TANA19 NUMERISKA METODER
|
|
- Filip Blomqvist
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 HT2/2016 LINJE+ÅK+KLASS : TANA19 NUMERISKA METODER Laboration 3. Interpolation Namn : Personnummer : E-post Namn : Personnummer : E-post Godkänd datum : Sign : Retur : 1
2 21 november 2016 LAB 3. INTERPOLATION 1 Inledning I den första delen av laborationen skall vi studera problemet att interpolera givna data med interpolation med ett polynom. Vi ska också använda en kubisk splinefunktion s(x), för att interpolera givna data. Vi skall t.ex. se hur valet av ändpunktsvillkor påverkar felet vid interpolationen. Vi kommer att begränsa oss till det ekvidistanta fallet där alltså x i+1 x i = h = konstant. Därför kommer antalet delintervall, n, att bestämma steglängden h = (b a)/n. Vi skall även undersöka hur felet vid splineinterpolation beror av steglängden h. Resultaten kommer att tillämpas i några exempel. 1.1 Att komma igång Öppna ett terminalfönster. Skriv: TANA79setup (vilket definierar kursbiblioteket och sökvägar) cp $kursbib/pol inter.m. (vilket kopierar matlabfunktionen pol inter.m till din egen area) matlab & (vilket gör att MATLAB startas i eget fönster) Gå över i MATLAB-fönstret och skriv: itlab3 (hämtar in aktuella funktioner f1, f2 och f3) 1.2 Mål Målet med denna laboration är att du skall få insikt i hur interpolerande splinefunktioner används. lära dig hur man praktiskt kan bestämma konvergensordningen p, då vi vet att R T h p. få förståelse för hur olika ändpunktsvillkor påverkar felfunktionen. jämföra polynominterpolation och splineinterpolation. få träning i att använda några av MATLAB:s inbyggda rutiner. 1.3 Förkunskaper Kapitel 5 (spec. kap 5.2, 5.8 och 5.10) i läroboken. Exempel 3.4, 3.8, 3.10 i exempelsamlingen. 2
3 1.4 Programvara på kursbiblioteket Programmet kubspline på kursbiblioteket beräknar en kubisk splinefunktion som interpolerar en given funktion i ekvidistanta punkter. Anrop med funktionen f1 sker genom: kubspline(f1,a,b,n,r,graf); Avsluta med ; så undviks onödig utskrift. Parametrarna förklaras i help kubspline, som finns listad i hjälpinformationen nedan Hjälpinformation för kubspline kubspline ; kubisk splineinterpolation av funktion Anrop: kubspline(f,a,b,n,r,graf); Programmet använder en kubisk splinefunktion för att interpolera en given funktion, f, i ekvidistanta noder. f funktion som skall interpoleras a startpunkt b slutpunkt n antal intervall r typ av ändpunktsvillkor: (0=naturliga, 1=rätta, 2=rätta andraderivator) graf val om grafen(=0) eller felkurvan(=1) ska ritas ut. 2 Polynominterpolation Vi skall använda några MATLAB-rutiner för att beräkna och plotta interpolationspolynomen. Till exempel skall kommandot polyfit användas för att anpassa ett polynom till givna data och kommandot polyval användas för att beräkna värdet av interpolationspolynomet. Exempelvis så kan ett andragradspolynom anpassas till data (x k,y k ), lagrade som två vektorer x och y, genom kommandot: >> p2=polyfit(x,y,2); Vi kan sedan beräkna polynomets värde för ett antal x värden lagrade i vektorn xx genom att skriva: >> yy=polyval(p2,xx); Förberedelseuppgift 2.1 Gradtal Antag att vi vill hitta ett polynom P(x) som interpolerar en funktion f(x) i n givna punkter x 1,...,x n. Vilket gradtal skall väljas för polynomet? 3
4 Uppgift 2.2 Välj ut data Låt f(x)=e x/5 +sin(x). Vi skall approximera f(1.3) genom linjär interpolation med hjälp av följande tabell. För att polyfit skall beräkna ett interpolerande polynom krävs att antalet datapunkter, dvs längden hos vektorerna x och y, stämmer överens med gradtalet hos polynomet. x k f(x k ) Vilka två punkter ska användas vid den linjära interpolationen? Uppgift 2.3 Beräkna värdet Ange polynomets värde i punkten x=1.3, dvs P 1 (1.3). Matlabs rutin polyfit ger ingen uppskattning av trunkeringsfelet. Man kan dock utnyttja att P 2 (x) P 1 (x)+r T (x). Vi beräknar alltså ett polynom P 2 (x) som interpolerar f(x) i alla tre punkterna i tabellen ovan, genom att utnyttja MATLABs rutin polyfit, och uppskattar det trunkeringsfel som görs då f(x) approximeras med den räta linjen P 1 (x) med R T (x) P 2 (x) P 1 (x). Uppgift 2.4 Feluppskattning Gör en feluppskattning och uppskatta f(1.3) P 1 (1.3). Värdena i tabellen antas vara korrekt avrundade. R T R XF R T + R XF Jämför feluppskattningen med det verkliga felet. 4
5 3 Splineinterpolation 3.1 Olika ändpunktsvillkor För att entydigt bestämma en interpolerande splinefunktion krävs två ändpunktsvillkor. Vi ska mer i detalj undersöka två olika val av ändpunktsvillkor. s (a) = s (b) = 0 (naturliga ändpunktsvillkor). Detta motsvarar den mekaniska tillämpningen med en böjlig ribba (en så kallad ri på svenska eller spline på engelska) som går igenom de givna interpolationspunkterna. Ribban antar då en form som minimerar den potentiella energin. Man kan matematiskt visa att denna form approximativt överensstämmer med en kubisk spline med naturliga ändpunktsvillkor. s (a) och s (b) väljes fritt. Om vi känner derivatorna i x = a och x = b väljs förstås s (a) = f (a) och s (b) = f (b). Dessa kallas rätta ändpunktsvillkor. 3.2 Ändpunktsvillkorens inverkan Låt f(x) (finns i f1) vara den funktion som skall interpoleras. Vi skall undersöka felets beroende av de valda ändpunktsvillkoren. Som testfunktion användes polynomet Förberedelseuppgift 3.1 f(x) = 4 3 x4 4 3 x x2. Beräkna f (0) och f (1). Dessa värden behövs då rätta ändpunktsvillkor skall användas. Beräkna även f (0) och f (1). f (0) = f (1) = f (0) = f (1) = Uppgift 3.2 Datorexperiment Eftersom f är känd kan vi ju bestämma interpolationsfelet i en godtycklig punkt R T (x) = f(x) s(x). Interpolationen skall utföras mellan x 1 = 0 och x n+1 = 1 och med n = 10 (alltså med 10 delintervall och med steglängden h = 0.1). Använd programmet kubspline i nedanstående uppgifter. 1. Rita s(x) både med naturliga och rätta ändpunktsvillkor. Rita grafen för den ena kurvan (sista parametern=0), skriv hold on samt rita den andra kurvan. Detta ger båda kurvorna i samma bild. Avsluta med hold off. Kan man se någon skillnad på kurvorna? 2. För att tydligare se hur felet uppför sig, rita felkurvor (sista parametern = 1) med både naturliga och rätta ändpunktsvillkor i samma bild. Ta ut en papperskopia (print) och markera vilken kurva som är vilken. Avsluta med hold off. Lämna med figuren. 5
6 Uppgift 3.3 Studera felkurvorna Det syns tydligt att felen är noll i noderna, dvs i kanten på varje delintervall. Var i delintervallen är felen störst? Vilken typ av ändpunktsvillkor ger genomgående de största felen och i vilket intervall erhölls maximala absoluta felet? Betrakta splinefunktionen med naturliga randvillkor. Ge en förklaring till felens variation, dvs förklara varför felen blir störst i kanterna och varför vi får olika stora fel i början och i slutet? [Studera andraderivatan] 3.3 Steglängdens inverkan En annan faktor som påverkar felet är antalet interpolationspunkter, som motsvaras av en viss steglängd h. Ju mindre steg (fler delintervall) desto mindre bör felet bli. Men hur avtar felet med avtagande steg? Använd programmet kubspline för att utföra följande uppgifter. Uppgift 3.4 Datorexperiment med naturliga ändpunktsvillkor Använd naturliga ändpunktsvillkor och rita felkurvan med antalet delintervall lika med 10 (motsvarar h = 0.1). Titta speciellt på det första delintervallet, ett i mitten, samt det sista delintervallet. Fyll i beloppet av de maximala absoluta felen i tabellen. Använd hold on så att alla felkurvor kommer i samma diagram. Upprepa samma sak med antalet delintervall lika med 20 och 40. Avsluta med hold off Läs av värdena från TABELLEN, som skrivs ut i MATLAB-fönstret antal steglängd första centrala sista i intervall h i intervallet intervallet intervallet Uppgift 3.5 Datorexperiment med rätta ändpunktsvillkor Upprepa ovanstående men använd rätta ändpunktsvillkor. antal steglängd första centrala sista i intervall h i intervallet intervallet intervallet
7 Uppgift 3.6 Tolkning av resultaten Med hjälp av resultaten ovan kan man experimentellt bestämma hur felet beror av steglängden h i de olika fallen. Felet, som är ett trunkeringsfel(eftersom beräkningsfelen kan försummas) är nämligen ungefär proportionellt mot h p, dvs R T ch p, där p bestämmer metodens konvergensordning och c är oberoende av steglängden, h, men beror på x och på funktionen. Vi kan bestämma p på ett enkelt sätt genom att bilda kvoterna nedan. Förkorta i uttrycket och utnyttja att vi halverat h. R T (h i ) R T (h i+1 ) chp i ch p i+1 = För in felkvoterna (fel med steg h i ) / (fel med steg h i+1 ) i tabellen nedan. ändpunktsvillkor i h i /h i+1 Naturliga 1 första centrala sista intervallet intervallet intervallet 2 Rätta 1 2 Bestäm nu p (heltal) och för in detta i tabellen. första centrala sista ändpunktsvillkor intervallet intervallet intervallet Naturliga Rätta Förberedelseuppgift 3.7 Teori Ange den teoretiska feluppskattningen (se formelsamlingen, sid. 5 längst ner). För vilken typ av ändpunktsvillkor är denna härledd? Efterbearbetning 3.8 Slutsatser För vilket (vilka) intervall och ändpunktsvillkor ger den praktiska undersökningen samma värde på p som teorin anger? 7
8 4 Exempel: Böjlig ribba En böjlig ribba skall på intervallet [0,1] styras upp i ett antal jämnt fördelade noder på sådant sätt att dess potentiella energi minimeras samtidigt som den beskriver en funktion e x2 (finns i f2) med en största tillåten avvikelse Förberedelseuppgift 4.1 Val av ändpunktsvillkor Vilka ändpunktsvillkor ska man använda? Motivera valet. [Avsnitt 3.1] Uppgift 4.2 Steglängdsval Vilken steglängd skall man använda, då man vill ha det maximala trunkeringsfelet mindre än 10 6? Pröva först med en valfri steglängd och läs av det maximala trunkeringsfelet R T ch p där p nu är känt från Uppgift 3.6. Använd detta för att beräkna c. Beräkna sedan den steglängd som ger R T Redovisa beräkningarna. h = vilket ger intervall. Uppgift 4.3 Testning Använd den framräknade steglängden för att kontrollera noggrannheten. Hur stort blir det maximala trunkeringsfelet och var inträffar det? 8
9 5 Jämförelse mellan splineinterpolation och polynominterpolation I detta avsnitt ska funktionen f(x) = 1+5 e 25x2 1+x 2 /25 användas. Funktionen finns i f3. Uppgift 5.1 Datorexperiment med spline Interpolera f(x) med en naturlig splinefunktion. Använd intervallet [ 0.4, 4.4]. Rita graferna för olika antal delintervall. Börja med n = 15 och öka n med steg om 5 tills splinefunktionen ger en för ögat helt acceptabel lösning? Hur många delintervall krävdes? Förberedelseuppgift 5.2 Gradtal vid polynominterpolation Vi ska nu försöka att interpolera med ett polynom. Funktionen pol inter som du har kopierat till din area är listad nedan. Funktionen utför beräkningarna, ritar ut f(x) och det sökta polynomet. Vilket gradtal ska polynomet ha om intervallet delas i n delintervall? function pol_inter(fkn, n) % dela intervallet i n delintervall och beräkna funktionsvärdena x = -0.4 : 4.8/n : 4.4; f = fkn(x); % skapa ett polynom som interpolerar funktionen p = polyfit(x, f,?); % dela intervallet i 10n delintervall xx = -0.4 : 4.8/(10*n) : 4.4; % plotta pylonomet och den ursprungliga funktionen plot(xx, polyval(p,xx)) hold on plot(xx, fkn(xx), : ) % plot(,, ) hold off Uppgift 5.3 Datorexperiment med polynominterpolation Byt ut? i programkoden. Komplettera det sista plot-kommandot så att programmet också ritar ut stjärnor i interpolationspunkterna. Kör programmet med n = 8 och kontrollera att polynomet går genom stjärnorna. Experimentera sedan med olika n. För vilket n fick du bästa lösningen? Blev det en godtagbar approximation (polynomet ska då följa ursprungsfunktionen i hela intervallet)? Jämför med splinen. Vilken av metoderna fungerar bäst i detta fall? 9
10 6 Exempel: Personliga kurvan Vi vill använda en kubisk splinefunktion för att interpolera ditt personnummer. Låt x anta heltalsvärdena 1 till 10. Lagra siffrorna i ditt personnummer i vektorn y = [y 1,y 2,...,y 10 ]. Vi ska börja med att använda rätta randvillkor. Då behöver vi beräkna en approximation till derivatorna i ändpunkterna, y (a) resp. y (b). Förberedelseuppgift 6.1 Formel för slutlutningen Välj startlutningen enligt formeln y (a) D a (h) = y(1+2h)+4y(1+h) 3y(1) 2h (Här är y(1+(i 1)h) = y i, i = 1,2,...,10.) = { då h = 1} = y 3 +4y 2 3y 1. 2 Vad blir motsvarande uttryck för slutlutningen D b (h)? (Byt h i uttrycket till h och 1 till 10.) Förberedelseuppgift 6.2 Teori Visa med hjälp av taylorutveckling 1 att D a (h) = y (1)+ch p. Ange c och p. Utför härledningen på sista sidan. c = p = Uppgift 6.3 Rätta ändpunktsvillkor. Här kan du använda MATLAB-funktionen csape, se instruktioner sist i labben, och anropa den med x och y samt rätta ändpunktsvillkor. Bilda en tät x-vektor: xx=1:0.1:10; och använd ppval för att räkna ut splinefunktionens värde i dessa punkter. Ange här dina värden på D a (h) och D b (h): Uppgift 6.4 Naturliga ändpunktsvillkor Rita din naturliga personkurva i samma figur som den rätta kurvan. Uppgift 6.5 Kontroll Studera kurvorna och kontrollera att dina uträknade värden på D a (h) och D b (h) verkar stämma. (Det är troligt att den naturliga kurvan och den rätta har samma tecken på lutningen i kanterna.) Skriv ut och lämna med figuren! Uppgift 6.6 Jämförelse Skiljer sig ditt naturliga jag från ditt rätta jag? Var i så fall? 1 y(x+h) = y(x)+hy (x)+ h2 2! y (x)+ h3 3! y (x)+ 10
11 7 Exempel: Dalälven Alla kurvor kan inte beskrivas med en funktion y = f(x). Vill vi till exempel rita en cirkel, är splinefunktioner klart mindre lämpliga. Istället går det bra att använda en splinekurva s(t) = (x(t), y(t)). Kurvan s(t) = (x(t), y(t)) är en splinekurva om både x(t) och y(t) är splinefunktioner. I detta avsnitt skall vi använda splinekurvor för att lösa följande intressanta problem. Österdalälven har en märklig krok vid Östenfors. Redan i forntiden har man ändrat Dalälvens lopp på denna plats. Idag är området ett kulturminne. Rester efter skvaltkvarnar och andra lämningar bevaras med stöd från EU. Man kan beräkna hur vattnet strömmar genom kroken. Strömningen uppfyller en differentialekvation. Ekvationen skall gälla inom det område som begränsas av Dalälvens strandlinjer. Östra strandlinjen anges endast som ett antal punkter. Med hjälp av dessa av dessa punkter skall en lämplig strandlinje definieras. Det räcker inte med linjär interpolation. Differentialekvationen som beskriver strömningen kräver att stranden är snällare. Vi skall därför konstruera en strandlinje utnyttjande en kubisk spline Östenfors 3 Dalälven Figuren visar de fyra punkter (x,y) R 2 av strandlinjen, som är givna. Vi söker en splinekurva s(t) = (x(t), y(t)) genom de givna punkterna. Parametern t skall ange det ungefärliga avståndet till punkten (7, 3), mätt längs strandlinjen. Det är lämpligt att ta t [0, 5]. Vi väljer noder och funktionsvärden enligt följande tabell. t x(t) t y(t)
12 Förberedelseuppgift 7.1 Randvärden Vi antar att Dalälven strömmar parallellt med x-axeln när x=7, och parallellt med y-axeln när y = 6. Det behövs tilläggsvillkor för splinefunktionen x(t). Ange lämpliga värden på x (0) och x (5). Gör detsamma även för y (0) och y (5). Rita Dalälven med kursbibliotekets program dalaelven. Skriv >> dalaelven Uppgift 7.2 Rita kurvan Bilda östra strandlinjen med en kubisk splinekurva (med rätta ändpunktsvillkor) som interpolerar de givna punkterna. Redovisa vilka kommandon du använder för att göra detta! Rita splinekurvan i samma figur som Dalälven. Redovisa genom att skissa resultatet i bilden på föregående sida. Blev du nöjd med resultatet? Ledning: Beräkna först funktionsvärdena x(t), 0 t 5, och lagra dem som en vektor xx. Beräkna sedan funktionsvärdena y(t), 0 t 5 och lagra dem som en vektor yy. Rita sedan splinekurvan med plot(xx, yy) Uppgift 7.3 Ändrade randvärden Byt tecken på x (0) och välj i övrigt samma tilläggsvillkor som tidigare. Bilda östra strandlinjen med en kubisk splinekurva som interpolerar de givna punkterna. Rita splinekurvan i samma figur som interpolationspunkterna. Skissa återigen resultatet i figuren på föregående sida. Hur ser du på figuren vilket tecken derivatan x (0) har? 12
13 8 S-kurvan Matematisk typografi, dvs matematisk beskrivning av formen hos bokstäver och siffror har en lång tradition. Donald Knuth har skrivit en intressant artikel i ämnet (finns i hans bok TEX och METAFONT från 1979). Enligt Knuth är bokstaven S den svåraste att forma. Uppgiften består i att formge bokstaven S med kubisk splineinterpolation. Uppgift 8.1 Handrita ett S Handrita först ett S på rutat papper. Välj ut 7 punkter från den handritade kurvan så att avståndet emellan dem längs S-kurvan är ungefär lika. Lagra punkternas x och y koordinater i två vektorer, x och y. Här måste parametriska splines användas, dvs x = x(t) och y = y(t) är funktioner av en monotont växande parameter t. Välj t = 1 i startpunkten och låt sedan t anta värdena 2,3,...,7. Uppgift 8.2 Bestäm en naturlig kubisk spline som interpolerar x-värdena och en som interpolerar y-värdena. Använd sedan en vektor tt=1:0.1:7 för att plotta resultatet. Kommandot axis equal skalar axlarna lika och måste anges efter varje plottning. Ändraev.indataochkörigentillsdublirnöjdmedresultatet.Plottaävendeutvalda 7 punkterna som stjärnor i figuren. Uppgift 8.3 Använd istället splineinterpolation med rätta randvillkor för att beräkna x(t) och y(t). Experimentera med olika start- och slut-lutningar hos kurvorna x(t) och y(t) så du får ett snyggt S. Plotta gärna tillsammans med det naturliga S:et. Redovisa dina data i tabellen: t x(t) y(t) Snyggast blev det med x (1) = y (1) = x (7) = y (7) = 13
14 9 Information om programmet csape MATLAB-rutinen csape beräknar en kubisk splinefunktion som interpolerar givna x- och y-värden. En mängd olika ändpunktsvillkor kan väljas. Beskrivning av de två ändpunktsvillkor som ska användas i denna lab finns i hjälpinformationen nedan. MATLAB-rutinen ppval (se nedan) används sedan för att beräkna s(x), dvs splinefunktionensvärdeförettgivetx.ärxenvektorberäknass(x)förallaelementenivektorn. 9.1 Användbart utdrag från hjälpinformation för csape CSAPE Cubic spline interpolation with various end-conditions. pp = csape(x,y,conds) returns the cubic spline interpolant (in ppform) to the given data (x,y) using the end-conditions specified in CONDS. CONDS may be a *string* whose first character matches one of the following: complete or clamped, not-a-knot, periodic, second, variational, with the following meanings: complete : match endslopes to the slope of the cubic that matches the first four data at the respective end. variational : set end second derivatives equal to zero 9.2 Användbart utdrag från hjälpinformation för ppval PPVAL Evaluate piecewise polynomial. v = ppval(pp,xx) returns the value at the points xx of the piecewise polynomial contained in pp, as constructed by CSAPE. 9.3 Exempel En spline med rätta randvillkor kan beräknas med anropet pr=csape(x,y, complete,[yprima yprimb]) där yprima och yprimb är värden på randvärdena. En spline med naturliga randvillkor kan beräknas med anropet pn=csape(x,y, variational ) 14
LAB 3. INTERPOLATION. 1 Inledning. 2 Interpolation med polynom. 3 Splineinterpolation. 1.1 Innehåll. 3.1 Problembeskrivning
TANA18/20 mars 2015 LAB 3. INTERPOLATION 1 Inledning Vi ska studera problemet att interpolera givna data med ett polynom och att interpolera med kubiska splinefunktioner, s(x), som är styckvisa polynom.
Läs merInterpolation. 8 december 2014 Sida 1 / 20
TANA09 Föreläsning 7 Interpolation Interpolationsproblemet. Introduktion. Polynominterpolation. Felanalys. Runges fenomen. Tillämpning. LED display. Splinefunktioner. Spline Interpolation. Ändpunktsvillkor.
Läs merTANA09 Föreläsning 8. Kubiska splines. B-Splines. Approximerande Splines. B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor.
TANA09 Föreläsning 8 Kubiska splines Approximerande Splines s s s s 4 B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor. x x x x 4 x 5 Exempel Parametriska Kurvor. Ritprogram. Beziér kurvor.
Läs merApproximerande Splines. B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor.
TANA09 Föreläsning 8 Approximerande Splines B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor. Exempel Parametriska Kurvor. Ritprogram. Beziér kurvor. Design av kurvor och ytor. Tillämpning
Läs merInterpolation Modellfunktioner som satisfierar givna punkter
Interpolation Modellfunktioner som satisfierar givna punkter Några tillämpningar Animering rörelser, t.ex. i tecknad film Bilder färger resizing Grafik Diskret representation -> kontinuerlig 2 Interpolation
Läs merf(x + h) f(x) h f(x) f(x h) h
NUMPROG, D för M, vt 008 Föreläsning N: Numerisk derivering och integrering Inledning: numerisk lösning av analytiska problem Skillnader mellan matematisk analys och numeriska metoder. Grundläggande begrepp
Läs merLAB 1. FELANALYS. 1 Inledning. 2 Flyttal. 1.1 Innehåll. 2.1 Avrundningsenheten, µ, och maskinepsilon, ε M
TANA21+22/ 5 juli 2016 LAB 1. FELANALYS 1 Inledning I laborationerna används matrishanteringsprogrammet MATLAB. som genomgående använder dubbel precision vid beräkningarna. 1.1 Innehåll Du ska 1. bestämma
Läs merKurvanpassning. Kurvanpassning jfr lab. Kurvanpassning jfr lab
Kurvanpassning jfr lab Kurvanpassning Beräkningsvetenskap II Punktmängd approximerande funktion Finns olika sätt att approximera med polynom Problem med höga gradtal kan ge stora kast Kurvanpassning jfr
Läs merTANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 26 november 2015 Sida 1 / 28
TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet 26 november 2015 Sida 1 / 28 Föreläsning 6 Minsta kvadrat problem. Polynom. Interpolation. Rötter. Tillämpningar:
Läs merLAB 4. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER. 1 Inledning. 2 Eulers metod och Runge-Kuttas metod
TANA21+22/ 30 september 2016 LAB 4. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER 1 Inledning Vi skall studera begynnelsevärdesproblem, både med avseende på stabilitet och noggrannhetens beroende av steglängden. Vi
Läs merTANA19 NUMERISKA METODER
HT2/2016 LINJE+ÅK+KLASS : TANA19 NUMERISKA METODER Laboration 1 Felanalys Namn : Personnummer : E-post : @student.liu.se Namn : Personnummer : E-post : @student.liu.se Godkänd datum : Sign : Retur : 1
Läs merLaboration 4. Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem
Lennart Edsberg NADA 3 april 007 D11, M1 Laboration 4 A Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem Denna laboration ger 1 bonuspoäng. Sista bonusdatum 7 april 007 Efter den här laborationen
Läs merTAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab
TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 3. Linjär algebra Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion 2 En Komet Kometer rör sig enligt ellipsformade
Läs merPolynomanpassning i MATLAB
Polynomanpassning i MATLAB Funktionsanropet c=polyfit(x,y,n) ger koefficiemterna i ett n:e-gradspolynom som anpassar sig till y-värdena för x-värdena med lämplig metod. I tredje föreläsningens exempel
Läs merLösningar till Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, Del A. 1. (a) ODE-systemet kan skrivas på formen
Lösningar till Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2013-03-18 Del A 1. (a) ODE-systemet kan skrivas på formen z (t) = f(t, z), där z(t) = x(t) y(t) u(t) v(t), f(t, z) = u(t) v(t) kx(t)/ ( x2 (t)
Läs merFöreläsning 5. Approximationsteori
Föreläsning 5 Approximationsteori Låt f vara en kontinuerlig funktion som vi vill approximera med en enklare funktion f(x) Vi kommer använda två olika approximationsmetoder: interpolation och minstrakvadratanpassning
Läs merDATORLABORATION FÖR KURSEN ENVARIABELANALYS 2
DATORLABORATION FÖR KURSEN ENVARIABELANALYS 2 1. Laborationsregler Läs detta dokument, lös uppgifterna i slutet, och lämna in en individuell laborationsrapport senast måndag 14 januari i pdf-format via
Läs merTANA17 Matematiska beräkningar med Matlab
TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 1. Linjär Algebra och Avbildningar Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion I denna övning skall
Läs merLaboration 6. Ordinära differentialekvationer och glesa system
1 DN1212 VT2012 för T NADA 20 februari 2012 Laboration 6 Ordinära differentialekvationer och glesa system Efter den här laborationen skall du känna igen problemtyperna randvärdes- och begynnelsevärdesproblem
Läs merLaboration 4. Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem
Lennart Edsberg NADA 9 mars 6 D11, M1 Laboration 4 A Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem Denna laboration ger 1 bonuspoäng. Sista bonusdatum 5 april 6 Efter den här laborationen
Läs merTANA19 NUMERISKA METODER
HT2/2016 LINJE+ÅK+KLASS : TANA19 NUMERISKA METODER Laboration 2. Linjär algebra Namn : Personnummer : E-post : @student.liu.se Namn : Personnummer : E-post : @student.liu.se Godkänd datum : Sign : Retur
Läs merNumerisk Analys, MMG410. Lecture 13. 1/58
Numerisk Analys, MMG410. Lecture 13. 1/58 Interpolation För i tiden gällde räknesticka och tabeller. Beräkna 1.244 givet en tabel över y = t, y-värdena är givna med fem siffror, och t = 0,0.01,0.02,...,9.99,10.00.
Läs merTAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab
TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 1. Vektorberäkningar Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion I denna övning skall vi träna på
Läs merNUMPROG, 2D1212, vt Föreläsning 1, Numme-delen. Linjära ekvationssystem Interpolation, Minstakvadratmetoden
NUMPROG, D, vt 006 Föreläsning, Numme-delen Linjära ekvationssystem Interpolation, Minstakvadratmetoden En av de vanligaste numeriska beräkningar som görs i ingenjörsmässiga tillämpningar är att lösa ett
Läs merNumerisk Analys, MMG410. Lecture 12. 1/24
Numerisk Analys, MMG410. Lecture 12. 1/24 Interpolation För i tiden gällde räknesticka och tabeller. Beräkna 1.244 givet en tabel över y = t, y-värdena är givna med fem siffror, och t = 0,0.01,0.02,...,9.99,10.00.
Läs merTANA17 Matematiska beräkningar med Matlab
TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Projekt 3. Beskrivning av geometri med Beziérkurvor 1 Introduktion Inom design har man behov av effektiva sätt att beskriva kurvor och ytor med matematiska funktioner
Läs merTANA17 Matematiska beräkningar med Matlab
TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 3. Funktioner Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion I denna laboration skall vi träna på att
Läs merSekantmetoden Beräkningsmatematik TANA21 Linköpings universitet Caroline Cornelius, Anja Hellander Ht 2018
Sekantmetoden Beräkningsmatematik TANA21 Linköpings universitet Caroline Cornelius, Anja Hellander Ht 2018 1. Inledning Inom matematiken är det ofta intressant att finna nollställen till en ekvation f(x),
Läs merTentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 9p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB
MAI/Linköpings universitet Fredrik Berntsson Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 9p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB Redovisning Lös först uppgifterna i Matlab. Då du har en
Läs merTentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Tid: 21:a April klockan
MAI/Linköpings universitet Fredrik Berntsson Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Tid: 21:a April klockan 8.00-12.00 Redovisning Lös först uppgifterna i Matlab.
Läs merEnvariabelanalys 5B1147 MATLAB-laboration Derivator
Envariabelanalys 5B1147 MATLAB-laboration Derivator Sanna Eskelinen eskelinen.sanna@gmail.com Sonja Hiltunen sonya@gmail.com Handledare: Karim Dao Uppgift 15 Problem: Beräkna numeriskt derivatan till arctan
Läs merDel I: Lösningsförslag till Numerisk analys,
Lösningsförslag till Numerisk analys, 2016-08-22. Del I: (1) Nedan följer ett antal påståenden. Använd nyckelbegreppen därunder och ange det begrepp som är mest lämpligt. Skriv rätt bokstav (a)-(l) i luckan
Läs merOH till Föreläsning 5, Numme K2, Läsa mellan raderna. Allmän polynom-interpolation, S Ch 3.1.0
OH till Föreläsning 5, Numme K2, 181119 S Ch 3-34, GNM Kap 4-44A / GKN Kap 41A,(D),E Interpolation x y 1900 3822 1910 3982 1920 4281 1930 4302 1940 4042 1950 3922 1960 3921 1970 3940 1980 3960 1990 3980
Läs merLABORATION cos (3x 2 ) dx I =
SF1518,SF1519,numpbd14 LABORATION 2 Trapetsregeln, ekvationer, ekvationssystem, MATLAB-funktioner Studera kapitel 6 och avsnitt 5.2.1, 1.3 och 3.8 i NAM parallellt med arbetet på denna laboration. Genomför
Läs merf(x) = x 2 g(x) = x3 100 h(x) = x 4 x x 2 x 3 100
8 Skissa grafer 8.1 Dagens Teori När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera.
Läs mer2 Matrisfaktorisering och lösning till ekvationssystem
TANA21+22/ 5 juli 2016 LAB 2. LINJÄR ALGEBRA 1 Inledning Lösning av ett linjärt ekvationssystem Ax = b förekommer ofta inom tekniska beräkningar. I laborationen studeras Gauss-elimination med eller utan
Läs merf(x) = x 2 g(x) = x3 100
När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera. Här ska vi se vad som händer
Läs merLÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664
LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE1 den 1 mars 214 kl 8.-1. 1. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = 2 arctan x + ln (1 + x 2 ), där
Läs merLinjär Algebra och Numerisk Analys TMA 671, Extraexempel
Ivar Gustavsson / Jan Södersten Matematiska vetenskaper Göteborg 6 november 9 Linjär Algebra och Numerisk Analys TMA 67, Extraexempel (M) efter uppgiftsnumret anger att MATLAB lämpligen används för att
Läs merDenna föreläsning. DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN Felfortplantning och kondition
Denna föreläsning DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN2 09-02-10 Hedvig Kjellström hedvig@csc.kth.se! Repetition av FN2! Felkalkyl (GNM kap 2)! Olinjära ekvationer (GNM kap 3)! Linjära
Läs merRapportexempel, Datorer och datoranvändning
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Datorer och datoranvändning Institutionen för datavetenskap 2014/1 Rapportexempel, Datorer och datoranvändning På de följande sidorna finns en (fingerad) laborationsrapport som
Läs merTentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI
TEKNISKA HÖGSKOLAN I LINKÖPING Matematiska institutionen Beräkningsmatematik/Fredrik Berntsson Tentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI Tid: 14-18, 13:e Mars, 2018 Provkod: TEN1 Hjälpmedel:
Läs merKTH 2D1240 OPEN vt 06 p. 1 (5) J.Oppelstrup
KTH 2D1240 OPEN vt 06 p. 1 (5) Tentamen i Numeriska Metoder gk II 2D1240 OPEN (& andra) Fredag 2006-04-21 kl. 13 16 Hjälpmedel: Del 1 inga, Del 2 rosa formelsamlingen som man får ta fram när man lämnar
Läs merTANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 9 november 2015 Sida 1 / 28
TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet 9 november 2015 Sida 1 / 28 Föreläsning 3 Linjära ekvationssystem. Invers. Rotationsmatriser. Tillämpning:
Läs merParametriserade kurvor
CTH/GU LABORATION 4 TMV37-4/5 Matematiska vetenskaper Inledning Parametriserade kurvor Vi skall se hur man ritar parametriserade kurvor i planet samt hur man ritar tangenter och normaler i punkter längs
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för beräkningsvetenskap Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp, 017-0-14 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!)
Läs merIntroduktion till MATLAB
29 augusti 2017 Introduktion till MATLAB 1 Inledning MATLAB är ett interaktivt program för numeriska beräkningar med matriser. Med enkla kommandon kan man till exempel utföra matrismultiplikation, beräkna
Läs mer2D1212 NumProg för P1, VT2006 PROJEKTUPPGIFT
1 Lennart Edsberg Beatrice Frock Katarina Gustavsson NADA, mars 2006 2D1212 NumProg för P1, VT2006 PROJEKTUPPGIFT A I detta projekt ska du tillämpa de metoder som du lärt dig under kursens gång för att
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 10 hp STS, X 010-10-7 Genomgånget på föreläsningarna 11-15. Föreläsning 11, 4/11 010: Här kommer vi in i kapitel 4, som handlar om
Läs merOH till Föreläsning 5, Numme K2, GNM Kap 4-4.4A / GKN Kap 4.1A,(D),E Interpolation. Läsa mellan raderna. Allmän polynom-interpolation
OH till Föreläsning 5, Numme K, 14101 GNM Kap 4-44A / GKN Kap 41A,(D),E Interpolation x y 1900 8 1910 98 190 481 190 40 1940 404 1950 9 1960 91 1970 940 1980 960 1990 980 Läsa mellan raderna 1900 190 1940
Läs merLABORATION 2. Trapetsregeln, MATLAB-funktioner, ekvationer, numerisk derivering
SF1518,SF1519,numpbd15 LABORATION 2 Trapetsregeln, MATLAB-funktioner, ekvationer, numerisk derivering - Genomför laborationen genom att göra de handräkningar och MATLAB-program som begärs. Var noga med
Läs merTillämpning: Bildinterpolation. Ekvationslösning. Integraler. Tillämpning: En båt. Räkning med polynom. Projekt. Tentamensinformation.
TAIU07 Föreläsning 6 Tillämpning: Bildinterpolation. Ekvationslösning. Integraler. Tillämpning: En båt. Räkning med polynom. Projekt. Tentamensinformation. 22 februari 2016 Sida 1 / 28 Interpolation i
Läs mer5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.
Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter
Läs merLaboration 3. Funktioner, vektorer, integraler och felskattning
1 SF1520 K2 HT2014 NA 21 december 2015 Laboration 3 Funktioner, vektorer, integraler och felskattning Efter den här laborationen skall du kunna använda och skriva egna funktioner med flera in- och utparametrar,
Läs merTeorifrågor. 6. Beräkna konditionstalet för en diagonalmatris med diagonalelementen 2/k, k = 1,2,...,20.
Teorifrågor Störningsanalys 1. Värdet på x är uppmätt till 0.956 med ett absolutfel på högst 0.0005. Ge en övre gräns för absolutfelet i y = exp(x) + x 2. Motivera svaret. 2. Ekvationen log(x) x/50 = 0
Läs merSF1513 NumProg för Bio3 HT2013 LABORATION 4. Ekvationslösning, interpolation och numerisk integration. Enkel Tredimensionell Design
1 Beatrice Frock KTH Matematik 4 juli 2013 SF1513 NumProg för Bio3 HT2013 LABORATION 4 Ekvationslösning, interpolation och numerisk integration Enkel Tredimensionell Design Efter den här laborationen skall
Läs merOrdinära differentialekvationer,
(ODE) Ordinära differentialekvationer, del 1 Beräkningsvetenskap II It is a truism that nothing is permanent except change. - George F. Simmons ODE:er är modeller som beskriver förändring, ofta i tiden
Läs merTentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar
Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström Tentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar Tentamensdatum: 005-03- Skrivtid: 9-5 Hjälpmedel: inga Om problembeskrivningen i något fall
Läs merEn vanlig uppgift är att bestämma max resp min för en trigonometrisk funktion och de x- värden för vilka dessa antas.
Max och min för trigonometriska funktioner En vanlig uppgift är att bestämma max resp min för en trigonometrisk funktion och de x- värden för vilka dessa antas. Ta t.ex y = 12 sin(3x-90) När man ska studera
Läs merModul 4 Tillämpningar av derivata
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,
Läs merTANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 2 november 2015 Sida 1 / 23
TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet 2 november 2015 Sida 1 / 23 Föreläsning 2 Index. Kolon-notation. Vektoroperationer. Summor och medelvärden.
Läs mer3.6 De klassiska polynomens ortogonalitetsegenskaper.
Vetenskapliga beräkningar III 34 3.6 De klassiska polynomens ortogonalitetsegenskaper. I nedanstående tabell anges egenskaperna för några av de vanligaste ortogonala polynomen. Polynomen är normerade så,
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
Läs mer6 Derivata och grafer
6 Derivata och grafer 6.1 Dagens Teori När vi plottar funktionen f(x) = x + 1x 99x 8 med hjälp av dosan kan man få olika resultat beroende på vilka intervall man valt. 00000 100000-00 -100 100 00-100000
Läs merTMA226 datorlaboration
TMA226 Matematisk fördjupning, Kf 2019 Tobias Gebäck Matematiska vetenskaper, Calmers & GU Syfte TMA226 datorlaboration Syftet med denna laboration är att du skall öva formuleringen av en Finita element-metod,
Läs merTentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Tid: 14:e januari klockan
MAI/Linköpings universitet Fredrik Berntsson Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Tid: 14:e januari klockan 8.00-12.00 Redovisning Lös först uppgifterna i Matlab.
Läs mer9 Skissa grafer. 9.1 Dagens Teori
9 Skissa grafer 9.1 Dagens Teori Så här hittar man etrempunkter, ma-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f() med hjälp av i första hand f () 1 Bestäm f () och f () 2 Lös ekvationen f () = 0. Om
Läs merKonvergens för iterativa metoder
Konvergens för iterativa metoder 1 Terminologi Iterativa metoder används för att lösa olinjära (och ibland linjära) ekvationssystem numeriskt. De utgår från en startgissning x 0 och ger sedan en följd
Läs merUppgift 1 R-S. Uppgift 2 R-M. Namn:...
2D121, Numeriska Metoder, Grundkurs för I2+CL2. Laboration 3: Interpolation och integration Sista redovisningsdag för bonuspoäng: måndag 26-3-27 Obs! Muntliga delen redovisas vid ett miniseminarium. Notera!
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man
Läs mer0.31 = f(x 2 ) = b 1 + b 2 (x 3 x 1 ) + b 3 (x 3 x 1 )(x 3 x 2 ) = ( ) + b 3 ( )(
Lösningar till Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2012-03-09 Del A 1. (a) För att anpassa ett polynom som går genom tre punkter behövs ett andragradspolynom. Newtons interpolationsansats ger f(x)
Läs merLaboration 3. Funktioner, vektorer, integraler och felskattning
1 SF1520 VT2017 NA, KTH 16 januari 2017 Laboration 3 Funktioner, vektorer, integraler och felskattning Efter den här laborationen skall du kunna använda och skriva egna funktioner med flera in- och utparametrar,
Läs merKurs 2D1213, Laboration 2: Att lösa ordinära differentialekvationer med finita differensmetoden
Kurs 2D1213, Laboration 2: Att lösa ordinära differentialekvationer med finita differensmetoden Michael Hanke October 19, 2006 1 Beskrivning och mål Matematiska modeller i vetenskap och ingenjörsvetenskap
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.
1. Beräkna integralen medelpunkt i origo. SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 218-3-14 D DEL A (x + x 2 + y 2 ) dx dy där D är en cirkelskiva med radie a och Lösningsförslag.
Läs merTentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Tid: 18:e augusti klockan
MAI/Linköpings universitet Fredrik Berntsson Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Tid: 18:e augusti klockan 8.00-12.00 Redovisning Lös först uppgifterna i Matlab.
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som
Läs merNumerisk lösning till den tidsberoende Schrödingerekvationen.
Numerisk lösning till den tidsberoende Schrödingerekvationen. Det är enbart i de enklaste fallen t ex när potentialen är sträckvis konstant som vi kan lösa Schrödingerekvationen analytiskt. I andra fall
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merIndex. Vektorer och Elementvisa operationer. Summor och Medelvärden. Grafik i två eller tre dimensioner. Ytor. 20 januari 2016 Sida 1 / 26
TAIU07 Föreläsning 2 Index. Vektorer och Elementvisa operationer. Summor och Medelvärden. Grafik i två eller tre dimensioner. Ytor. 20 januari 2016 Sida 1 / 26 Matriselement och Index För att manipulera
Läs merTentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI
TEKNISKA HÖGSKOLAN I LINKÖPING Matematiska institutionen Beräkningsmatematik/Fredrik Berntsson Tentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI Tid: 8-12, 20 Mars, 2015 Provkod: TEN1 Hjälpmedel:
Läs merLÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664
LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN SF66 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE den januari 0 kl 09.00-.00. Hur många gånger antar funktionen f) = ) värdet när varierar i intervallet 9? LÖSNING:
Läs merLabb 3: Ekvationslösning med Matlab (v2)
Envariabelanalys Labb 3: Ekvationslösning 1/13 Labb 3: Ekvationslösning med Matlab (v2) Envariabelanalys 2007-03-05 Björn Andersson (IT-06), bjoa@kth.se Johannes Nordkvist (IT-06), nordkv@kth.se Det finns
Läs merSidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c
Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +
Läs merDatorövning 1 Fördelningar
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF20: MATEMATISK STATISTIK, ALLMÄN KURS, 7.5HP FÖR E, HT-15 Datorövning 1 Fördelningar I denna datorövning ska du utforska begreppen sannolikhet
Läs mera = a a a a a a ± ± ± ±500
4.1 Felanalys Vill man hårddra det hela, kan man påstå att det inte finns några tal i den tillämpade matematiken, bara intervall. Man anger till exempel inte ett uppmätt värde till 134.78 meter utan att
Läs merTekniska Högskolan i Linköping Institutionen för Datavetenskap (IDA) Torbjörn Jonsson Plot och rekursion
Tekniska Högskolan i Linköping Institutionen för Datavetenskap (IDA) Torbjörn Jonsson 2010-11-19 Plot och rekursion I denna laboration skall du lära dig lite om hur plot i MatLab fungerar samt använda
Läs merTentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI
TEKNISKA HÖGSKOLAN I LINKÖPING Matematiska institutionen Beräkningsmatematik/Fredrik Berntsson Tentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI Tid: 14-18, 14:e Mars, 2017 Provkod: TEN1 Hjälpmedel:
Läs merTentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI
TEKNISKA HÖGSKOLAN I LINKÖPING Matematiska institutionen Beräkningsmatematik/Fredrik Berntsson Tentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI Tid: 8-12, 11 Juni, 2015 Provkod: TEN1 Hjälpmedel:
Läs merLaboration: Grunderna i MATLAB
Laboration: Grunderna i MATLAB 25 augusti 2005 Grunderna i MATLAB Vad är MATLAB? MATLAB är ett interaktivt program för vetenskapliga beräkningar. Som användare ger du enkla kommandon och MATLAB levererar
Läs mer4 Numerisk integration och av differentialekvationer
Matematik med Matlab M1 och TD1 1999/2000 sid. 27 av 47 4 Numerisk integration och av differentialekvationer Redovisning redovisas som tidigare med en utdatafil skapad med diary 4.1 Numerisk av ekvationer.
Läs merLaboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, FÖR I/PI, FMS 121/2, HT-3 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
Läs mer15 februari 2016 Sida 1 / 32
TAIU07 Föreläsning 5 Linjära ekvationssystem. Minsta kvadrat problem. Tillämpning: Cirkelpassning. Geometriska objekt. Translationer. Rotationer. Funktioner som inargument. Tillämpning: Derivata. 15 februari
Läs merMATEMATIK Datum: Tid: förmiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christoffer Standar, Tel.
MATEMATIK Datum: -- Tid: förmiddag Chalmers Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christoffer Standar, Tel.: 7-88 Lösningar till tenta i TMV Analys och linjär algebra K/Bt/Kf,
Läs merAkademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 2 juni 2014
MÄLARDALENS HÖGSKOLA TENTAMEN I MATEMATIK Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA32 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 2 juni 204 Examinator: Karl Lundengård Skrivtid:
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Lösningar till kryssproblemen 1-5. Uppgifter till lektion 1: = 10 x. = x 10.
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 10 hp STS, X 2010-10-27 Uppgifter till lektion 1: 1. Lös olikheten 2x + 1 > 3. Lösningar till kryssproblemen 1-5. Lösning. Olikheten
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för beräkningsvetenskap Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp, 2015-12-17 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!)
Läs merSammanfattning (Nummedelen)
DN11 Numeriska metoder och grundläggande programmering Sammanfattning (Nummedelen Icke-linjära ekvationer Ex: y=x 0.5 Lösningsmetoder: Skriv på polynomform och använd roots(coeffs Fixpunkt x i+1 =G(x i,
Läs merTentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Tid: 13:e januari klockan
MAI/Linköpings universitet Fredrik Berntsson Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Tid: 13:e januari klockan 8.00-12.00 Redovisning Lös först uppgifterna i Matlab.
Läs merDN1212/numpp Numeriska metoder och grundläggande programmering Laboration 1 Introduktion
Staffan Romberger 2011-12-19 DN1212/numpp Numeriska metoder och grundläggande programmering Laboration 1 Introduktion Efter den här laborationen ska du kunna använda de datorer som vi använder på labbarna,
Läs merUPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER
UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER 1. Figuren visar grafen till funktionen f där f(x) = x 3 3x 2. I punkter där xkoordinaterna är 1 respektive 3 är tangenter till
Läs mer