Algoritmanalys. Inledning. Informationsteknologi Malin Källén, Tom Smedsaas 1 september 2016
|
|
- Sandra Olofsson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Informationsteknologi Malin Källén, Tom Smedsaas 1 september 2016 Algoritmanalys Inledning Exempel 1: x n När vi talade om rekursion presenterade vi två olika sätt att beräkna x n, ett iterativt: x n = x x x x... x (1) och ett rekursivt: x n = { 1 om n = 0 xx n 1 om n > 0 (2) Båda dessa algoritmer genererar n multiplikationer. Exempelvis så kommer anropet power(x, 1000) att generera 1000 multiplikationer oavsett om power är implementerad enligt denition 1 eller denition 2. En annan möjlig denition är: 1 om n = 0 x n = (x n/2 ) 2 om n > 0 och n jämn (3) x(x n/2 ) 2 om n > 0 och n udda Notera att n/2 betecknar heltalsdivision! Denna denition är rekursiv, precis som denition 2, men i stället för att återföra lösningen av ett problem av storleken n på ett problem av storleken n 1 så använder vi oss av problem av storleken n/2, d.v.s. ett betydligt mindre problem. Javakod: public static double power(double x, int n) { if (n == 0) return 1.; else { double p = power(x, n/2); if (n % 2 == 0) //n jämn return p*p; else //n udda return x*p*p; Anropet power(x,1000) kommer att generera följande sekvens av anrop: power(x,1000) -> power(x,500) -> power(x,250) -> power(x,125) -> power(x,62) -> power(x,31) -> power(x,15) -> power(x,7) -> power(x,3) -> power(x,1) -> power(x,0) 1
2 Varje uppväckning av power utom den sista innehåller en eller två multiplikationer (kvadrering och eventuell multiplikation med x). Sammanlagt krävs endast 15 multiplikationer för att beräkna resultatet! Övning 1: Modiera programmet så att det även hanterar negativa exponenter. Tänk rekursivt! Hur många anrop kommer ett anrop power(x, -1000) att generera? Asymptotisk notation Om vi beräknar x n enligt denition 1 eller 2, kommer vi att behöva utföra n multiplikationer. Om vi däremot använder denition 3, kommer vi bara att behöva utföra log 2 (n) multiplikationer, förutsatt att n är en jämn tvåpotens. Om n inte är en jämn tvåpotens, krävs högst en extra multiplikation vid varje halvering av problemet, d.v.s. totalt 2 log 2 (n) multiplikationer. Med de första två denitionerna växer antalet multiplikationer linjärt med n. Man brukar säga att algoritmerna är O(n) eller att (tids)komplexiteten är n. O(n) uttalas ordo n. Med denition 3 växer antalet multiplikationer med log 2 (n). Man säger att denna algoritm är O(log(n)), eller att (tids)komplexiteten är log(n). (I nästa avsnitt ska vi se varför man inte behöver ange vilken logaritm som avses.) Mer formellt O anger egentligen en övre gräns: En funktion t(n) är O(f(n)) om det existerar två konstanter c och n 0 sådana att: t(n) c f(n) n > n 0 (4) Om vi applicerar denna denition på exemplen med antalet multiplikationer ovan, betecknar t(n) antalet multiplikationer som behöver utföras. Använder vi någon av de två första denitionerna är c = 1 och f(n) = n. Med denition 3 är f(n) = log 2 (n) och c = 2. I samtliga fall är n 0 = 0. I de här exemplen används alltså O för att ange (en övre gräns för) hur många gånger en central operation (i det här fallet multiplikation) används. Notationen kan också användas för att ange en övre gräns för hur lång tid eller hur stort lagringsutrymme en algoritm behöver. Tidsåtgången för en algoritm växer normalt lika fort som antalet operationer, men värdet på c beror då även på sådant som vilket språk algoritmen är implementerad i och vilken dator implementationen körs på. Eftersom O betecknar en övre gräns, är en algoritm som är O(log(n)) också O(n), O(n 2 ), O(2 n ) och så vidare. Tecknet Ω används för att ange en undre gräns: En funktion t(n) är Ω(f(n)) om det existerar två konstanter c och n 0 sådana att: t(n) c f(n) n > n 0 (5) Om funktionen t(n) är både O(f(n)) och Ω(f(n)) sägs den vara Θ(f(n)). (Naturligtvis måste man använda olika konstanter c för den övre och den undre gränsen.) 2
3 Ofta säger man O när man egentligen menar Θ. Notera att det inte spelar någon roll vilken logaritm man använder i O-, Θ- och Ω-uttrycken, eftersom 1 log a (x) = log b (a) log b(x) och 1 log b (a) kan bakas in i c. Därför behöver man heller inte ange vilken logaritm som avses. Fler exempel I detta avsnitt analyserar vi några algoritmer som ni känner till sedan tidigare. Exempel 2: Indicering i array Antag att du har en array som du ska hämta första elementet (eller något annat givet element) ur. Detta är ett exempel på när tidsåtgången inte växer med problemstorleken. Oavsett hur lång arrayen är kommer det att krävas lika många operationer för att hämta elementet. Indicering i array är alltså Θ(1) eller O(1) vilket är samma sak. Exempel 3: Sökning i osorterad array När det gäller sökning brukar man vid algoritmanalys skilja på lyckad och misslyckad sökning. Om värdet vi letar efter inte nns i arrayen, säger vi att sökningen misslyckas. En misslyckad sökning kräver att vi kontrollerar varje element i arrayen. (Hur ska vi annars kunna vara säkra på att värdet inte nns?) Antalet operationer växer alltså linjärt med problemstorleken (d.v.s. arrayens längd) och vi säger att en misslyckad sökning i en osorterad array är Θ(n). Om det eftersökta värdet nns i arrayen, säger vi att sökningen lyckas. Här är det relevant att skilja på bästa fall, värsta fall och genomsnitt. I värsta fall behöver vi leta igenom hela arrayen innan vi hittar det eftersökta värdet. I genomsnitt behöver vi leta igenom halva arrayen för att hitta det eftersökta värdet. I båda dessa fall växer antalet operationer linjärt med problemstorleken. I bästa fall hittar vi det eftersökta värdet på det första stället vi letar på. Då behövs ett konstant antal operationer -det spelar ingen roll hur lång arrayen är. En lyckad sökning i en osorterad array är alltså: Θ(1) i bästa fall Θ(n) i genomsnitt Θ(n) i värsta fall Generellt är man intresserad av en algoritms komplexitet i värsta fall och/eller i genomsnitt. Exempel 4: Sökning i sorterad array Om arrayen som vi ska söka i är sorterad, minskar mängden arbete avsevärt. I detta exempel kallar vi arrayen för a och det eftersökta värdet för v. Vi antar att elementen i a är sorterade i stigande ordning, d.v.s. så att a[i+1] a[i] för alla index i. En sökning går då till såhär: 1. Om arrayen är tom har sökningen misslyckats. v kan ju omöjligt nnas i en tom array. 3
4 2. Om a[n/2] == v är vi klara. 3. Annars, upprepa proceduren, den här gången med en hälften så lång array: Om a[n/2] > v, ge a[n/2+1:n] (d.v.s. den delen av a som ligger till höger om det n/2:te elementet) som input. Om a[n/2] < v, ge a[0:n/2-1] (d.v.s. den delen av a som ligger till vänster om det n/2:te elementet) som input. På det här sättet halverar vi problemstorleken i varje steg. Jämför med hur du själv skulle leta i en mängd sorterade element, exempelvis en telefonkatalog, en klasslista eller registret i en bok! Vid en misslyckad sökning behöver vi fortsätta tills arrayen är tom. Om vi skulle dubblera a:s längd, skulle antalet nödvändiga operationer öka med 1. Med andra ord växer mängden arbete logaritmiskt; algoritmen är Θ(log(n)). Vid en lyckad sökning behöver vi utföra samma procedur, men kommer i genomsnitt att hitta v efter halva tiden. Mängden arbete växer alltså som 0, 5 log(n), men 0, 5 är bara en konstant och kan bakas in i c. Algoritmen är alltså Θ(log(n)) i genomsnitt. Övning 2: Hur många operationer kräver en lyckad sökning i en sorterad array i bästa respektive värsta fall? Exempel 5: Fibonaccitalen När vi arbetade med rekursion, visade vi en enkel (men inte särskilt eektiv) metod för att beräkna det n:te Fibonaccitalet: public static long fib(int n) { if ( n==0 ) return 0; else if ( n==1 ) return 1; else return fib(n-1) + fib(n-2); Tiden t(n) det tar att exekvera denna metod växer exponentiellt med n. Mer exakt så är t(n) c n där c är en konstant som beror på dator, programmeringsspråk och så vidare. Bevis* För att inse det kan vi räkna hur många additioner anropet fib(n) utför. För detta antal t(n) gäller: { 0 om n 1, t(n) = 1 + t(n 1) + t(n 2) om n > 1. Observera likheten med Fibonaccitalen! 4
5 Detta är en linjär dierensekvation och den homogena ekvationen (som är lika med Fibonaccitalen!) har den karaktäristiska ekvationen som har lösningen r 2 r 1 = 0, r 1,2 = 1 ± 5, 2 d.v.s. den homogena ekvationen har lösningen F (n) = ar n 1 + br n 2, där a och b bestämmes ur begynnelsevillkoren. Eftersom t(n) = 1 är en partikulärlösning, kan den allmänna lösningen skrivas t(n) = ar n 1 + br n 2 1. Med hjälp av begynnelsevillkoren kan a och b bestämmas och ger lösningen a =(1 r 2 )/(r 1 r 2 ) b = (1 r 1 )/(r 1 r 2 ) Eftersom r och r < 1 så ser man att, för stora n, gäller t(n) n Antalet additioner växer således exponentiellt och därmed växer också tiden t(n) exponentiellt. QED Övning 3: Tag reda på hur lång tid anropen fib(50) respektive fib(100) tar (skulle ta) på din dator. Svara med lämpliga enheter! (Sekunder är inte en lämplig enhet om det tar era timmar. Timmar är inte en lämplig enhet om det tar era dagar eller år.) Programmet är trädrekursivt, det vill säga varje anrop resulterar i två nya anrop. Detta kan potentiellt ge orimliga exekveringstider. Om du, när vi arbetade med rekursionsmaterialet, testkörde växlingsprogrammet med stora värden på a och n, märkte du förmodligen att exekveringstiden växte väldigt snabbt. Även den algoritmen är trädrekursiv och dess tidsåtgång växer exponentiellt. Med s.k. dynamisk programmering skulle växlingsproblemet kunna lösas eektivare, men det ligger utanför den här kursen. Som vi ser i avsnittet om sortering nedan, behöver trädrekursiva algoritmer inte nödvändigtvis ge orimliga exekveringstider. I själva verket är många klassiska eektiva algoritmer (t.ex. sorteringsalgoritmer och snabb Fouriertransform) trädrekursiva. Övning 4: I den här övningen vill vi att ni går tillbaka till SpecialStack, i vilken ni ck ändra och implementera några metoder när vi arbetade med rekursion. Tag genom mätning 5
6 och teoretiska beräkningar reda på hur lång tid detta program tar på din dator när stackens storlek är 10, 20, 30, 50 respektive 100. Svara med lämpliga enheter! (Sekunder är inte en lämplig enhet om det tar era timmar. Timmar är inte en lämplig enhet om det tar era dagar eller år.) Sortering Här presenterar och analyserar vi två rekursiva sorteringsalgoritmer. Instickssortering Den vanliga enkla instickssorteringen kan uttryckas rekursivt enligt följande: Induktionsantagande: Vi kan sortera n 1 element. Basfall: Vi kan sortera 1 element. Induktionssteg: Stoppa in det n:te elementet bland de n 1 redan sorterade elementen så att sorteringen bibehålls. Javakod: public static void sort(double [] a, int n) { if ( n > 1 ) { sort( a, n-1 ); // sortera de n-1 första double x = a[n-1]; int i = n-2; // flytta undan while ( i>=0 && a[i]>x ) { a[i+1] = a[i]; i--; a[i+1] = x; // lägg in sista Tiden att sortera n tal med denna algoritm beror på hur talen är permuterade. Det är enkelt att visa att tiden i genomsnitt är Θ(n 2 ). Övning 5: Hur lång tid tar instickssorteringen i bästa respektive värsta fall på sig för att sortera n element? Svaret ska ges på formen Θ(f(n)). Mergesort Nästa algoritm vi går igenom kallas för mergesort (eller samsortering på svenska). Den är, som analysen och övningen nedan visar, väsentligt eektivare än instickssorteringen. 6
7 Induktionsantagande: Vi kan sortera n/2 element. Induktionssteg: Dela mängden i två delar med vardera n/2 element, Sortera dessa var för sig och sammanfoga sedan de två sorterade delarna. Sortera n element 1. dela i två lika stora delar 2. sortera delarna var för sig 3. sammanfoga delarna Vi ger just nu ingen kod för denna sorteringsmetod. Det beror på att den är lite knölig att implementera och inte heller blir så bra för just arrayer. Vi återkommer till den senare för andra datastrukturer. Arbetet att sammanfoga de två sorterade delarna är proportionellt mot antalet element. (Uttrycket tiden är Θ(f(n)) kan, löst uttryckt, tolkas om att tiden är proportionell mot f(n) d.v.s. t(n) = c f(n).) Låt t(n) beteckna tiden att sortera n element. Då gäller { c om n = 0, t(n) = 2t(n/2) + dn om n > 0. Om n är en jämn 2-potens, n = 2 k så gäller t(n) =2t(n/2) + dn = 2(2t(n/4) + dn/2) + dn = =4t(n/4) + dn + dn =... =2 k t(n/2 k ) + dnk = =nt(1) + dn log n d.v.s. tiden är Θ(n log n). Övning 6: Antag att instickssortering och mergesort tar lika lång tid för 1000 tal -säg 1 sekund. Hur lång tid tar det för respektive algoritm att sortera 10 6 tal respektive 10 9 tal? Svara med lämpliga enheter! Praktiska tillämpningar Som vi har sett i ett par olika exempel ovan, kan tidsåtgången för algoritmer snabbt bli orimligt stor om man väljer fel algoritm (eller om det inte nns någon eektiv algoritm tillgänglig). Vi vill ha algoritmer för vilka tidsåtgången växer långsamt. Tiden för att lösa ett litet problem är ofta försumbar; det är när problemstorleken växer som det börjar bli viktigt att ha en eektiv algoritm. Som följande exempel visar, ska man dock inte stirra sig blind på komplexiteten. I praktiken 7
8 kan till exempel en algoritm som är Θ(n log(n)) vara minst lika eektiv som en algoritm som är Θ(n), om konstanten (c) är mycket större för den senare. Övning 7: Antag att du kan välja mellan två algoritmer, A och B, för att lösa ett problem. Vi låter n beteckna antalet element i den datastruktur som algoritmerna opererar på. Du vet att algoritm A löser ett problem av storlek n på n sekunder. Tidsåtgången för algoritm B är c n log(n) sekunder, där c är en konstant. Du testkör algoritm B på din dator och nner att den tar 1 sekund på sig för att lösa ett problem när n = 10. Hur stort måste n vara för att algoritm A ska ta kortare tid på sig än algoritm B? Det nns givetvis tillfällen då man faktiskt behöver lösa så här stora problem, men i många verkliga tillämpningar är antalet element förmodligen mindre. Det här var allt vi hade att säga om algoritmanalys för den här gången, men misströsta inte! När vi senare i kursen arbetar med listor och träd kommer ni att få er tillfällen att räkna på olika algoritmers komplexitet. 8
Rekursion och induktion för algoritmkonstruktion
Informationsteknologi Tom Smedsaas 22 september 2015 Rekursion och induktion för algoritmkonstruktion Att lösa ett problem rekursivt innebär att man uttrycker lösningen i termer av samma typ av problem
Läs merRekursion och induktion för algoritmkonstruktion
Informationsteknologi Tom Smedsaas 22 januari 2006 Rekursion och induktion för algoritmkonstruktion Att lösa ett problem rekursivt innebär att man uttrycker lösningen i termer av samma typ av problem som
Läs merRekursion och induktion för algoritmkonstruktion
Informationsteknologi Tom Smedsaas, Malin Källén 20 mars 2016 Rekursion och induktion för algoritmkonstruktion Att lösa ett problem rekursivt innebär att man uttrycker lösningen i termer av samma typ av
Läs merMedan ni väntar. 2. Skriv metoden. 3. Skriv metoden. Naturligtvis rekursivt och utan användning av Javas standardmetoder.
(10 september 2018 T02 1 ) Medan ni väntar 1. Binär sökning i sorterad array med n element kräver log 2 n försök. Hur många försök krävs i en array med 10 3, 10 6 respektive 10 9 element? 2. Skriv metoden
Läs merSökning och sortering
Sökning och sortering Programmering för språkteknologer 2 Sara Stymne 2013-09-16 Idag Sökning Analys av algoritmer komplexitet Sortering Vad är sökning? Sökning innebär att hitta ett värde i en samling
Läs merFöreläsning 1 Datastrukturer (DAT037)
Föreläsning 1 Datastrukturer (DAT037) Fredrik Lindblad 1 30 oktober 2017 1 Slides skapade av Nils Anders Danielsson har använts som utgångspunkt. Se http://www.cse.chalmers.se/edu/year/2015/course/dat037
Läs merFöreläsning 5 Innehåll
Föreläsning 5 Innehåll Algoritmer och effektivitet Att bedöma och jämföra effektivitet för algoritmer Begreppet tidskomplexitet Datavetenskap (LTH) Föreläsning 5 VT 2019 1 / 39 Val av algoritm och datastruktur
Läs merProgramkonstruktion och Datastrukturer
Programkonstruktion och Datastrukturer VT 2012 Tidskomplexitet Elias Castegren elias.castegren.7381@student.uu.se Problem och algoritmer Ett problem är en uppgift som ska lösas. Beräkna n! givet n>0 Räkna
Läs merTDDI16 Datastrukturer och algoritmer. Algoritmanalys
TDDI16 Datastrukturer och algoritmer Algoritmanalys 2017-08-28 2 Översikt Skäl för att analysera algoritmer Olika fall att tänka på Medelfall Bästa Värsta Metoder för analys 2017-08-28 3 Skäl till att
Läs merProgrammering för språkteknologer II, HT2014. Rum
Programmering för språkteknologer II, HT2014 Avancerad programmering för språkteknologer, HT2014 evelina.andersson@lingfil.uu.se Rum 9-2035 http://stp.ling.uu.se/~evelina/uv/uv14/pst2/ Idag - Sökalgoritmer
Läs merAlgoritmer och effektivitet. Föreläsning 5 Innehåll. Analys av algoritmer. Analys av algoritmer Tidskomplexitet. Algoritmer och effektivitet
Föreläsning 5 Innehåll Algoritmer och effektivitet Algoritmer och effektivitet Att bedöma, mäta och jämföra effektivitet för algoritmer Begreppet tidskomplexitet Undervisningsmoment: föreläsning 5, övningsuppgifter
Läs merFÖRELÄSNING 2, TDDC74, VT2018 BEGREPP PROBLEMLÖSNING MED HJÄLP AV FALLANALYS PROBLEMLÖSNING MED HJÄLP AV REKURSION
FÖRELÄSNING 2, TDDC74, VT2018 Begrepp och definitioner (delvis från föreläsning 1) Fallanalys som problemlösningsmetod Rekursivt fallanalys Rekursiva beskrivningar och processer de kan skapa Rekursiva
Läs merTDDC30. Objektorienterad programmering i Java, datastrukturer och algoritmer. Föreläsning 5 Jonas Lindgren, Institutionen för Datavetenskap, LiU
TDDC30 Objektorienterad programmering i Java, datastrukturer och algoritmer. Föreläsning 5 Jonas Lindgren, Institutionen för Datavetenskap, LiU På denna föreläsning: Algoritmanalys Tidskomplexitet, Rumskomplexitet
Läs merAlgoritmer, datastrukturer och komplexitet
Algoritmer, datastrukturer och komplexitet Övning 1 Anton Grensjö grensjo@csc.kth.se 14 september 2015 Anton Grensjö ADK Övning 1 14 september 2015 1 / 22 Översikt Kursplanering F1: Introduktion, algoritmanalys
Läs merFöreläsning 5 Innehåll. Val av algoritm och datastruktur. Analys av algoritmer. Tidsåtgång och problemets storlek
Föreläsning 5 Innehåll Val av algoritm och datastruktur Algoritmer och effektivitet Att bedöma och jämföra effektivitet för algoritmer Begreppet tidskomplexitet Det räcker inte med att en algoritm är korrekt
Läs merIntroduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 4
Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 014-015 Denna lektion ska vi studera rekursion. Lektion 4 Principen om induktion Principen om induktion är ett vanligt sätt att bevisa
Läs merSCB :-0. Uno Holmer, Chalmers, höger 2 Ex. Induktiv definition av lista. // Basfall
Rekursiva funktioner Föreläsning 10 (Weiss kap. 7) Induktion och rekursion Rekursiva funktioner och processer Weiss 7.1-3 (7.4, 7.5.3 utgår) Fibonaccital (7.3.4) Exempel: Balansering av mobil (kod se lab
Läs merFöreläsning 6 Innehåll. Rekursion. Rekursiv problemlösning Mönster för rekursiv algoritm. Rekursiv problemlösning. Rekursion. Rekursivt tänkande:
Föreläsning 6 Innehåll Rekursion Begreppet rekursion Rekursiv problemlösning Samband mellan rekursion och induktion Söndra-och-härska-algoritmer Dynamisk programmering Undervisningsmoment: föreläsning
Läs merTommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet. 2 Rekursion i C Implementation av rekursion Svansrekursion En till övning...
Föreläsning 15 Rekursion TDDD86: DALP Utskriftsversion av föreläsning i Datastrukturer, algoritmer och programmeringsparadigm 2 november 2015 Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet 15.1 Innehåll
Läs merDatastrukturer D. Föreläsning 2
Datastrukturer D Föreläsning 2 Jämförelse mellan olika sorteringsalgoritmer n Selection sort T(n) Insertion sort T(n) 2 1 1 1 Merge sort T(n) 4 6 3-6 4-5 8 28 7-28 12-17 16 120 15-120 32-49 Analysis of
Läs merFöreläsning 11 Datastrukturer (DAT037)
Föreläsning 11 Datastrukturer (DAT037) Fredrik Lindblad 1 4 december 2017 1 Slides skapade av Nils Anders Danielsson har använts som utgångspunkt. Se http://www.cse.chalmers.se/edu/year/2015/course/dat037
Läs merFöreläsning 7 Innehåll. Rekursion. Rekursiv problemlösning. Rekursiv problemlösning Mönster för rekursiv algoritm. Rekursion. Rekursivt tänkande:
Föreläsning 7 Innehåll Rekursion Rekursivt tänkande: Hur många år fyller du? Ett år mer än förra året! Rekursion Rekursiv problemlösning Binärsökning Generiska metoder Rekursiv problemlösning: Dela upp
Läs merFöreläsning 9 Innehåll. Söndra och härska. Fibonaccitalen. Söndra och härska. Divide and conquer teknik för att konstruera rekursiva algoritmer.
Föreläsning 9 Innehåll Mer om rekursion söndra-och-härska-algoritmer dynamisk programmering backtracking Orientering om versionshantering med git Söndra och härska Divide and conquer teknik för att konstruera
Läs merDatastrukturer, algoritmer och programkonstruktion (DVA104, VT 2015) Föreläsning 6
Datastrukturer, algoritmer och programkonstruktion (DVA104, VT 2015) Föreläsning 6? DAGENS AGENDA Komplexitet Ordobegreppet Komplexitetsklasser Loopar Datastrukturer Några nyttiga regler OBS! Idag jobbar
Läs merFöreläsning 5. Rekursion
Föreläsning 5 Rekursion Föreläsning 5 Algoritm Rekursion Rekursionsträd Funktionsanrop på stacken Binär sökning Problemlösning (möjliga vägar) Algoritm En algoritm är ett begränsat antal instruktioner/steg
Läs merLösning av några vanliga rekurrensekvationer
1 (8) Lösning av några vanliga rekurrensekvationer Rekursiv beräkning av X n En rekursiv funktion som beräknar x n genom upprepad multiplikation, baserat på potenslagarna X 0 = 1 X n+1 = X X n float pow(float
Läs merTommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet
Föreläsning 8 Sortering och urval TDDC70/91: DALG Utskriftsversion av föreläsning i Datastrukturer och algoritmer 1 oktober 2013 Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet 8.1 Innehåll Innehåll 1 Sortering
Läs merDatastrukturer. föreläsning 2
Datastrukturer föreläsning 2 1 De som vill ha en labkamrat möts här framme i pausen Övningsgrupper: efternamn som börjar på A-J: EC, Arnar Birgisson K-Ö: ED, Staffan Björnesjö 2 Förra gången Vi jämförde
Läs merExempel: Förel Rekursion III Nr 14. Uno Holmer, Chalmers,
Exempel: Kappsäcksproblemet Backtracking Dynamisk programmering Föreläsning (Weiss kap..-) Kan man ur en grupp föremål F,,F N med vikterna V,,V N välja ut en delgrupp som väger exakt M kilo? Exempel: föremål
Läs merFöreläsning 2 Datastrukturer (DAT037)
Föreläsning 2 Datastrukturer (DAT037) Fredrik Lindblad 1 2016-11-02 1 Slides skapade av Nils Anders Danielsson har använts som utgångspunkt. Se http://www.cse.chalmers.se/edu/year/2015/course/dat037 Tidskomplexitet
Läs merMagnus Nielsen, IDA, Linköpings universitet
Föreläsning 7 Introduktion till sortering TDDC91,TDDE22,725G97: DALG Utskriftsversion av föreläsning i Datastrukturer och algoritmer 24 september 2018 Magnus Nielsen, IDA, Linköpings universitet 7.1 1
Läs merProgrammering för Språkteknologer II. Innehåll. Associativa datastrukturer. Associativa datastrukturer. Binär sökning.
Programmering för Språkteknologer II Markus Saers markus.saers@lingfil.uu.se Rum -040 stp.lingfil.uu.se/~markuss/ht0/pst Innehåll Associativa datastrukturer Hashtabeller Sökträd Implementationsdetaljer
Läs merFöreläsning 9 Innehåll. Söndra och härska. Fibonaccitalen. Söndra och härska. Divide and conquer teknik för att konstruera rekursiva algoritmer.
Föreläsning 9 Innehåll Mer om rekursion söndra-och-härska-algoritmer dynamisk programmering backtracking Orientering om versionshantering med git Söndra och härska Divide and conquer teknik för att konstruera
Läs merBakgrund och motivation. Definition av algoritmer Beskrivningssätt Algoritmanalys. Algoritmer. Lars Larsson VT 2007. Lars Larsson Algoritmer 1
Algoritmer Lars Larsson VT 2007 Lars Larsson Algoritmer 1 1 2 3 4 5 Lars Larsson Algoritmer 2 Ni som går denna kurs är framtidens projektledare inom mjukvaruutveckling. Som ledare måste ni göra svåra beslut
Läs merpublic static void mystery(int n) { if (n > 0){ mystery(n-1); System.out.print(n * 4); mystery(n-1); } }
Rekursion 25 7 Rekursion Tema: Rekursiva algoritmer. Litteratur: Avsnitt 5.1 5.5 (7.1 7.5 i gamla upplagan) samt i bilderna från föreläsning 6. U 59. Man kan definiera potensfunktionen x n (n heltal 0)
Läs merAlgoritmanalys. Genomsnittligen behövs n/2 jämförelser vilket är proportionellt mot n, vi säger att vi har en O(n) algoritm.
Algoritmanalys Analys av algoritmer används för att uppskatta effektivitet. Om vi t. ex. har n stycken tal lagrat i en array och vi vill linjärsöka i denna. Det betyder att vi måste leta i arrayen tills
Läs merFöreläsning 4 Datastrukturer (DAT037)
Föreläsning 4 Datastrukturer (DAT07) Fredrik Lindblad 1 november 2017 1 Slides skapade av Nils Anders Danielsson har använts som utgångspunkt Se http://wwwcsechalmersse/edu/year/2015/course/dat07 1 Innehåll
Läs merBEGREPP HITTILLS FÖRELÄSNING 2 SAMMANSATTA UTTRYCK - SCHEME DATORSPRÅK
FÖRELÄSNING 2 Viss repetition av Fö1 Rekursivt fallanalys Rekursiva beskrivningar BEGREPP HITTILLS Konstant, Namn, Procedur/Funktion, LAMBDA, Parameter, Argument, Kropp, Villkor/Rekursion, Funktionsanrop,
Läs merTDDC30. Objektorienterad programmering i Java, datastrukturer och algoritmer. Föreläsning 6 Jonas Lindgren, Institutionen för Datavetenskap, LiU
TDDC30 Objektorienterad programmering i Java, datastrukturer och algoritmer. Föreläsning 6 Jonas Lindgren, Institutionen för Datavetenskap, LiU På denna föreläsning: Sortering Selectionsort, Bubblesort,
Läs merAlgoritmer, datastrukturer och komplexitet
Algoritmer, datastrukturer och komplexitet Övning 6 Anton Grensjö grensjo@csc.kth.se 4 oktober 2017 1 Idag Algoritmkonstruktion (lite blandat) Redovisning och inlämning av labbteori 3 2 Uppgifter Uppgift
Läs merDatastrukturer och algoritmer
Datastrukturer och algoritmer Föreläsning 5 Algoritmer & Analys av Algoritmer Algoritmer Vad är det? Innehåll Mer formellt om algoritmer beräkningsbarhet Att beskriva algoritmer Analysera algoritmer Exekveringstid,
Läs mern (log n) Division Analysera skolboksalgoritmen för division (trappdivision). Använd bitkostnad.
Algoritmer och Komplexitet ht 08. Övning 1 Algoritmanalys Ordo Jämför följande par av funktioner med avseende på hur dom växer då n växer. Tala i varje fall om ifall f(n) Θ(g(n)), f(n) O(g(n)) eller f(n)
Läs merFöreläsning 11: Rekursion
TDA 545: Objektorienterad programmering Föreläsning 11: Rekursion Magnus Myréen Chalmers, läsperiod 1, 2015-2016 Idag Läsanvisning: kap 19, men bara t.o.m. sida 812 rekursion fakulteten exponentiering
Läs merFöreläsning Datastrukturer (DAT037)
Föreläsning Datastrukturer (DAT037) Nils Anders Danielsson 2015-12-14 Idag Frågor? Är något oklart inför tentan? Sammanfattning Exempel från föreläsning 1 Dåligt val av datastruktur public class Bits {
Läs merFöreläsning 2 Datastrukturer (DAT037)
Föreläsning 2 Datastrukturer (DAT037) Fredrik Lindblad 1 1 november 2017 1 Slides skapade av Nils Anders Danielsson har använts som utgångspunkt. Se http://www.cse.chalmers.se/edu/year/2015/course/dat037
Läs merÖversikt. Stegvis förfining. Stegvis förfining. Dekomposition. Algoritmer. Metod för att skapa ett program från ett analyserat problem
Översikt Stegvis förfining Pseudokod Flödesdiagram Dekomposition KISS-regeln Procedurell dekomposition DRY-regeln Algoritmer Sortering och sökning Stegvis förfining Metod för att skapa ett program från
Läs merAlgoritmer. Två gränssnitt
Objektorienterad programmering E Algoritmer Sökning Linjär sökning Binär sökning Tidsuppskattningar Sortering Insättningssortering Föreläsning 9 Vad behöver en programmerare kunna? (Minst) ett programspråk;
Läs merAlgoritmer, datastrukturer och komplexitet
Algoritmer, datastrukturer och komplexitet Övning 6 Anton Grensjö grensjo@csc.kth.se 9 oktober 2015 Anton Grensjö ADK Övning 6 9 oktober 2015 1 / 23 Översikt Kursplanering Ö5: Grafalgoritmer och undre
Läs merFöreläsning 8 Innehåll
Föreläsning 8 Innehåll Orientering om samarbete om Eclipse-projekt med git Orientering om konstruktion av användargränssnitt i Android Mer om rekursion söndra-och-härska-algoritmer dynamisk programmering
Läs merAlgoritmer och datastrukturer H I HÅKAN S T R Ö M B E R G N I C K L A S B R A N D E F E L T
Algoritmer och datastrukturer H I 1 0 2 9 HÅKAN S T R Ö M B E R G N I C K L A S B R A N D E F E L T Föreläsning 1 Inledande om algoritmer Rekursion Stacken vid rekursion Rekursion iteration Möjliga vägar
Läs merObjektorienterad programmering E. Algoritmer. Telefonboken, påminnelse (och litet tillägg), 1. Telefonboken, påminnelse (och litet tillägg), 2
Objektorienterad programmering E Algoritmer Linjär sökning Binär sökning Tidsuppskattningar Föreläsning 9 Vad behöver en programmerare kunna? (Minst) ett programspråk; dess syntax och semantik, bibliotek
Läs merFöreläsning 1, vecka 7: Rekursion
TDA 548: Grundläggande Programvaruutveckling Föreläsning 1, vecka 7: Rekursion Magnus Myréen Chalmers, läsperiod 1, 2016-2017 Nytt: Extra labbtillfälle för Grupp B (för att grupp Bs labbtider har på senaste
Läs merFöreläsning 4 Datastrukturer (DAT037)
Föreläsning 4 Datastrukturer (DAT037) Fredrik Lindblad 1 2016-11-10 1 Slides skapade av Nils Anders Danielsson har använts som utgångspunkt Se http://wwwcsechalmersse/edu/year/2015/course/dat037 Förra
Läs mersamt lite algoritmer en kortfattad introduktion för studenter på Intro:DV
O, P, N och NP samt lite algoritmer en kortfattad introduktion för studenter på Intro:DV DSV En enkel algoritm Ponera att du spelar poker och har fått korten till höger. Eftersom det bara rör sig om fem
Läs merTommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet
Föreläsning Metoder för algoritmdesign TDDD86: DALP Utskriftsversion av föreläsning i Datastrukturer, algoritmer och programmeringsparadigm 7 december 015 Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet.1
Läs merTentamen med lösningsförslag Datastrukturer för D2 DAT 035
Tentamen med lösningsförslag Datastrukturer för D2 DAT 035 17 december 2005 Tid: 8.30-12.30 Ansvarig: Peter Dybjer, tel 7721035 eller 405836 Max poäng på tentamen: 60. (Bonuspoäng från övningarna tillkommer.)
Läs merLösningsförslag för tentamen i Datastrukturer (DAT037) från
Lösningsförslag för tentamen i Datastrukturer (DAT7) från --9 Nils Anders Danielsson. Träd- och köoperationerna har alla tidskomplexiteten O(log s), där s är antalet element i trädet/kön (notera att jämförelser
Läs merFöreläsning 11 Innehåll
Föreläsning 11 Innehåll Sortering O(n 2 )-algoritmer: urvalssortering insättningssortering O(n log n)-algoritmer: Mergesort Quicksort Heapsort behandlades i samband med prioritetsköer. Undervisningsmoment:
Läs merFöreläsning 9: Talteori
DD2458, Problemlösning och programmering under press Föreläsning 9: Talteori Datum: 2007-11-13 Skribent(er): Niklas Lindbom och Daniel Walldin Föreläsare: Per Austrin Den här föreläsningen behandlar modulär
Läs merAnmälningskod: Lägg uppgifterna i ordning. Skriv uppgiftsnummer (gäller B-delen) och din kod överst i högra hörnet på alla papper
Tentamen Programmeringsteknik II 2018-10-19 Skrivtid: 8:00 13:00 Tänk på följande Skriv läsligt. Använd inte rödpenna. Skriv bara på framsidan av varje papper. Lägg uppgifterna i ordning. Skriv uppgiftsnummer
Läs merProgrammering II (ID1019) :00-11:00
ID1019 Johan Montelius Programmering II (ID1019) 2015-06-11 08:00-11:00 Instruktioner Du får inte ha något materiel med dig förutom skrivmateriel. Mobiler etc, skall lämnas till tentamensvakten. Svaren
Läs merTentamen i Algoritmer & Datastrukturer i Java
Tentamen i Algoritmer & Datastrukturer i Java Hjälpmedel: Skrivhjälpmedel, miniräknare. Ort / Datum: Halmstad / 2008-05-27 Skrivtid: 4 timmar Kontakt person: Nicolina Månsson, tel. 035-167487 Poäng / Betyg:
Läs merSORTERING OCH SÖKNING
Algoritmer och Datastrukturer Kary FRÄMLING Kap. 9, Sid 1 C-språket 2/Kary Främling v2000 och Göran Pulkkis v2003 SORTERING OCH SÖKNING Sortering är ett av de bästa exemplen på problem där valet av lösningsalgoritm
Läs merAsymptotisk komplexitetsanalys
1 Asymptotisk komplexitetsanalys 2 Lars Larsson 3 4 VT 2007 5 Lars Larsson Asymptotisk komplexitetsanalys 1 Lars Larsson Asymptotisk komplexitetsanalys 2 et med denna föreläsning är att studenterna skall:
Läs merFöreläsning 13. Rekursion
Föreläsning 13 Rekursion Rekursion En rekursiv metod är en metod som anropar sig själv. Rekursion används som alternativ till iteration. Det finns programspråk som stödjer - enbart iteration (FORTRAN)
Läs merLägg uppgifterna i ordning. Skriv uppgiftsnummer och din anmälningskod överst i högra hörnet på alla papper.
Tentamen Programmeringsteknik II 2018-05-28 Skrivtid: 0800 1300 Tänk på följande Lägg uppgifterna i ordning. Skriv uppgiftsnummer och din anmälningskod överst i högra hörnet på alla papper. Fyll i försättssidan
Läs merDekomposition och dynamisk programmering
Algoritmer, datastrukturer och komplexitet, hösten 2016 Uppgifter till övning 3 Dekomposition och dynamisk programmering Max och min med dekomposition I vektorn v[1..n] ligger n tal. Konstruera en dekompositionsalgoritm
Läs merTeoretisk del. Facit Tentamen TDDC (6)
Facit Tentamen TDDC30 2014-08-29 1 (6) Teoretisk del 1. (6p) "Snabba frågor" Alla svar motiveras väl. a) Vad är skillnaden mellan synligheterna public, private och protected? (1p) Svar:public: Nåbar för
Läs merSortering. Brute-force. Sortering Ordna element enligt relation mellan nyckelvärden
Sortering Brute-force Sortering Ordna element enligt relation mellan nyckelvärden Flera olika algoritmer med olika fördelar Brute-force Gå igenom alla permutationer och hitta den där elementen ligger i
Läs merTDDC30. Objektorienterad programmering i Java, datastrukturer och algoritmer. Föreläsning 10 Erik Nilsson, Institutionen för Datavetenskap, LiU
TDDC30 Objektorienterad programmering i Java, datastrukturer och algoritmer. Föreläsning 10 Erik Nilsson, Institutionen för Datavetenskap, LiU På denna föreläsning: Lägre gräns för sortering Count sort,
Läs merFöreläsning 13 Datastrukturer (DAT037)
Föreläsning 13 Datastrukturer (DAT037) Fredrik Lindblad 1 2016-12-14 1 Slides skapade av Nils Anders Danielsson har använts som utgångspunkt. Se http://www.cse.chalmers.se/edu/year/2015/course/dat037 Sammanfattning
Läs merTentamen i Algoritmer & Datastrukturer i Java
Tentamen i Algoritmer & Datastrukturer i Java Hjälpmedel: Skrivhjälpmedel, miniräknare. Ort / Datum: Halmstad / 2010-03-16 Skrivtid: 4 timmar Kontaktperson: Nicolina Månsson Poäng / Betyg: Max 44 poäng
Läs merFöreläsning 10 Innehåll. Prioritetsköer och heapar. ADT Prioritetskö. Interface för Prioritetskö. Exempel på vad du ska kunna
Föreläsning Innehåll Prioritetsköer och heapar Prioritetsköer och heapar ADT prioritetskö Klassen PriorityQueue i java.util Implementering med lista ar Implementering av prioritetskö med heap Sortering
Läs merNågra svar till TDDC70/91 Datastrukturer och algoritmer
Några svar till TDDC70/91 Datastrukturer och algoritmer 2011--18 Följande är lösningsskisser och svar till uppgifterna på tentan. Lösningarna som ges här ska bara ses som vägledning och är oftast inte
Läs merTentamen: Programutveckling ht 2015
Tentamen: Programutveckling ht 2015 Datum: 2015-11-04 Tid: 09:00-13:00 Sal: Ansvarig: Resultat: Hjälpmedel: Maxpoäng: Betygsgränser: Anslås inom 3 veckor. Inga 40 p 20 p för G, 32 p för VG. Iakttag följande:
Läs merProv i DAT 312: Algoritmer och datastrukturer för systemvetare
Prov i DAT 312: Algoritmer och datastrukturer för systemvetare Jacek Malec Datavetenskap, LU 11 april 2003 Datum 11 april 2003 Tid 14 19 Ansvarig lärare Jacek Malec (tel. 03 9890431) Hjälpmedel inga Antal
Läs merLänkade listor kan ingå som en del av språket, dock ej i C Länkade listor är ett alternativ till:
Länkade listor i C Länkade listor kan ingå som en del av språket, dock ej i C Länkade listor är ett alternativ till: Dynamiskt allokerad array Arrayer allokerade på stacken Kan alltså användas till att
Läs merFöreläsning 3: Dekomposition. Dekomposition
Föreläsning 3: Dekomposition Dekomposition Dekomposition är en generell metod för att lösa problem Metoden bygger på att man delar upp ett problem i delproblem av samma typ som ursprungsproblemet Uppdelningen
Läs merTDDC30. Objektorienterad programmering i Java, datastrukturer och algoritmer. Föreläsning 5 Jonas Lindgren, Institutionen för Datavetenskap, LiU
TDDC30 Objektorienterad programmering i Java, datastrukturer och algoritmer. Föreläsning 5 Jonas Lindgren, Institutionen för Datavetenskap, LiU På denna föreläsning: Algoritmanalys, Ordo Sortering, Insertionsort
Läs merFöreläsning 5: Dynamisk programmering
Föreläsning 5: Dynamisk programmering Vi betraktar en typ av problem vi tidigare sett: Indata: En uppsättning intervall [s i,f i ] med vikt w i. Mål: Att hitta en uppsättning icke överlappande intervall
Läs merFöreläsning 13. Dynamisk programmering
Föreläsning 13 Dynamisk programmering Föreläsning 13 Dynamisk programmering Fibonacci Myntväxling Floyd-Warshall Kappsäck Handelsresandeproblemet Uppgifter Dynamisk programmering Dynamisk programmering
Läs merEkvivalensrelationer
Abstrakt datatyp för disjunkta mängder Vi skall presentera en abstrakt datatyp för att representera disjunkta mängder Kan bl.a. användas för att lösa ekvivalensproblemet avgör om två godtyckliga element
Läs merLägg uppgifterna i ordning. Skriv uppgiftsnummer och din anmälningskod överst i högra hörnet på alla papper.
Tentamen Programmeringsteknik II 2017-08-24 Skrivtid: 0800 1300 Tänk på följande Lägg uppgifterna i ordning. Skriv uppgiftsnummer och din anmälningskod överst i högra hörnet på alla papper. Fyll i försättssidan
Läs merFöreläsning 1. Introduktion. Vad är en algoritm?
Några exempel på algoritmer. Föreläsning 1. Introduktion Vad är en algoritm? 1. Häll 1 dl havregryn och ett kryddmått salt i 2 1 2 dl kallt vatten. Koka upp och kocka gröten ca 3minuter. Rör om då och
Läs merTentamen Datastrukturer (DAT036)
Tentamen Datastrukturer (DAT036) Det här är inte originaltesen. Uppgift 6 var felaktigt formulerad, och har rättats till. Datum och tid för tentamen: 2011-12-16, 8:30 12:30. Ansvarig: Nils Anders Danielsson.
Läs merTentamen Datastrukturer (DAT037)
Tentamen Datastrukturer (DAT07) Datum och tid för tentamen: 2016-01-09, 14:00 18:00. Ansvarig: Nils Anders Danielsson. Nås på 0700 620 602 eller anknytning 1680. Besöker tentamenssalarna ca 15:00 och ca
Läs merif (n==null) { return null; } else { return new Node(n.data, copy(n.next));
Inledning I bilagor finns ett antal mer eller mindre ofullständiga klasser. Klassen List innehåller några grundläggande komponenter för att skapa och hantera enkellänkade listor av heltal. Listorna hålls
Läs merInformationsteknologi Tom Smedsaas 19 augusti 2016
Informationsteknologi Tom Smedsaas 19 augusti 016 VL-träd Definition Ett VL-träd är ett binärt sökträd där det för varje nod gäller att skillnaden i höjd mellan nodens vänster och höger subträd är högst
Läs merFöreläsning 9 Exempel. Intervallhalveringsmetoden. Intervallhalveringsmetoden... Intervallhalveringsmetoden...
Föreläsning 9 Intervallhalveringsmetoden Intervallhalveringsmetoden Newton-Raphsons metod Mer om rekursion Tidskomplexitet Procedurabstraktion Representation Bra om ni läst följande avsnitt i AS: Procedures
Läs merFöreläsning 9 Exempel
Föreläsning 9 Exempel Intervallhalveringsmetoden DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten 2013 1 / 24 Föreläsning 9 Exempel Intervallhalveringsmetoden Newton-Raphsons metod DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi
Läs merRekursion. Koffman & Wolfgang kapitel 5
Rekursion Koffman & Wolfgang kapitel 5 1 Rekursivt tänkande Rekursion reducerar ett problem till en eller flera enklare versioner av samma problem. med enklare menas att underproblemen måste vara mindre,
Läs merString [] argv. Dagens Agenda. Mer om arrayer. Mer om arrayer forts. String [] argv. argv är variabelnamnet. Arrayer och Strängar fortsättning
Dagens Agenda String [] argv String [] argv Arrayer och Strängar fortsättning Booleska operatorer if, for, while satser Introduktion till algoritmer public static void main(string [] argv) argv är variabelnamnet
Läs merTDDC30. Objektorienterad programmering i Java, datastrukturer och algoritmer. Föreläsning 9 Jonas Lindgren, Institutionen för Datavetenskap, LiU
TDDC30 Objektorienterad programmering i Java, datastrukturer och algoritmer. Föreläsning 9 Jonas Lindgren, Institutionen för Datavetenskap, LiU På denna föreläsning: Prioritetskö Heap Representation som
Läs merFöreläsning 5: Grafer Del 1
2D1458, Problemlösning och programmering under press Föreläsning 5: Grafer Del 1 Datum: 2006-10-02 Skribent(er): Henrik Sjögren, Patrik Glas Föreläsare: Gunnar Kreitz Den här föreläsningen var den första
Läs merProgrammering för språkteknologer II. OH-serie: Sökning och sortering. Algoritm
Programmering för språkteknologer II OH-serie: Sökning och sortering Mats Dahllöf Sökning och sortering Sökning: lokalisera objekt i samlingar. Finns ett visst värde? I så fall: var? Sortering: placera
Läs merDugga Datastrukturer (DAT036)
Dugga Datastrukturer (DAT036) Duggans datum: 2012-11-21. Författare: Nils Anders Danielsson. För att en uppgift ska räknas som löst så måste en i princip helt korrekt lösning lämnas in. Enstaka mindre
Läs merTentamen Datastrukturer (DAT036)
Tentamen Datastrukturer (DAT036) Datum och tid för tentamen: 2012-08-24, 8:30 12:30. Ansvarig: Nils Anders Danielsson. Nås på 0700 620 602 eller anknytning 1680. Besöker tentamenssalarna ca 9:30 och ca
Läs merFöreläsning 13 Datastrukturer (DAT037)
Föreläsning 13 Datastrukturer (DAT037) Fredrik Lindblad 1 11 december 2017 1 Slides skapade av Nils Anders Danielsson har använts som utgångspunkt. Se http://www.cse.chalmers.se/edu/year/2015/course/dat037
Läs merKTH, NADA, Vahid Mosavat. 1. Flervalsfrågor (5p)
KTH, NADA, Vahid Mosavat 2D1343, TENTAMEN I DATALOGI FÖR ELEKTRO Onsdagen den 31 mars 2004 kl 8-13 Maxpoäng: tenta+bonus = 50+7. Betygsgränser: 25 poäng ger trea, 35 ger fyra, 45 ger femma. Otydliga/svårlästa
Läs mer