LARS SVENSSON OCH ERIC NORDENSTAM

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "LARS SVENSSON OCH ERIC NORDENSTAM"

Transkript

1 KORT SAMMANFATTNING AV FLERVARIABELKURSEN LARS SVENSSON OCH ERIC NORENSTAM 1 Normer på vektorrum En avbildning V x x R från ett vektorrum över R (eller C) kallas en norm om λ R (eller C) x, y V (1) λx = λ x (2) x + y x + y (triangelolikheten) (3) x 0 (4) x = 0 x = 0 Ett vektorrum försett med en norm kallas ett normerat rum Låt oss som vanligt införa notationen B(p, r) = {x V : x p < r} för bollen med radie r och centrum i p Till ett normerat rum hör de vanliga topologiska begreppen som: om M V så är p inre punkt i M om B(p, r) M för något r > 0, p yttre punkt till M om p är inre punkt i V M, p randpunkt till M om p är varken inre punkt eller yttre punkt till M Mängden av inre punkter till M betecknas M och mängden av randpunkter M Unionen av M och dess rand kallas slutna höljet av M och betecknas M M kallas (1) öppen om M = M (2) sluten om M = M (3) begränsad om M B(0, r) för något r > 0 2 Konvergens En följd N n x n V säges konvergera mot x då n om ε > 0 N N n N x x n < ε 21 Cauchyföljder En följd N n x n V kallas Cauchy om ε > 0 N N n, m N x n x m < ε Som vi vet så konvergerar varje Cauchyföljd i R n eller C n, men detta är inte i allmänhet fallet om V är ett oändligtdimensionellt rum Vi har därför följande viktiga definition efinition 22 Ett normerat rum i vilket varje Cauchyföljd konvergerar kallas ett Banachrum 1

2 2 LARS SVENSSON OCH ERIC NORENSTAM Med denna definition så visade vi tidigare i kursen att mängden av kontinuerliga funktioner från en kompakt i R n till R med max-normen är ett Banachrum 3 Operatornorm och ekvivalenta normer Låt V och W vara två ändligtdimensionella vektorrum över R (eller C) Mängden L(V, W ) av linjära avbildningar från V till W är själv ett vektorrum genom additionen och multiplikationen med skalär, definierade enligt (S + λt )(x) = S(T ) + λt (X) för S, T L(V, W ), x V och λ R (eller C) Vi ska införa en norm på L(V, W ), men först ska vi titta lite på V Låt v 1,, v n vara en bas för V och låt K : V R n (eller C n ) vara koordinatavbildningen hörande till vår bas, dvs om K(v) = x = (x 1,, x n) så v = x 1v x nv n Vi har då v x 1 v x n v n som med Cauchys olikhet i R n ger v ( v v n 2 ) 1/2 ( x x n 2 ) 1/2 Om B = ( v v n 2 ) 1/2 och x betecknar den Euklidiska normen i R n (eller C n ) så har vi alltså v B x etta visar också att avbildningen v V, x = K(v) R n x x 1v x nv n R är kontinuerlig och således antar ett minimum, säg A, på den kompakta mängden {x R n : x = 1} = S Således har vi att A x 1v x nv n x S Genom att skala x till godtycklig norm och notera att alla leden nedan är homogena under denna skalning ser vi att A x x 1v x nv n = v B x x R n Övning 1 Visa med hjälp av ovan att alla ändligtdimensionella normerade rum över R (eller C) är Banachrum Övning 2 Visa också att om 1 och 2 är normer i ett vektorrum V av ändlig dimension, så existerar strikt positiva reella tal α och β sådana att α x 1 x 2 β x 1 x V Vi säger att alla normer på ett ändligtdimensionellt vektorrum är ekvivalenta då de ger upphov till samma konvergensbegrepp och samma topologiska begrepp Låt T L(V, W ) Eftersom enhetsbollen i V är kompakt (=sluten och begränsad för ändligtdimensionella normerade vektorrum) och V x

3 FLERVARIABEL 3 T (x) R är kontinuerlig så antar T (x) ett maximum där Vi definierar operatornormen enligt T = max T (x) x 1 Övning 3 Verifiera att är en norm Om V och W har dimension n och m respektive så har L(V, W ) dimensionen nm varför i detta fall även L(V, W ) blir ett Banachrum Övning 4 Låt T L(U, V ), S L(V, W ) där U, V och W är ändligtdimensionella normerade rum Visa att S T S T 4 Euklidiska normen på matriser Vi låter R n m (C n m ) beteckna mängden av alla reella (komplexa) n m-matriser På dessa har vi inre produkten R n m R n m R (A, B) sp B T A = B A Övning 5 Hur ser motsvarigheten ut i C n m? Inre produktens symmetri följer av A B = sp A T B = X i (A T B) ii = X i = X i Vi har följande variant på Cauchys olikhet Sats 41 Om A R n m och B R n m så X (A T ) ij(b) ji j X A ijb ij = sp B T A = B A j AB A B där C = (C C) 1/2 är den euklidiska matrisnormen Bevis AB 2 = X ((AB) ij) 2 = X X 2 A ik b kj ij ij k Cauchy på R n X X (A ik ) 2 X (B lj ) 2 ij = X (A ik ) 2 (B lj ) 2 = A 2 B 2 ijkl k l

4 4 LARS SVENSSON OCH ERIC NORENSTAM Anmärkning Förväxla inte den vanliga Cauchys olikhet, A B A B med olikheten i satsen då ju A B betecknar inre produkten medan AB betecknar matrisprodukten mellan A och B en förra är definierad bara då A och B är matriser av samma format 5 Kontinuitet En funktion f : V W mellan två normerade vektorrum kallas kontinuerlig i punkten a V om ε > 0 δ > 0 så att f(b(a, δ)) B(f(a), ε) V δ a > f > ε f(a) W Övning 6 Visa med hjälp av vårt tidigare resonemang om ekvivalenta normer att våra tidigare kända satser, om att kontinuerliga funktioner tar kompakter på kompakter och bågvisa sammanhängande mängder på dylika, gäller för ändligtdimensionella normerade vektorrum Övning 7 Låt f : R n R vara kontinuerlig överallt och att f(x) när x Visa att f antar ett minsta värde Övning 8 Låt f : R n R vara kontinuerlig överallt, f(x) 0 då x och att a R n med f(a) > 0 Visa att f antar ett största värde 6 erivation En avbildning f : V W mellan normerade rum säges vara deriverbar i a om det existerar en kontinuerlig linjär avbildning betecknad f (a) : V W sådan att f(a + h) = f(a) + f (a)(h) + o(h) där o(h) = h ε(h) för något ε : V W sådan att ε(h) 0 = ε(0) då n 0 Vi säger att f är deriverbar i Ω V om f (a) existerar för varje a Ω Således kan f uppfattas som en avbildning från Ω till L(V, W ) 7 Kedjeregeln Sats 71 Om f : U V är deriverbar i a och g : V W är deriverbar i b = f(a) så är g f deriverbar i a med derivata (g f) (a) = g (b) f (a)

5 FLERVARIABEL 5 Bevis Låt h V och sätt k = f(a + h) f(a) å går k mot noll då h går mot noll och k = f (a)(h) + o(h) Vi har nu (g f)(a + h) = g(b + k) = g(b) + g (b)(k) + o(k) = et räcker således att visa att Om k 0 och h 0 så har vi g (b)(o(h)) + o(k) h = (g f)(a) + (g (b) f (a))(h) + g (b)(o(h)) + o(k) g (b)(o(h)) + o(k) = o(h) g (b) o(h) h + o(k) k f (a) h + o(h) h som 0 då h 0 Om k = 0 är saken trivial eftersom vi då har (g f)(a + h) = (g f)(a) 8 Medelvärdesolikheten Sats 81 Om f : R n R m är deriverbar på segmentet [x, y] = {tx+(1 t)y : 0 t 1} och f (z) K då z [x, y] så gäller f(x) f(y) K x y och om m = 1 så existerar z [x, y] sådan att f(x) f(y) = f (z)(x y) Bevis Tag enhetsvektor e i R m och definiera g : [0, 1] R genom g(t) = f(tx + (1 t)y) e Av kedjeregeln följer att g (t) = (f (tx + (1 t)y)(x y)) e Av medelvärdessatsen på g följer då att θ (0, 1) sådan att g(1) g(0) = (f(x) f(y)) e = (f (θx + (1 θ)y)(x y)) e Således har vi (f(x) f(y)) e K x y för varje enhetsvektor e som ger att f(x) f(y) K x y Om m = 1 väljer vi bara e = 1 och får för z = θx + (1 θ)y att f(x) f(y) = f (z)(x y) Anmärkning Resultatet ovan gäller för godtyckliga normerade rum men beviset kräver något som vi väntar med Vi ska nu trimma vår olikhet en smula Låt f vara en deriverbar funktion från R n till R m och definiera för fixt y R n en funktion F genom F (x) = f(x) f(y) f (y)(x y) å är F (y) = 0 och av kedjeregeln har vi F (x) = f (x) f (y), varför medelvärdesolikheten ger F (x) F (y) max z [x,y] F (z) x y, dvs f(x) f(y) f (y)(x y) max z [x,y] f (x) f (y) x y Anmärkning enna olikhet gäller också för alla normerade rum om max ersätts med supremum

6 6 LARS SVENSSON OCH ERIC NORENSTAM 9 Matrisrepresentation av derivator Låt f : R n R m vara deriverbar i a R n och välj standardbasvektorer e i R n och e j R m efiniera g(t) = e j f(a + te i) och få enligt kedjeregeln g (0) = e j (f (a)(e i)) som är element på rad j och kolonn i i matrisrepressentationen för f (a) i standardbaserna för R n och R m respektive Vidare om f j(x) = e j f(x) så får vi att f j(x) x i = e j (f (a)(e i)) 10 Variabelnotation Om x och y är variabler i R n och R m respektive som är relaterade enligt y = f(x) för en deriverbar funktion f : R n R m så skriver vi ofta 2 3 f (x) = f(x) = dy dx = 6 d d 4 y 1 y m x 1 x n y 1 x 1 3 = 6 4 y m x Kedjeregeln blir då med matrismultiplikation R n R m R k x y z dz dx = dz dy dy dx 11 Inversa funktionssatsen y 1 x n y m x n Sats 111 (Inversa funktionssatsen i normerad form) Låt f : R n R n vara kontinuerligt deriverbar i en omgivning av origo och antag att f(0) = 0 och f (0) = id = I å existerar två omgivningar U och V till origo samt en kontinuerligt deriverbar g : V U sådan att f g = id på V och g f = id på U Bevis å f är kontinuerlig i origo existerar r > 0 sådan att f (x) I 1 2 om x < r Fixera ett y R n med y < r/2 och definiera ϕ(x) = y + x f(x) Vi observerar att om x är en fixpunkt till ϕ, dvs ϕ(x) = x, så har vi att y = f(x), dvs x är inversa bilden av y under f Vi visar först att ϕ avbildar B(0, r ) in i sig själv om r = y 2 < r Så tag x r å har vi ϕ(x) = ϕ(x) ϕ(0)+ϕ(0) ϕ(x) ϕ(0) + y max z [0,x] ϕ (z) x 0 + y 1 2 r r = r Enligt Banachs fixpunktssats existerar ett unikt x = g(y) med x 2 y sådant att f(x) = y Vi ska nu 3 7 5

7 FLERVARIABEL 7 visa att g är kontinuerligt deriverbar i B(0, r/2) = V Vi visar först att g är deriverbar i origo med g (0) = id = I Om f(x) = f(0) + f (0)(x) + o(x) = x + o(x) = y så har vi x = g(y) = y o(x) men g(0) = 0 och o(x) y = o(x) x x y 2 o(x) x och om y 0 så x 0, så g är deriverbar i origo med g (0) = I Fixera nu x 0 = g(y 0) och sätt x = x 0 + s och definiera y = f(x) och F (s) = t = f (x 0) 1 (f(x 0 + s) y 0) å har vi F (0) = 0 och F (0) = f (x 0) 1 f (x 0) = I varför enligt ovan F har en lokal invers G som är deriverbar i origo med G (0) = I Vi har då G F (s) = s = x x 0 = G f (x 0) 1 (f(x) y 0) g(y) = x 0+G f (x 0) 1 (y y 0) Av kedjeregeln är högra ledet deriverbart i y = y 0 med derivatan G (0)f (x 0) 1 = f (x 0) 1 etta visar att g (y 0) existerar och att g (y 0) = f (x 0) 1 = f (g(y 0)) etta visar också att g är kontinuerlig eftersom g och f är kontinuerliga (Vi vet ju, sedan tidigare, att inverser till kontinuerliga avbildningar är kontinuerliga) Vi ska nu generalisera satsen en smula Sats 112 (Inversa funktionssatsen) Låt f vara en kontinuerligt deriverbar avbildning från en omgivning av a i R n till R m (i) Om f (a) är injektiv så existerar en kontinuerligt deriverbar avbildning g från en omgivning till f(a) sådan att g f är identiteten i närheten av a Vi säger att f har en lokal vänsterinvers (ii) Om f (a) är surjektiv så existerar en lokal högerinvers g till f i en omgivning av f(a) sådan att f g är identiteten i närheten av f(a) (iii) Om f (a) är bijektiv så har f en lokal invers Bevis (i) Låt A vara linjär : R m R n sådan att A f (a) = id = I på R m Bilda F (x) = A(f(a + x) f(a)) då har vi F (0) = 0 och F (0) = I Alltså existerar en kontinuerligt deriverbar G i närheten av origo med G(0) = 0 och G (0) = I sådan att x = G A(f(a + x) f(a)) dvs x a = G A(f(x) f(a)) om x ligger nära a, eller x = a+g A(f(x) f(a)) Sätt nu g(y) = a + G A(y f(a)) Så får vi g f(x) = x, som visar (i) (ii) Låt B : R m R n vara linjär sådan att f (a)b = id = I på R m Bilda F (x) = f(a+bx) f(a) då är F kontinuerligt deriverbar nära origo och F (0) = 0, F (0) = f (a)b = I Resten av beviset överlämnas som övning 12 Implicita funktionssatsen Låt f : R m R n R n vara kontinuerligt deriverbar i närheten av (a, b) R m R n och anta att derivatan av R n y f(a, y) R n

8 8 LARS SVENSSON OCH ERIC NORENSTAM är inverterbar i b å existerar en kontinuerligt deriverbar funktion ϕ definierad i en omgivning till a sådan att b = ϕ(a) och där f(x, ϕ(x)) = f(a, b) för x nära a Bevis Bilda R m R n F R m R n, (x, y) (x, f(x, y)) Om vi inför variabelnotation z = f(x, y)) och arbetar med kolonnvektorer fås» x d " # F z x x» x y Im 0 =» = z z = z z x x y x y d y där I m är identitetsmatrisen av formatet m m det F = det dz dy punkten (x, y) = (a, b) Således har F en lokal invers G Betrakta figuren 0 i y R n z = f(x, y) R n b ϕ F c a x R m Låt P beteckna projektionen och definiera G R m R n (s, t) t R n ϕ(x) = P G(x, c) för x nära a a x R m å har vi F G(x, c) = (x, c) dvs F (x, ϕ(x)) = (x, f(x, ϕ(x))) = (x, c) som visar att f(x, ϕ(x)) = c och att ϕ(a) = P G(a, f(a, b)) = P G F (a, b) = b 13 Parameteriserade mångfalder Låt f : Ω R n vara en deriverbar funktion där Ω är en öppen del av R m och där 1 m n Antag att f (x) är injektiv x Ω å kallas f(ω) en m-dimensionell mångfald (yta) i R n Om Ω a f(a) = p f(ω) = S så kallas p + Im f (a) = T ps för tangentrummet till S i p 14 Mångfalder som nivåytor Låt f : Ω R m vara deriverbar (m n) i Ω R n där f (p) är surjektiv för varje p i den öppna mängden Ω efiniera S = {x Ω : f(x) = 0}

9 FLERVARIABEL 9 Om p S så definieras T ps = {x R n : f (p)(x p) = 0} Vi ser att T ps = p + ker f (p) så T ps, som kallas tangentrummet till S i punkten p, är en affin mängd i R n av dimensionen n m Om m = 1 är S en hyperyta och om m > 1 är S skärningen av m stycken hyperytor Eftersom f (p) antogs vara surjektiv så har matrisen 2 3 y 1 x 1 f (p) = 6 4 y m x 1 y 1 x n y m x n 7 5 x=p,y=f(x) linjärt oberoende rader Men då kan vi välja ut m stycken kolonner, säg de m första, så att 2 3 y 1 y x 1 1 x m det y m x 1 y m x m Men då följer av implicita funktionssatsen att variablerna x m+1,, x n kan lösas ut som funktion av x 1,, x m ur ekvationen f(x) = 0, nära a Säg att (x m+1,, x n) = ϕ(x 1,, x m) et betyder att S kan parameteriseras enligt lokalt nära a = (a 1,, a n) x=a (x 1,, x m) (x 1,, x m, ϕ(x 1,, x m)) 15 Taylors formel Antag att f : R m R är N gånger deriverbar i a R n och definiera för fixt h R n en avbildning g : R R genom g(t) = f(a + th) Kedjereglen ger då g (t) = f (a + th)(h) = x j h f x 1 (a + th) = h 1 1f(a + th) + + h n nf(a + th) = (h h n n)f(a + th) där j = Låt oss införa notationen h = h h n n i f x n (a + th) h som en linjär avbildning som tar kontinuerligt deriverbara funktioner (på R n ) till kontinuerliga funktioner Vi skriver då g (t) = (h )f(a + th) Genom att sätta f 1 = (h )f och g 1(t) = f 1(a + th) så ser vi att g (t) = g 1(t) = (h )f 1(a + th) = (h ) 2 f(a + th) Förfarandet itereras och ger g (k) (t) = (h ) k f(a + th)

10 10 LARS SVENSSON OCH ERIC NORENSTAM Men g(t) = g(0) + g (0)t + + Således har vi visat att f(a + h) = N 1 X k=0 1 (N 1)! g(n 1) (0)t N N! g(n) (θt) 1 k! (h )k f(a) + 1 N! (h )N f(p) 16 Några olika skrivsätt Translatet T h f : R m R definieras av (T h f)(x) = f(x + h) Om f är oändligt deriverbar och om Taylorserien konvergerar överallt kan vi alltså skriva X 1 (T h f)(a) = k! (h )k f(a) eller om vi tar bort a eller om vi tar bort f T h f = T h = 0 X 0 X k! (h )k f 1 k! (h )k et är också naturligt att definiera X e h 1 = k! (h )k Taylor formel får då utseendet T h = e h, Vackert va! et finns också ett annat sätt att skriva Taylors formel, nämnligen med sk multiindexnotation: En lista α = (α 1,, α n) N n kallas ett multiindex Om α, β N n så definieras summan och graden och fakulteten α + β = (α 1 + β 1,, α n + β n) α = α α n α! = (α 1!)(α 2!) (α n!) Om x = (x 1,, x n) är en lista av variabler definieras x upphöjt till α av x α = x α 1 1 x α 2 2 x αn n

11 FLERVARIABEL 11 dvs ett monom av grad α Om = ( 1,, n) är listan av de partiella deriveringarna sätter vi α = ( α 1 1,, αn n ) Med ovanstående notation kan Taylors formel skrivas precis som i envariabelkursen f(a + th) = X 1 α! α f(a)h α + rest där för något p [a, a + h] Övning 9 Visa detta! (1) (2) α <N rest = X α =N 1 α! α f(p)h α (x 1, x 2, x 3, x 4) (1,2,0,3) = x 1x 2 2x 3 4, (1, 2, 0, 3)! = (1!)(2!)(0!)(3!) = = Max och min efinition 171 En punkt a kallas kritisk till f : R n R om f (a) = 0 Vi har omedelbart följande enkla sats Sats 172 Om f har ett lokalt min eller max i a så är a kritisk Bevis Sätt för en enhetsvektor e i R n g(t) = f(a+te) å har g lokalt max eller min i 0 så g (0) = f (a)e = 0 Men e var godtycklig så f (a) = 0 Låt nu f : R n R vara två gånger deriverbar Enligt Taylors har vi då f(a + h) = f(a) + f (a)h (h )2 f(p) för något p mellan a och a + h Men (h ) 2 f(x) = ( X i,j h ih j i j)f(x) = X i,j h i( i jf(x))h j = h T f (x)h där f (x) betecknar den sk Hessianen f(x) 1 nf(x) f 6 (x) = n 1f(x) n nf(x) Alltså har vi f(a + h) = f(a) + f (a)(h) ht f (p)h

12 12 LARS SVENSSON OCH ERIC NORENSTAM Anmärkning Om = ( 1 n) så kan vi symboliskt skriva 2 3 f = T f = n n f 18 Karakterisering av kritiska punkter Låt a vara kritisk till f : R n R å har vi att f(a + h) = f(a) ht f (p)h, Vi har omedelbart följande p (a, a + h) Sats 181 Om f är positivt definit i en omgivning av a så har f ett lokalt minimum i a Om f (p) är negativt definit i en omgivning av a så har f ett lokalt maximum i a Anmärkning Om f är kontinuerlig i a och om f (a) är pos def resp neg def i a så är även f (p) pos def resp neg def i en omgivning av a på grund av kontinuiteten Vi har också Sats 182 Om f är kontinuerlig i a och om det f (a) 0 samt att f (a) har både strikt positiva och negativa egenvärden, dvs är indefinit, så har f en sadelpunkt i a (dvs varken lokalt max eller min) Bevis Övning Använd att egenvärdena till en matris varierar kontinuerligt med matrisens element Anmärkning I det fall att det A = 0 kräver en helt annan analys för bestämning av vilken karaktär en kritisk punkt har (A = f ) etta problem är mycket svårt och leder in i singularitetsteori och sk katastrofteori Om man ska avgöra om en symmetrisk n n-matris A är pos def, neg def eller indefinit så har man stor nytta av följande resultat, som vi visade i linjär algebra kursen 19 Positivt och negativt definita matriser Sats 191 Om A är en reell symmetrisk n n-matris och om k definieras som determinanten av matrisen [a ij] 1 i,j k så gäller att A är positivt definit precis om k > 0 k = 1, 2,, n Bevis Vi påminner om att en matris är positivt definit precis om h T Ah > 0 för alla nollskilda vektorer h i R n etta är också ekvivalent med att alla egenvärden till A är strikt positiva Antag först att A är pos def Betrakta underrummet E k = linspan{e 1,, e k } Om 0 h = h 1e h k e k E k så har vi h T Ah = P k i,j=1 hiaijhj > 0 etta betyder att den matris vi

13 FLERVARIABEL 13 får om vi stryker alla rader och kolonner i A utom de k första är pos def Men då är alla egenvärden hos denna positiv och därmed dess determinant Antag nu omvänt k > 0 för alla k n Vi använder nu induktion över n och antar att satsen är visad för matriser av mindre format än n n (trivialt för 1 1) å är alltså A positivt definit på E n 1 Om A inte är positivt definit så måste minst två egenvärden till A vara negativa (eller ett med algebraisk multiplicitet minst 2) Låt L vara ett tvådimensionellt underrum i R n som spänns av motsvarande egenvektorer Eftersom dim L+ dim E n 1 > n så existerar en nollskild h L E n 1 Men då har vi en motsägelse eftersom h L h T Ah < 0 och h E n 1 h T Ah > 0 Om 1 < 0, 2 > 0, 3 < 0, så är A negativt definit (ty då är ju A positivt definit) I övriga fall, då n = det A 0 är A indefinit 20 Extremvärdesproblem med bivilkor Låt f, g 1,, g k vara kontinuerligt deriverbara funktioner från R n till R och anta att k < n Problem: maximera eller minimera f(x) då g 1(x) = = g k (x) = 0 Vi har nu följande användbara sats Sats 201 Om a R n är ett max eller min till f under bivillkoren g 1 = = g k = 0 så måste f (a), g 1(a),, g k(a) vara linjärt beroende Bevis Antag motsatsen, dvs att de är linjärt oberoende och definiera en hjälpfunktion H : R n R R k genom 2 3 f(x) R n g 1(x) x H(x) = R Rk g k (x) Betrakta figuren b ( a ) R n H R f(x) [ ] e 0 R k g 1 (x) g k (x) Om f (a), g 1(a),, g k(a) är linjärt oberoende så är H (a) surjektiv Enligt inversa funktionssatsen 2 3 har då H en lokal högerinvers, G säg, 2 3i närheten av e e 0 0 H(a) Om 4 5 tillhör denna närhet så uppfyller b = G( 4 5) bivillkoren 0 g 1(b) = = g k (b) = 0 och f(b) = e Genom att välja e > f(a) respektive e < f(a) ser vi att a varken är max- eller minpunkt 0

14 14 LARS SVENSSON OCH ERIC NORENSTAM x 21 Frenets formler Låt R t x(t) R n vara en n gånger deriverbar kurva och låt e 1(t),, e n(t) vara den ortonormala bas för R n som ges av Gram-Schmidts ortogonaliseringsförfarande tillämpad på ẋ(t), ẍ(t), Vi antar härvid att ẋ(t), ẍ(t),, x (n) (t) är linjärt oberoende (det sk generiska fallet) Per konstruktion har vi att för 1 k n, linspan{x (t),, x (k) (t)} = linspan{e 1(t),, e k (t)} Vidare förjer av konstruktionen att (3) e 1(t) = λ 11(t)e 1(t) + λ 12(t)e 2(t) e 2(t) = λ 21(t)e 1(t) + λ 22(t)e 2(t) + λ 23(t)e 3(t) e k 1(t) = λ k 1,1 (t)e 1(t) + + λ k 1,k (t)e k (t) e n(t) = λ n1(t)e 1(t) + + λ nn(t)e n(t) Vidare följer av e i(t) e j(t) = δ ij att e i(t) e j(t) + e i(t) e j(t) = 0 i, j Men enligt (3) har vi även att e i(t) e j(t) = λ ji(t), där vi definierar λ ji(t) = 0 om 1 + j < i Alltså har vi λ ij(t) = λ ji(t) i, j och följdaktligen e 1(t) = λ 12(t)e 2(t) e 2(t) = λ 21(t)e 1(t) + λ 23(t)e 3(t) e k 1(t) = λ k 1,k 2 (t)e k 2 (t) + λ k 1,k (t)e k (t) e n(t) = λ n,n 1(t)e n 1(t) essa formler brukar kallas Frenet s Inför nu den ortogonala matrisen E(t) = [e 1(t),, e n(t)]

15 FLERVARIABEL 15 med e j(t) som den j:te kolumnen, och den antisymmetriska bandmatrisen λ λ 12 0 λ λ 23 0 λ Λ = 0 0 λ λ n 1,n λ n 1,n 0 Matrisen är bara nollskilld på sub och superdiagonalen Övning 10 Uttryck Frenets formel som en relation mellan matriserna E(t), E(t) och Λ(t) Anmärkning För fallet n = 3 brukar λ 12 = κ kallas krökning och λ 23 = τ torsion Λ får då formen 2 0 κ κ 0 τ5 0 τ 0 För praktiskt bruk kan det vara enklare att använda formlerna för κ och τ som står i kursboken 22 Högre ordningens derivator Låt f : V W 0 vara en oändligt deriverbara funktion mellan ändligtdimensionella normerade rum Låt vidare L(V, W ) beteckna mängden av linjära avbildningar från V till W Vi inför också beteckningen L n(v, W ) för mängden av multilinjära avbildninngar från V n = V V V till W Vi har nu f (0) = f : V W 0 f (1) = f : V L(V, W 0) = W 1 f (1) = f : V L(V, W 1) = W 2 f (n) = f (n 1) : V L(V, W n 1) = W n Vi ska nu konstruera en kanonisk avbildning från W n till L n(v, W 0) och sedan ska vi visa att bilden av denna endast innehåller symmetriska multilinjära avbildningar Uppenbarligen är W 1 = L 1(V, W 0) = L(V, W 0) Antag vi har konstruerat en avbildning W n 1 L n 1(V, W 0) betecknad T T Vi ska nu definiera W n L(V, W 0) så tag T W n = L(V, W n 1)

16 16 LARS SVENSSON OCH ERIC NORENSTAM och (h 1, h 2,, h n) V n efiniera nu T genom T (h 1, h 2,, h n) = T (h n)(h 1, h 2,, h n 1) Övning 11 Verifiera att T är multilinjär Vi definierar nu n f genom ( n f)(x) = (f (n) (x)) och får alltså att n f : V L n(v, W 0) Övning 12 Visa att Taylorpolynomet av f i punkten a kan skrivas f(a + h) = f(a) + f(a)(h) + 1 2! 2 f(a)(h, h) + Vi ska nu visa att n f(a) är en symmetrisk multilinjär avbildning En multilinjär T : V n W kallas symmetrisk om för varje permutation π: T (h 1, h 2,, h n) = T (h π(1), h π(2),, h π(n) ) gäller för alla (h 1,, h n) i V n Vi börjar med ett lemma Lemma 221 Om f : R 2 R är sådan att alla partiella derivatorna 1f, 2f, 1 2f och 2 1f existerar i en omgivning av (a, b) och där 1 2f eller 2 1f är kontinuerlig i (a, b) så 1 2f(a, b) = 2 1f(a, b) Bevis Fixera h och k och definiera g(y) = f(a + h, y) f(a, y), F (h, k) = g(b + k) g(b) = f(a + h, b + k) f(a, b + k) f(a + h, b) + f(a, b) Av medelvärdessatsen följer då att F (h, k) = g (b + tk)k = ( 2f(a + h, b + tk) 2f(a, b + tk))k för något 0 < t < 1 Medelvärdessatsen ger vidare F (h, k) = 1 2f(a + sh, b + tk)kh för något 0 < s < 1 För hk 0 har vi alltså f(a + h, b + k) f(a, b + k) f(a + h, b) + f(a, b) = 1 2f(a+sh, b+tk) hk Låt nu för fixt k 0 h 0 Vi får då 1f(a, b + k) 1f(a, b) F (h, k) = lim k h 0 hk Låt nu k 0 och vi får F (h, k) 2 1f(a, b) = lim lim k 0 h 0 hk på samma sätt fås F (h, k) 1 2f(a, b) = lim lim h 0 k 0 hk

17 FLERVARIABEL 17 Men F (h, k) = 1 2f(a + sh, b + tk) 1 2f(a, b) om (h, k) (0, 0) hk eftersom 1 2f är kontinuerlig i (a, b) Således har vi visat att de bägge upprepade gränsvärdena sammanfaller, dvs att som visar lemmat 1 2f(a, b) = 2 1f(a, b) Sats 222 Om f : V W är två gånger kontinuerligt deriverbar i en omgivning av a V så är 2 f(a) en symmetrisk bilinjär avbildning från V V till W Bevis et räcker att visa att (f (a)(h))(k) = (f (a)(k))(h) h, k V Fixera h, k V och en linjär avbildning α : W R efiniera g : R R R genom g(x, y) = α f(a + xh + yk) å är g två gånger kontinuerligt deriverbar i närheten av (0, 0) och 1g(x, y) = α(f (a + xh + yk)h) 1g(0, y) = α(f (a + yk)h) = På samma sätt fås = α(f (a)h + f (a)(yk)(h) + o(yk)h) 2 1g(0, 0) = α(f (a)(k)(h)) 1 1g(0, 0) = α(f (a)(k)(h)) Men 1 2g(0, 0) = 2 1g(0, 0) ger då att α(f (a)(h)(k) f (a)(k)(h)) = 0 f (a)(h)(k) = f (a)(k)(h) h, k V α 23 Variabelsubstitution i multipelintegraler Låt och E vara öppna delmängder i R n sådana att och Ē är kompakta Antag att ϕ : Ē är en kontinuerlig deriverbar bijektion sådan att det ϕ > 0 i Antag vidare att f : Ē R är sådan att Riemannintegralerna f och f ϕ det E ϕ existerar (et skulle duga om f vore kontinuerlig) å gäller följande Sats 231 ϕ() f = f ϕ det ϕ

18 18 LARS SVENSSON OCH ERIC NORENSTAM Idén med vårt bevis är att först visa satsen för avbildningar ϕ som bara ändrar en av variablerna: Vi inför efinition 232 En avbildning ϕ : R n R n kallas enkel om ϕ(x 1, x 2,, x n) = (y 1, y 2,, y n) där y 1 = ψ(x 1, x 2,, x n) och y k = x k om 1 < k n (Eller om detta uppnås efter en omnumrering av variablerna) Vi noterar att det ϕ = 1ψ Lemma 233 Om ϕ är enkel så gäller sats 231 Bevis Låt oss först för en delmängd A R n definiera à = { x R n 1 : (x 1, x) A för något x 1 R} A( x) = {x 1 R : (x 1, x) A} R x 1 A( x) A E f = = y E y E x f(y 1, ỹ) dy 1dỹ = = {Fubini} = = x Ẽ R n 1 x f(y 1, y 2,, y n) dy 1dy 2 dy n = y 1 E( x) ỹ Ẽ y 1 E(ỹ) f(y 1, x) dy 1 d x f(y 1, ỹ) dy 1 dỹ = I den inre integralen, för fixt x, gör vi substitutionen y 1 = ψ(x 1, x) varvid dy 1 = 1ψ(x 1, x)dx 1 och y 1 E( x) (y 1, x) E (ψ(x 1, x), x) E ϕ(x 1, x) E (x 1, x) x 1 ( x) Alltså får vi f = f(ψ(x 1, x), x) 1ψ(x 1, x)dx 1 d x E = x x 1 ( x) (f ϕ) 1ψ = f ϕ det ϕ

19 FLERVARIABEL 19 Vi visar nu att om sats 231 gäller för ϕ 1 och ϕ 2 så gäller den för ϕ 1 ϕ 2 ty låt ϕ 2 ϕ 1 1 E vara bijektioner som i satsen Antag att ϕ 1 ( 1 ) f1 = 1 f 1 ϕ 1 det ϕ 1 och att f2 ϕ 2 = f2 () ϕ 2 det ϕ 2 för godtyckliga f 1 : E R och f 2 : 1 R å har vi om ϕ = ϕ 1 ϕ 2 och f : E R att f = f = f ϕ 1 det ϕ 1 = f ϕ 1 det ϕ 1 = E ϕ 1 ( 1 ) 1 ϕ 2 () f ϕ 1 ϕ 2((det ϕ 1) ϕ 2) det ϕ 2 dvs Men av kedjeregeln har vi ϕ (x) = (ϕ 1 ϕ 2) (x) = (ϕ 1 ϕ 2(x)) ϕ 2(x) det ϕ (x) = det(ϕ 1 ϕ 2(x)) det ϕ 2(x) Således har vi visat att f = ϕ() f ϕ det ϕ et som återstår att visa är att varje avbildning ϕ : R n R n kan skrivas som en sammansättning av högst n stycken enkla avbildningar etta visas med hjälp av implicita funktionssatsen et blir naturligtvis ett lokalt resultat och eventuellt måste vi omnumrera koordinaterna vilket naturligtvis inte spelar något roll eftersom satsen är trivial för permutationer Vi behöver Lemma 234 Låt ϕ = (ϕ 1, ϕ 2,, ϕ n) vara en kontinuerligt deriverbar funktion från en öppen omgivning av a R n till R n sådan att 1ϕ 1(a) 0 å kan ϕ faktoriseras enligt ϕ = α β där vi för x nära a har där y i = ϕ i(x) (x 1, x 2,, x n) β (y 1, x 2,, x n) α (y 1, y 2,, y n) Bevis et räcker att visa att (y 2,, y n) kan lösas ut som en kontinuerligt deriverbar funktion av (y 1, x 2,, x n) i närheten av vår punkt Betrakta därför avbildningen ((y 1, x 2,, x n), (x 1, y 2,, y n)) (ϕ 1(x) y 1,, ϕ n(x) y n) från R n R n med värden i R n å har vi att 2 3 1ϕ 1(x) ϕ 2(x) (ϕ 1(x) y 1,, ϕ n(x) y n) = 1ϕ 3(x) (x 1, y 2,, y n) ϕ n(x) 1 0 1

20 20 LARS SVENSSON OCH ERIC NORENSTAM är invertibel i vår aktuella punkt eftersom dess determinant, som är ( 1) n 1 1ϕ 1(a), är nollskilld Implicita funktionssatsen fullbordar beviset Genom ett kompakthetsresonemang, som lämnas som övning, kan man visa att vårat kan delas upp i ett ändligt antal mindre områden 1, 2,, N sådana att j = och i j saknar inre punkter om i j och sådana att ϕ på varje j kan skrivas som en sammansättning av enkla avbildningar således har vi f = f ϕ det ϕ j ϕ( j ) j som ger ϕ() f = X etta visar satsen ϕ( j ) f = X f ϕ det ϕ = j f ϕ det ϕ j 24 Volymer av parallellepipeder Om A är en n m-matris med kolonner a 1, a 2,, a m i R n och m n, så spänner dessa upp en parallellepiped som vi betecknar Ep(a 1,, a m) = { X t ia i : 0 t i 1} Vi vill nu definiera dess m-dimensionella volym Till detta väljer vi enhetsvektorer b m+1,, b n som är parvis ortogonala och som dessutom är ortogonala mot alla a i:na Bilda också n (n m)- matrisen B med kolonnerna b m+1,, b n Vi har då att, om C = [A, B] är den n n-matris vi får en kolonnerna a 1, a 2,, a m, b m+1,, b n, (det C) 2 = det C T det C = det(c T C) Men» C T A T C = A B = B T» A T A 0 0 I så (det C) 2 = det(a T A) är således oberoende av valet av b:na Vi definierar den m-dimensionella volymen av Ep(a 1,, a m) genom Vol m Ep(a 1,, a m) = (det A T A) 1/2 25 Ytor och deras areor Låt R m σ S R n vara en kontinuerligt deriverbar och bijektiv avbildning sådan att σ är injektiv i hela, där m n:

21 FLERVARIABEL 21 e n e m t σ e m σ(t) S e 1 e 1 Vi definierar den m-dimensionella volymen av S eller arean eller måttet kort och gott genom (4) ds = (det σ T σ ) 1/2 S Övning 13 Visa att integralen i (4) bara beror av S, dvs antag att om σ = σ α där α : är kont deriverbar så är ds = (det σ T σ ) 1/2 S Anmärkning Vi skriver lite formellt att det oriktade areamåttet ges av i parametriseringen ds = (det σ (t) T σ (t)) 1/2 dt 1 dt m (t 1,, t m) σ(t 1,, t m) S 26 Flödesintegralen Låt R n 1 σ S R n vara en parametrisering av hyperytan S och antag N : S S n 1 = {x R n : x = 1} är normal till S etta betyder att N(σ(u)) är ortogonal mot Im σ (u) för alla u i efinition 261 (Orientering) Vi säger att σ är en positiv parametrisering till ytan S med normal N om det[σ, N σ] > 0 i hela Låt oss föreställa oss en inkompressibel vätska som strömmar i R 3 och som vi tiden t och punkten x har hastigheten F (x, t) och att densiteten är konstant lika med ett överallt Hur mycket vätska strömmar då genom en tänkt yta S per tidsenhet om vi räknar vätskan som strömmar med positiv inre produkt med normalen som positivt flöde Vi resonerar nu först en smula heuristiskt Betrakta en infinitesimal parallellepiped u + Ep[e 1du 1,, e n 1du n 1] i enna avbildas, via σ, på epipeden σ(u) + Ep[σ (u)e 1du 1,, σ (u)e n 1du n 1]

22 22 LARS SVENSSON OCH ERIC NORENSTAM enna senare, som är en liten epiped på ytan S, flyttas av flödet under den infinitesimala tiden dt, vektorn F (σ(u), t)dt Men då blir flödet genom denna epiped under tiden dt lika med determinanten det[σ (u)e 1du 1,, σ (u)e n 1du n 1, F (σ(u), t)dt] Således verkar det inte helt orimligt att definiera flödet ut genom S med normal N per tidsenhet genom det[σ, F (σ(u), t)]du 1 du n 1 och flödet som passerar ytan S mellan tidpunkterna a och b blir b «det[σ, F (σ(u), t)]du 1 du n dt a Vi ska hör inte syssla med flöden som beror av tiden, utan bara med stationära flöden, då F är oberoende av t Vi definierar då flödet av vektorfältet F : R n R n ut genom hyperytan S med normal N genom det[σ, F σ] om σ är positiv parametrising Vi ska nu visa att denna integral är oberoende av val av positiv parametrisering Låt nämnligen R n 1 α σ S där vi antar det α > 0 och sätt σ = σ α Vi har då α( ) det[σ, F σ] = det[σ α, F σ α] det α =» α = = = det[σ α, F σ] det det[(σ α)α, F σ] = det[ σ, F σ] där α betecknar en n n-matrisvärd funktion på 27 Gauß sats Låt F : R n R n vara ett vektorfält och Ω en kropp i R n med en randyta S med utåtgående normal N efiniera ϕt(x) = x + tf (x) Enligt variabelsubstitutionsformeln har vi då att 1 = det(id +tf ) = Vol ϕ t(ω) ϕ t (Ω) Ω =

23 FLERVARIABEL 23 etta gäller åtminstonde för t litet eftersom det(id +tf ) 1 om t 0 Låt λ 1,, λ n vara egenvärdena till F å har id +tf egenvärdena 1 + tλ 1,, 1 + tλ n, varför det(id +tf ) = (1 + tλ 1) (1 + tλ n) = 1 + t(λ λ n) + O(t 2 ) = 1 + t sp F + O(t 2 ) Alltså har vi för t = 0 att d dt Vol ϕt(ω) = Ω sp F efinition 271 ivergensen av vektorfältet div F är spåret av F div F = sp F Övning 14 Visa att d dt t=0 Vol ϕt() = det[σ, F σ] dvs flödet av vektorfältet F ut ur S Vi har således Sats 272 (Gauß) Flödet av ett vektorfält F ut ur en yta S som omsluter en kropp Ω i R n är lika med integralen av divergensen av F över Ω det[σ, F σ] = div F om R n 1 σ S och om det[σ, N σ] > 0, där N är den utåtgående normalen till ytan S Övning 15 Visa genom att tillämpa Gauß sats för n = 2 på vektorfältet» Q F = P den sk Greens formel P dx + Qdy = Γ Ω (Q x + P y)dxdy där Γ är en kurva i planet som ör positivt orienterad och omsluter 273 Specialfallet R 3 (Fysiknotation med vektorstreck) Låt S vara en tvådimensionell yta i R 3 som parametriseras enligt R 2 (u, v) r r(u, v) R 3 och låt F : R 3 R 3 vara vårt vektorfält givet at F = (P, Q, R) å har vi sp F = P x + Q y + R z, där koordinaterna i R 3 kallas (x, y, z) som vanligt Vi har också då att 2 3 x x det[σ, F σ] = det[ r u, r P v, F u v r] = det 4 y y Q5 u v = r u r «v F ( r(u, v)) z u z v R

24 24 LARS SVENSSON OCH ERIC NORENSTAM Vi inför då också d s = r det[σ, F σ] = där S F d s = r u u S dudv Gauß sats blir då F d s = div F dv = Ω F ( r(u, v)) r(u, v) u 28 Stokes sats Ω div F «r(u, v) dudv v Låt F = (P, Q, R) vara ett vektorfält R 3 R 3 å är F F T en antisymmetrisk avbildning med matrisrepressentationen P x P y P z P x Q x R x 0 P y Q x P z Rx 4Q x Q y Q z 5 4P y Q y R y 5 = 4Q x P y 0 Q z R y 5 R x R y R z P z Q z R z R x P z R y Q z 0 Vi vet att kryssprodukter i R 3 kan representeras med antisymmetriska 3 3-matriser och viceversa a x bz cy 0 c b x 4b5 4y5 = 4cx az5 = 4 c 0 a5 4y5 c z zy bx b a 0 z Således har vi att 2 3 ( F F R y Q z T ) v = 4P z R x 5 v Q x P y Vi definierar rotationen av vektorfälltet F som rot F P R y Q z = rot 4Q5 = 4P z R x 5 R Q x P y Vi får att rot F inte beror av vårt speciella val av ON-system, eftersom F F T bara beror av vårt val av inre produkt, som behövs för definition av transponatet Sats 281 (Stokes) Låt F vara ett kontinuerligt deriverbart vektorfält på R 3 och låt S vara en orienterade slät yta med randkurva Γ och normaltfält N riktade på vanligt sätt (figur) å gäller N rot F d s = S Γ F d r S Γ

25 FLERVARIABEL 25 Bevis Enligt definitionen på integralen räcker det att visa satsen då S består av ett ändligt antal plana trianglar Kalla trianglarna S 1, S 2,, S m och deras respektive randkurvor Γ 1, Γ 2,, Γ m Eftersom rot F d s = X rot F d s S i S i och F d r = X F r Γ i Γ i Så det räcker att visa satsen för en triangel som vi kallar S å vidare rot F är oberoende av koordinatsystem, så länge det är ON, kan vi utan inskränkning anta att S ligger h i xy-planet Låt nu = {[ x xy i y ] R 2 : S} och kalla den positivt orienterade 0 randen till för C å parametriseras S enligt 2 3» x x 4y5 S y 0 och vi har d s = 405 dxdy 1 varför rot F d s = (Q x(x, y, 0) P y(x, y, 0))dxdy Greens formel i planet ger då rot F d s = (Q x(x, y, 0) P y(x, y, 0))dxdy = S = P (x, y, 0)dx + Q(x, y, 0)dy = C = P dx + Qdy + Rdz = F d r som visar satsen address: eno@mathkthse Γ Γ

Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009

Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009 Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009 Serier 1. Visa att för en positiv serie är summan oberoende av summationsordningen. 2. Visa att för en absolutkonvergent serie är summan oberoende av summationsordningen.

Läs mer

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

1 x. SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

1 x. SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 26-3-2 DEL A. Låt D vara fyrhörningen med hörn i punkterna, ), 6, ),, 5) och 4, 5). a) Skissera fyrhörningen D och beräkna dess area. p) b) Bestäm

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016 Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 2 januari 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A

Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 5 mars 7 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsystem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rymdpolära

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F. Tentamen fredag 25 maj 27, 8.-3. Förslag till lösningar (ändrat 28/5-7, 29/5-7).

Läs mer

Övningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.

Övningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n. Övningar Linjära rum 1 Låt v 1,, v m vara vektorer i R n Ge bevis eller motexempel till följande påståenden Satser ur boken får användas a) Om varje vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v

Läs mer

2.5 Partiella derivator av högre ordning.

2.5 Partiella derivator av högre ordning. 2.3 Kedjeregeln Pass 4 Antag att: 1. funktionen f( x) = (f 1 (x 1, x 2,..., x n ),..., f m (x 1, x 2,..., x n )) är dierentierbar i N R n ; 2. funktionen g( t) = (g 1 (t 1, t 2,..., t p ),..., g n (t 1,

Läs mer

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 21 mars 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 21 mars 2016 Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 2 mars 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt

Läs mer

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer). Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och

Läs mer

x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f

x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF160, Differential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 0 maj 2012, 8.00-1.00 Förslag till lösningar 1. Bestäm tangentplanet

Läs mer

har ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.

har ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z. Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 7 maj 9, 1.-19. 1. Låt F (x, y, z) sin(x + y z) + x + y + 6z. a)

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 15 mars 2017

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 mars 7 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.

Läs mer

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM 94 8 EUKLIDISKA RUM 8. Euklidiska rum Definition 8.. En skalärprodukt på vektorrummet V är en funktion som till varje par av element u och v i V ordnar ett reellt tal u v eller u v med följande egenskaper:.

Läs mer

1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer

1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant

Läs mer

Isometrier och ortogonala matriser

Isometrier och ortogonala matriser Isometrier och ortogonala matriser (Delvis resultat som kunde kommit tidigare i kursen) För att slippa parenteser, betecknas linära avbildningar med A och bilden av x under en lin avbildn med Ax i stället

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 JOHAN ASPLUND INNEHÅLL 1 Inre produktrum 1 2 Cauchy-Schwarz olikhet 3 3 Ortogonala projektioner och Gram-Schmidts process 3 4 Uppgifter 4 61:13(a) 4 61:23(a) 4 61:29 5 62:7

Läs mer

Linjär algebra på 2 45 minuter

Linjär algebra på 2 45 minuter Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 2010 kl

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 2010 kl 1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 010 kl 14.00-19.00. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Betygsgränser:

Läs mer

Tentan , lösningar

Tentan , lösningar UPPALA UNIVERITET MATEMATIKA INTITUTIONEN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 2008 Tentan 2008-12-16, lösningar 1. Avgör om det finns någon punkt på ytan (x 1) 2 + 2(y 1) 2 + 2z 8 som är

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:

Läs mer

Tentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.

Tentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1. Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Niklas Eriksen Tentamen i tmv6c och tmv5c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt Lösningar 9--6. Lös initialvärdesproblemet x

Läs mer

Inlämningsuppgift nr 2, lösningar

Inlämningsuppgift nr 2, lösningar UPPALA UNIVRITT MATMATIKA INTITUTIONN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 8 Inlämningsuppgift nr, lösningar. Visa att ekvationen x + x(y ) + (y ) + z + sin(yz) definierar z som en funktion

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag (1) Låt f(x, y) = xy ln(x + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten (1, ) som störst, och

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE , kl

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE , kl Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE35 26-4-2, kl. 4-8 Hjälpmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: anknytning 5325 Telefonvakt: Edvin Wedin För godkänt krävs minst 2 poäng. Betyg 3: 2-29.5 poäng, betyg

Läs mer

TMA 671 Linjär Algebra och Numerisk Analys. x x2 2 1.

TMA 671 Linjär Algebra och Numerisk Analys. x x2 2 1. MATEMATISKA VETENSKAPER TMA67 8 Chalmers tekniska högskola Datum: 8--8 kl - 8 Examinator: Håkon Hoel Tel: ankn 38 Hjälpmedel: inga TMA 67 Linjär Algebra Numerisk Analys Tentan består av 8 uppgifter, med

Läs mer

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF604, den 7 april 200 kl 09.00-4.00. DEL I. En triangel i den tredimensionella rymden har sina hörn i punkterna

Läs mer

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl 1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl 08.00-1.00. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Bonuspoäng

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson MATRISER MED MERA VEKTORRUM DEFINITION Ett vektorrum V är en mängd av symboler u som vi kan addera samt multiplicera med reella tal c så

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag SF166 Flervariabelanalys entamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag 1) Låt fx, y) = xy lnx + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten 1, ) som störst, och hur stor är

Läs mer

Mer om analytisk geometri

Mer om analytisk geometri 1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel

Läsanvisningar till kapitel Läsanvisningar till kapitel 2.3 2.5 2.3 Analytiska funktioner Analytiska funktioner, eller holomorfa funktioner som vi kommer kalla dem, är de funktioner som vi komer studera så gott som resten av kursen.

Läs mer

2 Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner

2 Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner Nr, feb -5, Amelia Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner.1 Funktioner från R n till R m Vi har i tidigare föreläsningar sett olika tolkningar av funktioner från R n till

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm

Läs mer

av envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.)

av envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.) Lösningsskisser till TATA69 Flervariabelanalys 16-1- 1 Stationära punkter ges av f (4x 3 + 4x, 3y + 6z, z + 6y (,,, dvs (x, y, z (,, eller (x, y, z (, 6, 18 Ur andraderivatorna fås de kvadratiska formerna

Läs mer

Crash Course Algebra och geometri. Ambjörn Karlsson c januari 2016

Crash Course Algebra och geometri. Ambjörn Karlsson c januari 2016 Crash Course Algebra och geometri Ambjörn Karlsson c januari 2016 ambjkarlsson@gmail.com 1 Contents 1 Projektion och minsta avstånd 4 2 Geometriska avbildningar och avbildningsmatriser 5 3 Kärnan 6 3.1

Läs mer

= ( 1) xy 1. x 2y. y e

= ( 1) xy 1. x 2y. y e Lösningsförslag, Matematik, B, E, I, IT, M, Media och T, -8- Den sista raden är nästan lika med den första raden med omvänt tecken Om vi därför adderar den första raden till den sista raden får vi en rad

Läs mer

MVE035. Sammanfattning LV 1. Blom, Max. Engström, Anne. Cvetkovic Destouni, Sofia. Kåreklint, Jakob. Hee, Lilian.

MVE035. Sammanfattning LV 1. Blom, Max. Engström, Anne. Cvetkovic Destouni, Sofia. Kåreklint, Jakob. Hee, Lilian. MVE035 Sammanfattning LV 1 Blom, Max Engström, Anne Cvetkovic Destouni, Sofia Kåreklint, Jakob Hee, Lilian Hansson, Johannes 11 mars 2017 1 Partiella derivator Nedan presenteras en definition av partiell

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl

Tentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl Tentamen i Flervariabelanalys, MVE35 216-3-14, π, kl. 14.-18. Hjälpmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: anknytning 5325 Telefonvakt: Raad Salman För godkänt krävs minst 2 poäng. Betyg 3: 2-29 poäng, betyg

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

Läs mer

Problem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik

Problem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik KTH -matematik Problem i matematik EPR & MAT Flervariabelanalys Problem inför KS.. Låt F(, y, z) + y 3z + och G(, y, z) 3 + y 3 4z +. Visa att i en omgivning av punkten (,, ) definieras genom ekvationerna

Läs mer

Lösningar till Matematisk analys

Lösningar till Matematisk analys Lösningar till Matematisk analys 685. Sätt fx x. Rotationskroppens volym är π fx dx π ] x 6 dx π 7 x7 π 7. Rotationskroppens area är summan av arean av kroppens mantelyta och arean av kroppens cirkulära

Läs mer

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende. Institutionen för matematik KTH MOELLTENTAMEN Tentamensskrivning, år månad dag, kl. x. (x + 5).. 5B33, Analytiska metoder och linjär algebra. Uppgifterna 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga

Läs mer

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen 20-0-, kl. 4.00-8.00 TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Richard Lärkäng, telefon: 0703-088304 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna.

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F. Tentamen tisdag 8 augusti 7, 4.-9. Förslag till lösningar.. Om F (x, y, z) x y + y z

Läs mer

Tentamen: Lösningsförslag

Tentamen: Lösningsförslag Tentamen: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-3: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. 4 poäng Avgör om följande gränsvärde existerar och beräkna gränsvärdet om det existerar:

Läs mer

TMV142/186 Linjär algebra Z/TD

TMV142/186 Linjär algebra Z/TD MATEMATIK Hjälpmedel: ordlistan från kurshemsidan, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 2018-08-27 kl 1400 1800 Tentamen Telefonvakt: Anders Hildeman ank 5325 TMV142/186 Linjär algebra Z/TD Skriv

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A

Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 7 DEL A. En kulles höjd ges av z 6,x,y där enheten är meter på alla tre koordinataxlar. (a) I vilken

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 533 DEL A Planet H ges av ekvationen 3x y + 5z + a) Bestäm en linje N som är vinkelrät mot H ( p) b) Bestäm en linje L som inte skär planet H ( p)

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av

Läs mer

Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, den 12 mars 2013 kl

Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, den 12 mars 2013 kl 1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, den 12 mars 2013 kl 14.00-19.00. Examinator: Olof Heden. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.

Läs mer

Figur 1: Postföretagets rektangulära låda, definitioner.

Figur 1: Postföretagets rektangulära låda, definitioner. ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För distans och campus Flervariabelanalys ma1b 14 8 13 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel, förutom den bifogade formelsamlingen. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

TMV036/MVE350 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt KI, del C

TMV036/MVE350 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt KI, del C MATEMATIK Hjälpmedel: Inga Chalmers tekniska högskola atum: 23-3-5 kl. 8.3 2.3 Tentamen Telefonvakt: Elin Solberg tel. 73-8834 TMV36/MVE35 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt KI, del C Tentan rättas och

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-9-6 DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y

Läs mer

Flervariabelanalys E2, Vecka 3 Ht08

Flervariabelanalys E2, Vecka 3 Ht08 Flervariabelanalys E2, Vecka 3 Ht8 Omfattning och innehåll 2.7 Gradienter och riktningsderivator. 2.8 Implicita funktioner 2.9 Taylorserier och approximationer 3. Extremvärden 3.2 Extremvärden under bivillkor

Läs mer

avbildning En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion.

avbildning En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion. Ordlista 1 1 Analysens grunder avbildning En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion. Bolzano-Weierstrassegenskapen En delmängd M i ett metriskt rum har Bolzano- Weierstrass-egenskapen

Läs mer

Existens och entydighet för ordinära differentialekvationer

Existens och entydighet för ordinära differentialekvationer Existens och entydighet för ordinära differentialekvationer Michael Björklund, f-mib@f.kth.se Grundläggande begrepp Definition 1 Ett begynnelsevärdesproblem för ordinära differentialekvationer har följande

Läs mer

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A SF669 Matematisk och numerisk anals II Lösningsförslag till tentamen 7-3-5 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsstem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rmdpolära (sfäriska) koordinaterna

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)

Läs mer

1 Analysens grunder. Ordlista för Funktionalanalys 1. avbildning (map) En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion.

1 Analysens grunder. Ordlista för Funktionalanalys 1. avbildning (map) En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion. Ordlista för Funktionalanalys 1 (28 augusti 2002) 1 Analysens grunder avbildning (map) En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion. Bolzano-Weierstrassegenskapen En delmängd M

Läs mer

Tentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller

Tentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller Tentamen SF66, Analys i flera variabler, --8 Svar och lösningsförslag. Låt fx, y) = ye x y. Bestäm största och minsta värde till f på den slutna kvadraten med hörn i, ),, ),, ) och, ). Lösning. f är kontinuerlig

Läs mer

e = (e 1, e 2, e 3 ), kan en godtycklig linjär

e = (e 1, e 2, e 3 ), kan en godtycklig linjär Linjära avbildningar II Förra gången visade vi att givet en bas i rummet, e = (e 1, e 2, e 3 ), kan en godtycklig linjär avbildning F : R 3 R 3 representeras av en matris: Om vi betecknar en vektor u:s

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som

Läs mer

Läsanvisningar till: R.A. Adams, Calculus, a Complete Course, 4th ed.

Läsanvisningar till: R.A. Adams, Calculus, a Complete Course, 4th ed. Läsanvisningar till: R.A. Adams, Calculus, a Complete Course, 4th ed. Del 2 (funktioner av flera variabler). Omfattning: Kapitel 8.2, 8.3 t.o.m. s 497, 8.4, endast båglängd, 8.5 tom s. 506, 10.1, 10.5,

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-6-4 DEL A 1. Funktionen f är definierad på området som ges av olikheterna x > 1/ och y > genom f(x, y) ln(x 1) + ln(y) xy x. (a) Förklara vad det

Läs mer

För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg

För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MAB 8 Skrivtid: 9:-4:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler bifogas

Läs mer

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har

Läs mer

1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av

1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-41 1 För ingenjörs- och distansstudenter Flervariabelanalys ma1b 15 1 14 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja

Läs mer

Algebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U

Algebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U Underrum till R n, nollrum, kolonnrum av en matris, rank, bas, koordinater, dimension. Påminnelse om R n s egenskaper: Algebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U v) c(u + v) = cu + cv ii) ( u + v)

Läs mer

Några viktiga satser om deriverbara funktioner.

Några viktiga satser om deriverbara funktioner. Några viktiga satser om deriverbara funktioner Rolles sats Differentialkalkylens medelvärdessats (=) 3 Cauchys medelvärdessats Sats Om funktionen f är deriverbar i en punkt x 0 så är f kontinuerlig i samma

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar IV Innehåll Nollrum och

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-8- EL A 1. Betrakta funktionen f som är definierad i området där x + y genom f(x, y, z) x z x + y. (a) Beräkna gradienten f(x, y, z). (1 p) (b)

Läs mer

MVE022 Urval av bevis (på svenska)

MVE022 Urval av bevis (på svenska) MVE22 Urval av bevis (på svenska) J A S, VT 218 Sats 1 (Lay: Theorem 7, Section 2.2.) 1. En n n-matris A är inverterbar precis när den är radekvivalent med indentitesmatrisen I n. 2. När så är fallet gäller

Läs mer

1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper

1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper Krister Svanberg, april 2012 1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper Ett optimeringsproblem är i viss mening godartat om det tillåtna området är en konvex mängd och den målfunktion som ska

Läs mer

Basbyten och linjära avbildningar

Basbyten och linjära avbildningar Föreläsning 11, Linjär algebra IT VT2008 1 Basbyten och linjära avbildningar Innan vi fortsätter med egenvärden så ska vi titta på hur matrisen för en linjär avbildning beror på vilken bas vi använder.

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1 Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x oc y = x Beräkna x-koordinaten

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18. Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 9--6 DAG: Fredag 6 januari 9 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a Elementa Årgång 50, 967 Årgång 50, 967 Första häftet 2603. Låt ξ, ξ 2,..., ξ n vara stokastiska variabler med väntevärden E[ξ i ], i =, 2,..., n. Visa att E[max(ξ, ξ 2,..., ξ n )] max(e[ξ ], E[ξ 2 ],...,

Läs mer

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) , Linköpings universitet Matematiska institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra (TATA/TEN) 9 6, 9. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. För godkänt räcker 9 poäng och minst

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, 11 januari 2017

SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, 11 januari 2017 SF64 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, januari 7. (a) För vilka värden på k har ekvationssystemet (med avseende på x, y och z) kx + ky + z 3 x + ky + z 4x + 3y + 3z 8 en entydig

Läs mer

Optimering med bivillkor

Optimering med bivillkor Kapitel 9 Optimering med bivillkor 9.1. Optimering med bivillkor Låt f(x) vara en funktion av x R. Vi vill optimera funktionen f under bivillkoret g(x) =C (eller bivllkoren g 1 (x) =C 1,..., g k (x) =C

Läs mer

8(x 1) 7(y 1) + 2(z + 1) = 0

8(x 1) 7(y 1) + 2(z + 1) = 0 Matematiska Institutionen KTH Lösningsförsök till tentamensskrivningen på kursen Linjär algebra, SF60, den juni 0 kl 08.00-.00. Examinator: Olof Heden. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.

Läs mer

Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA

Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Volodymyr Mazorchuk Ryszard Rubinsztein Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA 007 08 16 Skrivtid:

Läs mer

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XV. Föreläsning XV. Mikael P. Sundqvist

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XV. Föreläsning XV. Mikael P. Sundqvist Föreläsning XV Mikael P. Sundqvist Förändring och lutning Till snälla funktioner kan man prata om förändring. Med det menar vi lutningen på den linje som tangerar grafen (se den blå linjen). Den röda och

Läs mer

Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: kl

Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: kl MATEMATIK Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola atum: 2-3-9 kl. 8.3 2.3 Tentamen Telefonvakt: Richard Lärkäng tel. 73-8834 TMV36 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035 Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE5 kl.. 8.. jälmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: Lennart Falk, 77 56 För godkänt krävs minst oäng. Betyg : -5 oäng, betyg : 6-7 oäng, betyg 5: 8 oäng eller mera.

Läs mer

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015.

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Begrepp och definitioner Egenskaper och satser Typiska problem Reella tal. Rationella tal. a(b + c) = ab + ac Bråkräkning. Irrationella

Läs mer

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) , Linköpings universitet Matematiska institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra TATA/TEN) 8, 9. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. För godkänt räcker 9 poäng och minst uppgifter

Läs mer

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 2004

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 2004 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 24 Skrivtid: Fem timmar. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall vara

Läs mer

(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna

(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik ES, W Flervariabelanalys 8 1 1 Skrivtid: 9-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Varje

Läs mer

Övningstenta: Lösningsförslag

Övningstenta: Lösningsförslag Övningstenta: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. (4 poäng) Bestäm tangentplanet i punkten (,, ) till ytan z f(x, y) där f(x, y) x 4

Läs mer