MATEMATIK OCH OPTIONER

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "MATEMATIK OCH OPTIONER"

Transkript

1 MATEMATIK OCH OPTIONER Matematikkurs vid CTH och GU Christer Borell Matematiska institutionen CTH&GU Göteborg (Version: sep 99)

2 Innehåll kap sid 1 Några inledande ord om nansiella derivat 1 Konvexitet 9 3 Måtteori 9 4 Stokastiska grundbegrepp 53 5 Konstruktion av Brownsk rörelse och Gaussiska processer 73 6 Centrala gränsvärdessatsen 97 7 Black-Scholes di erentialekvation 17 8 Utdelningsprocesser 15 9 Paley-Wiener-Zygmunds stokastiska integral Translation av Wienermått och prissättning av derivat Stokastiska integraler av Itôs typ Själv nansierande portföljstrategier Flera underliggande aktier Stopptid 9 15 HJM-modellen vid deterministisk volatilitetsstruktur 3 Tentamensskrivningar med lösningar 39 Referenser 73

3 1 1. Några inledande ord om nansiella derivat Ett värdepapper som de nieras i termer av andra värdepapper kallas ett - nansiellt derivat. Inledningsvis betraktar vi endast nansiella derivat, som de nieras av ett enda värdepapper, nämligen en aktie. Aktiens pris vid tiden t betecknas med S(t). Låt nu T vara ett givet framtida datum och antag att ett visst derivat i aktien kan inlösas vid tiden T och då utbetalar beloppet f(s(t )). Ett sådant derivat sägs vara ett enkelt derivat av europeisk typ eller ett enkelt kontrakt av europeisk typ. Här kallas f utbetalningsfunktion eller kontraktsfunktion och T kallas slutdag eller mognadsdag för kontraktet. Ett motsvarande amerikanskt kontrakt med utbetalningsfunktionen f kan inlösas vid vilken tidpunkt t som helst före eller på slutdagen T om kontraktsinnehavaren så önskar och utbetalar då beloppet f(s(t)). Antag nu att K är ett givet positivt tal. En europeisk köpoption i aktien med lösenpris K och slutdag T är rättigheten, men ej skyldigheten, att köpa en aktie till priset K vid tiden T. En europeisk säljoption i aktien med lösenpris K och slutdag T är rättigheten, men ej skyldigheten, att sälja en aktie till priset K vid tiden T: På liknande sätt är en amerikansk köpoption (säljoption) i aktien med lösenpris K och slutdag T rättigheten, men ej skyldigheten, att vid ett tillfälle köpa (sälja) en aktie till priset K under tidsperioden från nu fram till och med tidpunkten T. Slutdagen för en aktieoption kallas också lösendag. Ett enkelt derivat av europeisk typ med utbetalningsfunktionen c(s) = max(; s K) och slutdagen T är på en friktionsfri marknad ekvivalent med en europeisk köpoption med lösenpriset K och lösendagen T: Notera också att på en friktionsfri marknad är ett enkelt derivat av europeisk typ med utbetalningsfunktionen p(s) = max(; K s) och slutdagen T ekvivalent med en europeisk säljoption med lösenpriset K och lösendagen T. Köpoption heter call på engelska och säljoption put, vilket ligger till grund för våra beteckningar. I begreppet friktionsfri marknad inbegripes gratis transaktioner av värdepapper samt att in- och utlåningsräntan är lika. Därutöver antas att lån av värdepapper är gratis samt att

4 handel förekommer i delar av värdepapper. Vi bortser också från alla typer av skatter. I denna framställning förutsätts att alla kapitalmarknader är friktionsfria. Om inte annat anges förutsätts också att aktien ej ger utdelning och att räntan är konstant. Aktier och optionskontrakt är mycket gamla företeelser. Aktier har varit kända under minst 75 år. Merton berättar i sin bok Continuous-Time Finance [M ER1] om handel i köpoptionsliknande instrument på Amsterdams fondbörs för 35 år sedan. Optionskontrakt på jordbruksprodukter användes för övrigt redan av medeltidens köpmän [GEM] : Att värdera - nansiella derivat på ett teoretiskt övertygande sätt har emellertid varit svårt i historien och problemet ck ingen tillfredsställande lösning förrän under 197-talet. Begreppet arbitrage dvs riskfri vinst är här mycket centralt. Det mest komplicerade momentet i detta sammanhang består dock i att förstå de underliggande värdepapperens prisdynamik. Den matematiska teorin för stokastiska processer har hittills spelat en avgörande roll för de framsteg som gjorts. En kombination av värdepapper kallas för en portfölj. Vi tillåter värdepappersinnehav i delar av värdepapper, som eventuellt kan vara negativa. Vi antar alltid att marknaden erbjuder obligationer. Betrakta en godtycklig portfölj A med värdet V A (t) vid tiden t. Om V A (T ) medför att V A (t) för alla tider t < T så sägs dominansprincipen gälla (jmfr [S]). På en arbitragefri marknad gäller dominansprincipen. Om en portfölj består av aktier, obligationer och derivat av europeisk typ och portföljen är värdelös vid en viss tid, så medför dominansprincipen att portföljen är värdelös vid alla tidigare tidpunkter. En portföljstrategi där byte av värdepapper tillåts utan att portföljvärdet ändras i samband med bytet kallas själv nansierande. Dominansprincipens de nition kan generaliseras till denna allmännare situation. Vi utnyttjar i denna framställning ofta en obligation vars värde B(t) vid tiden t ges av ekvationen B(t) = Ce rt där C och r är positiva konstanter. Observera B(t) = B()e rt : Vi uppfattar här storheten r som kontinuerlig ränta. Stokastisk ränta studeras först i kapitel 15.

5 För att belysa dominansprincipen betraktar vi ett enkelt europeiskt derivat i aktien med slutdagen T och utbetalningsfunktionen f(s) = s: Låt v(t) beteckna derivatets värde vid tiden t. Antag först att v(t) > S(t): Detta leder till följande handlingsplan: utfärda derivatet och köp aktien vid tiden t; sälj aktien vid tiden T och ge likviden till innehavaren av kontraktet. Vid tiden t erhålls därvid beloppet v(t) för utfärdandet av derivatet och efter köp av aktien kvarstår nettot v(t) S(t): Strategin ökar således portföljvärdet från noll till (v(t) S(t))e r i tidsintervallet från t till T där 3 = T t och r är räntan. Antag nu att v(t) < S(t): Denna olikhet leder till följande handlingsplan: låna aktien vid tiden t och sälj den omedelbart; köp därefter derivatet; vid tiden T utbetalar derivatet en summa som betalar köp av aktien, som lämnas tillbaka till långivaren. Strategin ger nettot S(t) v(t) vid tiden t. Vi har alltså funnit en strategi som ökar portföljvärdet från noll till (S(t) v(t))e r i tidsintervallet från t till T. En själv nansierande strategi som under ett givet tidsintervall ökar portföljvärdet från noll till ett positivt värde kallas för en arbitragestrategi. Sådana strategier är naturligtvis populära och en e ektiv värdepappershandel eliminerar alla arbitragestrategier. På en e ektiv marknad har det aktuella derivatet därför värdet v(t) = S(t) vid tiden t. Att låna aktier som säljs och senare köps tillbaka för att kunna lämnas tillbaka till långivaren kan eventuellt komma i kon ikt med regler för värdepappershandel. Dessa regler växlar från tid till annan och från land till land. Aktieägaren kan dock alltid resonera som i exemplet genom att rent ktivt låna av sig själv. Vi tar dominansprincipen som given i detta kapitel. Betrakta nu ett enkelt europeiskt derivat med lösendatum T och med utbetalningsfunktionen f(s) = s K

6 4 där K är en positiv konstant. På en marknad där dominansprincipen gäller får detta derivat värdet S(t) Ke r vid tiden t där som ovan = T t: Vid tiden T har nämligen derivatet ifråga samma värde som en portfölj bestående av en aktie och K obligationer. Väljs K så att motsvarande kontrakt är värdelöst vid teckningstiden t kallas K för aktiens terminspris vid tiden t för leverans vid tiden T och betecknas med Sterm(t). T Alltså gäller S T term(t) = S(t)e r : Vi kan som exemplen ovan visar värdera en del derivat av intresse med mycket enkla medel. Svårigheten ökar dock snabbt. Antag att en europeisk köpoption i aktien med lösenpriset K och lösendagen T har värdet c(t; S(t); K) vid tiden t. Det nns inte något enkelt sätt att bestämma detta värde. I själva verket kräver problemet en mycket ingående analys av aktieprisets dynamik. Om p(t; S(t); K) betecknar värdet för en motsvarande europeisk säljoption, så nns inte heller här någon enkel metod att bestämma optionsvärdet. Värdena för motsvarande optioner av amerikansk typ betecknas med C(t; S(t); K) respektive P (t; S(t); K). Inte heller dessa värden är enkla att bestämma. Om slutdagen T behöver betonas skriver vi p(t; S(t); K) = p(t; S(t); K; T ) och på motsvarande sätt för de övriga optionsvärdena. Följande relation mellan aktiepris, europeiskt köpoptionspris, europeiskt säljoptionspris och obligationspris är dock möjlig att visa utan kännedom om aktieprisets dynamik, nämligen S(t) c(t; S(t); K) = Ke r p(t; S(t); K): Vi behöver bara konstatera att relationen ifråga är sann för t = T samtidigt som vi noterar att vänstra ledet representerar värdet av en aktie och en utfärdad köpoption och högra ledet värdet av K obligationer och en utfärdad säljoption. Dominansprincipen medför att likheten även gäller före slutdagen (relationen kallas put-call parity relation på engelska). Relationen visar att den europeiska säljoptionen är lätt att värdera, så snart vi kan prissätta den europeiska köpoptionen. Vi ser också att värdet p(s(t )) vid tiden T är uppnåeligt på en kapitalmarknad som endast består av aktien, den europeiska köpoptionen och obligationen. Betrakta nu för givna positiva konstanter A; B; K och L funktionen f(s) = min(a(s K) + ; B(L s) + )

7 där K < L och där s är en positiv variabel. Denna polygonfunktions derivata har tre språngpunkter. Om vi subtraherar funktionen B(L s) + från funktionen f(s) så erhålls en polygonfunktion vars derivata har två språngpunkter. Man inser nu lätt att en lämplig kombination av säljoptioner med olika löptid har värdet f(s(t )) vid tiden T. Vi utnyttjar här handel i delar av värdepapper. Värdet f(s(t )) vid tiden T är därför uppnåeligt på en kapitalmarknad som endast består av aktien, europeiska köpoptioner och obligationen. Om f(s) betecknar en godtycklig polygonfunktion i intervallet s > så inser vi på liknande sätt att värdet f(s(t )) vid tiden T är uppnåeligt på en kapitalmarknad som endast består av aktien, europeiska köpoptioner i aktien och obligationen. Notera här att en godtycklig kontinuerlig funktion f på intervallet [; S] kan approximeras likformigt med polygonfunktioner (beviset bygger på Bolzano-Weierstrass sats som garanterar att en oändlig punktföljd i det slutna begränsade intervallet [; S] har minst en hopningspunkt). Av ovanstående drar vi slutsatsen att enkla europeiska kontrakt är ganska lätta att värdera så snart motsvarande punkt avgjorts för europeiska köpoptioner. Vi diskuterar nedan utöver vanliga köp- och säljoptioner av europeisk och amerikansk typ även mer invecklade så kallade betingade kontrakt. Bl a värderas medelvärdesoptioner och i näst sista kapitlet studeras ingående optionen att i slutet en given period få köpa en aktie till den allra lägsta aktiekurs som uppnåtts under perioden. Vi studerar också optionen att få byta en aktie mot en annan aktie t o m ett givet datum om kontraktsinnehavaren så önskar. Denna option illustrerar ett derivat som beror på era underliggande aktier. Det är idag en vanlig uppfattning att aktiepriser styrs av slump åtminstone på kort sikt. Pris uktuationerna uppvisar likheter med molekylers och aggregat av molekylers uktuationer, som först observerades av botanisten Brown år 187 och som behandlades teoretiskt av Einstein 195 [E] : Försök att förstå aktieprisers uktuationer och europeiska köpoptioner ledde år 19 fransmannen Bachelier till det anmärkningsvärda arbetet Théorie de la spéculation i Annales scienti ques de l École normale supérieure [BA] : Något överraskande behandlade Bachelier och Einstein samma matematiska grundekvationer. Den amerikanske matematikern Wiener gav år 193 en stringent matematisk behandling av Brownsk rörelse [W ]. Bachelier, som redan i början av seklet stöddes av Poincaré, hade inget stort vetenskapligt in ytande under sin livstid och ck ett tydligt erkännande för sin pionjärinsats inom matematisk nans först några år efter sin bortgång Genom Blacks och Scholes lösning av det europeiska köpoptionsproblemet 1973 [BS], som byg- 5

8 6 ger på japanen Itôs kalkyl med Brownska trajektorier, framstår Bacheliers uppsats från år 19 som en milstolpe i nansmatematikens historia. För en intressant artikel om Bacheliers insatser inom matematisk nans hänvisas till Samuelsons artikel [SAM ] : I de första sex kapitlen av denna framställning gör vi läsaren förtrogen med många fundamentala begrepp inom matematik såsom konvexitet, stokastiska processer och martingaler. I kapitel 7 härleder vi Black-Scholes berömda di erentialekvation med hjälp av den så kallade binomialmodellen som presenterades av Cox, Ross och Rubinstein [CRR] år Black- Scholes di erentialekvation ger teoretiska priser för enkla derivat av europeisk typ. De enkla amerikanska kontraktens teoretiska värden beräknas med hjälp av binomialapproximation. För att klargöra begreppet martingalmått, som spelar en nyckelroll i modern optionsteori, diskuterar vi i kapitel 1 translation av det så kallade Wienermåttet. Här spelar stokastiska integraler med deterministisk integrand en viktig roll. Detta integralbegrepp, som går tillbaka till ett arbete av Paley, Wiener och Zygmund [P W Z] från år 1933; hi kapitel 11 går vi in på Itôintegraler, som initier- IT ^O1 i h och IT ^O i från 194 respektive Det behandlas i kapitel 9. ades av Itô i arbetena visar sig att Itôintegraler är ett suveränt hjälpmedel för att värdera nansiella derivat och vi hoppas de kommer att ge läsaren stor glädje. Slutligen i det allra sista kapitlet behandlas Heaths, Jarrows och Mortons uppmärksammade modell för räntederivat i fallet av deterministisk volitilitetsstruktur [HJM] : Övningar I nedanstående övningar i detta kapitel förutsätts att marknaden erbjuder en aktie, en obligation och olika typer av aktiederivat. Vi antager dessutom att dominansprincipen gäller. Aktiens pris vid tiden t betecknas med S(t) och obligationens pris vid tiden t är lika med B(t) = B()e rt : Om t T så är = T t: 1. Visa att C(t; S(t); K) max(; S(t) K) och C(t; S(t); K) c(t; S(t); K):

9 7. Visa att c(t; S(t); K) max(; S(t) Ke r ): 3. Visa att (då aktien ej ger utdelning). 4. Visa att 5. Visa att och dra slutsatsen att C(t; S(t); K) = c(t; S(t); K) T T 1 ) c(t; S(t); K; T ) c(t; S(t); K; T 1 ): K K 1 ) c(t; S(t); K ) c(t; S(t); K 1 ) om derivatan i höger led c(t; S(t); 6. Visa att c(t; S(t); K) S(t): 7. Visa att K K 1 ) c(t; S(t); K ) c(t; S(t); K 1 ) e r (K K 1 ): Visa därefter c(t; S(t); e om derivatan i vänster led existerar. r 8. Visa att 9. Visa att 1. Visa att lim c(t; S(t); K) = : S(t)! lim c(t; S(t); K; T ) = S(t): T!1 c(t; S(t); K + K 1 ) c(t; S(t); K ) + c(t; S(t); K 1 ):

10 8 11. Visa att K P (t; S(t); K) max(; K S(t)): 1. Visa att det kan vara optimalt att inlösa en amerikansk säljoption före slutdagen 13. En aktie har priset S(t) vid tiden t: Antag t < T och betrakta ett derivat av europeisk typ med slutdagen T som utbetalar beloppet S(t ) vid tiden T: Visa med hjälp av dominansprincipen att derivatets värde vid tiden t < t är lika med S(t)e r(t t ) ; där r betecknar räntan. Vilket värde har derivatet vid tiden t [t ; T ]? 14. Låt t < T och n N + : Sätt h = 1 (T t n ) och t i = t + ih; i = 1; :::; n: Antag vidare att K > och betrakta två europeiska derivat av medelvärdestyp med utbetalningarna och X c = max(; X p = max(; K 1 n + 1 nx S(t i ) K) i= 1 n + 1 nx S(t i )) vid tidpunkten T: Antag dessa derivat har värdena v c (t) resp v p (t) vid tiden t: Visa att om t [t m 1 ; t m [ så gäller e r mx 1 S(t i ) + n + 1 i= i= 1 e r(n m+1)h 1 e rh S(t) n + 1 Ke r v p (t): Försök nna ett liknande samband för t < t : v c (t) = 15. Låt t < t < T och antag att aktien utdelar S(t ) vid tiden t där ]; 1[ : Bestäm värdet vid tiden t för ett derivat i aktien som utbetalar S(T ) vid tiden T: 16. Låt t < t < T och antag att aktien utdelar S(t ) vid tiden t där ]; 1[ : Visa att S T term(t) = (1 )e r S(t):

11 9. Konvexitet I detta kapitel uppmärksammas några grundläggande resultat inom konvexitetsteorin samtidigt som det funktionalanalytiska språket nöts in. I slutet av kapitlet används separationssatsen för slutna konvexa koner för att utreda frågan om arbitrage i samband med den så kallade binomialmodellen för en aktie och en obligation i ett tidssteg. Alla vektorrum nedan är reella vektorrum. En delmängd A av ett vektorrum E sägs vara konvex, om sträckan som förbinder två godtyckliga punkter i mängden alltid ligger i mängden dvs om x; y A ) x + (1 )y A; 1: En funktion f : A! R kallas konvex om A är konvex och x; y A ) f(x + (1 )y) f(x) + (1 )f(y); 1: En stokastisk variabel X med värden i ett vektorrum E sägs vara binomialfördelad om det existerar a; b E; a 6= b; och p ]; 1[ så att och P [X = a] = p P [X = b] = 1 p: Här de nieras väntevärdet E [X] av X genom att dvs E [X] = ap [X = a] + bp [X = b] E [X] = pa + (1 (Bokstaven E kommer här från engelskans expectation.) Alltså gäller att p)b: f(e [X]) E [f(x)] för varje konvex funktion de nierad på E. Denna olikhet kallas Jensens olikhet. En funktion f är konkav om f är konvex. En konvex funktion f : E! [; 1[ sådan att f(x) > om x 6= sägs vara en norm på E om f är jämn dvs f( x) = f(x); x E; och positivt homogen av graden ett

12 1 dvs f(x) = f(x); x E;. Om f är en norm skriver man ofta f(x) =k x k : Ett vektorrum E och en norm k : k på E bestämmer ett normerat rum som ibland skrivs (E; k : k): Om a E och r > de nieras B(a; r) = fx; x E och k x a k< rg : Mängden B(a; r) kallas för en öppen boll med centrum a och radie r: En delmängd U av det normerade rummet E är öppen om det för varje a U existerar r > så att bollen B(a; r) är en delmängd av U: En öppen boll är en öppen mängd. Unionen A [ B = fx E; x A eller x Bg av två öppna mängder A och B är öppen. Unionen av ett godtyckligt antal öppna mängder är också öppen. En delmängd F av det normerade rummet E kallas sluten om dess komplement är en öppen mängd. Snittet E n F = fx E; x = F g A \ B = fx E; x A och x Bg av två slutna mängder A och B är slutet. Detsamma gäller för snittet av ett godtyckligt antal slutna mängder. Snittet av alla slutna mängder som omfattar en given mängd A kallas för slutna höljet av A och betecknas med A. Unionen av alla öppna delmängder av en given mängd A kallas för det inre av A och betecknas med A o : En delmängd A av E sägs vara tät i E om A \ B(a; r) 6= ;; alla a E och r > : Här betecknar ; den tomma mängden. Det normerade rummet ( E ; k : k) sägs vara separabelt om det nns en sekvens (x n ) nn av element i E sådan att fx n ; n Ng är tät i E: En sekvens (x n ) nn i det normerade rummet E sägs vara konvergent om det nns ett x E så att lim k x n x k= : n!1 Det kan nnas högst en sådan vektor x och vi skriver lim x n = x: n!1

13 En delmängd K av E är kompakt om varje sekvens (x n ) nn av element i K innehåller en delföljd (x nk ) kn som konvergerar mot ett element i K. En sekvens (x n ) nn i E sägs vara en Cauchyföljd om det för varje " > existerar ett p N sådant att m; n > p )k x m x n k< " En konvergent följd är en Cauchyföljd. Det normerade rummet ( E ; k : k) är ett Banachrum om varje Cauchyföljd i E är konvergent. Rummet C([; T ]) av alla reellvärda kontinuerliga funktioner de nierade i det kompakta intervallet [; T ] med normen k x k 1 = max tt j x(t) j är ett separabelt Banachrum. Konvergens i detta rum kallas med klassisk terminologi för likformig konvergens. Om E är ett vektorrum de nieras E E = f(x; y); x; y Eg : En avbildning ' : E E! R kallas för en skalärprodukt i E om 11 (i) (ii) avbildningen x! '(x; y) är linjär för alla y E '(x; y) = '(y; x) för alla x; y E (iii) '(x; x) för alla x E med likhet om och endast om x = : Vi skriver i fortsättningen '(x; y) = (x; y) och k x k= p (x; x): Här uppfattas k x y k som avståndet mellan x och y. Med denna beteckning får vi kvadratregeln k x + y k =k x k +(x; y)+ k y k och parallellogramlagen k x + y k + k x y k = k x k + k y k :

14 1 Om x och y råkar vara ortogonala dvs om (x; y) = så ger kvadratregeln likheten k x + y k =k x k + k y k : Denna relation brukar kallas Pythagoras sats. Vi påminner också om Cauchy- Schwarz olikhet j (x; y) jk x kk y k som tillsammans med kvadratregeln ger triangelolikheten k x + y kk x k + k y k : Funktionen k : k blir således en norm på E. Ett vektorrum E och en skalärprodukt på E kallas ett Hilbertrum om motsvarande normerade rum är ett Banachrum. Rummet R n med skalärprodukten (x; y) = nx x k y k k=1 är ett Hilbertrum. Bolzano-Weierstrass sats innebär att de slutna begränsade delmängderna av detta rum är kompakta. Rummet l (N) bestående av alla sekvenser (x n ) nn i R sådana att 1X x n < 1 n= är ett Hilbertrum med skalärprodukten (x; y) = 1X x n y n : Den slutna enhetsbollen fx; k x k 1g i detta rum är inte kompakt. I resten av detta kapitel betecknar H ett Hilbertrum. n= Sats 1. (Närmaste punktegenskapen) Antag att A är en sluten, icketom och konvex delmängd av H och antag x H. Då nns en unik punkt y A sådan att inf za k x z k=k x y k :

15 13 Bevis. Antag d = inf za k x och låt (z n ) nn vara en sekvens i A sådan att Parallellogramlagen ger nu likheten z k lim k x z n k= d: n!1 (k x z m k + k x z n k ) = 4 k x och eftersom A är konvex följer att z m + z n k + k z n z m k Härav drar vi slutsatsen att z m + z n A: (k x z m k + k x z n k ) 4d + k z n z m k : Här är vänstra ledet godtyckligt nära 4d om m och n väljs tillräckligt stora varför sekvensen (z n ) nn är en Cauchyföljd. Denna är således konvergent eftersom H är ett Hilbertrum. Antag lim z n = y: n!1 Då A är sluten gäller att y A och vi får att inf k x z k=k x y k : za För att utreda entydighetsfrågan antages att vektorn y A är sådan att Relationen och parallellogramlagen ger nu inf k x z k=k x za y k : 4d = (k x y k + k x y k ) 4d = 4 k x y + y k + k y y k :

16 14 Eftersom y + y A följer att 4d 4d + k y y k dvs y = y. Detta avslutar beviset för sats 1. Vektorn y i sats 1 kallas för projektionen av x på A och betecknas med P A (x). Sats. Om A är en sluten, icke-tom och konvex delmängd av H och z A gäller att (x P A (x); z P A (x)) för alla x H. Bevis. Sätt y = P A (x). Om < < 1 gäller att k x y k k x ((1 )y + z) k dvs k x y k k (x y) (z y) k dvs (x y; z y) + k z y k : Genom att dividera denna olikhet med och sedan låta! erhålls (x y; z y): Härav följer sats omedelbart. Om B är en delmängd av H så de nieras B? = fx H; y B ) (x; y) = g : Mängden B? är ett slutet delrum av H. Notera också att B \ B? fg

17 15 eftersom Vidare gäller att (x; x) = ) x = : B (B? )? : Sats 3. (Topologiskt komplement) Antag F är ett slutet delrum av H: Varje x H har en entydig representation x = y + z där y F och z F? : Vidare gäller att y = P F (x) och z = P F?(x): Bevis. Antag x H har två framställningar x = y k + z k ; k = ; 1; där y ; y 1 F och z ; z 1 F?. Härav erhålls att y y 1 = z 1 z där vänstra ledet tillhör F och högra ledet tillhör F?. Eftersom F \F? = fg följer att y = y 1 och z = z 1 : För att utreda existensfrågan noterar vi att (x P F (x); u P F (x)) för varje u F enligt sats. Genom att ersätta u med u + P F (x) erhålls att x P F (x) F?. Alltså gäller att x = P F (x) + v där v F?. Eftersom x = v + P F (x)

18 16 och F (F? )? så följer också (genom att ersätta F med F? i ovanstående resonemang) att v = P F?(x): Detta avslutar beviset för sats 3. Följande så kallade separationssats för slutna konvexa mängder har era tillämpningar inom denna kurs. Sats 4. (Separationssatsen för slutna konvexa mängder) Antag A är en sluten, icke-tom och konvex delmängd av H och antag x = A. Då nns en vektor a H och R så att för alla x A. (a; x ) < (a; x) Bevis. Sätt x 1 = P A (x ) så att (x x 1 ; x x 1 ) ; x A: Vi de nierar nu a = x 1 x och får (a; x 1 ) (a; x); x A: Vidare gäller att (a; x ) < (a; x 1 ) eftersom a 6=. Vi kan därför de niera = (a; x 1 ) och sats 4 följer direkt. En icke-tom delmängd C av H sägs vara en konvex kon om C är konvex och x C ) x C

19 för alla. Separationssatsen för slutna konvexa koner får följande form. 17 Sats 5. (Separationssatsen för slutna konvexa koner) Antag C är en sluten konvex kon och antag x = C. Då nns a H så att (a; x ) < och för alla x C. (a; x) Bevis. Vi använder sats 4 med A = C och får a H och R så att (a; x ) < (a; x) för alla x C. Eftersom C måste vara icke-positivt. Om x C gäller att x C för alla > och vi drar slutsatsen att (a; x) = 1 (a; x) 1 där högra ledet konvergerar mot då! 1: Härav följer omedelbart sats 5. Antag a 1 ; :::; a n är en uppsättning vektorer i H. Dessa sägs vara positivt linjärt oberoende om nx k a k = ) 1 = ::: = n = k=1 för alla 1 ; ::::; n : Om vektorerna e; f H är ortogonala och nollskilda så är exempelvis uppsättningen e; f; e + f positivt linjärt oberoende. Om a 1 ; :::; a n H så betecknar C(a 1 ; :::; a n ) den minsta konvexa kon som innehåller a 1 ; :::; a n dvs ( nx ) C(a 1 ; :::; a n ) = k a k ; 1 ; ::::; n : k=1 Sats 6. Den konvexa konen C(a 1 ; :::; a n ) är sluten.

20 18 Bevis. Antag först att vektorerna a 1 ; :::; a n är positivt linjärt oberoende. Låt x tillhöra slutna höljet av C(a 1 ; :::; a n ) och antag x j C(a 1 ; :::; a n ); j N och lim j!1 x j = x: Skriv Vi påstår att x j = nx jk a k : k=1 sup jk < 1: j;k I motsatt fall nns k f1; :::; ng och en växande följd (j ) N av naturliga tal så att max k=1;:::;n j vk = jvk > och jk! 1; då! 1: Härav följer att x j jk = nx k=1 jk jk a k : Genom att utnyttja Bolzano-Weierstrass sats kan vi efter eventuell omnumrering antaga att varje sekvens jk jk ; N konvergerar mot ett visst icke-negativt tal k för k = 1; :::; n. Härav erhålls att nx k a k = : k=1 Eftersom k = 1 och vektorerna a 1 ; :::; a n är positivt linjärt oberoende har vi fått en motsägelse. Alltså gäller att sup jk < 1 j;k och genom att utnyttja Bolzano-Weierstrass sats och relationen x j = nx jk a k k=1

21 så följer att x tillhör C(a 1 ; :::; a n ): Det är nu lätt att avsluta beviset för sats 6. Antag nämligen att x C(a 1 ; :::; a n ) och låt mx x = i a ki i=1 där 1 ; :::; m > : Vi säger att denna representation är minimal om m ej kan göras mindre i denna typ av representation av vektorn x. Antag representationen är minimal. Vi påstår att vektorerna a ki ; i = 1; :::; m; är positivt linjärt oberoende. I annat fall nns icke-negativa tal i ; i = 1; :::; m; ej alla lika med noll sådana att mx i a ki = : Härav erhålls att x = i=1 mx ( i t i )a ki i=1 där t > väljes så att ( i t i ) ; i = 1; :::; m; och så att likhet inträ ar för något index i. Detta visar emellertid att vår tidigare representation av x ej är minimal och av denna motsägelse drar vi slutsatsen att vektorerna a ki ; i = 1; :::; m; är positivt linjärt oberoende. Således gäller att C(a 1 ; :::; a n ) = [ [C(a k1 ; :::; a km ); a k1 ; :::; a km positivt linjärt oberoende] : Den första delen av beviset visar nu resultatet eftersom en ändlig union av slutna mängder är sluten. 19 Om x = (x 1 ; :::; x n ) är en vektor i R n och x 1 ; :::; x n skriver vi i fortsättningen ofta x : Vektorn x uppfattas här ofta som en kolonnmatris. Transponatet av en matris A becknas med A : Den vanliga skalärprodukten av två vektorer x och y i R n kan därför skrivas x y: Sats 7. (Farkas lemma) Antag A = (a jk ) 1jm; 1kn är en matris med reella element och antag b R m. Låt vidare a k ; k=1,...,n, beteckna matrisens kolonner. Då gäller exakt ett av följande alternativ:

22 (i) ekvationen Ax = b x är lösbar (ii) det nns h R m så att h b < h a k ; k = 1; :::; n: Bevis. Alternativet (i) gäller om och endast om b C(a 1 ; :::; a n ) och beroende på separationssatsen för slutna konvexa koner så gäller alternativet (ii) om och endast om b = C(a 1 ; :::; a n ). Detta bevisar sats 7. Korollarium 1. Antag A = (a jk ) 1jm; 1kn är en matris med reella element och antag b R m. Låt vidare a k ; k=1,...,n, beteckna matrisens kolonner. Då gäller exakt ett av följande alternativ: (i) ekvationen Ax = b x 1 ; :::; x n > ; R är lösbar (ii) det nns h R m så att 8 < : h b = h a k ; k = 1; :::; n h a k > ; för något k = 1; :::; n: : Bevis. Antag först att ekvationerna i (i) och (ii) är uppfyllda. Då är (h A)x > :

23 Men så h (Ax) = h (b) = (h b) = = (h A)x = och vi har fått en motsägelse. Alltså gäller högst en av (i) och (ii). Vi antar nu att (ii) ej är gäller och skall visa att ekvationen i (i) är lösbar, vilket avslutar beviset för Korollarium 1. Om (ii) ej gäller saknar systemet 8 >< >: h b h ( b) h a k ; k f1; :::; n g n fjg h ( a j ) < lösning för j = 1; :::; n: Enligt Farkas lemma betyder detta att ekvationerna b + ( b) 1 + a 1 x 1 + ::: + a j 1 x j 1 + a j+1 x j+1 + ::: + a n x n = a j ; 1 ; x 1 ; :::; x j 1 ; x j+1 ; :::; x n är lösbara för alla j = 1; :::; n; dvs ekvationerna ( a 1 x (j) 1 + ::: + a j 1 x (j) j 1 + a jx (j) j + a j+1 x (j) j+1 + ::: + a nx () n = b (j) x (j) 1 ; :::; x (j) j 1 ; x(j) j+1 ; :::; x(j) n ; x (j) j = 1; (j) R är lösbara för alla j = 1; :::; n: Genom att addera dessa ekvationer följer att ekvationen i (i) är lösbar. : 1 Exempel 1. Betrakta en matematisk modell för en kapitalmarknad bestående av en aktie med priset S(t) vid tiden t och en obligation med priset B(t) vid tiden t. Vi antager att tidsvariabeln t endast kan anta två värden, nämligen eller 1. Låt B(1) = B()e r där r > och låt S(1) = S()e X : Vi antager här att X är en reellvärd binomialfördelad stokastisk variabel och att det går att välja u; d R, som uppfyller u > d; så att händelsen [X 6= u och X 6= d] = fx = fu; dgg

24 aldrig inträ ar (dvs är en tom mängd). Speciellt följer att P [X = u] + P [X = d] = 1 där varje term i vänster led är positiv. Denna enkla modell kallas binomialmodellen för en aktie och en obligation i ett tidssteg. Vi skall först de niera begreppet arbitrage i denna modell. Betrakta därför en portfölj bestående av h S aktier och h B obligationer. Dess värde vid tiden t ges av v(t) = h S S(t) + h B B(t): Vi säger att ett arbitrage av första slaget uppstår om portföljen kan väljas så att v() = och v(1) > : Genom att variera antalet obligationer i portföljen inses att ett arbitrage av första slaget uppstår om och endast om portföljen kan väljas så att v() < och v(1) : Utskrivet mer explicit innebär detta att h S S() + h B B() < och hs S()e u + h B B()e r h S S()e d + h B B()e r vilket med tanke på Farkas lemma innebär att modellen saknar arbitrage av första slaget om och endast om det existerar reella tal x; y sådana att S()e u x + S()e d y = S() Detta ekvationssystem har lösningen B()e r x + B()e r y = B(): x = e r e r e u y = e r e u e u e d e d e r e d och vi ser att x; y precis då d r u:

Mer om reella tal och kontinuitet

Mer om reella tal och kontinuitet Kapitel R Mer om reella tal och kontinuitet I detta kapitel formulerar vi ett av de reella talens grundläggande axiom, axiomet om övre gräns, och studerar några konsekvenser av detta. Med dess hjälp kommer

Läs mer

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. ÖVNINGAR TILL DAG 3.

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. ÖVNINGAR TILL DAG 3. STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. ÖVNINGAR TILL DAG 2. Luenberger: 2:1-5, 9, 11, 12. Övning 1. Du lånar 200000 kr i en bank

Läs mer

Del 3 Utdelningar. Strukturakademin

Del 3 Utdelningar. Strukturakademin Del 3 Utdelningar Strukturakademin Innehåll 1. Implicita tillgångar 2. Vad är utdelningar? 3. Hur påverkar utdelningar optioner? 4. Utdelningar och Forwards 5. Prognostisera utdelningar 6. Implicita utdelningar

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Sannolikheter Slumpvariabler Centrala gränsvärdessatsen Aalto-universitetet 8 januari 04 3 Tvådimensionella slumpvariabler

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 28 januari 2014 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl

Läs mer

120 110 S t : 100 100 90 80 Vi ska här betrakta ett antal portföljer som vid t = 0 är värda 100 SEK.

120 110 S t : 100 100 90 80 Vi ska här betrakta ett antal portföljer som vid t = 0 är värda 100 SEK. STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. KOMPLEMENT DAG 5. HANDELSSTRATEGIER Låt S t beteckna priset på en aktie vid tiden t. Vi

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid

1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 02 10 25. RÄNTA 1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid

Läs mer

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1 Omfattning Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll Olika aspekter av linjära ekvationssystem 1. skärning mellan geometriska

Läs mer

Vi ska här utgå ifrån att vi har en aktie och ska med denna som grund konstruera tre olika optionsportföljer.

Vi ska här utgå ifrån att vi har en aktie och ska med denna som grund konstruera tre olika optionsportföljer. STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd för Matematisk statistik TH FINANSMATEMATIK I, HT 01 KOMPLEMENT DAG 12 Version 01 12 10 TRE OPTIONSSTRATEGIER Vi ska här utgå ifrån att vi har en aktie

Läs mer

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar 1 Diskreta slumpvariabler En slumpvariabel tilldelar tal till samtliga utfall i ett slumpförsök. Vi

Läs mer

1 Duala problem vid linjär optimering

1 Duala problem vid linjär optimering Krister Svanberg, april 2012 1 Duala problem vid linjär optimering Detta kapitel handlar om två centrala teoretiska resultat för LP, nämligen dualitetssatsen och komplementaritetssatsen. Först måste vi

Läs mer

Black-Scholes. En prissättningsmodell för optioner. Linnea Lindström

Black-Scholes. En prissättningsmodell för optioner. Linnea Lindström Black-Scholes En prissättningsmodell för optioner Linnea Lindström Vt 2010 Examensarbete 1, 15 hp Kandidatexamen i matematik, 180 hp Institutionen för matematik och matematisk statistik Sammanfattning

Läs mer

Approximation av funktioner

Approximation av funktioner Vetenskapliga beräkningar III 8 Kapitel Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner I allmänhet kan inte ens elementära funktioner

Läs mer

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18. Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel. MATEMATIK Datum: 0-08-9 Tid: eftermiddag Chalmers Hjälmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.: 0703-088304 Lösningar till tenta i TMV036 Analys och linjär algebra

Läs mer

Prissättning av optioner

Prissättning av optioner TDB,projektpresentation Niklas Burvall Hua Dong Mikael Laaksonen Peter Malmqvist Daniel Nibon Sammanfattning Optioner är en typ av finansiella derivat. Detta dokument behandlar prissättningen av dessa

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Riktade sträckor och Geometriska vektorer En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

Lösningar till tentamen i Grundläggande nansmatematik. 21 december 2006 kl. 914

Lösningar till tentamen i Grundläggande nansmatematik. 21 december 2006 kl. 914 STOCKHOLMS UNIVERSITET MS 3290 MATEMATISKA INSTITUTIONEN TENTAMEN Avd. Matematisk statistik 21 december 2006 Lösningar till tentamen i Grundläggande nansmatematik 21 december 2006 kl. 914 Uppgift 1 Priset

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 8

Linjär Algebra, Föreläsning 8 Linjär Algebra, Föreläsning 8 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Linjärkombinationer (repetition) Låt v 1, v 2,..., v n vara vektorer i ett vektorrum V. Givet skalärer λ 1, λ 2,..., λ n R så kallas λ

Läs mer

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem Avsnitt Linjära ekvationssystem Elementära radoperationer Gausseliminering Exempel Räkneschema Exempel med exakt en lösning Exempel med parameterlösning Exempel utan lösning Slutschema Avläsa lösningen

Läs mer

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 06 04 04. Finansmatematik II Kapitel 1

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 06 04 04. Finansmatematik II Kapitel 1 1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 06 04 04 Finansmatematik II Kapitel 1 Ränta 2 Finansmatematik II 1 Rak ränta Med rak ränta ska vi

Läs mer

Del 16 Kapitalskyddade. placeringar

Del 16 Kapitalskyddade. placeringar Del 16 Kapitalskyddade placeringar Innehåll Kapitalskyddade placeringar... 3 Obligationer... 3 Prissättning av obligationer... 3 Optioner... 4 De fyra positionerna... 4 Konstruktion av en kapitalskyddad

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18. Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 9--6 DAG: Fredag 6 januari 9 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet

Läs mer

Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 4

Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 4 Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 014-015 Denna lektion ska vi studera rekursion. Lektion 4 Principen om induktion Principen om induktion är ett vanligt sätt att bevisa

Läs mer

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. Matematisk statistik, GA 08 januari 2015. Lösningar

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. Matematisk statistik, GA 08 januari 2015. Lösningar STOCKHOLMS UNIVERSITET MT712 MATEMATISKA INSTITUTIONEN LÖSNINGAR Avd. Matematisk statistik, GA 8 januari 215 Lösningar Tentamen i Livförsäkringsmatematik I, 8 januari 215 Uppgift 1 a) Först konstaterar

Läs mer

2 = 3 = 1. ekvationssystem är beskriven som de vektorer X = 2 0 1 2. 1 1 0 2

2 = 3 = 1. ekvationssystem är beskriven som de vektorer X = 2 0 1 2. 1 1 0 2 . Tisdagen 35 Igår visade vi att lösningsmängden W R 5 till ekvationssystemet 3x + x 2 + 3x 3 + 2x 4 x 5 = (..) 2x 2 + x 3 + 4x 4 + 2x 5 = 3x 3x 2 + x 3 6x 4 5x 5 = har bas u och u 2 och u 3 där 5 2 6

Läs mer

(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C

(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C Sats 1.3 De Morgans lagar för mängder För alla mängder A och B gäller att (A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B C A C B C (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014 LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite

Läs mer

DIGITAL KOMMUNIKATION

DIGITAL KOMMUNIKATION EN KOR SAMMANFANING AV EORIN INOM DIGIAL KOMMUNIKAION Linjär kod En binär linjär kod kännetecknas av att summan av två kodord också är ett kodord. Ett specialfall är summan av ett kodord med sig själv

Läs mer

Finansmatematik II Kapitel 3 Risk och diversifiering

Finansmatematik II Kapitel 3 Risk och diversifiering STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 04 0 8 Finansmatematik II Kapitel 3 Risk och diversifiering 2 Finansmatematik II Risk och diversifiering

Läs mer

Del 17 Optionens lösenpris

Del 17 Optionens lösenpris Del 17 Optionens lösenpris Innehåll Optioner... 3 Optionens lösenkurs... 3 At the money... 3 In the money... 3 Out of the money... 4 Priset... 4 Kapitalskyddet... 5 Sammanfattning... 6 Strukturerade placeringar

Läs mer

Ansvariga lärare: Yury Shestopalov, rum 3A313, tel 054-7001856 (a) Problem 1. Använd Eulers metod II (tre steg) och lös begynnelsevärdesproblemet

Ansvariga lärare: Yury Shestopalov, rum 3A313, tel 054-7001856 (a) Problem 1. Använd Eulers metod II (tre steg) och lös begynnelsevärdesproblemet FACIT: Numeriska metoder Man måste lösa tre problem. Problemen 1 och är obligatoriska, och man kan välja Problemet 3 eller 4 som den tredje. Hjälp medel: Miniräknare (med Guidebook för miniräknare) och

Läs mer

Del 2 Korrelation. Strukturakademin

Del 2 Korrelation. Strukturakademin Del 2 Korrelation Strukturakademin Innehåll 1. Implicita tillgångar 2. Vad är korrelation? 3. Hur fungerar sambanden? 4. Hur beräknas korrelation? 5. Diversifiering 6. Korrelation och Strukturerade Produkter

Läs mer

SF1901: Övningshäfte

SF1901: Övningshäfte SF1901: Övningshäfte 24 september 2013 Uppgifterna under rubriken Övning kommer att gås igenom under övningstillfällena. Uppgifterna under rubriken Hemtal är starkt rekommenderade och motsvarar nivån på

Läs mer

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs Varterminen 2005 . Kombinatorik ( ) n = k n! k!(n k)!. Tolkning: ( n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler

Läs mer

Del 6 Valutor. Strukturakademin

Del 6 Valutor. Strukturakademin Del 6 Valutor Strukturakademin Innehåll 1. Strukturerade produkter och valutor 2. Hur påverkar valutor? 3. Metoder att hantera valutor 4. Quanto Valutaskyddad 5. Composite Icke valutaskyddad 6. Lokal Icke

Läs mer

Veckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U.

Veckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U. Veckoblad 3 Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U. ya begrepp: likformig fördelning, hypergeometerisk fördelning, Hyp(, n, p), binomialfördelningen, Bin(n, p), och Poissonfördelningen, Po(λ). Standardfördelningarna

Läs mer

Datorlaboration :: 1 Problembeskrivning ::

Datorlaboration :: 1 Problembeskrivning :: Datorlaboration :: Ett hyrbilsföretags problem Laborationen går ut på att lösa Labbuppgift 1 till 5. Laborationen redovisas individuellt genom att skicka laborationens Mathematicafil till Mikael Forsberg

Läs mer

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM KH/CW/SS Tentamensskrivning i Experimentella metoder, 1p, för kandidatprogrammet i fysik, /5 01, 9-14 Införda beteckningar skall förklaras och uppställda ekvationer motiveras

Läs mer

OPTIONSSTRATEGIER SNABBGUIDE AKTIEOPTIONER

OPTIONSSTRATEGIER SNABBGUIDE AKTIEOPTIONER OPTIONSSTRATEGIER SNABBGUIDE AKTIEOPTIONER Optioner ger investerare många möjligheter eftersom det finns strategier för alla olika marknadslägen. De är också effektiva verktyg för att försäkra innehav

Läs mer

Del 1 Volatilitet. Strukturakademin

Del 1 Volatilitet. Strukturakademin Del 1 Volatilitet Strukturakademin Innehåll 1. Implicita tillgångar 2. Vad är volatilitet? 3. Volatility trading 4. Historisk volatilitet 5. Hur beräknas volatiliteten? 6. Implicit volatilitet 7. Smile

Läs mer

reella tal x i, x + y = 2 2x + z = 3. Här har vi tre okända x, y och z, och vi ger dessa okända den naturliga

reella tal x i, x + y = 2 2x + z = 3. Här har vi tre okända x, y och z, och vi ger dessa okända den naturliga . Lösningsmängden till homogena ekvationssystem I denna första föreläsning börjar vi med att repetera det grunnläggande begreppet inom linjär algebran. Linjär algebra är studiet av lösningsmängden till

Läs mer

Stokastiska processer

Stokastiska processer Stokastiska processer Fredrik Olsson, fredrik.olsson@iml.lth.se Avdelningen för produktionsekonomi Lunds tekniska högskola, Lunds universitet Dessa förläsningsanteckningar kommer att behandla diskreta

Läs mer

Karakteriseringar av rektifierbara mängder

Karakteriseringar av rektifierbara mängder Karakteriseringar av rektifierbara mängder Robert Brunberg 15.10.2015 Helsingfors universitet Institutionen för matematik och statistik Handledare: Pertti Mattila HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET

Läs mer

Del 13 Andrahandsmarknaden

Del 13 Andrahandsmarknaden Del 13 Andrahandsmarknaden Strukturakademin Strukturakademin Srukturinvest Fondkommission 1 Innehåll 1. Produktens värde på slutdagen 2. Produktens värde under löptiden 3. Köp- och säljspread 4. Obligationspriset

Läs mer

TENTAMEN I SF1906 (f d 5B1506) MATEMATISK STATISTIK GRUNDKURS,

TENTAMEN I SF1906 (f d 5B1506) MATEMATISK STATISTIK GRUNDKURS, Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1906 (f d 5B1506) MATEMATISK STATISTIK GRUNDKURS, TORSDAGEN DEN 7 JUNI 2012 KL 14.00 19.00 Examinator:Gunnar Englund, 073 3213745 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och

Läs mer

Föreläsning 12: Regression

Föreläsning 12: Regression Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är

Läs mer

Kombinatorik. Kapitel 2. Allmänt kan sägas att inom kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av

Kombinatorik. Kapitel 2. Allmänt kan sägas att inom kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av Kapitel 2 Kombinatorik Allmänt kan sägas att inom kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av det antal sätt, på vilket elementen i en given mängd kan arrangeras i delmängder på något sätt.

Läs mer

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Detta kapitel är en liten matematisk vägledning om att beräkna tillväxttakten i Excel. Här visas exempel på potenser och logaritmer och hur dessa funktioner beräknas

Läs mer

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 79 / TEN 1

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 79 / TEN 1 LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 79 / TEN 1 augusti 14, klockan 8.00-12.00 Examinator: Jörg-Uwe Löbus Tel: 28-1474) Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

y z 3 = 0 z 5 16 1 i )

y z 3 = 0 z 5 16 1 i ) ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-433 Sören Hector 7-46686 Rolf Källström 7-6939 Ingenjörer, Lantmätare och Distansstuderande, mfl. Linjär Algebra ma4a 4 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna

Läs mer

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Andreas Axelsson Vi beskriver här de grundläggande teknikerna för att lösa icke-linjära ekvationssystem. Detta är en nödvändig kunskap för att kunna lösa diverse

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd är att räkna upp de elementen i mängden, tex Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK Mat-11510 Grundkurs

Läs mer

Lutande torn och kluriga konster!

Lutande torn och kluriga konster! Lutande torn och kluriga konster! Aktiviteter för barn under Vetenskapsfestivalens skolprogram 2001 Innehåll 1 Bygga lutande torn som inte faller 2 2 Om konsten att vinna betingat godis i spel 5 3 Den

Läs mer

3. Lös ekvationen 3 + z = 3 2iz och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

3. Lös ekvationen 3 + z = 3 2iz och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA Grundläggande vektoralgebra TEN4 Datum:

Läs mer

Rekursion. 1. Inledning. vara en fot bred.

Rekursion. 1. Inledning. vara en fot bred. Rekursion. Inledning En trädgårdsmästare skall lägga en gång med cementplattor. Gången skall vara en fot bred. Han har tre slags plattor. En är omönstrad och kvadratisk med sidan en fot, två är rektangulära

Läs mer

SF1646, Analys i era variabler, 6 hp, för I1, läsåret 2007.2008.

SF1646, Analys i era variabler, 6 hp, för I1, läsåret 2007.2008. SF1646, Analys i era variabler, 6 hp, för I1, läsåret 2007.2008. Anders Karlsson, Inst för Matematik, KTH January 22, 2008 Kursinnehåll: Grundläggande kurs i di erential- och integralkalkyl i era variabler.

Läs mer

Välkomna till Numme och MATLAB, 9 hp, för Materialdesign och Energi&Miljö, årskurs 2

Välkomna till Numme och MATLAB, 9 hp, för Materialdesign och Energi&Miljö, årskurs 2 Välkomna till Numme och MATLAB, 9 hp, för Materialdesign och Energi&Miljö, årskurs 2 Kursen avses ge dig kunskap om numeriska metoder, hur man kan använda dessa genom elementär programmering i MATLAB samt

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

Del 4 Emittenten. Strukturakademin

Del 4 Emittenten. Strukturakademin Del 4 Emittenten Strukturakademin Innehåll 1. Implicita risker och tillgångar 2. Emittenten 3. Obligationer 4. Prissättning på obligationer 5. Effekt på villkoren 6. Marknadsrisk och Kreditrisk 7. Implicit

Läs mer

Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund

Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism En civilingenjör ska kunna idealisera ett givet verkligt problem, göra en adekvat fysikalisk modell och behandla modellen med matematiska

Läs mer

En modell för priset på en aktie

En modell för priset på en aktie En modell för priset på en aktie Projektarbete i kursen Vardagslivets mysterier förklarade 2006 Andreas Brodin Abstract. Att kunna förutsäga hur priset på en aktie ändras med tiden skulle vara stort. En

Läs mer

Räntemodeller och marknadsvärdering av skulder

Räntemodeller och marknadsvärdering av skulder Räntemodeller och marknadsvärdering av skulder Fredrik Armerin Matematisk statistik, KTH Aktuarieföreningen 17-18 november 2004 Dag 2 NOLLKUPONGSKURVOR 1 Nollkupongsobligationer En nollkupongsobligation

Läs mer

Laboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08

Laboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK Laboration 5: Regressionsanalys DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08 Syftet med den här laborationen är att du skall

Läs mer

7. Sampling och rekonstruktion av signaler

7. Sampling och rekonstruktion av signaler Arbetsmaterial 5, Signaler&System I, VT04/E.P. 7. Sampling och rekonstruktion av signaler (Se också Hj 8.1 3, OW 7.1 2) 7.1 Sampling och fouriertransformering Man säger att man samplar en signal x(t) vid

Läs mer

Modern kapitalförvaltning kundanpassning med flexibla lösningar

Modern kapitalförvaltning kundanpassning med flexibla lösningar Modern kapitalförvaltning kundanpassning med flexibla lösningar (Från Effektivt Kapital, Vinell m.fl. Norstedts förlag 2005) Ju rikare en finansmarknad är på oberoende tillgångar, desto större är möjligheterna

Läs mer

Bayesianska numeriska metoder I

Bayesianska numeriska metoder I Baesianska numeriska metoder I T. Olofsson Marginalisering En återkommende teknik inom Baesiansk inferens är det som kallas för marginalisering. I grund och botten rör det sig om tillämpning av ett specialfall

Läs mer

Mer om slumpvariabler

Mer om slumpvariabler 1/20 Mer om slumpvariabler Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/2 2013 2/20 Dagens föreläsning Diskreta slumpvariabler Vilket kretskort ska man välja? Väntevärde

Läs mer

Del 18 Autocalls fördjupning

Del 18 Autocalls fördjupning Del 18 Autocalls fördjupning Innehåll Autocalls... 3 Autocallens beståndsdelar... 3 Priset på en autocall... 4 Känslighet för olika parameterar... 5 Avkastning och risk... 5 del 8 handlade om autocalls.

Läs mer

Fö relä sning 1, Kö system 2015

Fö relä sning 1, Kö system 2015 Fö relä sning 1, Kö system 2015 Här följer en kort sammanfattning av det viktigaste i Föreläsning 1. Kolla kursens hemsida minst en gång per vecka. Övningar kommer att läggas ut där, skriv ut dem och ha

Läs mer

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM K.H./C.F./C.W. Tentamensskrivning i Experimentella metoder, 1p, för kandidatprogrammet i fysik, 18/6 013, 9-14. Införda beteckningar skall förklaras och uppställda ekvationer

Läs mer

1 10 e 1 10 x dx = 0.08 1 e 1 10 T = 0.08. p = P(ξ < 3) = 1 e 1 10 3 0.259. P(η 2) = 1 P(η = 0) P(η = 1) = 1 (1 p) 7 7p(1 p) 6 0.

1 10 e 1 10 x dx = 0.08 1 e 1 10 T = 0.08. p = P(ξ < 3) = 1 e 1 10 3 0.259. P(η 2) = 1 P(η = 0) P(η = 1) = 1 (1 p) 7 7p(1 p) 6 0. Tentamen TMSB18 Matematisk statistik IL 091015 Tid: 08.00-13.00 Telefon: 036-10160 (Abrahamsson, Examinator: F Abrahamsson 1. Livslängden för en viss tvättmaskin är exponentialfördelad med en genomsnittlig

Läs mer

Lösningar till tentamen i Matematisk Statistik, 5p

Lösningar till tentamen i Matematisk Statistik, 5p Lösningar till tentamen i Matematisk Statistik, 5p LGR00 6 juni, 200 kl. 9.00 1.00 Kursansvarig: Eric Järpe Maxpoäng: 0 Betygsgränser: 12p: G, 21p: VG Hjälpmedel: Miniräknare samt tabell- och formelsamling

Läs mer

Låt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo.

Låt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo. UDDA FUNKTIONER OCH DUBBELINTEGRALER. Från en variabelanalys vet vi att integral över ett symetrisk intervall, av en udda funktion är lika med 0. 0 om är udda. T ex 0 Här upprepar vi def. av udda ( och

Läs mer

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow Matematik i Gy11 110912 Susanne Gennow Var finns matematik? Bakgrund Nationella utredning 2003 PISA 2009 TIMSS Advanced 2008 Skolinspektionens rapporter Samband och förändring åk 1 3 Olika proportionella

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken Y

Sammanfattningar Matematikboken Y Sammanfattningar Matematikboken Y KAPitel 1 TAL OCH RÄKNING Numeriska uttryck När man beräknar ett numeriskt uttryck utförs multiplikation och division före addition och subtraktion. Om uttrycket innehåller

Läs mer

The Title. The Author. The Date

The Title. The Author. The Date The Title The Author The Date ii Innehåll Vad statistik handlar om. Modeller............................ 3. Tre typer av medelvärden.................. 4.. Median........................ 5.. Typvärde.......................

Läs mer

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24 Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass 1 Mål att sträva mot Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven S11 utvecklar intresse för matematik

Läs mer

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 7 (2015-04-29) OCH INFÖR ÖVNING 8 (2015-05-04)

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 7 (2015-04-29) OCH INFÖR ÖVNING 8 (2015-05-04) LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB ÖVNING 7 (25-4-29) OCH INFÖR ÖVNING 8 (25-5-4) Aktuella avsnitt i boken: 6.6 6.8. Lektionens mål: Du ska kunna sätta

Läs mer

TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2

TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2 STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson HT2012 TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2 2012-11-20 Skrivtid: kl 9.00-14.00 Godkända hjälpmedel: Miniräknare, språklexikon Bifogade hjälpmedel:

Läs mer

Stokastiska variabler

Stokastiska variabler Sannolikhetsteori ör MN1 ht 2004 2004-09 - 07 Bengt Rosén Stokastiska variabler Deinition av stokastisk variabel Den matematiska beskrivningen av ett slumörsök är ett ar (Ω, P( )), där utallsrummet Ω är

Läs mer

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs Tolkning Deltagaren skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för vardagsliv och vald studieinriktning

Läs mer

Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för:

Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Finansiell ekonomi Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Skriftlig tentamen 21FE1B Nationalekonomi 1-30 hp 7,5 högskolepoäng Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamensdatum:

Läs mer

ANDREAS REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se. Coulombs lag och Maxwells första ekvation

ANDREAS REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se. Coulombs lag och Maxwells första ekvation ANDREA REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se oulombs lag och Maxwells första ekvation oulombs lag och Maxwells första ekvation Inledning Två punktladdningar q 1 samt q 2 i rymden

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II G. Gripenberg Aalto-universitetet 13 februari 2015 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och

Läs mer

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0 Diagonalisering Anm. Begreppet diagonaliserbarhet är relevant endast för linjära avbildningar mellan rum av samma dimension, d.v.s. sådana som representeras av kvadratiska matriser. När vi i fortsättningen

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte. Kurser i ämnet

MATEMATIK. Ämnets syfte. Kurser i ämnet MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

Graärgning och kromatiska formler

Graärgning och kromatiska formler Graärgning och kromatiska formler Henrik Bäärnhielm, d98-hba 2 mars 2000 Sammanfattning I denna uppsats beskrivs, för en ickematematiker, färgning av grafer samt kromatiska formler för grafer. Det hela

Läs mer

PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN

PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN Institutionen för beteendevetenskapliga mätningar PBMaE 5-5 Umeå universitet Provtid PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN Del I: Uppgift -9 Del II: Uppgift -7 Anvisningar Totalt 4 minuter

Läs mer

Diverse beteckningar och formler som dyker upp i induktionsavsnittet, men även litet överallt annars:

Diverse beteckningar och formler som dyker upp i induktionsavsnittet, men även litet överallt annars: Talföljder Diverse beteckningar och formler som dyker upp i induktionsavsnittet, men även litet överallt annars: Talföljd En ändlig eller oändlig följd av tal uppställda i en bestämd ordning, t.ex. 1,,

Läs mer

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra Matematik 1a Centralt innehåll Metoder för beräkningar med reella tal skrivna på olika former inom vardagslivet och karaktärsämnena, inklusive överslagsräkning, huvudräkning och uppskattning samt strategier

Läs mer

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng Matematisk statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti 7,5 högskolepoäng Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamensdatum: 2012-05-29 Tid:

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

SF1635, Signaler och system I

SF1635, Signaler och system I SF65, Signaler och system I Tentamen tisdagen 4--4, kl 8 Hjälpmedel: BETA Mathematics Handbook. Formelsamling i Signalbehandling rosa), Formelsamling för Kursen SF65 ljusgrön). Obs : Obs : Obs : Obs 4:

Läs mer

URA 40 HUR PÅVERKAS KONCERNREDOVISNINGEN OCH TILLÄMPNINGEN AV KAPITALANDELSMETODEN AV FÖREKOMSTEN AV POTENTIELLA RÖSTBERÄTTIGADE AKTIER

URA 40 HUR PÅVERKAS KONCERNREDOVISNINGEN OCH TILLÄMPNINGEN AV KAPITALANDELSMETODEN AV FÖREKOMSTEN AV POTENTIELLA RÖSTBERÄTTIGADE AKTIER UTTALANDE FRÅN REDOVISNINGSRÅDETS AKUTGRUPP URA 40 HUR PÅVERKAS KONCERNREDOVISNINGEN OCH TILLÄMPNINGEN AV KAPITALANDELSMETODEN AV FÖREKOMSTEN AV POTENTIELLA RÖSTBERÄTTIGADE AKTIER Enligt punkt 9 i RR 22,

Läs mer

Numeriska metoder. Kompendiet. Lektor: Yury Shestopalov. e-mail: youri.shestopalov@kau.se Tel. 054-7001856. Karlstads Universitet

Numeriska metoder. Kompendiet. Lektor: Yury Shestopalov. e-mail: youri.shestopalov@kau.se Tel. 054-7001856. Karlstads Universitet Numeriska metoder Kompendiet Lektor: Yury Shestopalov e-mail: youri.shestopalov@kau.se Tel. 054-7001856 Hemsidan: www.ingvet.kau.se\ youri Karlstads Universitet 2002 1 Innehåll 1 Grundbegrepp av numeriska

Läs mer