Trafiksimulering: Grafalgoritmer
|
|
- Per Axelsson
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 1 (38) Trafiksimulering: Grafalgoritmer Michael Hanke Skolan för teknikvetenskap SF1538 Projekt i simuleringsteknik
2 2 (38) Introduktion Varför grafalgoritmer? Grafer möjliggör en enkel och systematisk modellering av många avancerade problem Många problem kan lösas genom algoritmer på grafer
3 3 (38) Exempel: Trafiksimulering Ni kan modellera enkla (enkelriktade) vägar: Makroskopiskt med hjälp av konserveringslagar (senare i denna kurs) Mikroskopiskt med hjälp av cellulära automater (i kursen SI1335) Hur kan man modellera ett vägnät? (Anpassade) grafer
4 4 (38) Andra tillämpningar Elektriska kretsar (MNA-analys; vissa analytiska egenskaper kan karakteriseras genom grafegenskaper) Kraftnät (lastfördelning, styrningsproblem) Paketdirigering (routning) i internet och GSM Hantering av ostrukturerade nät för lösning av partiella differentialekvationer Algoritmer för glesa matriser Lastfördelning för parallella algoritmer
5 5 (38) Vad är en graf? Definition En riktad graf är ett par (V, E) där V är en ändlig mängd noder och E V V är mängden av kanter. En oriktad graf är ett par (V, E) där V är en ändlig mängd noder och E = {{u, v} u, v V }. För trafiksimuleringar: Noder är viktiga punker i trafiknätet, oftast korsningar men även städer etc. En kant är en väg mellan två noder.
6 6 (38) Viktad graf Definition En viktad graf är en trippel (V, E, w) där (V, E) är en graf och w : E R är en viktsfunktion. Anmärkningar: Viktfunktionen beskriver viktiga attribut. T ex kantlängden. Viktfunktioner kan även innehäller flera attribut så att w(e) kan vara en vektor. Det är helt möjligt att ha en viktfunktion r definerad på noderna: r : V R.
7 7 (38) Flera definitioner Definition En väg från en nod v till en nod u är en följd v 0, v 1,..., v k av noder v i V där v = v 0 och u = v k så att (v i 1, v i ) E ({v i 1, v i } E) för i = 1,..., k. En väg v 0, v 1,..., v k är en cycel om v 0 = v k En graf är sammanhängande om det finns minst en väg mellan varje par av noder. En delgraf (V, E ) av (V, E) är en graf med V V and E E V V. Grannarna till noden v V är all u V med (v, u) E.
8 8 (38) Representation av grafer: Grannmatriser Definition Grannmatrisen A R N N till grafen (V, E) med noderna V = {v 1, v 2,..., v N } är { 1, if (v i, v j ) E, a ij = 0, annars.
9 9 (38) Anmärkningar Grannmatrisen för en oriktad graf är symmetrisk. För en viktad graf definerar vi den viktade grannmatrisen w(v i, v j ), om (v i, v j ) E, a ij = 0, om i = j,, annars. På datorn identifieras oftast v i med i.
10 10 (38) Representation av grafer: Implementering Definition En graf kallas för gles om antalet kanter är mycket mindre än kvadraten på antalet noder. Om grafen är inte gles kan grannmatrisen implementeras genom en array. Om grafen är gles använder man vanligtvis en (länkad) lista: För varje v V är grannlistan Adj[v] = {u V (v, u) E}. Matlab använder internt listor för att spara glesa matriser!
11 11 (38) Olika grafalgoritmer Beräkning av den Snabbaste vägen (Shortest path) Beräkning av en Minimalt uppspännande träd (MST) Beräkning av sammanhängande komponenter Beräkning av transitiv slutning Beräkning av en maximal oberoende mängd (MIS) Grafpartitionering
12 12 (38) Shortest path: Problem Problem Låt (V, E, e) vara en viktad graf och s, t V två (olika) noder. Bestäm en väg mellan s och t så att summan av alla kantvikter längs vägen är minimal bland alla vägar mellan s och t. Vi antar att grafen är sammanhängande. Vi antar att w(e) > 0 för alla kanter e E. (Varför?) Generaliseringar Single source shortest path Kortaste vägen mellan alla par av noder (Floyd)
13 13 (38) Shortest path: Dijkstras algoritm Grundidén består i att bestämma avståndet (kortaste vägen) från startnoden till varje nod i grafen. Det gör man successivt: Först bestämmer man avståndet från startpunkten till alla grannar. Sedan väljer man noden med minsta avståndet till startnoden. Sedan uppdateras avståndet mellan valda noden och alla dessa grannar. Sedan väljer man igen noden med minsta avståndet etc.
14 14 (38) Dijkstras algoritm 1 Låt B = {s}. Sätt g(v) = A(s, v) för alla v V \ B. 2 Välj en nod a V \ B med minimalt avstånd (dvs g(a) = min v V \B g(v)). B := B {a}. 3 Om a = t stop. 4 Uppdatera avståndet för alla grannoder till a: Om v V \ B och (a, v) E så sätt g(v) = min(g(v), g(a) + A(a, v)). 5 Gå till 2.
15 Exempel Bestäm den kortaste vägen från Frankfurt till München! (Alla bilder tagna från de.wikipedia.org) 15 (38)
16 Exempel (cont) 16 (38)
17 Exempel (cont) 17 (38)
18 Exempel (cont) 18 (38)
19 Exempel (cont) 19 (38)
20 Exempel (cont) 20 (38)
21 Exempel (cont) 21 (38)
22 Exempel (cont) 22 (38)
23 Exempel (cont) 23 (38)
24 Exempel (cont) 24 (38)
25 25 (38) Bestäm den kortaste vägen Låt p(v) vara föregångare till v på den kortaste vägen. 1 Låt B = {s}, p(s) = 0. Sätt g(v) = A(s, v) för alla v V \ B. 2 Välj en nod a V \ B med minimalt avstånd (dvs g(a) = min v V \B g(v)). B := B {a}. 3 Om a = t stop. 4 Uppdatera avståndet för alla grannoder till a: Om v V \ B och (a, v) E och g(v) > g(a) + A(a, v) så sätt g(v) = g(a) + A(a, v) och p(v) = a. 5 Gå till 2.
26 26 (38) Komplexitet Stegen 2-5 görs högst n = V gånger. Kritiskt är steg 2 och 4: Om datastrukturen är inte anpassad till problemet så kräver båda stegen O(n) jämförelser (hitta alla v V \ B och beräkna mimimum). Det leder till en komplexitet O(n 2 )! En implementation med hjälp av Fibonacci heap (speciell implementation av en prioritetskö (priority queue)) får man komplexiteten O(n log n + E ).
27 27 (38) Grafpartitionering Om man vill lösa stora och komplexa problem måste man använda parallella beräkningar Exempel: Detaljerad undersökning av stora vägnät (storstäder eller hela landet) Numeriska metoder för tredimensionella turbulenta flödesproblem
28 28 (38) PDCs stora dator Cray XT6m Computer at KTH PDC (36384 cores, 237 TFlops)
29 29 (38) Generisk datorstruktur A collection of P processor-memory pairs Processors communicate over the interconnect We might not know what the interconnects look like Problem All processors should have the same amount of computational work to do. Communication should be minimized ( unproductive work )
30 30 (38) Lastbalansering som grafproblem Problem Låt (V, E, w, r) vara en viktad oriktad graf med kantvikt w och nodvikt r. P-vägs grafpartitioneringsproblem är att bestämma en partition V = V 1 V 2 V P där V p är parvis disjunkta och v V p r(v) = const, (u,v) E,u V p,v V q(p q) w(u, v) min! Problemet är NP-fullständigt. Tolkning: r motsvarar antalet beräkningar som processorn p V ska göra. w motsvarar kommunikationskostnader mellan processorerna.
31 31 (38) Recursiv bisection Antag att P är en potens av två. Beräkna rekursivt två-vägs partitioneringar. Egenskaper: Problemet är också NP-fullständigt. För många grafer leder recursive bisection till en nästan optimal P-vägs partitionering. Recursive bisection kan effektivt parallelliseras!
32 32 (38) Partitineringsmetoder Geometriska metoder Kombinatoriska metoder Spektralmetoder Multilevelmetoder Kombinerade metoder Antag nedan att w(u, v) 1, r(v) 1.
33 33 (38) Levelized Nested Dissection Välj en startnod v Hitta successivt alla noder som har avståndet 1, 2,... från v. Om halva antalet noder har funnits, stop. Egenskaper: Väldigt snabb algoritm (breadth first traversing) Ger oftast bara dåliga partitioneringar. Därför gör man flera försök (med olika startnoder).
34 Spectral bisection 34 (38)
35 35 (38) Idé: Ersätt det diskreta optimeringsproblemet med ett kontinuerligt. För grafen (V, G) definerar vi den diskreta Laplacematrisen L: 1, om i j, (v i, v j ) E, l ij = deg(v i ), om i = j, 0, annars. L är negativt semidefinit, det största egenvärdet är 0. Om grafen är sammanhängande så är storleken på det andra egenvärdet en indikator för hur stark konnektiviteten i grafen är. Eigenvektorn x tillhörande till näststörsta egenvärdet (Fiedler-vektor) är ett mått på avståndet mellan noderna. Bisection: Bestäm medianen m av x; sätt V 1 = {i x(i) > m}, V 2 = V \V 1. Beräkning av x är kostsamt.
36 Exempel: Diskretisering av en pde 36 (38)
37 Exempel (cont) 37 (38)
38 38 (38) Sammanfattning Modellering av nätverksproblem med hjälp av grafer En enkel grafalgoritm En komplex grafalgoritm Tillämpning på routning
Grafer, allmänt. Med datastrukturen graf menas vanligen: en mängd av noder (vertices) och en mängd av bågar (edges).
Grafer, allmänt Allmänt Med datastrukturen graf menas vanligen: en mängd av noder (vertices) och en mängd av bågar (edges). En graf kan vara riktad (directed) eller oriktad (undirected). En graf kan vara
Läs merFöreläsning 7 Datastrukturer (DAT037)
Föreläsning 7 Datastrukturer (DAT037) Fredrik Lindblad 1 2016-11-21 1 Slides skapade av Nils Anders Danielsson har använts som utgångspunkt. Se http://www.cse.chalmers.se/edu/year/2015/course/dat037 Förra
Läs merGrafer MST Top. sortering Starkt samm. komponenter Kortaste avstånd. Grafalgoritmer 1. Douglas Wikström KTH Stockholm
Grafalgoritmer 1 Douglas Wikström KTH Stockholm popup-help@csc.kth.se Oriktade och riktade grafer Definition. En oriktad graf består av en mängd noder V och en mängd kanter E, där en kant är ett oordnat
Läs merFöreläsning 5: Grafer Del 1
2D1458, Problemlösning och programmering under press Föreläsning 5: Grafer Del 1 Datum: 2006-10-02 Skribent(er): Henrik Sjögren, Patrik Glas Föreläsare: Gunnar Kreitz Den här föreläsningen var den första
Läs merFöreläsningsanteckningar F6
Föreläsningsanteckningar F6 Martin Andersson & Patrik Falkman Kortaste vägen mellan en nod och alla andra noder Detta problem innebär att givet en graf G = (E,V) hitta den kortaste vägen över E från en
Läs merFöreläsning Datastrukturer (DAT036)
Föreläsning Datastrukturer (DAT036) Nils Anders Danielsson 2013-11-18 Idag Mer om grafer: Minsta uppspännande träd (för oriktade grafer). Prims algoritm. Kruskals algoritm. Djupet först-sökning. Cykel
Läs merDatastrukturer. föreläsning 8. Lecture 6 1
atastrukturer föreläsning 8 Lecture 6 1 jupet-först sökning (S) och bredden-först sökning (S) Två metoder att genomsöka en graf; två grafiteratorer! Kan även användas för att avgöra om två noder är sammanbundna.
Läs merFöreläsning Datastrukturer (DAT036)
Föreläsning Datastrukturer (DAT036) Nils Anders Danielsson 2013-11-13 Idag Grafer: Terminologi. Datastrukturer. Topologisk sortering. Kortaste vägen. Bredden först-sökning. Dijkstras algoritm. (Vi får
Läs merFöreläsning Datastrukturer (DAT037)
Föreläsning Datastrukturer (DAT037) Nils Anders Danielsson 2015-11-20 Idag Grafer: Terminologi. Datastrukturer. Topologisk sortering. Kortaste vägen. Bredden först-sökning. Dijkstras algoritm. (Vi får
Läs merFöreläsning Datastrukturer (DAT036)
Föreläsning Datastrukturer (DAT036) Nils Anders Danielsson 2012-11-13 Idag Mer om grafer: Topologisk sortering. Kortaste vägen. Bredden först-sökning. Dijkstras algoritm. Floyd-Warshall. Topologisk sortering
Läs mer729G04 - Diskret matematik. Lektion 4
729G04 - Diskret matematik. Lektion 4 1 Lösningsförslag 1.1 Vägar, stigar och annat 1. Vi ges den oriktade grafen G=(V,E), V = {a, b, c, d, f, g, h, i, j}, E = {{a, b}, {b, c}, {a, c}, {f, g}, {c, d},
Läs merFöreläsning 5: Dynamisk programmering
Föreläsning 5: Dynamisk programmering Vi betraktar en typ av problem vi tidigare sett: Indata: En uppsättning intervall [s i,f i ] med vikt w i. Mål: Att hitta en uppsättning icke överlappande intervall
Läs merGraphs (chapter 14) 1
Graphs (chapter ) Terminologi En graf är en datastruktur som består av en mängd noder (vertices) och en mängd bågar (edges) en båge är ett par (a, b) av två noder en båge kan vara cyklisk peka på sig själv
Läs merTNK049 Optimeringslära
TNK49 Optimeringslära Clas Rydergren, ITN Föreläsning 7 Nätverksoptimering Billigaste uppspännande träd (MST) Billigaste väg (SP) Projektnätverk Minkostnadsflödesproblem Agenda Terminologi för grafer/nätverk
Läs merDatastrukturer. föreläsning 7. Maps 1
Datastrukturer föreläsning 7 Maps 1 Grafer Maps 2 Grafer ett exempel En oriktad graf: Noderna är flygplatser (trebokstavskombinationer) Det finns en båge mellan två noder omm det finns en flyglinje mellan
Läs merFöreläsning Datastrukturer (DAT037)
Föreläsning Datastrukturer (DAT037) Nils Anders Danielsson 2015-11-23 Idag Mer om grafer: Minsta uppspännande träd (för oriktade grafer). Djupet först-sökning. Minsta uppspännande träd Träd (utan rot)
Läs merGrafer, traversering. Koffman & Wolfgang kapitel 10, avsnitt 4
Grafer, traversering Koffman & Wolfgang kapitel 1, avsnitt 4 1 Traversering av grafer De flesta grafalgoritmer innebär att besöka varje nod i någon systematisk ordning precis som med träd så finns det
Läs merFöreläsning 8 Datastrukturer (DAT037)
Föreläsning 8 Datastrukturer (DAT037) Fredrik Lindblad 1 2016-11-23 1 Slides skapade av Nils Anders Danielsson har använts som utgångspunkt. Se http://www.cse.chalmers.se/edu/year/2015/course/dat037 Förra
Läs merFöreläsning 10. Grafer, Dijkstra och Prim
Föreläsning 10 Grafer, Dijkstra och Prim Föreläsning 10 Grafer Representation av grafer Dijkstras algoritm Implementation av Dijkstras algoritm Minimium spanning tree Broarna i Königsberg, Euler, 17 Grafer
Läs merGrafer och grannmatriser
Föreläsning 2, Linjär algebra IT VT2008 Som avslutning på kursen ska vi knyta samman linjär algebra med grafteori och sannolikhetsteori från första kursen. Resultatet blir så kallade slumpvandringar på
Läs merFöreläsning 6 Datastrukturer (DAT037)
Föreläsning 6 Datastrukturer (DAT037) Fredrik Lindblad 1 15 november 2017 1 Slides skapade av Nils Anders Danielsson har använts som utgångspunkt. Se http://www.cse.chalmers.se/edu/year/2015/course/dat037
Läs merFöreläsning 10. Grafer, Dijkstra och Prim
Föreläsning 10 Grafer, Dijkstra och Prim Föreläsning 10 Grafer Representation av grafer Dijkstras algoritm Implementation av Dijkstras algoritm Minimium spanning tree Läsanvisning och uppgifter Broarna
Läs merFöreläsning 10. Grafer, Dijkstra och Prim
Föreläsning 10 Grafer, Dijkstra och Prim Föreläsning 10 Grafer Representation av grafer Dijkstras algoritm Implementation av Dijkstras algoritm Minimium spanning tree Läsanvisning och uppgifter Broarna
Läs merFöreläsning 9: NP-fullständighet
Föreläsning 9: NP-fullständighet Olika typer av problem: 1. Beslutsproblem: A(x) =Ja. 2. Optimeringsproblem: A(x) =m Vanligen max/min. 3. Konstruktionsproblem: A(x) =En struktur. Vanligen lösningen till
Läs merFöreläsning 5: Giriga algoritmer. Kruskals och Prims algoritmer
Föreläsning 5: Giriga algoritmer Kruskals och Prims algoritmer Spännande träd: Om G är en sammanhängande graf så är ett spännande träd ett träd som innehåller alla noder i V (G). Viantarattviharkantvikterw(e)
Läs merDatastrukturer. föreläsning 8. Maps 1
Datastrukturer föreläsning 8 Maps 1 Att hitta den kortaste vägen 0 8 A 4 2 8 B 7 2 C 1 D 2 5 3 9 8 E F 5 3 Lecture 6 2 Viktade grafer I en viktad graf tillordnar vi ett tal till varje båge. Detta tal kallas
Läs merFöreläsning 5: Giriga algoritmer. Kruskals och Prims algoritmer
Föreläsning 5: Giriga algoritmer Kruskals och Prims algoritmer Spännande träd: Om G är en sammanhängande graf så är ett spännande träd ett träd som innehåller alla noder i V (G). Viantarattviharkantvikterw(e)
Läs merFöreläsning 4: Giriga algoritmer. Giriga algoritmer
Föreläsning 4: Giriga algoritmer Giriga algoritmer Denna typ av algoritmer arbetar efter följande princip: Gör i varje situation det som är lokalt optimalt, d.v.s. bäst för stunden. Några exempel vi redan
Läs merFöreläsning 2: Grafer. Exempel på graf
Föreläsning 2: Grafer Vad är en graf? Terminologi Representationer Genomgång av hörnen i en graf Kortaste väg-problemet Exempel på graf Falun Uppsala Karlstad Västerås Stockholm Eskilstuna Örebro En graf
Läs merFöreläsning 1. Introduktion och sökning i graf. Vad är en algoritm?
Föreläsning 1. Introduktion och sökning i graf Vad är en algoritm? Först: Vad är ett problem? Består av indata och ett mål. Indata: [En beskrivning av en struktur.] Mål: [Kan vara Ja/Nej, ett tal eller
Läs merDatastrukturer. föreläsning 7. Maps 1
Datastrukturer föreläsning 7 Maps 1 Hashtabeller 0 1 2 3 025-612-0001 4 451-229-0004 981-101-0004 Maps 2 Kollisioner vad gör man? Använder hinkar ( hashing in buckets, chaining ) Cellen med index i innehåller
Läs merFöreläsning 2. Kortaste vägar i grafer.
Föreläsning 2. Kortaste vägar i grafer. Problem: KORTASTE VÄGAR Den enklaste varianten är om vi inte har kantvikter och kortaste väg är en väg med såfåkanter som möjligt. Indata: En riktad graf G och en
Läs merDatastrukturer och algoritmer. Föreläsning 15 Inför tentamen
Datastrukturer och algoritmer Föreläsning 15 Inför tentamen 1 Innehåll Kursvärdering Vi behöver granskare! Repetition Genomgång av gammal tenta 2 Första föreläsningen: målsättningar Alla ska höja sig ett
Läs merKaliningrad) låg vid bägge sidor av floden Pregel samt på
Grunder i matematik och logik (2018) Grafteori Marco Kuhlmann Grafteori är det område inom matematiken som undersöker egenskaper hos grafer. Inom grafteorin har begreppet graf en annan betydelse än graf
Läs mer729G04 - Diskret matematik. Lektion 4
729G04 - Diskret matematik. Lektion 4 Ett generellt råd är att rita upp noder och bågar för graferna nedan. 1 Uppgifter 1.1 Vägar, stigar och annat 1. Vi ges den oriktade grafen G=(V,E), V = {a, b, c,
Läs merEkvivalensrelationer
Abstrakt datatyp för disjunkta mängder Vi skall presentera en abstrakt datatyp för att representera disjunkta mängder Kan bl.a. användas för att lösa ekvivalensproblemet avgör om två godtyckliga element
Läs merORDINARIE TENTAMEN I DATASTRUKTURER OCH ALGORITMER DVG B kl. 08:15 13:15
ORDINARIE TENTAMEN I DATASTRUKTURER OCH ALGORITMER DVG B03 150112 kl. 08:15 13:15 Ansvarig Lärare: Donald F. Ross Hjälpmedel: Inga. Algoritmerna finns i de respektive uppgifterna eller i bilogarna. ***
Läs merFÖRELÄSNING 11 DATALOGI I
Föreläsning I07 FÖRELÄSNING DATALOGI I Grafer Beatrice Åkerblom beatrice@dsv.su.se Institutionen för Data- och Systemvetenskap SU/KTH Föreläsning I07 Läsanvisningar Michael Main Data Structures & Other
Läs merGoogles sidrankning - linjär algebra värt en förmögenhet
Googles sidrankning - linjär algebra värt en förmögenhet Outline 1 Sökmotorer 2 Grafteori Linjär algebra 3 Målet Utifrån användarens sökord lista de mest relevanta webbsidorna. Dessutom i en ordning som
Läs merAlgoritmer, datastrukturer och komplexitet
Algoritmer, datastrukturer och komplexitet Övning 7 Anton Grensjö grensjo@csc.kth.se 14 oktober 2015 Anton Grensjö ADK Övning 7 14 oktober 2015 1 / 28 Översikt Kursplanering Ö6: Algoritmkonstruktion F19:
Läs merTentamen Datastrukturer för D2 DAT 035
Tentamen Datastrukturer för D2 DAT 035 17 december 2005 Tid: 8.30-12.30 Ansvarig: Peter Dybjer, tel 7721035 eller 405836 Max poäng på tentamen: 60. (Bonuspoäng från övningarna tillkommer.) Betygsgränser:
Läs merProv i DAT 312: Algoritmer och datastrukturer för systemvetare
Prov i DAT 312: Algoritmer och datastrukturer för systemvetare Jacek Malec Datavetenskap, LU 11 april 2003 Datum 11 april 2003 Tid 14 19 Ansvarig lärare Jacek Malec (tel. 03 9890431) Hjälpmedel inga Antal
Läs merTommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet
Föreläsning 8 Sortering och urval TDDC70/91: DALG Utskriftsversion av föreläsning i Datastrukturer och algoritmer 1 oktober 2013 Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet 8.1 Innehåll Innehåll 1 Sortering
Läs merFöreläsning 10. Riktade grafer. Viktade grafer. TDDC91,TDDE22,725G97: DALG. Innehåll. Innehåll Riktade grafer A 10.3
öreläsning 1 Riktade grafer. Viktade grafer. T1,T,G: LG Utskriftsversion av föreläsning i atastrukturer och algoritmer oktober 1 Magnus Nielsen, I, Linköpings universitet 1.1 Innehåll Innehåll 1. 1 Riktade
Läs merFöreläsning 4 Datastrukturer (DAT037)
Föreläsning 4 Datastrukturer (DAT037) Fredrik Lindblad 1 2016-11-10 1 Slides skapade av Nils Anders Danielsson har använts som utgångspunkt Se http://wwwcsechalmersse/edu/year/2015/course/dat037 Förra
Läs merGrafer. 1 Grafer. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Oriktade grafer. Marco Kuhlmann
Marco Kuhlmann 1 En graf är en struktur av prickar förbundna med streck. Ett tidsenligt exempel på en sådan struktur är ett social nätverk, där prickarna motsvarar personer och en streck mellan två prickar
Läs merTrädstrukturer och grafer
Översikt Trädstrukturer och grafer Trädstrukturer Grundbegrepp Binära träd Sökning i träd Grafer Sökning i grafer Programmering tillämpningar och datastrukturer Varför olika datastrukturer? Olika datastrukturer
Läs merDatastrukturer och Algoritmer D0041D
Luleå Tekniska Universitet 19 mars 2014 Laborationsrapport Laboration 3 Datastrukturer och Algoritmer D0041D Primms Algoritm Namn E-mail Magnus Björk magbjr-3@ltu.student.se Handledare Felix Hansson Primms
Läs merFöreläsning 6 Datastrukturer (DAT037)
Föreläsning 6 Datastrukturer (DAT037) Fredrik Lindblad 1 2016-11-17 1 Slides skapade av Nils Anders Danielsson har använts som utgångspunkt. Se http://www.cse.chalmers.se/edu/year/2015/course/dat037 Förra
Läs merMatematik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 Författare: Marco Kuhlmann 2013
UPPSALA UNIVERSITET Matematik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 Författare: Marco Kuhlmann 2013 4 Grafer En graf är en struktur av prickar förbundna med streck.
Läs merDatastrukturer. föreläsning 9. Maps 1
Datastrukturer föreläsning 9 Maps 1 Grafer och grafalgoritmer Hur implementerar man grafer? Hur genomsöker (traverserar) man grafer? Hur genomsöker man viktade grafer (och hittar kortaste vägen)? Hur beräknar
Läs merFöreläsning 8 Datastrukturer (DAT037)
Föreläsning 8 Datastrukturer (DAT037) Fredrik Lindblad 1 22 november 2017 1 Slides skapade av Nils Anders Danielsson har använts som utgångspunkt. Se http://www.cse.chalmers.se/edu/year/2015/course/dat037
Läs merMagnus Nielsen, IDA, Linköpings universitet
Föreläsning 7 Introduktion till sortering TDDC91,TDDE22,725G97: DALG Utskriftsversion av föreläsning i Datastrukturer och algoritmer 24 september 2018 Magnus Nielsen, IDA, Linköpings universitet 7.1 1
Läs merAlgoritmer, datastrukturer och komplexitet
Algoritmer, datastrukturer och komplexitet Övning 10 Anton Grensjö grensjo@csc.kth.se 9 november 2017 1 Idag En konstruktionsreduktion Fler bevis av NP-fullständighet 2 Teori Repetition Ett problem tillhör
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer Mikael Hindgren 26 september 2018 roarna i Königsberg De sju broarna i Königsberg (nuvarande Kaliningrad) på 1700-talet: (a) Königsberg 1652 (b) Graf
Läs merFöreläsning 2. Kortaste vägar i grafer.
Föreläsning 2. Kortaste vägar i grafer. Problem: KORTASTE VÄGAR Den enklaste varianten är om vi inte har kantvikter och kortaste väg är en väg med såfåkanter som möjligt. Indata: En riktad graf G och en
Läs merFöreläsning 1. Introduktion. Vad är en algoritm?
Några exempel på algoritmer. Föreläsning 1. Introduktion Vad är en algoritm? 1. Häll 1 dl havregryn och ett kryddmått salt i 2 1 2 dl kallt vatten. Koka upp och kocka gröten ca 3minuter. Rör om då och
Läs merADT Prioritetskö. Föreläsning 13 Innehåll. Prioritetskö vs FIFO-kö. Prioritetskö Exempel på användning. Prioritetsköer och heapar
Föreläsning 1 Innehåll ADT Prioritetskö Prioritetsköer och heapar Prioritetsköer och heapar ADT prioritetskö Klassen PriorityQueue i java.util ar Implementering av prioritetskö med heap Sortering med hjälp
Läs merFöreläsning 7+8: NP-problem. Begreppet effektiv algoritm är alltså synonymt med går i polynomisk tid i den här kursen. Är detta en rimlig uppdelning?
Formalisering av rimlig tid Föreläsning 7+8: NP-problem En algoritm som har körtid O(n k ) för någon konstant k är rimligt snabb. En algoritm som har körtid Ω(c n ) för någon konstant c>1 är för långsam.
Läs merAlgoritmer, datastrukturer och komplexitet
Algoritmer, datastrukturer och komplexitet Övning 6 Anton Grensjö grensjo@csc.kth.se 9 oktober 2015 Anton Grensjö ADK Övning 6 9 oktober 2015 1 / 23 Översikt Kursplanering Ö5: Grafalgoritmer och undre
Läs merFöreläsning 12+13: Approximationsalgoritmer
Föreläsning 12+13: Approximationsalgoritmer Många av de NP-fullständiga problemen är från början optimeringsproblem: TSP, Graph Coloring, Vertex Cover etc. Man tror att P NP och att det alltså inte går
Läs merF11. Läsanvisning: kap 10 + dessa OH. Kruskals algoritm kortaste vägar en till alla
F11 Läsanvisning: kap 10 + dessa OH Kruskals algoritm kortaste vägar en till alla Dijkstras algoritm (Den här föreläsningen är också delvis samma som en från algoritmkursen därav språkvalet.) För lab 3:
Läs merTENTAMEN: Algoritmer och datastrukturer. Läs detta!
(6) TENTAMEN: Algoritmer och datastrukturer Läs detta! Uppgifterna är inte avsiktligt ordnade efter svårighetsgrad. Börja varje uppgift på ett nytt blad. Skriv ditt idnummer på varje blad (så att vi inte
Läs merTentamen Datastrukturer D DAT 036/INN960
Tentamen Datastrukturer D DAT 036/INN960 18 december 2009 Tid: 8.30-12.30 Ansvarig: Peter Dybjer, tel 7721035 eller 405836 Max poäng på tentamen: 60. Betygsgränser, CTH: 3 = 24 p, 4 = 36 p, 5 = 48 p, GU:
Läs merDatastrukturer och algoritmer
Datastrukturer och algoritmer Föreläsning 16 2 Innehåll Snabbrepetition Exempeltentamen Kursutvärdering Mina målsättningar Kursens mål: 3 Rolig och viktig kurs Bli en bättre programmerare och inse att
Läs merOptimering Kruskal s algoritm Prim-Jarník s algoritm
Optimering Kruskal s Prim-Jarník s 0.7 1.3 0.5 0.3 2.1 0.7 1.3 0.5 0.3 2.1 Viktad graf raf där varje kant har en vikt Vikterna kan motsvara Kostnad Avstånd Tidsåtgång ur hittar man kortaste vägen från
Läs merN = {i}: noder (hörn) Graf: G = (N, B) Definitioner. Väg: Sekvens av angränsande bågar. Cykel: Väg som startar och slutar i samma nod.
Polyeder 0 x, 0 x, 0 x, x + x + x, x + x + x Grafdefinitioner N = {i}: noder (hörn) = {(i, j)}, i N, j N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar
Läs merAvancerad Problemlösning och Programmering i Praktiken
Avancerad Problemlösning och Programmering i Praktiken Grafalgoritmer II High Performance Computing Center North (HPC2N) Grafrepresentation Igår: Grafrepresentation DFS BFS Kortaste vägen MST Kortaste
Läs merOMTENTAMEN I DATASTRUKTURER OCH ALGORITMER DVG B kl. 14:15 19:15
OMTENTAMEN I DATASTRUKTURER OCH ALGORITMER DVG B03 150609 kl. 14:15 19:15 Ansvarig Lärare: Donald F. Ross Hjälpmedel: Inga. Algoritmerna finns i de respektive uppgifterna eller i bilogarna. *** OBS ***
Läs merAlgoritmer och datastrukturer, föreläsning 11
lgoritmer och datastrukturer, föreläsning 11 enna föreläsning behandlar grafer. En graf har en mängd noder (vertex) och en mängd bågar (edge). Ett exempel är: E F G H Z enna graf har följande mängd av
Läs merTNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 5
TNSL5 Optimering, Modellering och Planering Föreläsning 5 Dagordning Kort repetition Graf/nätverk: Begrepp Representation Exempel: Minkostnadsflödeproblem Billigastevägproblem 28--5 4 Hittills Föreläsning
Läs merTentamen Datastrukturer D DAT 036/INN960
Tentamen Datastrukturer D DAT 036/INN960 18 december 2009 Tid: 8.30-12.30 Ansvarig: Peter Dybjer, tel 7721035 eller 405836 Max poäng på tentamen: 60. Betygsgränser, CTH: 3 = 24 p, 4 = 36 p, 5 = 48 p, GU:
Läs merFöreläsning 13 Innehåll
Föreläsning 13 Innehåll Exempel på problem där materialet i kursen används Hitta k största bland n element Histogramproblemet Schemaläggning PFK (Föreläsning 13) VT 2013 1 / 15 Hitta k största bland n
Läs merFöreläsning 13 Innehåll
Föreläsning 13 Innehåll Prioritetsköer och heapar Prioritetsköer och heapar ADT prioritetskö Heapar Implementering av prioritetskö med heap Klassen PriorityQueue i java.util Programexempel LPT-algoritmen
Läs merRuttplanering i vägdatabas M A L E N A S Ö D E R L U N D
Ruttplanering i vägdatabas M A L E N A S Ö D E R L U N D Examensarbete Stockholm, Sverige 2006 Ruttplanering i vägdatabas M A L E N A S Ö D E R L U N D Examensarbete i datalogi om 20 poäng vid Programmet
Läs merFöreläsning 8+9: NP-problem. Begreppet effektiv algoritm är alltså synonymt med går i polynomisk tid i den här kursen. Är detta en rimlig uppdelning?
Formalisering av rimlig tid Föreläsning 8+9: NP-problem En algoritm som har körtid O(n k ) för någon konstant k är rimligt snabb. En algoritm som har körtid Ω(c n ) för någon konstant c>1 är för långsam.
Läs merTräd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition
Grafdefinitioner Träd N = {i}: noder (hörn) = {(i, j)}, i N, j N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar och slutar i samma nod. En enkel väg
Läs merORDINARIE TENTAMEN I DATASTRUKTURER OCH ALGORITMER DVG B kl. 08:15 13:15
ORDINARIE TENTAMEN I DATASTRUKTURER OCH ALGORITMER DVG B03 160119 kl. 08:15 13:15 Ansvarig Lärare: Donald F. Ross Hjälpmedel: Inga. Algoritmerna finns i de respektive uppgifterna eller i bilogarna. ***
Läs merAlgoritmer, datastrukturer och komplexitet
Algoritmer, datastrukturer och komplexitet Övning 6 Anton Grensjö grensjo@csc.kth.se 4 oktober 2017 1 Idag Algoritmkonstruktion (lite blandat) Redovisning och inlämning av labbteori 3 2 Uppgifter Uppgift
Läs merDatastrukturer. föreläsning 9. Maps 1
Datastrukturer föreläsning 9 Maps 1 Minsta uppspännande träd Maps 2 Minsta uppspännande träd Uppspännande träd till graf fritt delträd innehåller alla noderna Minsta uppspännande träd (MST) är det uppspännande
Läs merTräd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition
Grafdefinitioner Träd N = {i}: noder (hörn) = {(i, j)}, i N, j N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar och slutar i samma nod. En enkel väg
Läs merTDDI16 Datastrukturer och algoritmer. Prioritetsköer, heapar, Union/Find
TDDI16 Datastrukturer och algoritmer Prioritetsköer, heapar, Union/Find Prioritetsköer En vanligt förekommande situation: Väntelista (jobbhantering på skrivare, simulering av händelser) Om en resurs blir
Läs merLösningar Datastrukturer TDA
Lösningar Datastrukturer TDA416 2016 12 21 roblem 1. roblem 2. a) Falskt. Urvalssortering gör alltid samma mängd av jobb. b) Sant. Genom att ha en referens till sista och första elementet, kan man nå både
Läs merTDDC30. Objektorienterad programmering i Java, datastrukturer och algoritmer. Föreläsning 8 Erik Nilsson, Institutionen för Datavetenskap, LiU
TDDC30 Objektorienterad programmering i Java, datastrukturer och algoritmer. Föreläsning 8 Erik Nilsson, Institutionen för Datavetenskap, LiU På denna föreläsning: Träd Traversering Insättning, borttagning
Läs merAlgoritmer, datastrukturer och komplexitet
Algoritmer, datastrukturer och komplexitet Övning 10 Anton Grensjö grensjo@csc.kth.se 18 november 2015 Anton Grensjö ADK Övning 10 18 november 2015 1 / 20 Översikt Kursplanering Ö9: NP-fullständighetsbevis
Läs merQuicksort. Koffman & Wolfgang kapitel 8, avsnitt 9
Quicksort Koffman & Wolfgang kapitel 8, avsnitt 9 1 Quicksort Quicksort väljer ett spcifikt värde (kallat pivot), och delar upp resten av fältet i två delar: alla element som är pivot läggs i vänstra delen
Läs merTENTAMEN: Algoritmer och datastrukturer. Läs detta! Uppgifterna är inte avsiktligt ordnade efter svårighetsgrad.
1 (8) TENTAMEN: Algoritmer och datastrukturer Läs detta! Uppgifterna är inte avsiktligt ordnade efter svårighetsgrad. Börja varje uppgift på ett nytt blad. Skriv ditt namn och personnummer på varje blad
Läs merTentamen, Algoritmer och datastrukturer
UNDS TEKNISKA ÖGSKOA (6) Institutionen för datavetenskap Tentamen, Algoritmer och datastrukturer 23 8 29, 8. 3. Anvisningar: Denna tentamen består av fem uppgifter. Totalt är skrivningen på 36 poäng och
Läs merKap.6 Grafer. Egenskaper: Handskakningslemmat och Eulers formel Sats om eulerkrets/väg Isomorfi och representation av grafer Graffärgning
Kap.6 Grafer Allmänna begrepp: graf, delraf, multigraf, enkelgraf, riktad graf, nodsgrad vandring, väg, stig, krets, cykel sammanhängande graf, sammanhängande komponenter Speciella grafer: komplett graf,
Läs merTentamen Datastrukturer D DAT 035/INN960 (med mycket kortfattade lösningsförslag)
Tentamen Datastrukturer D DAT 035/INN960 (med mycket kortfattade lösningsförslag) 21 december 2007 Tid: 8.30-12.30 Ansvarig: Peter Dybjer, tel 7721035 eller 405836 Max poäng på tentamen: 60. (Bonuspoäng
Läs merAlgoritmer, datastrukturer och komplexitet
Algoritmer, datastrukturer och komplexitet Övningsmästarprovsövning 2 Anton Grensjö grensjo@csc.kth.se 20 november 2017 1 Dagordning 1. Genomgång av uppgiftens lösning 2. Genomgång av bedömningskriterier
Läs merOMTENTAMEN I DATASTRUKTURER OCH ALGORITMER DVG B kl. 08:15-13:15
OMTENTAMEN I DATASTRUKTURER OCH ALGORITMER DVG B03 170331 kl. 08:15-13:15 Ansvarig Lärare: Donald F. Ross Hjälpmedel: Inga. Algoritmerna finns i de respektive uppgifterna eller i bilagarna. *** OBS ***
Läs merOMTENTAMEN I DATASTRUKTURER OCH ALGORITMER DVG B kl. 09:00 14:00
OMTENTAMEN I DATASTRUKTURER OCH ALGORITMER DVG B03 160402 kl. 09:00 14:00 Ansvarig Lärare: Donald F. Ross Hjälpmedel: Inga. Algoritmerna finns i de respektive uppgifterna eller i bilogarna. *** OBS ***
Läs merAlgoritmer, datastrukturer och komplexitet
Algoritmer, datastrukturer och komplexitet Övning 4 Anton Grensjö grensjo@csc.kth.se 25 september 215 Anton Grensjö ADK Övning 4 25 september 215 1 / 28 Översikt Kursplanering F9: Dynamisk programmering
Läs merTentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl
1 Matematiska Institutionen KTH Tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl 14.00-19.00. Examinator: Olof Heden Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna
Läs merInstallation Site Country/Year Earth Simulator Center Japan/2002 Los Alamos National Laboratory USA/2002. Los Alamos National Laboratory USA/2002
Uppgift (p) Vid en testkörning på en processor tog ett program sekunder för att lösa ett problem av storlek n. När ytterligare tre processorer lades till krävde samma program sekunder för samma problemstorlek.
Läs merADT Prioritetskö. Föreläsning 12 Innehåll. Prioritetskö. Interface för Prioritetskö. Prioritetsköer och heapar
Föreläsning 1 Innehåll Prioritetsköer och heapar Prioritetsköer och heapar ADT prioritetskö Klassen PriorityQueue i java.util Heapar Implementering av prioritetskö med heap Sortering med hjälp av heap
Läs merDiskret matematik: Övningstentamen 4
Diskret matematik: Övningstentamen 22. Beskriv alla relationer, som är såväl ekvivalensrelationer som partiella ordningar. Är någon välbekant relation sådan? 23. Ange alla heltalslösningar till ekvationen
Läs merTentamen Datastrukturer, DAT037 (DAT036)
Tentamen Datastrukturer, DAT037 (DAT036) Datum, tid och plats för tentamen: 2017-08-17, 8:30 12:30, M. Ansvarig: Fredrik Lindblad. Nås på tel nr. 031-772 2038. Besöker tentamenssalarna ca 9:30 och ca 11:00.
Läs mer