LINJÄR ALGEBRA & GEOMETRI

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "LINJÄR ALGEBRA & GEOMETRI"

Transkript

1 LINJÄR ALGEBRA & GEOMETRI Seriöst, de här e fan allting. DE HÄR ÄR ALLT SKIT DU BEHÖVER, SKIT I ALLT ANNAT. STÅR DE INTE HÄR ÄR DE ONÖDIGT

2 Contents Räkneregler för Vektorer... 2 Multiplikation mellan skalär och vektor (vanlig)... 2 Skalärprodukt... 2 Kryssprodukt... 3 Normen... 3 Parameterform... 4 Linjens parameterekvation... 4 Planets parameterekvation... 4 Från normal- till parameterform... 4 Skärningspunkter... 5 Två linjer... 5 Skärning av ett plan och en linje... 5 Skärning av två plan... 5 Projektion... 7 Matriser... 8 Matrismultiplikation... 9 Gauss-Jordan elimination i matriser/ekvationssystem... 0 Gauss metod... 0 Invers- och Identitetsmatrisen... 2 Linjära Transformationer... 3 Delrum, Bild och Kärna... 6 Delrum... 6 Kärna... 7 Baser och basbyten... 8 Vad är en determinant? x2 matriser... 2 Genom att utveckla efter en rad eller en kolonn... 2 Tredje metoden: genom Gausselemination Minsta-kvadratmetoden Egenvärde och Egenvektor Diagonalisering av en matris Matrispotenser Gram-Schmidt ortogonalisering och ON-baser Checklista/Begreppsamling... 29

3 Räkneregler för Vektorer Vektorer delar addition och subtraktion med skalärer. Men i dom andra två räknesätten, multiplikation och division, finns det väldigt stora skillnader. Det finns 4 olika sorters multiplikation och ingen division. De olika metoderna beror på vad som gångras och de ger olika resultat av multiplikationen. Metoderna är:. Vanlig multiplikation: Skalär Vektor = Vektor t v = v 2. Skalärprodukt: Vektor Vektor = Skalär v v = t 3. Kryssprodukt: Vektor Vektor = Vektor v v = v 4. Matrismultiplikation: Matris/Vektor Matris/Vektor = Matris/Vektor A/v A/v = A/ v Multiplikation mellan skalär och vektor (vanlig) Den vanligaste multiplikationen som förekommer är den mellan skalärer och vektorer. v Om v = [ v 2 ] och t är en skalär så kommer produkten av dessa vara: v 3 v tv t v = t [ v 2 ] = [ tv 2 ] v 3 tv 3 Skalärprodukt Skalärprodukten beräknar vinkelförhållandet mellan två vektorer och betecknas på följande sätt där det läses u skalärt v. Resultatet av skalärprodukten är en skalär. Vi har vektorerna: u = [ u u 2 ] och v = [ v v 2 ] och deras skalärprodukt ges av: u v = [ u u 2 ] [ v v 2 ] = (u v ) + (u 2 v 2 ) Då detta har med vinklarna att göra finns det ett par saker att tänka på när man får resultatet:. Om u v = 0 är vektorerna vinkelräta mot varann, dvs ortogonala varann 2. Om u v < 0 bildar vektorerna en trubbig vinkel 3. Om u v > 0 bildar vektorerna en spetsig vinkel

4 Kryssprodukt Denna form av multiplikation beräknar den vektorn som är vinkelrät mot de två vektorer som multipliceras med varann. Säg att vi har två vektorer, u och v så kommer kryssprodukten(som betecknas med ett X, som i kryss, inte ex) av dessa kunna beräknas enligt: Det finns även ett specialfall: u u v = [ u 2 ] [ u 3 Om u och v är parallella kommer u v = 0 Viktigt! v v 2 Kryssprodukten går endast att göra i tre dimensioner, dvs då u u 2 Normen u 2 v 3 ] = [ u 3 v v 3 u v 2 v v 2 u v = [ ] [ ] u 3 v 3 v 2 u 3 v 3 u v u 2 ] Normen av en vektor v betecknas v och motsvarar vektorns längd. Om v = [ ] så ges dess längd v 3 v enligt: v = v 2 + v v 3 2 v v 2

5 Parameterform Linjens ekvaktion har hittils skrivits som y = kx + m, likt normalformen ax + by + c = 0 som används mycket i denna kurs. Här definieras en linje av sin normalvektor som i detta fall ges på sättet n = [ a ]. Detta innebär att b ifall man har normalvektorn till en linje har man även linjens ekvation, och vice versa. Normalformen för en linje är inte alltid önskvärd då den kräver att vi befinner oss i R 2, det tvådimensionella xyplanet. Därför introduceras vi i denna kurs parameter ekvationer som beskrivs genom en punkt och med vektorer. Linjens parameterekvation Parameterekvationen för en linje i R 3 skrivs med en punkt och en riktningsvektor. Säg att vi har punkten P = P P 2 v v 2 [ ] och vektorn v = [ ] och använder en parameter t kan vi skapa en linje genom parameterekvationen: P 3 v 3 v P x [ y] = t [ v 2 ] + [ P 2 ] z v 3 P 3 Anledning till varför parameterekvationen är att föredra när vi arbetar i en dimension högre än 2 är för att vi inte kan beskriva en linje i dess normalform. Planets parameterekvation Ett plans normalekvation skrivs ax + by + cz + d = 0, som enbart gäller i tre dimensioner. Vi har återigen ett a material som beskrivs av sin normalvektor n = [ b]. För beskrivning av plan i dimensioner över 3 används c parameterformen som nu har två riktningsvektorer u och v med punkten P enligt: u v P x [ y] = s [ u 2 ] + t [ v 2 ] + [ P 2 ] z u 3 v 3 P 3 Från normal- till parameterform Om vi har linjen ax + by + c = 0 och vi vill skriva om denna till parameterform börjar vi med att beskriva uttrycket som en variabel, dvs flytta över alla termer utom en utav dom till högra sidan och kallar därefter en utav termerna för t: { x = b a t c a y = t [ x b y ] = t [ a ] + [ a 0 ] Samma sak gäller för plan också, ax + by + cz + d = 0 förutom att vi får en till variabel, tex s. Vi ställer upp x = t x 0 0 dom på samma sett:{ y = s [ y] = t [ 0 ] + s [ ] + [ 0 ] z = a t b s d z a b d c c c c c c c

6 Skärningspunkter Två linjer Två icke-parallella linjer som är definierade i R 2 har alltid en skärningspunkt någonstans. För att hitta den punkten ställs ett ekvationssystem upp med varje linjes normalekvation där variablernas värden beräknas. Note: För beräkning av skärningen mellan två linjer definierade i en valfri dimension R n krävs kunskaper från Gauss- Jordan elimination och Matriser, och jag kommer gå igenom hur man gör det i dom kapitlena. Skärning av ett plan och en linje Säg att vi har en linje och ett plan, definierat i R 3, då kommer linjen inte kunna vara definierad i normalform utan måste skrivas på parameterform: L v L = tv + P [ L 2 ] = t [ v 2 ] + [ L 3 v 3 Där L är alla punkter som linjen skär planet. Möjligheten till skärningspunkter som kan uppstå delas in i 3 olika fall: P P 2 ] P 3. Linjen är inte parallell med planet: en skärningspunkt 2. Linjen är parallell med planet: ingen skärningspunkt 3. Linjen är parallell med planet och ligger i planet: oändligt med skärningspunkter För att beräkna eventuella skärningspunkter sker en insättning av linjens ekvation för varje variabel i planets ekvation enligt: v P x [ y] = t [ v 2 ] + [ P 2 ] { z v 3 P 3 x = tv y = tv 2 z = tv 3 + P + P 2 + P 3 ax + by + cz + d = 0 a( tv + P ) + b( tv 2 + P 2 ) + c( tv 3 + P 3 ) + d = 0 Ur denna ekvation kommer samtliga variabler att vara givna förutom parametervariabeln t som är den som, tillsammans med linjens parameterekvation, ge vilken punkt linjen skär i planet. Exempel: x 4 [ y] = t [ 2] + [ 2 z x = t + 4 ] { y = 2t 2 z = t och planet 2x 3y + z + 5 =0 2x 3y + z + 5 = 0 2( t + 4) 3( 2t 2) + ( t ) + 5 = 0 t = 6 x 4 x 0 [ y] = 6 [ 2] + [ 2] [ y] = [ 0] z z 5 Detta ger oss att linjen skär planet i punkten (x, y, z) = (0, 0, 5) Skärning av två plan Då vi har två plan i R 3 som är icke-parallella kommer deras skärning att vara en linje som kommer vara beskriven på parameterform. För att ta fram denna linje är det viktigt att förstå att linjens riktningsvektor alltid kommer vara ortogonal mot planens normalvektor. Tack vare detta kan vi beräkna linjens riktningsvektor genom att använda kryssprodukten!

7 Skärningen mellan plan A och B är en linje Säg att vi har planen a x + b y + c z + d = 0 och a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0. Då kommer a b normalvektorerna för respektive plan vara n = [ ] och n 2 = [ ]. Genom att applicera kryssprodukten c c 2 kommer vi kunna få en vektor som är otrogonal mot de vektorer som kryssas som i detta fall måste vara linjens riktningsvektor. Vi kallar denna v enligt: a a 2 = [ b b 2 n 2 a 2 b 2 ] [ ] = v c c 2 När detta är gjort behöver vi bara en punkt på linjen, vilken som helst, för att kunna beskriva hela skärningen tv + P. Om en redan inte är given kan detta enklast göras genom en substitution i ekvationssystemet som uppstår av planens normalekvation: { a x + b y + c z + d = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 {x = b y c z d a a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 { x = b y c z d a a 2 ( b y c z d ) + b a 2 y + c 2 z + d 2 = 0 Där vilket (x, y, z) som satisfierar båda ekvationerna är en punkt P i linjen tv + P

8 Projektion Tänk att vi har två vektorer, u, v och att vi vill projicera u på v där projektionen proj v (u ) kan ses som skuggan av vektorn u på v. Detta kan illustreras enligt figuren: Formeln för projektion har följande utseende: Projektionen blir den nya vektorn som är parallell med v u v proj v (u ) = ( v 2) v Där ( u v v 2) kommer att bli en skalär efter beräkning. Notera att det vi väljer att projicera(här v ) är viktigare än den vektor som faktiskt projiceras(här u ). Detta är logiskt med tanke på att projektionen på v kommer att ha samma riktning som v vilket stämmer överrens med illustrationen ovan. VIKTIGT! Det är skalärprodukt mellan v och u enligt u v = (u v ) + (u 2 v 2 ) Exempel: 7 3 Vektorerna u = [ 4 ] och v = [ 2 ] är givna, beräkna projektionen av v på u : proj u (v ) = ( v u u 2) u = ( 3 7 [ 2 ] [ 4 ] 2 7 [ 4 ] 7 Projektionen proj u (v ) = ( 7 ) [ 4 ] [ 4 ] = ( 7 ) [ 4 ] 33 )

9 Matriser Matriser är datahållare. De innehåller information som vi kommer att kunna manipulera på olika sett. Alla matriser innehåller ett visst antal rader och kolonner. De används för att beskriva storleken på en matris och för att ange positionen till ett element inom matrisen. När man anger storleken på en matris skriver man alltid ANTALET RADER x ANTALET KOLONNER. Detta innebär att matrisen [ 2 3 ] är ett exempel på en 2x3 matris. Om antalet rader motsvarar antalet kolloner så har man en kvadratisk matris: [ 4 ] är ett exempel på en kvadratisk 2x2 matris Matriser och transponering Transponering innebär att raderna och kollonerna i en matris byter plats. Transponatet till matrisen A 5 betecknas A T 3 7. Om A = [ ] så kommer dess transponat att vara AT = [ 3 2] Om A = A T kallas 7 9 Addition och subtraktion av matriser Att addera och subtrahera mellan matriser fungerar på ett väldigt självklart sätt. Den enda förutsättningen är att båda matriserna är av samma storlek i både antal rader och kolonner. b Om A = [ a ] och B = [ a 2 b 2 ] så kommer additionen och subtraktionen se ut såhär: c d d 2 c 2 b A + B = [ a ] + [ a 2 b 2 ] = [ a + a 2 b + b 2 ] c d c 2 d 2 c + c 2 d + d 2 b A B = [ a ] [ a 2 b 2 ] = [ a a 2 b b 2 ] c d c 2 d 2 c c 2 d d 2 Skalär multiplikation För att multiplicera en skalär t med en matris A = [ a c position i matrisen enligt: Viktigt! b ] så kommer resultatet bli att t multipliceras in i varje d t A = t [ a b tb ] = [ta c d tc td ] Denna typ av multiplikation får inte misstas för skalärprodukten tidigare i texten, som är definierad enbart för vektorer.

10 Matrismultiplikation Denna typ av multiplikation skiljer sig från hur aritmatiken fungerat tidigare i all annan matematik. Det kan betraktas så att varje rad i den första matrisen tas skalärt(se skalärprodukt!) med varje kolonn i den andra matrisen, vart resultatet hamnar motsvarar vilken rad och kollon som skalärprodukten utförs med. x x 2 [ x 3 x 4 ] [ y x y y + x 2 y 2 x y 3 + x 2 y 4 2 y x 5 x 3 y ] = [ x 3 y + x 4 y 2 x 3 y 3 + x 4 y 4 ] 4 6 x 5 y + x 6 y 2 x 5 y 3 + x 6 y 4 Om vi har två matriser A och B, så är multiplikationen A B INTE densamma som B A, vilket tidigare aritmatik i matten sagt är samma sak. Därför är de viktigt att hålla reda på vilken matris som är vilken när man sysslar med matrismultiplikation. För att multiplikationen av två matriser ska vara definierad måste den första matrisen ha lika många kolonner som den andra matrisen har rader. Detta illusteras i bilden nedan. Siffrorna i rött måste vara identiska för en definierad multiplikation, de blå kommer att bli den nya matrisens dimensioner.

11 Gauss-Jordan elimination i matriser/ekvationssystem Ekvationssystem Ett område då matriser kommer till väldigt stor användning är när man ska lösa ekvationssystem. Säg att vi har följande ekvationssystem: 2x + 3y = 5 { 4x + 2y = 9 Då kommer vi kunna skriva om det till matrisform såhär: 2x + 3y = 5 { 4x + 2y = 9 [ Där varje ekvation blir sin egen rad, och är-lika-med tecknet skrivs ut som ett rakt sträck, som separerar vänster- och högerleden i ekvationerna. Trappstegsmatris Innan jag går igenom hur Gausselemination fungerar måste man förstå vad en trappstegsmatris är. En trappstegsmatris är en matris där:. Alla rader som enbart består av nollor ligger under raderna som inte bara består av nollor 2. Pivotelementet på varje rad befinner sig till höger om pivotelementet på raden ovanför. En rads pivotelement är det första av dess tal som är skilt från noll. I en trappstegsmatris vill man helst att detta ska vara, eftersom de gör matrisen enklare att räkna med. Detta kallas för en ledande etta. Exempel på en matris i trappstegsform(ref ).: 4 A = [ 0 3 ] 0 0 Gauss metod Gausselimination är en effektiv metod för att lösa linjära ekvationssystem. Metoden är upplagd på ett sätt som gör att man i varje steg eliminerar det oviktiga i ekvationssystemet, utan att förstöra det man redan ordnat! För att utföra en Gausselimination skriver man först upp det linjära ekvationssystemet som en matris. Målet är att sedan förvandla vänsterledet i matrisen till en trappstegsmatris. Detta kan man göra genom att utföra ett eller flera av följande steg:. Byta plats på 2 rader 2. Multiplicera en rad med ett tal(dock ej noll!) 3. Addera multipeln av en rad till en annan rad Detta är nog den metod som jag använt mest i hela kursen, den tycks va i varenda jävla tal, oavsett vad det är dom ber om så verkar jag använda denna metoden hela tiden. Man tex ut rank, nollrum, basvektorer, dimension, bild, kollonrum och en hel del andra grejer! 5 9 ] Reduced Echelon Form

12 Exempel för att förstå hur det funkar: 3x 8y + z = 22 { 2x 3y + 4z = 20 x 2y + z = 8 Låt oss säga att vi har de här ekvationssystemet. Vi skriver först ut alla koefficienterna till de olika variablerna i en matris. Därefter skriver jag ut alla delsteg, varefter jag gör dom: R R 3} [ ] { [ ] {R 2 2R } [ 0 2 4] R 3 3R } [ 0 2 4] {R 3 + 2R {R 3 ( } [ 0 2 4] 2 ) Nu är matrisen på trappstegsform. De räcker dock inte bara att få fram en trappstegsmatris för att få fram lösningen till ekvationssystemet. För de måste man använda sig av Gauss-Jordan metoden! Gauss-Jordans metod När man reducerat sin matris till en trappstegsmatris kan man antingen skriva om ekvationen som ett linjärt ekvationssystem och lösa de på de klassiska sättet, eller så kan man ta matrisreduktionen ett steg längre. Denna metod är, enligt mig, att föredra för den underlättar allt! När man använder Gauss-Jordan elimination fortsätter man med sin trappstegsmatris och gör så att alla nummer ovanför de ledande ettorna också blir noll! Detta gör man på samma sätt som i Gauss metod, men även på raderna man redan använt i tidigare steg ovan. 2 8 R + 2R 2} R 5R [ 0 2 4] { [ 0 2 4] { R 2 2R 3 } [ 0 0 2] Om matrisen i reducerad trappstegsform(rref 2 ) inte är en identitetsmatris betyder de att ekvationssystemet har mer än en lösning! 2 Reduced Row Echelon Form

13 Invers- och Identitetsmatrisen För att gå igenom inversmatriser måste man förstå vad en identitetsmatris är. En identitetsmatris(även kallad enhetsmatris) är en kvadratisk matris med ettor längs huvuddiagonalen och nollor i alla andra positioner. 0 0 I = [ 0 0] 0 0 Dessa har, enligt boken, beteckningen I. Det speciella med en identitetsmatris är att om man multiplicerar en kvadratisk matris A med en identitetsmatris I av samma ordning, så blir resultatet samma matris A. Vi har alltså A I = A, att multiplicera en matris med dess identitetsmatris är samma sak som att multiplicera med. Inversmatrisen En inversmatris fungerar på samma sätt för en matris som en invers fungerar för ett tal, och betecknas som matrisen upphöjt till minus ett, A Om matrisen, dess invers och identitetsmatrisen har samma rank gäller: Man säger att matrisen A då är inverterbar. A A = A A = I För att en matris A ska vara inverterbar måste den vara kvadratisk och dess determinant måste vara skilt från noll. Innan man börjar räkna bör man därför först kolla om determinanten för matrisen är noll: det(a) = A 0 För att beräkna inversmatriser använder man sig generellt sätt utav Gauss-Jordan elimination, där man lägger till ett högerled till matrisen som är dess identitetsmatris. Man reducerar därefter som vanligt och försöker få över högerledet till vänsterledet A = [ 0 2 0] ; Bestäm A R 0 0 R 2, R ( 2 ) 0 0 /2 /2 0 [ ] R 2 ( 2 ) [ /2 0] { } För 2x2 matriser finns det dock en formel man kan använda sig utav: A = [ a b c d ] A = det(a) [ d c b ] ; det(a) 0 dvs ad bc 0 a Jag föredrar dock att alltid använda mig utav Gauss-Jordan metoden, för jag känner mig säker på den. De är bra o veta att det finns fler alternativ dock.

14 Linjära Transformationer I gymnasiematten lärde vi oss att hantera funktioner y = f(x) där x tillhör käll-mängden(domain på engelska, kan liknas vid definitonsmängd) medan y tillhör målmängden(co-domain på engelska, kan liknas vid värdemängd). Detta ger oss ett annat, mera abstrakt vis att beskriva vad en funktion faktiskt är: En funktion f är något som tar värden x från en mängd och skapar dess representation y i målmängden. Funktioner har dock en nackdel; de hanterar enbart skalärer. Transformationer T(x ) är motsvarigheten till funktioner f(x) i vektoralgebran då de enbart hanterar vektorer. Transformationer finns, likt funktioner, i väldigt många olika slag. Men I denna kurs kommer vi bara hantera linjära transformationer. Ekvationen för den linjära transformationen är Ax = b där x tillhör vår domain ochb tillhör vår co-domain. A är transformatonsmatrisen som är den enda i linjära transformationer som påverkar ut-resultatet b. Vi kan därför påstå att b är den transformationen av vektorn x. Transformationen T beskrivs dessutom med dimensionen av domänen och dimensionen av mål-domänen. Om en transformation går från R 3 till R 2 skrivs enligt: T R 3 R 2. Transformationsmatrisen A kommer vidare definieras av transformationen av varje enskild basvektor. Om transformationens mål-domän är R 3 kommer A vara beskriven enligt: A = [T(e ) T(e ) 2 T(e )] 3 Där T(e ), T(e ), 2 T(e ) 3 representerar respektive kollon i matrisen A. Basvektorerna i R 3 motsvarar: 0 0 e = [ 0 ] e 2 = [ ] e 2 = [ 0] 0 0 Dimensionen av domänen måste motsvara antalet transformationer av basvektorer. Detta ger att om domänen e beskriven i R 3 kommer en till basvektor e 4 ge upphov till yttligare en kolumn T(e ). 4 Detta används vid ekvationer som kräver uppställning av ett linjäritets-ekvationssystem. Generellt så kommer det kunna uppstå 3 olika typer av uppgifter, beroende på vad som är givet i transformationens ekvation. Viktigt Ax = b. A och x givna, b tillfrågas. Löses genom matrismultiplikation. 2. A och b givna, x tillfrågas. Löses genom Gauss elemination. 3. x och b givna, A tillfrågas. Löses genom linjäritets-ekvationssystem. Lösningarna för dessa olika fall kan enklast förklaras genom exempeluppgifterna nedan. Det är matrismultiplikation mellan A och x i Ax = b. Läs delen om Matriser ifall du glömt vad de innebär.

15 Uppgiftstyp Given transformationsmatris A och in-vektor x. Tillfrågad vektor: b Transformationen T(x ) ges av transformationsmatrisen A = [ ]. Beräkna transformationen av v = 3 5 [ 4 ] 6 Lösning: Vi har både transformationsmatrisen och vår in-vektor, vi använder därför matrismultiplikation för att beräkna transformationen av vår vektor enligt: Vi har alltså att T(v ) = b = [ 26 7 ] T(v ) = A(v ) = [ 3 5 ] [ ] = [ ] = [ 26 7 ] 6 Uppgiftstyp 2 Given transformationsmatris A och ut-vektor b. Tillfrågad vektor: x Transformationen T(x ); T: R 2 R 2 ges av transformationsmatrisen A = [ ] Beräkna den vektor v som efter transformationen blir b = [ 4 6 ] Lösning: Vi har att T(v ) = A(v ) = b där v är den okända. Vi använder oss av Gausselemination för att lösa problemet enligt: A(v ) = b [ ] v = [ 4 6 ] [ ] { } [ 2 4 R 2 + 4R ] {R ( 5)R 2 R 2 ( 0) } [ ] {v = 2 v 2 = v = [ 2 ]

16 Uppgiftstyp 3 Given in-vektor x och ut-vektor b. Tillfrågad transformationsmatrisen A. Transformationsmatrisen A ges av transformationerna: 0 3 T ( ) = [ 4] T(e ) 2 + T(e ) 3 = 3e 4e 2 + 3e 3 6 T ( 0) = [ ] T(e ) + T(e ) 3 = 6e + e 2 + 4e T ( 2) = [ ] T(e ) + 2T(e ) = 4e + e 2 + e 3 0 Vi lägger in detta i ekvationssystemet, gör om det till en matris och Gauss-eliminerar: T(e ) 2 + T(e ) 3 = 3e 4e 2 + 3e { T(e ) + T(e ) 3 = 6e + e 2 + 4e 3 [ 0 6 4] T(e ) + 2T(e ) 2 = 4e + e 2 + e R R [ 0 6 4] { } [ ] {R 2 ( )} R 3 R R 3 + 2R R R [ ] { R 2 + R 3 } [ ] T(e ) = 2e e 2 + e { T(e ) 2 = e + 6e 2 T(e ) = [ ] ; T(e ) 2 = [ 6] ; T(e ) 3 = [ 2] T(e ) 3 = 4e + 2e 2 + 3e Detta ger transformationsmatrisen: 2 A = [ T(e ) T(e ) 2 T(e ) 3 ] = [ ] 3

17 Delrum, Bild och Kärna I tidigare kurser fick vi bland annat lära oss två begrepp: Definitionsmängd och Värdemängd. Definitionsmängden beskriver för vilka x som värdet på funktionen f(x) är definierat och kan därför beskrivas t.ex. med a x b. Värdemängden motsvarar då det intervall som ett värde y = f(x) finns för funktionen, dvs alla värden som funktionen kan anta, som kan beskrivas med c y d. Syftet med inledningen är att förstå att båda dessa mängder, definitonsmängd och värdemängd, har varit tallinjer hittils. I denna kurs kan mängderna vara allt från en punkt till en kub. (Teoretiskt kan mängderna vara en högre dimension än en kub, men det är svårt att visualisera) Delrum Synonymer: Underrum, Subspace Ett delrum kan liknas till en delmängd, förutom att delrum dessutom har tre kriterier till som måste uppfyllas:. Skalärmultiplikation sluten: Om vektorn a är inom W så att a W, då måste ta { < t < också finnas inom W så att ta W 2. Vektoraddition sluten: Om vektorerna a och b är inom W så att a, b W så måste a + b också vara en vektor inom W så att a + b W 3. Nollvektorn innehållen: Nollvektorn, eller origo, måste vara inom W, så att 0 W Om alla kriterierna stämmer samtidigt så är delmängden av W också ett delrum. Delrum kan därför visualiseras med hjälp av geometri(punkt, linje,plan,kub ) som spannets dimension bestämmer, där varje vektor går oändligt i sin riktning. Av denna anledning är alla linjära funktioner som skär origo delrum då deras linjer inte är ändliga samtidigt som de satisfierar den slutna vektoradditionen.bild Synonymer: Bildrum, Kolonnrum, Image, Columnspace Kan liknas till värdemängd fast för transformationer Tänk att vi har en linjär transformation T(x ) = Ax = b. Då kan vi se att det enda som egentligen kan påverka transformationen är transformationsmatrisen A. Det är därför rimligt att påstå att A är det enda som kan påverka den bild(tänk värdemängd) som kommer uppstå av transformationen T(x ) Sambandet mellan transformationsmatrisen A och bilden är att kolumnvektorerna i A är det som utgör spannet för bilden. Tänk sambandet såhär: En vektor x påverkas genom en transformation T så att den transformeras till en ny vektor b. Den nya vektorn b måste därför vara innehållen i bildens spann då b kan ses som en av bildens vektorer(eller ett värde i värdemängden). Detta kan illustreras som bilden på nästa sida:

18 För varje värde på x i vår domän kommer det finnas ett värde b som ligger i bilden(som är ett delrum till måldomänen) som x kan transformeras till genom transformationen T. Detta betyder alltså att det inte är möjligt att ta ett värde i domänen och transformera det och få ett värde utanför bilden. Transformationsmatrisen A kommer inte göra det möjligt. Om vi då har transformationen T(x ) = Ax i en transformationsmatris A = [ u v w ] så kommer bilden Im(T) att definieras av spannet vektorernaspan{u, v, w } så att Im(T) = span{u, v, w }. Detta kan tolkas som att kolumnvektorerna u, v, w spänner upp bilden. Dvs, om alla tre är linjärt oberoende kommer spannet motsvara R 3 (eller en oändligt stor kub). Om två vektorer är linjärt oberoende kommer det mot svara R 2 (Ett oädligt stort papper). Bilden kan därför tolkas som alla möjliga vektorer som transformationen kan ge upphov till. Kärna Synonymer: Kernel, Nollrum, Nullspace Tänk att vi har en linjärtramsformation T(x ) = Ax = b där vi kräver att den vektor b som x ska transformeras till måste vara nollvektorn, dvs Ax = b = 0. Alla domän-vektorer x kommer tillsammans bilda en delmängd(och även ett underrum) av den totala domänen och kommer kunna definieras av spannet som uppstår av de vektorer som fås genom att beräkna RREF av transformationsmatrisen. Detta spann kallas kärnan och beskrivs enligt ker(t) = span{u, v, } där u, v fås genom RREF(A). Till skillnad från bilden (som är ett delrum av mål-domänen) är kärnan ett delrum av domänen där alla vektorer innanför detta delrum kommer att transformeras till nollvektorn. Detta kan illustreras på följande vis:

19 Baser och basbyten Baser Standardbasen En bas ges av ett antal oberoende vektorer tillsammans. Dessa vektorer är därmed basvektorer där varje enskild vektor utgör en koordinataxel i koordinatsystemet. Den vanligaste basen är det kartesiska koordinatsystemets bas som i R 3 ges av basvektorerna: 0 0 e = [ 0 ] e 2 = [ ] e 2 = [ 0] 0 0 Där basen(i detta fall kallat standardbasen) ges av E = {e, e, 2 e }. 3 Standardbasens vektorer är dessutom ortogonala mot varann och har längden. Andra baser Om en ny bas ska definieras måste de göras med linjärt oberoende vektorer, om till exempelvis 3 vektorer är givna varav 2 är beroende måste en av dessa strykas, därmed kan en sådan bas enbart ge upphov till ett spann av dimension 2. Annars kan de skapas med vilka vektorer som helst! Koordinater för en vektor i en given bas Om B = (v, v 2, v 3, ) är en bas för vektorrummet, eller underrummet, V då gäller följande: Varje vektor w i rummet V kan skrivas på exakt ett sätt, som en linjär kombination av v, v 2, v 3 w = x v + x 2 v 2 + x 3 v 3 Vi kan också säga att hela vektorrummet V spänns upp av basvektorerna, som vi skriver: v = span{v, v 2, v 3, } x Tal x, x 2, x 3 kallas för w:s koordinater i basen B och [ x 2 x [ x 2 ] Exempel: ] kallas koordinatvektor i basen B. Vi skriver [w] B = Låt V vara rummet R 3 med standardbasen U = (i, j, k, ). Bestäm koordinater för vektorn w där w = 2i 3j + 5k : 2 [w] U = [ 3] 5

20 Basbyte Basbyte med standardbas För att skapa en basbytesmatris måste basvektorer vara givna. Säg att vi har basen B = {B, B } 2, då kommer basbytesmatrisen P att gå från B till standardbasen enligt: P B E = [ B B 2 ] För att förstå varför riktningen är specifikt B E och inte tvärt om är det viktigt att betrakta det allmänna fallet, då basbytet görs oberoende av standardbasen. Basbyte med allmän bas Varför matrisen P ovan har riktningen B E beror på att vektorerna B, B 2 är definierade i standardbasen. Detta beror på att en vektor inte kan existera utan att vara definierad utifrån ett koordinatsystem på samma sätt som att en punkt inte kan ritas in utan att veta var koordinataxlarna finns. När en vektor x skrivs utan utskriven bas antas det vara i standardbasen. Säg att x hade varit definierad i bas B, då hade det istället skrivits [x ] B. Detta gäller även basvektorer som ska användas för att definiera andra baser. Därför gäller: x = [x ] E ; B = {B, B } 2 = {[B ] v, [B ] 2 E } Med detta kan vi nu skriva om basbytet till det mera allmänna fallet då vi har basen B = {[B ]v, [B 2]v } som har sina basvektorer angivna i en annan bas v än standardbasen där basbytesmatrisen nu blir P med riktningen B v enligt: P B v = [[B ] v [B ] 2 v ] Det som definierar riktningen hos en basbytesmatris är med andra ord vilken bas kolumnvektorerna är definierade i. B, B 2 må utgöra en egen bas, men de måste vara definierade i en annan bas som i detta fall är v. Om man tänker sig att man har [w ] v och söker [w ] B när man har P B v kommer ekvationen ställas upp P B v [w ] B = [w ] v som i detta fall kommer lösas genom gauss elemination eller genom att hitta en inversmatris till P B v som har motsatt riktning.

21 Basbyten och linjära transformationer Precis på samma sätt som vektorer måste vara definerade med hänsyn till en bas måste även linjära transformationer det. Detta innebär att den linjära transformationen T(x ) som transformerar vektorn v till T(v ) bara kan verka i standardbasen då transformationen använder matrisen A enligt T(x ) = Ax. För att kunna transformera vektorer i andra baser kommer andra basbytesmatriser krävas! Transformationen beräknas precis som vanligt förutom att en annan transformationsmatris D, som gäller för basen B, används enligt: [T(v )] B = D[v ] B Genom att kombinera basbyten med linjära transformationer kan det illustreras som en karta med de olika vägarna man kan använda för att ta sig mellan transformationer med olika baser. Detta ger oss att om en given vektor x med efterfrågan av transformationsvektorn T(x ) kan beräkningen fortfarande utföras även om inte transformationsmatrisen A är given. Detta går genom: x [x ] B [T(x )] B T(x ). Detta ger dessutom att både transformationsmatrisen A och D kan skrivas som en produkt av de andra matriserna: Viktigt A = PDP D = P AP Dessa formler gås igenom lite tydligare under Diagonaliserings kapitlet Studera kartan noga och notera att läsordningen i matrisekvationerna ovan är den motsatta från den som ges från kartan nedan. Detta beror på att när ytterligare matriser multipliceras måste de läggas till längst till vänster i varje led.

22 Vad är en determinant? Alla kvadratiska matriser har en s.k. determinant: ett tal som tillordnas martrisen enligt vissa regler. Determinanten motsvarar förstoringsfaktorn av en linjär avbildning(mer om de sen), och kan användas för att få fram lösningen till linjära ekvationssystem, räkna ut en area eller en volym m.m! Detemrinanten till en matris A betecknas A eller det (A). 2x2 matriser För matriser som har storleken 2x2 är det väldigt enkelt att räkna ut determinanten: Exempel: A = [ a c Vi har matrisen A = [ 5 b ] A = ad bc d 2 ] Vad är dess determinant? 4 A = = 8 Genom att utveckla efter en rad eller en kolonn För att räkna ut determinanten till en 3x3 matris (eller större) kan man dela upp den i flera 2x2 matriser, räkna ut determinanten för varje mindre matris och sedan addera dem med varandra, där varannan term blir negativ. a b c A = [ d e f e f f e ] A = a b d + c d g h i h i g i g h För att beräkna determinanten kan vi använda en av följande metoder:. Utveckling efter rad nummer i 2. Utveckling efter kolonnummer k A = ( ) i+ a i A i + ( ) i+2 a i2 A i2 + ( ) i+3 a i3 A i3 A = ( ) +k a k A k + ( ) 2+k a 2k A 2k + ( ) 3+k a 3k A 3k Det finns ett tredje sätt att lösa dom, som jag kommer gå igenom på nästa sida. Lite egenskaper hos determinanter: Värdet av en determinant ändras inte om raderna görs till kolonner och vice versa, dvs det(a T ) = det (A) Om alla element i en rad/kolonn är 0 så är determinantens värde 0. Om en determinant har två lika rader/kolonner så är determinantens värde 0. Om en determinant har två proportionella rader/kolonner så är determinantens värde 0.

23 Tredje metoden: genom Gausselemination Ett annat, ofta enklare, sätt att beräkna determinanten till matriser som är större än 2x2 är att använda sig av Gausselimination. Här utnyttjar man det faktum att om man kan reducera matrisen till en trappstegsmatris så är determinanten lika med produkten av talen längs matrisens huvuddiagonal (från övre vänstra hörnet till det nedre högra). När man Gausseliminerar för att hitta determinanten finns det dock särskilda regler som gäller:. Du får inte längre dela en rad med konstant som vanligt (bara lägga till en multipel av en rad på en annan)! Man kan dock fortfarande göra detta genom att bryta ut en siffra ur raden, kanske för att underlätta radoperationerna, vilket då placeras framför matrisen som en konstant som man sedan måste multiplicera in när man löser ut determinanten. 2. Varje gång du byter plats på 2 närliggande rader så byter determinanten tecken (här gäller det alltså att ha koll på hur många såna byten man har gjort). 3. Målet är inte att göra om huvuddiagonalens tal till ettor (vilket man annars brukar göra när man Gausseliminerar), utan det viktiga här är bara att det finns nollor under huvuddiagonalen! Exempel: A = [ 0 3 7] } [ 0 3 7] { R 3 R 2 } ( )( ) [ 0 0] 2 4 {R 3 2R 0 0 R 3 ( ) } () [ 0 0] det(a) = ()()()(7) = 77 {R 3 3R R ( 3) A = [ ] { } (3) [ ] { R 2 R } (3) [ ] R 3 2R R 4 2R { R 2 R } (3) [ ] det(a) = (3)()()(4)(3) = 36 R 3 R R 4 R

24 Minsta-kvadratmetoden Minsta-kvadratmetoden används för ekvationssystem som är inkonsistenta(inte har någon lösning), som t.ex. när du inte kan radreducera en matris så att den går ut. x + y = Ta ekvationsystemet { x + 2y = 4 som består av tre linjer som inte har någon gemensam punkt: x y = 0 Det finns alltså ingen exakt lösning här. Men däremot kan vi beräkna den närmaste lösningen, d.v.s. punkten som är närmast de tre linjernas skärningspunkter genom minsta-kvadrat metoden! A T Ax = A T b Vi börjar med att skriva upp ekvationssystemet i matrisform: [ 2 ] ( x y ) = [ 4] 0 Vi kallar matrisen till vänster för A och vektorn till höger för b. Därefter beräknar vi produkten av matrisen A och dess transponat: A T A = [ 2 ] [ ] = [ ] = [ + 2 ( ) ] Därefter beräknar vi produkten av A s transponat och b. A T b = [ 2 ] [ ] = [ ] = [ 3 9 ] 0 Nu beräknar vi ekvationssystemet A T Ax = A T b, vilket i matrisform motsvarar: 3 2 [ 2 6 ] (x y ) = [ 3 9 ] Därefter löser vi det genom att sätta upp en matris med vänster- och högerled utefter ovan: [ ]... [ /2 ] Nu är de klart! Den närmaste lösningen till ekvationssystemet är alltså(x, y) = (0, ( 3 2 ))

25 Egenvärde och Egenvektor I linjära avbildningar finns det ibland vektorer som varken ändrar riktning eller vinkel utan bara blir längre eller kortare. Låt oss tänka att T är en linjär avbildning med kvadratiska matrisen A. Om en vektor uppfyller Av = λv där λ är en konstant, betyder det att λ är ett egenvärde till matrisen, och att v är en egenvektor till matrisen som hör till egenvärdet. Notera att egenvektorn måste vara nollskild. Nollvektorn godkänns alltså INTE som egenvektor till NÅGON avbildning. Däremot kan 0 vara ett egenvärde till matrisen. Med andra ord betyder det alltså att matrisen A bara dragit ut vektorn v med faktorn λ. De enda vektorerna som inte ändrar riktning är de som är helt horisontella(t.ex. gubbens armar) och de som är helt vertikala(t.ex. gubbens kropp) För att hitta alla egenvärden till en avbildningsmatris A löser man den karaktäristiska ekvationen: det(a λi) = 0 De värden som uppfyller ekvationen är då egenvärdena. Nedan är ett exempel: Hitta alla egenvärden till matrisen A = [ 2 0 2] Vi applicerar formeln ovan. Det första vi vill veta är alltså vad A λi blir: λ 0 0 λ A λi = [ 2 0 2] [ 0 λ 0] = [ 2 λ 2 ] 0 0 λ λ Vi ska nu räkna ut determinanten till den här matrisen. I det här fallet blir det svårt att använda Gausseliminering pga λ variabeln, vi använder därför oss av utveckling efter kollon/rad. det(a λi) = ( λ) λ 2 2 λ 2 2 λ λ = = ( λ) (( λ)( λ) (( 2)( ))) (2( λ) ( 2) (2( ) ( λ))) = = ( λ)(λ + λ 2 2) ( 2λ) ( 2 + λ) = λ + λ 2 2 λ 2 λ 3 + 2λ + 2λ + 2 λ = = λ 3 + 4λ = λ( λ 2 + 4) det(a λi) = λ( λ 2 + 4) Egenvärdena på matrisen är då det(a λi) = 0 λ( λ 2 + 4) = 0 λ = 0, λ 2 = 2, λ 3 = 2 Svar: Matrisens egenvärden är alltså λ = {0, 2, 2}

26 För att hitta alla egenvektorer till en matris A måste man först hitta alla dess egenvärden och sedan lösa följande karaktäristiska ekvation genom att ersätta λ med de olika egenvärdena: (A λi)v = 0 De värdena på v som uppfyller ekvationen är då egenvektorerna! Fortsättning på förra exemplet: Hitta även alla matrisens egenvektorer. Vi börjar med att stoppa in alla de egenvärdena vi hittade i ekvationen λ A λi = [ 2 λ 2 ] λ λ = 0 A 0I = [ 2 0 2] I de här fallet blir matrisen oförändrad. För att hitta vilken vektor matrisen ska multipliceras med för att ge en nollvektor använder vi oss av Gausseliminering. Jag tänker, för att spara utrymme, skippa alla steg och bara skriva svaret av RREF: 0 x z = 0 = z x rref ([ 2 0 2] ) = [ 0 0 ] { {x y = 0 y = 0 [ y] = t [ 0] z Därefter gör vi samma sak med dom andra två egenvärdena. λ = 2 A 2I = [ 2 2 2] 3 0 x y = 0 x = y x rref ([ 2 2 2]) = [ 0 0 ] { { z = 0 y = 0 [ y] = t [ ] z 0 3 λ = 2 A 2I = [ 2 2 2] x x = 0 = 0 0 rref ([ 2 2 2]) = [ 0 ] { {x y z = 0 y = z [ y] = t [ ] z 0 Till sist har vi äntligen fått fram våra egenvektorer: t [ 0], t [ ], t [ ] 0

27 Diagonalisering av en matris Låt A vara en kvadratisk matris av typen n x n. Matrisen A är diagonaliserbar om det finns en inverterbar matris P och en diagonalmatris D så att : D = P AP ( ) Ofta vill man använda sambandet A = PDP som fås ur (*) genom att lösa ut A. Med diagonalisera en matris (om möjligt) menar examinatorerna att skriva, om möjligt, matrisen A på formen A = PDP, Där P är en avbildningsmatris, P dess invers och D är en diagonalmatris(en matris som bara har nollor utanför huvuddiagonalen) För att hitta P och D använder man matrisen A:s egenvärden och egenvektorer. D är en diagonalmatris med A:s egenvärden längs huvuddiagonalen. λ 0 0 D = [ 0 λ 2 0 ] 0 0 λ 3 P är en matris med A:s egenvektorer längs dess kolonner P = [ v v 2 v 3 ] P är P:s inversmatris och kan räknas ut med valfri metod Tänker fortsätta på föregående kapitels exempel för att illustrera hur de går till: Diagonalisera matrisen A = [ 2 0 2] Vi vill skriva A under formen PDP. I förra kapitlet beräknade vi matrisens egenvärden, {0, 2, 2}, och 0 egenvektorer, t [ 0], t [ ], t [ ] 0 Vi räknar nu ut D genom att sätta in egenvärdena längs diagonalen, P genom att sätta in egenvektorer längs kolumnerna och slutligen P genom Gausselimination D = [ ] ; P = [ 0 ] ; P = 2 [ ] Nu har vi våra tre matriser och kan därför diagonalisera A enligt formeln ovan: A = [ 0 ] [ ] [ ] Glöm inte att man måste gå från vänster när man löser dessa, dvs första matrisen gånger den andra, och resultatet av den gånger den tredje!

28 Matrispotenser Vad använder man då diagonalisering till? Jo, om man har en matris A som man diagonaliserar kan man enkelt räkna ut dess potenser(a 2, A 3, A 4 ) genom formeln: A n = PD n P Uträkningen av D:s potenser är väldigt enkelt eftersom det är en diagonalmatris! Det räcker därför att räkna ut potensen av talen längs dess huvuddiagonal(och slippa jobbiga matrismultiplikationer!) Återigen fortsätter jag på föregående exemplet: Använda A:s dagonalisering för att räkna ut A 2. Vi använder matrisen som vi fick fram i förra exemplet och sätter potensen på diagonalmatrisen: A 2 = [ 0 ] [ ] [ ] = = A 2 = [ 0 ] [ 0 4 0] [ ] Nu återstår bara att multiplicera matriserna för att få fram A 2! A 2 = [ 0 ] [ 0 4 0] [ ] = [ ] [ ] = [ 0 4 4] [ ] = = ( ) 0 ( ) ( ) [ ( ) 0 ( ) ( ) + 4 ] = ( ) 0 ( ) ( ) + 4 = [ ] = [ ] A 2 = [ ] Detta innebär också att man kan räkna ut rötter på en matris, då A = A 2

29 Gram-Schmidt ortogonalisering och ON-baser Gram-Schmidt otrogonalisering är metoden för att transformera en godtycklig bas till en ON-bas(Ortogonal & Normaliserad bas) som har samma spann som den föregående basen. Denna metod använder sig av ortogonal projektion och är därför ett förkunskapskrav för att förstå de nedanför. Ifall du glömt, kolla igenom kapitlena om projektion ovan. Gram-Schmidt ortogonalisering Antag att vi har en godtycklig bas B = {v, v, 2 v } 3 som vi vill ortogonal- och normalisera genom Gram-Schmidt metoden till basen γ = {u, u, 2 u }. 3 Ortogonala basen: u = v u u 2 = v 2 proj u (v ) 2 = v 2 v 2 u 2 u u 3 = v 3 proj u2 (v ) 3 proj u (v ) 3 = v 3 v 3 u 2 u 2 u 2 v 3 u 2 u 2 u Detta har givit oss en ortogonal bas, men vi kan också bes om dess ortonormerade bas som ges utav att vi delar varje basvektor med dess norm(längd). f = u u, f 2 = u 2 u, 2 f 3 = u 3 u 3

30 Checklista/Begreppsamling Vektor Synonym: Kordinatvektor En vektor beskrivs av en riktning (och en längd), inte en position som en punkt gör. An denna anledning kan vektorer förflyttas så de inte är bundna vid en position. Vektorer skrivs med gemener(små bokstäver) med en pil över enligt: v = [ a b ] Skalär Alla reella tal är skalärer, detta vill säga, skalärer är det som finns på den reella tallinjen. Skalärer skrivs med gemener, det vill säga små bokstäver a = 3: Norm Synonym: Längd av vektor, Magnitud Vektorer kan vara olika långa men forfarande ha samma riktning. Normen av en vektor är inte absolutbeloppet av en vektor. Normen ges av: v = a b = a2 + b 2 Matris En matris kan betraktas som en datahållare, något som håller information. Syftet med att ha matriser är att de är enkla att manipulera för att ge svar på olika problem. Matriser beskrivs genom antalet rader och kolonner den har och namn med versaler, det vill säga, stora bokstäver. Följande matris är en 2x3 matris: A = a b c [ d e f ] Dimension Synonym: dim() Alla vektorrum har en dimension de är bundna vid. Detta motsvarar det lägsta antalet vektorer som krävs för att beskriva rummet. En vektor kommer rummet motsvara en linje. Två motsvarar ett plan och tre ett kubiskt rum. Rang Synonym: dim(im()), dimensionen av bilden Rangen av en matris är antalet oberoende kolumnvektorer som finns i matrisen eller antalet ledande ettor efter gauss elemination. I själva verket är rangen av en matris dimensionen av bilden som den matrisen ger upphov till vid transformation.

31 Projektion, perpendikulär & reflektion Projektionen av en vektor på en annan vektor kan informellt tolkas som skuggan av den första vektorn på en andra. Om vi vill projicera u på v kommer projektionen ges av: u v proj v (u ) = ( v 2) v Den perpendikulära vektorn kommer att motsvara avståndsvektorn från skuggan, i normalens riktning, tills den når den första vektorn, i detta fall u. Detta kommer ges av: u v perp v (u ) = u proj v (u ) = u ( v 2) v Avslutningsvis kan även reflektionen av u på v beräknas. Vektor v kan i detta fall betraktas som en spegel för de resterande vektorerna. Reflektionen ges av: Linjär transformation Synonym: Linjär avbildning u v ref v (u ) = 2proj v (u ) u = 2 ( v 2) v u Transformation kan betraktas som motsvarigheten till skalärfunktioner f(x) fast för vektorer genom att utföra transformationen T(v ) av vektor v genom transformationsmatrisen A då T(v ) = Av. Resultatet kommer att ge en ny vektor b som är en transformation av v enligt T(v ) = Av = b. Detta ger att hela transformationen enbart definieras av matrisen A som då även definierar bilden och kärnan. Bild Synonym: Image, kolonnrum, Im() Bilden för given transformation kam betraktas som transformationens värdemängd där värdemängden inte är definierad i ett intervall på en tallinje utan istället kan vara i form av talplan eller talrum, av denna anledning måste bilden definieras av ett spann av vektorer. Bilden ges även av spannet hos kolumnvektorerna i transformationsmatrisen. Kärna Synonym: Kernel, Nollrum, Nullspace, Ker() Kärnan för en transformation är en mängd där alla vektorer innanför mängden kommer efter transformation alltid att transformeras till nollvektor. Säg att a tillhör kärnan, då måste T(a ) = 0 enligt definition. Kärnan ges därför genom att radreduktion samt lösning av systemet som transformationsmatrisen innehåller.

32 Underrum Synonym: Delrum För att en delmängd ska vara ett delrum måste tre kriterier uppfyllas samtidigt: Span. Nollvektorn 0 måste vara innehållen i delmängden. 2. Den resulterande vektorn från additionen av två vektorer som båda innehålls i delmängden måste fortfarande vara innehållen a Det som skiljer {u, v } med span{u, v } är att i det förstnämnda sker referensen specifikt till u och v, inga andra vektorer, medan span{u, v } refererar till u v och alla linjära kombinationer som de ger upphov till. Det kan därför vara passande (men något informellt) att span{u, v } = tu + sv där t och s är reella tal. Av denna anledning används alltid span{ } för att beskriva underrum medan { } används för att beskriva baser Bas En bas är i själva verket ett kordinatsystem där kordinataxlarna är vektorerna som utgör basen. Den vanligaste basen ges av det kartesiska koordinatsystemet som har enhetsvektorerna: 0 0 e = [ 0 ] e 2 = [ ] e 2 = [ 0] 0 0 Det går att skapa nya baser och gå mellan dessa baser genom ett basbyte. Ett kriterium för baser är att alla dess vektorer måste vara linjärt oberoende. En bas kan även vara ortogonal och ortonormal. För en ortogonal bas gäller att alla basens vektorer är vinkelräta mot varann. För en ortonormal bas gäller dessutom att de är normaliserade, det vill säga, har längden. Basbyte Att utföra ett basbyte innebär att beskriva en given vektor i en annan bas. Detta görs med basbytesmatriser där kolumnerna i matrisen är vektorerna som utgör basen. Viktigt är att notera från vilken till vilken bas basbytesmatrisen går. Basbyten är den svårare delen av kursen Linjär Algebra, för vidare förståelse se lektionen Basbyte. Determinant Beräkning av determinanten ger information kring huruvida kolumnerna i matrisen är linjärt beroende. Detta kan utnyttjas för att se om ett system har en enskild lösning eller ingen/oändligt med lösningar. Om det (A) 0 har A en enskild lösning och går därmed att invertera. Om de t(a) = 0 har A oändligt/ingen lösning och kan därför inte ha en inversmatris.

33 Area av parallelogram och triangel Arean av ett parallellogram kan beräknas på olika sätt, en för R 2 och en för R 3 : I R 2 ges arean av absolutbeloppet(en area kan inte vara negativ) av en determinant med två av paralellogrammets vektorer som utgår från samma hörn i determinatens rader: Area = abs ( a b ) I R 3 ges arean genom att ta normen av kryssprodukten av två vektorer som går från samma hörn i paralellogrammet kan man få arean enligt: Volym av parallelepiped Area = a b I R 3 ges volymen av en parallelepiped av absolutbeloppet en determinant med tre av paralellogrammets vektorer som utgår från samma hörn i determinatens rader enligt: Egenvärde & Egenvektorer a Area = abs ( b ) c Om vi har en given linjär transformation T för en given vektor v då har vi transformationen T(v ) = Av = b. Om även den resulterande vektorn b är en multipel av vektorn som transformationen verkar på v enligt T(v ) = Av = λv där λ är en skalär. Då gäller att λ är ett egenvärde till egenvektorn v. Detta innebär att egenvektorer efter transformationen kommer enbart att förändras i längd, inte i riktning. Egenvärdena för en transformationsmatris A ges av ekvationen: där I är identitetsmatrisen. Egenvektorerna ges av: det(a λi) = 0 (A λi)v = 0 som kräver att egenvärdena redan är givna och appliceras en gång per egenvärde. Algebraisk multiplicitet & Geometrisk multiplicitet Vid beräkning av egenvärden och lösning av karaktäristisk ekvation kan det uppstå dubbelrötter, till exempel: λ = 3 { λ 2 = 4, där det är dubbelrot då λ = 3. Då gäller att egenvärdet λ = 3 har den algebraiska multipliciteten 2 λ 3 = 3 medan λ = 4 har den algebraiska multipliciteten. Den geometriska multipliciteten definieras av antalet vektorer som varje enskilt egenvärde ger upphov till och motsvarar dimensionen på egenrummet.

34 Egenrum Egenrummet spänns upp av egenvektorer med samma egenvärde och ger upphov till ett spann där allt som innehålls av det spannet också är egenvektorer med samma egenvärde. Detta innebär att det kan finnas flera egenrum för en linjär transformation, en för varje egenvärde. Diagonalisering Att diagonalisera en matris innebär att ta reda på matrisens motsvarande diagonalmatris D genom att ta reda på matrisens egenvärden och egenvektorer. När detta är gjort är det bara att skapa diagonal- och basbytesmatrisen P enligt: λ 0 0 P = [ v v 2 v 3 ], D = [ 0 λ 2 0 ] 0 0 λ 3 Där λ, λ 2, λ 3 är egenvärden och, λ λ, 2 λ 3 är motsvarande egenvektorer. Gram-Schmidt ortogonalisering Detta är en metod för att ta fram ortogonala vektorer genom att utgå från icke-ortogonala. Det används främst för att skapa ortogonala och ortonormala baser när man utgår från vanliga baser. För vidare läsning, se lektionen Grahm-Schmidt ortogonalisering

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Repetera hur man nner bas för rum som spänns upp av några vektorer Reptetera hur man nner bas för summa och snitt av delrum. Reptetera

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor. TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

Linjär algebra på 2 45 minuter

Linjär algebra på 2 45 minuter Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016 SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen

Läs mer

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av

Läs mer

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014 SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 214 Skrivtid: 14.-19. Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Roy Skjelnes Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Linjär algebra kurs TNA002

Linjär algebra kurs TNA002 Linjär algebra kurs TNA002 Lektionsanteckningar klass ED1 I detta dokument finns ett utdrag av de tavelanteckningar som uppkommit under lektionstid under kursen TNA002. Alltså kan detta dokument långt

Läs mer

Lite Linjär Algebra 2017

Lite Linjär Algebra 2017 Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =

Läs mer

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t SF624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag måndag, 3 mars 207 Betrakta vektorerna P =, Q = 3, u = Låt l vara linjen som går genom 2 0 P och Q och låt l 2 vara linjen som är parallell med u

Läs mer

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1 Omfattning Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll Olika aspekter av linjära ekvationssystem 1. skärning mellan geometriska

Läs mer

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 Allmänt gäller följande: Om lösningen helt saknar förklarande text till beräkningar och formler ges högst två

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A 1 a Bestäm de komplexa koefficienterna a, b och c så att polynomet Pz z 3 + az 2 + bz + c har nollställena

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I Innehåll En liten tillbakablick:

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista

Läs mer

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA HT2013. Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan.

LINJÄR ALGEBRA HT2013. Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan. LINJÄR ALGEBRA HT2013 JONAS WIKLUND Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan. 1. LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM OCH MATRISER 1.1 Introduktion. Till stor del bör du känna till ekvationslösning

Läs mer

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Omfattning: Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll: Olika aspekter av linjära ekvationssystem: skärning mellan geometriska objekt, linjärkombination

Läs mer

M = c c M = 1 3 1

M = c c M = 1 3 1 N-institutionen Mikael Forsberg Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Deadline :: 8 9 4 Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny

Läs mer

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002.

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. LINKÖPINGS UNIVERSITET ITN, Campus Norrköping Univ lekt George Baravdish Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. Läsråd: Detta är ett stöd för dig som vill repetera inför en omtentamen. 1. Börja

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra Geometri. Uppgifter, 25 Tillämpad linjär algebra. Uppgift. Låt (,, ), B = (, 2, 3), C = (,, ) vara punkter i R 3. () Beskriva på parameter form alla plan som innehåler A, B och C. Ger ett system av linjära

Läs mer

2 1 1 s s. M(s) = (b) Beräkna inversen för det minsta positiva heltalsvärdet på s som gör matrisen inverterbar.

2 1 1 s s. M(s) = (b) Beräkna inversen för det minsta positiva heltalsvärdet på s som gör matrisen inverterbar. TM-Matematik Mikael Forsberg 7 Linjär algebra/matematik för ingenjörer maa, maa 5 6 Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel förutom pennor, sudd, linjal, gradskiva. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta

Läs mer

Linjär algebra. Föreläsningar: Lektioner: Laborationer:

Linjär algebra. Föreläsningar: Lektioner: Laborationer: Linjär algebra Föreläsningar: 08.15-10.00 Lektioner: 10.30-12.00 Laborationer: 13.15-16.00 Datum Sal Kapitel Må 1/9 Hörsal D 1.1-1.2 Ekvationssystem To 4 D 1.3-1.4 Matriser Lektion MA136, 146, 156, MC313

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta är en samling kompletterande uppgifter till Linjär Algebra II för lärare. Exemplen är av varierande svårighetsgrad och

Läs mer

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................

Läs mer

Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003

Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003 Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003 Mikael Forsberg 12 augusti 2003 Innehåll 1 Kursbok 2 2 Kursinnehåll 2 2.1 Kursens uppläggning......................... 2 2.2 Målsättning..............................

Läs mer

Uppgifter, 2014 Tillämpad linjär algebra

Uppgifter, 2014 Tillämpad linjär algebra Geometri. Uppgifter, 24 Tillämpad linjär algebra. Uppgift. Låt A = (,, ), B = (, 2, 3), C = (,, ) vara punkter i R 3. () Beskriva på parameter form alla plan som innehåler A, B och C. Ger ett system av

Läs mer

0 Allmänt. Följande delar behöver man kunna utöver avsnitten som beskrivs senare i dokumentet.

0 Allmänt. Följande delar behöver man kunna utöver avsnitten som beskrivs senare i dokumentet. Linja r algebra TATA (del) Allmänt Följande delar behöver man kunna utöver avsnitten som beskrivs senare i dokumentet. Matrisekvationer och Gauss-elimination o Parameterform Allmänt om vektorer o Räknelagar

Läs mer

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn. KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med

Läs mer

Mer om analytisk geometri

Mer om analytisk geometri 1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare

Läs mer

1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer.

1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer. Ortogonalitet Man kan tala om vinkel mellan vektorer.. Skalär produkt Vi definierar längden (eller normen) av en vektor som ett reellt tal 0 (Se boken avsnitt.). Vi definierar skalär produkt (Inner product),

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta är en samling kompletterande uppgifter till Linjär Algebra II för lärare. Exemplen är av varierande svårighetsgrad och

Läs mer

Instuderingsuppgifter & Läsanvisningar till Linjär Algebra II för lärare

Instuderingsuppgifter & Läsanvisningar till Linjär Algebra II för lärare Instuderingsuppgifter & Läsanvisningar till Linjär Algebra II för lärare Per Alexandersson February 27, 2013 Abstract Här är läsanvisningar samt några kompletterande uppgifter till materialet i kursboken

Läs mer

y z 3 = 0 z 5 16 1 i )

y z 3 = 0 z 5 16 1 i ) ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-433 Sören Hector 7-46686 Rolf Källström 7-6939 Ingenjörer, Lantmätare och Distansstuderande, mfl. Linjär Algebra ma4a 4 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna

Läs mer

1 Vektorer i koordinatsystem

1 Vektorer i koordinatsystem 1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en

Läs mer

Subtraktion. Räkneregler

Subtraktion. Räkneregler Matriser En matris är en rektangulär tabell av tal, 1 3 17 4 3 2 14 4 0 6 100 2 Om matrisen har m rader och n kolumner så säger vi att matrisen har storlek m n Index Vi indexerar elementen i matrisen genom

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta?

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta? ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - LINJÄR ALGEBRA För att verkligen kunna förstå och tillämpa kvantmekaniken så måste vi veta något om den matematik som ligger till grund för formuleringen av vågfunktionen

Läs mer

där β R. Bestäm de värden på β för vilka operatorn är diagonaliserbar. Ange även för respektive av dessa värden en bas av egenvektorer till F.

där β R. Bestäm de värden på β för vilka operatorn är diagonaliserbar. Ange även för respektive av dessa värden en bas av egenvektorer till F. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA9 Linjär algebra Datum: 7 januari 04 Skrivtid:

Läs mer

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 3

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 3 Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 3 Kapitel 4, 9.2 och 5 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.) Välkommen

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd är att räkna upp de elementen i mängden, tex Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK Mat-11510 Grundkurs

Läs mer

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,

Läs mer

För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a 2015 02 26. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31

För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a 2015 02 26. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31 ATM-Matematik Mikael Forsberg 074-4 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma04a 0 0 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

ALA-c Innehåll. 1 Linearization and Stability Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet Uppgift

ALA-c Innehåll. 1 Linearization and Stability Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet Uppgift Vecka ALA-c 6 Innehåll Linearization and Stability RÄKNEÖVNING VECKA. Uppgift 9........................................ Uppgift 9.5...................................... 5 Egenvärdesproblemet 9. Uppgift

Läs mer

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA 5 LINJÄR ALGEBRA 5 Linjär algebra En kul gren av matematiken som inte fått speciellt mycket utrymme i gymnasiet men som har många tillämpningsområden inom t.ex. fysik, logistik, ekonomi, samhällsplanering

Läs mer

Exempel :: Spegling i godtycklig linje.

Exempel :: Spegling i godtycklig linje. INNEHÅLL Exempel :: Spegling i godtycklig linje. c Mikael Forsberg :: 6 augusti 05 Sammanfattning:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som

Läs mer

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För studenter på distans och campus Linjär algebra maa Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

Explorativ övning Vektorer

Explorativ övning Vektorer Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010 SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning Måndagen den 29 november, 200 UPPGIFT () Betrakta det linjära ekvationssystemet x + x 2 + x 3 = 7, x x 3 + x 4

Läs mer

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg Version.8 Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium Mikael Forsberg 8 Den här boken är typsatt av författaren med hjälp av L A TEX. Alla illustrationer är utförda av Mikael Forsberg med hjälp av

Läs mer

12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v

12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v . SINGULÄRA VÄRDEN Vårt huvudresultat sen tidigare är Sats.. Varje n n matris A kan jordaniseras, dvs det finns en inverterbar matris S sån att S AS J där J är en jordanmatris. Om u och v är två kolonnvektorer

Läs mer

Basbyte (variabelbyte)

Basbyte (variabelbyte) Basbyte (variabelbyte) En vektors koordinater beror på valet av bas! Tänk på geometriska vektorer här. v har längden 2 och pekar rakt uppåt i papprets plan. Kan vi då skriva v (, 2)? Om vi valt basvektorer

Läs mer

DN1230 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 2013

DN1230 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 2013 TILLÄMPAD LINJÄR ALGEBRA, DN123 1 DN123 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 213 Skrivtid: 8-13 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Anna-Karin Tornberg Betygsgränser: Betyg A B C D E

Läs mer

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris Krister Svanberg, mars 2012 1 De fyra fundamentala underrummen till en matris 1.1 Definition av underrum En given delmängd M av IR n säges vara ett underrum i IR n om följande gäller: För varje v 1 M,

Läs mer

LINJÄRA AVBILDNINGAR

LINJÄRA AVBILDNINGAR LINJÄRA AVBILDNINGAR Xantcha november 05 Linjära avbildningar Definition Definition En avbildning T : R Ñ R (eller R Ñ R ) är linjär om T pau ` bvq at puq ` bt pvq för alla vektorer u, v P R (eller u,

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer III Innehåll

Läs mer

Några saker som jag inte hann: Ur trigonometriska ettan kan vi uttrycka och i termer av. Vi delar båda led i trig. 1:an med :

Några saker som jag inte hann: Ur trigonometriska ettan kan vi uttrycka och i termer av. Vi delar båda led i trig. 1:an med : 1 Onsdag v 1 Några saker som jag inte hann: Ur trigonometriska ettan kan vi uttrycka och i termer av Vi delar båda led i trig 1:an med : Detta ger också att vi kan uttrycka : Formeln ger också en formel

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning.

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. Slappdefinition En vektor är en riktad sträcka som får parallellförflyttas. Tänk på vektorn som en pil. Betecknar vektorer med små bokstäver

Läs mer

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R 1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på geometri och vektorer inför lappskrivning nummer 2 på kursen Linjär algebra II, SF1604, vt11. 1. En triangel har hörn i punkterna (1, 2,

Läs mer

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0).

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0). TM-Matematik Mikael Forsberg Linjär algebra mk4a Övningstenta LA-. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x = (,, ), x = (,, ) och x = (,, ).. För alla värden på parametern

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Vektorer i planet och i rummet III Innehåll

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:

Läs mer

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem Avsnitt Linjära ekvationssystem Elementära radoperationer Gausseliminering Exempel Räkneschema Exempel med exakt en lösning Exempel med parameterlösning Exempel utan lösning Slutschema Avläsa lösningen

Läs mer

Basbyten och linjära avbildningar

Basbyten och linjära avbildningar Föreläsning 11, Linjär algebra IT VT2008 1 Basbyten och linjära avbildningar Innan vi fortsätter med egenvärden så ska vi titta på hur matrisen för en linjär avbildning beror på vilken bas vi använder.

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer II Innehåll

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.

Läs mer

October 9, Innehållsregister

October 9, Innehållsregister October 9, 017 Innehållsregister 1 Vektorer 1 1.1 Geometrisk vektor............................... 1 1. Vektor och koordinatsystem.......................... 1 1.3 Skalär produkt (dot eller inner product)...................

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del I

Mat Grundkurs i matematik 1, del I Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK) Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47 Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 UPPGIFT (1) Låt V vara mängden av vektorer (x 1, x 2, x 3 ) i R 3 som uppfyller

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 1 Institutionen för matematik KTH 31 oktober 2016 Kurstart för Algebra och geometri Välkomen till kursen, CELTE och CMETE och COPEN!, kursansvarig LFN@KTH.SE Idag ska vi se hur kursen funkar

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta kompendie är främst avsett som ett komplement till Tengstrands Linjär algebra med vektorgeometri, [Ten05]. Materialet innehåller

Läs mer

Tentamen i Linjär algebra , 8 13.

Tentamen i Linjär algebra , 8 13. LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: ETE5 Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra 5 8, 8. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. Resultatet meddelas vi e-post. För godkänt räcker

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av

Läs mer

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just

Läs mer

x 1 x 2 x 3 x 4 mera allmänt, om A är en (m n)-matris, då ger matrismultiplikationen en avbildning T A : R n R m.

x 1 x 2 x 3 x 4 mera allmänt, om A är en (m n)-matris, då ger matrismultiplikationen en avbildning T A : R n R m. Fredagen 006 Avbildningar Låt A vara matrisen () = 0 0 Till varje vektor X i R får vi vid matrismultiplikationen AX en vektor i R Mera explicit, om X = x x x x är en given punkt i R, då får vi punkten

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del I

Mat Grundkurs i matematik 1, del I Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I G. Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G. Gripenberg (TKK) Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47 Mängder Det enklaste sättet att beskriva en

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA. {x M : P (x)} = {x : P (x)}, TOMAS SJÖDIN. k j=1 Ofta betecknas mängder på följande sätt:

LINJÄR ALGEBRA. {x M : P (x)} = {x : P (x)}, TOMAS SJÖDIN. k j=1 Ofta betecknas mängder på följande sätt: LINJÄR ALGEBRA TOMAS SJÖDIN Innehåll 0 Notation 1 1 Linjära Ekvationssystem 2 2 Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 3 3 Skalärprodukt, Vektorprodukt, Volymprodukt 7 4 Linjer och plan 10 5 Matriser

Läs mer

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan Fö 9: November 7, 5 Determinanter och ekvationssystem Betrakta ett linjärt ekvssystem A X = B, där A är en kvadratisk n n)-matris och X, B n )-matriser. Låt C = [A B] utökad matris ). Gausselimination

Läs mer

8 Minsta kvadratmetoden

8 Minsta kvadratmetoden Nr, april -, Amelia Minsta kvadratmetoden. Ekvationssystem med en lösning, -fallet Ett linjärt ekvationssystem, som ½ +7y = y = har en entydig lösning om koefficientdeterminanten, här 7, är skild från

Läs mer

Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I

Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Se slide 1: det är i rymden oftast lättast att jobba med parametrar för linjer och ekvationer för plan. Exempel: Låt l : (x, y, z) = (1 t, 3 + t, 4t), t R och

Läs mer

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt1 2015 Erik Darpö ii 0. Förberedelser Nedanstående uppgifter är avsedda att användas som ett självdiagnostiskt test. Om du har problem med att lösa

Läs mer

Definition 1 Ett vektorrum M (över R) är en mängd element, vektorer, sådan att det finns en kommutativ operation + på mängden M som uppfyller

Definition 1 Ett vektorrum M (över R) är en mängd element, vektorer, sådan att det finns en kommutativ operation + på mängden M som uppfyller April 27, 25 Vektorrum Definition Ett vektorrum M (över R) är en mängd element, vektorer, sådan att det finns en kommutativ operation + på mängden M som uppfyller. x M och y M = x + y M. 2. x + y = y +

Läs mer

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 1

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 1 Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 1 Kapitel 1 och 11.2 alt. 11.9 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.)

Läs mer

kan vi uttrycka med a, b och c. Avsnitt 2, Vektorer SA + AB = SB AB = SB SA = b a, Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut.

kan vi uttrycka med a, b och c. Avsnitt 2, Vektorer SA + AB = SB AB = SB SA = b a, Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut. vsnitt 2, Vektorer kan vi uttrycka med a, b och c. W109 är basytan (en kvadrat) i en regelbunden fyrsidig pyramid med spetsen. Låt = a, = b och = c. eräkna. Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste

Läs mer