I det konkreta förstår vi matematiken - Hur tänker lärare om det konkreta materialet i matematikundervisningen?

Transkript

1 LÄRARPROGRAMMET I det konkreta förstår vi matematiken - Hur tänker lärare om det konkreta materialet i matematikundervisningen? Lotta Hultquist Examensarbete 15 hp Vårterminen 2010 Handledare: Mats Andersson Institutionen för pedagogik, psykologi och idrottsvetenskap

2 Linnéuniversitetet Institutionen för pedagogik, psykologi och idrottsvetenskap Arbetets art: Titel: Författare: Handledare: Examensarbete, 15 hp Lärarprogrammet I det konkreta förstår vi matematiken Hur tänker lärare om det konkreta materialet i matematikundervisningen? Lotta Hultquist Mats Andersson ABSTRACT I detta arbete redovisas en undersökning av förskol- och grundskollärares uppfattning om det konkreta materialets betydelse för ökad kommunikation i klassrummet mellan lärare/elev och mellan elev/elev. Eftersom undersökningen även var en utvärdering av ett matematikprojekt som gjordes på uppdrag av rektor på den skola där min studie genomfördes - var undersökningsgruppen given. Nio lärare i förskoleklass respektive årskurs 1 och 2 deltog i intervjuer där frågorna utgick från seminarierna lärarna tog del av. Dessa seminarier syftade till att ge lärarna utbildning i hur kommunikationen i klassrummet kan öka genom att konkret material används i undervisningen. Matematiksatsningen kom till eftersom man bland lärarna efterlyste mer struktur och en röd tråd att följa i undervisningen. Det visade sig i studien att lärarna ansåg att det konkreta materialet bidrar till ökad kommunikation både i samtalet runt det konkreta materialet och genom att olika lösningar blev mer synliga. Samtidigt fick lärarna ny insikt i hur för dem tidigare känt laborationsmaterial kunde användas enligt en mer strukturerad momentordning. I undersökningen kom även fram att lärarna uppfattar att symboler och formella skriftliga metoder bör användas i undervisningen när eleverna har förståelsen och när kunskapen är befäst. Lärarna menar att risken annars finns att räkning blir en mekanisk handling utan innebörd för eleven.

3 INNEHÅLL 1 INTRODUKTION BAKGRUND Teorier om lärandet Teorier om lärande av matematik Förståelse för matematik Förståelse för matematik - Historik Samtalets betydelse för matematikinlärning Tal- och symboler Huvudräkning och algoritmundervisning i tidiga år Barn med räknesvårigheter Konkret material i undervisningen Momentordningens betydelse och konkretisering Lämna det konkreta materialet PROBLEM METOD Undersökningsgrupp Val av metod och datainsamling Validitet och reliabilitet Genomförande Databearbetning Metodkritik och felkällor Planering av intervju Bearbetning av rådata RESULTAT Hur lärare uppfattar det konkreta materialets betydelse för kommunikationen i klassrummet Intervju 1 efter första seminariet Intervju 2 efter andra seminariet Hur lärare uppfattar samtalets betydelse för matematikinlärningen Intervju 1 efter första seminariet Intervju 2 efter andra seminariet Hur lärare uppfattar momentordningens betydelse Intervju 1 efter första seminariet Intervju 2 efter andra seminariet Hur lärare uppfattar att symboler och formella skriftliga metoder (algoritmer och skriftlig huvudräkning) bör introduceras i matematikundervisningen Intervju 1 efter första seminariet Intervju 2 efter andra seminariet Sammanfattning av resultatet DISKUSSION Det konkreta materialets betydelse för kommunikationen i klassrummet Det konkreta materialet kopplat till samtalets betydelse för kommunikationen i klassrummet...33

4 6.3 Momentordningens betydelse Introduktion av symboler, algoritmer och skriftlig huvudräkning i tidiga år Mina slutsatser - eventuell fortsatt forskning...36 REFERENSLISTA...38 BILAGA BILAGA BILAGA 3...4

5 1 INTRODUKTION En fråga som pedagoger i skolan bör ta ställning till är vilken betydelse det konkreta materialet har i matematikundervisningen. Uppfattar lärare att konkret material ger möjlighet till ökad kommunikation mellan lärare/elev och elev/elev? Denna studie syftar till att undersöka hur lärare ser på sitt eget sätt att använda sig av konkret material i sin undervisning och hur de uppfattar att materialet får betydelse för förståelse och utveckling av abstraktionsförmågan hos eleven. Beslut från regeringen togs om att det från och med den 15 januari 2010 finns möjlighet för skolhuvudmän att söka bidrag ämnade för lokala utvecklingsprojekt inom matematikområdet. På grund av beslutet gjordes en satsning på den VFU-plats jag hade under vårterminen 2010 där syftet var att utbilda lärarna inom förskoleklass och årskurs 1-2 om det konkreta materialets betydelse för kommunikationen i klassrummet. Jag blev tillfrågad av rektor på skolan om jag ville skriva mitt examensarbete i kombination med att skolan fick en utvärdering av inledningen på projektet. Eftersom jag kan se vikten av att studera hur kommunikation och ökat lärande hänger samman med konkret material i matematikundervisningen kändes uppdraget självklart att anta. För pedagoger och författare till kursplaner är området värt att studera mer ingående och jag ser därför undersökningen som en del av denna forskning. Både innan och under min utbildning har jag haft fördelen att ta del av olika förskole- och skolverksamheter där pedagogerna tar till vara individers olika sätt att lära. I förskoleklassen har jag erfarenhet av hur det konkreta materialet på ett självklart sätt tar stor plats i matematikundervisningen. Likaså i grundskolans tidigare år årskurs 1 och 2 upplever jag att det finns utrymme för det konkreta materialet i undervisningen. Intressant är att studera hur det konkreta materialet används av pedagogen och hur man kan märka att barnet/eleven utvecklar sin förståelse för matematiken. Britt-Louise Theglander är anlitad utbildare och föredragshållare inom projektet och har lärar- och läkarexamen bakom sig. Hon har specialiserat sig på de mekanismer som styr människans inlärning då hon kombinerar pedagogik med biologi och hjärnforskning. För pedagoger är kunskap om biologi och hjärnans funktioner av betydelse då undervisningen ska planeras. Hänsyn måste tas till kroppens behov och funktioner vilka styr individens möjligheter till lärande. Intresset för individens lärande finns naturligt hos pedagogen frågan är bara vilken teori det grundar sig i. Jag kan se att det är viktigt att som lärare ha förmåga att se nya möjligheter till kunskapsutveckling hos individen. I forskning inom matematikområdet finns stöd för olika teorier. Viktigt är att pedagogen tar ställning till hur den egna undervisningen bör bedrivas utifrån forskningen. I denna undersökning kan läsaren få en bild av hur lärare uppfattar att de använder konkret material i matematikundervisningen och om det ökar kommunikationen i klassrummet.

6 4 2 BAKGRUND I min bakgrund kommer jag att belysa relevant forskning inom de olika områden studien kom att beröras av. Denna forskning är samtidigt knuten till de teorier som förmedlas av Britt-Louise Theglander som håller i utbildningen. Kapitlet börjar med teorier för hur lärandet går till och fortsätter med historik inom de ämnen jag tar upp i min undersökning och kring förståelsen för matematiken. Övergripande för hela bakgrundskapitlet är att det handlar om forskning kring det konkreta materialets betydelse för ökad kommunikation och utveckling av elevers abstraktionsförmåga. 2.1 Teorier om lärandet Definitionen av lärande menar Illeris (2007) är kopplat till en syntes mellan delarna psykologi, biologi (inklusive hjärnfysiologi) och samhällsvetenskap. Psykologin kan sägas vara vetenskapen om människans beteende i vid mening menar Illeris och har varit den dominerande fram till mitten av 1900-talet då intresset för den biologiska delen med den moderna hjärnforskningen i centrum blev större. Ott (2010) framhåller hur vi med hjälp av teknikens utveckling sedan 1990-talet - har kunnat förstå hjärnans funktion på ett nytt sätt. Med magnetkamera kan vi se in i levande biologiska strukturer och konstatera att människan är utrustad med samma hjärna som på stenåldern då lärandet skedde ute på savannen. Nu har miljön istället bytts ut mot klassrummet vilket gör att insikt i neurokunskap är viktigt för pedagoger menar Ott. Ett barn som föds har lika många neuroner som den vuxna individen. Neuroner består av en cellkärna omgiven av korta nervtrådar vilka samlar in information till hjärnan. Nervfibrer kopplar samman neuroner synaptiskt och synapser utvecklas genom de erfarenheter individen gör. Med uttrycket Use it or loose it menas att neuroner kopplas ihop med synapser genom att användas. Ju mer de används desto bättre - varför repetition är viktigt för inlärningen menar Ott. Forskning visar att duktiga elever har ett väl utvecklat arbetsminne som stimulerar elevens uppmärksamhet - vilket betyder att det är arbetsminnet som ska tränas när lärande sker. Ott framhåller att träning på djupet är mer effektivt än breda kunskaper och att det är viktigt att knyta an ny kunskap till tidigare erfarenheter. Allt lärande är situerat enligt Illeris (2007) och menar att det äger rum i ett visst socialt sammanhang och genom samspel med andra. Han framhåller de tre dimensionerna för lärande som är innehåll, drivkraft och samspel. Man måste ta hänsyn till alla dessa tre för att förstå en lärosituation eller ett läroförlopp menar han. Vidare beskriver han att för att kalla ett lärande för en erfarenhet måste: ( ) alla tre dimensionerna - både utifrån sett och enligt den lärandes egen upplevelse - vara av väsentlig betydelse i sammanhanget (Illeris, 2007, s 152).

7 5 Begreppet erfarenhet omfattar därför alla sidor av lärandet, både de inre psykiska tillägnelseprocesserna och de sociala samspelprocesserna - men också det innehållsliga och det som rör drivkrafterna menar Illeris (2007). I Läroplanen framhålls att kunskap inte är något entydigt begrepp utan kommer till uttryck i olika former såsom fakta, förståelse, färdighet och förtrogenhet där dessa måste samspela med varandra. Därför är viktigt att skolans arbete bedrivs så att dessa olika former balanseras och ger en helhet för eleven (Utbildningsdepartementet, 1994). Lev Vygotskys ( ) teorier när det gäller lärandet handlar om den närmaste utvecklingszonen där lärandet sker inom det för individen redan kända och går mot det okända och outforskade. Det som är möjligt för individen med stöd från någon mer kompetent inom området som ska läras kan sedan individen utföra på egen hand. På detta sätt antar Vygotsky ett socialkonstruktivistiskt perpektiv, vilket innebär att lärandet sker i samspel med andra (Illeris 2007). För Vygotsky är ( ) språket ett kommunikationsmedel och bärare av den kunskap och de erfarenheter som mänskligheten utvecklat (Malmer, 1997, s 37). Tänkandet kan vara både verbalt och icke verbalt och det finns inom varje individ ett inre språk som kräver ord för att kunna ta sig uttryck i tal och skrift enligt Vygotsky (Malmer, 1997). Enligt Jean Piagets ( ) teorier erfar man lärandet genom assimilation och ackommodation. Med detta menas två skilda lärotyper som rör själva tillägnelseprocessens funktion (Illeris, 2007). Jerlang (2006) beskriver assimilation som en aktiv anpassningsprocess till redan befintliga beteendesätt knutna till inre mentala scheman hos individen. Det blir möjligt att förstå ny information utifrån det man redan känner till samtidigt som det sker ökad kunskap och förståelse inom området. Om assimilationsprocessen vore den enda anpassningsprocessen skulle det inte ske någon utveckling av människans struktur, d v s sätt att förstå. Ackommodationen är den anpassningsprocess som istället omstrukturerar redan befintliga inre mentala scheman till den nya informationen. Därmed kan redan etablerade kunskaper användas på ett nytt sätt och man kan uttrycka det som att individen ändrar sin teori om världen så att den kommer att passa de nya erfarenheterna menar Jerlang. Piagets syn på lärande rör sig främst inom den kognitiva sidan av lärandet och han antar en konstruktivistisk syn d v s där varje individ skapar sin egen förståelse av omvärlden. Han utesluter på så sätt föreställningen om att lärande skulle vara en slags påfyllnadsprocess där någon annan person överför kunskaper till individen (Illeris, 2007). John Dewey ( ) menar att lärandet blir en erfarenhet genom kontinuitet och samspel med andra (Illeris, 2007). Den enskilda erfarenheten måste förstås som ett samspel mellan individ och omgivning. Dewey menar att; - tänkande och kunskap är instrument för att lösa vetenskapliga och vardagliga problem (Stensmo, 1994, s 169). Han betraktas därför som en pragmatisk filosof, d v s en som fokuserar på teorins praktiska konsekvenser vid problemlösning. Dewey har myntat uttrycket learning by doing vilket betyder lärande genom praktiskt arbete. Han menar att eleven som lär ska vara aktiv i undervisningssituationen och att läraren ska fungera

8 6 som handledare. För att eleven ska begripa är det viktigt menar Dewey att eleven ser hur det som den arbetar med är relaterat till ett sammanhang (a.a.). Eleverna skall arbeta laborativt och undersökande; lösa problem. Varje problem som väljs måste relateras till ett sammanhang, annars blir lärandet endast ett arbiträrt informationsinsamlande. (Stensmo, 1994, s 186) Howard Gardners (1943- ) teorier handlar om att det finns nio olika intelligenser och inte bara olika faktorer som delelement av en enda intelligens (Illeris, 2007). Illeris menar att det handlar om att finna ut var den enskilde individen har sina starka och sina svaga sidor för att kunna stimulera lärandet. Hos individen kompletterar de båda hjärnhalvorna varandra där höger sköter om helheterna och vänster sekvenserna (Theglander föreläsning, ). 2.2 Teorier om lärande av matematik Lennerstad (2001) påpekar att matematik handlar om personligt ställningstagande. Han menar att matematik är abstrakt och opersonligt men att det inte betyder att kunskaperna går in i hjärnan utan att granskas och ifrågasättas. Logiskt tänkande är bara en del av det matematiska tänkandet - vilket får konsekvenser för pedagogiken menar Lennerstad. Han framhåller hur matematiken är opersonlig, felfri och generell, samtidigt som - om man betraktar den som verksamhet - är personlig, experimentell och innehåller fel av alla möjliga slag. Kontrasten mellan ett ämne och dess verksamhet är antagligen ovanligt skarp i fallet matematik. (Lennerstad, 2001, s 17) Malmer (1997) tar upp Piagets syn på individens utveckling genom stadieteorin där det är nödvändigt att ha uppnått en viss mognadsnivå för att kunna tillägna sig viss kunskap. 1. Förlogiskt stadie (0-2 år) eller sensomotoriskt stadie, barnet lär genom sina sinnen 2. Åskådligt tänkande (2-6/7 år) där barnet ännu inte kan abstrahera ett matematiskt innehåll men har förmåga att se att en mängd är konstant även om delarna omgrupperas. 3. Konkret tänkande (6/7-11/12 år). Matematiska begrepp är möjliga att utveckla men bör vara knutna till materiella erfarenheter. 4. Abstrakt tänkande (11/12 - ) Kan följa logiskt resonemang eftersom den yttre verkligheten med språkets hjälp kan översättas till abstrakta symboler. Johnsen Höines (2008) menar att det finns en tydlig koppling mellan barns matematiska utveckling och den matematiska utvecklingens historia. Människan började räkna antal redan i förhistorisk tid vilket man funnit genom arkeologiska fynd i form av vargben som är omkring år gamla. I dem finns inristat 55 skåror i grupper om 5 vilket visar på hur man gått från ett till ettprincipen där mängden skåror (markeringar) motsvarar mängden av det som personen räknar - för att ordna grupper. Barnets aritmetiska förmåga utvecklas på samma sätt menar Johnsen Höines.

9 7 Ahlberg, Bergius, Doverborg, Emanuelsson, Olsson, Pramling Samuelsson och Sterner (2007) tar upp hur barn - för att lära sig aritmetiska färdigheter (räkning) - måste ha förståelse av tal som kardinaltal. Kardinaltal bestämmer antalet föremål i en avgränsad mängd. När det lilla barnet räknar ett, två, tre, fyra, fem det är fem godisbitar! - upprepar hela räknesekvensen - har barnet kanske ännu inte antalsuppfattningen klart för sig. Ett-till-ett-principen - där man bildar par mellan det som räknas (föremål) och räkneord är inte klart hos barnet. Nästa steg i utvecklingen menar Ahlberg mfl är att veta att det sist nämnda räkneordet också motsvarar det antal föremål som finns i mängden man räknar. 2.3 Förståelse för matematik Lundberg och Sterner (2009) tar upp att förskolebarns informella kunskaper i matematik, läsning och uppmärksamhetsförmåga har starka samband med den senare kunskapsutvecklingen i matematik och läsning. Viktigt är därför att man tidigt uppmärksammar och stimulerar barnets intresse för matematiken i dess omvärld. I treårsåldern har barn mer komplexa och sofistikerade kunskaper om matematik än vad man tidigare ansett. Detta tas inte alltid till vara i förskoleverksamheten menar Lundberg och Sterner. I förskolans vardagliga verksamhet ingår aktivteter som sagor och sånger där de matematiska och språkliga förmågorna hos barnen utvecklas. När barnen t ex ställer upp på led kan man tala om ordningstal etc. Enbart vardagsrutiner ger inte tillräcklig grund för de matematiska erfarenheter som barn behöver göra i förskolan för att kunna utveckla förståelse för centrala sammanhang där de kan befästa sitt kommande lärande inom matematikområdet. Genom mer riktade stödinsatser i form av utarbetat material kan man i förskolan nå längre i utvecklingen av barns medvetande om matematiska fenomen menar Lundberg och Sterner Förståelse för matematik - Historik Malmer (1999) ger en historisk överblick över hur vi tidigare sett på lärandet av matematik genom samtal. Hon tar upp den monografiska metoden som redan i mitten av 1800-talet lanserades i Tyskland av Grube, författare till boken Denkrechnen från Metoden är av holistisk art där man låter alla fyra räknesätten samspela med varandra för att skapa förståelse för matematiken. Denna metod kom även till Sverige och i räkneläror och handledningar från slutet av 1800-talet till en bit in på 1900-talet kunde man läsa att det var viktigt med en allsidig behandling av varje tal. Här följer ett citat från Grubes bok Denkrechnen: Den förberedande räkneundervisningen måste ( ) från första början vara en muntlig matematik vilket betyder att den bör utgå från talens väsen och organiseras så att den följer utvecklingen av det aritmetiska stoffet. Förberedd så kan den skriftliga räkningen bli något mer än en mekanisk tillämpning av regler; en övning och fulländning av tidigare systematiskt utvecklade tankar ( ) (Malmer, 1999 s 18) Den monografiska metoden avskaffades dock p g a att man hävdade att eleverna fick för många symboler att hålla reda på vilket Wigforss ( ) gick i spetsen för. Malmer (1999) menar att man bör vänta med symbolerna inte räknesätten och

10 8 samtalen - och hävdar att avvaktan med symboler och siffror ger matematiken ett större innehåll istället för fokus på formen. Szendrei (1996) tar upp hur böcker från sent 1400-tal visade hur aritmetik (räkning) skulle undervisas helt enligt mekaniska metoder utan att det fanns tillgång till något konkret material i undervisningen eftersom det ansågs oviktigt att eleven hade någon förståelse för vad algoritmen egentligen var. Först under mitten av 1800-talet visar böckerna på förklaringsmodeller och mer konkreta metoder. Comenius ( ) hade stor inverkan på matematikundervisningen på det sätt att han framhöll att elever skulle lära sig utifrån verkligheten - inte bara genom det abstrakta språket utan med hjälp av verkliga verktyg anpassade till undervisningen i klassrummet (se vidare under punkt 2.4). Riesbeck (2008) tar upp hur tecken och symbolsystem har skapats av människan under den mänskliga kulturens historia där varje individ tar till sig symbolerna på olika sätt i olika sociala sammanhang. Hon hävdar att den matematiska utvecklingen sker genom notation, d v s skriftliga symboler som är avsedda att systematisera och förenkla - vilket innebär att man talar om ett yttre fenomen skilt från individers tankar och föreställningar. Notationen skiljer sig från det talade ordet genom att den är permanent och går att återkomma till och kopiera. Utvecklingen av notationerna motsvarar en allt högre grad av abstraktion. De äldsta notationsbeläggen kan vara benpinnar inkarvade med regelbundet grupperade streck. Riesbeck tar upp hur det enklaste sättet att notera antal är just streck vilket är en form av matematisk representation Samtalets betydelse för matematikinlärning Doverborg & Emanuelsson (2008) framhåller vikten av barnets kommunikation och samspel med lärare och med andra barn för det egna lärandet och menar därför att barngruppen är en viktig del i barnets utveckling. I samtal och i möten på förskolan och i skolan utmanas tidigare erfarenhet av nya kunskaper och på det viset lär barnet mer. I förskolan är vi vana att se barn i alla åldrar bygga och konstruera i leken. Dessa tillfällen tas tillvara av läraren som stödjer barnets utveckling när det gäller rumsuppfattning, form- och mönsteruppfattning, upptäckter av antal, sortering och klassificering. Exempel som tas upp är när barnet sorterar kläderna i hallen i olika fack och ser hur de ska hängas och skorna ska ställas i par på rader, eller när barnet målar och ser hur papper kan vara olika tjocka, penslar olika långa, färger som används på olika sätt. Det finns många situationer i barnets vardag som utvecklar den matematiska förmågan (a.a.). Riesbeck (2008) har studerat kommunikation klassrummet - hur eleven uppfattar lärarens språk och hur elever samtalar med varandra utifrån begrepp. Hon menar att det utifrån diskursanalys av samtalen går att upptäcka hur begrepp, symboler och ord används för att uttrycka olika kunskap. Diskurs kan ha olika betydelse - det kan tolkas som ett bestämt sätt att tala om - förstå och förhålla sig till världen och skilda fenomen. Diskurs kan vara hur olika typer av samtal förs t ex formella/informella, monologiska/dialogiska, involverade/distanserade. Dessa samtal har olika diskurser i olika sammanhang såsom vid lektionstillfällen eller vid gemensamma genomgångar. Viktigt är att det i den gemensamma diskursen finns förståelse för det som sägs

11 9 menar Riesbeck. Inom den vardagliga diskursen finns ord som öka, lägga till eller lägga samman medan ord som addera, addition och komplexa tal befinner sig inom den skolmatematiska diskursen. Dessa båda diskurser förklaras genom en modell som två ytterligheter - där varje individ befinner sig mellan dessa båda men olika nära den ena eller andra sidan beroende på individens abstraktionsförmåga. Samma sak gäller för tecken/symboler där vissa matematiska symboler är mer vanligt förekommande än andra. För individen gäller att skapa referenser till nya begrepp och symboler genom samtal för att öka sin abstraktionsförmåga menar Riesbeck. När det gäller ord i det vardagliga språket kan de ha en ganska vid och ibland diffus betydelse. När ord istället används som termer inom matematiken får de en betydligt snävare innebörd. Skillnaden mellan ord och term är att En term är ett ord eller uttryck som genom tradition eller överenskommelse används inom ett speciellt fackområde och i en väl avgränsad betydelse. (Riesbeck, 2008, s 16). Matematik består av två komponenter menar Lennerstad (2001), språk och innehåll där språket är ett verktyg för att förstå innehållet. Det matematiska språket är något som vi måste lära oss vilket inte alltid är lätt. Det är språket som är verktyget för att förstå innehållet menar han. Malmer (1997) beskriver hur matematikspråket är som ett nytt språk för barnet att lära sig och menar att det just är det verbala inslaget som är komplicerat många gånger. Att överbrygga klyftan mellan det konkret upplevda och det abstrakt formulerade kallar hon översättningsstadium. Det är viktigt att lyssna aktivt när barnet använder sitt eget språk och att tolka vad det är det vill säga menar Johnsen Höines (2008). Vuxna och lärare är vana att korrigera barnets språk vilket kan leda till att barnet känner osäkerhet för hur det ska uttrycka sig. Det kan leda till att vi drar bort uppmärksamheten från innehållet i vad som sägs. Viktigt är att barnet använder det språk det redan har för att uttrycka sin förståelse för matematiken (a.a.). Malmer (1999) menar att det är naturligt att från början använda alla räknesätten muntligt och tar som exempel upp barns muntliga räknesagor eller räknehändelser där det är mer naturligt att använda division och subtraktion än t ex addition Tal- och symboler Barnets möte med skolmatematiken symboler och siffror - kan framstå som problematisk menar Johnsen Höines (2008). Risk finns att det uppstår ett för stort avstånd mellan den formella matematiken med siffror och symboler och barnets bakgrundskunskaper. Det blir helt enkelt ingen koppling mellan barnets tidigare erfarenheter och den abstrakta symbol- och siffermatematiken. Förskolebarn är forskare av naturen. Något händer under skolgången. Felet kan vara att vi tror att lärandet kan vara opersonligt. Det är det inte, hur opersonligt ämnet än är. Och det är i mötet med det personliga som spänningen, upptäckandet och glädjen finns. (Lennerstad, 2001, s 20) När vi knyter undervisningen till den vuxna världens begrepp och symboler är det en fara - menar Johnsen Höines (2008) - för att vi bygger upp skolkunskaper som inte har anknytning till det barnet redan kan och den kunskap som utvecklats i den dagliga miljön. Eleven kan då utveckla två begreppsvärldar en för skolan och en

12 10 för fritiden där förståelsen uteblir. Att blanda in symboler för tidigt i undervisningen anser bl a Malmer (1999) kan försvåra förståelsen för matematiken. De flesta anser att begreppen måste gå före symbolerna men svårigheten ligger i att veta när symbolerna ska komma in menar Malmer. Många lärare känner en press att tidigt introducera siffror och symboler eftersom det då går att redovisa i böcker vad barnet lärt sig. Även barnet själv förväntar sig att få börja använda siffror och symboler då det hör ihop med riktig matematik. Läraren kan känna sig osäker på om det finns möjlighet att ge barnet meningsfulla uppgifter utan att använda sig av symbolerna. Malmer framhåller vikten av att lärarna känner sig förtrogna med laborativa och undersökande aktiviteter och vågar förändra arbetets uppläggning. Malmer (1997) framhåller vikten av att introducera matematiska tecken så att de blir begripliga för barnen. Hon tar som exempel upp likhetstecknet som i de flesta fall introduceras i samband med additionen där det får en huvudroll som inte är befogad eftersom det är additionstecknet det ska handla om. Likhetstecknet uppfattas lätt som ett resultattecken och översätts ofta med ordet blir. Likhetstecknet bör användas i sammanhanget där helheten delas upp i delar för att symbolisera att det finns lika mycket på varje sida om tecknet. Plustecknet ska betraktas som ett kitt mellan talen menar Malmer för att få den rätta innebörden - istället för att alltid symbolisera en ökning av antal, bör läraren visa på att det är två delar som sammanförs. När det gäller subtraktion är det lika viktigt att inte ensidigt visa på en minskning eller ett bortfall, utan att det är en helhet som delas upp. På detta sätt får man också en för barnet naturlig koppling mellan addition och subtraktion menar Malmer Huvudräkning och algoritmundervisning i tidiga år Löwing & Kilborn (2003) menar att det finns anledning att lyfta fram huvudräkningens betydelse för matematikinlärning istället för att förlita sig på algoritmundervisning (räkning med uppställningar). Med huvudräkning menar författarna att man håller noga ordning på ental, tiotal och hundratal när man räknar på det viset utvecklar man förståelsen för talens betydelse. I Australien genomfördes forskning av McIntosh (Boesen, Emanuelsson, Wallby & Wallby, 2006) i primary school (årskurs 1-7) under åren Målsättningen med forskningen var att studera hur elever kan gå från huvudräkning till informell skriftlig beräkning utan att undervisas om standardalgoritmer för addition och subtraktion. Det visade sig av resultatet att utveckling av taluppfattning gynnas av huvudräkning och informella skriftliga metoder i större grad än koncentration på standardalgoritmer. Dessutom är arbetssättet fullt möjligt redan i de tidigare skolåren menar McIntosh. Forskning som handlar om tänkbara risker med att införa algoritmer för tidigt (Boesen mfl, 2006) har visat att elever överger sina egna strategier och att förståelsen för begreppen minskar. ( ) there has been a huge amount of evidence from our national testing that once given a calculation in vertical form, kids automatically go on to do it column by column and do not think about it. (Boesen mfl, 2006, s 23)

13 11 Lundberg och Sterner (2009) tar upp hur det är viktigt att låta barnet använda räknestrategier som känns naturliga för dem så länge de behöver dem och pekar på att barn bör få räkna på fingrarna så länge de inte utvecklat andra användbara strategier. Däremot ska undervisningen syfta till att barnen efter hand utvecklar flexibla och effektiva räknestrategier genom sin ökade abstraktionsförmåga Barn med räknesvårigheter Malmer (1997) påpekar att det många gånger är när språksvårigheter finns som eleven också får svårigheter med matematiken och därför är det viktigt att upptäcka dessa problem tidigt. Även Lundberg och Sterner (2009) framhåller vikten av att räknesvårigheter upptäcks tidigt och menar att det i vissa fall kan röra sig om dyskalkeli. Trots den ökande användningen av begreppet rör det sig inte om ett avgränsat och entydigt fenomen menar Lundberg och Sterner utan människor kan ha räknesvårigheter av många olika skäl såsom dålig undervisning. Tyder svårigheterna på att det handlar om en grundläggande konstitutionell oförmåga att handskas med tal och kvantiteter finns belägg för att kalla svårigheten för dyskalkeli. Man skiljer mellan matematiksvårigheter och räknesvårigheter när det gäller dyskalkeli - där det förstnämnda är överordnat det sistnämnda. Lundberg och Sterner menar att deras forskning främst gäller yngre elever med bristfällig taluppfattning, d v s svårt med talfakta och att snabbt kunna hämta fram siffror ur minnet. Dessa elever får därmed svårt att utföra räkneoperationer. När det gäller det konkreta materialets betydelse för barn med räknesvårigheter menar Lundberg och Sterner (2009) att meningsskapande är det viktigaste och framförallt måste dessa barn i större utsträckning få mer systematisk och strukturerad undervisning. Viktigt är att läraren analyserar innehållet i undervisningen och konkretiserar det för eleven. Det är särskilt betydelsefullt för elever med inlärningssvårigheter att undervisningen rör sig från det mer konkreta till det abstrakta (a.a.). Barn som har svårt att direkt se antal med ögat behöver använda andra sinnen också menar Ahlberg mfl (2007) och framhåller det konkreta materialets betydelse där barnet får möjlighet att uppfatta talen också taktilt (sensoriskt) och auditivt när samtal kring olika lösningar förs. Ahlberg (1997) har i intervjustudier med sexåringar kommit fram till att barns sinnliga erfarande är av avgörande betydelse för utvecklingen av förståelse för talens innebörd. 2.4 Konkret material i undervisningen Enligt Löwings (2006) forskning är det kommunikationens didaktiska kvalitet som avgör om inlärningen hos eleven blir framgångsrik eller inte. Hon pekar på att lärare förlitar sig på läromedel och känner sig osäkra på matematikämnets didaktik. Med didaktik menar hon läran om undervisning och de faktorer som påverkar undervisningens innehåll. Lärare tar för lite hänsyn till elevers förförståelse och abstraktionsförmåga i sin undervisning menar Löwing och de anpassar inte i tillräckligt hög grad sin undervisning till varje individs behov utan ger i stort sett samma förklaringar till samtliga elever. Hon pekar också på att det är ovanligt att lärare konkretiserar när eleven inte förstår det abstrakta. Ordet abstrakt är grekiska

14 12 och betyder bortse ifrån (Lennerstad, 2001). När barnet kan bortse ifrån det konkreta det som går att ta på har det möjlighet att förstå det abstrakta. Konkretisering är vägen till abstraktion menar Löwing (2006). Med hjälp av konkretisering lyfter läraren fram det innehåll man vill åt i undervisningen. Då undervisningen tar sin utgångspunkt i det redan kända får eleven möjlighet att bygga på ny kunskap. Hon har i sin forskning kommit fram till att de metoder som används och de ramar för undervisningen som läraren valt vid sin planering - såsom arbetssätt, arbetsformer och arbetsmaterial - ofta hindrar istället för att gynna kommunikationen i klassrummet. Det kreativa materialets betydelse framhålls av Malmer (1997) och hon tar upp att kreativitet först och främst är en livslång process som befordrar människor tillväxt och utveckling. Det är därför skolans uppgift att ständigt arbeta utifrån hur det är möjligt att hjälpa elever att undgå att hämmas i sin utveckling. Huruvida detta blir möjligt utgår framför allt ifrån lärarens synsätt och det arbetssätt han/hon väljer att tillämpa. Vidare menar hon att om läraren känner sig trygg i sin lärarroll och har tilltro till individens egen förmåga har läraren möjlighet att locka fram och frigöra elevers olika resurser. Malmer (1999) menar att laborativa och undersökande aktiviteter som mätningar och enheter, geometri och statistik är lämpliga att utföra i mindre grupper av elever där samtal och diskussioner förs. Hon framhåller också att verklighetsförankringen är viktig för elevens lärande och rekommenderar övningar som direkt går att härleda till barnets värld. Hon menar vidare att det idag finns mycket övningsmaterial för lärare att använda sig av men uppmanar till att kritiskt granska huruvida materialet är anpassat till den tid vi lever i och det som barnet verkligen känner igen sig i. Szendrei (1996) menar att det konkreta materialet inom matematiken kan delas in i olika kategorier och hon kallar dem; Common tools, educational materials och games. Szendrei menar att konkret material inom kategorin common tools är det vi finner i vår närmiljö såsom bönor, stenar och snäckskal. I detta sammanhang tar hon upp Dewey som framhåller hur sysselsättning i vardagen - då man lagar mat, utför trädgårdsarbete eller arbetar med olika material i trä eller metall - är exempel på hur vi lär matematik genom det konkreta materialet. Material som är specifikt utformat för att användas i undervisningssyfte kallar Szendrei för educational materials. Redan på Commenius tid (se punkt 2.3.1) konstruerades sådant material till klassrummen. Szendrei tar upp Montessori-materialet som ett av de mest utvecklade educational materials. Det är resultatet av många års studier där Maria Montessori som var kliniker från början utforskade hur barn lär genom sensoriken, motoriken och intellektet. Utifrån dessa konstruerades det utbildningsmaterial som fortfarande används inom Montessori-pedagogiken. Den sista kategorin - games är meningsfull i matematikundervisningen hävdar Szendrei eftersom spel utvecklar elevers förmåga att upptäcka sannolikheten för vissa utfall och hur olika kombinationsmöjligheter ser ut - vilket är viktig kunskap inom matematiken.

15 Momentordningens betydelse och konkretisering Arbete med laborativa material utan åtföljande abstraktion handlar inte om konkretisering, utan är enbart en manipulation. (Löwing, 2006, s 115) Löwing (2006) pekar på att det som idag kallas för konkretisering har blivit en metafor för sysselsättning. Det har blivit en missuppfattning av Deweys tes learning by doing eftersom elever inte lär matematik genom att göra utan genom att reflektera menar hon. I hennes undersökningar kunde hon se att konkretiseringen hade olika innebörd för lärarna som undervisade. Hon menar att man ofta inte skiljde mellan fysisk aktivitet och reflektion. I observationerna kunde hon märka att det var som om materialet i sig betraktades som om det hade ett eget liv. Löwing menar att materialet enbart får liv genom lärarens sätt att utnyttja materialet. Educational materials are not miracle drugs; their productive use requires planning and forsight. (Szendrei, 1996, s 411) Szendrei (1996) menar att det konkreta materialet måste få ett syfte för att få någon mening i undervisningen. Det konkreta matematikmaterialet får inte automatiskt ett innehåll bara för att det finns i klassrummet utan läraren måste planera sin undervisning där materialet fyller sitt syfte. Barn måste på olika sätt få erfarenhet av hur helheten kan grupperas om på olika sätt menar Ahlberg mfl (2007). På det sättet erfar barnet talens relationer till varandra samtidigt som de upplever delar och helheter. Malmer (1997) tar i detta sammanhang upp hur allsidigt arbete med tal är nödvändigt. För att förbereda talens uppdelning och sammansättning använde vi oss till att börja med av allehanda plockmaterial, som barnen oftast själva varit med om att samla in, t ex kottar, stenar, snäckor, kastanjer, knappar etc. Det är nämligen viktigt att barnen på det här sättet får syssla med helkonkret material. (Malmer, 1997, s 113) När man arbetar muntligt i kombination med att använda åskådligt material som t ex knappar, räknebrickor, plockisar, tiobasmaterial osv ger man barnet möjlighet till multisensoriska erfarenheter vilket bidrar till att matematiska begrepp och fenomen blir begripliga. Metoden ger också kinestetiska (rörelse) och taktila (röra vid) erfarenheter som kan bidra till att underlätta vid arbetsminnesproblem menar Lundberg och Sterner (2009). Löwing (2006) tar upp exempel som Cuisenaires räknestavar, Multibas-material, Logiska block, Pengar osv som lämpligt konkret laborationsmaterial att använda i undervisningen. Hon framhåller också i sin studie vikten av att lärare är klara över hur nya moment ska presenteras för eleverna. Nya metoder och idéer är inte avgörande för hur kommunikationen mellan lärare och elev blir - utan planering och genomförande av undervisning handlar mer om kontinuitet och systemtänkande menar Löwing där momentordningen har stor betydelse.

16 Lämna det konkreta materialet Lundberg och Sterner (2009) menar att det är dags att lämna det konkreta materialet när eleven klart och tydligt med egna ord kan berätta om begreppet. Frigörelseprocessen från det konkreta materialet är poängen med varför man använder det menar Malmer (1997) och pekar på hur räkning på fingrarna kan vara en fara när barnet inte vill släppa det och inte på ett normalt sätt utvecklar sina räknefärdigheter. En liknelse till det konkreta materialet är metaforen som ska skapa förståelse genom inre bilder exempelvis när man talar om termometern som stöd för att förstå vad som är negativa tal och tårtbitarna för tal i bråkform. Dessa metaforer menar Löwing (2009) är till för att belysa vissa aspekter. Matematik på alla nivåer handlar om att abstrahera vilket betyder att man har skaffat sig en mental bild och ett effektivt språk som går att använda för att snabbt lösa nya matematiska problem.

17 15 3 PROBLEM Kommunikation mellan människor har avgörande betydelse för individens lärande menar Vygotsky (Illeris 2007). Hur vi kan öka kommunikationen i våra klassrum är därför en viktig aspekt på utveckling av undervisningen inom matematikämnet. Frågan är hur lärare uppfattar att matematik kommuniceras och vad det är som skapar förståelse hos eleven för matematikämnet? Syftet med studien är att under några veckor undersöka hur lärarna på den skola där jag gjorde min VFU uppfattar att konkret material ökar kommunikationen i klassrummet. Lärarna går en utbildning som syftar till att belysa hur konkretionsmaterial och laborationsmaterial kan användas för att stödja utvecklingen av abstraktionsförmågan hos eleven - där jag gör en utvärdering av inledningen av detta projekt. Min problemformulering är: Hur uppfattar lärare att det konkreta materialet ökar kommunikationen i klassrummet och därmed utvecklar abstraktionsförmågan hos eleverna? Dessutom har jag formulerat följande underrubriker till min problemformulering allteftersom lärarnas utbildning tog form: Hur uppfattar lärarna samtalets betydelse när det gäller förståelsen för matematiken? Hur uppfattar lärarna att momentordningen har betydelse för utveckling av abstraktionsförmågan hos eleven? Hur uppfattar lärare att symboler och formella skriftliga metoder (algoritmer och skriftlig huvudräkning) bör introduceras i matematikundervisningen?

18 16 4 METOD Studien är gjord under perioden då lärarna i undersökningsgruppen går en utbildning som syftar till att ge kunskaper om det konkreta materialets betydelse i matematikundervisningen. Jag har själv deltagit i seminarierna eftersom jag därigenom kunnat få en uppfattning av vad lärarna upplevde och utifrån innehållet i dessa sökte jag efter relevant forskning för undersökningen. Eftersom det uppkom nya infallsvinklar på forskningsområdet under seminarierna blev också den forskning jag riktade mig mot till viss del förändrad under det pågående arbetet. Då jag påbörjade min undersökning var okänt för mig vilka tankar hos lärarna som utbildningen skulle komma att leda fram till. Problemformuleringen har därför under processen till viss del förändrats och omarbetats men huvudsyftet har förblivit oförändrat. Intervjufrågorna (Bilaga 1 och Bilaga 2) har formulerats utifrån innehållet i seminarierna och mina egna observationer - med problemformuleringen som utgångspunkt. 4.1 Undersökningsgrupp Undersökningsgruppen var given av de skäl som angivits ovan. Lärarna i undersökningsgruppen var nio stycken varav fyra är förskollärare och fem är grundskollärare. Åldersspridningen hos deltagarna var mellan 37 och 64 år och samtliga deltagande är kvinnor. En fördel med att min undersökningsgrupp var fastställd var att det inte blev något bortfall vilket naturligt berodde på att samtliga deltagare var knutna till utbildningsprojektet. De såg vikten av att delta i intervjuerna då utvärderingen var ett krav för projektets genomförande. Att det var lärare som jag tidigare lärt känna under min VFU ser jag som en fördel för min studie eftersom relationen redan fanns etablerad. Lärarna var på det viset mer öppna och beskrivningarna av deras uppfattningar mer utförliga än vad de eventuellt blivit om vi inte känt varandra tidigare. 4.2 Val av metod och datainsamling Studien var en kvalitativ undersökning (Patel & Davidson, 2003) där avsikten var att studera hur lärarna uppfattar det konkreta materialet i matematikundervisningen och hur det påverkar kommunikationen i klassrummet. En kvantitativ undersökning var aldrig aktuell eftersom avsikten inte varit att mäta eller tilldela resultatet numeriska värden (siffror) eller ge någon statistik. När man studerar fenomen utifrån uppfattningen av finns inte bara en sanning. Istället går undersökningen ut på att upptäcka företeelser, att tolka och förstå innebörden av livsvärlden och att beskriva uppfattningar. Validiteten och reliabiliteten i en kvalitativ undersökning har därför inte samma innebörd som i en kvantitativ undersökning menar Patel och Davidson (2003) utan validitetsbegreppet i en kvalitativ undersökning hänvisar till hela forskningsprocessen och hur forskaren använder sig av sin förförståelse. I studien var jag deltagande observatör (a.a.) som i förväg endast kunnat bestämma att vad som skulle observeras var seminarietillfällena

19 17 och lärarnas uppfattning utifrån dessa. Observationerna utgick från min förförståelse och min problemformulering och kan sägas vara av typen ostrukturerad observation enligt Patel och Davidson. Graden av struktur kan även benämnas med begreppen systematisk och osystematisk vilket i så fall skulle göra min observation osystematisk. Enligt Patel och Davidson kan detta begrepp misstolkas som att det inte skulle finnas någon struktur eller planering utan att man helt förutsättningslöst går ut med papper och penna för att observera. Observationerna var till viss del utan förutbestämd struktur eftersom det inte var möjligt att veta vad som skulle studeras innan seminarierna. Möjligheten att utesluta någon deltagare fanns inte eftersom samtliga tog del av utbildningen och därmed ingick i utvärderingen. Intervjuerna med lärarna gjordes vid två tillfällen - enligt en relativt öppen intervjuteknik (Lantz, 1993). Det finns olika struktureringsgrad för intervjuer enligt Lantz där en intervju kan vara helt öppen med endast en fråga där den intervjuade fritt kan utveckla sina tankar. Motsatsen är en helt strukturerad intervju där frågorna är formulerade i en förutbestämd ordning och respondenten svarar på i förväg uppgjorda svarsalternativ. Intervjun var upplagd så att det fanns ett antal frågor som ställdes i en viss förutbestämd ordning, men med förhoppning om att respondenten skulle utveckla sina tankar kring sitt svar. I den öppna intervjun och den riktade intervjun ges olika former av information vilket intervjuaren måste vara medveten om menar Lantz (1993). I den öppna intervjun beskriver den tillfrågade sin bild av verkligheten och ger mening och innebörd i en subjektiv erfarenhet. Det som sägs är alltid sammanhangsbestämt och ett ord går inte att plocka ur detta sammanhang. Intervjuarens uppgift är att med empatin som medel söka närma sig respondentens sätt att tänka menar Lantz för att skapa förståelse för och mer kunskap om fenomenet som undersöks. 4.3 Validitet och reliabilitet När det gäller validiteten i datainsamlingen visar den sig i hur forskaren lyckas skaffa underlag för att göra en trovärdig tolkning av den studerades livsvärld menar Patel och Davidson (2003). I bakgrunden har därför fokus legat på de områden som underbygger resultatet och forskning som varit irrelevant har därför uteslutits. När det gäller kopplingen mellan teorier och empiri kan sägas att min roll varit dubbel - som både forskare och utredare eftersom mitt uppdrag har tjänat två syften - examensarbete i kombination med utvärdering av projekt. Patel och Davidson menar att när man gör ett utrednings- eller utvecklingsarbete är inte ambitionen att producera kunskap i form av teorier och man kan säga att arbetet varken är deduktivt eller induktivt i vetenskaplig mening. Dock kan om detta arbete sägas att studien är mer av deduktiv än induktiv karaktär eftersom utgångspunkten tagits i redan befintliga teorier. Begreppet reliabilitet i en kvantitativ undersökning får också en annan innebörd än i den kvalitativa. Om intervjusvar från en och samma person blir olika vid olika tillfällen ger det den kvantitativa undersökningen låg reliabilitet. Men, om det istället rör sig om en kvalitativ studie är det inte säkert att så blir fallet utan resultatet visar istället på att intervjupersonen kan ha ändrat uppfattning, fått nya insikter eller lärt sig något nytt. Reliabiliteten ska utgå ifrån den unika situationen som råder vid

20 18 undersökningstillfället menar Patel och Davidsson (2003). När jag vid de två intervjutillfällena letade efter eventuella förändringar i uppfattningen hos lärarna kunde jag upptäcka att seminarierna påverkat och till viss del förändrat eller istället förstärkt - deras uppfattning vilket jag ser som en hög reliabilitetsfaktor. 4.4 Genomförande Den 12 april 2010 var första seminariet för de lärare som ingår i min undersökningsgrupp. Min roll under seminariet var att studera lärarna samtidigt som jag själv bildade mig en uppfattning och konstruerade ny kunskap utifrån mina tidigare erfarenheter av matematikområdet. Utifrån mitt observationsmaterial och mitt syfte med undersökningen formulerade jag frågor till Intervju 1. Lantz (1993) menar att det är intervjuaren som ansvarar för att ange ramförutsättningarna för intervjun. Däri ingår att beskriva hur intervjun ska användas och bearbetas och i vilket syfte. Detta utfördes enligt de forskningsetiska principerna (Vetenskapsrådet, 2002). Rektor tillsammans med mig - informerade samtliga deltagare i projektet om kravet från regeringen på utvärderingen och att syftet med intervjuerna var att få ett underlag för sammanställningen enligt nyttjandekravet (a.a.). Jag talade även om att utvärderingen var en del av mitt examensarbete och vilket problemområde jag tar upp i mitt arbete. Samtidigt blev lärarna informerade om konfidentialitetskravet (a.a.) som innebär att det inte anges i utvärderingen vem det är som uttalar sig i intervjuerna utan namnen har ersatts av olika beteckningar. När jag träffade lärarna för Intervju 1 informerades de enligt de forskningsetiska principerna om att deras deltagande är frivilligt och att deras medverkan när som helst kan avbrytas utan att det medför negativa följder för dem enligt samtyckeskravet (Vetenskapsrådet, 2002). Samtliga intervjuer totalt nio stycken utfördes under två dagar. Den 28 april var andra seminariet där Intervju 2 utfördes några dagar senare under en förmiddag. Jag hade bokat en kortare tid med respektive lärare denna gång och meningen var att frågorna skulle ge en uppfattning om dels deras eventuellt förändrade uppfattning om det vi tidigare diskuterat och dels fånga upp deras tankar om det som var nytt för andra seminariet. 4.5 Databearbetning När jag lyssnade på inspelningen av Intervju 1 började jag med att söka efter mönster i lärarnas svar. Då dessa sammanställdes använde jag mig av en matrismodell för hur en första empirisk sammanställning kan gå till (Lantz, 1993). Jag skapade rubriker som både kopplas till syfte och till bakgrund där sedan de olika intervjusvaren transkriberades för att kunde sammanställas. Patel och Davidson (2003) menar att den lokala teorin (resultatet) utgår från empiri som kategoriserats i olika koder rubriker - där de olika empiriska pusselbitarna kan sorteras in under respektive kod/rubrik och påminner på det viset om Lantz matrismodell (ovan). Denna uppdelning använde jag mig av för att formulera frågorna till Intervju 2 eftersom de mönster och samband i lärarnas intervjusvar genererade nya frågor.