TANA19 NUMERISKA METODER

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "TANA19 NUMERISKA METODER"

Transkript

1 HT2/2016 LINJE+ÅK+KLASS : TANA19 NUMERISKA METODER Laboration 3. Interpolation Namn : Personnummer : E-post Namn : Personnummer : E-post Godkänd datum : Sign : Retur : 1

2 21 november 2016 LAB 3. INTERPOLATION 1 Inledning I den första delen av laborationen skall vi studera problemet att interpolera givna data med interpolation med ett polynom. Vi ska också använda en kubisk splinefunktion s(x), för att interpolera givna data. Vi skall t.ex. se hur valet av ändpunktsvillkor påverkar felet vid interpolationen. Vi kommer att begränsa oss till det ekvidistanta fallet där alltså x i+1 x i = h = konstant. Därför kommer antalet delintervall, n, att bestämma steglängden h = (b a)/n. Vi skall även undersöka hur felet vid splineinterpolation beror av steglängden h. Resultaten kommer att tillämpas i några exempel. 1.1 Att komma igång Öppna ett terminalfönster. Skriv: TANA79setup (vilket definierar kursbiblioteket och sökvägar) cp $kursbib/pol inter.m. (vilket kopierar matlabfunktionen pol inter.m till din egen area) matlab & (vilket gör att MATLAB startas i eget fönster) Gå över i MATLAB-fönstret och skriv: itlab3 (hämtar in aktuella funktioner f1, f2 och f3) 1.2 Mål Målet med denna laboration är att du skall få insikt i hur interpolerande splinefunktioner används. lära dig hur man praktiskt kan bestämma konvergensordningen p, då vi vet att R T h p. få förståelse för hur olika ändpunktsvillkor påverkar felfunktionen. jämföra polynominterpolation och splineinterpolation. få träning i att använda några av MATLAB:s inbyggda rutiner. 1.3 Förkunskaper Kapitel 5 (spec. kap 5.2, 5.8 och 5.10) i läroboken. Exempel 3.4, 3.8, 3.10 i exempelsamlingen. 2

3 1.4 Programvara på kursbiblioteket Programmet kubspline på kursbiblioteket beräknar en kubisk splinefunktion som interpolerar en given funktion i ekvidistanta punkter. Anrop med funktionen f1 sker genom: kubspline(f1,a,b,n,r,graf); Avsluta med ; så undviks onödig utskrift. Parametrarna förklaras i help kubspline, som finns listad i hjälpinformationen nedan Hjälpinformation för kubspline kubspline ; kubisk splineinterpolation av funktion Anrop: kubspline(f,a,b,n,r,graf); Programmet använder en kubisk splinefunktion för att interpolera en given funktion, f, i ekvidistanta noder. f funktion som skall interpoleras a startpunkt b slutpunkt n antal intervall r typ av ändpunktsvillkor: (0=naturliga, 1=rätta, 2=rätta andraderivator) graf val om grafen(=0) eller felkurvan(=1) ska ritas ut. 2 Polynominterpolation Vi skall använda några MATLAB-rutiner för att beräkna och plotta interpolationspolynomen. Till exempel skall kommandot polyfit användas för att anpassa ett polynom till givna data och kommandot polyval användas för att beräkna värdet av interpolationspolynomet. Exempelvis så kan ett andragradspolynom anpassas till data (x k,y k ), lagrade som två vektorer x och y, genom kommandot: >> p2=polyfit(x,y,2); Vi kan sedan beräkna polynomets värde för ett antal x värden lagrade i vektorn xx genom att skriva: >> yy=polyval(p2,xx); Förberedelseuppgift 2.1 Gradtal Antag att vi vill hitta ett polynom P(x) som interpolerar en funktion f(x) i n givna punkter x 1,...,x n. Vilket gradtal skall väljas för polynomet? 3

4 Uppgift 2.2 Välj ut data Låt f(x)=e x/5 +sin(x). Vi skall approximera f(1.3) genom linjär interpolation med hjälp av följande tabell. För att polyfit skall beräkna ett interpolerande polynom krävs att antalet datapunkter, dvs längden hos vektorerna x och y, stämmer överens med gradtalet hos polynomet. x k f(x k ) Vilka två punkter ska användas vid den linjära interpolationen? Uppgift 2.3 Beräkna värdet Ange polynomets värde i punkten x=1.3, dvs P 1 (1.3). Matlabs rutin polyfit ger ingen uppskattning av trunkeringsfelet. Man kan dock utnyttja att P 2 (x) P 1 (x)+r T (x). Vi beräknar alltså ett polynom P 2 (x) som interpolerar f(x) i alla tre punkterna i tabellen ovan, genom att utnyttja MATLABs rutin polyfit, och uppskattar det trunkeringsfel som görs då f(x) approximeras med den räta linjen P 1 (x) med R T (x) P 2 (x) P 1 (x). Uppgift 2.4 Feluppskattning Gör en feluppskattning och uppskatta f(1.3) P 1 (1.3). Värdena i tabellen antas vara korrekt avrundade. R T R XF R T + R XF Jämför feluppskattningen med det verkliga felet. 4

5 3 Splineinterpolation 3.1 Olika ändpunktsvillkor För att entydigt bestämma en interpolerande splinefunktion krävs två ändpunktsvillkor. Vi ska mer i detalj undersöka två olika val av ändpunktsvillkor. s (a) = s (b) = 0 (naturliga ändpunktsvillkor). Detta motsvarar den mekaniska tillämpningen med en böjlig ribba (en så kallad ri på svenska eller spline på engelska) som går igenom de givna interpolationspunkterna. Ribban antar då en form som minimerar den potentiella energin. Man kan matematiskt visa att denna form approximativt överensstämmer med en kubisk spline med naturliga ändpunktsvillkor. s (a) och s (b) väljes fritt. Om vi känner derivatorna i x = a och x = b väljs förstås s (a) = f (a) och s (b) = f (b). Dessa kallas rätta ändpunktsvillkor. 3.2 Ändpunktsvillkorens inverkan Låt f(x) (finns i f1) vara den funktion som skall interpoleras. Vi skall undersöka felets beroende av de valda ändpunktsvillkoren. Som testfunktion användes polynomet Förberedelseuppgift 3.1 f(x) = 4 3 x4 4 3 x x2. Beräkna f (0) och f (1). Dessa värden behövs då rätta ändpunktsvillkor skall användas. Beräkna även f (0) och f (1). f (0) = f (1) = f (0) = f (1) = Uppgift 3.2 Datorexperiment Eftersom f är känd kan vi ju bestämma interpolationsfelet i en godtycklig punkt R T (x) = f(x) s(x). Interpolationen skall utföras mellan x 1 = 0 och x n+1 = 1 och med n = 10 (alltså med 10 delintervall och med steglängden h = 0.1). Använd programmet kubspline i nedanstående uppgifter. 1. Rita s(x) både med naturliga och rätta ändpunktsvillkor. Rita grafen för den ena kurvan (sista parametern=0), skriv hold on samt rita den andra kurvan. Detta ger båda kurvorna i samma bild. Avsluta med hold off. Kan man se någon skillnad på kurvorna? 2. För att tydligare se hur felet uppför sig, rita felkurvor (sista parametern = 1) med både naturliga och rätta ändpunktsvillkor i samma bild. Ta ut en papperskopia (print) och markera vilken kurva som är vilken. Avsluta med hold off. Lämna med figuren. 5

6 Uppgift 3.3 Studera felkurvorna Det syns tydligt att felen är noll i noderna, dvs i kanten på varje delintervall. Var i delintervallen är felen störst? Vilken typ av ändpunktsvillkor ger genomgående de största felen och i vilket intervall erhölls maximala absoluta felet? Betrakta splinefunktionen med naturliga randvillkor. Ge en förklaring till felens variation, dvs förklara varför felen blir störst i kanterna och varför vi får olika stora fel i början och i slutet? [Studera andraderivatan] 3.3 Steglängdens inverkan En annan faktor som påverkar felet är antalet interpolationspunkter, som motsvaras av en viss steglängd h. Ju mindre steg (fler delintervall) desto mindre bör felet bli. Men hur avtar felet med avtagande steg? Använd programmet kubspline för att utföra följande uppgifter. Uppgift 3.4 Datorexperiment med naturliga ändpunktsvillkor Använd naturliga ändpunktsvillkor och rita felkurvan med antalet delintervall lika med 10 (motsvarar h = 0.1). Titta speciellt på det första delintervallet, ett i mitten, samt det sista delintervallet. Fyll i beloppet av de maximala absoluta felen i tabellen. Använd hold on så att alla felkurvor kommer i samma diagram. Upprepa samma sak med antalet delintervall lika med 20 och 40. Avsluta med hold off Läs av värdena från TABELLEN, som skrivs ut i MATLAB-fönstret antal steglängd första centrala sista i intervall h i intervallet intervallet intervallet Uppgift 3.5 Datorexperiment med rätta ändpunktsvillkor Upprepa ovanstående men använd rätta ändpunktsvillkor. antal steglängd första centrala sista i intervall h i intervallet intervallet intervallet

7 Uppgift 3.6 Tolkning av resultaten Med hjälp av resultaten ovan kan man experimentellt bestämma hur felet beror av steglängden h i de olika fallen. Felet, som är ett trunkeringsfel(eftersom beräkningsfelen kan försummas) är nämligen ungefär proportionellt mot h p, dvs R T ch p, där p bestämmer metodens konvergensordning och c är oberoende av steglängden, h, men beror på x och på funktionen. Vi kan bestämma p på ett enkelt sätt genom att bilda kvoterna nedan. Förkorta i uttrycket och utnyttja att vi halverat h. R T (h i ) R T (h i+1 ) chp i ch p i+1 = För in felkvoterna (fel med steg h i ) / (fel med steg h i+1 ) i tabellen nedan. ändpunktsvillkor i h i /h i+1 Naturliga 1 första centrala sista intervallet intervallet intervallet 2 Rätta 1 2 Bestäm nu p (heltal) och för in detta i tabellen. första centrala sista ändpunktsvillkor intervallet intervallet intervallet Naturliga Rätta Förberedelseuppgift 3.7 Teori Ange den teoretiska feluppskattningen (se formelsamlingen, sid. 5 längst ner). För vilken typ av ändpunktsvillkor är denna härledd? Efterbearbetning 3.8 Slutsatser För vilket (vilka) intervall och ändpunktsvillkor ger den praktiska undersökningen samma värde på p som teorin anger? 7

8 4 Exempel: Böjlig ribba En böjlig ribba skall på intervallet [0,1] styras upp i ett antal jämnt fördelade noder på sådant sätt att dess potentiella energi minimeras samtidigt som den beskriver en funktion e x2 (finns i f2) med en största tillåten avvikelse Förberedelseuppgift 4.1 Val av ändpunktsvillkor Vilka ändpunktsvillkor ska man använda? Motivera valet. [Avsnitt 3.1] Uppgift 4.2 Steglängdsval Vilken steglängd skall man använda, då man vill ha det maximala trunkeringsfelet mindre än 10 6? Pröva först med en valfri steglängd och läs av det maximala trunkeringsfelet R T ch p där p nu är känt från Uppgift 3.6. Använd detta för att beräkna c. Beräkna sedan den steglängd som ger R T Redovisa beräkningarna. h = vilket ger intervall. Uppgift 4.3 Testning Använd den framräknade steglängden för att kontrollera noggrannheten. Hur stort blir det maximala trunkeringsfelet och var inträffar det? 8

9 5 Jämförelse mellan splineinterpolation och polynominterpolation I detta avsnitt ska funktionen f(x) = 1+5 e 25x2 1+x 2 /25 användas. Funktionen finns i f3. Uppgift 5.1 Datorexperiment med spline Interpolera f(x) med en naturlig splinefunktion. Använd intervallet [ 0.4, 4.4]. Rita graferna för olika antal delintervall. Börja med n = 15 och öka n med steg om 5 tills splinefunktionen ger en för ögat helt acceptabel lösning? Hur många delintervall krävdes? Förberedelseuppgift 5.2 Gradtal vid polynominterpolation Vi ska nu försöka att interpolera med ett polynom. Funktionen pol inter som du har kopierat till din area är listad nedan. Funktionen utför beräkningarna, ritar ut f(x) och det sökta polynomet. Vilket gradtal ska polynomet ha om intervallet delas i n delintervall? function pol_inter(fkn, n) % dela intervallet i n delintervall och beräkna funktionsvärdena x = -0.4 : 4.8/n : 4.4; f = fkn(x); % skapa ett polynom som interpolerar funktionen p = polyfit(x, f,?); % dela intervallet i 10n delintervall xx = -0.4 : 4.8/(10*n) : 4.4; % plotta pylonomet och den ursprungliga funktionen plot(xx, polyval(p,xx)) hold on plot(xx, fkn(xx), : ) % plot(,, ) hold off Uppgift 5.3 Datorexperiment med polynominterpolation Byt ut? i programkoden. Komplettera det sista plot-kommandot så att programmet också ritar ut stjärnor i interpolationspunkterna. Kör programmet med n = 8 och kontrollera att polynomet går genom stjärnorna. Experimentera sedan med olika n. För vilket n fick du bästa lösningen? Blev det en godtagbar approximation (polynomet ska då följa ursprungsfunktionen i hela intervallet)? Jämför med splinen. Vilken av metoderna fungerar bäst i detta fall? 9

10 6 Exempel: Personliga kurvan Vi vill använda en kubisk splinefunktion för att interpolera ditt personnummer. Låt x anta heltalsvärdena 1 till 10. Lagra siffrorna i ditt personnummer i vektorn y = [y 1,y 2,...,y 10 ]. Vi ska börja med att använda rätta randvillkor. Då behöver vi beräkna en approximation till derivatorna i ändpunkterna, y (a) resp. y (b). Förberedelseuppgift 6.1 Formel för slutlutningen Välj startlutningen enligt formeln y (a) D a (h) = y(1+2h)+4y(1+h) 3y(1) 2h (Här är y(1+(i 1)h) = y i, i = 1,2,...,10.) = { då h = 1} = y 3 +4y 2 3y 1. 2 Vad blir motsvarande uttryck för slutlutningen D b (h)? (Byt h i uttrycket till h och 1 till 10.) Förberedelseuppgift 6.2 Teori Visa med hjälp av taylorutveckling 1 att D a (h) = y (1)+ch p. Ange c och p. Utför härledningen på sista sidan. c = p = Uppgift 6.3 Rätta ändpunktsvillkor. Här kan du använda MATLAB-funktionen csape, se instruktioner sist i labben, och anropa den med x och y samt rätta ändpunktsvillkor. Bilda en tät x-vektor: xx=1:0.1:10; och använd ppval för att räkna ut splinefunktionens värde i dessa punkter. Ange här dina värden på D a (h) och D b (h): Uppgift 6.4 Naturliga ändpunktsvillkor Rita din naturliga personkurva i samma figur som den rätta kurvan. Uppgift 6.5 Kontroll Studera kurvorna och kontrollera att dina uträknade värden på D a (h) och D b (h) verkar stämma. (Det är troligt att den naturliga kurvan och den rätta har samma tecken på lutningen i kanterna.) Skriv ut och lämna med figuren! Uppgift 6.6 Jämförelse Skiljer sig ditt naturliga jag från ditt rätta jag? Var i så fall? 1 y(x+h) = y(x)+hy (x)+ h2 2! y (x)+ h3 3! y (x)+ 10

11 7 Exempel: Dalälven Alla kurvor kan inte beskrivas med en funktion y = f(x). Vill vi till exempel rita en cirkel, är splinefunktioner klart mindre lämpliga. Istället går det bra att använda en splinekurva s(t) = (x(t), y(t)). Kurvan s(t) = (x(t), y(t)) är en splinekurva om både x(t) och y(t) är splinefunktioner. I detta avsnitt skall vi använda splinekurvor för att lösa följande intressanta problem. Österdalälven har en märklig krok vid Östenfors. Redan i forntiden har man ändrat Dalälvens lopp på denna plats. Idag är området ett kulturminne. Rester efter skvaltkvarnar och andra lämningar bevaras med stöd från EU. Man kan beräkna hur vattnet strömmar genom kroken. Strömningen uppfyller en differentialekvation. Ekvationen skall gälla inom det område som begränsas av Dalälvens strandlinjer. Östra strandlinjen anges endast som ett antal punkter. Med hjälp av dessa av dessa punkter skall en lämplig strandlinje definieras. Det räcker inte med linjär interpolation. Differentialekvationen som beskriver strömningen kräver att stranden är snällare. Vi skall därför konstruera en strandlinje utnyttjande en kubisk spline Östenfors 3 Dalälven Figuren visar de fyra punkter (x,y) R 2 av strandlinjen, som är givna. Vi söker en splinekurva s(t) = (x(t), y(t)) genom de givna punkterna. Parametern t skall ange det ungefärliga avståndet till punkten (7, 3), mätt längs strandlinjen. Det är lämpligt att ta t [0, 5]. Vi väljer noder och funktionsvärden enligt följande tabell. t x(t) t y(t)

12 Förberedelseuppgift 7.1 Randvärden Vi antar att Dalälven strömmar parallellt med x-axeln när x=7, och parallellt med y-axeln när y = 6. Det behövs tilläggsvillkor för splinefunktionen x(t). Ange lämpliga värden på x (0) och x (5). Gör detsamma även för y (0) och y (5). Rita Dalälven med kursbibliotekets program dalaelven. Skriv >> dalaelven Uppgift 7.2 Rita kurvan Bilda östra strandlinjen med en kubisk splinekurva (med rätta ändpunktsvillkor) som interpolerar de givna punkterna. Redovisa vilka kommandon du använder för att göra detta! Rita splinekurvan i samma figur som Dalälven. Redovisa genom att skissa resultatet i bilden på föregående sida. Blev du nöjd med resultatet? Ledning: Beräkna först funktionsvärdena x(t), 0 t 5, och lagra dem som en vektor xx. Beräkna sedan funktionsvärdena y(t), 0 t 5 och lagra dem som en vektor yy. Rita sedan splinekurvan med plot(xx, yy) Uppgift 7.3 Ändrade randvärden Byt tecken på x (0) och välj i övrigt samma tilläggsvillkor som tidigare. Bilda östra strandlinjen med en kubisk splinekurva som interpolerar de givna punkterna. Rita splinekurvan i samma figur som interpolationspunkterna. Skissa återigen resultatet i figuren på föregående sida. Hur ser du på figuren vilket tecken derivatan x (0) har? 12

13 8 S-kurvan Matematisk typografi, dvs matematisk beskrivning av formen hos bokstäver och siffror har en lång tradition. Donald Knuth har skrivit en intressant artikel i ämnet (finns i hans bok TEX och METAFONT från 1979). Enligt Knuth är bokstaven S den svåraste att forma. Uppgiften består i att formge bokstaven S med kubisk splineinterpolation. Uppgift 8.1 Handrita ett S Handrita först ett S på rutat papper. Välj ut 7 punkter från den handritade kurvan så att avståndet emellan dem längs S-kurvan är ungefär lika. Lagra punkternas x och y koordinater i två vektorer, x och y. Här måste parametriska splines användas, dvs x = x(t) och y = y(t) är funktioner av en monotont växande parameter t. Välj t = 1 i startpunkten och låt sedan t anta värdena 2,3,...,7. Uppgift 8.2 Bestäm en naturlig kubisk spline som interpolerar x-värdena och en som interpolerar y-värdena. Använd sedan en vektor tt=1:0.1:7 för att plotta resultatet. Kommandot axis equal skalar axlarna lika och måste anges efter varje plottning. Ändraev.indataochkörigentillsdublirnöjdmedresultatet.Plottaävendeutvalda 7 punkterna som stjärnor i figuren. Uppgift 8.3 Använd istället splineinterpolation med rätta randvillkor för att beräkna x(t) och y(t). Experimentera med olika start- och slut-lutningar hos kurvorna x(t) och y(t) så du får ett snyggt S. Plotta gärna tillsammans med det naturliga S:et. Redovisa dina data i tabellen: t x(t) y(t) Snyggast blev det med x (1) = y (1) = x (7) = y (7) = 13

14 9 Information om programmet csape MATLAB-rutinen csape beräknar en kubisk splinefunktion som interpolerar givna x- och y-värden. En mängd olika ändpunktsvillkor kan väljas. Beskrivning av de två ändpunktsvillkor som ska användas i denna lab finns i hjälpinformationen nedan. MATLAB-rutinen ppval (se nedan) används sedan för att beräkna s(x), dvs splinefunktionensvärdeförettgivetx.ärxenvektorberäknass(x)förallaelementenivektorn. 9.1 Användbart utdrag från hjälpinformation för csape CSAPE Cubic spline interpolation with various end-conditions. pp = csape(x,y,conds) returns the cubic spline interpolant (in ppform) to the given data (x,y) using the end-conditions specified in CONDS. CONDS may be a *string* whose first character matches one of the following: complete or clamped, not-a-knot, periodic, second, variational, with the following meanings: complete : match endslopes to the slope of the cubic that matches the first four data at the respective end. variational : set end second derivatives equal to zero 9.2 Användbart utdrag från hjälpinformation för ppval PPVAL Evaluate piecewise polynomial. v = ppval(pp,xx) returns the value at the points xx of the piecewise polynomial contained in pp, as constructed by CSAPE. 9.3 Exempel En spline med rätta randvillkor kan beräknas med anropet pr=csape(x,y, complete,[yprima yprimb]) där yprima och yprimb är värden på randvärdena. En spline med naturliga randvillkor kan beräknas med anropet pn=csape(x,y, variational ) 14

LAB 3. INTERPOLATION. 1 Inledning. 2 Interpolation med polynom. 3 Splineinterpolation. 1.1 Innehåll. 3.1 Problembeskrivning

LAB 3. INTERPOLATION. 1 Inledning. 2 Interpolation med polynom. 3 Splineinterpolation. 1.1 Innehåll. 3.1 Problembeskrivning TANA18/20 mars 2015 LAB 3. INTERPOLATION 1 Inledning Vi ska studera problemet att interpolera givna data med ett polynom och att interpolera med kubiska splinefunktioner, s(x), som är styckvisa polynom.

Läs mer

Interpolation. 8 december 2014 Sida 1 / 20

Interpolation. 8 december 2014 Sida 1 / 20 TANA09 Föreläsning 7 Interpolation Interpolationsproblemet. Introduktion. Polynominterpolation. Felanalys. Runges fenomen. Tillämpning. LED display. Splinefunktioner. Spline Interpolation. Ändpunktsvillkor.

Läs mer

Approximerande Splines. B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor.

Approximerande Splines. B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor. TANA09 Föreläsning 8 Approximerande Splines B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor. Exempel Parametriska Kurvor. Ritprogram. Beziér kurvor. Design av kurvor och ytor. Tillämpning

Läs mer

Kurvanpassning. Kurvanpassning jfr lab. Kurvanpassning jfr lab

Kurvanpassning. Kurvanpassning jfr lab. Kurvanpassning jfr lab Kurvanpassning jfr lab Kurvanpassning Beräkningsvetenskap II Punktmängd approximerande funktion Finns olika sätt att approximera med polynom Problem med höga gradtal kan ge stora kast Kurvanpassning jfr

Läs mer

LAB 4. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER. 1 Inledning. 2 Eulers metod och Runge-Kuttas metod

LAB 4. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER. 1 Inledning. 2 Eulers metod och Runge-Kuttas metod TANA21+22/ 30 september 2016 LAB 4. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER 1 Inledning Vi skall studera begynnelsevärdesproblem, både med avseende på stabilitet och noggrannhetens beroende av steglängden. Vi

Läs mer

Polynomanpassning i MATLAB

Polynomanpassning i MATLAB Polynomanpassning i MATLAB Funktionsanropet c=polyfit(x,y,n) ger koefficiemterna i ett n:e-gradspolynom som anpassar sig till y-värdena för x-värdena med lämplig metod. I tredje föreläsningens exempel

Läs mer

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 3. Linjär algebra Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion 2 En Komet Kometer rör sig enligt ellipsformade

Läs mer

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 1. Linjär Algebra och Avbildningar Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion I denna övning skall

Läs mer

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 1. Vektorberäkningar Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion I denna övning skall vi träna på

Läs mer

NUMPROG, 2D1212, vt Föreläsning 1, Numme-delen. Linjära ekvationssystem Interpolation, Minstakvadratmetoden

NUMPROG, 2D1212, vt Föreläsning 1, Numme-delen. Linjära ekvationssystem Interpolation, Minstakvadratmetoden NUMPROG, D, vt 006 Föreläsning, Numme-delen Linjära ekvationssystem Interpolation, Minstakvadratmetoden En av de vanligaste numeriska beräkningar som görs i ingenjörsmässiga tillämpningar är att lösa ett

Läs mer

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 3. Funktioner Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion I denna laboration skall vi träna på att

Läs mer

Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 9p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB

Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 9p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB MAI/Linköpings universitet Fredrik Berntsson Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 9p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB Redovisning Lös först uppgifterna i Matlab. Då du har en

Läs mer

f(x) = x 2 g(x) = x3 100

f(x) = x 2 g(x) = x3 100 När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera. Här ska vi se vad som händer

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE1 den 1 mars 214 kl 8.-1. 1. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = 2 arctan x + ln (1 + x 2 ), där

Läs mer

LABORATION cos (3x 2 ) dx I =

LABORATION cos (3x 2 ) dx I = SF1518,SF1519,numpbd14 LABORATION 2 Trapetsregeln, ekvationer, ekvationssystem, MATLAB-funktioner Studera kapitel 6 och avsnitt 5.2.1, 1.3 och 3.8 i NAM parallellt med arbetet på denna laboration. Genomför

Läs mer

2 Matrisfaktorisering och lösning till ekvationssystem

2 Matrisfaktorisering och lösning till ekvationssystem TANA21+22/ 5 juli 2016 LAB 2. LINJÄR ALGEBRA 1 Inledning Lösning av ett linjärt ekvationssystem Ax = b förekommer ofta inom tekniska beräkningar. I laborationen studeras Gauss-elimination med eller utan

Läs mer

Parametriserade kurvor

Parametriserade kurvor CTH/GU LABORATION 4 TMV37-4/5 Matematiska vetenskaper Inledning Parametriserade kurvor Vi skall se hur man ritar parametriserade kurvor i planet samt hur man ritar tangenter och normaler i punkter längs

Läs mer

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium. Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter

Läs mer

OH till Föreläsning 5, Numme K2, GNM Kap 4-4.4A / GKN Kap 4.1A,(D),E Interpolation. Läsa mellan raderna. Allmän polynom-interpolation

OH till Föreläsning 5, Numme K2, GNM Kap 4-4.4A / GKN Kap 4.1A,(D),E Interpolation. Läsa mellan raderna. Allmän polynom-interpolation OH till Föreläsning 5, Numme K, 14101 GNM Kap 4-44A / GKN Kap 41A,(D),E Interpolation x y 1900 8 1910 98 190 481 190 40 1940 404 1950 9 1960 91 1970 940 1980 960 1990 980 Läsa mellan raderna 1900 190 1940

Läs mer

Teorifrågor. 6. Beräkna konditionstalet för en diagonalmatris med diagonalelementen 2/k, k = 1,2,...,20.

Teorifrågor. 6. Beräkna konditionstalet för en diagonalmatris med diagonalelementen 2/k, k = 1,2,...,20. Teorifrågor Störningsanalys 1. Värdet på x är uppmätt till 0.956 med ett absolutfel på högst 0.0005. Ge en övre gräns för absolutfelet i y = exp(x) + x 2. Motivera svaret. 2. Ekvationen log(x) x/50 = 0

Läs mer

Modul 4 Tillämpningar av derivata

Modul 4 Tillämpningar av derivata Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,

Läs mer

LABORATION 2. Trapetsregeln, MATLAB-funktioner, ekvationer, numerisk derivering

LABORATION 2. Trapetsregeln, MATLAB-funktioner, ekvationer, numerisk derivering SF1518,SF1519,numpbd15 LABORATION 2 Trapetsregeln, MATLAB-funktioner, ekvationer, numerisk derivering - Genomför laborationen genom att göra de handräkningar och MATLAB-program som begärs. Var noga med

Läs mer

Laboration 3. Funktioner, vektorer, integraler och felskattning

Laboration 3. Funktioner, vektorer, integraler och felskattning 1 SF1520 K2 HT2014 NA 21 december 2015 Laboration 3 Funktioner, vektorer, integraler och felskattning Efter den här laborationen skall du kunna använda och skriva egna funktioner med flera in- och utparametrar,

Läs mer

3.6 De klassiska polynomens ortogonalitetsegenskaper.

3.6 De klassiska polynomens ortogonalitetsegenskaper. Vetenskapliga beräkningar III 34 3.6 De klassiska polynomens ortogonalitetsegenskaper. I nedanstående tabell anges egenskaperna för några av de vanligaste ortogonala polynomen. Polynomen är normerade så,

Läs mer

SF1513 NumProg för Bio3 HT2013 LABORATION 4. Ekvationslösning, interpolation och numerisk integration. Enkel Tredimensionell Design

SF1513 NumProg för Bio3 HT2013 LABORATION 4. Ekvationslösning, interpolation och numerisk integration. Enkel Tredimensionell Design 1 Beatrice Frock KTH Matematik 4 juli 2013 SF1513 NumProg för Bio3 HT2013 LABORATION 4 Ekvationslösning, interpolation och numerisk integration Enkel Tredimensionell Design Efter den här laborationen skall

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man

Läs mer

Kurs 2D1213, Laboration 2: Att lösa ordinära differentialekvationer med finita differensmetoden

Kurs 2D1213, Laboration 2: Att lösa ordinära differentialekvationer med finita differensmetoden Kurs 2D1213, Laboration 2: Att lösa ordinära differentialekvationer med finita differensmetoden Michael Hanke October 19, 2006 1 Beskrivning och mål Matematiska modeller i vetenskap och ingenjörsvetenskap

Läs mer

Uppgift 1 R-S. Uppgift 2 R-M. Namn:...

Uppgift 1 R-S. Uppgift 2 R-M. Namn:... 2D121, Numeriska Metoder, Grundkurs för I2+CL2. Laboration 3: Interpolation och integration Sista redovisningsdag för bonuspoäng: måndag 26-3-27 Obs! Muntliga delen redovisas vid ett miniseminarium. Notera!

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som

Läs mer

Index. Vektorer och Elementvisa operationer. Summor och Medelvärden. Grafik i två eller tre dimensioner. Ytor. 20 januari 2016 Sida 1 / 26

Index. Vektorer och Elementvisa operationer. Summor och Medelvärden. Grafik i två eller tre dimensioner. Ytor. 20 januari 2016 Sida 1 / 26 TAIU07 Föreläsning 2 Index. Vektorer och Elementvisa operationer. Summor och Medelvärden. Grafik i två eller tre dimensioner. Ytor. 20 januari 2016 Sida 1 / 26 Matriselement och Index För att manipulera

Läs mer

Datorövning 1 Fördelningar

Datorövning 1 Fördelningar Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF20: MATEMATISK STATISTIK, ALLMÄN KURS, 7.5HP FÖR E, HT-15 Datorövning 1 Fördelningar I denna datorövning ska du utforska begreppen sannolikhet

Läs mer

Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Tid: 18:e augusti klockan

Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Tid: 18:e augusti klockan MAI/Linköpings universitet Fredrik Berntsson Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Tid: 18:e augusti klockan 8.00-12.00 Redovisning Lös först uppgifterna i Matlab.

Läs mer

Tentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI

Tentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI TEKNISKA HÖGSKOLAN I LINKÖPING Matematiska institutionen Beräkningsmatematik/Fredrik Berntsson Tentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI Tid: 14-18, 14:e Mars, 2017 Provkod: TEN1 Hjälpmedel:

Läs mer

Laboration: Grunderna i MATLAB

Laboration: Grunderna i MATLAB Laboration: Grunderna i MATLAB 25 augusti 2005 Grunderna i MATLAB Vad är MATLAB? MATLAB är ett interaktivt program för vetenskapliga beräkningar. Som användare ger du enkla kommandon och MATLAB levererar

Läs mer

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner. Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att

Läs mer

F 4 Ch.4.2-3 Numerisk integration, forts.; Ch.4 Numerisk derivering.

F 4 Ch.4.2-3 Numerisk integration, forts.; Ch.4 Numerisk derivering. 050301 p 1 (10) F 4 Ch.4.2-3 Numerisk integration, forts.; Ch.4 Numerisk derivering. 1. Styckevis polynom: linjär och spline-interpolation; En funktion f representerad i en tabell (x i,f i ), i = 0,...,n,

Läs mer

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015.

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Begrepp och definitioner Egenskaper och satser Typiska problem Reella tal. Rationella tal. a(b + c) = ab + ac Bråkräkning. Irrationella

Läs mer

Ickelinjära ekvationer

Ickelinjära ekvationer Löpsedel: Icke-linjära ekvationer Ickelinjära ekvationer Beräkningsvetenskap I Varför är det svårt att lösa icke-linjära ekvationer? Iterativa metoder Bisektion/intervallhalvering Newton-Raphsons metod

Läs mer

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER 1. Figuren visar grafen till funktionen f där f(x) = x 3 3x 2. I punkter där xkoordinaterna är 1 respektive 3 är tangenter till

Läs mer

Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp, Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för beräkningsvetenskap Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp, 2015-12-17 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!)

Läs mer

M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Matlab, Föreläsning 1

M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Matlab, Föreläsning 1 M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Matlab, Föreläsning 1 Ove Edlund LTU 2014-11-07 Ove Edlund (LTU) M0043M, M1 2014-11-07 1 / 14 Några elementära funktioner i Matlab Exempel exp Beräknar e

Läs mer

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna Linjära system 7. (a) Falskt. Kondition är en egenskap hos problemet oberoende av precisionen i beräkningarna. (b) Falskt. Pivotering påverkar

Läs mer

Statistiska samband: regression och korrelation

Statistiska samband: regression och korrelation Statistiska samband: regression och korrelation Vi ska nu gå igenom något som kallas regressionsanalys och som innebär att man identifierar sambandet mellan en beroende variabel (x) och en oberoende variabel

Läs mer

Numeriska metoder för ODE: Teori

Numeriska metoder för ODE: Teori Numeriska metoder för ODE: Teori Lokalt trunkeringsfel och noggrannhetsordning Definition: Det lokala trunkeringsfelet är det fel man gör med en numerisk metod när man utgår från det exakta värdet vid

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2014-01-14 Tid: förmiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.

MATEMATIK Datum: 2014-01-14 Tid: förmiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel. MATEMATIK Datum: -- Tid: förmiddag Chalmers Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.: 7-88 Lösningar till tenta i TMV Analys och linjär algebra K/Bt/Kf,

Läs mer

Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD393) STS ES W K1

Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD393) STS ES W K1 Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD9) STS ES W K1 Utför överskådlig beräkning, och presentera svar på följande frågor. Det bifogade svarsarket måste användas, så lös först uppgifterna på ett kladdpapper,

Läs mer

Gamla tentemensuppgifter

Gamla tentemensuppgifter Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi

Läs mer

LABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 LÄSÅRET 03/04. Laboration 3 3. Torsionssvängningar i en drivaxel

LABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 LÄSÅRET 03/04. Laboration 3 3. Torsionssvängningar i en drivaxel Lennart Edsberg Nada, KTH December 2003 LABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 M2 LÄSÅRET 03/04 Laboration 3 3. Torsionssvängningar i en drivaxel 1 Laboration 3. Differentialekvationer

Läs mer

Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB

Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB MAI/Linköpings universitet Fredrik Berntsson Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB Redovisning Lös först uppgifterna i Matlab. Då du har en

Läs mer

1. Utan miniräknare, skissa grafen (bestäm ev. extrempunkter och asymptoter) y = x2 1 x 2 + 1

1. Utan miniräknare, skissa grafen (bestäm ev. extrempunkter och asymptoter) y = x2 1 x 2 + 1 HiH / Georgi Tchilikov ENVARIABELANALYS 5p för LGr&LGy april 9.-. Hjälpmedel: Bifogat formelblad. Miniräknare. Betygsgränser: p. för Godkänd, p. för Väl Godkänd (p. från propedeutiska kursen kan tillgodoräknas)

Läs mer

Block 5: Ickelineära. ekvationer? Läroboken. Löpsedel: Icke-lineära. ekvationer. Vad visade laborationen? Vad visade laborationen?

Block 5: Ickelineära. ekvationer? Läroboken. Löpsedel: Icke-lineära. ekvationer. Vad visade laborationen? Vad visade laborationen? Block 5: Ickelineära ekvationer Löpsedel: Icke-lineära ekvationer Varför är det svårt att lösa ickelineära ekvationer? Iterativa metoder Bisektion/intervallhalvering Newton-Raphsons metod Noggrannhet/stoppvillkor

Läs mer

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18. Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.

Läs mer

Tentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI

Tentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI TEKNISKA HÖGSKOLAN I LINKÖPING Matematiska institutionen Beräkningsmatematik/Fredrik Berntsson Tentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI Tid: 14-18, 22 Mars, 2016 Provkod: TEN1 Hjälpmedel:

Läs mer

Något om Taylors formel och Mathematica

Något om Taylors formel och Mathematica HH/ITE/BN Taylors formel och Mathematica Något om Taylors formel och Mathematica Bertil Nilsson 207-0-0 I am the best Ett av Brooks många ödmjuka inlägg i den infekterade striden som under början av 700

Läs mer

1.1 MATLABs kommandon för matriser

1.1 MATLABs kommandon för matriser MATLABs kommandon för matriser Det finns en mängd kommandon för att hantera vektorer, matriser och linjära ekvationssystem Vi ger här en kort sammanfattning av dessa kommandon För en mera detaljerad diskussion

Läs mer

Variabler. TANA81: Beräkningar med Matlab. Matriser. I Matlab skapas en variabel genom att man anger dess namn och ger den ett värde:

Variabler. TANA81: Beräkningar med Matlab. Matriser. I Matlab skapas en variabel genom att man anger dess namn och ger den ett värde: TANA81: Beräkningar med Matlab - Variabler och Matriser - Logiska uttryck och Villkor - Repetitionssatser - Grafik - Funktioner Variabler I Matlab skapas en variabel genom att man anger dess namn och ger

Läs mer

Laboration 2: 1 Syfte. 2 Väntevärde och varians hos en s.v. X med fördelningen F X (x) MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR BYGG, FMS 601, HT-08

Laboration 2: 1 Syfte. 2 Väntevärde och varians hos en s.v. X med fördelningen F X (x) MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR BYGG, FMS 601, HT-08 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR BYGG, FMS 601, HT-08 Laboration 2: Om väntevärden och fördelningar 1 Syfte I denna laboration skall vi försöka

Läs mer

MMA132: Laboration 1 Introduktion till MATLAB

MMA132: Laboration 1 Introduktion till MATLAB MMA132: Laboration 1 Introduktion till MATLAB De flesta numeriska metoder låter oss få en tillräckligt bra lösning på ett matematiskt problem genom att byta ut komplexa matematiska operationer med kombinationer

Läs mer

Funktioner och grafritning i Matlab

Funktioner och grafritning i Matlab CTH/GU LABORATION 3 MVE11-212/213 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Funktioner och grafritning i Matlab Först skall vi se lite på (elementära) matematiska funktioner i Matlab, som sinus och cosinus.

Läs mer

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer

Läs mer

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare Karlstads universitet 19-0 april Exempel på elevaktiviteter framtagna i skolutvecklingsprojektet IKT och lärande i matematik 1

Läs mer

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter TM-Matematik Mikael Forsberg 074-42 Pär Hemström 026-648962 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma04a 202 06 04 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största

Läs mer

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Karlstads GeoGebrainstitut Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet Mats Brunström Maria Fahlgren GeoGebra ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Invigning

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

Numeriska metoder. Kompendiet. Lektor: Yury Shestopalov. e-mail: youri.shestopalov@kau.se Tel. 054-7001856. Karlstads Universitet

Numeriska metoder. Kompendiet. Lektor: Yury Shestopalov. e-mail: youri.shestopalov@kau.se Tel. 054-7001856. Karlstads Universitet Numeriska metoder Kompendiet Lektor: Yury Shestopalov e-mail: youri.shestopalov@kau.se Tel. 054-7001856 Hemsidan: www.ingvet.kau.se\ youri Karlstads Universitet 2002 1 Innehåll 1 Grundbegrepp av numeriska

Läs mer

Checklista för funktionsundersökning

Checklista för funktionsundersökning Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara

Läs mer

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Datorlektion 1. Vektorer och Matriser 1 Inledning I denna övning skall du träna på att använda Matlab för enklare beräkningar och grafik. För att lösa uppgifterna

Läs mer

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015 SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt

Läs mer

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 1997. Tidsbunden del

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 1997. Tidsbunden del Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av november 1997. NATIONELLT

Läs mer

Laboration 1, M0039M, VT16

Laboration 1, M0039M, VT16 Laboration 1, M0039M, VT16 1 Förberedelser Ove Edlund, Staffan Lundberg LTU (1) Gör dig bekant med Matlab-manualen finns för nedladdning på Fronter. (2) Läs igenom laborationens teoridel, avsnitt 2 nedan.

Läs mer

Mer om funktioner och grafik i Matlab

Mer om funktioner och grafik i Matlab CTH/GU 2017/2018 Matematiska vetenskaper Mer om funktioner och grafik i Matlab 1 Inledning Först skall vi se lite på funktioner som redan finns i Matlab, (elementära) matematiska funktioner som sinus och

Läs mer

SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011

SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Avd. Matematisk statistik Tobias Rydén 2011-09-30 SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Förberedelser. Innan du går till laborationen, läs igenom den här handledningen. Repetera också i

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2 2202 Beräkna Detta ger f(3 + h) f(3) då f(x) x 2 (3 + h) 2 3 2 h 2 + 6h 6 + h 6 h 0 Vi har därmed bestämt riktningskoefficienten (k-värdet) för tangenten

Läs mer

Gruppuppgifter 1 MMA132, Numeriska metoder, distans

Gruppuppgifter 1 MMA132, Numeriska metoder, distans Gruppuppgifter 1 MMA132, Numeriska metoder, distans Uppgifter märkta med redovisas 1. Läs om felkalkyl i enkla fall sidan 1.2-1.3. Givet a = 1,23, E a = 0,005 c = 0,00438 ± 0,5 10 5 b = 23,71, E b = 0,003

Läs mer

Tentamen, del 2 Lösningar DN1240 Numeriska metoder gk II F och CL

Tentamen, del 2 Lösningar DN1240 Numeriska metoder gk II F och CL Tentamen, del Lösningar DN140 Numeriska metoder gk II F och CL Lördag 17 december 011 kl 9 1 DEL : Inga hjälpmedel Rättas ast om del 1 är godkänd Betygsgränser inkl bonuspoäng: 10p D, 0p C, 30p B, 40p

Läs mer

Studio 6: Dubbelintegral.

Studio 6: Dubbelintegral. Studio 6: Dubbelintegral. Analys och Linjär Algebra, del C, K1/Kf1/Bt1, vt09 20 februari 2009 1 Repetition av enkelintegral I ALA B skrev du en MATLAB-funktion minintegral som beräknar integralen av en

Läs mer

Funktionsstudier med derivata

Funktionsstudier med derivata Funktionsstudier med derivata Derivatan ett kraftfullt verktyg för att studera och tolka funktioner Det här avsnittet handlar om att man kan använda derivatan till att bestämma en funktions egenskaper

Läs mer

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7 TM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41331 Pär Hemström 06-64896 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma034a 01 10 01 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

SVÄNGNINGSTIDEN FÖR EN PENDEL

SVÄNGNINGSTIDEN FÖR EN PENDEL Institutionen för fysik 2012-05-21 Umeå universitet SVÄNGNINGSTIDEN FÖR EN PENDEL SAMMANFATTNING Ändamålet med experimentet är att undersöka den matematiska modellen för en fysikalisk pendel. Vi har mätt

Läs mer

Laboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08

Laboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK Laboration 5: Regressionsanalys DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08 Syftet med den här laborationen är att du skall

Läs mer

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002 RÄKNEÖVNING VECKA David Heintz, 3 oktober 22 Innehåll Uppgift 27. 2 Uppgift 27.8 4 3 Uppgift 27.9 6 4 Uppgift 27. 9 5 Uppgift 28. 5 6 Uppgift 28.2 8 7 Uppgift 28.4 2 Uppgift 27. Determine primitive functions

Läs mer

Uppgift 1. (SUBPLOT) (Läs gärna help, subplot innan du börjar med uppgiften.) 1 A) Testa och förklara hur nedanstående kommandon fungerar.

Uppgift 1. (SUBPLOT) (Läs gärna help, subplot innan du börjar med uppgiften.) 1 A) Testa och förklara hur nedanstående kommandon fungerar. INLÄMNINGSUPPGIFT 2 Linjär algebra och analys Kurskod: HF1006, HF1008 Skolår: 2016/17 armin@kth.se www.sth.kth.se/armin Redovisas under sista två (av totalt fem) labbövningar i Analys-delen. Preliminärt:

Läs mer

Lösningsförslag till tentamensskrivningen i Numerisk analys

Lösningsförslag till tentamensskrivningen i Numerisk analys Lösningsförslag till tentamensskrivningen i Numerisk analys 160526 Del I: (1) (a) Heuns metod för numerisk lösning av differentialekvationer har noggrannhetsordning 2. Detta betyder att Felet avtar med

Läs mer

Inlämningsuppgift 4 NUM131

Inlämningsuppgift 4 NUM131 Inlämningsuppgift 4 NUM131 Modell Denna inlämningsuppgift går ut på att simulera ett modellflygplans rörelse i luften. Vi bortser ifrån rörelser i sidled och studerar enbart rörelsen i ett plan. De krafter

Läs mer

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april. Liten introduktionsguide för nybörjare

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april. Liten introduktionsguide för nybörjare GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare 19-20 april Liten introduktionsguide för nybörjare GeoGebra 0 Introduktionsövningar till GeoGebra När man startar GeoGebra är det

Läs mer

Introduktion till Matlab

Introduktion till Matlab Introduktion till Matlab Inledande matematik, I1, ht10 1 Inledning Detta är en koncis beskrivning av de viktigaste delarna av Matlab. Till en början är det enkla beräkningar och grafik som intresserar

Läs mer

Polynomanpassningsprogram

Polynomanpassningsprogram Polynomanpassningsprogram Den här uppgiften skall göra en polynomanpassning av en tvåkolumners tabell enligt minstakvadrat kriteriet och presentera resultatet grafiskt. Uppgiftens tygndpunkt ligger på

Läs mer

f(a + h) = f(a) + f (a)h + f (θ) 2 h2, θ [a, a + h]. = f(a+h) f(a)

f(a + h) = f(a) + f (a)h + f (θ) 2 h2, θ [a, a + h]. = f(a+h) f(a) Vi skall nu se, hur man kan beräkna numeriska derivator. Antag att vi vill beräkna derivatan av f(x) i en punkt x = a, och att dess Taylor utveckling kring denna punkt är f(a + h) = f(a) + f (a)h + f (θ)

Läs mer

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren).

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). Derivata Sekant oc tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). I figuren ovan finns även en tangent inritad. Som nästa ska vi titta på

Läs mer

MMA132: Laboration 1 & 2 Introduktion till MATLAB

MMA132: Laboration 1 & 2 Introduktion till MATLAB MMA132: Laboration 1 & 2 Introduktion till MATLAB De flesta numeriska metoder låter oss få en tillräckligt bra lösning på ett matematiskt problem genom att byta ut komplexa matematiska operationer med

Läs mer

Linjär algebra med tillämpningar, lab 1

Linjär algebra med tillämpningar, lab 1 Linjär algebra med tillämpningar, lab 1 Innehåll Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Uppgifterna i denna laboration täcker kapitel 1-3 i läroboken. Läs igenom motsvarande kapitel. Sitt

Läs mer

Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap

Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap1-3.1. 150513 (Lärare: Ingemar Carlsson) Anvisningar Del B, C och Del D Provtid Hjälpmedel Del A Del B Del C och D Kravgränser Övrigt 140 minuter för Del B, C och Del D. Du

Läs mer

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1 TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna Betygskriterier Matematik D MA04 00p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA04 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

Introduktion till Matlab Föreläsning 2

Introduktion till Matlab Föreläsning 2 Introduktion till Matlab Föreläsning 2 FY021G Ingenjörsvetenskap Magnus.Eriksson@miun.se Reviderad 2007-09-23 1 Examination En enkel dugga (kort prov, ca 20 minuter) inleder labbtillfället Duggans uppgifter

Läs mer

Matematisk analys för ingenjörer Matlabövning 3 Numerisk lösning av differentialekvationer

Matematisk analys för ingenjörer Matlabövning 3 Numerisk lösning av differentialekvationer 2 mars 2017 Matematisk analys för ingenjörer Matlabövning 3 Numerisk lösning av differentialekvationer Syftet med denna matlab-övning är att studera differentialekvationer och introducera hur man använder

Läs mer

Lab 1, Funktioner, funktionsfiler och grafer.

Lab 1, Funktioner, funktionsfiler och grafer. Lab 1, Funktioner, funktionsfiler och grafer. Starta gärna en dagbok genom att ge kommandot diary lab1. Skriv in alla beräkningar som efterfrågas i uppgifterna i dagboken. Glöm inte diary off om det skrivna

Läs mer

MATLAB övningar, del1 Inledande Matematik

MATLAB övningar, del1 Inledande Matematik MATLAB övningar, del1 Inledande Matematik Övningarna på de två första sidorna är avsedda att ge Dig en bild av hur miljön ser ut när Du arbetar med MATLAB. På de följande sidorna följer uppgifter som behandlar

Läs mer