Relativitetsteorins Grunder

Transkript

1 Relativitetsteorins Grunder Föreläsningsanteckningarna: Miklos Långvik, Helsingfors Universitet

2 Förord Detta material täcker kursen Relativitetsteorins Grunder i Helsingfors universitet. Detta är den första en delen av en större helhet som förut gick under namnet: Introduktion till den moderna fysiken. Denna del har därför överenskommits att innehålla en introduktion till den speciella relativitetsteorins grunder, generell relativtet och kosmologi. Trots att man väl kunde argumentera för att kosmologin inte kan gå under rubriken relativitetsteorins grunder. Den första delen av materialet täcker den speciella relativitetsteorin på en grundläggande nivå. Anteckningarna innehåller inte den speciella relativiteten i ett gruppteoretiskt sammanhang, men man kunde mycket enkelt generalisera detta material till att inhålla det, om så krävdes. Det har dock inte varit kutym på vår institution att göra det under denna kurs utan först i kursen kvantmekanik 2 ( relativistisk kvantmekanik). Den andra delen om den allmänna relativiteten, liksom den sista delen om kosmologin är endast till för att bekanta sig med dessa två områden. Det finns specialistkurser för båda områdena som sedan utvecklar dessa diskussioner på en mera vetenskaplig nivå. Idéen har endast varit att låta eleverna bekanta sig med dessa områden, så att de får lite bakgrundsinformation, allmänbildning inom fysik kunde man kalla det, inom olika områden av fysiken. Miklos Långvik, Sideby 5:e Juli 2006

3 Innehåll 1 Den speciella relativitetsteorin Introduktion Einsteins postulat och den nya teorin Tre intressanta följder av den speciella relativitetsteorin Lorentztransformationerna Addition av hastigheter Paradoxerna, som inte är paradoxer Relativistisk rörelsemängd och energi Geometri och rum-tidsdiagram Fyrvektorer Böcker om speciell relativitet Generell relativitetsteori Introduktion Metriken (g µν ) Svarta hål Einsteins rörelseekvation Gravitationen experimentellt Kvanttgravitation Böcker om generell relativitet

4 2 Innehåll 3 Kosmologi Introduktion Hubbles upptäckt Den stora smällen Svårigheterna med den stora smällen Böcker om kosmologi

5 Kapitel 1 Den speciella relativitetsteorin 1.1 Introduktion Under den senare hälften av 1800-talet, befann sig fysiken i en situation där den Newtonska mekaniken slutligen hade nått sin fulla glans genom Lagrangeformalismen. Man hade genom teoretiska beräkningar av Uranus bana kunnat bestämma att det måste finnas en planet i närheten av Uranus som påverkade dess bana. Detta ledde till att man hittade Neptunus mycket snart. Detta ansågs som ett manifest för den Newtonska mekaniken. Inom ett annat område av fysiken hade James Clerk Maxwell presenterat sina ekvationer för elektrodynamik (1864) D = ρ B = 0 E = B t H = J + D t, och dessa förutsåg existensen av elektromagnetiska vågor. Dessa upptäcktes lite senare (1887) av Heinrich Hertz i en gnistkammare (Spark Chamber (eng)). M.a.o. såg mekaniken och elektrodynamiken ut att kunna beskrivas i enkelt formulerade lagar. Det fanns också andra områden inom fysiken som växte fram på samma sätt under just denna tid. Men vi koncentrerar oss främst på Newtons och Maxwells teorier, eftersom den speciella relativitetsteorin ändrar fundalmentalt på konceptet absolut tid och rum, vilka tas för givet i Newtons lagar. Maxwells ekvationer behöver inte implikera absolut tid och rum, men den Newtonska mekaniken fungerade ju så bra med absolut tid och rum, så varför ändra på det? 3

6 4 Den speciella relativitetsteorin Den Newtonska mekaniken var invariant 1 under Galileitransformationerna, x = x vt y = y z = z t = t. Galileitransformationerna är de koordinattransformationer man behöver göra i den Newtonska mekaniken för att förflytta sig till ett annat koordinatsystem för att observera fenomenet i fråga från detta andra kooridinatsystem. Därför tänkte man sig att detta också gällde för de Maxwellska ekvationerna. Detta var inte fallet. Det betydde alltså att det fanns ett koordinatsystem som var mera fundamentalt än de andra, där Maxwells ekvationer hade sin enklaste form. Detta ansågs inte alls vara konstigt på den tiden eftersom Maxwells ekvationer implikerade att elektrodynamiken var ett vågfenomen, och vågor behövde något att röra sig i tänkte man på den tiden (det gjorde ju alla vågor man kände till på den tiden). Detta något döptes till etern. Helt enkelt kändes det naturligt på den tiden att tänka sig att det fanns en eter. Som bättre vetande fysiker som lärt sig i efterhand, kan man ju skratta åt det. Men som en ännu bättre vetande fysiker än den bättre vetande fysikern, vet vi att vi är fångar av vår tid och våra barn kommer ännu att skratta åt oss och våra idéer (om vi inte uppfostrat dem till bättre människor än vi själva). Skämt å sido, inte nöjer sig en fysiker med en teori förrän den blivit testad. I detta fall måste man alltså testa om det finns en eter. År 1887 gjorde Michelson och Morley ett mycket fint experiment där de visade att jorden inte hade någon relativ rörelse i förhållande till en eter, något man postulerat att måste gå att visa om det finns en eter som fyller ut hela universum. Detta betydde att man hade ett stort problem inom den dåtida fysiken. Enorma mängder arbetskraft gick åt till att framföra andra teorier som skulle kullkasta experimenten, många av dem ad hoc 2. Den mest accepterade teorin (som inte var ad hoc) skapades av H.A.Lorentz. Denna baserade sig på Maxwells ekvationer under antagandet att det fanns en eter, så att tid och rum fortfarande kunde hållas absolut. Lorentz trodde så starkt på den absoluta tiden och rummet att han i sin teori t.o.m. antog att all massa var elektromagnetisk till sitt ursprung. Han beräknade genom sin teori att materiella objekt kontraherade (precis som längder i den speciella relativiteten), då de rörde sig genom etern, men han tänkte sig ytterligare, att eftersom alla mätinstrument var materiella, så kontraherade de också lika mycket då de rör 1 Invariant är ett ord som ofta används av fysiker. Det betyder att en ekvation har samma form efter att man ändrat på dess variabler på ett visst sätt. T.ex. Maxwells ekvationer är invarianta under Lorentztransformationen. Lorentztransformationen är en koordinattransformation som följer ur den speciella relativitetsteorin. Det att Maxwells ekvationer är invarianta under denna transformation kan bl.a. tolkas som att fysiken är densamma oberoende av koordinatsystem, vilket känns som ett plausibelt påstående och är faktiskt ett grundantagande i den speciella relativitetsteorin. 2 En teori sägs vara ad hoc om den endast är konstruerad för att förklara experimentella resultat, utan att starta från några mera fundamentala principer. Ex. Niels Bohrs atommodell är ett utmärkt exempel på en ad hoc teori.

7 Introduktion 5 sig genom etern och därför var kontraktionen inte observerbar. Det intressanta med Lorentz teori är att hans ekvationer är exakt de samma som Albert Einstein kom att, oberoende, stöta på i sin teori om den speciella relativiteten. Dessutom var Lorentz den första som hade en ordentlig teori i både ord och matematik. I Lorentz teori fanns de första ingredienserna till det som Einstein senare formulerade som speciell relativitet. Men det finns också en annan läxa att lära av detta. Nämligen att fysiken sitter i orden, inte i formlerna. Lorentz trodde på absolut tid och rum, något som Einstein förkastade i sin teori. Henri Poincarée var den första som ställde sig skeptisk till eterns existens. Han trodde inte på etern och framlade postulatet att det enda observerbara var relativa hastigheter. Detta låter inte som ett stort steg inom det fysikaliska resonemanget, men de facto var det det. Detta berodde på att man under denna tid var mycket fast i tanken om absolut tid och rum och utan denna filosofi hade knappast en teori som den speciella relativiteten fötts. Poicaré var den första relativisten. Torts det, var Albert Einstein (1905) den första som hade en teori som både i ord och matematisk form var tillräckligt rigorös för att hålla måttet. Einstein förkastade idéen om etern, den absoluta tiden och också det absoluta rummet. Han skapade en egen bild av tid och rum (den relativistiska) och härledde via Maxwells ekvationer transformationsekvationerna, vilka var precis desamma som de som Lorentz hade erhållit. Skillnaden var dock att Einsteins rum-tid var något helt annat än den Newtonska absoluta. Vi hade fått en relativistisk bild av rum-tiden. Michelson-Morley experimentet Detta är ett mycket vackert experiment som har haft långtgående konsekvenser. Utan resultatet av detta experiment fanns det ingen orsak att söka en ny teori, den speciella relativiten 3. Ur figur 1.1 ser vi uppställningen av Michelson-Morley experimentet. Apparaten kan roteras 90 åt vänster runt den halvsilvrade spegeln så, att sträckorna l 1 och l 2 byter plats i förhållande till eterns drifthastighet. Vi börjar med att beräkna tidsskillnaden för ljusets rörelse längs de två sträckorna l 1 och l 2, då man antar att det finns en eter 4. Vi ser först på sträckan l 2 då apparaten inte är roterad, utan uppställd som i figur 1.1. Enligt eterteorin rör sig ljuset med hastigheten c, men etern har en drifthastighet v. Då vi antar absolut tid och rymd, blir alltså ljusets hastighet till spegel S 2, c v och på vägen tillbaka till den halvsilvrade spegeln är den c + v. Då får vi tiden (t 2 ) som det tar för ljuset att röra 3 Trots att detta experiment är en av grundorsakerna till den speciella relativitetsteorin, var det inte i första hand detta experiment som Einstein grundade sina tankar på. Han härledde sin teori genom Maxwells ekvationer, vilka beskrev ljuset som en vågrörelse och vilka han antog att tar samma form i varje koordinatsystem enligt hans postulat (se avsnitt 1.2). Denna betraktelse leder direkt till Lorentztransformationerna. Dessa är de koordinattransformationer (jfr. Galileitransformationerna) man gör inom den speciella relativiteten för att förflytta sig från ett koordinatsystem till ett annat 4 Märkväl, detta är alltså i eterteorin där man antar absolut tid och rymd. Försök inte att applicera dessa metoder på era relativistiska kalkyler. Det gör bara läraren (eller assistenten) arg.

8 6 Den speciella relativitetsteorin S 1 K HSS l 1 l 2 S 2 T Eterns drifthastighet (v) Figur 1.1: Schematisk bild av Michelson-Morley experimentet. Apparaturen kallas en Michelson-Morley interferometer. Ljuset kommer från en källa (K) och reflekteras i en halvsilvrad spegel (HSS) så, att en del av ljuset väljer vägen l 1 och den andra delen l 2. Ljuset reflekteras sedan i speglarna S 1 eller S 2 och går genom den halvsilvrade spegeln till ett teleskop. Eterns drifthastighet är parallell med sträckan l 2. sig sträckan l 2 som, t 2 = l 2 c v + l 2 c + v = 2l 2c c 2 v. (1.1) 2 Då vi beräknar tiden för ljuset att röra sig sträckan l 1 måste vi beakta att etern rör sig, och det är ju i etern som ljuset rör sig. Därför blir sträckan, om t 1 /2 representerar tiden ljuset rör sig endast den ena vägen, l 1 = l (vt 1 /2) 2, där (vt 1 /2) är sträckan etern passerat under tiden t 1 /2. Nu får vi direkt den tid det tar för ljuset att röra sig sträckan l 1 till spegel 1 och tillbaka som, eller vackrare efter att vi löst ut t 1, t 1 = 2l 1 c = 2 c t 1 = l (vt 1 /2) 2, 2l 1 c2 v 2. (1.2) Från ekvationerna (1.1) och (1.2) får vi också direkt skillnaden i tiderna det tar för ljuset att röra sig sträckorna l 1 och l 2 som, [ t = t 2 t 1 = 2 l 2 c 1 v 2 /c l 1 ]. (1.3) 2 1 v2 /c 2 Om vi nu roterar hela apparaturen med 90 runt den halvsilvrade spegeln åt vänster, byter l 1 och l 2 plats i förhållande till eterns drifthastighet. Man kan i detta fall givetvis också göra

9 Introduktion 7 en analys av vad tidsskillnaden för de två vägarna för ljuset är. I detta fall får man efter en likadan analys som i den oroterade situationen, [ t = 2 l 1 c 1 v 2 /c l 2 ]. (1.4) 2 1 v2 /c 2 Alltså blir förändringen i tidsskillnaderna för ljuset från den första, oroterade situationen, till den roterade [ δt = t t = 2(l 1 + l 2 ) 1 c 1 v 2 /c 1 ]. (1.5) 2 1 v2 /c 2 Detta fås ifrån ekvationerna (1.3) och (1.4). I Michelson-Morleys fall studerade man jordens rörelse i förhållande till etern (30 km/s), vilken är mycket långsammare än ljusets hastighet (c km/s). Därför kan vi göra en approximation av vår δt-formel utan att tappa för mycket noggrannhet. Efter en expansion av kvadratroten i ekvation (1.5) i binominalserie, erhåller vi då vi endast sparar termer av ordningen v 2 (termerna av den högsta ordningen), δt (l 1 + l 2 ) v 2 c c. (1.6) 2 Om vi sedan dividerar ljusets hastighet c med våglängden λ för ljuset, får vi frekvensen för vågtopparna i ljuset vi använder. Då vi multiplicerar detta med δt har vi en kvantitet som beskriver ljusets interferens mellan den oroterade och roterade apparaten. Närmare bestämt har vi en kvantitet som beskriver interferensen av ljuset i den oroterade och roterade situationen. Vi kommer givetvis att få interferens automatiskt p.g.a. att interferometerns armar är olika långa, men eftersom apparaten kan roteras så, att armarna byter plats, kommer denna typs konstanta interferens att försvinna i slutresultatet. Mera explicit, där ekvation (1.6) har använts. = c λ δt = l 1 + l 2 λ (v2 ), (1.7) c2 Michelson-Morley använde sig av just denna formel i sitt experiment. Ljuset i deras experiment rörde sig längs 11 m långa sträckor 5 (l 1 = l 2 = 11 m) och hela apparaturen flöt i kvicksilver för att lätt kunna roteras. De använde ljus av våglängden λ = m och som bekant, betraktade de jordens (v = 30 km/s) hastighet i etern. Detta ger Men i deras experiment observerade de som mest en deviation av = Detta experiment gjordes om ett halft år senare, då jorden var på väg åt motsatt håll med avseende på solen, men utan större förändringar. Detta experiment satte således en övre gräns på eterns drifthastighet som 4.7 km/s. Senare, efter Michelson-Morley, har detta experiment utförts med bl.a. masrar 6 och man har konstaterat en övre gräns för eterns drifthastighet som 0.95 km/s. Det viktiga är dock inte 5 Trots att deras interferometer hade armar av 11 m:s längd var deras interferometers armar konstruerade så, att ljuset reflekterades några gånger av och ann inne i intrumentet innan det returnerades till den halvsilvrade spegeln så, att storleken på apparaten var långt under de mäktiga 11 m. 6 MASER = står för Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation. Detta är en sorts Laser (fast laserfysiker skulle säkert hänga mig för att säga så) som producerar koherent ljus i mikrovågsområdet.

10 8 Den speciella relativitetsteorin hur noga man kan sätta en övre gräns för eterns drifthastighet 7 utan det som experimentet implikerade, det finns ingen eter. Under detta antagande byggde sedan A. Einstein sin teori som vi skall bekanta oss närmare med. 1.2 Einsteins postulat och den nya teorin Einstein tänkte sig att endast den relativa rörelsen hade en mening. Bl.a. genom tankeexperiment övertygade sig Einstein om att den Newtonska bilden är fel. Ett av hans mest berömda argument bestod av att tänka sig att en person rör sig med ljusets hastighet. I det Newtonska fallet kan denna person då ta reda på hur fort han rör sig genom att observera att ljus inte går att se 8. Detta tyckte Einstein var motsägelsefullt, eftersom vi bara kan bestämma hastigheter i förhållande till något, de relativa hastigheterna. Den speciella relativitetsteorin bygger på två postulat (antaganden) av A.Einstein. Dessa gyllene regler är: 1. De fysikaliska lagarna är ekvivalenta i alla inertiala koordinatsystem 9 2. Ljusets hastighet i vakuum är densamma oberoende av koordinatsystem. Tabell 1.1: Einsteins postulat Det första postulatet beskriver betydelsen av att fysiklagarna skall vara desamma oberoende av vem som observerar ett fenomen. Man kunde i.o.f.s. tänka sig ett universum där alla fysiklagar skulle ändra beroende på observatörens hastighet, och det kan ju hända att vi lever i ett som skulle beskrivas noggrannare av en modell som beaktar detta. Men ett av fysikens starkaste vapen är den Ockhamska rakkniven 10 och det vore mycket svårt att konstruera en enkel och användbar teori i det fall att fysiklagarna skulle vara olika beroende på hastigheten för observatören. Det bästa argumentet vi har är att teorin i fråga stämmer mycket väl överens med experiment. Det kanske inte låter som så mycket, men en god fysiker vet att det är det enda argumentet en fysiker kan presentera för en teori. Det andra postulatet fungerar inte alls enligt vardagsintuition. Det betyder, precis som det säger, att ljuset har samma hastighet i vakuum oberoende av observatören. Vi kan till exempel 7 Vad jag menar är att trots att vi endast har en övre gräns för eterns drifthastighet, kan vi förkasta teorin om etern. Detta p.g.a. att den speciella relativitetsteorin galant har klarat sig genom testerna (experimenten) och den innehåller ingen eter per konstruktion. 8 Tanken är helt enkelt den, att man tänker sig att man sitter i ett rymdskepp som rör sig snabbare än ljuset. Då kan man inte observera ljuset som kommer utifrån rymdskeppet (en stjärna t.ex.) eftersom ljuset aldrig hinner ikapp skeppet i den Newtonska fysiken. 9 Ett inertialt koordinatsystem är ett koordinatsystem som rör sig likformigt åt något håll utan att deformeras så, att koordinataxlarna skulle ändra riktining eller att koordinataxlarnas skalor skulle ändras. 10 Filosofen William Ockham som levde i sekelskiftet av och 1300-talet har kommit med ett påstående som kallas den Ockhamska rakkniven. Den Ockhamska rakkniven är följande: Den enklaste fungerande lösningen är den bästa. Trots att fysiker oftast är mycket ovetande om den, är det precis den principen vi fysiker använder hela tiden inför konstruktion av en teori.

11 Einsteins postulat och den nya teorin 9 tänka oss att vi springer emot mamma på tågstationen. Mamma ser att vi kommer och springer också emot oss. Då kommer det ju att ta mindre tid att nå varandra än i fallet då mamma är slö och står på sin plats. Vi tänker oss att vår relativa hastighet är vår hastighet plus mammas när båda springer för att möta varandra (vilket är helt korrekt så länge ingendera springer nära ljusets hastighet). Men om vi nu tänker oss att vi är superatleter som klarar av att springa med ljusets hastighet som bäst. Då, när vi närmar oss mamma är det ingen skillnad om mamma är en superatlet eller inte för vår relativa hastighet kommer ändå att vara bara ljusets hastighet, vare sig mamma springer emot oss med ljusets hastighet (eller någon annan hastighet) eller inte. D.v.s. om mamma springer med ljusets hastighet kommer vi alltid att se mamma närma sig med ljusets hastighet, vare sig vi springer emot eller inte. Det kanske verkar som om det andra postulatet om ljusets konstans närmast är en konstig gissning, men detta är inte fallet. En orsak till att Einstein kunde postulera detta var hans krav på att Maxwells ekvationer bibehåller formen i varje koordinatsystem. Om man gör denna kalkyl à la Einstein, märker man snart att så länge man kräver att ljusets hastighet är konstant i varje koordinatsystem, så håller kalkylen under Lorentztransformationerna. På så vis kan man via denna beräkning få ett stöd för att ljusets hastighet i vakuum är konstant. För att få en lite djupare förståelse för betydelsen av Einsteins postulat skall vi ta en titt på ett intressant exempel. Situationen klarläggs i figur 1.2. Vi har alltså två koordinatsystem där en ljussignal emitteras i det ena och detekteras i det andra en tid senare. Ljusvågen fortskrider sfäriskt från sin källa till detektorn med ljusets hastighet i båda fallen, oberoende om man ser på systemet ur KS 1 eller KS 2. Precis enligt Einsteins andra postulat. Detta innebär att vågen detekteras vid x i KS 1 och på ett kortare avstånd x i KS 2 p.g.a. koordinatsystemens relativa hastighet. Då har vi, t = x c i KS 1 och t = x c i KS 2, 11 vilket direkt ger x t = x t. Detta illustrerar fint vad det innebär att ljusets hastighet är konstant. I detta fall betyder det att tidsintervall och avstånd mätta i de respektive koordinatsystemen inte kan vara desamma om ljusets hastighet skall vara konstant i båda två. Detta kan bland annat ses ur den vinkeln att tid inte längre är en observabel som är oberoende av observatören. Klockan tickar olika beroende på din rörelse i förhållande till den du jämför med. Detta betyder också att simultana händelser blir relativa. De kan vara simultana i ett koordinatsystem, men behöver inte vara det i ett annat. 11 Märk att i vi i den Newtonska teorin har t = x c v i KS 1 och t = x c+v i KS 2 till skillnad från fallet då ljusets hastighet är densamma i alla koordinatsystem.

12 > > 10 Den speciella relativitetsteorin Emissionen av ljuset KS 1 KS 1 KS 2 KS 2 v > v KS 1 Detektionen av ljuset KS 1 KS 2 KS 2 v > v x detektion vid t x' detektion vid t' ljuskällan som skickar iväg signalen detektorn som tar emot signalen Figur 1.2: KS 1 och KS 2 är två koordinatsystem som rör sig med hastigheten v i förhållande till varandra. I de övre två bilderna ser vi båda koordinatsystemen då de sammanfaller. Ljus emitteras från ljuskällan i KS 2 då koordinatsystemen sammanfaller. Till vänster har vi situationen ur KS 1 :s synvinkel och till höger situationen som KS 2 observerar. I de två undre bilderna har vi situationen då ljuset detekteras i KS 1 ur repektive synvinkel. KS 1 till vänster och KS 2 till höger. x är platsen för detektion som sett ur KS 1 och x är platsen för detektion som sett ur KS Tre intressanta följder av den speciella relativitetsteorin Vi skall nu ta oss en titt på vad Einsteins postulat implikerar i praktiken. De ändrar fundamentalt på konceptet tid och rum och därför är det att vänta sig att vi måste ändra på vår intuitiva bild av dessa två koncept. Den första konsekvensen är observationen att tidsintervall inte längre är desamma för olika observatörer i relativ rörelse. Detta kallas tidsdilatation. Den andra är att längder inte heller är desamma för observatörer i relativ rörelse, vilket kallas

13 > > Tre intressanta följder av den speciella relativitetsteorin 11 längdkontraktion 12. Den tredje konsekvensen är relaterad till förändringen av tidsintervallen för observatörer i relativ rörelse och beskriver förändringen av frekvensen för observatörer i relativ rörelse. Den kallas, precis som dess icke relativistiska förfader, Dopplereffekten (för ljus). Tidsdilatationen För att härleda en relation mellan tidsintervallen som två observatörer i relativ rätlinjig rörelse uppmäter mellan händelser, börjar vi med att tänka oss en observatör i ett koordinatsystem som rör sig med hastigheten v i förhållande till en annan observatör, som observerar detta koordinatsystem. Situationen visas i figur 1.3. O v > B A d > O B v > A, t A, t' > v(t' - t) d > Figur 1.3: På vänster sida ser vi situationen ur synvinkeln då observatören rör sig med koordinatsystemet. En ljusimpuls skickas iväg från punkten A, den reflekteras i B och återvänder till A. På höger sida visas samma situation för en observatör som ser koordinatsystemet röra sig med hastigheten v i förhållande till sig själv. Denna observatör ser ljusimpulsen röra sig en annan sträcka p.g.a. att koordinatsystemet han observerar rör sig i förhållande till honom. Punkten A är på två ställen i den högra figuren, men vid olika tidpunkter p.g.a. att koordinatsystemet rör sig. Egentligen borde bilden på höger sida ritas som två koordinatsystem (vid olika tidpunkter) vars x-axlar sammanfaller, så att bilden inte blir missvisande, men tyvärr visade sig detta göra figuren så råddig att vi får nöja oss med en kompromiss. Observatörer som rör sig med koordinatsytemet ser naturligtvis ljusimpulsen ta tiden, t 0 = 2d c, (1.8) på sig. Men observatören som står utanför koordinatsystemet ser ljusimpulsen röra sig sträckan, l = d 2 + (v(t t)/2) 2. Hädanefter kallar vi t t för t, eftersom detta är precis tidsintervallet vi vill relatera till tidsintervallet t 0 för observatören som rör sig med koordinatsystemet. Nu är ju ljushastig- 12 Denna längdkontraktion är reell i form av en sträcka som är kortare för observatören i rörelse. Men om vi ser med våra ögon på ett objekt som rör sig, t.ex. en meter lång linjal som susar förbi i hög hastighet, kommer vi nödvändigtvis inte att se en längdkontraktion eftersom ögat registrerar en bild som konstrueras av de ljussignaler som samtidigt når ögat. Vi kommer att se närmare på detta senare, men det är bra att nämna redan nu.

14 12 Den speciella relativitetsteorin heten densamma för båda observatörerna enligt Einsteins andra postulat, detta antagande ger t som, t = 2l c = 2 d2 + (v t/2) c 2. (1.9) Det bör nämnas att vi här antagit att sträckan d är densamma för båda observatörerna. Detta bekräftar vi som korrekt i beskrivningen av längdkontraktionen som följer, men just nu tar vi det som ett antagande. Vi ville ju hitta en relation mellan t 0 och t, nu kan vi få den. Det är bara att lösa ut d ur ekvation (1.8) och substituera resultatet in i ekvation (1.9). Resultatet är, t = 2 c (c t0 /2) 2 + (v t/2) 2. Från detta uttryck, genom att lösa ut t, får vi direkt vårt slutliga resultat, t = t 0 1 v2 /c 2. (1.10) Detta är ett resultat som vi kan generalisera till observatörer som rör sig parallellt med varandra med den relativa hastigheten v. Vi ser tydligt att då deras relativa hastighet går över ljusets hastighet tappar formeln sin betydelse, tidsintervallet t blir imaginärt, vilket inte fysikaliskt sett betyder något (förutom att vi inte observerar något fysikaliskt). Därför är det alltid sant att tidsintervallet t t 0. Härifrån kommer namnet tidsdilatation. Observatören som ser något röra sig observerar ett längre tidsintervall än observatören som rör sig med koordinatsystemet. Tidsdilatationen är ett direkt observerat fenomen. Genom att transportera en atomklocka runt jorden (40000 km) i ett flygplan (300 m/s), tappar flygplansklockan 10 7 s i förhållande till en klocka som är fast på jorden (i jordens inertiala koordinatsystem). Detta är en fullt mätbar effekt då de nutida atomklockorna klarar av en noggrannhet av nanosekunder. Uppgift 1.1 En myon (en elementarpartikel som liknar elektronen, men är 200 ggr tyngre) bildas i atmosfären på L 0 = 2230 m:s höjd ovanför jordytan. Myonen har en medellivslängd på 2, sekunder och myonen i vårt fall rör sig med hastigheten 0.98c neråt mot jorden. Uppgiften är att förklara (i ord och genom en uträkning) varför vi observerar myonen på jordytan trots att den måste ta tiden L 0 0,98c = 7, s på sig att nå ytan? Den borde ju sönderfalla inom tiden det tar att nå jordytan. Hur ser myonen själv på sina möjligheter att nå jordytan? Acceleration Eftersom en partikel med konstant hastighet ser ut att mäta tidsintervall olikt en observatör som inte befinner sig i partikelns inertialkoordinatsystem, hur är det då med en partikel som har en hastighet som funktion av tiden v(t) eller klarare sagt, en partikel som accelererar?

15 Tre intressanta följder av den speciella relativitetsteorin 13 Man kunde ju tänka sig att generalisera vår formel för tidsdilatationen som t = t2 t 1 dt. (1.11) 1 v(t)2 c 2 men då har partikels acceleration ingen speciell betydelse i teorin, endast hastigheten har det. Det har visat sig att detta stämmer överens med experimenten till hög noggrannhet. Bl.a. har man accelereat myoner (jfr. uppgift 1.1) i CERNs accelerator till mycket höga hastigheter (γ 12), där γ = 1 1 v 2 /c 2. Denna acceleration är av storleksordningen g där g = 9, 81 m/s 2. I dessa experiment har man inte kunnat observera någon nämnvärd påverkan på partikelns livstid från denna enorma acceleration. D.v.s. ekvation (1.11) stämmer åtminstone med god approximation. Noggranheten i dessa experiment var 1%. Längdkontraktionen Vår uppgift är nu att ta oss en funderare på vad som händer med längder, då vi kräver att ljusets hastighet är densamma för alla observatörer. Vi tänker oss en situation där en linjal (ett mått på längd är vad som menas med linjal i detta fall) befinner sig i ett koordinatsystem som rör sig med hastiheten v i förhållande till en yttre observatör. Vi mäter linjalens längd genom att fästa en spegel vid dess ena ända och en ljuskälla i den andra. Situationen är förtydligad i figur 1.4. v > v > K O > > l 0 S > K d > > > > l v t 1 S > O Figur 1.4: På vänster sida ses koordinatsystemet med observatörens ögon då han/hon rör sig med koordinatsystemet. K är ljuskällan och S spegeln, l 0 är linjales längd i detta fall. På höger sida har vi situationen enligt observatören som ser koordinatsystemet i rörelse med hastigheten v i förhållande till sig. Linjalen har längden l i detta fall men observatören ser också systemet förflytta sig sträckan v t 1. Observatören som rör sig med koordinatsystemet uppmäter tiden ljuset tagit på sig på vägen från källa till spegel och tillbaka som, t 0 = 2l 0 c. (1.12)

16 14 Den speciella relativitetsteorin Observatören som ser koordinatsystemet röra sig, uppmäter sträckan från källa till spegel som, d = l + v t 1. (1.13) Eftersom ljuset rör sig med ljushastigheten c är det också sant att, Om vi kombinerar ekvationerna (1.13) och (1.14) får vi för t 1, d = c t 1. (1.14) t 1 = l c v. (1.15) Precis på samma sätt kan vi härleda tiden det tar för ljuset att nå tillbaka från spegeln till källan. Den är, t 2 = l c + v. (1.16) Nu kan vi skriva den totala tiden för ljuset att röra sig från källan till spegeln och tillbaka. Detta är alltså tiden observatören, som ser linjalen röra sig, uppmäter. Den blir m.h.a. ekvationerna (1.15) och (1.16), t = l c v + l c + v = 2l c 2 (1 v 2 /c 2 ). (1.17) Men vi har sett i diskussionen om tidsdilatationen hur tidsintervallen t 0 och t relaterars till varandra. Substitution av ekvation (1.10) i ekvation (1.12) ger oss, t 1 v 2 /c 2 = 2l 0 c. (1.18) Till slut kombinerar vi ekvationerna (1.17) och (1.18) och får vår slutliga formel för längdkontraktionen l = l 0 1 v2 /c 2. (1.19) Vi ser direkt att ju snabbare linjalen rör sig i förhållande till en observatör, desto kortare uppmäter observatören linjalens längd. Här måste igen påpekas att denna observatör uppmäter inte linjalens längd genom att se på den. Detta, eftersom ögat inte registrerar ljusimpulser som startat från olika ställen (från linjalens ända och dess bas) i samma bild p.g.a. av ljusets ändliga hastighet, men denna observatör kan t.ex. uppmäta linjalen genom att sätta två ljuskällor på linjalen. En vid dess ända och en annan vid dess bas. Då den första korssar en linje som man kan dra från observatören till linjalens hastighetsriktning så, att denna linje är i rät vinkelt mot linjales hastighetsriktning, skickar den iväg en ljussignal till observatören som observatören registrerar. Då denna andra ljuskällan, den på linjalens bas korssar samma linje, skickar den i sin tur iväg en ljussignal som observatören registrerar. På detta sätt kan observatören sedan räkna ut att linjalen har en kortare längd än i sitt vilokoordinatsystem enligt lägdkontraktionsformeln. Det är på detta sätt man skall förstå längdkontraktionsformeln och sättet att mäta längd för objekt i hög hastighet.

17 Tre intressanta följder av den speciella relativitetsteorin 15 Exempel 1.1 T.ex. i en 100 m löptävling uppmäts 100 m sträckan för en löpare i hastigheten 0.8c i förhållande till publiken som står stilla (vilken givetvis uppmäter sträckan att vara 100 m), uppmäts av löparen att ha längden 100m 1 0, 8 2 = 60m Härav namnet längdkontraktion. Det bör sägas att vi i detta fall talar om en längdkontraktion som är parallell med rörelsens riktning. Det finns ingen längdkontraktion om linjalen är ställd antiparallellt (90 ) till rörelsens riktning. O l 0 > S > K > O v > K l > S 2 2 v t > K > Figur 1.5: Till vänster ser vi hur en observatör som som är på väg åt höger i samma koordinatsystem som linjalen, upplever en ljus-signal som skickas från linjalens bas till dess andra ända och tillbaka. I figuren till höger ser vi samma situation från ögonen på en observatör som ser linjalen susa förbi i hastigheten v relativt observatören. Vi kan se detta genom att betrakta figur 1.5, där vi ser en linjal som rör sig parallellt med x-axeln, men är riktad vinkelrätt mot denna. Linjalen har en spegel längst upp, dit vi skickar en ljussignal som detekteras när den återvänder till linjalens bas. Vi kommer att anta att linjalens längd är olika för oberservatören i koordinatsystemet som rör sig med linjalen och för den som står stilla och ser linjalen passera längs x-axeln. För observatören i rörelse har linjalen längden l 0 och för den som står och ser på har den längden l. Tiden det tar för linjalen att röra sig från linjalens bas via spegeln tillbaka till basen är i koordinatsystemet som rör sig med linjalen t 0 = 2l 0 c, (1.20) denna tid kan relateras till tiden den stillastående observatören uppmäter m.h.a. tidsdilatationen (1.10) som t = t 0 1 v2 /c 2 = 2l 0 c 1 v 2 /c 2. (1.21)

18 16 Den speciella relativitetsteorin Å andra sidan rör sig ljuset sträckan d = 2 ( v t 2 )2 + l 2, (1.22) sett som observatören som står stilla. För denna sträcka gäller också d = c t eftersom ljuset rör sig med konstant hastighet från basen av linjalen till dess ända och tillbaka. Detta kan kombineras med (1.22) för att ge c t = 2 t = ( v t 2 )2 + l 2 2l c2 v 2 = Då vi jämför (1.21) med (1.23) ser vi mycket snabbt att 2l c 1 v 2 /c 2. (1.23) l = l 0, (1.24) vilket betyder att längder vinkelrätt mot rörelsens riktning inte kontraheras. Hur ser längdkontraktionen ut? Detta är en fråga som i sig är entydig, men trots det svår att besvara. Det beror på att ögat (liksom en kamera) registrerar ljusimpluser samtidigt då de når ögat, men då ljusets hastighet är ändlig betyder detta att om vi t.ex. ser på ett rymdskepp som färdas med en hög hastighet, kommer vi att registrera ljusimpulserna som startar samtidigt i rymdskeppets vilokoordinatsystem från dess bas och dess front, vid olika tidpunkter och de kommer inte att samtidigt bidra till den bild vi ser av rymdskeppet. Gjorde de det, skulle vi se ett längdkontraherat rymdskepp. Vi kunde göra denna analys rent matematiskt för ett objekt av vilken form som helst som susar förbi oss med den kunskapen vi har (se men eftersom resultatet är så beroende av geometrin vi har i situationen, nöjer vi oss med att se på hur ett par bilder projiceras i två dimensioner (dessa två dimensioner kunde vara t.ex. en fotografisk plåt) om vi tar ett foto av ett objekt som vi susar förbi (eller som allternativt susar förbi oss). Vi ser ur figur 1.7 att det ser ut som om huset skulle rotera (böja sig lite). Denna effekt kallas för Terrell-rotation 13. Dessutom ser vi att fotot ser ut att uppvisa ett längre hus till vänster om husets mittpunkt och ett kontraherat hus till höger om dess mittpunkt. Man kunde naivt tänka sig att dessa två effekter skulle ta ut varandra och huset skulle ha samma längd som i vilokoordinatsystemet, men detta är inte fallet under en närmare analys. Däremot ser man klart att den bilden man tar av huset kommer att bero av var huset befinner sig i förhållande till oss (framför eller bakom oss) när vi tar bilden och också beror den av i vilken vinkel vi passerar huset. 13 Ibland kallas den också Terrell-Penrose rotation.

19 Tre intressanta följder av den speciella relativitetsteorin 17 Figur 1.6: Vi ser hur bilden ser ut i vilokoordinatsystemet (d.v.s. v = 0). Korsset pekar ut var husenas mittpunkt ligger, medan den korssade cirkeln visar var mittpunkten för det två dimensionella planet ligger. I (b) och (c) bilderna står det två dimensionella planet lite i vinkel till husena. D.v.s. i (b) är husets vänstra gavel närmare det två dimensionella planet och i (c) är det den högra gaveln som kommer närmare. Vi kan förstå att det är möjligt att en längd kontraheras då den passerar oss i hög hastighet, men hur skall man kvalitativt förstå att en längd kan se ut längre vid en hög hastighet? I detta fall kan man inse detta om man tänker på att då objektet befinner sig till vänster om oss (på väg mot oss), så ser vi den ljusimpuls som startar från dess bass nå oss, samtidigt som den ljusimpuls som startar från dess front som redan rört sig en bit framåt når oss, p.g.a. att ljuset har en ändlig hastighet. Denna effekt blir omsvängd då objektet passerat oss och objektet ser kortare ut då. Hur objektet i sig ser ut, beror för mycket på dess geometri och var det befinner sig i förhållande till den som ser på för att man skall kunna säga något allmänt om dess form, men ett resultat är mycket känt. Nämligen, en sfär ändrar inte form oberoende av hur hårt den skulle susa förbi oss. Den kan vara mindre eller större än i sitt vilokoordinatsytem, men den har fortfarande en kontur i form av en cirkel. Uppgift 1.2 Förenta Stjärnornas rymdskepp har en cirkel som symbol på vingarna. Den Icke Republikanska AtomkorruptionsNationen (IRAN) rymdskepp har en ellips på sina. IRANs ellipser är 1,5 ggr längre än de är breda. Hur fort måste IRANs rymdskepp köra för att man skall få problem som stationär observatör (i detta fall räknar vi med att den stationära observatören inte ser

20 18 Den speciella relativitetsteorin Figur 1.7: Samma bild som i figur 1.6, men nu susar det två dimensionella planet förbi i en hastighet av v = 0.9c. Detta betyder helt enkelt att i (b) och (c) fallena susar det två dimensionella planet förbi lite i vinkel i förhållande till husena och inte parallellt med huset, som i (a). med sina ögon på skeppen utan använder någon sorts sensorer på rymdskeppen för att räkna ut deras längd.) att skilja på de båda makternas rymdskepp? Vi antar att IRANs rymdskepp kör parallellt med observatören. Kan Förenta Stjärnornas skepp åka så snabbt att det alltid går att skilja på dem från IRANs skepp? Om ja, hur snabbt måste de då åka? Om nej, varför inte? Dopplereffekten för ljus Vi tar nu en titt på en annan intressant effekt som är rent relativistisk, nämligen Dopplereffekten för ljus. Vi placerar en observatör i en punkt som sammanfaller med origo i ett koordinatsytem som rör sig med hastigheten v i förhållande till denna observatör och frågar oss vilken frekvens denna person utanför ljuskällans koordinatsystem uppmäter. Se figur 1.8. Under tiden T rör sig den första vågtoppen från ljuskällan sträckan ct och källan rör sig sträckan vt. Därför ser vår observatör våglängden (längden mellan vågtopparna) som λ = T (c v). Den uppmätta frekvensen för observatören blir alltså, f = c λ = c T (c v). (1.25) Vi vet ytterligare från vår diskussion om tidsdilatationen och ekvation (1.10) på vilket sätt

21 Tre intressanta följder av den speciella relativitetsteorin 19 v > K > > vt > ct λ > > > Figur 1.8: Figuren visar på vilket sätt observatören observerar ljustopparna då koordinatsystemet rör sig med hastigheten v i förhållande till observatören. T är tidsintervallet mellan vågtoppar, d.v.s. f = 1 är frekvensen för ljuset. K är ljuskällan. T tidsintervall relaterar sig mellan observatörer i relativ rörelse. Vi omformar ekvationen till, T = T 0 1 v2 /c 2 = ct 0 c2 v 2, som vi skriver om till frekvensspråk m.h.a. T 0 = 1/f o, 1 T = c2 v 2 c2 v = 2 f 0. (1.26) ct 0 c Om vi sedan kopplar ihop ekvationerna (1.25) och (1.26) genom att substituera för T och kommer ihåg att c 2 v 2 kan skrivas som c 2 v 2 = (c v)(c + v), får vi vårt slutliga uttryck, c + v f = c v f 0. (1.27) Detta är Dopplereffekten för en ljuskälla som närmar sig observatören. För en ljuskälla som rör sig bort ifrån observatören är det bara att byta tecken på v. Detta ger, c v f = c + v f 0. (1.28) I ekvation (1.27) ser vi att den observerade frekvenssen ökar desto snabbare ljuskällan rör sig mot observatören. Detta betyder att våglängden minskar enligt vågekvationen c = f λ, våglängden förskjuts mot den blåare delen (kortare våglängd) av spektret. Detta kallas därefter för blåförskjutning. På samma sätt ser vi att frekvenssen i ekvation (1.28) minskar med ökad hastighet i förhållande till observatören, vilket betyder att våglängden ökar och förskjuts mot det röda området av spektret. Fenomenet kallas för rödförskjutning. Dopplereffekten används bl.a. av polisen då de bestämmer hastigheten för bilar m.h.a. radar. En mycket nyttig apparatur för att observera fortkörande bilister. Man kan också använda Dopplereffekten för att kartlägga positionen av satelliter som sänder radiosignaler.

22 20 Den speciella relativitetsteorin För en fysiker är kanske det mest kända exemplet av Dopplereffekten, observationen av att de flesta galaxer i universum uppvisar rödförskjutning i det ljus de sänder ut. Detta tolkas som att universum expanderar och denna observation har haft en fundamental betydelse för kosmologins utveckling till ett område av fysiken. Uppgift 1.3 Hur snabbt måste man gå mot rött ljus för att få det att verka grönt? Det röda ljuset har våglängden λ r = 695nm och det gröna λ g = 525nm. Uppgift 1.4 a.) Vi betraktar ett binärt stjärnsystem (två stjärnor som roterar runt sitt masscentrum) och frågar oss om detta stjärnsystem som helhet står stilla eller rör på sig relativt oss. Vi vet att ljuset från vätgas i ett laboratorium på jorden produceras med frekvensen f = 4, Hz och vi observerar med ett jordiskt teleskop att ljuset från det binära stjärnsystemet varierar mellan frekvenserna 4, Hz och 4, Hz. Bestäm om detta binära stjärnsystem rör sig mot oss eller ifrån oss som en helhet då vi antar att det roterar i samma plan som c+v jorden. Gör denna uppgift genom att approximera f = f c v 0, genom att först visa att föregående uttryck går att skriva som f = (1 v c ) 1/2 (1 + v c )1/2 f 0. Gör sedan en approximation m.h.a. binominalteoremet då v c för att få f = f 0 (1 + v c ) (1.29) Härled alltså ekvation 1.29 och använd den för resten av uppgiften. b.) Ljuset från detta binära stjärnsystem varierar med frekvensen i en period av 90 dagar. Detta betyder att man observerar en maximal skillnad i frekvensser från de båda stjärnorna med en period på 90 dagar. D.v.s. det tar 90 dagar att ta sig från ett frekvensskillnadsmaximum till ett frekvenskillnadssminmum och slutligen tillbaka till ett frekvensskillnadsmaximum. Vad är radien på banan för de två stjärnorna då vi antar att de rör sig i en cirkelbana? Bestäm också deras massor om vi antar att båda har en lika stor massa. Ge ditt svar i solarmassor. 1.4 Lorentztransformationerna Det nämndes redan tidigare att Lorentz, utgående från Maxwells ekvationer för elektrodynamiken, presenterade transformationsformlerna för att Maxwells ekvationer skulle hålla sig invarianta (bibehålla sin form och därmed fysiken) under koordinattransformationer. Trots att Lorentz fysikaliska universum var absoult och något helt annat än Einsteins, bär transformationsekvationerna fortfarande hans namn. Einstein härledde dem precis på samma sätt genom att anta att Maxwells ekvationer skall hållas invarianta under dessa transformationer.

23 Lorentztransformationerna 21 För jämförelsens skull böjar vi med att se på Galileitransformationerna mellan två koordinatsystem som rör sig med hastigheten v (längs x-axeln) i förhållande till varandra. De är x = x vt y = y z = z t = t. (1.30) Från dessa transformationer ser vi direkt att tiden är densamma i båda koordinatsystemen. Detta kan ju inte stämma relativistiskt eftersom vi just lärt oss om tidsdilatationen. Dessutom är inte sträckan x längdkontraherad. Detta betyder att dessa transformationer måste modifieras för att gälla inom den speciella relativitetsteorin. Vi åtar oss uppgiften att ändra på detta och börjar med att härleda transformationen för två koordinatsystem som rör sig likformigt och parallellt med sina x-axlar som sammanfaller (är i linje med varandra (se figur 1.9). Frågan är alltså, när vi har två koordinatsystem som rör sig parallellt med sina x-axlar, vad är relationen mellan deras koordinater under den speciella relativitetsteorins två postulat? x x' > v > P y vt > > y' > Figur 1.9: Vi ser i figuren två koordinatsystem som vid tidpunkten t = t = 0 sammanfallit. I bilden visas en tidpunkt t 0, t 0. Det vänstra koordinatsystemet står stilla i förhållande till det högra som rör sig med hastigheten v åt höger. Punkten P har koordinaterna (x, y) i det vänstra koordinatsystemet och (x, y ) i det högra. Enligt figur 1.9 är det högra origot sträckan vt framför det vänstra koordinatsystemets. Eftersom vi börjar med att ta reda på vad transformationen för x-koordinaterna blir, märker vi att x måste vara längdkontraherad enligt ekvation (1.19) i det vänstra koordinat systemet. Därför blir inte transformationen x = vt + x som i Galilei transformationerna, utan x = vt + x 1 v 2 /c 2. Från detta löser vi ut x som, x = x vt 1 v2 /c 2. (1.31)

24 22 Den speciella relativitetsteorin Detta är Lorentztransformationen för x-koordinaterna. Endast en koordinattransformation räcker dock inte, vi måste också ta oss en titt på hur tiden transformerar sig mellan koordinatsystemen. För att åstadkomma detta kommer vi ihåg den speciella relativitetens första postulat. Det säger att alla koordinatsystem är lika värda, därför måste transformationen gälla från det vänstra koordinatsystemet till det högra, men också från det högra till det vänstra. Den enda skillnaden är att nu ser vi situationen från det högra koordinatsystemet, därifrån vi ser att det vänstra rör sig åt vänster. D.v.s. vi behöver bara sätta in ett minustecken och ändra t till t och byta om rollerna för x och x. Detta ger, x = vt + x 1 v 2 /c 2. Vi använder sedan ekvation (1.31) till att eliminera x ur vårt uttryck. Vi löser ut t och får, t = t vx/c2 1 v2 /c 2. (1.32) Eftersom vi redan tidigare nämnt att längder som står i 90 vinkel till rörelsens riktning hålls oförändrade blir transformationerna för y och z helt enkelt y = y och z = z. Då har vi, med användning av ekvationerna (1.31) och (1.32), Lorentztransformationen för likformig rörelse i x-led i sin fulla glans, x = x vt = γ(x vt) 1 v2 /c2 y = y z = z t = t vx/c2 1 v2 /c 2 = γ(t vx/c2 ), (1.33) där vi infört definitionen γ 1 1 v 2 /c 2. Dessa är Lorentztransformationerna för en x-stöt (x-boost eng.). Detta är inte den enda Lorentztransformationen, man kan naturligtvis generalisera och välja ett koordinatsystem som rör sig likformigt i förhållande till ett annat koordinatsystem, men inte parallellt med någon axel. Då måste y, och z, koordinattransformationerna modifieras. Detta är dock endast en teknisk detalj. I de vanligaste fallen kan man välja x-axeln så, att den blir parallell med rörelsens riktning och det finns därför ingen orsak att presentera flere transformationer. Det kan nämnas att Lorentztransformationerna också kan härledas för rotationer av koordinatsystem, men vi kommer inte att använda oss av dem och funderar inte mera på detta just nu. Exempel 1.2 Vi skickar iväg en laserstråle från jorden till en rymdsond på km:s avstånd. Hur ser detta ut från solens koordinatsystem? Vi vet att jorden rör sig med en hastighet 30 km/s i

25 Lorentztransformationerna 23 förhållande till solen och att laserstrålen tar 1 s på sig att färdas till sonden sett ur jordens koordinatsystem. För att beräkna de uppmätta avstånden i solens koordinatsystem, behöver vi γ-faktorns värde. Det är γ = ( 30 ) Sedan använder vi Lorentztransformationerna i ekvation (1.33) för att bestämma resten, x = γ(x vt) = γ( km 30 km/s 1 s) = km m (1.34) t = γ(t v c 2 x) = γ(1 s 30 km/s ( km/s) km) 1 s 10 4 s. Vi ser att längderna och tiderna mellan dessa två koordinatsystem inte är de samma, vilket förstås var att vänta. Dessa är saker man måste beakta då man skickar iväg rymdsonder och sateliter och vill kommunicera med dem. Kausalitet Ett mycket viktigt begrepp inom fysiken kommer från ordningen på orsak och verkan. Man antar inom fysik att kausalitet alltid gäller. D.v.s. orsak kommer alltid före verkan. Detta är enkelt att förstå inom deterministiska fysikteorier 14, eftersom begreppet kausalitet är deterministiskt. Orsaken kommer alltid före verkan. Detta är definitionen på kausalitet. Inom icke-deterministiska teorier, så som kvanttmekaniken, är den kausala tolkningen av teorin inte lika enkel, men man har aldrig observerat ett kvantmekaniskt fenomen där detta skeende nödvändigtvis måste tolkas som brutet. Därför, trots att den teoretiska konstruktionen av kvanttmekaniken inte behöver vara kausal, finns det tillsvidare ingen orsak att något fysikaliskt system skulle måsta beskrivas så, att orsak-verkan skeendet är brutet. Eftersom man tänker att kausalitet alltid gäller, gäller det i varje koordinatsystem. Om vi betraktar ett system där vi antar att 2 är följden av 1 vid tidpunkterna t 2 respektive t 1, där t 2 > t 1, kan vi skriva t = t 2 t 1 0 och följdaktilgen användande Lorentztransformationerna (1.33) erhåller vi vilket ger t = γ( t v x) 0, (1.35) c2 t v x 0. (1.36) c2 Eftersom x alltid kan väljas positivt (är x negativ svänger vi bara på x-axeln) eller noll, har vi x 0 och då kan vi omforma ekvation (1.36) till c 2 v x t. (1.37) 14 Newtonsk gravitation och den klassiska elektromagnetismen är exempelm på deterministiska teorier inom fysiken. Kvanttmekanik är däremot inte en deterministisk teori.

26 24 Den speciella relativitetsteorin x t är i detta fall hastigheten mellan orsak och verkan, d.v.s. hastigheten mellan händelserna 2 och 1. Hastigheten v står endast för den relativa hastigheten mellan 1:s och 2:s koordinatsystem och därför har det ingen betydelse vad den är inför denna betraktelse. Då olikheten (1.37) också måste hålla i fallet då v c, får vi c x t. (1.38) Detta kan direkt tolkas som att: signalhastigheten kan aldrig överskrida ljusets hastighet, om vi antar ett kausalt beroende mellan händelserna. Om vi däremot ger upp kausaliteten är överljushastighet möjligt. Överljushastighet har studerats bl.a. genom en teoretisk modell av tachyoner, partiklar som rör sig snabbare än ljuset. Dessa har dock aldrig observerats, liksom man heller inte observerat något annat fenomen som skulle röra sig med överljushastighet. Huvudpoängen är i varje fall att kausalitet tillsammans med speciell relativitet implikerar att ingen signalhastighet överskrider ljusets. Däremot måste man ännu konstatera att trots att man antar kausalitet inom fysik, så är kausalitet som begrepp inte så lätt-tolkat då man inför t.ex. kvantteffekter. I de fallen gäller fortfarande att fysikalisk kausalitet bevaras så länge signalhastigheten är c, men trots det kan händelser ske inom teorin 15 där kausaliteten så som den presenterades här, bryts. D.v.s. om händelse A är orsaken till händelse B, följer inte automatiskt att A kommer före B tidsmässigt i den teoretiska betraktelsen. T.ex. i partikelreaktioner vid hög energi kan man i den teoretiska betraktelsen inte alltid säkert säga att partiklarna krockade före nya bildades. T.ex. i en formulering av kvanttfältteori 16 ordnas diagrammen (partikelprocesserna) i en sådan ordning att vissa av dem är inte är kausala i ordets riktiga betydelse. D.v.s. i vissa av dessa diagram kan det hända att nya partiklar bildas före de gamla förstörts. Torts det säger många fysiker att kausalitet bevaras, men då menar man en sorts fysikalisk kausalitet som är mycket svårdefinierad inom teorier med kvanttfenomen. Det enklaste är att säga att kausalitet inte har en entydig fysikalisk definition i teorier som inte är deterministiska, trots att man säger att kausalitet skall hålla inom alla fysikteorier. I detta fall syftar man på den erfarenhet vi har av experiment. Lorentztransformationerna grafiskt Vi tar oss nu en kort titt på hur man grafiskt kan se på Lorentztransformationerna genom sk. rum-tidsdiagram (space-time diagrams (eng.)). Om vi använder oss av axlarna ct och x 17 för y-axel respektive x-axel, kan vi m.h.a. Lorentztransformationerna rita in axlarna ct och x för systemet som rör sig med hastigheten v i förhållande till de oprimmade koordinaterna. 15 Detta är viktigt, för som konstaterats tidigare, finns det inga experimentella antydelsser på att kausalitet bryts heller i kvanttsammanhang. 16 Tids Ordnad Störnings Teori, TOPT = Time Ordered Pertubation Theory (eng.) 17 Egentligen borde man ju rita alla rymdaxlar och inte bara x-axeln, men eftersom vi inte kan rita 4 ortogonala axlar på ett 2-dimensionelt papper, säger vi att rymdaxlarna y och z är underförstådda i diagrammet, trots att vi inte explicit ritar ut dem. Detta sätt att rita ändrar inte på diagrammens duglighet för att åskådliggöra de fysikaliska processerna mellan koordinatsystem i relativ rörelse.

27 Lorentztransformationerna 25 Det enda vi behöver göra är att ta reda på var i diagrammet vi placerar axlarna för ct, x koordinaterna. Detta går enkelt genom Lorentztransformationerna (1.33). Vi tar reda på hur vi skall rita x -axeln, genom att sätta in t = 0 i Lorentztransformationerna. Detta ger ct = βx för t = 0, (1.39) där β = v. c ct axeln får vi från kravet x = 0, vilket direkt ger ct = 1 β x för x = 0. (1.40) Ekvationerna (1.39) och (1.40) bestämmer hur vi skall rita in axlarna i koordinatsystemet med ct längs y-axeln och x längs x-axeln. Resultatet ser vi i figur Ur samma diagram ser vi direkt att simultana händelser inte nödvändigtvis är desamma i båda koordinatsystemen. Händelserna A och B, vilka händer vid samma tidpunkt i det oprimmade koordinatsystemet är inte simultana i det primmade koordinatsystemet. ct ct(a), ct(b) ct A B ct (A) ct (B) ct = x 1_ β x (A) x (B) x x(a) x(b) x Figur 1.10: Figuren visar två koordinatsystem ovanpå varandra där det primmade rör sig med hastigheten v i förhållande till det oprimmade koordinatsystemet. A och B är två händelser som inte, trots simultanitet i det oprimmade koordinatsystemet, är simultana i det primmade koordinatsystemet. Den sträckade linjen i 45 vinkel till x-axeln representerar den maximala hastigheten c, för vilken β = 1. D.v.s. så rör sig en foton i rum-tidsdiagrammet.

28 26 Den speciella relativitetsteorin Uppgift 1.5 Ronny har tillsammans med sin släkt just vunnit en intergalaktisk tandemcykeltävling och kör släktcykeln (en mycket lång cykel på 300 m, Ronny har en stor släkt) över mållinjen samtidigt som hans avlägsnaste släkting (han sitter också längst bort på cykeln) skickar ett Hurra! meddelande åt Ragge som står vid mållinjen. Ronny och hans avlägsnaste släkting befinner sig i tandemcykelns koordinatsystem som rör sig med hastigheten 0,6c i förhållande till mållinjen och Ragge. När observerar Ragge att hela cykeln gått över mållinjen, var befinner sig Ronny i förhållande till mållinjen i sitt egna och i Ragges koordinatsystem just då och när uppfattar Ragge meddelandet som Ronnys avlägsnaste släktning skickade? Uppgift 1.6 Gör ett variabelbyte i Lorentztransformationerna 1.33 med bytet ψ = tanh 1 β = tanh 1 v c. Där tanh 1 x är tanh x = sinh x :s inversa funktion. ψ kallas för rapiditet. Gör detta och få cosh x Lorentztransformationerna, x = x vt = γ(x vt) 1 v2 /c2 y = y z = z t = t vx/c2 1 v2 /c 2 = γ(t vx/c2 ), (1.41) i formen t = t cosh ψ x c sinh ψ x = ct sinh ψ + x cosh ψ y = y z = z. Uppgift 1.7 Albert i underlandet Einstein spelar tennis med Lorentz. De spelar en mycket speciell sorts tennis, utan nät. Du kan anta att de slår bollen parallellt med marken. Lorentz svingar iväg en serv på 80m/s, vilken returneras av Einstein med den måttliga hastigheten av m/s. Under Einsteins retur springer en vit kanin förbi planen med en hastighet av m/s. a.) Vad är kaninens hastighet relativt bollen då kaninen springer parallet med planen i riktningen från Einstein mot Lorentz? (för denna del av uppgiften se nästa sektion) b.) Vad är längden på tennisplanen (som Einstein och Lorentz mäter till 20m) enligt den vita kaninen? c.) Hur länge tar det för den vita kaninen att springa förbi planen enligt spelarna? d.) Den vita kaninen bär på ett

29 Lorentztransformationerna 27 fickur, vilket han använder för att mäta tiden det tar att springa förbi tennisplanen. Vad avläser han för tid? Uppgift 1.8 a.) Vågekvationen för elektromagnestisk strålning i 1+1 dimensioner i koordinatsystem S är 2 y(x, t) x 2 1 c 2 2 y(x, t) t 2 = 0 (1.42) Visa att denna ekvation under den Galileiska transformationen x = x vt y = y z = z t = t (1.43) ger ( 1 v2 c 2 ) 2 y(x, t ) x 2 + 2v 2 y(x, t ) 1 2 y(x, t ) c 2 x t c 2 t 2 = 0 (1.44) i koordinatsystem S. Tips: Använd partialderivatornas kedjeregel för att uttrycka derivatorna och m.h.a. x t derivatorna och. x t b.) Gör samma sak som i uppgift a, men nu med Lorentztransformationerna x = x vt = γ(x vt) 1 v2 /c2 y = y z = z t = t vx/c2 1 v2 /c 2 = γ(t vx/c2 ). (1.45) Detta skall ge 2 y(x, t ) x 2 1 c 2 2 y(x, t ) t 2 = 0 (1.46) Förklara varför detta visar att ljusets hastighet är c i båda koordinatsystemen S och S. Maxwell ekvationernas invarians Exempel 1.3

30 28 Den speciella relativitetsteorin Maxwell ekvationerna i vakum är E = 0 B = 0 E = B t B = 1 c 2 E t. Dessa kan skrivas om genom att märka att ekvationen B = 0 kan skrivas genom att införa en ny potential A, den s.k. vektorpotentialen som satisfierar B = A. Då vi substituerar detta in i E = B t får vi E + ( A) t = 0 (1.47) ( E A ) + t = 0 (1.48) E + A t = φ, (1.49) där vi infört en ny skalär funktion, φ och använt möjligheten att byta ordning på derivering i avseende å t och operatorn, vilket emdast är möjligt om funktionen A uppför sig tillräckligt väl. D.v.s. vi kan skriva elfältet E och magnetfältet B som E = A φ t (1.50) B = A. (1.51) Om vi substituerar detta reultat in i E = 0 respektive B = 1 E, får vi ekvationerna c 2 t 2 ( A) φ + t 2 A 1 2 A ( + c 2 t A 1 φ ) 2 c 2 t = 0 = 0. (1.52) Nu kan vi äntligen åskådliggöra vad ordet invarians medför. Det beror på att dessa två ekvationer är invarianta under transformationerna A = A + ψ φ = φ ψ t. (1.53) Detta betyder att om vi insätter dessa tranformationer i ekvationerna (1.52), får vi samma ekvationer tillbaka och fysiken är således densamma under denna transformation (1.53). Vi

31 Addition av hastigheter 29 provar först med 2 φ + ( A) t = 0. Insättning av (1.53) ger 2 φ + 2 φ + ( A ) t 2 (φ ψ t ) + ( ( A + ψ)) t ( A) t 2 ψ ψ + t t 2 ( A) φ + t = 0 = 0 = 0 = 0, vilket visar att ekvationen är invariant. Vi gör likadant med den andra ekvationen. Det ger 2 ( A + ψ) + 1 c 2 2 ( A + ψ) t 2 2 A + 1 c 2 2 A t 2 ( 2 A A ( c 2 t A 1 φ ) = 0 2 c 2 t ( ( A + ψ) 1 (φ ψ ) ) t = 0 c 2 t A 1 φ ) + 2 ψ ψ c 2 t c 2 t 2 ( )ψ 1 ψ c 2 2 = 0 t 2 2 A 1 2 A ( + c 2 t A 1 φ ) = 0, 2 c 2 t vilket slutligen visar oss att ekvationerna (1.52) är invarianta under transformationerna (1.53). Fysikaliskt sett betyder det att om man kan skriva en vektorpotential A som någonting plus en del som kan skrivas i formen ψ och en skalärpotential φ som någonting minus ψ t, så kommer inte Maxwells ekvationer att påverkas av detta och fysiken är densamma också om man kastade bort denna ψ-del ur formen på vektor- och skalärpotentialen. Denna invarians under transformationerna (1.53) kallas för måttinvarians (gauge invariance (eng.)) och är mycket betydelsefull inom den moderna fysiken. Vi skall dock inte koncentrera oss på den utan bara nämna att sitationen är analog med den speciella relativiteten. Om en ekvation är invariant under Lorentztransformationerna ändrar fysiken inte fast man förflyttar sig från ett koordinatsystem S till ett annat S, precis som Einstein krävde i sitt första postulat. 1.5 Addition av hastigheter Efter att vi har härlett Lorentztransformationerna känner vi oss lite tomma i huvudet och undrar om vi kunde använda dem till något. Vi märker bl.a. att längdkontraktionen, tidsdilatationen och Dopplereffekten kan härledas mycket enkelt m.h.a. transformationerna. Men å andra sidan har vi redan upptäckt de fenomenen, så varför slösa tid på det? Istället kommer vi ihåg att i.o.m. Galileitransformationerna, fanns det också en Galileihastighetstransformation. Den består helt enkelt bara av att addera hastigheterna mellan två koordinatsystem i rörelse.

32 > > 30 Den speciella relativitetsteorin Detta måste ju vara fel, enligt relativitetsteorin! Annars kunde vi ju addera c + c = 2c, vilket inte var möjligt enligt Einsteins andra postulat. Dessa ekvationer behöver alltså en korrigering. X 1 X 2 V > A(x, y, z, t) > B(x, y, z, t ) > Figur 1.11: Vi ser två koordinatsystem som rör sig parallellt med den relativa hastigheten V. Koordinatsystem A använder sig av oprimmade koordinater medan koordinatsystem B använder sig av primmade koordinater. Händelserna X 1 och X 2 anger platsen för en partikel som rör sig enligt någon bana från X 1 till X 2. Vi placerar en partikel i punkten X 1 enligt figur Denna punkt innehåller inte bara rymdkoordinater, utan också tiden som en koordinat. Vi har förflyttat oss till 4 dimensioner. Dess koordinater är i koordinatsystem A, (x 1, y 1, z 1, t 1 ) A, och i koordinatsystem B, (x 1, y 1, z 1, t 1) B. På samma sätt har vi i en senare punkt på partikelns bana X 2 A, (x 2, y 2, z 2, t 2 ) A och i B, (x 2, y 2, z 2, t 2) B. med koordinaterna i Koordinatsystemen A och B rör sig med hastigheten V relativt varandra. För att få fram partikelns medelhastighet mellan punkterna sett ur koorinatsystem B, måste vi få fram x på något sätt. D.v.s. vi behöver förändringen i position och tid mellan de två t punkterna. Därför definierar vi x = x 2 x 1, x = x 2 x 1, e.t.c. Eftersom Lorentztransformationerna, ekvationerna (1.33), relaterar de två olika koordinatsystemen A, B, får vi direkt x, t m.h.a. x, t, vilket vi eftersträvar. Explicit, x = x 2 x 1 = γ(x 2 V t 2 ) γ(x 1 V t 1 ) = γ( x V t) = γ( x t V ) t y = y z = z t = γ( t V x ) = γ(1 V x c 2 c 2 t ) t (1.54) Nu kan vi direkt med definitionerna x = v t x, x = v t x, e.t.c., komma åt hastigheterna, vilka i detta fall ännu bara är medelhastigheter. Vi har genom division av alla rymdintervall x, y

33 Addition av hastigheter 31 och z med t, från ekvationerna (1.54), v x = x t = v y = v z = v x V 1 (v x V/c 2 ) v y γ[1 (v x V/c 2 )] v z med γ = 1 1 V 2 /c 2 γ[1 (v x V/c 2 )]. (1.55) Dessa är formlerna för hastighets addition i den speciella relativiteten. Det nämndes att ekvationerna (1.55) bara är härledda för medelhastigheter, vilket också är klart från figur För att få de momentana förändringarna borde man ta gränsvärdena t 0, t 0, och fysikaliskt sett förflytta punkterna X 1 och X 2 i figur 1.11 så nära varandra som möjligt längs partikelns bana. Detta förändrar dock inte vår situation, i.o.m. att de primmade storheterna finns på en sida och de oprimmade på den andra sidan ekvationerna. Gränsvärdet t 0, t 0 ändrar inte på våra ekvationer och därför gäller formlerna inte enbart medelhastigheter, utan också momentana hastigheter. Det bör också nämnas att punkterna X 1 och X 2 inte nödvändigvis behöver sammansbinda banan för en partikel. Det enda som krävs är att händelserna X 1 och X 2 förlöper kausalt. D.v.s. först inträffar händelsen X 1 och efter det X 2 i något kausalt samband så, att inte ljushastigheten överskrids. Vi har igen hittat några transformationsformler som inte verkar väldigt intuitiva. Vi ser i.o.f.s. att då alla hastigheter är mycket låga jämfört med ljusets, så kollapsar ekvationerna till de vanliga Galileiska. Men då hastigheterna är mycket höga, har vi helt annorlunda resultat än de Galileiska. Dessa ekvationer går förstås att sättas på prov och detta gjordes faktiskt redan så tidigt som år 1851 av H.L. Fizeau (fast de inte fanns på denna tid). Men experimentet kom i skymundan, i.o.m. att man genast hittade på en ad hoc lösning på problemet, vilket annars starkt skulle ha ifrågasatt det Galileiska sättet att addera hastigheter. Exempel 1.4 I en partikelaccelerator rör sig två partiklar mot varandra, så att deras hastigheter i laboratoriets koordinatsystem ser ut att vara v 1 = 0, 9c och v 2 = 0, 9c. Vad är den relativa hastigheten mellan dessa två partiklar? D.v.s. hur snabbt rör sig partikel 2 i förhållande till partikel 1? Vi använder oss av hastighetsadditions formlerna (1.55) och konstaterar att v = v 2 v 1 0, 9c (0, 9c) = 0, 994c. 1 v 1 v 2 /c , 9c 0, 9c/c2 Trots de höga hastigheterna, så närmar sig inte partikel 2 partikel 1 med en hastighet högre än ljusets. Med Galileisk hastighetsaddtion skulle vi däremot få 0.9c 0.9c = 1.8c.

34 32 Den speciella relativitetsteorin Uppgift 1.9 Visa att additionen av två parallella hastigheter alltid är = eller än ljusets hastighet. Uppgift 1.10 Härled hastighetsadditionsformlerna genom direkt differentiering av Lorentztransformationerna x = y = y z = z x vt = γ(x vt) 1 v2 /c2 t = t vx/c2 1 v2 /c 2 = γ(t vx/c2 ). (1.56) Gör såhär: differentiera på båda sidor om Lorentztransformationerna så att du får dx som funktion av dx och dt, samt dt som funktion av dx och dt. M.h.a. dessa uttryck kan du sedan lätt härleda v = dx där du kan identifiera hastigheten v och på såvis härleda hastighetsadditionen utgående från dt Lorentztransformationerna. Uppgift 1.11 En följduppgift till föregående uppgift. Då du genom differentiering har härlett hastighetsadditionen för v = dx dt, kan du ju differentiera detta uttryck en gång till och dividera med dt, så att du får dv dt. Detta är ju accelerationen och på så vis kan du härleda Lorentztransformationerna för acceleration också. Härled dem! Uppgift 1.12 Härled Lorentztransformationen mellan koordinatsystemen S och S, där S rör sig med hastigheten v i förhållande till S och S rör sig med hastigheten u i förhållande till S. Du kan anta att alla koordinatsystem rör sig parallelt med x-axeln i S. Fizeauexperimentet Fizeaus experiment bestod i att sända in ljus i vatten som strömmade med hastigheten V i laboratoriet. Sedan uppmätte han ljusets hastighet i laboratoriet. Ljusets hastighet i vatten är inte c utan c, där n är vattnets brytningsindex. Detta är därför ett fint test på hastighetsadditionen, med en hög och en låg hastighet, båda olika ljusets hastighet i vakuum. Vi n vet redan nu svaret, nämligen v c = c/n + V 1 + (V/nc), (1.57) där V är vattnets hastighet i laboratoriet och v c är ljusets hastighet i laboratoriet. Märk också att vi inte har minustecken i formeln p.g.a. att situationen är omsvängd i förhållande

35 Paradoxerna, som inte är paradoxer 33 till den där vi härledde hastighetsadditions formelerna. D.v.s. vi är nu i det stillastående koordinatsystemet och vill ta reda på hastigheten där då vi vet hur snabbt ljuset rör sig i vattnets koordinatsystem och hur snabbt vattnet rör sig i labbets koordinatsystem. Detta betyder att vi måste ur (1.55) lösa ut den oprimmade hastigheten som vi döper till v c. Detta ger oss (1.57). Galileitransformationen ger v c = c + V. För att bättre jämföra det relativistiska resultatet n med Galileitransformationen, expanderar vi nämnaren i ekvation (1.57) i en binominal serie, för att få [ c v c = ][1 n + V V ] cn +... c n + V (1 1 ). (1.58) n2 Detta är en effekt som är observerbar med interferensmetoder, som i Michelson-Morley experimentet, för vattenhastigheter av storlek 10 m/s. Uppställningen av experimentet ses i figur vatten C > D B > > > A > > > IM vatten K Figur 1.12: I figuren visas en U-formad tub som vattnet flyter igenom. A, B, C, D är speglar. A är halvsilvrad. Ljuset startar från källan K och avslutar sin färd i IM (InterferoMeter). Idéen med experimentet är att man kan mäta skillnaden i tid för ljuset som rör sig sträckan ABCDA medströms och sträckan ADCBA motströms. Det gör man genom att observera interferensmaxima i punkten IM medan man varierar vattnets hastighet. Detta är inte det mest generella experimentet man kan göra för den relativistiska hastighetsadditionen, därför att vattnets strömningshastighet är så låg. Men det är intressant att det gjordes så mycket före (1851) Einstein kom med sin teori (1905). Det är ju ett experiment som motsäger eterhypotesen, trots att det gör det mera indirekt än vad Michelson-Morley experimentet gjorde. 1.6 Paradoxerna, som inte är paradoxer Med födseln av en ny teori kommer det också naturligtvis kritik från olika håll. Speciellt som Einsteins teori ändrade på prioriteringen av vårt vanliga bondförnuft. Många försök

36 34 Den speciella relativitetsteorin till paradoxer har föreslagits, men inte en enda har visat sig att vara en paradox under förstoringsglaset. Här presenteras några av de vanligaste och mest berömda försöken till att omkullkasta den speciella relativitetsteorin. Tvillingparadoxen I tvillingparadoxen är tvillingarna Ronny och Ragge ute på äventyr. Ronny är mycket lat av sig och tycker om att ligga i hängmattan och sova. Ragge däremot är ett energipaket som bara måste få röra sig och upptäcka nya saker. En dag hittar Ragge på att fara iväg i en självkonstruerad rymdfarkost för att upptäcka rymden. Ragge åker iväg med en hiskelig fart från jorden. P.g.a. hans mycket höga hastighet (han använder en typ av lådraket som fungerar bäst i drömmar) kommer hans klocka att gå långsammare än Ronnys som stannar på jorden. Då Ragge återvänder till jorden märker Ronny att Ragge fortfarande är i sin bästa ålder medan Ronny är en gamling på kryckor. Men detta är konstigt tycker Ragge för som han ser det, så ger sig Ronny iväg på en snabbtur genom rymden. Jorden far iväg från Ragge med en hiskelig fart och kommer tillbaka med en lika stor hastighet. Då kommer paradoxen: Borde inte Ronny vara den unga ur Ragges synvinkel? Detta är det som kallas tvillingparadoxen. Båda kan ju inte ha rätt. Förklaringen ligger i det att Ragge måste byta inertialkoordinatsystem åtminstone två gånger under sin rymdfärd. Ett för vägen bort från jorden och ett annat för vägen tillbaka. Då man gör ett byte av inertial koordinatsystem, måste man accelerera på något sätt. I det ideala fallet av ett koordinatsystemsbyte, deccelerera oändligt snabbt och accelerea upp igen oändligt snabbt. I så fall gäller inte den speciella relativiteten längre utan vi måste göra en beräkning m.h.a. allmän relativitet av t = t 2 t 1 dt 1 v(t ) 2 /c 2 över precis den sträckan Ragge avlägger. För någon som står stilla blir kvadratroten givetvis 1 och mindre för en som rör sig. Om man gör detta exakt (man måste förstås känna till Ragges rutt för att kunna göra det), märker man att det inte finns någon paradox. Ragge kommer att vara yngre än Ronny då han återvänder till jorden. Skillnaden är lätt att förstå kvalitativt i.o.m. att Ronny aldrig byter inertial koordinatsystem under Ragges flygtur bort och tillbaka till jorden. Vad ser de? En intressant fråga som uppstår då man går igenom detta exempel är, hur ser det ut? Vi vet att Ronny kommer att vara äldre än Ragge när han kommer tillbaka, men vad ser de två tvillingarna ur sina koordinatsystem då de ser på varandra under Ragges färd? Vi åskådliggör situationen genom följande rum-tids diagram I figuren har vi utritat ct- och x-axlarna för Ronny och ct -axeln för Ragge enligt uttrycket ct = 1 β x, vilket bestämmer ct -axelns plats i rum-tids diagrammet, precis enligt stycket om rum-tids diagram. Vi har också valt hastigheten v = 2 3 c för Ragge så, att ct = 3 2 x bestämmer ct -axelns plats i diagrammet. Då Ragge kommer tillbaka är hans hastighet givetvis v och därför får vi en ct -axel som går tillbaka mot ct-axeln.

37 Paradoxerna, som inte är paradoxer 35 ct >ct ct >ct ct ct a > x b > x Figur 1.13: Tanken i diagrammet är att i figur a, sänder Ronny ljussignaler (som alltid färdas i 45 vinkel i rum-tids diagram) åt Ragge med jämna mellanrum sett ur hans koordinatsystem. Ragge, kommer däremot att observera dem först med mycket långa mellanrum, ända tills punkten då skeppet vänder om, då kommer han att observera ljussignalerna med mycket kortare mellanrum. Om vi då går över till digram b, ser vi att om Ragge hela tiden sänder ut ljussignaler med jämna mellanrum kommer Ronny att först observera dem med jämna, lite längre mellanrum, och sedan, just innan Ragge kommit tillbaka till jorden, kommer Ronny att observera signalerna med mycket korta mellanrum. Detta illustrerar mycket klart Dopplereffekten för ljus. Ljus som kommer från en källa som åker iväg från en observatör dras ut och man observerar en längre våglängd, en rödförskjutning i ljuset och ljus som kommer från en källa som närmar sig observatören kommer att pressas ihop våglängden minskar och blåförskjuts. Om vi räknar ut hur mycket frekvenssen för ljuset trycks ihop respektive dras ut får vi från den relativistiska Dopplereffekten för en ljuskälla på väg ifrån oss (1.28) c v f = c + v f = f 0 = 1 f 0 0, 45f 0, (1.59) 3 5 och då ljuskällan är på väg mot oss (1.27) c + v f = c v f = 1 2 f 0 = 5f 0 2, 24f 0. (1.60) 3

38 36 Den speciella relativitetsteorin Detta betyder att om Ronny ser på Ragge då han studsar på en boll under sin färd, kommer han att se att Ragge studsar på bollen 0,45 ggr långsammare än vad Ragge tycker att han gör på vägen bort från jorden. Men direkt då rymdskeppet svänger om, ser vi att Ronny kommer att se Ragge studsa bollen 2,24 ggr snabbare än vad Ragge tycker att han gör. Vi ser också att Ronny kommer att se Ragge studsa bollen med den långsammare hastigheten en mycket längre tid än han observerar Ragge studsa med den snabba hastigheten. På samma sätt, om vi svänger om på situationen, kommer Ragge att se (om Ronny nu studsar på bollen) på sin väg från jorden att Ronny studsar på bollen långsamt och på tillbakavägen ser han Ronny studsa bollen snabbt. Skillnaden är att Ragge ser Ronny studsa på bollen snabbt en längre tid än han ser honom studsa den långsamt. På detta vis kan både Ronny och Ragge också se med ögonen att Ronny åldras snabbare än Ragge. Flaggstångsparadoxen Ronny och Ragge har fått en 10 m lång flaggstång i present av deras mormor. De är egentligen inte så förtjusta över presenten, men en present från mormor kastar man inte bort. De måste alltså hitta på ett sätt att förvara den. Ronny föreslår att om Ragge springer in i deras lada som är 5 m lång med hastigheten v = 3c, så kommer flaggstången att förkortas till, 1 v 2 2 /c 2 =, hälften av sin längd i vilokoordinatsystemet. Detta ur Ronnys koordinatsystem som står 1 2 stilla i förhållande till Ragges då han springer in i ladan i full fart. Men Ragge tycker att detta inte kan lyckas. Han kommer ju fortfarande att se att flaggstången är 10 m i hans koordinatsystem och dessutom ladan förkortad till l = 5 m 1 v2 = 5/2 m = 2, 5 m. Härav c 2 paradoxen, Ronny ser flaggstången passa in ladan, medan Ragge ser att den inte gör det (åtminstone momentant). Men är detta egentligen en paradox? Nej, inte denna gång heller. Det är Ragges argument som felar. Ragge har antagit att då flaggstången känner av väggen i ladan så vet flaggstångens andra ända redan om detta. Men detta kan inte stämma, för att ingen signal rör sig snabbare än ljuset som har en ändlig hastighet. Då flaggstången berör väggen i ladan rör sig ännu dess andra ända mot ladan. Shockvågen som flaggstången känner av då den krockar med ladans vägg utbreder sig högst med ljusets hastighet d.v.s. den tar minst tiden 10 m/c på sig för att nå flaggstångens andra ända. Å andra sidan tar det maximalt tiden 7, 5 m/v (den del av flaggstången som är utanför den längdkontraherade ladan då falggstången berör ladans vägg) för den andra ändan att ta sig till ladans öppning. I detta fall 7, 5 m/v 8, 66 m/c då v = 3c 18. Vi kan alltså dra 2 slutsatsen att flaggstången ryms in i ladan (momentant) också ur Ragges koordinatsystem. Paradoxen har lösts. Detta kan också summeras i att det inte finns rigida objekt i den speciella relativiteten. Egentligen är inte detta hela historien. Denna paradox börjar ifrån att man tänker sig att 18 Man måste komma ihåg att ladan växer (ljuset har en ändlig hastighet och därför blir inte ladan 5 m lång på momangen då Ragge stannat) till 5 m lång för Ragge då han stannat, därför räknar vi här med 7,5 m för att vara på den säkra sidan. På riktigt är sträckan kortare än 7,5m p.g.a. att ladan växer ut till 5m.

39 Relativistisk rörelsemängd och energi 37 man springer in med en flaggstång igenom en lada. Om man då springer med en tillräckligt hög hastighet kommer en person utanför ladan att se att flaggstången passar in i ladan (för någon nanosekund), men personen som springer med flaggstången kommer att se ladan längdkontraherad och att flaggstången inte någonsin passar in i ladan. Detta var den första flaggstångsparadoxen som man kom med. Orsaken till att den förskastats är att det inte är en paradox. Den speciella relativiteten kräver inte att vi skall se samma saker från olika koordinatsystem, utan endast att samma händelse händer i båda nångång (men inte nödvändigtvis samtidigt). I detta fall är händelserna de att flaggstångens knopp korssar ladans öppning och ladans ända samt att flaggstångens bas också korssar ladans öppning och ladans ända. Detta händer givetvis i båda koordinatsystemen och vi har ingen paradox, trots att flaggstången ryms in i ladan ur det ena koordinatsystemet sett, men inte ur det andra. Detta leder oss till flaggstångsparadoxen så, som den först presenterades. Idén var alltså att om man stannar med flaggstången, så skulle flaggstångens bas aldrig korssa ladans öppning och detta skulle vara en paradox, men som vi såg kommer den nog att göra det och vi har ingen paradox. Jättesaxen Ett annat intressant exempel på detta med att alla signaler högst rör sig med ljusets hastighet, är att tänka sig en jättesax. Tänk dig en sax som sitter i din hand men vars ändor sträcker sig till andromeda galaxen. Om du då klämmer fast saxens skänklar, borde inte den relativa hastigheten mellan saxens spetsar vara högre än ljusets? Nej än en gång. För vi har samma problem som med flaggstången, signalhastigheten 19 från att dina fingrar sluter saxen rör sig högst med ljusets hastighet till spetsarna av saxen och detta gör att inte ens med denna fint konstruerade sax kan man överlista den speciella relativitetsteorins postulat. Det finns ingen motsägelse i dem, i alla fall ingen som någon ännu kommit på och, tro mig, det finns väldigt många mycket listigare försök än dessa tre att försöka köra in teorin i en återvändsgränd. 1.7 Relativistisk rörelsemängd och energi Vi har börjat denna introduktion till den speciella relativitetsteorin med att se på dess förutsägelser för rum-tiden. Men vi kan givetvis ställa oss frågan om vad som händer med rörelsemängden vid höga hastigheter och vi kan också fråga oss vad energin för en partikel med hög hastighet är. Dessa frågor skall vi nu behandla. Vi börjar med rörelsemängden. Den relativistiska rörelsemängden Klassiskt sett är rörelsemängden p = mv. Gäller denna formel även relativistiskt? Det kan bli svårt att få den att gälla, vi vet ju redan att ljusets hastighet är den högsta uppnåbara. 19 Signalhastigheten, vilken som namnet säger är hastigheten en signal rör sig med, måste vara ett kausalt händelseförlopp. D.v.s. i vårt fall med saxen är signalhastigheten den hastighet med vilken signalen att saxen börjar stängas tar sig från punkten där saxens två eggar möts till saxens spetsar.

40 38 Den speciella relativitetsteorin Detta betyder att om vi har en klassisk partikel med en viss massa m, så kommer den största rörelsemängden att bli p max = mc. Då måste vi kunna besvara frågan, kan vi ha en maximal rörelsemängd som beror på att ljusets hastighet är konstant? Vi kunde kanske konstruera en teori som bygger på detta, men då skulle vi högst antagligen vara tvungna att förkasta lagen om rörelsemängdens bevarande (och lagen om energins bevarande på samma gång). Detta beror på att rörelsemängdens bevarande kräver att, då vi har N partiklar med massorna m i och hastigheterna u i som efter en tid krockar och kombinerar om sig till Ñ partiklar med hastgheterna ũ j och massorna m j, skall följande uttryck hålla. N m i u i = i=1 Ñ j=1 m j ũ i (1.61) Detta uttryck måste gälla (vara invariant) under Lorentztransformationerna för att lagen om rörelsemängdens bevarande skall gälla vid höga hastigheter. Men eftersom uttrycket redan är invariant under Galilei transformationerna, är det mer eller mindre självklart att det inte kommer att hålla samma form under Lorentztransformationerna. Enligt Einsteins första postulat så skall de fysikaliska lagarna vara desamma oberoende av koordinatsystemet de befinner sig i. De är de inte, om vi använder vår klassiska definition av rörelsemängd. D.v.s. lagen om rörelsemängdens bevarande är inte densamma oberoende av observatör. Detta är ett problem, som vi på något sätt måste fixa. Eftersom vi har lite på känn att problemet ligger i att rörelsemängden klassiskt sett skulle få ett maximivärde p.g.a. den speciella relativitetens postulat om en maximal signalhastighet, så gissar vi oss till att relativistiskt sett har vi rörelsemängden given som p = f( u )mu, där vi infört en ny funktion som är en funktion av hastighetens storlek endast. Detta är bara ett antagande som vi halft kan motivera, men som vi hoppas kunna leda oss på rätt spår. 2 2 (-u x, u y) > > (-u x, -u y) 2 2 > (-w, w ) > (-w, -w ) x y x y (u, u ) (u, -u ) x y > > x y (o, v) > (0, -v) C står stilla D står stilla D rör sig med (u, 0) C rör sig med (-u, 0) x x Figur 1.14: På vänster sida ser vi den situation som observatör C ser. Till höger ser vi samma situation ur D:s ögon. På båda sidorna ser vi en elastisk kollision mellan de identiska partiklarna 1 och 2. Lägg också märke till pilarnas riktningar. Från dem ser man på vilket sätt partiklarna krockar. Vi börjar med att rita upp sitationen för två partiklar i en elastisk kollision. Se figur 1.14.

41 Relativistisk rörelsemängd och energi 39 Situationen är den följande: Båda partiklarna 1 och 2 kommer in med samma hastighet (olika riktning) längs en rak linje. Detta betyder att den totala rörelsemängden är noll för systemet. De kolliderar och fortsätter sedan med lika stor men motsatt hastighet i 90 vinkel till deras inkomstvinkel. Fortfarande är den totala rörelsemängden noll. Såhär långt har vi endast definierat rörelsemängden som en monoton funktion 20 av hastigheten. Om vi också antar att energin är en monoton funktion av endast hastighetens storlek för dessa identiska partiklar och att energin bevaras, följer att alla hastigheter är lika stora ur observatör C:s position. Därför de lite speciella hastigheterna, trots att kollisionen är generell för de identiska paritklarna i figur Det är ju bara en konsekvens av att vi antagit energins bevarande och rörelsemängdens bevarande (och att alla värden på u x och u y är möjliga), för det följande resonemanget. Vi granskar situationen ur observatör D:s synvinkel. D flyger över C:s experiment med hastigheten (u x, 0) och ser experimentet som på höger sida i figur 1.14, observera de olika beteckningarna för hastighetskomponenterna i vardera system. Vi vill uttrycka hastigheterna observatör D ser i sitt koordinatsystem m.h.a. hastigheterna i C:s koordinatsystem. Detta kan vi göra direkt enligt hastighetsadditionen (1.55), men vi skriver formlerna också här för tydlighetens skull v x = v y = v z = v x V 1 (v x V/c 2 ) v y γ[1 (v x V/c 2 )] v z γ[1 (v x V/c 2 )] med γ = 1 1 V 2 /c 2. (1.62) Vi identifierar direkt hastigheterna i ekvationerna (1.62) som V = u x, de primmade hastigheterna som de som D ser och de oprimmade som de som C ser. Detta leder till att ur D:s ögon motsvarar hastigheten för den inkommande partikeln 1 (0, v) D = Emedan hastigheten för den utgående partikeln 2 är ( ux u x 1 u 2 x/c, u ) y = (0, γu 2 γ[1 u 2 x/c 2 y ) D. (1.63) ] D ( w x, w y ) D = ( 2ux 1 + u 2 x/c, u ) y, (1.64) 2 γ[1 + u 2 x/c 2 ] D 1 där γ =. Nu använder vi oss av rörelsemängdens bevarande. Vi antar att 1 u 2 2 x/c rörelsemängden för en partikel kan skrivas som p = f(u)mu, 20 En monoton funktion är en funktion vars första derivata aldrig byter tecken. Dess derivata behöver inte vara kontinuerlig.

42 40 Den speciella relativitetsteorin där u är partikelns hastighet, m dess massa och f(u) en funktion av enbart u för vilken gäller f(u) = f( u). För partikel 2 använder vi den gamla goda Pythagoras sats och får w 2 = w 2 x + w 2 y. Om rörelsemänden är bevarad i y-led för experimentet som observatör D ser, måste följande uttryck för rörelsemängden i y-led gälla. mvf(v) mw y f(w) = mvf( v) + mw y f(w) vf(v) w y f(w) = vf(v) + w y f(w) w y f(w) = vf(v). (1.65) Det är klart ur figuren 1.14 att rörelsemängden i x-led är bevarad. Vi använder oss nu av ekvationerna (1.63) och (1.64) och skriver om ekvation (1.65) som, eller ännu vackrare, u y γ[1 + u 2 x/c 2 ] f(w) = γu yf(γu y ), f(w) = 1 + u2 x/c 2 1 u 2 x/c 2 f(γu y). (1.66) Eftersom u y :na har försvunnit går det att ta gränsvärdet u y 0 i ekvation (1.66), medan vi håller u x ändligt. Vi gör samma sak också i ekvation (1.64), vilket ger, γu y 0, w 2u x 1 + u 2 x/c 2, där w är w:s storlek utan att ta ställning till dess riktning. Ur det högra uttrycket för w kan vi nu lösa ut u x som, Från detta får vi slutligen det vi sökte, u 2 x. u x = c c 2 w 2. w/c u 2 x = 2c(c c 2 w 2 ) w 2 w 2 /c 2. (1.67) Då vi substituerar ekvation (1.67) in i vårt uttryck (1.66) och kommer ihåg att γu y 0 får vi slutligen, f(w) = 1 f(0). (1.68) 1 w2 /c2 Eftersom vi införde den monotona funktionen f(u) utan att kräva att den antar något speciellt värde, kan vi fritt välja dess väde i punkten u = 0. Vi väljer f(0) = 1 för enkelhetens skull. Detta val tillsammans med ekvation (1.68) leder till en ny definition på rörelsemängd p = γmv, med γ = 1 1 v2 /c 2. (1.69) I figur 1.15 ser vi en jämförelse mellan den Newtonska klassiska rörelsemängden och den relativistiska. En tydlig skillnad börjar uppkomma vid hastigheter av v = 0.7c.

43 Relativistisk rörelsemängd och energi 41 p rel / pklass > -0- v/c Figur 1.15: En jämförelse av den Newtonska rörelsemängden p klass = mv och den relativistiska p rel = γmv. Figuren är rent kvalitativ. Ytterligare en komplikation måste nämnas. Vi kunde ha härlett denna ekvation genom att anta att massan är en monoton funktion av hastigheten. D.v.s. p = m(u)u skulle ha varit vårt utgångsläge. Detta skulle inte ändra på vår härledning, men vi skulle i slutändan av den ha m(w) som beror av m(0). Detta m(0) skulle måsta tolkas som partikelns vilomassa. D.v.s. man skulle se situationen så, att partikeln ökar på sin massa då dess hastighet ökar. Detta kan vara en tolkning av den relativistiska rörelsemängden, men eftersom Lorentztransformationerna (och därmed hastighetsadditionsformlerna som vi använde i vår härledning) endast är beroende av rum-tiden, känns denna tolkning som lite konstgjord. Därför väljer vi att tala om massan som i föregående tolkning kallas för vilomassa. Den relativistiska energin Vi kan fortsätta på vårt resonemang genom att definiera den relativistiska kraften som F d p dt = d(γm v), (1.70) dt vilket i sig inte inför någon ny definition. Definitionen på kraft ändras p.g.a. att definitionen på rörelsemängden ändrats i den relativistiska bilden, men annars är kraften fortfarande F d p dt som den definieras i den Newtonska bilden (trots att Newton själv inte definierade den så). För att tala om energi, måste vi ytterligare välja en definition för arbete. Användande vår nya definition för kraft, ekvation (1.70), finns det inte så många sätt att definiera arbete. Vi hittar inte på någon ny definition som i fallet för den relativistiska rörelsemängden 21, utan använder den klassiska W P Q = Q P F d s. (1.71) Detta är det arbete som utförs av en partikel som förflyttar sig från punkten P till punkten Q under inverkan av kraften F. Nu kan vi direkt få ett uttryck för det relativistiska arbetet 21 Egentligen har vi definierat arbete på nytt eftersom vi använder en ny definition på rörelsemängd och därför på kraften, men detta kan betraktas som en bagatell.

44 42 Den speciella relativitetsteorin att ta sig från punkten P till punkten Q. Q { Q d [ m v ] } { Q d [ m v ] } W P Q = F d s = d s = vdt P P dt 1 v2 /c 2 P dt 1 v2 /c 2 { Q [ m v ] } [ m v ] Q Q m v = d v = v d v 1 v2 /c 2 1 v2 /c 2 1 v2 /c 2 = P mv 2 Q 1 v2 /c 2 = γmc 2 Q P. P + mc 2 1 v 2 /c 2 Q P = mc 2 1 v2 /c 2 Q P P P (1.72) På detta sätt har vi härlett den berömda ekvationen E = mc 2 (γ = 1, för en stillastående partikel), världens mest berömda ekvation som den kallas. Om vi dessutom sätter in hastigheterna, märk väl att ekvation (1.72) endast beror av hastigheten, v Q = v och v P = 0 får vi den kinetiska energin som, K(v) = γmc 2 v Q =v v P =0 = mc 2 1 v2 /c 2 mc2 = mc 2 (γ 1). (1.73) Formlerna (1.73) och (1.72) är avsevärt olika de klassiska definitionerna för energi. Speciellt ekvation (1.72) är mycket annorlunda. Den säger att massa är en form av energi, något som ingen före Einstein tagit ställning till. I den klassiska mekaniken är massan något som ofta kopplas till energin för en kropp, men inte en form av energi. Man brukar brukar kalla massan, så som den är definierad i Newtons II:a lag, för trög massa. När Einstein presenterade sitt resultat för massans och energins ekvivalens år 1905, var det ingen som tog någon större notis om det, men med tiden blev det känt och man kan påstå att det mer eller mindre bekräftats första gångerna i samband med kärnreaktioner. Då massa försvinner och energi uppstår i sönderfall av partiklar, kan man direkt observera energin mc 2 som den försvunna massan haft, som bl.a. kinetisk energi hos sluttillståndspartiklarna. Det första experimentella testet för Einsteins berömda formel, E = mc 2, gjordes 1932 av Cockcroft och Walton som använde den nukleära reaktionen 1 H Li 7 2α. D.v.s. de krockade protoner med Litium. Då man beräknar förändringen i energi, energin till vänster i reaktionslikheten minus energin till höger, får man E = c 2 m 0 = c 2 (m Li + m H 2m α ) = 17.25MeV. Denna energi borde vara densamma som skillnaden i kinetisk energi för alfapartiklarna och den krockande protonen. På detta sätt konstaterade man att den frigjorda kinetiska energin var MeV i just Cockcrofts och Waltons experiment. Senare (1939) upprepades detta experiment noggrannare och man fick då värdet 17.28±0.03 MeV som resultat för förändringen i kinetisk energi, vilket passar bra in på det relativistiskt förväntade E = MeV.

45 Relativistisk rörelsemängd och energi 43 På så vis har vi konstaterat att Einsteins formel också har experimentellt stöd. Dessutom finns det mängder av annat experimentellt stöd som vi kan konstatera i form av alla byggda partikelacceleratorer, kärnreaktorer, sprängda atombomber, e.t.c. Exempel 1.5 För att få en bild av hur lite massa som behövs för att ge en stor mängd energi kan vi se på följande exempel. Vi har en bilackumulator på 12 V med typspecifikationen att den kommer att avge en ström på 81 A under 20 min från fullt laddad till tom. En hur stor förändring i massa motsvarar detta då ackumulatorn urladdats totalt. Energin i ackumulatorn blir Alltså motsvarar detta massan E acku = 81C/s 60s/min 20min 12V = 1, J. m = E acku c 2 = 1, kg. Detta är en så liten massa att den inte går att observera experimentellt. Denna massa kunde också tänkas motsvara den energi som mikroskopiskt frigörs då varje elektron binds till de positiva jonerna under elektrolysen i ackumulatorn, precis på samma sätt som man vid en fusionsprocess av ex. deuterium får helium och förlusten i massa avges som andra former av energi, t.ex. som värme. Då skulle man kunna tolka denna process som att ackumulatorn förlorar den mängd massa den skapar som energi då den är igång. Detta är dock en ny tolkning av energiskapelsen i en ackumulator och i.o.m. att den inte kan testas experimentellt p.g.a. av den minimala massförlusten skall man ta denna tolkning med en nypa salt. För att avsluta detta avsnitt härleder vi snabbt en mycket viktig formel. Vi gör detta genom att röra om lite i uttrycket E 2 p 2 c 2 enligt följande E 2 p 2 c 2 = γ 2 m 2 c 4 γ 2 m 2 c 2 v 2 = γ 2 m 2 c 4 (1 v 2 /c 2 ) = m 2 c 4 E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4. (1.74) Ekvation (1.74) kommer vi att använda en del då vi diskuterar partikelkollisioner. Denna ekvation är en av de få som det lönar sig att komma ihåg utantill under ens korta liv som fysiker. Uppgift 1.13 Den ryska fysikern P.A. Čerenkov upptäckte att då en partikel rör sig snabbare än ljuset i ett medium, ger den ifrån sig ljus. Denna effekt är analog med den då ett överljudsplan överskridit ljudets hastighet. Vad är den minimala kinetiska energin en partikel måste ha för att producera denna effekt i glas (n = 1.62), då n = c? v Uppgift 1.14 Fission av 239 Pu med termiska (långsamma) neutroner ger bl.a

46 44 Den speciella relativitetsteorin 104 Mo Te + 3n och 94 Sr Ba + 3n Beräkna energin (i elektron volt) som frigörs i de båda reaktionerna. Nuklidernas massor är m Sr = 93, 91523u, m Mo = 103, 91358u, m T e = 132, 91097u och m Ba = 142, 92055u. Uppgift 1.15 Beräkna den frigjorda energin i varje steg av deuteron-fusionsprocessen 3d α + n + p, vilken består av processerna d + 3 H 4 He + n d + d 3 He + n d + d 4 H + H d + 3 He 4 He + H. Uppgift 1.16 En hypotetisk vätebomb med explosionsstyrkan 50 megaton TNT (trotyl) utnyttjar reaktionen d + d 3 He + n. Den konventionella atombomben som fungerar som tändladdning har sprängstyrkan 2 megaton, vilket ingår i de 50 megaton som angets tidigare. Ett ton TNT producerar 2, MeV energi. a.) Beräkna den energimängd som varje fusionsreaktion ger. b.) Hur mycket väte (i kg) innehåller bomben? 1.8 Geometri och rum-tidsdiagram Vi skall nu disskutera geometrin för den speciella relativitetsteorin samt utvidga vår kunskap om rum-tidsdiagram. Vi börjar med geometrin. Om vi observerar en foton som beger sig iväg med hastigheten c ifrån origo i något koordinatsystem. Kan vi uttrycka detta som c 2 t 2 x 2 y 2 z 2 = 0. Då vi kommer ihåg att ljusets hastighet alltid är densamma oberoende av koordinatsystem kan vi också skriva, för

47 Geometri och rum-tidsdiagram 45 samma foton, men sett ur ett annat koordinatsystem som rör sig i förhållande till det första c 2 t 2 x 2 y 2 z 2 = 0. Detta ger direkt c 2 t 2 x 2 y 2 z 2 = c 2 t 2 x 2 y 2 z 2 = 0, (1.75) för en foton. Detta ser ut att betyda att c 2 t 2 x 2 y 2 z 2 är en invariant under Lorentztransformationerna. Detta kan vi lätt kolla, men först inför vi en ny definition i Lorentztransformationerna (1.33). Den är β v c. (1.76) Med denna skriver vi om Lorentztransformationerna ur ekvation (1.33) som, ct = γ(ct βx) x = γ(x βct) y = y z = z. (1.77) Då tar vi och kollar m.h.a. dessa om c 2 t 2 x 2 y 2 z 2 verkligen är en invariant. s 2 = c 2 t 2 x 2 y 2 z 2 = γ 2 (ct βx) 2 γ 2 (x βct) 2 y 2 z 2 = γ 2 (c 2 t 2 + β 2 x 2 2βctx) γ 2 (x 2 + β 2 c 2 t 2 2βctx) y 2 z 2 = γ 2 (1 β 2 )c 2 t 2 γ 2 (1 β 2 )x 2 y 2 z 2 = c 2 t 2 x 2 y 2 z 2 = s 2, (1.78) Wow. Det är den. I fallet för fotoner gäller c 2 t 2 x 2 y 2 z 2 = 0, men för partiklar med massa är den 0. Denna invariant reflekterar rum-tidens geometri inom den speciella relativiteten. Man brukar beteckna kvantiteten c 2 t 2 x 2 y 2 z 2 med s 2 s 2 = c 2 t 2 x 2 y 2 z 2. (1.79) Då vi ser på två händelser A och B, får vi för skillnaden mellan koordinaterna t = t B t A och x = x B x A, och lika för de andra koordinaterna s 2 = c 2 t 2 x 2 y 2 z 2. (1.80) Eftersom detta intervall s 2 är klart invariant under Lorentztransformationerna kunde vi tänka oss att det är en underliggande egenskap av geometrin i fyra dimensioner i den speciella relativiteten. s 2 kan alltså tolkas som en sorts invariant längd mellan händelser i Minkowski (så kallas geometrin inom den speciella relativiteten) rum-tiden. Man brukar klassificera intervallet s 2 enligt om det är s 2 > 0 s 2 = 0 s 2 0.

48 46 Den speciella relativitetsteorin I det första fallet kallas det tidslikt (timelike (eng.)). I nästa kallar man det ljuslikt (lightlike (eng.)) och i det sista rumslikt (spacelike (eng.)). Detta kan vi lätt förstå då vi ser på figur ct A:s framtid B C Annanstans för A A D Annanstans för A A:s förflutna x Figur 1.16: I rum-tidsdiagrammet ser vi hur A:s ljuskon gränsar av A:s framtid och förflutna. B, C och D är händelser vars s 2 intervall mellan dem och A förhåller sig repsektive tidslikt, ljuslikt och rumslikt till A. De sträckade linjerna som gränsar av de olika områdena för A är de linjer som motsvarar en partikel med ljusets hastighet (se Lorentztranformationsfiguren 1.10 och sätt β = 1). Uppåt från A har vi området för A:s framtid. D.v.s. händelsen B befinner sig inom denna framtid och s 2 > 0 mellan händelserna A och B. Detta betyder fysikaliskt att vi kan hitta ett sådant koordinatsystem, där händelserna A och B inträffar vid samma rymdkoordinater. På samma sätt kan vi också säga om det rumslika intervallet ( s 2 0) mellan händelserna A och D, att vi alltid kan hitta ett koordinatsystem där dessa två händelser inträffar vid samma tidskoordinat. Detta illustreras i figur För tillfället har vi endast introducerat de nya rum-tidsaxlarna (ct, x ), men för att dra mera nytta av dem borde vi på något sätt rita in längdskalorna längs dem. För att göra detta använder vi oss av invarianten s 2 = c 2 t 2 x 2 = c 2 t 2 x 2 = ±1. Vi väljer alltså ett system (som i vilket koordinat system som helst) där avståndet mellan två punkter är ±1. Då vi ritar in dem i rum-tidsdiagrammet får vi (se figur. 1.18) Om vi sätter ct = 0, får vi x = ±1 vilket i sin tur betyder att sträckan OA har längden x = 1. På samma sätt gör vi sedan för x axeln. D.v.s. vi sätter ct = 0 och får x = ±1, vilket i sin tur betyder att sträckan OC har längden av x = 1. Denna metod visar också att sträckorna OB och OD är av längden 1 i det oprimmade respektive det primmade koordinatsystemet. Man kan också lägga märke till att hyperblarnas tangenter i punkterna C och D är linjer av konstant x respektive t.

49 ct ct Geometri och rum-tidsdiagram 47 B C Linje med konstant t A D x x Figur 1.17: I denna figur ser vi hur man genom en passlig Lorentztransformation får händelserna i det rumslika intervallet mellan A och D att hända vid samma tidpunkt i ett nytt koordinatsystem (ct, x ). Jfr. figur Nu har vi kommit till något fint. Vi märker att man direkt kan avläsa längdkontraktionen och tidsdilatationen ur detta diagram. T.ex. om vi beaktar sträckan OC vilken har längden 1 i det primmade koordinatsystemet märker vi, då vi följer sträckan av konstant x, att den skär av x-axeln på ett kortare avstånd än längden 1, vilken representeras av sträckan OA i det oprimmade koordinatsystemet. Detta är alltså en klar illustration av längdkontraktionen. På samma sätt ser vi genom att betrakta linjen av konstant t i figuren 1.18 att t = 1 avståndet skär av t-axeln på ett kortare avtånd än sträckan OB, vilken representerar tiden 1 i det oprimmade koordinatsystemet. Alltså har vi också hittat ett sätt att grafiskt illustrera tidsdilatationen. Innan vi avslutar detta avsnitt skall vi ännu se lite mer på invarianten s 2 och dess betydelse. Vi kan skriva om den för infinitesimala händelser som ds 2 = c 2 dt 2 dx 2 dy 2 dz 2, (1.81) där ds är skillnaden mellan koordinaterna (ct, x, y, z) och (c(t + dt), x + dx, y + dy, z + dz). Man skall inte tolka notationen ds 2 som differentialen av s 2 utan som ds 2 = (ds) 2 och lika för koordinaterna. Orsaken till denna lite dåliga notation är historisk. Denna nya inifinitesimala invariant är också givetvis Lorentzinvariant, vilket vi ser på dess

50 48 Den speciella relativitetsteorin ct ct B linje med konstant t D C linje med konstant x x O A x Figur 1.18: Ett rum-tidsdiagram där hyperblarna c 2 t 2 x 2 = ±1 är utritade. Vi ser hur avstånd skalas i koordinatsystemen (ct, x) och (ct, x ) längs sträckorna OB, OD, OA och OC. struktur och vidare kan vi också adoptera samma klassificering av intervall som för s 2. Alltså ds 2 > 0, tidslikt ds 2 = 0, ljuslikt ds 2 0, rumslikt. Eftersom den relativistiska mekaniken förbjuder en massiv partikel att ha en högre hastighet än ljusets, leder detta till att dess bana i rum-tiden alltid ligger innanför ljuskonen (se figur 1.19). Denna bana kallas för partikelns världslinje (worldline (eng.)). Detta innebär också att alla infinitesimalt separerade händelser på partikelns bana skiljs åt av tidslika intervall. För en foton eller en masslös partikel ligger dess världslinje alltid i 45 vinkel till x-axeln så att alla intervall på dess världslinje är separerade ljuslikt. Man kan beskriva en partikels bana i rum-tiden genom att ge varje koordinat som en funktion av någon parameter. Ex. t((λ), x(λ), y(λ), z(λ)) där λ är någon parameter. Man brukar välja denna parameter som något som kallas för egentiden (proper time (eng.)). Den definieras som c 2 dτ 2 = ds 2, (1.82)

51 Geometri och rum-tidsdiagram 49 ct x Figur 1.19: Vi ser världslinjerna för en massiv partikel till vänster och för en foton till höger. Den massiva partikeln rör sig hela tiden så att de infinitesimalt separerade intervallen är tidslika och innanför ljuskonen medan fotonens varje intervall är ljuslikt och världslinjen ligger ovanpå ljuskonen. vilket direkt ger att c 2 dτ 2 = c 2 dt 2 dx 2 dy 2 dz 2. Om vi dividerar med dt 2 får vi c 2 dτ 2 dt 2 = c2 dx2 + dy 2 + dz 2 dt 2. Men dx 2 + dy 2 + dz 2 = dr 2, där r är den radiella positions koordinaten i sfäriska koordinater. Eftersom dr dt = v, som är partikelns hastighet erhåller vi slutligen vilket snabbt omskrivs till c 2 dτ 2 = (c 2 v 2 )dt 2, (1.83) dτ = 1 v2 dt. (1.84) c2 Detta betyder närmare bestämt att om vi integrerar från punkten A på partikelns världslinje till punkten B får vi τ = B A dτ = B A [ 1 v(t)2 c 2 ] 1/2 dt. (1.85) Vi ser alltså att om partikeln ifråga är i vila, så är egentiden endast tiden som klockor i vila mäter i det oprimmade koordinatsystemet. Om vi introducerar ett momentant koordinatsystem som rör sig med partikeln, blir egentiden lätt att tolka som den tiden partikeln uppmäter i sitt vilokoorinatsystem. Egentiden är också en invariant, vilket man ser från dess definition. Det finaste är att nu har vi bbevisat formel (1.11) som tills nu endast varit en gissning. Uppgift 1.17 Helan är lat och ligger i sin hängmatta och vilar. Halvan sticker iväg på en rymdfärd med hastigheten v = 5 c. Efter 12 år i Helans koordinatsystem, kommer Halvan ihåg att han glömt 6

52 50 Den speciella relativitetsteorin sätta på tevattnet på jorden och svänger om. Han åker tillbaka med hastigheten v = 5c. 6 Helan sänder en ljussignal åt Halvan 2 år efter hans avfärd. Då Halvan mottar denna signal, sänder han tillbaka en ljussignal som tecken på att han tagit emot Helans meddelande. När tar Halvan (enligt sin klocka) emot Helans signal och när tar Helan (enligt sin klocka) i sin tur emot Halvans svar? Svara på frågorna genom att rita ett rum-tidsdiagram för Helans och Halvans världslinjer och avläs från det de ungefärliga tidpunkterna. Det går givetvis inte att göra uppgiften lika exakt med rum-tidsdiagram som rent matematiskt, men en vacker och noggrann ritning är allt som krävs för ungefärliga svar. Uppgift 1.18 En fysiker gör följande experiment. Han befinner sig i punkten (ct, x) = ( 200 cm, 0 cm) varifrån han skickar iväg två partikelstrålar, båda med hastigheterna v = 0, 5c. Den ena far åt den positiva x-axelns håll och den andra åker iväg åt den negativa x-axelns håll. Båda partikelstrålarna kommer till (olika) partikeldetektorer samtidigt som efter en tid ct = 50 cm skickar tillbaka partikelstrålar med hastigheten v = 0, 75c, vilka når fysikern samtidigt i hans koordinatsystem i punkten x = 0 cm. a.) Rita ett rum-tidsdiagram sett ur fysikerns synvinkel som visar att partikelstrålarna verkligen når detektorer och fysikern samtidigt sett i fysikerns koordinatsystem. b.) En annan fysker som har brottom till lunchen susar förbi experimentet med hastigheten v = 0, 75c. Rita ut axlarna ct och x för henne i ditt rum-tids diagram och avläs punkterna när partiklarna når detektorerna och skickas iväg från dem. M.h.a. dessa kan du rita ett rätvinkligt rum-tids diagram för hela experimentet för ct - och x -axlarna och avläsa därifrån om fysikern på väg till lunch kommer att se partiklarna nå detektorerna samtidigt. Ifall hon inte observerar dessa händelser samtidigt som fysikern som gör experimentet, hur länge går det mellan dessa händelser i hennes koordinatsystem? c.) Beräkna intervallen s 2 = c 2 t 2 x 2 mellan händelserna då detektorerna skickar iväg sina signaler både i experimentatorns och lunchfysikerns koordinatsystem genom att avläsa dem från diagrammet du ritat. Är de lika stora? TIPS: Rita en stor figur för att ha tillräckligt med plats för allt! 1.9 Fyrvektorer En fyrvektor är en vektor med fyra komponenter som är definierade för en speciell sorts skalärprodukt och transformeras på ett visst sätt under Lorentztransformationerna. Vi skall i det följande gå in på dem introduktionsvis och motivera användningen av dem, I invarianten s 2 har vi använt oss av något man kunde likna vid en skalärprodukt av en vektors

53 Fyrvektorer 51 komponenter med sig själv. Vektorn skulle i detta fall bestå av komponenterna (ct, x, y, z) 22 vilket anger en plats i fyra dimensioner. Skalärprodukten skulle stå för tecknena mellan vektorns kvadrerade komponenter. För att förstå definitionen på kvantiteten s 2 kan vi ta oss en titt på den vanliga skalärprodukten i tre dimensioner. Den är definierad så, att skalärprodukten för en vektor m = (x, y, z) med sig själv är m m = m 2 = x 2 + y 2 + z 2. Detta liknar ju mycket vår definition för s 2 och sanningen är att vi i s 2 faktiskt använder oss av definitionen för skalärprodukt i fyra dimensioner i Minkowski rymd. Den är s s = s 2 = x µ x µ = g µν x µ x ν = x 2 0 x 2 1 x 2 2 x 2 3, (1.86) där x:na är s vektorns komponenter. Märk också att man inte använder vektortecken för fyrvektorer. Låt oss se lite närmare på de olika beteckningarna. x µ x µ är ett annat sätt att skriva skalärprodukten. I denna beteckning har vi använt Einsteins summeringsregel som säger att man summerar över upprepade index. Summeringen går från 0 3 eftersom vi är i fyra dimensioner. I nästa steg har vi betckningen g µν x µ x ν, där g µν är den nya grejen. I detta fall skall vi också summera, men denna gång över alla kombinationer där µ = 0, 1, 2, 3 och ν = 0, 1, 2, 3. g µν kallas för metriken och i detta fall är den 1 då µ = ν = 0 och -1 då µ = ν 0. Om µ ν är g µν = 0. Det är denna konvention partikelfysiker använder, men man kan också definiera metriken som g µν är -1 då µ = ν = 0, 1 då µ = ν 0 och 0 annars. Det är en konvention som fysiker som sysslar med den allmänna relativitetsteorin använder. För denna kurs är vi partikelfysiker och struntar i relativisternas beteckningar, men det kan vara bra att känna till inför framtida problem. I vår situation kan vi också skriva g µν som en matris, nämligen g µν = (1.87) Då måste vi också se s vektorerna som kolumnvektorer och placera dem passligt på båda sidorna så att vi verkligen får en skalär, s 2 = s µ s ν g µν = s T (g µν )s = [ ct x y z ] ct x y z, (1.88) där s T betecknar att kolumnvektorn s har transponerats (kolumner och rader utbytta sinsemellan) till s T. (g µν ) betyder i dennaz notation att det är fråga om en matris därför att g µν 22 Detta är ett exempel på en fyrvektor.

54 52 Den speciella relativitetsteorin inte egentligen är en matris i sig utan en tensor, men kan förstås som en matris i detta fall. I Einsteins allmänna relativitetsteori spelar g µν en central roll. Den definierar massans påverkan på geometrin, men det skall vi se mera på i nästa kapitel. Trots att vi inte tänker använda oss av g µν i definitionen för skalärprodukt, kommer vi att se lite närmare på nyttan med matriser. T.ex. kan vi uttrycka Lorentztransformationerna m.h.a. av matriser som ct x y z = γ γβ 0 0 γβ γ och i matrisnotation kan vi skriva ekvation (1.89) mycket kompakt som ct x y z, (1.89) s = Ls, (1.90) där matrisen L är definierad som L = γ γβ 0 0 γβ γ (1.91) Matrisen L är en Lorentztransformationsmatris och ett element i något man kallar en grupp 23. Man hör ofta fysiker tala om att något är invariant under Lorentztransformationerna och då är det just denna grupp som dessa matriser bildar, som man avser. Nyttan med fyrvektorer Nu har vi bara använt oss av en typ av fyrvektor, s = (ct, x, y, z). Trots att s är en fin fyrvektor introducerar vi en generalisering för att kunna dra mera nytta av begreppet fyrvektorer. En fyrvektor är fyrdimensionell och använder den fyrdimensionella definitionen för skalärprodukt. Men det speciella är att de är konstrurerade så att de transformeras som s under Lorentztransformationerna. Kom ihåg att fyrvektorer inte betecknas med vektortecken. Idén bakom fyrvektorer består av användaningen av invarianten s 2 som är densamma oberoende av koordinatsystem. Om vi hittar en tillräckligt informativ fyrvektor kan vi kanske börja relatera händelser i ett koordinatsystem till ett annat på ett enklare och mera givande sätt. För detta behov konstruerar vi rörelsemängds-energi fyrvektorn. Dess komponenter är p = ( E c, p x, p y, p z ). (1.92) 23 En grupp är en samling element, exempelvis matriser, som satisfierar vissa algebraiska krav. Den som är intresserad kan gå kursen FYMM3 eller bara läsa en bit i H.F.Jones Groups, Representations and Physics, IOP Publishing Ltd 1998.

55 Fyrvektorer 53 Denna transformerar precis enligt Lorentztransformationerna, d.v.s. p = Lp så, att p x = γ(p x V E c 2 ) p y = p y ). p z = p z E c = γ( E c V p x c (1.93) Detta betyder givetvis att dess skalärprodukt med sig själv är invariant. Alltså närmare bestämt, p p = p 2 = p 2 = p p, (1.94) där p och p är fyrvektorer i olika koordinatsystem. Vi tar och illustrerar nyttan med detta genom några exempel. Exempel 1.6 Vi har en för tillfället hypotetisk partikelreaktion, p+p p+p+p+p, där protoner kolliderar med protoner i ett stationärt mål. Vi vill veta den minsta kinetiska energin vi behöver ge protonerna för att reaktionen överhuvudtaget skall kunna ske och en antiproton p + proton (p) skall kunna bildas. Reaktionen kan ju inte ske om det inte finns tillräckligt med kinetisk energi för att skapa de slutliga partiklarnas vilolägesenergi. Då dessa partiklar, 3 protoner och 1 antiproton, skapas med minimienergin, skapas de i vila. D.v.s. energin räcker endast till för att de skall stå stilla i förhållande till varandra. Alltså väljer vi den ena fyrvektorn att vara där M är protonens massa. p = (4Mc, 0, 0, 0), (1.95) I labbets koordinatsystem, där vi är och mäter den kinetiska energin, finns två protoner. En som rör sig och en som står stilla. Vi betecknar den kolliderande protonens energi med E och får fyrvektorn i labbets koordinatsystem som, p = ( E + Mc2, p 0, 0, 0), (1.96) c där p 0 är protonens rörelsemängd och M, den stillastående protonens massa. Nu använder vi oss av vårt fina invarianssamband (1.94) för att relatera fyrvektorerna (1.95) och (1.96). (E + Mc 2 ) 2 p 2 c 2 0 = 16M 2 c 2. (1.97) För att komma vidare använder vi den fina formeln (1.74). Den ger oss ett samband mellan rörelsemängd och energi, i vårt fall med den kolliderande protonen, är den E 2 = p 2 0c 2 + M 2 c 4.

56 54 Den speciella relativitetsteorin Vi instätter detta på E 2 :s plats i ekvation (1.97) och får efter lite algebra 2EM + 2M 2 c 2 = 16M 2 c 2, vilket ger E = 7Mc 2. Men vi måste komma ihåg att E är protonens totala energi och inte endast den kinetiska, så vi subtraherar Mc 2 för att få den minsta kinetiska energi som denna process kräver för att kunna fortgå, som K = 6Mc 2. Detta betyder att för en kinetisk energi under denna, kan vi inte observera reaktionen i fråga och inga antiprotoner kan produceras i detta experiment. Comptonstrålning Exempel 1.7 Comptonstrålningen är ett fenomen som starkt påverkat konstruktionen och formuleringen av kvantmekaniken under dess ungdomsår. Fenomenet består i att fotoner krockar med elektroner och studsar tillbaka precis som om ljuset vore en partikel. Om man antar att ljuset består av fotoner och använder sig av fyrvektorer kan man härleda ett uttryck för våglängdens förändring hos fotonerna som funktion av vinkeln de träffar elektronerna i. Vi gör detta m.h.a. rörelsemängdens och energins bevarande samt skalärproduktens invarians för fyrvektorer. Vi säger att den inkommande fotonen har fyrimpulsen k (fyrvektorn för energi och rörelsemängd) och komponenterna k = ( E k c, k). Efter kollisionen har fotonen komponenterna k = ( E k, k c ). Vi väljer att elektronen står stilla då fotonen krockar och den har således fyrimpulsen p = (m e c, 0) före kollisionen och fyrimpulsen p = ( E p, p c ) efter kollisionen. Se figur 1.20 för illustration. Eftersom rörelsemängden och energin bevaras, kommer energi-implus fyrvektorn att bevaras, vilket ger oss att p k θ k Figur 1.20: Vi ser hur den inkommande fotonen k krockar med en elektron i vila och som resultat avlänkas den en vinkel θ från sin inkommande bana och elektronen far åt motsatt håll, så att rörelsemängden bevaras. p + k = p + k p 2 = (k k + p) 2 = k 2 + k 2 + p 2 2k k + 2k p 2k p. (1.98) Genom användning av formel (1.74) får vi p 2 = p 2 = m 2 ec 2 och k 2 = k 2 = 0 eftersom fotonen är masslös. Dessutom är skalärprodukten k k = E ke k (1 cos θ) och skalärprodukten mellan c 2

57 Fyrvektorer 55 k och p samt k och p får vi från komponenterna som k p = E k c cm e och k p = E k c cm e. Substitution in i ekvation (1.98) ger Eftersom E = hν = hc λ 0 = E k E k c 2 (1 cos θ) + m e (E k E k ). (1.99) för en foton, kan vi skriva om detta för våglängder som λ λ = λ = h (1 cos θ). (1.100) m e c Ekvation (1.100) är vårt slutliga uttryck. Det visar hur våglängden förändras som funktion av den inkommande fotonens vinkel. Detta är ett fullt observerbart fenomen för kortvågigt ljus som t.ex. gammastrålning. Ljusets aberration Exempel 1.8 Vi kan också dra nytta av fyrvektorer utan att använda deras skalärprodukts invarians, trots att detta nog är deras mest användbara egenskap. För att illustrera (se figur 1.21) detta tänker vi oss en inkommande foton som bildar vinkeln α med x-axeln i ett koordinatsystem vi kallar för S. Då kommer riktingen för denna foton att vara r = cos α e x sin α e y och dess fyrimpuls kommer att vara y en inkommande foton α x Figur 1.21: Vi ser hur den inkommande fotonen gör en vinkel α med x-axeln. Observera att detta inte är ett rum-tidsdiagram, då vi har y- och x-axel istället för ct- och x-axel. p = E c e t + n p = hν c e t hν c cos α e x hν c sin α e y = p 0 e t + p 1 e x + p 2 e y. (1.101)

58 56 Den speciella relativitetsteorin Om vi ser på ekvationen (1.101) i ett nytt koordinatsystem S som rör sig med hastigheten V längs med x-axeln i koordinatsystemet S, vet vi att vi måste Lorentztransformera komponenterna för fyrimpulsvektorn. Detta gör vi enligt ekvationerna (1.93), vilkas bevis får bli en hemuppgift. Dessa transformationer ger oss tillsammans med komponenterna i ekvation (1.101) E c = hν c p 1 = hν c p 2 = hν c Detta ger oss ekvationerna = γ(e c V c p 1) = hγ( ν c + V ν cos α) c2 cos α = γ(p 1 V E c ) = hγ( ν 2 c cos α V ν c ) 2 sin α = p 2 = hν c sin α. ν = νγ(1 + V c cos α)) ν cos α = νγ( V + cos α) c ν sin α = ν sin α. Från den första av dessa ekvationer ser vi att vi får Dopplereffekten. För att få formlerna vi hade tidigare är det bara att sätta α = 0 för blåförskjutning och α = π för rödförskjutning. Om vi dividerar de två senare ekvationerna med varandra får vi tan α sin α = (1.102) γ(cos α + V ). c Ekvation (1.102) uttrycker ljusets aberration. D.v.s. hur vinkeln strålningen kommer in med beror av observatörens rörelse. I denna härledning har vi inte använt oss av fyrimpulsens skalärprodukts invarians, utan endast av rörelsemängdens och energins bevarande, vilket man kan uttrycka som fyrimpulsens bevarande. Trots att man bra kunde strunta i fyrvektorerna i detta fall, så tycker jag att de ger ett enkelt och klart (mera straight forward) sätt att räkna i den speciella relativitetsteorin. Uppgift 1.19 Hur stor kinetisk energi måste en elektron ha, då den krockar med en stillastående elektron jämfört med situationen då två elektroner i rörelse krockar i deras masscentrums koordinatsystem? Denna betraktelse är mycket viktig att beakta då man designar en accelerator som skall komma upp till de högsta möjliga energierna. Om energin i masscentrums koordinatsystemet är 2 TeV som i Fermilabs Tevatron, hur hög skall den kinetiska energin för en elektron vara då den krockar med en stillastående elektron för att kunna nå upp till samma energi? Tips: Skriv en fyrvektor för båda situationerna och relatera dem genom invariansen på fyrvektorns kvadrat. Uppgift 1.20

59 Fyrvektorer 57 Vi påstod efter ekvation 1.92 att energi-rörelsemängds fyrvektorn är invariant under Lorentztransformationerna. I denna uppgift skall vi visa hur denna fyrvektor transformeras under Lorentztransformationerna. Vi har fyrvektorn p med komponenterna p x = p z = m 0 v x 1 v 2 /c 2 p y = m 0 v z E 1 v 2 /c 2 c = m 0 v y 1 v 2 /c 2 m 0 c 1 v 2 /c 2 som vi kan relatera till fyrvektorn p:s komponenter genom hastighetsadditionsformeln Efter det bevisar vi att där γ v = 1 1 v2 /c 2, γ V = γ v = γ v γ V (1 v xv c 2 ) (1.103) 1 1 V 2 /c 2 och γ v = 1 1 v 2 /c 2 Genom användning av ekvationerna Detta kan vi sedan använda för att skriva p x, p y, p z, E m.h.a. p x, p y, p z, E. Slutligen får vi p x = γ(p x V E c 2 ) p y = p y ) p z = p z E c = γ( E c V p x c (1.104) Vilket är vårt slutliga svar som helt tydligt är Lorentzinvariant. Uppgiften blir alltså att fylla i hålen i beviskedjan. Skriva om p med hastighetsadditionsformlerna och sedan bevisa ekvation för att slutligen nå Lorentztransformationerna för energi och rörelsemängd i ekvation Uppgift 1.21 Då en stråle av α-partiklar träffar ett 9 Be-mål, ses en resonans (ett kortlivat tillstånd som sönderfaller eller avger sin energi mycket snabbt) då den kinetiska energin för α-partikeln är 1,732 MeV. Beräkna energin för motsvarande excitatonstillstånd i compoundkärnan. D.v.s. beräkna energin för det exciterade tillståndet då α-partiklen och 9 Be-målet slagit ihop sig till en 13 C kärna. Uppgiften skall göras icke relativistiskt men fortfarande beaktande att massa är energi enligt E = mc 2. Uppgift 1.22 En följduppgift till föregående uppgift. Uppgiften är densamma, men nu skall den göras totalt relativistiskt, beaktande allt. I något skede kommer denna betraktelse att leda till en ekvation som inte går analytiskt att lösa, men den kan lätt lösas på en miniräknare exempelvis. Uttryckena i denna relativistiska betraktelse kan bli mycket långa så håll gott mod.

60 58 Den speciella relativitetsteorin Uppgift 1.23 Beräkna den minimienergi som fotonerna måste ha för att processen γ + p π 0 + p skall vara möjlig. Uppgift 1.24 π -mesoner träffar ett protonmål. Beräkna tröskelenergierna (den minsta energin för vilken processen är möjlig) för reaktionerna a.) π + p π + + π + n b.) π + p K + + Σ Böcker om speciell relativitet Det finns mängder av böcker om den speciella relativitetsteorin och jag kan här endast presentera en bråkdel. Som tur är den speciella relativitetetsteorin ett ganska smalt område och de flesta böcker innehåller samma saker. Dessa böcker fungerar mest som bredvidläsning till detta material, men de kan vara bra att känna till. Det finns så många sätt att förklara. [1] John J. Brehm & William J. Mullin, Introduction To The Structure Of Matter, John Wiley & Sons, Inc., Kursboken för materiens struktur innehåller ett kapitel om speciell relativitet, det första. Boken innehåller nästan allt som finns i detta material och fungerar bra som bredvidläsning. Personligen tycker jag att materialet blir lite råddigt, trots en ok uppläggning, men det kan ändå vara nyttigt att ta sig en titt på vad boken har att erbjuda. [2] Michael Mansfield & Colm O Sullivan, Understanding Physics, John Wiley & Sons Ltd in association with Praxis Publishing Ltd, Boken innehåller ett kapittel om speciell relativitet (det 9:de) och torde vara bekant för dem som gått de svenskspråkiga approbaturkurserna i fysik. Boken innehåller ungefär samma saker som detta material förutom de två sista avsnitten i detta material, vars motsvarighet inte finns i Understanding Physics. Som bredvidläsning är boken utmärkt. [3] Claude Kacser, Introduction to the special theory of relativity, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New jersey, 1967.

61 Böcker om speciell relativitet 59 Denna bok är mycket bra och innehåller nästan allt som kursmaterialet går igenom. Den fungerar utmärkt som sekundär läsning och som en andra källa trots vissa ålderdomliga tankegångar. Ta gärna en titt. [4] V.A. Ugarov, Special theory of relativity, Mir publishers, english translation, Detta är också en mycket bra bok och innehåller mer än detta kursmaterial om speciell relativitet. Den fungerar utmärkt som sekundär läsning och som en andra källa. Speciellt de långa texterna får en att känna sig som fysiker i motsats till matematiker, vilket de flesta böcker alltför sällan betonar. Den kompakta layouten i boken är tyvärr lite jobbig och är bokens enda minus.

62 60 Den speciella relativitetsteorin

63 Kapitel 2 Generell relativitetsteori 2.1 Introduktion Den generella relativitetsteorin är en teori som vuxit fram till nästan 100% tackvare A. Einstein. Man kan och brukar tänka på den som en sorts generalisering till den speciella relativitetsteorin, eftersom den innehåller den. Man kunde argumentera mot detta genom att säga att den speciella relativitetsteorin inte speciellt gäller gravitationen medan den generella eller allmänna relativitetsteorin endast handlar om gravitation. På så sätt är den generella relativitetsteorin inte en generalisering av den speciella relativitetsteorin utan en ny teori som behandlar andra saker. Detta resonemang är dock lite löst, eftersom gravitationen inte innehar en speciel position inom den generella relativiteten. Snarare är den generella relativiteten en generalisering av rörelse med konstant hastighet till en rörelse av koordinatsystem som rör sig hur som helst. Inte bara med konstant hastighet i förhållande till varandra utan också så, att hastigheten mellan kordinatsystemen kan ändra och så, att koordinatsystemen kan ändra form och skala under sin färd och således inte längre behöver vara inertta. D.v.s. man kan se den generella relativiteten som en generalisering av konceptet inertialkoordinatsystem till koordinatsystem som inte är inertta. Hur man än vill ha det så använde sig Einstein av den speciella relativitetsteorin för att formulera den generella, och den generella innehåller därför den speciella som ett specialfall av något man kallar platt (flat eng.) rymd. D.v.s. Minkowski rymd. Den speciella relativitetsteorin är därför en mycket viktig ingrediens i den generella relativiteten, men det räcker givetvis inte bara med den för att formulera den generella relativiteten. I det följande skall vi se introduktionsartat på den generella relativiteten som teori. Målet är att ge en bild av de viktiga nya koncepten inom denna teori (i stort sett metriken), Einsteins postulat och krav, vilka hjälpte honom att framställa rörelseekvationen för det gravitationella fältet samt se på de experiment som fastställt teorin som en god teori. Vi börjar med en diskussion om metriken och fortsätter från där vi blev i avsnitt

64 2.2 Metriken (g µν ) 62 Generell relativitetsteori För att kunna skapa en bild av den generella relativitetsteorin måste vi fundera över begreppet metrik. Metriken är i princip allt man bestämmer m.h.a. Einsteins rörelseekvationer, denna kan man sedan i sin tur använda för att räkna ut följderna av att rum-tiden kröks p.g.a. en stor massa. Metriken är alltså mycket central inom denna teori, men vad är en metrik egentligen? Inom den speciella relativiteten definierades metriken (1.87) som en kvantitet som är invariant under Lorentztransformationerna, men varför definierade vi den så? Orsaken är dess invariansegenskaper. För att illustrera problemen med den vardagliga användningen av begreppet avstånd funderar vi över följande. Vi vill mäta avståndet från Helsingfors till Los Angeles, hur gör vi? De två vanligaste sätten är att mäta sträckan rakt genom jorden eller längs jordens yta. Det krävs inte ett geni för att förstå att dessa två sätt att mäta kommer att ge två mycket olika avstånd. Det första sättet att mäta avståndet är det Euklidiska, men vi kan lätt förstå problemen med detta sätt att mäta avstånd. Tänk om man sade åt en pilot att flyga till Los Angeles från Helsingfors och gav honom det Euklidiska avståndet som information. En oförsiktig pilot (som inte beaktar säkerthetsåtgärder) skulle tanka för lite och dimppa ner från himlen i förtid. I detta fall är det förstås bättre att ange avståndet längs jordytan eftersom man inte tar sig till Los Angeles genom jorden, om man inte är en fårskalle eller en neutrino. Som fysiker är tyvärr inte det förra problemet alltid lika enkelt att lösa. Vi skulle alltid måsta vara överens om i hurudanna inertialkoordinatsystem vi mäter avståndet p.g.a. längdkontraktionen. Då behöver vi mera information för att kunna jämföra avstånd med varandra. Därför inför man konceptet metrik inom den speciella relativiteten. Då man mäter avstånd med denna definition har vi invarians inför alla inertialkoordinatsystem och vi behöver således inte veta något mera om hastigheten vi har i förhållande till den personen som vi jämför våra resultat med. Det är helt enkelt bekvämt och praktiskt att införa begreppet metrik. Detta var nu bara speciell relativitet, men hur gör vi då vi vill generalisera denna idée till koordinatsystem som rör sig genom accelerad rörelse och således bara momentant sitter i ett inertialkoordinatsystem. Einsteins idée var att massan omformar geometrin så att fritt fallande partiklar beskrivs av rörelse i en viss sorts geometri (geometrin beskrivs av metriken). Metriken beskriver alltså hur man skall mäta avstånd fysikaliskt sett beaktande att all materia växelverkar gravitationellt. Om t.ex. en partikel kommer nära en massa kommer förstås den gravitationella växelverkan mellan massan och partikeln att omforma partikelns bana. Detta händer givetvis också i den Newtonska beskrivningen av gravitationen, men här sker ändringen i partikelns bana beroende på vart gravitationskraftsvektorn pekar. I den Einsteinska bilden omformar massan geometrin och eftersom denna geometri inte längre är Euklidisk (nära en stor massa) kommer den att vara krökt och vi ser att partikeln inte längre följer en rak

65 Metriken (g µν ) 63 (Euklidiskt sett) bana, utan banan böjs. Idéen formades i Einsteins huvud med tiden, men man brukar ange Einsteins hissexperiment som en av grundstenarna i denna tankegång. Det går såhär. m k 1 r _ M Figur 2.1: Vi ser en hiss som faller fritt mot jordytan. P.g.a. att gravitationsfältet är inhomogent känner partiklarna hissen består av olika stora och riktade krafter beroende på var de befinner sig i hissen. Dessa krafter är utritade för fyra partiklar i hissens hörn. De pekar alla mot jordens centrum. Fältet k 1 är det Newtonska i detta fall där k = GmM. r Tänk dig en fritt fallande hiss som närmar sig jordytan p.g.a. av jordens gravitation (se figur 2.1). Eftersom det Newtonska gravitationsfältet är inhomogent betyder det att partiklar i olika delar av hissen kommer att känna av olika stora och riktade krafter. Detta ger upphov till att hissen tänjer ut sig enligt bilden i figur 2.2. I bilden ser vi hur partiklarna upp- och nertill på hissen rör sig relativt varandra. Hissen sträcker ut sig p.g.a. att hissen har mera utsträckning än en punktpartikel. Eftersom gravitationskraften är olika stor och riktad i olika punkter på hissen fick detta Einstein att tänka att den speciella relativitetsteorin gäller endast exakt i en punkt (lokalt). D.v.s. mera populärt sagt krävde han att om man tänker sig att hissen är liten i förhållande till avståndet över vilket gravitationen verkar, så gäller den speciella relativitetsteorins lagar. Exakt gäller de alltså i en rum-tid med gravitation endast i en punkt. Detta ledde Einstein till den starka ekvivalens principen: Stark ekvivalens: I ett fritt fallande laboratorium som ockuperar endast ett litet område av rum-tiden, gäller den speciella relativitetsteorins lagar för all fysik. Den starka ekvivalens principen kräver alltså ideellt sett att, i en punkt P skall fysiken be-

66 64 Generell relativitetsteori Figur 2.2: Vi ser hur hissen tänjer ut sig p.g.a. att hissen har en höjd och gravitationen är olika stark jämförelsevis upptill i hissen och vid dess fot. Bilden illustrerar hur partiklar uppe och nere på hissen rör sig relativt varandra, men de rör sig givetvis fortfarande mot jordens mitt. skrivas av metriken ds 2 = g µν dx µ dx ν, (2.1) vilket är metriken för den speciella relativitetsteorin (se avsnitt 1.9), då g µν har formen av (1.87). Detta sätter ett starkt krav på geometrin som rum-tiden kan anta. Strikt taget leder detta krav till att rum-tidens geometri endast kan anta formen ds 2 = g ab dx a dx b, (2.2) där kvantiteten g ab beskriver rum-tidens metrik och således rum-tidens krökning. Denna form av geometri kallas för (pseudo) 1 Riemannsk geometri. Vad betyder rum-tidens krökning? Då vi nu har argumenterat oss fram till att rum-tidens krökning skall beskrivas av metriken, skall vi se lite närmare på vad detta betyder. Kom ihåg att rum-tidens krökning är en intrinsisk egenskap av geometrin som vi besitter och vi kan inte åskådliggöra den, därför att då borde vi kunna sätta in den i en högre dimension där vi kan rita ut den. T.ex. en liten loppa som lever på ytan av en sfär och endast lever på denna yta utan att upptäcka andra dimensioner än de två tal som behövs för att uttrycka en punkt på sfärens yta. Denna loppa mäter summan av trianglarnas alla vinklar som > 180 2, vilket vi ju ser då vi vet att loppan lever på ytan av en sfär. Men detta ser vi endast för att vi ser sfären i tre dimensioner. Om man endast kan se två, som loppan, kan man inte veta genom att bara se sig omkring att man lever i en krökt rymd. Men det betyder inte att inte loppan kunde göra experiment för att bestämma att den lever i en krökt rymd. T.ex. kunde loppan mäta trianglar i sin rymd och märka att summan av dess vinklar inte blir 180 och på så vis bestämma att den inte lever i en Euklidisk rymd. 1 Strikt taget begränsar den starka ekvivalensprincipen oss till en geometri som kallas pseudoriemannsk. Är geometrin endast Riemannsk gäller ds 2 > 0 alltid. I den generella relativiteten kan dock invarianten ds 2 vara positiv och negativ (och noll) och dessa typer av geometri kallas för pseudoriemannsk bland matematiker. Fysiker brukar dock vara slappare och därför kommer vi också hela tiden att tala om Riemannsk geometri, trots att vi menar pseudoriemannsk. 2 Detta kan man se om man t.ex. ritar en triangel mellan nordpolen på en sfär och två punkter (vilka som helst, men de får inte ligga på varandra (då har vi ju ingen triangel)) på ekvatorn. Detta ger två 90 vinklar vid ekvatorn och en vinkel vid nordpolen som är > 0. Tillsammans blir ju detta > 180.

67 Metriken (g µν ) 65 Man brukar skilja på de områden som loppan kan se och de som vi kan se och kalla dem för intrinsiska respektive extrinsiska. D.v.s. loppan upptäcker bara intrinsiska egenskaper av geometrin, medan t.ex. det att vi kan rita in ytan av en sfär i en 3-dimensionell Euklidisk rymd är en extrinsisk egenskap av geometrin som 2D loppan inte kommer åt. Situationen är i princip densamma i den generella relativitetsteorin. Vi kan inte se att vi lever i en geometri som är krökt eftersom vi inte kan se flere dimensioner än 3 och det krävs minst 5 för att kunna rita av den 4 dimensionella Riemannska geometrin. Däremot kan vi, precis som loppan, genom experiment fastställa att vi lever i en 4 dimensionel Riemansk geometri. För att få en bättre bild av situationen fortsätter vi med loppan. Vi skall se lite mera matematiskt på denna krökning. Då vi använder oss av metrikformuleringen beskrivs den Euklidiska metriken alltid av formen ds 2 = dx 2 + dy 2, (2.3) i två dimensioner och av N ds 2 = dx 2 i, (2.4) i=1 i N dimensioner. Om vi ser på en sfärisk yta (med radien a) och parametriserar dess koordinater med de vanliga vinklarna (θ, φ), får vi dess metrik som ds 2 = a 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ). (2.5) Denna metrik är speciell på det sättet att man inte kan transformera den till en Euklidisk metrik av formen (2.3) över hela sfären genom en koordinattransformation. Detta betyder att sfärens geometri är intrinsiskt krökt. Däremot kan vi ge ett exempel på en metrik som extrinsiskt kanske verkar krökt, men inte är det intrinsiskt. D.v.s. vi ser på ytan av en cylinder med radien a som har metriken ds 2 = dz 2 + a 2 dθ 2, (2.6) då den parametriseras m.h.a. koordinaterna (z, θ). Denna metrik går lätt att transformera till en Euklidisk tvådimensionell form över hela cylinderns yta, genom koordinattransformationen x = z, y = aθ. Detta i sin tur betyder att cylinderns krökta yta inte är en intrinsisk egenskap av cylinderns geometri. Den är bara en egenskap av ytan så som vi avbildar den i 3 dimensioner. Uppgift 2.1 Om vi har koordinaterna q i med den metriska tensorn g ij där g ij = g 11 g 12 g 13 g 21 g 22 g 23 g 31 g 32 g 33 = 1 1 3/ /2 3 9 (2.7) (a.) Skriv ut linjeelementet ds 2

68 66 Generell relativitetsteori (b.) Vektorerna V och U har komponenterna U = (0, 1, 2) och V = ( 1, 0, 1). Beräkna dessa vektorers skalärprodukt U V = g ij U i V j. Uppgift 2.2 Vi väljer att se på en rum-tid med endast en rumsdimension x. De enda komponenterna av denna 2D metrik som är olika 0 (i området t 0, x > 0) är g 00 = 4c2 A 4 t 2 och g 11 = 9 4B 3, där A och B är konstanter och c ljusets hastighet i vakuum. Finn en koordinattransformation (x, t) (x, t ) som skriver om detta linjeelement ds 2 i den Minkowskianska formen ds 2 = c 2 dt 2 dx 2. Uppgift 2.3 Vi ser närmare på den 2-dimensionella ytan av en sfär. Om vi vill göra en konventionel karta av den brukar vi göra enligt följande. Först definierar vi latitud och longitud. De definieras efter de vanliga polära koordinaterna (θ, φ) (jämför ekvation 2.5) som longitud = φ (vilken mäts östut från Greenwich meridianen) och latitud λ = π θ) (λ är alltså latituden). Visa 2 att linjeelementet ds 2 har formen ds 2 = a 2 (dλ 2 + cos 2 λφ 2 ). (2.8) Om vi vill göra en karta med dessa koordinater på ett vanligt rektangulärt papper med höjden H och bredden B, måste vi på något sätt definiera en projektion av koordinaterna från ytan av en sfär till kartesiska koordinater på detta papper. Då brukar man vanligtvis använda Mercator projektionen, vilken definieras av x = V φ 2π, y = H 2π ln [ tan ( )] π 4 + λ 2 Vad är linjeelementet ds 2 i de kartesiska koordinaterna (x, y)? Ett riktigt exempel (2.9) Nu har vi endast försökt motivera rum-tidens krökning. Längre än så kommer vi heller inte att gå, men som ett smakprov ser vi ännu kort på den Schwarzchildska 3 geometrin. Detta är en lösning på Einsteins rörelseekvation utanför en sfäriskt symmetrisk och statisk massdistribution. D.v.s. lösningen på Einsteis ekvation inom den generella relativiteten är en metrik och i detta fall är den ds 2 = c 2 [ ] 1 2GM c 2 r dt 2 1 dr 2 r 2 dθ 2 r 2 sin 2 θdφ 2, (2.10) 1 2GM c 2 r med koordinaterna (t, r, θ, φ) för de fyra dimensionerna av rum-tiden, där M är den sfäriska kroppens massa. Vi kan direkt anta genom att se på denna metrik att den inte går att göra om 3 Schwarzchild hittade faktiskt på denna lösning medan han deltog i det första världskriget på östfronten. Tyvärr klarade han sig inte helskinnad från konflikten trots att hans lösning gjorde det.

69 Metriken (g µν ) 67 till en Euklidisk geometri genom någon simpel koordinattransformation. Ytterligare ser vi att metriken är singulär i punkterna r = 0 och r = 2GM. Den senare singulariteten är endast en c 2 konsekvens av ett dåligt koordinatval och vi kan få den att försvinna genom ett koordinatbyte. Den första är däremot omöjlig att göra sig av med och nära den måste man därför anta att den generella relativitetsteorin säckar ihop (om man inte vill tro på oändligheter). Det är just den som är singulariteten man talar om i samband med svarta hål. Vi ser också att denna metrik på långt avstånd (r stort) är ungefär ds 2 c 2 dt 2 dr 2 r 2 dθ 2 r 2 sin 2 θdφ 2, (2.11) vilket är Minkowskirymdens geometri i sfäriska koordinater, alltså den speciella relativitetens rum-tid. Det finns också andra lösningar på Einsteins rörelseekvation, m.h.a. vilka man kan beskriva bl.a. geometrin utanför ett svart hål som roterar (Kerr lösningen) eller ett svart hål som innehåller en laddning (Reisner-Nordström 4 lösningen). Dessa lösningar är alla metriker. Uppgift 2.4 Fyll i räknestegen i följande resonemang. Vi följer med en masslös teknolog som faller mot ett svart hål. Eftersom teknologen är masslös betyder detta att ds 2 = 0. Vi skall använda oss av den Schwarzchildska metriken (2.10) i detta fall, eftersom den beskriver hur rum-tiden kröks utanför ett statiskt och sfäriskt symmetriskt massivt objekt. Egentligen borde vi beakta att hålet skulle rotera också för att vara generella, men vi behöver inte vara så petnoga för att följa med teknologens fall. Vi antar dessutom att teknologen faller ifrån vila ett avstånd av R från det svarta hålet. Detta betyder, eftersom metriken är sfäriskt symmetriskt och statisk, att teknologen av symmteriskäl kommer att falla längs en linje med konstant θ och φ. Alltså sätter vi slutligen ds 2 = dθ 2 = dφ 2 = 0 i ekvation (2.10). Detta ger åt oss en ekvation med t som funktion av r och vi kan integrera på båda sidor från 0 till t, på r sätter vi inte någon gräns än så länge. Detta ger oss efter integrering tiden det tar för en masslös teknolog att falla från vila i en punkt R mot ett Schwartzchilds svart hål som ct = R 2MG c 2 ln Rc2 2GM 1 + integrationskonstant. (2.12) Vi kan också anta att den masslösa teknologen faller utåt från hålet sett. Då får vi (genom ett enkelt byte av integrationsgränser) ct = R + 2MG c 2 ln Rc2 2GM Dessa linjer (2.12) och (2.13) kan vi rita ut i en figur. Se figur (2.3). 1 + integrationskonstant. (2.13) 4 Gunnar Nordström ( ) är tills vidare den mest känds fysikern som arbetat vid Helsingfors universitet. Han är mest känd för sin teori om gravitationen, vilken varit en rival till den Einsteinska. Idag har den dock visats att inte överensstämma med experimentella resultat.

70 68 Generell relativitetsteori ct Ingående masslös teknolog R = 0 R = 2GM c 2 > R Utgående masslös teknolog Figur 2.3: Vi ser hur sen masslösa teknologen beter sig på olika sidor om R = 2GM. Ljuskonerna c 2 är utritade som ellipser med två sträck som sammanfaller bakom ellipsen. Denna ellips har ingen betydelse fysikaliskt i detta 2D diagram med axlarna (ct, R). Enda orsaken till ett ljuskonerna utritats på detta sätt är för att illustrera att det faktiskt är fråga om en ljuskon och vart partikelns eller fotonens framtid riktar sig i diagrammet. Vi ser att inget, inte ens ljus, kan ta sig ut från området R 2GM. c 2 Detta diagram kräver en närmare förklaring. Vi ser direkt att denna masslösa teknolog inte kan ta sig ut från området R 2GM, hans utåtgående bana leder honom direkt till singulariteten c 2 vid R = 0. Ingående masslösa teknologer utanför området R 2GM kommer också givetvis c 2 att åka i fördärvet, endast utgående teknologer utanför R = 2GM kommer att klara sig. Resten c 2 kommer att, efter en ändlig tid, samlas i punkten R = 0. Denna betraktelse av masslöa teknologer går direkt att generalisera till fotoner och masslösa partiklar. Därför kan vi betrakta korsningen av en inåt och utgående linje som en ljuskon, vilka också är utritade i diagrammet. Eftersom fotoner rör sig på kanten av en ljuskon och massiva partiklar på linjer innanför denna kon, ser vi genast att inget, inte ens ljus kan ta sig ut från området R 2GM. Denna radie på R = 2GM kallas för Schwarzchildradien och c 2 c 2 är i princip radien för ett svart hål. Den kallas också för händelsehorisonten (event horizon eng.). Det kan tyckas ur diagram 2.3 att man kunde hitta en bana för en ingående foton som skulle tangera Schwartzchild radien. Detta är dock inte sant fast det stämmer i dessa koordinater. Orsaken är att vi valt dåliga koordinater. Väljer man koordinater lite bättre, kan man visa

71 Svarta hål 69 att R = 0 är den enda singulariteten i denna metrik och alla ingående partiklar och fotoner kommer att, inom en ändlig tid, korssa Schwartzchildradien. 2.3 Svarta hål Ett svart hål är en region av rum-tiden som innehåller en så stor massa att den kollapsar till en singularitet. Detta betyder i praktiken att alla partiklar kommer så nära varandra att den gravitationlella attraktionen blir starkare än någon annan kraft. Eftersom den är attraktiv, drar den ihop allting. I.o.f.s. är detta bilden vi får av ett klassiskt svart hål. D.v.s. ett svart hål som är en lösning på Einstein ekvationerna, vilka inte beaktar kvantteffekter 5, men de flesta fysiker tror ändå att kvantteffekterna inte är så stora att denna makroskopiska bild behöver ändras nämnvärt, förutom till den mån att singulartiteten i de svarta hålen är ofysikalisk. Detta kan man lätt tänka att är fallet då man kommer ihåg att en singularitet betyder oändlig krökning av rum-tiden, vilket i sin tur genom Einstein ekvationerna betyder oändlig energidensitet. Då kan man inte formulera energins och rörelsemängdens konservering och all känd fysik säckar därmed ihop. Därför godkänner man ogärna exstensen av singulariteten som fysiker. Schwartzchildlösningen på Einstein ekvationerna är den mest kända, men inte den mest allmänna. Den gäller ett statiskt svart hål utan laddning. Utöver den finns det lösningar för ett svart hål med laddning (Reisner-Nordström metriken), ett svart hål med rotationsmoment (Newman metriken) och för ett svart hål med laddning och rotationsmoment (Kerr-Newman metriken). Detta har lett till att man brukar säga att ett svart hål endast har tre fysikaliska egenskaper. Massa, laddning och rotationsmoment. Detta kallas det klassiska no hair teoremet. Detta teorem beaktar förstås ett klassiskt svart hål utan kvantteffekter och t.ex. Hawking strålningen 6, som postulerats för svarta hål, som inte är en klassisk effekt, beaktas inte här. Detta no hair teorem leder oss in på ett intressant problem, nämligen: Då vi från termodynamiken vet att entropin aldrig kan minska för ett system, hur går detta till i svarta hål? Om man kastar in något i ett svart hål, kommer det att försvinna och därmed alla dess frihetsgrader eftersom vi inte kan observera det längre. Vi kan endast observera massan, laddningen och rotationsmomentet för det svarta hålet. Då kommer ju frihetsgraderna att minska i antal, och termodynamikens andra lag bryts. Om vi placerar kvantteffekter med i bilden, är det fortfarande osäkert hur detta kan gå till, men bl.a. har man konstruerat svarta håls termodynamik, där arean för ett svart hål (på händelsehorsonttens avstånd) spelar samma 5 Einstein ekvationerna beaktar inte de gravitationella växelverkningar som uppstår partiklar emellan. Dessa är förstås negligerbara mycket långt, p.g.a. den svaga styrkan på den gravtationella växelverkan, men då partiklarna kommer mycket nära varandra är den betydande. Denna typs växelverkning kallas kvanttgravitation, torts att den inte observerats experimentellt eller formulerats teoretiskt på ett övertygande sätt. 6 Hawking strålningen är den svartkropps strålning som ett svart hål strålar ifrån sig energi med. Dess temperatur är inverst proprtionel mot hålets massa. Denna temperatur är hypotetisk eftersom den är för liten för att observera med dagens teknik och också för att Hawking beräknade den användande kvanttfältteori i krökt bakgrund, vilket inte har formulerats som en fundamental teori.

72 70 Generell relativitetsteori roll som den för entropin i termodynamiken. Detta p.g.a. att det visats att arean på ett svart hål aldrig kan minska. Den holografiska principen (holographic principle (eng.)) 7 har konstruerats utgående från detta, genom att postulera att svarta hål är objekt med maximal entropi (area). Det finns några begrepp som förknippas med svarta hål som bör nämnas. Ett av dem är fotonsfären (photon sphere (eng.)). Detta namn kommer av att fotoner som rör sig längs tangenten till denna sfärs yta, kommer att cirkulera det svarta hålet. För ett Schwarzchild svart hål är radien för denna yta 1,5 ggr. Schwartzchildradien. Dessa banor som fotonerna kunde röra sig längs är inte stablia, utan mycket känsliga till yttre störningar. T.ex. om fotonen tappar lite energi p.g.a. en växelverkning med en gravitationell våg från det svarta hålet (eller ökar på sin energi), kommer den att falla in (flyga ut) i det svarta hålet. Foton sfären är också speciell på det viset att fotoner på väg in mot hålet, kommer aldrig att kunna ta sig ut om de korssar foton sfären, trots att denna är större än händelsehorisonten för det svarta hålet. Om de däremot är på väg ut från hålet, men startar innanför foton sfären (men utanför händelsehorisonten), kan de nog ta sig ut. Ett annat intressant begrepp är ergosfären. Ergosfären är något som endast gäller roterande svarta hål. Det är ett område som man kan tänka sig, då man vet att roterande svarta hål drar rum-tiden med sig när de roterar. Ergosfären definieras som det område utanför det svarta hålet där det inte går att stå stilla. D.v.s. en yttre observatör skulle aldrig kunna se ett objekt stå stilla, om det ligger innanför ergosfären. Detta beror på att ergosfären definieras av det att objekt inom den måste röra sig med en högre hastighet än ljuset i motsatt rotationsriktning till hålets rotationsriktning för att se ut som om de stod stilla för en yttre observatör. Ergosfären har formen av en tillplattad sfär. Objekt inom ergosfären kan fortfarande ta sig ut därifrån genom den s.k. Penrose -processen, där objektet i fråga stjäl tillräckligt av det svarta hålets rotationsenergi för att kunna ta sig ut ur ergosfären. Man kan väl fråga sig hur man kan observera ett svart hål, om det inte ger ifrån sig ljus. Det är sant att det p.g.a. detta inte går att se ett svart hål, men man kan observera det indirekt torts att detta inte heller är helt väl definierat. De svarta hålen kan observeras genom att upptäcka stora materieskivor (accreation disk (eng.)) eller gas strålar. Dessa borde existera kring svarta hål. De är inget definitivt ja för svarta hål, men om t.ex. materieskivan är mycket stor, känner vi inte till något annat objekt som kunde åstadkomma en så stor skiva. Det är heller inte trivialt att hitta kandidater till svarta hål. Ett sätt att hitta dem är att söka efter γ-strålning. Om den observerade γ-strålningen är mycket homogen utan variationer, kan man tänka sig att den kommer från ett svart hål. Om den däremot varierar mycket, beror 7 Den holografiska principen är en princip som säger att all information (Shannon entropi, vilken kan ses som ekvivalent till Boltzmans definition på entropin) som vi observerar finns tillgänglig inom lägre dimensioner. D.v.s. t.ex. all information i ett svart hål finns skriven på dess yta. Denna princip används bl.a. mycket inom sträng teori.

73 Einsteins rörelseekvation 71 detta antagligen på yteffekter då materia utifrån krockar med ytan, vilka förekommer för objekt med ytor, som t.ex.neutron stjärnor. Eftersom svarta hål inte har någon yta, skiljer detta åt dessa typers strålningskällor. Det har också postulerats att Gammastrålnings utbrott (Gamma Ray Bursts GRB (eng.)) kunde vara indikatorer för födseln av svarta hål. 2.4 Einsteins rörelseekvation För att motivera sin rörelseekvation använde sig Einstein av olika argument. Vi har i princip redan sett på två av dem, men det som vi diskuterat mest är kravet på en rum-tid som i en punkt allid reduceras exakt till Minkowskirymden. Detta var den starka ekvivalensprincipen. Ett annat naturligt krav var att den generella relativiteten kan reduceras till den Newtonska gravitationen då man talar om svaga gravitationsfält. Detta känns rätt så klart, inte kan ju en ny teori låta bli att beskriva det som den gamla redan klarat av att modellera. Det finns dock stora skillnader mellan den Newtonska gravitationen och den Einsteinska. Den Newtonska har formen F = m G ρ(r) r 2 ˆrd3 r = m G Φ, (2.14) där Φ bestäms från kravet 2 Φ = 4πGρ(r), med ρ som massdensiteten och ˆr är den radiella enehetsvektorn och d 3 r är det sfäriska volymelementet. Denna form kanske ser lite obekant ut, men den är en direkt generalisering av formen F = G m GM r 2, till en massdensitet (och distribution) av godtycklig form 8. Skillnaden från denna Newtonska lag till Einsteins formulering är klar. Den Newtonska ekvationen (2.14) innehåller inget beroende av tiden och således rör sig informaionen om en förändring i massfördelningen momentant, vilket strider mot den speciella relativitetens postulat om ljusets hastighet. Dessutom har vi också en annan fundamental skillnad i dessa två formuleringar. I den Newtonska formuleringen kan vi sätta m T dx 2 dt 2 = m G Φ, (2.15) och mäta kvantiteten m G m T. Det visar sig att denna är så gott som = 1 9. I den Newtonska teorin finns det dock ingen orsak varför dessa massor (m T kallas för den tröga massan och m G för den gravitationella massan) skulle vara lika. Detta ledde Einstein till hans berömda hissexperiment som vi såg på i föregående avsnitt och därmed till den starka ekvivalensprincipen. M.a.o. är den tröga och gravitationella massan samma sak i den Einsteinska teorin, i motsats till den Newtonska. 8 Situationen är faktiskt helt analog med generaliseringen av kraft och elfält i fallet av Coulombs lag, där man generaliserar Coulombs lag till att gälla för en laddningsfördelning av godtycklig form. 9 Man har mätt den till en noggranhet av åtminstone 1 del i 10 11

74 72 Generell relativitetsteori Det sista Einstein behövde för att kunna formulera sin teori, var antagandet att massan förändrar på rum-tidens geometri så att rum-tiden kröks. Detta är ett mycket fundamentalt steg för formuleringen av den generella relativitetsteorin. I princip kunde man tänka det på så vis att existensen av en stor massa förändrar på geometrin så att fritt fallande partiklar inte längre faller rakt utan deras banor kröks. Det är förstås fel att säga så eftersom en fritt fallande partikel förstås per definition faller fritt, men rörelsen den utför då den faller, för att vi skall veta att den är fri, är inte längre euklidiskt sett rak. Einstein visste att den Riemannska geometrin beskrivs av den s.k. Riemann tensorn 10. Därför ville han väva in den i sin teori. För att kunna väva in den i hans nya bild av gravitationen måste han på något sätt koppla ihop den med energidistributionen i rum-tiden (eller massdistributionen, eftersom energi och massa är samma sak). Denna energidistribution fick han ur något som kallas för energi-rörelsemängdsmoment tensorn, vilken beskriver just hur materien och energin är utspridda i rum-tiden. M.h.a. dessa krav bestämde Einstein precis hur hans rörelseekvation skulle se ut. Detta ledde honom till R µν 1 2 g µνr + Λg µν = 8πG c T µν, (2.16) 4 där R µν = Rµνσ, σ R = g µν R µν = g µν Rµνσ, σ T µν är energi-rörelsemängdsmoment tensorn och Λ den kosmologiska konstanten. R σ µνσ är Riemanntensorn (i ett specialfall), men som vi ser beror den vänstra sidan endast av metriken g µν eftersom Riemanntensorn gör det till 100%. Egentligen kallas R µν för Ricci tensorn och R för Ricci skalären, men vi kan se dem som funktioner av Riemanntensorn och därför som funktioner av metriken. D.v.s. denna ekvation bestämmer hur metriken skall se ut givet en energi-rörelsemängds distribution (tensor). Vi kan ge detta som ekvationen rum-tidens krökning inom en region av rum-tiden = energi-mass densiteten inom samma region. Denna Einstein ekvation var faktiskt den som Einstein själv också härledde i.o.m. den kosmologiska konstanten. Denna fungerar som ett negativt tryck i denna ekvation. Ju större den är desto mera finns det av ett negativt tryck i rymden. Einstein själv lade till konstanten för att han trodde som de flesta på den tiden att universum utanför oss endast bestod av vår galax. Detta hade lett till att man på den tiden trodde att universum var statiskt. Eftersom Einsteins ekvation (en lösning av den) gav ett universum som expanderar ville Einstein korrigera för detta med en kosmologisk konstant. Senare när Edwin Hubble (mera om honom i nästa kapitel) märkte att stjärnorna utanför vår galax är starkt rödförskjutna och tolkade detta 10 Vi tänker här inte gå in på vad en tensor egentligen är, trots att man enkelt kunde beskriva den genom dess transformationsegenskaper. Vi nöjer oss med att säga att vi kan tänka på en tensor som en kvantitet som tar olika värden beroende av dess index. D.v.s. har vi en fjärde ordningens tensor, beror dess värden av fyra index och då vi specificerar fyra index anger denna tensor ett tal eller en funktion.

75 Gravitationen experimentellt 73 som att universum expanderar, kallade Einstein den kosmologiska konstanten för sin största blunder. Det mest ironiska i allt är att efter allt detta bollande har man idag konstaterat att det ser ut som om någon mystisk mörk energi skulle få galaxer mycket långt ifrån oss att accelerera ifrån oss och således få universum att expandera med en accelerande takt. Denna typs universum kan man modellera bäst genom att införa den kosmologiska konstanten på nytt i Einsteinekvationen. Den kosmologiska konstanten har ett mycket litet värde, som inte har någon betydelse lokalt, men nog på en kosmologisk skala. I det nästa skall vi se på vad man kunnat fastställa m.h.a. denna ekvation och varför man tror att den beskriver gravitationen så bra. En orsak är givetvis redan det att den Einsteinska teorin kan reduceras till den Newtonska vid gränsfallet av ett svagt gravitationsfält. 2.5 Gravitationen experimentellt Einsteins teori är en fin teori, men den kräver en mycket stor massa för att kunna testas. Den har effekter som endast syns på en stor skala, d.v.s. effekter som kräver en massa av storleken av (eller större än) en stjärna för att kunna observeras. De två klassiska exemplen på effekter av generell relativitet är ljusets böjning nära en stor massa och Merkuríus periheliums 11 precession. Egentligen gäller periheliumets precession förstås också andra planeter, men man brukar av historiska skäl tala om Merkurius, därför att man genom Newtonska beräkningar på Einsteins tid hade konstaterat att Merkurius perihelium precesserade på ett sätt som inte kunde förklaras ens genom att ta i beaktande de andra planeternas gravitationella verkan. Den gravtationella rödförskjutningen (OBS! inte Dopplereffekten!) kan man också ta som ett manifest för den generella relativiteten, som också de gravitationella vågorna, trots att de inte upptäckts direkt ännu, men nog indirekt. Periheliumets precession Detta är en effekt som ökar p.g.a. den allmänna relativitetsteorin. Det handlar om en korrektionsterm (om man jämför med den Newtonska teorins förutsägelse) som korrigerar den vanliga Newtonska elliptiska banan med korrektionstermer för banans precession beroende på de andra planeternas gravitationella påverkan av merkusrius bana (främst jupiter p.g.a. dess stora massa) till en elliptisk bana med ännu lite mera precession. Vi kan se situationen ur figur 2.4. Den allmänna relativiteten förutsäger detta värde för Merkurius precis inom felgränserna, φ 5600 per århundrade, varav endast 43 per århundrade är effekten som kommer från den allmänna relativiteten och är en konsekvens av att Merkurius befinner sig så nära solen. Historiskt sett var detta den första konsekvensen av den allmänna relativiteten, vilken Einstein 11 Perihelium är punkten där planeten är närmast solen och aphelium finns där planeten är längst ifrån solen.

76 > 74 Generell relativitetsteori aphelium > planet Solen > > perihelium Figur 2.4: Figurer illustrerar (med mycket inelliptiska banor) hur en planets perihelium precesserar en vinkel φ för varje varv. också publicerade i sin första publikation 1915 på allmän relativitet. Ljusets böjning Denna effekt är den mest observerade, eftersom den tar sig så många uttryck. Ursprungligen mätte man den, efter att Einstein föreslagit att man kunde testa hans teori med den, först för ljus som slickar solytan på vägen till jorden från stjärnor bakom solen (se figur 2.5). Detta verifierades 1919 av Eddington 12 genom observation av en solförmörkelse. Senare har man kunnat verifiera effekten med radiokällor och radioteleskop för radiokvasarer 13 _ 2 b Figur 2.5: Figuren visar en ljusstråle som rör sig nära en stor massa. φ är delflektionsvinkeln och b är impaktparametern, d.v.s. avståndet mellan massans mittpunkt och banas höjd från den, på stort avstånd från massan. Ljusets böjning har också andra effekter. T.ex. observerade man 1979 två kvasarer som såg helt lika ut, vilket man förklarade genom gravitationslinssfenomenet. Detta är ett fenomen där ljuset från ett objekt som befinner sig på kosmologiskt avstånd från oss gömmer sig bakom en galax. Galaxen böjer ljuset runt sig som i figur 2.6 och vi ser ljuset som om det kom från 12 Vissa historiker påstår att Eddington fingrade på sina resultat så att de skulle passa Einsteins teori, men i så fall fingrade han rätt därför att senare mätningar visar faktiskt att ljuset böjer sig enligt Einsteins teori. 13 En radiokvasar är ett objekt som befinner sig på mycket långt avstånd från oss (långt utanför vår galax) och som strålar starkt inom radiovåglängdsområdet.

77 Gravitationen experimentellt 75 två galaxer. kvasar, stjärna eller galax Galax Jorden Figur 2.6: Vi ser hur ljuset böjs runt en galax så att vi ser två objekt (längs de sträckade linjerna) istället för ett. Detta fenomen kallas för en gravitationslinss. Ett annat experiment man utfört är att studsa radarekon (ljus i detta fall) från Venus yta då Venus befinner sig bakom Solen i förhållande till jorden (se figur 2.7). Ljuset kommer ju att böjas p.g.a. Solen och därför kommer man att observera en fördröjning av signalen i förhållande till en signal som inte påverkas av Solens massa. Detta test är inte helt trivialt att utföra, men i.o.m. det har man hittat ännu ett experiment som starkt stärker tron på den allmänna relativiteten. r 0 r Jorden Solen Venus Figur 2.7: En illustration av att skjuta radarekon på Venus från Jorden, då Venus befinner sig precis bakom Solen. r 0 är det kortaste avståndet till solen för ljusekot. Uppgift 2.5 a.) Argumentera för ljusets böjning nära en stor massa i den klassiska mekaniken. b.) Argumentera mot att ljuset skulle böja sig nära en stor massa i den klassiska mekaniken. Ljusets rödförskjutning En tredje effekt som ett starkt gravitationsfällt har är att en foton rödförskjuts, precis som Dopplereffekten också påverkar den. Genom observation av denna rödförskjutning kan man få information om massiva objekt som t.ex. varifrån de härstammar. Detta är förstås inte längre ett direkt experimentellt stöd för den allmänna relativitetsteorin utan snarare en användning

78 76 Generell relativitetsteori av den, men denna tolkning av teorin är så vanlig att man tar den som en given del av denna teori. Kort sagt rödförskjuts ljuset på väg bort från en stor massa med så mycket att man måste beakta denna effekt tillsammans med Dopplereffekten då man mäter ljusets rödförskjutning. På detta sätt kunde Edwin Hubble bestämma hur mycket galaxer och stjärnor rör sig i förhållande till varandra och kom med det på den tiden remarkabla påståendet att universum expanderar. En annan användning för den gravitationella rödförskjutningen är att man hoppas på att den skall ge en noggrannare metod för att bestämma massor och rotationsmoment på stora massiva objekt. Denna tanke kommer av att man kan observera järnets spektrallinjer i skivan av materia runt massiva objekt som t.ex. svarta hål. Dess spektrallinjer är fortfarande användbar p.g.a. att järn ofta har bundna elektroner också vid mycket höga temperaturer som i de 10 7 K som är typiska för dessa situationer. Då en av dessa eletroner faller ner från en energinivå i växelverkan med röntgenstrålning föds det som resultat en foton som tar sig iväg från detta massiva objekt. Det är genom observation av dessa fotoner och denna strålning som man hoppas sig kunna skapa en tillräckligt noggrann metod för att bestämma de centrala objektens (som skivan snurrar runt) massa. Gravitationella vågor De gravitationella vågorna är också en utsago av Einsteins ekvationer, men med en viss approximation. D.v.s. Einsteins ekvation i formen (2.16) förutsäger inga vågfenomen, men i en viss approximation har den plana vågor som lösningar. Detta är i en sk. svagfälts approximation (weak field approximation (eng.)). Dessa skulle vara mycket svaga och svåra att observera direkt (vilket man inte ännu gjort), men däremot har man observerat dem indirekt genom att de gravitationella vågorna bär iväg energi från massan där de får sitt ursprung. Detta betyder t.ex. att för ett binärt stjärnsystem kommer radien för systemet att minska och således rotationshastigheten att öka då de gravitationella vågorna bär bort energi från systemet. Detta är en effekt som Hulse och Taylor observerade i närmare 20 år i en binär pulsar 14 av det fantasifulla namnet PSR B År 1993 fick de Nobelpriset i fysik för denna upptäckt. Detta var dock endast en indirekt observation. Om gravitationella vågot existerar borde man ju kunna hitta dem direkt också. Den enda tanken som finns till stöd för detta är att en gravitationell våg är en mycket minimal störning i rum-tiden som får ex. partiklar att röra på sig i förhållande till varandra. Precis som alla andra vågor. Då måste man alltså kunna detektera en mycket liten störning i rum-tiden. För tillfället har man tänkt sig att dektektorer med namnen LIGO (USA) eller VIRGO (Frankrike-Italien) kommer att vara de första som hittar dessa gravitationsvågor. Apparaturen är en interferometer precis som Michelson Morleys apparat, men i en skala mycket större och man använder sig av laserljus. Vägarna l 1 och l 2 (se figur 1.1) kommer i detta fall också att vara 4 km var, vilket är lite mer än 14 En neutronstjärna som skickar ifrån sig radiosignaler.

79 Kvanttgravitation 77 Michelson-Morleys futtiga 11m, vilket även det är stort för vanliga laboratorieförhållanden. Det skall genast nämnas att dessa enorma apparater LIGO och VIRGO inte kan roteras så som Michelson-Morley grunkan, vilket ju är klart p.g.a. deras enorma storlek. Idéen är helt enkelt den att då en gravitationsvåg kommer in från rymden, ändrar den på tunnelns längd (minimalt) och detta hoppas man sig kunna observera. Om detta misslyckas så stiger ännu mera storhetsvansinne in i bilden. Man har nämligen tänkt sig att en detektor med namnet LISA skall skjutas upp i rymden som tre olika delar, vilka man sprider ut så att man får en enorm interferometer med armar av längden 5 miljoner km. Den skall också gå att rotera passligt efter vågorna. Den skall vara ett samarbete mellan ESA och NASA som kan väntas flyga upp på himlen i årsgaffeln Hur det än går är det ganska remarkabelt att man fortfarande testar Einsteins teori mer än 90 år efter dess uppkomst. 2.6 Kvanttgravitation Då vi nu studerat den klassiska allmänna relativiteten à la Einstein, kan man mycket väl fråga sig, vad händer med gravitationen på mycket kortta avstånd? D.v.s. eftersom vi vet att det bildas svarta hål då rum-tiden kröker sig tillräckligt, vilka för med sig en singluaritet i origo där rum-tidskrökningen är oändlig, vilket i sin tur genom Einstein ekvationerna motsvarar en oändlig energi-mass densitet i denna punkt, kan vi förväntta oss att den Allmänna relativiteten som teori inte håller måttet på mycket korta avstånd. Men vad har vi då för teori att tillgå? Svaret är lite ironiskt: kvanttgravitation, vilket är namnet på en teori som inte till dags dato formulerats på ett teoretiskt sett acceptabelt sätt och inte heller har några experiment att tillgå som stöd för sin existens. Detta, trots många tappra försök under åtminsone de 50 senaste åren. För att beskriva de mest framstående problemen man stöter på med en formulering av denna hoppeligen formulerbara teori, skall vi i det följande ta en kort titt på de viktigaste teorierna som hittills beprövats med detta problem. Eftersom kvanttfältteorin haft en så stor succé i.o.m. formuleringen av standard modellen av partikel fysik och detta är den experimentellt bäst testade högenergi teorin tills idag, är det solklart att man börjar konstruktionen av en ny högenergi teori genom att generalisera denna. D.v.s. man försöker generalisera den teoretiska strukturen för kvanttfältteori till att gälla också för en teori av kvanttgravitation. Om man gör detta som en direkt minimal utvidgning av den gamla teorin får man som resultat en teori som innehåller oändligheter som inte går att renormalisera 15. Detta negativa resultat var kanske att vänta sig eftersom man motiverar renormaliseringsproceduren genom att de oändliga integraler man gör ändliga 15 Att en teori inte går att renormalisera betyder att det inte går att formulera en procedur m.h.a. vilken vi formellt kan subtrahera bort oändligheter från teorin. Denna procedur är viktig inom standard modellen för partikel fysik. Utan den är teorin inte väl formulerad som en slutlig eller fundamental teori.

80 78 Generell relativitetsteori genom den, endast är betydelsefulla vid väldigt höga energier, energier då man inte längre kan strunta i gravitationen som kvanttfenomen. I fallet av en ordentlig kvanttgravitationsteori borde vi med denna motivering inte få oändliga integraler, eftersom de fysikaliska observablerna inte kan vara oändliga och en kvanttgravitationsteori borde innehålla all energi-mass densitet och i.o.m. detta, alla växelverkningar. D.v.s. det borde inte finnas fysik utanför en kvanttgravitationsteori. Om man noga analyserar renormaliseringsproceduren och söker efter en teoretisk struktur som skulle kunna producera ändliga kvanttiteter, leds man snabbt in på strängteori. Inom denna teori beskrivs alla fundamentala partiklar som olika vibrationer av strängar 16. Denna teori innehåller inte fermioner, partiklar med halvtaligt spinn så som elektronen, protonen, neutronen, et.c., om den inte formuleras i 10 dimensioner. Dessutom har man upptäckt att alla olika stängteorier i 10 dimensioner är kopplade till varandra och att det ser ut som att en 11 dimensionell teori, hittills kallad M-teori, är mera fundamental än de 10 dimensionella strängteorierna. När vi ser på koppligen av strängteori till kvanttgravitation har vi inte problemet med oändligheter, men vi har ett annat problem. Nämligen problemet med att ingen vet hur vi skall komma åt att räkna ut något observerbart ut strängteori. De 10 dimensionerna är inget problem, dem gör man bara så små att vi kan säga att vi inte observerat dem tills idag, så att vi får 4 stora dimensioner och 6 små. Problemet är att det finns på tok för många sätt att göra denna reduktion och var och en leder till en egen teori. Man borde hitta en som ser ut som standardmodellen för partikelfysik. Dessutom har strängteorierna kritiserats av fysiker som arbetat med allmän relativitet för att strängteorierna inte innefattar konceptet bakgrundsoberoende eftersom de beror av den 10 dimensionella strängmetriken. D.v.s. Om en teori är bakgrundsberoende har vi en viss metrik som gäller. Metriken är bakgrunden på vilket fysiken händer. Detta är i motsats till Einstein ekvationera som är bakgrundsoberoende. Därför förväntar man sig att en slutlig teori av kvanttgravitation också skulle vara bakgrundsoberoende. Inom kanonisk kvanttgravitation, också kallas kvanttsling-gravitation (eng. Quantum Loop Gravity) försöker man ta i beaktande bakgrundsoberoendet av den allmänna relativiteten från början då man konstruerar teorin. Denna teori baserar sig på en form av matematiska objekt som är beroende av slingor 17, härav namnet. Dessa objekt är lösningar på Wheeler-DeWitt ekvationen som är en formulering av en ekvation som bestämmer de fysikaliska tillstånden inom en bakgrundsobereoende teori för kvanttgravitation. Denna ekvation är konstruerad före man börjat tala om kanonisk kvanttgravitation, men idag hänger dessa väldigt starkt ihop. Den teoretiska foruleringen av kanonisk kvanttgravitation gör att rum-tiden blir någonting som vi kallar ett spinn-nätverk 18 (eng. spin-network) som bl.a. förutsäger att area och volym 16 Lite som stående vågor. 17 I detta fall menar jag slingor i formen av en bana som man integrerar över men som börjar och slutar i samma punkt. 18 Spinn-nätverken är mycket abstrakta matematiska koncept som i princip gör samma jobb som rum-tiden i den klassiska formuleringen av allmän relativitet.

81 Böcker om generell relativitet 79 förekommer i kvantta inom denna teori. Tyvärr, har det visat sig svårt att beräkna andra förutsägelser från denna teori och därför har man närmat sig detta problem genom en ny vinkel som kallas spinn-skum (eng. spin-foams). Detta försök till formulering av kanonisk kvanttgravitation är ännu mycket ungt och det är därför ännu oklart om det kommer att kunna fungera som en ekvivalent modell av kanonisk kvanttgravitation. Den kanoniska kvanttgravitationen och sträng teori är de mest seriösa försöken att konstruera en kvanttgravitationsteori tills idag. Båda lider av problemet att man inte vet hur man skall beräkna observabler ur teorierna. Inom dessa två konstruktioner som är långt ifrån färdiga, spelar de svarta hålens termodynamik en mycket stor roll. Man kan nämligen i båda räkna ut entropin och därmed Hawking strålningen från ett svart hål. Detta är tyvärr det närmaste man kommer experiment för tillfället vad gäller en möjlig konstruktion av en teori för kvanttgravitation. Därför är det lätt att tänka sig att det ännus finns en lång väg att gå, innan vi kan säga att vi har någon form av teori för kvanttgravitation som vi kan lita på. Uppgift 2.6 Tag reda på hur det går för LISA projektet. Använd exempelvis sajten lisa.jpl.nasa.gov. Vad är det tänkt att LISA skall studera? Hur är det tänkt att LISA skall fungera, hur länge skall LISA vara i operation och vad hoppas man lösa för fysikaliska problem med projektet? 2.7 Böcker om generell relativitet Efersom vi endast skummar igenom den generella relativitetsteorin kan jag inte presentera så många böcker om den. De flesta böckerna om generell relativitet är nämligen avsedda för en mera noggrann genomgång av denna teori. Det skulle säkert gå att nämna många populärvetenskapliga böcker i denna härva, men eftersom skribenten själv inte är så bekant med dessa vad gäller generell relativitet så kommenteras här endast ett par. [1] Jukka Maalampi & Tapani Perko, Lyhyt modernin fysiikan johdatus, Limes r.y., Kursboken för denna kurs på den finska sidan i Helsingfors universitet innehåller förstås också några kapitel om den generella relativiteten. Boken innefattar i stort sett samma saker som detta material om den generella relativitetsteorin men lider lite av en halv pedagogisk uppläggning och blir därför lite råddig för en nyböjare. Detta är en bra bok att ha trots det för hela kursen och den är heller inte så dyr för Limesmedlemmar. [2] M. P. Hobson, G. Efstathiou & A. N. Lasenby, General Relativity, An Introduction for Physicists,

82 80 Generell relativitetsteori Cambridge University Press, Detta är en utmärkt bok för folk som har ett lite grundligare intresse för den generella relativiteten som teori. Den har en mycket pedagogisk uppläggning börjande med en introduktion till konceptet metrik och differentialgeometri. Boken är självkonsistent och man behöver inte hjälp av andra böcker för att förstå sig på den. Tyvärr är den för informativ matematiskt sett för denna kurs, men den är mycket bra att komma ihåg, skulle man välja att bekanta sig nämare med den generella relativiteten någon dag i framtiden.

83 Kapitel 3 Kosmologi 3.1 Introduktion Kosmologin är studien av universum i sin helhet. Den har senare utvidgats till att bli ett område inom fysiken (varför vi talar om den), trots att kosmologi historiskt sett handlat om metafysik, religion och filosofi. Inom fysik handlar det dock inte om människans plats på jorden eller var vi kommit från, fast många ivriga fysiker gärna drar slutsatser om detta också. I grunden handlar det, som i all fysik, om att göra en matematisk modell av vad vi observerar och klassificerar som den fysikaliska naturen 1. Kosmologin fick sitt intåg i fysiken i.o.m. Edwin Hubble och hans observation att universum expanderar. M.h.a. Einsteins allmänna relativitetsteori har man kunnat konstruera en kosmologisk modell av universum, genom den kosmologiska principen. På senare tid har observationer av den kosmiska bakgrundsstrålningen givit upphov till ännu ett uppsving inom kosmolgiska studier. Detta är främst vad man håller på med idag och därför finns det fortfarande några större tvisteområden inom Big Bang modellen trots att den är mycket brett accepterad. Men nu skall vi ta oss tillbaka till 20-talet för att få en bild av vad som hänt sedan Hubble. 3.2 Hubbles upptäckt Efter Newton fanns det ett problem som sällan diskuterades. Det var nämligen, något som Newton själv också insåg i frågan: Varför kollapsar inte universum om en gång gravitationen är en attraktiv kraft? Det var allmänt accepterat att universum var statiskt och att stjärnor kunde röra sig i förhållande till varandra, men de kom inte på ett långt tidsperspektiv närmare eller längre ifrån oss. Ett annat problem existerade också, något som man kom att kalla Olbers 1 Tro mig, man kan diskutera vad som är ett fysikaliskt system och vad som inte är det i evigheter utan att komma någon vart. 81

84 82 Kosmologi paradox. Det är helt enkelt frågan: Om universum är oändligt stort, varför är då natthimlen svart? Då ljuset från alla oändliga stjärnor når oss borde också natthimlen vara ljus. Det finns många formuleringar genom århundraden av denna fråga med den första troligen given år 1576 av Thomas Gigges. Olbers paradox blev det först år 1826 då Heinrich Olbers formluerade den som Uppgift 3.1 Olbers paradox: Om vi antar det följande i.) universum sträcker sig oändligt långt ut i rymden ii.) universum är oändligt gammalt iii.) universum innehåller stjärnor av lika luminositet och som existerar jämnt fördelade i rymden iv.) det finns ingen materia mellan oss och stjärnorna som skulle förhindra ljuset från stjärnorna att nå oss, beräkna då universums totala ljusintensitet på jordens natthimmel kommande ihåg att itensiteten från en sfärisk källa avtar med avståndet som I = E, där E är källans energi. Du 4πr 2 kommer att få ett resultat som är paradoxalt då vi vet att natthimlen är svart. Denna paradox kallas för Olbers paradox. Ge något förslag på hur denna paradox kan lösas? Svaret på denna fråga och Newtons, kom först långt efter Newton och Gigges genom astronomen Edwin Hubble som mätt ljusets spektrum från avlägsna galaxer. Han upptäckte att avlägsna galaxer alltid uppvisar en rödförskjutning i spektret, vilket han tolkade som att de verkar vara på väg ifrån oss. D.v.s. han uppmätte en sorts Dopplereffekt, men observera att detta inte är Dopplereffekten från den speciella relativiteten, utan Dopplereffekten p.g.a. att rum-tiden utvidgas under fotonens färd. Den brukar inte ens vanligen kallas för Dopplereffekten då den orsakas av denna effekt. I figur 3.1 ser vi hur ljuset färdas från en stjärna till oss. Först rödförskjuts ljuset gravitationellt på väg ut från stjärnans gravitationsfält, sedan rödförskjuts det p.g.a. rum-tidens expansion och slutligen blåförskjuts det lite på vägen ner till oss genom jordens gravitationsfält. Ytterligare kan stjärnan i förhållande till oss ha en hastighet åt något håll så att ljuset p.g.a. detta också rödförskjuts eller blåförskjuts. Allt detta måste man beakta för att ta reda på om stjärnan är på väg från eller till oss och speciellt om man vill bestämma hur mycket den är på väg från eller till oss. Denna analys gjord av Hubble fick honom att tro att galaxerna rör sig ifrån oss med en hastighet proportionell mot deras avstånd från oss. Man brukar ge Hubbles lag som v = H 0 r, (3.1) där r är avståndet och H 0 är Hubbles konstant. Ví ser genast att konstanten måste ha dimensionerna av [ 1 s ]. Man brukar vara ense om att den ligger i intervallet [ , ]s 1,

85 Hubbles upptäckt 83 Interstellär rymd jordens gravitationsfält jorden > stjärnans gravitationsfält en stjärna > Figur 3.1: Vi ser hur ljuset färdas upp genom stjärnans gravitationsfält, förlorande energi så, att dess vålängd ökar (rödförskjutning). Sedan färdas ljuset en lång sträcka genom interstellär rymd under vilken ljuset rödförskjuts ytterligare p.g.a. rum-tidens expansion. Slutligen når ljuset jorden och blåförskjuts lite på väg ner genom atmosfären till oss. vilket vi kan räkna om till mera användbara enheter genom att införa ljusår med definitionen vilket ger oss 1 ly = m, H 0 [15, 31] km/s Mly. (3.2) Med Medelvärdet 23 km/s. Vad detta betyder ser vi bättre ur figur 3.2 där man ser hur galaxerna placerar sig enligt Hubbles Mly lag. 6 v (10 m/s) (10 ly) r Figur 3.2: Vi ser Hubbles lag anpassad till några galaxer (punkterna). Som vi ser, så är inte Hubbles lag bra på större avstånd, men fungerar väl på korta. Det viktigaste med denna lag, trots att den bara fungerar på korta avstånd, är nog att den beaktar att universum expanderar. Anpassandet av linjen är rätt skapligt i början av grafen, men snart ser man att Hubbles lag inte fungerar över stora avstånd. Den fungerar bara bra för de galaxer som befinner sig

86 84 Kosmologi relativt nära oss. Men det viktigaste med Hubbles lag var att den indikerade att universum expanderar åt alla håll. Åt vilket håll vi än ser så åker galaxerna iväg från oss, vilket leder till den kosmologiska principen som är mycket viktig då man skapar en ungefärlig metrik för universum enligt Einstens ekvation. Den lyder: Den kosmologiska principen:universum ser mer eller mindre likadant ut åt vilket håll vi än ser vid vilken tidpunkt som helst. Det är klart att universum inte kan vara exakt likadant åt alla håll vid alla tidpunkter, men avstånden i universum (mellan galaxer) är så stora att denna effekt kan negligeras inom en god approximation. Den kosmologiska principen brukar översättas till fysiska som, universum är isotropt och homogent, vilket i sin tur ger möjligheten att hitta en lösning på Einsteins ekvationer för den allmänna relativiteten som kallas för Friedmann-Robertson-Walker metriken (eller universum). Denna metrik är en av grundstenarna i den moderna kosmologin. M.h.a. den kan man beräkna tiden det tar för ljuset att nå oss från avlägsna stjärnor och galaxer och genom detta bestämma universums ålder. Det går också att bestämma avstånd m.h.a. av den och med dessa metoder studera Big Bang modellen. Det viktiga med denna Friedman- Robertson-Walker (FRW) metrik, är att den kommer från den allmänna relativiteten och därför betyder universums expansion att själva rum-tiden expanderar. I figur 3.3 ser vi en illustration av denna tanke i 2 dimensioner. a.) R R b.) R R Figur 3.3: Figurer illustrerar tanken med att rum-tiden utvidgas i 2 dimensioner (med tillhjälp av en tredje). Vi tänker oss två stjärnor på ett par fixa koordinater på sfärens yta. Då R ökar, ökar avståndet mellan stjärnorna men deras koordinater är desamma. Denna figur skall ses som en 2D rymd som ligger på ytan av en sfär. Då rum-tiden expanderar (radien ökar i denna figur) ökar avståndet mellan stjärnorna men de bibehåller sina koordi-

87 Hubbles upptäckt 85 nater. Detta kan givetvis inte illustreras i 4D, men så stark tro som fysiker måste vi ha att 2D räcker för oss. Hur är det med gravitationen då? Gravitationen mellan himlakroppar är ju en attraktiv kraft och då måste ju rum-tidsexpansionen motarbetas av den. Det är precis vad gravitationen gör. Detta fenomen är starkt kopplat till något som man kallar universums kritiska densitet ρ c. Om unversums energi och materie densitet är > ρ c, kommer vårt universum att slutligen kontrahera i något som kallas för the big crunch. Om energi- och materiedensiteten däremot är ρ c, så kommer unversum att fortsätta expandera. I fallet då ρ c = 1, kommer unversum att assymptotiskt närma sig ett värde då det inte expanderar alls. Man brukar kalla dessa olika scenarion för ρ E > ρ c slutet (closed eng.) universum ρ E = ρ c platt (flat eng.) universum ρ E ρ c öppet (open eng.) universum där ρ E är energi och materie densiteten. Vi kan illustrera detta i följande uppgift som relativistiskt är inkorrekt, men som innehåller precis den samma fysikaliska innebörden som den riktiga relativistiska beräkningen. Uppgift 3.2 Gör en Newtonsk beräkning av den kritiska densiteten i vårt universum. Tänk dig en stor sfär som innehåller många galaxer med den sammanlagda massan M. Vi tänker oss att vår egna galax har massan m och ligger på ytan av denna sfär. Enligt den kosmologiska principen kommer universum att vara sfäriskt symetriskt, vilket betyder att den gravitationella kraften på vår galax med massan m kommer att vara endast en konsekvens av massan innanför denna sfär. All kraft som kommer från utsidan av sfären summeras till 0, som vi minns från våra kurser i Newtonsk mekanik. Då är alltså den potentiella energin för vår galax U pot = GmM R och den totala energin blir E tot = 1 2 mv2 GmM (3.3) R Härled alltså från detta, värdet på den kritiska densiteten genom att anta att alla galaxer sprider ut sig i universum enligt Hubbles lag v = H 0 R. Svaret blir ρ c = 3H2 0 8πG = kg/m 3, vilket motsvarar ungefär 6 väteatomer per kubikmeter. Det intressanta i denna kråksång är att då man gjort mätningar på energi-massdensiteten i universum, har man kommit till att all synlig materia (sån materia som ger ljus ifrån sig) står endast för ungefär 5% av den observerade gravitationella materian i universum. Resten av materian är sk. mörk materia. Mörk Materia (Dark matter eng.)

88 86 Kosmologi Mörk materia är en komponent av energi som inte avger ljus, men växelverkar gravitationellt, därav namnet materia. Den har observerats på olika skalor, i t.ex. galaxer, stora och små grupper av galaxer och i hela, det för oss observabla, universum. D.v.s. mörk materia ser ut att existera på relativt stora skalor, från galaxer till hela universum, men mera lokala observationer av mörk materia finns inte tillgängliga. Ett sätt att inse att något fattas från massdensiteten i universum är att observera den kosmiska bakgrundsstrålningen och beräkna mängden materia som växelverkar gravitationellt i universum och konstatera att denna mängd ser ut att vara ca 30% av den totala energidensiteten. Problemet som uppstår är att då man uppmäter mängden synlig materia (sån som avger ljus, ex. stjärnor, galaxer, kvasarer, interstellär gas (denna avger ljus i olika energiområden beroende på hur varm den är), et.c.) och summerar ihop den, ser man att den endast står för 5% av den totala massan som växelverkar gravitationellt i universum. Då kan man ju undra vart 25% tagit vägen, den mörka massan. Men för att först kunna säga att det faktiskt handlar om massa och inte t.ex. är en effekt av att den Newtonska gravitationen skulle växelverka annorlunda, över väldigt stora avstånd, måste vi se på experimentell data. Då man studerat spiralgalaxers rotationskurvor (se fig. 3.4), har man konstaterat att den vanliga hypotesen, centrifugalkraften = gravitationella attraktionen: v (km/s) 200 a.) 100 b.) > r (kpc) Figur 3.4: a.) Vi ser en experimentellt uppmätt rotationskurva för en spiralgalax samt en som är utritad för samma galax enligt Keplers lag i b.), beaktande endast den synliga materian. Figuren är enbart kvalitativ. v 2 r = GM GM v = r 2 r, (3.4) inte fungerar på långa avstånd från dessa sprialgalaxers centra. D.v.s. Keplers lag v 1 r

89 Hubbles upptäckt 87 gäller inte. Istället ser man att hastigheten hålls mer eller mindre konstant på avstånd av 5 kpc 2 och faller inte av enligt 1 r -lagen. Om man då antar att sprialgalaxskivans ljusintensitet är proportionell mot skivans ytdensitet av materia som ger ifrån sig ljus, får man en hastighet som är i typiska fall en faktor av 3 lägre än det observerade värdet för de yttersta punkterna av galaxskivan. Detta kan betyda att det graviationella fältet är för svagt med en faktor av ca 10 för att det skall kunna förklara observationerna. Problemet är att då man modifierar Keplers lag eller Newtons antagande att G är konstant, går dessa modifikationer inte att väva in i en konsistent relativistisk teori. Modifikationerna borde vara stora över stora avstånd och detta skulle i sin tur implikera kosmisk deformation, vilket inte är konsistent med mätdata. Därför käns inte idéen om en annan typs gravitation över kosmiska avstånd väldigt realistisk. En annan lösning på problemet kunde vara att sprialgalaxer skulle ha stora magnetiska fält som sträcker sig ut till avstånd på 10 kpc där den interstellära gasdensiteten är låg och gasen kunde lätt börja rotera snabbare p.g.a. det. Problemet här, är att detta inte nämnvärt modifierar stjärnornas hastigheter i dessa områden och dessutom är det oklart om det kan existera så stora magnetiska fält i galaxer. T.ex. i vintergatan är fältet bara av storleksordningen mikrogauss, vilket inte är tillräckligt. Orsaken man talar om materia är den att om vi vill att hastigheterna i spiralgalaxerna skall vara konstanta över stora avstånd kräver detta att massan är proportionell mot r därför att då har vi v = konst., från (3.4). Men har vi en massa som är M r är detta ekvivalent med att vi har en radiell massdensitet som ges av ρ r r 2. Detta är fallet då vi har ett sfäriskt skal av gas 3 som omringar galaxen. Därför talar man om mörk materia. Mörk materia har inte endast observerats via spiralgalaxers rotationskurvor utan också i ex. små grupper av galaxer. I dessa fall har man observerat att i vissa fall där dessa små galaxgrupper är omringade av het gas, är temperaturen för denna gas för hög för att kunna förklaras genom endast existensen av det gravitationella fält som den synliga materian i dessa galaxgrupper skapar. Man har också konstaterat att större grupper av galaxer på vissa håll rör sig så snabbt att de måste innehålla många gånger mera materia än den observerade ljusavgivande materian, för att dessa grupper skall hållas bundna i en grupp och inte separera sig. F.Zwicky noterade detta för Coma galaxklustern Detta är den första observationen av mörk materia. Om vi då accepterar att det finns mörk materia, är det kul att börja spekulera i vad det kunde vara. Det första man kunde tänka sig är att den mörka materian fortsättningsvis skulle vara baryonisk 4 i form av nya oupptäckta partiklar. Detta är inte möjligt p.g.a. att 2 1 pc 3, 262 ly. 3 Kallas för galaxens halo 4 Tre kvarkar för en baryon. Baryoner är ex. protonen och neutronen. Materia som inte består av 3 kvarkar är icke-baryonisk. T.ex. elektronen och elektronneutrionon är exempel på icke-baryonisk materia.

90 88 Kosmologi nukleosyntesen 5 redan fungerar så bra att det inte finns rum att tränga in mera baryonisk materia utan att förstöra Big Bang modellen. Det finns dock andra kandidater av baryonisk materia som kunde vara realistiska. T.ex. Bruna dvärgar, stjärnor som dragits samman av den gravitationella växelverkan, men inte tillräckligt för att energidensiteten skulle hetta upp kärnan för att tända en fusionsprocess i dem. Dessa skulle vara svåra att observera eftersom de inte skulle lysa. Objekt av denna typ kallas för MACHO:n (eng. MAssive Compact Halo Object). Dessa kan observeras genom gravitationslinssfenomenet, via vilket man kan räkna ut objektets massa, men detta är inte trivialt och därför kan man ännu inte säga om denna typs baryonisk mörk materia är vanlig eller inte. Mörk materia kan troligtvis inte heller vara interstellär gas eftersom denna går att observera då den är het, och om den är kall kommer den ändå att reflektera stjärnljus i det infraröda spektret och på detta vis går också denna kalla gas att observera. Dessutom, vore den mörka materian mestadels kall gas, skulle det måsta finnas så mycket av den att vi skulle ha många gånger mera kall gas än varm gas, vilket inte verkar rimligt, med tankte på Big Bang modellen. Svarta hål däremot, kunde vara en lösning. De avger inte ljus 6. De har långa livstider om de är stora och man tror att såna finns i mitten av varenda galax med massor över 100M. Problemet med svarta hål som lösning på denna fråga är det att dessa svarta hål kanske står för en del av den mörka materian, men de kan inte förklara sprialgalaxernas rotationskurvor eftersom dessa kräver radiellt utsprid mörk massa i galaxens halo. En bättre typs kandidat för mörk massa är s.k. Kall Mörk Materia (eng. Cold Dark Matter, CDM). Denna typs mörk massa kan skapas av partiklar som var mycket långsamma då formationen av galaxer började. Om dessa partiklar dessutom är massiva och växelverkar endast genom den svaga och gravitationella växelverkan, kallas de för WIMPs (eng. Weakly Interacting Massive Particle). Såna partiklar är t.ex. mycket tunga neutriner m ν > 45 GeV, vilka inte till dags dato observerats. De kunde också vara vissa supersymmetriska 7 partiklar som t.ex. fotinon (fotonens supersymmetriska partner), Zinon (den svaga växelverkans neturala förmedlarbosons supersymmetriska partner) och Higgsinon (Higgspartiklens supersymmetriska partner). Dessa har heller inte observerats till idag. Det är också möjligt att den kalla mörka materian består av partiklar som är mycket lätta om de har supersvaga växelverkningar. T.ex. axionen 8. Det enda som dessa WIMPs har gemensamt tills nu är att de existerar i teorier och aldrig har observerats. Under de senaste åren har man också hittat en galax av mörk materia. Detta fynd har verifi- 5 Processen som skapar nukleoner i Big Bang modellen. 6 De kanske avger Hawkingstrålning, men även om de gjorde det är denna strålning så minimal att vi inte kan observera den med nutida instrument. 7 Supersymmetri är en tillsvidare oobserverad symmetri som säger att för varje fermion finns det en boson och tvärttom. 8 Detta är en hypotetisk parikel som postulerats för att den starka växelverkan (QCD) inte uppvisar partiets och laddningsparitets (CP) brytning.

91 Hubbles upptäckt 89 erats på två håll och torde därför vara en riktig observation. Detta är bra för den nuvarande teorin om formationen av galaxer, eftersom den förutspår att det skulle finnas galaxer av enbart mörk materia, men den kan också öppna nya frågor. Det har visat sig att då man mätt rotationshastigheten för denna galax, kan man räkna ut att den borde innehålla ca 1/10 av den mörka materian i vintergatan. Men skulle detta vara fallet, borde denna galax genom beräkningar innehålla 100 ggr mer väte än vad som observerats. Detta har fått vissa att tro att denna observation inte är riktig, den kunde t.ex. vara en misstolkning av två vätemoln som möts och skapar en illusion av rotation. Om den är riktig, pekar detta ytterligare på en egenskap av den mörka materian vi inte känner till. Efter denna korta genomgång kan man konstatera att det inte längre är så trivialt att hitta en passlig kandidat för den mörka materian. Några fysiker har t.o.m. hittat på att försöka modellera mörk materia genom en femtte växelverkan, men det behöver knappast nämnas att detta innebär många svårigheter. Bl.a. varför den inte observerats på jorden. Kall mörk materia är en bra idé, men p.g.a. den lilla tillgängliga datan vad gäller observationer av denna, kan man inte säga mycket. Svarta hål är säkert en del av den mörka materian, men som sagt förklarar inte dessa de observerade konstanta hastigheterna i sprialgalaxernas rotationskurvor. Experiment som skall detektera WIMPs har konstruerats runt om jorden, men dessa är för unga för att ännu säga något om mängden WIMPs i vår galax. Det kan ju också hända att den nyss konstruerade LHC ringen kan ge oss något svar till frågan om mörk materia, men det är föga troligt. Mörk Energi (Dark energy eng.) Vi har nu nämnt varför man tror att det finns mörk materia i universum och de problemen denna mörka komponent av materian för med sig, men det finns en annan okänd del i universums energi-materie denistet som upptar ca 70% av den totala observerade energi-materie densiteten och som anses vara en mycket större bov i dramat än den mörka energin. D.v.s. den överlägset största komponenten av energi-materie densiteten är något som vi kallar för mörk energi och den upptar 70% av all observerad energi-densitet. Den mörka energin upptäcktes för första gången 1998 i observatioener av supernovor av typen Ia. Dessa är supernovor som formats genom att vita dvärgar 9 som genom någon mekanism uppnår Chandrasekhar gränsen 10 och exploderar i en supernova. En typ Ia supernova. Dessa är speciella, p.g.a. att då de exploderar vid denna noga definierade gräns ger de ifrån sig en typisk luminositet som funktion av tiden som mer eller mindre alltid är likadan. D.v.s. då avståndet till dessa supernovor till största del beror av luminositeten vi observerar på jorden, 9 Stjärnor som bränt slut på sin fusion och slocknat. Detta betyder inte att de inte skulle lysa, men fusionsprocessen har stannat av. 10 När en stjärna når sin Chandrasekhargräns i massa, klarar elektronerna inte längre av att hålla emot den gravitationella attraktionen i stjärnan och den börjar kollapsa.

92 90 Kosmologi kan vi räkna ut avståndet till dem mycket noggrannt. År 1998 konstaterades det att vissa supernovor av typen Ia är på väg ifrån oss med en accelererande hastighet. En annan observation som också stöder existensen av mörk energi, kommer från WMAP satelliten. WMAP mäter den kosmiska bakgrundsstrålningen och via den kan man konstatera att unversum ser ut att vara mer eller mindre platt. D.v.s. den kritiska densiteten i universum är ρ c 1, vilket i sin tur betyder att då man räknar ihop materian och den mörka materian räcker detta endast till för att motsvara 30% av den observerade energidensiteten i universum. Resten, 70%, kallar vi mörk energi. Teorin om stora strukturers skalor (eng. Large Scale Structures) i universum 11 stöder också observationen att materia endast står för 30% av den observerade energidensiteten i universum. M.a.o. ser det ut som att mörk energi också är en del av vårt universum, men vad kan den bestå av? Denna fråga har inget bra, ens teoretiskt, svar. Det man har konstaterat är att den mörka energin ser ut (WMAP) att vara jämnt fördelad över hela universum och att den inte växelverkar annat än gravitationellt. En tanke var att vakuumenergin från standardmodellen i partikelfysik skulle summeras ihop över hela universum och stå för denna energidensitet. Tyvärr ger detta en energi som är ggr för stor. Detta är relaterat till den synpwunkten att denna energidensitet kanske kommer av kostnaden att ha rum. D.v.s. rummet har någon intrinsisk energi som man summerar ihop över hela rummet och tillsammans bildar detta värde en konstant som kallas för den kosmologiska konstanten, efter termen i Einsteinekvationerna, eftersom den fungerar exakt på samma sätt. Detta kallas för problemet med den kosmologiska konstanten. Ett annat problem med denna konstant är att vi idag observerar att universum är så när som platt ρ c 1. Men eftersom universum för ca 12 miljarder år sedan var mera kompakt med samma energi (energins konservering) måste denna parameter varit mycket större än 1. Det som man undrar över är varför denna kosmologiska konstant, om den alltid varit konstant 12, börjat dominera över energidensiteten just i dessa tider? 13 Om man utgår ifrån att den kosmologiska konstanten beror av tiden på något sätt leds man snabbt in på teorin om skalära fältt eller kvintessens (eng. Quintessence). I denna modell anntar man att det finns en ny typs energi som beskrivs av skalära fält, så som Higgsbosonen, som ändrar med tiden i universum. Man antar att dessa skalära fält endast växelverkar gravitationellt och med sig själva. Eftersom ett skalärt fält är matematiskt ekvivalent med en vätska med en tidsberoende hastighet för ljudet, kan man omforma dessa skalära fält så att de är en vätska med ett negativt tryck och en energidensitet som beter sig som en avtagande kosmologisk konstant. Problemet med dessa modeller, vilka också kallas för kvintessens, 11 Den nutida teorin om formationen av stora skalor, galaxer, kvasarer och grupper av galaxer i universum. 12 Det är egentligen då vi antar att denna konstant beror av tiden, som den kallas för mörk energi. 13 Detta betyder inte att vi undrar över om varför denna dominans uppkommit idag eller igår, men att den uppkommit på kosmologisk skala (på den är 5 miljoner år sedan = igår) nu.

93 Hubbles upptäckt 91 är att deras parametrar också måste noga bestämmas från början, på samma sätt som den kosmologiska konstanten. En annan möjlighet ges av något som kallas följande kvintessens (eng. Tracking Quintessence). Det är egentligen samma sak som kvintessens, men nu har man konstruerat energidensiteteen av kvintessensen så att den är liten då universum är ungt och att den följer materie och mörk materie densiteten och växer förbi denna ungefär nu, på kosmologisk skala. Problemet med denna konstruktion är att den också innehåller en parameter som noga måste bestämmas för att följandet skall gå till så, att modellen beskriver energidensiteten i vårt universum. Eftersom vi inte har någon aning om vad den mörka energin är, har vissa fysiker redan börjat gå över till den antropiska principen: Vi är här nu och observerar universum som det är. Skulle vi inte vara här, skulle universum vara olika och vi skulle inte vara här och kunna se det. 14 Detta är en princip som de flesta fysiker hatar eftersom man med den lätt kan undvika svåra frågor om varför konstanter har de värden de har et.c. Vare sig denna princip är rätt eller fel, ger den en bild av vilket problem mörk energi ser ut att vara för modern fysik. Det är sånt som gör det värt att vara fyisker. Uppgift 3.3 Vi fortsätter att betrakta figuren 3.3. Det kortaste avståndet mellan två punkter på ytan av sfären mätt längs sfärens yta är r = Rθ. Då ballongen expanderar ökar dess radie men vinkeln θ ändras inte. a.) Förklara varför dr /R är konstant för alla punkter på sfärens yta, vid vilken tidpunkt som dt helst. b.) Visa att v = dr är direkt proportionell mot r vid varje ögonblick. c.) Använd svaret dt i uppgift a.) till att hitta ett uttryck för Hubbles konstant H 0 m.h.a. R och dr. d.) Uttrycket dt du fick i uppgift c.) är konstant i rummet. Hur borde R bero av t för att H 0 skall vara konstant i tiden? e.) Är ditt svar till uppgift d.) konsistent med den gravitationella attraktionen av massa i universum? Uppgift 3.4 Anta att utgångsläget för universum är detsamma som i uppgift 3.2, med undantaget att v = dr är konstant givet θ, istället för att H dt 0 skulle vara konstant i tiden. Med dessa antaganden, visa att Hubbles konstant H 0 = 1, så att vi idag har värdet H t 0 = 1, där T är universums T ålder. Vad är denna ålder? 14 Fri tolkning av den antropiska principen.

94 92 Kosmologi 3.3 Den stora smällen En annan direkt tanke ur Hubbles upptäckt är allting kanske startat från en punkt 15. Om man tänker på universum ur denna synvinkel leds man till teorin om den stora smällen. Detta är nuförtiden den mest accepterade teorin för universums uppkomst och utveckling, fast teorin inte tar ställning till hur universum uppkommit på ett filosofiskt eller religiöst plan. Om man tänker sig att universum startat från ett litet område och att naturlagarna har gällt efter det, måste ju detta system kunna modelleras fysikaliskt. Detta går inte att göra till fullo i dagens nu eftersom vi inte har en teori som fungerar på avstånd av storleken mindre än Placks längd l P l m. Man brukar anta att vi vid mindre avstånd än dessa behöver en teori om kvantgravitationen för att kunna säga mera. Detta är givetvis också bara ett antagande. Hur det än må vara med detta så kan vi försöka modellera resten av den stora smällen. Detta leder till den kosmologiska modellen av den stora smällen. Det är egentligen denna som kallas för the big bang. Tidsperspektivet för denna smäll är illustrerat i figur 3.5. Denna modell av den stora smällen som vi börjar med att betrakta innehåller ingen mörk materia. Vi kommer att addera till den mörka materian i ett senare skede. Figuren 3.5 illustrerar universums utveckling. Den första zonen efter den stora smällen fram till s är den tiden då man tänkte sig att gravitationen spelade en så stor roll att vi inte kan modellera detta område utan en fungerande teori för kvantgravitation. Perioden efter (10 43 s s) är också spekulativ. Den grundar sig på en modell där alla de tre växelverkningarna den partikelfysikaliska standardmodellen beskriver beter sig som en växelverkan. Denna modell har inte verifierats experimentellt och därför är detta parti av detta tidsperspektiv ganska spekulativt. Nästa period (10 32 s 10 6 s) kommer vi in på ett sånt område som redan tangerar de experiment vi kan göra med enorma partikelacceleratorer. Dessa kommer upp till energier 1TeV, vilket klart ligger inom detta energiområde för den kosmologiska modellen. Under denna period existerar leptoner e ±, µ ± och τ ± och kvarkar u, d, s, c, b, t separat från varandra. Fotoner skapar partikel-antipartikelpar av leptonerna och kvarkarna och de i sin tur kan annihilera varandra som partikel-antipartikelpar t.ex. 2 fotoner. Denna sorts reaktioner pendlar av och an tills universum kallnar tillräckligt för att kvarkarna skall sluta existera fritt och ge upp sin assymptotiska frihet 16. Då universum expanderar kallnar soppan av kvarkar och förtunnas ut tills kvarkar inte längre uppträder fritt utan sammanslagna i nukleoner. Detta är perioden (10 6 s 225s) då nukleonerna formas. D.v.s. vi har mestadels protoner 15 Egentligen är dagens modell för den stora smällen inte en modell som startar från en punkt. Det är snarare så att rum-tiden ser ut (jag säger ser ut eftersom det inte går att räkna ända från tiden t = 0 med de hittills kända terorierna) att födas i.o.m. den stora smällen, och på så vis kan man inte säga att den stora smällen startade från en punkt. En punkt måste ju befinna sig i rum-tiden, men om rum-tiden inte finns utan skapas i.o.m. den stora smällen, så kan man inte säga en punkt bara sådär. 16 Kvarkar har en egenskap som kallas för assymptotisk frihet, vilken betyder att de uppträder friare ju högre energin är. D.v.s. ju tätare kvarkmassan, desto friare är kvarkarna

95 Den stora smällen 93 Tiden för fria kvarkar och gluoner (ganska spekulativt) s s Tiden då leptoner existerar separat från kvarkar s Tiden för nukleoner och antinukleoner. Tiden för nukleosyntes. Tiden för joner. 225 s s 10 s Tiden för atomer s Tiden för galaxer och stjärnor. NU! Den stora smällen e e p, n, p, n _ > 2 n + p H + γ 2 2 _> 3 H + H H + p H + H He + n _ > H, He H, He, Li, 0 > t GeV GeV 1 GeV 100 MeV 100 kev 1 ev 10 mev K K K K 10 9 K 10 3 K 10 K 2,73 K Figur 3.5: Vi ser hur universum utvecklas i den kosmologiska standardmodellen från existensen av fria kvarkar till stjärnor och galaxer idag. Underst i figuren visas också energioch temperaturutvecklingen. Denna energi- och temperaturskala skall tas med en nypa salt. Den är endast till för vägledning. Orsaken är helt enkelt den att dessa tidsperioder då vissa processer dominerade kommer att överlappa och man kan därför ïnte veta exakt när en period började, vilket syns ur figuren. och neutroner och deras antipartiklar eftersom dessa är tillräckligt stabila (neutroner är ju inte stabila, men tilräckligt stabila för att de inom sin livstid skall hinna krocka med en annan partikel och reagera) för att hinna reagera i partikelreaktioner och bilda andra partiklar, fotoner exempelvis. Vid energierna från t = 10 6 s 10 2 s, är nukleon-antinukleon parproduktion från fotoner ännu möjlig, men inte vid tider efter 10 2 s p.g.a. att energin är för låg. Efter nukleonkreationen är det dags för nukleosyntesen vid tiden 225s 1000s. Under denna tid bildas alltså kärnorna till atomerna (vilka bildas senare) 17. Det bildas inte så mycket annat än de lättaste kärnorna under dessa reaktioner. Dessa är 74% H, 24% He och 1 % andra nukleoner, av vilka litium, deuterium och tritium är de viktigaste. Det intressantaste med denna process är att nästan allt helium vi kan observera idag härstammar från den stora smällen. Det är sant att stjärnor producerar helium, men denna process är inte tillräcklig för att ha ändrat i någon större mån på mängden helium i universum. Då man gjort mätningar på mängden helium i universum i förhållande till all annan materia har man kommit till siffran 17 Tyvärr finns här en olycklighet i figuren. Det är nämligen så att kärnfysiker betecknar kärnor på samma sätt som kemister. Skillnaden är att det i kärnfysikernas fall inte behöver finnas elektroner bundna till kärnan, vilket det gör i kemisternas beteckning. Därför måste man vara på sin vakt då man avläser figuren 3.5. De symboler jag lagt in i figuren för perioden för nukleosyntes avser alltså bara kärnorna. Under denna period finns det alltså ännu inga atomer. Dessa kommer först senare. Orsaken att det blir lite råddigt är att man skiljer på perioden som kallas för nukleosyntes och perioden efter det då universum mestadels består av joner. Skillnaden ligger i att under nukleosyntesen bildas kärnor (joner), men under följande period då jonerna dominerar bildas det inte längre kärnor.

96 94 Kosmologi 24%. Detta, tillsammans med Hubbles obervation av rödförskjutningen, är det starkaste stödet för denna modell av den stora smällen, därför att beräkningar i denna modell ger ett värde på 24% på förhållandet helium/allt annat. Följande period (10 3 s s) består av en gas av joniserat helium och väte (till största del) som fortfarande är för varmt för att bilda atomer. Under denna period händer inget speciellt. Universum expanderar och kallnar av tills det är dags för atomer att bildas. I följande period (10 13 s s) binds de ännu fria elektronerna till kärnorna. Det är först i detta skede som universum blir genomträngligt för ljus. D.v.s. om vi hade ett superteleskop kunde vi endast se såhär långt tillbaka i tiden. Det är precis denna strålning vi ser då vi observerar universums bakgrundsstrålning på 2,73 K. I detta skede börjar man också urskilja lokala inhomogeniteter i massans och energins utbredning i den expanderande soppan (se figur 3.6). Dessa dras sedan ihop med tiden och bildar galaxer och stjärnor i nästa period. Från den kosmiska bakgrundsstrålningen i figur 3.6 kan man också avläsa ljusets polarisation. Detta är mycket intressant i.o.m. att denna polarisation är direkt relaterad till densiteten gravitationella vågor vid tiden för början av den kosmiska inflationen (Se sektion 3.4). Om vi går till tekiska detaljer, så kan man i princip observera E- och B-moder av polariseringen av ljuset. E-moderna föds p.g.a. fotonernas spridning från laddade partiklar i denna plasma, emedan B-moderna vilka inte ännu mätts experimentellt, beror av den kosmiska inflationen, vilken i sin tur är i detta fall starkt beroende av densiteten gravitationella vågor före den kosmiska inflationens början. På detta vis skulle detektion av ljus polariserat i B-moder i den kosmiska bakgrundsstrålningen vara en stark indirekt signal av gravitationella vågor. Figur 3.6: Detta är vad kosmologer idag sysslar med. Detta är en bild på bakgrundsstrålningen i universum. Från denna bild kan man urskilja de lokala inhomogeniteterna i massans och energins spriding runt tiderna för atomernas formation. Rödare färg indikerar varmare än medeltemperaturen (2,73 K) och blåare indikerar kallare än medeltemperaturen. De vita linjerna visar ljusets polarisations riktning för det äldsta ljuset i universum. Den sista perioden (10 15 s NU )s är den vi befinner oss i och då galaxer och stjärnor formats. Den stora smällen med mörk materia Då man också placerar mörk materia i denna modell, som endast växelverkar gravitationellt, kommer man att få lite extra struktur på denna utveckling, men utan att det vi tidigare