Modellering av populationers tillväxt och avtagande

Save this PDF as:

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Modellering av populationers tillväxt och avtagande"

Transkript

1 Modellering av populationers tillväxt och avtagande Torbjörn Tambour 15 januari 2015 Det sista avsnittet i kursen Gymnasieskolans matematik med akademiska ögon ska handla om tillämpningar inom naturvetenskaperna. Jag har valt att utgå från avsnittet ordinära differentialekvationer, och diskutera modellering av populationers tillväxt och avtagande. Vi börjar med lite repetition. 1 Exponentiell förändring Antalet individer av en art i en viss population vid tidpunkten t betecknar vi med x(t). Vi antar att organismerna inte behöver konkurrera om föda och att det inte finns några rovorganismer som livnär sig på dem. Med födelsetalet menar vi antalet nyfödda individer i förhållande till det totala antalet och med dödstalet menar vi på samma sätt antalet individer som dör i förhållande till det totala antalet. Vi betecknar de här talen med N respektive M (som i nativitet och mortalitet). Förändringen av populationens storlek vid en viss tidpunkt, uttryckt som en derivata, uppfyller då differentialekvationen dx(t) dt = (N M)x(t). (1) Egentligen är (1) en meningslös ekvation eftersom x(t) faktiskt är en funktion som bara antar heltalsvärden och därför inte är vare sig kontinuerlig eller deriverbar (om den inte är konstant, vilket vi antar inte är fallet). Men om populationen är stor, så kan vi approximera antalet individer med en deriverbar funktion x(t). Vi sätter k = N M, så att vilken vi skriver som x (t) = dx(t) dt x (t) kx(t) = 0. För att lösa ekvationen så multiplicerar vi med e kt : e kt x (t) ke kt x(t) = 0. = kx(t), (2) 1

2 Enligt kedjeregeln kan detta skrivas vilket ger Alltså är e kt x(t) = C, d dt (e kt x(t)) = 0 där C är en konstant. x(t) = Ce kt. Om vi känner populationens storlek vid tidpunkten t 0, så kan vi bestämma C: Insättning ger x(t 0 ) = Ce kt0, varav C = x(t 0 )e kt0. x(t) = x(t 0 )e k(t t0). I tillämpningar är ofta t 0 = 0, vilket ger x(t) = x(0)e kt. Om nativiteten är större än mortaliteten, N > M, så är k > 0 och populationen kommer att tillväxa exponentiellt. I det långa loppet är det naturligtvis orealistiskt; så småningom kommer födan inte att räcka till alla individer, utan det kommer att uppstå konkurrens mellan dem. Vi ska se på en modell för det i nästa avsnitt. Om N < M, så kommer populationen å andra sidan att dö ut. Här måste vi emellertid komma ihåg att (1) inte är en bra modell om antalet individer är litet, eftersom vi då inte kan anse att x(t) är en deriverar funktion. Men slutsatsen att populationen kommer att dö ut om mortaliteten överstiger nativiteten är förstås riktig i alla fall. En av de första som använde (1) som modell för mänsklighetens tillväxt var den engelske ekonomen Thomas Robert Malthus ( ). I sitt arbete An essay on the principle of population hävdade han exponentiell tillväxt i det långa loppet är omöjlig och att mänskligheten förr eller senare måste drabbas av svält och sjukdomar, som kommer att begränsa tillväxten. Hans arbeten orsakade mycken diskussion och var en av Darwins inspirationskällor. Ekvationen x (t) = kx(t) kan även användas för att modellera radioaktivt sönderfall. Då betyder x(t) antalet atomer av en viss isotop av ett radioaktivt ämne. Eftersom det är fråga om ett sönderfall, så är k < 0 och vi sätter λ = k. Talet λ kallas sönderfallskonstanten för isotopen ifråga och lösningen till differentialekvationen är x(t) = x(0)e λt. 2

3 1.1 Övningar 1. Härled sambandet mellan sönderfallskonstanten och halveringstiden för en isotop. När en radioaktiv isotop sönderfaller, så kan produkten också vara radioaktiv. När den i sin tur sönderfaller, kan nya radioaktiva isotoper bildas och på så sätt får man sönderfallskedjor av radioaktiva ämnen. I naturen finns tre sådana, torium-, uran- och aktiniumserien. I laboratorier har kärnfysiker hittat ytterligare en, neptuniumserien. Toriumserien ser ut så här: 232 Th 228 Ra 228 Ac 228 Th 224 Ra 220 Rn 216 Po 212 Pb 212 Bi 212 Po 208 Tl 208 Pb Isotopen bly-208 är stabil. Låt oss kalla isotoperna mellan torium-232 och bly- 208 för intermediärer. Skriv ner sönderfallsekvationen för en intermediär. Efter lång tid (hur lång beror på de olika halveringstiderna) inställer sig en form av jämvikt i en sönderfallskedja. Det innebär att det bildas lika mycket av intermediärerna som det försvinner genom sönderfall. Härled ett samband mellan mängderna av intermediärerna när jämvikt råder. Jämvikten brukar för övrigt kallas steady-state. 2. Även vissa kemiska reaktioners hastighet kan modelleras med ekvationen x (t) = kx(t). Ett exempel är när ett ämne A spontant sönderfaller till några andra ämnen B, C och så vidare: A B + C +... Om reaktionen verkligen går till på det sätt som formeln ovan visar, det vill säga så att en molekyl A sönderfaller utan att någon annan molekyl är inblandad, så gäller att x (t) = kx(t), där x(t) är koncentrationen av A. Som i fallet med radioaktivt sönderfall är k negativ, så vi sätter λ = k. Talet λ kallas i det här fallet hastighetskonstanten. Ett exempel på en kemisk reaktion av den här typen är hydrolys av rörsocker, sackaros. Sackarosmolekylen är uppbyggd av en glukos- och en fruktosmolekyl (druv- respektive fruktsocker). I vattenlösning kan sackarosmolekylen reagera med en vattenmolekyl och spaltas därvid upp i en molekyl glukos och en molekyl fruktos (hydrolys betyder just sönderfall i närvaro av vatten). Om x(t) betecknar sackaroskoncentrationen vid tiden t, så gäller för reaktionen att x (t) = λx(t), där λ som sagt kallas hastighetskonstanten. Man kan följa reaktionen genom att studera hur sockerlösningen påverkar polariserat ljus. Både rörsocker och glukos/fruktosblandningen är nämligen optiskt aktiva, det vill säga att de förmågan att ändra svängningsplanet his polariserat ljus. Vridningen av svängningsplanet är proportionell mot koncentrationen av det aktiva ämnet och proportionalitetskonstanten beror på vilket ämne det är. Den tyske kemisten Wilhelm Ostwald ( ) studerade hydrolysen av sackaros med hjälp av polariserat ljus och fann följande värden på vridningsvinkeln 3

4 α: t (min) α (grader) 34,50 31,10 25,00 13,98 7,57 1,65 10,77 Bestäm hastighetskonstanten λ. (Uppgiften är hämtad ur Kemiska räkneuppgifter av Nylén-Wigren, Almqvist & Wiksell 1964.) 2 Den logistiska ekvationen Som vi sade ovan är det inte realistiskt att tänka sig att en population fortsätter att tillväxa exponentiellt i det långa loppet eftersom det förr eller senare blir konkurrens om föda, utrymme och så vidare. För att ta hänsyn till konkurrensen kan man modifiera (2) så här: dx(t) dt = kx(t) hx(t) 2 (3) Konkurrensen tas alltså hänsyn till genom termen hx(t) 2, där h > 0. Man ska tänka sig att h är betydligt mindre än k, så att konkurrensen uppträder först när populationen har växt till en viss storlek. Att konkurrenstermen är proportionell mot x(t) 2 har att göra med att konkurrensen uppstår i möten mellan två individer och antalet sådana möten beror på x(t) 2. Ekvation (3), som kallas den logistiska lagen, formulerades först av Pierre François Verhulst ( ), holländsk-belgisk matematiker och demograf. Även den logistiska ekvationen förekommer i teorin för kemiska reaktioners hastighet (kemisk kinetik). Säg att två ämnen A och B reagerar och ger C och eventuellt andra produkter enligt A + B C +... (4) Om den här formeln verkligen beskriver förloppet på molekylär nivå, det vill säga att reaktionen går till så att en molekyl A reagerar med en molekyl B, så är hastigheten proportionell mot [A] [B], där [X] betecknar koncentrationen av ämnet X. Vi har alltså d[c] = k[a][b], dt där k > 0 är hastighetskonstanten. Låt oss sätta [C] = x(t) och beteckna koncentrationen av A och B vid tiden t = 0 med a respektive b. Eftersom det förbrukas en molekyl A och en molekyl B för varje molekyl C som bildas, så är vilket ger differentialekvationen [A] = a x(t), [B] = b x(t), dx(t) dt = k(a x(t))(b x(t)). (5) 4

5 En förutsättning för att den här ekvationen ska beskriva hastigheten hos (4) är som sagt att reaktionen verkligen går till som formeln visar. Det är inte alls säkert att det är på det sättet. Reaktioner med enkla totalformler som (4) kan ha mycket komplicerade förlopp och bestå av många delreaktioner, vilket gör att hastighetsekvationen inte får det enkla utseendet (5). Att mäta reaktionshastigheten är ett viktigt hjälpmedel för att förstå hur reaktionen går till på molekylnivå, den så kallade reaktionsmekanismen. Här är ett intressant kemiskt exempel (från Kinetics and mechanism, 2nd ed., av Arthur A. Frost och Ralph G. Pearson, Wiley 1961): Både brom och jod tillhör gruppen halogener 1 i det periodiska systemet och reagerar i gasfas med vätgas enligt formlerna H 2 + Br 2 2HBr (6) H 2 + I 2 2HI (7) Produkterna heter vätebromid respektive vätejodid och när de löser sig i vatten bildar de bromvätesyra respektive jodvätesyra. Hastighetsekvationen för reaktionen (7) mellan väte och jod är enkel: d[hi] dt = k[h 2 ][I 2 ] där koncentrationerna kan mätas exempelvis som partialtryck. För reaktion (6) gäller däremot d[hbr] dt = k 1[H 2 ][Br 2 ] 3/2 [Br 2 ] + k 2 [HBr] vilket visar att reaktionen inte kan gå till på det enkla sätt som antyds av reaktionsformeln. I själva verket har man visat att reaktionen mellan väte och brom sker i fyra steg, som var och en har sin egen hastighetsekvation. Reaktionen mellan väte och jod däremot går till på det enkla sätt som beskrivs av reaktionsformeln. 2.1 Övningar 1. Repetera lösningen av den logistiska ekvationen. Lös ekvation (5) och tänk på att skilja mellan fallen a = b och a b. 2. Tänk dig en kemisk reaktion som följer hastighetsekvationen (5). Som du såg i den förra övningen ser lösningarna i fallen a = b och a b olika ut. Men rimligen borde det ur kemisk synpunkt inte vara någon artskillnad mellan de två fallen, utan fallet a b borde kontinuerligt övergå i fallet a = b när a närmar sig b. Undersök om lösningen till (5) för a b går mot lösningen för a = b när a b. 3. Den här uppgiften kräver viss vana vid kemiska beräkningar. Propionsyreetylester reagerar med hydroxidjoner enligt formeln C 2 H 5 COOC 2 H 5 + OH C 2 H 5 COO + C 2 H 5 OH 1 Halogen betyder saltbildare. Ämnena i halogengruppen är fluor, klor, brom, jod och astat. Astat är ett radioaktivt, mycket sällsynt grundämne. 5

6 Man beredde en lösning i vilken koncentrationerna av ester och hydroxid båda var 0,025 mol/dm 3. Vid olika tider (t) togs prover och koncentrationen av hydroxidjiner bestämdes genom titrering med syra. Man fann följande värden: t (min) [ OH ] 10 3 (mol/dm 3 ) 25,00 15,53 11,26 7,27 3,01 Visa att hastighetsekvationen är av typen (5) och bestäm hastighetskonstanten k. Även den här uppgiften är hämtad från Nylén-Wigren. Reaktionen är för övrigt ett exempel på så kallad förtvålning eftersom samma typ av reaktion äger rum då man tillverkar tvål genom att låta estrar av fettsyror och glycerol reagera med lut. 3 En modell för rovdjur och bytesdjur Vi ska nu studera en populationsmodell som är intressant både ur biologisk och matematisk synpunkt, den så kallade Lotka-Volterra-modellen för rovdjur och bytesdjur. Vi antar att R är en rovdjursart som livnär sig uteslutande av en art bytesdjur B. 2 Vi förutsätter vidare att bytesdjuren har obegränsad tillgång till föda och att varken de eller rovdjuren konkurrerar inbördes. Vi betecknar antalet rovdjur med x(t) och antalet bytesdjur med y(t), där t som vanligt är tiden. Funnes det inga bytesdjur, så skulle populationen rovdjur avta exponentiellt enligt ekvationen x (t) = ax(t). Om det å andra sidan inte funnes några rovdjur, så skulle populationen bytesdjur å andra sidan tillväxa exponentiellt enligt y (t) = cy(t). Här är a och c positiva konstanter, som är karaktäristiska för djuren i fråga. Riktigt intressant blir det då vi i modellen försöker ta hänsyn till det faktum att R livnär sig på B. Antalet möten mellan rovdjur och bytesdjur kan vi anse är proportionellt mot produkten x(t)y(t), och ett sätt att modellera detta är { x (t) = ax(t) + bx(t)y(t) y (t) = cy(t) dx(t)y(t) där alla fyra konstanterna a, b, c, d är > 0. Vi har således ett system av ordinära differentialekvationer och vi kallar det Lotka-Volterra-systemet. Det går inte att skriva ner lösningarna i sluten form med hjälp av de vanliga elementära funktionerna, 3 men man kan trots detta skaffa sig en hel del information om dem. För att förenkla beteckningarna något kommer vi i fortsättningen att skriva systemet på formen (x (t), y (t)) = F (x(t), y(t)) eller (x, y ) = F (x, y), (8) 2 Man kan också tänka sig att B är en växt som utgör föda åt växtätaren R; modellen ser likadan ut. 3 Med elementära funktioner menas polynom, potensfunktioner, trigonometriska funktioner, exponential- och logaritmfunktioner och alla funktioner som kan bildas av dessa med hjälp av aritmetiska operationer och sammansättning. 6

7 där alltså F (x, y) = ( ax + bxy, cy dxy). Om värdena av x och y är givna vid någon speciell tidpunkt t 0, säg att x(t 0 ) = x 0 och y(t 0 ) = y 0, så får vi ett begynnelsevärdesproblem (x, y ) = F (x, y), x(t 0 ) = x 0, y(t 0 ) = y 0. (9) Med hjälp av Picard-Lindelöfs sats (som Annemarie pratade om tidigare i kursen) kan man visa att begynnelsevärdesproblemet (9) har en entydig lösning för alla (x 0, y 0 ). Om x 0 = y 0 = 0 så är x(t) = y(t) = 0 för alla t en lösning till (9). Antag att vi har en lösning (x 1, y 1 ) sådan att x 1 (t 1 ) = y 1 (t 1 ) = 0 för något t 1. Då har systemet (9) med begynnelsevärdena x(t 1 ) = y(t 1 ) = 0 dels lösningen (x 1, y 1 ) och dels lösningen x = y = 0. På grund av entydigheten måste då x 1 = y 1 = 0. Den enda lösning som antar värdet (0, 0) är således nollösningen. Finns det någon annan konstant lösning än nollösningen? En konstant lösning uppfyller x (t) = y (t) = 0 för alla t, vilket ger ax(t) + bx(t)y(t) = 0 cy(t) dx(t)y(t) = 0 En lösning till den första ekvationen är x(t) = 0, vilket insatt i den andra ger y(t) = 0. På samma sätt ger y(t) = 0 att x(t) = 0. Vi antar därför att både x(t) och y(t) är 0 för alla t. Då får vi Vi kallar detta jämviktslösningen. x(t) = c d, y(t) = a b. Man kan som sagt inte skriva lösningarna i sluten form med hjälp av elementära funktioner, men man kan säga en hel del om systemets så kallade banor. Banan till en lösning (x, y) är funktionen t (x(t), y(t)), vilket är en parameterframställning av en kurva i x, y-planet. Låt (x 0, y 0 ) vara en punkt i x, y-systemet. Då har (9) en lösning med begynnelsevärden (x 0, y 0 ) för till exempel t 0 = 0, så det går en bana genom (x 0, y 0 ). Antag nu att t (x 1 (t), y 1 (t)) och t (x 2 (t), y 2 (t)) är två banor som går genom (x 0, y 0 ); säg att Betrakta nu banan (x 1 (t 1 ), y 1 (t 1 )) = (x 2 (t 2 ), y 2 (t 2 )) = (x 0, y 0 ). t (x 3 (t), y 3 (t)), där x 3 (t) = x 2 (t t 1 + t 2 ), y 3 (t) = y 2 (t t 1 + t 2 ). 7

8 Vi har x 3 (t 1 ) = x 2 (t 2 ) = x 1 (t 1 ), y 3 (t 1 ) = y 2 (t 2 ) = y 1 (t 1 ), vilket betyder att (x 1, y 1 ) och (x 3, y 3 ) båda är lösningar till (9) med begynnelsevärden (x 0, y 0 ). På grund av entydigheten igen måste de vara lika, vilket innebär att alla tre lösningarna (x i, y i ), i = 1, 2, 3, har samma bana. Vi har visat att det genom varje punkt i x, y-systemet går en och endast en bana. Banorna skär med andra ord inte varandra. Strax ska vi studera banorna lite närmare, men låt oss börja med att titta på ett något enklare system. Exempel: Vi ska betrakta systemet { x (t) = y(t) y (t) = x(t) Banorna definieras som ovan som kurvorna t (x(t), y(t)) i x, y-planet. Multiplicera den första ekvationen med x(t), den andra med y(t) och addera dem: x (t)x(t) + y (t)y(t) = x(t)y(t) + y(t)x(t) = 0. Enligt regeln för derivatan av en produkt är så varav x (t)x(t) + y (t)y(t) = 1 2 D(x(t)2 + y(t) 2 ), D(x(t) 2 + y(t) 2 ) = 0, x(t) 2 + y(t) 2 = C för någon konstant C 0. Banorna är tydligen cirklar med medelpunkt i origo. Systemet i det här exemplet kan man lösa explicit, vilket ger ett annat bevis för detta: om man deriverar den första ekvationen x = y och använder den andra så får man x = y = x, varför x + x = 0. Lösningarna är således vilket ger x(t) = a cos t + b sin t, y(t) = x (t) = a sin t b cos t, x(t) 2 + y(t) 2 = a 2 + b 2. Säg att vi befinner oss i första kvadranten i x, y-planet, det vill säga x > 0 och y > 0. Enligt ekvationerna x = y, y = x är då x < 0 och y > 0. När t växer, så avtar tydligen x medan y växer, vilket innebär att punkten (x, y) rör sig i positiv led (moturs) längs cirkeln x 2 + y 2 = C. Samma utredning ger samma resultat i de andra kvadranterna. Vi återgår till Lotka-Volterra-systemet { x = ax + bxy = x(a by) y = cy dxy = y(c dx) 8

9 med jämviktslösningen x = c/d, y = a/b. Vi antar att x och y är > 0 (rimligen!). På grund av entydigheten kan inte x (t) och y (t) vara 0 samtidigt. Antag att x (t) 0. Enligt kedjeregeln är dy dx = dy/dt dx/dt = y (t) dx) x = y(c (t) x(a by) och som genom ett litet mirakel kan vi separera variablerna: Integration ger a by y dy dx = c dx x a log y by = c log x + dx + k, där k är en konstant som bestäms av begynnelsevärdena x(0), y(0). Alltså är y a e by = kx c e dx, där k = e k. (10) Det är inte möjligt att lösa ut exempelvis y som funktion av x ur (10), men man kan ändå få en uppfattning om banornas utseende. Vi börjar med att studera funktionen f(y) = y a e by för y 0, där a, b > 0. Till att börja är f(0) = 0 och detta är det enda nollstället till f. Vidare har vi f(y) > 0 för y > 0 och f(y) 0 då y. Derivatan är f (y) = y a e by (a by), som har det enda nollstället y = a/b. Vi har f (y) > 0 för y < a/b och f (y) < 0 för y > a/b, så f har ett lokalt maximum för y = a/b. Om vi skriver g(x) = x c e dx = 1/x c e dx, så ser vi att g(x) > 0 för x > 0, g(x) både då x 0 och då x samt att g har ett lokalt minimum för x = c/d. Lägg märke till att (c/d, a/b) är jämviktspunkten till Lotka-Volterrasystemet. Figurerna (ritade med Mathematica, liksom alla andra) nedan avser systemet { x = x + xy y = 2y xy (således är a = b = d = 1, c = 2) med begynnelsevärdena x(0) = 1, y(0) = 3, men resonemanget är helt allmängiltigt. Insättning i (10) ger k = 3e 4. 9

10 g(x) = kx 2 e x f(y) = ye y Banan består av de punkter (x, y) för vilka g(x) = f(y). I vart och ett av de två koordinatsystemen tänker vi oss en linje parallell med x- respektive y-axeln och som ligger på samma höjd över axlarna. I början sammanfaller de med axlarna, men sedan låter vi dem röra sig uppåt. När linjen i den högra figuren nätt och jämnt har lyft från y-axeln, så skär den kurvan i två punkter, en som ligger nära 0 och en som ligger långt bort åt höger. Linjen i den vänstra figuren skär till att börja med inte kurvan. Så småningom kommer linjen i den vänstra figuren att tangera kurvan i minimipunkten (c/d, g(c/d)) = (2, 3e 2 /4). Linjen i den högra figuren skär kurvan f i två punkter, säg (y 1, 3e 2 /4) och (y 2, 3e 2 /4). Vi har sålunda f(y 1 ) = f(y 2 ) = 3e 2 /4 och Mathematica ger y , y I x, y-systemet sätter vi ut de två punkterna (c/d, y 1 ) = (2, ), och (c/d, y 2 ) = (2, ). När linjen i den vänstra figuren fortsätter att röra sig uppåt från minimipunkten, så kommer den att skära kurvan g i två punkter. Eftersom linjen i den högra figuren skär kurvan f i två punkter, så kommer vi nu att ha fyra punkter att markera i x, y-systemet. Så småningom når linjen i det högra systemet upp till maximipunkten (a/b, f(a/b)) = (1, e 1 ). Kurvan till vänster skärs av linjen i två punkter (x 1, e 1 ), (x 2, e 1 ). Vi har alltså g(x 1 ) = g(x 2 ) = e 1 och Mathematica ger x , x Vi markerar nu bara två punkter, nämligen (x 1, a/b) = (0.4950, 1) och (x 1, a/b) = (5.1979, 1) i x, y-systemet. Slutresultatet, det vill säga banan, finns i figuren nedan. Lägg märke till följande: 10

11 Banan är en sluten kurva. Minimipunkten på kurvan g ger två punkter på kurvan f, vilka ger punkterna med minst respektive störst y-koordinat på banan. Maximipunkten på kurvan f ger två punkter på kurvan g, vilka ger punkterna med minst respektive störst x-koordinat på banan. Jämviktspunkten (c/d, a/b) (i vårt fall punkten (2, 1)) ligger inuti banan. En konsekvens av att banan är en sluten kurva är att båda funktionerna x(t) och y(t) är periodiska och har samma period. För säg att vi befinner oss i en punkt (x(t), y(t)). När t växer, så rör sig punkten längs banan och efter ytterligare någon tid T är vi tillbaka i startpunkten. Alltså är x(t + T ) = x(t) och y(t + T ) = y(t). I figuren nedan är x(t) (rovdjuren) den blå kurvan som börjar i 1 på den lodräta axeln och y(t) (bytesdjuren) är den gula kurvan som börjar i 3. Periodiciteten syns tydligt, liksom att kurvorna är fasförskjutna i förhållande till varandra: Maximipunkterna på bytesdjurskurvan (gul) kommer i tid lite före maximipunkterna på rovdjurskurvan (blå). Exempelvis har den gula kurvan ett maximum vid t 5 och den blå ett vid t 6. Fasförskjutningen är rimlig ur ett biologiskt perspektiv och framgår även av banan: y-koordinaten har maximum och minimum ett kvarts varv före x-koordinaten. Vi ska studera Lotka-Volterra-systemet i närheten av jämviktspunkten P = (c/d, a/b) och gör omskrivningen x = ax + bxy = bc d (y a b ) + b(x c d )(y a b ) y = cy dxy = ad b (x c d ) d(x c d )(y a b ) I närheten av P är termerna b(x c/d)(y a/b) och d(x c/d)(y a/b) små och med en gnutta tur kan vi approximera lösningarna till vårt ursprungliga system med lösningarna till x = bc d (y a b ) y = ad b (x c d ) 11

12 Enligt övning 2 är lösningen { x = c/d + K1 cos(λt + ϕ) y = a/b + K 2 sin(λt + ϕ) där λ = ac och K 1, K 2 samt ϕ är konstanter. Av detta följer att ( ) 2 ( ) 2 x c/d y a/b + = 1, K 1 K 2 vilket betyder att banorna (approximativt) är ellipser med medelpunkt i P. Vi ser dessutom att kurvorna x(t) och y(t) är förskjutna π/2 i förhållande till varandra. Till sist ska vi studera en ekologisk konsekvens av analysen av Lotka-Volterrasystemet. Båda figurerna nedan är banor till systemet { x = x + xy y = 2y xy men med olika begynnelsevärden. I båda figurerna är x(0) = 2, men i den vänstra är y(0) = 0.5 och i den högra är y(0) = 0.2. Punkten med x-koordinat 2 är banans lägsta punkt, så i båda figurerna befinner vi oss i den lägsta punkten vid t = 0. Säg nu att vi börjar med bestånd av rov- och bytesdjur som i den vänstra figuren. Vi önskar minska beståndet av bytesdjur (som till exempel kan vara någon typ av skadedjur) och använder ett gift som slår ut så pass många av dem att vi efter en period istället har y(t ) = 0.2. Banan kommer då att se ut som i den högra figuren och vi ser att efter en tid så kommer beståndet av bytesdjur att vara större än i den vänstra figuren. En matematisk modell är aldrig sanningen om verkligheten och kan heller aldrig säga allt om fenomenen i verkligheten, men det här exemplet visar att det kan vara värt att göra en ordentlig (matematisk) analys innan man vidtar åtgärder för att exempelvis minska beståndet av en art. Det finns flera brister i Lotka- Volterra-modellen. En är att det i verkliga ekologiska system sällan är bara två arter som är bytes- respektive rovdjur. En annan är att bytesdjuren konkurrerar inbördes, liksom även rovdjuren. Vill man modellera detta kan man försöka göra som i den logistiska ekvationen. I frånvaro av rovdjur tillväxer bytesdjuren enligt 12

13 y = cy om de inte konkurrerar med varandra, men i den logistiska modellen tar man hänsyn till konkurrensen genom ekvationen y = cy γy 2. Gör vi den här modifieringen av Lotka-Volterra så får vi ekvationerna { x = ax αx 2 + bxy y = cy γy 2 dxy Banorna är då inte längre slutna kurvor och analysen blir förstås svårare. 3.1 Övningar 1. Utred åt vilket håll en punkt på banan i x, y-planet rör sig då t växer. Ledning: Drag linjer genom jämviktspunkten parallella med axlarna. Linjerna delar in första kvadranten i fyra områden. Vilka tecken har derivatorna x och y i de olika områdena? 2. I närheten av jämviktspunkten kan lösningarna till Lotka-Volterra-systemet som vi sade ovan med lite tur approximeras med lösningarna till x = bc d (y a b ) y = ad b (x c d ) Lös det här systemet. Det kan eventuellt underlätta att införa nya variabler z = x c/d, w = y a/b. 3. Trots att vi inte kan lösa Lotka-Volterra-systemet exakt, så kan vi beräkna medelvärdena av x(t) och y(t) över en cykel. Allmänt definieras medelvärdet av en funktion ξ på ett intervall [a, b] som ξ = 1 b a b a ξ(t) dt. Medelvärdena av populationerna x och y över en cykel är således x = 1 T T där T är perioden. Visa nu först att 0 x(t) dt respektive ȳ = 1 T d dt log ξ(t) = ξ (t) ξ(t) T 0 y(t) dt, när ξ är deriverbar och 0 ( logaritmisk derivata ). Skriv sambandet y (t) = by(t) dx(t)y(t) som y (t) y(t) = b dx(t) och integrera båda leden från 0 till T. Visa att integralen av vänsterledet är lika med 0 och därefter att x = c d, ȳ = a b. 13

14 Anmärkning: Den här övningen ger ett annat sätt att se på den ekologiska konsekvensen vi studerade ovan. Säg att vi försöker utrota bytesdjuren genom att sprida ut ett gift. Gifter kan ju påverka flera arter än det avsedda, så låt oss anta att det även påverkar rovdjuren. Vi får då nya ekvationer { x = ax + bxy αx = (a + α)x + bxy y = cy dxy γy = (c γ)y dxy där α och γ är > 0 och vi antar att γ < c. De nya medelvärdena är x = c γ d, ȳ = a + α, b vilket betyder att antalet bytes/skadedjur ökar medan antalet rovdjur minskar (i medeltal). Båda dessa effekter är naturligtvis oönskade! 4. Ta reda på vilka Lotka och Volterra var och något om deras bidrag till matematisk biologi. 14

1. Lös ut p som funktion av de andra variablerna ur sambandet

1. Lös ut p som funktion av de andra variablerna ur sambandet Matematiska institutionen Stockholms universitet Avd matematik Eaminator: Torbjörn Tambour Tentamensskrivning i Matematik för kemister K den 0 december 2003 kl 9.00-4.00 LÖSNINGAR. Lös ut p som funktion

Läs mer

SF1633, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari Lösningsförslag. Del I

SF1633, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari Lösningsförslag. Del I Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF6, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari 26 Lösningsförslag Del I Moduluppgift En liter av lösningen som innehåller 2 gram av kemiska

Läs mer

x(t) I elimeringsmetoden deriverar vi den första ekvationen och sätter in x 2(t) från den andra ekvationen:

x(t) I elimeringsmetoden deriverar vi den första ekvationen och sätter in x 2(t) från den andra ekvationen: Differentialekvationer II Modellsvar: Räkneövning 6 1. Lös det icke-homogena linjära DE-systemet ( ( 0 e x t (t = x(t + 1 3 e t med elimineringsmetoden. Lösning: den explicita formen av DE-systemet är

Läs mer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både

Läs mer

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2 SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23--24 DEL A. Den :a januari 26 låstes kg av ett visst radioaktivt ämne in i en källare. Ämnet sönderfaller i en takt som är direkt proportionell mot

Läs mer

MA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari Skrivtid:

MA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari Skrivtid: HÖGSKOLAN I HALMSTAD Tentamensskrivning Akademin för informationsteknologi MA00 Envariabelanalys 6 p Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari 08 05-670 Skrivtid: 9.00-.00 Inga jälpmedel. Fyll i omslaget

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

Typexempel med utförliga lösningar TMV130. Matem. Analys i En Var.. V, AT.

Typexempel med utförliga lösningar TMV130. Matem. Analys i En Var.. V, AT. Typexempel med utförliga lösningar TMV3. Matem. Analys i En Var.. V, AT. Försök alltid att lösa exemplen själv först. Integration. ([AE, Adams&Essex] Ex. 5.6. ) Beräkna integralen x + 6x + 3 dx LSN (Lösning).

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 10 hp STS, X 010-10-7 Genomgånget på föreläsningarna 11-15. Föreläsning 11, 4/11 010: Här kommer vi in i kapitel 4, som handlar om

Läs mer

BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM

BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM Större delen av de rekommenderade uppgifterna i boken är beräkningsuppgifter. Det är emellertid även viktigt att utveckla en begreppsmässig förståelse för materialet. Syftet med

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder Tentamen ENVARIABELANALYS M 204-2-08 SVAR OCH ANVISNINGAR UPPGIFTER. e 3x2 lim = e x2 ( 3x 2 +...) = lim ( x 2 +...) = lim

Läs mer

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +

Läs mer

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2 DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg OvnTenta Matematik Skrivtid. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på

Läs mer

d dx xy ( ) = y 2 x, som uppfyller villkoret y(1) = 1. x, 0 x<1, y(0) = 0. Bestäm även y( 2)., y(0) = 0 har entydig lösning.

d dx xy ( ) = y 2 x, som uppfyller villkoret y(1) = 1. x, 0 x<1, y(0) = 0. Bestäm även y( 2)., y(0) = 0 har entydig lösning. Bestäm den lösning till differentialekvationen Ange även lösningens eistensintervall SF6 Differentialekvationer I MODULUPPGIFTER Första ordningens differentialekvationer med modeller d d y ( ) = y 2, som

Läs mer

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt. Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I och SF637 Differentialekvationer och transformer III Lördagen den 4 februari, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa

Läs mer

Sidor i boken KB 6, 66

Sidor i boken KB 6, 66 Sidor i boken KB 6, 66 Funktioner Ordet funktion syftar inom matematiken på en regel som innebär att till varje invärde associeras ett utvärde. Ofta beskrivs sambandet mellan invärde och utvärde med en

Läs mer

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)), Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014 SF65 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den januari, 04 Skrivtid: 9:00-4:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra

Läs mer

Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)

Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z) Kap. 15.1 15.2, 15.4, 16.3. Vektorfält, integralkurva, konservativa fält, potential, linjeintegraler av vektorfält, enkelt sammanhängande område, oberoendet av vägen, Greens formel. A 1701. Undersök om

Läs mer

6 Derivata och grafer

6 Derivata och grafer 6 Derivata och grafer 6.1 Dagens Teori När vi plottar funktionen f(x) = x + 1x 99x 8 med hjälp av dosan kan man få olika resultat beroende på vilka intervall man valt. 00000 100000-00 -100 100 00-100000

Läs mer

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer MA71A Matematik för lärare C, delkurs Matematisk

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är

Läs mer

av envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.)

av envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.) Lösningsskisser till TATA69 Flervariabelanalys 16-1- 1 Stationära punkter ges av f (4x 3 + 4x, 3y + 6z, z + 6y (,,, dvs (x, y, z (,, eller (x, y, z (, 6, 18 Ur andraderivatorna fås de kvadratiska formerna

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016 Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 2 januari 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

Modeller för dynamiska förlopp

Modeller för dynamiska förlopp Föreläsning 3 Modeller för dynamiska förlopp 3.1 Aktuella avsnitt i läroboken (.1) Population Models. (.) Equilibrium Solutions and Stability. (.3) Acceleration-Velocity Models. 19 FÖRELÄSNING 3. MODELLER

Läs mer

4 Fler deriveringsregler

4 Fler deriveringsregler 4 Fler deriveringsregler 4. Dagens Teori Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: f(x) = 2x4 x3 + 2x

Läs mer

= = i K = 0, K =

= = i K = 0, K = ösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633, Differentialekvationer I Tisdagen den 14 augusti 212, kl 14-19 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-3-16 DEL A 1. Låt f(x, y) = 1 x 2 y 2. (a) Skissa nivåkurvorna f(x, y) = c till f för c =, c = 1 och c = 2. (1 p) (b) Beräkna gradf(x, y) i de

Läs mer

y + 1 y + x 1 = 2x 1 z 1 dy = ln z 1 = x 2 + c z 1 = e x2 +c z 1 = Ce x2 z = Ce x Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen

y + 1 y + x 1 = 2x 1 z 1 dy = ln z 1 = x 2 + c z 1 = e x2 +c z 1 = Ce x2 z = Ce x Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Vera Djordjevic PROV I MATEMATIK Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer 2007-10-12 Skrivtid: 9-14. Tillåtna hjälpmedel: Mathematics Handbook

Läs mer

Dubbelintegraler och volymberäkning

Dubbelintegraler och volymberäkning ubbelintegraler och volymberäkning Volym och dubbelintegraler över en rektangel Alla funktioner nedan antas vara kontinuerliga. Om f (x) i intervallet [a, b], så är arean av mängden {(x, y) : y f (x),

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004 KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje

Läs mer

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer). Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och

Läs mer

x +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.

x +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2. Lösningar till tentamen i Inledande matematik för M/TD, TMV155/175 Tid: 2006-10-27, kl 08.30-12.30 Hjälpmedel: Inga Betygsgränser, ev bonuspoäng inräknad: 20-29 p. ger betyget 3, 30-39 p. ger betyget 4

Läs mer

ODE av andra ordningen, och system av ODE

ODE av andra ordningen, och system av ODE ODE av andra ordningen, och system av ODE Exempel på di erentialekvation av andra ordningen (innehåller andra derivata) Pendel beskrives av Newtons andra lag: Kraft = massa Acceleration Acceleration =

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015 Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 215 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 Digitala övningar med TI-8 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 digitala övningar med TI-8 Stat, TI-84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel kan

Läs mer

PRÖVNINGSANVISNINGAR

PRÖVNINGSANVISNINGAR PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik D Kurskod Ma 104 Gymnasiepoäng 100 Läromedel Prov Muntligt prov Inlämningsuppgift Kontakt med examinator Övrigt Valfri aktuell lärobok för kurs Matematik D t.ex.

Läs mer

1. (a) Beräkna gränsvärdet (2p) e x + ln(1 x) 1 lim. (b) Beräkna integralen. 4 4 x 2 dx. x 3 (x 1) 2. f(x) = 3. Lös begynnelsevärdesproblemet (5p)

1. (a) Beräkna gränsvärdet (2p) e x + ln(1 x) 1 lim. (b) Beräkna integralen. 4 4 x 2 dx. x 3 (x 1) 2. f(x) = 3. Lös begynnelsevärdesproblemet (5p) Högskolan i Halmstad Tentamensskrivning ITE/MPE-lab MA2 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Fredagen den 3 januari 27 35-6722 Skrivtid: 5.-2. Inga hjälpmedel. Fyll i omslaget fullständigt och skriv namn

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Föreläsning 5 Institutionen för matematik KTH 5 september 2017 Hur mycket behöver man jobba? Vi har ett gemensamt ansvar: Jag visar vad som behöver göras Men det är ni som måste göra det Viktigt faktum:

Läs mer

En vanlig uppgift är att bestämma max resp min för en trigonometrisk funktion och de x- värden för vilka dessa antas.

En vanlig uppgift är att bestämma max resp min för en trigonometrisk funktion och de x- värden för vilka dessa antas. Max och min för trigonometriska funktioner En vanlig uppgift är att bestämma max resp min för en trigonometrisk funktion och de x- värden för vilka dessa antas. Ta t.ex y = 12 sin(3x-90) När man ska studera

Läs mer

En uppgift eller text markerad med * betyder att uppgiften kan uppfattas som lite svårare. ** ännu svårare.

En uppgift eller text markerad med * betyder att uppgiften kan uppfattas som lite svårare. ** ännu svårare. Matematik b, repetition Kan du det här? Primitiva funktioner och integraler o o o Vad menas med primitiv funktion? Kan du hitta en primitiv funktion? Vad menas med en integral? Kan du beräkna en integral?

Läs mer

Preliminärt lösningsförslag till del I, v1.0

Preliminärt lösningsförslag till del I, v1.0 Preinärt lösningsförslag till del I, v1. Högskolan i Skövde SK) Tentamen i matematik Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 215-8-18 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel

Läs mer

x sin(x 2 )dx I 1 = x arctan xdx I 2 = x (x + 1)(x 2 2x + 1) dx

x sin(x 2 )dx I 1 = x arctan xdx I 2 = x (x + 1)(x 2 2x + 1) dx TM-Matematik Mikael Forsberg XXX-XXX DistansAnalys Envariabelanalys Distans ma034a ot-nummer 3 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

Lösning till kontrollskrivning 1A

Lösning till kontrollskrivning 1A KTH Matematik Olle Stormark Lösning till kontrollskrivning 1A i SF1626 Flervariabelanalys för E, vt 28. Varje uppgift ger maximalt 3 poäng. För godkänt krävs minst 5 poäng sammanlagt. 1. Funktionen f(x,

Läs mer

Meningslöst nonsens. December 14, 2014

Meningslöst nonsens. December 14, 2014 December 4, 204 Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Röd: Det är ett

Läs mer

Kinetik. Föreläsning 1

Kinetik. Föreläsning 1 Kinetik Föreläsning 1 Varför kunna kinetik? För att till exempel kunna besvara: Hur lång tid tar reaktionen till viss omsättningsgrad eller hur mycket produkt bildas på viss tid? Hur ser reaktionens temperaturberoende

Läs mer

MA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 12 januari 2016 Skrivtid:

MA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 12 januari 2016 Skrivtid: Högskolan i Halmstad Tentamensskrivning ITE/MPE-lab MA Envariabelanalys 6 p Mikael Hindgren Tisdagen den januari 6 Skrivtid: 9.-3. Inga jälpmedel. Fyll i omslaget fullständigt oc skriv namn på varje papper.

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F. Tentamen fredag 25 maj 27, 8.-3. Förslag till lösningar (ändrat 28/5-7, 29/5-7).

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Föreläsning 7 Institutionen för matematik KTH 12 september 2016 Injektiva funktioner En funktion är en regel som till varje tal i definitionsmängden ordnar ett bestämt tal i värdemängden. Injektiva funktioner

Läs mer

Endast kommenterade svar!!! OBS: Inte alla delsteg är redovisade!

Endast kommenterade svar!!! OBS: Inte alla delsteg är redovisade! MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Examinator: Annemarie Luger Lösningsförslag Anals, problemlösning, 7.5 hp Matematik I den 5 februari 4 Endast kommenterade svar!!! OBS: Inte

Läs mer

Matematik D (MA1204)

Matematik D (MA1204) Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som

Läs mer

Tentamen i TATA43 Flervariabelanalys

Tentamen i TATA43 Flervariabelanalys Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i TATA4 Flervariabelanalys 5--7 kl 8 Inga hjälpmedel tillåtna inte heller miniräknare 8//6 poäng med minst /4/5 uppgifter

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm

Läs mer

MMA127 Differential och integralkalkyl II

MMA127 Differential och integralkalkyl II Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA17 Differential och integralkalkyl II Tentamen Lösningsförslag 9..19 8. 11. Hjälpmedel: Endast skrivmaterial (gradskiva tillåten).

Läs mer

Envariabelanalys: Vera Koponen. Envariabelanalys, vt Uppsala Universitet. Vera Koponen Föreläsning 5-6

Envariabelanalys: Vera Koponen. Envariabelanalys, vt Uppsala Universitet. Vera Koponen Föreläsning 5-6 Envariabelanalys: Föreläsning 5-6 Vera Koponen Uppsala Universitet Envariabelanalys, vt 2011 Derivata: allmänt Antag att f (x) är en funktion. Derivata: allmänt Antag att f (x) är en funktion. Derivatan

Läs mer

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag v1.1 Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 1-8-8 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18. Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.

Läs mer

KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633.

KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633. KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633. Måndagen den 17 oktober 11, kl 8-13. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar

Läs mer

Kinetik, Föreläsning 1. Patrik Lundström

Kinetik, Föreläsning 1. Patrik Lundström Kinetik, Föreläsning 1 Patrik Lundström Varför kinetik inom kemin? Hur lång tid som behövs för att bilda viss mängd produkt Hur en reaktion beror av temperatur Hur katalys påverkar reaktion och reaktionshastighet

Läs mer

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar 1 Tisdag v 2 Speglingar, translationer och skalningar Ofta i matematik och i matematiska kurser är det så att man måste kunna några grundläggande exempel utantill och man måste kunna några regler som säger

Läs mer

f(x) = x 2 g(x) = x3 100 h(x) = x 4 x x 2 x 3 100

f(x) = x 2 g(x) = x3 100 h(x) = x 4 x x 2 x 3 100 8 Skissa grafer 8.1 Dagens Teori När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera.

Läs mer

Uppgift Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal.

Uppgift Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. NpMa3c ht 01 Del B Del C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-16. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser

Läs mer

20 Gamla tentamensuppgifter

20 Gamla tentamensuppgifter 20 Gamla tentamensuppgifter 20.1 Lätta avdelningen Övning 20.1 Beräkna f 0 ( 3) för f(x) = 3x2 2x + 1 med jälp av derivatans definition. Lösning: Här är det allmänna uttrycket för derivatans definition

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt. 1. Beräkna integralen medelpunkt i origo. SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 218-3-14 D DEL A (x + x 2 + y 2 ) dx dy där D är en cirkelskiva med radie a och Lösningsförslag.

Läs mer

Kontrollskrivning 1A

Kontrollskrivning 1A Kontrollskrivning 1A i 5B1147 Flervariabelanalys för E, vt 2007. 1. Låt g(t) vara en deriverbar envariabelsfunktion. Visa att tvåvariabelsfunktionen f(x, y) = g(2x y 2 ) satisfierar den partiella differentialekvationen

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015 Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 2 augusti 215 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

Kap Inversfunktion, arcusfunktioner.

Kap Inversfunktion, arcusfunktioner. Kap 3. 3.5. Inversfunktion, arcusfunktioner. 30. (A) Förenkla uttrycken så långt som möjligt a. ln 8 ln + ln 8 ln + ln b. ln 3 log 0 3 log 0 e + 3 ln 3 log 3 e 30. (A) Lös ekvationerna a. e x = e x b.

Läs mer

Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633 Differentialekvationer I. Tisdagen den 7 januari 2014, kl

Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633 Differentialekvationer I. Tisdagen den 7 januari 2014, kl Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633 Differentialekvationer I Tisdagen den 7 januari 14, kl 8-13 Del 1 Modul 1 Befolkningen i en liten stad växer med en hastighet som är proportionell mot befolkningsmängden

Läs mer

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för

Läs mer

D 1 u(x, y) = e x (1 + x + y 2 ), D 2 u(x, y) = 2ye x + 1, (x, y) R 2.

D 1 u(x, y) = e x (1 + x + y 2 ), D 2 u(x, y) = 2ye x + 1, (x, y) R 2. Differentialekvationer I Modellsvar till räkneövning 4 De frivilliga uppgifterna U1 och U2 påminner om nyttiga kunskaper, och räknas inte för extrapoäng (fråga vid behov). U1. Sök en potentialfunktion

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER

Läs mer

SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder Lösningsförslag till tentamen 015-01-1 DEL A 1. Låt f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)

Läs mer

10.1 Linjära första ordningens differentialekvationer

10.1 Linjära första ordningens differentialekvationer 10.1 Linjära första ordningens differentialekvationer Här ska vi studera linjära första ordningens differentialekvationer som kan skrivas y (x) + g(x)y(x) = h(x) Om g(x) har en primitiv funktion G(x) så

Läs mer

Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor

Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor Areaberäkningar En av huvudtillämpningar av integraler är areaberäkning. Nedan följer ett

Läs mer

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren).

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). Derivata Sekant oc tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). I figuren ovan finns även en tangent inritad. Som nästa ska vi titta på

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2012-10-17 DEL A 1. Visa att ekvationen x 3 12x + 1 = 0 har tre lösningar i intervallet 4 x 4. Motivera ordentligt! (4 p) Lösningsförslag. Vi skall

Läs mer

15. Ordinära differentialekvationer

15. Ordinära differentialekvationer 153 15. Orinära ifferentialekvationer 15.1. Inlening Differentialekvationer är en gren inom matematiken som beskriver en värl vi lever i bäst. Såana ekvationer kan beskriva matematiska moeller för många

Läs mer

(y 2 xy) dx + x 2 dy = 0 y(e) = e. = 2x + y y = 2x + 3y 2e 3t, = (x 2)(y 1) y = xy 4. = x 5 y 3 y = 2x y 3.

(y 2 xy) dx + x 2 dy = 0 y(e) = e. = 2x + y y = 2x + 3y 2e 3t, = (x 2)(y 1) y = xy 4. = x 5 y 3 y = 2x y 3. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel. 018-471 2 89 Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, 2 poäng 2005-01-10 Skrivtid: 8.00 1.00. Hjälpmedel:

Läs mer

Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A

Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 7 DEL A. En kulles höjd ges av z 6,x,y där enheten är meter på alla tre koordinataxlar. (a) I vilken

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd

Läs mer

Introduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR

Introduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Höstterminen 006 Introduktionskurs i matematik för civilingenjörsprogrammet F Tentamen på Introduktionskursen i matematik äger rum lördagen den 6 september

Läs mer

(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna

(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik ES, W Flervariabelanalys 8 1 1 Skrivtid: 9-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Varje

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016 SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23

Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23 Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande

Läs mer

KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF1637.

KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF1637. KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF637. Måndagen den 7 oktober, kl 8-3. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att

Läs mer

ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A3/B kl HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.

ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A3/B kl HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A/B 5 6 5 kl 8 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.. a) Bestäm Maclaurinpolynomet

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-8- EL A 1. Betrakta funktionen f som är definierad i området där x + y genom f(x, y, z) x z x + y. (a) Beräkna gradienten f(x, y, z). (1 p) (b)

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man

Läs mer

a3 bc 5 a 5 b 7 c 3 3 a2 b 4 c 4. Förklara vad ekvationen (2y + 3x) = 16(x + 1)(x 1) beskriver, och skissa grafen.

a3 bc 5 a 5 b 7 c 3 3 a2 b 4 c 4. Förklara vad ekvationen (2y + 3x) = 16(x + 1)(x 1) beskriver, och skissa grafen. MMA Matematisk grundkurs TEN Datum: 4 juni Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen TEN består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive

Läs mer

Upphämtningskurs i matematik

Upphämtningskurs i matematik Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna

Läs mer