S TAT I K O C H PA R T I K E L D Y N A M I K

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "S TAT I K O C H PA R T I K E L D Y N A M I K"

Transkript

1 S T E FA N B. L I N D S T R Ö M U P P L A G A 2 - β F Ö R E L Ä S N I N G A R I M E K A N I K S TAT I K O C H PA R T I K E L D Y N A M I K

2 Föreläsningar i mekanik: Statik och partikeldynamik Lindström, Stefan B. upplaga 2-β Copyright c 2015 Stefan B. Lindström Detta verk är licensierat enligt Creative Commons Erkännande-IngaBearbetningar 2.5 Sverige licens. För att visa licensen, besök eller skicka ett brev till Creative Commons, 444 Castro Street, Suite 900, Mountain View, California, 94041, USA. En lättläst, men ofullständig, sammanfattning av licenstexten lyder: Du har tillstånd: Att dela att kopiera, distribuera och sända verket samt använda verket för kommersiella ändamål. På följande villkor: Erkännande Du måste ange upphovsmannen och/eller licensgivaren på det sätt de anger. Inga bearbetningar Du får inte förändra, bearbeta eller bygga vidare på verket. Övriga förutsättningar: Undantag Undantag från villkoren ovan kan ges av upphovsrättsinnehavaren. Public Domain Om verket eller någon av dess beståndsdelar är public domain enligt tillämplig lag påverkas denna status inte på något sätt av licensen. Notera Vid all återanvändning och distribution måste du informera om licensvillkoren som gäller för verket.

3 Innehåll I Statik 1 Inledning Grundläggande begrepp 1.2 Newtons rörelselagar 1.3 Krafter i klassisk mekanik 2 Kraftsystem Kraft 2.2 Moment 2.3 Kraftsystem 2.4 Plana kraftsystem 3 Statisk jämvikt Jämviktsekvationer 3.2 Friläggning 3.3 Flerkroppsproblem 4 Masscentrum och tyngdpunkt Densitet 4.2 Masscentrum 4.3 Masscentrum för tunna kroppar 4.4 Tyngdpunkt

4 4 5 Friktion Ett friktionsexperiment 5.2 Coulombfriktion 5.3 Friktion i ett system av kroppar II Partikeldynamik 6 Plan kinematik Rätlinjig rörelse 6.2 Kroklinjig rörelse 6.3 Kinematiska tvång 7 Kinetik Newtons rörelselagar 7.2 Rörelseekvationer och problemlösning 8 Arbete, energi och effekt Arbete 8.2 Rörelseenergi 8.3 Konservativa krafter 8.4 Mekaniska energisatsen 8.5 Effekt 9 Rörelsemängd och impuls Rörelsemängd 9.2 Impuls 9.3 Rörelsemängdsmoment 9.4 Partikelsystem 10 Stötar Stötkrafter 10.2 Stötar mellan partiklar

5 5 11 Svängningsrörelse Fria svängningar 11.2 Påtvingade svängningar Bilagor A Geometri 81 A.1 Plan geometri A.2 Trigonometri B Vektorer 85 B.1 Geometriska vektorer B.2 Vektorer i ortogonala koordinatsystem B.3 Skalärprodukt B.4 Kryssprodukt C Storhet, enhet och dimension 89 C.1 Dimension C.2 Enhet C.3 Mätetal C.4 Räkneregler för dimension C.5 Dimensionsriktighet D Differentialer 93 Litteraturförteckning 95 Sakregister 97

6 6 Förord Denna skrift syftar till att ge en koncis beskrivning av den elementära mekanikens viktigaste definitioner och satser. Ansvaret för att levandegöra teorins innebörd, samt att demonstrera hur teorin kan användas vid problemlösning, åläggs pedagogen. Angående förkunskaper förutsätts läsaren vara förtrogen med elementär geometri (bilaga A), geometriska vektorer (bilaga B), linjära ekvationssystem samt bestämda integraler i flera dimensioner. Utöver matematiska kunskaper bör läsaren vara bekant med begreppen storhet, enhet och dimension, samt kunna avgöra fysikaliska uttrycks dimensionsriktighet (bilaga C). För partikeldynamikdelen krävs därutöver att läsaren behärskar ordinära differentialekvationer och differentialnotation (bilaga D). Tack Ett varmt tack till tekn. dr Peter Schmidt vars undervisningsmaterial på ämnet kraftsystem varit en viktig inspirationskälla till kap. 2. Författaren vill också tacka docent Lars Johansson för värdefull återkoppling på skrivningarna i kap. 10 och bilaga C.

7 Del I Statik

8

9 1 Inledning Detta kapitel syftar till att ge fysikalisk förståelse för grundläggande begrepp i mekanik, bl.a. begreppet kraft, samt att avgränsa ämnesområdet statik. Förtrogenhet med geometriska vektorer (bilaga B) och räkneregler för dessa är nödvändigt för att kunna tillgodogöra sig framställningen. 1.1 Grundläggande begrepp Kropp och stelkropp En kropp har massa och uppfyller ett begränsat område i rummet och har alltså en volym. Inom klassisk mekanik antas massan vara kontinuerligt utbredd inom kroppens område. Alla kroppar kan deformeras ändra sin form genom att lägena för punkter i kroppen förskjuts i förhållande till varandra. I många problem är kroppens deformation försumbar. Analysen förenklas då av att man antar att kroppens form är oföränderlig, och en sådan kropp kallas stelkropp. Definition 1.1 (Stelkropp). En stelkropp är en kropp, sådana att avståndet mellan varje par av punkter i kroppen är konstant. Partikel En partikel är ett hypotetiskt föremål med massa men utan volym. All dess massa är således koncentrerad till en punkt. Vid problemlösning kan man ibland använda en partikel som modell för en kropp vars form, rotation och deformation inte påverkar analysen i någon större utsträckning. Speciellt formulerar vi följande postulat 1 för kroppar eller delkroppar: 2 Postulat 1.2. En kropp eller en del av en kropp, vars utsträckning är tillräckligt liten för att försummas i en given situation, kan betraktas som en partikel. 1 postulat obevisat påstående med experimentellt stöd. 2 J. B. Griffiths. The theory of classical mechanics. Cambridge University Press, ISBN Om man t.ex. analyserar Jordens rörelse kring Solen kan Jorden betraktas som en partikel eftersom jordbanans medelradie är gång-

10 10 föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik er större än Jordens egen radie, så att vare sig Jordens utsträckning eller dess rotation kring sin egen axel påverkar banrörelsen nämnvärt. Läge, hastighet och acceleration En punkts eller partikels läge i rummet anges av dess lägesvektor 3. Vi definierar en godtycklig punkt P:s lägesvektor som r = OP, där O betecknar origo för ett givet ortogonalt koordinatsystem med basvektorerna e x, e y och e z. Om punkten P:s läge ändras med tiden t kommer lägesvektorn att bli en funktion 3 Benämns även ortsvektor. r(t) = x(t) e x + y(t) e y + z(t) e z, (1.1) vilket kan tolkas som en riktad bana i rummet (fig. 1.1a). Hastigheten hos punkten definieras som v(t) d r dt = ẋ e x + ẏ e y + ż e z, (1.2) och är riktad i rörelsebanans tangentriktning. En prick över en skalär funktion betecknar tidsderivatan av funktionen. Punktens acceleration ges av a(t) d v dt = d2 r dt 2 = ẍ e x + ÿ e y + z e z, (1.3) och beskriver alltså hastighetsändringen per tidsenhet. Två prickar över en skalär funktion betecknar andra tidsderivatan av funktionen. Statik innefattar endast fallet a = 0. Detta är liktydigt med att hastigheten är konstant, så att r(t) beskriver en rätlinjig bana om v 0 (fig. 1.1b), eller en fix punkt om v = 0. Kraft När två föremål placeras tillräckligt nära varandra, eller i direkt kontakt, kan de påverka varandras rörelse. Om man till exempel för en magnet mot en knappnål, kommer knappnålen att accelerera mot magneten. Magnetens närvaro har skapat rörelse hos knappnålen. Kroppars förmåga att att påverka varandras rörelse kallas växelverkan. För att beskriva hur starkt och i vilken riktning ett föremål växelverkar med omgivningen införs begreppet kraft. En kraft skapas alltså av växelverkan och förorsakar acceleration hos en kropp vars rörelse annars är obehindrad. Denna vaga beskrivning ev kraftbegreppet ges en precis innebörd i Newtons rörelselagar. (a) (b) Figur 1.1: En punkt P:s förflyttas längs en bana r(t) med (a) varierande hastighet v(t), eller med (b) konstant hastighet v och accelerationen a = Newtons rörelselagar Isaac Newton postulerade följande tre rörelselagar för partiklar (ej ordagrant återgivna): 4 4 I. S. Newton. Naturvetenskapens matematiska principer, första boken. 1. Tröghetslagen En partikel förblir i vila eller i likformig, rätlinjig rörelse så länge inga yttre krafter verkar på partikeln. Svensk översättning C. V. L. Charlier, Liber Läromedel, Malmö, 1986a. ISBN

11 inledning Kraftlagen För en partikel med konstant massa m gäller Σ F = m a, (1.4) där Σ F är kraftsumman på partikeln och a är partikelns acceleration. 3. Reaktionslagen Om en partikel påverkar en annan med en given kraft, återverkar den senare partikeln på den första med en lika stor men motsatt riktad kraft. Dessa lagar kommer att behandlas utförligare i del II. Inom statik intresserar man sig för specialfallet då kraftsumman på varje partikel är noll, och således accelerationen för varje partikel är noll. Inertialsystem Att tala om rörelse är bara meningsfullt med avseende på ett givet koordinatsystem, och man måste specificera ett koordinatsystem för att kunna beskriva rörelse (se fig. 1.1ab). Newtons lagar gäller bara för vissa val av koordinatsystem som kallas inertialsystem. Om man valt ett koordinatsystem där tröghetslagen gäller, kommer även kraftlagen och reaktionslagen att gälla. I ett koordinatsystem där tröghetslagen inte gäller, t.ex. ett system som roteras eller accelereras relativt ett inertialsystem (fig. 1.2), gäller inte Newtons lagar. 1.3 Krafter i klassisk mekanik Krafter kan verka på en kropp om den står i fysisk kontakt med en annan kropp. Dessutom kan krafter uppstå över avstånd genom så kallade kraftfält. Kraft mäts i SI-enheten newton (N), och det gäller att Figur 1.2: Givet ett inertialsystem xyz där tröghetslagen gäller, kommer koordinatsystem som roterar relativt inertialsystemet, t.ex. x y z, inte att vara några inertialsystem. Koordinatsystem vars origo accelererar relativt inertialsystemet, t.ex. x y z, är inte heller några inertialsystem. 1 N = 1 kg m/s 2. Gravitationskraft Enligt Newtons gravitationslag 5 påverkar varje par av partiklar varandra med gravitationskrafter. Gravitationskraften är en attraktiv centralkraft. Det vill säga, partiklarna dras mot varandra och dragningskraften verkar längs den räta linje som förbinder partiklarna (fig. 1.3). 5 I. S. Newton. Naturvetenskapens matematiska principer, andra och tredje boken. Svensk översättning C. V. L. Charlier, Liber Läromedel, Malmö, 1986b. ISBN Figur 1.3: Newtons gravitationslag för partiklar tillämpad på Jordens växelverkan med Månen.

12 12 föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik Postulat 1.3 (Newtons gravitationslag). Mellan två partiklar med massorna m A respektive m B verkar en attraktiv kraft med beloppet F g = G g m A m B r 2, (1.5) olika platser på jorden. Ofta används det SI-standardiserade värdet g = 9,80665 N/kg vid problemlösning. 8 Kontaktkrafter Två kroppar som står i fysisk kontakt med varandra växelverkar med kontaktkrafter. Dessa kontaktkrafter är fördelade över kontaktytan på respektive kropp. Ett exempel är de krafter som uppstår då du trycker din hand mot en vägg (fig. 1.4ab). Din hand utövar då ett tryck mot väggen, vilket kan representeras av en kraft F på väggen. Omvänt kommer väggen, enligt reaktionslagen, att utöva en kraft F mot din hand, vilket du känner som ett tryck mot handflatan. där G g = 6, Nm 2 /kg 2 är gravitationskonstanten 6, och r 6 P. J. Mohr, B. N. Taylor, and D. B. betecknar avståndet mellan partiklarna. Newell. CODATA recommended values of the fundamental physical constants: J. Phys. Chem. Ref. Data, 41: En följd av gravitationslagen är att en kropp med massan m vid , 2012 jordytan påverkas av en tyngdkraft, riktad ungefär mot jordens mittpunkt. Tyngdkraften är fördelad över det område som kroppen upptar, men i många tillämpningar kan dess verkan modelleras med en kraft som verkar i en enda punkt och har beloppet mg, där g är tyngdkraftskonstanten. 7 I Sverige är g 9,82 N/kg, men värdet varierar mellan 7 Benämns även oegentligt tyngdaccelerationen. 8 Bureau International des Poids et Mesures. The International System of Units (SI). 8th edition, 2006 Figur 1.4: (a) En hand trycker mot en vägg. (b) Handen och väggen utsätts för lika stora motriktade kontaktkrafter. (a) (b) Elastisk kraft Elastiska krafter uppstår då kroppar deformeras, till exempel då en spiralfjäder förlängs eller förkortas. När en spiralfjäder inte påverkas av någon kraft antar den sin naturliga längd l 0 (fig. 1.5a). Om motriktade krafter, vardera med beloppet F e, angriper vid fjäderns ändpunkter kommer fjädern att ändra sin längd till l (fig. 1.5b). För en så kallad linjär fjäder gäller då sambandet F e = k(l l 0 ), (1.6) där k benämns fjäderkonstanten. (a) (b) Figur 1.5: (a) Obelastad fjäder med naturlig längd. (b) Förlängd fjäder.

13 2 Kraftsystem 2.1 Kraft En kropp växelverkar med sin omgivning genom yttre krafter. Dessa kan vara volymskrafter som verkar över kroppens område i rummet. Gravitation och elektromagnetiska krafter är exempel på volymskrafter. Dessutom kan kroppen påverkas av kontaktkrafter, som är fördelade över kroppens yta (fig. 2.1). För stelkroppar kan volyms- och kontaktkrafters verkan beskrivas av koncentrerade krafter, som verkar i punkter på stelkroppen: Postulat 2.1. En kraft, som verkar på en stelkropp, är en vektorstorhet F, som tillordnats en angreppspunkt P. Figur 2.1: En kontaktkraft, som här består av ett tryck fördelat över en liten yta på en stelkropp, modelleras med en kraftvektor, som verkar i en angreppspunkt på stelkroppen. En krafts verkan på en kropp bestäms av kraftens storlek, riktning och angreppspunkt. Kraftvektorn och angreppspunkten definierar tillsammans en linje, som kallas kraftens verkningslinje (fig. 2.1). Som alla vektorer kan kraftvektorn skrivas som en summa av sina komposanter (fig. 2.2) F = F x e x + F y e y + F z e z, (2.1) eller som en skalär F gånger en riktningsvektor F = F e F. (2.2) Figur 2.2: En kraft F angripande i punkten P. Pilar med öppet pilhuvud visar kraftens komposanter. I ekv. (2.2) tillåter man att F är negativ, så att F = F eller F = F. En kraftvektors projektion på en riktning med riktningsvektorn e λ kallas kraftens komponent i λ-riktningen och ges av F λ = F e λ = F cos ϕ, (2.3) där 0 ϕ 180 är vinkeln mellan F och e λ (fig. 2.3). Figur 2.3: Kraftkomponenten för F m.a.p. en axel λ.

14 14 föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik 2.2 Moment Kraftmoment Om man vill åstadkomma en vridande verkan kring en axel, som när man drar åt en bult, låter man en kraft angripa i en punkt på ett avstånd från axeln (fig. 2.4). Kraftens vridande verkan kallas moment. Definition 2.2 (Kraftmoment). Låt F vara en kraft som angriper i punkten P. Då är kraftmomentet av kraften F m.a.p. punkten O vektorn M O r F, (2.4) Figur 2.4: En kraft med angreppspunkt på ett avstånd från en axel λ kommer att ha en vridande verkan kring axeln. där r = OP. Enligt def. B.11 av kryssprodukt ges momentvektorn M O :s riktning av högerhandsregeln (fig. 2.5). Kraftmomentet kommer därför att vara vinkelrätt mot det plan som r och F spänner upp. Beloppet av vektorn M O är M O = r F = { ekv. (B.12) } = r F sin ϕ = d F, (2.5) Figur 2.5: Högerhandsregeln för kraftmoment. Linjera höger hands handflata med hävarmen och vinkla fingrarna i kraftriktningen; kraftmomentvektorn M O ges då tummens riktning. där d = r sin ϕ kallas för hävarm och ϕ är vinkeln mellan r och F (fig. 2.6). Momentvektorer betecknas här med en pil vars huvud är en halvcirkel. Kraftmomentet m.a.p. en axel λ med riktningsvektorn e λ, definieras som M λ M O e λ, (2.6) där O är en godtycklig punkt på axeln. Figur 2.6: En kraft med kraftvektor F och angreppspunkt P ger ett kraftmoment MO m.a.p. O, som är vinkelrätt mot det plan som r och F spänner upp. Sats 2.3 (Varignons sats). Låt n krafter F 1,..., F n, verka i samma punkt P. Summan av krafternas moment, m.a.p. en godtycklig punkt O, är då lika med momentet från kraftvektorernas summa m.a.p. O: n r F i = r i=1 där r = OP. n F i, (2.7) i=1

15 kraftsystem 15 Bevis. Kraftmomentet av kraftvektorernas summa m.a.p. O ges av n r F i = r ( F 1 + F F n ) = { ekv. (B.14b) } i=1 = r F 1 + r ( F F n ) = { upprepa (B.14b) } = r F 1 + r F r F n n = r F i i=1 Vid analys av statikproblem händer det ofta att problemet blir enklare att lösa om man först delar upp kraften i sina komposanter. Kraftens moment får man som summan av komposanternas respektive moment (sats 2.3). Kraftparsmoment Definition 2.4 (Kraftpar). Ett kraftpar består av två krafter, FA med angreppspunkt A och F B med angreppspunkt B, sådana att F B = F A (fig. 2.7). En trivial men viktig egenskap hos kraftparet är att dess kraftsumma är F A + F B = 0, så att ett kraftpars verkan på en kropp endast är vridande. Figur 2.7: Kraftpar. Definition 2.5 (Kraftparsmoment). Ett kraftparsmoment C är summan av kraftmomenten från ett kraftpar m.a.p. en godtycklig punkt O. Sats 2.6. För ett godtyckligt kraftpar, F med angreppspunkt A och F med angreppspunkt B (fig. 2.8), är kraftparsmomentet C = r F, (2.8) där r = BA. Bevis. Från def. 2.5 följer att kraftparets kraftparsmomentet m.a.p. en godtycklig punkt O är C = OA F + OB ( F ) = OA F { } OB F = ekv. (B.14b) = ( OA OB) F = ( BO + { } OA) F = parallellogramlagen = BA F = r F Figur 2.8: Kraftpar som bildar kraftparsmomentet C = r F. Ett typexempel på ett kraftpar är en skruvmejsels verkan på en spårskruv (fig. 2.7). Det finns två kontaktpunkter, A och B, mellan skruvhuvudet och mejseln, där två lika stora motriktade krafter verkar på

16 16 föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik skruven. Kraftparsmomentet är oberoende av valet av momentpunkt och är därmed en fri vektor som, med bibehållen storlek och riktning, kan förflyttas i rummet till en godtycklig punkt (fig. 2.9). Figur 2.9: En skruvmejsel ger en vridande verkan, vilken skapas av två lika stora motriktade krafter i skruvspåret. Kraftparsmomentet är en fri vektor, som inte verkar i någon specifik punkt på stelkroppen. 2.3 Kraftsystem Flera krafter och kraftparsmoment, som verkar på en stelkropp, bildar tillsammans ett kraftsystem. Definition 2.7 (Kraftsystem). Ett kraftsystem Γ är ett antal n 0 krafter F 1, F 2,..., F n med givna angreppspunkter P 1, P 2,..., P n, samt att antal m 0 kraftparsmoment C 1, C 2,..., C m (fig. 2.10). Figur 2.10: Ett kraftsystem Γ, med godtyckligt antal krafter och kraftparsmoment, verkande på en stel kropp. Kraft- och momentsumma Definition 2.8 (Kraftsumma). För ett kraftsystem Γ, med beteckningar enligt def. 2.7, är kraftsumman vektorn Σ F n F i. (2.9) i=1 Notera att kraftsumman, trots att den är en vektor med enheten newton, inte är någon kraft, eftersom den inte tillordnats någon angreppspunkt. Definition 2.9 (Momentsumma). För ett kraftsystem Γ, med beteckningar enligt def. 2.7, är momentsumman m.a.p. en punkt O vektorn Σ M O n OP i F m i + C i. (2.10) i=1 i=1

17 kraftsystem 17 Momentsumman för ett kraftsystem m.a.p. en punkt O erhåller man alltså genom att summera alla systemets kraftmoment m.a.p. O och alla systemets kraftparsmoment. Sats 2.10 (Förflyttningssatsen för momentsumma). För ett kraftsystem Γ, med beteckningar enligt def. 2.7, och två godtyckliga punkter A och B gäller Σ M B = Σ M A + BA Σ F, (2.11) där Σ M A och Σ M B är momentsummor m.a.p. A respektive B, och Σ F är systemets kraftsumma. Bevis. Definition 2.9 ger ΣM n B = BP i F m i + C i = { parallellogramlagen } = = i=1 n i=1 i=1 ( BA + APi ) F i + n BA F i + i=1 i=1 = BA Σ F + Σ M A. m C i = { ekv. (B.14b) } i=1 n AP i F m i + C i = { sats (2.3) } i=1 }{{} =Σ M A Reducerade kraftsystem Definition 2.11 (Reducerat kraftsystem). Det reducerade kraftsystemet Γ Q till ett kraftsystem Γ m.a.p. en reduceringspunkt Q, består av Γ:s kraftsumma Σ F verkande i Q samt ett kraftparsmoment Σ M Q, som är Γ:s momentsumma m.a.p. Q. Figur 2.11: Ett kraftsystem Γ, med godtyckligt antal krafter och kraftparsmoment, är ekvivalent med sitt reducerade kraftsystem Γ Q m.a.p. en godtycklig punkt Q. Det reducerade kraftsystemet Γ Q är ekvivalent med Γ ur kraft- och momentsynpunkt, och ger upphov till samma rörelse hos den stela kropp varpå Γ verkar. Definition 2.12 (Nollsystem). Om ett kraftsystem har kraftsumman Σ F = 0 och momentsumman Σ M O = 0 m.a.p. någon punkt O, sägs kraftsystemet vara ett nollsystem. Sats Om ett kraftsystem är ett nollsystem är dess momentsumma Σ M Q = 0 för varje godtycklig punkt Q.

18 18 föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik Bevis. För ett generellt kraftsystem, med beteckningar enligt def. 2.7, som är ett nollsystem gäller att ΣF = 0 samt att ΣM O = O för någon punkt O. Förflyttningssatsen för momentsumma (sats 2.10) från O till Q ger ΣM Q = ΣM O + QO ΣF = 0 + QO 0 = 0. Sats 2.13 innebär att ett nollsystem alltid är ett nollsystem oberoende av valet av momentpunkt. 2.4 Plana kraftsystem Definition 2.14 (Plant kraftsystem). Ett kraftsystem Γ, med beteckningar enligt def. 2.7, sägs vara plant om det existerar ett plan, benämnt referensplanet, sådant att alla krafternas angreppspunkter P i, i = 1,..., n ligger i referensplanet, och sådant att F i e n, i = 1,..., n, Ci e n, i = 1,..., m, där e n är referensplanets enhetsnormal (fig. 2.12). Figur 2.12: Plant kraftsystem vars referensplan har enhetsnormalen e n. För ett plant kraftsystem, med beteckningar enligt def. 2.14, och en momentpunkt O i referensplanet, är alla kraftmoment och kraftparsmoment riktade i ± e n -riktningen. Därmed kan alla kraftmoment och kraftparsmoment för ett plant kraftsystem beskrivas entydigt med ett skalärt värde: momentets komponent i referensplanets normalriktning. I fig illustreras ett plant kraftsystem med xy-planet som referensplan. Vektorrepresentationen av moment har ersatts med en skalär representation, vilket indikeras med krökta pilar för kraftparsmomenten C 1,..., C m i referensplanet. Sats För en kraft F med angreppspunkt P i ett plant kraftsystem ges kraftmomentet m.a.p. en godtycklig punkt O i referensplanet av Figur 2.13: Ett plant kraftsystem med xy-planet som referensplan. Systemets kraftparsmoment kan därmed skrivas som skalärer. M O = ±d F, (2.12) där F är kraftens belopp och d kallas hävarm och är vinkelräta avståndet från O till kraftens verkningslinje.

19 kraftsystem 19 Bevis. Vi har att M O = ± M O = { def. 2.2 } = ± { } OP F = ekv. (B.12) = ± OP F sin ϕ, där ϕ är vinkeln mellan OP och F (fig. 2.14). Eftersom avståndet från O till kraftens verkningslinje är d = OP sin ϕ följer det att M O = ±d F. Kraftmomentets riktning ges som tidigare av högerhandsregeln. Det moturs vridande kraftmoment som avbildas i fig är riktat i e z - riktningen. Om vi väljer referensplanets normal som e n = e z kommer kraftmomentet M O, och alla moturs orienterade kraftmoment, att ha ett positivt tecken i sin skalära representation. Medurs orienterade kraftmoment får negativt tecken. Det omvända gäller om vi skulle välja e n = e z. Figur 2.14: Geometri för kraftmoment i ett plant kraftsystem med xy-planet som referensplan. Hävarmen betecknas d.

20

21 3 Statisk jämvikt 3.1 Jämviktsekvationer Definition 3.1 (Statisk jämvikt). En stelkropp är i statisk jämvikt om varje punkt på kroppen har accelerationen noll relativt ett givet inertialsystem. Eftersom en stelkropp inte kan deformeras, följer det att alla punkter på en stelkropp i statisk jämvikt rör sig med samma konstanta hastighet v. Punkterna på kroppen färdas därför längs räta parallella banor, så kallad translation (fig. 3.1). Att en stelkropp befinner sig i vila innebär att kroppen är i statisk jämvikt, samt att ett inertialsystem valts så att v = 0. Statisk jämvikt definieras utifrån stelkroppens rörelse, inte utifrån vilka krafter som verkar på kroppen. För att kunna avgöra vilka kraftsystem som ger statiskt jämvikt krävs ett postulat. Figur 3.1: Vid statisk jämvikt beskriver en stelkropp translation, d.v.s. varje punkt rör sig med samma konstanta hastighet. Postulat 3.2 (Jämviktsvillkor). En stelkropp i statisk jämvikt förblir i statisk jämvikt om kraftsystemet som verkar på stelkroppen är ett nollsystem Σ F = 0 (3.1a) Σ M O = 0, (3.1b) där Σ F är kraftsystemets kraftsumma, och Σ M O är kraftsystemets momentsumma m.a.p. någon punkt O. Ekvation (3.1a) benämns kraftjämvikt och ekv. (3.1b) momentjämvikt. Enligt sats 2.13 kan momentpunkten i momentjämvikten väljas fritt. Kraft- och momentjämvikterna är vektorekvationer, som enligt ekv. (B.4) kan skrivas på komponentform. De bildar sex oberoende skalära ekvationer ΣF x = 0 ΣM Ox = 0 ΣF y = 0 ΣM Oy = 0 (3.2) ΣF z = 0 ΣM Oz = 0, vilka tillsammans utgör ett ekvationssystem.

22 22 föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik Jämvikt i två dimensioner För ett plant kraftsystem förenklas jämviktsekvationerna genom att man väljer ett koordinatsystem så att två av koordinataxlarna ligger i referensplanet. Om vi placerar xy-planet i referensplanet (fig. 2.13), så att e n = e z i def. 2.14, erhåller vi F i e z F iz = 0 ΣF z = 0. Vidare är alla kraftmoment och kraftparsmoment riktade i z-riktningen så att ΣM Ox = ΣM Oy = 0, där O betecknar en momentpunkt i referensplanet. Därmed återstår endast tre icketriviala jämviktsekvationer för det plana kraftsystemet: ΣF x = 0 ΣF y = 0 ΣM Oz = 0. (3.3) 3.2 Friläggning Ett friläggningsdiagram är ett hjälpmedel för att identifiera alla yttre krafter och kraftparsmoment som verkar på ett mekaniskt system. Vid friläggning särskiljs kroppen från sin omgivning och omgivningens verkan på kroppen ersätts med krafter och kraftparsmoment. Arbetsgången vid friläggning är: 1. Bestäm vilken kropp som ska friläggas, här inom streckad linje. 2. Rita ett diagram, som endast innehåller den frilagda kroppen. 3. Ersätt omgivningens verkan på kroppen med krafter och kraftparsmoment. Omgivningens verkan på kroppen inbegriper krafter från kraftfält, t.ex. tyngdkraft, och kontaktkrafter som uppstår vid varje fysisk kontakt mellan den frilagda kroppens rand och omgivande föremål.

23 statisk jämvikt 23 Tyngdkraft Tyngdkraftens verkan på en stelkropp nära jordens yta modelleras med en kraft, tyngdkraften, verkande i kroppens tyngdpunkt G (fig. 3.2). Tyngdkraften är ungefärligen riktad mot jordens centrum och har beloppet mg, där m är kroppens massa och g är tyngdkraftskonstanten. Gravitationens verkan på stelkroppar kommer att studeras noggrannare i kap. 4. Figur 3.2: En stelkropp på vilken tyngdkraftsfältet vid jordens yta verkar. Tyngdkraften, som har beloppet mg, har sin angreppspunkt i tyngdpunkten G. Tvångskrafter och -moment Om en stelkropp står i fysisk kontakt med omgivande föremål, så att den därför hindras från att fritt förflyttas eller rotera, kan tvångskrafter eller tvångsmoment uppstå vid kontakten. Vi studerar först en punktkontakt mellan två kroppar, Ω 1 och Ω 2. Kropparna är i kontakt med varandra i den gemensamma punkten P. Denna kontakt ger i allmänhet upphov till en kraft F 1 verkande i P på kroppen Ω 1, samt ett kraftparsmoment C 1 på Ω 1. Kontakten ger också upphov till en kraft F 2 verkande i P på kroppen Ω 2, samt ett kraftparsmoment C 2 på Ω 2 (fig. 3.3). Enligt en utvidgning av reaktionslagen gäller F 2 = F 1, C2 = C 1. Figur 3.3: Två kroppar, Ω 1 och Ω 2, med en punktkontakt vid P. Friläggningen illustrerar kontaktkrafterna mellan kropparna: F 2 = F 1 ; C 2 = C 1. Punktkontakt används som modell för olika typer av mekaniska infästningar och anordningar mellan kroppar, såsom svetsar, gångjärn, lager o.s.v. Infästningens typ påverkar riktningarna hos tvångskrafter och -moment, enligt följande två principer: 1. Om en infästning medger att Ω 1 kan förskjutas fritt relativt Ω 2 i en riktning e λ, gäller F 1 e λ = F 2 e λ = 0. Ett exempel är y-riktningen i fig. 3.4d. 2. Om en infästning medger att Ω 1 kan vridas fritt relativt Ω 2 kring en axel med riktningsvektorn e λ genom P, gäller C 1 e λ = C 2 e λ = 0. Ett exempel är x-riktningen i fig. 3.4b.

24 24 föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik (a) (b) (c) Tvångskrafter kan alltså bara uppstå i de riktningar i vilka relativ rörelse är förhindrad. På samma sätt kan tvångsmoment bara uppstå i de riktningar kring vilka relativ vridning är förhindrad. Det finns ändlöst många typer av infästningar och i varje fall måste en lämplig punktkontaktmodell införas. Några exempel ges i fig När en ny typ av infästning påträffas är det lämpligt att utgå från att alla kraft- och kraftparsmomentkomposanter är nollskilda, och därefter metodiskt eliminera de komposanter som saknar tvång. (d) Figur 3.4: Friläggning för olika typer av kontakter. (a) Fast inspänning, t.ex. svetsar, skruvförband och limförband, där krafter och kraftparsmoment kan uppstå i varje riktning. (b) För en gångjärnsled, nitar och spikar, tillåter en sprint vridning kring x-axeln, varför C x = 0. (c) Friktionskontakt med rundad kropp; vridningar är tillåtna genom rullning mot underlaget, så att C x = C y = 0. Utan friktionsmoment kring normalaxeln har vi C z = 0. (d) Ett hjul eliminerar en av friktionskomposanterna, F y = 0, och vridning medges kring varje axel, C x = C y = C z = 0. Snören och trissor Ett snöre är en idealiserad lina, vajer eller liknande, vilken betraktas som masslös och otänjbar. Ett sträckt snöre belastas endast av en dragkraft S > 0 i snörets längsriktning. Ett frilagt sträckt snöre belastas av två krafter S och S, som verkar i vardera änden och är parallella med snöret (fig. 3.5a). När ett snöre löper kring en friktionsfritt lagrad masslös trissa, kommer dragkraften att vara densamma i var och en av de två utgående tamparna. Detta framgår om man tecknar momentjämvikt kring trissans lagringsaxel (fig. 3.5b). Figur 3.5: (a) Ett sträckt snöre belastas av två motriktade krafter, parallella med snöret. (b) Snöre som löper över en friktionsfritt lagrad trissa. Momentjämvikt för trissan kring A visar att S 1 = S 2. (a) (b)

25 statisk jämvikt 25 Tvåkraftsystem Ett viktigt specialfall för jämvikt i två eller tre dimensioner är när exakt två krafter, ett tvåkraftsystem, verkar på en stelkropp. Sats 3.3 (Tvåkraftsystem). Om exakt två krafter verkar på en stelkropp i statisk jämvikt, är dessa krafter lika stora, motriktade och har sammanfallande verkningslinjer (fig. 3.6). Bevis. Låt två godtyckliga krafter, F A med angreppspunkt A och F B med angreppspunkt B, verka på en kropp i statisk jämvikt. Kraftjämvikt ger F A + F B = 0, Figur 3.6: Ett tvåkraftsystem i statisk jämvikt. Krafternas verkningslinjer sammanfaller. så att F A = F B och krafterna är lika stora och motriktade. Därmed är också deras verkningslinjer parallella. Momentjämvikt m.a.p. A ger (fig. 3.7) AA F A + AB F B = 0 AB F B = 0. (3.4) Figur 3.7: Geometri för beviset till sats 3.3. Låt ϕ beteckna vinkeln mellan AB och F B. Då är det vinkelräta avståndet mellan verkningslinjerna d = AB sin ϕ = 1 F B F B AB sin ϕ = { ekv. (B.12) } = 1 F B AB F B = { ekv. (3.4) } = 1 F B 0 = 0, så att verkningslinjerna alltså måste sammanfalla. Masslösa stänger fästa i gångjärnsleder är typiska tvåkraftsystem (fig. 3.8). Analysen av flerkroppsproblem kan ibland förenklas avsevärt om man utnyttjar denna egenskap. Figur 3.8: Masslösa stänger som är momentfria i sina fästpunkter utgör tvåkraftsystem under drag och tryck. Även masslösa snören är tvåkraftsystem.

26 26 föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik 3.3 Flerkroppsproblem När en konstruktion innehåller flera delar, som alla är i statisk jämvikt, måste kraftsystemet på var och en av delarna vara ett nollsystem. Man kan visa att det är ett nödvändigt villkor för statisk jämvikt att hela systemet också påverkas av ett nollsystem av yttre krafter och kraftparsmoment. Vid problemlösning kan man välja att frilägga flera sammankopplade stelkroppar åt gången. Betrakta t.ex. schaktmaskinen i fig. 3.9a. Beroende på frågeställningen kan det vara lämpligt att antingen frilägga schaktmaskinen i sin helhet (fig. 3.9b), eller att frilägga varje del för sig (fig. 3.9c). Det senare alternativet är lämpligt om frågeställningen rör krafter mellan konstruktionens delar. Figur 3.9: (a) Schaktmaskin bestående av fordon med masscentrum G 1 och massan m 1, en masslös hydraulcylinder och ett schaktblad på balk med masscentrum G 2 och massan m 2. (b) Friläggning av hela konstruktionen. (c) Friläggning av konstruktionens delar, där hydraulcylindern är en tvåkraftsdel. (a) (b) (c) Friläggningen av schaktmaskinens delar i fig. 3.9c visar på några viktiga principer: I kontaktpunkten mellan två delar uppstår krafter och reaktionskrafter, som enligt reaktionslagen är lika stora och motriktade. Hydraulcylindern antas vara masslös och är därför en tvåkraftsdel, varför krafterna som angriper i dess ändar är lika stora, motriktade och har sammanfallande verkningslinjer (sats 3.3). Kraft- och momentjämvikt kan tecknas för varje frilagd del.

27 4 Masscentrum och tyngdpunkt 4.1 Densitet Densiteten ϱ hos ett material är ett mått på materialets täthet, och definieras som massa per volymsenhet, med SI-enheten kg/m 3. Vilket material en kropp består av kan variera över det område kroppen upptar i rummet, och således varierar även densiteten: ϱ = ϱ( r). En kropp Ω har därmed massan m = Ω ϱ( r)dv, (4.1) där dv är ett infinitesimalt volymselement och r är integrationsvariabeln (fig. 4.1). 4.2 Masscentrum Figur 4.1: Geometri för definition av massa. Betrakta en stelkropp nära jordens yta. Om kroppen hängs upp i ett snöre anslutet till en punkt P 1 på kroppens yta, kommer snörets förlängning vid statisk jämvikt definiera en lodlinje genom kroppen. Om förfarandet upprepas för flera olika punkter, P 1, P 2,..., på kroppens yta är det ett experimentellt faktum att samtliga motsvarande lodlinjer med god noggrannhet skär en gemensam kroppsfix punkt, som kallas kroppens tyngdpunkt (fig. 4.2). g P 1 P 1 P 2 P 2 P 3 tyngdpunkt Figur 4.2: En stelkropp på vilket tyngdkraftsfältet vid jordens yta verkar. Lodlinjerna för olika upphängningspunkter P 1, P 2,... på kroppen skär en gemensam punkt benämnd tyngdpunkten. P 1 I det följande ges en formell definition av en kropps masscentrum G, och senare visas att masscentrum sammanfaller med kroppens tyngdpunkt.

28 28 föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik Definition 4.1 (Masscentrum). För en kropp Ω med densiteten ϱ( r) definieras kroppens masscentrum G av lägesvektorn r G 1 rϱ( r)dv, (4.2) m Ω där m betecknar kroppens massa. Detta betyder att om r G = x G e x + y G e y + z G e z så ges masscentrums x-koordinat av x G = 1 xϱ(x, y, z)dxdydz, (4.3) m Ω med analoga uttryck för y G och z G. Sats 4.2 (Masscentrum för sammansatt kropp). Om en kropp Ω, med massan m, är sammansatt av n delkroppar Ω 1,..., Ω n, ges den sammansatta kroppens masscentrum av r G = 1 n m i r Gi, (4.4) m i=1 där m i är massan och r Gi är masscentrums lägesvektor för den i:te delkroppen (fig. 4.3). Bevis. Enligt def. 4.1 för masscentrum har vi r G = 1 rϱ( r)dv = { En integral för varje delområde } m Ω = 1 [ ] rϱ( r)dv + + rϱ( r)dv m Ω 1 Ω n = 1 [ ] 1 1 m 1 rϱ( r)dv + + m n rϱ( r)dv m m 1 Ω } 1 m n Ω {{}} n {{} =r G1 =r Gn = 1 n m i r Gi. m i=1 Figur 4.3: En kropp sammansatt av delkroppar Ω i, i = 1,..., n, vardera med massan m i och masscentrum G i. Definition 4.3 (Geometriskt centrum). För en kropp Ω definieras kroppens geometriska centrum C av lägesvektorn r C 1 rdv, (4.5) V Ω där V betecknar kroppens volym. Det är vanligt att en kropp Ω består av ett och samma material, så att densiteten är oberoende av läget i kroppen, d.v.s. ϱ är konstant. I sådana fall är kroppens massa m = ϱdv = ϱ dv = ϱv. Ω Ω Kroppens masscentrum blir då, enligt ekv. (4.2), r G = 1 rϱdv = 1 m Ω ϱv ϱ rdv = 1 rdv = r C. Ω V Ω Vid konstant densitet sammanfaller alltså masscentrum med geometriskt centrum.

29 masscentrum och tyngdpunkt Masscentrum för tunna kroppar För ett tunt skal definieras ytdensiteten ϱ A som skalets massa per areaenhet. Ytdensiteten kan variera över skalet, varför vi skriver ϱ A = ϱ A ( r), där r är lägesvektorn för en punkt på skalet. Vi låter Ω beteckna den yta i rymden, som skalet upptar. Definitionen för masscentrum generaliseras så att skalets masscentrum G är r G 1 rϱ A da, (4.6) m Ω där da betecknar ett infinitesimalt ytelement på Ω (fig. 4.4). På motsvarande sätt generaliseras ekv. (4.5) för geometriskt centrum till r C 1 rda, (4.7) A Ω där A = da är skalets area. Ω För en krökt tunn stång, som följer kurvan K från P 1 till P 2, definieras linjedensiteten ϱ l som stångens massa per längdenhet. Linjedensiteten kan variera längs stången, så att ϱ l = ϱ l ( r), där r är lägesvektorn för en punkt på stången. Definitionen för masscentrum generaliseras så att stångens masscentrum G är r G 1 rϱ l ds, (4.8) m K där ds betecknar ett infinitesimalt längdelement på kurvan K (fig. 4.5). Ekvation (4.5) generaliseras här till r C 1 rds, (4.9) l K där l = ds betecknar kurvan K:s längd. K Figur 4.4: Geometri för definition av masscentrum för ett tunt skal Ω. Figur 4.5: Geometri för definition av masscentrum för en tunn stång längs kurvan K. 4.4 Tyngdpunkt Gravitationen är en volymskraft, som verkar över en kropps hela område i rummet. Betrakta en kropp Ω med densiteten ϱ( r). Kroppen påverkas då av en volymskraft, f g ( r) = ϱ( r) g( r), där g betecknar det tyngdkraftsfält som skapas av gravitationen. Man kan ofta med tillräckligt god noggrannhet anta att tyngdkraftsfältet g( r) = g är ett konstant vektorfält inom ett begränsat område. Sats 4.4 (Tyngdkraft och tyngdpunkt). För en stelkropp Ω med massan m och densiteten ϱ( r) i ett rumskonstant tyngdkraftsfält g ges kraftsumman av volymskraften ϱ( r) g av tyngdkraften F g = m g, (4.10) och momentsumman för ϱ( r) g m.a.p. kroppens masscentrum G är Σ M G = 0.

30 30 föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik Bevis. Betrakta ett godtyckligt volymselement dv med lägesvektorn r inom stelkroppen. Kraften på volymselementet är (fig. 4.6) d F = ϱ( r) gdv. Kraftsumman över alla volymselement ges av F g = df Ω = ϱ( r) gdv = { g konstant } Ω [ ] = ϱ( r)dv g Ω } {{ } =m = m g. Figur 4.6: Geometri för tyngkraftens verkan på en stelkropp, med en friläggning av ett volymselement. Volymselementet betraktas som en partikel (postulat 1.2) varför kraftparsmomentet på dv antas vara 0. 9 Momentsumman m.a.p. masscentrum G ges av ΣM G = ( r r G ) df Ω = ( r r G ) ϱ( r) gdv = { g konstant } Ω [ ] = ( r r G )ϱ( r)dv g Ω [ = rϱ( r)dv r G ϱ( r)dv Ω Ω [ = m 1 rϱ( r)dv r G ϱ( r)dv m Ω Ω }{{}}{{} = r G =m = (m r G r G m) g = 0 g = 0. ] g = { r G konstant } ] g 9 Detta är i sig ett postulat. Tack vare den egenskap som påvisas i sats 4.4 är det möjligt att representera tyngdkraftens verkan på en stelkropp med en enda kraft m g som verkar i kroppens masscentrum.

31 masscentrum och tyngdpunkt 31 Ett typiskt exempel, där tyngdkraftsfältet är g = g e z, finns avbildat i fig I ett rumskonstant tyngdkraftsfält är masscentrum identiskt med tyngdpunkten, som alltså avser den punkt G där tyngdkraften m g anses verka. Om tyngdkraftsfältet varierar med läget, g = g( r), existerar ingen tyngdpunkt eftersom lodlinjerna som bildas vid förfarandet i fig. 4.2 inte nödvändigtvis kommer att ha någon gemensam skärningspunkt. Figur 4.7: En stelkropp på vilket tyngdkraftsfältet vid jordens yta verkar. Tyngdkraften, som har beloppet mg, har sin angreppspunkt i tyngdpunkten G.

32

33 5 Friktion Vid en kontakt mellan två kroppar uppstår friktionskrafter på respektive kropp, som motverkar glidning. 10 Betrakta två kroppar Ω 1 och Ω 2, som står i fysisk kontakt vid den för kropparna gemensamma punkten P (fig. 5.1). Vid kontaktpunkten P definieras ett tangentplan till kropparna, med normalvektorn e n. På kropp Ω 1 verkar en normalkraft N = N e n och en friktionskraft F f e n. På kropp Ω 2 verkar N och F f enligt reaktionslagen. 10 Även kraftparsmoment kan uppstå för att motverka vridning kring en normal genom kontaktytan. Figur 5.1: Två stelkroppar i kontakt vid punkten P. Tangentplanet för kontakten har indikerats. Kroppen Ω 1 har frilagts, med friktionskraften F f i tangentplanet, och normalkraften N i planets normalriktning. Alla material uppvisar friktion mot varandra, men när friktionen mellan två kroppar bedöms vara försumbar, t.ex. p.g.a. smörjning, sägs kontaktstället vara friktionsfritt. För en friktionsfri kontakt är friktionskraften F f = 0. Med en friktionsfri yta, 11 menas att alla ytans kontaktställen är friktionsfria. 11 Benämningen glatt yta förekommer också. 5.1 Ett friktionsexperiment Betrakta experimentuppställningen i fig En låda vilar mot en plan vagn som i sin tur vilar mot ett plant underlag. Vagnen hålls på plats av en anordning som mäter beloppet F f av den horisontella kraften på vagnen. Lådan påverkas av en variabel horisontell kraft P vars belopp mäts med en givare. En friläggning av lådan återfinns också i fig Kraftjämvikt i horisontell riktning visar att det kraftbelopp F f som uppmäts på vagnen är identiskt med friktionskraftens belopp. I ett experiment låter man först kraften P = 0 verka på lådan, därefter ökas P långsamt. I ett första skede glider inte lådan mot vagnen; den hålls på plats av statisk friktion. Så länge ingen glidning uppstår råder kraftjämvikt, vilket ger F f = P. När man ökat P tillräckligt

34 34 föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik Figur 5.2: Experimentuppställning för friktionsmätning, och friläggning av rörlig del. Kraftgivare har indikerats med dubbelcirkelsymbol. börjar dock lådan glida mot vagnen och accelerera. I samma ögonblick sjunker friktionskraften plötsligt och behåller ett konstant värde även om vi ökar P ytterligare under rörelsen (fig. 5.3). Friktionskraften vid glidning benämns kinetisk friktion. Beteendet som skildras i tankeexperimentet ovan är typiskt för så kallad torr friktion, där kontaktstället utgörs av rena torra ytor. Fukt, partiklar och oxidlager med mera på kropparnas ytor påverkar annars friktionskraftens belopp. Även temperaturen och kropparnas mekaniska egenskaper påverkar friktionen. Figur 5.3: Friktionskraft ritad som funktion av pålagd kraft P för experimentet i fig Coulombfriktion Om vi begränsar oss till torr friktion mellan rena ytor under konstant temperatur, gäller följande konstitutiva samband 12 approximativt. Konstitutivt samband 5.1 (Coulombs friktionslag). Om glidning föreligger vid ett kontaktställe gäller 12 konstitutivt samband ekvation eller lag som är specifik för ett material, och alltså ej är allmängiltig. F f = µ k N. (5.1) Om glidning ej föreligger, består denna statiska friktion så länge F f < µ s N. (5.2) Här är F f friktionskraften, N normalkraftens belopp, µ k den kinetiska friktionskoefficienten och µ s den statiska friktionskoefficienten, där 0 µ k µ s. Vid glidning verkar F f rakt motsatt glidhastigheten vid kontaktstället. Tankeexperimentet från stycke 5.1 (fig. 5.2 och 5.3) exemplifierar Coulombfriktion. Om glidning ej föreligger i utgångsläget kan man undersöka gränsfallet för begynnande glidning. För detta sätter man friktionskraften till det instabila gränsfall där glidning är förestående: F f = µ s N. (5.3) Detta motsvarar friktionskraftens maximum i fig Vid problemlösning är det ibland inte känt huruvida glidning föreligger vid kontaktstället. I sådana fall antar man först att friktionen är statisk och använder jämviktsekvationerna, ekv. (3.1a) och (3.1b), för att bestämma friktionskraftens belopp F f och normalkraftens belopp N. Om detta leder till att ekv. (5.2) ej är uppfylld måste glidning föreligga, och friktionskraften ges i stället av ekv. (5.1).

35 friktion Friktion i ett system av kroppar Om det finns flera kontaktställen med Coulumbfriktion i ett flerkroppsproblem gäller det konstitutiva sambandet 5.1 vid varje kontaktställe. Om vi t.ex. har två kontaktställen, vid punkterna A och B, är följande fall tänkbara: Ingen glidning vid något av kontaktställena A eller B. Glidning vid A men ej vid B. Glidning vid B men ej vid A. Glidning vid både A och B. Dessa fall är avbildade i fig Om ett flerkroppsproblem innehåller n kontaktställen finns det maximalt 2 n tänkbara kombinationer av glidning och statisk friktion. (a) (b) Figur 5.4: Exempel på friktion vid flera kontaktställen. Tänkbara utfall är (a) ingen glidning, (b) endast glidning vid A, (c) endast glidning vid B, och (d) glidning vid både A och B. Det sista fallet kan åstadkommas genom att, efter att glidning uppstått vid B, hastigt öka P. (c) (d) Ibland medför problemets geometri att vissa kombinationer av glidning och statisk friktion kan uteslutas. En kil har t.ex. två kontaktställen (fig. 5.5). Glidning måste uppstå vid båda kontaktställena för att kilen ska kunna förflyttas. Således existerar bara två tänkbara fall: antingen glidning vid båda kontaktställena, eller ingen glidning vid något kontaktställe. Figur 5.5: För att en kil ska drivas in krävs glidning vid båda dess kontaktställen.

36

37 Del II Partikeldynamik

38

39 6 Plan kinematik Kinematik är läran om rörelsens geometri, utan att orsaken till denna rörelse beaktas. Detta kapitel ägnas åt studier av partikelrörelse begränsad till ett plan, så kallad plan rörelse. Framställningen använder sig av differentialer, som beskrivs formellt i bilaga D. 6.1 Rätlinjig rörelse Om en partikel P rör sig längs en rät linje i rummet sägs partikeln utföra rätlinjig rörelse. För att beskriva partikelns läge inför vi en lägeskoordinat x(t) relativt en rumsfix punkt O på linjen (fig. 6.1). Koordinaten x(t) beskriver läget vid tiden t och tillåts anta negativa värden. Om partikeln vid en annan tid t + t befinner sig vid punkten P med koordinaten x(t + t), definierar vi partikelns momentana 13 hastighet genom gränsvärdet 13 momentan som råder i ögonblicket. x(t + t) x(t) v(t) lim = dx t 0 t dt, (6.1) vilket vi känner igen som tidsderivatan av läget x(t). För rätlinjig rörelse definieras partikelns fart som v. O x P v x + x P v + v Figur 6.1: En partikel P:s rörelse längs en rät linje relativt en fix referenspunkt O. På motsvarande sätt definieras partikelns momentana acceleration som hastighetens tidsderivata: v(t + t) v(t) a(t) lim = dv t 0 t dt. (6.2) Definitionerna för hastighet och acceleration kan även skrivas med differentialnotation (bilaga D). Genom att tillämpa ekv. (D.2) på ekv. (6.1) respektive (6.2) får vi dx = vdt (6.3a) dv = adt. (6.3b)

40 40 föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik Sats 6.1. För en partikel i rätlinjig rörelse, med lägeskoordinaten x(t), hastigheten v(t) och accelerationen a(t) gäller vdv = adx. (6.4) Bevis. Från ekv. (6.3b) får vi dv = adt { multiplicera med v } vdv = avdt { ekv. (6.3a) } vdv = adx. Vid problemlösning utgår man lämpligen från ett eller flera av differentialsambanden (6.3a), (6.3b) och (6.4). Därefter tillämpar man satserna D.2 eller D.3 för att bilda en skalär ekvation. 6.2 Kroklinjig rörelse Det tidsberoende läget för en partikel eller punkt i rummet betecknas r(t). Utifrån denna lägesvektor definieras sedan hastighet och acceleration som gränsvärden. Definition 6.2 (Hastighet). Hastigheten för en partikel med lägesvektorn r(t) definieras (fig. 6.2) r(t + t) r(t) r v(t) lim = lim t 0 t t 0 t = d r dt. (6.5) Hastighet är en vektorstorhet och dess riktning är parallell med tangenten för den bana som beskrivs av r(t) (fig. 6.2). Definition 6.3 (Acceleration). Accelerationen för en partikel med hastigheten v(t) definieras (fig. 6.3) Figur 6.2: Geometri för gränsvärdesdefinition av hastighet. v(t + t) v(t) v a(t) lim = lim t 0 t t 0 t = d v dt. (6.6) Accelerationen är en vektorstorhet vars riktning inte behöver vara parallell med tangenten till banan r(t). Rektangulära koordinater En partikels läge i ett rektangulärt koordinatsystem med basen { e x, e y, e z } skrivs r(t) = x(t) e x + y(t) e y + z(t) e z. (6.7) Figur 6.3: Geometri för gränsvärdesdefinition av acceleration. Denna situation illustreras i fig När det framgår av kontexten vilka storheter som är tidberoende utelämnar man ofta parametern t och skriver r = x e x + y e y + z e z. Sats 6.4 (Hastighet på rektangulär form). Hastigheten för en partikel med lägesvektorn r = x e x + y e y + z e z ges på rektangulär form av v = ẋ e x + ẏ e y + ż e z. (6.8)

41 plan kinematik 41 Figur 6.4: En partikel P:s rörelse i rummet relativt ett rektangulärt koordinatsystem. Bevis. Enligt definition 6.2 för hastighet gäller v = d r dt = d dt (x e x + y e y + z e z ) = { produktregeln } = ẋ e x + x d e x dt + ẏ e y + y d e y dt + ż e z + z d e z dt = { e x, e y, e z konst. } = ẋ e x + ẏ e y + ż e z. Basvektorernas tidsderivator blir noll eftersom de är konstanter för rektangulära koordinatsystem. Sats 6.5 (Acceleration på rektangulär form). Accelerationen för en partikel med lägesvektorn r = x e x + y e y + z e z ges på rektangulär form av a = ẍ e x + ÿ e y + z e z. (6.9) Bevis. Definition 6.3 för acceleration ger a = d v dt = { sats 6.4 } = d dt (ẋ e x + ẏ e y + ż e z ) = { produktregeln } = ẍ e x + ẋ d e x dt + ÿ e y + ẏ d e y dt + z e z + ż d e z dt = { e x, e y, e z konst. } = ẍ e x + ÿ e y + z e z. Precis som för rätlinjig rörelse är det önskvärt att skriva om uttrycken för hastighet och acceleration till differentialsamband, så att partikelrörelser kan bestämmas genom integration. Sats 6.6. Om en partikelbana ges av r = x e x + y e y + z e z, hastigheten betecknas v = v x e x + v y e y + v z e z och accelerationen betecknas a = a x e x + a y e y + a z e z gäller differentialsambanden dx = v x dt dy = v y dt dz = v z dt dv x = a x dt dv y = a y dt dv z = a z dt (6.10) v x dv x = a x dx v y dv y = a y dy v z dv z = a z dz.

42 42 föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik Bevis. För koordinatriktningen x har vi enligt ekv. (6.8) att v x = dx { ekv. (D.2) } dt dx = v x dt. (6.11) Dessutom ger ekv. (6.9) a x = d2 x dt 2 = dv x dt dv x = a x dt. { ekv. (D.2) } Detta ger i sin tur dv x = a x dt { } multiplicera med v x v x dv x = a x v x dt { ekv. (6.11) } v x dv x = a x dx. Övriga differentialsamband för koordinaterna y och z erhålles analogt. De differentialsamband som gäller för rätlinjig rörelse, gäller alltså enligt sats 6.6 för var och en av koordinatriktningarna vid kroklinjig rörelse. Polära koordinater I ett givet rektangulärt koordinatsystem med origo O kan en partikel P:s läge i xy-planet beskrivas med dess avstånd r = OP till origo samt vinkeln θ utgående från x-axeln moturs till strålen OP. Här är r och θ partikelns polära koordinater (fig. 6.5). Om partikeln rör sig blir dess polära koordinater tidsberoende: r = r(t) och θ = θ(t). Vinkelhastigheten definieras ω θ, och vinkelaccelerationen definieras α ω = θ. Figur 6.5: Polära koordinater (r, θ). Definition 6.7 (Polära basvektorer). Givet en rektangulär bas { e x, e y } i planet definieras de polära basvektorerna (fig. 6.6) e r cos θ e x + sin θ e y (6.12a) e θ sin θ e x + cos θ e y. (6.12b) I och med denna definition kan lägesvektorn för en partikel skrivas på polär form som r = r e r, (6.13) där r = r(t), r = r(t) och e r = e r (t). Partikelns hastighet och acceleration kan nu erhållas från definitionerna 6.2 och 6.3 genom tidsderiveringar av ekv. (6.13). Dessa deriveringar förenklas dock om vi först beräknar basvektorernas tidsderivator. Figur 6.6: Rektangulär och polär bas i enhetscikeln. Sats 6.8. De polära basvektorernas tidsderivator ges av d e r dt d e θ dt = θ e θ (6.14a) = θ e r. (6.14b)

43 plan kinematik 43 Bevis. Derivering av ekv. (6.12a) ger d e r dt = d dt (cos θ e x) + d dt (sin θ e y) = { e x, e y konstanter } d(cos θ) d(sin θ) = e x + e y = { kedjeregeln } dt dt d(cos θ) dθ = dθ dt e d(sin θ) dθ x + dθ dt e y = ( sin θ) θ e x + (cos θ) θ e y = θ ( sin θ e x + cos θ e y ) = { ekv. (6.12b) } = θ e θ. Derivering av ekv. (6.12b) ger d e θ dt = d dt (sin θ e x) + d dt (cos θ e y) = { e x, e y konstanter } d(sin θ) d(cos θ) = e x + e y = { kedjeregeln } dt dt d(sin θ) dθ = dθ dt e d(cos θ) dθ x + dθ dt e y = (cos θ) θ e x + ( sin θ) θ e y = θ (cos θ e x + sin θ e y ) = { ekv. (6.12a) } = θ e r. Direkt tidsderivering av ekv. (6.13) ger därefter uttrycken för hastighet och acceleration i polära koordinater. Sats 6.9 (Hastighet på polär form). Hastigheten för en partikel ges på polär form av v = ṙ e r + r θ e θ. (6.15) Bevis. Från definition 6.2 för hastighet får vi v = d r dt = { ekv. (6.13) } = d dt (r e r) = { produktregeln } = ṙ e r + r d e r dt = { ekv. (6.14a) } = ṙ e r + r θ e θ. Sats 6.10 (Acceleration på polär form). Accelerationen för en partikel ges på polär form av a = ( r r θ 2 ) e r + (r θ + 2ṙ θ) e θ. (6.16)

44 44 föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik Bevis. Från definition 6.3 för acceleration får vi a = d v dt = { ekv. (6.15) } = d dt (ṙ e r + r θ e θ ) = { produktregeln } = r e r + ṙ d e r dt + ṙ θ e θ + r θ e θ + r θ d e θ dt = { ekv. (6.14a), (6.14b) } = r e r + ṙ( θ e θ ) + ṙ θ e θ + r θ e θ + r θ( θ e r ) = ( r r θ 2 ) e r + (r θ + 2ṙ θ) e θ. Cirkulär rörelse En cirkulär rörelse låter sig väl beskrivas av polära koordinater (fig. 6.7). Genom att placera origo i den cirkelära banans centrum försäkrar vi oss om att r är konstant, så att ṙ = 0 och r = 0. För cirkulär rörelse rörelse förenklas därmed uttrycken för hastighet och acceleration till v = r θ e θ = rω e θ (6.17a) a = r θ 2 e r + r θ e θ = rω 2 e r + rα e θ. (6.17b) Genom att betrakta ekv. (6.17a) finner man en enkel relation mellan partikelns fart och dess vinkelhastighet: Figur 6.7: Cirkelrörelse med polärt koordinatsystem. v = rω. (6.18) Denna formel gäller dock endast vid cirkulär rörelse. Naturliga komponenter Betrakta en partikel P som rör sig längs en kurva K i planet. Utgående från en fix punkt O på kurvan kan partikels lägesvektor skrivas r = r(s), där s = s(t) är båglängden från O till P längs kurvan (fig. 6.8). Figur 6.8: En partikel P:s rörelse i planet längs en bana K, med båglängdskoordinaten s utgående från den rumsfixa punkten O. Den naturliga basen { e t, e n} varierar med partikelns läge. Definition 6.11 (Naturliga basvektorer). För en given båglängdsparametrisering r = r(s) av en kurva K definieras den naturliga basen e t d r (6.19a) ds e n ρ d e t ds, ρ d e t ds 1, (6.19b)

45 plan kinematik 45 där e t är kurvans tangentriktning, e n är dess normalriktning och ρ är dess krökningsradie. Definition 6.11 är så utformad att e t = e n = 1 och e t e n, och därför utgör dessa enhetsvektorer en ortonormal bas i planet Bas- R. A. Adams. Calculus: A complete course. Addison Wesley Longman, vektorernas riktning varierar med partikelns läge (fig. 6.8). Ltd., 4th edition, ISBN För vårt vidkommande är den geometriska tolkningen av def intressant. Då partikeln befinner sig i en punkt P kommer e t att peka i kurvans tangentriktning vid P, riktad i båglängdskoordinatens positiva riktning. Vidare kan man konstruera en cirkel, den oskulerande cirkeln, sådan att den tangerar kurvan vid P och har samma krökningsradie ρ som kurvan har vid P (fig. 6.8). Den oskulerande cirkelns mittpunkt kallas krökningscentrum, C, och normalriktningen är orienterad mot detta krökningscentrum. För en partikelbana varierar läget med tiden t, varför vi skriver s = s(t), och lägesvektorn får således formen r = r [s(t)], ṡ 0. (6.20) Notera speciellt villkoret ṡ 0. En partikel som rör sig fram och åter längs samma bana, som pendeln i figur 6.9, måste tillordnas en kurva som veckar sig, så att rörelsen kan beskrivas med en båglängdskoordinat som är växande i tiden, och så att s kommer att representera tillryggalagd sträcka. Från lägesvektorn i ekv. (6.20) härleds uttryck för hastighet och acceleration (fig. 6.10) från deras respektive definitioner. Figur 6.9: Vikten hos en pendel rör sig fram och tillbaka i samma spår. Detta representeras av en kurva som veckar sig fram och åter, så att båglängdskoordinaten ökar med tiden. Sats 6.12 (Hastighet i naturliga basen). Hastigheten för en partikel ges i den naturliga basen av v = ṡ e t = v e t, (6.21) där v = ṡ 0 är partikelns fart. Bevis. Från def. 6.2 för hastighet får vi v = d r dt = { ekv. (6.20) } = d dt r [s(t)] = { kedjeregeln } = d r ds ds dt = { ekv. (6.19a) } = ṡ e t. Figur 6.10: Lägesvektor r, hastighet v och acceleration a i den naturliga basen. Sats 6.13 (Acceleration i naturliga basen). Accelerationen för en partikel ges i den naturliga basen av a = v e t + v2 ρ e n, (6.22) där v = ṡ och ρ är banans krökningsradie.

46 46 föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik Bevis. Från def. 6.3 för acceleration får vi a = d v dt = { ekv. (6.21) } = d dt (ṡ e t) = { produktregeln } = s e t + ṡ d e t dt = { kedjeregeln } = s e t + ṡ d e t ds = s e t + ṡ2 ρ e n = v e t + v2 ρ e n. ds dt = { ekv. (6.19b) } Accelerationens normalkomponent är alltså a n = v 2 /ρ och är alltid riktad mot krökningscentrum (fig. 6.10). Sats För en krökt partikelbana i den naturliga basen gäller vdv = a t ds, (6.23) där a t = v är accelerationens komponent i tangentriktningen. Bevis. Eftersom v = ds/dt ger ekv. (D.2) att ds = vdt. (6.24) Enligt ekv. (D.1) har vi dv = vdt { ekv. (6.22) } dv = a t dt vdv = a t vdt { ekv. (6.24) } vdv = a t ds. 6.3 Kinematiska tvång Rörelsen hos kroppar som är i kontakt med varandra kan vara kopplade på grund av kinematiska tvång. Det gäller t.ex. då två kroppar är förbundna med en länkarm eller ett sträckt snöre. I ett materiellt system med flera partiklar i rätlinjig rörelse, förses varje partikel med en koordinat, som bestämmer partikelns läge relativt någon rumsfix punkt. Partiklar förbundna med ett snöre Som typexempel betraktar vi ett system med två partiklar, A och B, förbundna med ett snöre. Snöret löper genom två trissor, som är upphängda enligt fig Båda trissornas radier är R. Med hjälp av definitionerna av sträckor och lägen i fig kan vi teckna ett uttryck Figur 6.11: Två partiklar, A och B, sammankopplade med ett snöre, som löper genom trissor med radien R.

47 plan kinematik 47 för snörets totala längd: l = x A + πr + (x A d) + πr + x B = 2x A + x B + 2πR d. Derivering av denna ekvation m.a.p. tiden ger ett samband mellan partiklarnas hastighet i deras respektive koordinatriktning: 0 = 2ẋ A + ẋ B 2v A + v B = 0, där vi utnyttjade att snörets längd är konstant. Ytterligare en derivering m.a.p. t ger ett samband mellan partiklarnas accelerationer 0 = 2ẍ A + ẍ B 2a A + a B = 0. Typiskt för dynamiska problem är att man behöver just sambandet mellan olika partiklars acceleration, eftersom accelerationen ingår i kraftlagen (stycke 1.2). Generellt är det alltid fruktbart att teckna ett snöres längd i de sammanbundna partiklarnas koordinater och sedan derivera m.a.p. t. Om problemet innehåller flera snören erhåller man på detta sätt ett kinematiskt samband för varje snöre. Partiklar förbundna med en länkarm När två partiklar står i förbindelse med varandra genom en vridbar länkarm, inför man en vinkelkoordinat θ, som betecknar länkarmens vridning relativt en rumsfix axel. Om vinkeln förblir liten, kommer rörelsen vid länkarmens ändar att vara approximativt rätlinjig. Som exempel betraktar vi två partiklar, A och B, som är upphängda i var sin ände av en rät stång enligt fig Partiklarnas lägen kan skrivas som funktioner av vinkeln θ: { xa = b + l A sin θ x A = b + l A (b x B ), x B = b l B sin θ l B där sin θ eliminerades ur ekvationssystemet. Derivering m.a.p. t ger ẋ A = l A l B ẋ B v A = l A l B v B. Figur 6.12: Två partiklar, A och B, är upphängda i snören, vardera med längden b, och sammankopplade med en länkarm. Ytterligare en derivering m.a.p. t ger ett samband mellan partiklarnas accelerationer ẍ A = l A l B ẍ B a A = l A l B a B.

48

49 7 Kinetik 7.1 Newtons rörelselagar Vi upprepar Newtons rörelselagar för partiklar, från stycke 1.2: I. S. Newton. Naturvetenskapens matematiska principer, första boken. 1. Tröghetslagen En partikel förblir i vila eller i likformig rätlinjig rörelse så länge inga yttre krafter verkar på partikeln Kraftlagen För en partikel med konstant massa m gäller Σ F = m a, (7.1) där Σ F är kraftsumman på partikeln och a är partikelns acceleration. 3. Reaktionslagen När en partikel B utövar en kraft F på en annan partikel A, utövar A samtidigt en kraft F på B. Kraften och reaktionskraften mellan två partiklar är alltså lika stora och motriktade. Postulaten ovan benämns även Newtons första, andra respektive tredje lag. Experiment visar att Newtons rörelselagar gäller för makroskopiska system, alltså system mycket större än den atomära längdskalan, och farter mycket mindre än ljusets hastighet. Svensk översättning C. V. L. Charlier, Liber Läromedel, Malmö, 1986a. ISBN Med formuleringen inga yttre krafter menas att partikeln är helt fri från växelverkan. Newtons första lag Enligt Newtons första lag krävs ingen kraft för att upprätthålla en rörelse. En partikel rör sig med konstant hastighet i en rät linje, så kallad likformig rörelse, om den inte påverkas av några krafter från omgivningen. Det krävs någon form av växelverkan med omgivningen för att förändra rörelsen. Rörelsen hos partiklar måste beskrivas relativt en referensram, 17 inom vilket vi kan definiera ett koordinatsystem. Newtons rörelselagar gäller bara i en viss typ av koordinatsystem, som kallas inertialsystem. Newtons första lag, tröghetslagen, gör det möjligt att bestämma om ett givet koordinatsystem är ett inertialsystem. Man väljer då ut ett antal föremål som växelverkar mycket svagt med sin omgivning, till exempel stjärnor långt från andra astronomiska objekt. Om varje 17 referensram mängden av alla koordinatsystem, som är i vila relativt ett givet koordinatsystem.

50 50 föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik sådant föremål har konstant hastighet i det givna koordinatsystemet (fig. 7.1a), vet man att koordinatsystemet med stor noggrannhet är ett inertialsystem. Om däremot hastigheten för dessa föremål varierar för ett koordinatsystem (fig. 7.1b), vet man att detta inte är ett inertialsystem. Figur 7.1: (a) Inertialsystemet xyz är sådana att kroppar med försumbar växelverkan beskriver likformig rörelse. (b) Koordinatsystemet x y z är ej ett inertialsystem. Föremål som påverkas av mycket liten kraft förefaller vara accelererade. (a) (b) Ett koordinatsystem som är fixt relativt Jordens yta är inte något inertialsystem. Detta framgår tydligt då man fotograferar en stjärnklar himmel med lång exponeringstid (fig. 7.2); stjärnorna rör sig inte likformigt i den jordbundna referensramen. I många tillämpningar dock inte alla uppnås tillfredställande noggrannhet om Newtons lagar tillämpas för ett jordbundet koordinatsystem. Newtons andra lag I Newtons andra lag, kraftlagen, är det underförstått att en referensram valts så att tröghetslagen gäller. Då är accelerationen a, som ingår i kraftlagen, väldefinierad (def. 6.3). I mer noggranna framställningar utreds hur begreppet massa kan definieras ur Newtons lagar. 18 Här antar vi emellertid att massa och kraft är på förhand väldefinierade storheter. Deras relation till en partikels rörelse ges av kraftlagen: Figur 7.2: Stjärnhimlen fotograferad med lång exponeringstid. Ett jordbundet system är inte något inertialsystem. (foto LCGS Russ) 18 J. B. Griffiths. The theory of classical mechanics. Cambridge University Press, ISBN Σ F = m a. Notera att vänsterledet innehåller den vektoriella summan av alla på partikeln verkande krafter. Endast krafter som härrör från växelverkan, t.ex. gravitationskraft och kontaktkrafter, ingår i denna summa. 19 Newtons tredje lag 19 Fiktiva krafter, t.ex. centripetalkraft, lyder inte de lagar som normalt gäller för krafter, t.ex. reaktionslagen. Newtons tredje lag, reaktionslagen för partiklar, beskriver växelverkans natur. Eftersom krafter uppstår genom växelverkan mellan kroppar, uppträder krafter i par: kraften och reaktionskraften på respektive växelverkande partikel är lika stora och motriktade (fig. 7.3). Den tredje lagen omtalar dock inte huruvida kraften och reaktionskraften ger upphov till något kraftparsmoment. Vi formulerar därför ett tillägg till reaktionlagen, så att kraftparsmomentet blir noll:

51 kinetik 51 Postulat 7.1 (Tillägg till reaktionslagen). Kraften och reaktionskraften verkar längs en gemensam verkningslinje vid växelverkan mellan partiklar (fig. 7.3). Reaktionslagen är mycket generell. Den gäller i både statiska och dynamiska situationer och den gäller för alla typer av kroppar, även deformerbara. Det finns dock tillfällen då den inte gäller, t.ex. när partiklar växelverkar genom elektromagnetiska krafter och kropparna accelereras eller befinner sig på mycket stort avstånd från varandra Rörelseekvationer och problemlösning I kinetiska problem bestäms en partikels rörelse av de krafter som påverkar partikeln. Samtidigt kan partikelns rörelse påverkas av kinematiska tvång. Figur 7.3: Newtons tredje lag, reaktionslagen, under det extra antagandet att kraften och reaktionskraften har en gemensam verkningslinje. 20 K. R. Symon. Mechanics. Addison- Wesley Publishing Company, Inc., 2nd edition, 1960 Rätlinjig rörelse Vid rätlinjig rörelse är det på förhand givet att en partikel rör sig längs en rät linje i ett inertialsystem. Vi väljer ett rektangulärt koordinatsystem sådant att x-riktningen sammanfaller med rörelseriktningen. Eftersom ingen rörelse sker i y- eller z-riktningen gäller a y = a z = 0. Kraftlagen på komponentform blir därmed ΣF x = ma x (7.2a) ΣF y = 0 (7.2b) ΣF z = 0. (7.2c) Accelerationen i en given rörelseriktning bestäms alltså av kraftsumman i denna riktning. Kroklinjig plan rörelse Då en partikels rörelse sker i ett plan finns tre alternativa koordinatsystem, som kan användas för att beskriva rörelse. För rektangulära koordinater med partikelrörelser begränsade till i xy-planet gäller enligt sats 6.5 att a x = ẍ, a y = ÿ och a z = 0. Kraftlagen på komponentform blir ΣF x = ma x = mẍ (7.3a) ΣF y = ma y = mÿ. (7.3b) För polära koordinater (r θ) och plan rörelse gäller enligt sats 6.10 att a r = r r θ 2 och a θ = r θ + 2ṙ θ. Kraftlagen på komponentform blir ΣF r = ma r = m( r r θ 2 ) (7.4a) ΣF θ = ma θ = m(r θ + 2ṙ θ). (7.4b) Dessa ekvationer förenklas avsevärt vid cirkulär rörelse, då ṙ = 0 och r = 0.

52 52 föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik För naturliga komponenter (n t) och plan rörelse gäller enligt sats 6.13 att a t = v och a n = v 2 /ρ, där ρ är banans krökningsradie. Kraftlagen på komponentform blir ΣF n = ma n = m v2 (7.5a) ρ ΣF t = ma t = m v. (7.5b) Observera vikten av att införa korrekta koordinatriktningar. Normalriktningen är orienterad mot krökningscentrum.

53 8 Arbete, energi och effekt I de fall krafterna på en partikel beror av dess läge (fig. 8.1) kan analysen ofta förenklas m.h.a. energimetoder. Arbete och energi mäts i enheten joule (J) eller newtonmeter (Nm), där 1 J = 1 Nm = 1 kg m 2 /s Arbete Definition 8.1 (Arbete av en kraft). En kraft med kraftvektorn F = F (s) angriper i en punkt med given bana r = r(s), där s = s(t) är båglängdskoordinaten sådan att ṡ Kraftens arbete U definieras genom du = F e t ds, (8.1) Figur 8.1: Då kraften på en partikel P beror av dess läge är energimetoder ofta användbara. 21 Med villkoret ṡ 0 kommer r(s) att representera en unik väg, och s är den tillryggalagda sträckan. där e t är banans tangentriktning (fig. 8.2). Arbetet av en kraft mellan två givna tidpunkter, t 1 och t 2, betecknas U 1 2 och erhålles genom integration av differentialsambandet 8.1, som enligt sats D.3 ger U 1 2 = s2 s 1 F et ds, (8.2) där vi använt beteckningarna s 1 = s(t 1 ) och s 2 = s(t 2 ) (fig. 8.2). En trivial men viktigt följd av definitionen är att inget arbete uträttas av en kraft som angriper i en rumsfix punkt, sådan att s 1 = s 2. Figur 8.2: Partikelbana mellan tidpunkterna t 1 och t 2 motsvarande båglängdskoordinaterna s 1 och s 2. Definition 8.2 (Arbete på en partikel). Arbetet på en partikel är arbetet av kraftsumman Σ F, som verkar på partikeln.

54 54 föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik Det totala arbetet på en partikel mellan två tidpunkter, t 1 och t 2, ges av s2 ( U 1 2 = ΣF s2 n ) n s2 e t ds = F i e t ds = Fi e t ds, s 1 s 1 i=1 som alltså är summan av varje krafts arbete. Tvångskrafter, t.ex. normalkraften, uppstår endast i de rörelseriktningar som är förhindrade. Partikelrörelsen relativt ett rumsfixt hinder är därför alltid vinkelrät mot tvångskraftens riktningen, varför tvångskrafter från ett sådant hinder ej kan utföra arbete. Arbetet vid rätlinjig rörelse utgör ett specialfall av kroklinjig rörelse. För rätlinjig rörelse kan vi införa en lägeskoordinat x(t), som beskriver en punkt P:s läge, och betraktar en kraft F (x), med angreppspunkt i P där kraftens positiva riktning är x-riktningen (fig. 8.3). I så fall följer det av def. 8.1 att du = F dx. (8.3) Notera att x är en lägeskoordinat och att ẋ tillåts anta negativa värden. i=1 s 1 O P x F (t) Figur 8.3: Rätlinjig rörelse för en partikel P med en lägeskoordinat x(t) samt en kraft F [x(t)] med x-riktningen som positiv riktning. 8.2 Rörelseenergi Definition 8.3 (Rörelseenergi). För en partikel med massan m och farten v definieras rörelseenergin 22 som 22 Benämns även kinetisk energi. T 1 2 mv2. (8.4) Krafter som verkar på en partikel kommer att ändra partikelns hastighet, och kan därför ändra dess rörelseenergi. Hur krafters arbete omvandlas till rörelseenergi beskrivs av mekaniska energisatsen. Sats 8.4 (Mekaniska energisatsen). För en partikel med massan m, som färdas längs en båglängdsparametriserad kurva r(s) mellan lägena s 1 och s 2 medan den påverkas av en kraftsumma ΣF (fig. 8.4), gäller s2 s 1 Σ F e t ds = T 2 T 1, (8.5) där T 1 är rörelseenergin vid s 1 och T 2 är rörelseenergin vid s 2. Bevis. Integranden i vänsterledet av ekv. (8.5) samt kraftlagen ger ΣF e t = m a e t = { ekv. (6.22) } ( ) = m v e t + v2 ρ e n e t = m dv dt = { kedjeregeln } = m dv ds ds dt = mv dv ds. Figur 8.4: Geometri för mekaniska energisatsen: partikelbana mellan tidpunkterna t 1 och t 2 motsvarande båglängdskoordinaterna s 1 och s 2 samt farter v 1 och v 2.

55 arbete, energi och effekt 55 Detta samband kan, enligt ekv. D.2, uttryckas med differentialnotation: Σ F e t ds = mvdv { sats D.3 } s2 v2 s 1 = v 1 [ ] v2 1 m 2 v2 v 1 ΣF e t ds = mvdv = 1 2 mv mv2 1 = { def. 8.4 } = T 2 T Konservativa krafter Konservativa krafter är sådana som bevarar den totala mekaniska energin när de utför ett arbete. Med mekanisk energi menas summan av rörelseenergi, lägesenergi och elastisk energi. Konservativa krafters arbete ger inte upphov till andra energiformer, t.ex. värme, elektrisk ström eller elektromagnetisk strålning (ljus). Friktion alstrar värme, och är alltså inte någon konservativ kraft. Analysen av konservativa krafters arbete kan förenklas med så kallade potentialer. Definition 8.5 (Lägesenergi i tyngdkraftsfält). Lägesenergin hos en partikel P med massan m i ett konstant tyngdkraftsfält g = g e z definieras som V g (z) mgz, (8.6) där z är partikelns läge relativt ett valt origo O för ett rektangulärt koordinatsystem. Vid jordytan ökar alltså lägesenergin linjärt med höjden över marken. Sats 8.6 (Tyngdkraftens arbete). På en partikel med massan m, som färdas längs en båglängdsparametriserad kurva r(s) mellan lägena s 1 och s 2 medan den påverkas av ett tyngdkraftsfält g = g e z (fig. 8.5), utför tyngdkraften F g = m g arbetet s2 s 1 Fg e t ds = [V g (z 2 ) V g (z 1 )], (8.7) Figur 8.5: Geometri för tyngdkraftens arbete på en partikel P. där V g är partikelns lägesenergi medan z 1 och z 2 är partikels z- koordinat vid s 1 respektive s 2.

56 56 föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik Bevis. Integranden i vänsterledet av ekv. (8.7) är F g e t = mg e z e t = { ekv. (6.21) } = mg e z v ṡ = { ekv. (6.8) } = mg ṡ e z (ẋ e x + ẏ e y + ż e z ) = mg dz ṡ dt = { kedjeregeln } = mg ṡ dz ds = mg dz ds. ds dt Detta samband skrivs med differentialnotation, enligt ekv. (D.2), som F g e t ds = mgdz { sats D.3 } s2 z2 s 1 Fg e t ds = z 1 mgdz = mg(z 2 z 1 ) = { def. 8.5 } = [V g (z 2 ) V g (z 1 )]. Fjädrar, till exempel spiralfjädrar (fig. 8.6), kan användas för att lagra mekanisk energi. Den kraft som en fjäder utvecklar är konservativ. Definition 8.7 (Elastisk energi för linjär fjäder). Den elastiska energin för en linjär fjäder med fjäderkonstanten k och den obelastade längden l 0 (fig. 1.5), definieras som Figur 8.6: Tryckfjädrar (foto G. Carena). V e (l) 1 2 k(l l 0) 2, (8.8) där l betecknar fjäderns aktuella längd. Om man låter δ = l l 0 beteckna fjäderns förlängning kan den elastiska energin skrivas V e = 1 2 kδ2. (8.9) Sats 8.8 (Fjäderkraftens arbete). En linjär fjäder med fjäderkonstanten k och den obelastade längden l 0, är med sina ena ände ledat infäst vid den rumsfixa punkten O. Den andra änden P färdas längs en båglängdsparametriserad kurva r(s) mellan lägena s 1 och s 2 (fig. 8.7). Fjäderkraften F e verkande i P utför då ett arbete s2 s 1 Fe e t ds = [V e (l 2 ) V e (l 1 )], (8.10) där l 1 och l 2 är fjäderlängderna vid s 1 respektive s 2, och V e (l) är fjäderns elastiska energi.

57 arbete, energi och effekt 57 Figur 8.7: Geometri för en fjäderkrafts arbete vid punkten P. Bevis. Inför att polärt koordinatsystem med origo O. Vi börjar med en omskrivning av skalärprodukten e r e t. Ekvation (6.21) ger e r e t = e r v ṡ = { ekv. (6.15) } = 1 ṡ e r (ṙ e r + r θ e θ ) = 1 dr ṡ dt = { kedjeregeln } = 1 dr ds ṡ ds dt = dr ds. Eftersom fjäderns längd är l = r ges fjäderkraften av F e = k(r l 0 ) e r, så att integranden i vänsterledet av ekv. (8.10) är F e e t = k(r l 0 ) e r e t = k(r l 0 ) dr ds. Detta samband skrivs med differentialnotation, enligt ekv. (D.2), som F e e t ds = k(r l 0 )dr { sats D.3 } s2 s 1 Fe e t ds = l2 = k l 1 k(r l 0 )dr = { subst. x = r l 0 } l2 l 0 [ 1 = k 2 x2 xdx l 1 l 0 ] l2 l 0 l 1 l 0 = 1 2 k(l 2 l 0 ) k(l 1 l 0 ) 2 = [V e (l 2 ) V e (l 1 )]. 8.4 Mekaniska energisatsen Arbetet från tyngdkraften och från fjäderkrafter kan beräknas relativt enkelt med hjälp av deras respektive potentialer V g och V e. Övriga krafters arbete måste beräknas direkt utifrån def Mekaniska energisatsen skrivs om enligt följande:

58 58 föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik Sats 8.9 (Mekaniska energisatsen med potentialer). För en partikel P, som färdas längs en båglängdsparametriserad kurva r(s) mellan lägena s 1 och s 2, gäller s2 s 1 (Σ F e t )ds = (V g2 V g1 ) + (V e2 V e1 ) + (T 2 T 1 ). (8.11) där Σ F är summan av alla krafter utom tyngdkraften och elastiska krafter, och där indexen 1 och 2 betecknar storheter vid lägena s 1 respektive s 2. Figur 8.8: En partikel rör sig under påverkan av gravitation, fjäderkrafter samt övriga krafter Σ F, där de senare inbegriper t.ex. friktionskraften och den pålagda kraften P. Bevis. Partikeln påverkas av en gravitationskraft F g, en elastisk kraft F e samt en summa Σ F av övrig kraftpåverkan (fig. 8.8). Enligt sats 8.4 gäller s2 s 1 ( F g + F e + Σ F ) e t ds = T 2 T 1 s2 s2 s2 Fg e t ds + Fe e t ds + ΣF e t ds = T 2 T 1. s 1 s 1 s 1 Genom att tillämpa satserna 8.6 och 8.8 erhåller vi (V g2 V g1 ) (V e2 V e1 ) + s2 s 1 Σ F e t ds = (T 2 T 1 ). För att analysera den fysikaliska innebörden av ekv. (8.11) inför vi följande notation för respektive term: Arbetet utfört av krafter utom tyngdkraft och elastisk kraft från fjädrar mellan lägena s 1 och s 2 är U 1 2 = s2 s 1 Σ F e t ds. Ändring av lägesenergi, elastisk energi respektive rörelseenergi mellan lägena s 1 och s 2 är V g = V g2 V g1 V e = V e2 V e1 T = T 2 T 1. Mekanikens energisats kan därmed skrivas U 1 2 = V g + V e + T. (8.12) Speciellt, om inget arbete utförs på en partikel, U 1 2 = 0, kommer systemets totala mekaniska energi V g + V e + T att vara konstant. Om arbetet är nollskilt, U 1 2 0, kommer mekanisk energi att tillföras eller bortföras.

59 arbete, energi och effekt Effekt Arbetet av en kraft F verkande på en partikel som rör sig längs banan r = r(s) mellan en begynnelsetid t 0 och en variabel tid t är U(t) = s(t) s(t 0) F e t ds. (8.13) På detta sätt kan arbetet av en kraft alltså ses som en funktion av tiden. Definition 8.10 (Effekt av en kraft). Effekten som utvecklas av en given kraft definieras som P U, (8.14) där U(t) är arbetet som utförs av kraften mellan en godtycklig begynnelsetid och tiden t. Effekten beskriver kraftens uträttade arbete per tidsenhet och mäts i SI-enheten watt (W). Det gäller att 1 W = 1 J/s = 1 Nm/s = 1 kg m 2 /s 3. Sats 8.11 (Effektformeln). Om en kraft F verkar i en punkt med hastigheten v, utvecklar kraften en effekt P = F v. (8.15) Bevis. På differentialform kan def skrivas du = P dt, vilket ger P dt = du = { ekv. (8.1) } = F e t ds = { ekv. (D.1) } = F e t ds dt dt. Division med differentialen dt ger P = F e t ṡ = { ekv. (6.21) } = F v.

60

61 9 Rörelsemängd och impuls 9.1 Rörelsemängd Definition 9.1 (Rörelsemängd). Rörelsemängden hos en partikel med massan m och hastigheten v definieras (fig. 9.1) G m v. (9.1) Rörelsemängd har ingen egen SI-enhet utan uttrycks i härledda enheter: 1 N s = 1 kg m/s. För en konstant massa m gäller d G/dt = m a, så att kraftlagen för partiklar kan skrivas Σ F = d G dt. (9.2) Figur 9.1: Riktningarna hos rörelsemängden och dess tidsderivata sammanfaller med hastigheten respektive accelerationen för en partikeln. 9.2 Impuls Definition 9.2 (Impuls av en kraft). En kraft F med angreppspunkt P som verkar mellan tidpunkterna t 1 och t 2 ger en impuls L t2 t 1 F dt. (9.3) Om en impuls verkar på en partikel kommer partikeln att ändra sin rörelsemängd. Detta beskrivs av impulslagen: Sats 9.3 (Impulslagen). Om en partikel påverkas av en kraftsumma Σ F mellan tidpunkterna t 1 och t 2 gäller t2 t 1 Σ F dt = G 2 G 1, (9.4) där G 1 och G 2 är partikelns rörelsemängd vid tiderna t 1 respektive t 2. Bevis. Vi utgår från kraftlagen på komponentform för ett rektangulärt inertialsystem. För x-riktningen gäller enligt ekv. (9.2) att ΣF x = dg x dt ΣF x dt = dg x { sats D.2 }

62 62 föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik t2 t 1 ΣF x dt = G2x G 1x dg x ] G2x = [G x G 1x = G 2x G 1x. Analoga samband erhålles för y- och z-riktningen, vilket medför att t2 t 1 Σ F dt = G 2 G 1. För att ändra en partikels fart eller rörelseriktning krävs alltså en impuls. Betrakta två personer där den ena kastar en boll till den andra, samt hur kraften på bollen ändras med tiden, se fig Kastaren låter en kraft verka på bollen under en relativt lång tid, från t 0 till t 1, vilket tilldelar bollen en impuls: den positiva arean under kraftkurvan i fig Impulsen ger en viss rörelsemängd hos bollen. Mottagaren måste tilldela bollen en lika stor motriktad impuls den negativa arean under kraftkurvan för att stoppa bollen. Detta sker dock under kortare tid, från t 2 till t 3, så mottagarens hand utsätts för en kraft med större belopp. Den totala integralen av ΣF x under hela rörelsen blir noll. 9.3 Rörelsemängdsmoment Definition 9.4 (Rörelsemängdsmoment). För en partikel P med massan m och hastigheten v, definieras rörelsemängdsmomentet m.a.p. en punkt O av H O r m v, (9.5) där r = OP. Figur 9.2: En partikel kastat från en person till en annan. Kraften ΣF x, som verkar på partikeln i horisontell riktning, är ritad som funktion av tiden. Figur 9.3: En partikel med rörelsemängden G = m v ger ett rörelsemängdsmoment H O m.a.p. O. Riktningen hos H O ges av högerhandsregeln och beloppet av H O är H O = r m v = r m v sin ϕ = mvd, (9.6) där ϕ är vinkeln mellan r och m v och d = r sin ϕ är det vinkelräta avståndet från O till den linje som definieras av partikelns läge och hastighet (fig. 9.3).

63 rörelsemängd och impuls 63 Sats 9.5 (Momentlagen). För en partikel P som påverkas av en kraftsumman Σ F gäller Σ M O = d H O dt, (9.7) där O är en rumsfix punkt, Σ M O = OP Σ F är momentsumman på partikeln m.a.p. O, och H O är rörelsemängdsmomentet m.a.p. O. Bevis. Låt m vara partikelns massa och låt r = OP. Enligt def. 9.4 gäller d H O dt = d dt ( r m v) = { produktregeln } = d r m v + r md v dt dt = { def. 6.2 och 6.3 } = v m v + r m a = r m a = { kraftlagen } = r Σ F = Σ M O. Sats 9.6 (Impulsmomentlagen). Om en partikel P påverkas av en kraftsumma Σ F mellan tidpunkterna t 1 och t 2, och om O är en rumsfix punkt, gäller t2 t 1 Σ M O dt = H O2 H O1, (9.8) där Σ M O = OP Σ F är momentsumman på partikeln m.a.p. O, och H O1 och H O2 är partikelns rörelsemängdsmoment m.a.p. O vid tiderna t 1 respektive t 2. Bevis. Vi utgår från momentlagen (9.7) på komponentform för ett rektangulärt inertialsystem. För x-riktningen gäller ΣM Ox = dh Ox dt ΣM Ox dt = dh Ox { sats D.2 } t2 t 1 ΣM Ox dt = HO2x dh Ox H O1x ] HO2x = [H Ox H O1x = H O2x H O1x. Analoga samband erhålles för y- och z-riktningen, vilket medför att t2 t 1 Σ M O dt = H O2 H O1.

64 64 föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik Rörelsemängdsmoment vid plan rörelse Vid plan rörelse kommer hastighetsvektorn v för en partikel P att ligga i ett givet referensplan med normalen e n. Det följer av def. 9.4 att partikelns rörelsemängdsmoment H O m.a.p. en punkt O i referensplanet måste ligga i ± e n -riktningen. Detta är analogt med kraftmomentvektorn för plana kraftsystem (stycke 2.4). Rörelsemängdsmomentet kan därför vid plan rörelse representeras av en skalär, där det är underförstått att dess vektorriktning sammanfaller med e n. Sats 9.7. För en partikel P i plan rörelse, med massan m och hastigheten v, ges rörelsemängdsmomentet m.a.p. en punkt O i referensplanet av H O = ±mvd, (9.9) där v är hastighetens belopp och d är avståndet från O till den linje som definieras av punkten P och hastighetsvektorn. Bevis. Vi har att H O = ± H O = { def. 9.4 } = ± { } OP m v = ekv. (B.12) = ±m OP v sin ϕ där ϕ är vinkeln mellan OP och v (fig. 9.4). Eftersom avståndet från O till linjen som bildas av P och v är d = OP sin ϕ följer det att H O = ±mvd. Rörelsemängdsmomentets riktning ges som förut av högerhandsregeln (jfr kraftmoment, stycke 2.4). Det moturs orienterade rörelsemängdsmomentet H O som avbildas i fig. 9.4 är riktat i e z -riktningen. Om vi väljer referensplanets normal som e n = e z kommer detta rörelsemängdsmoment H O, och alla moturs orienterade rörelsemängdsmoment, att ha ett positivt tecken i sin skalära representation. Medurs orienterade rörelsemängdsmoment får negativt tecken. Det omvända gäller om vi skulle välja e n = e z. Figur 9.4: Geometri för rörelsemängdsmoment vid plan rörelse med xy-planet som referensplan. 9.4 Partikelsystem Ett partikelsystem består av flera partiklar med olika massor och banor: Definition 9.8 (Partikelsystem). Ett partikelsystem är en mängd partiklar P i, i = 1,..., n, med massorna m i, lägesvektorerna r i och hastigheterna v i (fig. 9.5). Definition 9.9 (Rörelsemängd för partikelsystem). Ett partikelsystem, med beteckningar som i def. 9.8, har rörelsemängden ΣG n m i v i. (9.10) i=1 Figur 9.5: System av n olika partiklar P i, i = 1,..., n.

65 rörelsemängd och impuls 65 Definition 9.10 (Rörelsemängdsmoment för partikelsystem). Ett partikelsystem, med beteckningar som i def. 9.8, har ett rörelsemängdsmoment m.a.p. en punkt O som definieras Σ H O n OP i m i v i. (9.11) i=1 För partikelsystem som inte växelverkar med omgivningen bevaras både den totala rörelsemängden och det totala rörelsemängdsmomentet. I det följande nöjer vi oss med att visa detta för partikelsystem med maximalt två partiklar, A och B. Sats 9.11 (Rörelsemängdens bevarande). För ett system av två växelverkande partiklar, A och B, som inte påverkas av några yttre krafter mellan tiderna t 1 och t 2, gäller Σ G 1 = Σ G 2, (9.12) där sifferindexen representerar respektive tidpunkt, och Σ G = G A + G B är summan av partiklarnas rörelsemängder. Bevis. Enligt reaktionslagen påverkas A och B av kraftvektorerna F respektive F (fig. 9.6); det existerar inga yttre krafter. Impulsekvationen (9.4) för respektive partikel ger A : B : t2 t 1 t2 F dt = GA2 G A1 t 1 F dt = G B2 G B1. Summering av dessa uttryck ger Figur 9.6: Två olika partiklar, A och B, växelverkar utan yttre krafter. 0 = ( G A2 + G B2 ) ( G A1 + G B1 ) = Σ G 2 Σ G 1. Sats 9.11 är giltig även då partiklarna kolliderar med varandra så att värme utvecklas. Rörelsemängden bevaras alltså vid en kollision, medan den mekaniska energin i allmänhet inte bevaras. Sats 9.11 gäller även för system med ett godtyckligt antal partiklar. Sats 9.12 (Rörelsemängdsmomentets bevarande). Om två partiklar, A och B, växelverkar medan summan av yttre kraftmoment m.a.p. en rumsfix punkt O mellan tiderna t 1 och t 2 är noll, så gäller Σ H O1 = Σ H O2, (9.13) där sifferindexet representerar tidpunkten, och Σ H O = H AO + H BO är partikelsystemets rörelsemängdsmoment m.a.p. O. Bevis. Enligt förutsättningarna gäller att OA F y A + OB F y B = 0, (9.14)

66 66 föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik där F y A och F y B är yttre krafter. Enligt reaktionslagen påverkas A och B av kraftvektorerna F respektive F (fig. 9.7). Impulsmomentekvationen (9.8) för respektive partikel ger A : B : t2 t 1 t2 t 1 OA ( F + F y A )dt = H AO2 H AO1 OB ( F + F y B )dt = H BO2 H BO1. Summering av dessa uttryck medan vi utnyttjar ekv. (9.14) ger t2 t 1 ( OA OB) F dt = HAO2 H AO1 + H BO2 H BO1 t2 t 1 BA F dt = ( HAO2 + H BO2 ) ( H AO1 + H BO1 ). Enligt postulat 7.1 växelverkar partiklarna med centralkrafter, så att BA F, och därmed gäller BA F = 0, vilket ger Figur 9.7: Två olika partiklar, A och B, växelverkar med centralkrafter. Dessutom påverkas de av yttre krafter. 0 = Σ H O2 Σ H O1. Sats 9.12 är även giltig för system med ett godtyckligt antal partiklar, som inte påverkas av yttre kraftmoment.

67 10 Stötar Kollisioner mellan partiklar, eller kollisioner mellan en partikel och ett jordfast föremål är exempel på stötar. Stötar kan vara våldsamma och leda till utveckling av värme (fig. 10.1). Trots denna komplikation går det att i vissa avseenden förutsäga stötförloppet Stötkrafter Då en partikel kolliderar med ett annat föremål genomgår dess hastighet stor förändringar på relativt kort tid. Denna process kallas stöt. Enligt kraftlagen måste en snabb hastighetsförändring innebära att kraften på partikeln är mycket stor under själva stöten. För att kunna modellera plötsliga kraftspikar behöver vi ett nytt matematiskt verktyg: Figur 10.1: Stötar är plötsliga utbrott av kraftig växelverkan, vilket kan leda till utveckling av värme. (teckning, NASA) Definition 10.1 (Diracs deltafunktion). Diracs deltafunktion δ(t) definieras genom egenskapen att { t2 f(t 0 ) om t 1 < t 0 < t 2 f(t)δ(t t 0 )dt = (10.1) t 1 0 annars. för varje funktion f(t) med kontinuerlig derivata. Intuitivt kan man tänka sig δ(t t 0 ) som gränsvärdet till en följd av funktioner d τ (t t 0 ) = 1 τ 2 π e (t t0) /τ 2, där τ närmar sig noll, så att d τ (t t 0 ) alltmer liknar en kort puls kring tiden t 0 (fig. 10.2), och så att arean under d τ (t t 0 ) alltid är 1: d τ (t t 0 )dt = 1. Postulat En stötkraft, som verkar på en partikel P, kan skrivas F s (t) = Lδ(t t 0 ), och tillordnas ett stötögonblick t 0. Här är L en konstant vektor. Figur 10.2: Diracs deltafunktion kan ses som gränsvärdet för en funktionsföljd, som blir mer och mer pulslik och där arean under funktionen hela tiden är 1. I exemplet är t 0 = 1 s.

68 68 föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik Stötkraften verkar därmed under oändligt kort tid, vilket modellerar en momentan stöt vid tiden t 0. Om stötögonblicket ligger inom ett tidsintervall t 1 < t 0 < t 2, är impulsen från stötkraften under detta intervall t2 t2 Fs (t)dt = Lδ(t t0 )dt = { ekv. (10.1) } = L. (10.2) t 1 t 1 En partikel som faller lodrätt mot ett horisontellt plan och studsar utgör ett illustrativt exempel på ett stötförlopp begränsat till en rörelseriktning. Betrakta fig där detta förlopp samt definitioner av relevanta storheter återfinns. Figur 10.3: En partikel faller från vila vid t 1, studsar mot det horisontella underlaget vid stötögonblicket t 0, och når sin maximala höjd efter sudsen vid t 2. Friläggningen visar att partikeln påverkas av tyngdkraften och en stötkraft F s(t) vid studsen. Stöten sker vid tiden t 0 så att stötkraften ges av F s = Lδ(t t 0 ) för någon konstant L. Kraftsumman som verkar på partikeln i y-riktningen är ΣF y = mg +Lδ(t t 0 ) (fig. 10.4). Vi analyserar nu intervallet från tiden t 0 t före stöten till t 0 + t efter stöten. Enligt impulslagen (9.4) har vi t0+ t t 0 t ΣF y dt = mv m( v). Figur 10.4: Kraftpåverkan i y-riktningen för förloppet avbildat i fig Vänsterledet, d.v.s. impulsen, förenklas till t0+ t ΣF y dt = t0+ t mgdt + t0+ t t 0 t t 0 t t 0 t = 2mg t + L, Lδ(t t 0 )dt där vi använde ekv. (10.1). Sammantaget har vi alltså m(v + v) = L 2mg t L då t 0. Om man betraktar förloppet från precis innan stöten till precis efter stöten ( t 0) kommer tyngdkraften inte att ge något bidrag till impulsen. Impulsen på en partikel vid en stöt ges alltid av ekv. (10.2), oberoende av övrig kraftpåverkan. Stötkrafter skiljer sig från vanliga krafter i och med att de innehåller deltafunktionen. Eftersom deltafunktionen, enligt def. 10.1, endast får mening när den integreras, gäller det att stötkraften endast har fysikalisk mening när den integreras till en impuls.

69 stötar Stötar mellan partiklar Rak central stöt Vid en rak central stöt färdas två partiklar, A och B, längs samma räta linje både före och efter stöten, som sker vid tiden t 0. Vi inför en x-koordinat längs rörelselinjen och låter v A och v B beteckna respektive partikels hastighet i x-riktningen precis före stöten, samt låter v A och v B beteckna partiklarnas hastigheter precis efter stöten (fig. 10.5). Figur 10.5: Rak central stöt där två partiklar, A och B, stöter samman vid tiden t 0, och stötkraften F s verkar på respektive kropp. Vid själva stöten verkar en stötkraft F s e x på B och, enligt reaktionslagen, en stötkraft F s e x på A. Om vi betraktar A och B som ett partikelsystem är förutsättningarna i sats 9.11 uppfyllda, så att rörelsemängden bevaras under stöten enligt ekv. (9.12): : m A v A + m B v }{{ B = m } A v A + m B v B, (10.3) }{{} ΣG x före stöt ΣG x efter stöt där m A och m B är partiklarnas respektive massor. Det har ingen betydelse om andra krafter, t.ex. fjäderkrafter eller tyngdkraften, påverkar partiklarna under stöten eftersom man betraktar skeendet under ett mycket litet tidsintervall, t 0, så att endast stötkraften ger bidrag till impulsen på partiklarna. Stöttal Om partiklarnas massor och hastigheter före en rak central stöt är kända, kan man ändå inte räkna ut vilka hastigheter partiklarna har efter stöten med ekv. (10.3), eftersom en ekvation inte räcker för att bestämma de två obekanta, v A och v B. Ytterligare ett samband krävs för att resultatet av stöten ska kunna beräknas. Konstitutivt samband 10.3 (Stöttal). Vid en rak central stöt mellan två partiklar A och B, vars hastigheter före stöten är v A respektive v B och vars hastigheter efter stöten är v A respektive v B, gäller e = v B v A v A v B, (10.4) där konstanten e är stöttalet. Det gäller att 0 e 1. Om partikelsystemets energi bevaras under stöten sägs stöten vara elastisk och stöttalet blir e = 1. Om stöttalet är e = 0 sägs stöten vara plastisk. Om stöttalet är givet bildar ekv. (10.3) tillsammans med ekv. (10.4) ett ekvationssystem som är lösbart m.a.p. v A och v B.

70 70 föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik Sned stöt Vi tänker oss nu att två kroppar kolliderar med varandra i en mer generell geometri, så att kropparna infaller i vinkel mot varandra. I de flesta fall kommer en sådan stöt att försätta kropparna i rotation, så att det inte är lämpligt att betrakta dem som partiklar. Det finns dock åtminstone två viktiga fall där en partikelmodell kan tillämpas. Det första fallet är när två partiklar, A och B, kolliderar vid en punkt P så att partiklarna slås samman och fortsätter längs en gemensam bana, som vore de en enda partikel (fig. 10.6). Vi betraktar i så fall de båda partiklarna som ett partikelsystem och tillämpar sats 9.11 om rörelsemängdens bevarande, med beteckningar enligt fig. 10.6: m A v A + m B v B }{{} Σ G före stöt = (m A + m B ) v. (10.5) }{{} Σ G efter stöt Kännedom om partiklarnas hastigheter, v A och v B, före stöten räcker i så fall för att bestämma den gemensamma hastigheten v efter stöten. Figur 10.6: Sned central stöt där två partiklar, A och B, stöter samman vid tiden t 0, så att partiklarna slås samman och fortsätter längs en gemensam bana. Det andra fallet är när två partiklar, A och B, under en relativt kort tid växelverkar med centralkrafter (fig. 10.7). Detta sker till exempel när två himlakroppar eller två atomkärnor passerar nära varandra. Trots att partiklarna aldrig vidrör varandra kan detta förlopp beskrivas med en stötmodell. Det gäller i så fall att partikelsystemets rörelsemängd och rörelseenergi bevaras under stöten: m A v A + m B v B = m A v A + m B v B (10.6a) 1 2 m AvA m BvB 2 = 1 2 m A(v A) m B(v B) 2. (10.6b) Här användes beteckningarna från fig Figur 10.7: Sned stöt där två partiklar, A och B, under en relativt kort tid då de befinner sig nära varandra växelverkar med volymskrafter, t.ex. gravitation.

71 11 Svängningsrörelse 11.1 Fria svängningar Odämpade system Betrakta en vagn med massan m, som rullar friktionsfritt mot ett horisontellt underlag. En linjär fjäder med fjäderkonstanten k är fäst mellan vagnen och en fix vägg (fig. 11.1). Vidare beskrivs vagnens läge längs underlaget av en x-koordinat, sådan att x = 0 då fjädern är obelastad. Eftersom x i detta fall är identisk med fjäderns förlängning l l 0 är fjäderkraften F e = kx. Vid friläggning ska kraften på vagnen från fjädern ha den kraftriktning som gäller då x > 0. Figur 11.1: En vagn med massan m rullar utan friktion mot underlaget. Den hålls på plats av en fjäder och utför harmonisk svängningsrörelse när den störs ur sitt jämviktsläge. Eftersom rörelsen är begränsad till x-riktningen är vagnens acceleration a = ẍ e x, så att kraftlagen i x-riktningen ger : kx = mẍ ẍ + k m x = 0 ẍ + ω 2 nx = 0, (11.1) där ω n benämns den naturliga frekvensen, vilken i just detta exempel är ω n = k/m. Lösningen till ekv. (11.1) hittar man genom att ansätta x = A cos(ω n t) + B sin(ω n t), (11.2) där A och B är godtyckliga reella konstanter. Vi deriverar denna ansatta lösning m.a.p. tiden och får ẋ = ω n A sin(ω n t) + ω n B cos(ω n t) ẍ = ω 2 na cos(ω n t) ω 2 nb sin(ω n t).

72 72 föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik Genom insättning av x och ẍ kan vi konstatera att ekv. (11.1) är uppfylld för varje val av A och B. Således beskriver ekv. (11.2) vagnens rörelse. Konstanterna A och B beror på systemets begynnelsevillkor x(0) och ẋ(0). Den fria odämpade svängningen, som beskrivs av ekv. (11.2), kallas harmonisk svängningsrörelse och har alltid liknande karaktär, vilket illustreras med ett exempel i fig Figur 11.2: Exempel på rörelse för fria odämpade svängningar med givna randvillkor x(0) och ẋ(0). Kurvans amplitud är C och dess period är τ = 2π/ω n. Partikeln svänger med vinkelfrekvensen ω n och en konstant amplitud C kring ett jämviktsläge, där kraftsumman på partikeln är noll. Perioden, alltså tiden mellan två maxima hos svängningsrörelsen, ges av τ = 2π ω n. (11.3) Amplituden för en harmonisk svängningsrörelse är halva topp-till-toppvärdet hos x(t), Det framgår direkt från ekv. (A.6) och (A.7) att en harmonisk funktion x(t) = X 0 + A cos(ω n t) + B sin(ω n t), där X 0, A, B och ω n är konstanter, kan skrivas x(t) = X 0 + C sin(ω n t + ψ), där C är amplituden och ψ är fasvinkeln: C = arctan A B, B > 0 A 2 + B 2, ψ = ± π 2, B = 0 (11.4) π + arctan A B, B < 0 Dämpade system En ideal odämpad fri svängning kommer att fortgå med samma amplitud för all framtid. I alla verkliga fritt svängande system minskar amplituden efter hand, så att svängningen slutligen dör ut. Detta fenomen kallas dämpning och beror typiskt på värmeförluster, t.ex. friktion eller luftmotstånd. I konstruktioner används dämpare för att begränsa amplituden hos svängningar och vibrationer. Dessa består av en cylinder fylld med vätska eller gas, och en kolv med kanaler så att värme utvecklas då vätskan tvingas flöda genom kanalerna under kolvens rörelse (fig. 11.3).

73 svängningsrörelse 73 Figur 11.3: Exempel på en realisering av en dämpare. Kolvens rörelse hindras av vätska eller gas, som måste passera kanaler i kolven. Figur 11.4 visar en frilagd linjär dämpare där varpå en kraft F d verkar i vardera änden. Dämparen har en aktuell längd l och en dämpningskoefficient c med enheten N s/m. Dämpkraften är F d = c l, (11.5) Figur 11.4: Friläggning av ideal dämpare, där F d = c l. där l är dämparens förlängning per tidsenhet. Betrakta en vagn med massan m, som rullar friktionsfritt mot ett horisontellt underlag. En linjär fjäder med fjäderkonstanten k och en linjär dämpare med dämpningskoefficienten c är fästa mellan vagnen och en orubblig vägg (fig. 11.5). Vidare beskrivs vagnens läge längs underlaget av en x-koordinat, så att x = 0 då fjädern är obelastad. Eftersom ẋ är identisk med dämparens förlängning per tidsenhet är dämpningskraften F d = cẋ. Vid friläggning ska kraften på vagnen från dämparen ha den kraftriktning som gäller då ẋ > 0. Figur 11.5: En vagn med massan m rullar utan friktion mot underlaget. Den hålls på plats av en fjäder och en dämpare. Vid störning från jämviktsläget utför vagnen dämpad svängningsrörelse. Eftersom vagnens acceleration ges av a = ẍ e x, ger kraftlagen i x- riktningen att : kx cẋ = mẍ ẍ + c mẋ + k m x = 0 ẍ + 2ζω n ẋ + ω 2 nx = 0, (11.6) 23 Att ekvationen är homogen betyder att alla termer innehåller x, ẋ eller ẍ. där ω n är den naturliga frekvensen och ζ är dämpningsförhållandet. I vårt exempel är ω n = k/m och ζ = c/(2mω n ). Ekvation (11.6) är en homogen 23 andra ordningens differentialekvation med konstanta koefficienter. Lösningens form beror på dämpningsförhållandet enligt följande: R. A. Adams. Calculus: A complete course. Addison Wesley Longman, Ae ωnt(ζ ζ 2 1) + Be ωnt(ζ+ ζ 2 1), ζ > 1 Ltd., 4th edition, ISBN x(t) = (A + Bt)e ωnt, ζ = 1 (11.7) [A cos(ω d t) + B sin(ω d t)] e ζωnt, ζ < 1, där ω d = ω n 1 ζ2. Det finns alltså dämpade system av tre skilda typer som benämns överdämpade (ζ > 1), kritiskt dämpade (ζ = 1)

74 74 föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik och underdämpade (ζ < 1). Notera speciellt att när ζ = 0 är systemet underdämpat (ζ < 1) och vi erhåller samma uttryck för rörelsen som vid odämpad svängning, ekv. (11.2). De tre typerna av dämpad fri svängningsrörelse illustreras i fig Figur 11.6: Exempel på fria svängningar för dämpade system med begynnelsevillkoren x(0) = x 0 och ẋ(0) = 0: överdämpat (punktad), kritiskt dämpat (streckad) och underdämpat (heldragen). I det överdämpade och det kritiskt dämpade fallet kommer systemet att återvända till jämviktläget utan att oscillera, vilket är uppenbart från lösningens form, som inte innehåller någon harmonisk funktion. För det underdämpade fallet observeras en oscillation, som avklingar mot noll med jämvikt i slutskedet Påtvingade svängningar Betrakta en vagn med massan m, som rullar friktionsfritt mot ett horisontellt underlag, och som är kopplad till en fjäder och en dämpare på precis samma sätt som för fria dämpade svängningar ovan. Låt vidare en kraft F (t) verka på vagnen (fig. 11.7). Figur 11.7: En vagn med massan m rullar utan friktion mot underlaget. Den hålls på plats av en fjäder och en dämpare, och en kraft F (t) tvingar vagnen i rörelse. Kraftlagen för vagnen i x-riktningen ger : kx cẋ + F (t) = mẍ ẍ + c mẋ + k m x = 1 m F (t) ẍ + 2ζω n ẋ + ω 2 nx = f(t), (11.8) där högerledet är en funktion f(t) = F (t)/m. Ekvation (11.8) är en inhomogen andra ordningens differentialekvation med konstanta koefficienter. Den allmänna lösningen till differentialekvationen (11.8) kan skrivas på formen x(t) = x h (t) + x p (t), (11.9) där x h kallas homogenlösningen och x p kallas partikulärlösningen. Homogenlösningen x h är lösningen till den homogena motsvarigheten till ekv. (11.8), vilken är identisk med ekv. (11.6) för fria dämpade

75 svängningsrörelse 75 svängningar. Homogenlösningen ges därmed av ekv. (11.7), som exemplifieras för olika värden för ζ i fig Alla homogenlösningar avklingar mot 0 eftersom de för varje ζ > 0 domineras av en exponentiellt avtagande faktor: x h (t) 0 då t. Alltså kommer en påtvingad dämpad svängning, efter tillräckligt lång tid, att beskrivas av partikulärlösningen: x(t) = x h (t) + x p (t) x p (t) då t. Eftersom homogenlösningen dör ut medan partikulärlösningen består är partikulärlösningen av särskilt intresse vid påtvingad svängning. Vi begränsar oss fortsättningsvis till det vanligt förekommande fall då den tvingande kraften är en harmonisk funktion, t.ex. F (t) = F 0 sin(ωt). Innan vi fortsätter med vår analys betraktar vi en lösning till ekv. (11.8) för ett specifikt fall: ζ = 1/8 och ω = 5 2 ω n med begynnelsevillkoren x(0) = x 0 och ẋ(0) = 0, som illustreras i fig Vi observerar ett inledande aperiodiskt förlopp som kallas transient. Rörelsen övergår i ett periodiskt förlopp, som motsvarar partikulärlösningen med vinkelfrekvensen ω och amplituden C p. Vi önskar bestämma denna kvarstående amplitud C p. Figur 11.8: Exempel på tvingade svängningar för ett dämpat system med beginnelsevillkoren x(0) = x 0 och ẋ(0) = 0. Efter en transient domineras rörelsen av partikulärlösningen (punktad linje) med amplituden C p. Definition 11.1 (Förstärkningsfaktor). För ett svängande system med den naturliga frekvensen ω n och dämpningsförhållandet ζ definieras förstärkningsfaktorn som 1 M(ω) (1 ω 2 /ωn) (2ζω/ω n ) 2, (11.10) där ω betecknar vinkelfrekvensen för en periodisk yttre kraft. Då endast partikulärlösningen återstår visar det sig att amplituden hos en påtvingad svängningsrörelse är proportionell mot förstärkningsfaktorn M(ω). Detta fastställs i följande sats: Sats För ett svängande system som beskrivs av differentialekvationen ẍ + 2ζω n ẋ + ω 2 nx = a 0 + a sin(ωt + ψ),

76 76 föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik där ω n > 0, ω > 0, ζ > 0, a 0, a och ψ är konstanter, är partikulärlösningen en harmonisk funktion med amplituden C p = a ω 2 n M(ω), (11.11) där M(ω) är förstärkningsfaktorn. Bevis. Vi ansätter en harmonisk funktion som partikulärlösning: x p = X 0 + C p sin(ωt + φ), där X 0 och φ är konstanter. Insättning av partikulärlösningen och dess tidsderivator i differentialekvationen ger ω 2 C p sin(ωt+φ)+2ζωω n C p cos(ωt+φ)+ω 2 nc p sin(ωt+φ)+ω 2 nx 0 = a 0 +a sin(ωt+ψ). (11.12) Eftersom detta ska gälla för alla t får vi ω 2 nx 0 = a 0, vilket subtraheras från ekv. (11.12). Division av ekv. (11.12) med ω 2 nc p ger 2ζ ω cos(ωt + φ) + (1 ω2 ω n Substitutionen ˆt = ωt + φ ger 2ζ ω cos(ˆt) + (1 ω2 ω n ω 2 n ω 2 n ) sin(ˆt) = ) sin(ωt + φ) = a ω 2 nc p sin(ωt + ψ). a ω 2 nc p sin(ˆt φ + ψ). Enligt ekv. (A.6) kan denna ekvation satisfieras. Eftersom amplituden skall vara lika i vänster och höger led ger ekv. (A.7) att (2ζω/ωn ) 2 + (1 ω 2 /ω 2 n) 2 = a ωnc 2 C p = a p ωn 2 M(ω). För en tvingande kraft F (t) = F 0 sin(ωt) som verkar på det dämpade systemet i fig får vi f(t) = F 0 m sin(ωt). I sats 11.2 kan vi identifiera a = F 0 /m, så att partikulärlösningens amplitud ges av C p = a ω 2 n M(ω) = F 0 m M(ω) = F 0 k k M(ω). m Amplituden beror alltså av en karaktäristisk längd F 0 /k och förstärkningsfaktorn. Resonans Förstärkningsfaktorns betydelse för påtvingade svängningars amplitud gör det intressant att undersöka dess frekvensberoende. I fig Figur 11.9: Förstärkningsfaktorn för olika frekvenser ω och olika värden av ζ.

77 svängningsrörelse 77 är grafen för M(ω) återgiven för olika dämpningsförhållanden ζ = {3, 1, 1/8, 0}, där ζ = 0 motsvarar ett odämpat system. Vi noterar först att M(ω) 1 då ω 0, för alla ζ. Vid mycket långsamma svängningar har alltså dämpade och odämpade system samma förstärkningsfaktor och följaktligen samma svängningsamplitud. Det beror på att kraften från dämparen går mot noll för långsamma rörelser, så att dämparen inte längre påverkar systemet. I det överdämpade (ζ > 1) och det kritiskt dämpade fallet (ζ = 1) i fig avtar förstärkningsfaktorn med frekvensen. Snabba svängningar dämpas alltså effektivare än långsamma. I det underdämpade fallet (ζ < 1) har M(ω) ett maximum vid ω = ω n. Det betyder att svängningsrörelsens amplitud blir mycket stor just när ω ω n. Detta fenomenen kallas resonans och den naturliga frekvensen benämns därför även resonansfrekvensen. Vibrationer Vi fortsätter med att undersöka rörelsen hos en vagn som är kopplad till en fjäder med obelastade längden l 0 och en dämpare. I detta fall störs vagnen ur sitt jämviktsläge på grund av vibrationer vid fjäderns ena infästningspunkt A, vars läge är en på förhand given funktion x A (t) (fig ). Figur 11.10: En vagn med massan m rullar utan friktion mot underlaget. Den hålls på plats av en fjäder och en dämpare, och läget x A för infästningen till fjädern oscillerar så att vagnen sätts i rörelse. Med storheter definierade som i fig kommer fjäderns längd att i varje ögonblick vara l = l 0 + x A x. Således ges fjäderkraften av uttrycket F e = k(l l 0 ) = k(x A x). Kraftlagen för vagnen i x-riktningen ger att : k(x A x) cẋ = mẍ ẍ + c mẋ + k m x = k m x A ẍ + 2ζω n ẋ + ω 2 nx = f(t), där f(t) = kx A (t)/m. Exakt samma typ av differentialekvation uppstår alltså då systemets tvingas i rörelse av en vibration, som när det tvingas i rörelse av en kraft.

78 78 föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik Vid en harmoniska vibration, x A (t) = b sin(ωt), får vi f(t) = kb m sin(ωt) för anordningen i fig I sats 11.2 kan vi identifiera a = kb/m, så att partikulärlösningens amplitud blir: C p = a ω 2 n M(ω) = kb m M(ω) = bm(ω), k m Ännu en gång kan man notera förstärkningsfaktorns avgörande betydelse för svängningsrörelsens amplitud. Vi kan förvänta oss resonans när ω = ω n.

79 Bilagor

80

81 A Geometri A.1 Plan geometri Vertikalvinklar α = β Tabell A.1: Terminologi för vinklar vid skärande linjer. Linjer som ej skär varandra i tabellens bilder är parallella. Likbelägna vinklar α = β Alternatvinklar α = β Komplementvinklar α + β = 90 Supplementvinklar α + β = 180 Topptriangelsatsen Likformiga trianglar uppstår när man genom en triangel ritar en linje parallell med triangelns bas (fig. A.1). För likformiga trianglar gäller a a = b b = c c. (A.1) Figur A.1: Geometri för topptriangelsatsen. A.2 Trigonometri Definitioner För en rätvinklig triangel med hypotenusan c och en vinkel θ, med närliggande katet b och motstående katet a, gäller (fig. A.2) Figur A.2: Geometri för definitioner av trigonometriska funktioner.

82 82 föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik sin θ = a c cos θ = b c tan θ = sin θ cos θ = a b (A.2a) (A.2b) (A.2c) θ sin θ cos θ tan θ Tabell A.2: Trigonometrisk värdetabell ±30 ±1/2 3/2 ±1/ 3 ±45 ±1/ 2 1/ 2 ±1 ±60 ± 3/2 1/2 ± 3 ±90 ±1 0 odefinerat ±120 ± 3/2 1/2 3 ±135 ±1/ 2 1/ 2 1 ±150 ±1/2 3/2 1/ 3 ± Trigonometriska identiteter sin 2 θ + cos 2 θ = 1 (A.3a) 1 + tan 2 θ = 1 cos 2 θ (A.3b) sin(θ ± ϕ) = sin θ cos ϕ ± cos θ sin ϕ (A.3c) cos(θ ± ϕ) = cos θ cos ϕ sin θ sin ϕ (A.3d) sin(2θ) = 2 sin θ cos θ (A.3e) cos(2θ) = cos 2 θ sin 2 θ (A.3f) Sinussatsen För en triangel med sidorna a, b och c, vars motstående vinklar är α, β respektive γ (fig. A.3), gäller sin α a = sin β b = sin γ. (A.4) c Cosinussatsen För en triangel med sidorna a, b och c, där γ är motstående vinkel till c (fig. A.3), gäller Figur A.3: Geometri för sinus- och cosinussatsen. c 2 = a 2 + b 2 2ab cos γ. (A.5)

83 geometri 83 Fasvinkel Det gäller att A cos θ + B sin θ = C sin(θ + ψ), (A.6) där amplituden C och fasvinkeln ψ ges av C = arctan A B, B > 0 A 2 + B 2, ψ = ± π 2, B = 0 (A.7) π + arctan A B, B < 0

84

85 B Vektorer Detta kapitel ger en kortfattad repetition av vektorbegreppet. En mer detaljerad framställning återfinns annorstädes. 25 B.1 Geometriska vektorer Vektorer kan representeras geometriskt som ett riktat linjesegment i planet eller i rummet, och ritas som en pil. Speciellt ritas vektorer som är riktade ut ur papperets plan som (pilspets) och de som är riktade in i papperets plan som (pilfjädrar). I detta kompendium betecknas vektorstorheter med en pil ovanför variabelnamnet, t.ex. u. En vektors belopp betecknas u och är längden av det linjesegment som representerar vektorn (fig. B.1a). Två vektorer u och w är lika, u = w, om deras belopp (längd) och rikting är lika, oberoende av deras lägen i rummet (fig. B.1b). En vektor kan bildas av ett linjesegment, som förbinder två punkter A och B. En sådan vektor betecknas AB (fig. B.1c). Vi inför den särskilda nollvektorn 0 = AA, som har beloppet 0 och en odefinierad riktning. En negerad vektor u har samma belopp som u, men omvänd riktning (fig. B.1d). Vidare definieras summan av två vektorer i parallellogramlagen: Placera w:s startpunkt vid u:s slutpunkt. Då är u + w vektorn från u:s startpunkt till w:s slutpunkt (fig. B.1e). Vektorsubtraktion definieras u w u + ( w). Om ett reellt tal c multipliceras med en vektor u blir resultaten en ny vektor c u. Om c > 0 har u och c u samma riktning, men om c < 0 har u och c u motsatta riktningar. Det gäller att c u är c gånger längre än u. Följande räkneregler gäller för vektorer i både två och tre dimensioner: 25 H. Anton and C. Rorres. Elementary linear algebra. John Wiley & Sons, Inc., 8th edition, ISBN (a) (c) (e) (b) (d) (f) Figur B.1: (a) Vektor u med beloppet u. (b) Ekvivalenta vektorer. (c) Vektor som förbinder två punkter. (d) Negering omkastar en vektors riktning. (e) Vektoraddition med parallellogramlagen. (f) Riktningsvektorn e u till u har samma riktning som u och beloppet 1. u + w = w + u (B.1a) c(d u) = (cd) u (B.1b) c( u + w) = c u + c w (B.1c) (c + d) u = c u + d u. (B.1d) Här betecknar c och d godtyckliga reella tal.

86 86 föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik En vektor med längden 1 kallas enhetsvektor. En godtycklig vektor u 0 har en så kallad riktningsvektor e u, som är en enhetsvektor med samma riktning som u (fig. B.1f). Man kan således skriva u = u e u e u = u u, (B.2) där u 0 är ett reellt tal, en så kallad skalär. Denna skalär tillåts vara såväl positiv som negativ. Denna teknik att skriva vektorer som produkten av dess storlek och riktning används flitigt vid problemlösning. B.2 Vektorer i ortogonala koordinatsystem Vi inför ett ortogonalt högerorienterat koordinatsystem med origo O och koordinaterna x, y och z i rummet. Att ett koordinatsystem är ortogonalt betyder att dess axlar är vinkelräta mot varandra. Huruvida det är högerorienterat bestäms av högerhandsregeln (fig. B.2). I detta kompendium används endast ortogonala högerorienterade koordinatsystem. Varje koordinataxel x, y och z definierar en riktningsvektor e x, e y respektive e z i koordinatens positiva riktning (fig. B.3a). Vektorerna e x, e y och e z bildar en ortogonal bas, vilket innebär att en godtycklig vektor u kan representeras entydigt som u = u x e x + u y e y + u z e z, (B.3) där u x, u y och u z är skalärer (reella tal) och kallas vektorn u:s komponenter. Termerna u x e x, u y e y och u z e z är u:s komposanter (fig. B.3b). Av bekvämlighetsskäl används ibland ett ekvivalent beteckningssätt, där vektorn skrivs som en kolumnmatris: u x e x + u y e y + u z e z u x u y u z. Att en vektors representation i en ortogonal bas är unik är särskilt viktigt. Tack vare denna egenskap gäller det att u x = w x u = w u y = w y (B.4) u z = w z. En ekvation på vektorform kan alltså skrivas om till ett ekvationssystem med reella koefficienter och variabler. Figur B.2: Högerhandregeln: Då högerhandens tre första fingrar hålls i vinkelrätt läge mot varandra pekar de ut x-, y- och z-axelns riktningar. (a) (b) Figur B.3: (a) Ortogonalt högerorienterat koordinatsystem med ortogonala basvektorer e x, e y och e z. (b) En vektor u med sina tre komposanter u x e x, u y e y och u z e z ritade met öppna pilhuvuden. B.3 Skalärprodukt Skalärprodukten mellan två godtyckliga vektorer u = u x e x +u y e y +u z e z och w = w x e x + w y e y + w z e z definieras som u w u w cos ϕ, (B.5)

87 vektorer 87 där ϕ är vinkeln mellan u och w, så att 0 ϕ 180. Man kan visa att u w = u x w x + u y w y + u z w z. (B.6) Resultatet av en skalärprodukt är, som synes, en skalär. En följd av ekv. (B.5) är att skalärprodukten för vinkelräta vektorer (ϕ = 90 ) är 0: u w u w = 0. (B.7) Enligt ekv. (B.5) gäller också att u u = u 2, eftersom cos 0 = 1. Ur detta samband får vi en formel för en godtycklig vektors belopp u = u u = u 2 x + u 2 y + u 2 z. (B.8) Följande räkneregler gäller för skalärprodukt i både två och tre dimensioner: u w = w u (B.9a) u ( v + w) = u v + u w (B.9b) c( u w) = (c u) w, (B.9c) där c är en skalär. Räknereglerna för skalärprodukt ger att u e x = u x ( e x e x ) + u y ( e y e x ) + u z ( e z e x ) = u x 1 + u y 0 + u z 0 = u x. Detta kan generaliseras till en godtycklig axel λ med riktningen e λ ; vi har att u e λ är vektorn u:s komponent i λ-riktningen. Skalärprodukten med en enhetsvektor e λ kan tolkas som en ortogonal projektion på λ- axeln: u λ = u e λ = u cos ϕ, (B.10) där ϕ är vinkeln mellan u och e λ (fig. B.4). B.4 Kryssprodukt Kryssprodukten u w mellan två vektorer definieras med determinantnotation som e x e y e z u w u x u y u z = w x w y w z Figur B.4: Projektion av en vektor på en godtycklig axel λ genom skalärmultiplikation med riktningsvektorn. = (u y w z u z w y ) e x + (u z w x u x w z ) e y + (u x w y u y w x ) e z. (B.11) Resultatet från en kryssprodukt är alltså en vektor. En konsekvens av definitionen är att resultatvektorns belopp ges av u w = u w sin ϕ, (B.12)

88 88 föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik där ϕ är vinkeln mellan u och w. Dessutom är u w vinkelrät mot både u och w, och dess orientering följer högerhandsregeln (fig. B.5). Vidare gäller enligt ekv. (B.12) att om ϕ = 0 eller ϕ = 180 blir kryssprodukten 0: u w u w = 0. (B.13) Följande räkneregler gäller för kryssprodukt: Figur B.5: För kryssprodukt ges resultatvektorns riktning av högerhandsregeln. u w = ( w u) (B.14a) u ( v + w) = u v + u w (B.14b) c( u w) = (c u) w = u (c w), (B.14c) u u = 0, (B.14d) där c är en skalär. Notera särskilt ekv. (B.14a): kryssprodukten byter tecken när multiplikanderna kastas om. Det finns också räkneregler som inbegriper både skalär- och kryssprodukt: u ( v w) = ( u w) v ( u v) w (B.15a) u ( v w) = w ( u v) = v ( w u). (B.15b)

89 C Storhet, enhet och dimension En storhet är en mätbar egenskap hos ett föremål eller en företeelse. Varje storhet besitter en fysikalisk dimension och en storlek. Med dimension avses vilken typ av storhet det är frågan om, t.ex. längd, tid, fart, massa eller kraft. Med storlek avses relativ storlek jämfört med någon annan storhet med samma dimension. C.1 Dimension De grundläggande dimensionerna inom mekanik är tid (T), längd (L) och massa (M). 26 Från dimensionerna T, L och M kan härledda dimensioner bildas. Eftersom fart definieras som en sträcka (L) per tidsenhet (T), skrivs dimensionen för fart L/T. På motsvarande sätt har acceleration dimensionen L/T 2. Ett därutöver nämnvärt fall är dimensionen för vinklar. En vinkel definieras som kvoten mellan en cirkelbåges längd (L) och cirkelradien (L). Vinkelns dimension är därför L/L = 1. Vi säger att en storhet är dimensionslös när den har dimensionen C.2 Enhet En enhet är en välbestämd storhet, som används som referens vid beskrivning av andra storheter av samma dimension. Enligt SI-systemet 28 används följande enheter för dimensionerna tid, längd och massa: En sekund (s) har dimensionen T och definieras som varaktigheten hos perioder av strålningen från övergången mellan de två hyperfina energinivåerna hos Cesium-133-isotopen i sitt grundtillstånd vid absoluta nollpunkten. 26 Det är även möjligt att välja tre andra grundläggande dimensioner, t.ex. tid, längd och kraft. 27 Storheter har alltid en dimension, så begreppet dimensionslös är oegentligt. 28 Bureau International des Poids et Mesures. The International System of Units (SI). 8th edition, 2006 En meter (m) har dimensionen L och definieras som den sträcka ljuset färdas i vakuum under 1/ sekunder. Ett kilogram (kg) har dimensionen M och definieras som massan hos arkivkilogrammet: ett cylinderformat metallföremål (fig. C.1). 29 Härledda enheter kan bildas från produkten eller kvoten av fördefinierade enheter. Till exempel kan vi bilda enheten meter per sekund 29 R. Davis. The SI unit of mass. Metrologia, 40(6): , 2003

90 90 föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik (m/s), som får dimensionen L/T och alltså kan användas för att beskriva fart. Dessutom kan prefix användas för att beteckna multiplar eller andelar av en enhet, t.ex. betyder mikrosekund (µs) en miljondels sekund, där mikro- (µ) är prefixet för en miljondel. Några vanliga prefix återfinns i tabell C.1. Det finns även enheter med dimensionen 1, t.ex. procent [%] och enheter för vinklar som radianer [rad] och grader [ ]. Gemensamt för dessa enheter är att de definieras matematiskt, utan hänvisning till något fysikaliskt fenomen. C.3 Mätetal Värdet hos en storhet X, med avseende på en enhet E, uttrycks som en produkt av ett mätetal n och enheten: X = ne, (C.1) där n är en reell koefficient som inte påverkar uttryckets dimension. En vektorstorhet X kan skrivas X = ne, (C.2) där n är en vektor med reella komponenter. Om hastigheten v är 5,0 m/s i z-riktningen är det således korrekt att skriva: v = 5,0 e z m/s. C.4 Räkneregler för dimension Figur C.1: Kopia av arkivkilogrammet, som förvaras hos National Institute of Standards and Technology i USA. Prefix Symbol Faktor tera- T giga- G 10 9 mega- M 10 6 kilo- k 10 3 hekto- h 10 2 deci- d 10 1 centi- c 10 2 milli- m 10 3 mikro- µ 10 6 nano- n 10 9 pico- p Tabell C.1: Några prefix som används inom SI-systemet. Vi använder beteckningssättet [X] för dimensionen hos en storhet X. Till exempel betyder [l] = L att l har dimensionen längd. Om X och Y är storheter gäller det att X = Y [X] = [Y ]. (C.3) Dimensionen hos de båda leden av en ekvation måste alltså vara lika. För dimensioner gäller följande räkneregler [nx] = [X] { (C.4a) [X + Y ] = [X], om [X] = [Y ] odefinerat, annars (C.4b) [XY ] = [X] [Y ] (C.4c) [X n ] = [X] n (C.4d) där n är ett reell tal. En dimensionsbetraktelse av kraftlagen, ekv. (1.4), ger [ ΣF ] = [m a] = { ekv. (C.4c) } = [m] [ a] = M L T 2, så att dimensionen för kraft ges av en kombination av de grundläggande dimensionerna.

S TAT I K O C H PA R T I K E L D Y N A M I K

S TAT I K O C H PA R T I K E L D Y N A M I K S T E FA N B. L I N D S T R Ö M U P P L A G A 2 - β F Ö R E L Ä S N I N G A R I M E K A N I K S TAT I K O C H PA R T I K E L D Y N A M I K Föreläsningar i mekanik: Statik och partikeldynamik Lindström,

Läs mer

S T E FA N B. L I N D S T R Ö M F Ö R E L Ä S N I N G A R I S TAT I K

S T E FA N B. L I N D S T R Ö M F Ö R E L Ä S N I N G A R I S TAT I K S T E FA N B. L I N D S T R Ö M F Ö R E L Ä S N I N G A R I S TAT I K Föreläsningar i statik Lindström, Stefan B. Copyright c 2013 Stefan B. Lindström Publicerad av Stefan Lindström, Linköping. https://sites.google.com/site/lindstroemepublicering

Läs mer

S TAT I K O C H D Y N A M I K

S TAT I K O C H D Y N A M I K S T E FA N B. L I N D S T R Ö M U P P L A G A 1 F Ö R E L Ä S N I N G A R I M E K A N I K S TAT I K O C H D Y N A M I K Statik och dynamik Stefan B. Lindström upplaga 1 ISBN 978-91-981287-2-7 Copyright

Läs mer

S T E FA N B. L I N D S T R Ö M U P P L A G A 2 β F Ö R E L Ä S N I N G A R I S TAT I K

S T E FA N B. L I N D S T R Ö M U P P L A G A 2 β F Ö R E L Ä S N I N G A R I S TAT I K S T E FA N B. L I N D S T R Ö M U L A G A 2 β F Ö R E L Ä S N I N G A R I S TAT I K Föreläsningar i statik Stefan B. Lindström upplaga 2 β Copyright c 2016 Stefan B. Lindström ublicerad av Stefan Lindström,

Läs mer

SG1108 Tillämpad fysik, mekanik för ME1 (7,5 hp)

SG1108 Tillämpad fysik, mekanik för ME1 (7,5 hp) Läsåret 11/12 Utförliga lärandemål SG1108 Tillämpad fysik, mekanik för ME1 (7,5 hp) Richard Hsieh Huvudsakligt innehåll: Vektoralgebra och dimensionsbetraktelser. Kraft och kraftmoment. Kraftsystem; kraftpar,

Läs mer

Målsättningar Proffesionell kunskap. Kunna hänvisa till lagar och definitioner. Tydlighet och enhetliga beteckningar.

Målsättningar Proffesionell kunskap. Kunna hänvisa till lagar och definitioner. Tydlighet och enhetliga beteckningar. 1 Föreläsning 1: INTRODUKTION Målsättningar Proffesionell kunskap. Kunna hänvisa till lagar och definitioner. Tydlighet och enhetliga beteckningar. Kursens olika delar Teorin Tentamen efter kursen och/eller

Läs mer

university-logo Mekanik Repetition CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 1 / 11

university-logo Mekanik Repetition CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 1 / 11 Mekanik Repetition CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 2010 03 18 1 / 11 Översikt Friläggning Newtons 2:a lag i tre situationer jämvikt partiklar stela kroppars plana rörelse Energilagen Rörelsemängd

Läs mer

KOMIHÅG 3: Kraft är en vektor med angreppspunkt och verkningslinje. Kraftmoment: M P. = r PA

KOMIHÅG 3: Kraft är en vektor med angreppspunkt och verkningslinje. Kraftmoment: M P. = r PA 1 KOMIHÅG 3: --------------------------------- Kraft är en vektor med angreppspunkt och verkningslinje. Kraftmoment: M P = r PA " F, r P =momentpunkt, r A angreppspunkt, r PA = r A " r P. - Oberoende av

Läs mer

FÖRBEREDELSER INFÖR DELTENTAMEN OCH TENTAMEN

FÖRBEREDELSER INFÖR DELTENTAMEN OCH TENTAMEN FÖRBEREDELSER INFÖR DELTENTAMEN OCH TENTAMEN Repetera de övningsuppgifter som kännts besvärliga. Om du behöver mera övning så kan du välja fritt bland de övningsuppgifter i Problemsamlingen som överhoppats.

Läs mer

VSMA01 - Mekanik ERIK SERRANO

VSMA01 - Mekanik ERIK SERRANO VSMA01 - Mekanik ERIK SERRANO Översikt Kursintroduktion Kursens syfte och mål Kursprogram Upprop Inledande föreläsning Föreläsning: Kapitel 1. Introduktion till statik Kapitel 2. Att räkna med krafter

Läs mer

Mekanik Föreläsning 8

Mekanik Föreläsning 8 Mekanik Föreläsning 8 CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 2010 02 19 1 / 16 Repetition Polära koordinater (r, θ): ange punkter i R 2 m h a r: avståndet från origo (0, 0) θ: vinkeln mot positiva x axeln

Läs mer

Målsättningar Proffesionell kunskap om mekanik. Kunna hänvisa till lagar och definitioner. Tydlighet och enhetliga beteckningar.

Målsättningar Proffesionell kunskap om mekanik. Kunna hänvisa till lagar och definitioner. Tydlighet och enhetliga beteckningar. 1 Föreläsning 1: INTRODUKTION Målsättningar Proffesionell kunskap om mekanik. Kunna hänvisa till lagar och definitioner. Tydlighet och enhetliga beteckningar. Kursens olika delar Teorin Tentamen efter

Läs mer

Tentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S2. Problemtentamen

Tentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S2. Problemtentamen 005-05-7 Tentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S. OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Problemtentamen En homogen stång med massan m är fäst i ena änden i en fritt vridbar

Läs mer

Härled utgående från hastighetssambandet för en stel kropp, d.v.s. v B = v A + ω AB

Härled utgående från hastighetssambandet för en stel kropp, d.v.s. v B = v A + ω AB . Härled utgående från hastighetssambandet för en stel kropp, d.v.s. v B v A + ω AB motsvarande samband för accelerationer: a B a A + ω ω AB + a AB. Tolka termerna i uttrycket för specialfallet plan rörelse

Läs mer

Mer Friktion jämviktsvillkor

Mer Friktion jämviktsvillkor KOMIHÅG 6: --------------------------------- Torr friktion: F! µn. Viskös friktion: F = "cv. Extra villkor för jämvikt: risk för glidning eller stjälpning. ---------------------------------- Föreläsning

Läs mer

KUNGL TEKNISKA HÖGSKOLAN INSTITUTIONEN FÖR MEKANIK Richard Hsieh, Karl-Erik Thylwe

KUNGL TEKNISKA HÖGSKOLAN INSTITUTIONEN FÖR MEKANIK Richard Hsieh, Karl-Erik Thylwe Tentamen i SG1102 Mekanik, mindre kurs för Bio, Cmedt, Open Uppgifterna skall lämnas in på separata papper. Problemdelen. För varje uppgift ges högst 6 poäng. För godkänt fordras minst 8 poäng. Teoridelen.

Läs mer

Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs P1 m fl. Problemtentamen OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas!

Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs P1 m fl. Problemtentamen OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! 014-03-17 Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs P1 m fl OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! 1 KTH Mekanik Problemtentamen En tunn homogen stav i jämvikt med massan m har i ena ändpunkten

Läs mer

Repetion. Jonas Björnsson. 1. Lyft ut den/de intressanta kopp/kropparna från den verkliga världen

Repetion. Jonas Björnsson. 1. Lyft ut den/de intressanta kopp/kropparna från den verkliga världen Repetion Jonas Björnsson Sammanfattning Detta är en kort sammanfattning av kursen Mekanik. Friläggning Friläggning består kortfattat av följande moment 1. Lyft ut den/de intressanta kopp/kropparna från

Läs mer

Problemtentamen. = (3,4,5)P, r 1. = (0,2,1)a F 2. = (0,0,0)a F 3. = (2,"3,4)P, r 2

Problemtentamen. = (3,4,5)P, r 1. = (0,2,1)a F 2. = (0,0,0)a F 3. = (2,3,4)P, r 2 2015-MM-DD Övningstentamen i Mekanik SG1130, grundkurs B1. OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Problemtentamen Ett kraftsystem består av tre krafter som angriper

Läs mer

" e n Föreläsning 3: Typiska partikelrörelser och accelerationsriktningar

 e n Föreläsning 3: Typiska partikelrörelser och accelerationsriktningar KOMIHÅG 2: 1 Cylinderkomponenter: Hastighet v = r e r + r" e " + z e z Acceleration: a = ( r " r# 2 )e r + ( r # + 2 r # )e # + z e z Naturliga komponenter: v = ve t a = v e t + v 2 " e n ------------------------------------

Läs mer

Newtons 3:e lag: De par av krafter som uppstår tillsammans är av samma typ, men verkar på olika föremål.

Newtons 3:e lag: De par av krafter som uppstår tillsammans är av samma typ, men verkar på olika föremål. 1 KOMIHÅG 8: --------------------------------- Hastighet: Cylinderkomponenter v = r e r + r" e " + z e z Naturliga komponenter v = ve t Acceleration: Cylinderkomponenter a = ( r " r# 2 )e r + ( r # + 2

Läs mer

Krafter och moment. mm F G (1.1)

Krafter och moment. mm F G (1.1) 1 Krafter och moment 1.1 Inledning örståelsen för hur olika typer av krafter påverkar strukturer i vår omgivning är grundläggande för ingenjörsvetenskapen inom byggnadskonsten. Gravitationskraften är en

Läs mer

Kursens olika delar. Föreläsning 0 (Självstudium): INTRODUKTION

Kursens olika delar. Föreläsning 0 (Självstudium): INTRODUKTION 1 Föreläsning 0 (Självstudium): INTRODUKTION Kursens olika delar Teorin Tentamen efter kursen och/eller KS1+KS2 Inlämningsuppgifter Lära känna kraven på redovisningar! Problemlösning Tentamen efter kursen

Läs mer

Biomekanik, 5 poäng Jämviktslära

Biomekanik, 5 poäng Jämviktslära Jämvikt Vid jämvikt (ekvilibrium) är en kropp i vila eller i rätlinjig rörelse med konstant hastighet. Jämvikt kräver att: Alla verkande krafter tar ut varandra, Σ F = 0 (translationsjämvikt) Alla verkande

Läs mer

Tentamen i Mekanik SG1107, baskurs S2. Problemtentamen

Tentamen i Mekanik SG1107, baskurs S2. Problemtentamen 010-05-6 Tentamen i Mekanik SG1107, baskurs S OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik Problemtentamen 1 En cylinder med massan M vilar på en homogen horisontell planka med

Läs mer

Föreläsning 10: Stela kroppens plana dynamik (kap 3.13, 4.1-8) Komihåg 9: e y e z. e z )

Föreläsning 10: Stela kroppens plana dynamik (kap 3.13, 4.1-8) Komihåg 9: e y e z. e z ) 1 Föreläsning 10: Stela kroppens plana dynamik (kap 3.13, 4.1-8) Komihåg 9: H O = "I xz e x " I yz e y + I z e z H G = "I xz ( ) ( G e x " I G yz e y + I G z e z ) # (fixt origo, kroppsfix bas) # (kroppsfix

Läs mer

Tentamen Mekanik MI, TMMI39, Ten 1

Tentamen Mekanik MI, TMMI39, Ten 1 Linköpings universitet tekniska högskolan IEI/mekanik Tentamen Mekanik MI, TMMI39, Ten Torsdagen den 9 april 205, klockan 4 9 Kursadministratör Anna Wahlund, anna.wahlund@liu.se, 03-2857 Examinator Joakim

Läs mer

II. Partikelkinetik {RK 5,6,7}

II. Partikelkinetik {RK 5,6,7} II. Partikelkinetik {RK 5,6,7} med kraft att beräkna och förstå Newtons lagar och kraftbegreppet är mycket viktiga för att beskriva och förstå rörelse Kenneth Järrendahl, 1: Tröghetslagen Newtons Lagar

Läs mer

Tentamen i SG1140 Mekanik II. Problemtentamen

Tentamen i SG1140 Mekanik II. Problemtentamen 010-01-14 Tentamen i SG1140 Mekanik II KTH Mekanik 1. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! Problemtentamen Triangelskivan i den plana mekanismen i figuren har en vinkelhastighet

Läs mer

Tentamen Mekanik MI, TMMI39, Ten 1

Tentamen Mekanik MI, TMMI39, Ten 1 Linköpings universitet tekniska högskolan IEI/mekanik Tentamen Mekanik MI, TMMI39, Ten 1 Torsdagen den 14 januari 2016, klockan 14 19 Kursadministratör Anna Wahlund, anna.wahlund@liu.se, 013-281157 Examinator

Läs mer

Grundläggande om krafter och kraftmoment

Grundläggande om krafter och kraftmoment Grundläggande om krafter och kraftmoment Text: Nikodemus Karlsson Original character art by Esa Holopainen, http://www.verikoirat.com/ Krafter - egenskaper och definition Vardaglig betydelse Har med påverkan

Läs mer

" = 1 M. ( ) = 1 M dmr. KOMIHÅG 6: Masscentrum: --3 partiklar: r G. = ( x G. ,y G M --Kontinuum: ,z G. r G.

 = 1 M. ( ) = 1 M dmr. KOMIHÅG 6: Masscentrum: --3 partiklar: r G. = ( x G. ,y G M --Kontinuum: ,z G. r G. 1 KOMIHÅG 6: --------------------------------- Masscentrum: --3 partiklar: r G = ( x G,y G,z G ) = m r + m r + m r 1 1 2 2 3 3 M --Kontinuum: ( ) = 1 M dmr r G = x G,y G,z G " = 1 M ----------------------------------

Läs mer

Stelkroppsmekanik partiklar med fixa positioner relativt varandra

Stelkroppsmekanik partiklar med fixa positioner relativt varandra Stelkroppsmekanik partiklar med fixa positioner relativt varandra Rörelse relativt mass centrum Allmänt partikelsystem Stel kropp translation + rotation (cirkelrörelse) För att kunna beskriva och förstå

Läs mer

2.2 Tvådimensionella jämviktsproblem Ledningar

2.2 Tvådimensionella jämviktsproblem Ledningar 2.2 Tvådimensionella jämviktsproblem Ledningar 2.2 Sfären påverkas av tre krafter. Enligt resonemanget om trekraftsystem i kapitel 2.2(a) måste krafternas verkningslinjer då skära varandra i en punkt,

Läs mer

Inre krafters resultanter

Inre krafters resultanter KOMIHÅG 6: --------------------------------- Torr friktion: F " µn Normalkraftens angrepp?? Risk för glidning eller stjälpning ---------------------------------- Föreläsning 7: Inre krafters resultanter

Läs mer

Kursinformation Mekanik f.k. TMMI39

Kursinformation Mekanik f.k. TMMI39 Kursinformation Mekanik f.k. TMMI39 Uppdaterad 202--26 Linköpings universitet tekniska högskolan IEI/mekanik Joakim Holmberg Omfång 30 h föreläsningar och 24 h lektioner i period HT2, hösten 202. Kursansvarig,

Läs mer

Biomekanik, 5 poäng Introduktion -Kraftbegreppet. Mekaniken är en grundläggande del av fysiken ingenjörsvetenskapen

Biomekanik, 5 poäng Introduktion -Kraftbegreppet. Mekaniken är en grundläggande del av fysiken ingenjörsvetenskapen Biomekanik Mekanik Skillnad? Ambition: Att ge översiktliga kunskaper om mekaniska sammanhang och principer som hör samman med kroppsrörelser och rörelser hos olika idrottsredskap. Mekaniken är en grundläggande

Läs mer

Tentamen i SG1140 Mekanik II för M, I. Problemtentamen

Tentamen i SG1140 Mekanik II för M, I. Problemtentamen 2010-10-23 Tentamen i SG1140 Mekanik II för M, I. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Problemtentamen Triangelskivan i den plana mekanismen i figuren har en vinkelhastighet

Läs mer

Tentamen i Mekanik Statik

Tentamen i Mekanik Statik Tentamen i Mekanik Statik TMME63 2016-06-02, kl 08.00-12.00 Tentamenskod: TEN1 Tentasal: TER1, TER2, TERE Examinator: Peter Schmidt Tentajour: Peter Schmidt, Tel. 28 27 43, (Besöker salarna ca 09.00) Kursadministratör:

Läs mer

= v! p + r! p = r! p, ty v och p är dt parallella. Definiera som en ny storhet: Rörelsemängdsmoment: H O

= v! p + r! p = r! p, ty v och p är dt parallella. Definiera som en ny storhet: Rörelsemängdsmoment: H O 1 KOMIHÅG 15: --------------------------------- Definitioner: Den potentiella energin, mekaniska energin Formulera: Energiprincipen ---------------------------------- Föreläsning 16: FLER LAGAR-härledning

Läs mer

Omtentamen i Mekanik I SG1130, grundkurs för CMATD och CL. Problemtentamen

Omtentamen i Mekanik I SG1130, grundkurs för CMATD och CL. Problemtentamen 2015-06-12 Omtentamen i Mekanik I SG1130, grundkurs för CMATD och CL. OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik Problemtentamen 1. Med hjälp av en tråd kan ett homogent block

Läs mer

Uppgifter till KRAFTER

Uppgifter till KRAFTER Uppgifter till KRAFTER Peter Gustavsson Per-Erik Austrell 1 Innehåll 1 Introduktion till statiken... 3 A-uppgifter...3 2 Krafter... 5 A-uppgifter...5 B-uppgifter...5 3 Moment... 7 A-uppgifter...7 B-uppgifter...9

Läs mer

LÖSNINGAR TENTAMEN MEKANIK II 1FA102

LÖSNINGAR TENTAMEN MEKANIK II 1FA102 LÖSNINGAR TENTAMEN 16-10-20 MEKANIK II 1FA102 A1 Skeppet Vidfamne 1 har en mast som är 11,5 m hög. Seglet är i överkant fäst i en rå (en stång av trä, ungefär horisontell vid segling). För att kontrollera

Läs mer

Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs P1. Problemtentamen

Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs P1. Problemtentamen 010-06-07 Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs P1 OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1 Problemtentamen En homogen mast med massan M och längden 10a hålls stående i vertikalt

Läs mer

Biomekanik Belastningsanalys

Biomekanik Belastningsanalys Biomekanik Belastningsanalys Skillnad? Biomekanik Belastningsanalys Yttre krafter och moment Hastigheter och accelerationer Inre spänningar, töjningar och deformationer (Dynamiska påkänningar) I de delar

Läs mer

Uppgifter till KRAFTER. Peter Gustavsson Per-Erik Austrell

Uppgifter till KRAFTER. Peter Gustavsson Per-Erik Austrell Uppgifter till KRAFTER Peter Gustavsson Per-Erik Austrell 1 Innehåll 1 Introduktion till statiken... 3 A-uppgifter... 3 2 Krafter... 5 A-uppgifter... 5 B-uppgifter... 5 3 Moment... 7 A-uppgifter... 7 B-uppgifter...

Läs mer

LEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 4

LEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 4 LEDNINAR TILL PROBLEM I KAPITEL 4 LP 4.3 Tyngdkraften, normalkraften och friktionskraften verkar på lådan. Antag att normalkraftens angreppspunkt är på avståndet x från lådans nedre vänstra hörn. Kraftekvationen

Läs mer

VSMA01 - Mekanik ERIK SERRANO

VSMA01 - Mekanik ERIK SERRANO VSMA01 - Mekanik ERIK SERRANO Repetition Krafter Representation, komposanter Friläggning och jämvikt Friktion Element och upplag stång, lina, balk Spänning och töjning Böjning Knäckning Newtons lagar Lag

Läs mer

KOMIHÅG 2: Kraft är en vektor med angreppspunkt och verkningslinje. Kraftmoment: M P. = r PA

KOMIHÅG 2: Kraft är en vektor med angreppspunkt och verkningslinje. Kraftmoment: M P. = r PA 1 KOMIHÅG 2: --------------------------------- Kraft är en vektor me angreppspunkt och verkningslinje. Kraftmoment: M P = r PA ", r P =momentpunkt, r A angreppspunkt, r PA = r A " r P. - Oberoene av om

Läs mer

Tentamensskrivning i Mekanik (FMEA30) Del 1 Statik och partikeldynamik

Tentamensskrivning i Mekanik (FMEA30) Del 1 Statik och partikeldynamik Mekanik, LTH Tentamensskrivning i Mekanik (FMEA30) Del 1 Statik och partikeldynamik Fredagen den 25 oktober 2013, kl. 14-19 Namn(texta):. Personnr: ÅRSKURS M:... Namn(signatur).. Skrivningen består av

Läs mer

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520)

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520) Tentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520) Tid och plats: Tisdagen den 27 augusti 2013 klockan 14.00-18.00. Hjälpmedel: Physics Handbook, Beta samt en egenhändigt handskriven A4 med valfritt innehåll (bägge

Läs mer

KOMIHÅG 10: Effekt och arbete Effekt- och arbetslag Föreläsning 11: Arbete och lagrad (potentiell) energi

KOMIHÅG 10: Effekt och arbete Effekt- och arbetslag Föreläsning 11: Arbete och lagrad (potentiell) energi KOMIHÅG 10: Effekt och arbete Effekt- och arbetslag ----------------------------------------- Föreläsning 11: Arbete och lagrad (potentiell) energi Definition av arbete: U 0"1 = t 1 t 1 # Pdt = # F v dt,

Läs mer

9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar

9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar 9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar 9.43 b) Villkor för att linan inte skall glida ges av ekv (4.1.6). 9.45 Ställ upp grundekvationerna, ekv (9.2.1) + (9.2.4), för trådrullen. I momentekvationen,

Läs mer

KRAFTER. Peter Gustavsson Per-Erik Austrell

KRAFTER. Peter Gustavsson Per-Erik Austrell KRATER Peter Gustavsson Per-Erik Austrell örord Denna skrift har tagits fram för att utgöra kurslitteratur i kursen Mekanik för Industri Design vid Lunds Tekniska Högskola. Skriften börjar med en introduktion

Läs mer

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen 014-06-04 Tentamen i Mekanik SG110, m. k OPEN. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Problemtentamen En boll skjuts ut genom ett hål med en hastighet v så att den

Läs mer

Föreläsning 5: Acceleration och tidsderivering (kap ) . Sambandet mellan olika punkters hastigheter i en stel kropp: v A

Föreläsning 5: Acceleration och tidsderivering (kap ) . Sambandet mellan olika punkters hastigheter i en stel kropp: v A 1 Föreläsning 5: Acceleration och tidsderivering (kap 212-215) Komihåg 4: Vinkelhastighetsvektorn " = # e z Skillnadsvektorn mellan två punkter i stel kropp kan bara vrida sig: r BA = " # r BA Sambandet

Läs mer

Komihåg 5: ( ) + " # " # r BA Accelerationsanalys i planet: a A. = a B. + " # r BA

Komihåg 5: ( ) +  #  # r BA Accelerationsanalys i planet: a A. = a B. +  # r BA 1 Föreläsning 6: Relativ rörelse (kap 215 216) Komihåg 5: ( ) Accelerationssamb: a A = a B + " # r BA + " # " # r BA Accelerationsanalys i planet: a A = a B " d BA # 2 e r + d BA # e # Rullning på plan

Läs mer

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN m fl. Problemtentamen OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas!

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN m fl. Problemtentamen OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! 014-08-19 Tentamen i Mekanik SG110, m. k OPEN m fl. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik Problemtentamen 1. En boll med massa m skjuts ut ur ett hål så att den hamnar

Läs mer

Tentamen i SG1140 Mekanik II för M, I. Problemtentamen

Tentamen i SG1140 Mekanik II för M, I. Problemtentamen 2011-10-22 Tentamen i SG1140 Mekanik II för M, I. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Problemtentamen Den kvadratiska skivan i den plana mekanismen i figuren har

Läs mer

KRAFTER. Peter Gustavsson Per-Erik Austrell

KRAFTER. Peter Gustavsson Per-Erik Austrell KRATER Peter Gustavsson Per-Erik Austrell örord Denna skrift har tagits fram för att utgöra kurslitteratur i kursen Mekanik för Industri Design vid Lunds Tekniska Högskola. Skriften börjar med en introduktion

Läs mer

mm F G (1.1) F mg (1.2) P (1.3)

mm F G (1.1) F mg (1.2) P (1.3) Sid 1-1 1 1.1 Krafter och moment Inledning örståelsen för hur olika tper av krafter påverkar strukturer i vår omgivning är grundläggande för ingenjörsvetenskapen inom bggnadskonsten. Gravitationskraften

Läs mer

.4-6, 8, , 12.10, 13} Kinematik Kinetik Kraftmoment Vektorbeskrivning Planetrörelse

.4-6, 8, , 12.10, 13} Kinematik Kinetik Kraftmoment Vektorbeskrivning Planetrörelse .4-6, 8, 12.5-6, 12.10, 13} Kinematik Kinetik Kraftmoment Vektorbeskrivning Planetrörelse Exempel på roterande koordinatsystem planpolära eller cylindriska koordinater Storhet Beteckning Enhet Fysikalisk

Läs mer

Introduktion till Biomekanik - Statik VT 2006

Introduktion till Biomekanik - Statik VT 2006 Pass 4 Jämvikt, fortsättning Vid jämvikt (ekvilibrium) är en kropp i vila eller i rätlinjig rörelse med konstant hastighet. Statisk jämvikt (vila) Dynamisk jämvikt (rörelse i konstant hastighet) (ge ex)

Läs mer

Var ligger tyngdkrafternas enkraftsresultant? Totala tyngdkraftmomentet (mätt i origo) för kropp bestående av partiklar: M O. # m j.

Var ligger tyngdkrafternas enkraftsresultant? Totala tyngdkraftmomentet (mätt i origo) för kropp bestående av partiklar: M O. # m j. 1 KOMIHÅG 4: --------------------------------- Enkraftsresultantens existens. Vanliga resultanter vid analys av jämvikter. Jämviktsanalys: a) Kraftanalys - rita+symboler b) Jämviktslagar- Euler 1+2 c)

Läs mer

Repetition Mekanik, grundkurs

Repetition Mekanik, grundkurs Repetition Mekanik, grundkurs Kraft är en vektor och beskrivs med storlek riktning och angreppspunkt F= Fe + F e + Fe x x y y z z Kraften kan flytta längs sin verkninglinje Addera krafter Moment i planet

Läs mer

Obs: Använd vektorstreck för att beteckna vektorstorheter. Motivera införda ekvationer!

Obs: Använd vektorstreck för att beteckna vektorstorheter. Motivera införda ekvationer! 1) m M Problemlösningar µ α α Lösning: Frilägg massorna: T N N F µ T Mg mg Jämvikt för M kräver T Mgsin α = 0 (1) a) Gränsfall F µ = µ N men jämvikt för m kräver: N mg cosα = 0 (2) T µ N mgsinα = 0 (3)

Läs mer

Andra EP-laborationen

Andra EP-laborationen Andra EP-laborationen Christian von Schultz Magnus Goffeng 005 11 0 Sammanfattning I denna rapport undersöker vi perioden för en roterande skiva. Vi kommer fram till, både genom en kraftanalys och med

Läs mer

2 NEWTONS LAGAR. 2.1 Inledning. Newtons lagar 2 1

2 NEWTONS LAGAR. 2.1 Inledning. Newtons lagar 2 1 Newtons lagar 2 1 2 NEWTONS LAGAR 2.1 Inledning Ordet kinetik används ofta för att beteckna läranom kroppars rörelse under inflytande av krafter. Med dynamik betcknar vi ett vidare område där även kinematiken

Läs mer

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520)

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520) Tentamen Mekanik F del (FFM51 och 50 Tid och plats: Lösningsskiss: Fredagen den 17 januari 014 klockan 08.30-1.30. Christian Forssén Obligatorisk del 1. Endast kortfattade lösningar redovisas. Se avsnitt

Läs mer

9.1 Kinetik Rotation kring fix axel Ledningar

9.1 Kinetik Rotation kring fix axel Ledningar 9.1 Kinetik Rotation kring fix axel Ledningar 9.5 Frilägg hjulet och armen var för sig. Normalkraften kan beräknas med hjälp av jämvikt för armen. 9.6 Frilägg armen, och beräkna normalkraften. a) N µn

Läs mer

Föreläsning 2,dynamik. Partikeldynamik handlar om hur krafter påverkar partiklar.

Föreläsning 2,dynamik. Partikeldynamik handlar om hur krafter påverkar partiklar. öreläsning 2,dynamik Partikeldynamik handlar om hur krafter påverkar partiklar. Exempel ges på olika typer av krafter, dessa kan delas in i mikroskopiska och makroskopiska. De makroskopiska krafterna kan

Läs mer

Arbete och effekt vid rotation

Arbete och effekt vid rotation ˆ F rˆ Arbete och effekt vid rotation = Betrakta den masslösa staven med längden r och en partikel med massan m fastsatt i änden. Arbetet som kraften ሜF uträttar vid infinitesimal rotation d blir då: ds

Läs mer

Tentamen i Mekanik - Partikeldynamik TMME08

Tentamen i Mekanik - Partikeldynamik TMME08 Tentamen i Mekanik - Partikeldynamik TMME08 Onsdagen den 13 augusti 2008, kl. 8-12 Examinator: Jonas Stålhand Jourhavande lärare: Jonas Stålhand, tel: 281712 Tillåtna hjälpmedel: Inga hjälpmedel Tentamen

Läs mer

" e n och Newtons 2:a lag

 e n och Newtons 2:a lag KOMIHÅG 4: --------------------------------- 1 Energistorheter: P = F v, U "1 = t 1 # Pdt. Energilagar: Effektlagen, Arbetets lag ---------------------------------- Föreläsning 5: Tillämpning av energilagar

Läs mer

Introduktion till Biomekanik - Statik VT 2006

Introduktion till Biomekanik - Statik VT 2006 Pass 2 Aktions- reaktionskraft Nu är det dags att presentera grundstenarna inom Mekanik Newtons lagar: 1. Tröghetslagen: En kropp förblir i sitt tillstånd av vila eller likformig rörelse om den inte av

Läs mer

(Eftersom kraften p. g. a. jordens gravitation är lite jämfört med inbromsningskraften kan du försumma gravitationen i din beräkning).

(Eftersom kraften p. g. a. jordens gravitation är lite jämfört med inbromsningskraften kan du försumma gravitationen i din beräkning). STOCHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM Tentamensskrivning i Mekanik FyU01 och FyU03 Måndag 3 oktober 2005 kl. 9-15 Införda beteckningar skall definieras och uppställda ekvationer motiveras, detta gäller även när

Läs mer

Integraler av vektorfält Mats Persson

Integraler av vektorfält Mats Persson Föreläsning 1/8 Integraler av vektorfält Mats Persson 1 Linjeintegraler Exempel: En partikel rör sig längs en kurva r(τ) under inverkan av en kraft F(r). i vill då beräkna arbetet som kraften utövar på

Läs mer

6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar

6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar 6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar 6.104 Om du inte tidigare gått igenom illustrationsexempel 6.3.3, gör det först. Låt ϕ vara vinkeln mellan radien till kroppen och vertikalen (det vill

Läs mer

Biomekanik, 5 poäng Moment

Biomekanik, 5 poäng Moment (kraftmoment) En resulterande (obalanserad kraft) strävar efter att ändra en kropps rörelsetillstånd. Den kan också sträva efter att vrida en kropp. Måttet på kraftens förmåga att vrida kroppen runt en

Läs mer

TFYA16: Tenta Svar och anvisningar

TFYA16: Tenta Svar och anvisningar 150821 TFYA16 1 TFYA16: Tenta 150821 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Sträckan fås genom integration: x = 1 0 sin π 2 t dt m = 2 π [ cos π 2 t ] 1 0 m = 2 π m = 0,64 m Svar: 0,64 m b) Vi antar att loket

Läs mer

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520)

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tid och plats: Måndagen den 24 augusti 2009 klockan 08.30-12.30 i V. Lösningsskiss: Christian Forssén. Obligatorisk del 1. Rätt svarsalternativ på de sex frågorna är:

Läs mer

Explorativ övning Vektorer

Explorativ övning Vektorer Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken

Läs mer

Introduktion till Biomekanik, Dynamik - kinetik VT 2006

Introduktion till Biomekanik, Dynamik - kinetik VT 2006 Kinetik Kinematiken: beskrivning av translationsrörelse och rotationsrörelse Kinetik: Till rörelsen kopplas även krafter och moment liksom massor och masströghetsmoment. Kinetiken är ganska komplicerad,

Läs mer

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen 2015-06-01 Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas KTH Mekanik Problemtentamen 1. En bil med massan m kör ett varv med konstant fartökning ( v =)

Läs mer

Definitioner: hastighet : v = dr dt = r fart : v = v

Definitioner: hastighet : v = dr dt = r fart : v = v KOMIHÅG 8: --------------------------------- Jämvikten kan rubbas: stjälpning, glidning Flexibla system- jämvikt bara i jämviktslägen ---------------------------------- Föreläsning 9: PARTIKELKINEMATIK

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys

SF1626 Flervariabelanalys 1 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Föreläsning 2 Hans Thunberg Institutionen för matematik, KTH VT 2018, Period 4 2 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Dagens lektion: avsnitt 11.1 11.3 Funktioner från R till

Läs mer

Om den lagen (N2) är sann så är det också sant att: r " p = r " F (1)

Om den lagen (N2) är sann så är det också sant att: r  p = r  F (1) 1 KOMIHÅG 12: --------------------------------- Den mekaniska energin, arbetet ---------------------------------- Föreläsning 13: FLER LAGAR-härledning ur N2 Momentlag Hur påverkas rörelsen av ett kraftmoment??

Läs mer

Karta över Jorden - viktigt exempel. Sfär i (x, y, z) koordinater Funktionen som beskriver detta ser ut till att vara

Karta över Jorden - viktigt exempel. Sfär i (x, y, z) koordinater Funktionen som beskriver detta ser ut till att vara Föreläsning 1 Jag hettar Thomas Kragh och detta är kursen: Flervariabelanalys 1MA016/1MA183. E-post: thomas.kragh@math.uu.se Kursplan finns i studentportalens hemsida för denna kurs. Där är två spår: Spår

Läs mer

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet B e 3 e 2 A e 1 C Figur 3.16 Vi har ritat de riktade sträckor som representerar e 1, e 2, e 3 och v och som har utgångspunkten A. Vidare har vi skuggat planet Π

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

Tillämpad biomekanik, 5 poäng Övningsuppgifter

Tillämpad biomekanik, 5 poäng Övningsuppgifter , plan kinematik och kinetik 1. Konstruktionen i figuren används för att överföra rotationsrörelse för stången till en rätlinjig rörelse för hjulet. a) Bestäm stångens vinkelhastighet ϕ& som funktion av

Läs mer

NEWTONS 3 LAGAR för partiklar

NEWTONS 3 LAGAR för partiklar wkomihåg 12: Acceleration-med olika komponenter. ----------------------------------------- Föreläsning 13: Dynamik kraft-rörelse (orsakverkan) NEWTONS 3 LAGAR för partiklar 1 1. En 'fri' partikel förblir

Läs mer

Introduktion till Biomekanik - Statik VT 2006

Introduktion till Biomekanik - Statik VT 2006 http://apachepersonal.miun.se/~petcar/biomekanikintro.htm Innehåll Terminologi inom biomekanik. Skelettets, musklernas, senors och ligamentens funktion och uppbyggnad. Statik, kinematik och kinetik. Idrotts-

Läs mer

Karl Björk. Elementär. Mekanik. Tredje upplagan

Karl Björk. Elementär. Mekanik. Tredje upplagan Karl Björk Elementär Mekanik Tredje upplagan Förord till första upplagan Föreliggande bok i elementär mekanik är tänkt som stöd i undervisningen i huvudmomentet mekanik i blockämnet teknologi. Det förutsätts

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

Hanno Essén Lagranges metod för en partikel

Hanno Essén Lagranges metod för en partikel Hanno Essén Lagranges metod för en partikel KTH MEKANIK STOCKHOLM 2004 1 Inledning Joseph Louis Lagrange (1763-1813) fann en metod som gör det möjligt att enkelt ta fram rörelseekvationerna för system

Läs mer

Basala kunskapsmål i Mekanik

Basala kunskapsmål i Mekanik Basala kunskapsmål i Mekanik I kunskapsmålen nedan används termerna definiera, förklara och redogöra återkommande. Här följer ett försök att klargöra vad som avses med dessa. Definiera Skriv ner en definition,

Läs mer

Lösningsskiss för tentamen Mekanik F del 2 (FFM521/520)

Lösningsskiss för tentamen Mekanik F del 2 (FFM521/520) Lösningsskiss för tentamen Mekanik F del 2 (FFM521/520) Tid och plats: Tisdagen den juni 2014 klockan 08.0-12.0 i M-huset. Lösningsskiss: Christian Forssén Obligatorisk del 1. Ren summering över de fyra

Läs mer

=v sp. - accelerationssamband, Coriolis teorem. Kraftekvationen För en partikel i A som har accelerationen a abs

=v sp. - accelerationssamband, Coriolis teorem. Kraftekvationen För en partikel i A som har accelerationen a abs 1 Föreläsning 7: Fiktiva (tröghets-)krafter (kap A) Komihåg 6: Absolut och relativ rörelse för en partikel - hastighetssamband: v abs = v O' + # r 1 42 4 3 rel + v rel =v sp - accelerationssamband, Coriolis

Läs mer

Tentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S2. Problemtentamen

Tentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S2. Problemtentamen 006-08-8 Tentaen i Mekanik 5C1107, baskurs S. OBS: Inga hjälpede föruto rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Probletentaen Ett glatt hoogent klot ed assan vilar ot två plana, hårda och glatta

Läs mer