14.1 Två-personers nollsummespel och konstantsummespel: sadelpunkt
|
|
- Gun Pettersson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 14 Spelteori 14.1 Två pers nollsummespel: sadelpunkt 14.2 Två pers nollsummespel: randomiserad strategi, dominans, grafisk lösning 14.3 LP och nollsummespel 14.4 Två personer - icke konstant spel Intro till n-pers spel teori 14.6 Kärnan i ett n-pers spel 14.7 Shapley värde
2 14.1 Två-personers nollsummespel och konstantsummespel: sadelpunkt 1. Det finns en radspelare och kolumnspelare 2. Radspelaren måste välja en av m strategier Kolumnspelaren måste välja en av n strategier 3. Om radspelaren väljer sin i:te strategi och kolumnspelaren sin j:te, då erhåller radspelaren en belöning a ij och kolumnspelaren förlorar ett belopp a ij 1 2 M a a a a L L L O a a n 1n 2n Belöningsmatris m a m1 a m2 L a mn
3 Antagande Varje spelare väljer en strategi som tillåter spelaren att göra så bra ifrån sig som möjligt, givet att motståndaren vet vilken strategi spelaren följer. Radspelaren ska välja raden med max(rad min). Kolumnspelaren ska välja kolumnen med min(kol max). Om max(rad min) = min (kolumn max) sägs spelet ha en sadelpunkt. Om ett spel har en sadelpunkt säger vi att detta är spelets värde för radspelaren. En sadelpunkt kan också ses som en jämviktspunkt eftersom ingen av spelarna tjänar på att själv byta strategi.
4 14.2 Spel utan sadelpunkt Om ett nollsummespel saknar sadelpunkt är det svårare att bestämma spelets värde och optimala spelstrategier. Vi måste tillåta fler spelstrategier för att lösa detta. Mixad eller randomiserad strategi betyder att spelaren väljer en strategi med en viss sannolikhet. Tex p=1/3 för 1,x eller 2 vid stryktips. En mixad strategi sägs vara ren om något x i = 1, (x 1,x 2,,x m )
5 14.3 LP och nollsummespel Ex: Sten, påse, sax kolumnspelare radspelare sten påse sax min max Eftersom spelet saknar sadelpunkt (max(rad min) = min (kolumn max)) låter vi radspelaren välja mixade strategin (x 1,x 2,x 3 ). Den förväntade vinsten mot kolumnspelarens val blir då kolumnspelare väljer rad spelarens förväntade vinst sten 0 x 1 +1 x 2-1 x 3 = x 2 x 3 påse -x 1 + x 3 sax x 1 -x 2
6 Enligt grundantagandet kommer nu kolumnspelaren välja den strategi som gör radspelarens vinst så liten som möjligt, dvs min(x 2 -x 3,- x 1 + x 2, x 1 -x 2 ) (*) och radspelaren bör då välja (x 1,x 2,x 3 ) så att (*) blir så stor som möjligt. Låt v beteckna max (*), då kan vi formulera detta som ett LP max z = v st v x 2 -x 3 stenbegränsning v - x 1 + x 3 påsbegränsning v x 1 -x 2 saxbegränsning x 1 + x 2 + x 3 = 1 x 1,x 2,x 0 3
7 Eller om man formulerar problemet för GLPK max v st v - x2 + x3 <= 0 v + x1 - x3 <= 0 v + x1 - x2 <= 0 x1 + x2 + x3 = 1 end vilket då ger, x 1 = x 2 = x 3 = 1/3 Det finns en begränsning för varje strategi som kolumnspelaren väljer. Värdet v på den optimala lösningen är radspelarens golv, dvs det radspelaren minst erhåller.
8 Kolumnspelaren Väljer också en mixad strategi, som vi kan kalla (y 1,y 2,y 3 ) Pss som tidigare Rad spelaren väljer Radspelarens förväntade vinst om kolumnspelaren väljer (y 1,y 2,y 3 ) sten -y 2 + y 3 påse y 1 -y 3 sax -y 1 + y 2 Eftersom radspelaren förväntas känna till (y 1,y 2,y 3 ) kommer radspelaren välja en strategi som ser till att han erhåller en förväntad vinst, max(-y 2 + y 3, y 1 -y 3, -y 1 + y 2 ) (**) Dvs kolumnspelaren ska välja (y 1,y 2,y 3 ) så att (**) blir så liten som möjligt.
9 Formulerat som ett LP problem får vi min z = w st w y 2 -y 3 w - y 1 + y 3 w y 1 -y 2 y 1 + y 2 + y 3 = 1 y 1,y 2,y 0 3 Man kan visa att radspelarens LP dual är lika med kolumnspelarens LP Dualsatsen ger oss att det optimala objektsfunktionsvärdet v för radspelarens LP och det optimala objektsfunktionsvärdet för w är lika
10 Sammanfattning 1. Kolla efter sadelpunkt, finns inga gå vidare 2. Stryk radspelarens dominerande strategier, och kolumnspelarens dominerande strategier. 3. Är matrisen 2x2 lös grafiskt, annars lös mha LP metoden.
11 14.4 Två personers ickekonstantsummespel Spelet fångarnas dilemma Ex: Två fångar erbjuds olika alternativ vid ett förhör Om endast en av er erkänner och vittnar mot den andre fången kommer personen som erkänt gå fri och den andre får 20-års fängelse Om båda erkänner 5 års fängelse för båda Om ingen erkänner 1 års fängelse för båda Fånge 2 Fånge 1 Erkänner Erkänner inte Erkänner ( -5, -5 ) ( 0, -20 ) Erkänner inte ( -20, 0 ) ( -1, -1 )
12 Def: Spelarnas val av strategi sägs vara en jämviktspunkt (EQP) om ingendera av spelarna kan tjäna på att ensidigt ändra sin strategi. Ex forts. (-1, -1) är ingen EQP eftersom ensidig ändring av strategi endast ger någon förtjänst åt den som erkänner. (-5, -5) är en EQP däremot Mer formellt: Om vi betecknar NC = ensidig ändring av strategi C = gemensamt strategibeslut P = straff för ensidigt beslut S = straff för den som blir lurad R = belöning om båda samarbetar T = frestelse om man luras
13 För att det ska vara ett FD spel krävs det att T > R > P > S Spelare 2 Spelare 1 NC C NC (P,P) (T,S) C (S,T) (R,R)
14 Ex. Vulcaner och Klingeoner håller på att upprusta. Det antas att varje nation har två möjligheter; utveckla ett ny missil eller försöka att bibehålla status quo. Belöningsmatrisen i poäng ges nedan Klingeoner Vulcaner DNM MSQ DNM (-10,-10) (10,-100) MSQ (-100,10) (0,0) (-10,-10) EQP
15 14.5 introduktion till n-personers spelteori Ett n-personers spel karaktäriseras av spelets karaktäristiska funktion Def. För varje delmängd S av N är den karaktäristiska funktionen V av ett spel lika med summan som medlemmarna av S minst erhåller om dom samarbetar och formar en koalition. Det betyder att V(S) kan bestämmas genom att man beräknar hur mycket medlemmarna av S kan få utan hjälp av spelarna utanför S. Ex 1. Spelare 1 äger en landbit som är värderat till 10. Spelare 2 är en mäklare som kan sälja landbiten till ett värde av 20. Spelare 3 är en mäklare som kan sälja till ett värde av 30. Hitta V för spelet V({ }) = V({2}) = V({3}) = V({2,3}) = 0 V({1}) = 10 V({1,2}) = 20 V({1,3}) = 30 V({1,2,3}) = 30
16 V måste vara superadditiv dvs V({A U B}) V({A}) + V({B}) Lösningsrecept för n-personers spel Låt X = {x 1,x 2,,x n } vara belöningsvektorn där spelare i erhåller belöning x i. V(N) = n i = 1 x i (1) X i V({ i }) för varje i N (2) Om X uppfyller (1) och (2) säger vi att X är en imputation I ex 1 skulle X=(10,10,10) vara en imputation men inte (5,20,5) eftersom X 1 < V( {1} )
17 14.6 Kärnan i ett n-personers spel Def. En imputation Y sägs dominera X genom en koalition S om i S yi V(S) (3) och för alla i S, y i > x i Vi skriver det som y > S x Om y > S x då varje medlem av S föredrar y mot x eftersom (3) gäller kan medlemmarna verkligen erhålla sin belöning Y Def. Kärnan (the Core) av ett n-personers spel är mängden av alla ickedominerade imputationer
18 Ex 1 forts. Låt X = (19, 1, 10) Y = (19.8, 0.1, 10.1) Visa att Y > {1,3} X Eftersom x 1 < y 1 och x 3 < y 3 samt y 1 + y 3 30 = V(S) = V({1,3}) Sats 1: En imputation X är i kärnan omm för varje delmängd S av N x i S i V(S)
19 Ex 1 forts. En godtycklig imputation X måste uppfylla att x 1 10 x 2 0 x 3 0 x 1 + x 2 +x 3 = 30 En imputation X ingår i kärnan omm x 1 + x 2 20 x 1 + x 3 30 x 2 + x 3 0 x 1 + x 2 +x 3 30 För att erhålla belöningen 30 måste x 2 = 0. Om x 2 = 0 måste x 1 20 Eftersom x 1 + x 3 = 30 måste 20 x 1 30 Dvs ( x 1, 0, 30 x 1 ), 20 x 1 30 blir lösningen.
20 14.7 Shapley värde Axiom A1. Byte av spelaretikett byter spelarbelöning n i = 1 A2. x = V(N) i A3. Om V( S {i} ) = V( S ) håller för alla koalitioner S då är Shapley-värdet för x i = 0. A4. Låt X vara Shapley-värdesvektorn (SVV) för spelet S1 och låt Y vara SVV för spelet S2 då är SVV för spelet (S1+S2): X+Y
21 Sats: Om A1-A4 är uppfyllt då ges Shapley värdet för i av x i = p n (S)[V(S U {i}) V(S)] S!(n S 1)! p n (S) = n! S Antalet spelare i S Bestäm Shapley värdet för spelarna i Ex 1. Vi hade att V({ }) = V({2}) = V({3}) = V({2,3}) = 0 V({1}) = 10 V({1,2}) = 20 V({1,3}) = 30 V({1,2,3}) = 30
22 Spelare 1 (landägaren) S P 3 (S) V(S U {1}) V(S) { } 2 / 6 10 { 2 } 1 / 6 20 { 3 } 1 / 6 30 { 2, 3 } 2 / 6 30 SV x 1 = 1 / 6 ( ) = 130 / 6
23 Spelare 2 (mäklare 1) S P 3 (S) V(S U {2}) V(S) { } 2 / 6 0 { 1 } 1 / = 10 { 3 } 1 / 6 0 { 1, 3 } 2 / = 0 SV x 2 = 1 / 6 ( ) = 10 / 6
24 Spelare 3 (mäklare 2) S P 3 (S) V(S U {3}) V(S) { } 2 / 6 0 { 1 } 1 / = 20 { 2 } 1 / 6 0 { 1, 2 } 2 / = 10 SV x 3 = 1 / 6 ( ) = 40 / 6
25 Sammanfattningsvis, lösningen med Shapley värde ger att vår belöningsvektor blir SVV = (x 1,x 2,x 3 ) = 1/6 ( 130, 10,40)
14 Spelteori Två-personers nollsummespel och konstantsummespel: sadelpunkt
14 Spelteori 14.1 Två pers nollsummespel: sdelpunkt 14.2 Två pers nollsummespel: rndomiserd strtegi, dominns, grfisk lösning 14.3 LP och nollsummespel 14.4 Två personer - icke konstnt spel. 14.5 Intro
Läs merLaboration 2: Spelteori
Linköpings Tekniska Högskola TNK047 Optimering och systemanalys ITN Laboration 2 13 november 2008 Laboration 2: Spelteori Laborationen består av två delar, den första om 2-personersspel och andra om ett
Läs merLaboration 2: Spelteori
Linköpings Tekniska Högskola TNK047 Optimering och systemanalys ITN Laboration 2 12 november 2007 Laboration 2: Spelteori Organisation och redovisning Laborationen består av två delar, den första om 2-personersspel
Läs merFöreläsning 6: Spelteori II
Föreläsning 6: Spelteori II Litteratur: Resnik, Choices, kap. 5 1# Viktiga begrepp Först lite allmänt om spelteori: Spelteorin har främst utvecklats inom matematiken och nationalekonomin, och är fortfarande
Läs mer1 Duala problem vid linjär optimering
Krister Svanberg, april 2012 1 Duala problem vid linjär optimering Detta kapitel handlar om två centrala teoretiska resultat för LP, nämligen dualitetssatsen och komplementaritetssatsen. Först måste vi
Läs merTNK047 [TEN1] OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS
TNK047 [TEN1] OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS Datum: 7 april 2010 Tid: 8 12 Hjälpmedel: Ett A4-blad med text/anteckningar (båda sidor) samt miniräknare. Antal uppgifter: 5; Vardera uppgift kan ge 5p. Poängkrav:
Läs merArtificial Intelligence
Omtentamen Artificial Intelligence Datum: 2013-01-08 Tid: 09.00 13.00 Ansvarig: Resultat: Hjälpmedel: Gränser: Cecilia Sönströd Redovisas inom tre veckor Inga G 10p, VG 16p, Max 20p Notera: Skriv läsbart!
Läs merSpelteori: Att studera strategisk interaktion. Grundkurs i nationalekonomi för jurister HT 2014 Jesper Roine, SITE, Handelshögskolan i Stockholm
Spelteori: Att studera strategisk interaktion Grundkurs i nationalekonomi för jurister HT 2014 Jesper Roine, SITE, Handelshögskolan i Stockholm Olika marknadsformer I termer av antalet konkurrerande företag
Läs merTNK047 [TEN1] OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS
TNK047 [TEN1] OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS Datum: 16 december 2009 Tid: 14 18 Hjälpmedel: Ett A4-blad med text/anteckningar (båda sidor) samt miniräknare. Antal uppgifter: 5; Vardera uppgift kan ge 5p.
Läs merFöreläsning 5: Spelteori I
Föreläsning 5: Spelteori I Litteratur: Resnik, kap 5 ss. 121-157 * Rabinowicz, Ett fängslande problem: Fångens dilemma, oväntade tentor och fräcka fripassagerare * Kollock, Social Dilemmas: The Anatomy
Läs merFlöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet
Flöde i nätverk Graf: G = (N, B) Variabeldefinition: x ij = flöde i båge (i, j). Bågdata för båge (i, j): c ij : flödeskostnad per enhet. u ij : övre gräns för flödet. l ij : undre gräns för flödet. Bivillkor:
Läs merTAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: augusti 0 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken
Läs merTAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: augusti 0 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs merÖvning 1 Sannolikhetsteorins grunder
Övning 1 Sannolikhetsteorins grunder Två händelser A och B är disjunkta om {A B} =, det vill säga att snittet inte innehåller några element. Om vi har en mängd händelser A 1, A 2, A 3,..., A n, vilka är
Läs merFlöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet
Flöde i nätverk Graf: G = (N, B) Variabeldefinition: x ij = flöde i båge (i, j). Bågdata för båge (i, j): c ij : flödeskostnad per enhet. u ij : övre gräns för flödet. l ij : undre gräns för flödet. Bivillkor:
Läs merLP-dualitet: Exempel. Vårt första exempel. LP-dualitet: Relationer. LP-dualitet: Generellt
Vårt första exempel Variabeldefinition: x 1 = antal enheter Optimus som görs varje timme. x 2 = antal enheter Rullmus som görs varje timme. Matematisk modell: max z = 4x 1 + 3x 2 då 2x 1 + 3x 2 30 (1)
Läs merTAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: januari 01 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs merVårt första exempel. LP-dualitet: Exempel. LP-dualitet: Generellt. LP-dualitet: Relationer
Vårt första exempel Variabeldefinition: x 1 = antal enheter Optimus som görs varje timme. x 2 = antal enheter Rullmus som görs varje timme. Matematisk modell: max z = 4x 1 + 3x 2 då 2x 1 + 3x 2 30 (1)
Läs merVektorrum. EX. Plan och linjer i rummet genom origo. Allmänt; mängden av lösningar till AX = 0.
Vektorrum Denna kurs handlar till stor del om s k linjära rum eller vektorrum. Dessa kan ses som generaliseringar av R n. Skillnaden består främst i att teorin nu blir mer abstrakt. Detta är själva poängen;
Läs mer1 LP-problem på standardform och Simplexmetoden
Krister Svanberg, mars 202 LP-problem på standardform och Simplexmetoden I detta avsnitt utgår vi från LP-formuleringen (2.2) från föreläsning. Denna form är den bäst lämpade för en strömlinjeformad implementering
Läs merTAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP8/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: januari 01 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering
Läs merTNK047 OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS
TNK047 OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS Datum: 15 december 2007 Tid: 8 12 Hjälpmedel: Ett A4-blad med text/anteckningar (båda sidor) samt miniräknare. Antal uppgifter: 5; Vardera uppgift kan ge 5p. Poängkrav:
Läs merFöreläsn. anteckn. TMV206-VT13. Vecka 6-7. Egenvärden och Egenvektorer. Kap. 8-9
Föreläsn. Anteckn., Linjär algebra IT VT2013/Genkai Zhang 1 Föreläsn. anteckn. TMV206-VT13. Vecka 6-7. Egenvärden och Egenvektorer. Kap. 8-9 Det tredje huvuda momentet av kursen är egenvektorer/egenvärden
Läs merOptimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping TAOP88 Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 9--7 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift a: Inför slackvariabler x 5, x 6 och x 7 Starta med slackvariablerna
Läs merLösningar till SF1861/SF1851 Optimeringslära, 24/5 2013
Lösningar till SF86/SF85 Optimeringslära, 4/5 03 Uppgift (a) Inför de 3 variablerna x ij = kvantitet (i sorten ton) som fabrik nr i åläggs att tillverka av produkt nr j, samt t = tiden (i sorten timmar)
Läs merTNK049 Optimeringslära
TNK049 Optimeringslära Clas Rydergren, ITN Föreläsning 6 Det duala problemet Relationer primal dual Optimalitetsvillkor Nätverksoptimering (introduktion) Agenda Motivering av det duala problemet (kap 6.)
Läs merOptimalitetsvillkor. Optimum? Matematisk notation. Optimum? Definition. Definition
Optimum? När man har formulerat sin optimeringsmodell vill man lösa den Dvs finna en optimal lösning, x, till modellen Nästan alltid: Sökmetoder: Stå i en punkt, gå till en annan (bättre Upprepa, tills
Läs merKurragömma i ett socialt nätverk
Kurragömma i ett socialt nätverk Olle Abrahamsson Doktorand i kommunikationssystem, Linköpings universitet 1 Introduktion Många sociala grupper kan ha anledningar att gömma sig Illasinnade grupper: Terrorister,
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2010 kl
Lösningsförslag till tentamen i SF86 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2 kl. 4. 9. Examinator: Per Enqvist, tel. 79 62 98. (a) Inför variablerna x = (x sr, x sm, x sp, x sa, x sd, x gr, x gm, x gp,
Läs merFöreläsning 2: Simplexmetoden. 1. Repetition av geometriska simplexmetoden. 2. Linjärprogrammeringsproblem på standardform.
Föreläsning 2: Simplexmetoden. Repetition av geometriska simplexmetoden. 2. Linjärprogrammeringsproblem på standardform. 3. Simplexalgoritmen. 4. Hur bestämmer man tillåtna startbaslösningar? Föreläsning
Läs merLösningsförslag Fråga 1.
sförslag Fråga 1. a) MRS = y/x b) Villkoret MRS=MRT ger y/x = 3/5. Om vi stoppar in det i individens budgetrestriktion får vi 3x + 3x = 150, vilket ger x = 25, y=15. c) Nu är priset på x 6kr. För att kunna
Läs merTNK047 OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS
TNK047 OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS Datum: 18 december 2006 Tid: 14 18 Hjälpmedel: Ett A4-blad med egna anteckningar (båda sidor) samt miniräknare. Antal uppgifter: ; Vardera uppgift kan ge p. Poängkrav:
Läs mer5B1817 Tillämpad ickelinjär optimering. Kvadratisk programmering med olikhetsbivillkor Active-set metoder
5B1817 Tillämpad ickelinjär optimering Föreläsning 7 Kvadratisk programmering med olikhetsbivillkor Active-set metoder A. Forsgren, KTH 1 Föreläsning 7 5B1817 2006/2007 Kvadratisk programmering med olikhetsbivillkor
Läs merFöreläsn. anteckn. HT13. Vecka 6-7. Egenvärden och Egenvektorer. Slumpvandringar på Grafer. Kap. 8-9
Föreläsn. Anteckn., Linjär algebra D HT01/Genkai Zhang 1 Föreläsn. anteckn. HT1. Vecka 6-7. Egenvärden och Egenvektorer. Slumpvandringar på Grafer. Kap. 8-9 Det 4:de huvuda momentet av kursen är egenvektorer/egenvärden
Läs merTentamen i nationalekonomi, tillämpad mikroekonomi A, 3 hp (samt 7,5 hp)
Tentamen i nationalekonomi, tillämpad mikroekonomi A, 3 hp (samt 7,5 hp) 2011-08-23 Ansvarig lärare: Viktor Mejman Hjälpmedel: Skrivdon och räknare. Kurslitteratur. Maximal poängsumma: 16 För betyget G
Läs merHemuppgift 1, SF1861 Optimeringslära, VT 2017
Hemuppgift 1, SF1861 Optimeringslära, VT 2017 Examinator: Krister Svanberg, tel: 790 7137, krille@math.kth.se. Labassistent: David Ek, daviek@kth.se, Lämnas i Matematiks svarta postlåda (SF) för inlämningsuppgifter,
Läs merLinjärprogramming. EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin
Linjärprogramming EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin 1 Kursmål Formulera korttidsplaneringsproblem för vatten- och värmekraftsystem. 2 Tillämpad matematisk programming Korttidsplanering
Läs merFörra gången. Allmänt om samarbete. Dagens föreläsning
Förra gången Evolutionary computation Genetic programming Genetic algorithms Aspects of evolution Classifier systems Allmänt om samarbete Exempel Slemsvampar Fåglar och fiskar som putsar Symbios Lavar:
Läs merTAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 0 oktober 0 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i
Läs mer1(8) x ijt = antal mobiltelefoner av typ i=1,,m, Som produceras på produktionslina 1,, n, Under vecka t=1,,t.
1(8) (5p) Uppgift 1 Företaget KONIA tillverkar mobiltelefoner I en stor fabrik med flera parallella produktionslinor. För att planera produktionen de kommande T veckorna har KONIA definierat följande icke-negativa
Läs merInstitutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1210 och 5B1230 Matematik IV, för B, M, och I.
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 23--9, kl 4 9 5B2 och 5B23 Matematik IV, för B, M, och I Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook För godkänt betyg 3 krävs 7 poäng, medan för betyg 4
Läs merOm semantisk följd och bevis
Matematik, KTH Bengt Ek december 2017 Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Om semantisk följd och bevis Logik handlar bla om studiet av korrekta slutledningar, dvs frågan om när det är riktigt
Läs mer1. Ekvationer 1.1. Ekvationer och lösningar. En linjär ekvation i n variabler x 1,..., x n är en ekvation på formen. 2x y + z = 3 x + 2y = 0
1. Ekvationer 1.1. Ekvationer och lösningar. En linjär ekvation i n variabler x 1,..., x n är en ekvation på formen a 1 x 1 + a 2 x 2 + a n x n = b, med givna tal a 1,..., a n och b. Ett linjärt ekvationssystem
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604 för D, den 5 juni 2010 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF164 för D, den 5 juni 21 kl 9.- 14.. Examinator: Olof Heden. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.
Läs merArtificiell Intelligens
Omtentamen Artificiell Intelligens Datum: 2014-02-20 Tid: 14.00 18.00 Ansvarig: Resultat: Hjälpmedel: Gränser: Anders Gidenstam Redovisas inom tre veckor Inga G 8p, VG 12p, Max 16p Notera: Skriv läsbart!
Läs merAlgoritmer, datastrukturer och komplexitet
Algoritmer, datastrukturer och komplexitet Övning 1 Anton Grensjö grensjo@csc.kth.se 14 september 2015 Anton Grensjö ADK Övning 1 14 september 2015 1 / 22 Översikt Kursplanering F1: Introduktion, algoritmanalys
Läs merLINJÄR ALGEBRA II LEKTION 3
LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 3 JOHAN ASPLUND INNEHÅLL Basbyten Kolonnrum, radrum och nollrum 3 Linjära avbildningar från R n till R m 4 Uppgifter 3 46:3 3 47:a 3 48:3a 4 48:a 4 49:9 4 40:7a,b BASBYTEN Om
Läs merTAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 19 oktober 2017 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs merOptimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 2018-01-02 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift 1 1a: Den givna startlösningen är tillåten
Läs merTAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP86/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: 24 oktober 204 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering
Läs merFöreläsning 5: Dynamisk programmering
Föreläsning 5: Dynamisk programmering Vi betraktar en typ av problem vi tidigare sett: Indata: En uppsättning intervall [s i,f i ] med vikt w i. Mål: Att hitta en uppsättning icke överlappande intervall
Läs merDe optimeringsproblem som kommer att behandlas i denna kurs kan alla (i princip) skrivas. 1 2 xt Hx + c T x. minimera
Krister Svanberg, mars 2012 1 Introduktion De optimeringsproblem som kommer att behandlas i denna kurs kan alla (i princip) skrivas på följande allmänna form: f(x) (1.1) x F, där x = (x 1,..., x n ) T
Läs merOptimeringslära för T (SF1861)
Optimeringslära för T (SF1861) 1. Kursinformation 2. Exempel på optimeringsproblem 3. Introduktion till linjärprogrammering Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 1 Linjärprogrammering Kursinformation
Läs merTentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för EMM Datum: 2 augusti 2011 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs merLösningar till 5B1762 Optimeringslära för T, 24/5-07
Lösningar till 5B76 Optimeringslära för T, 4/5-7 Uppgift (a) Först använder vi Gauss Jordans metod på den givna matrisen A = Addition av gånger första raden till andra raden ger till resultat matrisen
Läs merSpelutveckling Spelbalans. Design och produktion
Spelutveckling Spelbalans Design och produktion Tre balanser Spelare spelare Rättvist multiplayer (inkluderar AI-spelare) Spelare gameplay Balansera utmaningar och stöd gentemot belöningar och straff Gameplay
Läs merTAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: augusti 0 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs mer5B1817 Tillämpad ickelinjär optimering. Optimalitetsvillkor för problem med linjära bivillkor.
5B1817 Tillämpad ickelinjär optimering Föreläsning 2 Optimalitetsvillkor för problem med linjära bivillkor. A. Forsgren, KTH 1 Föreläsning 2 5B1817 2006/2007 Optimalitetsvillkor för ickelinjära programmeringsproblem
Läs mer1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =
Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merResurscentrums matematikleksaker
Resurscentrums matematikleksaker Aktiviteter för barn och vuxna Innehåll 1 Bygga lutande torn som inte faller 2 2 Om konsten att vinna betingat godis i spel 5 3 Den snåle grosshandlarens våg 6 4 Tornen
Läs mer1 Minkostnadsflödesproblem i nätverk
Krister Svanberg, april 2012 1 Minkostnadsflödesproblem i nätverk Ett nätverk består av en given mängd noder numrerade från 1 till m (där m är antalet noder) samt en given mängd riktade bågar mellan vissa
Läs merTAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP8/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: 10 januari 201 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg:
Läs merFunktionella beroenden - teori
Relationell databasdesign, FB Teori 7-12 Funktionella beroenden - teori Vid utformning av databassystem är det av största vikt att man kan resonera systematiskt om funktionella beroenden bl.a. för att
Läs merMatematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning
Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning Anna Lindgren 29+3 september 216 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F7: normalfördelning 1/18 Kovarians, C(X, Y) Repetition Normalfördelning
Läs mer2. Efterfrågan P Q E D = ΔQ % ΔP % =ΔQ ΔP. Efterfrågans priselasticitet mäter efterfrågans känslighet för prisförändringar. Def.
2. Efterfrågan Efterfrågans priselasticitet mäter efterfrågans känslighet för prisförändringar. Def. E D = ΔQ % ΔP % =ΔQ ΔP P Q 1 Elastisk och inelastisk efterfrågan Elastisk efterfrågan då priselasticiteten
Läs merTAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: 1 april 01 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs merTAMS79: Föreläsning 10 Markovkedjor
TAMS79: Föreläsning 0 Markovkedjor Johan Thim december 08 0. Markovkedjor Vi ska nu betrakta en speciell tidsdiskret diskret stokastisk process, nämligen Markovkedjan. Vi börjar med en definition Definition.
Läs merTAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: januari 0 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs merVinsten (exklusive kostnaden för inköp av kemikalier) vid försäljning av 1 liter fönsterputs är 2 kr för F1 och 3 kr för F3.
TNSL05 (10) (5p) Uppgift 1 Företaget XAJA tillverkar två olika sorters rengöringsprodukter för fönsterputsning, benämnda F1 och F. Förutom vatten, som ingår i båda produkterna är, innehållet ett antal
Läs merTAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: oktober 01 Tid:.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering
Läs merMIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p
Uppvisat terminsräkning ( ) Ja ( ) Nej Inst. för teknisk ekonomi och logistik Avd. för Produktionsekonomi Jag tillåter att mitt tentamensresultat publiceras på Internet Ja Nej TENTAMEN: MIO0 OPTIMERING
Läs merFöreläsning 6: Nätverksoptimering
Föreläsning 6: Nätverksoptimering. Minkostnadsflödesproblem i nätverk.. Modellering och grafteori.. Simplexmetoden. Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist Nätverksoptimering Minkostnadsflödesproblem
Läs merOptimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 26-6- Kaj Holmberg Lösningar Uppgift Hinkpackning (hink = tur med cykeln. Jag använder
Läs mer1 De fyra fundamentala underrummen till en matris
Krister Svanberg, mars 2012 1 De fyra fundamentala underrummen till en matris 1.1 Definition av underrum En given delmängd M av IR n säges vara ett underrum i IR n om följande gäller: För varje v 1 M,
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH MER ON VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS. KOVARIANS OCH KORRELATION. STORA TALENS LAG. STATISTIK.
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 6 MER ON VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS. KOVARIANS OCH KORRELATION. STORA TALENS LAG. Tatjana Pavlenko 12 september 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition
Läs merTAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 2 maj 20 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken får
Läs merFöreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet
Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =
Läs merKan du det här? Geometrisk summa och linjär optimering
Kan du det här? Geometrisk summa och linjär optimering o Vad menas med en geometrisk talföljd? o Vad menas med geometrisk summa? Kan du beräkna geometrisk summa? o Hur kan geometrisk talföljd tillämpas
Läs merTMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C
MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen 20-0-, kl. 4.00-8.00 TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Richard Lärkäng, telefon: 0703-088304 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna.
Läs merFULLSTäNDIGHETSAXIOMET, SATSEN OM MELLANLIGGANDE VäRDE OCH SATSEN OM STöRSTA OCH MINSTA VäRDE
FULLSTäNDIGHETSAXIOMET, SATSEN OM MELLANLIGGANDE VäRDE OCH SATSEN OM STöRSTA OCH MINSTA VäRDE JAN-FREDRIK OLSEN I detta dokumentet ämnar vi bevisa följande två satser: Sats 1 (Satsen om mellanliggande
Läs merLösningar till SF1861 Optimeringslära, 28 maj 2012
Lösningar till SF86 Optimeringslära, 28 maj 202 Uppgift.(a) Då det primala problemet P är så är det motsvarande duala problemet D minimera 3x + x 2 då 3x + 2x 2 6 x + 2x 2 4 x j 0, j =, 2. maximera 6 +
Läs merTAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C. Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C Datum: juni 0 Tid:.00-9.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering. Kaj
Läs merTENTAMEN. Tentamensinstruktioner. Datum: 30 augusti 2018 Tid: 8-12
1( 9) TENTAMEN Datum: 30 augusti 2018 Tid: 8-12 Provkod: TEN1 Kursnamn: Optimering, modellering och planering Institution: ITN Antal uppgifter: 5 Betygskrav: För godkänt krävs normalt 12 p, betyg kräver
Läs merx 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 HL Z x x x
Uppgift 1 a) Vi iför slackvariabler x 4, x 5 och x 6 och löser problemet med hjälp av simplexalgoritme. Z -2-1 1 0 0 0 0 x 4 1 1-1 1 0 0 20 x 5 2 1 1 0 1 0 30 x 6 1-1 2 0 0 1 10 x 1 blir igåede basvariabel
Läs merFlöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Slutsats.
Flöde i nätverk Graf: G = (N, B) Variabeldefinition: x ij = flöde i båge (i, j). Bågdata för båge (i, j): c ij : flödeskostnad per enhet. u ij : övre gräns för flödet. l ij : undre gräns för flödet. Bivillkor:
Läs merStatistik 1 för biologer, logopeder och psykologer
Innehåll 1 Analys av korstabeller 2 Innehåll 1 Analys av korstabeller 2 Korstabeller Vi har tidigare under kursen redan bekantat oss med korstabeller. I en korstabell redovisar man fördelningen på två
Läs merTAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP8/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: 1 oktober 01 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg:
Läs merTAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 10 januari 201 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs merFöreläsning 5. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi
Föreläsning 5 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Dagens föreläsning o Andelar (kap 24) o Test och konfidensintervall för en andel (kap 24.5, 24.6, 24.8) o Test och konfidensintervall för två
Läs merTNK047 [TEN1] OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS
TNK047 [TEN1] OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS Datum: 15 december 2008 Tid: 8 12 Hjälpmedel: Ett A4-blad med text/anteckningar (båda sidor) samt miniräknare. Antal uppgifter: 5; Vardera uppgift kan ge 5p. Poängkrav:
Läs merTNK049 Optimeringslära
TNK049 Optimeringslära Clas Rydergren, ITN Föreläsning 3 Problemklassificering Global/lokal optimalitet Konvexitet Generella sökmetoder Agenda Problemklassificering (kap 1.4, 2.1 2.3) Lokalt/globalt optimum
Läs merOptimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping TAOP88 Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 28--24 Kaj Holmberg Uppgift Lösningar a: Målfunktionen är summan av konvexa funktioner (kvadrater och
Läs merLösningsförslag till tentamensskrivning i SF1610 Diskret Matematik för CINTE 30 maj 2018, kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF1610 Diskret Matematik för CINTE 30 maj 2018, kl 08.00 13.00. Examinator: Petter Brändén Kursansvarig: Olof Sisask Hjälpmedel:
Läs merMer om kontinuitet. Kapitel K. K.1 Övre och undre gräns
Kapitel K Mer om kontinuitet I detta kapitel bevisar vi Sats 3.1, som säger att en kontinuerlig funktion av typen R 2 R på ett kompakt område antar ett största och ett minsta värde. Vi studerar dessutom
Läs merUPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel. 018-471 32 89 Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, 2 poäng 2005-10-10 Skrivtid: 9.00 14.00. Hjälpmedel:
Läs merTAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C Datum: 2 augusti 2011 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering
Läs merSida 1 av Låt VV = RR nn där RR nn är mängden av alla reella n-tipplar (ordnade listor med n reella tal) dvs
Sida av 7 ALLMÄNNA VEKTORRUM VEKTORRUM Definition Mängden V sägs vara ett reellt vektorrum om det finns i) en additionsoperation som till varje uu VV och vv VV ordnar uu vv VV ii) en operation kallad multiplikation
Läs merTekniska Högskolan i Linköping Optimering av realistiska sammansatta system. Optimeringslära Kaj Holmberg.
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering av realistiska sammansatta system Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 2015-01-14 Kaj Holmberg Lösningar/svar Uppgift 1 1a: Givna data:
Läs merEn vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning.
En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. Slappdefinition En vektor är en riktad sträcka som får parallellförflyttas. Tänk på vektorn som en pil. Betecknar vektorer med små bokstäver
Läs merSlappdefinition. Räkning med vektorer. Bas och koordinater. En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning.
Slappdefinition En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. En vektor är en riktad sträcka som får parallellförflyttas. Tänk på vektorn som en pil. Betecknar vektorer med små bokstäver
Läs mer