Trekropparsproblemet Himmelsk mekanik

Transkript

1 Tkoppspoblm Hmmlsk mknk Dvd Bg, nds Gös och hs Kvck Födupnngsb mknk KTH mknk Hndld: Hnno Essén 6

2 Smmnfnng Tll skllnd fån våkoppspoblm h koppspoblm ngn llmän lösnng. Fö fnn lösnng ll poblm mås någ fönklng gös. I d dokumn hälds nl sådn lösnng. Nwons gvonslg h so bdls nä mn sud kopps öls umm, dnn ld: V kopp v bdls unvsum h v nnn kopp md n kf som ä popoonll mo podukn v koppns msso och omvän popoonll mo vsånd kvd. D ä ävn vkg h kl fö sg ll sfäsk kopp kn bks som punkmsso. Cnlkf ä v so vk nom mknkn, bl.. ö sg plnn und nvkn v n cnlkf sn bn un soln. Om n mnd kopp md mssn m bfnn sg på lk vsånd fån N- nl sö kopp komm dn sulnd kfvkon på m v kd mo msscnum. Nä N blds n lksdg ngl och nä N blds n d. Fö hög N fnns ngn lösnng dmnson. Gnom nvänd sg v ngbäknng koppspoblm kn mn få fm nvåkuvo dä dn nfnsml mssn h hsghn noll. Dägnom få mn fm Lgngpunkns lägn. En fgu v dss nvåkuvo fnns kpl.. Josph-Lous Lgng vsd d sd någ lösnng på koppspoblm om mn bgänsd d koppn ll ö sg smm pln, sm god ngnd mssn ll n v koppn v så ln dn kund fösumms. Lgngs lösnng gå u på bäkn dn ol ngn ssm och dägnom fm ölskvon. Nä dn lv hsghn sdn säs ll noll fås lägn fö d fm Lgngpunkn, vädn fö dss lägn fö od solssm fnns kpl sul. Fö undsök om dss punk ä sbl nsä mn n ln sönng, lnäs ölskvonn sm undsök gnvädns kkä.

3 Föod Kusn 5C ä n födupnngskus nom mknk och ä oblgosk fö d sudn som vl mknk som födupnng. Dn gs åskus och bså v sö pokb som födup sg nom mknkn. D hä pok h gnomfös v sudn som ll ä fscnd v mknk, län om kf och ds vkn mlln fsklsk obk. V som h gå dnn kus ä Dvd Bg, nds Gös och hs Kvck. Tck ll vån hndld Hnno Essén som hälp oss gnomfö d pok.

4 Innhåll Inldnng... Poblmfomulng... Gnomfönd.... Nwons Gvonslg.... Sfäsk mssfödlnng.... Cnlkfn fån N sckn kopp...6. Engn d ond ssm och nvåkuvon Nvåkuvo....5 Hll s Sph och Kpls : lg Posonn fö punkn L, L, L lv näms hmlkopp....6 Lgng Lgng s lösnng på koppspoblm....8 Sblnls v d punkn L, L, L Bskvnng v punkn L, L och L.... Sblsnls v L och L Rsul...9. Sfäsk kopp...9. Cnlkf...9. Engn d ond ssm...9. Nvåkuvon....5 Poson fö Lgngpunkn....6 Sblsnls... 5 Dskusson... 6 Sluss... Rfns... Lups... Blgo...5 lb kod...5 pl kod...6

5 Inldnng Nä kopp bfnn sg umm och nds ö sg und påvkn v ds gmnsmm gvon, s Fgu, bld d pln ssm kompl mknsk poblm. D poblm kn n löss nlsk då kvonn vs sg v olösb. En suon uppså dä mn mås bäkn ll ngdkfs välvkn mlln v kopp vd v punk längs dss bn. Dnn komplkon uppså fö poblm n ä ngb, d h n fl ölskonsn än ngn, ölsmängdn sm ölsmängdsmomn. Nä mn ngp poblm un fönklng klls fågsällnngn fö d fullsändg koppspoblm. D fullsändg koppspoblm ä kosk och blnd nn hänsn ll d fkum hmlkopp ö sg llpsk bno. D b bhndl d fönkld koppspoblm dä vå kopp ns ö sg cklfomd bno kng s gmnsmm msscnum. En d kopp md obfnlg mss ö sg smm pln und nvkn v d vå sö koppns ngdkf. Fgu. T kopp pln ssm

6 Poblmfomulng Då koppspoblm n h någon llmän lösnng sk pokguppn undsök någ spcfk och fönkld lösnng. Dss sk hälds och olks sm psns pdgogsk n knsk ppo. Pokguppn sk också llämp kunskp och fädgh fån dg gnomgångn kus fmföll mknk. Gundläggnd cls fnomn såsom gvons- och cnlkf skll också hälds. Guppn sk munlg psn s b på pofssonll sä.

7 Gnomfönd. Nwons Gvonslg Fö föså hu hmlkopp ö sg ä d vkg bhäsk Nwons gvonslg. d dnn fomulng kund Nwon bskv hu kopp unvsum välvk md vnd. d hälp v dnn lg ä d mölg bskv plns öls. Nwon publcd lgn om gvon å 687 hns bömd skf Phlosoph Nuls Pncp hmc dä hn bl.. skv: V kopp v bdls unvsum h v nnn kopp md n kf som ä popoonll mo podukn v koppns msso och omvän popoonll mo vsånd kvd. I kvonsfom bl d: F g G.. Fgu. Två sfäsk kopp md msson och sson och Fgu bfnn sg på vsånd fån vnd, d s fån cnum båd msson. känn v kfn Fg och mssn kfn F g. G ä gvonskonsnn som ä lk md G 6,67 m / s kg. Gvonskfn vk längs n ln mlln mssons cnum och ugö då kfps vkn och movkn. Ävn om koppn h olk msso så h d vå kfn lk numsk solk. Ekvon.. säg ng om dn på och, un nä koppn ä sfäsk bhndls poblm som om ll mss ä koncnd koppns cnum. I d dokumn komm ll kopp bks som punkmsso, hu ä d mölg? Näs kpl g sv på dn fågn. Young och Fdmn Unvs Phscs wh odn Phscs uppl. Pson Educon

8 . Sfäsk mssfödlnng Hämd dovss vfö sådn ngnd ä kg. Fgu bså v un klo md dn R och cnum ogo. Två cklskvo h plcs klo dä vnkln mlln dm ä d θ. En mss m ä plcd på vsånd fån ogo. dθ R θ Rsnθ m Fgu. Klo md dn R Dn ponll ngn hos mssn m på vsånd fån n punkmss ogo gvonsfäl ä: G V m dä.. Vd bäkns dn ponll ngn dä dn ol mssn bfnn sg homogn sfäsk skl. d vbl fån fgun fås dn ol mssn ä πr σ, dä σ ä mss p nh. n s ävn n på ngn bl: d πr snθ R dθ, dä d θ ä ocklkn och R dn. ssn m:s ponll ng på vsånd ll skl bl då: Gσ d Gσ π R snθ R dθ dv m m ' ' Om uck.. ngs öv hl n fås dn ol ponll ngn:.. V m π Gσ πr snθ R ' dθ..

9 ' skvs om md cosnusssn ' R R cosθ. Ekvon.. bl: V G m π snθ dθ R R cosθ.. Dn pmv funkonn ll ngndn.. ä: R R cosθ R G V m R R [ R ]..5 Bond på väd på vbln..5 blds vå fll: G m, > R V G m, R R..6 v d vå flln ovn fmgå d dn ponll ngn ä konsn då R. I fll nä > R bl sul dnsmm som om mssn låg cnum. Gnom ng öv unn skl fås ponln fö hl klo. Fågn om d ä mölg bk koppn som punkmsso ä hämd bsvd. Essén, Hnno 99 Bsc chncs Th Scnc nd s pplcons Tknsk Högskollu STHL B THS 5

10 . Cnlkfn fån N sckn kopp I d kpl undsöks om och nä kfn fån N sckn kopp pk k n mo msscnum. R fös upp n fgu bsånd v kopp och vå msscnum. E msscnum fö ll kopp C och mlln m och m C Fgu. T kopp md msscnum C sm msscnum C mlln m och m Gvonskfn p mssnh på m u Fgu ä: G N m och dn ol mssn bl d fll: f.. N Vkon R ä msscnums poson och ckns: m R N m R N m D nu bo fån R och håll vkon som gå fån m ll msscnum C. G R N m.. 6

11 Om R bl vkon..: Om dämo N N m och ogo ä C bl kvon..:.. f G N.. Ekvon.. kn också skvs om ll gvonskfn F : F Gm N..5 d d sonmng s mn om vsånd fån m ll d nd msson ä lk så bl kfn på m kd mo msscnum. D sonmng fung också på N sckn kopp då vsånd ll d övg koppn ä lk och kn skvs: f G dä,... N och,... N, Nä N blds n lksdg ngl och nä N blds n d. Fö hög N fnns ngn lösnng dmnson. Essén, Hnno On h ull ngl soluon o h h-bod poblm. Dpmn of chncs, Rol Insu of Tchnolog 7

12 . Engn d ond ssm och nvåkuvon T nu på n lösnng dä vå kopp md ändlg mss bhndls. Dss ckul un vnd och n d kopp md nfnsml mss ö sg ds gvonsfäl. Fgu 5. T kopp md koodn och msscnum C I Fgu 5 h d ändlg msson s msscnum C. Dn n md mssn och dn nd md mssn. Dss lgg sll på -ln och ö sg md konsn vnklhsgh. Dn d koppn md nfnsml mss h koodnn,, z md vsånd och ll spkv kopp. Då ä ngv få mn uck fö och som bl: z z.... Hsghn fö dn nfnsml mssn kn ckns på fölnd sä: v Då d koppn lgg -pln z bl Lgngfunkonn: [ ] L m z G m G m.... D ä n nödvändg skv om kvon.. ll Hmlons funkon H mn d gös ändå fö vs dss lkh. Bö md nfö någ n vbl och föko bo m sm sä nh så och G. L L p, p och, 8

13 9 H C C v, C F [ ] p p p p p p p p p p p p L p H s k k k D fnns n ölsngl som klls Jcobs ngl. Ingln bskv ngn d ond ssm och dfns:..5 Lägg mäk ll båd C och H ä ölskonsn, kvon..5 fönkls nu ll:..6 D skull bhövs lg fm sckn ngl fö n fullsändg lösnng mn dss ä n känd. Fö dn som vll s bvsn och häldnngn ll dn slussn hänvss ll c hmc, vol. XI och vol. XIII. Nä konsnn C ä bsämd kn mn få fm hsghn fö m. Om dn lv hsghn säs ll noll dfn kvon..6 nvåkuvon dä dn nfnsml mssn h hsghn noll. Om kvon..6 ss som n funkon v v så änd v ckn nä on kos vnd. D vss n ufölg hä un nssd kn föslgsvs läs n noducon o clsl mchncs v Fos R oulon. No omloppsbnn n kn bsämms fån kvon..6 un vs v dn nfnsml mssn kn ö sg spkv n kn ö sg. D blds punk på -ln dä kuvon un och ng vnd sm kuvn som omslu d båd msson, s Fgu 6. D fökomm också vå nd punk dä nvåkuvon fösvnn och bld n lksdg ngl md msson. H dss punk någon som hls bdls och vd skull d så fll mdfö? D vs sg punkn sälv vk ä ämvkspunk fö dn nfnsml mssn. På näs sd vss d. Lå kvonn v nvåkuvon dfns som:..7 Dn nfnsml mssn som ll n bön ä vl komm ö sg gdnns knng ll nvåkuvon ufån dn punk som dn bfnn sg. n om dn bfnn sg n sonä punk h mssn ngn nldnng ö sg däfån om dn n påvks v n sö. oulon, Fos 97 n Inoducon o Clsl chncs. uppl. vdd. Dov Publcons, Inc.

14 D sonä punkn ä däfö ämnvkspunk och uppkomm vd sonä vädn på F, som h vllkon: F F F z..8 D sonä punkn uppäd -pln vlk gö z. Ekvon..8 kn då skvs på fölnd sä: F..9 F Ekvon.. ä uppflld om vlk gö..9 få usnd:.... D fnns ll lösnng ll dnn kvon, smlg uppkomm på -ln. D klls Lgngpunkn L, L och L. n vd händ om? Ekvon.. skvs om ll:.. Om.. mulplcs md och och sdn b u och sp u.. fås: Fån kvon.. och.. gs:.... Då och ä lk blds n lksdg ngl föhållnd ll d vå ändlg msson, s Fgu. Dss vå punk klls Lgngpunkn L och L Dnb, John 99 Fundmnls of Clsl chncs. uppl. Wllmnn-Bll, Inc.

15 .. Nvåkuvo Kfn ä som sks nä ponlns konu ä nä vnd och som svgs nä konun ä lång fån vnd, s Fgu 6. Fgu 6. Nvåkuvo och lgngpunkn fån kvon..7 I Fgu 6 s mn L och L 5 s u som opp sm L, L och L ä sdlpunk. D d på sll som plcs hä nglgn komm h n ndns vnd väg fån sn poson. Åkomm om d m ngånd sn n. D fnns nls som bkäf ngnd om sdlpunk vd gäll L, L och L, mn n fö L, L 5. Nä n sll, som plcs vd dss punk bö vnd väg ök dss hsgh och n Coolskf uppså. D ä smm p v kf som vk nä okn uppså på mkn. Dnn kf g slln n sbl bn un Lgngpunkn. Föuom dgnngskfn fån d so koppn påvks llså dn nfnsml mssn, punkn L, L 5, v n cnfuglkf sm n Coolskf. Dock ä så fll Coolskfn ä lk md noll då dn d mssn bfnn sg vl ssm vlk fönkl nlsn.

16 Fgu 7. Övskådnd bld v hu punkn L L nd ö sg und påvkn v små sönng Om fömål usäs fö n ln sönng punkn L, L, L nd fömål fl sg d knng som pln vs, s Fgu 7. nngn ö sg fömål knng n mo punkn, s lus pl Fgu 7, ll bo fån punkn nlg d mök pln Fgu 7. Plns knng kn fökls lv nkl. E fömål som bfnn sg punkn L mlln odn och soln påvks m och m v odn nä vsånd ll dnn pln kmp. nldnngn ä odns dgnngskf ök smdg som solns dgnngskf mnsk. På smm sä hs fömål dso m v soln u näm soln dn bfnn sg. Som dg nämn ä punkn us d lägn dä dgnngskfn fån d vå koppn u vnd. Fömål kn lkns vd n boll posond högs upp på n kull. Nä bolln få n ln knuff, någon knng, ull dn n. Dnn llgo fökl d mök pln Fgu 7. Smm sk gäll fö L, L dä skllndn nds ä fömål påvks v båd solns och odns dgnngskf smm knng, nngn m ll mnd. D lus pln fökls m ngånd vsn sblsnls.

17 .5 Hll s Sph och Kpls : lg Fgu 8. Punkn på smmnbndnngslnn mlln och Fån Fgu 8 kn någ nkl smbnd nos:.5. Posonn fö punkn L, L, L lv näms hmlkopp Kpls d lg, modfd v Nwon, ld: T G π.5., dä T ä plnns omloppsd Nä d ö sg om so msso kn kvon.5. skvs om fsom väd π och dn llmänn gvonskonsnn G h n påvkn som ä fösumb: T Fån dnn kvon kn Kpls : lg ognlfom hålls : T

18 T T T Påmnn hä om bäknngn gund sg på koppns omloppsbno ns v ckulä. I kommnd bäknng ä: G llmänn gvonskonsnn odns vsånd fån soln R vsånd mlln punkn L och odn solns mss odns mss m mdfkosns mss v odn oonshsgh un soln v f mdfkosns oonshsgh un odn T omloppsdn fö odn kng soln T f omloppsdn fö mdfkosn un soln Fgu 9. Läg fö punkn L lv vå kopp vs mssföhållnd ä so Gnom nvänd nläd kunskp om gvons- och cnfuglkf kn fölnd uck nos: G v Gnom mulplc båd sdo md / fås fölnd uck: G v.5.

19 Un nu d nkl smbnd säckn ä lk md hsghn mulplc md dn. Då koppn ö sg ckulä bno ä säckn fö vv lk md π. D g : vt π Dvd nu båd sdo md T och kvd sdn: v T π.5. nvänd nu kvon.5. och sä n uck fö v kvon.5.: Dvd md båd sdo: G π T G π T.5. Om båd sdo mulplcs md T hålls dn dg nämnd Kpls d lg. Skllndn mlln dnn lg och kvon.5. ä dn Kpl nog n v msson ä så mck sö än dn nd ds ol mss bl ungfä lk md dn ng v msson. D ngnd fung d bskvn ssm. Plc nu n mdfkos punkn L md mssn m. Dnn mss bfnn sg llså på vsånd R fån odn och -R fån soln, s Fgu 9. Fkosn påvks v solns ngdkf n knngn och fån odns ngdkf dn nd. Kfn F som d mdfkosn mo soln ducs gnom påvkn v odns dgnngskf mos knng nlg: F G Gm G R R n ävn mdfkosn ks ckulä kng soln md dn -R och md n hsgh v f. Cnfuglkfn mås blns dgnngskfn, nns bl konn n llfösl ll cnplkfn: m G m m mv f R R R Båd sdo mulplcs md R/m, vlk g: G G R R R v f.5.5 5

20 Omloppsdn T f fö mdfkosn ssf då nlg dg: v f T f π R Dvd nu båd sdo md T f och kvd, v f π Sä n kvon.5.5 kvon.5.6: R T f.5.6 G R Dvd md R på båd sdo: G R π R R T f G G π T f R R R.5.7 Hä känn mn gn dn dg dfnd Kpls : lg. Skllndn hä ä odns movknd dgnngskf s md bäknngn. Fö fosä sonmng mås ngnd nu gös. Fö odns dgnngskf lld sk påvk mdfkosn md n kf som movk dgnngskfn fån soln mås fölnd gäll: T f T.5.8 D ä b nä d gäll som mdfkosns öls mch odns öls och läg lv vnd föbl konsn. D näff gnll s fö nds väd på R, llså bsäm vsånd mlln mdfkosn och odn. D ä nu R som söks. Om kvon.5.8 gäll bl d vå uckn.5.7 och.5. lk. D g n n kvon u vlkn R kn hålls: G G R R R G.5.9 Lå oss nu dvd båd sdo md G. G fösvnn uck och mssons föhållnd skvs om ll fö fönkl kommnd uck: Ekvonn.5.9 md.5. skvs nu:.5. R R R 6

21 ulplc båd sdon md : R R R Dl nu båd äln och nämnn v båk md, vlk ä smm sk som mulplc v båk md / //. D ufönd änd ng ll hög om lkhsckn. Sä ävn R/ z: z z z.5. Sök nu z då dnn llså ä uck fö längdföhållnd mlln vsånd fån mdfkosn ll odn och vsånd fån odn ll soln. Dock ä dnn kvon ä komplcd. Fö undlä bäknngn, då n k lösnng knsk n ns s, ppoms lösnngn. d l mmsk knp gå d få fm : z z och, z z z z Gnom b u dss ppomon kvon.5. fås fölnd: ulplc båd sdo md z : z z z z z z z z.5. Båd sdo ä nu lk små. Dn hög sdn ä nds små ändd gnom z dds. Dnn m kn s bo. Skllndn mlln z och ä s ln. z z z Sä llbk d vädn som z och nnhåll. R ä känd som dn Hll Sph: R 7

22 I ssm dä msson ä känd, mplvs od - solssm, kn vsånd ll L bsämms dä 95. R. 95 llså ä vsånd fån odn ll L ungfä. ämfö md odns vsånd ll soln. Ef ck pocn v dn ol säckn fnn mn punkn L längs smmnbndnngslnn. Då bäknngn gos md vss ppomon ä d nu mölg bäkn n m k lösnng gnom gå llbk och sopp n väd på z kvon.5.. Dock fnn mn dnn on g väldg ln skllnd då väd på z ä l. Häldnngn fö fnn vsånd ll L sk på lknnd sä och sul vs vsånd ä ungfä lk lång fån odn, fs på mos sd. I fll L nnhåll kvonn R säll fö -R och kvonn fö F dds mn säll fö subhs. nldnngn fö d ä nu påvk odns och solns ngdkf smm knng..6 Lgng Josph-Lous Lgng vsd d sd någ lösnng på koppspoblm om mn bgänsd d koppn ll ö sg smm pln, sm god ngnd mssn ll n v koppn v så ln dn kund fösumms. Lgng lös d gnom lå d koppn ö sg unson, dä d nböds lld bhåll smm poson lv vnd. Om mn änk sg våkoppsssm, mplvs odn - soln, så ä d punk dä dnn d kopp, md lv ln mss, kn änks poson sg känd som Lgngpunk. Lgngpunkn psn punk mdn dä n pkl un öls skull snn ll oändlgh. D ä punk dä ll s dsdvo ä noll, d vll säg z z. Punkn fnn Lgng nähn v vå kopps omloppsbno, dä dn d mnd mssn kn o md bsäm vsånd fån d sö msson. ngånd mk Lgngpunkn olk poson vd vlk gvonskfn fån d vå sö msson ä dnsk md dn cnplkf som kävs fö o md dm. D vå mssons gvonskf llså u vnd. dss punk komm klls Lgng ä n hllnng ll hns uppäck och hn vsd d s fm sckn sådn punk s Fgu. 8

23 Fgu. Lgngpunkn L, L, L, L, L 5 fönkl od solssm v d fm Lgngpunkn fnns d nsbl och vå sbl. D osbl Lgngpunkn L, L, L ä blägn på lnn som smmnbnd d vå so msson, s Fgu. D sbl punkn L och L 5 ä opp på vå sckn lksdg ngl som blds llsmmns md d vå so msson som hön, s Fgu. 9

24 .7 Lgng s lösnng på koppspoblm T kopp bfnn sg umm, dä m h obfnlg mss föhållnd ll och. Infö vå koodnssm md ogo msscnum fö och. D n koodnssm S ä f och d nd S o kng z - ln md vnklhsghn. D mdfö d n koodnssm S lgg och vl, mdn msson d nd ssm S o kng ogo nlg Fgu. Infö koodn fö d msson:,, m ', ϕ',, ϕ.7. Fgu. T kopp ond fnsssm lv d f ssm S Efsom S o kng z ln kn mn uck koodnn fö m d olk koodnssmn vnd. ' ' ϕ ϕ' ϕ ϕ'.7. Dn knsk ngn fö mssn m, d f ssm S, kn då skvs som: E' [ ϕ ] m[ ϕ ϕ ] k, m m ' ' ϕ' m D knsk ngn fö msson och bl:.7.

25 { } [ ], ' m m m E m k,, ' E k cos sn sn cos sn cos ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ [ ] ' m E k ' m G G m G E p [ ] ' ' m G m G G m E E L p k v v L L d d [ ] [ ] / / G G ± ±.7. Infönd v kssk koodn fö m gö mn kn få dn ol knsk ngn: g dn knsk ngn fö mssn m uck kssk koodn:.7.6 Ekvon.7. och.7.6 g llsmmns dn ol knsk ngn..7.7 Dn ol ponll ngn mlln d koppn fås som:.7.8 Lgng - funkonn bl då.7.9 Lgng kvon:.7. Ekvon.7.9 pplc på.7.8 g md vsnd på och :.7.

26 [ ] [ ] G G / / ± ± G G ± ± ± ±.7. I kvon.7. och.7. bo cknn högld på v m lgg föhållnd ll och. Föhållnd mlln msso och bnd fås gnom Kpls : lg:.7. Ekvon.7. ns.7. och.7. g fölnd ölskvon, dä och h hä äkns u md hälp v Pgos ss, s Fgu. Bk nds sonä lösnng ll d poblm vlk nnbä ävn m o md smm vnklhsgh som d nd msson kng ogo. ll msson komm llså bfnn sg vl d ond koodnssm S. D g bvllkon: ns.7.och.7.5 g kvonn fö d olk flln:

27 L L L L L 5 Fgu. D lksdg ngln som blds md smmln Lgngpunkn sk suds, dss åskådlggös Fgu. Undsök fös punkn L, L och L. I dss punk ä och kvonn.7. och.7. ä då vl uppflld. Uvcklng v kvon.7.7 g n fmgdskvon. Phgos ss och gomsmbnd g:.7. { } { } Ekvonn.7.,.7. och.7. ns.7.7 g fmgdskvonn: [ ].7.5 På smm sä gs d övg fmgdskvonn: [ ] [ ] D ll lösnngn ll dss kvon g läg fö d lgngpunkn L, L och L, Bäknng fö dss od solssm fnns blg. 6 H som sg sud suonn då, om säll fås u kvon.7. smbnd: 6 Ponl Obs bou h Lgngn Pons hp://ocw.m.du/nr/donls/onucs-nd-sonucs/6-85fll/5befe-ee6-bff- 95BD-6BCFDF67B//ps_nn_soluon.pdf Dokumn skp..7.6

28 { }.7.7 ± G L, : L, : 5 Ekvon.7. ns.7.6 g:.7.7 Uvcklng v kvon.7.7 md kvonn.7.,.7. och.7. g: Insänng v g föhållnd:.7. llså få mn. U d kn mn d slussn koppn bld n lksdg ngl. Om Pgos ss ågn uns få mn fm -koodnn:.7. -koodnn fås nä. D säs n kvon.7.:.7. Smmnfnngsvs bl koodnn fö L och L 5 : Bäknng fö L och L 5 od solssm fnns blg. 7 7 Hddmou, John D., Chsds, Th., 975, Fmls of podc obs n h pln h-bod poblm, Clsl chncs nd Dnmcl sonom, Volum, Issu, Pgs

29 .8 Sblnls v d punkn L, L, L Fgu. T kopp och dss lägn I Fgu ovn ä posonn us md vko. Bcknngn sk n föväls md säckon, md smm vbl, kommnd. Vll nu sud sbln hos d punkn L, L, L und små sönng. nsä lösnngn:.8. Hä ä n lösnng ll kvon.7.5 och dämd ämvksläg. Efsom vd ämvksläg s ng nssn då ävn dnn ä noll. nldnngn fnns md nssn ä und små sönng kn gvvs fömål plc dss punk ävn ubbs -ld. Vd ä l l och, funkon v dn. Dnn nss g gnom un Pgos ss kvon.7. och.7.: [ ] [ ] [ ].8. Dn ss mn uck nnhåll l. Efsom dn ä l skvs n u fosänngn då kvdn gö d fösumb. Fosä fönkl uck:

30 6... { T nu på mosvnd sä fm, d g:.8. nldnngn och bäkns ä dss uck s kvon.7. Insänng v dss uck Lgng kvonn.7. g llsmmns md nssn, kvon.8.:.8.5 Hä h fmgdskvonn.7.5 uns ss ld. Sä nu n kvonn.8.,.8. Lgng kvonn.7.5 på smm sä som ovn:.8.6 Dv nu kvon.7.7 md vsnd på : 5 5 d d d d

31 7,...,,, Sä n,, vlk ä lösnng ll fmgdskvonn.,, och ä koodnn fö punkn,, L L L längs smmnbndnngslnn mlln d vå msson,..8.7 Säs sdn.8.7 n kvon.8.5 hålls:.8.8 Vd bl.8.7 ns kvon.8.6:.8.9 Fö kunn skv ovnsånd kvon på msfom nsäs lösnng:.8. Dv nu nssn.8. vå gång: nvänd uckn fö,,, kvonn.8.8 och.8.9: B nu u u båd kvonn och dvd d hög och väns ld md dnn ponnlfunkon: D ufönd gö d mölg skv dss kvon på msfom:

32 8, W I I d 9 Hä ä I nhsmsn och I, W ms. Kolonnvkon bckns. Ds nnhåll bl fölnd:,,, W I I Ekvonn.8. och.8. få då fölnd fom: W I I D ä gnvädspoblm dä gnvädn kn bäkns gnom lös dn kkässk kvonn. Båd sdo h mulplcs md :.8.5 d ns vädn bl uck: d Vlk fönkl bl:.8.6 nvänd dn mmsk llämpnngn dukon v odnng fö håll dn sök. nsä däfö: k k Uck bl nu: 9 k k Lös nu ndgdskvonn: ± ± k k

33 B nu u 6 und ockn: [ ] k ± 7 vslunngsvs bs u och k säs llbk ll. 8 D g: [ ± 7].8.7 Vll d på huuvd nssn.8. ök ll gå mo noll. Ök dn nd fömål plc punkn dv bo fån ämvksläg. Å vlk håll bo då på vfån fömål ngps, d vll säg om d uppkomm plus- ll mnusckn fmfö. Gå dn dämo mo noll nd fömål åk llbk n mo ämvksläg. Lös u v väd på u kvon.8.7 fö sdn kunn sä n nssn.8., dä och ss md nss.8.: B u - u ockn: S dlg.8.8, ä kompl konug ll,. D ä llså spglbld v vnd d kompl lpln. T däfö nds näm på d gnvädn som klls,. Uck und d so ockn omvndls fån fomn b ll polä koodn nlg fölnd: z b cosθ snθ b z 7 7 cosθ snθ 8 Bngsson, Hns-Uno 995, Bngsson om klsssk fsk, Glups Ubldnng b. 9

34 7cosθ snθ 7cosθ sn θ.8.9 T näm på nssn.8. md nssn.8. llämpd och sä n vädn fö och dnn. Ef vss fönklng bl: ± 9 cosθ snθ.8. ± 9 cosθ snθ.8. Om och s md bäknngn s mn d ävn sk v ± - ckn fmfö snθ. Dss uck ä kompl fö ll vädn på gumnθ uom då θ ä ll π sn,π. Dss vnklθ g d posv väd ll d ngv väd - fö cos θ. d fnns nävo v posv lösnng d på punkn L, L, L ä nsbl ämvkspunk. Dss nsbl ämvkspunk vs sg v sdlpunk då d ll dln båd ä posv och ngv. Efsom kvonn.8. och.8. kn v svåövskådlg då d nnf ockn öv d kompl l sm nblndnng v vbln θ ngps poblm md nn llväggångssä. T llbk på kvon.8.8 och bäkn nu uckn und ocknn på fölnd sä: ± 7 b ± 7 b b b b.8. b 7 b 7 Fö Fö,,.8. ± 7 b

35 Sä nu n väd fö kvon.8.: 7 ± b 7 b b b b b 7 nvänd som dg dukon v odnng dä h säs ll b : 7 h h h ± h ± 8 7 D väd mås v posv då d ä kvdn v b. b h 8 b 8 Kn nu lös u u kvon.8.. Få då : ±.7... b ± ± 7 ± Kll dss vädn fosänngn fö spkv b fö nklhns skull. Vä påmnn om ä fö gnvädn, ä och b nngn posv smdg ll ngv smdg. Fö, gäll om dn ll dln ä posv så ä dn mgnä dln ngv och väom. I nn fll skull d n uppfll kvon.8.. H nu :,, b b, b b,

36 b b b b S hä dss kn ducs ll vå gnvädn gn då d bl lk. Gö smm sk fö, : b b b b,,,, Ävn hä bl d duc ll vå gnvädn och llså ol f, vlk gnlgn v kän mn hämd vsds. Sä n,,, nssn.8.: b b b b b b b b b b sn cos : sn cos : b b b b b b b b b b sn cos : sn cos : Hä knsk d dlg fmgå hu d s u. Fö gnvädn, gå ponnlfunkonn mo noll då ök och fö gnvädn, skåds n vänd ponnlfunkon md öknd. Påmnn om och b ä känd och dn dg dfnonn v θ fö få ll dl nu gäll fö b.

37 D säg vnkln sk v noll b vnkln och fömåln punkn få n sö -ld. Nä fömål få n sö -ld hndl d om n posv ponnlfunkon och n ngv vgnd ponnlfunkon. D säg oss llså d ä nsbl -ld. Vfö h fökls dg n och h gö md hu plnns ngdkf påvk fömål längs smmnbndnngslnn. ± ± π I -ld dämo bl uck fö cosnus noll fsom b ±. Uck fö snus bl då spkv - och uckn ä då n mgnä, vlk d på sbl. Fömål vll llbk mo ämvkspunkn då dn usäs fö n sö -ld. ± ± I ll nd fll fökomm båd n ll dl och n mgnä dl. Hu d påvk fömål kn ss konuplonngn Fgu Bskvnng v punkn L, L och L Ävn om Lgng ldg odd d v mölg männskn n gång skull bgg mdfkos md mål pk vd dss punk så ä d dg vklgh. SOHO ksd un soln nä L, vlk ä n pfk punk fö n fkos som sud soln. nldnngn ä vd dnn poson bfnn sg fkosn ldg odns skugg smdg som dn lld h b läg ll odn fö sänd öv smld d. Tvä ä L nds dlvs sbl s sblsnls vlk mdfö fömål som plcs dä h n ndns bg sg fån sn poson. I Punkn L, d ssm, ä mdfkosn WSP Wlknson cowv nsoop Pob plcd. L och L ä nsbl n dsskl på ungfä dg, vlk fod mdfkos som plcs hä glbund mås gnomgå kuskogng. NS komm olgvs n h någon nvändnng fö punkn L då dnn bfnn sg bkom soln fö ll dpunk. L : Dnn punk ä n v punk som bfnn sg på dn ln som smmnbnd d vå sö msson,. Vlkn v d punkn som d mpl bckns som L fmgå u Fgu 8. Fö undvk fövng undsks hämd L nns of lldls dn Lgngpunk näms mssn. Empl: E fömål mdfkos som ks kng soln på vsånd bdlg näm än vd odn gö skull vnlg fll h n ko omloppsd än odn. n b om mn gno dn dgnngskf som odn gn. Om fömål, mplvs n mdfkos, bfnn sg mlln odn och soln bd odns dgnngskf ll

38 mnsk dn kf som påvk fkosn näm sg soln. D fölopp sul omloppsdn fö fkosn ök. D gå smmnf d som u näm odn som fkosn bfnn sg dso sö bl odns påvkn på fkosn. Vd punkn L få fkosn n omloppsd k lk md odns. L : Punkn L lgg ävn dn på dn ln som smmnbnd d vå sö msson. n h L bkom, dn mnd v d vå koppn. Empl: I läg på dn bo sdn v odn, s fån soln, bod då n fkoss omloppsd bl sö än odns. n odns påvkn gö fkosns omloppsd mnsk och vd punkn L ä omloppsdn lk md odns. Solkn på koppn lv vgö hu punkn L och L bfnn sg lv. Om ä bdlg mnd än fnn mn L och L n smm vsånd R fån dnn. D vsånd R ä lk md dn på dn så klld Hll Sph: R, dä ä vsånd mlln koppn och. Uck känns ävn gn fån vsn.5.. D vsånd kn bskvs som föhållnd omloppsd, vd ckulä öls, mlln n kopp md dnn d R un, och md dn un som:.7 Empl: Om omloppsdn ä T fö på vsånd fån så ä omloppsdn T dvd md.7 fö n kopp md vsånd R fån. L : Lk L och L h mn punkn L på lnn som smmnbnd msson,. Dss poson ä blägn bkom dn sö mssn s fån. Empl: Om mn ågn bk od solssm fnn mn punkn L bkom soln. D läg åfnns n b läng bo än odns läg lv soln på dn nd sdn. Hä ä d dn gmnsmm dgnngskf fån soln och odn som vng fömål dnn punk o md n omloppsd lk md odns. Gmnsm fö dss punk ä d psn olk poson vd vlk gvonskfn fån d vå sö msson ä dnsk md dn cnplkf som kävs fö o md dm. Smmnfnngsvs kn mn säg punkn L, L, L ä d lägn dä ngdkfn fån d vå koppn och u vnd.

39 5 [ ] ± [ ] ± [ ] ± [ ] ± ± 9 ±. Sblsnls v L och L 5 V nu på punkn L och L 5 och nsä: ± dä ä ämvksläg -ld och ± ä ämvksläg -ld. ä l l och och ä pcs som dg funkon v dn. Då [ ] och kn ckns på fölnd sä:.. På mosvnd sä bl fö :.. Tmn md kn sks då d ä l l. Om och bs u Lngngs kvon mo dn llmänn lösnngn som då mås dvs ckns d lnäsd kvonn.. och..: dä,,

40 6 ± 9 ± ~ W I I d ~ W I I Då och bs u.. mo spkv nss bl uck -ld:..5 På smm sä fs -ld:..6 sn ~ W dfns som: Ekvon..5 och..6 kn skvs på msfom om mn nvänd dg dfnd ms:..7 Dmnnn fö dn kssk kvonn..7 bl:..8 Nä gnvädspoblm löss fås någ olk fll. Om gnvädn ä ll och h smm ckn uppså vå fll, och b. < ld ll lm konvg mo ämvkspunkn. Då d ä uppfll sägs ämvkspunkn v n sbl punk. b > ld ll lm I d fll vä ponnlfunkonn och ämvkspunkn sägs v nsbl. Ylg vå fll kn dk upp: c Då gnvädn ä ll mn h olk ckn så bl ämvkspunkn n sdlpunk. E v gnvädn ä posv vlk gö vå v d f bnon som ssocs md gnumm lämn ämvkspunkn. Sdlpunk ä däfö lld nsbl. ± ± ~ 9 W

41 d Då gnvädn ä kompl och dn ll dln bl: b b Hä ä b dn mgnä dln. Eponnn kn då skvs på fölnd sä: b b Fkon b cos b snθ b psn n oon mous md b dn om b >, och mdus md -b dn om b <. Fkon ä n d som ök om > vlk g n nsbl punk. Om dn mnsk < sägs punkn ä sbl. 9 Om mn lös gnvädspoblm fån kvon..8 bl: d ± ± nvänd ågn dukon v odnng vlk g :..9 kn då skvs: k och k k 7 k Sdl, Rüdg 988 Fom Eulbum o chos, pccl bfucon nd sbl nlss. Elsv Scnc Publshng Co., Inc. 7

42 8 ± 6 7 k ± 7 k ± 7 k 7 > 7 < Lös ndgdskvonn och få :.. bl ll och md smm ckn då :.... Fö vs d fönkls kvon... R > och < S <. R ± ± S ±, S S S S S och h smm ckn och ä ll. Smm sk gäll fö och. d kunskp om gnvädn vs d L och L 5 ä sbl punk då föhållndn.. och.. ä uppflld. Bngsson, Hns-Uno 995, Bngsson om klsssk fsk, Glups Ubldnng b.

43 Rsul. Sfäsk kopp Sfäsk kopp kn ss som punkmsso. Bond på väd på koppns d blds olk fll fö ponln: G m, > R V G m, R R v d vå flln ovn fmgå d dn ponll ngn ä konsn då > R bl sul dnsmm som om mssn låg cnum. R. I fll nä. Cnlkf Om n mnd kopp md mssn m bfnn sg på lk vsånd fån N- nl sö kopp komm dn sulnd kfvkon på m v kd mo msscnum. Dnn få usnd: f G dä,... N och,... N, f ä kf p mssnh och dn ol mssn. Nä N blds n lksdg ngl mlln koppn och nä N blds n d. Fö hög N fnns ngn lösnng dmnson.. Engn d ond ssm D fnns n ölsngl som klls Jcobs ngl. Ingln bskv ngn d ond ssm. Dnn ngl kn skvs om ll: v Om hsghn säs ll noll fås nvåkuvon. C 9

44 . Nvåkuvon Ndn sns nvåkuvon fån kvon..7

45 .5 Poson fö Lgngpunkn I ssm dä msson ä känd, mplvs od - solssm, kn vsånd ll L bsämms dä 95. R. 95 llså ä vsånd fån odn ll L ungfä. ämfö md odns vsånd ll soln. Lägn fö Lgngpunkn od solssm md nh km. L :.9 L L 6 :.5 : , 6,, L : 7.8, L : 7.8, Sblsnls Nä bl lösnngn fö : 6 [ ± 7 ] D fnns kompl och nssn nnhåll däfö n vänd ponnlfunkon. Lgngpunkn L L ä däfö nsbl punk. Nä bl lösnngn fö : ± 7 ll ä ll och nssn nnhåll däfö nb mgnä dl. Lgngpunkn L, L 5 ä däfö sbl punk.

46 5 Dskusson mkn ä n bsk vnskp vlk gö dn kn nvänds lkväl på mkoskopsk som mkoskopsk ssm. d hälp v d ppomon som gös d mmsk modlln ä d mölg lös d fönkld koppspoblm. Dn ppomon som gös gnom fösumm dn mns mss g b sul föhållnd ll vklghn, dnn mss ä ofs så ln dn ändå n h någon nvkn. Dnn mss kn v n sll ll sod. I b h n dl lgbsk dl bvs v svå olk. 6 Sluss Ävn om d n gå lös d llmänn koppspoblm fnns d lösnng som ä lläcklg och nvändb. I ssk ssm uppkomm ämvkslägn, så gö d också d fll. Lösnng vs L L ä nsbl och L, L 5 ä sbl. Poblm kn bhndls ufån nl olk mmsk modll vlk komm fm ll gmnsmm sluss.

47 Rfns Lu: Young och Fdmn Unvs Phscs wh odn Phscs, upplgn. Pson Educon Essén, Hnno 99 Bsc chncs - Th Scnc nd s pplcons Tknsk Högskollu STHL B THS Sdl, Rüdg 988 Fom Eulbum o chos, pccl bfucon nd sbl nlss. Elsv Scnc Publshng Co., Inc. Essén, Hnno On h ull ngl soluon o h h-bod poblm. Dpmn of chncs, Rol Insu of Tchnolog Hddmou, John D., Chsds, Th., 975, Fmls of podc obs n h pln h-bod poblm, Clsl chncs nd Dnmcl sonom, Volum, Issu, Pgs Bngsson, Hns-Uno 995, Bngsson om klsssk fsk, Glups Ubldnng b. oulon, Fos 97 n Inoducon o Clsl chncs. uppl. vdd. Dov Publcons, Inc. Dnb, John 99 Fundmnls of Clsl chncs. uppl. Wllmnn-Bll, Inc. Innsdo: Ponl Obs bou h Lgngn Pons hp://ocw.m.du/nr/donls/onucs-nd-sonucs/6-85fll/5befe- EE6-BFF-95BD-6BCFDF67B//ps_nn_soluon.pdf, Dokumn skp.

48 Lups Rob,. L. Bk, J. nd ud, W 96. kmson. n Inoducon o sodnmcs. Dpmn of sonom, cdmc pss, Nw Yok. Nl J. Consh, Th Lgng Pons. hp://phscs.monn.du/fcul/consh/lgng.hml Nl J. Consh, Th Lgng Pons- dld nls. hp://phscs.monn.du/fcul/consh/lgng.pdf ES-spc scnc, Wh Lgng pons? Dokumn skp. Jms P. Shn, Th Rscd h bod poblm. Sns uppdd m 996.

49 Blgo lb kod cl, clos ll, clc 5.97; % kg 7.5; % kg m_hgh8; U / ; _b_mg * U; % vsånd fån odn ll msscnum _mb_mg - _b_mg; % vsånd fån månn ll msscnum _b _b_mg * [ ]'; % vkon fån odn ll msscnum _mb _mb_mg * [- ]'; % vkon fån månn ll msscnum -.5:.5:.5; % -plo omåd -.5:.5:.5; % -plo omåd fo :lngh fo :lngh ho[ ]'; _b ho; % so kopp ll sll _mg nom; _mb ho; % ln kopp ll sll _mg nom; c, ^ ^ *-U/_mg *U/_mg; % ll hsghn ä noll f c,>m_hgh c,m_hgh; nd nd nd % Fölnd skp mnngsfull ln på counou plon cszszc; dshpc,[ csz*csz]; [numbnnd cns]hsd,8; low_bncns; mn_lmnd; m_lmd; mplogcns/log5; conouls[so[mpmn_l-mp cnsfndcns>mmpmn_l-mp]]; 5

50 %Plo counun fgu [ b]conou,,c,conouls; s ul lbl''; lbl''; pl kod %Bäknng v poson fö L - L5 od-sol ssm > > :959787; %vsånd mlln soln och odn : > > > :.989; %Solns mss > :5.97; %Jodns mss > > :; %Tol mssn > > c:*/; %sscnum :.989 : 5.97 : c : > > :c; %Jodns vsånd ll msscnum : > :-c; %Solns vsånd ll msscnum : 9. %Bäknng v L > solv*^*-^-^**^*-^,; I, I, I, I, %Bäknng v L > solv*^*-^^**^*-^,; 6

51 , I, I, I, I %Bäknng v L > solv*^*-^^**^-*-^,; I, I, , I, I %Bäknng v odns vsånd ll L > L: ; L : %Bäknng v odns vsånd ll L > L: ; L : %Bäknng v odns vsånd ll L > L: ; L : %Bäknng v odns vsånd ll L! L:-*-/*,*s/; L : , %Bäknng v odns vsånd ll L5! L5:-*-/*,-*s/; L5 : ,