Exempelvis 7. Vad är egentligen ett tekniskt hjälpmedel, som har utvecklats för att stödja lärande och undervisning i matematik?

Transkript

1 1 Lärande och Undervisning i matematik med hjälp av tekniska hjälpmedel forskning, resultat, trender och nya verktyg Göteborgs Universitet Thomas.Lingefjard@ped.gu.se Vad är egentligen ett tekniskt hjälpmedel, som har utvecklats för att stödja lärande och undervisning i matematik? Det första tekniska hjälpmedlet var: Innan vi hade siffror, eller något avancerat talsystem, så fanns andra tekniska hjälpmedel för antalsbestämning. På många håll i världen har man använt sig av ristade vargben ( år sedan), pinnar eller stenar för att visa antal. Innan man egentligen kunde räkna så bra, så lade man en sten för varje ting man ville räkna. Detta användes säkerligen för olika slags handel mellan människor, men också för exempelvis räkna antal stupade i krig. Man kan tänka sig att det lades en sten för varje soldat som gick ut i fält i en hög. Efter slaget kom soldaterna tillbaka och plockade upp var sin sten ur högen. Det antal stenar som blev kvar visade då hur många soldater som hade dödats. Algoritmer är också mer eller mindre tekniska hjälpmedel Tekniskt hjälpmedel Här ser vi en abakus, eller en kulram, som består av 10 trådar där kulor kan skjutas fram och tillbaka. Kulramar av diverse modeller används fortfarande ibland i till exempel Japan och Kina. Den japanska versionen kallas soroban, den kinesiska suan pan. Under medeltiden standardiserades räkneborden till att enbart ha linjer för föremål som representerade tal utifrån de romerska siffrorna. Det tyska ordet för räknebord är "Rechenbank", som i sin tur har gett många länder ordet för bank. Orden kalkyl och kalkylator kommer av calculus som betyder liten sten på latin. Så småningom definierades gemensamma talsystem och tal Tal är ett matematiskt grundbegrepp, symbol eller tecken för matematisk storhet som används vid beräkningar eller abstrakt räknande. Exempelvis 7

2 2 Vårt nuvarande talsystem är ett positionssystem Ett positionssystem är ett talbeteckningssystem i vilket ett teckens (en siffras) betydelse beror av dess plats (position) i talbeteckningen. Ett positionssystem definieras av en bas och behöver siffror, inklusive 0, som till antalet är lika med basen. I decimaltalsystemet, även kallat tiosystemet är basen 10 och siffrorna 0 till 9, med så kallade arabiska siffror: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9. Olika talsystem i vår kultur De mest framgångsrika talsystemen bygger på positionssystem, där siffrornas position i talet påverkar deras värde. Positionssystemet uppfanns troligtvis i Babylonien av sumererna. Det finns flera olika talsystem som bygger på positionssystemet. Bas 2 [binära talsystemet] (även kallat dyadiska talsystemet) Används av elektroniska kretsar i binära datorer. Bas 8 [oktala talsystemet] Används i datorsammanhang och har sitt ursprung i datorer med en ordlängd på nio binära siffror. En oktal siffra motsvarar exakt ett tre siffror långt binärt tal, så datororden kunde skrivas med tresiffriga oktala tal. Bas 10 [decimala talsystemet] Bas 20 Används i danska och franska Andra tekniska hjälpmedel Linjalen och den enkla gradskivan har funnits sedan antiken. Den första grafiten upptäcktes i England på 1500-talet. Den engelska grafiten räckte inte till en marknad som längtade efter skrivredskap som var lättare att hantera än fjäderpennan som var vanligast på den tiden. I Tyskland uppfanns ett sätt att mala den sämre tyska grafiten och blanda den med olika tillsatser. Detta gav en billigare penna av sämre kvalitet än den engelska. Den var dock en succé och penntillverkningen fortsätter än i dag där Faber-Castell, Staedtler, Lyra och Stabilo är välkända tyska märken. i klassrummet Galileo Galilei ( ) Tekniskt hjälpmedel i 7 klass vt 1949 Parallellt med skolutbildningen, så har industri och handel drivit en egen utveckling.

3 3 Den brittiske prästen William Oughtred m fl utvecklade de första räknestickorna (som först var runda) i början av 1600-talet, baserat på upptäckten av logaritmer av John Napier Under 350 år var räknestickorna de mest använda räkneverktygen i världen, men nådde inte (svenska) skolan förrän efter andra världskriget. Runt 1975 försvann de från svensk skola. Verktyget var klokt konstruerat med en mittendel som kunde skjutas i sidled. Alla tre delarna hade logaritmiska skalor och genom att flytta mittendelen kunde man multiplicera och dividera tal. Räknestickan utnyttjade det faktum att summan av logaritmerna av två tal är lika med logaritmen av produkten av talen. På många räknestickor fanns även andra skalor för beräkning av exempelvis trigonometriska funktioner. Räknesticka och tabeller gick hand i hand. Även universiteten krävde tekniska hjälpmedel Fram till denna tid, ungefär mitten av talet, så låg skolan relativt långt efter den tekniska utvecklingen. Men med utvecklingen av datorer och miniräknare, så placerades utbildningssystemet närapå parallellt som den tekniska utvecklingen. Detta har ytterligare accentuerats idag. Under mitten av 1990-talet kom den första handhållna grafiska teknologin! Få tekniska hjälpmedel har haft ett så stort genomslag inom matematikundervisningen som de grafiska miniräknarna. På gott och ont! i dag Miniräknarna har utvecklats starkt, dock ej grafiken. De har gått från ett rent räknetekniskt hjälpmedel till ett verktyg för att testa antaganden och hypoteser samt för visualisering! Men utgör de enbart en parentes?

4 4 i morgon Människan har alltid använt tekniska hjälpmedel! Teknologiska trender idag Trend 1 De fria datorprogrammen ser ut att vara lika eller mer kraftfulla jämfört med de kommersiella. Företeelser som Shareware, Open Source och Java plattform har inneburit ett trendbrott, eftersom tusentals människor deltar i programutvecklingen. Svensk version av Graphmatica finns på Se också för en svensk handledning. Svensk version av Maxima för gymnasieskolan finns på Där finns också en svensk handledning, författad av Per Jönsson och mig. Svensk version av GeoGebra finns på Här kan du också hitta artiklar från Nämnaren om GeoGebra. Se Det finns lokala GeoGebra-institut bland annat i: England, Danmark, Finland, Florida, Frankrike, Island, Kalifornien, Kanada, Luxemburg, Norge, Polen, Spanien, Sydafrika, Tyskland, Ungern och Österrike

5 5 Påverkan på undervisning? Jag undervisar i Ma A + Ma B samt i Ma C + Ma D detta läsår. I stort sett samtliga elever har nu tillgång till dator med Internetuppkoppling hemma. Eleverna har installerat GeoGebra på sina hemdatorer. Jag har bildat e-postgrupper för mina elevgrupper. Vanligen skickar jag då e-post och bifogar övningar med GeoGebra till eleverna. Eleverna får då oftast i uppgift att bearbeta dessa övningar hemma innan jag går igenom matematikavsnittet ifråga. Ibland fördjupar sig eleverna i avsnitten och befäster sina kunskaper genom att genomföra lämpliga egna konstruktioner i GeoGebra. I NV1 fick eleverna som hemuppgift, att innan vi teoretiskt härledde satserna om randvinklar och medelpunktsvinklar, gå igenom konstruktioner i GeoGebra som troliggjorde sambanden. Den enda instruktion eleverna fick var att de skulle leka med konstruktionerna och försöka hitta så många tänkbara samband mellan vinklarna som möjligt. Extra uppgift var att redan hemma försöka bevisa sambanden. När väl lektionen, då vi bevisar sambanden, startar så märks en helt annan insikt hos eleverna. De är aktiva och har mycket egna idéer om problemställningen. (anonym lärare 2008) Sidospår: WolframAlpha Trend 2: Mobila plattformar Små och portabla Kamera GNSS-GPS Stödjer olika former av kommunikation: röst, bild, video, ljud Full uppkoppling till Internet Gratis matematikprogram kan installeras Välbekanta och viktiga för eleverna Obekanta för lärarna? Trend 2: Mobila plattformar Detta innebär en ny datorisering av svensk skola, men nu personifieras datorerna som elevernas redskap. I såväl USA som i Sverige finns projekt enligt Ge varje elev en egen dator. Hösten 2008 startade Inter@ktivt lärande för elever i år sex till och med nio i stadsdelen Bergsjön i Göteborg. En-till-en-projektet i Falkenberg startade i augusti Där förefaller satsningen utvidgas. Nu följer gymnasieskolan efter. Möjligheter och utmaningar Möjligheter Laborativt arbetssätt Dela resultat med andra, samarbeta Undervisningen ej längre klassrumsbunden Öppnar för egna frågeställningar och problemformuleringar Möjliggör demonstration av att matematik kan användas för att beskriva processer och fenomen i verkligheten Area på karta och i verkligheten: skala Grupperna konstruerar uppgifter utifrån satellitbilder av närmiljön Jämför med markbaserade mätningar (stegning, måttband, GPS) med mätningar på satellitbilden Redovisning, återkoppling MLE-projektet Utmaningar Glapp mellan elev och lärare Överförbarhet och förhållande till vanliga undervisningen Bedömning Sociala mönster hos elever som blommar ut utanför skolan: exempelvis förnedring, mobbing osv

6 6 Basketkastet MLE-projektet Geometri och Google Earth Med hjälp av Google Earth kan man ta fram bilder över området där man bor Längdmätningsverktyg Kartan kan överföras till GeoGebra där man kan lägga ut koordinatsystem osv. Satellit- och flygbilder Google Earth och Eniro Nya möjligheter att betrakta och utforska sin omgivning Möjligheter för spännande geometriundervisning Avskalade versioner av Matlab (fnattlab) och Maxima (jasymca) finns att gratis ladda ner för mobiltelefoner. Dessa program omvandlar mobiltelefonen till en avancerad CAS-räknare. Man får även tillgång till 2Doch 3D-grafik (betydligt bättre än den på TI-89). On-line test: h2go.html SpaceTime 3.0 is the most powerful mathematics program ever developed for the iphone and ipod Touch. Move, pinch and rotate 2D, 3D and 4D graphs in real-time. Explore mathematical concepts in an innovative interface and write your own scripts in our new programming language. Solve limits, derivates and integrals with MobileCAS, the first computer algebra system ever developed for iphone.

7 7 SpaceTime & iphone SpaceTime & iphone Trend 4: Interaktiva smartboards SpaceTime & iphone Möjliggör interaktivt lärande på ett helt nytt sätt. Vi har börjat pröva en sådan tavla i vår så kallade Matematikverkstad och GeoGebra fungerar ypperligt tillsammans med tavlan. Men även Graphmatica och Maxima kan användas ihop med en interaktiv skrivtavla. Visa film! Trend 5: GeoCaching Ett problem skall inte kunna lösas direkt, då är det en övning! Ett riktigt problem kräver eftertanke, planering, struktur, analys och syntes Fritt efter Polya Men: Hur vi än ser på skolans matematikundervisning, så är den i allmänhet väldefinierat inramad! Varför?

8 8 GeoCaching GeoCaching är ett sammansatt amerikanskt ord som består av det grekiska ordet Geo, som betyder jord eller mark samt begreppet Caching härlett från det engelska ordet för gömställe, cache. En svensk översättning skulle kunna vara Geografisk Skattjakt. GeoCaching är öppen för alla som äger en bärbar GPSenhet. Någon gömmer en burk eller ett liknande föremål, med en loggbok och en penna som viktigaste innehåll. Noggranna koordinaterna till gömman publiceras på en webbplats, ibland dolda i ett problem och/eller tillsammans med ledtrådar. Intresserade kan sedan lösa problemet, navigera sig till GeoCachen och anteckna sig i loggboken. GeoCaching som aktivitet startade i USA i maj 2000, ett par dagar efter att Clintonadministrationen stängde av SA-störsignalen, som påverkade noggrannheten i GPS-systemet. Efter att SA-signalen slopades fick man betydligt bättre koordinater med en säkerhet inom några enstaka meters marginal. Till dags dato har många tusen gömmor lagts ut, och i dag(091008) fanns det aktiva gömda registrerade cacher i världen. I Göteborg med direkt omnejd finns fler än 900 aktiva gömmor. I Västra Götaland finns drygt I enkla ord, så innebär GeoCaching att någon gömmer en skatt, som ofta består av en liten burk av lämplig storlek, och publicerar skattens GPS-koordinater på exempelvis Det ger andra Geocachare möjlighet att hitta skatten med hjälp av ett GPS instrument. Ofta är cachen gömd i ett träd, rotsystem, mur, buske, hög med stenar, eller sitter fast med hjälp av magnetism på ett metalliskt objekt. Detta gör att det inte alltid är så lätt att hitta cachen ens om man har de exakta GPS koordinaterna. Denna typ av svårigheter går ofta under namnet Terräng (Terrain) och brukar rankas från 1 till 5. Det finns rykten om att de svenska GeoCachar som har höga terräng/svårighetsgraderingar är riktigt svåra. I en viss typ av gömmen, så kallade mysterier, framgår oftast latitud och longitud koordinaterna först efter att ett problem eller gåta har lösts. Detta medför att aktiviteten blir en mer komplex skattjakt. Dessa mysterier kan vara allt ifrån relativt lätta till riktigt svåra. Denna parameter kallas för svårighet (Difficulty) och räknas också från 1 till 5 precis som för Terräng. Här är det inte lika lätt att ge en tydlig skala över svårighetsstegringen, kanske ett steg 1 problem kan lösas under ett par timmar medan ett steg 5 problem kanske kräver en månad att lösa. Vissa av dessa problem kräver ett visst substantiellt ti matematisk ti kunnande tillsamman med ett kreativt t tänkande. Det innebär sammantaget att en cache som är markerad som en 1/1 är lätt att identifiera och hitta och en cache som betecknas 5/5 är riktigt svår att avkoda och dessutom svår att hitta. Det kan vara värt att notera att även vanliga cacher, av typen traditionell eller multi också har svårighetsgrad, men denna är då kopplad till den stora hela bilden av hur svårt det är att ta cachen. Terräng är därför ofta en parameter i svårighetsgraden.

9 9 På min iphone: Lite sämre mottagning än många andra GPSer då antennen är lite sämre. Går att logga direkt vid cachen. Man har alltid Google Maps som referens På min Garmin Colorado: Bättre mottagning och precision än iphonen, sämre karta. Tillåter ej elektronisk loggning Det som är intressant utifrån ett utbildningsvetenskapligt perspektiv är att de som sysslar med fritidsaktiviteten GeoCaching också lär sig bland annat matematik och geografi förutom att de får frisk luft och motion. Många av problemen kräver att användaren förutom matematik och geografi också besitter ett visst mått av kreativitet. Detta är ett intressant exempel på hur tekniska tillämpningar som handburna GPS-mottagare och mobiltelefoner med inbyggd GPS driver fram egna aktiviteter som kan användas som ett inslag i skolans undervisning. Se för mer information om hur skolor i Västra Götaland använder GeoCaching i flera ämnen. Skaffa dig ett login på och undersök cacherna i Göteborg Vilka är det som GeoCachar och varför? Geocaching -- Vem vill inte vara skattletare? Problemlösare men mest män! För att få lösa mysterier kognitiva utmaningar! Som ett sätt att umgås För att se nya platser som andra rekommenderar Komma ut i skog och mark

10 10 Länkar se/2008/october/geoca ching-for-nyborjare-svarighetsniva-pag.html