LINJÄR ALGEBRA. {x M : P (x)} = {x : P (x)}, TOMAS SJÖDIN. k j=1 Ofta betecknas mängder på följande sätt:

Transkript

1 LINJÄR ALGEBRA TOMAS SJÖDIN Innehåll 0 Notation 1 1 Linjära Ekvationssystem 2 2 Geometriska vektorer, rummen R n och M n Skalärprodukt, Vektorprodukt, Volymprodukt 7 4 Linjer och plan 10 5 Matriser 13 6 Vektorrum, linjärt oberoende 17 7 Linjärt beroende/oberoende 18 8 Bas och Dimension 18 9 Euklidiska rum Mer om ortogonal projektion Minstakvadratmetoden Determinanter Linjära avbildningar Sammansatta och inversa avbildningar Nollrum, Värderum och Dimensionssatsen Isometriska och symmetriska avbildningar Basbyte Egenvärden, Egenvektorer, Spektralsatsen Kvadratiska former Andragradskurvor, Andragradsytor och System av Dierentialekvationer 30 Detta är teoridelen av föreläsningarna i Linjär Algebra för U,D,IT Varje kapitel svarar mot en föreläsning (de föreläsningsnummer som inte nns med, dvs 11, 18 och 22 är repetitionsföreläsningar Detta material kommer behandlas ganska fort på föreläsningarna för att ge tid åt exempel Det förväntas att ni läser på materialet inför varje föreläsning i detta häfte i förväg 0 Notation En mängd M är en väldenierad samling element Om M 1, M 2 är mängder så denierar vi: M 1 M 2 : M 1 är en delmängd till M 2, om varje punkt i M 1 också ligger i M 2, M 1 M 2 : M 1 snitt M 2, mängden av punkter som ligger i både M 1 och M 2, M 1 M 2 : M 1 union M 2, mängden av punkter som ligger i minst ett av M 1 eller M 2, M 1 \ M 2 : M 1 minus M 2, mängden av punkter som ligger i M 1 men inte i M 2 Vi skriver också y M : y tillhör M, eller y är en punkt i M Kanske rätt självklart, men två mängder sägs vara lika om de innehåller samma element Den tomma mängden är mängden som inte har några element alls, och betecknas Ibland har man era mängder M 1, M 2,, M k, och då skriver vi också: k k M j = M 1 M 2 M k, M j = M 1 M 2 M k j=1 Ofta betecknas mängder på följande sätt: j=1 {x M : P (x} = {x : P (x}, 1

2 2 TOMAS SJÖDIN som står för den delmängd till M som består av de x i M som uppfyller villkoret P (x (det senare skrivsättet används då M är underförstådd Tex [a, b] = {x R : a x b} Om en mängd är ändlig skriver man ofta också {x 1, x 2,, x k }, där x i :a är elementen i mängden Funktioner/Avbildningar: En funktion/avbildning f från en mängd M till en mängd N är en regel som för varje x M ger exakt ett värde f(x N, vi skriver f : M N M kallas för denitionsmängden till f Följande begrepp är också användbara ibland En funktion f : M N som ovan sägs vara: injektiv om det för varje par a, b M, a b gäller att f(a f(b surjektiv om det för varje y N nns (minst ett x M med y = f(x bijektiv om den är både injektiv och surjektiv Värdemängden V (f till f är mängden av alla punkter y N sådana att det nns x M med y = f(x 1 Linjära Ekvationssystem 11 Linjära ekvationer En linjär ekvation för de obekanta x 1, x 2,, x n är en ekvation på formen a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b, där a 1, a 2,, a n samt b är xa reella tal Tex är 3x 1 x 2 = 12 en linjär ekvation för de obekanta x 1, x 2 Å andra sidan är 3 x 1 x 2 = 0 inte en linjär ekvation på grund av roten Med en lösning till en ekvation menar vi en uppsättning reella tal x 1, x 2,, x n sådana att när de sätts in i ekvationen gäller likheten Det som kännetecknar en linjär ekvation är dessa två egenskaper: Om a 1 x 1 +a 2 x 2 + +a n x n = b 1 och a 1 y 1 + a 2 y a n y n = b 2 samt k R då gäller att a 1 (x 1 + y 1 + a 2 (x 2 + y a n (x n + y n = (b 1 + b 2 och a 1 (kx 1 + a 2 (kx a n (kx n = kb 1 Dvs vi kan addera och multiplicera lösningar (Testa och se vad som händer med den ickelinjära ekvationen ovan för att förstå skillnaden! 12 Linjära ekvationssystem Ett linjärt ekvationssystem för de obekanta x 1, x 2,, x n är ett antal linjära ekvationer Ett allmänt sådant system av ekvationer med m ekvationer och n obekanta är alltså på formen a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m, där a ij :a och b i :a är xa reella tal, och x i :a de obekanta Med en lösning till ett sådant ekvationssystem menar vi en uppsättning reella tal x 1, x 2,, x n sådana att när de sätts in i ekvationerna ovan gäller likhet simultant i alla ekvationer Alla sådana ekvationssystem kan lösas med hjälp av tre elementära radoperationer: Radoperation 1: Byta plats på två ekvationer, Radoperation 2: Multiplicera en av ekvationerna med en konstant c 0, Radoperation 3: Addera en konstant multipel av en ekvation till en annan

3 LINJÄR ALGEBRA 3 Strategin för att lösa ett sådant system är att med hjälp av ovanstående operationer via så kallad Gausselimination skapa ett ekvivalent system (dvs med samma lösningar som har ett trappsteghsliknande utseende där vi enkelt successivt kan få fram lösningarna Följande är också sådant man bör övertyga sig om: Det nns till varje ekvationssystem som ovan endast tre möjligheter Antingen nns det en unik lösning, ingen lösning alls eller så nns det oändligt många lösningar Om alla b i :a är 0 kallas ekvationssystemet för homogent Ett ekvationssystem som är homogent har alltid minst en lösning, kallad den triviala lösningen: x 1 = x 2 = = x n = 0 Om ett ekvationssystem saknar lösning är det alltid möjligt att skapa ett ekvivalent system som har en ekvation på formen 0 = c där c 0 När det gäller de med oändligt antal lösningar, när vi skapat vår trappstegsform kommer det vara så att de nollskilda ekvationerna är färre än antalet obekanta, och såvida vi inte är i situationen att det inte nns några lösningar alls, så måste vi införa parametrar på lämpligt sätt Antalet parametrar som behövs är helt enkelt antalet obekanta - antalet nollskilda ekvationer (när vi har trappstegsform 2 Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 En (geometrisk vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt Om vi i ett plan har två punkter P och Q, då låter vi den riktade sträckan från P till Q, ritad som en pil som startar i P och slutar i Q, betecknas P Q Vi låter nu mängden av alla sådana riktade sträckor med samma storlek och riktning (det är alltså underförstått att vi kan mäta detta betecknas [ P Q] Detta tar vi som denition av vektorer i planet Givetvis kan motsvarande också göras i ett tredimensionellt rum (För de som vet vad en ekvivalensrelation är kan vi säga att ha samma storlek och riktning är en ekvivalensrelation, och en vektor är helt enkelt en ekvivalensklass av riktade sträckor Notera att det för varje vektor u och punkt P nns en unik punkt Q sådan att u = [ P Q] En speciell vektor är nollvektorn, som har längd noll (och alltså inte kan sägas ha någon riktning Denna betecknas 0, och vi har 0 = [ P P ] Vi inför även för en vektor u = [ P Q] längden/normen u att vara avståndet mellan punkterna P och Q

4 4 TOMAS SJÖDIN För dessa vektorer inför man nu två operationer Addition av två vektorer, samt multiplikation med skalär (=reellt tal Addition av två vektorer u = [ P R] och v = [ RQ] denieras som u + v = [ P R] + [ RQ] = [ P Q] Multiplikation med skalär denieras så att ku är den unika vektor som uppfyller ku = k u och ku har samma riktning som u om k > 0, ku har motsatt riktning om k < 0 Om k = 0 är ku = 0 Vi inför även beteckningen u := 1u, dvs den vektor som har samma storlek men motsatt riktning Det är lätt att inse att följande räknelagar gäller: Sats 1 För alla vektorer u, v, w (i ett plan eller rum och skalärer λ, µ gäller följande: (a u + v = v + u, (b u + (v + w = (u + v + w, (c u + 0 = u, (d u + v = 0 u = v, (e 1u = u, (f λ(µu = (λµu, (g (λ + µu = λu + µu, (h λ(u + v = λu + λv Tack vare lag (b, (f ovan kommer vi skriva u + v + w, λµu eftersom det inte spelar någon roll i vilken ordning vi tar dessa operationer 21 Baser och Koordinater Nu har vi den geometriska denitionen av vektorer klar, och den viktigaste algebraiska strukturen för dessa klara Vektorerna i planet/rummet med denna struktur

5 LINJÄR ALGEBRA 5 utgör exempel på vad som kallas vektorrum som är den typ av rum som linjär algebra handlar om Det vi nu vill göra är att på något systematiskt sätt införa siror för vektorer för att överföra dessa geometriska konstruktioner till algebra Den idé som Descartes (även kallad Kartesius ck var att införa koordinataxlar för att kunna ge punkter koordinater (därför kallas dessa koordinatsystem för kartesiska koordinater Denition 2 En ordnad uppsättning vektorer u = (u 1 u 2 i ett plan (u = (u 1 u 2 u 3 i ett rum sägs utgöra en bas till planet (rummet om varje vektor v i planet (rummet på entydigt sätt kan skrivas på formen ( x1 v = x 1 u 1 + x 2 u 2 =: u x 2 v = x 1 u 1 + x 2 u 2 + x 3 u 3 =: u x 2 x 3 x 1 Det är tack vare att en bas till planet (rummet består av två (tre vektorer som vi säger att ett plan är två-dimensionellt och ett rum tre-dimensionellt Per denition har alltså varje vektor unika koordinater i en bas, och varje sådan kolumnmatris svarar mot en unik vektor, så det nns en 1 1 korrespondens mellan vektorer och dessa koordinatmatriser Notera att två vektorer i ett plan (tre vektorer i ett rum utgör en bas om och endast om de inte ligger på en gemensam linje (i ett gemensamt plan 211 Koordinater för punkter För att ge punkter koordinater behöver vi förutom en bas också en x referenspunkt i vårt plan/rum, som vi kallar origo och betecknar denna O Om P är en punkt i planet/rummet och vi har [ ( x1 OP ] = u x 2 respektive [ x 1 OP ] = u x 2 x 3 då säger vi att P har koordinater (x 1, x 2 respektive (x 1, x 2, x 3 i detta koordinatsystem (observera att detta alltså nu beror både på valet av u och O När det gäller de algebraiska operationerna vi har infört blir dessa mycket enkla om vi uttrycker alla vektorer i samma bas u: ( ( ( ( ( a1 b1 a1 + b u + u = u 1 a1 ka1, ku = u, a 2 b 2 a 2 + b 2 a 2 ka 2 respektive a 1 b 1 a 1 + b 1 u a 2 + u b 2 = u a 2 + b 2, a 3 b 3 a 3 + b 3 a 1 ka 1 ku a 2 = u ka 2 a 3 ka 3 Det vill säga för att addera två vektorer adderar vi bara deras koordinater, och för att multiplicera en vektor med en skalär multiplicerar vi bara varje koordinat med denna skalär Det är ganska lätt att övertyga sig om att detta stämmer överens med den geometriska denitionen av addition och multiplikation med skalär som vi införde ovan

6 6 TOMAS SJÖDIN 212 ON-baser och högersystem Om vi valt vektorerna e = (e 1 e 2 i ett plan respektive e = (e 1 e 2 e 3 i ett rum så att dessa vektorer är parvis ortogonala (vinkel π/2 mellan dem samt att de har längd 1, då sägs de utgöra en ortonormal bas (ON-bas till planet/rummet Om axlarna dessutom är orienterade som i nedanstående gur sägs basen vara högerorienterad 22 Rummen R n och M n 1 Vi har ovan sett att om vi väljer origo och en bas så har vi att varje punkt P i ett ( plan kan identieras med sina koordinater (a 1, a 2, och varje vektor u med a1 sina koordinater, samt att vi hade enkla uttryck för våra algebraiska operationer så fort vi a 2 uttryckt allt i denna xa bas Samma sak kan sägas även i tre dimensioner, och man kan givetvis tänka sig att man gjorde motsvarande även i högre dimensioner, även om det givetvis inte går att visualisera på samma sätt Detta leder till följande denition: Denition 3 Mängden av alla tal n-tupler (a 1, a 2,, a n, där a 1, a 2,, a n R, betecknas R n På samma sätt betecknar vi mängden av alla kolumnmatriser med M n 1 a 1 a 2 a n Vårt främsta motiv för att införa dessa rum redan här är att det gör att vi enklare kan formulera satser gemensamt för två och tre dimensioner, och behöver inte behandla dessa separat Det är än så länge främst n = 2, 3 vi är intresserade av Vi inför också följande operationer på R n respektive M n 1 (a 1, a 2,, a n +(b 1, b 2,, b n = (a 1 +b 1, a 2 +b 2,, a n +b n, k(a 1, a 2,, a n = (ka 1, ka 2,, ka n, a 1 b 1 a 1 + b 1 a 1 ka 1 a 2 + b 2 = a 2 + b 2, k a 2 = ka 2 a n b n a n + b n a n ka n Rummen R n och M n 1 tillsammans med ovanstående operationer är exempel på det man kallar vektorrum som vi ska deniera allmänt senare i kursen Här kanske det är värt att notera att då vi jobbar med geometriska problem är det givetvis viktigt att skilja på punkter och vektorer,

7 LINJÄR ALGEBRA 7 och vi använder främst element i R n för att beteckna punkter och element i M n 1 (egentligen med e framför för att beteckna basen om man ska vara noga som vektorer Då kan det ju tyckas konstigt att vi inför addition och multiplikation med skalär för punkter Nu är det så att det bara är i dessa geometriska problem (som handlar om linjer och plan i två och tre dimensioner främst som vi kommer tala om punkter, annars kommer vi enbart i kursen tala om vektorer Det nns en uppenbar 1 1 korrespondens mellan punkter och motsvarande vektor som startar i origo Dessutom om vi identierar (a 1, a 2,, a n med a 1 a 2 a n, så är ju rummen ovan helt ekvivalenta på alla sätt Anledningen till att vi vill ha båda är att R n är det i särklass vanligaste rummet i matematiklitteraturen, men när vi sedan räknar med matriser är det rätta sättet att skriva vektorer som kolumnmatriser I princip skulle det kanske vara bättre att göra detta rakt igenom i kursen och skippa R n, men det som talar starkt för R n är att det är betydligt smidigare att skriva dessa vektorer, samt att det är mer standardiserat Nedan kommer vi formulera alla begrepp/satser enbart för R n, och givetvis nns det en direkt motsvarighet för M n 1 Dessa fall lämnas åt läsaren att formulera, och vi kommer hämningslöst använda dessa motsvarande satser senare i kursen Notera också att jämfört med kursboken vänder vi till stor del upp och ner på materialet, för vi inför våra operationer nedan på R n, och ger sedan geometriska tolkningar av dem, medan boken ger geometriska denitioner och visar räknelagarna utifrån dessa Det är också värt att notera att rent geometriskt betyder det att vi lägger ut våra basvektorer e i så att e 1 = (1, 0,, 0, e 2 = (0, 1, 0,, 0,, e n = (0, 0,, 0, 1, och dessa kallas standardbasen till R n Vidare lägger vi origo O i punkten (0, 0,, 0 3 Skalärprodukt, Vektorprodukt, Volymprodukt Vi kommer här införa tre typer av produkter, och vi kommer införa dessa via formler i R n Om vi i ett plan eller rum vill införa dessa kan vi göra detta genom att först välja en ( lämplig a1 bas e, och identiera vektorer med dess koordinater (Tex i ett plan identierar vi e med (a 1, a 2 i R 2 Det är dock så att vi inte kan välja dessa baser hur som helst, utan det nns krav för att formlerna ska vara rätt Mer precist, för skalärprodukten (som är meningsfull i alla dimensioner måste basen vara en ON-bas, och för kryssprodukten och volymprodukten (som bara är denierade i tre dimensioner måste basen vara både ON och högerorienterad 31 Skalärprodukt Vi kommer nu i R n införa den så kallade skalärprodukten mellan två vektorer R n tillsammans med denna utgör då ett exempel på ett så kallat Euklidiskt rum som vi ska deniera mer allmänt senare i kursen Namnet skalärprodukt kommer av att den tar två vektorer och ger en skalär (alltså inte en vektor! (a 1, a 2,, a n (b 1, b 2,, b n := a 1 b 1 + a 2 b a n b n Vi denierar även längden av en vektor (a 1, a 2,, a n via (a 1, a 2,, a n := a a a2 n Igen är det enkelt att se via Pythagoras sats att detta verkligen överensstämmer med längden av motsvarande geometriska vektor om vi infört säg ett koordinatsystem i planet som ovan Men detta beror på både att våra basvektorer har längd 1 och att de är ortogonala mot varandra! Följande sats gäller för skalärprodukten: Sats 4 Om u, v, w R n och λ R så gäller: (a u v = v u, a 2

8 8 TOMAS SJÖDIN (b u (v + w = u v + u w, (c u (λv = (λu v = λ(u v, (d u u = u 2, (e u u = 0 u = 0 Följande viktiga olikheter gäller för skalärprodukten: Schwarz olikhet: x ȳ x ȳ Triangelolikheten: x + ȳ x + ȳ 311 Geometrisk tolkning av skalärprodukten Antag att vi har två nollskilda vektorer u, v i R n, då denierar vi vinkeln θ mellan dessa att vara den unika vinkel i intervallet [0, π] sådan att u v = u v cos(θ Först och främst är det enkelt att visa att u v u v u v, så det nns verkligen ett unikt sådant θ För att se att detta stämmer överens geometriskt antag att de två vektorerna ligger i ett plan där ( vi infört koordinataxlar som ovan, och ( antag för enkelhets skull att den ena har a1 1 koordinaterna där a 1, a 2 > 0 och den andra (dvs vektorn e 0 1 Vad ovanstående då a 2 säger är att vinkeln θ mellan dessa ges av cos(θ = a 1 / a a2 2, dvs närliggande sida genom hypotenusan, vilket vi ju känner igen att det stämmer Vi säger också att två vektorer u, v är ortogonala, skrivet u v, om vinkeln mellan dem är π/2, dvs om u v = Ortogonal projektion av en vektor på en annan vektor (linje

9 LINJÄR ALGEBRA 9 Om vi som i bilden ovan har två vektorer u, v där v 0 då kan vi på entydigt sätt skriva u på formen u = u v + u v, där u v är ortogonal mot v, och u v är parallell med v Detta betyder att u v = kv och u v = u kv Så (u kv v = 0, vilket ger k = u v v 2 Eller u v = u v v 2 v 32 Kryssprodukt (vektorprodukt Denna produkt är endast denierad i tre dimensioner Vi denierar (a 1, a 2, a 3 (b 1, b 2, b 3 = (a 2 b 3 a 3 b 2, a 3 b 1 a 1 b 3, a 1 b 2 a 2 b 1 Notera alltså att vi tar två vektorer i R 3 och får en ny vektor i R 3 Det är enkelt att visa följande: Om u = kv då gäller att u v = 0 u (u v = 0 och v (u v = 0 Det vill säga kryssprodukten ger en vektor som är ortogonal mot både u och v 321 Geometrisk tolkning, högersystem Vi såg ovan att kryssprodukten av två vektorer u, v i R 3 gav en ny vektor som är ortogonal mot båda dessa Angående storleken kan vi säga att vi har följande u v = u v sin(θ, där θ återigen är vinkeln mellan u och v Dessutom kan man se att den pekar i den riktning som anges av den så kallade högerhandsregeln Man säger att u, v, u v utgör ett så kallat högersystem Dessa två egenskaper är enkelt att inse att de karaktäriserar kryssprodukten unikt Om de två vektorerna u, v inte är parallella (om de är det är ju kryssprodukten nollvektorn då nns det ju bara två riktningar att välja på sådana att de är ortogonala mot bägge dessa vektorer Storleken ges av formeln ovan, och högerhandsregeln ger oss en av dessa två riktningar För att motivera ovanstående påstående, antag för enkelhets skull att u = (1, 0, 0 och v = (b 1, b 2, 0 med b 1, b 2 > 0 Då gäller enligt ovanstående att u v = (0, 0, b 2 Notera nu att b 2 = sin(θ b b2 2 = sin(θ v, samt att denna vektor pekar i positiva e 3-riktningen Vidare kan vi säga att uttrycket u v sin(θ helt enkelt är arean av det parallellogram som spänns upp av u och v

10 10 TOMAS SJÖDIN 33 Trippelprodukt (volymprodukt Denna produkt tar tre vektorer och ger ett reellt tal Givet tre vektorer u, v, w i R 3, då är trippelprodukten mellan dessa uttrycket (u v w Observera att denna produkt alltså beror på ordningen av dessa vektorer Rent geometriskt är detta tal ± volymen av den parallellepiped som de tre vektorerna spänner upp Vi har även följande resultat: Sats 5 (u v w > 0 om och endast om u, v, w utgör ett högersystem Om (u v w = 0, då ligger alla tre vektorer i ett gemensamt plan 41 Linjer på parameterform i R n 4 Linjer och plan

11 LINJÄR ALGEBRA 11 En linje L i planet/rummet ses enkelt vara unikt bestämd om vi vet en punkt P 0 på den, samt en riktningsvektor v som är parallell med denna För varje punkt P på L nns då unikt tal t så att [ OP ] = [ OP0 ] + tv, och vidare för varje t gäller att den unika punkt P som uppfyller denna ekvation ligger på L, vilket ger att detta bestämmer L unikt Om vi uttrycker detta i koordinater, så att vi hamnar i R n (då vi nu tillåter även n > 3 då motsvaras [ OP 0 ] av någon vektor (a 1, a 2,, a n, v av (v 1, v 2,, v n, och de punkter (x 1, x 2,, x n som ligger på L är de som kan skrivas på formen (x 1, x 2,, x n = (a 1, a 2,, a n + t(v 1, v 2,, v n t R Detta kallas att linjen L är given på parameterform (t kallas för parameter 42 Linjer i planet Om vi har en linje L i R 2, given av (x 1, x 2 = (a 1, a 2 + t(v 1, v 2, då kan vi om v 1 0 lösa ut x 2 = a 2 + tv 2 = a 2 + x 1 a 1 v 1 v 2 = kx 1 + m Detta kallas att linjen är given på riktningskoecientsform, och k kallas för riktningskoecienten Notera att v 1 = 0 svarar mot att linjen är parallell med x 2 axeln, och dessa linjer kan inte skrivas på denna form Det är också lätt att se att en linje L i planet är unikt bestämd om vi känner till en normalvektor n och en punkt P 0 på linjen En punkt P ligger då på L om och endast om n [ P 0 P ] = 0 Man säger då att linjen L är given på normalform Om vi är i R 2 och n = (n 1, n 2 är normalvektor till L och (a 1, a 2 är en x punkt på L, då ges alltså linjen av ekvationen (n 1, n 2 (x 1 a 1, x 2 a 2 = 0 n 1 x 1 + n 2 x 2 = n 1 a 1 + n 2 a 2 Det sista uttrycket sägs vara linjen skriven på normalform

12 12 TOMAS SJÖDIN 43 Plan på parameterform i R n Ett plan Π i rummet ses enkelt vara bestämt av att vi vet en punkt P 0 i Π samt två vektorer u, v som är parallella med Π men inte parallella med varandra Då ligger en punkt P i Π om och endast om det nns två tal (parametrar s, t sådana att [ OP ] = [ OP0 ] + su + tv I R n kan vi göra motsvarande med koordinater Om vi låter (a 1, a 2,, a n vara en x punkt, och u = (u 1, u 2,, u n, v = (v 1, v 2,, v n där u och v inte är parallella, då kallar vi mängden av alla (x 1, x 2,, x n som uppfyller (x 1, x 2,, x n = (a 1, a 2,, a n + s(u 1, u 2,, u n + t(v 1, v 2,, v n s, t R för ett plan på parameterform

13 LINJÄR ALGEBRA Plan på normalform i R 3 I rummet är det också lätt att se att ett plan Π är unikt bestämt om vi vet en punkt P 0 i Π samt en normalvektor n En punkt P ligger då i Π om och endast om n [ P 0 P ] = 0 Om vi är i R 3 kan detta i koordinater (precis som för linjer i planet skrivas som en ekvation n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 x 3 = n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3, där (n 1, n 2, n 3 är normalvektorn och (a 1, a 2, a 3 en x punkt i Π 5 Matriser Denition 6 Om vi för varje par ij med 1 i r, 1 j k har fått tal a ij R då kallar vi a 11 a 12 a 1k a 21 a 22 a 2k A = (a ij r k = a r1 a r2 a rk för en r k matris över R En r k matris har r rader och k kolumner En matris som bara har en rad, (a 11 a 12 a 1k, kallas en radmatris, och en matris som bara har en kolumn, a 11 a 21, a r1 kallas en kolumnmatris En r r matris kallas kvadratisk Denition 7 (a ij r k = (b ij r k om och endast om a ij = b ij för alla ij, (a ij r k + (b ij r k = (a ij + b ij r k, λ(a ij r k = (λa ij r k,

14 14 TOMAS SJÖDIN (a ij r m (b ij m k = (c ij r k, där c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a im b mj Denitionen av matrismultiplikation förtjänar att titta lite närmare på Det är svårt att än så länge motivera denna närmare, mer än att säga att vi med denna får en så kallad associativ multiplikation: A(BC = (ABC När vi sedan börjar studera linjära avbildningar kommer vi se varför detta är rätt denition Det är dock värt att notera följande För en radmatris gånger en kolumnmatris gäller: b 1 ( b 2 a1 a 2 a n = (a 1b 1 + a 2 b a n b n b n Detta är en 1 1 matris, och normalt identierar vi dessa med reella tal Dvs det är precis samma sak som skalärprodukten (a 1, a 2,, a n (b 1, b 2,, b n i R n Talet c ij ovan är helt enkelt ovanstående multiplikation mellan rad i från matrisen (a ij r m med kolumn j från matrisen (b ij m k Vi inför även beteckningarna: Nollmatris: = 0 r k =, Enhetsmatris (r r: A = 1A I = I r = Följande sats gäller också (Beviset bygger helt enkelt på att man inför beteckningar för alla ingående matriser och jämför höger och vänsterledet i varje ekvation, vilket lämnas till läsaren/kursboken Sats 8 Nedan är A, B, C matriser så att operationerna är väldenierade och λ, µ R A + B = B + A, (A + B + C = A + (B + C, A + 0 = A, A + ( A =: A A = 0, 1A = A, λ(µa = (λµa, (λ + µa = λa + µa, λ(a + B = λa + λb, (ABC = A(BC, (λab = λ(ab, A(B + C = AB + AC, (B + CA = BA + CA, A0 = 0, 0A = 0, AI = A, IA = A OBS! AB BA normalt även om bägge sidor är väldenierade Denition 9 Låt A = (a ij r k Då denierar vi transponatet A t till A att vara k r matrisen given av A t = (a t ij k r där a t ij = a ji (1 i k, 1 j r (Dvs A t fås från A genom att byta plats på rader och kolumner

15 LINJÄR ALGEBRA 15 Sats 10 (A + B t = A t + B t, (λa t = λ(a t, (A t t = A, (AB t = B t A t 51 Radoperationer på matriser Precis som för linjära ekvationssystem kan man utföra tre elementära radoperationer på en matris: Radoperation 1: Byta plats på två rader, Radoperation 2: Multiplicera en rad med en konstant c 0, Radoperation 3: Addera en konstant multipel av en rad till en annan rad Två matriser A, B kallas radekvivalenta, skrivet A B, om den ena kan fås från den andra via ett ändligt antal elementära radoperationer (Notera att alla radoperationer är reversibla, så kan vi ta oss från den ena till den andra på detta sätt kan vi göra det åt andra hållet också För de som vet vad en ekvivalensrelation är kan vi också säga att det är lätt att visa att utgör en sådan 52 Matrisnotation för linjära ekvationssystem Av era skäl (främst platsbesparande kommer vi fortsättningsvis att skriva om linjära ekvationssystem på matrisform och lösa dessa (med samma strategi som tidigare i matrisen Givet ett linjärt ekvationssystem a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m, inför vi systemets totalmatris a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 A = a m1 a m2 a mn b m Vi kommer kalla det som står till höger om för högersidan i matrisen, och det som står till vänster om för vänstersidan Normalt kommer vi alltså forsättningsvis överföra ekvationssystemet till dess totalmatris och utföra de elementära radoperationerna där, men det är viktigt att komma ihåg att detta representerar motsvarande operationer på ekvationssystemet Jag rekommenderar att man i alla fall i början prövar ett par exempel där man löser systemet både med ekvationerna direkt och med matrisen, eller åtminstone att när man fått fram sin slutliga matris går tillbaka till ekvationsformen Strategin för att lösa ett sådant system är att skapa en så kallad trappstegsmatris av vänstersidan via elementära radoperationer: Denition 11 Ett element a ij i vänstersidan av ovanstående matris A kallas ett pivotelement om a ij 0 och a µν = 0 för alla µ i, ν j med (µ, ν (i, j Om alla rader vars vänstersida ej är identiskt noll står över alla de rader där dessa är identiskt noll, samt att alla rader vars vänstersidor är nollskilda har ett pivotelement, då säger vi att systemmatrisen är på trappstegsform Så tex är följande system på trappstegsform: ,

16 16 TOMAS SJÖDIN medan följande inte är det: Poängen är att det första systemet är enkelt att skriva ner lösningarna till Detta motsvarar ju systemet x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 2 0x 1 + 1x 2 + 2x 3 = 3 0x 1 + 0x 2 + 0x 3 = 0 I detta fall nns det oändligt många lösningar, och vi kan skriva dessa på formen x 1 = 4 + t x 2 = 3 2t, t R x 3 = t Jag anser att det bästa sättet att lära sig ovanstående om linjära ekvationssystem helt enkelt är genom att titta på en del exempel, och efter det kommer nog följande sats framstå som ganska självklar Sats 12 Alla ekvationssystem är radekvivalenta med ett ekvationssystem på trappstegsform 53 Matriser och ekvationssystem Ett linjärt ekvationssystem a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m, är ekvivalent med följande matrisekvation: a 11 a 12 a 1n x 1 a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n x 2 = x a x a x a 2n n = b 2 a m1 a m2 a mn x n a m1 a m2 a mn b m Denition 13 En n n matris A sägs vara inverterbar om det nns en n n matris A 1, kallad A : s invers, sådan att AA 1 = A 1 A = I n För att hitta inversen till A (om den nns ställer man upp systemmatrisen (A I n och gör radoperationer tills man fått ett radekvivalent system (I n B och då är B = A 1 (det går alltså att göra sådana radoperationer om och endast om A har en invers Sats 14 Låt A vara en n n matris Då är följande ekvivalent: (a A 1 existerar, (b AX = B har entydig lösning X för varje n 1 matris B, (c AX = 0 har endast den triviala lösningen X = 0 Sats 15 (A 1 1 = A, (A t 1 = (A 1 t, (AB 1 = B 1 A 1, (A k 1 = (A 1 k =: A k

17 LINJÄR ALGEBRA 17 6 Vektorrum, linjärt oberoende Denition 16 Låt V vara en icketom mängd, vars element vi kallar vektorer, sådan att vi denierat två operationer Addition av vektorer: u, v V u + v V, Multiplikation med skalär: λ R, u V λu V Om dessa uppfyller följande axiom, då säger vi att V är ett vektorrum (över R u + v = v + u, u + (v + w = (u + v + w, Det nns unikt element 0 V sa u + 0 = u för alla u V, Till varje u V nns unik additiv invers u sa u + ( u =: u u = 0, 1u = u, λ(µu = (λµu, (λ + µu = λu + µu, λ(u + v = λu + λv OBS! Det är lätt att kontrollera att följande gäller u + v = u v = 0, 0u = 0, u = 1u Observera också att begrepp som längd, vinkel etc inte har någon innebörd i ett allmänt vektorrum Exempel 17 Det är lätt att veriera att R n som vi denierat tidigare utgör ett vektorrum Likaså utgör mängden M r k bestående av alla r k matriser ett vektorrum Slutligen, om vi låter P n beteckna alla polynom av grad högst n, dvs alla polynom på formen a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n, då utgör detta ett exempel på ett vektorrum Addition/multiplikation med skalär är i detta fall denierat som följer: (a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + a n x n +(b 0 +b 1 x+b 2 x 2 + +b n x n = (a 0 +b 0 +(a 1 +b 1 x+(a 2 +b 2 x 2 + +(a n +b n x n, λ(a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a n x n = (λa 0 + (λa 1 x + (λa 2 x 2 + (λa n x n Denition 18 En icketom delmängd U till V kallas ett delrum (underrum till V om U med samma operationer som de i V själv är ett vektorrum Dvs U är ett delrum om och endast om (a u, v U u + v U, (b λ R, u U λu U Exempel 19 Självklart är varje vektorrum ett delrum till sig själv, och dessutom är det så kallade nollrummet som bara består av nollvektorn ett delrum till varje vektorrum Ett annat exempel är att ta V = R 3 och U = {(x 1, x 2, 0 : x 1, x 2 R}, då är det lätt att veriera att U är ett delrum till V 61 Linjärkombinationer Denition 20 Låt V vara ett vektorrum och v 1, v 2,, v n V Om λ 1, λ 2,, λ n R då kallas vektorn λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n för en linjärkombination av vektorerna v 1, v 2,, v n Mängden av alla linjärkombinationer av v 1, v 2,, v n kallas det linjära höljet till v 1, v 2,, v n och betecknas [v 1, v 2,, v n ] OBS! Det är lätt att kontrollera att det linjära höljet [v 1, v 2,, v n ] utgör ett delrum till V, vidare är det det minsta delrummet som innehåller alla vektorerna v 1, v 2,, v n Vi säger också att v 1, v 2,, v n spänner upp delrummet U om [v 1, v 2,, v n ] = U Tex har vi R n = [e 1, e 2,, e n ] där e 1 = (1, 0,, 0, e 2 = (0, 1, 0,, 0, Dessa kallas standardbasen till R n

18 18 TOMAS SJÖDIN Sats 21 v n [v 1, v 2,, v n 1 ] [v 1, v 2,, v n 1 ] = [v 1, v 2,, v n ] 7 Linjärt beroende/oberoende Ett av de mest använda begreppen för vektorrum är den så kallade beroendeekvationen för vektorer Givet vetkorer v 1, v 2,, v n i ett vektorrum V, då kallas ekvationen λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n = 0, som alltså är en ekvation för λ 1, λ 2,, λ n, för beroendeekvatioen till dessa vektorer Poängen med den är att testa om det går att skriva någon av dessa vektorer som en linjärkombination av de övriga, utan att behöva testa det för varje vektor var för sig I praktiken när vi har vektorer i ett konkret rum uttryckta i lämplg bas (tex R n så är beroendeekvationen helt enkelt när den skrivs komponent för komponent ett linjärt ekvationssystem för de obekanta λ i :a Denition 22 Om beroendeekvationen λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n = 0 endast har den triviala lösningen λ 1 = λ 2 = = λ n = 0, då sägs vektorerna v 1, v 2,, v n vara linjärt oberoende Annars sägs de vara linjärt beroende Det är lätt att kontollera att standardbasen till R n är linjärt oberoende tex Det är också lätt att se att v 1, v 2,, v n är linjärt beroende om och endast om det nns en vektor v j sådan att mängden v 1,, v j 1, v j+1,, v n spänner upp samma rum som alla v 1, v 2,, v n 8 Bas och Dimension Denition 23 Låt V vara ett vektorrum En ordnad uppsättning vektorer v = ( v 1 v 2 v n kallas för en bas till V om (1 v 1, v 2,, v n är linjärt oberoende, (2 V = [v 1, v 2,, v n ] Ibland skriver vi bara att v 1, v 2,, v n eller {v 1, v 2,, v n } är en bas till V utan att använda matrisnotationen v som ovan Det är dock viktigt att tänka på att en bas alltid är ordnad Vi kommer använda notationen a 1 a 2 vx = v := a 1v 1 + a 2 v a n v n a n om a 1, a 2, a n R Dvs vi använder detta skrivsätt för att skriva linjärkombinationer med basvektorerna i v Notera också att detta stämmer överens med hur vi denierat matrismultiplikationen om v hade varit en vanlig radmatris Sats 24 En uppsättning vektorer v 1, v 2,, v n i ett vektorrum V är en bas om och endast om varje vektor v V på entydigt sätt kan skrivas på formen v = vx, där v = ( v 1 v 2 v n Kolumnmatrisen X kallas för koordinaterna till v i basen v (Notera att koordinaterna påverkas av ordningen på basvektorerna, och det är därför det är viktigt att ha dem ordnade Alla vektorrum har inte ändliga baser (vi denierar inte oändliga baser i denna kurs, tex har rummet av alla kontinuerliga funktioner på ett givet intervall inte någon ändlig bas Men i denna kurs kommer vi i princip uteslutande vara intresserad av de vektorrum som har ändliga baser Standardbasen till R n är enkel att visa att den utgör en bas till R n

19 LINJÄR ALGEBRA 19 Sats 25 Om ett vektorrum V har en bas v = ( v 1 v 2 v n, då har alla andra baser till V också n element Vi säger då att V har dimension dimv = n Per denition sätter vi också dim{0} = 0 Sats 26 En mängd vektorer i V som har er element än dimv är linjärt beroende Om å andra sidan en mängd vektorer i ett ändligdimensionellt vektorrum är linjärt oberoende, då nns en bas som innehåller dessa som element 9 Euklidiska rum Vi ska nu införa en extra struktur på vektorrum, en så kallad skalärprodukt, vilken vi kan använda för att deniera längd och vinklar mm som inte har någon mening i ett allmänt vektorrum Denition 27 En skalärprodukt på ett vektorrum E är en funktion som tar två vektorer u, v E och ger ett reellt tal (u v, och som uppfyller följande för alla u, v, w E, λ R: (u v = (v u, (u v + w = (u v + (u w, (u λv = λ(u v, (u u 0 med likhet om och endast om u = 0 E tillsammans med ( kallas för ett Euklidiskt rum R n (och M n 1 tillsammans med standardskalärprodukten som vi denierat tidigare är ett Euklidiskt rum Detta rum betecknas även ibland E n Vidare är det klart att ett delrum U till ett Euklidiskt rum E automatiskt är ett Euklidiskt rum med samma skalärprodukt som i E I ett Euklidiskt rum E denierar vi även följande begrepp via skalärprodukten: Längd/norm: u = (u u, Avstånd: d(u, v = u v, u, v ortogonala om (u v = 0, Vinkeln θ mellan u, v 0 denieras att vara den unika vinkel i [0, π] sa cos θ = (u v u v Vidare har vi följande resultat: Pythagoras sats: (u v = 0 u + v 2 = u 2 + v 2 Cauchy-Schwarz olikhet: (u v u v Triangelolikheten: u + v u + v Vi kan också precis som i R n införa den ortogonala projektionen av en vektor u på en vektor v 0 att vara den unika vektor u v som är parallell med v och sådan att u v := u u v är ortogonal mot v Samma formel som i R n (med samma argument som i R n för att få fram den gäller även här: u v = (u v v 2 v 91 ON-mängder/baser Denition 28 {u 1, u 2,, u m } i ett Euklidiskt rum kallas en ON-mängd (ortonormal mängd om { 1 i = j (u i u j = 0 i j Om ( u 1 u 2 u m dessutom är en bas då kallas den en ON-bas Notera att detta säger att en ON-mängd består av vektorer med längd 1 och som är parvis ortogonala mot varandra Sats 29 En ON-mängd i ett Euklidiskt rum är alltid linjärt oberoende Normalt är det just ON-baser som är rätt baser att jobba med i Euklidiska rum, som följande sats förklarar

20 20 TOMAS SJÖDIN Sats 30 Om u = ( u 1 u 2 u m är en ON-bas till det Euklidiska rummet E, då gäller följande för skalärprodukten: x 1 y 1 u x 2 y 2 u = x 1y 1 + x 2 y x m y m x m y m Dvs när vi väl uttrycker allt i en ON-bas så är skalärprodukten samma som i R m 92 Ortogonal projektion på delrum Denition 31 Om U är ett delrum till det Euklidiska rummet E, då denierar vi det ortogonala komplementet till U: U = {v E : (v u = 0 för alla u U} Det är lätt att kontrollera att U också är ett delrum till E Sats 32 Om U = [u 1, u 2,, u m ] då gäller att U = {v E : (v u i = 0 för alla i = 1, 2,, m} Sats 33 Om ( u 1 u 2 u m är en ON-bas till delrummet U i E, då gäller att u U := (u u 1 u 1 + (u u 2 u (u u m u m U, u U := u u U U Vi kallar u U den ortogonala projektionen av u på U OBS! Notera att uppdelningen u = v + w där v U, w U är unik Notera även att om vi tillämpar satsen med U = E säger den att om ( u 1 u 2 u m är en ON-bas till E då gäller u = (u u 1 u 1 + (u u 2 u (u u m u m

21 LINJÄR ALGEBRA Gram-Schmidts metod Gram-Schmidts metod tar en bas till ett Euklidiskt rum och skapar en ON-bas utifrån denna som följer Låt ( u 1 u 2 u m vara en bas till det Euklidiska rummet E (alltså inte nödvändigtvis en ON-bas Skapa nu vektorer e 1, e 2,, e m som följer: e 1 := u 1 / u 1, e 2 := v 2 / v 2 där v 2 := u 2 (u 2 e 1 e 1, e m := v m / v m där v m := u m (u m e 1 e 1 (u m e 2 e 2 (u m e m 1 e m 1 Denna bas uppfyller också följande för varje j = 1, 2,, m: [e 1, e 2,, e j ] = [u 1, u 2,, u j ] (Om det är så att man har en mängd vektorer u 1, u 2,, u m som man bara vet genererar E, men ej nödvändigtvis är linjärt oberoende kan man använda ovanstående metod också för att skapa en ON-bas med den skillnaden att om man i något steg får ett v j som är nollvektorn så kastar man helt enkelt bort den 10 Mer om ortogonal projektion Minstakvadratmetoden Vi kommer ihåg att om U är ett delrum till ett Euklidiskt rum E då har vi infört det ortogonala komplementet U till U och vi har infört ortogonal projektion av u på U så att u = u U + u U, u U U, u U U Denna uppdelning är unik, och vidare är det lätt att inse att u U = u U Vidare gäller att u U u u U u v för alla v U Dvs avtsåndet mellan u och U ges av u U 101 Minstakvadratmetoden Detta handlar om att behandla linjära ekvationssystem som är överbestämda och saknar lösning Man vill då hitta värden som är så nära att vara en lösning som möjligt i viss mening Vi ser på ett ekvationssystem på formen: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn x 1 x 2 x n a 11 a 12 = x a x a x a 2n n = b 2 a m1 a m2 a mn b m a 1n b 1

22 22 TOMAS SJÖDIN Med kan vi skriva detta som a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =, X = a m1 a m2 a mn AX = Y x 1 x 2 x n b 1, Y = b 2 b m I allmänhet vet vi att ett sådant system inte behöver ha någon lösning Minstakvadratmetoden går ut på att hitta X så att AX Y blir så litet som möjligt i M m 1, eller ekvivalent AX Y 2 blir så litet som möjligt (härav namnet minstakvadratmetoden Vi inför följande delrum till M m 1, kallat kolumnrummet till A: a 11 Enligt ovanstående ska vi välja X sådant att a 12 a 1n a 21 U =, a 22,, a 2n a m1 a m2 a mn AX = Y U Eftersom Y U = Y Y U = Y AX är detta ekvivalent med att Y AX är ortogonal mot alla element a 1i a 2i a mi i = 1, 2,, n Med en explicit uträkning kommer man fram till att de X som uppfyller detta är precis de som löser den så kallade normalekvationen: A t AX = A t Y (Egentligen är det ganska direkt varför denna ekvation är ekvivalent med att AX = Y U, ty detta är ju samma sak som att varje kolumn i AX Y är ortogonal mot varje kolumn i A, vilket är precis samma sak som att A t (AX Y = 0 Dvs lösningarna X till denna (det existerar alltså alltid minst en, och i praktiken i princip alltid exakt en även om det nns undantagsfall då X inte blir unik är precis de X sådana att AX Y 2 minimeras 12 Determinanter Determinanten är en funktion som tar kvadratiska matriser och ger reella tal på ett sådant sätt att determinanten är noll om och endast om matrisen ej är inverterbar Tyvärr är teorin för determinanter lite stökig, och vi kommer inte ge några explicita bevis, utan hänvisar för detta till kursboken Vi börjar med att deniera determinanten induktivt via så kallad radexpansion längs första raden Vi ska alltså deniera a 11 a 12 a 1n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det =: a 21 a 22 a 2n för n 2 a n1 a n2 a nn a n1 a n2 a nn

23 LINJÄR ALGEBRA 23 (För n = 1 denierar vi det(a 11 := a 11 Vi använder dock ej absolutbeloppstecknet i detta fall Notera att determinanten inte nödvändigtvis är positiv För n = 2 denierar vi a 11 a 12 a 21 a 22 := a 11a 22 a 12 a 21 Antag nu att vi denierat determinanten för (n 1 (n 1-matriser Då låter vi a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n := a n1 a n2 a nn a 22 a 23 a 2n a 21 a 23 a 2n a 32 a 33 a 3n a 31 a 33 a 3n a 11 a 12 a n2 a n3 a nn a n1 a n3 a nn a 21 a 22 a 2(n ( 1 n+1 a 31 a 32 a 3(n 1 a 1n a n1 a n2 a n(n 1 Det är värt att notera att i fallet n = 2 är determinanten ± arean av det parallellogram som radvektorerna i matrisen spänner upp, och om n = 3 är den ± volymen av den parallellepiped som spänns upp av radvektorerna Man kan också visa att determinanten ges av följande (det är denna denition som används i boken: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n = ( 1 N(p1,p2,,pn a 1p1 a 2p2 a npn, a n1 a n2 a nn där summan tas över alla tillåtna produkter p 1 p 2 p n, och N(p 1, p 2,, p n är mängden av alla negativa par = antalet par (i, j sådana att i < j men p i > p j (Ett annat sätt att säga detta är att p 1, p 2,, p n är en permutation av 1, 2,, n och ( 1 N(p1,p2,,pn är permutationens tecken Man kan visa att följande gäller för determinanten Sats 34 deta 0 A är inverterbar I detta fall gäller deta 1 = 1/detA, det(ab = detadetb, deta t = deta deti n = 1, där I n är identitetsmatrisen Vi kan alltså använda denitionen ovan induktivt för att räkna ut determinater, men oftast är detta inte så smidigt Istället är det bättre att använda följande (eller ofta en kombination av detta och ovanstående denition som säger hur determinanten påverkas vid elementära radoperationer på matrisen A Sats 35 Om A är en n n matris, då ändras determinanten på följande sätt vid elementära radoperationer på A Multiplicerar vi en rad med en konstant k, då multipliceras även determinanten med k, Lägger vi till en konstant multipel av en rad till en annan ändras inte determinanten, Byter vi plats på två rader byter determinanten tecken Detta kan också användas för att beräkna determinanten För om A inte är inverterbar då kan vi skapa en nollrad via elementära radoperationer, och alltså blir determinanten noll Annars kan

24 24 TOMAS SJÖDIN vi med hjälp av elementära radoperationer gå från A till I n, och om vi då håller reda på hur alla dessa radoperationer ändrar determinanten, samt använder att deti n = 1 får vi fram dess värde Oftast är det dock i praktiken bäst att använda en kombination av radoperationer och radexpansioner som ovan 13 Linjära avbildningar Denition 36 En avbildning (=funktion F mellan två vektorrum U, V (skrivet F : U V som uppfyller F ( x + ȳ = F ( x + F (ȳ, F (k x = kf ( x för alla vektorer x, ȳ U och skalärer k kallas linjär F ( r 0 + t v = F ( r 0 + tf ( v ger att linjer avbildas på linjer eller punkter (det senare om F ( v = 0 Det är också lätt att se att en linjär avbildning uppfyller F (0 = 0 Vidare gäller att om F, G : U V är linjära, då är även dess summa F + G, denierad via (F + G( x = F ( x + G( x, linjär Och om k R då är även kf, denierad via (kf ( x = kf ( x linjär Dvs mängden av alla linjära avbildningar från U till V utgör själva ett vektorrum En speciellt viktig linjär avbildning av ett vektorrum på sig själv är identitetsavbildningen I som avbildar varje vektor på sig själv: I( x = x Andra exempel på linjära avbildningar är rotationer, och projektioner i Euklidiska rum 131 Matriser för linjära avbildningar: Låt F : U V vara en linjär avbildning, samt antag att vi valt baser u = ( ( u 1 u 2 u k samt v = v1 v 2 v r till U respektive V Då gäller att varje vektor u U kan skrivas entydigt på formen ux, och F (u = F (ux = vy för något unikt Y Om vi låter vy i = F (u i och skapar matrisen A := Y 1 Y 2 Y k, där vi med detta menar att vi sätter in Y i :a i kolumnerna i A, då gäller att F (ux = vax för alla X Vi säger att F har matrisrepresentation (eller bara matris A i baserna u, v Observera att denna i högsta grad beror på båda dessa val av baser Så man kan säga att när vi väl valt baser så är linjära avbildningar inget annat än multiplikation med en matris Dessutom är det lätt att inse att det bara nns en matris A som uppfyller ovanstående, så vi har alltså en 1 1 korrespondans mellan r k-matriser och linjära avbildningar från U till V För att se varför ovanstående gäller notera att med då har vi x 1 x 2 X = x k F (ux = F (x 1 u 1 + x 2 u x k u k = x 1 F (u 1 + x 2 F (u x k F (u k = x 1 (vy 1 + x 2 (vy x k (vy k = v(x 1 Y 1 + x 2 Y x k Y k = v(ax

25 LINJÄR ALGEBRA Sammansatta och inversa avbildningar 141 Sammansatta avbildningar Antag att vi fått tre vektorrum U, V, W och F : U V, G : V W är linjära Vi denierar då den sammansatta avbildningen G F : U W via (G F (u = G(F (u Det är lätt att visa att detta är en linjär avbildning, vidare om u, v, w är baser där F respektive G har matriser A respektive B då har G F matris BA relativt u, w (Man kan säga att matrismultiplikationen är denierad precis så att detta ska gälla 142 Inversa Avbildningar Låt F : U V vara en linjär avbildning Vi säger då att F är inverterbar om det nns en linjär avbildning F 1 : V U, kallad F :s invers, sådan att F F 1 (v = v för alla v V, F 1 F (u = u för alla u U Om U, V är ändligdimensionella, då har F en invers om och endast om dimu = dimv och N(F = {0} Vi har också (som förväntat följande resultat: Sats 37 Låt U, V ha baser u respektive v, där dimu = dimv Den linjära avbildningen F : U V har då en invers om och endast om dess matris A i dessa baser är inverterbar, och F 1 har då matris A 1 relativt dessa 15 Nollrum, Värderum och Dimensionssatsen Följande sats är rättfram att visa från denitionen av linjära avbildningar Sats 38 Låt F : U V vara linjär N(F := {u U : F (u = 0} är ett delrum till U, kallat F :s nollrum, V (F := {F (u : u U} är ett delrum till V, kallat F :s värderum Vi har också följande resultat: U = [u 1, u 2,, u m ] V (F = [F (u 1, F (u 2,, F (u m ] Sats 39 (Dimensionssatsen Låt F : U V vara linjär Då gäller att dimn(f + dimv (F = dimu 16 Isometriska och symmetriska avbildningar 161 Isometriska avbildningar Låt E vara ett Euklidiskt rum En linjär avbildning F : E E kallas för en (linjär isometri om Vi har följande sats: F (u = u för alla u E Sats 40 Låt e = ( e 1 e 2 e n vara en ON-bas till E För en linjär avbildning är då följande ekvivalent: (a F är en isometri, (b (F (u F (v = (u v för alla u, v E, (c ( F (e 1 F (e 2 F (e n är en ON-bas till E, (d F :s matris A i basen e är ortonormal, dvs A t A = I OBS! En ortonormal matris uppfyller alltid deta = ±1 Följande sats karaktäriserar isometrier på R 2 och R 3 : Sats 41 (a Om F : R 2 R 2 är en isometri med matris A i standardbasen, då gäller att F är en vridning om deta = 1, och en spegling om deta = 1 (b Om F : R 3 R 3 är en isometri med matris A i standardbasen, då gäller att F är en vridning om deta = 1 Om deta = 1 då är F antingen en spegling, eller en sammansättning mellan en vridning och en spegling

26 26 TOMAS SJÖDIN 162 Symmetriska avbildningar En avbildning F : E E kallas symmetrisk om (F (u v = (u F (v gäller för alla u, v E Om ( e 1 e 2 e n är en ON-bas till E då är F symmetrisk om och endast om dess matris A i denna bas är symmetrisk, dvs A t = A 17 Basbyte Basbyten: Antag att vi i ett vektorrum V har två baser u = ( ū 1 ū 2 ū n och v = ( v1 v 2 v n I så fall kan vi skriva v i = c 1i ū 1 + c 2i ū c ni ū n (1 i n för unikt bestämda reella tal c 1i,, c ni Matrisen c 11 c 12 c 1n c 21 c 22 c 2n T = c n1 c n2 c nn kallas övergångsmatrisen från v till u basen Rent formellt kommer det vara bekvämt att skriva: c 11 c 12 c 1n ( ( c 21 c 22 c 2n v1 v 2 v n = ū1 ū 2 ū n c n1 c n2 c nn Mer kortfattat kan vi säga att med så är och v i = uy i T = Y 1 Y 2 Y n, v = ut u = vt 1 Notera att T 1 är övergångsmatrisen från u till v basen Vidare gäller att en matris T som är inverterbar alltid avbildar en bas på en bas, så T är en övergångsmatris mellan några baser om och endast om dett 0 Förhållandet mellan koordinater i de olika baserna ges av att om en vektor u = vy = ux, då gäller att vy = (ut Y = u(t Y = ux, eller med andra ord X = T Y (Observera att vi alltså får u koordinaterna från v koordinaterna Antag nu att vi har tre baser u, v, w till V och T 1 är övergångsmatris från v till u-basen, och T 2 är övergångsmatris från w till v-basen Då är T = T 1 T 2 övergångsmatris från w till u-basen ON-baser: Om u och v är ON-baser till ett Euklidiskt rum E, och T är övergångsmatrisen given ovan, då gäller att T t T = I, dvs T t = T 1 En matris T som uppfyller detta kallas ortonormal, eller ON-matris (Kom ihåg att detta innebär att motsvarande avbildning är en isometri Linjära avbildningars matriser i olika baser: Låt F : V V vara linjär och antag att vi har två olika baser u och v till V med övergångsmatris T från v till u basen Om vi låter A u respektive A v vara matrisen svarande mot F i respektive bas (dvs A u tar en vektors koordinater i u basen till bildens koordinater i u basen, och på samma sätt för A v så gäller: A v = T 1 A u T,

27 LINJÄR ALGEBRA 27 för vi har, om vy = ux, F (ux = ua u X = vt 1 A u T Y = va v Y (Om vidare båda baserna är ON-baser kan vi också byta T 1 mot T t i denna formel Notera att det(a v = det(t 1 A u T = det(t 1 det(a u det(t = det(a u, så detta visar att determinanten är basoberoende, och vi tar detta som denition av detf 19 Egenvärden, Egenvektorer, Spektralsatsen 191 Egenvärden, egenvektorer och diagonalisering Denition 42 En linjär avbildning F : V V sägs ha ett egenvärde λ (reellt tal, eventuellt 0 med motsvarande egenvektor v 0 (i V om F ( v = λ v Antag nu att F har n stycken linjärt oberoende egenvektorer v = ( v 1 v 2 v n, och dessa utgör en bas till V, med motsvarande egenvärden λ 1, λ 2,, λ n (ej nödvändigtvis alla olika I så fall gäller λ λ 2 0 A v = 0 0 λ n dvs A v är diagonal Omvänt om A v är diagonal i någon bas v är elementen i denna bas egenvektorer till A, och elementen i diagonalen egenvärdena Om det nns en bas v där A v är diagonal kallas F diagonaliserbar Eftersom, F ( v = λ v (F λi v = 0 så har vi att λ är ett egenvärde till F om och endast om F λi inte är inverterbar, dvs om och endast om (Kom ihåg att determinanten är basoberoende det(f λi = 0 Sats 43 Om { v 1, v 2,, v k } är egenvektorer svarande mot olika egenvärden till F : V V så är de linjärt oberoende Speciellt om F har dimv stycken olika egenvärden, då nns alltid en bas av egenvektorer till F Vi kommer ibland vilja tala om egenvärden/egenvektorer till en n n matris A, och då menar vi att vi ser denna som en linjär avbildning på M n 1 i standardbasen 192 ON-diagonalisering Låt F : E E vara en linjär avbildning på ett Euklidiskt rum E med dime = n F kallas ON-diagonaliserbar om det nns en ON-bas i vilken F :s matris är diagonal Sats 44 (Spektralsatsen F är ON-diagonaliserbar om och endast om F är symmetrisk Kom ihåg att F är symmetrisk om och endast om den har en symmetrisk matris i någon ON-bas till E Om detta gäller har den automatiskt en symmetrisk matris i alla ON-baser till E