MATEMATIK OCH OPTIONER

Transkript

1 MATEMATIK OCH OPTIONER Matematikkurs vid CTH och GU Christer Borell Matematiska institutionen CTH&GU Göteborg (Version: sep 99)

2 Innehåll kap sid 1 Några inledande ord om nansiella derivat 1 Konvexitet 9 3 Måtteori 9 4 Stokastiska grundbegrepp 53 5 Konstruktion av Brownsk rörelse och Gaussiska processer 73 6 Centrala gränsvärdessatsen 97 7 Black-Scholes di erentialekvation 17 8 Utdelningsprocesser 15 9 Paley-Wiener-Zygmunds stokastiska integral Translation av Wienermått och prissättning av derivat Stokastiska integraler av Itôs typ Själv nansierande portföljstrategier Flera underliggande aktier Stopptid 9 15 HJM-modellen vid deterministisk volatilitetsstruktur 3 Tentamensskrivningar med lösningar 39 Referenser 73

3 1 1. Några inledande ord om nansiella derivat Ett värdepapper som de nieras i termer av andra värdepapper kallas ett - nansiellt derivat. Inledningsvis betraktar vi endast nansiella derivat, som de nieras av ett enda värdepapper, nämligen en aktie. Aktiens pris vid tiden t betecknas med S(t). Låt nu T vara ett givet framtida datum och antag att ett visst derivat i aktien kan inlösas vid tiden T och då utbetalar beloppet f(s(t )). Ett sådant derivat sägs vara ett enkelt derivat av europeisk typ eller ett enkelt kontrakt av europeisk typ. Här kallas f utbetalningsfunktion eller kontraktsfunktion och T kallas slutdag eller mognadsdag för kontraktet. Ett motsvarande amerikanskt kontrakt med utbetalningsfunktionen f kan inlösas vid vilken tidpunkt t som helst före eller på slutdagen T om kontraktsinnehavaren så önskar och utbetalar då beloppet f(s(t)). Antag nu att K är ett givet positivt tal. En europeisk köpoption i aktien med lösenpris K och slutdag T är rättigheten, men ej skyldigheten, att köpa en aktie till priset K vid tiden T. En europeisk säljoption i aktien med lösenpris K och slutdag T är rättigheten, men ej skyldigheten, att sälja en aktie till priset K vid tiden T: På liknande sätt är en amerikansk köpoption (säljoption) i aktien med lösenpris K och slutdag T rättigheten, men ej skyldigheten, att vid ett tillfälle köpa (sälja) en aktie till priset K under tidsperioden från nu fram till och med tidpunkten T. Slutdagen för en aktieoption kallas också lösendag. Ett enkelt derivat av europeisk typ med utbetalningsfunktionen c(s) = max(; s K) och slutdagen T är på en friktionsfri marknad ekvivalent med en europeisk köpoption med lösenpriset K och lösendagen T: Notera också att på en friktionsfri marknad är ett enkelt derivat av europeisk typ med utbetalningsfunktionen p(s) = max(; K s) och slutdagen T ekvivalent med en europeisk säljoption med lösenpriset K och lösendagen T. Köpoption heter call på engelska och säljoption put, vilket ligger till grund för våra beteckningar. I begreppet friktionsfri marknad inbegripes gratis transaktioner av värdepapper samt att in- och utlåningsräntan är lika. Därutöver antas att lån av värdepapper är gratis samt att

4 handel förekommer i delar av värdepapper. Vi bortser också från alla typer av skatter. I denna framställning förutsätts att alla kapitalmarknader är friktionsfria. Om inte annat anges förutsätts också att aktien ej ger utdelning och att räntan är konstant. Aktier och optionskontrakt är mycket gamla företeelser. Aktier har varit kända under minst 75 år. Merton berättar i sin bok Continuous-Time Finance [M ER1] om handel i köpoptionsliknande instrument på Amsterdams fondbörs för 35 år sedan. Optionskontrakt på jordbruksprodukter användes för övrigt redan av medeltidens köpmän [GEM] : Att värdera - nansiella derivat på ett teoretiskt övertygande sätt har emellertid varit svårt i historien och problemet ck ingen tillfredsställande lösning förrän under 197-talet. Begreppet arbitrage dvs riskfri vinst är här mycket centralt. Det mest komplicerade momentet i detta sammanhang består dock i att förstå de underliggande värdepapperens prisdynamik. Den matematiska teorin för stokastiska processer har hittills spelat en avgörande roll för de framsteg som gjorts. En kombination av värdepapper kallas för en portfölj. Vi tillåter värdepappersinnehav i delar av värdepapper, som eventuellt kan vara negativa. Vi antar alltid att marknaden erbjuder obligationer. Betrakta en godtycklig portfölj A med värdet V A (t) vid tiden t. Om V A (T ) medför att V A (t) för alla tider t < T så sägs dominansprincipen gälla (jmfr [S]). På en arbitragefri marknad gäller dominansprincipen. Om en portfölj består av aktier, obligationer och derivat av europeisk typ och portföljen är värdelös vid en viss tid, så medför dominansprincipen att portföljen är värdelös vid alla tidigare tidpunkter. En portföljstrategi där byte av värdepapper tillåts utan att portföljvärdet ändras i samband med bytet kallas själv nansierande. Dominansprincipens de nition kan generaliseras till denna allmännare situation. Vi utnyttjar i denna framställning ofta en obligation vars värde B(t) vid tiden t ges av ekvationen B(t) = Ce rt där C och r är positiva konstanter. Observera B(t) = B()e rt : Vi uppfattar här storheten r som kontinuerlig ränta. Stokastisk ränta studeras först i kapitel 15.

5 För att belysa dominansprincipen betraktar vi ett enkelt europeiskt derivat i aktien med slutdagen T och utbetalningsfunktionen f(s) = s: Låt v(t) beteckna derivatets värde vid tiden t. Antag först att v(t) > S(t): Detta leder till följande handlingsplan: utfärda derivatet och köp aktien vid tiden t; sälj aktien vid tiden T och ge likviden till innehavaren av kontraktet. Vid tiden t erhålls därvid beloppet v(t) för utfärdandet av derivatet och efter köp av aktien kvarstår nettot v(t) S(t): Strategin ökar således portföljvärdet från noll till (v(t) S(t))e r i tidsintervallet från t till T där 3 = T t och r är räntan. Antag nu att v(t) < S(t): Denna olikhet leder till följande handlingsplan: låna aktien vid tiden t och sälj den omedelbart; köp därefter derivatet; vid tiden T utbetalar derivatet en summa som betalar köp av aktien, som lämnas tillbaka till långivaren. Strategin ger nettot S(t) v(t) vid tiden t. Vi har alltså funnit en strategi som ökar portföljvärdet från noll till (S(t) v(t))e r i tidsintervallet från t till T. En själv nansierande strategi som under ett givet tidsintervall ökar portföljvärdet från noll till ett positivt värde kallas för en arbitragestrategi. Sådana strategier är naturligtvis populära och en e ektiv värdepappershandel eliminerar alla arbitragestrategier. På en e ektiv marknad har det aktuella derivatet därför värdet v(t) = S(t) vid tiden t. Att låna aktier som säljs och senare köps tillbaka för att kunna lämnas tillbaka till långivaren kan eventuellt komma i kon ikt med regler för värdepappershandel. Dessa regler växlar från tid till annan och från land till land. Aktieägaren kan dock alltid resonera som i exemplet genom att rent ktivt låna av sig själv. Vi tar dominansprincipen som given i detta kapitel. Betrakta nu ett enkelt europeiskt derivat med lösendatum T och med utbetalningsfunktionen f(s) = s K

6 4 där K är en positiv konstant. På en marknad där dominansprincipen gäller får detta derivat värdet S(t) Ke r vid tiden t där som ovan = T t: Vid tiden T har nämligen derivatet ifråga samma värde som en portfölj bestående av en aktie och K obligationer. Väljs K så att motsvarande kontrakt är värdelöst vid teckningstiden t kallas K för aktiens terminspris vid tiden t för leverans vid tiden T och betecknas med Sterm(t). T Alltså gäller S T term(t) = S(t)e r : Vi kan som exemplen ovan visar värdera en del derivat av intresse med mycket enkla medel. Svårigheten ökar dock snabbt. Antag att en europeisk köpoption i aktien med lösenpriset K och lösendagen T har värdet c(t; S(t); K) vid tiden t. Det nns inte något enkelt sätt att bestämma detta värde. I själva verket kräver problemet en mycket ingående analys av aktieprisets dynamik. Om p(t; S(t); K) betecknar värdet för en motsvarande europeisk säljoption, så nns inte heller här någon enkel metod att bestämma optionsvärdet. Värdena för motsvarande optioner av amerikansk typ betecknas med C(t; S(t); K) respektive P (t; S(t); K). Inte heller dessa värden är enkla att bestämma. Om slutdagen T behöver betonas skriver vi p(t; S(t); K) = p(t; S(t); K; T ) och på motsvarande sätt för de övriga optionsvärdena. Följande relation mellan aktiepris, europeiskt köpoptionspris, europeiskt säljoptionspris och obligationspris är dock möjlig att visa utan kännedom om aktieprisets dynamik, nämligen S(t) c(t; S(t); K) = Ke r p(t; S(t); K): Vi behöver bara konstatera att relationen ifråga är sann för t = T samtidigt som vi noterar att vänstra ledet representerar värdet av en aktie och en utfärdad köpoption och högra ledet värdet av K obligationer och en utfärdad säljoption. Dominansprincipen medför att likheten även gäller före slutdagen (relationen kallas put-call parity relation på engelska). Relationen visar att den europeiska säljoptionen är lätt att värdera, så snart vi kan prissätta den europeiska köpoptionen. Vi ser också att värdet p(s(t )) vid tiden T är uppnåeligt på en kapitalmarknad som endast består av aktien, den europeiska köpoptionen och obligationen. Betrakta nu för givna positiva konstanter A; B; K och L funktionen f(s) = min(a(s K) + ; B(L s) + )

7 där K < L och där s är en positiv variabel. Denna polygonfunktions derivata har tre språngpunkter. Om vi subtraherar funktionen B(L s) + från funktionen f(s) så erhålls en polygonfunktion vars derivata har två språngpunkter. Man inser nu lätt att en lämplig kombination av säljoptioner med olika löptid har värdet f(s(t )) vid tiden T. Vi utnyttjar här handel i delar av värdepapper. Värdet f(s(t )) vid tiden T är därför uppnåeligt på en kapitalmarknad som endast består av aktien, europeiska köpoptioner och obligationen. Om f(s) betecknar en godtycklig polygonfunktion i intervallet s > så inser vi på liknande sätt att värdet f(s(t )) vid tiden T är uppnåeligt på en kapitalmarknad som endast består av aktien, europeiska köpoptioner i aktien och obligationen. Notera här att en godtycklig kontinuerlig funktion f på intervallet [; S] kan approximeras likformigt med polygonfunktioner (beviset bygger på Bolzano-Weierstrass sats som garanterar att en oändlig punktföljd i det slutna begränsade intervallet [; S] har minst en hopningspunkt). Av ovanstående drar vi slutsatsen att enkla europeiska kontrakt är ganska lätta att värdera så snart motsvarande punkt avgjorts för europeiska köpoptioner. Vi diskuterar nedan utöver vanliga köp- och säljoptioner av europeisk och amerikansk typ även mer invecklade så kallade betingade kontrakt. Bl a värderas medelvärdesoptioner och i näst sista kapitlet studeras ingående optionen att i slutet en given period få köpa en aktie till den allra lägsta aktiekurs som uppnåtts under perioden. Vi studerar också optionen att få byta en aktie mot en annan aktie t o m ett givet datum om kontraktsinnehavaren så önskar. Denna option illustrerar ett derivat som beror på era underliggande aktier. Det är idag en vanlig uppfattning att aktiepriser styrs av slump åtminstone på kort sikt. Pris uktuationerna uppvisar likheter med molekylers och aggregat av molekylers uktuationer, som först observerades av botanisten Brown år 187 och som behandlades teoretiskt av Einstein 195 [E] : Försök att förstå aktieprisers uktuationer och europeiska köpoptioner ledde år 19 fransmannen Bachelier till det anmärkningsvärda arbetet Théorie de la spéculation i Annales scienti ques de l École normale supérieure [BA] : Något överraskande behandlade Bachelier och Einstein samma matematiska grundekvationer. Den amerikanske matematikern Wiener gav år 193 en stringent matematisk behandling av Brownsk rörelse [W ]. Bachelier, som redan i början av seklet stöddes av Poincaré, hade inget stort vetenskapligt in ytande under sin livstid och ck ett tydligt erkännande för sin pionjärinsats inom matematisk nans först några år efter sin bortgång Genom Blacks och Scholes lösning av det europeiska köpoptionsproblemet 1973 [BS], som byg- 5

8 6 ger på japanen Itôs kalkyl med Brownska trajektorier, framstår Bacheliers uppsats från år 19 som en milstolpe i nansmatematikens historia. För en intressant artikel om Bacheliers insatser inom matematisk nans hänvisas till Samuelsons artikel [SAM ] : I de första sex kapitlen av denna framställning gör vi läsaren förtrogen med många fundamentala begrepp inom matematik såsom konvexitet, stokastiska processer och martingaler. I kapitel 7 härleder vi Black-Scholes berömda di erentialekvation med hjälp av den så kallade binomialmodellen som presenterades av Cox, Ross och Rubinstein [CRR] år Black- Scholes di erentialekvation ger teoretiska priser för enkla derivat av europeisk typ. De enkla amerikanska kontraktens teoretiska värden beräknas med hjälp av binomialapproximation. För att klargöra begreppet martingalmått, som spelar en nyckelroll i modern optionsteori, diskuterar vi i kapitel 1 translation av det så kallade Wienermåttet. Här spelar stokastiska integraler med deterministisk integrand en viktig roll. Detta integralbegrepp, som går tillbaka till ett arbete av Paley, Wiener och Zygmund [P W Z] från år 1933; hi kapitel 11 går vi in på Itôintegraler, som initier- IT ^O1 i h och IT ^O i från 194 respektive Det behandlas i kapitel 9. ades av Itô i arbetena visar sig att Itôintegraler är ett suveränt hjälpmedel för att värdera nansiella derivat och vi hoppas de kommer att ge läsaren stor glädje. Slutligen i det allra sista kapitlet behandlas Heaths, Jarrows och Mortons uppmärksammade modell för räntederivat i fallet av deterministisk volitilitetsstruktur [HJM] : Övningar I nedanstående övningar i detta kapitel förutsätts att marknaden erbjuder en aktie, en obligation och olika typer av aktiederivat. Vi antager dessutom att dominansprincipen gäller. Aktiens pris vid tiden t betecknas med S(t) och obligationens pris vid tiden t är lika med B(t) = B()e rt : Om t T så är = T t: 1. Visa att C(t; S(t); K) max(; S(t) K) och C(t; S(t); K) c(t; S(t); K):

9 7. Visa att c(t; S(t); K) max(; S(t) Ke r ): 3. Visa att (då aktien ej ger utdelning). 4. Visa att 5. Visa att och dra slutsatsen att C(t; S(t); K) = c(t; S(t); K) T T 1 ) c(t; S(t); K; T ) c(t; S(t); K; T 1 ): K K 1 ) c(t; S(t); K ) c(t; S(t); K 1 ) om derivatan i höger led c(t; S(t); 6. Visa att c(t; S(t); K) S(t): 7. Visa att K K 1 ) c(t; S(t); K ) c(t; S(t); K 1 ) e r (K K 1 ): Visa därefter c(t; S(t); e om derivatan i vänster led existerar. r 8. Visa att 9. Visa att 1. Visa att lim c(t; S(t); K) = : S(t)! lim c(t; S(t); K; T ) = S(t): T!1 c(t; S(t); K + K 1 ) c(t; S(t); K ) + c(t; S(t); K 1 ):

10 8 11. Visa att K P (t; S(t); K) max(; K S(t)): 1. Visa att det kan vara optimalt att inlösa en amerikansk säljoption före slutdagen 13. En aktie har priset S(t) vid tiden t: Antag t < T och betrakta ett derivat av europeisk typ med slutdagen T som utbetalar beloppet S(t ) vid tiden T: Visa med hjälp av dominansprincipen att derivatets värde vid tiden t < t är lika med S(t)e r(t t ) ; där r betecknar räntan. Vilket värde har derivatet vid tiden t [t ; T ]? 14. Låt t < T och n N + : Sätt h = 1 (T t n ) och t i = t + ih; i = 1; :::; n: Antag vidare att K > och betrakta två europeiska derivat av medelvärdestyp med utbetalningarna och X c = max(; X p = max(; K 1 n + 1 nx S(t i ) K) i= 1 n + 1 nx S(t i )) vid tidpunkten T: Antag dessa derivat har värdena v c (t) resp v p (t) vid tiden t: Visa att om t [t m 1 ; t m [ så gäller e r mx 1 S(t i ) + n + 1 i= i= 1 e r(n m+1)h 1 e rh S(t) n + 1 Ke r v p (t): Försök nna ett liknande samband för t < t : v c (t) = 15. Låt t < t < T och antag att aktien utdelar S(t ) vid tiden t där ]; 1[ : Bestäm värdet vid tiden t för ett derivat i aktien som utbetalar S(T ) vid tiden T: 16. Låt t < t < T och antag att aktien utdelar S(t ) vid tiden t där ]; 1[ : Visa att S T term(t) = (1 )e r S(t):

11 9. Konvexitet I detta kapitel uppmärksammas några grundläggande resultat inom konvexitetsteorin samtidigt som det funktionalanalytiska språket nöts in. I slutet av kapitlet används separationssatsen för slutna konvexa koner för att utreda frågan om arbitrage i samband med den så kallade binomialmodellen för en aktie och en obligation i ett tidssteg. Alla vektorrum nedan är reella vektorrum. En delmängd A av ett vektorrum E sägs vara konvex, om sträckan som förbinder två godtyckliga punkter i mängden alltid ligger i mängden dvs om x; y A ) x + (1 )y A; 1: En funktion f : A! R kallas konvex om A är konvex och x; y A ) f(x + (1 )y) f(x) + (1 )f(y); 1: En stokastisk variabel X med värden i ett vektorrum E sägs vara binomialfördelad om det existerar a; b E; a 6= b; och p ]; 1[ så att och P [X = a] = p P [X = b] = 1 p: Här de nieras väntevärdet E [X] av X genom att dvs E [X] = ap [X = a] + bp [X = b] E [X] = pa + (1 (Bokstaven E kommer här från engelskans expectation.) Alltså gäller att p)b: f(e [X]) E [f(x)] för varje konvex funktion de nierad på E. Denna olikhet kallas Jensens olikhet. En funktion f är konkav om f är konvex. En konvex funktion f : E! [; 1[ sådan att f(x) > om x 6= sägs vara en norm på E om f är jämn dvs f( x) = f(x); x E; och positivt homogen av graden ett

12 1 dvs f(x) = f(x); x E;. Om f är en norm skriver man ofta f(x) =k x k : Ett vektorrum E och en norm k : k på E bestämmer ett normerat rum som ibland skrivs (E; k : k): Om a E och r > de nieras B(a; r) = fx; x E och k x a k< rg : Mängden B(a; r) kallas för en öppen boll med centrum a och radie r: En delmängd U av det normerade rummet E är öppen om det för varje a U existerar r > så att bollen B(a; r) är en delmängd av U: En öppen boll är en öppen mängd. Unionen A [ B = fx E; x A eller x Bg av två öppna mängder A och B är öppen. Unionen av ett godtyckligt antal öppna mängder är också öppen. En delmängd F av det normerade rummet E kallas sluten om dess komplement är en öppen mängd. Snittet E n F = fx E; x = F g A \ B = fx E; x A och x Bg av två slutna mängder A och B är slutet. Detsamma gäller för snittet av ett godtyckligt antal slutna mängder. Snittet av alla slutna mängder som omfattar en given mängd A kallas för slutna höljet av A och betecknas med A. Unionen av alla öppna delmängder av en given mängd A kallas för det inre av A och betecknas med A o : En delmängd A av E sägs vara tät i E om A \ B(a; r) 6= ;; alla a E och r > : Här betecknar ; den tomma mängden. Det normerade rummet ( E ; k : k) sägs vara separabelt om det nns en sekvens (x n ) nn av element i E sådan att fx n ; n Ng är tät i E: En sekvens (x n ) nn i det normerade rummet E sägs vara konvergent om det nns ett x E så att lim k x n x k= : n!1 Det kan nnas högst en sådan vektor x och vi skriver lim x n = x: n!1

13 En delmängd K av E är kompakt om varje sekvens (x n ) nn av element i K innehåller en delföljd (x nk ) kn som konvergerar mot ett element i K. En sekvens (x n ) nn i E sägs vara en Cauchyföljd om det för varje " > existerar ett p N sådant att m; n > p )k x m x n k< " En konvergent följd är en Cauchyföljd. Det normerade rummet ( E ; k : k) är ett Banachrum om varje Cauchyföljd i E är konvergent. Rummet C([; T ]) av alla reellvärda kontinuerliga funktioner de nierade i det kompakta intervallet [; T ] med normen k x k 1 = max tt j x(t) j är ett separabelt Banachrum. Konvergens i detta rum kallas med klassisk terminologi för likformig konvergens. Om E är ett vektorrum de nieras E E = f(x; y); x; y Eg : En avbildning ' : E E! R kallas för en skalärprodukt i E om 11 (i) (ii) avbildningen x! '(x; y) är linjär för alla y E '(x; y) = '(y; x) för alla x; y E (iii) '(x; x) för alla x E med likhet om och endast om x = : Vi skriver i fortsättningen '(x; y) = (x; y) och k x k= p (x; x): Här uppfattas k x y k som avståndet mellan x och y. Med denna beteckning får vi kvadratregeln k x + y k =k x k +(x; y)+ k y k och parallellogramlagen k x + y k + k x y k = k x k + k y k :

14 1 Om x och y råkar vara ortogonala dvs om (x; y) = så ger kvadratregeln likheten k x + y k =k x k + k y k : Denna relation brukar kallas Pythagoras sats. Vi påminner också om Cauchy- Schwarz olikhet j (x; y) jk x kk y k som tillsammans med kvadratregeln ger triangelolikheten k x + y kk x k + k y k : Funktionen k : k blir således en norm på E. Ett vektorrum E och en skalärprodukt på E kallas ett Hilbertrum om motsvarande normerade rum är ett Banachrum. Rummet R n med skalärprodukten (x; y) = nx x k y k k=1 är ett Hilbertrum. Bolzano-Weierstrass sats innebär att de slutna begränsade delmängderna av detta rum är kompakta. Rummet l (N) bestående av alla sekvenser (x n ) nn i R sådana att 1X x n < 1 n= är ett Hilbertrum med skalärprodukten (x; y) = 1X x n y n : Den slutna enhetsbollen fx; k x k 1g i detta rum är inte kompakt. I resten av detta kapitel betecknar H ett Hilbertrum. n= Sats 1. (Närmaste punktegenskapen) Antag att A är en sluten, icketom och konvex delmängd av H och antag x H. Då nns en unik punkt y A sådan att inf za k x z k=k x y k :

15 13 Bevis. Antag d = inf za k x och låt (z n ) nn vara en sekvens i A sådan att Parallellogramlagen ger nu likheten z k lim k x z n k= d: n!1 (k x z m k + k x z n k ) = 4 k x och eftersom A är konvex följer att z m + z n k + k z n z m k Härav drar vi slutsatsen att z m + z n A: (k x z m k + k x z n k ) 4d + k z n z m k : Här är vänstra ledet godtyckligt nära 4d om m och n väljs tillräckligt stora varför sekvensen (z n ) nn är en Cauchyföljd. Denna är således konvergent eftersom H är ett Hilbertrum. Antag lim z n = y: n!1 Då A är sluten gäller att y A och vi får att inf k x z k=k x y k : za För att utreda entydighetsfrågan antages att vektorn y A är sådan att Relationen och parallellogramlagen ger nu inf k x z k=k x za y k : 4d = (k x y k + k x y k ) 4d = 4 k x y + y k + k y y k :

16 14 Eftersom y + y A följer att 4d 4d + k y y k dvs y = y. Detta avslutar beviset för sats 1. Vektorn y i sats 1 kallas för projektionen av x på A och betecknas med P A (x). Sats. Om A är en sluten, icke-tom och konvex delmängd av H och z A gäller att (x P A (x); z P A (x)) för alla x H. Bevis. Sätt y = P A (x). Om < < 1 gäller att k x y k k x ((1 )y + z) k dvs k x y k k (x y) (z y) k dvs (x y; z y) + k z y k : Genom att dividera denna olikhet med och sedan låta! erhålls (x y; z y): Härav följer sats omedelbart. Om B är en delmängd av H så de nieras B? = fx H; y B ) (x; y) = g : Mängden B? är ett slutet delrum av H. Notera också att B \ B? fg

17 15 eftersom Vidare gäller att (x; x) = ) x = : B (B? )? : Sats 3. (Topologiskt komplement) Antag F är ett slutet delrum av H: Varje x H har en entydig representation x = y + z där y F och z F? : Vidare gäller att y = P F (x) och z = P F?(x): Bevis. Antag x H har två framställningar x = y k + z k ; k = ; 1; där y ; y 1 F och z ; z 1 F?. Härav erhålls att y y 1 = z 1 z där vänstra ledet tillhör F och högra ledet tillhör F?. Eftersom F \F? = fg följer att y = y 1 och z = z 1 : För att utreda existensfrågan noterar vi att (x P F (x); u P F (x)) för varje u F enligt sats. Genom att ersätta u med u + P F (x) erhålls att x P F (x) F?. Alltså gäller att x = P F (x) + v där v F?. Eftersom x = v + P F (x)

18 16 och F (F? )? så följer också (genom att ersätta F med F? i ovanstående resonemang) att v = P F?(x): Detta avslutar beviset för sats 3. Följande så kallade separationssats för slutna konvexa mängder har era tillämpningar inom denna kurs. Sats 4. (Separationssatsen för slutna konvexa mängder) Antag A är en sluten, icke-tom och konvex delmängd av H och antag x = A. Då nns en vektor a H och R så att för alla x A. (a; x ) < (a; x) Bevis. Sätt x 1 = P A (x ) så att (x x 1 ; x x 1 ) ; x A: Vi de nierar nu a = x 1 x och får (a; x 1 ) (a; x); x A: Vidare gäller att (a; x ) < (a; x 1 ) eftersom a 6=. Vi kan därför de niera = (a; x 1 ) och sats 4 följer direkt. En icke-tom delmängd C av H sägs vara en konvex kon om C är konvex och x C ) x C

19 för alla. Separationssatsen för slutna konvexa koner får följande form. 17 Sats 5. (Separationssatsen för slutna konvexa koner) Antag C är en sluten konvex kon och antag x = C. Då nns a H så att (a; x ) < och för alla x C. (a; x) Bevis. Vi använder sats 4 med A = C och får a H och R så att (a; x ) < (a; x) för alla x C. Eftersom C måste vara icke-positivt. Om x C gäller att x C för alla > och vi drar slutsatsen att (a; x) = 1 (a; x) 1 där högra ledet konvergerar mot då! 1: Härav följer omedelbart sats 5. Antag a 1 ; :::; a n är en uppsättning vektorer i H. Dessa sägs vara positivt linjärt oberoende om nx k a k = ) 1 = ::: = n = k=1 för alla 1 ; ::::; n : Om vektorerna e; f H är ortogonala och nollskilda så är exempelvis uppsättningen e; f; e + f positivt linjärt oberoende. Om a 1 ; :::; a n H så betecknar C(a 1 ; :::; a n ) den minsta konvexa kon som innehåller a 1 ; :::; a n dvs ( nx ) C(a 1 ; :::; a n ) = k a k ; 1 ; ::::; n : k=1 Sats 6. Den konvexa konen C(a 1 ; :::; a n ) är sluten.

20 18 Bevis. Antag först att vektorerna a 1 ; :::; a n är positivt linjärt oberoende. Låt x tillhöra slutna höljet av C(a 1 ; :::; a n ) och antag x j C(a 1 ; :::; a n ); j N och lim j!1 x j = x: Skriv Vi påstår att x j = nx jk a k : k=1 sup jk < 1: j;k I motsatt fall nns k f1; :::; ng och en växande följd (j ) N av naturliga tal så att max k=1;:::;n j vk = jvk > och jk! 1; då! 1: Härav följer att x j jk = nx k=1 jk jk a k : Genom att utnyttja Bolzano-Weierstrass sats kan vi efter eventuell omnumrering antaga att varje sekvens jk jk ; N konvergerar mot ett visst icke-negativt tal k för k = 1; :::; n. Härav erhålls att nx k a k = : k=1 Eftersom k = 1 och vektorerna a 1 ; :::; a n är positivt linjärt oberoende har vi fått en motsägelse. Alltså gäller att sup jk < 1 j;k och genom att utnyttja Bolzano-Weierstrass sats och relationen x j = nx jk a k k=1

21 så följer att x tillhör C(a 1 ; :::; a n ): Det är nu lätt att avsluta beviset för sats 6. Antag nämligen att x C(a 1 ; :::; a n ) och låt mx x = i a ki i=1 där 1 ; :::; m > : Vi säger att denna representation är minimal om m ej kan göras mindre i denna typ av representation av vektorn x. Antag representationen är minimal. Vi påstår att vektorerna a ki ; i = 1; :::; m; är positivt linjärt oberoende. I annat fall nns icke-negativa tal i ; i = 1; :::; m; ej alla lika med noll sådana att mx i a ki = : Härav erhålls att x = i=1 mx ( i t i )a ki i=1 där t > väljes så att ( i t i ) ; i = 1; :::; m; och så att likhet inträ ar för något index i. Detta visar emellertid att vår tidigare representation av x ej är minimal och av denna motsägelse drar vi slutsatsen att vektorerna a ki ; i = 1; :::; m; är positivt linjärt oberoende. Således gäller att C(a 1 ; :::; a n ) = [ [C(a k1 ; :::; a km ); a k1 ; :::; a km positivt linjärt oberoende] : Den första delen av beviset visar nu resultatet eftersom en ändlig union av slutna mängder är sluten. 19 Om x = (x 1 ; :::; x n ) är en vektor i R n och x 1 ; :::; x n skriver vi i fortsättningen ofta x : Vektorn x uppfattas här ofta som en kolonnmatris. Transponatet av en matris A becknas med A : Den vanliga skalärprodukten av två vektorer x och y i R n kan därför skrivas x y: Sats 7. (Farkas lemma) Antag A = (a jk ) 1jm; 1kn är en matris med reella element och antag b R m. Låt vidare a k ; k=1,...,n, beteckna matrisens kolonner. Då gäller exakt ett av följande alternativ:

22 (i) ekvationen Ax = b x är lösbar (ii) det nns h R m så att h b < h a k ; k = 1; :::; n: Bevis. Alternativet (i) gäller om och endast om b C(a 1 ; :::; a n ) och beroende på separationssatsen för slutna konvexa koner så gäller alternativet (ii) om och endast om b = C(a 1 ; :::; a n ). Detta bevisar sats 7. Korollarium 1. Antag A = (a jk ) 1jm; 1kn är en matris med reella element och antag b R m. Låt vidare a k ; k=1,...,n, beteckna matrisens kolonner. Då gäller exakt ett av följande alternativ: (i) ekvationen Ax = b x 1 ; :::; x n > ; R är lösbar (ii) det nns h R m så att 8 < : h b = h a k ; k = 1; :::; n h a k > ; för något k = 1; :::; n: : Bevis. Antag först att ekvationerna i (i) och (ii) är uppfyllda. Då är (h A)x > :

23 Men så h (Ax) = h (b) = (h b) = = (h A)x = och vi har fått en motsägelse. Alltså gäller högst en av (i) och (ii). Vi antar nu att (ii) ej är gäller och skall visa att ekvationen i (i) är lösbar, vilket avslutar beviset för Korollarium 1. Om (ii) ej gäller saknar systemet 8 >< >: h b h ( b) h a k ; k f1; :::; n g n fjg h ( a j ) < lösning för j = 1; :::; n: Enligt Farkas lemma betyder detta att ekvationerna b + ( b) 1 + a 1 x 1 + ::: + a j 1 x j 1 + a j+1 x j+1 + ::: + a n x n = a j ; 1 ; x 1 ; :::; x j 1 ; x j+1 ; :::; x n är lösbara för alla j = 1; :::; n; dvs ekvationerna ( a 1 x (j) 1 + ::: + a j 1 x (j) j 1 + a jx (j) j + a j+1 x (j) j+1 + ::: + a nx () n = b (j) x (j) 1 ; :::; x (j) j 1 ; x(j) j+1 ; :::; x(j) n ; x (j) j = 1; (j) R är lösbara för alla j = 1; :::; n: Genom att addera dessa ekvationer följer att ekvationen i (i) är lösbar. : 1 Exempel 1. Betrakta en matematisk modell för en kapitalmarknad bestående av en aktie med priset S(t) vid tiden t och en obligation med priset B(t) vid tiden t. Vi antager att tidsvariabeln t endast kan anta två värden, nämligen eller 1. Låt B(1) = B()e r där r > och låt S(1) = S()e X : Vi antager här att X är en reellvärd binomialfördelad stokastisk variabel och att det går att välja u; d R, som uppfyller u > d; så att händelsen [X 6= u och X 6= d] = fx = fu; dgg

24 aldrig inträ ar (dvs är en tom mängd). Speciellt följer att P [X = u] + P [X = d] = 1 där varje term i vänster led är positiv. Denna enkla modell kallas binomialmodellen för en aktie och en obligation i ett tidssteg. Vi skall först de niera begreppet arbitrage i denna modell. Betrakta därför en portfölj bestående av h S aktier och h B obligationer. Dess värde vid tiden t ges av v(t) = h S S(t) + h B B(t): Vi säger att ett arbitrage av första slaget uppstår om portföljen kan väljas så att v() = och v(1) > : Genom att variera antalet obligationer i portföljen inses att ett arbitrage av första slaget uppstår om och endast om portföljen kan väljas så att v() < och v(1) : Utskrivet mer explicit innebär detta att h S S() + h B B() < och hs S()e u + h B B()e r h S S()e d + h B B()e r vilket med tanke på Farkas lemma innebär att modellen saknar arbitrage av första slaget om och endast om det existerar reella tal x; y sådana att S()e u x + S()e d y = S() Detta ekvationssystem har lösningen B()e r x + B()e r y = B(): x = e r e r e u y = e r e u e u e d e d e r e d och vi ser att x; y precis då d r u: