ovan att ytan sprider sig, vilket simulerar fallet att den bästa gissningen av framtiden vid en given tidpunkt innehåller all information som kan fås från marknaden, och desto längre fram i tiden vi går, desto osäkrare blir gissningen Figur 7 Axeldefinitionerna för Pragmatiska vinkeln Figur 8 Marknadsmodellen: till vänster skildras Marknadsmodellens 90 % täthetsfunktion baserad på 2000 simuleringar genom tiden, till höger visas samma graf inklusive den realiserade utvecklingen av avkastningskurvan Figur 9 Figur 10 RMJBN: till vänster skildras RMJBN:s 90 % täthetsfunktion baserad på 2000 simuleringar genom tiden, till höger visas samma graf inklusive den realiserade utvecklingen av avkastningskurvan Vasicek: till vänster skildras Vasicek-modellens 90 % täthetsfunktion baserad på 2000 simuleringar genom tiden, till höger visas samma graf inklusive den realiserade utvecklingen av avkastningskurvan Figur 11 En sammanställning av de olika konservatism-måtten... 51

9 Figur 12 Figur 13 Graferna visar den relativa avvikelsen från det beräknade medelvärdet för alla räntematuriteter. Den övre grafen innehåller 95:e kvantilen, och den nedre 5:e kvantilen Grafer över KMRB måttet vilket skildrar storleken av avvikelserna från medelvärdet uppdelat enligt räntematuriteter. Den övre grafen innehåller 95:e kvantilen, och den nedre 5:e kvantilen Figur 14 binöu: Figurerna skildrar över- och underskridningar från det tillåtna 90 % intervallet (lika viktade). Den övre grafen innehåller 95:e kvantilen, och den nedre 5:e kvantilen Figur 15 Figur 16 Figur 17 kvadöu: Figurerna skildrar över- och underskridningar från det tillåtna 90 % intervallet (viktade enligt storleken på avvikelsen). Den övre grafen innehåller 95:e kvantilen, och den nedre 5:e kvantilen medöu: Medeltalet, mätt i procentenheter, av avvikelserna från täthetsfunktionen. Den övre grafen innehåller 95:e kvantilen, och den nedre 5:e kvantilen MeT: Den krävda multipeln för att endast 5 % av de realiserade räntenoteringarna skulle falla utanför intervallet. Den övre grafen innehåller 95:e kvantilen, och den nedre 5:e kvantilen Figur 18 Realiserad utveckling av avkastningskurva för diverse tidssteg Figur 19 Ett exempel på en praktisk implementering av räntemodellering inom bankverksamhet. Den övre bilden skildrar hur räntenettot kunde utveckla sig under nästa tre år. Den nedre bilden visar totala räntenettot för en treårs period, och de lägsta och högsta staplarna representerar best case/worst case estimaten. Den röda stapeln betecknar det valda scenariot, och siffervärdena för detta scenario utges mellan bilderna. I analysen gjordes 250 simuleringar med hjälp av RMJBN-räntemodellen. Siffrorna är inte verkliga Figur 20 Marknadsmodell: 10 simulerade ränteutvecklingar av E12M Figur 21 RMJBN: 10 simulerade ränteutvecklingar av E12M Figur 22 Vasicek: 10 simulerade ränteutvecklingar av 12M... 77

10 1 1 INLEDNING Att estimera och värdera framtida händelser innehåller alltid osäkerheten om framtidsutvecklingen. Då framtida kassaflöden som är utsatta för ränterisk värderas med hjälp av diskontering och analyseras genom scenariosimuleringar, tillsätts diskonteringsfaktorer beroende på olika ränteutvecklingar vilka påverkar kassaflödens storlek. En aktiekurs representerar nuvärdet av ett företags diskonterade kommande kassaströmmar, framtida räntenettoestimat av en bank beräknas genom räntebärande posternas differens i balansräkningen som värdesätts med hjälp av syntetiska avkastningskurvor, och räntederivatan värderas likaså genom diskonterandet av framtida kassaströmmar. Alla dessa exempel påverkas av ett centralt mått, nämligen den framtida ränteutvecklingen av olika maturiteter, som används som diskonteringsfaktorer och inom scenariosimuleringar. Räntenivåerna påverkar såväl makro- och mikroekonomin, till och med privatpersoner. Då ekonomer beräknar nuvärdet av tillgångar, värderar obligationer och estimerar framtida räntenetto för banker, används avkastningskurvan 1 (eng. Yield Curve) för diskontering och syntetiska räntenivåer för framtidsberäkningar samt scenariosimuleringar för olika framtida regimutfall. Den nuvarande avkastningskurvan är formad enligt marknadens åsikt om räntornas utveckling med den information som finns till hands under detta ögonblick, emedan bildandet av framtida avkastningskurvor är allt annat än en trivial fråga. Det finns flera olika tankesätt hur utvecklingen av en syntetisk avkastningskurva kan framställas, och dessa sträcker sig från jämviktsläge- och icke-arbitrage antaganden till rena statistiska analysmetoder från historiska data vilka inte förespråkar riskneutralitet i metodologin. Modellerna kan ha flera faktorer eller endast en, och kan framställas parametriskt eller icke-parametriskt. Räntemodellernas vidsträckta värld och den utveckling som skett under snart ett halvt sekel har gett upphov till en mängd av olika modeller, vilka alla kan kategoriseras till sitt eget intresseområde om vad ränteutvecklingen skall användas till. Denna avhandling är intresserad i hur räntemodellering kan användas inom banksektorn för att göra scenariosimuleringar om möjliga framtida regimutfall av världen. För undersökningens syfte jämförs tre olika räntemodeller mot realiserade 1 Även kallad räntornas terminsstruktur

11 2 räntedata genom en aning okonventionell två-stegs metodologi, som innefattar en Monte Carlo-estimeringsdel och en Value at Risk liknande analysdel. Metodologin ger svar på två frågor: 1) vilken modell kan bäst fånga den realiserade ränteutvecklingen innanför sin framställda täthetsfunktion och kan därmed användas för simuleringsändamål, och därigenom 2) vilken modell kan producera godtagbara best case/worst case scenarion om framtida regimutfall med tanke på realiserade utvecklingen (som t.ex. finanskrisen). En av modellerna (RMJBN), estimerad av Rebonato et. al. (2005) är specificerad enligt realvärldens antaganden. Den andra modellen (Marknadsmodellen) som beskrivs i Stanton (1997) använder sig av principalkomponentanalys från historiska data för estimering av kommande avkastningskurvor, och den tredje (Vasicek modellen) härledd i Vasicek (1977) är en reducerad form modell som använder sig endast av den nyaste informationen av data eller historiska utvecklingen av korta räntan för att simulera framtida kurvor. De diversifierade egenskaperna av modellerna motiverar således valet av att använda specifikt dessa tre, då modellerna som undersöks representerar en semiparametrisk, en icke-parametrisk och en en-faktor modell. Vidare är det värt att nämna att avhandlingens empiriska del och den tillhörande metodologin och resultatanalysen i samband med räntemodellering är enligt skribentens kännedom unik och kontribuerar således på den akademiska sidan med ett nytt sätt att undersöka räntemodeller Problemformulering Det förekommer flera modeller för att bygga en avkastningskurva från olika maturitets räntor och estimera framtida, syntetiska former som en avkastningskurva kan ha. Dessa modeller har dock ofta flera brister, det mest nämnvärda det riskneutrala antagandet, vilket gör implementeringen av modellerna besvärligt i riktig företagsverksamhet och resultaten från analyserna måste därmed tas med en nypa salt. Avkastningskurvor används inom bankverksamheten för bl.a. prissättning, nuvärdeberäkningar och i beräknandet av räntenettoestimeringar. För att undvika arbitrage, kan en kurva framställas också genom att gå baklänges i beräkningarna, dvs. via marknadspriser på räntederivatprodukter. Avhandlingen försöker således skilja sig från massan genom att innefatta semiparametriska RMJBN-modellen, vilken enligt tidigare forskning a) generar framtida avkastningskurvor som är konsistenta med historiska genom att använda dessa som stickprov (bootstrapping), b) adderar till

12 3 nuvarande avkastningskurvan deterministiska och stokastiska innovationer och c) introducerar fjäderkonstanter, som replikerar arbitragörers ageranden vid tillfällen då kurvan avkastar onormalt. Efter publiceringen av Rebonato et. al (2005) har endast ett fåtal undersökningar gjorts om modellen, t.ex. Nyholm & Rebonato (2008), även om den klart kunde vara nyttig inom riskhantering. Avhandlingen vill således minska på tröskeln för företag inom branschen att utnyttja modellen inom deras riskhanteringsverksamhet genom att jämföra modellen med andra, mera bekanta modeller så som Vasicek (en-faktor modell)- och Marknadsmodellen (ickeparametrisk), som också är vanliga inom diverse programdrivna kassaströmsmotorer. Avhandlingen är speciellt intresserad av hur dessa modeller kan fånga finanskrisen, vilket är en klar period av anomali i tidsserieutvecklingen av datamaterialet. Krisperioden kommer att inkluderas i de data som jämförs mot de syntetiska ränteutvecklingarna. Det verkliga mervärdet av avhandlingens undersökning är således att överväga huruvida liknande sätt att utveckla framtida scenarier för t.ex. ett företags ränteriskutsatta balansräkning kan användas i beslutsfattandet om kommande projekt, investeringar och skyddsåtgärder. Metoden som används i den kvantitativa delen av undersökningen kan sannerligen tillämpas utan problem som en statisk Value at Risk (VaR) analys i näringslivet. Genom den valda metodologin går det att undersöka specifika, önskade egenskaper av en räntemodell som i fallet av att kraven uppfylls med gott samvete kunde användas inom näringslivet. För avhandlingens syfte borde en god modell kunna fånga en godtagbar mängd av den realiserade utvecklingen av avkastningskurvan med en specificerad sannolikhet, modellen borde kunna producera både låga och höga räntenoteringar för att påvisa regim-förändringsbeteende och simuleringarna borde se realistiska ut för att kunna förklaras genom olika hypoteser om räntornas terminsstruktur (behandlas i teorikapitlet). Dessa krav på en god modell diskuteras dock närmare i metodkapitlet Syfte Avhandlingens syfte är att bestämma vilken av de undersökta räntemodellerna uppfyller bäst de förutbestämda kraven på en god modell, och som därigenom kunde fungera som ett godtagbart hjälpmedel i beslutsfattningsprocessen inom banksektorn.

13 Kontribution Studiens kontribution är tvåfaldig: till den akademiska sidan utvecklar avhandlingen en ny metodologi för granskning av en räntemodells godhet, som sedan kombineras med en unik implementation av Value-at-Risk resultatanalys. Den andra delen av kontributionen riktar sig till näringslivet, vart avhandlingen bidrar med en metod som kan användas för best case/worst case estimat om framtida regimutfall. Dessutom inkluderar avhandlingen den mindre forskade RMJBN-modellen, vilket hämtar ny insyn både till näringslivet och till den akademiska sidan. Till slut skildras även ett verkligt exempel i diskussionskapitlet om hur räntesimuleringarna kan användas i praktiken genom utförandet av en del av avhandlingens metod Avgränsningar Studien avgränsas enligt följande: data hämtas för euribor- och swap-räntor, vilka är referensräntorna för bildandet av Interbank-avkastningskurvor inom Europas banksektor, speciellt i Finland. Avhandlingen avgränsar sig också till att jämföra tre räntemodeller för räntor, där en är mindre undersökt (RMJBN), och de två andra är mer väletablerade modeller inom banksektorn. Tidsintervallet för undersökningen blir ca 11 år, mellan åren För att kringgå onödiga missförstånd, undviks användandet av synonymer bland nyckelbegreppen. Till dessa hör avkastningskurva och räntornas terminsstruktur, varav begreppet avkastningskurva används i denna avhandling (med några undantag relaterade till meningarnas uppbyggd). Då det talas om räntor, syftar begreppet och sammanhängande derivatan av ordet endast till enskilda räntor av diverse maturiteter. Ordet termin används då texten hänvisar till kontrakt för framtida korta räntor (EURIBOR), och forward remitterar till kontrakt för framtida långa räntor (swap) 2. Med ett regimutfall menas en avkastningskurva som utgör marknadens ränteomgivning vid en given tidpunkt. Då ämnet är mycket tekniskt i sin karaktär, har det valts att skriva vissa, mindre betydande delar med tanke på avhandlingens syfte på en mer elementär nivå. Detta görs för att hålla den finansiella signifikansen (dvs. business-värdet) på en hög nivå och den röda tråden löpande genom hela arbetet; den intresserade kan läsa om detaljerna från de refererade källorna men även vissa tekniska delar har inkluderats i Appendix 1. 2 Förklaras grundligare i kapitel 2.1

14 5 Utifrån detta görs ett försök att förklara det mesta med att tangera frågorna med verkligheten och med finansiell intuition Disposition Avhandlingens fortsatta upplägg är följande: kapitlen 2-4 utgör den beskrivande delen av avhandlingen, med en kort beskrivning om räntor (kapitel 2), genomgång av relevant teori (kapitel 3) och tidigare forskning (kapitel 4). Den empiriska delen börjar med en granskning av modellerna som används för estimering (kapitel 5) och sedan presenteras metoden för undersökningen (kapitel 6) varefter datamaterialet granskas (kapitel 7). Den empiriska delen avslutas med framförandet av resultaten (kapitel 8). Efter den empiriska delen diskuteras resultaten och deras signifikans jämförs med den sammanhängande finansiella litteraturen. Dessutom granskas resultaten från synvinkeln av marknadsdeltagaren, och huruvida resultaten från undersökningen kan påverka positivt (negativt) på beslutsfattandet inom näringslivet, speciellt inom banksektorn. Till slut ges förslag på fortsatta intresseområden för undersökning och ett sammandrag av avhandlingen.

15 6 2 BAKGRUND Kapitlet redogör för grundläggande begrepp, hypoteser och teorier som används inom avhandlingen. Förklarningarna ges på en allmänbildande nivå, med syftet att påminna läsaren om centrala begrepp som behövs för att förstå avhandlingens fortsatta innehåll Begrepp EURIBOR-räntor (korta räntor) Euro Interbank Offered Rate (EURIBOR) är räntenivåer med vilka banker ger varandra kredit i eurobelopp (jämför LIBOR med engelska pund). EURIBOR räntorna beräknas utifrån de största europeiska bankernas noteringar kl. 12 finsk tid under bankdagarna. Räntan för en viss maturitet fås genom att räkna ett aritmetiskt medelvärde och frånse 15 % av de högsta och lägsta noteringarna. EURIBOR räntenoteringar ges ut från 1 veckas maturitet upp till 12 månaders maturitet, med antingen 360 eller 365 dagars ränteperiod (Finlands Bank). Oavsett av maturitet, är den givna räntan alltid ett årligt värde, t.ex. en 1 månads ränta med noteringen 1,201 % skulle betyda en effektiv ränta på 0,100 % för en 1 månads tidsperiod och en årlig effektiv ränta på 1,208 % med 12 betalningar/år 3. Detta kan jämföras med en 12 månaders ränta på 2,032 %, vilket betyder en effektiv ränta på 0,169 % för en 1 månads tidsperiod och en årlig effektiv ränta på 2,051 % med 12 st. månatliga betalningar 4. I avhandlingen refereras korta räntor med förkortningen ExM där x motsvarar maturitet mätt i månader, t.ex. E12M betyder Euribor 12 månader SWAP-räntor (långa räntor) Ett swapkontrakt är per definition ett utbyte av kassaströmmar. Swap-räntor definieras som kontrakt där en flytande ränta, oftast 6 månaders EURIBOR byts ut mot en fast ränta, med en maturitet upp till 50 år. Swap-räntekontrakt har ingen principalbetalning, dvs. det enda utbyte av pengar som sker är räntebetalningarna, och deras storlek bestäms av det nominella värdet av kontraktet. Alla räntenoteringar på marknaden som är över 12 månader är de facto swap-räntor och lika som med 3 Givetvis skulle noteringen fluktuera varje månad 4 Noteringarna är per , effektiva räntorna beräknade med 30/360 dagsbasis. Effektiva årliga räntan är högre p.g.a. ränta på ränta effekten.

16 7 EURIBOR-räntorna, är noteringarna årliga. Långa räntorna refereras till som SyY var y är maturitet mätt i år Räntekurva och avkastningskurva Denna avhandling fokuserar sig starkt på räntor och avkastningskurvor, vilket gör det viktigt att utförligt förklara vad skillnaden mellan en räntekurva och en avkastningskurva är. En räntekurva formas från en viss maturitets ränteutveckling genom tiden. Den kurva som formas innehåller således den historiska utvecklingen av en viss maturitets ränta: Figur 1 grafen skildrar olika maturitets räntenoteringar (1 vecka 50 år) under perioden Räntekurvan kan även formas med hjälp av terminer eller forward, som i så fall visar en räntas framtida utveckling enligt marknadskonsensus vid tidpunkt. En avkastningskurva (eng. Yield Curve) är en sammanställning av olika maturiteters räntenivåer vid en viss tidpunkt 5. Den kurva som formas innehåller således diskonteringsfaktorerna vid en given tidpunkt. 5 Kallas även räntornas terminsstruktur

17 8 Figur 2 Tvärsnittet formar EURIBOR-Swap avkastningskurvan genom tiden. Y-axeln utgör utvecklingen av Interbank-avkastningskurvan genom tiden, och X-axeln formen av avkastningskurvan. Räntenivåerna mellan maturiteten 12M-3Y kan tänkas vara påverkade av marknadens segmentering, som förklaras i Avkastningskurvor kan formas med diverse instrument, som t.ex. EURIBOR-swap räntor (Interbank-avkastningskurvan). Detta kan tas ett steg vidare och via räntenoteringarna härleda nollkupongavkastningskurvan. Denna kurva innehåller diskonteringsfaktorerna som används för nuvärdeberäkning av framtida kassaströmmar Riskneutralitet och icke-arbitrage argumentet Icke-arbitrage argumentet och det riskneutrala antagandet betingat av icke-arbitrage argumentet kommer att diskuteras som följande, då dessa är grundläggande ramar inom populära räntemodeller och finansiell matematik. Det måste klargöras att denna underrubrik kunde diskuteras om i längd, emedan inom ramarna av avhandlingens syfte räcker endast en formell beskrivning av begreppen och ämnet behandlas kort

18 9 genom att tangera idéerna med avhandlingens syfte. Den intresserade kan läsa mera om dessa spelramar i t.ex. Bingham & Kiesel (2004), Brigo & Mercurio (2006) eller Joshi (2007). Icke-arbitrage argumentet lyder att det är omöjligt att investera noll idag och erhålla imorgon en icke-negativ summa med en positiv sannolikhet. Med andra ord, kan två portföljer med samma framtida betalning inte vara värderade olika från varandra idag. (Brigo & Mercurio, 2006) Inom dessa spelramar är det självklart att våra preferenser och subjektiva åsikter spelar ingen roll; det lyder följaktligen att vi prefererar mera till mindre, och att en ökning i konsumtionsmöjligheter måste bli betald på något sätt. (Bingham & Kiesel, 2004) För att tangera detta till räntor, kan vi t.ex. inte låna ut pengar idag för en löptid på 12 månader, så att räntebetalningen E6M+ skulle vara olika från att låna ut pengar för E12M. Vi kan tänka oss att våra beslut är beroende av informationen idag enligt, var beslutsuppställningen är en vektor av alla ekvivalenta beslut vi kan göra (med samma slutbetalning) med den information vi har vid en specifik tidpunkt. Därmed är vi indifferenta vid tidpunkt hur vi uppställer räntebetalningarna, då utfallen vid är det samma. Speciellt inom räntor, börjar problemen förekomma med beslut vid, dvs. ett steg framåt i tiden. Vi har ny information men vi är inte längre indifferenta mellan olika nya beslut, då besluten som gjordes vid en tidigare tidpunkt fortsätter att påverka framtida kassaflöden, dvs.. Den realiserade ränteutvecklingen för E6M kanske inte gick som terminräntan hade prognostiserat vid, vilket har satt utlånaren i en position där hon t.ex. har inlånat för E6M och utlånat med E12M, där E6M vid återställs till en lägre ränta än vad hade prognostiserat. Personen får ren arbitrage från skillnaden mellan räntenivåerna, då inlåningen kostade mindre än vad utlåningen betalade in. Beskrivningens syfte är att få läsaren att förstå att ingenting är så svart och vitt som teorin får en att tro: inom näringslivet är den aggregerade utfallen alltid betingad av tidigare beslut. Ett exempel på detta fenomen visas med verklig marknadsdata i nästa kapitel. Den naturliga följden av en diskussion om icke-arbitrage argumentet är att ta itu med riskneutral värdering. Kanske det lättaste sättet att förklara riskneutralitet är genom att analysera en arbiträr tidsserie med en stokastisk process. Om vi tar en tidsserie av t.ex. en ränta, kan vi reducera förändringarna som sker på räntenivån genom tiden till två komponenter: driften och volatiliteten. Genom att extrahera volatiliteten och

19 10 driftkomponenten kan en enkel framtidssimulering göras för räntans utveckling. Detta kan kallas för en reell risk simulering. En riskneutral simulering skulle innefatta att driftkomponenten byts ut mot en riskfri räntas drift (och inte den som extraherades från tidsserien) medan volatiliteten hålls samma. Ett exempel på hur förflyttningen till riskneutralitet sker i kontinuerlig tid visas i Appendix 1. I praktiken används detta allt jämnt, för t.ex. beräkning av teoretiska optionsvärden, emedan det skall kommas ihåg att riskneutral värdering är giltig endast om hedging kan användas för att eliminera all risk. (Wilmott, 2007) En av de mest kända teorier inom finansiell ekonomi, Black & Scholes optionsvärdering, är baserad på riskneutral värdering.

20 11 3 HYPOTESER OM RÄNTORNAS TERMINSSTRUKTUR De tre centrala beskrivningarna som presenteras om räntornas terminsstruktur kan enligt avhandlingens skribent inte kategoriseras som teorier vilket är kutym, utan snarare induktiva kausala samband validerade genom allmän inferens och undersökningar med låga förklaringsgrader (Martellini;Priaulet;& Priaulet, 2004). En teori skall per definition uppfylla två krav inom vetenskaplig filosofi: att den är falsifierbar och att den har bekräftats genom en undersökning eller observation (Popper, 1963). En teori är falsifierbar om och endast om den kan bevisas vara falsk. Induktiva slutsatser kategoriseras allt för lätt som teorier, vilket försvagar begreppets betydelse speciellt inom socialvetenskap och finansiell teoretisering. Beskrivningarna som genomgås är dock allmänt accepterade, ger intuition och refereras utmattande mycket till, vilket giltigförklarar deras presentation i avhandlingen Tre centrala beskrivningar om terminsstruktur Till följande presenteras tre centrala och allmänna hypoteser, som alla ger ett svar på frågan: varför ser avkastningskurvan ut som det gör? Ifall marknadsdeltagare och allmänna publiken vore indifferenta till pengarnas tidsvärde 6, skulle avkastningskurvan vara snarare en horisontell linje då terminsstrukturen av räntorna skulle hållas oförändrad från maturitet till maturitet 7. Även om avhandlingens syfte är att estimera och undersöka framtida avkastningskurvor, förklarar dessa hypoteser varför räntemodellerna behövs över huvud taget, då realiserade avkastningskurvor tenderar att ha specifika karaktärsdrag som de estimerade kurvorna måste innehålla och modellera. En naiv kalkyl görs utifrån marknadsdata, vilket används som ett exempel för konkretiserandet av hypoteserna. Då avhandlingen är intresserad av att fånga dynamiken av realvärlden och inte simplifierade versioner av den vilka innehåller antaganden som riskneutralitet och dylikt fungerar det naiva exemplet som en valideringsmetod för behovet för mer verklighetstrogna räntemodeller Ren förväntningshypotes Den rena förväntningshypotesen påstår att avkastningskurvan vid vilken arbiträr tidpunkt som helst reflekterar förväntningarna på framtida korta räntor. Riktningen av 6 Konsumera/spara idag eller i framtiden? 7 Vilket skulle effektivt slopa all signifikans av avhandlingens forskningsfråga

21 12 kurvan återspeglar således marknadens förväntningar av framtida korta räntors utveckling. Förväntningarna formuleras enligt all tillgänglig information, vilket hjälper marknadsdeltagarna att avgöra deras position på kurvan och således påverkar deras agerande noteringarna på långa räntorna. Förväntningarna är i genomsnitt korrekt och termin- och forwardkontrakten tenderar att konvergera mot spot-prisen desto närmare startdatumet kontraktet kommer, vilket leder till att framtida korta räntor motsvarar terminräntenoteringarna. (Martellini;Priaulet;& Priaulet, 2004) Hypotesen påstår således för undvikandet av arbitrage att det skall vara lika lukrativt att investera vid tidpunkt för en tidsperiod av n, som att investera vid tidpunkt för mindre perioder som tidsmässigt summeras till n. Formellt, låt [( ) ( ) ( ) ( )] där är nuvarande noteringen med maturitet n år vid tidpunkt t är en framtida kort räntenotering med maturitet 1 år, som förväntad av marknaden vid tidpunkt t, med startdatum. Ett exempel dock med vissa antaganden och icke-signifikanta resultat från en statistisk synvinkel vore att se hur detta relaterar sig till verklig data. Noteringen för E6M vid datum var 1,701 %, och för E12M 2,141 %. Genom att beräkna 8 och sedan konvertera till ett jämförbart värde (årlig 9 ) och jämföra noteringarna per Beräkningen antar en (1) betalning 9 Som det redan nämndes tidigare, är marknadsnoteringarna alltid för ett (1) år

22 13 Värde Skillnad (% -enheter) 6M 1,701 % 1,688 % -0,013 % 2,583 % -0,895 % 10 12M 2,141 % (2,032 %) (-0,109 %) 2,141 % * 2,141 % * 1,694 % Tabell 1 Jämförelse mellan räntor vid olika tidpunkter och en syntetisk terminränta Figur 3 En skildring av realiserad data och en syntetisk andragradspolynom beräknad med hjälp av två realiserade räntor & terminränta Exemplet påvisar att genom ett slumpmässigt val av datapunkter, håller denna hypotes inte: skillnaden mellan den beräknade terminräntan och realiserade räntan under olika tidpunkter, men för samma startdatum är -0,895 % -enheter. Ifall en marknadsdeltagare hade investerat vid tidpunkt med E6M för 1,701 %, och vid tidpunkt igen med E6M för realiserade värdet 1,688 %, hade totala avkastningen varit 1,694 %, dvs. -0,447 % -enheter lägre Spekuleringar kunde göras om den lägre avkastningen är en kompensation för likviditetsrisk. Några slutsatser kan dock inte göras utan en noggrannare analys vilket faller utanför avhandlingens syfte emedan detta gav en god introduktion till nästa hypotes som presenteras. Den naiva analysen 10 Skillnaden mellan terminen och noteringen för E6M per Icke-arbitrage argumentet hölls således inte i detta exempel, och banker som lånar pengar med E12M har de facto gjort arbitragevinst redan en längre tid. 12 För en låntagare skulle bindandet till en E12M varit klart olönsammare än till E6M+E6M

23 14 väcker emellertid en intressant fråga om huruvida räntemodeller som använder sig av terminräntor som basdata kan effektivt förutspå avkastningskurvans framtida utveckling Rena riskpremiehypoteser Tills vidare har det antagits att investerare är riskneutrala, dvs. de vill endast maximera sin avkastning och har alltid korrekta förväntningar. Det naiva exemplet visade dock att detta måhända inte är alltid fallet, och det finns risk både att binda sig till långa och korta räntor, samt i terminer och forward-räntor. Enligt riskpremie-hypoteserna reflekterar avkastningskurvan således riskpremierna som krävs av marknaden för att hålla en position för en viss maturitet (Martellini;Priaulet;& Priaulet, 2004). Det förekommer två populära fall inom riskpremie-hypoteser och ett tillämpat fall: Likviditetspremie Premiet ökar med maturiteten i en minskande proportion 13, och marknaden är villig att handla långa räntor p.g.a. att premiet kompenserar den ökade volatiliteten 14 (Martellini;Priaulet;& Priaulet, 2004). Låt [( ) ] där är det krävda likviditetspremiet av marknaden för att investera i en obligation med maturitet om k år,,. Hypotesen beaktar marknadsdeltagarnas aversion mot korta fluktuationer i tillgångspriserna och deras likviditetspreferens. Hypotesen kan dock inte förklara nedåtgående kurvor eller knölar i kurvorna 15, samt återinvesteringsrisk. (Martellini;Priaulet;& Priaulet, 2004) 13 Jämför med att en avkastningskurva är ofta flatare i långa ändan än i korta 14 Förändringarna i räntenivåerna och premierna tar ut varandra, vilket ger illusionen av mindre volatilitet 15 Jämför med Figur 2, sid 7

24 15 Om vi fortsätter med exemplet från förväntningshypotesen, representerade skillnaden mellan en position i E12M och E6M+E6M inom samma tidshorisont (0,447 % - enheter) likviditetspremiet, dvs. en marknadsdeltagare blev kompenserad 45 räntepunkter för att hon lät sin position vara illikvid en längre tid. Denna hypotes kan således ge en förklarning till att varför terminräntan och den realiserade räntan inte stämde överens med varandra Föredragen lokal (preferred habitat) Hypotesen ökar på premisserna från likviditetspremie-hypotesen med att riskpremien inte är likartat ökande. Hypotesen menar att marknadsaktörerna inte vill likvidera sina investeringar så snabbt som möjligt, utan deras investeringshorisont beror på naturen av deras skulder. Således kan långivare och låntagare möta vid olika maturitetpunkter på avkastningskurvan där efterfrågan och utbudet av en notering per maturitet inte är i jämvikt. Som kompensation av detta byte av föredragen lokal, förväntar sig motparten en riskpremie vilket kompenserar pris- eller återinvesteringsriskaversionen (Martellini;Priaulet;& Priaulet, 2004). Det naiva exemplet skildrar denna förklarning i och med att E12M positionen avkastade 45 räntepunkter mera, vilket skulle kompensera återinvesteringsrisken i en position med E6M+E6M. Detta håller också på en intuitiv nivå, då marknadsläget är mycket ostabil i skrivande stund, och banker litar inte på varandra i samma drag som förut Partisk förväntningshypotes Hypotesen är en kombination av den rena förväntningshypotesen och riskpremiehypotesen. Enligt hypotesen reflekterar räntornas terminsstruktur förväntningarna av framtida räntenivåer och likviditetspremier som ändras över tiden (Martellini;Priaulet;& Priaulet, 2004). Således kan alla former av kurvan förklaras: [( ) ] Det går enkelt att se hur ekvationen är en kombination av ekvationerna (3.1) och (3.2). 16 Terminräntan skulle säkerligen ha konvergerat mot spot-priset desto närmare startdatumet den kom

25 16 Den partiska förväntningshypotesen kan följaktligen förklara skillnaderna i räntenivåerna inom det naiva exemplet som det krävda likviditetspremiet Marknadssegmentering Segmenteringshypotesen menar att investerare kan kategoriseras så att vissa investerar endast inom ett visst segment och vissa i andra segment på avkastningskurvan i enlighet med deras skuldförbindelser. På grund av att två olika typer av investeraren, nämligen kommersiella banker och pensionsfonder utgör den mest aktiva delen av marknadsdeltagaren, antas det att deras ageranden tynger ner alla andras signifikans. Bankerna investerar med en kort horisont och pensionsfonderna med en lång horisont, och avkastningskurvan formas enligt utbudet och efterfrågan på den korta och långa obligationsmarknaden (Martellini;Priaulet;& Priaulet, 2004). Avkastningskurvans korta ända är mer volatil än den långa 17, och hypotesen förklarar detta med att banker emitterar obligationer på marknaden under högkonjunkturer för att möta företagens och privatpersonernas efterfråga av lån, vilket ökar på korta räntenivåerna jämfört med långa räntorna. Under lågkonjunkturer betalar företagen och privatpersonerna deras lån tillbaka, vilket bankerna sedan investerar i korta obligationer. Med den ökade investeringstakten faller avkastningsnivåerna för korta obligationerna. Problematiken inom hypotesen är givetvis det generaliserade antagandet om hur företag och privatpersoner agerar (Martellini;Priaulet;& Priaulet, 2004). I Figur 2 kan den mera betonade segmenteringen ses i de nyare avkastningskurvorna mellan 12M-2Y, då kurvan gör en stark svacka ner. Det kan hypotiseras att likviditeten har försvunnit från E12M, och handeln har aktiverat sig i kortare ändan av avkastningskurvan (E1M-E6M), då bankernas tillit mellan varandra är låg i skrivande stund och risken att binda sig för en längre tid överskuggar nyttan att få en högre avkastning. Pensionsfonderna koncentrerar sin handel på den längre ändan av kurvan, vilket lämnar noteringen för E12M maturiteten så gott som oförändrad. För att återkomma till det naiva exemplet, kan det påstås att räntenoteringarna är påverkade av lågkonjunkturen som pågår under skrivande stund. Exemplet visar att marknaden har förväntat att E6M skulle öka, vilket den de facto inte har, dvs. enligt avkastningskurvan borde det makroekonomiska läget ha förbättras i en snabbare takt än vad realiserat. Banker har fortsättningsvis köpt korta obligationer för att få 17 Detta går enkelt att validera med att se på historiska marknadsdata

26 17 avkastning på sitt kapital i stället för att ha lånat ut kapital till allmänheten, vilket har följaktligen hållit räntenivåerna låga och förväntningarna vid möttes inte Diskussion om hypoteserna Som det redan nämndes i inledningen av kapitlet, kan dessa hypoteser enligt avhandlingens skribent inte klassificeras med gott samvete som teorier då de flesta påståenden falsifierades redan genom det naiva exemplet, och det var enkelt att finna en förklaring för falsifikationen i de resterande hypoteserna 18. Enligt vetenskaplig intuition är hypoteserna närmare referensramar för att hjälpa tankegången för marknadsaktiva att kunna forma bildade åsikter om marknadsläget och använda dessa som hjälpmedel för beslutsfattande. Denna punkt validerar emellertid genomgången av referensramarna i avhandlingen och deras betydelse inom finansiell ekonomi. Martellini et. al. (2004) konkluderar att alla undersökningar gjorda om hypotesernas hållbarhet på den amerikanska marknaden innehåller följande karakteristika: 1) det finns bevis på en positiv riskpremie vilket minskar i proportion desto längre maturiteten är, 2) att en riskpremie inte är konstant över tiden vilket gör att en förändring i formen av avkastningskurvan inte behöver ha ett samband med förändrade förväntningar, 3) marknadsförväntningarna verkar ha ett samband med räntornas terminsstruktur och 4) resultaten från undersökningarna har låga förklaringsgrad. Syftet med filosoferandet är således att upplysa läsaren om a) det övergreppande problemet om diverse antaganden som görs inom modellestimering vilka baseras på liknande teorier, och b) validera kontributionen av avhandlingens undersökning utan behovet av en djupgående matematisk analys i och med att likartade antaganden minimeras i avhandlingens centrala estimeringsmetod Olika former av avkastningskurvan Nedan ges en tabell av olika former av avkastningskurvan kan ha, och en sammanfattning om hur de presenterade hypoteserna förklarar dessa former. Tabellen är återskapad enligt Martellini et. al. (2004): 18 Jämför med t.ex. Freudianskt förklarande om människans beteendemönster

27 18 Typ av kurva Ren förväntning Riskpremie Partisk förväntning Marknadssegmentering Kvasihorisontell Marknaden förväntar en mild ökning i räntor Premiet ökar med maturitet i en minskande proportion Marknaden förväntar stabila räntenivåer, riskpremie ökar med maturitet i en minskande proportion Bankerna har en aning mera kapital att investera än pensionsfonderna Växande Marknaden förväntar en stark ökning i räntor Premierna ökar med maturitet Marknaden förväntar en stark ökning i räntor, riskpremie ökar med maturitet med en minskande proportion Bankerna har mycket mera kapital att investera än pensionsfonderna Fallande Marknaden förväntar en stark nedgång i räntor Likviditetspremiet kan inte förklara, enligt Föredragen lokal minskar premiet med maturitet Marknaden förväntar en stark nedgång i räntor, riskpremie ökar med maturitet i en minskande proportion Bankerna har mycket mindre kapital att investera än pensionsfonderna Knöl Marknaden förväntar först en ökning/nedgång i räntor, och sedan en nedgång/ökning i räntor Likv. premiet kan inte förklara, enligt Föredragen lokal ökar/minskar premiet med maturitet, och sedan minskar/ökar med maturitet Marknaden förväntar en nedgång och sedan (kanske) en ökning i räntor, premiet ökar med maturitet i en minskande proportion Tabell 2 En sammanfattning av hur de olika hypoteserna förklarar olika former av avkastningskurvan Bankerna och pensionsfonderna har lika mycket kapital att investera, investeringssegmenten är isär 3.2. Modellering av dynamiken i avkastningskurvan I föregående avsnitt riktade sig diskussionen till varför avkastningskurvan (räntornas terminsstruktur) ser ut som den gör, emedan forskningen har inte endast begränsat sig till att inferera orsak-verkan förhållanden inom detta ämne. Till följande presenteras allmänna metoder för att kunna modellera dessa egenskaper av avkastningskurvan. De ramverk som presenteras för modellering av avkastningskurvans dynamik har som syfte att låta läsaren endast bli bekant med dessa, då en grundlig teoretisk genomgång faller utanför avhandlingens syfte. Idén med genomgången är således att läsaren kan lättare tangera avhandlingens undersökta modeller med dessa ramverk och få en klarare helhetsbild av räntemodellernas vidsträckta värld. Till skillnad från föregående genomgång av hypoteserna, inkluderas inte ett praktiskt exempel om räntemodellering i detta avsnitt, utan den praktiska skildringen görs i avhandlingens diskussionskapitel. För en kort introduktion om stokastiska differentialekvationer kan läsaren hoppa till avhandlingens Appendix 1.

28 Binomialträdet i räntemodellering Lättaste sättet att modellera en ränteutveckling är givetvis med hjälp av ett binomialträd. Idén går ut på att en ränta endast kan ha två möjliga utfall i nästa period, en lägre, och en högre. Både steget uppåt ( ) och steget neråt ( ) har en 0,5 sannolikhet för att ske. Märk väl att osv. Figur 4 Ett enkelt binomialträd för ränteutvecklingen Vi kan se att i period, kan räntan anta värden 19 med sannolikheten ( ) ( ) där, att ett steg uppnås ( antal steg uppåt, antal steg neråt i steg). Denna slumpmässiga vandring av kan beskrivas som, eller mera generellt som där : förändringen i korta räntan över en period : tidsförändringen från en period till en annan : absoluta förändringen i korta räntan per tidsenhet : standardavvikelsen av absoluta förändringen i korta räntan per tidsenhet 19 t.ex. i period 3 kan nås både uppifrån och nerifrån = 4 värden totalt

29 20 : oberoende Bernoulli-fördelade variabler som kan anta värdet eller med lika sannolikhet. Binomialfördelningen konvergerar mot en Gaussisk fördelning då mängden tidssteg ökar. Då går mot noll - dvs. när tidsinkrementet blir oändligt liten (gränsvärdet av föregående ekvation) görs en förflyttning från diskret tid till kontinuerlig tid. (Martellini, Priaulet, & Priaulet, 2004) Stokastiska differentialekvationer förklaras närmare i Appendix Modeller i kontinuerlig tid Denna grupp av modeller modellerar räntefluktuationer via en en-dimensionell diffusion inom icke-arbitrage ramverket 20 eller inom ett jämviktsläge 21, med startpunkten beräknad från spot-räntorna vid tidpunkt. Diffusionen tillsätts således för hela avkastningskurvan på spot-räntorna och kallas för en-faktor modeller. (Brigo & Mercurio, 2006) Detta kan vara ett farligt sätt att modellera avkastningskurvans utveckling för längre tidsperioder, då a) diffusionen är beroende av en arbiträr tidpunkt varav ett tvärsnitt av spot-räntorna togs eller b) modellen är endast beroende av hur korta räntan har utvecklats under en given tidsserie. Modellerna innefattar en riskneutral diffusion, som oftast beskrivs av en Itô process Till dessa modeller hör t.ex. den undersökta Vasicek-modellen och Cox Ingersoll Ross (CIR) modellen, 20 Syftar till att en avkastningskurva definieras som input för modelleringen (Hull, 2003) 21 Syftar till att vissa antaganden görs beträffande ekonomiska variabler från vilket en process för den korta räntan fås, och sedan undersöks vad processen implicerar om obligationspriser och optionspriser (Hull, 2003)

30 21 (kvadratroten implicerar att ränteutvecklingen inte kan bli negativ) där drift standardavvikelse kort ränta Dessa modeller implicerar att alla räntematuriteter rör sig i samma riktning över en kort tidsinterval, emedan fluktuationerna kan vara av olika storlek. (Hull, 2003) Vidare finns det modeller som Dothan-modellen, Rendleman & Bartter modellen och den exponentiella Vasicek-modellen. Ifall korta räntorna härleds som en funktion av alla drivande diffusionskomponenter, sägs modellerna vara multi-faktor modeller. Multifaktor modeller innehar ett mer realistiskt ramverk angående korrelationen och volatilitetsstrukturen av ränteutvecklingen genom hela avkastningskurvan. (Brigo & Mercurio, 2006) Modeller som hör till denna grupp är bl.a. två-faktor CIR modellen och Brennan & Schwartz-modellen. HJM- (Heath-Jarrow-Morton) ramverket kan anses tillfredsställa de ränteteoretiska kraven och fungerar således innanför icke-arbitrage argumentet. Ramverket är baserat på att modellera hela avkastningskurvan som en utveckling av ett binomialträd system. Genom att använda forward räntor som basdata tillfredsställer avkastningskurvans utveckling icke-arbitrage förhållandet för den stokastiska utvecklingen. (Brigo & Mercurio, 2006) Marknadsmodeller Denna grupp av modeller är mycket populära och är vid skrivande stund den mest undersökta gruppen bland de olika estimeringsmetoderna. Populäriteten härstammar sig från att de två undergrupperna, den lognormala forward-libor (LFM) modellen används för att prissätta optionstak med Black s ekvation för optionstak, och den lognormala forward-swap (LSM) modellen används för att prissätta swaptioner med Black s swaption 22 ekvation. (Brigo & Mercurio, 2006) Intressant nog, är LFM och LSM inte kompatibla med varandra: ifall forward LIBOR räntorna är lognormala under 22 en swaption är ett swap-kontrakt med ett inbakat optionskontrakt