Vägverket avtalsnummer AL80 B 96:10045

Transkript

1 Vägverket avtalsnummer AL80 B 96:10045 Thomas Ekdahl, Petter Kappel Allogg AB Telefon: Telefax: all@allogg.se Box hemsida: MARIEFRED

2 INNEHÅLLSFÖRTECKNING Bakgrund...1 Metod...1 Projektets olika arbetsmoment...2 Säkerhet...2 Miljö...2 Framkomlighet...3 Allmänt om induktiva slingor...3 Informationsinnehåll från slingorna...4 Olika typer av slingor...5 Slingornas placering...6 Olika mätstorheter...6 Noggrannhet, tidsupplösning mm i utdata...7 Nuvarande detekteringssystem och möjligheter till modifieringar...8 Möjlighet till olika analysförfaranden...9 Korrelationsanalys...12 Neurala nätverk...15 Slutkommentar...17 Nya möjligheter...17 Oanade svårigheter...18 Bilaga 1: Beräknad detektorfunktion för en rektangulär slinga...19 Referenslista...24

3 Bakgrund Allogg AB har fått i uppdrag av Vägverket att inom ramen för projektet Indata fordonsdetektering i trafiksignaler Göteborg göra en förstudie. I uppdraget ingick att förstudien skulle behandla vad som är möjligt att detektera i realtid förväntad kvalitet på indata identifiering och beskrivning av ev. möjliga alternativa parametrar/analysförfaranden tillgängligheten i systemen och ev. behov av kompletteringar beskrivning av var det är möjligt att detektera allmän beskrivning av detektorsystem utgående från projektet Relevant information från olika detektorsystem [Ref.1] Resultatet av förstudien är en beskrivning av möjligheterna att fortsätta projektet och projektresultatet utgörs av den kunskap och information som framkommit i projektet. En betydande del av denna kunskap och information redovisas i denna rapport. Vi vill dock samtidigt betona att vi inte ser rapporten i sig som resultatet. Det viktiga har varit att skapa en kunskapsbas som kan komma till konkret användning i framtida system. Vi har också lagt vikt vid att i de teoretiska resonemangen arbeta mot vad vi tror kan vara närliggande praktiskt genomförbara lösningar. Metod Denna del av projektet är en förstudie och omfattar i första hand inhämtande av information samt teoretiska bearbetningar och idéskapande. Arbetet är dock konsekvent inriktat mot tänkbara praktiska tillämpningar och utgör sålunda en kunskapsbas för övergång från teori till praktik. Information har inhämtats genom direkta kontakter med Bertil Åkerström m.fl. på ETA angående teknisk lösning och prestanda för detektorsystemen i befintliga anläggningar projektmöten i form av arbetsmöten med projektledare Magnus Sjöalt m.fl. samt deltagande i mera allmänt möte om indatasystem databassökningar och konferensdeltagande genomgång av ett urval fackpress personliga kontakter med personer i Sverige och övriga Europa, verksamma inom trafiksignal- och trafikanalysområdet Information från insamlat material och personliga kontakter har kombinerats med eget kunnande sedan tidigare och på så sätt har egna och andras idéer bearbetats. Vi har konstaterat att induktiva slingor är en så dominerande detekteringsteknik i samband med trafiksignaler att vi, med hänsyn till projektets begränsade omfattning, valt att i praktiskt taget alla beräkningar och exempel referera till induktiva slingor som detekteringsprincip. Andra tekniker som videodetektering, mikrovågsdetektering etc. kommer säkert att få en 1 (22)

4 successivt ökad betydelse även inom trafiksignalområdet. I dagsläget torde dock andra tekniker vara mest intressanta som möjliga kompletteringar när man utifrån tillgängliga installationer vill bygga upp ett så komplett och kostnadseffektivt indatasytem som möjligt. Projektets olika arbetsmoment Säkerhet Inriktningen i såväl informationssökandet som i beräkningar och idéskapande har haft en klar inriktning mot säkerhets- och miljöaspekter. Vi har dock ej här tagit med i trafiksignalsammanhang redan välutvecklade aspekter som algoritmer för hantering av fordon i den s.k. dilemmazonen. Säkerhetsaspekterna innebär istället bl.a. att vi söker finna om data från trafiksignalsensorerna i sig eller dessa kompletterade med annan information kan generera mätstorheter som på ett korrekt sätt beskriver instabiliteter i trafikbilden. Vad som varit möjligt inom ramen för detta projekt är främst en beskrivning av tillgängliga data, direkt eller med kompletterande utrustning, med inriktning mot vad vi kan förvänta oss vara relevant för instabilitetsdetektering. Vi vill sålunda påpeka att instabilitetsdetekteringen i sig, och framförallt dess betydelse för att detektera och sedermera åtgärda reella och potentiella konfliktsituationer, fortfarande är ett nytt område med begränsad tillgänglig kunskap. Kunskapsuppbyggnad inom detta område pågår dock parallellt bl.a. hos oss på Allogg AB i samarbete med Vägverket, men naturligtvis också på andra ställen i världen. Naturligtvis söker vi nyttja redan tillgänglig kunskap hos oss själva och hos våra kontakter och samarbetspartners inom och utom landet. Till säkerhetsbilden hör även att söka utnyttja tillgänglig information på ett sätt som medför att vi kan få ut information relaterade icke enbart till specifika mätpunkter utan också till mätsträckor, dvs. att gå från punktdata till sektionsdata. Vi kan t.ex. notera att resandetider inte bara är ett framkomlighetsmått utan också ett säkerhetsmått, särskilt om vi även tar med spridningar i resandetider och avvikelser i resandetider från prognosvärden. Miljö Som ovan nämnts under säkerhet har såväl informationssökandet som beräkningar och idéskapande haft en klar inriktning mot säkerhets- och miljöaspekter. Vi tänker då främst på trafikens påverkan i form av emissioner och bullerstörningar i befintligt trafiksystem. Påverkan i form av intrång i naturen och stadsrummet har vi ej ansett ligga inom detta projekt. Det vi här arbetar med är i första hand direkt trafikdetektering. För att utifrån detta få en uppfattning om miljöpåverkan måste vi känna korrelationen mellan olika genom trafiksignaldetektorerna mätbara trafikparametrar och emissioner, buller etc. I ett längre perspektiv bör därför projektet enligt vår mening innehålla, eller kopplas till andra projekt, där dessa korrelationer utreds. Kombinerade mätningar kan då utföras med mättekniker som DOAS (Differentiell Optisk Absorptions Spektroskopi) och FEAT (Fuel Efficiency Automobile Test). Med kunskap om dessa korrelationer kan vi sedan förhoppningsvis gå vidare och använda trafikdata från trafiksignalerna även i prognosarbetet i enlighet med målen i t.ex. EFFECT. Man ska 2 (22)

5 naturligtvis även använda redan tillgänglig information om dessa korrelationer. Dock tycks det mesta som gjorts på detta område avse laboratoriemässiga mätningar vilket inte är detsamma som att mäta i den verkliga trafiksituationen. Det vi främst har kunnat göra med direkt inriktning mot miljön på detta stadium i projektet är att försöka analysera vilka parametrar som kan förväntas vara korrelerade till miljöpåverkan och samtidigt mätbara i trafiksignalanläggningarna. Typiska tänkbara parametrar är vikt- eller längdklassificering av fordon, flöde, stillastående köer, hastigheter, hastighetsvariationer, accelerationer etc. Det är t.ex. inte bara mängden trafik utan även trafiksammansättningen som har stor betydelse för hur stora emissioner vi får. Trafikmätningar är enklare och mindre kostsamma än många direkta luftföroreningsmätningar. En viktig uppgift är att bestämma inte bara hur stora emissionerna är utan också var de allvarligaste emissionerna uppstår. Trafikmätningar med kända korrelationer till emissioner i verkliga situationer är här kanske den f.n. enda realistiska vägen. På sikt vill vi även kunna göra predikteringar för detta och då torde trafikmätningarna bli än viktigare. Sensor fusion skulle här kunna vara en mycket intressant möjlighet. Vi har i andra sammanhang föreslagit sådan teknik för kombination av trafik och väderdata [Ref. 2] tillämpbart t.ex. inom projektet Säkereken. Ett exempel på sensor fusion skulle kunna vara att kombinera trafikdata från trafiksignaler med direkt ljudanalys vid korsningar där bullerstörningar pga accelerationer kan förväntas. Naturligtvis kan man även kombinera med emissionsdata, även om detta mättekniskt är något besvärligare. Neurala nätverk för ljudanalysen kan vara en möjlighet [Ref. 3]. Mest intressant är att kombinera med detektorer uppströms korsningen då detta medför potentiella möjligheter till predikteringar och åtgärder utgående från förväntade miljödata. Framkomlighet När det gäller att använda trafikdata i realtidssystem är det oftast framkomlighet som behandlas. Vi har i denna och andra studier försökt lägga en starkare betoning på säkerhet och miljö än vad som är vanligt. Detta hindrar naturligtvis inte att vi även tar med framkomlighetsaspekterna. Framkomligheten behandlas ofta i olika trafikmodeller. Grundläggande indata till trafikmodeller är t.ex. information om flöde, fordonstäthet och hastighet. För trafikmodeller gäller ofta att man i grunden är i behov av sektionsrelaterade data i realtid snarare än punktdata, även om punktdata i sig också ger väsentlig information. I praktiken får man dock ofta nöja sig helt med punktdata då de flesta installerade system är baserade på punktinformation. System med t.ex. nummerplåtsidentifiering eller electronic tags förekommer visserligen men oftast i begränsad omfattning. Intressant är bl.a. att se dels om den typ av data som trafiksignaldetektorerna kan prestera också kan ge någon form av sektionsrelaterade data, och dels hur dessa kan kombineras med andra tekniker som t.ex. nummerplåtsläsning. Allmänt om induktiva slingor Som ovan nämnts koncentrerar vi oss i detta arbete på induktiva slingor pga av deras dominans som detektorer i samband med trafiksignaler. Vi kommer här att dels beskriva vad 3 (22)

6 man generellt kan tänkas få ut för information ur de induktiva slingor som finns installerade i samband med trafiksignalerna, och dels beskriva vad man kan tänkas få för information med utnyttjande av redan befintlig elektronik för registrering av slingsignalerna. Informationsinnehåll från slingorna Slingtekniken baseras på att den i vägbanan installerade slingan ingår i en resonanskrets. När ett fordon eller annat metallföremål kommer in över slingan ändras induktansen. Detta beror dels på virvelströmmar i chassiet och/eller andra delar av fordonet, och dels på ferromagnetiska effekter från järn eller andra ferromagnetiska material i fordonet. Dessa två effekter verkar åt motsatt håll. Virvelströmmarna medför en minskad induktans medan ett ferromagnetiskt föremål i eller nära slingan ger en ökad induktans. Induktansförändringen ger upphov till en frekvensändring i resonanskretsen och det är denna som detekteras. I trafiksignaler lägger man normalt en tröskelnivå och ett fordon anses detekterat då frekvensändringen överstiger en viss nivå. Man tar dock även hänsyn till att man ej vill registrera mer permanenta ändringar pga förändringar i slingans omgivning som parkerade fordon och liknande. Eftersom det är virvelströmmarna som dominerar blir detekteringen känslig för chassiets utseende och dess höjd över marken. Känsligheten avtar i princip med kvadraten på avståndet mellan slinga och fordon. För en mer detaljerad beskrivning av fältutseendet kring en slinga se Bilaga 1. Den där beskrivna detektorprofilen är av betydelse om man vill jämföra registreringar från en detektor med registreringar från en annan detektor t.ex. för att erhålla sektionsrelaterad information. Enkla slingor så som de oftast förekommer vid trafiksignaler kan användas för antalsräkning, närvarodetektering och bestämning av occupation time. Med hjälp av mer avancerad signalprofilanalys utgående från den kompletta analoga profilen kan även klassificering och i någon mån hastighetsbestämning göras för enskilda fordon. Exempel på analoga profiler ges i Figur 1 som visar en personbil passerande helt respektive delvis över slingan. Även med ren tröskel-detektering kan hastigheten uppskattas. Då måste man dock arbeta med någon form av medelhastighet hos ett antal fordon. Figur 1 visar också tydligt betydelsen av att om möjligt välja registeringspunkter där fordonen passerar med en god fildisciplin. Figur 1 4 (22)

7 Olika typer av slingor Ett antal olika typer av slingutformningar förekommer vid trafiksignaler. Utnyttjade för trafikanalys ger slingorna olika information bl.a. beroende på deras fysiska utformning. I bilaga 1 redovisas fältet från en rektangulär slinga. Detta fält kan sägas representera en detektorfunktion vars geometriska effekt teoretiskt skulle kunna dras bort från den signal som ett fordon ger upphov, t.ex. genom ett avfaltningsförfarande. Det är dock troligt att situationen ofta är så komplicerad att andra förfaringssätt som t.ex. neurala nätverk är mer realistiska. Avfaltningsförfarandet är dock mer intressant ur analytisk synvinkel eftersom det även skapar förståelse för själva processen. Slingornas utformning har ur trafiksignalsynpunkt olika funktion som t.ex. passagedetektering och närvarodetektering. De snedställda parallellogrammerna och chevronformade slingorna är avsedda att även detektera s.k vertikala fordon som cyklar, mopeder och motorcyklar. Åtminstone cyklar och mopeder kan lätt tappas bort vid passage mitt över en vanlig rektangulär slinga. Slingorna geometriska form kan klassificeras på olika sätt. Ur vårt perspektiv kan en uppdelning t.ex. göras enligt följande korta rektangulära slingor som täcker flera körfält korta rektangulära slingor som täcker ett körfält korta rektangulära slingor i par långa rektangulära, s.k. long-loopar snedställda parallellogramformade slingor som täcker flera körfält snedställda parallellogramformade slingor som täcker ett körfält chevronformade slingor Figur 2 För samtliga slingtyper existerar någon typ av detektorfunktion som i princip kan avfaltas. Dock gäller att informationen blir olika svårtolkad beroende på slingans utformning. Beträffande slingans utsträckning i körriktningen kan man teoretiskt tänka sig en oändligt kort slinga. Även i detta fall kommer dock fältet att ha en ändlig utsträckning och vi måste fortfarande avfalta den uppmätta funktionen för att ta fram den rena fordonsprofilen. Med hjälp av andra tekniker som t.ex. laserprofilmätning kan man åstadkomma detektorfunktioner som är så smala att signalbreddningen kan försummas. Detektorfunktionen blir då en s.k. δ- funktion och den uppmätta signalprofilen motsvarar direkt själva fordonsprofilen. För utsträckta slingor som t.ex. de s.k. long-looparna blir informationen än mer utsmetad då 5 (22)

8 t.ex. flera fordon kan förekomma inom slingan samtidigt [se även Ref. 2]. För de snedställda slingorna blir också informationen svårtolkad eftersom tidssättningen blir olika beroende på position i vägbanan. Allmänt gäller också att för breda slingor som täcker flera körfält blir det svårt och ofta omöjligt att särskilja omkörande fordon som samtidigt befinner sig över slingan. Detektorfunktionen blir naturligtvis också beroende av antal varv i slingan och förläggningsdjupet. Sålunda får man t.ex. olika detektorfunktioner då samtliga varv hålls samman i botten av det frästa detektorspåret respektive då man medvetet eller genom slarv får ett avstånd mellan de olika slingvarven. Vi föreslår att när det blir aktuellt med praktiska prov inledningsvis arbeta med rektangulära korta slingor som endast täcker ett körfält i taget. Detta hindrar inte att även övriga slingor i ett något senare skede kan ge värdefull information. Slingornas placering Bäst är att använda slingor som ej ligger alltför nära korsningen för att få så lite stillastående fordon som möjligt. Önskvärt är också att samtidigt med pulsregistrering och/eller annan fordonsanalys få uppgift om signaltillståndet i trafiksignalen. För viss typ av analys kan vi då eventuellt arbeta med friflödesbedömningar och enkla dödtidskorrigeringar utgående från trafiktillstånden då signalanläggningen har grönt ljus i den aktuella färdriktningen. Under alla omständigheter är det i ett kunskapsuppbyggande inledningsskede väsentligt att kunna följa signalväxlingarna samtidigt med trafikanalysen. Olika mätstorheter Vanliga mätstorheter vid mätning med induktiva slingor är Flöde (volym) Beläggning (occupancy) Hastighet Fordonslängd Täthet (densitet) Andra variabler som acceleration, stopptid, transporttid, kölängd etc kan också beräknas. I vissa fall krävs då flera närliggande slingor med mycket god tidsupplösning. Flöde i form av antal fordon per tidsenhet (för andra typer av flöden se nedan) blir om varje fordon ger upphov till en och endast en urskiljbar puls liktydigt med antal pulser per tidsenhet. Felaktigheter i flödesbestämningen kan t.ex. uppstå då en slinga ligger över flera körfält. Omkörande fordon som ej ger upphov till en tidlucka mellan fordonen kan då ej separeras och vi får för låga värden på flödet. Detta blir naturligtvis extra känsligt vid tät trafik och köbildningar. då vi har olika slingor för olika körfält och samtidigt dålig fildisciplin så att ett fordon kan aktivera flera slingor. Vi riskerar då att få för höga flödestal. Detta kan, om tidsupplösningen är mycket god, hanteras med hjälp av rätt utformad programvara. när långa fordon med varierande chassihöjd ger upphov till flera pulser. Kan eventuellt i viss utsträckning hanteras med t.ex. sannolikhetsbedömningar i programvara. eftersom s.k. vertikala fordon som cyklar, mopeder och motorcyklar riskerar att ej ge någon registrering. 6 (22)

9 Beläggningsgrad eller occupancy är ett mått på hur stor del av den totala tiden inom en given tidsperiod som något fordon ger upphov till signal i detektorutrustningen. För att analytiskt i t.ex. trafikmodeller kunna använda beläggningstider på ett sätt som är oberoende av detektorns typ och utformning bör man söka eliminera eller åtminstone fastställa effekten av detektorn i sig. Vad vi i princip vill beräkna är en beläggningstid som utgör den del av den totala tiden inom det givna tidsintervallet som något fordon befinner sig över en tänkt linje vinkelrätt mot körriktningen. Arbetar man med kompletta signalprofiler kan man arbeta med avfaltningsfunktioner eller andra avancerade metoder som t.ex. neurala nätverk [se vidare Ref. 2]. Arbetar vi med tröskelvärden och pulslängder, och om vi samtidigt känner eller kan uppskatta hastigheten, kan det ev räcka med att dra bort ett tal motsvarande slingans utsträckning i körriktningen kompletterat med ett tal representerande skillnaden i fysisk fordonslängd respektive elektromagnetisk fordonslängd. Båda dessa tal är hastighetsberoende och det senare talet är egentligen också fordonsberoende. I praktiken arbetar vi dock här med så pass grova metoder att vi troligen kan arbeta med samma kompensation för skillnaden i fysisk fordonslängd respektive elektromagnetisk fordonslängd för alla fordon. Det vore dock bra att säkerställa detta genom praktiska mätningar. Den givna tidsperioden över vilken beläggningen beräknas kan vara flytande på samma sätt som när man beräknar flytande medelvärden men man kan också tillämpa samma typ av rekursivitetsförfarande som tillämpas i Alloggs köanalyser. Man kan också använda förhållandet mellan flöde och beläggning vilket t.ex. kan användas som ett mått på effektiviteten. Genom faktoranalys eller liknande teknik kan man avgöra om det är mer relevant att arbeta med detta förhållande och på så sätt också reducera datamängden med bibehållande av den väsentliga informationen. Vid hastighetsbestämning med induktiva slingor är det vanligt att man använder parvisa slingor och beräknar hastigheten utifrån passagetiden från en slinga till den andra. Hastigheten kan dock också i någon mening bestämmas med enbart en slinga. Även fordonslängden kan i viss mån bestämmas med bara en slinga om man arbetar med mer avancerade metoder som avfaltningar eller analys med neurala nätverk [Ref. 2]. Noggrannhet, tidsupplösning mm i utdata Det är viktigt att känna till kvaliteten på de data man använder i sin analys. Till kvalitetsmåtten hör dels rena mätnoggrannhetsstorheter som tidsupplösning och analog upplösning i signalprofilen men även effekter som drifter i systemet och eventuella bortfall. Utgående från befintlig utrustning blir den grundläggande tidsupplösningen i systemet beroende på hur vi hanterar indata. Med lagring av data på halvsekundnivå begränsas naturligtvis upplösningen till 0.5 sekunder efter att dessa operationer genomförts. På en lägre nivå i systemet är dock tidsupplösningen bättre. Om data lagras via styrapparaten blir tidsupplösningen beroende av scanningsfrekvensen, dvs hur ofta slingorna avläses i styrapparaten. Avläsningen sker enligt uppgift var 240:e ms för styrapparat ELC2 och var 80:e ms för ELC3. ELC3 ger sålunda en betydligt bättre tidsupplösning än den som nyttjas i den nuvarande 0.5 sekundsavfrågningen. Den angivna tidsupplösningen är baserad på 8 stycken 7 (22)

10 anslutna slingförstärkare. Möjlighet finns till prioriteringar av vissa slingor och anslutning av färre slingor varigenom scanningfrekvensen kan ökas och därmed tidsupplösningen förbättras. En ännu bättre tidsupplösning erhålles då data överföres direkt från detektorförstärkaren till PLC. Tidsupplösningen blir då direkt beroende av upplösningen på det aktuella detektorförstärkarkortet. Beträffande upplösningen i den analoga signalen blir denna naturligtvis helt olika om man arbetar med enkla tröskelnivåer eller om man arbetar med signalprofilanalys. Det normala i trafiksignalsammanhang torde vara att arbeta med tröskelnivåer. Betydelsefullt för noggrannheten är då främst drifter i systemet. Detta är ett i trafiksignalsammanhang välkänt fenomen som så vitt vi förstått väl tas om hand i de flesta detektorförstärkare. Vi har dock f.n. inga siffror på detta. Genom att ersätta de befintliga korten med nya för analog signalanalys anpassade detektorförstärkare kan troligen såväl den analoga signalamplitudsupplösningen som tidsupplösningen förbättras avsevärt. Vi bedömer att det vore önskvärt med en tidsupplösning på 1-5 ms. Beträffande signalamplituden är behoven mer oklara och i högsta grad beroende av valt angreppssätt och analysförfarande. Ytterligare utredning behövs här. Nuvarande detekteringssystem och möjligheter till modifieringar Enligt uppgifter som vi fått från ETA består de nuvarande detekteringssystemen av ett antal varianter. Så förekommer t.ex. minst fem olika typer av detektorförstärkarkort levererade av bl.a. PEEK-Traffic och Microsense. Detektorförstärkarkorten är kopplade till styrapparaten och i vissa fall också direkt till en PLC. Dessutom är styrapparaten kopplad till PLC:n (se Figur 3). PLC SAIA PC 14 Detektorförstärkare typ MZ MXE FEIG Canega ED Data till Vägverket avfrågning varje 1/2 sek IOC-kort (in-/utgångskort) Styrapp. ELC2 ingång scannas var 240:e ms Styrapp. ELC3 ingång scannas var 80:e ms Direktpuls från resp. detektor till PLC Puls från IOC-utgång till PLC Puls från resp. detektorförstärkare till ingångskort IOC Figur 3 Enligt bl.a. indatabeskrivningar från DALTEK [Ref. 4] är PLC:erna av typen SAIA PCA 14 vidarekopplade till en industridator kallad TIC-C. PLC:ernas status avläses periodiskt varje halvsekund och anger om en detektorslinga är belagd eller ej. Den grundläggande tidsupplösningen i detta system blir sålunda 0.5 sekunder. När data sedan förs över till indatasystemet GENI har data reducerats ytterligare och vi får då följande information från respektive detektorslinga: detektorns status vid avläsningen (belagd/icke belagd) 8 (22)

11 antal halvsekunder sedan senaste avfrågning antal positiva flanker som upptäckts sedan senaste avfrågning antal pulser kortare än eller lika med två sekunder antal pulser längre än två sekunder men kortare än eller lika med sex sekunder antal pulser längre än sex sekunder Pulsinformationen enligt ovan är värdefull om avfrågningen av TIC-C sker relativt sällan. Det går dock enligt uppgift att göra tätare avfrågningar och bygga upp motsvarande, eller annan, logik centralt. Den grundläggande upplösningen på 0.5 sekunder kvarstår dock. Tidsupplösningen med indelning i intervallen 0-2, 2-6, 6- sekunder får anses som mycket grov för många trafikanalytiska tillämpningar. Enligt vår mening bör man därför undersöka möjligheten att omprogrammera PLC:erna för att få en bättre tidsupplösning och reducera data på ett bättre sätt. Detta kan, särskilt i ett inledningsskede, även göras centralt. På sikt bör dock generellt sett, enligt vår mening, data reduceras på ett intelligent sätt så långt ut i systemet som möjligt. Vi har sålunda redan i nuvarande system en infrastruktur som medger central avläsning av vissa trafiksignaldetektorer. Den information som kan avläsas är dock begränsad. Genom att detektorförstärkarkorten är direktkopplade till PLC:erna borde det finnas möjlighet att väsentligt höja tidsupplösningen. Detta kan användas för mer noggranna beräkningar av t.ex. flöde och beläggning och även för skattningar av fordonslängder och hastigheter enligt ovan. Vissa möjligheter finns också till korrelationsstudier utgående från dessa pulsströmmar och man kan ev utnyttja informationen för övergång från punktdata till sektionsrelaterade data. I ett tidigare stadium i projektet hade vi även planer på att inom ramen för detta projekt i kombination med projektet Trafikanalys med neurala nätverk kunna göra några inledande försök för att se potentialen i att nyttja neurala nätverk för att bedöma trafiksituationer utgående från den ovan beskrivna idag tillgängliga informationen. Det visade sig dock tyvärr att detta ej rymdes tidsmässigt inom någotdera av projekten men vi hoppas naturligtvis att kunna utföra detta inom ramen för framtida projekt. Uppbyggnaden av detektorsystemet enligt Figur 3 visar också att det borde vara relativt enkelt att byta ut befintliga detektorförstärkarkort mot nya kort med bättre tidsupplösning på korten i sig, och med möjlighet till analys av den analoga signalprofilen på själva detektorkortet. Detta skulle kunna göras utan att störa själva trafiksignalsystemet förutsatt att det nya kortet samtidigt som det utför en mer avancerad analys också levererar signaler till styrapparater kompatibla med nuvarande signaler. Utgående från ovanstående beskrivningar av de induktiva slingornas potentiella informationsinnehåll öppnar detta möjligheter till betydligt mer avancerad analys genom kombination av information från olika detektorer inom och utom trafiksignalanläggningen. Vi får bl.a. möjlighet att gå från punktdata till sektionsdata. Eventuellt kan man också arbeta med omprogrammering av redan befintliga detektorförstärkarkort. Byte av kort eller omprogrammering kommer endast att gälla ett begränsat antal kort representerande detektorer som dels är viktiga ur trafikanalytisk synvinkel, och dels har en utformning och placering att vi får tillräckligt bra kvalitet på indata. Möjlighet till olika analysförfaranden Grundläggande indata till trafikmodeller är t.ex. information om flöde (t.ex. fordon per tidsenhet) 9 (22)

12 fordonstäthet (t.ex. fordon per längdenhet) hastighet Flöde mäts ofta som antal fordon per tidsenhet men man kan även arbeta med andra flödesmått. I statistiska sammanhang användes förr ofta antal axlar eller axelpar per tidsenhet. Ett annat någorlunda enkelt och i traffic management-sammanhang relevant mått är fordonslängd per tidsenhet. Detta mått är nära knutet till en kombination av de vanliga mätstorheterna occupation rate och flöde i form av fordon per tidsenhet. Det är således ett mått som låter sig bestämmas eller åtminstone skattas ur den information som idag finns tillgänglig från trafiksignalernas induktiva slingor. Såväl occupation rate som flödet i form av antal fordon per tidsenhet kan bestämmas med den tidigare av Allogg i samband med köanalys tillämpade rekursiva medelvärdesbildningen. Man får då också ett rekursivt medelvärde på flödet mätt i t.ex. sorten meter-fordon per sekund. Betydelsen av flödet i form av meter-fordon per tidsenhet finns behandlat i [Ref. 1]. Där redovisar vi en del egna beräkningar och ger också en del andra informationer och referenser [Ref. 5 och 6]. Vi tar också kortfattat upp olika mätmetoder för flöden samt beskriver andra flöden som massflöde, energiflöde och personflöde. Då meter-fordon per tidsenhet låter sig beräknas ur occupation rate och antal fordon per tidsenhet kan man diskutera om det är meningsfullt att gå över till denna storhet. Meningsfullheten ligger i, som vi ser det, att meter-fordon per tidsenhet är ett i vissa sammanhang mer direkt och lättfattligt begrepp samt att det eventuellt kan vara en i t.ex. köanalyssammanhang mer ortogonal variabel vilket underlättar analysen. För en kortfattad diskussion om ortogonalitet och faktoranalys se nedan under Neurala nätverk samt [Ref. 2]. Fordon per längdenhet är en storhet som kräver att man på något sätt mäter över en sträcka. Förändringen i antal fordon per längdenhet kan bestämmas genom samtidig mätning av flöde in och flöde ut på en given sträcka. Även här kan man om man så vill arbeta med meterfordon per längdenhet vilket är ett direkt mått på packningsgraden på den givna sträckan. Hastigheten kan t.ex. bestämmas som hastigheten hos varje enskilt fordon medelhastigheten över en viss tidsperiod med fast eller flytande tidsfönster medianhastigheten över en viss tidsperiod med fast eller flytande tidsfönster rekursiv medelhastighet med möjlighet till olika rekursivitetskonstanter eller rekursivitetsvariabler I en trafiksignal där vi normalt har tillgång enbart till information från en slinga i taget kan hastigheten fortfarande i någon mening bestämmas. I sin enklaste form kan vi anta att alla fordon har en given elektromagnetisk medellängd. Utgående från den registerade medelpulslängden kan vi då bestämma medelhastigheten. Ett annat och troligen bättre sätt skulle vara att välja ut t.ex. de 50% fordon som har mest lika pulslängd och förmoda att dessa har en längd typisk för personbilar. Går vi ytterligare ett steg kan man analysera hela pulslängdsfördelningen och i några testfall kombinera detta med andra mätmetoder för att se hur denna fördelning relaterar sig till den verkliga fordonslängden uppmätt med t.ex. axelsensorer, dubbla slingor, laser eller videoteknik. Axelsensorer torde ge den högsta mätnoggrannheten i sig men mäter inte det vi vanligen förknippar med 10 (22)

13 fordonslängd utan kräver att vi lägger till ett skattat överhäng före första respektive efter sista axeln på ett fordon. Optiska tekniker som laser och videoteknik har i princip större möjlighet att mäta den fysiska längden. De videosystem som normalt används vid trafikanalys har dock en sämre noggrannhet än axeldetekteringen. Dessutom är tolkningen av resultaten inte alltid entydiga eftersom vi ska tolka en tredimensionell bild projicerad i ett tvådimensionellt plan. Den scannande lasertekniken mäter i princip i tre dimensioner men här är vi ännu något osäkra på mätnoggrannheten. Naturligtvis kan man även tillämpa mer avancerade metoder som neurala nätverk eller avfaltningsförfarande i kombination med derivering av signalprofilen. Med den elektromagnetiska medellängden menar vi den längd som registreras av den induktiva slingan. Denna längd är ej liktydig med den verkliga längden uppmätt med mekaniska eller optiska instrument. Den elektromagnetiska längden är framförallt beroende av chassiets utformning och slingans utformning och storlek. Effekten av olika slingor kan i princip tas bort genom ett avfaltningsförfarande. Bretherton et al har undersökt möjligheten till incidentdetektering med detektordata från SCOOT-baserade trafiksystem. Detta görs genom att analysera en kombination av historiska data och realtidsdata. Incidentdetekteringen baseras i denna studie på analys av plötsliga förändringar i flöde och/eller beläggning, antingen genom att jämföra dessa värden med aktuella medelvärden för platsen i fråga eller genom att jämföra med representativa historiska värden [Ref. 8]. Det är svårt att säga hur överförbara resultaten från Bretherton et al är till t.ex. förhållandena i Göteborg. Både flöde och beläggning är relativt lätta att mäta vilket gör tekniken intressant. Det finns också möjligheter till olika varianter av kombinationer av realtidsdata och historiska data. Vi föreslår att man inledningsvis arbetar med någon form av tröskelvärden, kompletterat med en hysteresfunktion, i förändringarna av flöde och beläggning. Arbetar vi med jämförelser både med realtidsdata och historiska data kan vi enkelt med Boolsk algebra kombinera fyra logiska storheter. Enkelt är det dock inte att säga vilken kombination som är bäst utan detta kräver analys av i praktiken uppmätta värden. Analysen kan göras utgående från något i förväg uppsatt godhetstal representerande t.ex. förhållandet mellan antalet korrekt upptäckta incidenter och totala antalet av systemet registrerade incidenter. Enligt vår bedömning är det minst lika intressant att undersöka dessa algoritmer också för instabilitetsidentifiering. Cherret et al vid Transportation Research Group, The University of Southampton redovisar intressanta bearbetningar av flöde och beläggningsdata från induktiva slingor. De refererar till samma typ av enstaka slingor som används i t.ex. SCOOT och arbetar sålunda med en tidsupplösning begränsad till c:a 250 ms [Ref. 7]. De har funnit det givande att arbeta med ett begrepp som de kallar switching ratio. Utifrån detta begrepp har man också, trots den mycket begränsade tidsupplösningen på 250 ms, med viss framgång gjort predikteringar av resandetider mellan två på varandra följande mätpunkter. Detta har dels gjorts med en mekanistisk utgångspunkt och dels med neurala nätverk. Den mekanistiska lösningen ger för långa resandetider och neurala nätverket tycks genomgående lyckas något bättre. Man måste dock observera att man har relativt tätt mellan detektorerna, typiskt ett par hundra meter. 11 (22)

14 Switching ratio beräknas utgående ifrån de pulser som erhålles från de olika detektorslingorna. För varje slingposition används antalet pulser och pulsernas längd. Switching ratio beräknas över en tidsperiod av t.ex. 30 sekunder och definieras som antalet binära ettor under en period dividerat med antalet ettor som följs av en nolla. Antalet binära ettor är ett mått på totala pulslängden eller beläggningen och antalet ettor följda av en nolla är antalet fordon som registerats (egentligen lämnat) på slingan under perioden. Totala pulslängden är, vid jämn hastighet och jämnt flöde, proportionell mot summan av fordonslängderna och mot inversen av hastigheten. Switching ratio kan sålunda sägas i någon mening representera medelfordonslängd dividerat med medelhastighet. En av de intressanta egenskaperna hos switching ratio är att den tycks vara ett enkelt och bra sätt att bestämma när köbildning uppstår vid en detektor. Det är mycket möjligt att switching ratio ger samma typ av köinformation som den av Allogg framtagna metoden med kombination av rekursiva medelvärden i hastighet och flöde. Alloggs beräkningar är dock baserade på detektorer med större informationsinnehåll och bättre tidsupplösning. Intressant är naturligtvis att jämföra algoritmerna och framförallt att se hur de kan kombineras. Korrelationsanalys Indata från trafiksignaler kan användas för korrelationsanalys genom att data från detektorer inom samma signalanläggning korreleras med varandra genom att data från detektorer från olika signalanläggningar korreleras med varandra genom att data från en eller flera signalanläggningar korreleras med kompletterande anläggningar Naturligtvis ska man i första hand se vad som går att få ut ur redan befintliga detektorer. Vi tror dock att det i många fall blir nödvändigt med kompletterande detektorer. Det är dock fortfarande kostnadseffektivt att t.ex. åstadkomma sektionsrelaterade data då delar av befintliga anläggningar kan användas. Jämfört med traditionella metoder inom trafikanalysen innebär korrelationsanalys att man delvis inför ett helt nytt betraktelsesätt för bedömning av trafiksituationer. Detta kan ske genom att registrera fordonspassager i olika mätpunkter och sedan mäta den tidsförskjutning som behövs för att få bästa överensstämmelse (korrelation) mellan signalbilderna i de olika mätpunkterna. Om signalbilden representerar ett antal fordon får man ett kollektivt mått på hastigheten hos dessa fordon. Värdet på den erhållna korrelationskoefficienten innehåller också information om stabiliteten i trafikbilden. På detta sätt inför vi mätstorheter som ej är vanliga i traditionell trafikanalys. De kräver naturligtvis en något annorlunda tolkning än vad vi är vana vid. Vi tror dock att detta är enkla mått som i många sammanhang kan ge god information om trafikflödet över längre sträckor. Framförallt kan man på ett tidigt stadium upptäcka uppkomsten av instabiliteter i trafiken. Instabila situationer är olyckliga såväl ur säkerhets-, som miljö- och framkomlighetssynpunkt. I Figur 4 som hämtats från [Ref. 1] visas en konstruerad stiliserad kösituation med fem fordon. Den ger på ett förenklat sätt ett exempel på vad korrelationsanalysen kan ge för information. 12 (22)

15 Två stycken köer visas. I kö 1 rör sig alla fordonen med en jämn hastighet och ett jämnt tidsavstånd från position/mätpunkt A till position/mätpunkt B. Kö 2 rör sig som kö betraktat med samma hastighet från A till B som kö 1 gjorde. Tidsavståndet från den första till den sista bilen är också detsamma som för kö 1. Detta innebär att även medeltidluckan mellan fordonen blir densamma. Köbilden har dock väsentligt förändrats för kö 2 vid förflyttning från A till B - vi har fått en instabilitet i kön. De traditionella mätstorheterna medelhastighet och medeltidlucka ger samma resultat i båda fallen fast kösituationen ur stabilitetssynpunkt är helt olika.. Däremot blir instabiliteten omedelbart synlig i korrelationskoefficienten r xy. Denna är ett mått på hur väl man genom en tidsförskjutning kan få signalbilden i de olika positionerna att överensstämma Medelhastighet: 30 km/h 30 km/h Medeltidlucka: 1 sek 1 sek Köhastighet: 30 km/h 30 km/h Korrelationskoefficient: 1 0,4 1 Figur 4 Andra former av korrelationer är att följa fordon eller grupper av fordon från en position till nästa position. Detta kan t.ex. baseras på identifiering av signalprofiler med neurala nätverk [Ref. 2]. Genom att införa nya detektorförstärkare som medger profilanalys och samtidig pulsinformation till styrapparaten kan befintliga slingor och infrastruktur i signalanläggningarna användas. Återigen får vi räkna med kostnadseffektiva kompletteringar. Man kan även tänka sig att arbeta med korrelationsanalys utgående från pulser som genereras av befintliga detektorförstärkare. Detta kan jämföras med av Allogg genomförda undersökningar där mätningar gjorts med axeldetekterande Metor-2000-utrustningar men där axeldata överförts till pulsdata som i princip motsvarar data som erhålles från en slingdetektor. Detta gick till så att utifrån av Metor-2000 på traditionellt sätt analyserade fordon med uppgift om fordonshastighet och fordonstyp för varje enskilt fordon genererades fiktiva rektangulära pulser vars längd representerade fordonslängden/fordonshastigheten. Dessa pulser kan således sägas ungefärligen motsvara vad man skulle erhållit med t.ex. en induktiv slingdetektor. Genom att tidsförskjuta de så erhållna pulsströmmarna från en detektor jämfört med en annan detektor kan man analysera var bäst överensstämmelse uppnås, dvs var korrelationen är som bäst. Den så erhållna tidsförskjutningen representerar tiden det tar för den grupp av fordon som funnits i det analyserade tidsfönstret att förflytta sig från detektorposition A till detektorposition B. Med känt avstånd mellan A och B kan hastigheten för gruppen av fordon beräknas. Detta är ett kollektivt hastighetsmått som för en sammanhållen fordonsgrupp kan beskrivas som en köhastighet. Korrelationen bestämdes efter tre olika förfaranden: 1. Förskjutningen i tid gjordes för att erhålla minimum i tidsdifferens mellan närliggande pulser i de olika detektorpositionerna (se Figur 5). Både tidsdifferens mellan pulsernas 13 (22)

16 framkant-framkant och tidsdifferens mellan pulsernas bakkant-bakkant användes. För minimering används antingen summan av tidsdifferenserna absolutvärde eller summan av kvadraten på tidsdifferenserna. t t Figur 5 2. Tillståndet puls gavs värdet +1 och tillståndet icke-puls gavs värdet -1. Tidsförskjutningen kan då göras så att man enkelt optimerar lika tillstånd där tillstånd betyder antingen fordon eller icke-fordon (se Figur 6). Problemet med detta förfarande är att det automatiskt ger en hög korrelation vid lite trafik. Detta är i princip korrekt såtillvida att om det inte är någon trafik i varken position A eller i position B blir korrelationen den högsta möjliga. Det ger dock i detta fall inte svar på de frågor vi egentligen är ute för att bestämma som t.ex. köhastighet Figur 6 3. Tillståndet puls gavs värdet +1 och tillståndet icke-puls gavs värdet 0 (se Figur 7). Här får man inte problemet med automatisk hög korrelation vid lite trafik. Detta förfarande är därför sannolikt att föredra åtminstone vid måttliga trafikmängder. 14 (22)

17 Figur 7 Andra angreppsmetoder för korrelation av induktiva slingdata med speciell inriktning mot övergång till sektionsdata redovisas bl.a. av Kühne et al [private communication] som har utvecklat algoritmer som använder data från induktiva slingor eller induktiva slingor i kombination med axelsensorer. Dessa algoritmer innefattar bl.a. hastighetsnormaliseringar av detektorfunktionerna och en datareduktion som gör det möjligt att jämföra data mellan olika detektorstationer med hjälp av hårdvaruinriktade snabba och troligen förhållandevis billiga lösningar. Data kan sedan användas för restidsberäkningar, incidentdetektering, kölängdsberäkning etc. Ur trafiksäkerhetssynpunkt skulle man vilja utvidga begreppet incidentdetektering till att innefatta instabiliteter i trafiken och potentiella konfliktsituationer. Här kan man även tillämpa konfliktpyramiden enligt Hydén och Ekman. [Ref. 9] Arbete på detta område pågår inom ramen för projektet Säkereken. Neurala nätverk Indata från trafiksignalerna kan också analyseras med neurala nätverk med s.k. unsupervised learning som t.ex. används för att bedöma hur lika en situation är tidigare förekommande situationer. Nätverket kan då gradvis lära sig att känna igen vad som är typiskt. Som indata kan man här mycket väl tänka sig en blandning av rena trafikdata från trafiksignaler ev. kompletterat med data från andra trafikdetektorer, och t.ex. väderdata. Man kan då tillämpa metoder som liknar sk PCA (Principal Component Analysis) eller faktoranalys (FA) vilket är vanliga statistiska metoder. Dessa metoder kan dessutom användas i sig oavsett användningen av neurala nät. PCA är ett sätt att söka maximera informationen i utsignalen. Detta görs genom att försöka finna ortogonala vektorer (dvs oberoende vektorer) i datarummet vilka tillsammans spänner upp en M-dimensionell rymd i det ursprungligen N-dimensionella rummet där M är mindre eller helst mycket mindre än N och där samtidigt det M-dimensionella rummet innehåller så mycket väsentlig information som möjligt. Matematiskt görs detta genom att analysera strukturen i varians/covariansmatrisen genom att söka ta ut egenvärden och egenvektorer ur denna. På detta sätt uppnår man bl.a. att man kan identifiera vad som är naturliga kopplingar mellan olika variabler antalet variabler som man ursprungligen har i rådata minskar vilket underlättar såväl förståelsen av det som studeras som den fortsatta analysen och ev. också dataöverföring till parallella eller överordnade system 15 (22)

18 Kortfattat skulle man också kunna säga att faktoranalysen innebär att man söker grupper av variabler som är starkt korrelerade med varandra samtidigt som respektive grupp är relativt oberoende av andra grupper. Dessa grupper sammansätts till faktorer. Vad man nu förväntar sig är att faktorerna är representativa för den underliggande processen. Detta är mycket intressant i trafikanalytiska tillämpningar, inte minst med anknytning till säkerhetsaspekter, där kunskapen om de underliggande processerna är mycket begränsad. Faktoranalys är således ett angreppssätt som kan vara ett alternativ eller ett komplement till analys med neurala nätverk. Det viktigaste med faktoranalysen är kanske dess möjlighet att skapa förståelse för vad vi ovan kallat naturliga processer. Begreppet naturligt är knappast väldefinierat men innebär åtminstone en inriktning mot att finna grundläggande samband vilket också på sikt ökar möjligheten att vidta relevanta åtgärder. Vid Principal Component Analysis gör man även en analys av efter vilken komponent som variansen är störst, näst störst osv. (Figur 8). Den riktning i figuren utefter vilken variansen är störst eller uppvisar den största strukturen är också oftast den komponent som är mest avgörande för identifiering av t.ex. cluster-bildningar. [Ref. 10] Figur 8 Clusterbildningar är ett viktigt sätt att klassificera trafikinformationen för såväl trafikstyrning som trafikinformation. Framförallt är detta en framkomlig väg när situationen är så komplicerad att det är svårt att ge några enkla väldefinierade beskrivningar. Typiskt för detta 16 (22)

19 är t.ex. begreppet kö eller tät trafik som knappast har någon i detta sammanhang väldefinierad beskrivning. Vi kan och måste också t.v. arbeta med olika givna tröskelvärden baserade på någon form av ingångsuppfattning. Med clusteranalysen finns dock möjlighet att arbeta enbart utifrån insamlade data vilket eventuellt kan ge helt nya infallsvinklar. PCA och faktoranalys är också ett sätt att reducera data när det gäller dataöverföring i ett realtidssystem. Vi är ofta vana att kunna arbeta med stora datamängder och snabba överföringar och datamängderna i dessa sammanhang kan för många te sig ganska små. I praktiskt fungerande kostnadseffektiva trafikanalyssystem kan dock datareduktionen vara av avgörande betydelse. Detta gäller t.ex vid övergång från punkt-data till sektionsrelaterade data. Faktoranalys och PCA, särskilt i kombination med sensor fusion kan vara ett angreppsätt vid trafikmodellarbete i realtid med OD-matriser. Dessa matriser blir ofta stora och svårlösta även med neurala nätverk varför man måste fråga sig vad slutmålet egentligen är. Vi bör då skilja på s.k. realtidstillämpningar och mer långsiktiga tillämpningar som ändring av tidssättning i signalväxlingsschemata och för planering. Realtid är visserligen ett relativt begrepp men om vi här menar system som arbetar på sekundeller minutnivå bör man undersöka om det i vissa fall är mer effektivt att arbeta med andra former, t.ex. PCA och data fusion för att gå mer direkt på målet. Slutkommentar Nya möjligheter Det ligger stora potentiella möjligheter att utnyttja den information som finns tillgänglig från trafiksignaldetektorer för andra trafiktekniska uppgifter än ren trafiksignalstyrning. Detta torde framgå på ett antal punkter i ovanstående redovisning. Några exempel är att kombinera mätresultat från flera trafiksignaldetektorer för erhållande av sektionsrelaterade data och andra indata till trafikmodeller, incidentdetektering mm genom California-algoritmen och dess efterföljare köanalyser och restidsbedömningar utgående från switching ratio köanalyser utgående från rekursiva medelvärden och logiska kombinationer enkel signalprofilanalys avancerad signalprofilanalys med avfaltningar avancerad signalprofilanalys med neurala nätverk ersätta utvalda trafiksignaldetektorförstärkare med nya detektorförstärkare för bättre tidsupplösning samt decentraliserad signal- och databearbetning kombinera mätresultat från trafiksignaldetektorer med andra trafikdetektorer för att få ett bättre resultat enligt ovanstående punkter. Strategiska kompletteringar kan förväntas vara mycket kostnadseffektiva eftersom de medför ett ökat utbyte av redan gjorda investeringar. Kompletteringarna kan bestå av induktiva slingor eller andra typer av detektorer som video, laser etc. kombinera mätresultat för identifiering av instabila trafiksituationer 17 (22)

20 kombinera trafikdata från trafiksignaler med andra data som t.ex. emissioner och buller genom vanlig korrelationsanalys genom sensor fusion-teknik med t.ex. neurala nätverk Oanade svårigheter Vi har inte stött på några oanade svårigheter. 18 (22)

21 Bilaga 1: Beräknad detektorfunktion för en rektangulär slinga Antag en rektangulär slinga med sidan 2 längdenheter. Placera den i xy-planet i ett koordinatsystem i tre dimensioner xyz enligt följande: z y 1 B A -1 D -1 C 1 x Figur 1:1 Benämn de fyra sidorna på kvadraten A, B, C och D enligt Figur 1:1 Använd samband för magnetisk flödestäthet kring rak ledare. 1 µ I B = + r 4π Formel 1:1 ( cos α, cosα ) 2 α 1 l 1 I r B Figur 1:2 l 2 α 2 Använd detta samband för sida A i Figur 1:3. 19 (22)

22 1 I α 1 l 1-1 r (x,y,z) 1 x l α 2 2 I I -1 Figur 1:3 r = ( 1+ x) + z 2 2 l 1 = 1-y, l 2 = 1+y cos α = 1 l,cosα = r l l l 2 + r cos α = 1 y,cosα = ( 1 y) + ( 1+ x) + z ( 1 ) ( 1 ) y y + + x + z Då får vi en magnetisk flödestäthet orsakat av ledare A enligt: r, cos α 1 och cos α 2 insatt i Formel 1:1 ger ( x y z) BA,, = 1 µ I 1 4π 1 y 1 + y ( + x) + z ( 1 y) + ( 1+ x) + z ( 1 ) ( 1 ) y + + x + z På samma sätt bestäms den magnetiska flödestätheten i punkt (x,y,z) orsakade av ledare B, C och D med resultat: ( x y z) BB,, = ( x y z) BC,, = 1 µ I 1 x 1 + x ( 1 + y) + z 4π ( 1 x) + ( 1 y) + z ( 1 ) ( 1 ) µ I 1 4π 1 + x + + x + y + z 1 y ( x) + z ( 1+ y) + ( 1 x) + z ( 1 ) ( 1 ) y + x + z 20 (22)

23 ( x y z) BD,, = 1 µ I 1 + x 1 y ( 1 + y) + z 4π ( 1+ x) + ( 1+ y) + z ( 1 ) ( 1 ) x + + y + z För att kunna summera tillskotten från de olika ledarna (A, B, C och D) måste den magnetiska flödestätheten delas upp i komposanter. Nu är endast den vertikala komposanten B z intressant. Studera ledare A igen, zx-planet. BA BAZ z B AX A I r (1-x) z x Figur 1:4 Då gäller: BA r = B ( 1 x) AZ ( 1 x) ( 1 x) => BAZ = BA = BA r ( 1+ x) + z 2 2 ( x y z) BAZ,, = ( x y z) BBZ,, = ( x y z) BCZ,, = ( x y z) BDZ,, = 1 x µ I 1 y 2 2 ( 1+ x) + z 4π ( ) ( ) ( ) ( ) 1 y µ I 1 + x µ I 1 x + z 4π 1 y + 1+ x + z 1 x + 1+ y y + 1+ x + z 1 + x ( 1 + y) + z 4π ( 1 x) + ( 1 y) + z ( 1 ) ( 1 ) x + + x + y + z 1 y ( ) ( 1+ y) + ( 1 x) + z ( 1 ) ( 1 ) 1 y µ I 1 + x + y + x + z 1 y ( 1 + y) + z 4π ( 1+ x) + ( 1+ y) + z ( 1 ) ( 1 ) x + + y + z och så summan (,, ) = (,, ) + (,, ) + (,, ) + (,, ) B xyz B xyz B xyz B xyz B xyz Z AZ BZ CZ DZ 21 (22)