STATENS SKOGS FORSKNINGSINSTITUT

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "STATENS SKOGS FORSKNINGSINSTITUT"

Transkript

1 MEDDELANDEN FRÅN STATENS SKOGS FORSKNINGSINSTITUT BAND :rviitteilungen DER FORSTLICHEN FORSCHUNGSANST AL T SCHWEDENS Bd. 36 REPORTS OF THE FOREST RESEARCH INSTITUTE OF SWEDEN Vo. J6 BULLETIN DE L'INSTITUT DE RECHERCHES FORESTIERES DE SUEDE Tome 36 CENTRALTRYCKERJET, ESSELTE, STOCKHOLM 1948

2 REDAKTÖR: PROFESSOR MANFRED N ÄSL UND

3 Band Innehå: 3 6 : I MA TERN, BERTIL: Metoder att uppskatta noggrannheten vid inje- och provytetaxering Methods of estimating the accuracy of ine and sampe pot Sid. r-r I7 surveys r 1 8- I.16 36: 2 PETTERSON, HENRIK: Avverkningsberäkningar för övre och meersta Norrand I Cutting budgets computed for upper and midde Norrand : 3 NAsLUND, MANFRED: Funktioner och tabeer för kubering av stående träd. Ta, gran och björk i södra Sverige samt i hea andet... r-.p, 54- Sr Functions and tabes for computing the cubic voume of standing trees. Pine, spruce and bixch in southern Sweden, and in the who e of Sweden r-53 36: 4 ARDö, PAuL, och LrNDQUIST, BERTIL: Om Laspeyresia grossana Haw. som skadedjur i de nordvästeuropeiska bokskogarna r - 2 s On LasjJeJ;resia grossana Haw., a pest in the beech woods of northwestern Europe o 36: s CARBONNIER, CHARLEs: Produktionsöversikter för ask r Yied tabes for ash..., : 6 Hou.vmAcK, BuRE, och MALMsTRÖM, CARL: Några markförbättringsförsök på nordsvenska tahedar Site-improvement experiments in ichen-pine forests in northern Sweden : 7 TAMM, CARL OLOF: Markförbättringsförsök på mager sand. Undersökningar på Möna försöksfät nära Vaggeryd i Småand I-I o 6 Soi-improving measures tried on a poor site... ro7-1i5 3 6 : 8 Berättese över verksamheten vid statens skogsforskningsinstitut under år I-I o 36: 9 RENNERFELT, ERIK: Några undersökningar över oika rötsvampars förmåga att angripa spint- och kärnved hos ta r-2 I Some investigations over the capacity of sorne decay fungi to attack sapwood and heartwood of Scots pine r--2 2

4 METODER ATT UPPSKATTA NOG== GRANNHETEN VID LINJE== OCH PROVYTETAXERING METHODS OF ESTIMATING THE ACCURACY OF LINE AND SAMPLE " PLOT SURVEYS AV BERTIL MATERN MEDDELANDEN FRÅN STATENS SKOGSFORSKNINGSINSTITUT BAND36 Nr 1 Centratr., ~te, Stockhom "<

5 Berti M a tern Metoder att uppskatta noggrannheten vid inje- och provytetaxering Inedning I ett tidigare häfte av dessa meddeanden framades vissa nya metoder för bedömande av inje- och provytetaxeringars noggrannhet (NÄsLUND I939) Med anedning av de erfarenheter om medefesmetodikens utvec.kingsmöjigheter, som vunnits vid den praktiska tiämpningen av dessa metoder, fick författaren år I945 i uppdrag av professor MANFRED NÄsLUND att företaga en amän utredning av probemet att uppskatta inje- och provytetaxering~s noggrannhet. En inje- eer provytetaxering av ett område är ett exempe på en stickprovsundersökning. Vid varje sådan undersökning stäes man inför uppgiften att avgöra, hur pass noga det som stickprov uttagna deområdet i oika avseenden representerar hea området. Låt oss taga ett konkret exempe. Som ett ed i den nu pågående andra riksskogstaxeringen av Sverige undersöktes år I942 Gäveborgs än. Som stickprov uttagas IO meter breda bäten, vika ågo på ett inbördes.avstånd av 6 2/ 3 km. För detta deområde av änet noterades, att 77-7% av andareaen var skogsmark. Vad säger oss denna siffra om motsvarande procentta för hea änet? För att kunna besvara en fråga av detta sag har man i amänhet inom statistiken sökt bestämma ett medefel Enigt en surrimariskt utförd undersökning skue medefeet ti det nyss anförda procenttaet vara Vet man detta, kan man våga det påståendet, att procenttaet för hea änet avviker från 77 7 med ett beopp, som är högst tre gånger så stort som 0.42, dvs. att mean 76.4 och 79.o %av Gäveborgs äns andarea utgöres av skogsmark. Man anger atså ett interva (76.4 %-7g.o %), inom viket änets skogsmarksprocent påstås igga. Ett sådant interva kaas inom den moderna statistiken för ett konfidensinterva. Påståendet att det värde man söker igger i ett angivet konfidensinterva, har en viss ferisk Om man, som i I. Medde. från Safens Skogsforskningsinstit,.t. Band 36: r.

6 2 BERTIL MATERN 36 : I det anförda exempet, väjer ti konfidensinterva ett område, som utbreder sig en sträcka av tre gånger medefeet å ömse sidor om stickprovsvärdet, är ferisken ca. 0.3 %- Vade man ett endast häften så ångt konfidensinterva, finge man räkna med en ferisk på 13 %- De anförda feriskerna avse det fa, då man förfogar över en reativt säker medefesuppskattning. Gör man ej det, får man räkna med större ferisker för motsvarande påståenden. Frågan om medefesuppskattningens säkerhet kommer att diskuteras i kap. I. Se vidare LANGsAETER (1926, 1927) och NÄsLUND (1930). Ytterigare ett påpekande om medefeets innebörd ska emeertid redan nu göras. För att återgå ti exempet kunna vi konstatera, att procenttaet, 77-7, är i hög grad beroende av de bedömningsprinciper, som tiämpas i fråga om viken mark som ska räknas ti skogsmark och viken som ska hänföras ti andra ägosag. Med andra principer än de som tiämpades vid 1942 års taxering, skue man kunna få ett het annat värde på skogsmarksprocenten. Medefeet ämnar givetvis icke några uppysningar om de avvikeser, som kunna uppstå av denna anedning. Det konfidensinterva, som man med medefeets hjäp kan angiva, avser endast att giva uppysning om det värde, man skue finna vid en totataxering, under förutsättning att samma principer tiäm.pas, som de, vika använts i stickprovsundersökningen, dvs. samma uppsättning av subjektiva bedömningsnormer, samma mätningsförfaranden etc. Om de >>fe», som skue föreigga även när taxeringen är hundraprocentig, ämnar medefeet såunda ingen uppysning. Dessa fe kan man ämpigen beteckna som systematiska fe. Härvid bör man emeertid undantaga de tifäiga mätningsfeen. Att med tanke på de systematiska feen atid uppskatta medefeet med en mycket vid säkerhetsmargina synes ur vissa synpunkter mindre ämpigt. Vi man nämigen ha håpunkter för att kunna bedöma, hur pass omfattande en framtida taxering ska göras, kan man ej taga ti utgångspunkt ett uttryck, som i okänd grad infueras av de systematiska feen, vika äro oberoende av taxeringens omfattning. Om probemet att bedöma en skogstaxerings noggrannhet föreigger en ganska omfångsrik ittera tur. På denna punkt kan hän visas ti översikter hosnäslund (1930, 1939). Föjande i dessa översikter ej upptagna arbeten förtjäna emeertid att nämnas: HASEL (1938, 1942), LANGsAETER (1934), OsBORNE (1942). - De i itteraturen föresagna metoderna kunna indeas i två grupper. Vissa författare ha åtit verkstäa hundraprocentiga eer i varje fa mycket omfattande taxeringar. Genom att dea upp dessa i ett anta stickprov ha de erhåit direkta observationer över stickprovsundersökningarnas fe. De, som samat ett tiräckigt stort och mångsidigt materia, ha kunnat sammanfatta resutaten i erfarenhetsta över medefe vid stickprovsundersökningar av

7 36 : I NOGGRANNHETEN VID TAXERING 3 ika sag. (Se t. ex. ÖsTLIND 1932.) Denna metod har sin givna begränsning däri att man ej utan vidare kan generaisera resutat, som gäa vissa områden och vissa sag av mätningar, ti andra. Liknande undersökningar ha företagits även av författare, som önskat erfarenhetsmässigt bedöma det andra saget av metoder för medefesuppskattning. Dessa metoder innebära, att man direkt ur de vid en stickprovsundersökning insamade observationerna söker uppskatta samma stickprovs medefe. Principen är härvid atid den, att man skaffar sig ett uttryck för variationen mean värden anknutna ti oika deområden av hea det taxerade området (t. ex. oika injer eer injeavsnitt). Band de författare, som sökt sig fram ängs dessa vägar, råder det emeertid ingen enighet om hur ett sådant uttryck ska bidas. Det har visat sig, att man med oika principer kan få väsentigt oika medefesup p skattningar. I denna uppsats ska endast det andra saget av metoder behandas. Ett försök ska göras att genom rent teoretiska överväganden skapa normer för ett avgörande mean de oika föresagna eer ejest tänkbara medefesformerna. Uppsatsens tre första kapite ägnas åt en diskussion av detta probem. Den äsare, som vi undvika de matematiska formueringarna och endast få besked om de praktiska resutaten, bör gå direkt ti kap. IV, som visar, hur en regebunden injetaxerings medefe bestämmes. Kap. V behandar ur samma synpunkt provytetaxeringen. I kap. VI diskuteras provträdsobservationer. Kap. VII, som är i viss mån fristående, avser att giva vissa synpunkter på hur man ska kombinera resutat från enigt oika principer företagna taxeringar av ett och samma område (t. ex. en inje- och en provytetaxering). B. a. kommer där att diskuteras en metod att öka en taxerings noggrannhet genom utnyttjande av karta. När man studerar probemet att uppskatta en skogstaxerings precision, bör man givetvis söka vägedning även i den itteratur, som behandar stickprovsundersökningar inom andra områden än skogsbruket. Vidare bör man beakta den nära anaogin med probemet att bestämma )>feet» vid ett fätförsök och utnyttja den mycket rikhatiga itteraturen i detta ämne. (Se t. ex. översikterna hos BAGHER 1933 och TIREN 1934 samt den något utförigare framstäning, som pubicerats av Jordbruksförsöksanstaten 1940.) De metoder, som tiämpats för uppskattning av medefeet vid en skogstaxering, synas emeertid från början ha utarbetats oberoende av den samtidigt utformade teorin för fätförsök. En anknytning ti denna teori finner man först hos HASEL (1938) och NÄsLUND (1939). HASEL behandar främst den sumpmässiga taxeringen, medan NÄsLUND diskuterar den systematiskt utagda taxeringen.

8 4 BERTIL MATERN Ett studium av den nu angivna itteraturen ger vid handen, att de metoder, som använts för bedömandet av >>feet>> vid en stickprovsundersökning eer ett fätförsök, ha varit starkt beroende av de principer, enigt vika stickprovet tagits eer fätförsöket agts ut. I amänhet rekommenderas i den statistiska itteraturen ett sumpmässigt urva av de eement, som skoa ingå i ett stickprov, och ikaså ett sumpmässigt utäggande av ett fätförsök. Den främsta motiveringen är just den, att det härvid är ganska ätt att direkt ur observationerna skapa ett uttryck för feet. Medan det sumpmässiga urvaet kan göras på en mångfad oika sätt, kan man nämigen atid använda en och samma statistiska teknik~ variansanaysen ~ för feuppskattningen. Med variansanaysens hjäp kan man därför också träffa avgöranden mean oika tänkbara sumpmässiga anordningar av sina undersökningar. Ett beysande exempe på hur man härvid går tiväga ämnas i den tidigare omnämnda uppsatsen av HASEL (1938). Ju mindre sperum, man ämnar åt sumpen, dess mer närmar man sig det bundna urvaet, det systematiskt anordnade fätförsöket eer det systematiska stickprovet. Ett systematiskt stickprov föreigger t. ex. vid en skogstaxering, när injer och provytor äggas ut med jämna avstånd. Man kan säga, att sumpens ro då inskränkes därhän, att man tar ett stickprov bestående av ett enda sumpmässigt vat eement, nämigen hea systemet av injer resp. ytor (LANGSAETER 1932, s. 456). ~ De stickprov, som komma att behandas i denna uppsats, äro aa av det systematiska saget. Fördeen med det systematiska arrangemanget är, att man i amänhet kan räkna med att få mer precisa resutat än vid en sumpmässig anordning. Å andra sidan har det, som nyss påpekades, visat sig svårt att ur observationerna skaffa ett numeriskt uttryck för den ökade precisionen. Fera författare vija av denna anedning het utdöma den systematiska anordningen. Så gör exempevis den kände engeske statistikern R. A. FrsHER. (Se FisHER 1942, s. 62~63, 74~78.) Band dem som intagit en mindre skeptisk håning böra framför at W. S. GassET (mera känd under pseudonymen >>STUDENT>>) och J. NEYMAN nämnas. (Se t. ex. GassET 1936, s. 136, och NEYMAN 1935, s. II3.) Varje noggrannhetsuppskattning är grundad på en mer eer mindre medvetet utformad sannoikhetsteoretisk (>>stochastisk») mode, dvs. en beskrivning i matematiska termer av denro, s u m pen spear vid undersökningen. För att man ska få en riktig uppskattning av precisionen, måste modeen, åtminstone i stora drag, överensstämma med verkigheten. I teorin för stickprov och fätförsök kan en sådan mode avse att beskriva,des den ro, sumpen spear vid utpaceringen av de oika försökseden eer stickprovsenheterna, des sumpens betydese för växingar i jordmån, kimat och iknande yttre betingeser. (Jfr BAsEL För en amän diskussion av jnnebörden av en stochastisk mode hänvisas ti CRAMER 1945, s. 145~147.)

9 36: I NOGGRANNHETEN VID TAXERING Som sammanfattande benämning på dessa senare faktorers inverkan ska här användas termen den topografiska variationen. Denna term bör fattas. i en mycket vidsträckt betydese. Den är avsedd att innefatta även den variation, som beror på sådana åtgärder som avverkning, skogsoding osv. Det förtjänar att framhåas, att de nyss omnämnda normerna för den statistiska bedömningen av sumpmässigt ordnade fätförsök, vika utformats främst av R. A. FisHER, bygga på sannoikhetsantaganden, som innefatta en stochastisk mode även av den topografiska variationen. Det sätt, varpå denna mode beskriver de faktiska förhåandena, är emeertid föga tifredsstäande. Här ska bott hänvisas ti en uppmärksammad undersökning av TEDIN (1931) samt ti den teoretiska diskussionen hos NEYMAN (1935) och McCARTHY (1939). Sannoikhetsantagandena om sjäva utäggandet av försöket måste emeertid anses giva en adekvat beskrivning av föroppet. Om man avstår från att göra några sannoikhetsantaganden om den topografiska variationen och endast håer sig ti den stochastiska modeen av försöks..odens utpacering, är man ej utan vidare berättigad att tiämpa det gängse förfaringssättet för en statistisk anays. Emeertid ha förutsättningarna om den topografiska variationen visat sig vara av en reativt underordnad betydese vid sumpmässiga arrangemang, varför modifikationerna i den statistiska behandingen biva ganska obetydiga. (Se de av EDEN & YATES 1933, WELCH 1937 och PITMAN 1937 beskrivna s. k. bindförsöken.) Den praktiska konkusionen bir närmast den, att då man ej kan ita på den stochastiska modeen av den topografiska variationen, det bir oundgängigen nödvändigt, att försöksanordningarna äro sådana, att de exakt svara mot sin stochastiska mode. Detta har särskit framhåits av R. A. FisHER, som prägat termen )>randomisation» för ett sådant strängt genomfört sumpmässigt arrangemang. Vad som nu sagts om fätförsöket, kan ord för ord tiämpas även på de sumpmässiga stickproven. Även här framstår en ))randomisation» som en säkerhetsventi, som garanterar att de gängse metoderna- variansanaysen - för febedömning få användas. När man ska uppskatta feet vid ett systematiskt vat stickprov eer ett systematiskt utagt fätförsök, står ej ängre. denna säkerhetsventi ti buds. Man har endast att ita ti sina antaganden om den topografiska variationen. De brister, som kunna vidåda dessa antaganden, komma i detta fa att få avariga konsekvenser. I medvetande härom har författaren ti denna uppsats sett som sin främsta uppgift att söka finna en mera noggrann matematisk mode för den topografiska variationen än den, som igger bakom variansanaysens tiämpning på sumpmässigt ordnade fätförsök och stickprov. I itteraturen om systematiska stickprov ha vissa modeer av detta mera detajerade sag framagts. Den av LANGsAETER (1932) angivna synes vara den

10 6 BERTIL MATERN första. Senare ha b. a. OsBORNE (r942), MADOW (r944) och CocHRAN (rg46) beskrivit iknande modeer. Dessa fyra författare kunna aa sägas behanda speciafa av de sta tionära stochastiska processerna. I stäet för de stochastiska processernas tidsparameter träder emeertid hos dem en en-dimensione rumsvariabel Medan LANGSAETERS, MADOWS och COCHRANS modeer närmast knyta an ti de diskreta stochastiska processerna kan OsBORNEs mode betraktas som en k o n ti n u e r i g stochastisk process. För vårt syfte är emeertid en sådan mode ej het tifyest. För att få tiräckigt noggranna antaganden synas vi biva tvungna att bygga ut de stochastiska processerna genom att ersätta tidsparametern med en tvådimensione rumsvariabel Vidare böra vi taga den kon t in ueriga och ej deii diskreta processen ti utgångspunkt. En på så vis konstruerad mode igger ti grund för denna undersökning och beskrives närmare i kap. II. I denna riktning generaiserade stochastiska processer ha behandats av KoLMOGOROFF (r933, s. 24 o. föj.), WIENER (rg38) och U:vY (r945). Dessa arbeten äro av ganska abstrakt natur, varför föreiggande framstäning har få anknytningspunkter ti dem. Av större intresse i detta sammanhang torde vara de av GHOSH (r943 a, I943 b) och BoJARSKI (rg4r) pubicerade artikarna. Dessa tre uppsatser ha emeertid ej varit tigängiga i Sverige. De äro omnämnda i M athematica Reviews, Vo. 3, s. IJ3, och Vo. 5, s. 40. KAP. I. KVADRATISKA FORMER LÄMPADE FÖR UPPSKATTNING AV MEDELFELET VID EN LINJET A XERING. Samtiga de former av skogstaxering, som skoabehandas i denna uppsats, äro knutna ti den regebundna injetaxeringen. Def synes därför vara ämpigt att i den principiea diskussionen taga sikte på just denna taxeringsform. I detta första kapite ska en amän och inedande översikt ämnas av för injetaxering föresagna medefesformer. Framstäningen är närmast att betrakta som ett underag för kap. II. Den avser nämigen b. a. att demonstrera, att ~ såsom redan framhåits i inedningen ~ de gängse teorierna för sumpmässigt anordnade fätförsök eer stickprovsundersökningar äro otiräckiga som grundva för en diskussion av noggrannheten vid ett systematiskt stickprov, sådant som den regebundna injetaxeringen. Härigenom kommer den ganska kompicerade stochastiska modeen i kap. II att få sin motivering.

11 NOGGRANNHETEN VID TAXERING 7 En enke indening av metoderna för medefesberäkning får man genom att skija på former, vika endast utnyttja observationer från hea taxeringsinj er, och sådana, som bygga på observationer från dear av injer, från in j estycken. Då de förra äro ur viss synpunkt teoretiskt mera ätthanteriga, skoa vi först taga upp dem ti behanding. För att undvika för sammanhanget oväsentiga kompikationer skoa vi vidare.förutsätta, att det område, som ska undersökas, är rektanguärt och att taxeringsinjerna öpa paraet med en av rektangesidorna, så som i fig. I. Antaganden och beteckningar. Hea undersökningsområdet, rektangen ABCD i fig. I, beteckna vi med Q. Området indeas i n kongruenta deområden, Qv Q 2,, Q.,. På figuren är n = 6; Q 1 är rektangen ABB 1 A 1 osv. I mitten av dessa deområden öpa paraet med sidan AB de n taxeringsin j e rna, qv q 2,, q.,. Med q beteckna vi ytan q 1 + q q;., dvs. hea den taxerade areaen. A B CJ1-7r , jq, A,~ ~B, ~-. ~ r L. r------, L! qn- D ~ _j taxerin~sinje Stv>ve_y Line Fig. I. Linjetaxering av ett rektanguärt område. strip survey of a rectanguar area. För var och en av injerna qv q 2,, qn noteras vid taxeringen värdet av någon viss mätbar storhet. Dessa observationer beteckna vi med f(q 1),, f(qn) Vi skoa i det föjande atid förutsätta, att värdena äro omräknade, så att de hänföra sig ti en bestämd ytenhet. Det ska härvid atid vara fråga om den totaa ytan, såunda ej andareaen, skogsmarksareaen e. d. Vidare ska samma beteckningssätt även användas för mer amänna C J On

12 8 BERTIL MAT:ERN 36 : I sag av områden än injer och rektangar. Värdet f (q;) kan exempevis vara andareaen per hektar av q; eer kubikmassan per hektar osv. Ti föjd av dessa förutsättningar och antagandet, att aa q; äro kongruenta, kan det observerade värde, som hänför sig ti hea den taxerade ytan q, skrivas som medetaet 1 (q)=~ L f(q;). De motsvarande - ehuru okända - värdena för rektangarna Q; skriva vi som f(q;), medan vi med /(Q) beteckna värdet förhea undersökningsområdet. Vi finna då omedebart: /(Q) =~L /(Q;). Vi tänka oss nu, att taxeringen är avsedd att ämna uppysning om f (Q). För f (Q) erhåa vi emeertid bott närmevärdet f (q). >>Feet» beteckna vi med x: x = f (q) - t (Q). Vi definiera på motsvarande sätt de ti de enskida derektangarna anknutna feen: X; =f (q;)- f (Q;). Våra tidigare reationer giva oss då sambandet: X=~L X;. Ett resonemang om hur stort feet, x, kan vara, måste såsom framhös i inedningen, bygga på sannoikhetsantaganden. När vi formuera dessa antaganden, skoa vi använda föjande termer och beteckningar. En stochastisk variabe är en storhet, ti viken är knuten en sannoikhetsfördening. Vi kunna såunda angiva sannoikheter för att variaben antar värden i vissa interva osv. Vi behöva emeertid i amänhet ej göra förutsättningar om den fuständiga sannoikhetsfördeningen för de stochastiska variaber, som vi betrakta. Vi kunna för det mesta nöja oss med antaganden om variabernas ma tema t i ska förvän t an och dispersion. För en godtyckig stochastisk variabe, y, beteckna vi matematisk förväntan med E (y) och dispersion med D (y). Vi förutsätta nu, att x 1, x 2,, Xn äro stochastiska variaber. Vi antaga, att var och en av dem har matematisk förväntan no och dispersionen a samt att de äro okorreerade (jfr LINDEBERG 1923, s. rr): E(x;) D 2(x;) =o,... (r) =E (x;2) = a 2,... (z) E(x;xi) =o, om i=!= j... (3)

13 36: I NOGGRANNHETEN VID TAXERING 9 Det första antagandet är en föjd av att vi bortse från eventuet förekommande systematiska fe (jfr s. 2). I fråga om forme (2) kan påpekas, att om vi ersätta a med ett av i beroende a;, kunna vi nå något mer amängitiga resutat. För de i detta kapite förda resonemangen skue emeertid en sådan förändring bott betyda en onödig kompikation av formerna. Det tredje vikoret, sutigen, är av fundamenta betydese för aa föresagna medefesformer. Vi skoa ej nu diskutera det utan bott konstatera, att det vid en ytig betraktese måste förefaa pausibet. Med hjäp av de metoder, vika. framstäas i de föjande kapiten, kunna vi få en bekräftese på att det ej kan eda ti några fariga konsekvenser. På grund av dessa förutsättningar bir det sutiga feet, x, en stochastisk variabe med föjande karakteristika: E(x) =o,... (4). a2 D 2 (x) =-... (5} n Vi ha atså som uttryck för medefeet ti x kvoten afvn. Probemet att uppskatta detta medefe bir såedes ekvivaent med probemet att bestämma a2 I de närmast föjande avsnitten skoa vi därför diskutera oika möjigheter att skapa närmevärden för a 2 Exempe på former för medefesuppskattning, grundade på observationer från hea injer. Enigt den begränsning av formevaet, som vi infört, stäa vi oss nu uppgiften att med utnyttjande av värdena f (q 1),, f (qn) uppskatta a 2 Då det kan vara ämpigt att anknyta diskussionen ti en bestämd forme,_ betrakta vi först uttrycket s2 =_I_"'"" [f (q;)- f (q)] (6) n-il Att detta uttryck, den empiriska variansen band värdena f (q;), i amänhet måste eda ti en överskattning av a2, kunna vi ätt övertyga oss om. Fördensku skriva vi först om formen, med användande av sambandet f (q;) = =f (Q;) + x;, på föjande sätt: s2 =-I-"'"' (x;-x) 2 +_I_, [f(q;)-f(q)]2 + n-i~ n-i~ +- 2 L. [x;-x] [f(q;)-f (Q)],... (6a} n-i samt bida därefter E (s 2).

14 10 BERTIL MATERN 36 : I Ti föjd av våra antaganden har den sista summan i forme (6 a) matematisk förväntan o. Den första summan har ti matematisk förväntan a 2, medan den andra är att betrakta som en konstant: E (s2) = a """ [f (Qi)-t (Q)] 2... (7) n-r L_, I E (s 2) tikommer såedes utöver a 2 en positiv storhet, nämigen variansen band de okända värdena för deområdena Qi. Det är närvaron i (7) av cenna komponent, viken vi kunna kaa den systematiska komponenten, som är anedningen ti den nyssnämnda tendensen ti överskattning. Den torde i amänhet vara så stor, att s2 framstår som ett oanvändbart närmevärde för a2 Termen >>systematisk>> får fattas som >>systematisk i förhåande ti den verkstäda taxeringen>>. En amän uppdening av vad som i inedningen kaades den topografiska variationen i en systej]atisk och en tifäig de synes ej svara mot de faktiska förhåandena. Närmare härom i kap. II. De författare, som behandat hithörande spörsmå, ha föresagit ett ferta modifikationer av forme (6). Som exempe på föresagna former, vika även tiämpats i praktiken, kunna föjande två anföras: n-i?t-2 S22 = 6 (n~ z) ~[f (q;h)- 2 t (qi+,) + t (qi)] (9) i= I I dessa former, vika äro grundade på differenser av första resp. andra ordningen mean värden från näriggande injer, är den systematiska komponenten mindre än i (6). -Ett annat i praktiken tiämpat förfaringssätt bygger på en grafisk utjämning: storheten t(q) i forme (6) ersättesmed värden t (qi), erhåna från en på fri hand dragen utjämningskurva. Man avser att härigenom nå samma effekt som den, man skue fått, om man kunnat ersätta formens t (q) med värdena t (Q;). I detta fa skue reationen E (s 2) = a 2 ju ha gät exakt. En för teoretisk behanding mera tigängig metod är en anaytisk u t jämning, dvs. en utjämning, varvid t (qi) bestämmes ur något anaytiskt uttryck, t. ex. ett poynom av visst gradta. En metod av detta sag har använts av NEYMAN för uppskattning av feet vid ett systematiskt utagt fätförsök (NEYMAN 1929 och I938 a, s ). Innan vi diskutera de nu berörda formerna, ska en redogörese ämnas för en amän metod att granska de statistiska egenskaperna hos uttryck av ifrågavarande sag.

15 ---~ 36 : I NOGGRANNHETEN VID TAXERING I Kvadratiska formers matematiska förväntan och dispersion. De i itteraturen föresagna formerna äro i rege speciafa av det amänna uttrycket: n n T= L. L. Cij t (qi) t (qj), cii=i:ii... (ro) i= I }=I T är en s. k. kvadratisk form i t (q 1 ),..., f (qn) Band metoder, som ej innefattas i (ro), är det endast den på grafisk utjämning baserade, som synes ha speat någon praktisk ro. Ti föjd av det ofrånkomiga subjektiva momentet undandrar den sig emeertid teoretisk behanding. Beträffande kvadratiska former samt den i det föjande tiämpade matriskakyen hänvisas ti BOHR & MOLLERUP (1938) samt AITKEN (1944). De kvadratiska former, man möter i itteraturen, och de, som överhuvud synas möjiga att använda, äro aa av en särskid typ. De äro nämigen positiva kvadratiska former och ha dessutom den egenskapen, att koefficientsumman försvinner, dvs. att n n L. L. cii =o... (rr) i= I i =I Härav föjer, att formerna äro >>semidefinit positiva>>. Det kan understundom vara bekvämt att skriva upp koefficienterna i form av en ma tris. Vi beteckna amänt den ti (ro) hörande matrisen med C: f C n c12 Ctn c21 c22 C2n C= J i ---- Cnt Cn2 Cnn J Som exempe kan tjäna matrisen ti den kvadratiska formen (6): f I I I n n(n-r) n(n-r) I I I { n(n-r) n n(n-r) } I I I n(n-r) n(n-r) n J

16 2 BERTIL MATERN I denna matris äro såunda eementen i >>huvuddiagonaen» = ~. medan n I aa övriga eement äro = -~( ~-). n n-i Det kan förtjäna att framhåas, att på grund av vikoret (n) även varje rad- och koumnsumma i C måste vara = o. Detta finner man genom att i T = L L c; i y; Y i sätta aa y:na utom y; ika med en konstant och därefter söka vikoret för att T ska vara positiv. Vi ha atså ikheterna: L c;i = o, L c;i = o {Iz) i i Man ser omedebart, att koefficienterna i matrisen ti (6) satisfiera (n) och {Iz). En första jämförese mean oika former T kunna vi göra, om vi känna deras matematiska förväntan. Av antagandena {I)-(3) finna vi:.... " E (T) = a L 2 c;;+ L L c; i f (Q;) f (Qi)..... (I3) i=i i=i }=I Liksom i (7) få vi atså även här en systematisk komponent. De nyss antydda modifikationerna av (6) avse att skaffa bort eier åtminstone reducera denna komponent. Man har härvid vat C på ett sådant sätt, att endast variationen mean f (Q;)-värden för nära inti varandra iggande deområden Q; kommer att ingå i L L c;i f (Q;) f (Q i).'" För att den första komponent en a2 L c;; härvid ej ska undergå någon minskning, räcker det, att man ser ti att n LCii=I i= I Den här uppträdande summanaveementen i huvuddiagonaen brukar kaas spåret av C oc:h betecknas Sp C. Man ser ätt, att (6), (8) och (g) satisfiera reationen (I4). I itteraturen i ämnet finner man en utförig diskussion av frågan om det verkigen går att reducera den systematiska komponenten i tiräckigt hög grad. Då våra hittis gjorda förutsättningar ej giva någon vägedning för besvarandet av denna fråga, skoa vi tis vidare ämna den. I ett föjande kapite ska den emeertid åter tagas upp. Även om vi anse, att den systematiska komponenten ti T är tiräckigt iten för att kunna negigeras, böra vi granska T:s ämpighet som närmevärde för a 2 också ur andra synpunkter. Vi uppstäa därför nu den hypotesen, att vi förfoga över en viss kass av former T, i vika den systematiska komponenten kan försummas, så att T= L L Cii X; Xj (I5)

17 NOGGRANNHETEN VID TAXERING 13 Vi förutsätta vidare, att för aa T i denna kass reationen (I4) är uppfyd, så att E (T) = a 2 För att kunna beteckna T som en god uppskattning av a 2, böra vi övertyga oss om att dess dispersion är iten jämförd med a 2, dvs. att dess >>reativa medefe» är itet. Vid häredandet av ett uttryck för dispersionen kunna vi - utan att något av principiet intresse går förorat- göra det ytterigare antagandet, att de stochastiska variaberna Xi föja GAuss' feag, äro normafördeade. Under denna förutsättning erhåa vi T:s dispersion, D (T), ur formen: D 2 (T) = 2 a 4 :L :L c2ii = 2 a 4 Sp O (r6) i i Det reativa medefeet bir såunda: D (T) _,1 "".. z ( ) E (T) - y2 '- '- c, I7 För att beysa, hur vi nu kunna jämföra oika former T, använda vi det erhåna resutat et på ( 6), ( 8) och ( 9) - varvid vi bortse från att dessa kvadratiska former måhända ej tihöra den kass av former, för vika (r5) gäer. En uträkning ger vid handen, att de reativa medefeen äro: Yr 2 för forme (6),... (r8a) n-- r V3n-4 )) )) (8),... (r8b) (n- r) 2 V35n-88.::...::----~)) )) (9) (r8c) g(n- 2) 2 Vi kunna utnyttja formerna (r8) exempevis för att besvara frågan: hur stort bör n väjas, för att det reativa medefeet ska vara högst 30 %? Svaret bir, att när vi använda forme (6), bör n vara > 23, medan formerna (8) och (9) kräva n-värden > 33 resp. 44 För motsvarande på tredje differenser byggda uttryck finna vi, att vi böra kräva n >53 osv. Av de anförda siffrorna framgår, att oika kvadratiska former kunna stäa sig ganska oika i fråga om den säkerhet, varmed a 2 uppskattas. Det är av betydese, att man beaktar detta, då man oftast har ett ganska begränsat anta observationer- n i formerna (r8) -ti sitt förfogande, när man, såsom vi förutsatt, använder endast värden från hea taxeringsinjer. Viken forme giver då den säkraste uppskattningen av a 2? Denna fråga kan ätt besvaras så ti vida, att man kan påstå, att av aa kvadratiska former, för vika (n) och (r4) gäa, har formen (6) det ägsta enigt (r6) bestämda

18 14 BERTIL MATERN 36 : I medefeet. För att bevisa detta har man bott att företaga en minimering av (16) under vikoren (n) och (14). Då man emeertid nästan atid måste räkna med ett starkt infytande från den systematiska komponenten i (6), framstår dess under en motsatt hypotes häredda reativt stora precision som en ganska iusorisk förde. Om man granskar de former, som kunna tänkas innehåa en mindre kraftig systematisk komponent än (6) -former byggda på anaytisk utjämning, utjämning med gidande medeta, differensbidning, sammansagning ti injegrupper osv.- ska man också finna, att de enigt (16) eer (17) bestämda medefeen hava högre värden än medefeet för (6). Ett närmare studium bekräftar, att - som man av de uträknade värdena för differensformerna kan förmoda- ju kraftigare utjämningen göres, dess mera tenderar uppskattningens noggrannhet att minska. A v pubicerade undersökningar (Riksskogstaxeringsnämnden 1932, S. 149 ko. 7-9, S. 150 ko. 8-10, S. 152 ko. 5-7, LANGsAETER 1932, s. 474 o. föj., NÄsLUND 1930, s. 333 o. föj.) finner man, att man måste företaga en ganska stark utjämning, om man ska hava utsikter att eiminera den systematiska komponenten. De på observationer från hea injer byggda formerna framstå därför som ganska osäkra. Om man dessutom betänker, att den varierande injeängd, som man måste räkna med vid en verkig taxering, tenderar att ytterigare höja osäkerheten, bir intrycket av denna oägenhet ännu mer markant. - Som en iustration ti den osäkerhet, som kan vidåda en kraftigt utjämnande forme, kan nämnas, att en vid den första svenska riksskogstaxeringen tiämpad forme, grundad på sammansagning av injer i förening med differensbidning, har ett enigt (17) bestämt reativt medefe av 61 %- (Riksskogstaxeringsnämnden 1932, s. 142, forme 3 med n = 8. Det amänna uttrycket för det reativa medefeet är för denna forme V3fn.) En anmärkning om sammansagning av injer ti injegrupper. I detta sammanhang ska ett påpekande göras rörande de metoder, vika grunda sig på en sammansagning av injer ti injegrupper. För enkehets sku antaga vi, att undersökningsområdet Q är indeat i m kongruenta deområden på ett sådant sätt, att genom varje deområde öpa n taxeringsinjer. Vi ha atså ett anta av inaes mn taxeringsinjer. De n taxeringsinjerna i det i:e deområdet beteckna vi: Fig. 2 iustrerar injernas äge. (På figuren är n = 4.) Det har nu föresagits, (första gången vid försökstaxeringen av Värmands än, Kommissionen för

19 36 : I NOGGRANNHETEN VID TAXERING 15 försökstaxering etc. 1914, s. 74 o. föj.) att man vid medefesberäkningar ska så samman injerna ti grupper, så att ti varje grupp föres en inje från vart och ett av de m områdena enigt nedanstående uppstäning, där vi betecknat dessa injegrupper med q 1 ', q 2 ',,,qn': q' = q + q21 + q2' = q12 + q22 + qn' = q1n + q2n + + qmn När metoden tiämpats i praktiken, har man med utnyttjande av endast, värdena f(q 1 '),..., f(qn') uppskattat dispersionen enigt~ sådana former som (6) eer (9)., q, F=========== q 12 ~=================~913 ====================991n ;::::========= Cj21. F===========q22 L-_... _ J ~--~-----~1 F====================; q m 1!===========! Cjm2 '============9m3 L J qmn taxer>inqsinje survo/ Iine Fig. 2. Använder man t. ex. forme (6), får man ett reativt medefe uppgående ~~~ ti v~z~. n-r En ika god reduktion av den systematiska komponenten skue man emeertid erhåa, om man för varje deområde bestämde variansen mean de n injerna i området och därefter tog medetaet av de för de m oika områdena uträknade varianserna, dvs. bidade m n 52= m (n~ r) 2:. L [f (qii)- f(~ qii)j2... (I9) i=i j=i

20 16 BERTIL MATERN Enigt (I7) har 5 2 ett reativt medefe uppgående ti /_(~). Så snart V m n-i m är > I skue såunda säkerheten biva avsevärt större än i förra faet. Sammansagningen ti injegrupper kan motiveras med att den föränar en enke och ättförkarad innebörd åt medefesuppskattningarna, varjämte dessa icke kräva ett ika omfattande räknearbete som när former av typen {I9) tiämpas. I gengäd måste medefesuppskattningen betecknas som synnerigen osäker, särskit när den bygger på värden från endast 8-ro injegrupper. Detta har påpekats av NÄsLUND (I939, s. 305). Ytterigare egenskaper hos kvadratiska former. Vi ha hittis syssat med två karakteristika för de kvadratiska formerna T, nämigen E (T) och D (T). För tiämpningar i senare kapite skoa vi emeertid betrakta vissa andra egenskaper hos formerna T. Då dessa egenskaper framträda under de sannoikhetsantaganden, vi kunna göra, när vi syssa med värden från hea injer, skoa vi behanda dem, innan vi gå över ti former byggda på injestycken.. Vi betrakta då åter den kass av former T, vika kunna skrivas som (I5), och vi antaga fortfarande, att de stochastiska variaberna x; tifredsstäa -vikoren (I)-(3) samt äro normafördeade. Vi kunna då fuständigt beskriva sannoikhetsfördeningen för T (CocHRAN I934, s. I79) Härti fordras en bestämning av de s. k. egenvärdena hos matrisen C, matrisens >>spektrum>>. Äro dessa aa ika - i den mån de ej försvinna - har T en fördening av x2-typ, varför man kan bedöma erhåna T-värden med hjäp av tabeer över denna fördening. Ett kriterium för att egenvärdena äro ika är, att C satisfierar matrisekvationen där k är en konstant (CRAIG I943). C2 =k C,... (zo) Om x2-fördeningen, se t. ex. CRAMER (1945, s. 233 o. föj.). Av de tidigare omnämnda formerna uppfya endast (6) och (19) vikoret (2o). Om man företager en ätt modifikation av de på differenser byggda formerna av typen (8) och (9), kunna egenvärdena bestämmas med hjäp av teorin för >>cirkuanta matrisen> (se t. ex. AITKEN 1944, s. 123). På detta vis får ma,n en ungefärig bid även av fördeningarna för (8) och (9) i deras ursprungiga skick. Samma kriterium spear en ro även vid regressionsanaysen. Vi komma ängre fram att behanda probem, som förutsätta en minimering av uttryck av typen

21 NOGGRANNHETEN VTD TAXERING 17 Vi antaga nu, att variaberna Xi = Zi- a-- f3yi ha de tidigare nämnda egenskaperna. Det minimerade värdet bir:. (L:L:cijXiYi) 2 Tmin =L: L: CijXiXj-- """"... (22) '-' '-'C; iyiyi Vi ha förutsatt, att (n) och atså även (IZ) gäa. Då T är positiv, är även T min en positiv kvadratisk form i x 1,..., x,; dess matematiska förväntan erhåes ur formen:. _ 2"".. _ 2. L:L:diiYiYi E (T mm) - (J '-' C 1 1 (J. (23) L: L: C i iyiyi Här ha vi med d; i betecknat eementen i matrisen C 2. För att av T min skapa en uppskattning av a 2, böra vi såunda dividera med Detta uttryck har erhåits på så vis, att vi i den i (24) uppträdande avdragstermen ersatt täjare och nämnare med sina matematiska förväntningar. Vi ha härvid måst förutsätta, att y 1, y 2,..., y, är en svit av oberoende stochastiska variaber. Denna förutsättning är emeertid onödig, om d;i =k Cij, dvs. när (20) är uppfyd. I detta fa är nämigen (23) het oberoende av värdena y 1, y 2,., y,. Det visar sig vidare, att ej bott E (T min) utan även hea sannoikhetsfördeningen för T min då är oberoende av storheterna y,:. Av räkneregerna för matriserföjer nämigen, att om C satisfierar (20), måste även den ti (22) hörande matrisen satisfiera (20) med samma värde på konstanten k. Fördeningen för T min bir såunda av x2-typ med en frihetsgrad mindre än fördeningen för E E C; i X; Xj. De x2-fördeade formerna stäa sig därför synnerigen bekväma vid regressionsanays. Sutigen skoa vi betrakta den simutana fördeningen ti två kvadratiska former: Vi bibehåa våra antaganden om de stochastiska variaberna Xi och finna: E {[T 1 -E (T 1 )] [T 2 --E (T 2 )]} = 2 a 1 L: L: c;igii = 2 a 4 Sp C G.. (26) Vikoret för att T 1 och T 2 skoa vara okorreerade, är såunda, att Sp C G försvinner. Samma vikor är även tiräckigt för att T 1 och T 2 skoa vara oberoende. Detta kan visas på samma sätt, som CRAIG härett motsvarande vikor för två godtyckiga - ej nödvändigtvis positiva - kvadratiska former (CRAIG 1943, se även HOTELLING 1944). 2. kfnde. /rdn Safens S'kogsfnrsknh~gsinstitut. Band 3G: r.

22 18 BERTIL ~MATERN Medefesformer grundade på observationer från injestycken. Vid diskussionen av de former, vika äro grundade på observationer från dear a v taxeringsin j er, in j e s t y c k e n, skoa vi an vända samma beteckningar som i det föregående. Vi förutsätta härvid, att undersökningsområdet fortfarande är rektanguärt. Indeningen i kongruenta deområden, Q 1, Q 2,.., Q,, sker emeertid nu på så sätt, som fig. 3 visar. Med qv q 2,., q, beteckna vi de injestycken, vika öpa genom vart och ett av dessa områden. r---r----r---r----, IQ, IQ 2 IQ 3 IQ4 ---~--~--~--~ 1-Q~ - +Q~ ~ , L.L...1.Ck-1!Ck j taxeringsinje s ur v o/ v-te Fig. 3 Uppdening av taxeringsinjer i injestycken. Division of survey strips into sectious. Det ti ett visst deområde, injestycke osv. anknutna okända eer observerade värdet beteckna vi som förut som en funktion, f, av området i fråga. Det fe, vars dispersion vi önska bestämma, skrives fortfarande som x = = f(q)- f(q), osv. Av de tidigare gjorda sannoikhetsantagandena kommer nu ett att framstå såsom ohåbart, nämigen det i forme (3) uttryckta. Ty man kan ej rimigtvis räkna med att samtiga >>fe» x; äro okorreerade, utan x;-värden från näriggande dear av samma taxeringsinje måste tänkas vara mer eer mindre starkt positivt korreerade. Vi ersätta därför (3) med en mera amän reation: E (X;Xj) = 0"2 Y; j (27)

23 36: NOGGRANNHETEN VID TAXERING 19 storheten Y-ii är korreationskoefficienten ti X; och Xi. förutsätta, att det atid gäer: Vi kunna r; i~ o... (z8) Den för den tidigare diskussionen väsentiga forme (5) övergår nu ti: a2 a2 D2 (x) = - -f- - ~ ~r; i (29) n n 2 ; i"=i Vi betrakta vidare iksom förut positiva kvadratiska former definierade genom forme (ro), där emeertid qv..., qn ha sin nya betydese av injestycken. Vi förutsätta fortfarande, att koefficienterna c;i satisfiera (rr) och (r4). För E (T) få vi nu i stäet för (r3) det nya uttrycket: E(T) = a 2 ~c;; -1- ~ ~ c;i f (Q;) f (Qi) -1- a 2 L ~ c;i rii... (30) i i i i i"=i Om vi antaga, att koefficienterna i C kunna väjas så, att den systematiska komponenten- den meersta summan i högra edet- får försummas, finna vi under beaktande av (r4): E (T) = a 2 + a 2 L ~c; i rii (3oa) i i"=i Av (rr) och (r4) föjer, att E E cii =-r. Av detta i förening med (z8) i i"=i kunna vi draga den sutsatsen, att åtminstone i vissa fa dubbesumman i ovanstående forme bör biva negativ. Att detta inträffar, om vi använda någon av formerna (6),. (8) eer (9), kunna vi ätt övertyga oss om. Om nu den systematiska komponenten verkigen kan försummas, skue vi få former T med egenskapen E (T)fn < a2fn. Samtidigt är enigt (29) D 2 (x) >a2fn. Man skue såunda öpa faran att underskatta medefeet, om man kritiköst tiämpade sina former på samma sätt som i förra faet. Då korreationskoefficienterna för näriggande injestycken måste biva större, ju finare indening man företar, framträder denna fara särskit starkt vid en uppdening av injerna i mycket korta stycken. Detta förhåande synes första gången ha observerats av LANGSARTER (1926, s. r8 o. föj.). Ett anaogt probem rörande feuppskattning vid fätförsök anordnade enigt )>haf-dri-strip)>-metoden har diskuterats av BARBACKI & FISHER (1936), ))STUDm~:n (1937) och PEARSON (1938). Nu torde man emeertid säan vara berättigad att försumma den systematiska komponenten i (30). Man kan därför resa det spörsmået, om ej den tendens ti överskattning, som den systematiska komponenten medför, kan speas ut mot den nu konstaterade tendensen ti underskattning på ett sådant sätt, att inan får ett i genomsnitt riktigt värde. Våra hittis gjorda

24 20 BERTIL J\TJ\TEHN antaganden räcka ej ti för en undersökning av denna fråga, varför vi måste uppskjuta dess vidare diskussion, tis vi förfoga över de mer fuständiga antaganden, som redovisas i nästa kapite. Vi ämna atså tis vidare probemet, om det är möjigt att väja C och en indening i injestycken på ett sådant sätt, att E (T) = a 2. Om vi i stäet gå över ti frågan om noggrannheten i medefesuppskattningen, måste vi konstatera, att de amänna formerna biva mera kompicerade även på denna punkt. Under förutsättning att den simutana sannoikhetsfördeningen ti x 1, x 2,..., Xn är norma, erhåa vi som ersättning för (r6) formen: D 2 (T) = 2 a 4 L: ~ L: L: c i i c!i r i c r i (3 r) i j k Denna forme kan ätt häredas med utgångspunkt från reationen (IssERus rgr8) Inom parentes kan här påpekas, att (30 a) och (31) kunna skrivas på matrisform. Om vi nämigen införa bokstaven R som beteckning för den av korreationskoefficienterna r i i bidade matrisen, erhåa vi: E (T) = a2 SpRC... (30 b) D 2 (T) = 2 a 4 Sp (RC) 2... (31 a) Vidare förtjänar det framhåas, att om- som i nästa kapite-- sannoikhetsantagandena få avse värdena f (qi) och ej )>feem Xi, formerna få en mera amän innebörd. Vi torde emeertid ofta kunna få en uppskattning av D 2 (T) utan att behöva taga ti den ganska krångiga forme (31). Detta framgår av föjande exempe. Betrakta uttrycket L1 2 = ~ [f (q12j-f (qu)j 2 L1 1 är såunda bestämt av f-värdena för två angränsande stycken av en och samma inje (se fig. 7). Väj sedan ut ytterigare (n- r) par av inti varann iggande injestycken och bida de motsvarande uttrycken L1 2, L1 3,..., Ln samt den kvadratiska formen T = ~ '""""' Li 2. n L Om de n paren av sinsemean angränsande injestycken väjas på något avståndfrån varandra, kunna storheterna Li betraktas som en svit av okorreerade variaber. Under våra förutsättningar om normafördening bir då Dz(T) =~ D2(LJi2) = n ~ [E(LJi2)J2, n

25 NOGGRANNHETEN VID TAXERING 21 varför det reativa medefeet D (T) fe (T) bir V2/n, dvs. detsamma som enigt (I7). Är bott n nog stort, bir säkerheten såunda acceptabe. I ett praktiskt fa torde det också nästan atid vara möjigt att väja ett tiräckigt högt n. Som kommer att framgå av nästa kapite, äro former av det sag som det nu betraktade uttrycket T ur vissa synpunkter de ämpigaste för en medefesuppskattning. Det sagda må därför vara nog som motivering för påståendet, att medefesformer byggda på värden från in j e stycken kunna väjas så, ~tt de biva behäftade med en tiräckigt iten osäkerhet. I detta avseende äro de kart överägsna de former, vika utnyttja endast värden från hea injer. Sutigen skoa de mot formerna (23) och (26) svarande mera amänna formerna redovisas. Forme (23) kan bibehåas, om L c i i ersättes med L L c; i r; i och d; i tokas som eementet i matrisen Formen (26) övergår ti: CRC... (32) E {[T-E(T)J [T2-E (T2)]} = 2 0" 4 L L L L C; i g,d 1';11 ~'i= i i k =z a 4 Sp (R CRG)... (33) Den anmärkning, som tidigare gjordes beträffande former grundade på en sammansagning av injer ti grupper, kan nästan ordagrant göras även beträffande de former, vika bygga på en iknande sammansagning av injestycken. Man får noggrannare medefesuppskattningar genom former uppbyggda på varianser mean näriggande injestycken. Sammanfattningsvis kan man konstatera, att de i detta kapite gjorda sannoikhetsantagandena icke äro tiräckiga för att man ska kunna yttra sig om den systematiska komponenten i medefesformerna, och ej heer giva någon vägedning för ett bedömande av korreationen mean de ti näriggande injestycken knutna >>feem. Så änge man ej äger kunskap om dessa förhåanden, komma medefesformerna att hänga i uften.

26 22 BERTIL NIATERN KAP. II. EN MATEMATISK MODELL AV DEN TOPOGRAFISKA VARIATIONEN. Den topografiska variationens beroende av avståndet. Hos författare, vika ur statistisk synpunkt diskutera ett fätförsök eer en stickprovsundersökning, möter man ofta det konstaterandet, att ju närmare två punkter igga, desto mer ika äro de i amänhet i fråga om jordmån, kimat osv. Med användande av den i inedningen införda termen, kunna vi formuera denna iakttagese på föjande sätt: den topografiska variationen minskar med sjunkande avstånd. Direkta numeriska observationer över den topografiska variationens beroende av avståndet äro dock säsynta. I en uppsats av BJERKE (1923) visas emeertid med ett par diagram, hur den genomsnittiga differensen mean avkastningar av oika rutor på ett försöksfät företer en kart stigande tendens, då rutornas avstånd ökar. (Se även WIEBE 1935, s. 341.) Av statistiskt.materia från skogstaxeringar (NÄSLUND 1930, s. 332, LANGsAETER 1932, s. 476, tab. r) kan man vidare se, att näriggande injer äro varandra mera ika i fråga om kubikmassa, skogsmarksprocent etc. än injer, vika igga ängre bort från varandra. Över indirekta observationer av variationens samband med avståndet förfogar man i aa sådana fa, då en feuppskattning utförts des på grundva av enheter utspridda över ett större område, des på grundva av enheter, vika igga samade inom ett itet område. I amänhet har den förra feuppskattningen givit högre värden än den senare. Denna iakttagese har bekräftats, när man jämfört oika för medefesuppskattning vid skogstaxering föresagna former. Ytterigare iustrationer skoa ämnas i kap. III. Bortsett från detta enka och nästan sjävkara påstående synes man knappast kunna göra något generet uttaande om den topografiska variationen. Om man håer sig ti sådana mätningar, som verkstäas vid en skogstaxering, kan man emeertid konstatera, att variationen i amänhet har ett påfaande oregebundet föropp, varigenom de över misånga avstånd verksamma förändringarna av andskapstypen maskeras av kraftiga, mera okat betonade växingar. Detta kan man se av pubicerade kartor och diagram (NÄsLUND 1930, s. 315, 1939, s. 314, LANGsAETER 1926, s. r6). Det framgår även av de i nästa kapite återgivna >>korreogrammem. Vi gå nu tibaka ti den av fig. r iustrerade injetaxeringen. Vi införa beteckningen b för injeavståndet. Vi ha förutsatt (se forme5), att taxeringens noggrannhet är given, bott man känner dispersionen a, som mäter storeks-

27 36 : I NOGGRANNHETEN VID TAXERING 23 ordningen av differensen mean de ti en inje q; och motsvarande rektange Q; anknutna värdena. Denna differens är beroende av den topografiska variationen från punkter på taxeringsinjen och ut ti punkter, vika igga på ett högsta avstånd av bfz från injen. Om vi sedan se på t. ex. forme (6), kunna vi konstatera, att den av denna forme definierade storheten s 2 infueras av den topografiska variationen mean punkter, vikas inbördes avstånd är"": b. I juset av den nyssnämnda iakttagesen måste det då synas naturigt, att s2 ger ett i genomsnitt för högt närmevärde för a 2. Även beträffande de övriga positiva kvadratiska former, vika bygga på hea injer, kan samma anmärkning göras. Den icke önskade komponent, som vi i förra kapitet kaade systematisk, framstår nu som ett uttryck för den topografiska variationen över ånga avstånd. Om vi därefter gå ti de metoder, vika grunda sig på uppdening av taxeringsinjerna i injestycken, kunna vi göra den observationen, att en at finare dening av injerna ger former, vika at mer infueras av den topografiska variationen över korta avstånd. Vi kunna därför, såsom vi gjorde i andra ordaag i kap. I, fråga oss, om det ej band dessa former finnes sådana, som innefatta just den variation, som är bestämmande för värdet på a 2 I en något annan formuering dyka här såunda samma frågor upp som i förra kapitet. I det föjande ska en redogörese ämnas för en utbyggnad av de tidigare sannoikhetsantagandena avsedd att möjiggöra ett bedömande av dessa frågor. Ti utgångspunkt för de nya antagandena ska tagas, vad som nu sagts om den topografiska variationen. Dessförinnan ska emeertid en antydan göras om vissa i itteraturen föresagna medefesformer, vika stå i ett nära samband med det nu sagda. Dessa former, vika ej omnämndes i kap. I, grunda sig på ett extrapoationsförfarande. På extrapoation grundade medefesformer. Låt såsom i fig. I q; betyda en he taxeringsinje. Betrakta summorna H-I i= I n-z... (34a) 02b = _I_ ' [f(qi+2)- f(q;)] 2 (34 b) n-z L i=i Dessa storheter kunna sägas vara uttryck för variationen mean injer på ett inbördes avstånd av b, resp. zb ängdenheter. Om vi nuuppfatta th, 0 2b etc. som stochastiska variaber med matematisk förväntan E (bb), E (0 2b)

28 24 BERTIL NIA TERN osv., kan det igga nära ti hands, att vi postuera existensen av ett amänt uttryck E (bx)- Vi kunna sedan uttrycka a 2 som en viss funktion av de värden E (bx) antar i intervaet (o, bj2). En sådan funktion har angivits av LANGsAETER (1927, 1932). Ett iknande betraktesesätt, ehuru ej i detaj genomfört, anägges av OsBORNE (1942). Medan LANGsAETER begagnar just uttryck av typen E (bx), använder OsBORNE korreationskoefficienter. Vi skoa ängre fram angiva uttryck för sådana korreationskoefficienter (se s ). För att uppskatta de i denna funktion ingående värdena av E (bx) företaga LANGsAETER och OsBORNE en extrapoation med utgångspunkt från de observerade värdena... c5 3b, b 2b, bb. En på ett i vissa avseenden avvikande resonemang grundad extrapoation föresås av NÄsLUND (1930). Det för dessa tre metoder gemensamma extrapoationsförfarandet synes emeertid erbjuda rätt stora svårigheter, varför formernas praktiska användbarhet framstår som begränsad. Detta framhåes av NÄsLUND (1930, s. 333, 1939, s. 303). I de av OsBORNE meddeade exempen - areafördening enigt karta - tycks det dock finnas ganska goda håpunkter för den företagna extrapoationen. Sannoikhetsantaganden om den topografiska variationen från punkt ti punkt. Ti vägedning vid formuerandet av våra antaganden skoa vi först betrakta ett exempe. Vi tänka oss, att vi önska uppysning om skogsmarkens utbredning inom ett område Q. Vi antaga att Q igger i ett eukidiskt pan, vars punkter äro bestämda genom rätvinkiga koordinater, u och v. En fuständig beskrivning av skogsmarkens utbredning inom Q få vi genom att för varje punkt (u, v) i Q bestämma en funktion f(u, v), som är definierad på föjande sätt: f r, om (u, v) igger i skogsmark, f(u v) = ' t o, i annat fa. Känna vi f(u, v), kunna vi ju erhåa skogsmarkens area inom varje deområde av Q genom integration av f(u, v) över resp. deområde. På iknande sätt kunna vi beskriva varje annan mätbar egenskap hos Q. Vi man skapa en fuständig matematisk mode, bör man därför betrakta den oändiga mängden av funktionsvärden f( u, v) som en mängd av stochastiska variaber och angiva sannoikheter för att dessa variaber antaga vissa system av värden, eer - för att återgå ti den konkreta tokningen av /(u, v) - sannoikheter för att skogsmarksförekomsten inom Q ska se ut på det ena eer andra sättet. Den ryske matematikern KoLMOGOROFF har angivit en metod att konstruera antaganden av dettasag (KOLMOGOROFF 1933, särskit S, 24-30). KOLMOGOROF:(<'

29 NOGGRANNHETEN VID TAXERING :25 betraktar punkter P i ett abstrakt rum och ti dessa punkter anknutna stochastiska variaber f (P). Om vi tiämpa hans metod på vårt tvådimensionea eukidiska rum, ha vi att väja sådana antaganden, att på viket sätt vi än taga ut ändigt många punkter, (uv v 1),..., (un, vn), den ti motsvarande stochastiska variaber, f (u 1, v 1 ),..., f (un, vn), hörande sannoikhetsfördeningen är definierad. För vårt ändamå är det fut tiräckigt, att vi göra antaganden endast om de enkaste egenskaperna hos de betraktade stochastiska variaberna, nämigen medevärden, dispersioner och korreationskoefficienter. Med vad som nyss sagts om den topografiska variationen ti utgångspunkt väja vi föjande formuering: Punkterna i ett eukidiskt pan äro bestämda genom sina r ä t vinkiga koordinater (u, v). Ti dessa punkter äro knutna reea stochastiska variaber f(u, v) med egenskaperna: E [f (u, v)] = m,... (35) D 2 [f (u, v)] =E {[f (u, v)- m] 2 } = a 2 >o,... (36) E {[f(~, v 1 ) -m] [f (u 2, v 2 ) -m]} = a 2 e (u 1 -u 2, v 1 -v 2 ) (37) Den i den sista formen uppträdande funktionen, viken tydigen måste vara ree, benämna vi korrea tionsfunktionen. Vi finna omedebart föjande egenskaper: e (o, o)= r; e (u, v)= e (-u, --v)... (38) Vi skoa endast använda benämningen korreationsfunktion, om e (u, v) är sådan att KoLMOGOROFFS vikor är uppfyt. Vikaadenkassavfunktioner, vika i denna mening äro möjiga som korreationsfunktioner, för K. Innan vi ytterigare specificera våra antaganden, skoa vi något närmare undersöka denna kass. Ett första uttry<::k för egenskaperna hos de i K ingående funktionerna få vi genom satsen: Ett nödvändigt och tiräckigt vikor för att den reea funktionen e (u, v) ska tihöra K, är att (38) är uppfyd samt att, hur vi än taga ut ändigt många punkter (uv v 1 ),..., (un, Vn), n n I: I;t;tie(ui-ui, v;-vi) i= I 1'=I är en icke-negativ kvadratisk form i tv..., tn... (39) Beträffande vikorets nödvändighet, se CRAMER (r945, s ). Tiräckigheten föjer av att, om (39) är uppfyd 1 vi kunna angiva en n-dimen-

30 26 BERTIL MATERN sione normafördening med motsvarande karakteristika, se CRAMER (1945), s Vikoret (39) gäer i ett abstrakt rum, om vi ersätta e(ui~i, V;-vi) med en för varje par av punkter, P;, Pi, definierad funktion e(p;, Pi) I ett praktiskt fa kan det ofta vara svårt att avgöra, om en funktion e(u, v) uppfyer (39). Vi skoa därför söka andra vikor. Härvid kunna vi utnyttja anaogin mean vår nu definierade mode av den topografiska variationen och de modeer av tidsserier, vika gå under namnet stochastiska processer. Med den utformning, som vi givit våra antaganden, få vi en särskit nära överensstämmese med denkorreationsteori för sta tionära stochastiska processer, som skapats av KHH\!TCHINE. KHINTCHINE (1934) anger vissa vikor för korreationsfunktioner ti stationära stochastiska processer. Dessa vikor ha generaiserats av CRAMER (1940). Det visar sig nu, att de av KHINT CHINE och CRAMER funna resutaten med vissa sjävkara modifikationer kunna överföras ti vår stochastiska mode av variationen i ett pan, och f. ö. ti motsvarande mode i ett n-dimensionet eukidiskt rum. Ti att börja med kunna vi konstatera, att den kass K 1 av reea funktioner cp (u, v), vika äro karakteristiska funktioner ti en tvådimensione sannoikhetsfördening, ingår i K. Om cp tihör K 1 är cp (u, v) = f f cos [u x+ vy] dxy F (x, y),... (4o) där F (x, y) är fördeningsfunktionen ti en tvådimensione stochastisk variabe. Man ser omedebart, att vikoren (38) äro uppfyda. Vidare finner man, att dubbesumman i (39) bir 00 oc f f {[I: t; cos (u; x+ v;y)j2 + [I; t; sin (u; x+ v;y)j2} dxy F (x, y) i. och såunda är en icke-negativ kvadratisk form. Härmed är ovanstående sats bevisad. Motsvarande sats för en stochastisk process återfinnes hos KHINT CHINE (1934), s. 6o8 och CRAMER (1940), s Om begreppet karakteristisk funktion, se t. ex. CRAMER (1945), s Man ser ätt, att K 1 innehåer varje funktion, som kan vara den reea deen ti en karakteristisk funktion. Nu kan man i amänhet ej utan vidare se, om en funktion cp( u, v) är en karakteristisk funktion. Vi skoa därför gå ytterigare ett steg och angiva en för kassen K 1 karakteristisk egenskap, som är sådan, att det i ett praktiskt fa stäer sig reativt ätt att se, om den finns eer ej hos en funktion cp (u, v). Denna egenskap är uttryckt i föjande sats (speciafa av en amän sats, se CRAMER 1939, s. 2or):

31 NOGGRANNHETEN VID TAXERING 27 För att en ree funktion gj(u, v) ska vara en karakteristisk funktion, är det nödvändigt och tiräckigt att: r) 'fj (o, o) = r, z) (/J (u, v) är överat kontinuerig, 3) g(x, y; A)= J.!gJ(u,v)cos(ux+vy){r-~}{r-~}dudv= A A A A -A --A = ~2 J' J J.f I]J(u 1-u2, v 1-v2) cos [x (u 1 - u2) +y (v 1 --v 2)] du 1 du2dv 1 dv 2 o o o o är icke-negativ för aa reea x, y och för varje A >o... (41) Som exempe betrakta vi (/J (u, v) = e-"v"' +v' med h> o. Vi se, att (/J är ree och att r) och z) ovan gäa. Vi kunna även ätt övertyga oss om att g(x, y; A) är icke-negativ, varför gj tihör K 1 och därmed a fortiori K. En närmare undersökning ger vid handen, att gj är den karakteristiska funktionen ti en ' h _ fördening med frekvensfunktionen - (h2 + x2 + y2) z. z n De sist anförda satserna giva emeertid ingen uppysning om kassen K-Kv dvs. om de funktioner, som ingå i K men ej K 1. Att det finns sådana funktioner visar nedanstående exempe: { e (o, o) = I, e (u, v) = k i övriga punkter (o~ k< r). Att (39) är uppfyd och därmed e ingår i K, finner man omedebart. Att e ej ingår i Kv föjer av att vikoret z) i (41) ej är uppfyt. Nu kan man emeertid visa; att om e (u, v) ingår i K och vikoret z) i (41) är uppfyt, måste även vikoret 3) vara uppfyt. Det ser man därav, att uttrycket g(x, y; A) i detta fa kan uppfattas som matematisk förväntan för den stochastiska variaben A A 12 [ A A 12 [ a~ JJ f(u,v) cos (ux+vy)dudv + a~ JJ f( u, v) sin (ux + vy)dudv, o o o o varav föjer, att g(x, y; A):::; o. (Se CRAMER 1940, s. zzz). För att det ovan antydda beviset ska vara strängt gitigt, måste man först giva en mening åt integraer sådana som de två i ovanstående forme. Hur detta ska ske, när e är kontinuerig, kommer strax att visas med ett par exempe. Vidare kan man visa, att det för att en korreationsfunktion ska vara överat kontinuerig, är tiräckigt, att den är kontinuerig i punkten u = o, v =o. Då beviset är fut anaogt med beviset för motsvarande sats för sto- chastiska processer ska här bott hänvisas ti CRAMER (1940, s. zr7-zr8).

32 28 BERTIL MATERN Såunda är kassen K 1 av reea karakteristiska funktioner, identisk med kassen av i punkten (o, o) kontinueriga korreationsfunktioner; K -K 1 innehåer atså endast i (o, o) diskontinueriga korrea tiansfunktioner. Då det knappast kan synas rimigt, att någon egenskap hos ett geografiskt område skue för sin beskrivning kräva en i nopunkten diskontinuerig korreationsfunktion, framstår K 1 som särskit viktig. Vi skoa också förutsätta, att samtiga i fortsättningen betraktade korrea tiansfunktioner tihöra K 1. q(t) 1 bh Fig b Korreationsfunktioner. Correa tio n functions. Vi skoa göra ytterigare en inskränkande förutsättning, nämigen den, att varje betraktad korreationsfunktion är en funktion av enbart avståndet. Om vi införa t=+ V (u-u2)2 + (v- v2) 2, ersätta vi såedes (37) med: E {[f (uv v1)-m] [/ (u2, v2) ~ m ] = a2 e(t)... (42) Med edning av vad vi funnit om den topografiska variationen, skoa vi sutigen antaga, att varje e (t) är en avtagande funktion av t. Fig. 4 visar tvenne exempe på sådana korreationsfunktioner, vika i fortsättningen skoa kaas typ I och typ II. En noggrannare formuering skue vara >>typ I- resp. typii-i förhåande ti avståndet b>>. När vi i fortsättningen taa om typ I och typ II, ska b betyda injeavståndet. En viss precisering av denna definition ges å s. 48.

33 3Fi : r NOGGRANNHETEN VID TAXERING 2Q Ti områden knutna stochastiska variaj)er. Från de en kida punkterna gå vi nu över ti områden i uv-panet. Termen område fatta vi härvid i en ganska vidsträckt bemärkese. Ett område kan få vara en saming av ändigt många punkter eer bestå av en eer fera injer eer sutigen vara en eer fera ytor i panet. I fråga om dessa injer resp. dessa ytors begränsningar göra vi de antaganden, som man brukar göra i teorin för integration enigt RIEMANN. Då de injer och begränsningar, som vi komma att ha att göra med i fortsättningen, äro räta injer eer cirkar, behöva vi emeertid ej närmare gå in på dessa mera amänna_ förutsättningar. När ett område, q, består av de n punkterna (U:J., v 1 ),..., (u,, v,), definiera vi den ti området knutna stochastiska variaben f (q) genom ikheten: n f (q) =-;L. f (u;, v;)... (43) 1:=! Vi åta därnäst q utgöras av rektangen a~ u~ A, b ~v~ B. Vi införa m +n deningspunkter, av..., am, bv..., b,, vika satisfiera reationerna: Vi betrakta sedan: a = a 1 < a 2 <... < am = A, b = b 1 < b 2 <... < b, = B. m-1 n-r Sm,n =L L (ai+- a;) (bi+- bi) f (a;, bi)- i=r i=r Sm,n är en summa av ändigt många stochastiska variaber och såedes sjäv, iksom /(q) i (43), en stochastisk variabe. Om vi nu på samma sätt som vid definitionen av en RIEMANN-integraåta m och n gå mot oo och samtidigt åta max. (a;+ 1 - a;) och max. (bi+ 1 - bi) gå mot o, skoa vi finna, att Sm,,. konvergerar i genomsnitt mot en bestämd stochastisk variabe. Denna variabe beteckna vi med A B J Jf(u,v) dudv. (. b En föjd av stochastiska variaber {X,} konvergerar i genomsnitt mot en stoc;hastisk variabe Y om E { X, - Y j2 } -+ o, när n-> oo. Termen konvergens i genomsnitt är ett försök ti översättning av >>convergence en moyenne (quadratique)>> (L:Evv 1937, s. 52, FRECHET 1937, s. 205, se även CRAMER 1940, s. 218). Beviset för att Sm,n konvergerar i genomsnitt, kan ske på samma sätt som CRAMER (1940, s ) bevisar motsvarande sats för en enke integra. Vikoret att korreationsfunktionen tihör J-( 1, dvs. är kontinuerig, är väsentigt för beviset.

34 30 BERTIL MATERN Vi definiera nu den ti rektangen knutna stochastiska variaben f(q) genom ikheten: A B f(q) =~J J f(u,v) du dv, w a b där w är ytinnehået av q, dvs. w= (A-a) (B- b). Denna definition kan - med den tidigare nämnda inskränkningen- utsträckas ti godtyckiga ytor q. Den amänna definitionen yder därför: f (q) = ~ Jf f (u, v) du d v,... (44) q där som nyss w är ytinnehået av q. Sutigen skoa vi betrakta det fa, då q är en inje i uv-panet. Vi åta injen gå från punkten (a, b) ti punkten (A, B). Under det att vi föja injen från (a, b) ti (A, B), pacera vi ut n+ r deningspunkter (a;, b;), (en första i (a, b), den sista i (A, B), samt bida kvoten n L f (a;, b;) {(a;+ 1 - a;) 2 + (b;+- b;) 2 K,. = _r n - L V (ai+- a;) 2+ (b;+- b;) 2 I Kn är en stochastisk variabe. Om vi nu åta n gå mot oo och samtidigt se ti att max. v (ai+ I-a;) 2 + (bi+ I-b;) 2 går mot o, finna vi, att sviten (Kn} konvergerar i genomsnitt mot en stochastisk variabe. Denna variabe är par definition f (q). Ti varje område q hör såunda nu en stochastisk variabe f(q). Vi skoa nu uttrycka de enkaste egenskaperna hos dessa stochastiska variaber med hjäp av de i (35), (36) och (42) införda storheterna. Ti föjd av den normering som vi företagit- samma som i kap. I, där varje j(q) var ett värde per ytenhet - gäer för matematisk förväntan den enka regen: E [f(q)] =m... (45) När q består av enstaka punkter, är (45) en konsekvens av räkneregerna för matematisk-förväntan-symboen. I övriga fa, då f(q) definieras genom en i genomsnitt konvergent svit av stochastiska variaber, kunna vi tiämpa föjande av CRAMER bevisade sats (CRAMER 1940, Lemma 2, s. 218): Låt {Xn} och { Yn} vara två sviter av stochastiska variaber sådana att D 2 (Xn), D 2 (Yn) < k < oo. Antag, att dessa sviter konvergera i genomsnitt mot de stochastiska variaberna X

35 NOGGRANNHETEN \'TD TAXERINC 31 resp. Y. Då gäer, ai.t om E (X,)--+ m 1, E (Y,)-'>- m 2, är E (X) ~ = m 1, E (Y)= m2, samt att om E (X,.Y,)--+ f, är E (XY) = fl (46) Reationen (45) föjer nu av att varje variabe i den svit, som definierar f(q), har ti matematisk förväntan m. Vi betrakta därefter uttrycket [f (q;)- m] [f (qi)- m]... (47) Ti att börja med förutsätta vi, att q; och qi äro ytor om w; resp. wi ytenheter. De kunna få vara skida från varandra eer het eer devis sammanfaa. Av (37) och (46) suta vi oss ti reationen: Vi utnyttja nu vårt antagande om att e är en funktion av enbart avståndet (forme 42) samt införa avståndet t som integrationsvariabel Vi integrera över de övriga variaberna och erhåa: 00 E {[f (q;)- m] [/ (qi)- m]} = a 2 f(! (t) a;j{t) d t..... (48) o Denna transformation av den fyrdubba integraen ti en enke integra kan i ett praktiskt fa givetvis vara vanskig att utföra. Den torde emeertid ofta underättas, om man utnyttjar det förhåandet, att a; i (t) har en enke sannoikhetsteoretisk innebörd: a;i(t) är nämigen frekvensfunktionen för avståndet mean två punkter vada på måfå och oberoende a v varandra, den ena i q;, den andra i qi. Vi skoa benämna a; i (t) den ti uttrycket (47) hörande a vståndsfunktionen. Det sätt, varpå vi skrivit högra edet av (48), förutsätter, att a; i (t) är definierad även för sådana t-värden, vika ej kunna vara avstånd mean en punkt i q; och en punkt i qi. För dessa t-värden sättes a;i(t) = o. Funktioner av detta sag ha ofta behandats i äroböcker i sannoikhetskaky under rubriken >)geometriska sannoikheter», se t. ex. BoREL (1925, s. 19 o. föj.). En reativt utförig framstäning av geometriska sannoikhetsprobem återfinnes hos DELTHEIL (1926). - Den nu införda avståndsfunktionen är givetvis någonting het annat än den avståndsfunktion, man måste ha för att kunna definiera ett metriskt rum. Om något av områdena q; och qi är en saming punkter eer injer, kan (48) ej atid användas. Går man igenom motsvarande bestämningar även för dessa fa, ska man finna, att det atid går att skriva den betraktade matematiska förväntan som en STIELTJES' in te gr a: 00 E {[/(q;) -m][/ (qi) -m]) = a 2 f(! (t) da;i (t)... (49) o

36 32 RERTfL NIATERN :)h : Den i (49) uppträdande funktionen A; i (t) kan tokas som fördeningsfunktionen ti avståndet mean två punkter vada på måfå och oberoende av varandra i q; resp. qi. Vi skoa kaa A,:i (t) avståndsintegraen. Om A;i(t) är deriver bar, är givetvis dess derivata = a; i (t). Om vi i (49) åta q; och qi betyda samma område, få vi ett amänt uttryck för dispersionen: D2 [f (q;) J =E {[/(q;)- mj2} = 00 a2 I e (t) da;i(t)..... (so) o Avståndsintegraen, A;; (t), måste i detta fa vara fördeningsfunktionen för avståndet mean två punkter, som väjas på måfå och oberoende av varandra inom q;. Vi ha atså skaffat oss uttryck för de enkaste egenskaperna hos de ti godtyckiga områden knutna stochastiska variaberna. Genom att identifiera dessa variaber med de i förra kapitet betraktade storheterna f (q), f (Q), f (q;) etc. kunna vi därför nu gripa oss an med den tidigare omnämnda kompetteringen av framstäningen i kap. I. För att få så generea resutat som möjigt skoa vi först betrakta en amän kvadratisk form i ti områden knutna stochastiska variaber. Det bör observeras, att de sökta medefeens kvadrater, E j[f (q) -f (Q)J2}, E { [f (q;) --f (Q;)J2} osv., äro speciafa av matematisk förväntan ti en amän kvadratisk form. Vidarevoro ju aa de i kap. I betraktade medefesformerna uppbyggda på kvadratiska former. Kvadratiska formers matematiska förväntan. Vi betrakta åter en positiv kvadratisk form av typ (ro): n n T= L L C;j f(qi) f(qj), i=i j=i där q; och qi äro godtyckiga områden. Av (4S) få vi omedebart föjande uttryck för E (T): E(T) =L L Cif E{[f(qi)-m] [f(qi)-m]} +m 2 L L Cif. Vi förutsätta som förut, att koefficientsumman försvinner (forme n). Av (49) få vi då: E (T) = Vi ha här infört: a 2 L L c; i I e (t) daii (t)= a 2 I (!(t) dar (t)... (Sr) o Ar (t)= L L cii A;j{t)... (sz)

37 NOGGRANNHETEN VID TAXERING 33 Om samtiga a;i (t) äro deriverbara, är även Ar (t) deriverbar. I detta fa kunna vi skriva: där E (T) = a 2 J "" Q (t). ar (t) d t,... ; (51 a) o ar(t) = LLCii aij{t)..... (52a) I konsekvens med den tidigare införda terminoogin kaa vi ar(t) den ti T hörande avståndsfunktionen, medan vi benämna Ar(t) den ti T hörande avståndsintegraen. 00 Då samtiga ai i (t) äro frekvensfunktioner och atså J a; i (t) d t = r, är 00 J ar (t) d t= L L c; r= o... (53) o Vad beträffar övriga egenskaper hos T hänvisas ti kap. I, s. r6--zr. Man har bott att åta de i kap. I gjorda antagandena avse storheterna t (q i) - och ej )>feem xi-samt att sätta in de i (49) och (5o) givna uttrycken i formerna i kap. I, t. ex. (31) och (33), för att uttrycka D 2 (T) etc. i e (t). En injetaxerings medefe uttryckt i korreationsfunktionen. Vi gå nu tibaka ti området Q i fig. r. För enkehets sku antaga vi, att taxeringsinjerna, qv q 2,., qn, nu äro )>injen> i geometrins mening, dvs. sakna bredd. Vi beteckna varje enskid injes ängd med och avståndet mean injerna med b. Vi betrakta först den kvadratiska formen T0 = [f (qi)-t (Qi)] 2, (54) där q; och Qi framgå av fig. r. Då det ti den enskida injen q; hörande medefeet är VE ~To) kan det bestämmas om vi känna E (T 0 ). Av (Sr a) få vi: 00 E (T 0 ) = a 2 J (!(t) ar, (t) d t. o Här ha vi att bestämma ar, (t). Vi använda för detta ändamå först (52 a) och få: 3 11Iedde. från Statens SkogsforskningsinstUut. Rand 36: r.

38 34 BERTIL MATERN 36.. : I Genom enka geometriska resonemang (se t. ex. BoREL 1925, s. 21, DELTHEIL 1926, s. 38) erhåa vi: För att bestämma aq.;q.; (t) införa vi koordinaterna (uv v 1) och (u 2, v 2) för på måfå vada punkter i q; resp. Q;. I det att vi amänt med P(H) beteckna sannoikheten för att H ska inträffa, införa vi dessutom föjande två hjäpfunktioner: F 1 (x)= P { (u 1 -u 2 ) 2 ~x}, F 2 (x) =P{(v 1 -v 2 ) 2 ~x}. F 1 och F 2 äro funktioner av samma enka sag som Aqiqi (t): F 1 (x)= 2 vx-x 1 I, 2 f2 v~ F2 (x)= b ' Då är (CRAMER 1927, s. Sr): t' A q; Q.; (t) =f F 1 ' (x) F 2 (tl- x) d x, o varav genom derivering: I, t aq;q; (t) = 2 t J F 1 ' (x) F 2' (t2 - x) d x. o Vi sätta in uttrycken för F 1 och F 2 och erhåa: aq;q;(t) =z!~ {edt) [n- z t]+ e 2 (t) [2t-z are cos 2bt-b] + + e3 (t) [ 2 Vt are cos f]} ' Funktionerna ra äro givna genom reationerna: J I, O:::;; t< '; e (t)- 1 -o,t<o,t~'. I, :::;; t< '; e t - { 3 () - o, t <, t ~ '. b -:::;;t< '; 2 b t< -, t~ t'. 2

39 NOGGRANNHETEN VID TAXERING Vi ha här med ' betecknat vz2 +:. 35 På motsvarande sätt erhåa vi: aqiqi(t) = :: 2 { 8,dt) [nb-2t-2bt + t2] + b -- + e5 (t) [2 b t- t 2-2 b are cos t + 2 vt 2 - b 2 -- b 2 ] + Med användande av beteckningen " 4 (t)=ji, O~t<"; o, t <o, t-;;;;_". V [2 + b2 kunna vi =~I, b~t<"; o, t< b, t-;;;;_ ". 8 { I ~t<"; 6 (t)= ' o, t<, t-;;;;_". Sutigen få vi ar. (t) genom att sätta in dessa uttryck i (55). Formen bir ganska vidyftig. En närmare undersökning visar emeertid, att då -~ oo, ar 0 (t) konvergerar mot en bestämd gränsfunktion, som är något enkare. Vi beteckna den med ii (tjb); den erhåes ur ekvationen: Här är:. I ii(u) = e7 (u) (2-2nU-4U2) + es (u) Bu are cos- + 2U e7 (u) = { (u)4u(vu 2 -I-arccos ~) i, I u-;;;;_o; ' o, u< es (u) = o. o, I u;;;;_-; 2 I u<-. 2 I, U-;;;;_ I; e u- { 9 ( ) - o, u< I. För ii (u) skoa vi vidare anteckna föjande serieutvecking, viken gäer för u> I: crn 00 _ ~ (2n-I)!! ( n+ I) a(u)=l(2n)!!(n+i)(n+;) I-22n-t. u = n= z I 5 287, =--+--+, u u u 8 (56)

40 36 BERTIL MATERN Fig. 5 visar ä (tjb). Ti jämförese har inagts ar 0 (t) för faet = zb. Man ser, att redan för detta åga Z-värde igger ay 0 (t) mycket nära gränsfunktionen. Man kan nu draga den sutsatsen, att även E (T 0 ) konvergerar mot ett gränsvärde, när -+ oo. Detta gränsvärde beteckna vi med sb2: 2 im E(T 0 ) =im E{[f(qi)-f(Qi)J2} =sb 2 ~oo ---.::;oo at, (t), a (t/b (55) (55) Fig. 5 Avståndsfunktionerna ay 0 (t) och ä (tjb). The distance functions and Man övertygar sig ätt om att: sb 2 =a 2 {e(t) äg)dt... (57) Av fig. 5 framgår, att redan för en så kort injeängd som = zb måste E (To) igga nära Sb2 Av antagandet att e (t) är avtagande, föjer att E (To) närmar sig sb2 underifrån. När vi därför i fortsättningen utgå från reationen riskera vi ej att underskatta E {[f (q i) --f (Qi)] 2}.

41 NOGGRANNHETEN VID TAXERING 37 Vi gå nu över ti att betrakta hea injesystemet q = 1: q i (se fig. r). Vi söka matematisk förväntan för T =L [f (q)- f (Q)] 2... (59) Här betyder Q iksom i kap. I hea undersökningsområdet, rektangen ABCD i fig. I, medan L = n är den sammanagda ängden av aa taxeringsinjerna. Framstäningen i förra kapitet byggde på en förutsättning, som vi nu kunna uttrycka i den approximativa reationen: E (T) ;:::::; E (T 0 ) (6o) Denna forme utsäger detsamma som forme (5) i kap. I. För att se, om formen gäer under tiräckigt amänna förhåanden, skue vi kunna undersöka, huruvida de båda avståndsfunktionerna ay (t) och ay (t) äro varandra tiräckigt ika. Då de uttryck, man erhåer för ay (t), synas vara ganska svåröverskådiga, skoa vi emeertid använda ett något förenkat betraktesesätt. Samtidigt kunna vi få en anknytning ti de på extrapoation fotade medefesformerna. Låt det rätvinkiga koordinatsystemet i fig. I vara bestämt så, att taxeringsinjen qi utgöres av de punkter (u, v), för vika gäa: Vi införa nya stochastiska variaber: F (v) = ; J f( u, v) du (6r) o Ti varje punkt på v-axen - injen genom A och D i fig. I - är såunda en stochastisk variabe anknuten. Liksom för den tidigare betraktade variaben f (u, v) kunna vi införa karakteristikor även för F(v). Matematisk förväntan erhåa vi omedebart ur (45): E [F (v)] = m (62) Vi definiera sedan ytterigare karakteristikor genom de mot (36) och (37) svarande formerna: D 2 [F (v) = :L; 2, (63)

42 38 BERTIL MATERN Då vi i detta fa ha en en-parametrig skara av variaber, är R en: korreationsfunktion av precis samma sag som de, man betraktar i teorin för stationära stochastiska processer. Vi förutsätta nu, att R är en kontinuerigt avtagande funktion. Detta är för övrigt en föjd av vår tidigare förutsättning om e; det ser man av nedanstående forme, viken uttrycker R i (( 'E. 2 za2j. R (t) = """""i2 o (--~t). e(vu2 + t 2 ). du. Vi uppfatta emeertid (62)-(64) som definitioner. Vi frigöra oss därmed från den i forme (42) iggande förutsättningen, att den topografiska variationen är ika stark i aa riktningar. o. 0.5 DC O O~ o i, ~ \ \ \ \ \ \ \ \~ i \ ~ g \ i % ~ ~ ' \ \ \ \ \ \ \ \ " \ \ \ \ \ B (t T, (55) BT(t). n= 4. (65) BT,(t). n=2. c=. (59) ' \ \ ' \ \ 12 b 13 b,_ Ii-b \ \ \1 ' ' ', ' Fig. 6. Därefter uttrycka vi E (T) och E (T 0 ) i de nya symboerna L:2 och R: ro E(T) = 'E. 2 f R(t) dby(t); E(T0 ) = 'E. 2 fr(t) dby0 (t)... (65) o o Dessa reationer äro anaoga med den tidigare tiämpade forme (51). Hur de här uppträdande avståndsintegraerna By (t) och By 0 (t) se ut, visas av fig. 6. By (t) har ritats för faet n = 4, varjämte med ringar utmärkts en kurva hörande ti en ängre fram diskuterad medefesformel Man ser, att för åga t-värden - ungefär t < b/4 -överensstämmesen mean de två funktionerna är mycket god. För högre t-värden avvika By och By 0 rätt m y ck et från varandra, dock på ett sådan t sätt att differensen B T - B T 0 oscierar kring värdet no. Om R (t) har ett någorunda jämnt föropp för t> bj4, som t. ex. ).q.jrvorna i fig. 4, böra därför E (T) och E (T 0 ) vara någorunda ika. En viss bekräf- ro

43 NOGGRANNHETEN VD TAXERING 39 tese på detta kan man få genom att i (65) ersätta R (t) med oika anaytiska uttryck för avtagande funktioner. (p;, h;> o, L Pi= r), är: Man finner exempevis, att om R (t) =L Pi e- hi t I ~E (T 0 )/E (T)> 0,95. En närmare undersökning visar, att kvoten når sitt ägsta värde, då R (t) = e-p tf b. Av ~ad som nu sagts, kunna vi anse oss berättigade att i fortsättningen antaga, att (6o) är uppfyd. Av (54), (58) och (59) finna vi då för det sökta medefeets kvadrat ekvationen: E([f(q)--/(Q)J2}~E2' (66) där L som förut är den sammanagda injeängden. Man övertygar sig ätt om att, med den approximation som igger i (58) och (6o), forme (66) är tiämpig, även när undersökningsområdet Q har en oregebunden form, så att taxeringsin j e rna äro oika ånga. Av formen E (Cx) = 2 L 2 [r- R (x)] framgår sutigen sambandet med (34) LANGsAETER (1932), som använder storheter av typen Cx, räknar med att injebredden är ganska stor i förhåande ti injeavståndet och bygger upp sina former på summor och ej på integraer. OsBORNE (1942) använder funktionen R (t) samt integraer. De i detta avsnitt häredda formerna kunna användas även då vi ha att göra med en >>stratified random sampe>>. Om vi åta q,: i (54) vara en taxeringsinje parae med AB men i övrigt vad på måfå inom Qi (se fig. 1) bir nämigep Då det skue föra för ångt att taga upp även denna stickprovsmekanism ti behanding nöja vi oss med detta påpekande. Se i övrigt CocHRAN (1939, 1946). Granskning av oika kvadratiska former. Vi kunna nu underkasta de för medefesuppskattning föresagna kvadratiska formerna T en förnyad granskning. Vi inskränka oss härvid ti att betrakta deras matematiska förväntan. Då vi accepterat forme (66), kunna vi formuera probemet så här: Hur nära igger E (T) ti s0 2? Ett svar på denna fråga skoa vi söka erhåa genom en jämförese mean ar( t) (forrne)i a) och a (tfb) (formerna 56 och 57).

44 40 BERTIL MATERN Vi förutsätta nu, att de i våra former ingående beteckningarna för områden äro de, som visas av fig. 7 För att studera vissa frågor av principie innebörd skoa vi först reativt utförigt diskutera en specie form och väja därvid föjande: T = n c I L [f (qti)- f (qt(n)j2... (67) i= I n q,, 'f12 'f13 q14 q15 b Cj21 q22 q23 '124 '125 b q31 Cj32 Cj33 '134 Cj35 ~ c c taxermgsinje SUT'V'9" Iine Fig. 7 De i formerna (67), (69) samt (71)-(74) uppträdande injestyckena. The Iine sections of formuae (67), (6g) and (71)-(74). n Här får q 1 (n) symboisera området L, q 1 i T 1 är såunda variansen band de i= I värden, vika höra ti n inti varandra iggande stycken av en och samma inje; varje stycke har ängden c. Vi finna ätt avståndsfunktionen: ay 1 (t) f z (r- t n + 1 ), nc ~j~/,(,~:j o, o;;;.t< c; c;;;.t<nc; nc:::;;,t..... (67a) Hur denna avståndsfunktion kan se ut för oika system av värden på n och c, iustreras av fig. 8 a, där ti jämförese även ä (tjb) agts in. Av figuren eer ett direkt studium av (67 a) kunna vi draga föjande sutsatser, varvid vi givetvis fortfarande utgå från att e (t) är kontinuerigt avtagande:

45 NOGGRANNHETEN VID TAXERING 41 I) E (T1) är en växande funktion av såvä c som n, 2) E(T 1) är med säkerhet ~sb 2 om c~ c 1 (n), där n+i c 1 (n)= --b... (67b) n:rr: 2 ä (t/b)' (56), n= 2, at, (t), (67), n= 2, c= 3 b/2n, n= 5, c= 0,7 b c= 0,7 b o~---++-~~~_,?---~~~==~ ~ ~~----~3~bt - 1 \ // \ / v' / ;.4 / / ////...:.~... / -2 Fig. 8 a. Uttrycket för c 1 (n) har erhåits ur ikheten: (, C)' dadr (t)) = (d ä b )... (68) f t=o dt t=o Såsom visas i nästa kapite, torde man mest få att göra med korreationsfunktioner av typ I (fig. 4). I sådana fa kommer avståndsfunktionens föropp i intervaet närmast inti t = o att vara utsagsgivande för värdet av E (T 1 ). Om man väjer c = c 1 (n), bör man få en god överensstämmese mean E (T 1 ) och sb2. Om man däremot väjer c< c 1 (n), bir resutatet, att T 1 i genomsnitt underskattar sb2, medan högre c-värden eda ti en överskattning. För samtiga de i fortsättningen betraktade formerna T kan man genom reationer sådana som (68) bestämma ett värde på c, som garanterar att ar (t) öper nära jämsides med ä (tfb) för åga t-värden. Detta c skoa vi kaa den ti formen T hörande minimisträckan.

46 42 BERTIL JVIATERN Om man granskar ay 1 (t) för oika värden på n, bir man ätt på det kara med att n = 2 ger den bästa anpassningen ti ä (tjb). I detta fa är minimisträckan 3 bj2n = b. Om man åter n genomöpa taen 3, 4, osv., får man former, vika atmera påverkas av de värden 12 (t) antar för sådana höga t-värden, för vika ä (tjb) redan fait ned ti omedebar närhet av no, dvs. ungefär för t >b. Om e (t) är av typ II (fig. 4), komma dessa former att överskatta eb2 - Vi få såunda nu en precisering av vad som sades på s. 23 om former, vika infueras av den topografiska variationen över ånga avstånd. Ett tredje påpekande av ;mera amän innebörd, som vi kunna anknyta ti formerna (67), är att vi givetvis erhåa former med samma matematiska förväntan genom att bida ett genomsnitt av ett ferta uttryck av samma typ, t. ex. forme (67) med genomgående samma c och n. Att vi bida ett sådant genomsnitt eder, som förut framhåits (s ), ti en minskning av dispersionen D (T). En på detta sätt bidad kvadratisk form demonstreras i kap. IV. I och med angivarrdet av minimisträckan kunna vi anse oss ha funnit en ösning på det tidigare antydda probemet (s. 19, jfr LANGsAETER 1926, s. 20 och 1932, s ), hur ångt vi kunna driva en uppdening i injestycken utan att riskera att underskatta medefeet. För de i det föjande betraktade formerna T 3, T 4, T 5 och T 6 kunna vi i vissa fa riskera att få en-förmodigen obetydig - tendens ti underskattning av medefeet, även när c är ;;:::: minimisträckan. Som framgår redan av (67b), få vi för oi~a former- i detta fa för oika n - oika minimisträckor. Vidare iustrerar denna forme, att minimisträckan är direkt proportione mot injeavståndet b. Vi betrakta därefter kvadratiska former av typen: " Tz =-c-""" [f(qi)-/(q'(n))]2., (6g) n-il i= I T2 bygger på stycken från på varandra föjande injer, bitarna qw q 2 v q31 osv. i fig. 7; q 1 '(n är = L: " q i En uträkning ger vid handen, att minimisträckan i= I bir: Den är såunda oberoende av n. I fig. 8b visas ay 2 (t) för n = 2 och c = bjn. Liksom i föregående fa få vi även nu den bästa överensstämmesen med ä(tjb) för n= 2, dock ej as så god som nyss. Även om c= c 2 (n), få vi en ej obetydig överskattning när e (t) är av typ II (fig. 4). Väja vi c< c 2 (n), riskera vi däremot, som nyss framhåits, att underskatta sb2.

47 NOGGRANNHETEN VID TAXERING 43 Om vi sätta c =, hea injeängden, bir givetvis tendensen ti överskattning markant. När n = 2 övergår (69) då i den i kap. I beha_ndade forme (8). Vi få härmed ytterigare en bekräftese på svårigheten att bygga upp medefesformer på värden från hea injer: vi kunna ej få avståndsfunktioner vika ikna ä(tfb). Detta bir givetvis även faet, om vi uttrycka E(T 2) i den i (64) införda funktionen R (t); se fig. 6, där den ti T 2 (n = 2, c =) hörande avståndsintegraen Er, (t) utmärkts med ringar; Er, (t) svarar emeertid ti (69), först sedan faktorn _c_ ersatts med n-r n-r 2 a(t/6) (56) at,(t), (69), n=2, c b/rr b '+ -5 Fig. 8 b. För de hittis betraktade formerna T ha vi såunda utan större svårighet kunnat sätta E (T) i reation ti eb 2 Detta har berott på att det i samtiga fa, så snart c varit ;;; minimisträckan, har existerat ett ta t 0 (T) med egenskaperna: ar (t) ~.ä (f), t> t 0 (T).... (70) För exempevis T 1 med n= 2, c= 0.7 är t 0 (T 1 ) = o.s8b. Pågrundavantagandet att 12 (t) är avtagande ha vi då utan vidare kunnat draga sutsatsen E (T) > eb2 Observera den i detta sammanhang viktiga reationen (53), viken satisfieras även av differensen ar (t)- ä (tfb). Vi skoa i det föjande betrakta kvadratiska former, vikas avståndsfunktioner skära över ä(tjb) fera gånger. För dessa former stäer sig jämföresen med eb 2 ej fut så enke.

48 44 BERTIL NIATERN Vi se först på former grundade på differenser av andra eer högre ordning mean v?-rden från stycken av samma inje. Det amänna uttrycket är: T, ~ ( ~) {A tf (q u)}', (JI) där: L7 f (qn) =ie (- I)i (:)f (qti) 3it/b, 1551 a,,t, 171), ko} co3b/2n k o 2. c o 5 b/3n ko4. co9b/5n /_... f. f: :.... b. :;s 3 b t -2 Fig. 8 c. Man finner ätt de värden, at, antar i punkterna t = o, c, 2 c,... :. 2 (- I)i ( 2 k ) ar3 (te) = (\k) k +i (?I a) Mean dessa punkter öper dr, (t) ineärt. Minimisträckan fås ur ekvationen: c3 (k) = ~ ( 2-- k ~r) (?I b) På fig. 8c har at 3 (t) uppritats för k = 2 och 4, varjämte ti jämförese även kurvan för k = I agts in. Denna kurva är identisk med den, som svarar mot T 1 för n = 2. I samtiga fa har c satts ika med minimisträckan. Förutom i det tidigare behandade faet k = I, få vi en god överensstämmese med

49 NOGGRANNBETEN VID TAXERING ä (t/b) även för k = z. För högre k-värden få vi kurvor, som-- tack vare att c vats enigt (7I b) -ti attbörja med öpa nära inti ä (t/b) och därefter osciera kring ä (t/b) med för växande h at kraftigare svängningar. Man torde därför kunna räkna med att, om (!(t) för t > b/z öper någorunda fackt, få en ganska god överensstämmese mean E (Ta) och cb2. När k bir större än I, kan man dock ej utan vidare påstå, att E (Ta) är större än Eb 2, så snart c överskrider minimisträckan. 4S 3[ , o 2 b \ \ \ ' ' / / / / 1--- a t /b. i 55) (72) vb/n C =oo Fig. 8 d. Nästa formetyp erhåa v1 genom att bida differenser mean värden hörande ti stycken av oika, på varandra föjande injer: - c.k '2 T4 - (\k) [L f (qu)j, (72) där: I faet k = I återfå vi (69) med n =z; i faet c =, k =z bir formen identisk med (9) frånsett en konstant. Minimisträckan bir iksom för T 2 h/n (forme6ga). Fig. 8d visar, hur ar,, (t) ser ut för k =z och c = minimisträckan, varjämte även den gränsfunktion inritats, viken erhåes, då c-+ oo. Av denna gränsfunktion får man ett begrepp om hur ar. ser ut, när c är ika med hea injeängden.

50 46 BERTIL MATERN Om e (t) ära v typ I (fig. 4), få vi en god uppskattning av sb2, när c är =minimisträckan. Låta vi c växa, kunna vi få en kraftig överskattning. Är däremot e (t) av typ II, bir det ganska svårt att se i vad mån sb2 överskattas för c = bjn, och det går ej heer utan vidare att avgöra, hur E (T 4 ) förändras, när c tages ängre än minimisträckan. Därnäst skoa vi betrakta ett femte sag av kvadratiska former, vika kunna betraktas som en kombination av T 1 och T 2, nämigen de former vika användas för feuppskattning vid ett fätförsök utagt i s. k. romersk kvadrat. a(t/b,(56) at,(t), (73), m~n=2, c=3b/2rr - " - m= n= 3, c = 4b/3n I \ ', -3 Fig. 8 e. Sådana former ha föresagits av NÄsLUND (1939, s. 316 o. föj.). Det amänna uttrycket är: Ts = (m-r)c(n-r) f t [f(q;i)-f(q;(n))-f(q/(m)) +f(qcnm)j2,.. (73) där: ~=I 1=I m n m q/" =L " q; j, q/( m) = L q; j, q(nm) - - ""... ""... Den ti T 5 hörande minimisträckan är: q; i i=r i= I j== I i=i n+ r c 5 (n)= --b,... (73 a) n n atså densamma som enigt (67 b). Detta sammanhänger med att i intervaet (o~ t< b) at. (t) sammanfaer med motsvarande at, (t), såsom framgår av fig. 8 e. En närmare jämförese mean at, och at, ger vid handen, att vi atid måste erhåa ett något mindre värde för E (T 5 ) än motsvarande E (T 1 ). Vi ha tidigare funnit, att om c ej underskrider minimisträckan, måste det gäa att

51 NOGGRANNHETEN ViD TAXERING 47 E (T 1 ) > eb2. I viken grad vi nu genom att ersätta T 1 med motsvarande T 5 närma oss sb2 -~ eer eventuet riskera att underskrida eb 2 --kan ej avgöras utan vidare. Emeertid synes det som om E (T 5 ) ej skue kunna atför mycket avvika från E (T 1 ), då för t > b, at, består a v kurvbågar, vika ganska hastigt växa från den positiva ti den negativa sidan. (Se fig. 8e.) För n c= z torde vi därför i T 5 få en god uppskattning av eb 2, när c är ika med minimisträckan. 2 ä (t/b), (56) at,(i_), (74), n=10, k= O, c=11b/10n _,_ n=10. k= 1' c=126/10n _,_ n=10, k= 2, c 13b/10n _:_!..!- ~ -- 2b 3b y, b -2 Fig. 8 f. Sutigen skoa vi betrakta ett exempe på anaytisk utjämning. Låt T 6 vara minimivärdet av n ~ '[f (qi)- n-- -rl i= I ao- a i- - adk] 2 (74) Former av denna typ ha använts av NEYMAN (rgzg). Fig. 8 f visar at.(t) för n = ro och k = o, r och z. I samtiga fa har c vats = minimisträckan. Man kan visa, att den generea formen för minimisträckan är: c 6 (k, n) = n b ( k+ I) I + -n (74 a) Om k är = - o, är (74) identisk med (67). Som av fig. 8 f framgår, får man en bättre uppskattning av eb2, när k växer. Effekten synes vara ungefär densamma som den, man får genom att i (67) ersätta n med det hea ta, som igger närmast nj(k + r).

52 48 BERTIL MATERN Sammanfattningsvis kunna vi nu konstatera, att viken forme vi än använda, är det av stor betydese, att vi åt c giva ett värde i närheten av minimisträckan. Om korreationsfunktionen är av typ I, torde vi då atid få en acceptabe uppskattning av eb 2 Vija vi ha en forme som fungerar på ett tifredsstäande sätt under mera amänna betingeser, böra vi väja ett uttryck, som röner infytande av den topografiska variationen över oika avstånd på i möjigaste mån samma sätt som det sökta medefeet. Detta krav kunna vi även formuera på föjande sätt: Den ti formen hörande avståndsfunktionen bör öpa så nära inti ä (tfb) som möjigt. Man kan givetvis- med utgångspunkt i tiinjestycken hörande f-värden -konstruera kvadratiska former, vikas avståndsfunktioner visa en godtyckigt noggrann överensstämmese med ä (t/b). För praktiskt bruk synas emeertid de hittis betraktade sex grupperna av former vara tifyest. Numeriska iustrationer. Vi kunna giva våra påståenden en mera precis formuering genom att utgå från numeriska antaganden om e (t). Vi förutsätta fördensku: e (t)= e-ht, h> o... (75) Vi ha tidigare sett, att e-ht är möjig som korreationsfunktion (s. 27). Som kommer att framgå av nästa kapite, synes man ofta få att göra med korreationsfunktioner, vika kunna approximeras av (75) eer av två komponenter av detta sag, t. ex. e (t) = 0.4 e-t + o. 6 e-5t. Det kan därför vara motiverat, att vi väja de numeriska antagandena om e (t) på just detta sätt. Ti att börja med kunna vi konstatera, att den av (75) definierade kurvskaran innehåer korreationsfunktioner såvä av typ I och typ II som av övergångstyp. (Jfr fig. 4.) För funktioner av detta sag skue vi kunna göra exempevis föjande konvention i fråga om vad som ska menas med typ I och typ II: e (t) är av typ I, om h b~ 4, av typ II, om hb ~r. Därefter studera vi, hur eb 2 förhåer sig för oika värden på konstanten h i (75). Vi utgå då från (57) och skriva, med införande av en ny funktion oc: eb 2 = 00 (t) 00 a 2 f e-h t ä b d t= a 2 b f e-" b" ä (u) du= a 2 b rx(hb) o o.. (?6) Ta b. I visar, hur funktionen oc (x) ser ut. Tabeen sätter oss i stånd att vid godtyckiga värden på h och b räkna ut eb 2/a2. Tabeen kan emeertid även användas i det fa, då e (t) =I pi e-hit (se exempe 2, s. 95). Vi finna t. ex., att - vid ett fixt injeavstånd - det högsta medefeet erhåes, då h~ 5/b, medan för mycket höga eer mycket åga h-värden me-

53 NOGGRANNHETEN \'ID TAXERINC; 49 defeet bir betydigt ägre. Av större intresse är, att vi nu kunna se, hur medefeet påverkas av en ändring av injeavståndet b. Ehuru vi härmed avvika från detta kapites huvudtema, skoa vi gå något närmare in på probemet. co Tab. I. Funktionen I 000 f (x)= I 000 Je-xt a (t) d t. The function x r ooo f (x) x jr ooo a (x) x jr oooa (x) o o o I s6 o o o u o ro8.o 72 I. o 66.2 r6 g8. s s 8o I. z 76.8 r8 go. 36 g s I.6 gs I. ss 120 I.S z rz8 2 IIO.S 32 s6. r z o so o 4 q8.s I 000 s rsz II A n m. Sista siffran är i vissa fa osäker. Rem. 1'he ast cipher is in certain cases uncertain. 36.o zg r r6.z g I. 994 o Ti grund för resonemanget ägga vi kvoten cp (b)= 8~/8~, viken anger förhåandet mean medefeskvadraten vid en regebunden injetaxering med injeavståndet b och medefeskvadraten vid en ika omfattande taxering med sumpvis utagda injer. Funktionen cp (b) kan bestämmas ur tab. r. En grafisk framstäning av cp (b) ämnas i fig. 9 Dessutom kan hänvisas ti tab. 12 i kap. V, som ger vissa numeriska värden på kvoten 8b2/a 2. I fig. 9 visas cp (b) :s föropp för vissa h-värden, vika bestämts på så vis, att korreationsfunktionens värde för avståndet r km, viket i fig. betecknas med (!, satts ika med o.ooo1, o.oooz, o.ooos osv. Vi betrakta ett exempe. Antag e =o. r. Hur påverkas medefeet, om vi gå över från en taxering med r 1/ 4 km injeavstånd ti en taxering med ett dubbet så stort injeavstånd? Av figuren se vi, att 8~. 25 och 8~. 5 förhåa sig ungefär som o. r g ti o. 44 Om vi så taga med i räkningen, att den sammanagda injeängden är häften så stor vid den senare taxeringen, finna vi, att medefeen förhåa sig som 1/o.rg/2 ti /o.44. Om 8 betecknar medefeet vid r. z s-km-taxeringen, bir såunda medefeet vid 2. s-km-taxeringen ca 2. r 8. Lägga vi ut två 2.5-km-taxeringar oberoende av varandra, bir medefeet ca r. s 8, medan en ika omfattande sumpvis utagd injetaxering ger det hög a värdet Lägga vi ut injerna på måfå, måste såunda taxeringen göras 4 Liedde. jrdn Sa!cH.s Skogsjorsutingsinstitut. Band 36: I.

54 BERTIL JVI;\Tf~RN 0,5 0,5 0,2 0,2 0,1 0,1 0,05 0,05 0,02 0,01 0,1 0,2 Fig. 0, b, km o.ooos, o.oor, o.oo::, g. Funktionen g;(b) = sb'fsrx," för e-hb= e= o.ooor, o.oooz, The function for o.oo5, o.or, o.oz, o.os, o.r, 0.:2, 0.5. Logaritmiska skaor. Logarithmic scaes. ca 5.3 gånger så omfattande som r.zs-km-taxeringen, för att medefeet ska biva detsamma (=s). Av fig. 9 och exempet framgår att, då korreationsfunktionen är av typ I, eer innehåer en dominerande komponent av denna typ, fördeen med den regebundna utpaceringen av taxeringsinjerna ej är ika markant, som då korreationsfunktionen är av typ II. Är t. ex. e= o: s, är denna förde märkbar vid misånga injeavstånd, medan för exempevis e = o.ooor injeavståndet måste gå ner ti ca I km, för att den ska framträda. Att korreationsfunktionens utseende spear en utomordentigt viktig ro för en injetaxerings medefe framgår såunda tydigt. Vi gå nu tibaka ti jämföresen mean oika kvadratiska formers matematiska förväntan. I tab. 2 visas för ett anta av de tidigare betraktade formerna T, hur E (T)/sb 2 förändras när (!(t) är given av (75) och e (b)= e-h b får genomöpa en viss föjd av värden. Dessa värden ha vats så att vi i tre fa (ko. 4-6) få en korreationsfunktion av typ I, i ett fa (ko. 7) en övergångstyp, samt i två fa (ko. 8, 9) en funktion av typ II. Ti att börja med få vi av tab. 2 en bekräftese på vikten av att vi håa

55 Tab. z. E(T)/eb" när e(t)=e-ht. w hen "' "' I 2 3 [ Forme Formua ej b ' i : a (67) Tr n= b c d 2 e n= 3 4/3 n 3/2 n I f n= 5 6/5 n g n= ro II j ro n h (69) r. n= 2 rfn i I j 00 k (7r) T3 k= 2 5/3 n ~ m k= 7/4 n n (7z) T4 k= rfn o I I 1 hb = 00 hb = IZ hb = 4 hb =!.4 hb = 0.6 e-hb =o - hb - hb - hb - h b e =o.ooooo6iie =o.oi832 e = e =0.549 r. o o o o o I. o o o I. 036 I. 2 3 I. 53 I. 7 5 I. o o o I Ig I. o o o. 3 I r6.93 I. o o o!.037 I. 2 7 I I. o o o!.039 I. 3 2 I I. OOO!.040 I s 3 50 r.ooo!.043 I Z.g6 r. o o o I s.os 7 I 7 I.ooo I IO g. I I. 000 I. 036 I. I 8 I. 2 7 I. 2 s r.ooo I I8 I. o o o I. 036 I. I 5 I. I S, I 5 r. o o o I. 043 I. 4 I z.o I. 000 I s. 3 5 hb =o e-hb =r o.s g.o3 36. I I S9 IO.o6 00 I I I. I I z o ~ ~ ;:o ~ z :r: tr >-1 tr z --:::... t: >-1 > >< tr?:1 H z ~ p 00 q (73) Ts m= n= 2 3/2 n r s m= n= 3 4/3 n t (74) r. n= ro k = o II/IO n I I. 000 I !0.45 I. o o o I. o I I. 3 6 I. 3 8 I. 000 I I. o o o I. 037 I. 2 5 I. 53 I. 6 3 r. o o o I. 040 I !2. 5 I I I. 6S 5 53 u k= I r2fro n v k= 2 13/IO n I. o o o!.039 I. 3 2 I I. 000 I I. 2 7 I. 64 I so. 8 I U

56 52 BERTIL MAT-ERN oss ti den ti en kvadratisk form hörande minimisträckan. De på raderna b, e, f, g, h, k, m, n, q samt s-v upptagna formerna äro aa hänförda ti sina resp. minimisträckor. Vid en jämförese med övriga rader se vi, att redan då korreationsfunktionen är av typ I (ko. 4-6), få vi en dåig uppskattning av eb2, om injestyckenas ängd atför mycket avvikerfrån minimisträckan. Av detta sag äro b. a. de i itteraturen föresagna differensformer, vika bygga på värden från hea injer. De motsvaras närmast av de på raderna j och p i tab. 2 införda formerna; j svarar mot den tidigare betraktade forme (8) och p mot (g). Om de antaganden, som igga bakom tab. 2, något så när riktigt beskriva de faktiska förhåandena, måste dessa differensformer tydigen betecknas som jämföresevis oämpiga. Bäst av dem är givetvis forme (g) (=rad p). Vi kunna därefter med tabeens hjäp jämföra oika ti sina minimisträckor hänförda former. Vissa T infueras, som tidigare påpekats, av den topografiska variationen över rätt ånga avstånd, även när de hänföras ti sin minimisträcka. Något utprägat sådant fa har ej tagits med i tab. z; en viss uppfattning om den ganska kraftiga överskattning av eb2, som då inträder, så snart korreationsfunktionen är av typ II, ämnar emeertid rad g (=rad t). De former, som endast i mindre utsträckning infueras av e (t) :s föropp för höga t-värden giva däremot en ganska god uppskattning, även när korreationsfunktionen är av typ II. De band dessa former, som enigt tab. 2 synas vara de bästa, äro i tur och ordning: m, k, q, b och s. Av tabeen få vi en ungefärig uppskattning av de högsta och ägsta värden som E (T)/sb 2 kan antaga för oika värden på exponenten h i (75). Vi böra emeertid beakta, att vi få samma maximum och minimum ävenidet betydigt amännare fa, då e (t) =Lp; e- 71 i t(p;, h;> o, I:p; =r). Av de nu nämnda fem formerna är b den vid praktiska räkningar enkaste, medan särskit m kräver ett ganska omfattande räknearbete. Detta sammanhänger b. a. med att en på differenser av tredje ordningen uppbyggd forme fordrar, att man tager med ett mycket stort anta observationer. I motsatt fa får man nämigen ett högt värde på medefeet, D (Ta) Vi skoa ej i detaj diskutera genom de oika formerna i tab. 2. Läsaren kan ätt finna ytterigare bekräfteser på de tidigare i detta kapite gjorda påståendena. Uppskattning av medefeet med hjäp av två kvadratiska former. Låt oss betrakta två oika kvadratiska former, t. ex. T 1 (forme 67) med n =c 2 och Ta (forme 71) med k = 2. Vi antaga, att båda formerna bygga på observationer från injestycken, vika aa ha ängden c. T 1 och Ta äro såunda

57 NOGGRANNHETEN VID TAXERING 53 grundade på differenser av första resp. andra ordningen mean observatiof " r d r t k r d. v b"d k t T.{ E (T3) ner ran nar 1ggan e mjes yc en av ang en c. 1 1 a vo en I' 1 = roo E (T 1 )" Det vis~r sig i detta fa att, om e (t) är en exponentiafunktion, kunna vi av K 1 entydigt bestämma exponenten h i (75). Vi kunna då även bestämma Fig. ro. Diagram för interpoation mean oika medefesformer. Diagram for interpoation between different standard error formuae. 2 kvoten roo E ~~ 1 ), för viket värde som hest på b. Fig. ro ger direkt värdet på denna kvot som en funktion av K 1, när injeavståndet b utgör vissa mutiper av c. Exempe. Antag c = 2 km, b = 6 km, såunda b = 3 c, samt K 1 = 85. Av fig. ro finna vi, att s 6 2 uppgår ti carzo %av E (T1 ). Hade injeavståndet varit t.. ex. endast r km (b = cj2), skue medefeskvadraten, s 1 2, bott ha utgjort 8.z% a~ E (T 1J

58 54 BERTIL MATERN E (T (2CJ) I fig. ro har också inagts en skaa K 2, där K 2 är ika med roo E (~ 1 ) T 1 ( 2 c) är en kvadratisk form av samma typ som T 1 ; enda skinaden är, att den bygger på dubbet så ånga injestycken som de vika ingå i T 1. T 1 ( 2 cj är såunda bestämd av differenser mean observationer från näriggande 4 km-stycken, när T 1 är bestämd av differenser mean observationer från näriggande 2 km-stycken, osv. Även om e(t) ej exakt föjer forme (75), torde man kunna få fram acceptaba närmevärden med hjäp av fig. ro. Man bör emeertid betänka, att man i ett praktiskt fa endast förfogar överobserverade värden av kvadratiska former, t. ex. T 1 och Ta. För att man verkigen ska kunna utnyttja diagrammet fordras, att det observerade värdet av T 1 /Ta ej atför mycket avviker från E (T 1 )je (Ta Det skue föra för ångt att diskutera vikoren för detta. Här ska bott påpekas, att det är en förde ju sta.rkare positivt korreerade de två formerna äro. I dyika fa tenderar nämigen medefeet ti T 1 /Ta att minska. Att, som sker i variansanaysen, väja ut två inbördes ortogonaa former är såunda mindre ämpigt i detta sammanhang. När e (t) är hastigt faande, typ I, kunna vi uppskatta korreationen mean T 1 och Ta genom forme (26). I annat fa måste vi använda den mer svåröverskådiga forme (33). Denna interpoationsmetod torde kräva ett ganska omfattande räknearbete, varför dess praktiska användbarhet synes vara ganska begränsad. En enkare princip för sammanvägning av två kvadratiska former behandas i kap. IV (s. 8g). Den avser endast att giva ett uttryck, vars matematiska förväntan är;?; cb2, medan den nyss framstäda metoden avser, att- under de redovisade förutsättningarna -- giva ett i genomsnitt riktigt, >mnbiased>), närmevärde för cb 2 Viken av dessa metoder man än tiämpar, bör man söka sådana kvadratiska former, att deras matematiska förväntningar igga å ömse sidor om c1> 2 I exempevis det nyss behandade faet bör det såunda gäa: E (Ta)< fib 2 <E (T), givetvis under förutsättning att e (t) är faande. I annat fa bir det fråga om en extrapoation, och särskit om extrapoationen ska utsträckas ångt, bir den vanskig att utföra (jfr s. 24). Korreationsfunktionens spektraframstäning. För den hittis förda diskussionen har antagandet, att korreationsfunktionen bestiimmes enbart genom avståndet, varit väsentigt. Man kan givetvis stanna vid den i (37) införda funktionen e (~t, v) och uttrycka varje E (T) i denna funktion av två variaber. Formeräkningarna komma då att stäa sig enkare, men några säkra håpunkter för en jämförese mean cb2 och oika E (T) erhåas ej. Om vi utnyttja vårt antagande, att e (u, v) tihör kassen K 1 av reea karakteristiska funktioner, kunna vi vidare använda den

59 NOGGRANNHETEN VID TAXERING 55 i forme (4o) givna s. k. spektraframstäningen av e (u, v). Med andra ord, vi kunna uttrycka varje betraktad matematisk förväntan i den i (40) uppträdande fördeningsfunktionen F (x, y). Det visar sig, att man på detta sätt når fram ti synnerigen eeganta uttryck. Ett par exempe skoa därför anföras. Vi behöva nu ej förutsätta, att injebredden är o; vi antaga, att varje taxeringsinje har bredden Ö. Låt som förut q vara inbegreppet av aa taxeringsinjerna i fig. I och Q hea undersökningsområdet. Då är: E { f (q) _f (Q)J2} =! Jr ( sin n b Y)', 2 (' sin x \) 2 / sin ö y sin b y ) \. ~Y --d- { -d--~ dxyf(x,y). (77) \n sm- - \ - - '"/ ~oo -oo \ 2 2' 2 2 Betrakta så den av (73) definierade formen T 5. Vi finna: E (T 5 ) = (m~~~(~cr~i) j ('i:::} ('i:::)2 c:j: f o jr"' f> '" 2/ '2 ' oo -oo.,-i-(' oin~:)'~~ dxyf(x, y)... (78) msm-; 2 - Att direkt anknyta diskussionen ti uttryck sådana som (77) och (78), synes emeertid ogörigt. Det torde nämigen vara ganska besvärigt att bedöma sambandet mean den topografiska variationen och fördeningsfunktionen F(x, y).

60 56 BERTIL 1\tATEEN 30. I KAP. III. DEN MATEMATISKA MODELLEN OCH VERKLIGHETEN. De sutsatser, vi drogo i förra kapitet, voro en föjd av våra sannoikhetsantaganden. Innan vi tiämpa resutaten i ett praktiskt fa, måste vi övertyga oss om att dessa sannoikhetsantaganden giva en åtminstone i grova drag trogen bid av verkigheten. Vi skoa därför i detta kapite - främst med hjäp av statistiskt materia från den andra svenska riksskogstaxeringen -undersöka, hur pass vä den stochastiska modeen stämmer överens med de faktiska förhåandena. I den mån vi finna en bristande överensstämmese, måste vi vara beredda att modifiera antagandena. Linjebredden. Vi taga först upp en punkt, där vi gjort ett medvetet avsteg från verkigheten. Vi förutsatte i förra kapitet, att taxeringsinjerna voro injer i matematisk mening, dvs. injer utan bredd, medan de ju i sjäva verket äro bäten av några meters bredd. Genom att giva en specie innebörd åt de i kap. II införda stochastiska variaberna f(u, v) kunna vi emeertid komma över ti faet med en positiv injebredd. Vi kunna nämigen åta f(u, v) vara exempevis ett genomsnittsvärde, viket hänför sig ti en kvadrat med centrum i (~t, v), med en sida parae med taxeringsinjens riktning och med sidans ängd ika med taxeringsbätets bredd. Med denna tokning kommer den ti ett område q hänförda variaben f(q) ej att exakt svara mot den tidigare betraktade (forme44). Man ser emeertid, att det endast är för högprocentiga taxeringar, som denna bristande exakthet kan spea någon ro. I sådana fa får man givetvis tiämpa de något krångigare former, vika resutera ur antagandet att injebredden är > o. Oika antaganden för oika områden. Vi skoa vidtaga ytterigare en modifikation av våra sannoikhetsantaganden, viken förefaer behövig redan innan vi konfronterat modeen med verkigheten. Det måste nämigen a priori framstå som föga yckat att-- såsom vi gjort i föregående kapite - antaga, att de betraktade stochastiska variaberna f(u, v) ha samma egenskaper i hea undersökningsområdet, särskit när vi ha att göra med mycket vidsträckta områden. Det visar sig emeertid nu, att om vi bott vidtaga vissa försiktighetsmått, de tidigare resutaten

61 NOGGRANNHETEN VID TAXERING 57 bibehåa sin gitighet även under mer amänna antaganden. Ehuru det hea är ganska triviat, skoa vi ägna probemet några ögonbicks uppmärksamhet. Vi tänka oss, att undersökningsområdet Q är indeat i s deområden, Q 1, Q 2,.., Qs. Genom Q; öpa taxeringsinjer, vikas sammanagda ängd är L; ängdenheter. Vi införa oika antaganden för de oika deområdena. Vi förutsätta såunda, att variaberna f (~t, v) inom Q; karakteriseras av medevärdet m;, dispersionen a; och korreationsfunktionen e;(t). För varje Q; få vi då ett uttryck [sb(i)].2/l; för medefeskvadraten (forme 66). Om vi betrakta det sutiga medefeet, sbf\/l, där L =L: L;, erhåa vi: L eb 2 = s L L; [eb(i)]2.... (79) i=i Vi basera sedan medefesuppskattningen på exempevis den kvadratiska formen Tv (67), med n = 2. Som framhös i kap. I (s. zo), böra vi då så samman ett visst anta uttryck av typen Tv dvs. bida T enigt formen: " T=' ~ LT1U,... (8o) där T 1 (i) är det j:e av de k oika uttrycken av denna typ. Om vi nu sprida ut de injestycken, vika igga ti grund för beräkningarna, på ett regebundet sätt över Q, kommer varje Q; att vara representerat i T i ungefärig proportion tiängden L;. I så fa gäer approximativt: s i=i - LL Cb - Cb o o o o 00 o o o o 00 (Sr) E (T) - ""\:"' ~ [ (i]2-2 i= I I fortsättningen kunna vi därför förutsätta, att vi endast ha att syssa med små områden, för vika vi arbeta med enhetiga sannoikhetsantaganden. Observationer över den topografiska variationens beroende av avståndet; Korreogram. De grundäggande antagandena i förra kapitet avsåga den topografiska variationens beroende av avståndet. Vi kompettera nu de tidigare mera amänt formuerade iakttageserna med siffermässiga observationer. Vi uttrycka dessa med hjäp av korreogram, vika erhåas på föjande sätt. Ti punkterna (u;, v;), vika igga utspridda över ett område Q, äro de observerade värdena f (u;, v;) anknutna. Vi taga band punkterna ut ett visst anta, åt vara n 1, par a v punkter, vika ha den egenskapen, att avståndet

62 58 BERTJL VIATERN mean de två punkterna i ett punktpar är t ängdenheter. Det första punktparet beteckna vi med (uv v 1 ), (u 2, v 2 ), nästa med (u 3, v 3 ), (t-t 4, v 4 ) osv. Vi tiåta härvid, att en och samma punkt ingår i två oika punktpar. Så kan t. ex. (u 2, v 2 ) få vara samma punkt som (u 3, v 3 ), (u 4, v 4 ) få vara samma punkt som (u 5, v 5 ) osv. Vi bestämma nu en korreationskoefficient, r (t), enigt formen: där "t L [j (Uzi-1, Vzi-1)- f,] [f (Uzi, Vzi)- /zj r (t) = i=r... (82) v~ [/(Uzi-1, Vzi-1)-j,J2 ~ [/Uzi, Vz;)-/z]2 ~=1 i= Denna bestämning utföres för oika värden t. En grafisk bid av r(t) som funktion av t kaa vi ett korreogram (jfr WoLD 1938, s. 135). I tab. 3-5 redovisas några enigt (82) uträknade korreationskoefficienter. På tabeerna baserade korreogram återgivas i fig. II och 12, Fig. II och de motsvarande tabeerna 3 och 4 bygga på uppgifter från fem taxeringsinjer i norra deen av Gäveborgs än. Var och en av de fem injerna har en ängd av 6 mi. Linjerna gå i riktningen sydväst-nordost; injeavståndet är 62/ 3 km. Deras inbördes orientering är densamma som i fig. r. De koefficienter r (t), för vika t är < 62/ 3 km bygga givetvis på par av punkter, vika båda igga på samma inje. Det i fig. II framstäda korreogrammet giver därför besked endast om den topografiska varia tiorren i in j eriktn ingen, De koefficienter i tab. 3 (och 5), vika hänföra sig ti avståndet m, avse emeertid den mot taxeringsinjerna vinkeräta riktningen.,;~ ' ' 0,5 - ~\ ' Pcovytoc (ta b 3) SampLe pats Aceaexteciöcec tab 4) Ar>ea r;.egi.stp.t''s 0,4e- 1 0,6e e -t ~ 0,6 e ~----~ ~~-~~~ ~~~====~======~~ 0o O,s,o o 2.5 3o kft' Fig. r I. Korreogram. Correograms.

63 NOGGRANNHETEN VID TAXERING 59 I Tab. J. Utbredningen av skogsmark i norra deen av Gäveborgs än enigt provyteprotoko från 1942 års taxering. Korreationskoefficienter för punkter på meters avstånd. Koefficienterna äro beräknade av rso-i8o värdepar. Area of forest and in the northern part of Gäveborg. Data from the sampe pots of the I942 surv.oy. Correation coefficients for points at distances of metres. The coefficients are cacuated from I50-I8o pairs of vanes. 2 3 I 4 Avstånd, meter, t Distance, ruetres I Korreationskoefficienter, r t Correa tian coefficients IGenom-I Genom- Min. Max. snitt snitt 1 Average i Avetage so o 6Io 6Io oo 980 I oro I 210 I 480 r 6oo r 8oo IO o. 58g o. 43 z O. 35 I 493 o. 322 o. 342 o ro o o I 0,:2 I 2 i 790 0, I 95 o. I87 I 000 o I 2 8 0, I 38 o.og6 0. I I I 5 I o I 45 0, I 56 -o.oo I 667 O. r Bo -o.oo8 -o.or6 o. 220 o I 87-0, o. rrz o. 5 ro o o. 344 o. 302 o. 21:2 o. r g r 0. I 55 o. o8 2 o o. 043! oo ,042 o. og 8 o.o5 6-0,049 -o.or O.or6 3 J40,, o.o6o o. o o. o ,01 I o.oo6 -o. oro -0. III o.oo6 o.o96-0, I 0, I 3 6 o.o6o -o.or6 0,018 Tab. 4 Utbredningen av skogsmark i norra deen av Gäveborgs än enigt areaexteriörer från r 942 års taxering. Korreationskoefficienter för punkter på so-400 meters avstånd. Area of forest and in the northern part of Gäveborg. Data from the area register of the 1942 survey. Correation coefficients for points at distances of metres. - I 2 3 Avstånd, meter, t Anta värdepar Korreations- Distauce, ruetres Number of pairs koefficient, r t of vaues earreation coefficient so 6+0 O. Og 3 IOO s6o o. 522 I o o. 34I 350 r6o 0, 3 I o o, 271

64 60 BERTIL MATERN När de i tab. 3 och 4 upptagna, koefficienterna bestämts, har f( u, v) haft definitionen: f r, om (u, '1!) igger i skogsmark; f (u v) = 1 ' \o, i annat fa (83) Tab. 5 Landarea, skogsmarksarea etc. i norra deen av Gäveborgs än enigt provyteprotoko från 1942 års taxering. Korreationskoefficienter för punkter på 2oo meters avstånd. Koefficienterna äro beräknade av ISO-r8o värdepar. Area of and and forest and etc. in the northern part of Gäveborg. Data from the sampe pots of the 1942 survey. Correation coefficients for points at distances of zoo metres. The coefficients are cacuated from rso-r8o pairs of vaues. I i 7 8 Tab. 3 är grundad på s. k. provyteprotoko. Punkten (u, v) har härvid ansetts faa i skogsmark, om minst 6/ 10 av den provyta som har sitt centrum i (u, v) är skogsmark enigt provyteprotokoet. Ifrågavarande provyta består av två cirkeytor, var och en med 4.6o7 meters radie, med medepunkterna på taxeringsbätets mittinje och på 20 meters avstånd. Provytorna äro sex på varje sträcka av 2 km; tab. 3 bygger såunda på protoko från go o provytor. Det minsta avståndet mean två närbeägna provytor är 200 m. Tab. 3 kan såunda ej giva några r (t)-värden för t < 200 m. Ti kompettering har därför den på de s. k. areaexteriörerna byggda tab. 4 uträknats. I areaexteriören uppdeas taxeringsinjerna på skida ägosag, boniteter, huggningskasser osv., med angivande av de punkter, där ett visst ägosag, en viss boni- Genomsnittigt avstånd, meter, t Avetage distance, me tres Anta korrea- Genomsnitt a v korr e a tionskoefficien ter, r t tionskoeff. A ~_erag'e of correåtion coe~ficients_ Number of correatio' coeff. x t x x 1x x 11x3 -:-0.4I x 2 1x4 -o.o6g x 2 "' zoo I o. 728 o o. 266 O, 23 5 o O, O, 266 0, I g6 0. I I , I I 5 0. I74 0. I 8 I 0. I O , IOI o. I45 0. I I o. 230 o.oo8 O. 09 I 0. O O 0,024 o I , I 78 o. og6 0, O 8 I 0. I I 03 o. o Go I o. 03 o ,017 :' 1 = andarea; area of and. x 2 area skogsmark; area of forest and. X3 = >) >) av bonitet V; area of forest and of site-eass V. x 1 = Yoym ay träd med över 15 cm brösthöjdsdiameter, m 3; vohnne in cubic metres of trees with hreast height ~irth above r~ cen~ime~res 1

65 ~ f) : 1 NOGGRANNHETEN \'Tn T;\XERTNc; 61 tet osv., sutar och nästa tar vid. Aa mätningar kunna anses hänförda ti taxeringsbätets mittinje. Redovisningen är emeertid ej fuständig, så ti vida att för små av skog innesutna myrar ofta bott injeängden genom myr men ej myrens äge angivits. I dyika reativt säsynta fa har- för att beräkningarna i tab. 4 skue kunna genomföras-- sumpen fått avgöra, huruvida en viss punkt ska anses faa i skogsmark eer ej. En tabe (Fr she R & YATES 1943, s. go-95) över sumpmässigt ordnade siffror, Handom numbers)>, har härvid använts. Funktionen f (u, v) har såunda något oika betydese i tab. 3 och i tab. 4, viket torde förkara, att vi i det senare faet erhåa ägre värden på r (t). För tab. 5 har iksom för tab. 3 provyteprotokoen bidat underag. Koumn r i ta b. 5 svarar mot ko. 3 i tab. 3, medan var och en av ko. 3-8 svarar mot ko. 5 i tab. 3 Det skue föra för ångt att i detaj redogöra för hur de oika koumnerna erhåits. Då de i ko. 5-8 upptagna koefficienterna äro av en typ, som kommer att spea en viss roängre fram, skoa vi emeertid beskriva ett exempe och väja därvid ko. 6. Den i (82) ingående variaben f(u, v) har i detta fa erhåits ur reationen: f (u, v) =g (~t, v)- k h (u, v),... (84) där h (U:, v) = r eer o, ateftersom den ti (u, v) hörande provytan igger i skog eer ej (forme 83), medan g (u, v) = r eer o, ateftersom provytan igger i skogsmark av bonitetskass V eer ej, under det att k är den reativa frekvensen av provytor hörande ti bonitetskass V band samtiga på skogsmark faande provytor inom undersökningsområdet. För att g (u, v) ska vara =!= o (dvs. = r) fordras såunda, att även h (u, v) är =!= o. Detta samband mean h och g bör eda ti att motsvarande korreogram ikna varandra. Genom att ersätta g (u, v) med den enigt (84) bidade differensen f (u, v) kunna vi räkna med att i viss mån eiminera det infytande h har på g. Av figurerna ser man omedebart den sjunkande tendensen hos r(t). Det vi synas som om man redan för t = ca 3 km skue få r (t)-värden i omedebar närhet av nopunkten.- Vi man genom ett anaytiskt uttryck utjämna de observerade värdena r (t), synes en uppåt konkav avtagande funktion ämpig. Med försöksvis inagda kurvor av typen erhåes, som fig. II och 12 d visa, en god anpassning ti korreogrammen. I vissa fa synes det vara tiräckigt med endast en term i (85), se fig. 12 a. Ur vissa synpunkter hade det varit yckigast, om varje observation f (u, v), g(u,v)osv.hänförtsigendast ti punkten (u, v)ochejsomivåraexempe ti ett visst område med centrum i (u, v). När vi ha att göra med en uppdening av areaen, på oika ägosag, oika sag av skogar osv., (85)

66 62 BERTIL VIATER!\ Jh : rit) 1,0 -,td --e Landarea tab 5. ko ig 2<o o o km t rit) 1,0 Sko~smark tab.5, ko6) 0,4e -t ' 0,6 e -51 (f;~ I) o r (t) Bonitet V ta b 5, ko. 41 Bonitet V tab 5. ko. 7) 0,5 o o rit) 1,0 ig 126 km t o o r, e 12 c km t Kubikmassa (ta b. 5, ko. B) 0,4e 3 t + 0,6e- 12 ' o o "2 Ii g. 12 d Fig. 12 a----c!. Korreogram. Correograms. torde skinaden dock ej biva så stor. Annorunda stäer det sig, när vi betrakta siffror över kubikmassa, tiväxt och andra egenskaper hos de enskida träden. I detta fa kommer korreogrammet att starkt påverkas av storeken och formen av det område kring (u, v), som igger ti grund för bestämmandet av f (u, v). Om vi utnyttja endast ett mycket itet område kring (u, v), någon kvadratmeter t. ex., är det ej utesutet, att vi få ett korreogram, som avviker ganska mycket från dem, vi hittis sett. Man skue nämigen

67 3 () : t NOGGR,t..NNHETEN \TD TAXERJNC; 63 kunna förmoda, att r (t) i ett sådant fa får ett minimum strax ti höger om t = o, t. ex. för t = 2 meter, då träden ju ej kunna stå hur tätt som hest. En effekt av detta sag synes föreigga på åkerfät. HUDSON (1941) har påvisat en negativ korreation mean avkastningen av en ruta på ett fät och pantantaet på de näriggande rutorna. För föreiggande undersökning torde probemet om hur r(t) beror av definitionen av f(~t, v) dock vara av föga intresse. Om man däremot vi yttra sig om hur taxeringsinjernas bredd eer en provytas storek och pacering påverka en taxerings noggrannhet, biva överväganden av detta sag betydesefua. --I itteraturen om fätförsök framhåes ofta ämpigheten av att rutorna på ett fät göras ånga och smaa. Se t. ex. FrsHER (1942, s. 65). Om man inför en av avståndet beroende korreationsfunktion, bir det ytterst enket att motivera en sådan anordning. Sambandet mean korreationsfunktion och korreogram. Vi antaga nu, att värdena f (~t, v) i forme (82) äro observationer på stochastiska variaber med de i (35), (36) och (42) uttryckta egenskaperna. I så fa bir även r(t) en stochastisk variabe. Av våra sannoikhetsantaganden föjer, att denna variabe måste ha vissa bestämda egenskaper. Vi skoa nu se i vad mån dessa återfinnas hos de observerade värdena r (t). Vi antaga för enkehets sku, att f 1 och f 2 (forme 82) äro genomsnitt ti precis samma observationer, att f 2 m. a. o. är identiskt ika med f 1. Genom att i (82) ersätta var och en av de tre summorna med sin matematiska förväntan få vi: e (t)~ E [(f- m)2] a2 E [(f- m)2j (86) r~ a2 Under vissa betingeser kunna vi räkna med att r (t) med mycket stor sannoikhet igger i omedebar närhet av (86). Dessa betingeser kunna formueras på oika sätt; det väsentiga är att n 1 i (82) är stort och att motsvarande punkter ej igga atför tätt. Låt oss antaga, att dessa förutsättningar äro uppfyda. Forme (86) visar, att r (t) då bir en ineär funktion av e (t). Våra antaganden om att e (t) är en kontinuerigt faande funktion måste medföra, att även r (t) får denna egenskap. Så ångt våra iakttageser sträcka sig finna vi heer intet som strider häremot, se fig. II, 12, 14. Observera dock vad som nyss sades om de mätningar, vika hänföra sig ti de enskida träden. -Om kvoten E [(/ 1 - m) 2]/a2 kan försummas, få vi genom r (t) direkta observationer av korreationsfunktionen e (t). Man finner ätt, att kvotens värde sjunker, om området Q utvid-

68 64 BEHTITo MA TERN gas. Härvid växer tydigen r (t) mot e (t). Att korreationsfunktioner, vika hänföra sig ti ett geografiskt område, biva beroende av detta områdes storek har tidigare observerats. Se t. ex. WOLD (1938, s. rog). VIToLD betraktar emeertid stochastiska variaber, vika bestå av en systematisk och en sumpmässig komponent, varför hans förkaring ej het passar in i vårt fa. Att vi i r (t) bott ha en viss ineär funktion av e (t) och ej e (t) sjäv, är en oväsentig oägenhet. I föregående kapite jämförde vi en matematisk förväntan E (T) med s,, 2 =E (T 0 ). Vid dessa jämföreser kommo endast vissa värden e (t) att spea någon ro, nämigen de värden e (t) antar i ett interva ti höger om nopunkten, uppgående ti högst två a tre gånger injeavståndet b. Om vi i detta interva ha tifredsstäande observationer över en ineär funktion av e (t), kunna vi uppskatta kvoten E (T) fe (T 0 ), då denna kvot ej förändras, när vi göra en ineär transformation av e (t). Tiräckigt precisa observationer av r (t) äro såunda i detta sammanhang tiika god nytta som direkta observationer av e (t). Vi få härigenom en viss motivering för att studera korreationsfunktioner av typen (75). Som förut framhåits, är det rimigt att förutsätta, att vissa korreogram, r(t), avvika från en jämnt faande kurva för vissa åga t-värden. Detta är ej möjigt, om ej e (t) har ett iknande föropp. Som ikaedes antytts tidigare, spear det ej så stor ro för denna undersökning, hur härmed förhåer sig. Detta sammanhänger med att för ifrågavarande åga t-värden samtiga avståndsfunktioner i kap. II antaga värden mycket nära z, varför aa E (T), såunda även Eb 2, röna samma infytande från denna eventuet uppträdande oregebundenhet. Den topografiska variationen i oika riktningar. De hittis anförda värdena r (t) ha för t < b avsett variationen ängs med injerna. Vi skoa nu studera vissa data, som giva uppysningar även om variationen i andra riktningar. På generastabskartor över norra Gäveborgs än utades 384 grupper av tre punkter. Undersökningsområdet var något större än det tidigare betraktade. Det inbördes äget av de tre punkterna framgår av fig. 13. För var och en av de = r 152 punkterna noterades, huruvida den enigt kartan fö i skogsmark, annan mark eer vatten, varefter korreationskoefficienter uträknades på samma sätt som nyss. Se tab. 6. Ehuru tabeen bygger på ett reativt itet materia, äro skinaderna mean korreationskoefficienter för oika riktningar så stora, att det måste förefaa troigt, att de skue kvarstå även om man utvidgade undersökningen genom att taga med ett mycket stort anta punkter. Nu är dock att märka, att överförandet ti kartan av i~kttageser ute i terrängen ej sker på ett ik-

69 36 ; I NOGGRANNHETEN VID TAXERING 65 formigt sätt i aa riktningar, varför divergenserna mean oika koefficienter i tab. 6 ej nödvändigtvis behöva svara mot någon faktiskt föreiggande oikhet. Som exempe på denna oikformighet kan nämnas, att tecknen för sank mark atid ritas i riktningen öster-väster. Ett statistiskt materia, som är bättre ägnat att beysa probemet, föreigger i de vid taxeringen av andets tre sydigaste än under sommaren 1945 insamade uppgifterna. Vid denna taxering inades nämigen ett regebundet injenät såvä i nord-sydig som i väst-östig riktning. I tab. 7 visas korre- N p3 s 500>/2 m p2 500 m 500 m Fig. 13. Läget av punkterna P 1, P, och f 3 i tab. 6. The ocation of the poi_uts P 1, P 2 and P 3 of Tab. 6. ationskoefficienter, vika beräknats med hjäp av provyteprotoko från ett rektanguärt område i meersta Bekinge. På varje injestycke av 2 km ängd utades fem provytor av förut beskrivet sag. Tabeen är baserad på r ooo provytor, 500 från vardera injesystemet. Det visade sig, att av de r ooo ytorna föo 572 på skogsmark, 391 på annan mark och 37 i vatten. På grund av den ringa utbredningen av vatten ha beräkningarna inskränkts ti att gäa den genom (83) definierade variaben f (u, v) utan att någon korrektion i sti med (84) företagits. Tab. 6. Landarea och area skogsmark i norra deen av Gäveborgs än enigt karta. Korreationskoefficienter för tre oika riktningar. Varje koefficient bygger på 384 värdepar. Area of and and forest and in the northern part of Gäveborg. Data from map. Correation coefficients for three different directions. Each coefficient is based on 384 pairs of vanes. x 1 = I Korreationskoefficienter, r t Punkter Riktning Avstånd, meter, t Correation coefficients Points Direction Distance, metres (fig. 13) x, x, x 2 - o. so x, P,, P, SV-NO soo O. 2 3 I 0. I03 P, Ps SO-NV soo o. s s 4 o. 309 o. 201 P 2, P 3 O-V 500 1/:; o. 3 B 7 o o. 145 andarea; area of and. x 2 = skogsmarksarea; area of forest and. N = North, o = East, s = south, v = West. 5 Medde. från Safens Skogsforskningsinstitut. Band 36: r. P,

70 66 BERTIL :VIA'fERN Tab. 7 Utbredningen av skogsmark i meersta Bekinge enigt provyteprotoko från 1945 års taxering. Korreationskoefficienter för punkter på oo meters avstånd och två oika riktningar. Varje koefficient bygger på 100 värdepar. Area of forest and in the centra part of Beking. Data from the sampe pots of the 1945 survey. Correation coefficients for points at distances of oo metres. Each coefficient is based on roo pairs of vanes. I Anta korreationskoeff. Genomsnitt av korreationskoefficienter, r t Genomsnittigt (vardera rikt- A verage of earreation coefficients avstånd, meter, t ningen) A verage distance, i me tres Number of earreation coeff. Väst-Öst Nord-Syd Båda riktningarna (each direction) West-East North-South Both directions I 72 o. 274 o Soo o. 194 o. r r g I ZOO O.og I 6oo z o.or8 0, 02 I o. o or z , I o. 035 z Soo zoo oo I o. or 3 0, I 2 6 o.o6g Av tab. 7 och den på tabeen grundade fig. 14 finner man, att korrea tion en är starkare i riktningen nord-syd än i riktningen väst-öst. Resonemangen i. förra kapitet voro avhängiga av antagandet, att e (t) är en funktion av enbart avståndet, att den topografiska variationen såunda r (t) 1,0 0,5 x Väst- Öst k/est-east Nof'd - Sxd!forth - South o Båda r>iktningar>na Botf-L direchon.s -i: -5 t (f ) 0,4 e + O 6 e i~. 11 Fig. I+ Korreogram. Correograms.

71 36 : 1 NOGGRANNHETEN VID TAXERING 67 är ika stark i varje riktning. Redan de i tab. 6 och 7 anförda siffrorna äro nog för att detta antagande ska framstå som tviveaktigt. I sjäva verket synes det vara på denna punkt, som den avarigaste invändningen mot den tidigare diskussionen kan resas. Vi måste därför se i vad mån ett upphävande av antagandet inverkar på gitigheten av resutaten i kap. II. Om man vi tiämpa samma teori på andra probem, t. ex. den statistiska teorin för jordbrukets fätförsök, tikomma givetvis andra synpunkter; man kan t. ex. ha anedning att räkna med en periodisk komponent i 12 (t) osv. Se >>STUDENT» (1937, s. 365). Vi införa nu beteckningen 12 för korreationen mean punkter, vikas avstånd är t och vikas sammanbindningsinje går i Det medefe Bb, viket vi önska uppskatta, erhåes ur formen 00 n Bb 2 = a 2 f f 12 (t,@) d g d t. o o För enkehets sku antaga vi, att injeriktningen är g = o. Vi införa funktionen a 0 (t) genom reationen: varav: " 12 (t, o) a 0 (t) =f 12 o 00 cb2=a2fe(t, o)a0(t)dt... (87) o Genom (87) uttrycka vi sb2 som en funktion av korreationen i inje riktningen. Om 12 (t, 0) är oberoende av 0, bir a 0 (t)= a (tjb), forme (57). Om vi i stäet antaga exempevis, att 12 för varje t har sitt ägsta värde, när g = o och därpå växer tis g = ~för att sedan återgå ti sitt z minimum, kommer a 0 (t) att ha ett utseende sådant som den streckade kurvan i fig. r5. I detta fa bir det sökta medefeet mindre än det vi skue erhåit, om korreationen i varje riktning varit q (t, o): Om vi så betrakta de kvadratiska former, vika äro varianser band injestycken från en och samma inje, måste vi konstatera, att de infueras endast av q(t, o), korreationen i injeriktningen. Genom dem få vi såedes uppskattningar av det högra edet i ovanstående forme och få en överskattning av cb2

72 68 BERTIL MAT:ERN 1 Om däremot i något fa e (t, 0) skue antaga speciet höga värden just för e = o, kommer ao (t) att ha ett motsatt föropp i förhåande ti ä (tjb) mot det som visas av fig. I5, och vi riskera att underskatta Sb2 Låt oss därefter granska någon forme, som bygger på observationer från oika injer, t. ex. T 2 med n = 2 (69). Vi övertyga oss ätt om att E (T 2 ) påverkas åt samma hå som Sb 2, när e (t, 0) får variera även med e. Om e (t, B) synes vara starkt beroende av B, har man.därför skä att basera medefesuppskattningen på en forme av typen T 2.!.. Man har nu a anedning att räkna med att korreationen är svagast i injeriktningen. I sådana fa torde man ej öpa någon risk att under- 2 ' \ ä (t/b) \ \ a/) o \ \ \ \ \ \1 ' Fig. 15. skatta sb2 genom någon av de i föregående kapite föresagna formerna. Särskit former av typen (67), (7r), (74), varianser band vätden för stycken av samma inje, komma att innehåa en extra säkerhetsmargina. Man kan ifrågasätta, om oikheterna mean e (t, 0)-värden för oika g äro så stora, att de spea någon nämnvärd ro ur medefessynpunkt. De enda uppgifter, som stå att finna i itteraturen, äro de av LAPPI-SEPPÄLÄ (1924, s. 25) anförda. Vid taxering av en skog om o. 27 kvadratmi fann LAPPI-SEP PÄLÄ, att feen i genomsnitt bevo ungefär dubbet så stora vid den sämsta som vid den bästa injeriktningen. Uppskattningen avsåg antaet stammar i vissa diameterkasser. När man taxerar ett så stort område som ett het än, kan man inte räkna med att samma injeriktning är den bästa för varje de av änet, varför skinaderna mean ti oika riktningar hörande medefe måste bi mindre än vid taxering av ett itet område. I syfte att ytterigare beysa detta probem och för att få ett amänt begrepp om formevaets praktiska betydese vid medefesuppskattningar skoa vi nu se efter, vika värden de tidigare diskuterade formerna giva, när de tiämpas på uppgifter från riksskogstaxeringen.

73 NOGGRANNHETEN VID TAXERING 69 Variansanays av uppgifter från injestycken. I detta avsnitt anföras endast de uträknade värdena av oika kvadratiska former T; i fråga om räkningarnas utförande hänvisas ti kap. IV samt ti BoNNIER & TEDIN (1940, kap. 8-ro). Ti varje värde angiva vi ett tihörande anta frihetsgrader, f. Vi bestämma f på ett sådant sätt att: ( D (T))2 2/f == E (T) '... (88) sedan D (T) JE (T) bestämts enigt (r7). Endast om T:s matris satisfierar reationen ( 20), ha frihetsgraderna sin vaniga betydese a v värdet på parametern i en x2-fördening. I amänhet torde därför (17) ej vara exakt tiämpig. Formen torde dock giva en ungefärig uppskattning av D (T) je (T). - I det föjande uttryckas aa avstånd och ängder i km samt aa voymer i kubikmeter. Tab. 8 bygger på uppgifter, vika erhöos vid 1945 års taxering av Bekinge. Den avser ett rektanguärt område i meersta deen av änet. Området är något större än det som åg ti grund för tab. J. Vid denna taxering hade man två system av taxeringsinjer, ett väst-östigt och ett nord-sydigt. I båda faen var injeavståndet 2.5 km. Den sammanagda injeängden inom det betraktade området är 432 och 456 km för det väst-östiga, resp. för det nord-sydiga systemet. Av det insamade siffermateriaet ha för tab. 8 endast använts uppgifter om injeängd genom skogsmark, vika föreigga för varje injestycke av 2 km ängd. Tab. 8. Utbredningen av skogsmark i meersta Bekinge enigt 1945 års taxering. Oika kvadratiska formers värde. Area of forest and in the centra part of Beking. Data from the 1945 survey. Vaues of different quadratic forms.. I 2 j Forme Formua Den kvadratiska formens värde Vaue. of the quadratic form 6 7 Frihetsgrader Degrees of freedom Väst- Öst[Nord--SydiVÖ ochns VÖ NS IVÖochNS West-East North-South WE and NS WE NS WE and NS T, (67) n= z C= z 0.064I o. o 65 7 J 'Z=2 C= O.I044 o. og III 11=3 C= 8 O O, 2 o 7 6 O.I n=2 c= 241 O, T" (Gg) n=-:., c:::-:..:: s 0. O 8 2 I o. I G q 'J = 2 c= O 8 O I 0, I II I2 23 T" (71) h= z C=., o. os 8 7 o. o T (72) h=2 C= I 707 O. I :Z3 27 :;o h= Z c= 24 o.o66o 0. I 3 5 I Do I O r6

74 70 BERTIL MATERN 36 ; I Tab. 9 Utbredningen av and och skogsmark samt voymen av träd med över 15 cm brösthö~dsdiameter i norra deen av Gäveborgs än enigt 1942 års taxering. Oika kvadratiska formers värde. Area of and and forest and and voume of trees with breast height girth above 15 cm in the northern part of Gäveborg. Data from the I942 survey. Vaues of different quadratic forms. I Den kvadratiska formens värde K vad ra tisk form Vaue of the quadratic form Frihetsgrader Quadratic form Degrees of freedom %1 %2 X a jx, x11x - 57 %2! T1 (67) n= 2 c= 2 o. o 5 05 o. o o. o n=2c=4 o I 368 I 036 o. o625 6I6 35 Ta (?I) h = 2 c= 2 o. o o. o o8 o. o x 1 = ängd över and, km; ength on and, km. x 2 = >> >) skog, >> ; in forest, ((. x 3 = voytn, m 3 ; voume, m 3 Vi se av tabeen, att de kvadratiska formerna nästan genomgående erhåa högre värden, när vi använda uppgifter från det nord-sydiga injenätet. Vidare bekräftas av tab. 8 den stora ro, som injestyckets ängd c spear, särskit för former vika i ikhet med T 1 bygga på varianser band värden anknutna ti stycken av en och samma inje. Formerna T 2 och T 4 med höga c-värden anknyta närmast ti de differensformer för hea injer som diskuterades i kap. I (formerna 8 och g, jfr raderna j och p i ta b. z). Det skue föra för ångt att diskutera aa formerna. Sammanfattningsvis kan man säga, att resuta- Tab. IO. Uppgifter från 1943 och 1944 års taxering av Various data from the I survey of I Forme Formua Den kvadratisk a Vaue of th e %1 x, x x11 %a %3- IJ.8 %21 %4 x4-o. 024 x2 T1 (67) n= Z C= 2 0. O 3 I 7 o. o go. 3 o o.ooz8 n=2 C= o. o6zo o o.ooz8 T2 (69) n=2 C= I 7 o.o7oo o o I55 4 I n=2 C= o o J. I o o n=2 C= 8 o o I I6. I o Ta (JI) h=2 C= Z o o. o 53 2 o T s (73) m= n= z C=2 o. o 295 o. o6i7 0. O 5 I 5 III O. ooz m=4n=2 c= 2 o o.o669 o J.' g6. 8 ) m=n=2 C=4 o. os o. o I 59 ( I26.o o o frihetsgrader; II2 degrees of freedom. x 1 = in j e ängd över and; ength of Iine on and. x 2 = >) genom skogsmar k; ength of Iine throng-h forest and. x 3 = kubikmassa av träd med över 25 cm brösthöjdsdiameter; YQJume of trees with abo\ e zs cm br~ast-height diameter,

75 NOGGRANNHETEN VID TAXERING 71 ten stå i god överensstämmese med vad man enigt kap. II kan vänta- om man tar hänsyn jämvä ti att korreationen är svagast i väst-östig riktning. sutigen förtjänar det påpekas, att för samtiga de i tabeen meddeade formerna är injestyckets ängd c större än minimisträckan, varför de enigt kap. II tendera att överskatta den sökta medefeskvadraten, e 2~ 5 Tab. 9 och IO visa en iknande bearbetning av data från andra dear av Sverige. Tab. 9 bygger på värden från det tidigare betraktade rektanguära området i norra deen av Gäveborgs än. Detta än taxerades år I942 med injer, vika öpte på ett avstånd av 6 2 / 3 km i riktningen sydväst-nordost. Materiaet ti tab. IO har hämtats från taxeringen I av Kopparbergs än. Vid denna taxering voro injeavstånd och injeriktning desamma som vid I94Z års taxering av Gäveborgs än. Tabeen bygger på värden från 25 deområden, vika igga jämnt fördeade över hea Kopparbergs än. För varje deområde ha utnyttjats observationer från 8 km ånga stycken av två angränsande injer. En de av dessa observationer äro återgivna i tab. II i kap. IV. I ko. I8 av tab. IO har angivits värdet på en index, viken erhåits på så vis, att för var och en av de i ko. z, 4, 6, 8, IO, IZ, I4 och I6 upptagna variaberna värdet av varje kvadratisk form uttryckts i procent av variansen mean de 8 ti z-kiometersträckor hörande värdena in om de 25 grupperna, varefter genomsnittet av dessa procentta uträknats för varje kvadratisk form. Ett par påpekanden skoa anknytas ti dessa tabeer. Man ser, att om man bidar >>avvikeser från väntat värde>>, såsom i forme (84), går variansen atid Kopparbergs än. Oika kvadratiska formers värde. Kopparberg. Vanes of different quadratic forms. 9 IO formens värde quadratic form II I2 I3 I4 IS I6 I7 I8 ~~ ~~--~------~ ~----- Frihets- grader Index Degrees of x, x7 -o.3o6x2 X s x 8 --o.oozx 2 freedom 0. O 2 I 6 0, O I O I I 8 0,0237 o. o 22 6 o.oz63 o. o o. o 3 s 6 o. o 3 40 o. os 70 o O 5 I O O.OS o. os 29 O.o7ro o.osso 0, O 58 I o.o97i o.o7z7 o. o6zz O.I379 0,IOI o o.ooro o I.o o. o I 2 o. o 5 00 O,OOII 0. O 6 I O o. o or z o. o or z 0,0011 0, O O I 2 so ' 10S. s SO 122. I z s 144 s 0,021 I O.OI97 O.oi8g 0,0170 0,0115 x 4 = injeängd x.= Xa = x,= Xs = ,0539 o.o o.osz6 o.o o.osoi genom huggningskass A; B; C; D; E; O.ooro o.ooro g 88.g '0,0011 O.OOII , , ength of iue through cutting dass A. B. c. D. ~-

76 72 BERTIL MATERN 36 : r ned. Vidare finner man, att exempevis en sådan variabe som andareaen är ganska känsig för formevaet (tab. g ko. 2, tab. ro ko. z), medan t. ex. den totaa kubikmassan - särskit sedan infytandet från skogsmarksareaens variation eiminerats enigt (84) - ej reagerar ika kraftigt (ta b. g ko. 4, 6). Detta resutat stämmer vä överens med vad vi böra vänta som en föjd av resp. korreograms utseenden (se fig. rz a, d). Enigt kap. II bör nämigen en variabe med ångsamt faande korreationsfunktion (typ II, fig. 4) vara betydigt känsigare än en variabe med en mera hastigt avtagande funktion (typ I, fig. 4). Frånsett enstaka undantag är den inbördes storeksordningen av de skida kvadratiska formernas värden den man kan vänta enigt kap. II. Den mest iögonenfaande avvikesen är att i tab. ro formen T 1 med n = 2, c = 4 antar åga värden i ko. g-ro. Går man ti primärmateriaet, finner man, att detta kan förkaras av abnorma spridningsförhåanden inom en av de 25 grupperna, viken omfattar b. a. en de av Orsa besparingsskog. Detta och andra resutat visa, hur viktigt det är, att medefesuppskattningen grundas på ett stort anta observationer, ett stort anta injestycken. Sutigen förtjänar det att framhåas, att de kvadratiska formerna i tab. 8-ro, med undantag för T 1 med n = z, c = 24 i tab. 8, äro uttryck för den topografiska variationen över ganska korta avstånd. Ett exempe på en form, som infueras av variationen över mycket ånga avstånd, få vi genom att bida variansen mean de ti de 25 oika deområdena av Kopparbergs än hörande värdena. En uträkning ger vid handen att den i ko. r8 av tab. ro upptagna indexen i detta fa skue antaga det höga värdet z88.7. Inskränker man sig ti att jämföra de former, vika enigt den tidigare teoretiska diskussionen äro ämpiga som närmevärden för medefeskvadraten, måste man konstatera, att de giva ganska överensstämmande uppskattningar. Härav torde man kunna draga den sutsatsen, att korreationsfunktionerna i amänhet äro av typ I, dvs. hastigt faande i förhåande tiinjeavståndet, samt att det ej synes påkaat att väja ut speciea kvadratiska former för att taga hänsyn ti den systematiskt vada injeriktningen. Givetvis kunna dessa resutat från Bekinge och Kopparbergs än ej utan vidare tiämpas på andra geografiska områden.

77 NOGGRANNHETEN VID TAXERING 73 MEDELFELSFORMLER FÖR UPPSKATT NINGAR GRUNDADE PÅ LINJETAXERING. KAP. IV. I kap. IV-VI skoa vi söka att praktiskt tiämpa de resutat, vi kommit fram ti i de tidigare kapiten. De ytterigare kompetteringar av de matematiska resonemangen, som kunna biva nödvändiga, skoa vi förägga ti finstita stycken, vika kunna förbigås av den äsare, som endast önskar se, hur medefesformerna skoa användas. Vi börja i detta kapite med den regebundna injetaxeringen. Amän medefesformel Ett område Q har areaen A km 2 (inkusive sjöar och vattendrag). Genom området äggas paraea taxeringsinjer med det inbördes avståndet b km. Taxeringsinjernas sammanagda ängd, inkusive ängd över vatten, är L km. På injerna göras observationer av någon viss storhet, t. ex. ängden genom skogsmark eer över myrar, antaet träd av visst sag, kubikmassan i vissa dimensionskasser osv. För att ha en bestämd storhet för ögonen antaga vi, att det är fråga om skogsmarkens utbredning och att x km av taxeringsinjerna befinnas öpa genom skogsmark. Vi uppskatta då den totaa skogsmarksareaen inom Q ti Vi fråga oss nu: hur stort är denna uppskattnings medefe? Vi använda den grekiska bokstaven e (utäses >>t~psiom) för att beteckna medefel Om U är en av taxeringen erhåen uppskattning, skriva vi såunda dess medefe som e(u). Det sökta medefeet är atså e(x 1 ). Vidare skoa vi för att beteckna addition använda den (stora) grekiska bokstaven.e (utäses n >>sigma>>)..e Ui betyder summan av de n storheterna uv u 2,, Un. Ofta i= I uteämnas de beteckningar, som avse termernas anta, man skriver såunda.eui eer het enket.e u (äs >>summa u;>> resp. >>summa 1t>>). För att skaffa oss ett närmevärde för e (X 1 ) skoa vi först bida ett uttryck för variationen i skogsmarkens utbredning inom Q. Ti detta använda vi uppgifter från ett anta in j estycken, utspridda på ett regebundet sätt över Q, så som fig. 16 visar. Linjestyckena igga, som synes, parvis inti varandra på taxeringsinjerna. Vi beteckna deras anta med zn; vi ha såunda n par av injestycken. I fig. 16 är n = II. I ett praktiskt fa

78 74 BERTIL MATERN bör n väjas större, gärna ca 25, i vissa fa ändå större, se s Det kan vidare påpekas, att man kan ägga ut injestyckena även efter andra mönster än det, som använts i fig. r6. Det väsentiga är, att de n paren av injestycken spridas ut något så när jämnt över hea Q. Varje injestycke har ängden c km; vi återkomma strax ti frågan hur stort c bör vara. Vi åta x 1 beteckna ängden i km genom skogsmark på det första injestycket, x 2 motsvarande b km~ / " /- ---'1 x2 x, X4 / / c km / = taxerinqsinje \ x s x5 i survey in.e. \ \ \ x7 x a X g x10 " " " \ \ x" x 12 x 13 x 14 \-- ) \ x 15 x,5 X17 x 18 x >9 x2o / " -.. " '- '- x 21 x 22 '--~ Fig. r6. Iustration ti forme (Sg). Par av injestycken från samma inje. Iustration to formua (Sg). Pairs of sections from the same Iine. ängd på det andra injestycket osv. Se fig. r6, där dessa beteckningar skrivits ovanför resp. injestycken. Som uttryck för variationen i skogens utbredning inom Q taga vi nu summan i= = _! [(x2- X1)2 + (x4- X3) (x2"- X2 n- r) 2] (89) z n Detta uttryck är en s. k. kvadrat i sk form i de z n storheterna Xv x 2,, X 2n. Av kap. II framgår, att om vi ägga just denna kvadratiska form ti grund för medefesberäkningarna, bör ängden av vart och ett av de zn injestyckena, viken vi betecknat med c, väjas så, att föjande samband är åtminstone approximativt uppfyt: 3b c=-= b... (8ga) z n

79 NOGGRANNHETEN VID TAXERING 75 Formen (89) är ett speciafa av den i kap. II betraktade formen (67); den erhåes genom att man i (67) sätter n = 2. På samma sätt fås (89 a) ur (67 b). Längden c bör såunda vara ungefär ika med hava injeavståndet. I kap. II visades, att ett ägre värde på c medför en risk, att medefeet systematiskt underskattas, medan ett högre c-värde ger en tendens ti överskattning av medefeet. Innan vi gå vidare på vår väg mot s (X 1 ), skoa vi ett ögonbick dröja vid frågan, hur T (x, x) ska räknas ut i ett praktiskt fa. Vi kunna givetvis direkt använda forme (89), såunda räkna ut varje differens, x 2 -xv x 4 -x 3, osv., och sedan bestämma differensernas kvadratsumma. Vi kunna emeertid - om vi vija undvika aa dessa subtraktioner- i stäet använda formen zn znl L L 2, 1,2, T(x,x) =_2 1 2""'"' Xi 2 - ""'"'X 2._ = n i=r 1:=1 I =- [2 (x x x" ) - (x 2 + x x 2 )J.. (89b) zn 2n 1,2 3,4 zn-1,2n Här betyda X 1, 2, X 3, 4,, x 2,-1, 2, de observationer, som hänföra sig ti par av injestycken, såedes: x1, z = x1 + Xz, X 3, 4 = X3 + X4, sutigen kan man undvika differensbidningen även genom att räkna ut T (x, x) enigt formen Viket sätt man väjer, bör göras beroende av vika räknemaskiner, man har ti sitt förfogande. Räknar man för hand, är det bäst att använda (89). Vidare kan det givetvis ur kontrosynpunkt vara ämpigt, att man räknar ut T (x, x) efter två oika av dessa tre former.

80 76 BERTIL MATERN Sedan man bestämt T (x, x), får man det sökta medefeet efter ett par enka räkningar. Vi angiva emeertid först en forme för medefeet i x, s (x): s (x)= v~ T(x, x) (go) Forme (go) är av samma typ som medefesformerna ti en summa av okorreerade storheter. Om var och en av de inbördes okorreerade storheterna Uv U 2,, U n har dispersionen a, har deras summa U = E U; medefeet s (U) = i=i = a V;;_ I forme (go) svarar T (x, x) mot a 2 och L je mot antaet n. Taxeringsinjernas sammanagda ängd, L, motsvarar ju ett anta av Ljc injestycken av ängden c. Vår uppskattning av skogsmarksareaen, Xv erhåes därigenom, att x mutipiceras med faktorn A/L. För att få motsvarande medefe ha vi endast att mutipicera s (x) med samma konstant: A A ~~ s (X1) =L s (x) = /Le-JT (x, x) (gr) Exempe r. Åren rg43-44 taxerades Kopparbergs än med en injetaxering med injez avståndet 6- km. Hea änets area är enigt statistisk årsbok 30 r6g. 65 km 2, 3 taxeringsinjernas sammanagda ängd befanns vara km, varav 3 ro8.44 km genom skogsmark. Med våra tidigare beteckningar är atså: b = 6~ km, A = 30 r6g.65 km 2, L = km, x = 3 ro8.44 km. 3 Den totaa areaen skogsmark uppskatta vi ti Då vi känna änets exakta andare a, kunna vi få en säkrare uppskattning än X 1. Vi återkomma ti detta i ex. z. Vi söka emeertid nu s(x 1 ). Vi skoa då skaffa oss uppgifter över skogsmarkens förekomst på ett anta par av näriggande injestycken. Enigt (8g a) ska varje injestyckes ängd, c, vara ungefär ika med 3b. ~ = = km. z n

81 3 G : I NOGGRANNHETEN VID 'faxertng 71 Då det statistiska materiaet är redovisat på 2 km-stycken, väja vi c == 4 km. Vi undvika givetvis aternativet c = 2 km för att ej riskera att underskatta medefeet. Av tab. II (de med x utmärkta koumnerna) få vi nu uppgifter från roo sådana 4 km-stycken, parvis utspridda över Kopparbergs än. I fråga om det sätt, varpå injer och injestycken betecknas i tab. II, hänvisas ti Riksskogstaxeringsnämnden (1932) s. II-15. Av tabeen finna vi x 1 = 1.82, x 3 = 2.o2, x 2 = 2.64, x4 = r.64, X1, 2 = X1 + X z = 4 4 6, Xa, 4 = Xa + x4 = 3.66, X 99 =3 5I, Xgg, 100 = Xgg + X100 = Vi beräkna kvadratsummorna IDO L: Xi2 = (r.82) 2 + (2.64) 2 + (2.o2) (3.5 r) 2 + (3.46) 2 = , i= I 50 L:x 2._ = (4.46) 2 + (3.66) (6.97) 2 =I i=r 2~ 1, 2~ Forme (89 b) ger: I T(x, x)= ~-[2 gr2.82r7-r 8oo.8577] = Som kontro använda vi (89): T (x, x)= ~ 1 - [(2.64- r.82)2 + (r ) ( I) 2 ] = Ti sut sätta vi in våra värden i (gr) och få E (X 1) =.J 30 r6g.65.j y = = III.6z. v Med ett vanigt sätt att skriva medefeet kunna vi då angiva den totaa skogsmarksareaen ti ± III.6z km 2 Vi kunna också redovisa den nu verkstäda noggrannhetsbestämningen på så vis, att vi angiva det reativa medefeet. Om U är en uppskattning med medefeet E (U), är det reativa medefeet IOO E(U) 01 u /0 (92)

82 Tab. II. Landar ea, skogsmark, kubikmassa i Kopparbergs än. Primärmateria för medefesberäkning. Area of and, area of forest and, voume in Kopparberg. Data for the cacuation of standard errors. ;:~e~4 km Y x z r:~~e4 km Y x z r:i:~e~4 km Y x z r:i:~e~4 km Y x z r:i:~e~4 km ~ X z!20! I r8o ! ! ;~; oo r9.o oo , o II II3 ' qo oo2.o r oo oo o 266 7!4 3.7o13 5'[ o813.o J , o r6r.5 8.1o7.o5 roo.4 7.7o6.82 r o !40!46 r6o r66 r8o r86 ' r4 4.oo oo o r8 4.oo 3.78 I63.o o8 II o r.4 8.oo o r ! I r II ! r8!.70! ! ! ! o oo2.o oo3 _551 ro o , II9.o ! oo ! r oo oo ! I !0! ! ! q r.o 6r8 3.8o oo!.39 II o4 ro o / ! ! ! oo 3.5o r oo !! oo4.81 8r.g r8o ' oo o oo3 5o 6o.o ,; r oo o oo oo o r II9.9 8.oo7.641! oo o , IOO.o o o oo r o o76.82 r oo !!5.4 -J: 00 td r::! :;u >-3 H t-< ~- > >-3 Q:}-?::! z "', y = injeängd över and, km; ength of ine on and, km. X = >) genom skogsmark, km; ength of ine in forest and, km. z = kubikmassa av träd med över 25 cm brösthöjdsdiameter; vonn1e of treet with at easts 25 cm breast height diameter.

83 NOGGRANNHETEN VID taxering 79 I vårt fa finna vi: IOO ;(X1) = %. Det reativa medefeet har den egenskapen, att det är oberoende av det mått, vari vi uttrycka våra observationer. Om vi angiva skogsmarken i hektar eer kvadratkiometer eer i procent av hea areaen, få vi uppskattningar, som aa ha samma reativa medefel Längre fram skoa vi stifta bekantskap med ännu en värdefu egenskap hos det reativa medefeet. Formens tiämpningför beräkning av medefe ti en kvot. En mycket stor de av resutaten från skogstaxeringar brukar framäggas i form av värden på kvoter av typen: skogsmark i procent av andarea, kubikmassa per ha skogsmark, areaen taskog i procent av hea skogsmarksareaen, osv. Dessa kvoter kunna vidare användas för att giva oss uppskattningar av föjande sag. Om vi känna den exakta andareaen, åt vara Y km 2, och ha en uppskattning av skogsmarken i procent av andarea, IOO ~ %, få vi närmevärdet y x X 2 = -- Y för den totaa skogsmarksareaen. Här tänka vi oss, att x som förut y är injeängd genom skog, medan y är injeängd över and. Känna vi åter skogsmarksareaen, X, exakt och ha en uppskattning av kubikmassan per km 2 skogsmark, ger en mutipikation av dessa två ta ett värde för hea kubikmassan. Ha vi vidare ti vårt förfogande ett närmevärde för taskogsareaen i procent av hea skogsmarksareaen, kunna vi genom att mutipicera med den exakt kända skogsmarksareaen uppskatta den totaa areaen taskog, osv. Om vi kunna principiet ösa probemet att räkna ut medefeen ti kvoter sådana som de ovan exempifierade, ha vi även öst frågan, hur vi skoa bestämma medefeet ti uppskattningar av det sist iustrerade saget. Tidigare synes man ha räknat ut medefe ti av ett skogstaxeringsmateria erhåna kvoter genom att bida ett uttryck för variationen mean de motsvarande ti enskida injer eer injestycken hörande kvoterna. Man har härvid nödgats införa vissa viktsfunktioner, och de former, man kommit fram ti, ha därför stät sig ganska arbetskrävande. Betydigt enkare former får man emeertid genom att utnyttja de metoder för fe-uppskattning, som tiämpas i kovarians- och regressionsanaysen. Dessa metoder ha vidare det företrädet, att de via på en mera håbar teoretisk grund. På denna

84 so BERTIL MATERN punkt kan hänvisas ti de framstäningar av kovarians- och regressionsanaysen, som återfinnas i de festa statistiska äroböcker. Se även kap. VII, där vissa regressionsprobem behandas. I detta sammanhang kan påpekas, att det av LINDEBERG (1923) införda viktsystemet i ett speciafa (LINDEBERG, 1923, forme r2) ger samma resutat som regressionsanaysens former. I de former, som synas ha mest tiämpats i praktiken, har denna överensstämmese gått förorad. Antag nu att injetaxeringen givit oss två värden, x och y, samt att vi exakt känna motsvarande värde Y för hea området Q. I ansutning ti det tidigare exempet åta vi x vara sammanagd injeängd i km över skogsmark, y betyda sammanagd injeängd i km över and, medan Y är den totaa andareaen i km2 inom Q.- Vi skue också kunnat åta x vara kubikmassa i m 3 på taxeringsinjerna, y area skogsmark i km2 på injerna och Y hea areaen skogsmark inom Q, osv. - Vi söka medefeen ti des kvoten xjy, des uttrycket X 2 =~Y, som är en uppskattning av hea skogsmarksareaen inom Q- en y annan och i amänhet precisare uppskattning än det värde Xv vi nyss studerade. Vi använda fortfarande uppgifter från 2 n injestycken av samma sag som nyss. För varje injestycke ha vi nu två värden; såunda är för det i:e injestycket: Xi = ängd över skogsmark i km, Yi = )) )) and )) )). Vi beteckna kvoten xjy med k och införa vidare beteckningen Ui = Xi- kyi (93) Vår medefesuppskattning grunda vi nu på ett uttryck för variationen band storheterna ui: Vi ha atså het enket ersatt värdena x 1, x 2,.., X 2 n i (89) med ~tv För att angiva hur storheterna Ui bestämts, använda vi beteckningen T(x-ky,x-ky) u 2,.., Uzn jämsides med den just införda symboen T(u, u). Vi skoa med några ord beröra frågan, hur T (x- k y, x- k y) ska bestämmas i ett praktiskt fa. Att direkt använda den nyss givna definitionen och

85 NOGGRANNHETEN VD TAXERING 81 såunda räkna ut varje enskit av värdena u 1, tt 2,..., u 2,. är oämpigt. I stäet böra vi använda föjande identitet: T (tt, u)= T (x-ky, x-ky) =T (x, x) -z k T (x, y)+ k2 T (y, y).. (g4) T (x, x) och T (y, y) bidas enigt (8g), medan T (x, y) bestämmes ur formen i= r (x, y) är en s. k. biineär form. Vid rutinmässiga räkningar kan man er- 3ätta (g5) med (jfr 8gb): 2n n T (x, y)= 1 2 n [z L Xi Yi-L Xzi-1,zi Yzi-1, z,j... (g5 a) i= där, som förut, Xzi-1, z i= Xzi- 1 +x,; och Yzi-1, z i = Yzi-1 + Yzi Man kan även använda motsvarigheten ti (8g c): i= I zn n J T (x, y)=- L x; y;- L (Xzi-1 Yzi + XziYzi-1) 2 n i=i i=i _ = Z~t [(x1y1 + X2Y2 + + XznYzn)-(x1y2 + X2Y1 + + XaY4 + X4) Xzn-1Yzn + Xz~<Yz,-1)] (g5 b) Av T (u, u) kunna vi få medefeet i x-ky genom att använda den mot (go) svarande formen s(x--ky) =V~ T(x-ky,x-ky)... (g6) Vi skoa ett ögonbick dröja vid denna formes innebörd. För att kunna toka den måste vi bortse från att k bestämts ur materiaet. -I sjäva verket x är ju x- k y =x--- y= o. - I stäet uppfatta vi k som ett konstant ta.. y Medefeet s(x- ky) kan då sägas vara ett mått på spridningen band de värden, vi skue kunna erhåa på x~ ky, om vi för x och y sätta in observationer från andra ika omfattande injetaxeringar av Q, medan k, som sagts, håes konstant. I detta sammanhang bör det påpekas, att vi, noga räknat, borde införa en korrektionsfaktor ti T (u, tt) = T (x- ky, x- ky). Anedningen härti är just den, att k = xjy ej är en på förhand fixerad storhet utan ett av taxeringen givet närmevärde. Man tar ju hänsyn ti att en regressionskoefficient bestämts 6. 1\.f edde. från Statens Skogsjorskningsnstitut. Band 36: r.

86 82 BERTIL MAT:ERN ur materiaet genom att minska antaet >>frihetsgraden>. Emeertid kunna vi förutsätta, att den kvadratiska formen T i amänhet är byggd på eneast en bråkde av de i taxeringen ingående injestyckena, medan k bestämmes ur det samade materiaet från aa injestycken. Man torde av denna anedning kunna het försumma korrektionen i fråga. Av (g6) få vi medefeet ti kvoten xjy genom att dividera med y: s G) =~vfvr(x-ky,x-ky)... (97) Genom att mutipicera med Y få vi ett uttryck för s (X 2 ) [ = s (x Y fy) J. Vi kunna utan att riskera att nämnvärt ändra detta uttryck byta ut Y fy mot A/L, varigenom vi finna s(x2) =s(~y) = v~c VT(x-ky,x-ky)... (g8) Den formea anaogin med uttrycket för s(x 1 ), (gr), framträder på så vis kart. Exempe 2. Låt oss åter betrakta I års taxering av Kopparbergs än. Vi kompettera de tidigare återgivna uppgifterna, så att vi få den fuständigare istan: Hea areaen enigt statistisk årsbok... A = 30 r6g.6s km 2, andareaen >>... Y = 28 r67.8z km 2, hea injeängden... L r 3 km, injeängd över and... y km, >> >> skogsmark... x 3 ro8.44 km, kubikmassa i diameterkasserna fr. o. m. 25 cm på taxeringsinjerna... z = m 3. Den sist upptagna storheten z är uträknad med hjäp av genom provträdsobservationer erhåna kuberingstal Vi betrakta dessa kuberingsta som konstanter. Vi söka därefter medefeen ti föjande uppskattningar: Skogsmark i procent av andarea.... skogsmarksarea... :.... x 0/ IOO- = y /O x2 =~y= km 2, y kubikmassa per ha skogsmark i diameterkasserna fr. o. m. 25 cm.... För att få kubikmassan per hektar ha vi dividerat med x, ty x anger samtidigt injeängd i km och area i hektar- injebredden är nämigen ro meter.

87 NOGGRANNJ:-ttrEN V!D 'faxering 83 Av ta b. II få vi utöver värdena X; och x 2 ; _ 1, 2 ;, som vi redan använt i ex. I, värden på y;, y 2,:- 1, 2i, z; och Z 2;- 1, 2,:, där y; är ängden genom skogsmark i km - eer areaen i ha- på det i:e 4 km-stycket, hi- 1, 2 ; motsvarande ängd för det i:e paret av 4 km-stycken, medan z; ochz2;_ 1, 2 ; avse kubikmassan i m 3 på resp. injestycken. Som framgår av tabeen är: Y1 = 3 34, Y1. 2 = Y1 + Y2 = 7 3 2, Y99 = 3 99, z 1 = 36.2, YOO = 3-95, z 2 = 63.2, Y = Y99 + YOO = 7-94, z1. 2 = Z1 + Z2 = Z100 = 31.7, Zgg, 100 = Z g g + Z100 = II5 4 Vi införa beteckningarna k 1 för xjy och k 2 för zjx. För att få något enkare räkningar avrunda vi dessa kvoter, så att vi få de tresiffriga taen k = 0.737, k2 =~ I7.8. Vi skoa nu i första hand räkna ut de två kvadratiska formerna T(x-k 1 y, x-k 1 y) och T(z-k 2 x, z-k 2 x). N edanstående sammanstäning visar räkningarnas gång: L x; 2 9I2.82 I 7, LYi 2 =I , L Z; 2 = o3, L x~ i-, 2 ; =I 8oo.8577, T (x, x)= , LY:;- 1, 2 ; = , T(y,y) =O.I6o Soi, LZ:i- 1, 2;= , T(z, z)= , L X; y;= I I , L X 2i-, ziyzi-1, z i= , T (x, y)= O.I33 88I, L X; Z; = I 5 7 o ' L x 2 i - ' 2 i z 2 i- ' 2 i = 3 o 7 o o ' T (x' z) = 7. I o ' T(x-k 1 y,x -k 1 y) = I33 88I + +- (0.737)2 O,I6o Soi = O.I37 859, T (z- k 2 x, z- k 2 x) = Io (I7.8) = Vid beräkningen a v T (x, x), T (y, y) och T (z, z) ha vi såunda använt (89 b), medan T (x, y) och T (x, z) bestämts enigt den anaoga formen (95 a). För fuständighetens sku visa vi i detaj, hur en av dessa biineära former räknats ut: LX;y; = I =I I , LXzi-1,2iY2i-1,2i = = I T (x, y)=--- [2 I I ~ ] = r = ,

88 84 BERTIL NIATERN Vi gå vidare och bestämma I/T(x-k 1 y,x-k 1 y) = , 1/T (z-k 2 x, z-k 2 x) = Av (97) få vi: / (x) V s - = = = , Y 4 2I I9.77 (z) V s - = = = X 3 I I08.44 / Vi mutipicera s(xjy) med Y och få s (X 2) =s(~ Y) = 28 r67.82 o. o o z 958 = Vi kunna också använda (98). Denna forme ger det något avvikande värdet Vi sammanfatta nu de erhåna resutaten: Skogsmark i procent av andarea: 73.66±0.296 %, skogsmårksarea: ±83.32 m 2, kubikmassa i diameterkasserna över 25 cm per ha skogsmark: I7.838± m 3. Sutigen räkna vi ut de reativa medefeen, varvid vi tiämpa forme (92). Närmevärdet för skogsmarken i procent av andareaen, roo ~'och uppskatty ningen av hea skogsmarksareaen, X 2, ha samma reativa medefe, nämigen IOO-- = IOO = / 0 Ti jämförese kan nämnas, att vi för den tidigare betraktade uppskattningen x funno det reativa medefeet o %- Uppskattningen av kubikmassan per ha skogsmark i de betraktade diameterkasserna har ett reativt medefe uppgående ti / IOO --- = L454 /O I7.838

89 NOGGRANNHETEN VID TAXERING 85 Medefe ti en produkt. Med hjäp av de i ex. 2 angivna närmevärdena för den totaa skogsmarksareaen och för kubikmassan per ha skogsmark i kasserna över 25 cm kunna vi uppskatta den totaa voymen inom ifrågavarande dimensioner ti Låt oss söka bestämma e (Z 1 ). Z = I7.838 = mijoner m 3 Då Z 1 = ::_ Y!._ =!._ Y, skue vi kunna tiämpa samma former, som y x y vi nyss använt för att bestämma e (X 2 ), om vi bott överat ersätta bokstaven x med z. Emeertid kunna vi komma snabbare fram ti mået genom att utnyttja de i ex. 2 bestämda medefeen ti xfy och zfx. Vi använda då föjande räknerege: Om U och V äro två okorreerade närmevärden med de reativa medefeen e u och ev, har produkten U V det reativa m e defeet Det reativa medefeet i kubikmasseuppskattningen, 37. or z mijoner m3, är såunda V(o.4oz) 2 + (1.454) 2 =r. s og%- Av roo e (Z 1)/Z 1 = r.sog, föjer e (Z 1) = 37 or2 ooo o.orsog = 559 ooo m 3. Vi ha här stiatigande förutsatt, att uppskattningarna av skogsmarks :trea och av kubikmassa per hektar äro okorreerade. Det vi också synas, 3om om en eventuet förekommande positiv eer negativ korreation skue vara så svag, att (99) är med tiräckig approximation gitig. Formen kan användas även i sådana fa, då de två närmevärdena U och V erhåits genom oika sag av taxeringar. U kan t. ex. vara skogsmarksarea i hektar uppskattad enigt en injetaxering och V kubikmassa i m3 per hektar enigt en provytetaxering. Man bör emeertid i varje sådant fa söka övertyga sig om att U och V äro åtminstone tinärmesevis okorreerade. Vid skogstaxeringar spea uppskattningar av nu antydd art en mycket viktig ro. Man har därför i forme (99) ytterigare en motivering för att redovisa noggrannhetsbestämningarna genom att ange de re a t i va medefeen. Ytterigare exempe. Som kommer att visas ängre fram i detta kapite, måste man i vissa fa modifiera den kvadratiska form T, som igger ti grund för medefesformerna. Frånsett detta synas de nu genomgångna metoderna kunna användas vid

90 86 BERTIL JVIATERN 36 : I aa sag av medefesuppskattningar, som avse närmevärden erhåna genom en regebunden injetaxering. För att beysa detta skoa vi kompettera de föregående exempen genom att antyda, hur formerna skoa tiämpas i två speciafa av praktisk betydese. Vi betrakta först en uppskattning av kubikmassan i ett område, som består av ett enda sammanhängande skogsparti. I detta fa kunna vi åta ex. r tjäna som mönster. Den enda förändringen är, att storheterna Xi få betyda kubikmassan p( de oika injestyckena. Anedningen ti att detta enka räkneschema är tifyest, är att hea areaen utgöres av skogsmark.- I detta sammanhang bör det påpekas, att om kubikmassan uträknas med hjäp av fasta kuberingsta för de oika dimensionskasserna, kommer medefeet att ange endast osäkerheten i fråga om trädantaet och dettas fördening på dimensionskasser. Det kommer såunda ej att vara ett uttryck för infytandet på kubikmassebestämningen av de eventuea feen i kuberingstaen. Jfr kap. VI. Låt oss därefter antaga- for att anknyta ti de nyss behandade numeriska exempen- att vi ha en uppskattning av kubikmassan per hektar inom kronoskogarna i Kopparbergs än och önska bestämma denna uppskattnings medefel Vi kunna då räkna som i ex. ~-Vi åta härvid Zi betyda kubikmassan i den kronoskog, som faer på det i:e injestycket, medan Xi får symboisera ängden genom kronoskog på samma injestycke. Givetvis måste vi räkna med att i många fa såvä Xi som Zi äro ika med no. En anmärkning om d~t praktiska räknearbetet. Som framgått tidigare, kommer det egentiga arbetet vid medefesbestämningarna att bestå i uträknaodet av formerna T(x, x), T(y, y), T(x, y) osv. För att i möjigaste mån reducera detta arbete bör man ti grundva för kakyerna äggaavrundade ta. Såunda ha vi i tab.ii avrundat samtiga storheter Xi, y; och Zi ti tre eer högst fyra siffror. Man skue möjigen ha kunnat stryka ännu en siffra; detta gäer särskit taen Zi. Det bör emeertid noga observeras, att de räkneschemata, som framagts i detta kapite, kräva att- sedan dessa avrundningar en gång gjorts - man räknar ut aa kvadrat~ och produktsummor exakt. Vidare kan man vid tiämpningen av forme (94) räkna med ett avrundat värde på k. Sedan avrundningen verkstäts, måste emeertid zk och k2 räknas ut exakt. Se vidare de numeriska exempen!»medefeets medefe». Givetvis är varje medefesuppskattning behäftad med en viss grad av osäkerhet. Med de former, som vi använt i detta kapite, kommer medefeets. ;-. reativa medefe, enigt s. z r eer forme (r7), att uppgå ti roo V~ %, där

91 36 : I NOGGRANNHETEN VID TAXERING 87 n som förut är antaet par av injestycken. En förutsättning för denna forme är, att- som i fig. I6- varje injestycke ingår i endast ett par. De i ex. I och z framagda medefesuppskattningarna skue såunda ha reativa medefe uppgående ti zo %- Ofta torde det- som förut framhåits- vara tiräckigt, att man väjer endast ca z5 par av injestycken. Det reativa medefeet är då enigt (IJ) ika med z8.3 %-I vissa fa kan man emeertid biva tvungen att använda en betydigt större de av det statistiska materiaet vid medefesberäkningarna, nämigen när det är fråga om observationer över reativt säsynta företeeser. Om vi exempevis vija verkstäa den tidigare antydda medefesuppskattningen för kubikmassan av kronoskogarna i Kopparbergs än, måste vi väsentigt utvidga antaet injestycken vid jämförese med tab. II. Anedningen är ganska uppenbar: På det stora fertaet av 4-km-stycken i tab. II faer ingen as kronoskog, viket måste medföra en stor osäkerhet i medefesbestämningen. Vi kunna atså i ett sådant fa ej acceptera uppskattningen av D 2(T) i formerna (16), (17) eer (31). Det är ju också uppenbart, att den förutsättning om normafördening, varpå dessa former via, ej är ens med grov approximation riktig. Aternativa medefesformer. I kap. II och III har visats, att man kan få acceptaba medefesuppskattningar även med vissa andra medefesformer än den, vi nu använt. Vi skoa i korthet antyda, hur ett par av dessa andra former äro konstruerade. Oikheten mot den tidigare formen avser endast vaet av kvadratisk form T. En forme, som är mycket ik den vi hittis i detta kapite använt, får man genom att åta de i (8g) ingående storheterna Xi avse injestycken, som igga orienterade så, som fig. IJ visar. De två injestyckena i ett par igga på oika men på varandra föjande taxeringsinjer. I övrigt bibehåes samtiga formers utseende. Emeertid bör man i detta fa- om möjigt- väja injestyckets ängd c, så att föjande samband är approximativt uppfyt: b c=-=0.3183b. n Varje injestyckes ängd bör såunda vara ca en tredjede av injeavståndet. z För taxeringen av Kopparbergs än med b = 6 J km torde man kunna väja c = z km, om man pacerar injestyckena som i fig. IJ. Detta sätt att väja ut injestyckena är att rekommendera, om man har att göra med ett område, där variationen- i fråga om skogsmarksförekomst, kubikmassa ow. ilr väsentigt oika i oika riktningar. Vikunnahär ej gånärmarein på detta spörsmå; det har diskuterats i kap. III. Det ska hä.r bott påpekas,

92 88 b km / ( \ \ \ ckrn x, '2 '7 X g \ x a x,o \ BERTIL MATERN ~~---- x3 X4 /'- - '- ~--- x s '" '" ',,5 '17,,,,4 / / " \ \ \ taxeringsinje su.rvey /in.e bf=f=f=f=f9=9=~*=*=*=*=~~f9~~=*=*=*=*=f=f7/ " '- \ ) ' x,. x,a L ---- Fig. 17. Iustration ti forme (89). Par av injestycken från oika injer. Iustration to formua (89). Pairs of seetians from different Iines. att variationen i amänhet torde vara starkast i taxeringsinjernas ängdriktning; man väjer ju om möjigt injeriktningen på det viset. Om man använder forme (8g) i enighet med fig. r6,- såsom vi gjort i ex. r o. 2- kan man då räkna med att få en viss överskattning av medefeet eer- om man så vien viss säkerhetsmargina, viken torde knappas in, om man i stäet ägger anordningen i fig. 17 ti grundva för formerna. En tredje medefesforme erhåer man genom att ersätta (8g) med formen " T(x, x)= 6 1 n)' (x,i-2xsi- 1 + Xsi- 2) 2,. (roo) i= I där x1, x 2 och x 3 äro tre inti varandra iggande stycken av en och samma inje; ikaså x 4, x 5 och x 6 osv. I detta fa bör man väja injestyckets ängd, c, i närheten av värdet 5bj3n = b. Det ti denna forme hörande c värdet är såunda något högre än de ti de två andra formerna hörande. Om de vid taxeringen insamade uppgifterna föreigga på ett sådant sätt, att man ej kan göra en uppdening av injerna på för någon av de två andra formerna tiräckigt korta stycken, kan det därför vara ämpigt att använda (roo). I detta fa bör man hest räkna direkt enigt definitionen (roo) och ej företaga någon omformning. När det gäer att bestämma uttryck av typen T (x- k y, x- k y), kan man emeertid fortfarande använda forme (94).

93 3 6 : I NOGGRANNHETEN VID T AXERNG 89 De två senast betraktade formerna äro speciafa av de i kap. II upptagna formerna (69) och (71). De erhåas, om man i dessa former sätter n = 2, resp. k = 2. Som nu och tidigare påpekats, kunna vi i amänhet ej räkna med att det statistiska materiaet ska tiåta en uppdening i injestycken av godtyckig ängd. En utväg, som då ofta torde stå ti buds, är en interpoation mean oika närmevärden för ett medefes kvadrat. Antag, att vi ha materiaet redovisat på injestycken av ängden c samt att den ti en viss form T hörande ämpigaste ängden c 0 - vi ha tidigare infört termen den ti formen hörande i>minimisträckam som benämning på c 0 - uppfyer oikheten c< c 0 < 2 c. Vi räkna då ut två närmevärden för medefeet sv grundat på injestycken av ängden c, i) i) i) i) z c, samt bestämma det interpoerade värdet s ur formen Man kan ätt visa, att man på detta sätt kommer att bygga på en ti sin minimisträcka hänförd kvadratisk form, dvs. en form, vars avståndsfunktion har samma derivata i nopunkten som ä (t/b). (Jfr forme 68.) I kap. II redogjordes för en noggrannare interpoationsforme, viken bygger på vissa förutsättningar om den för hea framstäningen i kap. II-III grundäggande i>korreationsfunktionem. Metoden synes emeertid vara ganska arbetskrävande och föjaktigen mindre ämpig att använda vid rutinmässiga beräkningar. Det synes såunda ej vara möjigt att angiva en för aa faämpig kvadratisk form T för uppskattning av variationen. Sedan man funnit en för ett visst taxeringsområde ämpad form T, bör man dock givetvis basera samtiga medefesberäkningar, som avse detta område, på denna form. Det kan i detta sammanhang vara förtjänt av att än en gång påpekas, att ti varje kvadratisk form T hör ett ämpigaste värde, i>minimisträckam, på ängden av de injestycken som användas vid beräkningen av T. Denna minimisträcka är en funktion även av injeavståndet b; närmare bestämt är den atid proportione mot b.

94 90 BERTIL MATERN MEDELFELSFORMLER FÖR UPPSKATT NINGAR GRUNDADE PÅ PROVYTETAXERING. KAP. V. Medefesformer. En provytetaxering utföres ofta som kompement ti en injetaxering. En de observationer göras ängs hea injer, medan andra ske endast på vissa provytor, vika äro regebundet utspridda på injerna. Se fig. r8. Man kan utgå ifrån att avståndet, p, mean två närbeägna ytor på samma inje är reativt itet i förhåande tiinjeavståndet b. Även när ingen injetaxering äger rum, torde provytorna oftast äggas reativt tätt i någon bestämd riktning. I så fa kan man använda någon av de i föregående kapite behandade, närmast för injetaxering avsedda formerna även för att uppskatta provytetaxeringens medefel En sådan forme bygger på värden (x;, y; osv.), vika observeras på injestycken qv q 2,. av en viss ängd c. Man har nu bott att ersätta varje sådant värde med ett värde erhået från samtiga de på injestycket q; faande provytorna. Liksom i förra kapitet måste vi taga hänsyn ti att det statistiska materi_ aet i amänhet ej tiåter en uppdening av injerna i stycken av godtyckig ängd. Vi måste nämigen väja c så, att provytorna fördea sig på samma sätt över varje injestycke. Se fig. r8, där på varje q; faa två symmetriskt beägna provytor. Om avstån~et mean två närbeägna provytor är konstant ika med p, måste såunda c vara något av taen p, 2p, 3P osv. Om p är jämföresevis stort i förhåande ti b (t. ex. p > 0.7 b), kunna vi ej finna någon kvadratisk form med tiräckigt stor minimisträcka, varför vi ej kunna undvika en forme, som enigt våra tidigare resonemang tenderar att överskatta medefeet.- I det mest ogynnsamma faet, då p = b, torde det vara ämpigt, att vi grunda medefesuppskattningen på ett genomsnitt av ett visst anta kvadrater av typen där Xv x 2, x3 och x4 äro värden hörande ti fyra ytor, vikas inbördes äge franigår av fig. rg. En på differensbidning av detta sag grundad feuppskattning för ett fätförsök har föresagits av KRISTENSEN (1933). I amänhet torde man emeertid- som nyss framhös -- kunna använda de i föregående kapite demonstrerade formerna.

95 NOGGRANNHETEN VID TAXERING 91! ~.~ c c x, b taxef'ingsinje survey Line pf'ovyta sampe pot Fig. 19. Iustration ti forme (ror). Iustration to formnia Fig. rp, Provytetaxering. Sampe pot survey. Om en provytetaxering företages i kombination med en injetaxering, får man att göra med vissa närmevärden, vari ingå eement från såvä provytesom injetaxeringen. Vi ha i kap. IV (forme 99) angivit en metod att räkna ut medefe ti sådana storheter. Häredning av medefesformer. Inom undersökningsområdet Q öpa taxeringsinjerna q med provytorna q'. Vi införa beteckningarna (jfr s. 7) 8 2 =E {[f(q')- f(q)] 2 }, 81 2 = E{[f(q) -f(q)] 2 }, 82 2 = E{]f(q')- /(q)j 2 }. Att vi här införa injer q beror endast på att vi önska återföra formehäredningarna på diskussionen av injetaxeringen i kap. II; injerna tänkas gå i den riktning, i viken provytorna igga tätast. Vi finna reationen där r är korreationskoefficienten ti 8 2 = r,... (roz) f (q) - f(q) och f(q) -f (q'). I amänhet torde man kunna het försumma den term, vari r ingår. Man kan förutsätta, att de tänkta taxeringsinjernas bredd är fera gånger större än provytornas mot injeriktningen vinkeräta genomskärning. Antagandet r = o måste då framstå som rimigt. Forme (roz) övergår såunda ti: 82 = B2z..... ' (roz a) Vid medefesuppskattningen använda vi någon viss form T av typen n n T =.~ ~=I 1=!' L C; i tq'i) f (q' i),

96 92 BERTIL MATERN där q'v..., q'" äro en de av de provytor, vika tisammans utgöra q'. Varje q' i får i amänhet tänkas bestå av fera provytor. Vi kunna a priori antaga, att differensen f (q'i) -f (qi) är okorreerad med f (q' i) -f (q i), när j =F i, samt med aa f (qi) (i = r, 2,..., n). Vi erhåa då: Om vi väja T i enighet med anvisningarna i de föregående kapiten, är den första termen i högra edet approximativt ika med Le 1 2, medan, ti föjd av våra nyss gjorda antaganden, den andra termen exakt bir ika med L e 2 2 I {fti få vi då ett närmevärde för e, provytetaxeringens medefel Jämförese mean provyte- och injetaxering. En provytetaxering kan i vissa avseenden giva ika noggranna resutat som en injetaxering, viken är betydigt mera omfattande (se t. ex. GADD rgzr). Vi skoa se på några siffror från den andra svenska riksskogstaxeringen. Vi använda iksom i föregående avsnitt föjande beteckningar: e = provytetaxeringens medefe, e 1 = injetaxeringens medefe, e 2 = medefeet ti differensen mean provyte- och injetaxeringens resutat. För att få ett närmevärde för e 1 anviini". vi de i föregående kapite skidrade metoderna, medan e 2 uppskattas som I/T 2 jl, där T2 = : 2.::: [f (q/)-f (qi)] 2 Sutigen bestämmes e enigt (roza). Då vi ha att göra med en faktiskt verkstäd taxering, torde vi få räkna med att r i (roz) iband är >o. Vi riskera såunda ej, att e2 underskattas genom (roza). Vid taxeringen av Gäveborgs än år 1942 insamades vissa uppgifter såvä om areafördening som om kubikmassor från både provytor och injer. Av uppgifter från det tidigare omnämnda området i norra deen av änet ha föjande uppskattningar erhåits. För skogsmarksareaen: För kubikmassa i diameterkasserna över 15 cm (aa trädsag, fasta kuberingsta): e =!.24. e

97 NOGGRANNHEtEN VID 'i'axerj i\tc 93 Av s. 6o framgår att provytornas area är endast 4 %av taxeringsbätenas. Trots detta ger provytetaxeringen endast obetydigt högre medefe för skogsmarksarea och kubikmassa. Vi kunna även jämföra injetaxeringen med en provytetaxering, vid viken vi taga med endast var sjätte provyta. Vi finna föjande kvoter mean de oika medefeen: För skogsmarksarea, för kubikmassa, E - = 1.79, E Även om denna provytetaxerings medefe äro betydigt större än injetaxeringens, är resutatet vid ett första ögonkast ganska förbuffande. Linjetaxeringen omfattar ju ett rso gånger så stort område som provytetaxeringen! De i kap. III införda korreogrammen giva emeertid en förkaring, viken i ord kan formueras på föjande vis: Korreationen mean den ti en provyta knutna observationen och de observationer, vika kunna göras på ett å ömse sidor av ytan beäget injestycke av något hundrata meters ängd, är mycket stark, varför den fuständiga taxeringen av detta injestycke ej kan giva någon avsevärd utökning av den information, som provytan ger. Det förtjänar emeertid att framhåas, att i fråga om mer säsynta företeeser anses injetaxeringens överägsenhet vara betydigt mera markerad. Vi kunna få en siffermässig bekräftese på att vår teori på denna punkt stämmer överens med verkigheten. Vi förutsätta då, att vi ha att göra med korreationsfunktioner, som äro av exponentiatyp eer äro summor av exponentiauttryck, (75), (85). Ti edning vid vaet av sådana funktioner taga vi korreogrammen i kap. III. Vi ha en injetaxering med injeavståndet b ängdenheter och den sammanagda injeängden L enheter. Linjetaxeringens medefe, s 1, få vi ur (57) och (66): 00 o På injerna utäggas nu provytor med det inbördes avståndet p. Deras anta bir approximativt Ljp. Vi kunna då utgå från reationen Här är p2 = E22 =t p2 E{[/ (q;) -f (q';)]2}, (ro3)

98 94 EERT1L MAT~RN där q'i är en enstaka provyta och qi är det parti av taxeringsinjen, viket utbreder sig en sträcka av pjz ängdenheter å ömse sidor om provytans centrum. Reationen (103) är approximativ; den kan motiveras på samma sätt som forme (6o), se s Vi tänka oss nu, att f (u, v) (s. 24) betyder det ti en provyta med centrum i punkten (u, v) hörande värdet. Man finner då ätt: p2 = ay + ~! (I-~) e (t) dt-1! e (t) dtr f p pfz t Vi få såunda ett uttryck för s 2 2/a2 genom insättning i (103). Av tab. 12 och 13 kunna (så när som på den konstanta faktorn a2fl) s1 2 och s 2 2 erhåas för vissa värden på injeavståndet, b, och provyteavståndet, p, under förutsättning att e (t) = e-h t. Som kommer att framgå av exempen nedan, kunna vi ur tabeerna räkna ut s12 och 62 2 även i det amännare fa, då e (t) = L: pi e-\ t. Tab. I2. L e 2 Värden på för oika h och b. a Vaues of L s, for different h and b. a h= h=3 h=6 h= 12 h= 24 b= I o. o 662 b = 21/" 0, 3 3 b=s b= 6 2 / 3 o b= O!.3092 b= 20 I.665g o. I 36o 0. I 5 I 8 0, I 8 9 o o I I 56 o O. I 57 8 o o O. r 6oo o , 3 I 55 O.I623 0, 63 I O o , I 645 o.o7i o.o8rr3 o.o8i68 0, T ab. IJ. L s 2 Värden på -- 2 för oika h och p. a Vanes f L 6 " o-- a f;r different h and p. h= I p= fn o P= 1 /a 0,0184 p= f. 0.04I3 P= r O. I 6 I 9 P=2 o. 6o 69 h=3 h=6 h= O I 38 o. o 2 70 o.o5o O. I O I I O,I709 O.II79 o. z og 8 o O. 4 I 97 o o. 8 2 o 3 r.z88g I r.sz6.{ h= 24 o. o 85 4 o , 9 I 3 2.9I4' Anm. ti tab. I2 och IJ. L= tota injeängd; c 1 = injetaxeringens medefe; s 2 = medefeet ti differensen mean provyte- och injetaxeringens resutat; h =exponenten i e (t) = e-ht; b = injeavstånd; p = avstånd mean provytor. Remark ta Tabes I2 and IJ. L= tota ength of ines; e 1 =standard error of the ine survey; e 2 =standard error of the difference between the resnits of the sampe pot and the Iine survey; h "" the exponent of e (t)= e--ht; b= distance between ines; p= distance between sampe pots.

99 c 2 2 NöGGRANNHETEN ViD TAXERING För i tabeerna ej upptagna h-värden erhåa vi s 1 2 med hjäp av tab. 1 ocb nr ekvationen ()"2 J z hp z 8 2 ~ = - P)r -f-- (ze-2- I) (1-e- 11 P)J... (Io4) L \ hp h p sutigen kan s2 som förut bestämmas ur (IOZ a). Exempe I. Ti ett korreogram, som avser kubikmassan av träd med över 15 cm brösthöjdsdiameter, ha vi erhåit en ganska god anpassning med kurvan 0.4 e-3t + o.6 e- 12 t (se fig. IZ d), varvid ängdenheten är r km. z Av tab. r z erhåes då för injeavståndet 6- km (vi bortse från den konstanta faktorn): 3 s 1 2 = o.r6oo = 0.3r8r. Om vi ha sex provytor per z-km-sträcka (p = Såunda är I/3), bir enigt tab. I3 e 2 2 = 0.4 " " = O.I24I. V = r+---=! !81 Ha vi endast en provyta per z-km-sträcka (p = z), bir varav: 8! = \ I+---=- Z De motsvarande observerade värdena å kvoten e/s 1 äro 1.24resp (s. 92, 93). Exempe 2. Vi antaga, att e (t) = o. 4 e- t + o. 6 e- 5 t - samma kurva varmed korreogrammet över skogsmarksareaen i fig. I I utjämnades. Då värdet h = 5 ej förekommer i tab. IZ och 13, få vi använda tab. I resp. forme (ro4). z För b= 6- bir 3 I För p =- bir 3 varav: t:2 2 = 0.4 o.or o.o863 = o.-os9r, v ~ o.osgr r+---= r.os

100 )() BERTIL :vratern För p = z bir varav: 8,r--r.-rSzo - = f+---= I.7I. 81 o.6rss De observerade värdena å e/e 1 (s. g z, 93) äro I. I4 resp. r. 79. I faet med sex provytor är överensstämmesen såunda mindre god. Man erhåer dock den rätta storeksordningen på e/e 1 ur tabeerna. Skue man genomfört beräkningarna med stor noggrannhet, borde man givetvis tagit hänsyn ti att såvä provytor som taxeringsinjer ha utbredning i två dimensioner. Härti kommer, att vid riksskogstaxeringen avståndet mean närbeägna provytor i amänhet ej varit konstant. Trots detta torde tab. rz och 13 kunna giva en god vägedning vid panerandet av en provytetaxering. Vi finna, att man vinner föga genom att utöka antaet provytor - eer genom att företaga en fuständig taxering av taxeringsbätena - då korreationsfunktionen är av typ II. Först vid ett så extremt typ I-fa som det, då (}(t) = e-241, får man någon nämnvärd minskning av medefeet genom att gå över från 6 provytor per z-km-stycke ti rz provytor - vid de i tab. rz givna värdena på injeavståndet i km. Vidare ser man, att ju kortare injeavståndet är, dess mer kan det öna sig att minska även provyteavståndet. Sutigen bör det framhåas, att även provytornas storek och form påverka medefeet. För sådana mätningar, som gäa areaens fördening, torde denna inverkan dock vara obetydig. För mätningar på de enskida träden kan den emeertid tänkas spea en stor ro. I avsaknad av korreogram för korta avstånd kunna vi- som förut påpekats- ej diskutera detta probem. KAP. VI. MEDELFELSFORMLER FÖR UPPSKATT NINGAR GRUNDADE PÅ PROVTRÄDSOBSERVA TIONER. Amän medefesforme. Vi betrakta i detta kapite sådana uppskattningar, som grunda sig på mätningar av provträd. Vi förutsätta, att dessa observationer äro kombinerade med en in j e taxering och att provträden väjas ut band träden på eer i omedebar närhet a v in j e rna. I fortsättningen spear det emeertid ingen ro, om injetaxeringen är utbytt mot en provytetaxering med ytorna regebundet fördeade ängs paraea med jämna avstånd öpande injer (fig. r8). Vidare inskränka vi oss ti att behanda ett speciafa, som emeertid är tiräckigt amänt, för att principerna för medefesuppskattningen skoa framträda.

101 NOGGRANNHETEN VID T AXERTNG 91 Liksom förut betrakta vi ett område Q med een totaa areaen A km2 samt injeängden L km. Genom stamräkning finna vi i tre kasser- det kan t. ex. vara granar med zs-30, 30--3s och 3S-40 cm brösthöjdsdiameter- resp. Nv N 2 och N 3 träd på injerna. Vidare tagas Pv P 2 och P 3 provträd. Provträdens sammanagda kubikmassa är Wv W 2 och W 3 m 3. Vi få då kuberingstaen Vi betrakta därefter kubikmasseuppskattningen V =s (k 1 N 1 + k 2 N 2 + k 3 N 3).... (ros) Genom att väja den i (ros) ingående faktorn s på oika sätt få vi uppskattningar av den sammanagda kubikmassan i de tre kasserna inom hea Q, motsvarande kubikmassa per hektar skogsmark osv. Vi göra på denna punkt förutsättningen, att den totaa skogsmarksareaen är känd och utgör X km2 Vi söka nu medefeet s (V). För att räkna ut t:(v) skoa vi använda formen E (V) =s /s s 2 2, (ro6) i viken s 1 mäter effekten av osäkerheten i bestämningen av trädantaet i de tre dimensionskasserna, medan s 2 är ett uttryck för osäkerheten i kuberingstaen. Det är såunda endast t: 2, som har med provträdstaxeringen att göra. Vi ha redan (se t. ex. s. 82) omnämnt, hurs 1 ska uppskattas. För fuständighetens skuämna vi emeertid nu former även för s 1. Vi antaga, att vi redan funnit en ämpig kvadratisk form T, åt vara den i (89) givna, samt fixerat z n injestycken, vart och ett av ängden c km, vika skoa användas vid de medefesberäkningar, som avse injetaxeringen. Vi behöva nu beteckningar för ti dessa zn injestycken hörande observationer. Vi väja dem enigt nedanstående tabå. På det i:e injestycket är: an taet träd i de tre kasserna antaet provträd i de tre kasserna provträdens sammanagda voym injeängden genom skogsmark Vi införa dessutom symboerna N PI =-p, N,;, N 2 ; P 1 ;, P~; resp. N,;, resp. P,;, TV,;, W. i resp. W 3 ;, X; km. Dessa ta angiva för var och en av de tre kasserna, hur många träd på taxeringsinjerna som svara mot ett provträd. De inverterade värdena rjp 1 osv. äro såunda >>provträdskvoten>. 7 i.vcdde. från Stntens Skogsjorsmingsi1~stitut. Band 36: r.

102 98 BERTIL MAT:ERN sutigen använda vi beteckningen kn + k2n2 +kana x a- b- ' där x iksom i kap. IV är taxeringsinjernas sammanagda ängd i km genom skogsmark. Atså är g en uppskattning av den samade kubikmassan inom de tre kasserna per km injeängd genom skogsmark, viket vid ro m injebredd är detsamma som kubikmassan per ha skogsmark. Vi kunna nu utnyttja den kvadratiska formen T för beräkning av såvä E1 som E2. Vi bida nämigen föjande närmevärden för de två medefeen: E1 v~ T(u, u), (107) där U;= k 1 N 1 ; + k 2 N 2 ; + k 3 N 3 ;-g xi, V;= p E 2 = v~ T(v, v), (ro8) wi +p. w.;+ Ps W si- (k p pi+ k. p. P.;+ ks Ps Ps;),.. (rog) (no) medan T, som redan påpekats, förutsättes bidad enigt (8g). Av kap. IV framgår motiveringen för (ro7). Vi skoa strax gå in på en teoretisk diskussion av (ro8). Dessförinnan skoa vi emeertid se på ett numeriskt exempe. Det bör påpekas, att samtiga siffervärden äro fingerade. Exempe. Vi taxera ett område Q, vars sammanagda area är km2, varav km2 skogsmark. Vid taxeringen är injebredden ro m och injeavståndet 20 km. Vi ha föjande uppgifter avseende hea Q, resp. samtiga injer: N 1 = 9 020, p 336, w [24-38 m 3, A = km 2, X = km 2, L = I 316.oo km, x km, N2 = 2 6rg, p2 448, w2 = ma, N a = J30, P a = r85, W 3 = ma. Av dessa värden få vi de i (ro9) och (no) förekommande konstanterna: k = , k2 = , k3 = , g = 6.952, p 1 = 26.85, kp = 9 94, p2 = 5-85, k2p2 = 3-37, p3 = 3,95, k3p3 = 3.01.

103 J.B ~ I.4 NOGGRANNHETEN VID TAXERING 99 Vi ha vat ut zn = rz injestycken, vart och ett av ängden c = ro km. Dessa stycken tänka vi oss igga orienterade som i fig. r6. -Det här vada värdet på n är givetvis adees för itet, för att medefesberäkningen ska biva tiräckigt noggrann.- De för beräkningen av e 1 och e 2 erforderiga uppgifterna från dessa injestycken återfinnas i tab. 14, som dessutom visar beräkningen av storheterna Ui och Vi. Tab. I4. Data för beräkning av kubikmassans medefel Data for the cacuation of the standard error of voume. I 2 i N1i I ro N2i N si x. " k Nti k2n2i ks~ai gxi u i c rg.o 6. I g ~ I I.8 II Diff. ~q. I r !2 10!22 II J r. s 42 9 g. o 8 O 4 30 I. r ~r I II.5 r. s 63.5 II rs.o r I ~ 8.o 32 o o. o I ~ I g.g6 78.s g I g. 6o o ~ o 3 6o 4 t I.7 o. o 25.0 ~r8.g o IJ.O -I2.I ~rg.7 ~r rr2r314 r s r6 I 7 I8 I9 20 j i P1iiP2iiPai w1i w2i wa+tp1ptik2p2p2+2p2p2ik w1ip2 W2iiP, wai vi Diff. I I. 6g 4.02 I. 9 o 39 8 r6.s 6.o ~ I ~ 2 o o 3 o. o o o. o o. o g. o O. o I r. os 3 66 o. ss 29. s z 2! o. o I.7 4 o 2 3 o. o o I o8 o. o 6. 7 g. o O. o o I. go I. 8 8 o. o o O. o sr. o II. o o. o II. I ~6.3 6 o 4 6 o. o o I o. o 13.5 r8. r O.o 10.8 r6.o 4 8 ~ 7 o 5 o o. o o 4-20 o.oo o. o r6. s o. o O. o 24.6 o. o I o. n 2.04 o. ss r g. 9 ro. r 3 0 r g. r II o ' o. o o o. o o. o ~ I O 5 4 o J o.oo o. o o. o ~13.7 III o o o [o. o o o. o o o. o o o. o o. o o. o o. o o. o o. o 0.0 o o o I O. o o o.oo 0.63 o. o O. o 3 0 o. o o.o 2. 5 o. 5

104 100 BERTIL MAT:ER.N 30! I Av tab. 14 få vi:. I T (u, u)= - 6 [(- 14.1) 2 + (-2S.6) (6.8) 2] = , 2 I T (v, v)= z-:--6 [(13.1) 2 + (r.7) (o.s) 2 ] = rr Av (ro7) och (ro8) få vi sedan s 1 och s 2 : /r 316.oo, s1 = \1 v' = rr.47 I 7 r8. I 999 = , ro ~ =VI 316.o_o. " yrr2.584 = I0.6Io6 == ro Forme (ro6) ger: s(v) =s Om vi i (ros) sätta in s = rfx, bir V en uppskattning av kubikmassan per hektar skogsmark (=g). Då rfx = o.oo12864, kunna vi angiva denna kubikmassa (i kasserna I-:-3) ti O. d. ( ). IOO m v1 äremot 1 ros sätta s X f". k. d = --, a v1 som upps attmng av en tota a x kubikmassan i kasserna r-3 inom området Q siffran ro.8o2 ± mij. m 3 Viken av de två uppskattningarna vi än betrakta, finna vi det reativa medefeet 4 47 %- - Uppskattningen av kubikmassan per hektar bir givetvis densamma, även om vi ej känna hea skogsmarksareaen X. Däremot bir uppskattningen av den totaa kubikmassan i detta fa en annan, och osäkrare, än vad som anges av ovanstående medefel Känna vi skogsmarksuppskattningens reativa medefe, kunna vi använda forme (gg), s. 8S, för att kompettera ovanstående beräkningar. Observera emeertid, att, som redan omnämnts, exempet är fingerat och såunda ej säger något om noggrannheten av en faktisk taxering av motsvarande omfattning. Samma räkneschema kan användas även för uppskattningar av tiväxt, trädhöjd osv. Man kan naturigtvis använda andra tivägagångssätt än det i tab. 14 demonstrerade för att räkna ut T(u, u) och T(v, v). På dennapunkthänvisas ti formerna i kap. IV. (Se 8gb, 8g c, 94 m. f.) Här ska därjämte påpekas, att tab. 14 uppstäts så, att man ätt kan utsträcka medefesberäkningen ti

105 36 : I NOGGRANNHETEN VID TAXERING o att avse kubikmassebestämningen för varje enskid av de tre kasserna I-3, eer för två godtyckiga band dessa kasser. I detta sammanhang bör ytterigare en anmärkning göras. Antag, att vi ha en kubikmasseuppskattning, där Vv V 2 och Va äro närmevärden avseende tre enskida kasser - t. ex. tre trädsag eer tre diameterkasser. Vi kunna då i amänhet ej använda formen Formen får ej heer användas om 8 ersättes med 81 eer 8 2. Anedningen härti är, att vi måste räkna med att närmevärdena V 1, V 2 och Va äro korreerade med varandra. Häredning av medefesformen. Vi anknyta även de teoretiska resonemangen ti den nyss diskuterade kubikmasseuppskattningen. Vi införa vissa kompetterande beteckningar, vika stämma överens med dem, vi använt i kap. I-HI. För ett godtyckigt område Q' är per ytenhet: antaet träd i den j:e kassen... Ni (Q'), antaet provträd i den j:e kassen... Pi (Q'), voymen av provträden i den j:e kassen... wi (Q'), skogsmarksareaen... s (Q'). Vidare införa vi beteckningen Ki för det >>rätta>> kuberingstaet i den j:e kassen, dvs. det värde, vi skue erhåit, om vi mätt kubikmassan av aa träd i den j:e kassen inom hea Q. Vi beteckna som i tidigare kapite inbegreppet av aa taxeringsinjer med q. Med ämpigt va av faktorn s ger (ros) föjande närmevärde för kubikmassan per ytenhet av hea areaen: s (Q) V= s (q) [k1 N1 (q) + k2 N 2 (q) + ka N 3 (q)],... (Iti) där som nyss kv k 2 och k 3 äro de av provträden erhåna kuberingstaen. Den första faktorn, s (Q) j s (q), bortfaer, när vi ej känna den exakta skogsmarksareaen. Motsvarande rätta värde är: Vi införa vidare hjäpstorheten V 1 genom reationen

106 102 BERTIL VIATERN Vi skriva nu det sökta medefeet (jfr forme ro6): där =E [(V 1 -- V 0 )"], = E [(V- V 1 ) 2] (IIS) (n6) Forme (r q) viar på den förutsättningen, att V 1 - V 0 och V 1 - V äro okorreerade. A priori synes det föga sannoikt, att någon nämnvärd korreation ska finnas. Uppskattningen av e 1, (rr5), är ett speciafa av tidigare behandade fa, varför vi nu endast diskutera e 2, (rr6). Den kvadratiska form, varpå vi grunda medefesberäkningar avseende injetaxeringen, antaga vi vara given av det amänna uttrycket i forme (ro): I T ingå såunda observationerna f(q;), vika äro anknutna tiinjestyckena q;. Vi finna, att differensen V 1 - V kan skrivas som f(q), om funktionen f(q') har definitionen: 3 f (Q') =:~~;L Pi [Wi (Q')- ]{i. pi (Q')J... (II7) i= I Genom att sätta in denna funktion i den nyss citerade forme (ro) skue vi därför få en uppskattning av e 2 Iband väjas en de provträd utanför sjäva taxeringsbätet (eer utanför provytorna). I ett sådant fa åta vi Pi (q;) och W i (q;) innefatta även dessa provträd. Nu känna vi emeertid ej kuberingstaen Ki. Den kvadratiska formens värde kan emeertid ej ändras i någon nämnvärd grad, om vi ersätta (rr7) med 3 f (Q') = L: Pi [Wi (Q')- ki Pi (Q') J... (n8) j=i Vi ha här för de okända kuberingstaen K i substituerat de vid taxeringenobserverade kuberingstaen k i, varjämte vi strukit faktorn s(q) js(q). Vi kunna ätt konstatera, att (rrs) -så när som på en konstant- stämmer överens med det uttryck, (rro), som vi redan använt i det nyss betraktade exempet. Medefesformen (ros) har härmed erhåit sin teoretiska motivering. Medefesforme vid sumpmässigt urva av provträd. Vi ha förutsatt, att provträden väjas utefter taxeringsinjerna. Det har emeertid sitt intresse att betrakta även det fa, då p.rovträden väj as på måfå och oberoende av varandra inom hea undersökningsområdet Q, medan taxeringen i övrigt är av samma sag som nyss. I dett<\.

107 NOGGRANNHETEN VID TAXERING 103 fa få vi en enke forme för uppskattningen av medefeet s 2, dvs. det medefe i kubikmassan, som härrör från kuberingstaens osäkerhet. Vi kunna nämigen skriva: där cr 2 s 2 (k-) =_J_ j= r, 2, 3... (r2o) 7 pi' Om P 7 ej är itet i förhåande ti antaet, M 1, av träd inom hea Q, vika tihöra den j:e kassen, böra vi i (r2o) införa korrektionsfaktorn (Mi-Pi)/Mi, se t. ex. LANGSAETER (1934) s Vid ågprocentiga taxeringar som riksskogstaxeringen kan denna faktor givetvis försummas. I framstäningen i de tidigare kapiten ha vi hea tiden uteämnat en korrektionsfaktor av detta sag. För att visa hur de i (r2o) uppträdande cri2 skoa uppskattas, införa vi beteckningarna för voymerna av de P 1 provträden i första kassen. Närmevärdet för cr1 2 få vi nu ur formen: (rzr) På motsvarande sätt uppskattas cr 2 2 och cr3 2. Vi ha här använt de vaniga formerna för medefesuppskattning vid sumpmässiga stickprov. Under en viss förutsättning skue vi kunna använda (ng) -(r2r) oberoende av hur provträden tagas ut. Denna förutsättning kunna vi uttrycka i orden: hur nära eer ångt från varandra två träd än stå, äro avvikeserna från resp. kassers genomsnittiga k u berings ta okorreerade. Att denna förutsättning ej kan vara exakt uppfyd, torde vara omedebart kart. Vi kunna nämigen utgå ifrån att det råder positiv korreation mean träd, vika växa nära inti varandra. Detta yttrar sig b. a. däri att dispersionen band på de enskida träden gjorda mätningar i amänhet är större, ju större undersökningsområdet är. LANGsAETER (1934, s. 424) har visat detta för trädhöjd och årsringsbredd, medan NÄsLUND (1944, s ) har framagt siffror, varav framgår, att även dispersionen i kubikmassan (inom diameterkasser) är större inom stora områden än inom små. Detta beyses även

108 104 BERTIL MATERN 36 : I Tab. IS. Variansanays av uppgifter om kubikmassa och tiväxt av provträd i norra deen av Gäveborgs än. Anaysis of variance of data on voume and growth of sampe trees in the northern part of Gäveborg. Inom provytor 1 Mean provytor Within sampe pats Between sampe pats ~ Varianskvot Variance ra tio f v f jj! --~~--~--~----1 r) Kubikmassa, gran o cm Voume, spruce z) Kubikmassa, 3) ) gran ) ) Kubikmassa, ta o-- z. 5 > Voume, piue [ 5) Kubikmassa, ta > 3 o II 7! I z 2! O.I2I57 6) Tiväxt, gran Growth, spruce ) II 276 7) Tiväxt, gran rs-zo ) f = frihetsgrader, degrees of freedom, v = varians, variance. ro. o so Ij o.z663r! !o I. 6 s I.qr av de i tab. 15 redovisade variansanayserna, vika utförts på voymsuppgifter från provträdskort från det vid fera tidigare tifäen betraktade området i norra Häsingand (riksskogstaxeringen år 1942). Vi ha uteämnat aa detajer i beräkningarna. Utföriga räkneschemata finnas hos t. ex. BoNNIER & TEDIN (1940, s. 64 o. föj.).-- Tiväxten avser en femårsperiod bakåt i tiden från taxeringstifäet. Samtiga data, som egat ti grund, ha varit uttryckta i dm3.-- Av varianskvoterna svara 5) och 6) mot ett P-värde < o.oor och r) mot o. or >P > o.oor, medan de övriga fyra svara mot högre P-värden (BONNIER & TEDIN 1940, s. 3I9-32I). Även om den nyssnämnda förutsättningen såunda ej är exakt uppfyd, kan det hända, att (rr9)--(rzr) giva en acceptabe approximation av medefeet c: 2 vid ett ej sumpmässigt va av provträd. Härti kunna två omständigheter bidraga. Des kan korreationen vara svag även för två närbeägna träd, des kan sjäva stickprovsmekanismen i vissa fa skapa ungefär samma variation, som den som karakteriserar det sumpmässiga provträdsurvaet. Vikoren för detta hava karagts av LANGsAETER (1934, s ). Vi skoa därför ej här gå in på en detajerad diskussion. Ett par anmärkningar kunna dock vara befogade. Såsom framhåes av LANGSAETER, är det avståndet mean på varann föj ande provträd som är avgörande för om formerna (rr9)-(rzr) kunna tiämpas. Nu kan det tänkas, att för varje diameterkass provträdens inbördes avstånd är tiräckigt stort, för att (rzo) ska vara betryggande. Därav föjer emeertid ej utan vidare, att även (rr9) får ~nvändas, ty så snart vi samtidigt betrakta fera kasser 1 ha vi att göra mec

109 NOGGRANNHETEN VID TAXERING 105 fer provträd och föjaktigen med kortare avstånd mean två successiva provträd. - LANGSAETERS diskussion skue kunna preciseras, om vi införde en korreationsfunktion. Då resonemangen skue biva en upprepning av vad som sagts i kap. II, gå vi emeertid ej närmare in på dessa spörsmå. Vi studera i stäet ett exempe. Vid den andra svenska riksskogstaxeringen tagas provträden på provytor, vika igga på taxeringsinjerna. Härvid faer i amänhet mer än ett träd per provyta. Vid taxeringen av Gäveborgs än år 1942 föo såunda i genomsnitt tre provträd på varje i skogsmark beägen provyta. Vi få såunda ett anta grupper av nära inti varandra stående träd, viket, enigt vad vi nyss sett, måste tendera att höja medefeet. En viss uppfattning om hur stark denna inverkan är, kan man få av en beräkning, som utförts på ett materia bestående av voymsuppgifter för samtiga provträd, 329 st., från en taxeringsinje i Gäveborgs än. Först utfördes en medefesuppskattning med hjäp av en forme av den typ, som diskuterades i första avsnittet av detta kapite! Härvid bestämdes v; för varje 2-km-sträcka enigt (no). Därefter uträknades s 2 enigt (ro8) av 39 differenser mean v;-värden. Sedan utfördes även en medefesuppskattning enigt (ng)-(r2r). I detta senare fa bev medefeet uppskattat ti ett beopp, som utgjorde endast 6r % av värdet enigt den förra uppskattningen. Även om det nyss anförda procenttaet i sin tur är behäftat med ett medefe, bör det dock tisammans med variansanayserna i tab. 15 tjäna som varning mot ett okritiskt användande av de enka medefesformerna (ng) och (r2o). -Det förefaer dock ej utesutet, att dessa enka former givaåtminstone för taxeringar sådana som riksskogstaxeringen-en viss uppfattning om feets storeksordning, särskit för enstaka trädsags- och diameterkasser. KAP. VII. UTNYTTJANDET AV DUBBLA STICKPROV. I de tidigare kapiten ha vi utgått från vissa på förhand givna uppskattningar av skogsmarksarea, kubikmassa per hektar osv., och angivit former för beräkning av deras medefel I detta avsutande kapite skoa vi taga upp en fråga, som rör det sätt, varpå dessa uppskattningar skoa verkstäas - såunda ej bott hur deras medefe skoa räknas ut. Vi skoa dock ej gå in på probemet, hur sjäva taxeringen ska anordnas, utan fortfarande förutsätta, att det statistiska materiaet redan föreigger. Som kommer att framgå av de i detta kapite betraktade exempen, kan man ur ett givet materia bida närmevärden för skogsmarksareaen, kubikmassan etc. på fera oika sätt. Det probem, vi skoa studera, rör vaet av uppskattningsmetod i ett speciet fa. Vi stäa oss nämi~en föjande fråga: Hur sko!a dy resutat? son1

110 106 BERTIL MATERN erhåas från de oika eden i ett dubbet stickprov, kombineras, för att medefeet ska biva det ägsta möjiga? Under termen >>dubba stickprov>> innefatta vi även sådana fa, där undersökningens första ed utgöres av en hundraprocentig inventering och endast det andra edet är ett stickprov i egentig mening. Se vidare det i den engeska resumen återgivna citatet från COCHRAN (1939). En teoretisk diskussion om de dubba stickproven återfinnes hos NEYMAN (1938 b) och CocHRAN (1939). I viss mån anaoga probem behandas av FrsHER (1942, kap. IX) under rubriken >>concomitant measurements>>. Dessa författare förutsätta, att en sumpmässig stickprovsmekanism användes. Vi måste söka bygga ut teorin så, att den går att tiämpa på de systematiskt vada stickprov, som vi ha att göra med vid skogstaxering. För att undvika atför vidyftiga undersökningar skoa vi härvid begränsa oss ti det nyss omnämnda >>Urartningsfa», då stickprovets första ed är en totainventering. Först skoa vi emeertid betrakta några exempe och därvid särskit dröja vid en metod att utnyttja kartan för att förbättra en inje- eer provytetaxerings uppgifter om oika areasags utbredning. Exempe på dubba stickprov vid skogstaxering. En uppskattning grundad på ett dubbet stickprov är den i kap. VI återgivna forme (ros). stickprovets första ed består av en injetaxering, vid viken uppgifter om trädens brösthöjdsdiameter insamas. Det andra edet utgöres av provträdsobservationer: För ett mindre anta träd noteras förutom brösthöjdsdiametern även andra mått, vika tiåta en voymsbestämning. Det av denna forme iustrerade sättet att sammanväga de oika eden av det dubba stickprovet har behandats teoretiskt i den nyss omnämnda uppsatsen av NEYMAN (1938 b). Ett annat, mera summariskt, sätt att kombinera uppysningarna från de oika eden i ett dubbet stickprov visas av föjande numeriska exempe, som även avser att demonstrera den nyss antydda möjigheten att utnyttja kartans uppysningar. Ett område om ca so km2 i Mamöhus än taxerades med i väst-östig riktning öpande injer, vikas inbördes avstånd var 2SO m. Taxeringen företogs emeertid bott på kartan (konceptbad av år 1938 ti generastabskartan, skaa r: so ooo). Den gav föjande resutat: Linjeängd över and: >> >> skogsmark: 2os.r7 km, 76.rr km. skogsmarken- dvs. de med skogstecken utmärkta områdena - utgjorde såunda 37 ro % av andareaen. Denm1- karttaxering är det första edet i det dubba stickprovet,

111 NOGGRANNHETEN VID TAXERING 107 Nu hade injesystemet vats på ett sådant sätt, att var fjärde inje sammanfö med de vid riksskogstaxeringen år 1945 gångna injerna. För dessa injer visade kartan: Linjeängd över and: km, >> >> skogsmark: km. skogsmarksprocenten var för detta injesystem såunda De vid riksskogstaxeringen verkstäda observationerna bida det andra edet i det dubba stickprovet. - Förutom de väst-östiga injerna med det inbördes avståndet r km hade man vid riksskogstaxeringen även ett nord- sydigt system med injeavståndet z km. Vi bortse emeertid nu från detta system. - Vid taxeringen ute i terrängen noterades: Linjeängd över and: 5z.srs km, >> >> skogsmark: r8.oso km. Riksskogstaxeringen gav såunda värdet för skogsmarksprocenten. stickprovets första ed- karttaxeringen- ger vid handen, att skogsmarken är underrepresenterad på den fjärdede av injerna, som föjdes vid riksskogstaxeringen. Det är då rimigt, att vi tänka oss, att, om den ute på marken företagna taxeringen hade utsträckts ti hea det tätare injesystemet, vi skue fått ett högre värde för skogsmarksprocenten än Vi kunna även bida en uppskattning av detta högre värde. Närmast ti hands torde igga: (37.ro ) = ro = (rzz) Vi kunna förmoda, att denna siffra ger en säkrare uppskattning även av den reativa skogsmarksförekomsten inom hea undersökningsområdet än den ursprungiga, Man kan anföra många andra exempe på dubba stickprov vid skogstaxeringar. Ofta består det första edet av en okuär uppskattning och det andra edet av iakttageser över denna okuerings överensstämmese med mera objektivt utförda bestämningar. Se CocHRAN (1939, s. 495) och LVESSALO (1942, s. 423). Anaogin med det nu genomgångna exempet är uppenbar. I detta sammanhang ska ett påpekande göras om sättet att verkstäa den subjektiva bedömningen. Det är oundgängigen nödvändigt, att de stickprovsenheter, vika skoa ingå även i det andra, mera objektiva, edet, bedömas på exakt samma sätt som de övriga. I vårt exempe skue karttaxeringen varit värdeös, om den utförts så, att en person taxerat den fjärdede av injerna, som sammanfö med riksskogstaxeringens injer, och en annan person återstående tre fjärdedear. Även om samma person utför hea karttaxeringen, måste man se ti, att injerna taxeras i tur och ordning efter sin geografiska,

112 108 BERTIL MATERN beägenhet, och ej t. ex. först de i terrängen taxerade injerna och därefter de övriga. Hest bör den, som taxerar kartan, inte veta om, vika av injerna, som taxeras även i terrängen. Dessa försiktighetsmått avse att minska risken för en systematiskt verkande snedvridning av den sutiga uppskattningen. På denna punkt kan en kritik riktas mot de vid den finska riksskogstaxeringen tiämpade metoderna. Okueringen av de provytor, som även taxerades med objektiva metoder, kan mycket vä ha skett enigt andra principer än de som föjdes vid den subjektiva uppskattningen av bestånd, som endast okuerades. Av föregående kapite ha vi sett, hur man räknar ut medefe ti sådana uppskattningar som (122). Om dessa metoder tiämpas i det nyss genomgångna exempet, ge de föjande resutat. Det reativa medefeet, när endast riksskogstaxeringens UP.pgifter användas, är 5.90 %. Uppskattningen (122) har det reativa medefeet 4.5o %. Om karttaxeringen göres hundraprocentig - i praktiken torde det räcka med ett injeavstånd av so-roo meter- skue det. reativa medefeet gå ned ti 4 z 4 %. Medefeets minskning är såunda ganska måttig. Om man betänker, att karttaxeringen är mycket enke att utföra- taxeringen av över 200 km skedde på kortare tid än I timmeframstår den ändå som motiverad. Som kommer att visas ängre fram, kan man räkna med att en korrektion med hjäp av karta stäer sig reativt gynnsammare, när taxeringen ute på marken sker med ängre injeavstånd. I den mån man förfogar över mera detajerade och tiräckigt nya kartor, bir precisionen givetvis större. Emeertid kunna vi kombinera de från de oika eden i ett dubbet stickprov erhåna uppysningarna på fera oika sätt. Det är ingaunda från början givet, att uppskattningar sådana som (ros) och (122) äro de ämpigaste. Det visar sig exempevis, att om vi ersätta (122) med uppskattningen (3J.ro-34.zz) = 36.38,... (123) går det reativa medefeet ned från 4.5o % ti 4.r8 % En uppskattning sådan som (122) är ett exempe på vad FrsHER (1942, s. 163) kaar >>arbitrary corrections>>. Teoretisk diskussion. Vi anknyta för enkehets sku ti exempet med karttaxering. Vi förutsätta, att en hundraprocentig inventering av kartan företages. Vi använda våra tidigare symboer: hea undersökningsområdet är Q, de i terrängen taxerade injerna bida deområdet q, injeavståndet är b ångdenheter osv. Ti varje punkt (u, v) inom Q äro anknutna stochastiska variaber, h (u, v) Qch r; (u, v)! vika äro ika med 1 eer o! ateftersom (u, v) i!i&er i skogsmark eer

113 36 : I NOGGRANNHETEN V1D TAXERING 109 ej, enigt kartan resp. enigt den i verkigheten företagna taxeringen. Vi definiera värden på funktionerna h och g för godtyckiga områden på samma sätt som i kap. II. Vidare göra vi föjande sannoikhetsantaganden (jfr formerna 35, 36 och 42): E [g (~t, v)] = m 1, E [h (u, v)] = m 2, D [g (u, v)] = a 1, D [h (u, v)] = a 2, E {[g (u, v)- m1j [g (u2, V2)- m1j} = 0"12 en (t), E {[h(uv v1) -m2] [h(u2, v2) -m2]} = a2 2 e22 (t), E {[g (u1, v1)- m1] [h (u2, v2)-m2]} = a1 a 2 e12 (t) (124) Liksom förut är t=+ y(u 1 -u 2 )2 + (v 1 -v 2 ) 2. Korreationsfunktionerna en (t) och e 22 (t) äro av samma sag som de, vi syssat med tidigare. I g 12 (t) möta vi däremot en funktion av ny typ; vi kaa den för den ömsesidiga korreationsfunktionen ti de stochastiska variaberna h (u, v) och g(u, v). För?u (t) och g 22(t) införa vi nu en fuständigare benämning, nämigen a u tokorrea tionsfunktion. Dessa termer avse att svara mot de av CRAMER (1940, s ) begagnade uttrycken >>mutua earreation function>> och >>autocorreation function>>. Den mest amänna formueringen av de egenskaper, de tre nu definierade funktionerna måste ha, är föjande: Hur vi än taga ut n punkter i panet, ska den motsvarande 2n-dimensionea sannoikhetsfördeningen vara definierad (KoLMOGOROFFS vikor, se s ). Det skue föra för ångt att här gå in på en närmare diskussion. Vi nöja oss med påpekandet, att de av CRAMER (1940) visade satserna ätt.kunna generaiseras ti att gäa stochastiska variaber i ett pan. Av taxeringen känna vi nu storheterna g (q), h (q) och h (Q). Vi betrakta föjande närmevärde för det okända g (Q): y = g (q) + k [h (Q) -h (q)]... (125). Vi skue i vissa fa kunna ha intresse av att gå vidare och ägga ti ett anta termer av högre grad i [h (Q) -h (q)']. Genom att på detta sätt betrakta en krökt regressionsin j e skue vi närma oss en uppskattning av den typ, som iustreras av forme (105). För det principiea resonemanget torde det emeertid vara tifyest, att vi utgå från det enkare uttrycket (125). Vi söka nu denna uppskattnings medefel Fördensku införa vi en ny stochastisk variabe genom ekvationen: t (u, v) = g (u, v) -k h (u, v)... (126) Denna forme är identisk med den i kap. III betraktade (84). Vi antaga, att den stochastiska variaben t (u, v) har karakteristikorna m, a och 12 (t) (se formerna 35, 36 och 42). Dessa kunna uttryckas i de genom (124) definierade storheterna: 11 2 = IJ1 2-2 k rj (o) + k 2 1J2 2, 11 2 (! (t) = IJ1 2 (!u (t) - 2 k IJ11J2 212 (t) + k 2 IJ (t)

114 11 o BERTIL MAT~RN Vi använda nu (66) och (57) och finna E{[y-g(Q)] 2 }=E{[f(q)-f(Q)J2} =~ 2,.. (r27) sb 2 =a 2 {e(t)ä (~) dt= =! [a12 en (t) -.2 k a a2 e12 (t)+ k2 a22 e22 (t)] ä(~) d t... (rz8) Genom att variera konstanten k i (rzs) erhåa vi oika uppskattningar av det sökta värdet g(q). Sätta vi k = o, få vi värdet g(q). I detta fa utnyttja vi ej as den information, kartan ger om området mean taxeringsinjerna. För k= g(q)fh (q) få vi en uppskattning av samma sag som (rzz). Som det bästa värdet på k, viket vi beteckna med k 0 och benämna regressionskoefficienten av g(u, v) på h( u, v) kunna vi anse det, för viket (rz8) minimeras. Genom att derivera erhåa vi omedebart k 0 : J e12 (t) ä(~) d t k _ a1. o ( ) o -a oo (t) r z g 2 [ e22(t) ä b dt Det minimerade värdet av (r28) bir 2 J 00 -(!_) _ [!e2(t)ä(~)dtrt Eb - e [ en (t) a b d t oo - (t) J... Vi finna såunda, att om bott r e12 (t) ä ( ~) d t * o, [ e22 (t) a b d t få vi en säkrare uppskattning av g (Q) genom g(q) + k 0 [h (Q) --h (q )J än den, vi få avenbart g(q). Formerna (rzg) och (130) påminna om motsvarande former i regressionsanaysen. Överensstämmesen bir fuständig, om vi antaga Då gå nämigen (rzg) och (130) över i e12 (t) = r en (t) = r e22 (t) Eb 2 =E [g (q)- g (Q)J2} (r-r 2).

115 3 6 : I NOGGRANNBETEN VJD TAXERING 111 När (13I) är uppfyd, skue såunda såvä regressionskoefficienten k 0 som een faktor, som anger den effekt, karttaxeringen utövar på eb2, vara oberoende av injeavståndet b. I amänhet måste man emeertid räkna med att båda dessa kvantiteter äro funktioner av injeavståndet. Nu kunna emeertid (129) och (130) ej användas för att i ett praktiskt fa uppskatta k 0 och eb 2 Vi biva iksom tidigare hänvisade ti att i stäet för (128) betrakta en kvadratisk form T. Vi söka såunda minimum av Om vi amänt skriva (jfr kap. IV, s. Sr) kunna vi uttrycka minimeringsvikoret i formen Det minimerade värdet bir k = TT ((g, h))... (132) h, h [T (g, h)] 2 T min = T (g, g)- T (h, h)... (133) Om formen T är uppbyggd på ett tiräckigt stort anta observationer, komma (132) och (133) att ha små medefel För att dessa två former skoa giva acceptaba närmevärden för k 0 och eb 2 (129, 130), måste vi dessutom kräva, att een ti T hörande avståndsfunktionen ay (t) stämmer någorunda vä överens med ä (t/b). Vid vaet av kvadratisk form T böra vi såunda åta oss edas av samma synpunkter som förut (jfr s. 48). Som närmevärde för det okända g (Q) använda vi atså T (g, h) g (q) + T (h, h) [h (Q)- h (q)] (I34) Detta närmevärdes medefe approximera vi med VT' j L, där T'= ~f T min (135) -I Konstanten f, antaet»frihetsgraden, taga vi ur (88). I fråga om motiveringen för den i (135) uppträdande korrektionsfaktorn, hänvisas ti s. Sr--82. I amänhet torde f vara så stort, att korrektionen är av ringa betydese. Även i fråga om (132) och (133) är överensstämmesen med motsvarande former i regressionsanaysen påfaande, se t. ex. YuLE & KENDALL 1937, formerna (rr. ro) och (II. II), s. 210, 211. Vi skue kunna gå vidare och införa ytterigare ett anta funktioner, i, j osv., och studera probemet att uppskatta g(q) med hjäp av h (Q), i (Q), j (Q) osv. Vi skue då finna, att den formea anaogin med regressionsanaysen bibehåes. Överensstämmesen skue biva fuständig, om vi för T vade ut den speciea formen (6), s. g. I detta fa skue de i regressionsanaysens formeapparat uppträdande centramomenten biva identiska med T (g, g), T (g, i),

116 112 BERTIL MATERN T (h, j) etc. Även när T är en godtyckig kvadratisk form, kunna vi emeertid i regressionsanaysens räkneschemata utbyta momenten mot uttryck av typen T (g, g), T (g, i) osv. Härav föjer, att vi kunna utnyttja de räknemetoder, som användas i regressionsanaysen, t. ex. DooLITTLES. I den statistiska itteraturen synas de här vidrörda mera amänna regressionsprobemen ha rönt mycket iten uppmärksamhet. En artike av KAVANAGH (1941) förtjänar dock att nämnas. KAVANAGH kaar det amänna förfaringssättet >>the procedure of east quadratics>>. En regressionsanays enigt gängse injer föjer >>the procedure of east squares>>. I de förut omnämnda undersökningarna av CocHRAN (1939, s. 496) och IL VESSALO (1942, s. 423) tiämpas regressionsanays vid korrektionen av de okuerade värdena. Båda författarna bortse emeertid härvid från att de ha att göra med systematiskt utagda stickprov. Några numeriska resutat. Den tidigare återgivna uppskattningen (I23) erhös genom en regressionsanays enigt det nu beskrivna förfaringssättet. Vi skoa betrakta även några andra karttaxeringars resutat. Vi använda iksom förut beteckningarna g (q) och h (q) för skogsmark per ytenhet av injerna q enigt taxeringen i terrängen resp. på kartan, samt g (Q) och h (Q) för motsvarande värden för hea undersökningsområdet. Det uttryck, vi med regressionsanaysens hjäp erhåa, bir av typen (I34); vi beteckna det med y. För att angiva den minskning av medefeet, som vi få genom att utnyttja kartan, använda vi storheten G, viken erhåes ur sambandet: G2 = E j [y-- g (Q)J2} -;;;=E:-;-{ =-'"'[g =:-(q ):---"-g...c.=(c'::cq ):-::-:] 2-;-} I nedanstående tabå visas resutatet av vissa karttaxeringar: g {q) h(q) T(g,h) T(h, h) G Mamöhus än b = I km I. OI >> >>... b=2 km I.oo Bekinge än b = 2 1/ 2 km 0.93 I Gäveborgs än... b = 62/ 3 km I.oo I I samtiga fa har generastabskartan använts. I fråga om Mamöhus än avse taxeringarna det nyss omnämnda området om ca 50 km 2 ; för Bekinge än har ett representativt urva av injestycken från aa dear av änet använts; i Gäveborgs än har ett område om ca 2 ooo km2 i norra Häsingand taxerats. För detta område har vid beräkningen av G storheten E {[g (q) -g (Q)J2} ersatts med det ägre värde som erhåes, då andareaen förutsättes känd.

117 36 : I NOGGRANNHETEN VID TAXERING 113 Av de i denna tabå givna värdena skue man kunna förmoda, att regressionskoefficienten sjunker med avtagande injeavstånd, viket betyder, att kartans uppgifter komma att utnyttjas mindre vid högprocentiga marktaxeringar. I samband därmed växer kvoten G, när injeavståndet minskar. At detta står i överensstämmese med de resutat, man kan komma fram ti genom rent teoretiska överväganden. I den mån karttaxeringen ej är hundraprocentig, tikommer givetvis ytterigare ett osäkerhetsmoment i beräkningarna, viket emeertid i amänhet torde vara av underordnad betydese. Om man vi utnyttja kartan för att förbättra en uppskattning av skogsmarksareaen, vi det såunda synas, som om man måste gripa ti regressionsanays; man bör atså ej nöja sig med en uppskattning av det enka saget h(q) g (q) h (q) (136) I stäet bör man väja ut det ämpigaste närmevärdet band aa av typen g (q) +k [h (Q)- h (q) J... (137) Vi ha i det föregående betraktat fera uppskattningar sådana som (136). Särskit två fa äro av praktisk betydese. I det ena av dem anger funktionen g skogsmarksarea och funktionen h andareal I det andra faet är g kubikmassa och h skogsmarksareal (Se s. 79.) Det igger nu nära ti hands, att vi fråga oss, om vi inte böra använda regressionsanays även i dessa två fa, dvs. bestämma k, så att (137) ger ett närmevärde med maxima precision. Med hjäp av uppgifter från den andra svenska riksskogstaxeringen har en undersökning utförts för att beysa detta probem. Härvid användes data från Gäveborgs, Kopparbergs och Bekinge än. I intet fa edde emeertid regressionsanaysen ti någon nämnvärd ändring av närmevärdet (r36). HASEL (1942) betraktar den andra av de två nu nämnda uppskattningarna, dvs. uppskattningen av kubikmassa, i ett fa, då den totaa skogsmarksareaen är känd. Han finner (136) vara >>biased>>. I de nyssnämnda statistiska materiaen måste emeertid denna >>bias>> vara av iten storeksordning i förhåande ti medefeet i närmevärdena (136) och (137). Det är dock ej utesutet, att den skue kunna framträda, om man adderar ett anta för oika områden erhåna uppskattningar av typen (136). I detta sammanhang bör det påpekas, att det understundom torde vara fördeaktigt, att man dear in ett taxeringsområde i mindre områden och utför en uppskattning av typen (137) för varje deområde. En sådan >>differentia regressior>) (HENDRICKS 1935) torde exempevis vara tirådig, om man ska utföra en karttaxering men har ett heterogent kartmateria. En iknande metod har använts vid den finska riksskogstaxeringen (ILVESSALO 1942, s, ;;:Gr, 423); en si:irskid regressionsanays har nämigen utförts för varje taxator. 8. Medde. från Safens SkogsforskJtingsiJ1s,titu.t. ~and 36: :t:,

118 114 BERTIL MAT:ERN 36 ; t! Stickprov på. förändringen i areaer, kubikmassor osv. från en tidpunkt ti en annan. När vi utnyttja kartanpå så sätt som nyss beskrivits, tänka vi oss, att taxeringen ute i terrängen avser att giva uppysning om hur mycket kartan avviker från verkigheten. I samma mån som sambandet är starkt mean kartans uppgifter och de faktiska förhåandena, i samma mån bir uppskattningen av den förefintiga avvikesen mycket noggrann. Samma princip kan utnyttjas även i andra fa. Vi vija jämföra t. ex. kubikmassorna inom ett område Q vid tidpunkterna t 0 och t 1. Vi beteckna kubikmasseuppskattningarna med K 0 resp. K 1. Vid båda tidpunkterna ha taxeringar verkstäts, varvid man använt samma injesystem. Vi kunna då uppfatta den vid tidpunkten t 1 företagna taxeringen som en undersökning av den förändring kubikmassan undergått under tiden mean t 0 och t 1. För att få ett mått på medefeet i differensen K 1 -- K 0 böra vi använda en kvadratisk form T av t. ex. typen (89) och för varje injestycke sätta in värdet på motsvarande differens, dvs. den på injestycket konstaterade ökningen eer minskningen av kubikmassan. Förmodigen ska man finna, att K 1 - K 0 har ett mindre medefe än vad K 1 och K 0 ha var för sig. Givetvis spear den noggrannhet, varmed man vid de båda taxeringarna föjer de på kartan utstakade injerna, en stor ro. Man kan utnyttja den reativt goda precision, varmed en förändring kan uppskattas, även på föjande sätt. Vid tidpunkten t 0 uppskattas kubikmassan ti K 0 m 3 med hjäp av en mycket omfattande taxering. Vid tidpunkten t 1 göres en taxering av reativt ringa omfattning, varvid emeertid ett visst anta av den tidigare undersökningens taxeringsinjer användas. Genom att observera, hur mycket kubikmassan har ändrats på just dessa injer, bidar man uppskattningen K 01 av kubikmassans ökning från t 0 ti t 1 I siffran har man då ett närmevärde för kubikmassan vid tidpunkten t> ett närmevärde, som bör vara avsevärt mera noggrant än det man skue fått, om man ej utnyttjat den tidigare taxeringen. Anaogin är ju fuständig med den förut angivna metoden att utnyttja kartans uppgifter. Givetvis kan man även vid uppskattningen av K 01 ha anedning att använda regressionsanays och räkna efter en forme av typen (r34).

119 NOGGRANNHETEN VID TAXERING 115 SAMMANFATTNING. Oika former för medefesuppskattning vid en regebunden injetaxering granskas med utgångspunkt från en matematiskmode, som erhåits genom en utvidgning av teorin för >>stationära stochastiska processen>. Granskningen ger vid handen, att de ämpigaste formerna äro uppbyggda på uttryck för variationen mean observationer hörande ti ganska korta och nära inti varandra iggande injestycken. Tiämpningen av en forme av detta sag iustreras med numeriska exempe. Formen kan användas även för uppskattningar grundade på en regebundet utagd provytetaxering eer på provträdso b serva tioner. I ansutning ti vissa medefesbestämningar diskuteras en metod att öka en taxerings precision genom utnyttjande av karta. ANFÖRD LITTERATUR. References. AITKEN, A. C., Determinants and matrices. University Mathematica Texts. r. Third ed. - Edinburgh & London. BACHER, I., I933 Moderna synpunkter på fätförsökets metodik och den statistiska anaysen av försöksresutat. - Nord. Jordbr. Forskning. Vo. 15. s BARBACKI, S. & FisHER, R. A., A test of the supposed precision of systematic arrangements. -Ann. Eugen. Vo. 7 s BJERKE, BJ., Maaestokmetoden og Larsens fors0k. - Medinger fra Norges Landbrugsh0iskoe. Bd 3 s. 337 BoRR, H. & MaLLERUP, J., L~rebog i matematisk Anayse. I. 2. Upp.- K0benhavn. BOJARSKI, A., Sur a earreation geometrique.- Bu. Acad. Sci. URSS. Ser. Math. Vo. 5 s BoNNIER, G. & TEDIN, 0., Bioogisk variationsanays. - Stockhom. BaREL, E., Principes et formues cassiques du cacu cj.es probabiites. - Paris. CocHRAN, W. G., 1934 The distribution of quadratic forms in a norma system, with appications to the anaysis of covariance.- Cambr. Phi. Sac. Proc. Vo. 30. s The use of the anaysis of variance in enumeration by samping. - J ourn. Amer. Statist. Assoc. Vo. 34 s Reative accuracy of systematic and stratified random sampes for a certain cass of popuations. - Ann. Math. Statist. Vo. IJ. s CRA1G, A. T., Nate on the independence of certain quadratic forms.- Ann. math. statist. Vo. 14. s CRAMER, H., Sannoikhetskakyen och n1tgra av dess användningar. ~ Stockhom On the representation of a function by certain Fourier integras. - Trans. Amer. Math. Soc. Vo. 46. s On the theory of stationary random processes.- Ann. math. Vo. 41. s Mathematica methods of statistics. - Uppsaa. DELTHEIL, R., Probabiites geometriques. -Paris.

120 116 BERTIL MATERN EDEN, T. & Y ATES, F., On the vaidity of Fisher' s z-test w hen appied to an actua exampe of non-norma data. - J ourn. Agric. Science. Vo. 23. s. 6. F1SHER, R. A., The design of experiments. Third ed. - Edinburgh & London. -- & YATES, F., Statistica tabes. Second ed. - Edinburgh & Londot. FRECHET, M., Recherches theoriques modernes sur a theorie des probabiitt's. I. - Paris. GADD, H., Undersökningar angående de representativa egenskaperna hos materiaet från injetaxeringar.- Xorrands skogsvårdsförbunds tidskr. s. 17I. GHOSH, B., 1943 a. On the distribution of random distances in a rectange. - Science and Cuture. Vo. 8, s b. On random distances between two rectanges. - Science and Cuture. Vo. 8. s GOSSET, w. s., Ca-operation in arge-scae experiments. - Journ. Roy. statist. Soc. Supp. Vo. 3 s. II5. HASEL, A. A., Samping error in timber surveys. - J ourn. Agric. Research. Vo. 57 s Estimatian of voume in timber stands by strip samping. - Ann. Math. statist. Vo. 13. s. I79 HENDR1CKS, W. A., The use of >>differentia regression>> in anaysis of variance. - Journ. Agric. Sci. Vo. 25. s HoTELLING, H., Note on a matric theorem of A. T. Craig. - Ann. Math. statist. Vo. 15. s HuDSON, H. G., 1939, Popuation studies with wheat. I. Samping. II. Propinquity. - Journ. Agric. Sci. Vo. 29. s. 76. Vo. 31. s. n6. ILVESSALO, Y., Snomen metsävarat ja metsien tia. - Comm. Inst. Forest. Fenniae. 30. (Summary in Engish: The forest resources and the condition of the forests of Finand. s. 417.) sserlis, L., On a formnia for the product-moment coefficient of any order.of a norma frequency distribution in any number of variabes. - Biometrika. Vo rz, s. 134 J ordbruksförsöksanstaten, Handedning i försöksteknik - Norrtäje. KAVANAGH, A. J., Noteon the adjustment of observations. -Ann. Math. statist. Vo. IZ. s. III. KH1NTCH1NE, A., I934 Korreationstheorie der stationären stochastischen Prozesse. - Math. Annaen. Bd 109. s KoLMOGOROFF, A., 1933 Grundbegriffe der V/ahrscheinichkeitsrechnung. - Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Bd z. H. 3 Berin. Kommissionen för försökstaxering etc., Värmands äns skogar. Betänkande. - Stockhom. KR1STENSEN, R. K., Bestemmese af Middefejen ved Hjaop af Differensdanneser. - Tidskr. Panteav. Bd 39 s. 349 LANGSAETER, A., 1926, Om beregning av middefeien ved regemessige injetakseringer. - Medd. fra det norske skogforsoksvesen. Bd z. H. 7 s. 5 H. 8. s Noiaktigheten ved injetaksering av skog. I. Bestemmese av treanta og dimensjonsfordeing. - Medd. fra det norske skogforsoksvesen. Bd 4 s I934 Noiaktigheten ved injetaksering av skog. II. Bestemmese av hoide og årringbredde. - Medd. fra det norske skogforsoksvesen. Bd 5 s LAPP1-SEPPÄLÄ, M., Linja-arvioimisesta ja sen tarkkuudesta. (Referat: Uber die Linientaxierung und deren Genauigkeit. s. 49.) - Medd. från forstvetenskapiga försöksansta ten. Vo. 7. L:Evv, P., Theorie de!'addition des variabes aeatoires. - Paris Sur e mauvement brownien dependant de pinsieurs parametres. - C. R. Acad. Sci. Paris. Vo. zzo, s L1NDEBERG, J. W., Uber die Berechnung des Mittefehers des Resnitates einer Linientaxierung. - Acta forestaia fennica. H. 25. MADOW, W. G. & L. H., 1944 On the theory of systematic samping, I - Ann. Math. Statist. Vo. 15. s. r. :McCARTHY, M. D., On the appica.tion of the g-test to ra.ndomizec bocks, -- Ann. Ma.th. statist. Vo. ro. s. 337

121 36 : I NOGGRANNHETEN VID TAXERING 117 NEYMAN, J., I929. The theoretica basis of different methods of testing cereas. Part II. The method of parabaic curves. (Scientific pub. of K. Buszcynski & Sons Ltd. Pedigree seed cutures. No. 4-) - Warsaw. I935- Statistica probems in agricutura experimentation. - J ourn. Roy. statist. Soc. Supp. Vo. 2. s. I07. I938 a. Leetures and conierences on mathematica statistics. - Washington. I938 b. Contributian to the theory of samping human popuations. - J ourn. Amer. statist. Assoc. Vo. 33- s. IOI. NÄsLUND, M., I930. Om medefeets beräkning vid injetaxering. - Svenska skogsvårdsför. tidskr. Arg. 28. s I939- Om medefeets häredning vid inje- och provytetaxering. - Medd. från statens Skogsförsöksanstat. H. 31. s I944 Antaet provträd och kubikmassans noggrannhet vid stamräkning av skog. Medd. från Statens Skogsförsöksanstat. H. 34 s OsBORNE, J. G., I942. Samping errors of systematic and random surveys of cover-type areas. - Journ. Amer. statist. Assoc. Vo. 37- s PEARSON, E. S., Some aspects of the probem of randomization. II.- Biometrika. Vo. 30. s. I59 PITMAN, E. J. G., 1937 Significance tests which may be appied to sampes from any popuations. III. The anaysis of variance test. - Biometrika. Vo. 29. s Riksskogstaxeringsnämnden, I932- Uppskattning av Sveriges skogstigångar verkstäd åren I923-I929. Betänkande. - Stockhom.»STUDENT», Comparison between baanced and random arrangements of fied pats Biumetrika. Vo. 29. s TED1N, 0., The infuence of systematic pot arrangement upon the estimate of error in fied experiments. - J ourn. Agric. Science. Vo. 2I. s. I9I. TIREN, L., Nyare fätförsöksmetodik, beyst genom några skogsodingar på Kubäcksidens försökspark. - Medd. från Statens Skogsförsöksanstat. H. 27. s. I83. WELCH, B. L., I937 On the z-test in randomized bocks and atin squares.- Biometrika. Vo. 29. s. 21. WIEBE, G. A., Variation and earreation in grain yied among I 500 wheat nursery pats. - J ourn. Agric. H.esearch. Vo. so. s. 33!. WIENER, N., The homogeneons chaos. - Amer. Journ. of Mathematics. Vo. 6o. s WOLD, H., A study in the anaysis of stationary time series.- Uppsaa. YuLE, G. U. & KENDALL, M. G., 1937 An introduction to the theor)' of statistics. Eeventh ed. - London. ÖSTLIND, J., Erforderig taxeringsprocent vid injetaxering av skog. - Svenska skogsvårdsför. tidskr. Arg. 30. s. 417.

122 118 BERTIL MATERN 36 : I RESUME. Methods of estimating the accuracy of ine and sampe p1ot surveys. Introduction. The foowing exampe gives an idea of the probems treated in this paper. In 1942, the county of Gäveborg in Sweden was surveyed with the aid of strips 10m wide paced 62/ 3 km apart. It was found that 77 7% of the and area within the strips was forest and. What does this figure te us about the corresponding per cent for the whoe county? We woud wish to answer this question in terms of the standard error. To obtain an estimate of the standard error of a survey we sha ony use the data of that same survey. As is pointed out by HASEL (1942) for instance, every estimaton of accuracy is based on a mathematica mode of the phenomenon under investigation. In respect to a survey of an area, this mode describes, firsty, the röe payed by chance in the arrangement of the sampes, secondy, the infuence of random variations of fertiity, eirna te, and simiar externa! factors. To sum up the infuences of the seeond kind we sha use the term >>topographic variatiom. At this point there is a cear anaogy with the probem of estimating the error of a fied experiment. As is evident from the examinations of TEDIN (1931), NEYMAN (1935), McCHARTY (1939), and others, the mathematica mode of topographic variation underying the usua statistica devices of deaing with fied) experiments is open to severe criticism. In spite of this, if an experiment is stricty»randomized>> the usua methods may be used. This is due to the fact that the - evidenty accurate - assumptions concerning the random ayout of the experiment have a darninating infuence. The same may be said of such samping surveys in which the samping units are ehosen at random. The safety-vave of randomization is not at hand when fied experiments or sampe surveys are systematicay designed. Deficiencies in the mode of topographic variation may in these cases have serious consequences. Therefore the chief aim of this paper is to provide a mode sufficienty accurate to serve as a basis for error estimation of systematicay arranged sampe surveys. This probem is discussed in chapters I-III, whereas chapters IV-VII show some practica appications. Ch. I. Quadratic forms adapted to the estimati-on of the standard error of a Iine survey. This chapter contains some preiminary points concerning the reguary spaced ine survey, which is the basis of a forms of surveys deat with in this paper. Let us first consider methods of estimating the standard error from the data of whoe strips. In order to avoid unnecessary compications we assume that the ~rtta to be surveyed is rectan?uar and that the survey ines are parahe to ontt

123 NOGGRANNHETEN VID TAXERING 119 of the sides of the rectange. (See Fig. r, p. 7.) The whoe area Q is divided into n congruent sub-rectanges Qv Q 2,..., Q,.. In the midde of these subrectanges n are the survey irres qv q 2,, qn- We further define q as L q;. For an arbitrary I area Q' the symbof(q') widenotethevaueper unit of areaofsomevariabe; /(Q') may be and area per ha of Q' or voume per ha etc. We then define the >>errors>>: X; = f(q;)- f(q;), x= f(q)- /(Q). The quautities x; are considered as stochastic (or random) variabes. In characterizing the distribution of a stochastic variabe we sha use the symbo E to denote mathematica expectation and D to derrote dispersion. We then express our assumptions concerning the distribution of the x;' s in the foowing formuae (cf. LINDEBERG 1923, p. II): E (x;) =o,... (r) D 2(x;) = E (x;2 ) = a2, (2) E (x; x 1 ) = o, if i == j (3) Hence: a2 n o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o (5) \,Ye then consider the foowing estimate of a 2 : n n T= L L cii f(q;) f(qj), c;i = cii... (10) i= f= I T is a quadratic form in the vanes f(q 1 ),. :., f(qn We derrote the matrix of T by C. We further assume that T is non-negative, and that This yieds: n L C; j= o o o o o o o o. o. o o o o o o o o o. o. (II) i=rf=r L Cij =o o o o o o o o o o o o o o o o (12) From (r)~(3) we get: Jt. 1t 1t E (T) = a 2 L c;; + L L cii /(Q;) /(Qi) (13) i=r i=ij=r Thus we assume: n L cii = I,. t r ~.. (r4) f~ J

124 120 BERTJ L :VIATERN Except formuae based on graphic graduation, a estimates of a2 suggested in iterature are in accord with (ro), (n), (r2), and (q). Theyrepresentattempts to reduce the seeond component in the right-hand member of (r3). Exaropes are found in the Swedish text, see formuae (6), (8), and (9). For the moment we must eave the question, whether it is possibe to ehoase C in such a way that this component may be negected. However, we now assume that there is in fact a certain cass of forms T, which can be written with sufficient approximation as For these forms we have T= L: L: c;i x; xi.... (r5) D2(T) = 2 a4 L: L: c2;i = 2 a1 Sp C (r6) i i Here SpC 2 denotes the»trace>> of C 2, i. e. the sum of the diagona eements. We have further assumed that the x; 's are normay distributed. In this case we can aso find the distribution of T (CoCHRAN 1934, p. 179). We must then know the so caed characteristic numbers of C. If the non-vanishing characteristic numbers are a equa, T has a distribution of the x2 -type. A necessary and sufficient condition for this is that where k is a eonstant (CRAIG 1943). C2 = k C, ( 2 o) The condition (zo) is of importance aso in regression probems. \Ve consicer a form and assume that the residuas x; = z;- rx -- /JY; are normay distributed variabes, satisfying (r)-(3). The minimum vaue of (21), T min' is given by (z z) and its expectation by (~"-3) (see Swedish text). It can be shown that the necessary and sufficient condition for T min to have a distribution independent of Yv y 2,, Y n is that the matrix equation (zo) is satisfied. Then T min is x2-distributed with one degree of freedom ess than L: L: c; i x; x i. We retain the assumtions made above of the variabes x; and examine two non-negative forms We find I t "can be shown that a necessary and sufficient condition for independence between T 1 and T 2 is that they are uncorreated, i. e. that the doube sum on the right disappears. CRAIG (1943) has demonstrated a simiar proposition for two arbitrary quadratic forms (Cf aso RoTELLIN G 1944). We now pass over to standard error formuae based on data from parts of survey Jines; we ca these parts ine sections. By qv q 2,, qn"we designate

125 NOGGRANNHETEN VID TAXERING 12i n ine sections of equa ength, and by Qv Q 2,., Qn rectanges round these ine sections, as shown by Fig. 3, p. r8. Here again the standard error estimates are of type (ro), and the corresponding matrices have the properties expressed in (rr) and (r2). It wi be easiy seen that we can no onger keep the assumption (3). We substitute the more genera assumption E (x;xi) = a 2 r;i... (27) Our earier formuae (5), (r3), (r6), and (26) now pass into the formuae (29), (30), (31), and (33) (see Swedish text). We find in (29) a new component, which shoud reasonaby be regarded as positive, whereas in (3o) we get an additiona component that as a rue shoud be negative. Thus there is some risk of underestimating the standard error. This has first been pointed out by LANGSAETER (1926). -- There is an anaogous probem connected with fied probems arranged according to the so caed >>haf-dristrip>> method, see BARBACKI & FISHER (1936), >>STUDENT» (1937) and PEARSON (1938). - We cannot however discuss this probem without making further assumptions. It may be observed that if we et (27) refer to the quautities f(q;), and not to the >>errors>> x;, the formuae given obtain a more genera significance. starting from the expressions of D (T) some criticism can be brought to bear upon the formuae based upon the combining of ines and ine seetians into groups. (In this case every q; means a sum of ines or parts of ines scattered over Q.) For these formuae ead to a_ quite unnecessary raising of D (T). (Cf. NÄsLUND 1939, p. 334 ) Briefy, it can be shown that the assumptions made in this chapter do not aid sufficienty in estimating E (T). On the other hand, they ma y be said to give a summary knowedge of the remaining qua1ities of the distribution of T that is sufficient for practica use. Ch. II. A mathematica mode of topographic variation. This chapter contains the main resuts of the investigation. We take as our starting-point the observation that the topographic variation decreases with decreasing distance. (See e. g. BJERKE 1923, WIEBE 1935 p. 341, NÄsLUND 1930 p. 332, LANGSAETER 1932 p. 476.j The points of a Eucidean pane are determined by their Cartesian coordinates (u, v). To every point (u, v) is attached a rea-vaued stochastic variabe f(u, v). We make the foowing assumptions with respect to this infinite set of random variabes: E [f( u, v)] = m,.... (35) D2[f(u, v)] =E {[j( u, v)- mj2} = a2 >o, (36) E {U(u 1, v 1 )- m] [f(u 2, v 2 )-m]} = a 2 e(u 1 - u 2, v 1 - v 2 )... (3 7) The function e in the right-hand member of (37) wi be caed a earreation function. We immediatey find the foowing properties: g(o, o) =r, e(u,v) =e(-u,-v)..... (38)

126 122 BERTIL MATERN 36 : [ Very genera sets of random variabes are considered by KoLMOGOROFF (1933). Cf. aso WIENER (1938) and L:Evy (1945). LANGSARTER (1932), OsBORNE (1942), MAnow (1944), and CocHRAN (1946) have used a one-dimensiona set of random variabes anaogous to the random process. Certain points of interest concerning our above-mentioned two-dimensiona mode may be found in BoJARSKI (1941) and GHOSH (1943 a, b). Unfortunatey the papers by BoJARSKI and GHOSH are not yet avaiabe in Sweden. They are mentioned in the Mathematica Reviews (Vo. 3, p. 173; Vo. 5 p. 40). In order that the assumptions be ogicay consistent, to each set consisting of a finite number of pointsin the pane, the corresponding mutidimensiona distribution must be defined. We ca this the KoLMOGOROFF condition (KoLMOGOROFF 1933, esp. pp ). We ony accept earreation functions satisfying this condition. They form a dass of functions that we ca K. A necessary and sufficient condition that the rea function (!(u, v) beongs to K is that (38) is fufied, and that, if we take out a finite number of points (uv v 1),..., (u," v,), the expression 1t 11, I: I: t; ti (!(U;- Uj, V;-- V j) i= I i= I is a non-negative quadratic form in t 1, t 2,, tn-... (39) In ooking for other characteristics of the dass K, we utiize the anaogy between thismodeand the earreation theory of stationary random processes invented by KHINTCHINE (1934). The theorems proved by KHINTCHINE (1934) and CRAMER (1940) can easiy be generaized, For the terms characteristic function, distribution, frequency function, etc., occurring beow, see the definitions in CRAMER (1945). If a earreation function e(u, v) is continuous in the point u= v= o, it is everywhere continuous. If K 1 derrotes the cass of a rea-vaned characteristic functions of two-dimensiona prohabiity distributions, then K 1 is identica with the subcass of K containing a earreation functions that are continuous in the point u= v= o. In the seque we sha ony consider correationfunctions beonging to K 1. It is easiy seen that K 1 ma y aso be described as the dass of functions containing the rea parts of a characteristic functions of two-dimensiona distributions. In order to see if a function e(u, v) beongs to K 1 we can use, for instance, the reativey simpe necessary and sufficient condition given by CRAMER (1939). The function e( u, v) = e-h/u'+ v' may serve as an exampe; it is the characteristic h 3 function of a distribution with the frequency function- (h 2 + x 2 + y 2) 2 2:n; In the remainder of this chapter we sha repace (37) by where Ej[f(upv 1)~m] [/(u 2,v 2 )-mj} =a2 e(t),... (42) Two functions e(t) are shown in Fig. 4 (p. 28). The more rapidy faing function is said to be of Type I, and the more sowy faing function to ;>e of Type H (reativey the dista11ce b),

127 NOGGRANNHETEN VID TAXERING 123 We then define vaues f(q) where q is an arbitrary area in the pane. By the term >>area>> we sha understand sets of a finite number of points or ines, and areas in the proper sense, i. e. rectanges, circes, etc. The definition of f(q) is made in a simiar way to the ordinary RIEMANN definition of an integra (See CRAMER 1940). However, we divide by the superficia contents of q, sothat f(q) gives the average vaue of f( u, v) in q. If, for instance, q is the rectange (a < u <A, b <v <B), we may write A B f(q) --c-----, : ) r /'t(u,v)dvdu (A -a) (B-b ~ i, With the aid of a theorem put forward by CRAMER (1940, p. 218, Lemma z) we find the foowing expressions for the simpest properties of the random varibes f(q): E [f(q)] = m,.... (45) A specia instance of (49) is: 00 E {[t(q;) - m] [f( q i)-- m] = a2 J e(t) da;;(t)... (49) o D2 [f(q;)] = 00 a2 J e(') da;i(tj (so) o The integra~ in (49) and (so) are STIELTJES' integras. The function A;;(t) may be interpreted as the distribution function of the distance between two points ehosen at random, orre in q; and the other in q;. It wi be termed a distanceintegra. Its derivative- if existing- wi be caed a distance-function (of course not to be confused with the distance-function used in defining a metrica space) and denoted a;;(t). We then consider a quadratic form of Type (IO), where the q;'s are arbitrary areas in the pane. We further assume that the reations (n) and (12) hod good. We find: where E(T) =a2l.lc;ife(t).da;;(t) =a2je(t) day(t),... (51) o Ay(t) = L L c;;a;;(t)... (52) We ca Ay(t) the distance-integra of the form T. If its derivative exists, it wi be written ay(t) and narned the distance-function of the form. In this case we have: 00 E (T)= a2 J g(t). ay(t). dt... (51 a) o Now et us consider the strips q 1, q 2,,, qn, and the redanges Qv Q 2,., Q, given in Fig. I. We denote by the ength of each separate strip, and by L the ength of a strips (L = n). We further assu~e that every q; is a ine without ~~......

128 124 BERTIL ivratern 36 : Then we consicer the quadratic form From (51 a) we obtain: T 0 = [f(q;)- /(Q;)] 2 (54) 00 E (T 0 ) = a2 J e(t) ar.(t) d t. o The function ar 0 (t) is derived from (55) and the foowing formuae (pp ). It tums out that ar 0 (t), when + oo, converges towards a function ä (tjb). The function ä is given by (56), p. 35 As is shown by Fig. 5, p. 36, the convergence towards ä is rather strong, the difference between ar. and ä being negigibe aready for = 2 b. Consequenty we can use the approximation where 8b 2 E {[f( q;)- t(q;)j 2 } ::::::: T'... (5 s) 8b 2 = It can be proved that the form r 0" 2 e(t) ä G) d t..... (57) T =L [f(q)- /(Q)] 2,. (59) has about the same mathematica expectation as T 0 The demonstration is, in mere outine: The f's beonging to the irres q; are regarded as a one-parametric famiy of stochastic variabes ha ving the properties indicated in (62)-(64); E (T) and E (T 0 ) can be shown to be dependent on the new earreation function R (t) in such away that they must on the whoe get identica vanes when R (t) runs smoothy. - The earreation function R (t) has been used by OsBORNE (1942), and a simiar function by LANGsAETER (1932). - Thus we can start from the form ua E {[t(q)- f(q)j2} = ~ 2,.. (66) and then seek estimates of the quantity eb2 It is worth mentiorring here that if q; is a ine ehosen a t randoro within Q;,, the direction sti being fixed, parahe to AB in Fig. I, we find where the functions on the right-hand side are those given on p We accord ingy get expressions for the standarderrors of stratified randoro sampes A possibe standard error formuae are based on quadratic forms T of the type (10). We sha confine ourseves to a study of the conditions for T to be approximatey unbiased, i. e. that E (T) ::::::: eb2 It is evident that, if this reation is to be satisfied under reasonaby genera conditions, T must have a distancefunction of much the same form as the function ä(tjb) given in (56).

129 NOGGRANNHETEN VID TAXERING 125 We accordingy determine the distance-functions of a number of different types of quadratic forms. Certain exampes are shown in Fig. 8 a-f, p. 4I et. seq. The graph of ä(tjb) has been put in for comparison in a diagrams. The quadratic forms are defined by reations (67), (69), and (7I)-(74). Theine sections incuded in these forms are shown in Fig. J, p. 40. The ength of each ine section is denoted by c. For the sake of darity the different forms wi here be briefy described. Tv formua (67), is the variance of f's beonging to n adjacent sections of the same ine. T 2, formua (69), is the variance of n ine sections beonging to n successive ines. T 3, formua (?I), is the square of the difference of kth order of the vanes of k + I adjacent sections of the same ine. T 4, formua (72), is the square of the difference of kth order of the vanes of k + I ine sections of k + I successive ines. T 5, formua (73), is of the same type as the formuae used for estimating the error of a fied research aid out in atin square. A formua of this kind has been suggested by NÄsLUND (I939). Finay T 6, formua (74), has been obtained through gradnation with a paraboa of kth degree in vanes beonging to n adjacent sections of the same ine (n> k). Such a gradnation has been used by NEYMAN (I929) in the treatment of a systematicay arranged fied experiment. Evidenty it is possibe to construct a quadratic form in vanes f(q;), where the q;'s are ine sections, with a distance function arbitrariy cose to ä (tjb). For practica purposes, however, the above-mentioned types seem to be ampy sufficient. From the Tabes of Ch. III it wi appear that the earreation functions which describe the topographic variation of observations made in forest surveys are decreasing and are of the same type as the functions shown in Fig. 4, p. 28. Especiay in respect to rapidy faing functions (Fig. 4, Type I), the course of the distance-function immediatey at the point zero wi be of decisive importance to the expectation of a quadratic form. It wi appear from the diagrams that a the quadratic forms in view have distance functions which,. at the zero point, assume the vane 2. By righty choosing the ength c the distance function wi aso obtain the same first derivative at zero as ä (tjb). \Ve ca these c-vanes the minimum stretches of the different quadratic forms. The minimum stretches of the forms just given appear from (67 b), (69 a), (?I b), (73 a), and (74 a), and besides, (72) has the same minimum stretch as (69), i. e. b(n. The minimum stretch is different for different quadratic forms and, furthermore, direct proportiona to the ine distance, b. By the determination of the minimum stretch we seem to have come as near as possibe to the soution of a probem much disenssed in the iterature. (See e. g. LANGSAETER I932, p. 558.) If we get too far away from the minimum stretch the good correspondence at ow t-vanes with ä(t(b) is competey ost. It may be added that as soon as ] (t) is non-increasing, the simpe forms T 1 and T 2 wihave an expectation ~ eb2, provided the c's remain above the respective minimum stretches. Therefore we need not fear any systematic underestimation of eb2. The figures given in Ch. III motivate a coser study of the earreation functions of the type h>o... (75) That is why certain numerica resuts in Tabes I and 2, and in Figs. 9 and IO have been reproduced. T ab. r, p. 49, gives vanes of the functionoc (x), the definition of which appears from the reation (76), p. 48. The Tabe can be used, for instance, in order to

130 126 BERTIL MATERN iustrate the decrease undergone by the standard error through the systematic arrangement of the survey strips. Fig. g, p. so, founded on Tab. I, has been drawn up to show this. The diagram gives vaues of the quotient cp(b) = e~je~ for different vaues of the exponent h in (75). It shows that when e is of Type II, i. e. sowy faing reativey b, the advantage of the systematic arrangement is obvious. Tab. 2, p. sr, gives vanes of E (T)/eb2 for the quadratic forms considered above, sti provided that e (t) satisfies (75). With the aid of this Tabe we can estimate the maximum and minimum vaue that can be assumed by E (T)jeb2, when the exponent h in (75) passes through a positive vanes, We get the same maximum and minimum aso in the more genera case w hen e(t) =L P;e-h;t (p;, h;>o, L Pi'= r). From T ab. II we obtain renewed confirmatian of the fact that the choice of form ua pays a most important part, especiay when the earreation function is sowy faing. It appears very evident, too, that it is of the greatest importance that we shoud keep in the neighbourhood of the minimum stretch beonging to the respective formua, as otherwise we get a fairy bad estimate of eb2 even when e (t) is of Type I, i. e. rapidy faing. Certain forms T are infuenced by e (t) vaues for high t' s even when c equais the minimum stretch. We have not incuded in T ab. z an y very pronounced instance of this kind. Row g ( = row t) gives, however, a conception of the rather strong overestimation of eb 2, when Q is of Type II. On the other hand, rather good estimates are obtained from the forms on rows m, k, q, b, and s. The standard error formuae described in iterature and which are based on differences of vanes from whoe ines, correspond most cosey to the two rows j and p in Tab. z; j earresponds to (8), and p to (g), p. 10. If the assumptions underying Tab. 2 answer at a to rea conditions, these formuae must be regarded as comparativey unsuitabe. And fina y, Fig. 10, p. 53, can be used for estimating e,; 2 through in terpoa tio n. E(T) By K 1 we have designated the quotient 1oo E!_' where T 1 and Ta foow from (T ) (67) and (71) with n = z and k = 2 resp., and with a common vaue of c. K 1 uniquey determines the exponent h in (75), and consequenty aso the quotient 2 1oo EBb. The vaue of the atter quotient for some different vaues of b is o b (T I) tained from the diagram. In the diagram there is aso a scae K 2, where K 2 is 1oo (T (2 e) E 1. In this quotient T 1(2C) means a quadratic form of the same type (T ) as Tv the ony difference being that T 1 ( 2 c) is based on ine sections doube the ength of those in T 1. The Tabe can be used, for instance, when we have fairy accurate estimates of T 1 and Ta. It may be worth noticing that T 1 and Ta shoud be ehosen so as to become strongy positivey correated (Cf formuae 26 and 33).. 3 b Supposing we have found, for instance, T 1 with n= z and c=- to be a z n sufficienty unbiased estimate of eb 2 The standard error D (T 1), however, is far too arge. We may then use a form T that is the average of k expressions T 1, ehosen from k different pairs of ine sections spread out in a reguar pattern over the area under examination, Q (Cf Fig. r6, p. 74). If k is sufficienty arge, D (T) wi be arbitrariy sma.

131 36 : I NOGGRANNHETEN VID TAXERING 127 As has aready been pointed out, each correation function of the continuous type - and no others are considered in this paper ~- may be interpreted as the characteristic function of a two-dimensiona prohabiity distribution. Let the corresponding distribution function be F (x, y). We ma y then express a the mathematica expectations that we have deat with hitherto, in this function, instead of using the correation function. The formuae (77) and (78), p. 55, show two expectations expressed in this way. We have here been abe to avoid the restriction that the width of strips equas o. Instead we have introduced an arbitrary width, (J. When using this spectra representation ofthe earreation function we obtain very eegant expressions. It seems unfeasibe, however, to attach the discussion direct to expressions of this kind; for it wi be rather difficut to ascertain the connection between the topographic variation and the distribution function F(x, y). Ch. III. The theoretica rnade and experience. So far the resuts have been of an atogether theoretka nature. We now pass to an examination of the correspondence between our theoretica mode and facts. To begin with, we can easiy show that our assumption: width of strips = o, does not in practice invove any serious consequences. It may aso be proved that our resuts are vaid under more genera assumptions regarding the variabes t (u, v) than those we have considered hitherto. For instance we can choose different vanes for m, a 2 and 12 (fotmuae 35, 36 and 4i) for different parts of the area under investigation. In order to examine more cosey the topographic variation we study in this chapter a number of correograms, i. e. diagrams of r (t), the vanes of correation coefficients based on pairs of points at distance t (See Tabes 3-5, and Figs. II, 12). The data have been taken from the seeond Nationa Forest Survey of Sweden now going on. The separate observations beong to sampe pots, consequenty not to pointsin the geometrica sense. See pp It shoud be noticed therefore that we cannot use these correograms in the discussion of questions referring to the suitabe choice of width of strips or the dimensions of a sampe pot. For such discussions we shoud need correograms based on observations of very sma areas round the respective points - a few square metres or so. Provided the vanes r (t) have been based on a sufficient number of observations- sothat D [r(t)] is sma- r(t) ought to refect the correation function [!(t), as in that case r(t) shoud be in the neighbourhood of expression (86), p. 63. The quantity t 1 given in (86) means the average of the vanes of t (u, v) in the points used for the estimation of r(t). As appears from Figs. II and 12, we have support for the assumption that 12 (t) is a non-negative continuousy decreasing function. It is aso seen that the correograms ma y be fair y wei smoothed by curves of Types (75) or (85), p. 6r. It shoud be mentioned in this connection that quotients of the type E (T) jeb 2 do not change if we substitutefor 12 a inear function of 12 We now come to a point where we sha have to seriousy criticize the earier discussion. The correograms of Figs. II and 12 are expressions of variations a o ng survey strips. Tabes 6, 7 and Fig. 14 (pp. 65, 66) show correation coefficients

132 128 BERTIL VIATERN measuring the variation in different directions. These coefficients impy that the assumption in Ch. II stating that the topographic variation is the same in a directions - i. e. that (! is a function ony of the distance t - is not aways vaid. Generay, however, the variation is greatest in the ine direction; in this case the forms considered in Ch. II have a tendency to overestimate sb2 This tendency is ess strong with forms which, ike T 2 and T 4 (formuae 6gand 72), are infuenced by the topographic vnriation not ony in the ine direction but aso in other directions. In order to further iustrate this probem and to get a genera conception of the practica importance of the right choice of formua in standard error estimations we sha now see what vaues are assumed by the quadratic forms disenssed above, when they are appied to data from the Nationa Forest Survey; see Tabes 8-ro (pp. 69, 71). We wi not discuss the different forms further. We find that -- with few exceptions - the interna order of size is the one to be expected from Ch. II (Cf, e. g., Ta b. z). If we imit ourseves to camparing the forms that, according to the theoretka discussion above, are suitabe as approximate vaues for the square of the standard error, it must be statec that they give fairy good estimates. Moreover, there do not seem to be any reasons for choosing specia quadratic forms in order to take in to consideration the systematicay ehosen ine direction. These resuts from two Swedish counties cannot, of course, be generaized to cover any areas. Ch. IV. Standard error formuae for estimates based on a ine survey. Let us consicer the foowing exampe. An area Q has the superficia contents A km2 (akes and rivers incuded). Throughout this area parae survey strips are aid out at a distance of b km. The totaength of the survey strips is L km. On surveying it is found that ~1: km of the strips run through forest and. As an estimate of the tota forest and area within Q we use x X =-.A km2 L ' and seek the standard error, e(x 1 ), of this estimate. Then we first form an expression of the variations in the extension of forest and within Q. We use for this purpose the quadratic form T (x, x)... (89) ~=I In this farmua Xv x 2,., x 2n signify the ength in km. through forest and of zn ine sections, the position of which may be seen from Fig. 16, p. 74 Each seetian has a ength of c km. From Ch. II foovvs that c ought to be in the neighbourhood of the minimum stretch beonging to T. This stretch is obtained from (67b): 3 b c =- = b... ~.. (89 a) z n

133 NOGGRANNHETEN VID TAXERING 12) Another way of choosing the zn seetians is shown in Fig. r7, p. SS. In this instance we shoud- according to (6g a) -choose c :::::::: bfn. We then estimate the standard error of x: ;L s(x) = V-;;-T(x,x),... (go) and finay obtain: A A 1--, s(x 1 ) =-s(x) =.;~vt(x,x) L ylc... (gr) Formua (gr) represents a direct appication of Ch. II. A new eement is added, however, if we assume that we aso know the tota and area within Q, Y km2, and seek the standard error of Here y signifies the ength in km of the part of the survey strips on and. X 2 is, ike Xv and estimate of the tota forest and area within Q. In determining s(x 2 ) we can use the same formuae as before, ony changing them in so far that for T(x, x) we substitute T(u, u), where ui = xi-kyi... (g3) Here k is used to signify the ratio x fy. Instead of T(u, u) we aso write T(x- ky, x- ky). We compute T (u, u) by aid of the form ua (g4), p. Sr. Here T (x, x) and T(y, y) are obtained from (Sg), whereas the biinear from T(x, y) is determined by (g5), p. Sr. Thus we get: s(x ( x ) A 2 ) =s -Y = 1~ VT(x-ky, x-ky) y ylc (gs) We ma y- especiay in cases where we do not know Y- wish to determine the standard error of xfy, which signifies the reative part of and area consisting of forest and. We get this standard error from s(~) =;v~ VT(x-ky, x-_ky)... (g7) In estimating s(x 2) and s(xjy) we have made use of the method of error cacuation empoyed in covariance and regression anaysis. This methoc seems to be superior to those dicussed in the iterature on forest surveys which are basec on expressions of the variation of the quotients Xi/Yi To be exact, we shoud have introduced into the expression T (x- ky, x- ky) a correction factor, due to the fact that k has been estimated from the materia coected in the survey. However, whie k has been determined by the tota survey materia, the strip seetians used for the estimation of T usuay form ony a fraction of the tota ength L. For this reason we may whoy disregard the correction IV!cdd. frän.statens Skogsjorsknin.f{'>1.J.Situt. Band 36: r.

134 130 BERTIL MATERN In Ch. IV mention is aso made of a simpe interpoation formua. Let us suppose that beonging to the quadratic fonn T we have the minimum stretch c 0, and that the materia coected during the survey has been obtained from strip seetians of the ength c, where c < c 0 < 2 c. We then form two estimates of the standard error, 81 and 82, whereby we use strip seetians of the engths c and 2 c respectivey. Then we determine 8 from the formnia It can be easiy shown that 8 is based on a quadratic form corresponding to its minimum stretch. Ch. V. standard error formuae for estimates based on a sampe pot survey. We restrict our attention to ine pot surveys, i. e. surveys with the sampe pots situated aong paraeines. (Fig. r8, p. gr.) t is shown that we ma y use the same formuae as were empoyed for the estimation of the standard errors of a ine-survey. Further, some approximate vanes are given showing the reative accuracy of ine and ine pot surveys, when e(t) = e-ht (Tabes 12, 13, p. 94). The vanes obtained from these tabes turn out to earrespond fairy wei with those obtained from standard error cacuations according to Ch. IV. Ch. VI. Standard error formuae for estimates based on measurements of sampe trees. In this chapter we sha consicer measurements of sampe trees. We presuppose that the measurements are earobined with a ine survey or a ine pot survey. We further assume that the sampe trees are ehosen from among the trees on the ines or in their immediate neighbourhood. We confine ourseves to the treatment of a specia estimation. Let us consider, as before, an area Q. Its tota contents are A km2 The tota strip ength is L km. Through stem counting we find on the irres (or the sampe pats) N 1, N 2 and N 3 trees of three casses of diameter. We seect Pv P 2 and P 3 sampe trees respectivey. The tota voume of the sampe trees is found to be Wv W 2 and W 3 m 3 respectivey. Thus we obtain the average voumes Then we consicer the foowing estimate of the voume By defining in different ways the factor s in (ros) we obtain estimates of the tota voume of the three casses within the whoe of Q, or the voume per hectare of forest and, etc.

135 NOGGRANNHETEN VID TAXERING 131 In order to determine e( V) we start from the form ua in which e 1 stands for the effect of the error in estimating the number oftrees within the three dasses, whereas e 2 is an expression of the error in estimating the average voumes. Formua (ro6) is based on the assumption that these two errors are uncorreated. The way of estimating e 1 was indicated in Ch. IV. For the sake of competeness, however, we give here in fu theformuaefor both e 1 and e 2 We assume that we have found a suitabe quadratic form T, say the one in (89), and that we have fixed zn ine sections, each having the ength c km. And we suppose that c has been ehosen so a,s approximatey to satisfy (89 a). In the ith of these ine seetians there are: number of trees of the jth dass number of sampe trees of the jth dass tota voume of sampe trees of the jth dass ength of ine through forest and Ni;, Pi;, Wi;, x;. Furthermore, we introduce the symbos: x = tota ength of ines through forest and, With the aid of these quautities we can estimate the standard errors desired. For this purpose we use the foowing two formuae:,/l. e1 =y c T(u, u),... (107) where IL e 2 =V-zT(v,v),... (ro8) (109) Tab. 14, p. 99, gives fictitious figures from zn = 12 ine sections, and on p. 98 are given the corresponding vaues for the whoe area under investigation, Q. On p. roo there is a cacuation of e(v) made with the aid of these vaues. For the quantity s of (105) we have substituted party the vane rjx, party the vane roo Xjx.

136 132 BERTIL MAT:ERN 36! I The farmua now exempified is rather aborious. The standard error cacuations become consideraby easier if the sampe trees are ehosen at randoro within the whoe of Q. See formuae (n9)-(r21), p In addition to the symbos accounted for aready, the symbos Wv w 2,.., Wp1 have been used in (rzr) for the voumes of thep 1 sampe trees of the first diameter cass. tshoud be mentioned that, if Pi is not sma in proportion to Mi, i. e. the tota number of trees of the jth cass within the whoe of Q, then the factor (Mi- Pi)/Mi shoud be introduced inta (rzo). To be exact, indeed, we shoud have incuded such correction factors in every chapter. They may, however, be entirey eft out in as ow per cent surveys as those considered in this paper. It woud in certain instances be possibc to use (n9)-(rzr) even in tiose cases where the sampe trees are ehosen aong equidistant ines. The conditions for this procedure have been indicated by LANGsAETER (1934). LANGSAETER's discussion might be precised with the aid of the formuae in Ch. II. Using the data of 329 sampe trees from the county of Gäveborg a cacuation of s 2 was performed both according to (ro8) and to (119)-(rzr). The atter cacuation gave an estimate of ony 61 % of the former. This is due, of course, to the fact that neighbouring trees are positivey correated. This appears aso from the anaysis of varianc.e given in Tab. 15, p Ch. VII. Doube samping. In the earier chapters we have treated the cacuations of the standard errors of certain estimates given beforehand. In this fina chapter we sha discuss the probem as to how these estimates themseves are to be formed. Or, more exacty, we sha face the foowing probem: How are the resuts from a doube sampe to be earobined in order to reduce the standard error as much as possibe? As to the definition of doube sampes, we quote CocHRAN (1939, pp ): >>The possibiity of increasing accuracy by using a seeond character which is correated with the character to be enumerated and which can be easiy measured has attracted same attention in recent years. The method has been narned do~tbe samping because it invaves two samping investigations. The first is a!arge sampe, in which the seeond character aone is enumerated, and the seeond a sma sampe, in which both characters are usuay enumerated.>> In this chapter we sha especiay dea with cases in which the first >>sampe>> is a compete inventory. Let us consider the foowing doube sampe. A certain district in the southcmmost part of Sweden was surveyed through equay spaced paraeines. The distance between two successive ines was 250 m. The foowing data were taken down: ength of ines over and ength of ines over forest and 205.I7 km, ]6.II km. This survey was the first sampe. It was ony performed, however, on a map (scae r: 50 ooo). The seeond sampe consisted of a survey made on the spot, in which every fourth of the ines in the map survey was foowed. The distance between two successive ines was thus r ooo m. The survey gave the foowing resut: engt1 of ines over and 52.5 r 5 km, ength of ines over forest and rs.oso km.

137 NOGGRANNHETEN VID TAXERING 13:3 According to the atter survey the forest'and constituted 34.37% of the and area, according to the förmer 37.ro %. If we take into consideration those data of the map survey that refer to the quarter of the irres surveyed on the spot as we, we get the estimate %. According to the map, the forest and woud appear underrated as regards this quarter of the ines. Consequenty we may reasonaby suppose that if the survey performed on the spot had been extended to the whoe ine system surveyed on the map, we shoud have obtained a higher percentage than Vve can form the foowing estimate of this higher percentage: (37.ro-34 2z) =--37.ro = (r22) There are reasons to suppose that this figure aso gives a more reiabe estimate of the reative amount of forest and within the whoe area under investigation than the origina figure Many other instances of the use of doube samping can be drawn from forest surveys. Doube samping is performed, for exampe, when the observations of the breast height diameter of the trees made in a ine survey are combined with more detaied sampe-tree observations. In Ch. VI, farmua (ros), we have seen an instance of such a doube sampe. Use is often made of a doube sampe such that the first sampe consists of an ocuar estimate, and the seeond sampe is an investigation of the accuracy of this ocuar estimate compared with more objective observations. See CocHRAN (r939, p. 49S) and ILVESSALO (r942, p. 423). Aso in respect to the exampe mentioned above the subjective eement of the first sampe was very pronounced. In this connection a few words shoud be said as to the manners of accompishing the first, subjective, sampe. It is absoutey necessary that the same principes are observed in the subjective estimation of the units that are aso incuded in the seeond sampe as those appied to the remairring part of the first sampe. Presumaby, it woud as a rue be necessary that the person who performs the subjective estimation is uniniormed as to when and where a contro, i. e. the seeond sampe, wi be appied. On this point there seems to be grounds for criticism of the survey methods described by ILVESSALO (r942). In the preceding chapters we have seen how to cacuate the standard error of estimates based on a doube sampe. When these methods were empoyed in the exampe just mentioned they gave the vaue s. go% for the reative standard error of the origina estimate, , and the va u e 4 5o % for the reative standard error of the corrected estimate, We can, however, use different principes in combining the information obtained from the two sampes. J.t is by no means sef-evident that estimates ike those in (ros) and (122) are the most accurate ones. In the iterature on doube samping we find probems of this kind treated with the aid of regression anaysis (See e. g. CoCHRAN r939). It is worth mentioning that simiar probems have been treated by FrSHER (1942, Ch. IX) under the tite >>concomitant measurements>>. An estimate ike (122) is an instance of what FrsHER cas >>arbitrary correction>>. With reference to systematicay arranged sampes, however, the regression probems are aso compicated. But we sha find that the theoretica mode described in Ch. II wi give us some hep on this point too.

138 134 BERTIL MATERN In order to make the theoretica discussion more simpe we wi in k i t up with our exampe discussed above. We further assume that the map survey is a roo per cent inventory. We use the symbos empoyed earier: the tota area under investigation is Q, the ines surveyedon the spotform the subarea q, the distance between the ines is b ength units, etc. To each point (u, v) within Q are attached stochastic variabes h (u, v) and g(u, v), which equa I or o, accordingy as (u, v) is s1tuated in forest and or not, in accordance with the map or the survey performed on the spot. We define the vaues of the functions h and g for arbitrary areas in the same way as in Ch. II. Further we make the prohabiity assumptions (124), p The earreation functions (!n and (! 22 appearing in these formuae are of the same kind as those deat with earier. In (! 12, on the other hand, we have a function of a new type; foowing CRAMER (1940) we ca it the mutua earreation function of the stochastic variabes h (u, v) and g (u, v). For (!n and (! 22 we accordingy introduce a more compete designation, namey autocorreation function. - It woud ead us too far to discuss here the conditions necessary for (! 11, (! 12 and (! 22 to be earreation functions simutaneousy. From the surveys we now know the quautities g (q), h (q) and h (Q). We consicter the foowing approximate vaue of the unmown g(q): We now introduce a new stochastic variabe: y = g(q) +k [h(q)- h(q)j (125) f(u, v)= g(u, v) -k h(u, v) (126) We suppose the distribution of this stochastic variabe to have the characteristics m, a and e (t) (See formuae 35, 36 and 42). We can express these in the quautities defined by (124). With the aid of (66) and (57) we then find: where E {[y-g(q)j2} = E { [f(q)- f(q)j2} = s2, (127) Cb2 = a2! e( t) a G) d t= fca12 eu(t)- 2 k f'h (j2 e12(t) + k2 (j22 1!22(t)] a G) d t..... (r28) By varying the eonstant k of (125) we get different estimates of g(q). For k = o, we get the vaue g(q), which means that we make no use at a of the information of the map. For k= g(q)jh(q) we get an estimate of the same kind as (122). The vaue which renders (128) a minimum is to be regarded as the best vaue of k. We denote this vaue by k 0 Then k 0 is the regression coefficient of g(u, v) on h(u, v) with respect to the ine distance b. By derivation we find k 0 (form ua 129) and the minimum vaue of (128) (fotmua 130). (See Swedish text.) Formuae (129) and (130) cannot be used for estimating k 0 and sb 2 practicay. So instead of (128) we sha have to consicter a quadratic form T. Here we ook Mr the minimum of

139 If we define (Cf. Ch. IV) NOGGRANNHETEN VID TAXERING 135 we find that the minimum condition is and that the minimized vaue is k= ~i!:~~'... (132) T min= T(g,g)- [T (g, h)]2 T(h, h)... (I33) It is easiy proved that- provided the number of observations is sufficienty arge to reduce the standarderrors of (132) and (133) -we get good approximate vaues for k 0 and eb 2 in proportion as the distance function ay(t) beonging to T is in agrcement with ä(tfb). As an approximate vaue for the unknown g (Q) we thus use T(g, h). g (q) + T (h, h) [h (Q)- h (q)] (I 34) We approximate the standard error of this estimate as VT'fL, where H e re t means degrees of freedom. T' =-t f T min (135) -I If we consider (132) and (133) we sha find that they are in accordance with the corresponding formuae of regression anaysis. The regression anaysis formuae are obtained as specia cases of (132) and (133); ony for T we have to ehoase foriua (6), p. g. We can go further and introduce an additiona number of functions i, j, etc., and stud y the probem of estimating g (Q) with the aid of inear expressions in h(q)-h(q), i(q)-i(q), etc. It wi be found that the forma anaogy with the usua regression anay~is wi remain. When T has been defined by (6), the centra moments appearing in the formuae of regression anaysis can.be written T(g, g), T(g, i), T(h, j), etc. The same formuae are vaid when T is an arbitrariy ehosen quadratic form. From this it foows that the cacuation methods warked out for regression anaysis, for instance DooLITTLE's, may be used. In statistica iterature the more genera regression probems touched upon here seem to have attracted very itte attention. An artide by KAVANAGH (1941) is worth mentioning, however. KAVANAGH points out the forma identity just mentioned with common mutipe regression anaysis. He cas the genera procedure >>the procedure of east quadratics» as distinguised from >>the procedure of east squares>>, used in common regression anaysis. Both CocHRAN (1939) and ILVESSALO (1942) disregard the systematic nature of the sampes, which may introduce a certain bias in the error estimation.

140 136 BERTIL MAT:E:RN Using in our exampe the methods now discussed it was found that if (rzz) was repaced by the estimate o.6g7 (3].ro ) = 36.38,... (123) the reative standarderror fe from 4.50% to 4.r8 %- Jt is easiy seen that, for instance, the estimates X 1 and X 2 of Ch. IV and the estimate of voume in farmua (ros) are of the same kind as (rzz). We may accordingy ask ourseves whether regression anaysis - possiby with the more genera assumption of curved regression - might not aso in these instances give improved estimates. An examination has shown, however, that - at east in such cases as are represented in the materia used here- the more compicated method woud probaby not yied any consideraby improved estimates. HASEL (1942) has found estimates of the simpe kind biased. The resuts now indicated can be expressed thus: in estimates of forest area and voume the bias is sma in proportion to the standard error of the estimate. This does not excude the possibiity of acquiring a considerabe improvement of the area and voume estimates by dividing the investigation area into a number of sub-areas and making estimates, with the aid of regression anaysis, for each sub-area separatey. (Cf. the >>differentia regression>> of HENDRICKS, I935-) _A probem connected to some extent with the exarnpe considered in this chapter is the estim.ation of the change undergone by forest area, voume etc., from one fixed moment to another. If we have data from both, regarding a number of coincident ines, we may ook upon the atter survey as a sampe of the change that has taken pace from the first point of time. The earreation between the data of the same ine from two different dates shoud be so strong that we obtain a rather accurate estimate of the change undergone between the two surveys. Regression anaysis may of course be used to ensure the best possibe estirnates. Summary. Different formuae for the cacuation of the standard error of a reguary spaced ine-survey are examirred with the aid of a mathematica mode obtained by an extension of the >>stationary stochastic processes>>. The examination shows that the most suitabe formuae are based on expressions of the variation between observations on fairy short, adjacent strips. A farmua of this kind is iustrated by numerka exampes. The farmua can aso be used for estimates based on a reguary spaced pot survey or on measurements of sampe trees.. Further, in connection with a discussion concerni:ig the accuracy of doube samping, a method is proposed for increasing the information of a forest survey with the aid of. ma ps.

141 NOGGRANNHETEN VID TAXERING 137 INNEHÅLL. Inedning Sid. I Kap. I. Kvadratiska former ämpade för uppskattning av medefeet vid 6 en injetaxering.... Antaganden och beteckningar Exempe på former för medefesuppskattning, grundade på 9 observationer från hea injer.... Kvadratiska formers matematiska förväntan och dispersion. En anmärkning om sammansagning av injer tiinjegrupper 14 Ytterigare egenskaper hos kvadratiska former Medefesformer grundade på observationer från injestycken.. 1S Kap. II. En matematisk mode av den topografiska variationen zz Den topografiska variationens beroende av avståndet zz På extrapoation grundade medefesformer Sannoikhetsantaganden om den topografiska variationen från punkt ti punkt Ti områden knutna stochastiska variaber Kvadratiska formers matematiska förväntan En injetaxerings medefe uttryckt i korreationsfunktionen.. 33 Granskning av oika kvadratiska former Numeriska iustrationer..." 48 Uppskattning av medefeet med hjäp av två kvadratiska former 52 Korreationsfunktionens spektraframstäning ](ap. III. Den matematiska modeen och verkigheten Linjebredden Oika antaganden för oika områden Observationer över den topografiska variationens beroende av avståndet. Korreogram Sambandet mean korreationsfunktion och korreogram Den topografiska variationen i oika riktningar Variansanays av uppgifter från injestycken Kap. IV. Medefesformer för uppskattningar grundade på injetaxering.. 73 Amän medefesformel Exempe I Formens tiämpning för beräkning av medefe ti en kvot. 79 II IO. Medde. 1rån Stafens Skogsforskningsinstitut. Band 36:1.

142 138 BERTIL MATERN 36 : I Sid. Exempe S2 Medefe ti en produkt Ytterigare exempe En anmärkning om det praktiska räknearbetet >> Medefeets medeieb S6 Aternativa medefesformer S7 S5 Ss S6 Kap. V. Medefesformer för uppskattningar grundade på provytetaxering go Medefesformer go Jämförese mean provyte- och injetaxering g2 Kap. VI. Medefesformer för uppskattningar grundade på provträdsobservationer g6 Amän medefesforme g6 Exempe... gs Häredning av medefesformen ror Medefesforme vid sumpmässigt urva av provträd ro z Kap. VII. Utnyttjandet av dubba stickprov ros Exempe på dubba stickprov vid skogstaxering... ro6 Teoretisk diskussion... ros Några numeriska resutat stickprov på förändringen i areaer, kubikmassor osv. från en tidpunkt ti en annan Sammanfattning... r 15 Anförd itteratur... I1S Resume... rrs

Motion 1982/83: 697. Thorbjörn Fälldin m. fl. Ökat sparande

Motion 1982/83: 697. Thorbjörn Fälldin m. fl. Ökat sparande 7 Motion 1982/83: 697 Thorbjörn Fädin m. f. Ökat sparande Ett omfattande sparande inom den privata sektorn är av avgörande betydese för samhäets kapitabidning och därmed för den ekonomiska tiväxten. Genom

Läs mer

hela rapporten: www.ls.aland.fi/utbildning_kultur/utbildningsbehov.pbs

hela rapporten: www.ls.aland.fi/utbildning_kultur/utbildningsbehov.pbs hea rapporten: www.s.aand.fi/utbidning_kutur/utbidningsbehov.pbs Utbidningsbehov vem vad hur var Nuvarande utbidningsnivå Kort sammanfattning Hur ser åänningarnas framtida utbidningsbehov ut? Vika har

Läs mer

Tentamen i matematisk statistik för MI/EPI/DI/MEI den 19 dec 2012

Tentamen i matematisk statistik för MI/EPI/DI/MEI den 19 dec 2012 Tentamen i matematisk statistik för MI/EPI/DI/MEI den 19 dec 01 Uppgift 1: Ett företag tiverkar säkerhetsutrustningar ti biar. Tiverkningen är föragd ti fyra oika änder, A, B C och D. I and A finns 0%

Läs mer

Övning 7 Diffraktion och upplösning

Övning 7 Diffraktion och upplösning Övning 7 Diffraktion och uppösning Diffraktionsbegränsade system Om man tittar på ett objekt genom ett perfekt (aberrationsfritt) optiskt system avgörs hur små saker man kan se av diffraktionen i insen.

Läs mer

OM MEDELFELETs HÄRLEDNING VID LINJE::: OCH PROVYTE::: - TAXERING

OM MEDELFELETs HÄRLEDNING VID LINJE::: OCH PROVYTE::: - TAXERING OM MEDELFELETs HÄRLEDNING VID LINJE::: OCH PROVYTE::: - TAXERING ON COMPUTING THE STANDARD ERROR IN LINE AND SAMPLE PLOT SURVEYING AV MANFRED NASLUND MEDDELANDEN FRÅN STATENS SKOGSFöRSöKSANSTALT HÄFTE

Läs mer

Ge bara ett svar på varje fråga. Välj det svar som passar in bäst. Det är viktigt att du svarar på samtliga frågor.

Ge bara ett svar på varje fråga. Välj det svar som passar in bäst. Det är viktigt att du svarar på samtliga frågor. [Q159] Förskoeenkät Väkommen ti enkäten! Här kan du svara på frågor om hur du tycker att förskoan fungerar. Kicka på pien för att starta enkäten. Du kan också kicka dig tibaka med piarna om du vi kontroera

Läs mer

Verksamhetsberättelse 2010 Uppsökande Verksamhet med Munhälsobedömning

Verksamhetsberättelse 2010 Uppsökande Verksamhet med Munhälsobedömning Verksamhetsberättese 2010 Uppsökande Verksamhet med Munhäsobedömning Det ska vara skönt att eva Aa som har bestående och omfattande behov av vård och omsorg, har rätt ti gratis munhäso bedömning och tandvård

Läs mer

Verksamhetsberättelse 2009

Verksamhetsberättelse 2009 1 Uppsökande Verksamhet 29 Verksamhetsberättese 29 Uppsökande Verksamhet med Munhäsobedömning Innehå Särskit Tandvårdsstöd i Västra Götaandsregionen 4 Personer med omfattande funktionshinder ska ha samma

Läs mer

Tentamen i SG1140 Mekanik II, Inga hjälpmedel. Lycka till! Problem

Tentamen i SG1140 Mekanik II, Inga hjälpmedel. Lycka till! Problem Institutionen för Mekanik Nichoas paidis te: 79 748 epost: nap@mech.kth.se hemsida: http://www.mech.kth.se/~nap/ Institutionen för Mekanik Erik Lindborg te: 79 7583 epost: erik@mech.kth.se Tentamen i SG4

Läs mer

l iootterdotterdotterdotterbolag

l iootterdotterdotterdotterbolag Intresseboa Dotterboa et AB ÖviksHem Dotterdotterboa ootterdotterboaa 2008 Intresseboa Dotterdotterboa /kommun omsködsviks J Moderboag: Rodret i Örnsködsvik AB o otterföretaa Ovik Eneroi AB ootterdotterboaq

Läs mer

BEFOLKNINGSUTVECKLINGEN

BEFOLKNINGSUTVECKLINGEN .., '... ~ ~. ~-.. '... ~ - -!f>. BEFOLKNINGSUTVECKLINGEN I SOVJETUNIONEN Av professor CARL-ERIK QUENSEL, Lund DE UPPGIFTER om samhäsutveckingen, som kommit utandet tihanda från Sovjetunionen, ha för det

Läs mer

Frågeområde Funktionshinder

Frågeområde Funktionshinder Frågeområde Funktionshinder Nationea fokhäsoenkäten 2018 Gäveborg I avsnittet redovisas andeen som har någon form av funktionsnedsättning i form av nedsatt röreseförmåga, synprobem eer hörseprobem. I änet,

Läs mer

Lokala föreskrifter för att skydda människors hälsa och miljön för Lilla Edets kommun

Lokala föreskrifter för att skydda människors hälsa och miljön för Lilla Edets kommun Lokaa föreskrifter för att skydda människors häsa och mijön för Lia Edets kommun besutade av kommunfumäktige den 14 december 2000 95. Med stöd av 9 kap. 7-8 och 10-13 mijöbaken (1998:808), 13, 17, 39-40

Läs mer

Mot. 1982/83 1435-1444 Motion

Mot. 1982/83 1435-1444 Motion Mot. 1982/83 1435-1444 Motion 1982183 : 1435 Lars Werner m. f. Inandsbanans upprustning Bakgrund Redan 1975 fattade riksdagen ett positivt besut om inandsbanans upprustning. Den första borgeriga regeringen

Läs mer

IDEOLOGI OCH VERKLIGHET

IDEOLOGI OCH VERKLIGHET 489 IDEOLOGI OCH VERKLIGHET Av jur. kand. GUSTAF DELIN Högerpartiets programkommie har nu uppösts. Detta betyder ångt ifrån att programarbetet inom partiet kommer att avstanna. Tvärtom kommer man nu på

Läs mer

jlsocialstyrelsen 2014-03-03 Regler och behörighet/klassifikationer Dnr: 4.2.1-5512/2014 och terminologi

jlsocialstyrelsen 2014-03-03 Regler och behörighet/klassifikationer Dnr: 4.2.1-5512/2014 och terminologi jsociastyresen 204-03-03 Reger och behörighet/kassifikationer Dnr: 4.2.-552/204 och terminoogi Termista samt svarsma Biaga Läkemedessäkerhet (6) Svar ämnat av (kommun, andsting, organisation etc.): Inspektionen

Läs mer

Nr Mot. 1975: av herr Hermansson m. D. med anledning av propositionen 1975: 97 angående rörlig pensionsålder m. m.

Nr Mot. 1975: av herr Hermansson m. D. med anledning av propositionen 1975: 97 angående rörlig pensionsålder m. m. Mot. 1975: 2129 6 Nr 2129 av herr Hermansson m. D. med anedning av propositionen 1975: 97 angående rörig pensionsåder m. m. Under hea den ånga tid opinionsyttringar förekommit och försag stäts om sänkt

Läs mer

Låt ledarskap löna sig!

Låt ledarskap löna sig! Låt edarskap öna sig! Ledarnas Chefsöner rapport 2010, om Ledarna chefsöner 2010 1 Innehå Låt önen spega edarskapets värde 3 Vi vet vad Sveriges chefer tjänar 4 Var åttonde anstäd är chef 4 Vad bestämmer

Läs mer

DOM YRKANDEN OCH UTVECKLING AV TALAN

DOM YRKANDEN OCH UTVECKLING AV TALAN BAKGRUND Sida2 13-1 3 Överkaix kommun har genomfört upphanding (förenkat förfarande) av måningsarbeten. Enigt tideningsbesked den 20 december 2012 tideades Beckmans Måeri, Norrmåeri AB och Hjems Måeri

Läs mer

Mälarhöjdens ryttarsällskap

Mälarhöjdens ryttarsällskap !ivenska RDSPORar STADGAR FöR Mäarhöjdens ryttarsäskap Bidat 1949 Stadgarna faststäda av årsmöte den 2016-02-23 enigt Svenska Ridsportförbundets typstadgar faststäda av Förbundsstyresen 2005-08-18 Stadgar

Läs mer

Angående ansökan om tillstånd till kameraövervak n i ng

Angående ansökan om tillstånd till kameraövervak n i ng REMISS 1 (1) Länsstyresen Skåne 2014-09-19 Dnr 211-23206-2014 Kontaktperson Förvatningsavdeningen Axe Starck 010-2241000 Ängehoms kmjm,~n 2014-09- 2 2 Angående ansökan om tistånd ti kameraövervak n i ng

Läs mer

STATENS SKOGSFORSOKSANSTALT

STATENS SKOGSFORSOKSANSTALT MEDDELANDEN FRÅN STATENS SKOGSFORSOKSANSTALT HÄFTE 24. 192728 MITTELUNGEN AUS DER FORSTLICHEN VERSUCHS ANST AL T SCHWEDENS 24. HEFT REPORTS OF THE SWEDISH INSTITUTE OF EXPERIMENT AL FORESTRY N:o 24 BULLETIN

Läs mer

Om höjdutvecklingen i kulturbestånd

Om höjdutvecklingen i kulturbestånd Om höjdutveckingen i kuturbestånd av ta och gran i Norrand On the height growth in cutivated stands of pine and spruce in Northern Sweden av BENGT LUNDQVIST MEDDELANDEN FRÅN STATENS SKOGSFORSKNINGSINSTITUT

Läs mer

a = a a a a a a ± ± ± ±500

a = a a a a a a ± ± ± ±500 4.1 Felanalys Vill man hårddra det hela, kan man påstå att det inte finns några tal i den tillämpade matematiken, bara intervall. Man anger till exempel inte ett uppmätt värde till 134.78 meter utan att

Läs mer

1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta denna följd av tal, där varje tal är dubbelt så stort som närmast föregående

1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta denna följd av tal, där varje tal är dubbelt så stort som närmast föregående MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Christian Gottlieb Gymnasieskolans matematik med akademiska ögon Induktion Dag 1 1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta

Läs mer

FUNKTIONER OCH TABELLER FÖR KUBERING AV STAENDE TRÄD

FUNKTIONER OCH TABELLER FÖR KUBERING AV STAENDE TRÄD FUNKTIONER OCH TABELLER FÖR KUBERING AV STAENDE TRÄD TALL, GRAN OCH BJöRK I SODRA SVERIGE SAMT I HELA LANDET FUNCTIONS AND TABLES FOR COMPUTING THE CUBIC VOLUME OF STANDING TREES PINE, SPRUCE AND BIRCH

Läs mer

Undersökningar över vattenhaltens betydelse för barrträdsfröets kvalitet vid förvaring

Undersökningar över vattenhaltens betydelse för barrträdsfröets kvalitet vid förvaring Undersökningar över vattenhatens betydese för barrträdsfröets kvaitet vid förvaring Studies oj the importance of water content for the quaity of con[fer seed during storage av EINAR HUSS MEDDELANDEN FRÅN

Läs mer

Utvecklingstendenser beträffande rotvärden och priser på skogsprodukter

Utvecklingstendenser beträffande rotvärden och priser på skogsprodukter K U N G L. S K O G S H Ö G S K O L A N S S K R I F T E R Nr 33 BULLETIN OF THE ROYAL SCHOOL OF FORESTRY STOCKHOLM, SWEDEN Redaktör: Professor LENNART NORDSTRÖM 1960 Utveckingstendenser beträffande rotvärden

Läs mer

Support Vector Machines. Johannes Ulén Handledare: Petter Strandmark

Support Vector Machines. Johannes Ulén Handledare: Petter Strandmark Support Vector Machines Johannes Uén 86015-1450 tf05ju1@student.th.se Handedare: Petter Strandmark Introduktion I projektet har teorin för Support Vector Machines (SVM) gåtts igenom och impementerats i

Läs mer

Datum Regional modell för strategiprocess för film och rörlig bild Diarienummer

Datum Regional modell för strategiprocess för film och rörlig bild Diarienummer Lnr. 1 Kuturnämnden PROTOKOLLSUTDRAG Datum 2013-12-11 1 (1) 77 Regiona mode för strategiprocess för fim och rörig bid Diarienummer 1302706 Kuturnämndens besut 1. Kuturnämnden ägger rapporten ti handingarna.

Läs mer

PROVTRÄD OCH KUBIK~ MASSANS NOGGRANNHET VID STAMRÄKNING AV SKOG

PROVTRÄD OCH KUBIK~ MASSANS NOGGRANNHET VID STAMRÄKNING AV SKOG PROVTRÄD OCH KUBIK~ MASSANS NOGGRANNHET VID STAMRÄKNING AV SKOG A~NTALET THE NUMBER OF SAMPLE TREES AND THE ACCURACY OF THE CUBIC VOL UME IN FOREST ESTIMATION BY STEM ACCOUNTING AV MANFRED NASLUND MEDDELANDEN

Läs mer

r+1 Uppvidinge \2:1 KOMMUN Kallelse/underrättelse 2014-09-01 6. Svar på skolinspektionens riktade tillsyn i Uppvidinge./. kornmun Dnr.

r+1 Uppvidinge \2:1 KOMMUN Kallelse/underrättelse 2014-09-01 6. Svar på skolinspektionens riktade tillsyn i Uppvidinge./. kornmun Dnr. r+1 Uppvidinge \2:1 KOMMUN Kaese/underrättese 2014-09-01 Sammanträde med: Barn- och utbidningsnämnden Datum: 2014-09-17 Tid: 13.30 Pats: Astermoskoan Ärende. Upprop Biaga 2. Va av justerare 3. Godkännande

Läs mer

LEVI MAURITZSSON: Utrikeskrönika

LEVI MAURITZSSON: Utrikeskrönika LEVI MAURITZSSON: Utrikeskrönika Utrikeskrönikan granskar i dag den brittiska tidningsbranschen, närmare bestämt utveckingen på och kring Londons ärevördiga tidningsgata Feet Street. Den nya tekniken gör

Läs mer

UTOMHUSFÄRGER för TRÄ

UTOMHUSFÄRGER för TRÄ STATENS NÄMND FÖR BYGGNADSFORSKNING SNB Rapport42 UTOMHUSFÄRGER för TRÄ av Börje Andersson och Pau Nyin STOCKHOLM 1957 UTOMHU.SFÄRGER FÖR TRÄ Exterior House Paints BÖRJE ANDERSSON och PAUL NYLEN STATENS

Läs mer

Byggforskning 68. statens råd för byggnadsforskning

Byggforskning 68. statens råd för byggnadsforskning Byggforskning 68 Byggforskning 68 statens råd för byggnadsforskning statens råd för byggnadsforskning AB Egneiska Boktryckeriet, Stockhom 1968 Innehå sid ~ro~ 7 ByggforskningeniS resurser och behov. Tekn

Läs mer

OPQ Beslutsfattarens Plus Rapport

OPQ Beslutsfattarens Plus Rapport OPQ Profi OPQ Besutsfattarens Pus Rapport Namn Sampe Candidate Datum 25 september 2013 www.ceb.sh.com INLEDNING Den här rapporten är avsedd för injechefer och de som arbetar inom HR. Den innehåer information

Läs mer

Svenska Spels GRI-profil 2013

Svenska Spels GRI-profil 2013 Svenska Spes GRI-profi 2013 Svenska Spes Håbarhetsredovisning 2013 är en integrerad de av årsredovisningen och pubiceras även på svenskaspe.se. Redovisningen sker enigt GRI, nivå C+. Håbarhets redovisningen

Läs mer

l l l l l l l l l l l Motion till riksdagen 1988/89: Ub532 av Lennart B runander och Marianne Andersson (båda c) Förskollärarutbildning i Borås

l l l l l l l l l l l Motion till riksdagen 1988/89: Ub532 av Lennart B runander och Marianne Andersson (båda c) Förskollärarutbildning i Borås Motion ti riksdagen 1988/89: Ub532 av Lennart B runander och Marianne Andersson (båda c) Förskoärarutbidning i Borås Bakgrund Riksdagen fattade under våren 1984 besut om avvecking av förskoäraroch fritidspedagoginjer

Läs mer

FORMPUNKTsMETODEN OCH DESS ANVÄNDNING FÖR FORMKLASSBESTÄM~ NING OCH KUBERING

FORMPUNKTsMETODEN OCH DESS ANVÄNDNING FÖR FORMKLASSBESTÄM~ NING OCH KUBERING FORMPUNKTsMETODEN OCH DESS ANVÄNDNING FÖR FORMKLASSBESTÄM NING OCH KUBERING EN PROVNING PÅ GRANMATERIAL FRÅN NORRBOTTEN THE METHOD OF OBTAINING THE FORM=CLASS AND VOLUME OF SINGLE TREES BY THE USE OF FORM

Läs mer

Föreläsning 9. Induktionslagen sammanfattning (Kap ) Elektromotorisk kraft (emk) n i Griffiths. E(r, t) = (differentiell form)

Föreläsning 9. Induktionslagen sammanfattning (Kap ) Elektromotorisk kraft (emk) n i Griffiths. E(r, t) = (differentiell form) 1 Föreäsning 9 7.2.1 7.2.4 i Griffiths nduktionsagen sammanfattning (Kap. 7.1.3) (r, t) E(r, t) = t (differentie form) För en stiastående singa gäer E(r, t) d = d S (r, t) ˆndS = dφ(t) (integraform) Eektromotorisk

Läs mer

information förs in i prissystemets informationsmekanismer.

information förs in i prissystemets informationsmekanismer. mokratins underskott budgetunderskott är en föjd av sätt att fungera, hävdar M Buchanan och Richard E i sin bok Democracy in Deficit. Rof Engund diskuterar sutsatser och betydese för förhåanden. Hur kommer

Läs mer

. STU.DIER över RISKEN VID ANVÄNDNING A V TALLFRÖ AV FÖR ORTEN FRÄM~ MANDE PROVENIENs

. STU.DIER över RISKEN VID ANVÄNDNING A V TALLFRÖ AV FÖR ORTEN FRÄM~ MANDE PROVENIENs . STU.DIER över RISKEN VID ANVÄNDNING A V TALLFRÖ AV FÖR ORTEN FRÄM~ MANDE PROVENIENs A STUDY ON THE RISKS OF USING IN A P AR TICULAR DISTRJCT PINE=SEED FROM OTHER SOURCES. AV O. ENEROTH MEDDELANDEN FRÅN

Läs mer

Analytisk mekanik för MMT, 5C1121 Tentamen, , kl

Analytisk mekanik för MMT, 5C1121 Tentamen, , kl Kung Tekniska Högskoan 4 Institutionen för Mekanik Anaytisk mekanik för MMT, 5C Tentamen, 4, k 4.-8. Räkneproem Uppgift : En pende estår av en sma homogen stav, av ängd och massa m. Den kan svänga kring

Läs mer

Hårdhet & Avhärdning -Luftning & Oxidation

Hårdhet & Avhärdning -Luftning & Oxidation Hårdhet & Avhärdning -Luftning & Oxidation Hårdhet Ca & Mg Hårdheten på ett vatten mäts som bekant med Tyska hårdhetsgrader. Det är summan av Magnesium och Kaciumjoner i vattnet där Kacium är den dominerande

Läs mer

Sex- och samlevnadsundervisning i skolan. på sju högstadieskolor i Stockholms län

Sex- och samlevnadsundervisning i skolan. på sju högstadieskolor i Stockholms län LAFA 1:2005 Sex- och samevnadsundervisning i skoan En kartäggning av sex- och samevnadsundervisningen på sju högstadieskoor i Stockhoms än Landstinget förebygger aids (Lafa) är Stockhoms äns andstings

Läs mer

Föreläsning 9: Beräkning av tröghetsmoment och tröghetsprodukter (kap ) Kinetisk energi för roterande stelt system: T rot

Föreläsning 9: Beräkning av tröghetsmoment och tröghetsprodukter (kap ) Kinetisk energi för roterande stelt system: T rot 1 Föreäsning 9: Beräkning av tröghetsmoment och tröghetsprodukter (kap 3113 Komihåg 8: Tröghetsmoment = r dm = x + y dm m m Kinetisk energi för roterande stet system: T rot = 1 Röresemängdsmomentets zkomponent:

Läs mer

Volymviktsvariationer hos planterad gran

Volymviktsvariationer hos planterad gran Voymviktsvariationer hos panterad gran Variations in density of panted spruce av PER NYLINDER MEDDELANDEN FRÅN STATENS SKOGSFORSKNINGSINSTITUT BAND 43 NR 3 INNEHALL Inedning o o o o o o o o o o o o o o

Läs mer

STAMMANSI(APET EN ELITGRUPP

STAMMANSI(APET EN ELITGRUPP t j~ -.. ~-. '-~ STAMMANSI(APET EN ELITGRUPP EN UNDERSÖKNING RÖRANDE REKRYTERINGEN TILL ARMENS STAMSKOLOR Av fi. ic. TORSTEN HUSEN, Lund I SITT för två år sedan avgivna betänkande föresog»lantförsvarets

Läs mer

Metodtest för elasticitetsberäkningar ur Sampers RAPPORT. Del 1 Tågelasticiteter enligt befintlig differentiering utifrån basprognos 2030.

Metodtest för elasticitetsberäkningar ur Sampers RAPPORT. Del 1 Tågelasticiteter enligt befintlig differentiering utifrån basprognos 2030. RAPPORT Metodtest för easticitetsberäkningar ur Sampers De 1 Tågeasticiteter enigt befintig differentiering utifrån basprognos 2030. 2015-02-09 Anays & Strategi Anays & Strategi Konsuter inom samhäsutvecking

Läs mer

e l h a ll byb o 4-6 januari Cupen för hela föreningen +

e l h a ll byb o 4-6 januari Cupen för hela föreningen + 1995 2020 m e n m o t k i ä V h a n e byb o 4-6 januari 2020 - Cupen för hea föreningen + Väkommen ti 2020 års jubieumsuppaga av Habyboen! För 25:e året i rad bjuder IF Haby HK in ti handbosfest i Jönköping

Läs mer

Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION

Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken matematisk induktion. Termen induktion är lite olycklig därför att matematisk

Läs mer

5. Roger Nordén, Ä:.' I

5. Roger Nordén, Ä:.' I ÖVERKLAGAT BESLUT Kommunfuírnäktigo i Timrå kommuns besut den 24 augusti 2015, 112 _.í»-i,,0_. D0k.d 99749 Postadress Besöksadress Teeïon Teefax Expeditionstid Box 314 Backgränd 9 0611-46 06 00 0611-51

Läs mer

STATENS SKOGS FORSKNINGSINSTITUT

STATENS SKOGS FORSKNINGSINSTITUT MEDDELANDEN FRÅN STATENS SKOGS FORSKNINGSINSTITUT BAND 47 1957-1958 MITTELUNGEN DER FORSTLICHEN REPORTS OF THE FOREST FORSCHUNGSANST AL T RESEARCH INSTITUTE SCHWEDENS OF SWEDEN Bd. 47 Vo. 47 BULLETIN DE

Läs mer

Verksamhetsberättelse 2012 Uppsökande Verksamhet med Munhälsobedömning

Verksamhetsberättelse 2012 Uppsökande Verksamhet med Munhälsobedömning Verksamhetsberättese 2012 Uppsökande Verksamhet med Munhäsobedömning Innehå Särskit Tandvårdsstöd 4 Gratis Munhäsobedömning hemma 4 Smidigare samarbete fer uppsökta ja-tackare 5 Artike: Samverkansavvikeser

Läs mer

Två innebörder av begreppet statistik. Grundläggande tankegångar i statistik. Vad är ett stickprov? Stickprov och urval

Två innebörder av begreppet statistik. Grundläggande tankegångar i statistik. Vad är ett stickprov? Stickprov och urval Två innebörder av begreppet statistik Grundläggande tankegångar i statistik Matematik och statistik för biologer, 10 hp Informationshantering. Insamling, ordningsskapande, presentation och grundläggande

Läs mer

Översyn och ändring av taxa för offentlig kontroll av livsmedel 2019 Dnr MBN2018/80/03. Miljö- och bygglovsnämndens beslut

Översyn och ändring av taxa för offentlig kontroll av livsmedel 2019 Dnr MBN2018/80/03. Miljö- och bygglovsnämndens beslut SUNNE KOMMUN Mijö- och byggovsnämnden Mbn 92 PROTOKOLL Sammanträdesdaturr 2018-11-19 SUNNE.K_OMMUN' KOMMUNSmELSÉN'd Ink Avg 2018-11- 2 0 ^...^^.US _^^^.^i... Ida ^(16) ^ Översyn och ändring av taxa för

Läs mer

BÖR VÅRT VALSYSTEM REFORMERAS? r f

BÖR VÅRT VALSYSTEM REFORMERAS? r f BÖR VÅRT VALSYSTEM REFORMERAS? Bankdirektör H. Lauritzen skriver ti Svensk Tidskrift föjande: OM MAN närmare granskar de efter vaet den 19 september pubicerade röstsiffrorna, kan man icke undgå att frapperas

Läs mer

l l l Motion till riksdagen 1988/89: So546 av Bengt Westerberg m. fl. (fp) Förbättrad omvårdnad l l l l l

l l l Motion till riksdagen 1988/89: So546 av Bengt Westerberg m. fl. (fp) Förbättrad omvårdnad l l l l l Motion ti riksdagen 1988/89: av Bengt Westerberg m. f. (fp) Förbättrad omvårdnad Det kan tyckas att en utvecking av den medicinska vården skue medfora mindre krav på omvårdnaden. Så är det dock inte as.

Läs mer

Dagens frågor. kontlikterna. Konflikter som leder till arbetsnedläggelse. äventyrar och undergräver vårt förhandlingssvstem."

Dagens frågor. kontlikterna. Konflikter som leder till arbetsnedläggelse. äventyrar och undergräver vårt förhandlingssvstem. Dagens frågor Front mot vida strejker Det goda förhåandet mean parterna på den svenska arbetsmarknaden har varit en nästan egendarisk företeese. Respekten för givna utfästeser har gjort det möjigt att

Läs mer

IF1330 Ellära KK1 LAB1 KK2 LAB2. tentamen

IF1330 Ellära KK1 LAB1 KK2 LAB2. tentamen IF1330 Eära F/Ö1 F/Ö4 F/Ö2 F/Ö5 F/Ö3 Strökretsära Mätinstruent Batterier Likströsnät Tvåposatsen KK1 LAB1 Mätning av U och I F/Ö6 F/Ö7 Magnetkrets Kondensator Transienter KK2 LAB2 Tvåpo ät och si F/Ö8

Läs mer

För G krävs minst 16p, för VG minst 24p. Miniräknare och utdelade tabeller

För G krävs minst 16p, för VG minst 24p. Miniräknare och utdelade tabeller ÖRERO UNIVERSITET Handeshögskoan i Örebro Tentamen i Ekonomistyrning, Fö1018, 7,5 hp nta uppgifter: Max poäng: etyg: nsvariga ärare: Tiätna hjäpmede: 6 32 För G krävs minst 16p, för VG minst 24p Kerstin

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson LÄSANVISNINGAR VECKA 36 VERSION 1. ARITMETIK FÖR RATIONELLA OCH REELLA TAL, OLIKHETER, ABSOLUTBELOPP ADAMS P.1 Real Numbers and the Real

Läs mer

Superi mot välfårdssamhället

Superi mot välfårdssamhället PER UNCKEL: Superi mot väfårdssamhäet Btror akohomissbruket på att det är for ätt att {a tag på sprit? Frågan stäs av riksdagsman Ptr Uncke. Han hävdar att det inte kjäper med atr /Orbud. Vi må~ te i stäet

Läs mer

V ÄRLDENS FRAMTIDA VIRKESFÖRSÖRJNING

V ÄRLDENS FRAMTIDA VIRKESFÖRSÖRJNING K U N G L. S K O G S H Ö G S K O L A N S S K R I F T E R Nr 27 BULLETIN OF THE ROYAL SCHOOL OF FORESTRY STOCKHOLM, SWEDEN Redaktör: Professor LENNART NORDSTRÖM 1957 V ÄRLDENS FRAMTIDA VIRKESFÖRSÖRJNING

Läs mer

Byggställning. Scaffold

Byggställning. Scaffold Byggstäning För bruk i trappor Scaffod For use in staircases Björn Larsson Högskoeingenjörseamen i maskiningenjör inriktning produktdesign, 10 Nr /008 Byggstäning Scaffod Björn Larsson mittibushen@hotmai.com

Läs mer

UNDERSÖKNINGAR över ÄLDRE SKOGS::: KULTURER I DE NORDLIGASTE LÅNEN

UNDERSÖKNINGAR över ÄLDRE SKOGS::: KULTURER I DE NORDLIGASTE LÅNEN Medföjer Svenska skogsvårdsföreningens Tidskrift 1946, Nr 4. UNDERSÖKNINGAR över ÄLDRE SKOGS::: KULTURER I DE NORDLIGASTE LÅNEN INVESTIGATIONS OF OLD FORESTCULTWATIONS IN NORTHERN SWEDEN AV BO EKLUND och

Läs mer

Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION

Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken matematisk induktion. Termen induktion är lite olycklig därför att matematisk

Läs mer

DOM. SAKEN Åtgärder med anledning av anmälan öm störningar från måsar ipåvelund, Göteborg. Telefax Telefon

DOM. SAKEN Åtgärder med anledning av anmälan öm störningar från måsar ipåvelund, Göteborg. Telefax Telefon DOM VÄNERSBORGS TINGSRÄTT Mijödemstoen 2010-12-13 meddead i Vänersborg Må nr M 3260-10 '1 Sid (2) KLAGANDE M.K MOTPART Mijönämnden i Göteborgs Stad Kar Johansgatan 23-25 414 59 Göteborg ÖVERKLAGAT BESLUT

Läs mer

Motion 1986/87 :Skl75

Motion 1986/87 :Skl75 Motion 1986/87 :Sk75 Jan Bergqvist m. f. (s) Försag ti sutig regering av statsbudgeten för budgetåret 1987/88, m. m. (kompetteringsprop.) ( 1986/87: 150) proposition 1986/87:150 (kompetteringsprop.) föreså

Läs mer

Tidsåtgången vid röjning i ungskogsbestånd av tall, uppkomna efter sådd

Tidsåtgången vid röjning i ungskogsbestånd av tall, uppkomna efter sådd Tidsåtgången vid röjning i ungskogsbestånd av ta, uppkomna efter sådd Time required for ceaning young pine stands originating by direct sowing av GEORG CALLIN MEDDELANDEN FRÅN STATENS SKOGSFORSKNINGSINSTITUT

Läs mer

Nr 742. Mot. 1973:742 lo. av fru Eriksson i Stockholm m. fl. angående utfonnrtingen av planerad tenninalbyggnad på Arlanda flygplats.

Nr 742. Mot. 1973:742 lo. av fru Eriksson i Stockholm m. fl. angående utfonnrtingen av planerad tenninalbyggnad på Arlanda flygplats. Mot. 1973:742 O Nr 742 av fru Eriksson i Stockhom m. f. angående utfonnrtingen av panerad tenninabyggnad på Aranda fygpats. En ny utrikes terminabyggnad på Aranda är besutad. Det är i hög grad en fråga

Läs mer

l Andel (%) trävirke från certifierat skogsbruk i produkten/andel (%) vegetabiliska naturfibrer från certifierad ekologisk odling

l Andel (%) trävirke från certifierat skogsbruk i produkten/andel (%) vegetabiliska naturfibrer från certifierad ekologisk odling Biaga 1A Redovisning av fiberråvara Leverantör: Produkt: Tiverkare/everantör: För dokumentation av fiberråvara: Träsag/växt och geografiskt ursprung (and/destat och region/provins) Mängd (på årsbasis)

Läs mer

Funktioner och tabeller för kubering av småträd

Funktioner och tabeller för kubering av småträd Funktioner och tabeer för kubering av småträd Funktionen und Tabeen zur Kubierung keiner Bäume av SVENOLOF ANDERSSON MEDDELANDEN FRÅN STATENS SKOGSFORSKNINGSINSTITUT BAND 44. NR 12 1Medd. från Statens

Läs mer

RAPPORT. Tågelasticiteter från Sampers till elasticitetskalkyler. Analys & Strategi

RAPPORT. Tågelasticiteter från Sampers till elasticitetskalkyler. Analys & Strategi RAPPORT Tågeasticiteter från Sampers ti easticitetskakyer 2013-02-08 Anays & Strategi Konsuter inom samhäsutvecking WSP Anays & Strategi är en konsutverksamhet inom samhäsutvecking. Vi arbetar på uppdrag

Läs mer

BULLETIN OF THE ROYAL SCHOOL OF FORESTRY STOCKHOLM, SWEDEN BONDESI(OGSBRUKET. Ekonomisk undersökning grundad på bokföring 1953-1960

BULLETIN OF THE ROYAL SCHOOL OF FORESTRY STOCKHOLM, SWEDEN BONDESI(OGSBRUKET. Ekonomisk undersökning grundad på bokföring 1953-1960 K U N G L. S K O G S H Ö G S K O L A N S S K R I F T E R Nr 39 BULLETIN OF THE ROYAL SCHOOL OF FORESTRY STOCKHOLM, SWEDEN Redaktör: Professor LENNART NORDSTRÖM 1963 BONDESI(OGSBRUKET Ekonomisk undersökning

Läs mer

Verksamhetsplan Folkrättskretsen (Krets 01145)

Verksamhetsplan Folkrättskretsen (Krets 01145) Verksamhetspan 2019 Fokrättskretsen (Krets 01145) Medmänskighet är grunden för Röda Korsets arbete för mänskiga rättigheter, stöd vid kris och krig samt minskat idande. De friviigas engagemang är en förutsättning

Läs mer

55% Û 5 Förhandlingsprotokoll

55% Û 5 Förhandlingsprotokoll tagare i arbetsmarknadspoitiska insatser - BEA Parterna träffar detta koektivavta Bestämmeser för arbetstagare i arbetsmarknadspoitiska insatser, BEA. Ti avtaet hör även bestämmeser enigt föjande biagor

Läs mer

KUNGL ÖRLOGSMANNA SÄLLSKAPET

KUNGL ÖRLOGSMANNA SÄLLSKAPET KUNGL ÖRLOGSMANNA SÄLLSKAPET N:r 5 1965 KOMMENOCRKAPTENEN GUNNAR GRANDIN Kostnad och effekt hos marina vapensystem - några refexioner inför dagens tekniska och ekonomiska utvecking Föredrag hået av kommendörkapten

Läs mer

KBU Grundskolan Åk Friskolan Stellatus

KBU Grundskolan Åk Friskolan Stellatus KBU Grundskoan Åk 17 Syfte och bakgrund Syfte Syftet med undersökningen är: att ge information om kvaiteten i verksamheten att ge underag för va att ge underag för utveckingsarbete Mågrupp Mågruppen är

Läs mer

Resträkning och ekvationer

Resträkning och ekvationer 64 Resträkning och ekvationer Torsten Ekedahl Stockholms Universitet Beskrivning av uppgiften. Specialarbetet består i att sätta sig in i hur man räknar med rester vid division med primtal, hur man löser

Läs mer

(gg ~~-~-e en tšafr cto 2016-04-29

(gg ~~-~-e en tšafr cto 2016-04-29 Parterna träffar detta koektivavta, Bestämmeser för arbetstagare i utbidningsoch introduktionsanstäning - BUI 16. Ti avtaet hör även bestämmeser enigt föjande biagor a) Bestämmeser för arbetstagare i utbidnings-

Läs mer

Undersökning rörande avsättningslägen för skog och skogsmark i Jämtlands län

Undersökning rörande avsättningslägen för skog och skogsmark i Jämtlands län Undersökning rörande avsättningsägen för skog och skogsmark i Jämtands än Investigation Concerning the Accessibiity of Forests and Forest Land in the Province of Jämtand av NILS-ERIK NILSSON och GUSTAF

Läs mer

Lathund. för programmet TeamViewer. Deltagare/elever

Lathund. för programmet TeamViewer. Deltagare/elever Lathund för prograet TeaViewer Detagare/eever Detagare/eev Detta är en athund för dig so använder prograet TeaViewer (version 9). Det finns också videoanuaer att tigå. Dessa hittar du på www.svkapanj.se/videoanuaer.

Läs mer

Ansökan om fastighetsreglering och ledningsrätt berörande Västerbodarna 1:317 och Västerbodarna 1:384 i Alingsås kommun.

Ansökan om fastighetsreglering och ledningsrätt berörande Västerbodarna 1:317 och Västerbodarna 1:384 i Alingsås kommun. Ansökan om fastighetsregering och edningsrätt berörande Västerbodarna 1:317 och Västerbodarna 1:384 i Aingsås kommun. Aingsås Kommun, ägare ti Västerbodarna 1 :384, samt Mats och Ewa Lundbad, ägare ti

Läs mer

MEDDELANDEN FRÅN. STllTEf'lS. S~OGSfÖRSö~SllNSTllhT HÄFTET {38}---- MITTElL UNGEN AUS DER FORSTLICHEN VERSUCHSANSTALT SCHWEDENS

MEDDELANDEN FRÅN. STllTEf'lS. S~OGSfÖRSö~SllNSTllhT HÄFTET {38}---- MITTElL UNGEN AUS DER FORSTLICHEN VERSUCHSANSTALT SCHWEDENS MEDDELANDEN FRÅN STTEf'S S~OGSfÖRSö~SNSThT HÄFTET 11 1914 --- ---- - ---{38}---- MITTEL UNGEN AUS DER FORSTLICHEN VERSUCHSANSTALT SCHWEDENS 11. HEFT CENTRA.TRYCKERIET1 STOCKHOLM 1915 INNEHÅLLSFÖRTECKNING.

Läs mer

Zick Zack årskurs 4 finns för användning detta läsår. Årskurs 5 utkommer till höstterminen 2012 och årskurs 6 till höstterminen 2013.

Zick Zack årskurs 4 finns för användning detta läsår. Årskurs 5 utkommer till höstterminen 2012 och årskurs 6 till höstterminen 2013. STEG 1 Zick Zack består a Läsrummet och Skrirummet och är Bonnier Utbidnings nya basäromede i senska och senska som andraspråk för årskurs 4 6. De båda rummen kompetterar arandra, men kan äen anändas ar

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

KBU Grundskolan Åk Kronoparksskolan

KBU Grundskolan Åk Kronoparksskolan KBU Grundskoan Åk Syfte och bakgrund Syfte Syftet med undersökningen är: att ge information om kvaiteten i verksamheten att ge underag för va att ge underag för utveckingsarbete Mågrupp Mågruppen är eever

Läs mer

NYARE FALTFöRSöKSMETODIK, BELYST GENOM NÅGRA SKOGSODLINGAR PA KULBÄCKSLIDENS FÖRSÖKSPARK.

NYARE FALTFöRSöKSMETODIK, BELYST GENOM NÅGRA SKOGSODLINGAR PA KULBÄCKSLIDENS FÖRSÖKSPARK. NYARE FALTFöRSöKSMETODIK, BELYST GENOM NÅGRA SKOGSODLINGAR PA KULBÄCKSLIDENS FÖRSÖKSPARK. MORE RECENT METHODS OF FIELD EXPERIMENTs ILLUSTRATED BY FOREST CULTIVATION IN KULBÄCKsLIDEN EXPERIMENTAL FOREST

Läs mer

1 Positivt definita och positivt semidefinita matriser

1 Positivt definita och positivt semidefinita matriser Krister Svanberg, april 1 1 Positivt definita och positivt semidefinita matriser Inom ickelinjär optimering, speciellt kvadratisk optimering, är det viktigt att på ett effektivt sätt kunna avgöra huruvida

Läs mer

Angående utökat samarbete, enligt kriterier DUA "Unga till arbete". orgnr: orgnr:

Angående utökat samarbete, enligt kriterier DUA Unga till arbete. orgnr: orgnr: Lia Edets Kommun samarbete med Arbetsförmedingen Ae ÖVERENSKOMMELSE Angående utökat samarbete, enigt kriterier DUA "Unga ti arbete". Parter Lia Edets kommun Arbetsförmedingen, ALE orgnr:212000-1496 orgnr:202100-2114

Läs mer

OM UPPSKATTNINGEN PÅ FÖRSÖKS== PARKERNA REDOGÖRELSE FÖR VERKSAMHETEN VID STATENS SKOGSFÖRSÖKSANSTALT UNDER ÅR 1925

OM UPPSKATTNINGEN PÅ FÖRSÖKS== PARKERNA REDOGÖRELSE FÖR VERKSAMHETEN VID STATENS SKOGSFÖRSÖKSANSTALT UNDER ÅR 1925 Medföjer skogsvårdsföreningens Tidskrift 1926, h. 5-6. OM UPPSKATTNINGEN PÅ FÖRSÖKS== PARKERNA AV SVEN PETRINI REDOGÖRELSE FÖR VERKSAMHETEN VID STATENS SKOGSFÖRSÖKSANSTALT UNDER ÅR 1925 MEDDELANDEN FRÅN

Läs mer

Bostadsförsörjningsprogram Torsby kommun 2014-2018

Bostadsförsörjningsprogram Torsby kommun 2014-2018 Bostadsförsörjningsprogram Torsby kommun 2014-2018 Antagen av kommunfumäktige 2014-01-20 5 Besöksadress ya Torget 8, Torsby Torsby kommun 1. Kommunstyresen 685 80 Torsby direkt 0560-160 00 växe 0560-160

Läs mer

Lexmark Print Management

Lexmark Print Management Lexmark Print Management Optimera nätverksutskrift och skapa informationsfördear med en utskriftshanteringsösning som du kan impementera på pats eer via monet. Säker och praktisk utskriftsversion Fexibet.

Läs mer

Tillsammans kan vi göra skillnad. Här är en guide som hjälper dig att komma igång!

Tillsammans kan vi göra skillnad. Här är en guide som hjälper dig att komma igång! Tisammans kan vi göra skinad. Här är en guide som hjäper dig att komma igång! VAD ÄR NICKELODEONS TOGETHER FOR GOOD? VAD ÄR PLAN INTERNATIONAL? Nickeodeon tror att vi kan göra gott tisammans. Nickeodeons

Läs mer

------=-= Att bryta tystnaden DENNIS BRINKEBACK:

------=-= Att bryta tystnaden DENNIS BRINKEBACK: DENNIS BRINKEBACK: Att bryta tystnaden Denna artike försöker spega debattkimatet på ett statigt verk. Trots att många anstäda är väutbidade akademiker vågar de inte deta i samhäsdebatten med tanke på sin

Läs mer

EN NY METOD FÖR BALTESBREDDENS UTTAGANDE VID LINJETAXERING.

EN NY METOD FÖR BALTESBREDDENS UTTAGANDE VID LINJETAXERING. EN NY METOD FÖR BALTESBREDDENS UTTAGANDE VID LINJETAXERING. A NEW METHOD FOR DETERMINING OF THE STRIP=BREADTH IN LINE SURVEYING. AV MANFRED NASLUND MEDDELANDEN FRÅN STATENS S

Läs mer

KARLSHAMNS KOMMUN PROTOKOLL KS 12 342 (371) Närvarande: (markerade med x, tjänstgörande ersättare i ledamots ställe markerade med xx):

KARLSHAMNS KOMMUN PROTOKOLL KS 12 342 (371) Närvarande: (markerade med x, tjänstgörande ersättare i ledamots ställe markerade med xx): KARLSHAMNS KOMMUN PROTOKOLL KS 12 342 (371) Kommstyresen 2012-11-20 PROTOKOLL FRÅN SAMMANTRÄDE MED KOMMUNSTYRELSEN Pats och tid: Asarumssaen, k7.00-18.30 Närvarande: (markerade med x, tjänstgörande ersättare

Läs mer