M0038M Differentialkalkyl, Lekt 14, H15

Transkript

1 M0038M Differentialkalkyl, Lekt 14, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 18

2 Repetition Lekt 13 En funktion f definieras som { 1 + ax x 2 om x < 2 f (x) = 1 ax om x 2 Bestäm a så att f blir kontinuerlig i x = 2. Staffan Lundberg M0038M H15 2/ 18

3 Standardgränsvärden På s. 145 ff i FN, finns ett antal s.k. standardgränsvärden, dvs. gränsvärden man utnyttjar utan bevis. Standardgränsvärdena är viktiga och måste läras utantill. Vi inleder med Sats För θ R gäller sin θ = 1 (Standardgränsvärde 3.11 (a)) θ 0 θ Staffan Lundberg M0038M H15 3/ 18

4 Fuskbevis Vi ger en intuitiv härledning. För mer stringent bevisföring hänvisas till FN. Antag att x > 0. Låt oss generera en tabell där vi tittar lite närmare på på funktionsvärdena till funktionen f (x) = sin(x)/x, för allt mindre x-värden. Vi startar med x = 1 och halverar x-värdena successivt. Staffan Lundberg M0038M H15 4/ 18

5 Tabell x f(x)=sin(x)/x 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Vi konstaterar att gränsvärdet tycks bli 1, och vi är klara. Anm Prova att göra om processen, nu med x < 0. Vad händer? Staffan Lundberg M0038M H15 5/ 18

6 Exempel Bestäm tan x x 0 x sin 4x x 0 x sin 3x x 0 sin 5x tan 7x x 0 sin x Anm Första gränsvärdet i exemplet återfinner vi som Standardgränsvärde 3.11 (b). Staffan Lundberg M0038M H15 6/ 18

7 Om att hinna först till oändligheten Vi har förmodligen kunskap om att exponentialfunktionen (med bas > 1), potensfunktionen (med positiv exponent) samt den naturliga logaritmfunktionen samtliga växer mot oändligheten. Exempel Avgör om e 2x + e x ln x e 2x 2xe x + x 2 antar ett ändligt värde då x. Det märkliga är, att såväl täljaren som nämnaren var för sig går mot oändligheten. Kan verkligen kvoten bli ändlig? Staffan Lundberg M0038M H15 7/ 18

8 Följande två regler tar vi utan bevis. Varje potensfunktion med positiv exponent växer snabbare än den naturliga logaritmfunktionen. ln x x x a = 0 (standardgränsvärde 3.13 (a)) Staffan Lundberg M0038M H15 8/ 18

9 Varje exponentialfunktion med bas > 1 växer snabbare än varje potensfunktion med positiv exponent. x b x a x = 0 (standardgränsvärde 3.13 (b)) Staffan Lundberg M0038M H15 9/ 18

10 Anmärkning Den i särklass långsammaste funktionen är logaritmfunktionen. På silverplats hamnar potensfunktionen. Förstaplatsen i detta lopp mot oändligheten erövras av exponentialfunktionen. Staffan Lundberg M0038M H15 10/ 18

11 Vi löser exemplet Avgör om antar ett ändligt värde då x. e 2x + e x ln x e 2x 2xe x + x 2 Staffan Lundberg M0038M H15 11/ 18

12 Vi konstaterar, att (för stora x) dominerar termen e 2x i täljaren och nämnaren. Låt oss bryta ut dessa dominerande termer. ( e 2x 1 + ln x ) e ( x e 2x 1 2x ) e x + x2 e 2x Staffan Lundberg M0038M H15 12/ 18

13 Vi förkortar och åberopar våra standardgränsvärden: Vi konstaterar avslutningsvis: x e x }{{} 0 0 {}}{ ln x e x + x2 e 2x }{{} 0 e 2x + e x ln x e 2x 2xe x + x = 1, då x Staffan Lundberg M0038M H15 13/ 18

14 Anmärkning Följande standardgränsvärden skall också memoreras. Vi återkommer till härledningen längre fram. ln(1 + x) x 0 x x 0 e x 1 x = 1 (Standardgränsvärde 3.11 (c)) = 1 (Standardgränsvärde 3.11 (d)) Staffan Lundberg M0038M H15 14/ 18

15 Avslutande exempel Bestäm (x + 1)2 x 3 x + ln x x 3 x + x 5 2 x Staffan Lundberg M0038M H15 15/ 18

16 För den intresserade För att visa sin α α 0+ α = 1 används ett geometriskt resonemang. y α sin α α tan α 1 x Staffan Lundberg M0038M H15 16/ 18

17 Arearesonemang y α sin α α tan α 1 x Area(stora triangeln) = tan α 2 Staffan Lundberg M0038M H15 17/ 18 Area(Cirkelsektor) = α 2 Area(lilla triangeln) = sin α 2

18 Olikheter, instängning sin α α tan α sin α α sin α cos α cos α sin α 1 α 1 sin α (Invertering vänder olikheter) cos α sin α α 1 (Mult med sin α) Eftersom cos α = 1 = 1, stängs sin α in mellan två funktioner α 0 α 0 α som bägge går mot 1. Enligt den s.k. Instängningssatsen(Squeeze Theorem) följer satsen, och vi är klara. Staffan Lundberg M0038M H15 18/ 18