Alex Loiko Freddie Agestam 6 mars 2014

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Alex Loiko Freddie Agestam 6 mars 2014"

Transkript

1 Mekanik, kursanteckningar Alex Loiko Freddie Agestam 6 mars 014 Detta verk är licensierat under en Creative Commons Attribution 4.0 International licens. Det innebär att vem som helst får distribuera, remixa, ändra och bygga på verket, även för kommersiella syften, så länge de erkänner oss som upphovsmän. Licenstexten finns på legalcode Koden finns för närvarande publikt på aloiko@math.su.se, anteckningarna finns på mekanik.pdf LATEX-koden finns på Om du känner för att bidra (kanske rätta fel eller lägga till exempel) kan du få utvecklingsaccess till gitrepot git@alexl.se:/opt/git/mekanik som koden finns i. Skicka din publika nyckel till mig (Alex) med mail så lägger jag till dig. Anteckningarna skrivs och LATEX:as under föreläsningarna (därav alla fel) och fixas ibland till efter. 1

2 Fysik... är... roligt... Lars Gråsjö med hypnotiserande röst framför stroboskopmaskin

3 Innehåll 1 Kursupplägg - munta, tenta, tutorundervisning Klassrumsinlärning Schemat Mekanik - inledning, repetition av vektorer 5.1 Vektorer Vektorers användning för att beskriva rörelse Fler dimensioner Mer om rörelse, vektorer och derivator Att dela upp acceleration i komponenter Polära koordinater januari, frl 3, Newtons lagar, kap -3 ( ed) Lagarnas formulering Exempel på krafter Tyngdkraften (vid jordytan) Normalkraft och friktionskraft Gravitation Mer om Newtons lagar Tåg och vagnar Rep och massor Månen och jorden Circkelrörelse med konstant fart Hästar, pålar och klossar Fjäderkraft 11 8 Frl 5: Rörelsemängd Inledande klickarfråga Definition av rörelsemängd Rörelsemängd, följd 1: rörelsemängdens bevarande Exempel: På skridskobanan Klickarfråga Rörelsemängd, följd : Definition av masscentrum Klickarfråga Hur hittar man masscentrum? Frl 6: Forts. rörelsemängd och masscentrum samt impuls Repetition masscentrum och räkneexempel Masscentrum för en rätvinklig triangel - två dimensioner Konstellation med klossar och fjäder - en dimension och variabelbyte Formel för dubbel fjäderoscillation Impuls Inledande klickarfråga Definition av impuls

4 9..3 Exempel Pingisbollen och bowlingklotet Administrativt 11 Arbete och energi, del I 11.1 Arbete Exempel Klickarfråga - jord och bil Klickarfråga - jord och bil II Exempel Generalisering av arbete till fler dimensioner Frl 8: Forts. arbete och energi Repetition: Definition arbete Repetition: Konservativa kraftfält Klickarfråga Potential Exempel: homogent gravitationsfält Mekanisk energi Klickarfråga Gravitationspotentialen Klickarfråga x Flykthastigheten igen Potential för fjäderkraft (Harmonisk oscillatorpotential) Mer administrativt Repetetition av de senaste föreläsningarna Friktion, potentialer och kollisioner Stabila och instabila punkter med potentialer Harmonisk oscillator-potential Friktion Exempel: Klossar och plan Kollisioner Klickarfråga! Klickarfråga! Klickarfråga 3!! Frl 10: Rotationsrörelse del Definition rörelsemängdsmoment Exempel Klickarfråga Vridmoment Varför bra? Rörelsemängdsmoment och vridmoment Exempel Efter pausen Exempel Klickarfråga Keplers andra lag

5 Klickarfråga Härledning av andra lagen Frl 11: Fortsättning rotationsrörelse (del ) Repetition Rotation kring fix axel Tröghetsmomentet för allmänna kroppar Klickarfråga Analogi: Jämförelse translation och rotationsrörelse Vinkelhastigheten som en vektor Ny sammanställning Typfall Rotationsenergi Klickarfråga Exempel: tröghetsmoment för en stav Exempel: tröghetsmoment för en skiva Parallellaxelteoremet Exempel: Konstellation med trissa som inte är masslös Kommentar Uppgift Klickarfråga Frl 1: Rotationsrörelse, del Repetition Rörelsemängdsmomentets två komponenter Exempel: L z för ett rullande hjul Vridmomentets två komponenter Klickarfråga: Konståkaren roterar på isbanan Exempel: Tunna rullar ned för lutande plan Frl 13: Rotationsrörelse del 4 / Tröghetskrafter del Avslutning rotationsrörelse Exempel revisited: Tunna rullar ned för lutande plan Föremål som rullar och glider Klickarfråga Icke-inertialsystem och tröghetskrafter Repetition inertialsystem Byta inertialsystem Klickarfråga: skjuta ärtor Byta från inertialsystem till icke-inertialsystem Exempel: Pendel i en accelererande vagn Väga sig i en accelererande hiss Frl 14: Tröghetskrafter del Administrativt Repetition tröghetskrafter Exempel: cylinder på en accelererande planka Roterande system Cylindriskt polära koordinater Klickarfråga

6 19 Föreläsning 15, mer om tröghetskrafter Repetition Klickarfrågor: riktningen på Coriolis-kraften Exempel: jordens rotation och Coreolis-kraften Uppgift: beräkna tröghetsmomentet för en kropp, ÖP 6:6c Centralkraftsrörelse och Keplers lagar Centralkraftsverkan mellan två goyckliga massor Föreläsning 16, Centralkrafter - fortsättning Repetition Mer om centralkrafter Energibevarande Exempel: inga yttre krafter Exempel: gravitation Frl 17, relativitetsteori I 6.1 Lite historia Eter Eterns egenskaper Experiment av Michelso-Morley Einstains kritik Einsteins postulat Galilei-transforationen och dess antaganden Rumtidsdiagram Lorentz-transform Linjär avbildning Samtidighetslinjer och världslinjer Var går B:s samtidighetslinje? Och B:s världslinje? Einsteins :a Vi har fler koordinataxlar! Frl 18: Speciell relativitet del Repetition Galileitransformationen Lorenz-transformationen Ljuspuls från origo O vid t = 0 längs x-axeln Ljuspuls från origo O vid t = 0 längs y-axeln Klickarfråga Vilka punkter motsvarar t = 0? Längdkontraktion Klickarfråga: längdkontraktion Mer relativitetsteori Lorentz-transformation

7 6 Tidsdilatation Tankeexperiment Addition av hastigheter Hastigheter u, v paralella Ännu mer relativitetsteori Administrativt Energi, massa, rörelsemängd Relativistisk kollision och rörelsemängd En bättre rörelsemängd Kollision med riktig rörelsemängd Massa Energi Tolka det?

8 8

9 File: ant-01-0.tex 1 Kursupplägg - munta, tenta, tutorundervisning Examinationen är skriftlig tenta 60%, två muntor 40%. Tenta är 30 poäng, man kan få bonunpoäng från tutordelen. Tentan testar förmågan att lösa problem, muntan kontrollerar att man har tagit till sig de basala kunskapsmålen Klassrumsinlärning Använder en teknisk pryl för att anonymt svara på frågor i klassrummet. 1. Schemat Finns på kurshemsidan. Räknestuga torsdag i sal FP41 finns inte uppskrivet på schemat. Dessutom 4 onsdagar 15 18, se hemsidan för vilka dagar. Mekanik - inledning, repetition av vektorer Vi repeterar vektorer och introducerar grundläggande begrepp för att beskriva rörelse. Definition 1. Mekanik - läran om att beskriva hur kroppar rör sig under inverkan av krafter..1 Vektorer En vektor betecknar vi som. Längden av en vektor är. Enhetsvektorn betecknas som  = A A Vektorer kan ha komponenter, A = (A x, A y ) vilket står för A = A x î + A y ĵ där î, ĵ är basen för vårat vektorrum. Vektorer kan multipliceras genom kryssprodukt och skalärprodukt. Skalärprodukten mellan a, b är a b = a b cos α Vektorprodukten a b är en vektor v som uppfyller v a, v b och v = a b sin α där α är vinkeln mellan a och b (notera att om man byter plats på a och b, ändras vinkeln från α till π α så sin byter tecken). 1 se häftet basala kunskapsmål i Mekanik 9

10 Ortsvektor Givet ett koordinatsystem med origo O och en punkt P, säger vi att vektorn OP (som går från O till P ) är ortsvektor för P. Ortsvektorer är koordinatsystemsberoende. 3 Vektorers användning för att beskriva rörelse Vi introducerar begreppen för att beskriva rörelse i en dimension: Rörelse, (1 dim) Vi studerar en partikel som rör sig längs x-axeln. Partikens position är en funktion av tiden, x(t). Om vi har två tidpunkter t 1, t, med x(t 1 ) = x 1, x(t ) = t blir medelhastigheten mellan t 1 och t är Momentanhastighet v = x t = x 1 x t 1 t = x(t 1) x(t ) t 1 t Medelhastigheten kan användas för att definiera momentanhastiget, som bara beror på en tidpunkt t som x(t) x(t 1 ) x v(t) = lim = lim t 1 t t t 1 t 0 t = x (t) Medelacceleration och momentanacceleration På samma sätt som medelhastighet och momentanhastighet definierar vi medelacceleration och momentanacceleration som a = δv δt och a(t) = v (t) = x (t) 3.1 Fler dimensioner För fler dimensioner (3 eller ett goyckligt antal) låter vi r(t) = (x(t), y(t), z(t)) vara partikelns ortsvektor som fukntion av tiden. Hastighetsvektorn v(t) blir D(r(t), t) = r (t) = dr(t) På samma sätt definieras accelerationsvektorn a(t) som a(t) = v (t) = dv(t) 10

11 File: ant-01-.tex 4 Mer om rörelse, vektorer och derivator Vi löser röresleekvationer och härleder samband mellan ortsvektor, hastighet och acceleration. Notation är ṙ = v och r = a. 4.1 Att dela upp acceleration i komponenter Om en punkt rör sig längs r(t), betrakta dess position vid en viss tidpunkt t 0. Dela nu upp a(t) i komponenter a + a så att a är till a och â = v. Då finns bara ett sätt att göra det, nämligen: låt a = k v, vi låter tills vidare k vara en variabel. Då måste a = a k v. Dessutom har vi villkoret att a a = 0 dvs v (a k v) = 0 och därmed v a = k Den fysikaliska tolkningen är att a (t) är den komponent av accelerationen som påverkar farten, medan a (t) påverkar vinkeln. Se boken (sid. 6). 4. Polära koordinater Ibland kan det vara praktistk med ett koordinatsystem som beror på föremålets position. Om ett föremål rör sig i planet och i ett visst ögonblick befinner sig på (x, y) (0, 0), skriver vi om (x, y) = (r cos θ, r sin θ) till polärt och formar två nya basvektorer r(θ) = (0, 1) cos θ + (1, 0) sin θ θ(θ) = (0, 1) sin θ + (1, 0) cos θ som är uppenbart ortogonala. Då kan partikelns rörelse r(t) beskrivas så enkelt som r(t) = r(t) r(θ). Vi räknar ut ṙ(t) i polära koordinater: D(r(t), t) = D(r(t), t) r(t) + D( r(t), t)r(t) Vi behöver D( r(t), t). Här verkar Newtons -notation hjälpa något: Det leder till att r(t) =... = ( sin θî + cos θĵ) θ = θ θ ṙ = ṙ r + θ θr Det här kan man också göra för hastighet och θ(t). Se boken sid velocity hastighet på svenska, betyder vektorn v = ṙ speed fart på svenksa, betyder v = ṙ Annars mer matte-repetition - polära koordinater, gå mellan polära och kartesiska koordinater. 11

12 File: anteckningar-mekanik.tex 5 4 januari, frl 3, Newtons lagar, kap -3 ( ed) 5.1 Lagarnas formulering 1. En kropp som inte påverkas av någon yttre kraft förblir i sitt tillstånd av vila eller konstant hastighet. Denna lag kallas även Tröghetslagen. Newtons lagar, speciellt den första, förutsätter att man befinner sig i ett s.k. inertialsystem (eng. inertia=tröghet). Ett inertialsystem är ett icke-accelererande koordinatsystem. En ekvivalent definition är ett system där tröghetslagen gäller.. En massa m som påverkas av den resulterande kraften F accelererar med a, enligt F = ma. Denna lag utgör en definition av kraft. Enhet: 1 N = 1 kg m/s. Lag (1) är egentligen ett specialfall av lag (), men finns med av pedagogiska och historiska skäl. På Newtons tid var det omdebatterat huruvida det behövdes en kraft eller inte för att hålla en kropp i rörelse. 3. Om en kropp A påverkar en kropp B med en kraft F, så påverkar kropp B kropp A med en kraft F. Denna lag säger att krafter kommer i par - varje kraft har en reaktionskraft/motkraft. 5. Exempel på krafter 5..1 Tyngdkraften (vid jordytan) Ett föremål vid jordytan har tyngden F = mg, där g är tyngdaccelerationen. Hur accelererar föremålet vid fritt fall? Den enda kraft som påverkar föremålet är tyngdkraften, så från Newtons andra lag får vi mg = ma och drar slutsatsen a = g. Trivialt, men inte ett självklart resultat, eftersom det inte behöver vara samma massa m i de två fallen. Det visar sig empiriskt att det är samma. I själva verket har de båda massorna två olika namn och vi bär oss åt på olika sätt för att mäta dessa massor. Massan i F = mg kallas för tung massa och kan mätas på en våg. Massan i Newtons andra lag kallas trög massa och för att mäta denna behöver vi accelerera föremålet. 5.. Normalkraft och friktionskraft Normalkraften och friktionskraften är kontaktkrafter. De har sitt upphov i den elektromagnetiska kraften. Normalkraften N är den kraft som hindrar en ett föremål från att tränga igenom ett annat och är lika stor som och motriktad den vinkelräta komposanten av tyngdkraften (men det är inte dess motkraft!). 1

13 Friktionskraften f motverkar relativ rörelse mellan två kroppar som är i kontakt med varandra. Den växer med den kraft som verkar för rörelsen tills friktionskraften når sitt maximum och den andra kraften blir starkare - en rörelse inleds. Det visar sig empiriskt att f max är proportionell mot normalkraften: f max = µn där µ är friktionskoefficienten. Den friktionskraft som verkar innan rörelsen inleds kallas statisk friktion och den som verkar under rörelsen kallas dynamisk friktion. Det visar sig att f max är lite större än den dynamiska friktionen, men vi kommer inte göra någon distinktion under kursen. Exempel (ex 3.4 i boken ed): En kropp med massan m ligger på ett sluttande plan med friktionskoefficienten µ. Planets vinkel mot marken är α. Vid vilken vinkel börjar kroppen glida? Kraftekvationerna ställs upp koordinatvis enligt Newtons andra lag och resultatet blir att kroppen börjar glida då µ = tan α. Detta ger oss en metod att beräkna µ Gravitation Gravitationskraften är en kraft som verkar på avstånd. Det är en av de fyra fundamentala krafterna; den svagaste av dem. Newton insåg att samma kraft får saker att falla till marken som får månen att rotera kring jorden. Om kropp A och B har massorna M A och M B och påverkar varandra med krafterna F A och F B (som är varandras motkrafter) gäller F A = F B = G M AM B r där G 6, N m /kg och kallas allmänna gravitationskonstanten. r är avståndet mellan massorna Formeln gäller för punktformiga massor. För stora kroppar kan de beräknas enligt en integral. Sfärisk-symmetriska massor kan ersättas med en punktformig massa i mitten av kroppen. Newton använde ett geometriskt resonemang för detta. Hänvisning till att läsa i boken (avsnitt i nya boken): varför uppstår tyngdlöshet i en ihålig sfärisk kropp? 13

14 File: ant-01-7.tex 6 Mer om Newtons lagar 6.1 Tåg och vagnar Tre vagnar A, B, C med samma massa M sitter fast och dras med en kraft F i något som är fäst vid vagn 3. Vilket fäste, AB, BC eller det genom vilket kraften med storkel F verkar på C? A B C F Kraften på hela systemet är F = 3Ma. Kraften på enbart vagn A är F = Ma enligt Newtons :a lag och det är också kraften som spänner fästet. Vi kan titta på vagn och använda Newtons 3 :e lag. 6. Rep och massor En massa M är fäst vid ett rep som har massa m. Repet dras med kraft F. Vilka krafter verkar på massan? Det är ett specialfall av det tidigare problemet. Hela systemet accelererar med a, men vi måste subtrahera massan av repet för att räkna fram kraften på kroppen. Vi utför alla räkningar: Repet påverkas av kraften F = (M + m)a, och massan M verkar på repet med F 1 = Ma från andra hållet. Vi har alltså att a = (M+m)a F M+m, och F 1 = M F M+m = 6.3 Månen och jorden MF M+m M+m = Månen ramlar inte ned för att den har en hög hastighet vinkelrät mot kraften från jorden. Kraften från jorden räcker precis till för att ändra riktningen så att den fortsätter snurra runt i en cirkel. 6.4 Circkelrörelse med konstant fart När en kropp rör sig längs en cirkel med konstant fart har vi v = ωr a c = ω r = v r a c = ω r r = v r r där a c är centripetalacceleration som är riktad mod centrum. Enligt Newtons :a lag är centripetalkraften mv r r. 14

15 Exempel På en nöjerpark finns en roterande trumma. Den accelererar upp till en viss hastighet med människor i, sedan försvinner golvet. Hur snabbt måsten den rotera för att människorna inte ska ramla ut? De relevanta storheterna är radie R, människomassa m, vinkelhastighet ω och friktionskoefficient µ mellan människa och vägg. Krafterna på personen är mg riktad nedåt, en normalkraft N ut ur väggen som pekar in mot centrum och en friktionskraft f riktad upp som hindrar människan från att glida ned. Personen glider inte, alltså måste f = mg, men vi vet att f Nµ, alltså är Nµ = mg. N är centripetalkraften, den uppfyller N = mω r. Vi har mω rµ ω ω mg g µr g µr 6.5 Hästar, pålar och klossar hästar ska dra loss klossar. W ALL KLOSS F F KLOSS F Pålen verkar på klossen med F enligt newtons 3 :e lag. 7 Fjäderkraft En ideal fjäder verkar med en kraft proportionell mot förskjutningen, F = kx där x är förskjutningen från jämviktsläget och k är en konstant som kallar fjäderkonstanten och beror på fjädern. Sambandet heter Hookes lag efter Robert Hooke som levde på 1600-talet. Om ett objekt pendlar fram och tillbaka fäst i en fjäder längs med x-axeln är enl. Newtons :a lag säger att xk = mẍ. Det är en :a ordningens diffekvation, vars lösningar spänns upp av sin ωt och cos ωt där ω = k m. ω kallas för vinkelfrekvens. Det här går att skriva om som x(t) = A cos(ωg + φ) där A är amplitud och φ kallas fas och beror på hur var i svängningen punkter startar sin rörelse. 15

16 File: ant-01-9.tex 8 Frl 5: Rörelsemängd 8.1 Inledande klickarfråga En vagn med väggar men inget tak rullar friktionsfritt på ett horisontellt spår. Regn faller vertikalt in i vagnen, som därmed långsamt fylls med vatten. Hur förändras vagnens fart? 1. Farten minskar, eftersom regnvattnet bromsar vagnen.. Farten ökar, eftersom det fallande regnet överför sin fart till vagnen. 3. Farten förblir oförändrad, eftersom regnet faller vertikalt och vagnen rör sig horisontellt. Rätt svar: farten minskar, eftersom vagnens massa ökar. Vagnen måste ge rörelsemängd till vattnet. 8. Definition av rörelsemängd (engelska momentum) Ett föremål med massan m rör sig med hastigheten v. Rörelsemängden p för föremålet definieras som p = mv. Enheten för rörelsemängd är kg m/s. Nu kan Newtons andra lag formuleras som F = dp, vilket var Newtons ursprungliga formulering. F = ma = m dv = d dp (mv) = Betrakta ett antal partiklar som rör sig i ett system. För partikel j blir rörelsemängden p j = m j v j = m j. Kraften på varje partikel blir då f j = dpj. Summan dr av alla krafter som verkar på partiklarna blir f j = j j dp j = d ( j p j ) = dp total Om krafterna som verkar på partiklarna delas upp i yttre krafter (utanför systemet) och inre krafter (inom systemet) och vi observerar då j f j = f j inre + fj yttre = inre yttre dp f j + f j = total j F yttre = dptotal 16

17 8.3 Rörelsemängd, följd 1: rörelsemängdens bevarande Antag att F yttre = 0, dvs systemet är isolerat. Det följer att dp total = 0 och därmed att p total är konstant. Det sammanfattar vi som: För ett system som inte påverkas av några yttre krafter (isolerat system), så är den totala rörelsemängden oförändrad Exempel: På skridskobanan På skridskobanan skjuter/knuffar person 1 och person, som ursprungligen står stilla, iväg från varandra. Det gäller att p fre = p 1 fre + p fre = 0 Efter att de har skjutit ifrån varandra gäller p efter = m 1 v 1 + m v Enligt bevarelselagen måste rörelsemängden bevaras, så då gäller P fre = P efter. Därmed har vi m 1 v 1 + m v = 0 En hastighet kan då lösas ut uttryckt i en annan: 8.4 Klickarfråga v = m 1 m v 1 En lastbil och en bil frontalkrockar, fastnar i varandra och hasar vidare på det isiga underlaget. För vilket av fordonen är förändringen i rörelsemängden störst under kollisionen? 1. Bilen. Lastbilen 3. Båda har samma förändring 4. Det behövs mer information Rätt svar: samma förändring. Resonemang: Rörelsemängden måste bevaras - därför kommer, vid krocken, det ena fordonet överföra en del av sin rörelsemängd till den andra. Förändringen är därför (storleksmässigt) samma för båda fordonen. 8.5 Rörelsemängd, följd : Definition av masscentrum Den totala rörelsemängden kan räknas ut genom r total = j p j = j m j v j = m j dr j = d ( j m j r j ) Definiera masscentrum R cm av systemet som j R cm := m jr j M 17

18 där M = j m j är systemets totala massa. Då får vi och p total = M dr CM F yttre = M d R CM Vi kallar R CM för systemets masscentrum eller tyngdpunkt. Vi har just skrivit om Newtons andra lag uttryckt i masscentrum: För alla kroppar kan vi i kraftekvationer räkna som om hela kroppen befinner sig i masscentrum, dvs vi kan ersätta ickepunktformiga massor med en punktformig massa i dess centrum. Vi ser speciellt att: Om F yttre = 0 gäller dr CM konstant. Uttryckt i ord: Om inga yttre krafter verkar på ett system rör sig masscentrum rätlinjigt med konstant hastighet. 8.6 Klickarfråga Personerna A och B står på varsin vagn och kastar bollar. Vagnarna befinner sig från början i vila på horisontellt friktionsfritt underlag. Person A kastar sina bollar åt vänster mot en vägg fastsatt på vagnen och de studsar elastiskt. Person B kastar sina bollar åt höger. Hur kommer vagnarna röra sig? 1. A åker åt höger och B åt vänster. Båda åker åt vänster 3. A är stilla; B åker åt vänster 4. Ingen rör sig Rätt svar: båda åker åt vänster. Resonemang: tänk på system A som att en boll lämnar vagnen åt höger. Därför måste det bete sig likadant som system B. Ett populärt alternativ var också att A skulle vara stilla, därför att man vid kastandet av bollen får en rörelse åt höger och vid studsen får man en rörelse åt höger, så att dessa tar ut varandra. Detta är emellertid fel. Misstaget man gör är att eftersom tåget har en intial rörelse åt höger, så kommer bollen ha en högre hastighet relativt tåget vid studsen och det är denna extra hastighet som tar ut tågets rörelse åt höger. Annorlunda uttryckt: Rörelsemängden måste bevaras i det koordinatsystem som rör sig åt höger i tågets initiala hastighet, som inte är samma som markens system! 8.7 Hur hittar man masscentrum? Vid betraktandet av ett antal partiklar definierande vi systemets masscentrum som R CM = 1 m j r j M där M = j m j. Nu vill vi definiera masscentrum för en kropp. Om vi delar in den i masselement δm kommer vi få samma uttryck som ovan. Gör vi en oändligt fin indelning får vi en integral: R CM = 1 rdm M j 18

19 Men vi vill inte integrera över massan, så vi gör en omskrivning med densitet, som vi betecknar w, och får substitutionen dm = wdv. R CM = 1 rwdv M Om kroppen är homogen, dvs densiteten konstant: R CM = w rdv = 1 rdv = 1 M V V Exempel på detta kommer nästa lektion. V V V V (x, y, z)dv 19

20 File: ant tex 9 Frl 6: Forts. rörelsemängd och masscentrum samt impuls 9.1 Repetition masscentrum och räkneexempel Vi definierade masscentrum R CM för ett system med partiklar som R CM = j m ir i. Poängen var att F yttre = M d R CM. Vi generaliserade resonemanget till icke-punktformiga massor med en oändligt fin indelning av kroppen i masselement och en integration över dessa för att få kroppens masscentrum. För tredimensionella kroppar får man då en volymsintegral (tre led) av en funktion av positionsvektorn (tre komponenter), dvs nio integrationer. I vanliga fall behöver vi inte beräkna masscentrum med multipelintegral - vi betraktar föremål som är symmetriska i alla led utom ett. Ex en symmetrisk vas behöver man bara integrera längs symmetrilinjen (z-led) Masscentrum för en rätvinklig triangel - två dimensioner Här följer ett exempel i två dimensioner - fyra integrationer. Uppgiften går att lösa enkelt med geometriskt resonemang, men här kommer en lösning med integration, för att demonstrera förfarandet vid integration i flera dimensioner. Problem: Vi betraktar en triangel med rät vinkel i origo och höjden a (i y-led) och basen b (i x-led). Var är dess masscentrum? Eftersom det är en D-figur gör vi en areaintegral: R CM = 1 rda = 1 ( ) (x, y)dy dx A A A Vi behöver först hitta integrationsgränserna. Området begränsas av y-axeln, x-axeln och linjen y = a b x + a. Vi sätter integrationsgränserna så att integrationsgränsen i y-led beror av x - därför ska vi integrera över y-led först. Integralen blir alltså: ( 1 b ) a b x+a (x, y)dy dx A Integration av första vektorkomponenten, x: Inre integralen: integration över y: a b x+a 0 Yttre integralen: integration över x: b 0 ( ax b 0 0 (x, y)dy = [xy] a b x+a 0 = ax b + ax ) ] b + ax dx = [ ax3 3b + ax = ab ab = ab 6 Integration av andra vektorkomponenten, y: 0

21 b 0 Inre integralen: integration över y: a b x+a 0 [ yb ydy = ] a b x+a Yttre integralen: integration över x: 0 = 1 ( a x b ) + a a x b ( 1 a x ) [ b + a a x a x 3 dx = b 3b + xa a x ] b = 1 ( a ) b b ba a b = a b 6 Slutsats: Vi har beräknat integraluttryckets x- och y-koordinat och vi har arean för triangeln: A = ab. Det ger oss: R CM = 1 ( ) ab A 6, a b = ( ) ( ab 6 ab 6, a b a = 6 3, b ) 3 Masscentrum är alltså i ( a 3, b 3 ), medianernas skärningspunkt Konstellation med klossar och fjäder - en dimension och variabelbyte I bland kan det vara fördelaktigt med ett variabelbyte. I följande problem betraktar vi ett system i rörelse, där vi söker att beskriva systemets rörelse, och observerar att masscentrum rör sig med konstant hastighet. Ett byte till koordinatsystem som rör sig med masscentrum förenklar våra beräkningar. Problem: Betrakta två lika massor m i ett plan i x-led (positiv riktning åt höger), förbundna med en fjäder. Masscentrum, som då är mitt på fjädern, befinner sig vid x = 0, vänstra massan vid x 1 och högra vid x. Vid tiden t = 0 sparkar någon till den högra massan så att den får en momentan hastighet v 0. Fjädern har längd l och fjäderkonstanten k. Hur kommer systemet röra sig? Strax efter t = 0: Vänstra massan är stilla och högra massan rör sig med v 0. Därför måste masscentrum, beläget mitt mellan dem, röra sig med v0. Efter t = 0 verkar inga yttre krafter på systemet och därför måste masscentrum, X CM, röra sig med konstant hastighet. Vi har: dx CM = v 0 d X CM = 0 Byte av koordinatsystem: Välj nytt koordinatsystem x som följer med masscentrum. (Detta är ett inertialsystem eftersom masscentrum rör sig med konstant hastighet.) Vi väljer beteckningar som förut: x = 0 är vid masscentrum (konstant), vänstra massans koordinat är x 1 och högra massans koordinat är x. Vi ser att x 1 = x och att klossarnas ursprungliga hastigheter v 0,1 resp v 0, i detta system är v 0, = v 0 apostroferna indikerar annat koordinatsystem. De är inte derivator. 1

22 v 0,1 = v 0 Detta nya koordinatsystem, x, relaterar till det gamla, x, genom x = x v 0t Rörelsen uttryckt i nya koordinatsystemet: Fjädern kommer oscillera och påverka massorna med krafter som vi kallar F 1 respektive F. Fjäderkraften kommer vara k gånger hela förskjutningen (vilket inte är uppenbart, se resonemang nedan!). Vi betraktar systemets inre krafter, massornas krafter på fjädern, F 1 och F. Newtons andra lag: F = k(x x 1 l) = k(x 1 l) F 1 = F k(x 1 l) = md x Inför en ny vektor s för att beskriva förskjutningen av vänstra massan. s := x 1 l och skriv om ekvationen för Newtons andra lag ks = m d s och lös ut accelerationen: d s = k m s Men detta är en differentialekvation som vi vet hur vi ska lösa. Lösningarna ges av s(t) = A sin ωt + B cos ωt k där ω = m. Bivillkor: Vid t = 0 är förskjutningen 0 och hastigheten v 0,1 = v0 : s(0) = 0 B = 0 s (0) = v 0 Aω = v 0 A = v 0 ω Lösning Vänstra massan rör sig alltså enligt s(0) = v 0 sin ωt ω k m. I prim-koordinatsystemet x kommer vi få en oscil- med vinkelfrekvensen ω = lerande rörelse av massorna in/ut från masscentrum. I det ursprungliga koordinatsystemet x får vi denna rörelse plus en translation åt höger med konstanta hastigheten v 0.

23 9.1.3 Formel för dubbel fjäderoscillation Det nämndes inte på lektion, men hur kom vi fram till den formel vi använde för fjäderkraften ovan? Freddies resonemang följer. En fjäder oscillerar med klossar i båda ändarna, inte nödvändigtvis lika tunga. Inga yttre krafter verkar på systemet och därför rör sig masscentrum med konstant hastighet. Vi står i koordinatsystemet som rör sig med masscentrum i origo (ett inertialsystem). Oscillationen kommer ha en fixpunkt i masscentrum (annars skulle masscentrum förskjutas och det vet vi att det inte gör). Tidigare har vi betraktat fjäderoscillation med en fixpunkt i ena änden och i andra änden oscillerande massa. Då ges fjäderkraften som bekant av F = k x (där x är fjäderns förskjutning från viloläget). Oscillerande massor i båda ändarna är ett nytt scenario och vi måste resonera oss fram till en formel för detta. Vi vet att denna oscillation har en fixpunkt och kan därför reducera detta scenario till det bekanta: Vi väljer att betrakta fjädern som uppdelad i två vid fixpunkten, x = 0. Vi kommer då ha krafter på massorna som ges av k gånger fjäderändarnas/massornas respektive förskjutning från sina vilolägen (vilolägena är ju konstanta i detta koordinatsystem). So far, so good, men man får inte begå misstaget att tro att detta är alla krafter. Våra två sub-system är ju inte isolerade: vid fixpunkten finns spännkraft åt båda hållen. (Att de inte är isolerade kan man också inse genom att deras masscentrum accelererar.) Systemens interna fjäderkrafter överförs tydligen från det ena systemet till det andra, så den totala fjäderkrafter måste vara summan av de interna. Om vi har förskjutningarna x 1 och x, kommer den totala kraften vara F = k( x 1 + x ). Alltså, en fjäder som oscillerar med vikter i båda ändarna kommer ha sin fixpunkt i masscentrum och påverka massorna med fjäderkraft av storlek F = k x, där x är längdförändringen av hela fjädern. 9. Impuls 9..1 Inledande klickarfråga Du släpper en 1 kg sten från 5 m höjd. Vilken kraft har stenen på marken när den landar? 1. 5 N. 10 N N N 5. Inte möjligt att avgöra ur den givna informationen. Rätt svar: Inte möjligt att avgöra (första gången det är rätt!). Vi saknar inbromsningstiden eller något som skulle kunna leda oss till den, ex inbromsningssträckan. Det är en impuls som stoppar rörelsen. Lärdomen här är att inte förväxla kraft med impuls. 9.. Definition av impuls Newtons andra lag kan skrivas som F = dp 3

24 t 0 F (t ) = dp = p(t) p(0) Denna integral, kraften med avseende på tiden, kallas impuls. (I äldre notation (och ofta på Wikipedia) kallas rörelsemängd för impuls, men så säger vi inte längre.) Detta samband, impulsen är förändringen i rörelsemängd, kallas impulslagen Exempel En person med massa M hoppar från en höjd h ned till marken. Hen är i luften tiden t f (f=fall) och kommer upp i hastigheten v 0. Inbromsningen (från kontakt till marken till det att man har stannat) tar tiden t b (b=broms) under vilken personens tyngdpunkt sjunker s i höjdled. Antag att hens bromskraft F konstant under inbromsningen (förenkling). Vi söker F (h, s). Vi har konstant kraft så integralen är enkel, en multiplikation: F t b = Mv 0 Accelerationen antogs vara konstant under inbromsningen, så medelhastigheten är v 0 : s = v 0 t b och vi kan lösa ut inbromsningstiden: t b = s v 0 Därmed kan vi lösa ut kraften från ekvationen för impulsen: F = M v 0 = Mv 0 t b s Vi tar fram t f analogt med t b och får ett uttryck för v 0 : Alltså v 0 = gt f = g h v 0 v 0 = gh F = Mv 0 s = Mgh s Exempel: En person hoppar från 1 m höjd. Antag att hen böjer mycket på benen och sjunker ned 0,5 m. Då blir kraften Mg. Antag nu att hen hoppar väldigt stelt och bara sjunker ned 1 cm. Då blir kraften 100 Mg. Det senare alternativet är inte rekommenderat Pingisbollen och bowlingklotet En pingisboll och ett bowlingklot kommer farande mot dig, med samma rörelsemängd. Du använder samma kraft för att stanna var och en av dem. Hur jämför sig tiden som krävs för att stanna dem? 1. Pingisbollen tar längre tid 4

25 . Samma 3. Pingisbollen tar kortare tid Rätt svar: samma tid - de har ju samma rörelsemängd och det är allt som är relevant. Hur jämför sig inbromsningssträckan? 1. Pingisbollen rör sig kortare. Samma 3. Pingisbollen rör sig längre Rätt svar: Pingisbollen rör sig längre. Inbromsningstiden är ju samma, men pingisbollen rör sig snabbare initialt, så den behöver en längre inbromsningssträcka. Nästa vecka (hela): arbete och energi. 5

26 File: ant-0-03.tex 10 Administrativt Examination på de 4 första kategorierna. Efternamn L ska examineras av David. Redovisa problem muntligt efter förberedelse på vit tavla inför examinatorn. Två godkända betyg, godkänd och väl godkänd. För att bli väl godkänd ska det framgå att man har förstått något, inte bara rabblar utantill. För att bedöma om du är godkänd eller väl godkänd kan examinatorn ställa en följdfråga. Se lappen med kunskapsmål. Ett slupas ur varje kategori. Examinationen är 40% av slutbetyget. 11 Arbete och energi, del I 11.1 Arbete Arbete kommer vi ihåg från gymnasiet: om en kälke flyttas horisontellt från en punkt a till en punkt b med avstånd b a = s och kraft F vars horisontella komponent är F, definieras arbetet som W ab = F s = F s Arbete har enheten Joule, betecknat J och kan skrivas i SI-enheter som Newtonmeter, 1J = 1Nm. Vi kan generalisera definitionen av arbete. Antag att kraften inte är konstant, utan beror på position. Vi rör oss i en dimension. En partikel flyttas från punkte a till punkten b genom att en kraft F (x) (beror på position) verkar på den. Då definieras arbetet genom W ab = b a F (x)dx (1) Nu antar vi att F (x) är den resulterande kraften. Det kan vi göra för att det är rörelse i en dimension. Sedan använder vi Newtons :a lag och skriver om F (x) som. Då har vi m d v W ab = m b a t(b) t(a) F (x)dx = dv v = m m b a t(b) m dv dx = () dv t(a) = ( ) vt(b) v t(a) Sammanfattningsvis kom vi fram till något som heter arbete-energi-teoremet. Det formuleras som W ab = K b K a där K a = mv är den kinetiska energin vid tidpunkten a. 6

27 11. Exempel Betrakta ett objekt som faller mot vertikalt mot marken. En kropp befinner sig i koordinaten z = h med en startfart v 0 riktad nedåt. Vi vill enkelt räkna ut farten v mark när kroppen når marken. Det är bara F g med storlek mg som verkar på kroppen. Arbete-energi-teoremet säger att mv mark mv 0 Om v 0 = 0, får vi att v mark = gh. = Klickarfråga - jord och bil h F dz = mg ( h) = mgh En bil accelererar från stillastående. Hur ändras jordens rörelsemängd? Svaret är att den ändras lika mycket som jorden. Det ser vi för att jorden och bilen utgör ett slutet system vars totala rörelsemängd inte ändras Klickarfråga - jord och bil II En bil accelererar från stillastående. Hur ändras jordens energi? Den ändras inte lika mycket som bilens. Det ser vi genom att skriva jordens energiskillnad som m(v jord ) den gamla Exempel m(v jord) där v jord är den nya hastigheten och v jord är Vi skjuter iväg en projektil m från jordens yta och struntar i luftmotstånd. Projektilen skjuts iväg från höjd a = R jord med hastighet v 0 och vi tittar på den igen i en punkt med höjd b = R 1 där den har hastighet v 1. AE-teormet säger att 1/(mv 1 v 0) = Kraften är en konstant gånger 1 r. Fortsätter: R1 R1 R1 R jord F dr F dr = K R jord r dr ( 1 = K 1 ) R jord R 1 R jord 1 Konstanten K är GM jord m där G är gravitationskonstanten, M jord är jordens massa och m är föremålets massa. Om vi antar att v 1 = 0 har vi v0 ( 1 = GM jord 1 ) R jord R 1 Flyttar runt för att lösa ut R 1 och får R 1 = 1 1 R v 0 (3) jord GM jord 7

28 Problemet går såklart att lösa även utan AE-teoremet. Vi kan använda Newtons :a lag, lösa differentialekvationen för position av tid och tolka lösningen. Här blev räkningarna enklare, men resultatet gav inte lika mycket information om banan av objektet uttryckt i tid. Grovt skissat med newtons lagar har vi d r(t) = A r(t) vilken har lösningar r(t) = Bt + C log t för konstanter A, B, C. Vi kan också tolka ekvation 3. Nämnaren blir 0 om v 0 = jorden blir det v m/s. Detta kallas flykthastigheten. GMjord R jord. För just 11.6 Generalisering av arbete till fler dimensioner Igen rör sig ett objekt längs någon bana r som börjar i r a och slutar i r b. Vid varje punkt påverkas föremålet av en kraft F (r) som beror på r. Komponenten av F som verkar i samma riktning som banan är F dr. Integralen från ekvation 1 ser nu ut såhär: W ab = b Vi försöker använda samma resonemang som i ekvation : a F (r) dr (4) W ab =... variabelbyten, algebra... = K b K a (5) Det finns en komplikation: om vi ska använda AE-teoremet i fler dimensioner som vi använde det i 1 dimension, behöver vi veta vilken bana objektet rör sig med. Men när man känner till det har man redan löst problemet. Som tur så är väldigt många praktiska vektorfält konservativa och kan använda sig av fundamentalsatsen för linjeintegraler. Sats 1. Krafter som kan uttryckas på formen är konservativa. Bevis. Vi räknar b a f(r) r dr = F (r) = f(r) r b a W ab = b a F (r) dr = f(r) r (drr + rdθ θ) = b a f(r)dr vilket är en 1-dimensionell integral som bara beror på r och inte kan vara vägberoende. Nästa gång definieras potentiell energi. 8

29 File: ant-0-05.tex 1 Frl 8: Forts. arbete och energi Onsdag 5 februari, kl Repetition: Definition arbete En partikel rör sig i rummet längs en positionsvektor r, från punkt a till punkt b. En kraft F verkar på partikeln längs banan. W ab = b a F dr Om F är den resulterande kraften som verkar på partikeln, kan vi visa att arbeteenergi-teoremet gäller. Nettoarbetet W ab ges av W ab = K b K a Men för att använda beräkna W ab i arbete-energi-teoremet behöver vi känna till vägen, vilket vi ofta inte gör. För s.k. konservativa kraftfält behöver vi inte det. 1. Repetition: Konservativa kraftfält Ett konservativt kraftfält är sådant att arbetsintegralen endast beror på kurvans ändpunkter. Ett central-kraftfält är ett som kan skrivas på formen F (r) = f(r) r dvs en skalär funktion gånger en radiell enhetsvektor. Vi visade: Centralkrafter är konservativa. 1.3 Klickarfråga Ett kraftfält med krafter symmetriskt pekande ut från origo, med ökande magnitud längre bort från origo - är det konservativt? Svar: ja, eftersom det är en centralkraft. 1.4 Potential För konservativa kraftfält definierar vi den potentiella energifunktionen (potentialen) U(r) U(r b ) U(r a ) = b a F dr = b a F dr Det är en kurvintegral, eftersom vi måste gå längs någon kurva, men eftersom det är ett konservativt kraftfält, spelar det ingen roll vilket. Av denna anledning kan man också välja att skriva en vanlig integral i stället för en kurvintegral. Observera att vi har definerat potentialen genom en differens, inom valda gränser. Vi kan också göra följande mer abstrakta definition, med en indefinit integral: U(r) = F dr 9

30 I denna primitiva funktion får man själv välja konstant - dvs var man sätter sin nollnivå, U = Exempel: homogent gravitationsfält Vi betraktar ett (approximativt) homogent kraftfält, jordens gravitation vid markytan. Vi inför en basvektor k pekandes uppåt. Då ges kraften av F = mg k. U(r) = F dr = mg 1.6 Mekanisk energi Arbete-energi-teoremet säger: Om F (r) konservativt: Detta ger ( k b a b a ) + dyĵ + dz k dxî = mg dz = mgz + C F dr = K b K a F dr = U b + U a K b + U b = K a + U a Definition Total mekanisk energi E := K + U. För ett system som endast påverkas av konservativa kraftfält är den mekaniska energin bevarad. Alltså E a = E b. OBS: Detta är inte samma sak som den totala energins bevarande. 1.7 Klickarfråga Kalles stöddiga lillasyster Lisa bestämmer sig för att kasta en boll dubbelt så högt som sin bror. Hur mycket större utgångsfart än sin bror måste hon ge bollen? (a) Ca 1,5 ggr så stor (15) (b) Ca dubbelt så stor (10) (c) Ca 4 ggr så stor (16) (d) Inget av ovanstående (5) Rätt svar (a), ggr så stor. För att komma upp i dubbla lägesenergin när bollen vänder (och därmed komma dubbelt så högt) behövs också dubbla initiala rörelseenergin. K Lisa = K Kalle mv Lisa = mv Kalle v Lisa = v Kalle Om man antager att Lisas arm är ungefär lika lång som Kalles, hur mycket starkare måste hon vara för att bollen ska komma dubbelt så högt? 30

31 (a) Ca 1,5 ggr så stark (9) (b) Ca dubbelt så stark (31) (c) Ca 4 ggr så stark (8) (d) Inget av ovanstående (1) Rätt svar (b), ggr så stor. När hon kastar bollen ska den nå dubbla potentialen U i höjdled. Alltså behöver hon en dubbelt så stor kraft eftersom det är ett linjärt förhållande: U(x) = F dx. Alternativt resonemang: Hon behöver utveckla dubbla kinetiska energin och därmed utföra ett dubbelt så stort arbete. Det är också ett linjärt förhållande: W ab = h 0 F dx. Ett felaktigt resonemang är följande: Hon behöver ge bollen gånger rörelsemängden, så därför krävs gånger kraften. Det blir fel, eftersom man förväxlar kraft och impuls. Förändringen i rörelsemängden ges av impulsen och Lisas kraft kanske inte verkar under samma tid. I själva verket ser vi, då vi vet från energiresonemanget att hon behövde dubbla kraften, att hennes kraft verkar under 1 av tiden (om vi antar att kraften är konstant). p = I = F t = F t 1.8 Gravitationspotentialen Vi betraktar en himlakropp med massan M. Vi har en annan mindre himlakropp på avståndet r med massan m. Positiv riktning för basvektorn r är från den stora till den lilla himlakroppen. Vi har en gravitationskraft F som verkar på den lilla himlakroppen. Kraften ges av: F (r) = f(r) r = G mm r r Potentialen ges då av: U(r) = F dr = f(r)dr = = GmM 1 r dr = = GmM 1 r + C Integrationen ger oss som vanligt en konstant - var vi sätter vår nollnivå. Vi väljer att sätta nollnivån för potentialen i oändligheten, vilket man ofta gör. Välj U( ) = 0 C = 0. U(r) = GmM r Potentialen är då omvänt proportionell mot negativa avståndet; den går från till 0. (Rita en graf är bra - det hjälper en att kontrollera sina resultat.) Vi provar i stället att låta nollnivån vara vid markytan på den stora himlakroppen. Låt R beteckna stora himlakroppens radie. Välj U(R) = 0 C = GmM R. U(r) = GmM r 31 + GmM R

32 Då får vi en förskjutning av grafen i höjdled. Dvs den går fortfarande från, men växer och närmar sig asymptotiskt GmM R. Hur ska vi tolka det? Potentialen, relativt markytan, kan alltså inte bli större än så. 1.9 Klickarfråga x Fråga 1 Diagrammet visar gravitationspotentialen vid månen. Nollnivån är vald vid månens yta. Ett föremål skjuts rakt upp från månens yta med energin E och når då höjden h innan den vänder. Vad händer om samma föremål skjuts ut med energin E? Från potential-sträcka-diagrammet framgår att E > GmM R. Rätt svar: Det återvänder inte och fortsätter i väg bort från månen i oändligheten. Fel svar: Den stannar i oändligheten. Det framgick från diagramet att energin, med vilken föremålet sköts iväg, var större än GmM R. Vi har att mekaniska energin E total = K(r) + U(r), där r är avståndet från månen. Men E total > U(r) r = K(r) > 0 r Dvs föremålet kommer alltid ha kvar rörelseenergi och kommer därmed inte stanna. Om ursprungliga energin hade varit exakt GmM R hade föremålet stannat i oändligheten. Vi har alltså hittat flykthastigheten igen, som vi gjorde förra föreläsningen, fast då med ett resonemang kring arbete. Fråga Föremålet skjuts upp med halva energin, vad händer? Den vänder innan den når höjden h/. Eftersom potentialen är omvänt proportionell mot negativa avståndet. Det innebär att, vilket också syns tydligt i potentialdiagrammet, att en halvering av energin innebär mindre än halva avståndet Flykthastigheten igen Denna gång med användande av kinetisk energi: K flykt = U( ) = GmM R mv flykt v flykt = Vilket är samma formel som vi nådde förut. = GmM R GM 1.11 Potential för fjäderkraft (Harmonisk oscillatorpotential) Vi betraktar en fjäder på horisontalt plan, men koordinatsystem x. Fjädern är i jämvikt vid x = 0. I ena änden är fjädern fast; i andra änden sitter massan m. Vi vet från Hookes lag att fjäderkraften ges av F (x) = kx. U(x) = F (x)dx = k 3 R xdx = kx + C

33 Välj U(0) = 0 C = 0, vilket ger U(x) = kx 33

34 File: ant-0-07.tex Anteckningar från 7 februari Mer administrativt 4 frågor slumpas ut från de 4 första kunskapsmålen. Examinatorn meddelar direkt efter examinationen vilket betyg studenten har uppnått Repetetition av de senaste föreläsningarna Vi har definierat arbete utfört av kraftfält på partikel då den förflyttas från en punkt a till b. De definierades som b a F (r)dr. Vi har bevisat Arbete-Energi-teoremet som säger att nettoarbetet W ab utfört av kraftfältet från a till b är W ab = K b K a - skillnaden i kinetisk energi. Om F är konservativ, dvs att arbetet inte beror på vägen, bara vilka punkter partikeln rör sig mellan kan arbetsintegralen skrivas som b a F dr = U b + U a och U x kan väljas på ett entydigt sätt upp till en konstant. I fallet med konservativt kraftfält har vi visat att en partikels totala energi E = U +K alltid är bevarad. 13 Friktion, potentialer och kollisioner 13.1 Stabila och instabila punkter med potentialer Antag att en potentialfunktion är given i ett visst problem. Vi antar att problemet har 1 dimension. Vi har alltså en graf mellan x och U(x). Hur kan vi få reda på kraften i en viss punkt? Från definitionen som integral är kraften negativa derivatan av potentialfunktionen. Dvs kraften verkar på så sätt att partikeln hamnar i en grop (lokalt minimum) av potentialen. Betrakta extrempunkterna till potentialen. Dessa punkter kallas för jämviktspunkter. I dessa punkter är kraften 0 och partikeln kan befinna sig i vila. Definition. En punkt x är ett jämviktsläge om du dx = 0. Jämviktslägen kan vara stabila eller instabila. Stabila jämviktslägen är lokala minima, instabila inte är lokala minima (en terasspunkt är instabil). I ett stabilt jämviktsläge kommer en kropp tillbaka till jämviktsläget om dess position ändras. 34

Basala kunskapsmål i Mekanik

Basala kunskapsmål i Mekanik Basala kunskapsmål i Mekanik I kunskapsmålen nedan används termerna definiera, förklara och redogöra återkommande. Här följer ett försök att klargöra vad som avses med dessa. Definiera Skriv ner en definition,

Läs mer

Repetion. Jonas Björnsson. 1. Lyft ut den/de intressanta kopp/kropparna från den verkliga världen

Repetion. Jonas Björnsson. 1. Lyft ut den/de intressanta kopp/kropparna från den verkliga världen Repetion Jonas Björnsson Sammanfattning Detta är en kort sammanfattning av kursen Mekanik. Friläggning Friläggning består kortfattat av följande moment 1. Lyft ut den/de intressanta kopp/kropparna från

Läs mer

Mekanik FK2002m. Repetition

Mekanik FK2002m. Repetition Mekanik FK2002m Föreläsning 12 Repetition 2013-09-30 Sara Strandberg SARA STRANDBERG P. 1 FÖRELÄSNING 12 Förflyttning, hastighet, acceleration Position: r = xî+yĵ +zˆk θ = s r [s = θr] Förflyttning: r

Läs mer

SG1108 Tillämpad fysik, mekanik för ME1 (7,5 hp)

SG1108 Tillämpad fysik, mekanik för ME1 (7,5 hp) Läsåret 11/12 Utförliga lärandemål SG1108 Tillämpad fysik, mekanik för ME1 (7,5 hp) Richard Hsieh Huvudsakligt innehåll: Vektoralgebra och dimensionsbetraktelser. Kraft och kraftmoment. Kraftsystem; kraftpar,

Läs mer

Mekanik Föreläsning 8

Mekanik Föreläsning 8 Mekanik Föreläsning 8 CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 2010 02 19 1 / 16 Repetition Polära koordinater (r, θ): ange punkter i R 2 m h a r: avståndet från origo (0, 0) θ: vinkeln mot positiva x axeln

Läs mer

university-logo Mekanik Repetition CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 1 / 11

university-logo Mekanik Repetition CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 1 / 11 Mekanik Repetition CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 2010 03 18 1 / 11 Översikt Friläggning Newtons 2:a lag i tre situationer jämvikt partiklar stela kroppars plana rörelse Energilagen Rörelsemängd

Läs mer

3. Om ett objekt accelereras mot en punkt kommer det alltid närmare den punkten.

3. Om ett objekt accelereras mot en punkt kommer det alltid närmare den punkten. Tentamen 1, Mekanik KF HT2011 26:e November. Hjälpmedel: Physics handbook alt. Formelblad, Beta mathematics handbook, pennor, linjal, miniräknare. Skrivtid: 5 timmmar. För godkänt krävs minst 18/36 på

Läs mer

TFYA16: Tenta Svar och anvisningar

TFYA16: Tenta Svar och anvisningar 150821 TFYA16 1 TFYA16: Tenta 150821 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Sträckan fås genom integration: x = 1 0 sin π 2 t dt m = 2 π [ cos π 2 t ] 1 0 m = 2 π m = 0,64 m Svar: 0,64 m b) Vi antar att loket

Läs mer

Stelkroppsmekanik partiklar med fixa positioner relativt varandra

Stelkroppsmekanik partiklar med fixa positioner relativt varandra Stelkroppsmekanik partiklar med fixa positioner relativt varandra Rörelse relativt mass centrum Allmänt partikelsystem Stel kropp translation + rotation (cirkelrörelse) För att kunna beskriva och förstå

Läs mer

GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin 2

GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin 2 GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin Tid: Plats: Ansvarig: Hjälpmedel: Tisdag juni 009, kl 8 30 13 30 V-huset Lennart Sjögren,

Läs mer

Andra EP-laborationen

Andra EP-laborationen Andra EP-laborationen Christian von Schultz Magnus Goffeng 005 11 0 Sammanfattning I denna rapport undersöker vi perioden för en roterande skiva. Vi kommer fram till, både genom en kraftanalys och med

Läs mer

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520)

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520) Tentamen Mekanik F del (FFM51 och 50 Tid och plats: Lösningsskiss: Fredagen den 17 januari 014 klockan 08.30-1.30. Christian Forssén Obligatorisk del 1. Endast kortfattade lösningar redovisas. Se avsnitt

Läs mer

Mekanik FK2002m. Kinetisk energi och arbete

Mekanik FK2002m. Kinetisk energi och arbete Mekanik FK2002m Föreläsning 6 Kinetisk energi och arbete 2013-09-11 Sara Strandberg SARA STRANDBERG P. 1 FÖRELÄSNING 6 Introduktion Idag ska vi börja prata om energi. - Kinetisk energi - Arbete Nästa gång

Läs mer

Härled utgående från hastighetssambandet för en stel kropp, d.v.s. v B = v A + ω AB

Härled utgående från hastighetssambandet för en stel kropp, d.v.s. v B = v A + ω AB . Härled utgående från hastighetssambandet för en stel kropp, d.v.s. v B v A + ω AB motsvarande samband för accelerationer: a B a A + ω ω AB + a AB. Tolka termerna i uttrycket för specialfallet plan rörelse

Läs mer

Lösningsförslat ordinarie tentamen i Mekanik 2 (FFM521)

Lösningsförslat ordinarie tentamen i Mekanik 2 (FFM521) Lösningsförslat ordinarie tentamen i Mekanik (FFM5) 08-06-0. Baserat på Klassiker Ett bowlingklot med radie r släpps iväg med hastighet v 0 utan rotation. Initialt glider den mot banan, och friktionen

Läs mer

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520)

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520) Tentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520) Tid och plats: Tisdagen den 27 augusti 2013 klockan 14.00-18.00. Hjälpmedel: Physics Handbook, Beta samt en egenhändigt handskriven A4 med valfritt innehåll (bägge

Läs mer

KUNGL TEKNISKA HÖGSKOLAN INSTITUTIONEN FÖR MEKANIK Richard Hsieh, Karl-Erik Thylwe

KUNGL TEKNISKA HÖGSKOLAN INSTITUTIONEN FÖR MEKANIK Richard Hsieh, Karl-Erik Thylwe Tentamen i SG1102 Mekanik, mindre kurs för Bio, Cmedt, Open Uppgifterna skall lämnas in på separata papper. Problemdelen. För varje uppgift ges högst 6 poäng. För godkänt fordras minst 8 poäng. Teoridelen.

Läs mer

" e n Föreläsning 3: Typiska partikelrörelser och accelerationsriktningar

 e n Föreläsning 3: Typiska partikelrörelser och accelerationsriktningar KOMIHÅG 2: 1 Cylinderkomponenter: Hastighet v = r e r + r" e " + z e z Acceleration: a = ( r " r# 2 )e r + ( r # + 2 r # )e # + z e z Naturliga komponenter: v = ve t a = v e t + v 2 " e n ------------------------------------

Läs mer

= v! p + r! p = r! p, ty v och p är dt parallella. Definiera som en ny storhet: Rörelsemängdsmoment: H O

= v! p + r! p = r! p, ty v och p är dt parallella. Definiera som en ny storhet: Rörelsemängdsmoment: H O 1 KOMIHÅG 15: --------------------------------- Definitioner: Den potentiella energin, mekaniska energin Formulera: Energiprincipen ---------------------------------- Föreläsning 16: FLER LAGAR-härledning

Läs mer

Kursens olika delar. Föreläsning 0 (Självstudium): INTRODUKTION

Kursens olika delar. Föreläsning 0 (Självstudium): INTRODUKTION 1 Föreläsning 0 (Självstudium): INTRODUKTION Kursens olika delar Teorin Tentamen efter kursen och/eller KS1+KS2 Inlämningsuppgifter Lära känna kraven på redovisningar! Problemlösning Tentamen efter kursen

Läs mer

7,5 högskolepoäng. Provmoment: tentamen. Tentamen ges för: Högskoleingenjörer årskurs 1. Tentamensdatum: 2012-03-12 Tid: 09.00-13.

7,5 högskolepoäng. Provmoment: tentamen. Tentamen ges för: Högskoleingenjörer årskurs 1. Tentamensdatum: 2012-03-12 Tid: 09.00-13. Mekanik rovmoment: tentamen Ladokkod: TT8A Tentamen ges för: Högskoleingenjörer årskurs 7,5 högskolepoäng Tentamensdatum: -3- Tid: 9.-3. Hjälpmedel: Hjälpmedel vid tentamen är hysics Handbook (Studentlitteratur),

Läs mer

KOMIHÅG 10: Effekt och arbete Effekt- och arbetslag Föreläsning 11: Arbete och lagrad (potentiell) energi

KOMIHÅG 10: Effekt och arbete Effekt- och arbetslag Föreläsning 11: Arbete och lagrad (potentiell) energi KOMIHÅG 10: Effekt och arbete Effekt- och arbetslag ----------------------------------------- Föreläsning 11: Arbete och lagrad (potentiell) energi Definition av arbete: U 0"1 = t 1 t 1 # Pdt = # F v dt,

Läs mer

TFYA16: Tenta Svar och anvisningar

TFYA16: Tenta Svar och anvisningar 170418 TFYA16 1 TFYA16: Tenta 170418 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Vi är intresserade av största värdet på funktionen x(t). Läget fås genom att integrera hastigheten, med bivillkoret att x(0) = 0.

Läs mer

Övningar Arbete, Energi, Effekt och vridmoment

Övningar Arbete, Energi, Effekt och vridmoment Övningar Arbete, Energi, Effekt och vridmoment G1. Ett föremål med massan 1 kg lyfts upp till en nivå 1,3 m ovanför golvet. Bestäm föremålets lägesenergi om golvets nivå motsvarar nollnivån. G10. En kropp,

Läs mer

Newtons 3:e lag: De par av krafter som uppstår tillsammans är av samma typ, men verkar på olika föremål.

Newtons 3:e lag: De par av krafter som uppstår tillsammans är av samma typ, men verkar på olika föremål. 1 KOMIHÅG 8: --------------------------------- Hastighet: Cylinderkomponenter v = r e r + r" e " + z e z Naturliga komponenter v = ve t Acceleration: Cylinderkomponenter a = ( r " r# 2 )e r + ( r # + 2

Läs mer

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520)

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tentamen Mekanik F del FFM50 Tid och plats: Måndagen den 3 maj 011 klockan 14.00-18.00 i V. Lösningsskiss: Christian Forssén Obligatorisk del 1. a 1 och är identiska vid ekvatorn. Centripetalaccelerationen

Läs mer

Om den lagen (N2) är sann så är det också sant att: r " p = r " F (1)

Om den lagen (N2) är sann så är det också sant att: r  p = r  F (1) 1 KOMIHÅG 12: --------------------------------- Den mekaniska energin, arbetet ---------------------------------- Föreläsning 13: FLER LAGAR-härledning ur N2 Momentlag Hur påverkas rörelsen av ett kraftmoment??

Läs mer

Mekanik I Newtonsk mekanik beskrivs rörelsen för en partikel under inverkan av en kraft av

Mekanik I Newtonsk mekanik beskrivs rörelsen för en partikel under inverkan av en kraft av Mekanik 2 Live-L A TEX:ad av Anton Mårtensson 2012-05-08 I Newtonsk mekanik beskrivs rörelsen för en partikel under inverkan av en kraft av ṗ = m r = F Detta är ett postulat och grundläggande för all Newtonsk

Läs mer

Lösningar Heureka 2 Kapitel 7 Harmonisk svängningsrörelse

Lösningar Heureka 2 Kapitel 7 Harmonisk svängningsrörelse Lösningar Heureka Kapitel 7 Harmonisk svängningsrörelse Andreas Josefsson Tullängsskolan Örebro Lo sningar Fysik Heureka Kapitel 7 7.1 a) Av figuren framgår att amplituden är 0,30 m. b) Skuggan utför en

Läs mer

6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar

6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar 6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar 6.104 Om du inte tidigare gått igenom illustrationsexempel 6.3.3, gör det först. Låt ϕ vara vinkeln mellan radien till kroppen och vertikalen (det vill

Läs mer

Grundläggande om krafter och kraftmoment

Grundläggande om krafter och kraftmoment Grundläggande om krafter och kraftmoment Text: Nikodemus Karlsson Original character art by Esa Holopainen, http://www.verikoirat.com/ Krafter - egenskaper och definition Vardaglig betydelse Har med påverkan

Läs mer

Vågrörelselära och optik

Vågrörelselära och optik Vågrörelselära och optik Kapitel 14 Harmonisk oscillator 1 Vågrörelselära och optik 2 Vågrörelselära och optik Kurslitteratur: University Physics by Young & Friedman (14th edition) Harmonisk oscillator:

Läs mer

GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin 2

GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin 2 GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP00, Fysikprogrammet termin 2 Tid: Plats: Ansvarig: Hjälpmedel: Lödag 29 maj 200, kl 8 30 3 30 V-huset Lennart Sjögren,

Läs mer

TFYA16: Tenta Svar och anvisningar

TFYA16: Tenta Svar och anvisningar 180111 TFYA16 1 TFYA16: Tenta 180111 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Svar: 89 cm x = 0 t 3 dt = [ t 3 9 ] 0 = 8 m 89 cm 9 b) Om vi betecknar tågets (T) hastighet relativt marken med v T J, så kan vi

Läs mer

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen 014-06-04 Tentamen i Mekanik SG110, m. k OPEN. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Problemtentamen En boll skjuts ut genom ett hål med en hastighet v så att den

Läs mer

Introduktion till Biomekanik, Dynamik - kinetik VT 2006

Introduktion till Biomekanik, Dynamik - kinetik VT 2006 Kinetik Kinematiken: beskrivning av translationsrörelse och rotationsrörelse Kinetik: Till rörelsen kopplas även krafter och moment liksom massor och masströghetsmoment. Kinetiken är ganska komplicerad,

Läs mer

Tentamen i Mekanik för D, TFYY68

Tentamen i Mekanik för D, TFYY68 TEKNISKA HÖGSKOLAN I LINKÖPING Institutionen för Fysik, Kemi och Biologi Carl Hemmingsson/Magnus Johansson Tentamen i Mekanik för D, TFYY68 Fredag 2018-08-23 kl. 8.00-13.00 Tillåtna Hjälpmedel: Physics

Läs mer

Tentamen i Mekanik - Partikeldynamik TMME08

Tentamen i Mekanik - Partikeldynamik TMME08 Tentamen i Mekanik - Partikeldynamik TMME08 Onsdagen den 13 augusti 2008, kl. 8-12 Examinator: Jonas Stålhand Jourhavande lärare: Jonas Stålhand, tel: 281712 Tillåtna hjälpmedel: Inga hjälpmedel Tentamen

Läs mer

Mekanik F, del 2 (FFM521)

Mekanik F, del 2 (FFM521) Mekanik F, del (FFM51) Ledningar utvalda rekommenderade tal Christian Forssén, christianforssen@chalmersse Uppdaterad: April 4, 014 Lösningsskissar av C Forssén och E Ryberg Med reservation för eventuella

Läs mer

Omtentamen i Mekanik I SG1130, grundkurs för CMATD och CL. Problemtentamen

Omtentamen i Mekanik I SG1130, grundkurs för CMATD och CL. Problemtentamen 2015-06-12 Omtentamen i Mekanik I SG1130, grundkurs för CMATD och CL. OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik Problemtentamen 1. Med hjälp av en tråd kan ett homogent block

Läs mer

Definitioner: hastighet : v = dr dt = r fart : v = v

Definitioner: hastighet : v = dr dt = r fart : v = v KOMIHÅG 8: --------------------------------- Jämvikten kan rubbas: stjälpning, glidning Flexibla system- jämvikt bara i jämviktslägen ---------------------------------- Föreläsning 9: PARTIKELKINEMATIK

Läs mer

Problemtentamen. = (3,4,5)P, r 1. = (0,2,1)a F 2. = (0,0,0)a F 3. = (2,"3,4)P, r 2

Problemtentamen. = (3,4,5)P, r 1. = (0,2,1)a F 2. = (0,0,0)a F 3. = (2,3,4)P, r 2 2015-MM-DD Övningstentamen i Mekanik SG1130, grundkurs B1. OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Problemtentamen Ett kraftsystem består av tre krafter som angriper

Läs mer

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen 2015-06-01 Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas KTH Mekanik Problemtentamen 1. En bil med massan m kör ett varv med konstant fartökning ( v =)

Läs mer

Övningstenta Svar och anvisningar. Uppgift 1. a) Hastigheten v(t) får vi genom att integrera: v(t) = a(t)dt

Övningstenta Svar och anvisningar. Uppgift 1. a) Hastigheten v(t) får vi genom att integrera: v(t) = a(t)dt Övningstenta 015 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Hastigheten v(t) får vi genom att integrera: v(t) = a(t)dt tillsammans med begynnelsevillkoret v(0) = 0. Vi får: v(t) = 0,5t dt = 1 6 t3 + C och vi bestämmer

Läs mer

Inre krafters resultanter

Inre krafters resultanter KOMIHÅG 6: --------------------------------- Torr friktion: F " µn Normalkraftens angrepp?? Risk för glidning eller stjälpning ---------------------------------- Föreläsning 7: Inre krafters resultanter

Läs mer

Tentamen i Mekanik för D, TFYA93/TFYY68

Tentamen i Mekanik för D, TFYA93/TFYY68 TEKNISKA HÖGSKOLAN I LINKÖPING Institutionen för Fysik, Kemi och Biologi Magnus Johansson Tentamen i Mekanik för D, TFYA93/TFYY68 Måndag 019-01-14 kl. 14.00-19.00 Tillåtna Hjälpmedel: Physics Handbook

Läs mer

Introhäfte Fysik II. för. Teknisk bastermin ht 2018

Introhäfte Fysik II. för. Teknisk bastermin ht 2018 Introhäfte Fysik II för Teknisk bastermin ht 2018 Innehåll Krafter sid. 2 Resultant och komposanter sid. 5 Kraft och acceleration sid. 12 Interna krafter, friläggning sid. 15 1 Kraftövningar De föremål

Läs mer

Tentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S2. Problemtentamen

Tentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S2. Problemtentamen 005-05-7 Tentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S. OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Problemtentamen En homogen stång med massan m är fäst i ena änden i en fritt vridbar

Läs mer

II. Partikelkinetik {RK 5,6,7}

II. Partikelkinetik {RK 5,6,7} II. Partikelkinetik {RK 5,6,7} med kraft att beräkna och förstå Newtons lagar och kraftbegreppet är mycket viktiga för att beskriva och förstå rörelse Kenneth Järrendahl, 1: Tröghetslagen Newtons Lagar

Läs mer

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520)

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tid och plats: Måndagen den 23 maj 2011 klockan 14.00-18.00 i V. Hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, Lexikon, typgodkänd miniräknare samt en egenhändigt skriven A4 med

Läs mer

Datum: Författare: Olof Karis Hjälpmedel: Physics handbook. Beta Mathematics handbook. Pennor, linjal, miniräknare. Skrivtid: 5 timmar.

Datum: Författare: Olof Karis Hjälpmedel: Physics handbook. Beta Mathematics handbook. Pennor, linjal, miniräknare. Skrivtid: 5 timmar. Mekanik KF, Moment 1 Datum: 2012-08-25 Författare: Olof Karis Hjälpmedel: Physics handbook. Beta Mathematics handbook. Pennor, linjal, miniräknare. Skrivtid: 5 timmar. Del 1 (Lämna in denna del med dina

Läs mer

FÖRBEREDELSER INFÖR DELTENTAMEN OCH TENTAMEN

FÖRBEREDELSER INFÖR DELTENTAMEN OCH TENTAMEN FÖRBEREDELSER INFÖR DELTENTAMEN OCH TENTAMEN Repetera de övningsuppgifter som kännts besvärliga. Om du behöver mera övning så kan du välja fritt bland de övningsuppgifter i Problemsamlingen som överhoppats.

Läs mer

Integraler av vektorfält Mats Persson

Integraler av vektorfält Mats Persson Föreläsning 1/8 Integraler av vektorfält Mats Persson 1 Linjeintegraler Exempel: En partikel rör sig längs en kurva r(τ) under inverkan av en kraft F(r). i vill då beräkna arbetet som kraften utövar på

Läs mer

Målsättningar Proffesionell kunskap. Kunna hänvisa till lagar och definitioner. Tydlighet och enhetliga beteckningar.

Målsättningar Proffesionell kunskap. Kunna hänvisa till lagar och definitioner. Tydlighet och enhetliga beteckningar. 1 Föreläsning 1: INTRODUKTION Målsättningar Proffesionell kunskap. Kunna hänvisa till lagar och definitioner. Tydlighet och enhetliga beteckningar. Kursens olika delar Teorin Tentamen efter kursen och/eller

Läs mer

Kollisioner, impuls, rörelsemängd kapitel 8

Kollisioner, impuls, rörelsemängd kapitel 8 Kollisioner, impuls, rörelsemängd kapitel 8 ! Sida 4/4 Laboration 1: Fallrörelse på portalen ikväll Institutionen för Fysik och Astronomi! Mekanik HI: 2014 Fallrörelse Institutionen för Fysik och Astronomi!

Läs mer

Obs: Använd vektorstreck för att beteckna vektorstorheter. Motivera införda ekvationer!

Obs: Använd vektorstreck för att beteckna vektorstorheter. Motivera införda ekvationer! 1) m M Problemlösningar µ α α Lösning: Frilägg massorna: T N N F µ T Mg mg Jämvikt för M kräver T Mgsin α = 0 (1) a) Gränsfall F µ = µ N men jämvikt för m kräver: N mg cosα = 0 (2) T µ N mgsinα = 0 (3)

Läs mer

NEWTONS 3 LAGAR för partiklar

NEWTONS 3 LAGAR för partiklar wkomihåg 12: Acceleration-med olika komponenter. ----------------------------------------- Föreläsning 13: Dynamik kraft-rörelse (orsakverkan) NEWTONS 3 LAGAR för partiklar 1 1. En 'fri' partikel förblir

Läs mer

Lösningar Kap 11 Kraft och rörelse

Lösningar Kap 11 Kraft och rörelse Lösningar Kap 11 Kraft och rörelse Andreas Josefsson Tullängsskolan Örebro Lösningar Fysik 1 Heureka: kapitel 11 11.1.-11.2 Se facit eller figurerna nedan. 1 11.3 Titta på figuren. Dra linjer parallella

Läs mer

9, 10. TFYA15 Fysikaliska modeller VT2019 Partikelkinetik-energi Magnus Johansson,IFM, LiU

9, 10. TFYA15 Fysikaliska modeller VT2019 Partikelkinetik-energi Magnus Johansson,IFM, LiU 9, 10 Kulkanor Två kulor åker friktionsfritt nedför olika kanor. Vilken kula kommer ner till kanans slut först? Vilken kula har högst fart vid kanans slut? h A B Fredrik Karlsson, 9 W = F r Exempel: Partikel

Läs mer

LÖSNINGAR TENTAMEN MEKANIK II 1FA102

LÖSNINGAR TENTAMEN MEKANIK II 1FA102 LÖSNINGAR TENTAMEN 16-10-20 MEKANIK II 1FA102 A1 Skeppet Vidfamne 1 har en mast som är 11,5 m hög. Seglet är i överkant fäst i en rå (en stång av trä, ungefär horisontell vid segling). För att kontrollera

Läs mer

.4-6, 8, , 12.10, 13} Kinematik Kinetik Kraftmoment Vektorbeskrivning Planetrörelse

.4-6, 8, , 12.10, 13} Kinematik Kinetik Kraftmoment Vektorbeskrivning Planetrörelse .4-6, 8, 12.5-6, 12.10, 13} Kinematik Kinetik Kraftmoment Vektorbeskrivning Planetrörelse Exempel på roterande koordinatsystem planpolära eller cylindriska koordinater Storhet Beteckning Enhet Fysikalisk

Läs mer

Tentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S2. Problemtentamen

Tentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S2. Problemtentamen 006-08-8 Tentaen i Mekanik 5C1107, baskurs S. OBS: Inga hjälpede föruto rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Probletentaen Ett glatt hoogent klot ed assan vilar ot två plana, hårda och glatta

Läs mer

KOMIHÅG 12: Ekvation för fri dämpad svängning: x + 2"# n

KOMIHÅG 12: Ekvation för fri dämpad svängning: x + 2# n KOMIHÅG 1: ------------------------------------------------------ Ekvation för fri dämpad svängning: x + "# n x + # n x = a, Tre typer av dämpning: Svag, kritisk och stark. 1 ------------------------------------------------------

Läs mer

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520)

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tid och plats: Lördagen den 1 september 2012 klockan 08.30-12.30 i M. Hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, Typgodkänd miniräknare samt en egenhändigt skriven A4 med valfritt

Läs mer

2 NEWTONS LAGAR. 2.1 Inledning. Newtons lagar 2 1

2 NEWTONS LAGAR. 2.1 Inledning. Newtons lagar 2 1 Newtons lagar 2 1 2 NEWTONS LAGAR 2.1 Inledning Ordet kinetik används ofta för att beteckna läranom kroppars rörelse under inflytande av krafter. Med dynamik betcknar vi ett vidare område där även kinematiken

Läs mer

Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik

Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik Linköpings Universitet IFM Mats Fahlman Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik Tisdagen 10/1 017, kl 14:00-18:00 Hjälpmedel: Avprogrammerad miniräknare, formelsamling (bifogad) Råd och regler Lösningsblad:

Läs mer

9.1 Kinetik Rotation kring fix axel Ledningar

9.1 Kinetik Rotation kring fix axel Ledningar 9.1 Kinetik Rotation kring fix axel Ledningar 9.5 Frilägg hjulet och armen var för sig. Normalkraften kan beräknas med hjälp av jämvikt för armen. 9.6 Frilägg armen, och beräkna normalkraften. a) N µn

Läs mer

Kapitel extra Tröghetsmoment

Kapitel extra Tröghetsmoment et betecknas med I eller J används för att beskriva stela kroppars dynamik har samma roll i rotationsrörelser som massa har för translationsrörelser Innebär systemets tröghet när det gäller att ändra rotationshastigheten

Läs mer

Tentamen i delkurs 1 (mekanik) för Basåret Fysik NBAF00

Tentamen i delkurs 1 (mekanik) för Basåret Fysik NBAF00 GÖTEBORGS UNIVERSITET 181011 Institutionen för fysik Kl 8.30 13.30 Tentamen i delkurs 1 (mekanik) för Basåret Fysik NBAF00 Examinator: Hjälpmedel: Betygsgränser: Carlo Ruberto Valfri tabell- och formelsamling

Läs mer

Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik

Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik Linköpings Universitet IFM Mats Fahlman Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik Tisdagen 19/4 017, kl 08:00-1:00 Hjälpmedel: Avprogrammerad miniräknare, formelsamling (bifogad) Råd och regler Lösningsblad:

Läs mer

" e n och Newtons 2:a lag

 e n och Newtons 2:a lag KOMIHÅG 4: --------------------------------- 1 Energistorheter: P = F v, U "1 = t 1 # Pdt. Energilagar: Effektlagen, Arbetets lag ---------------------------------- Föreläsning 5: Tillämpning av energilagar

Läs mer

(Eftersom kraften p. g. a. jordens gravitation är lite jämfört med inbromsningskraften kan du försumma gravitationen i din beräkning).

(Eftersom kraften p. g. a. jordens gravitation är lite jämfört med inbromsningskraften kan du försumma gravitationen i din beräkning). STOCHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM Tentamensskrivning i Mekanik FyU01 och FyU03 Måndag 3 oktober 2005 kl. 9-15 Införda beteckningar skall definieras och uppställda ekvationer motiveras, detta gäller även när

Läs mer

Tentamen i Mekanik SG1107, baskurs S2. Problemtentamen

Tentamen i Mekanik SG1107, baskurs S2. Problemtentamen 007-08-30 Tentaen i Mekanik SG1107, baskurs S. OBS: Inga hjälpede föruto rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Probletentaen En hoogen stång ed assan är fäst i ena änden i en fritt vridbar led.

Läs mer

Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs P1. Problemtentamen

Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs P1. Problemtentamen 010-06-07 Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs P1 OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1 Problemtentamen En homogen mast med massan M och längden 10a hålls stående i vertikalt

Läs mer

Mekanik FK2002m. Kraft och rörelse I

Mekanik FK2002m. Kraft och rörelse I Mekanik FK2002m Föreläsning 4 Kraft och rörelse I 2013-09-05 Sara Strandberg SARA STRANDBERG P. 1 FÖRELÄSNING 4 Introduktion Hastighet Langt under 3x10 8 Nara : 3x10 8 Storlek 10 9 Langt over : 10 9 Klassisk

Läs mer

Föreläsning 17: Jämviktsläge för flexibla system

Föreläsning 17: Jämviktsläge för flexibla system 1 KOMIHÅG 16: --------------------------------- Ellipsbanans storaxel och mekaniska energin E = " mgm 2a ------------------------------------------------------ Föreläsning 17: Jämviktsläge för flexibla

Läs mer

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN m fl. Problemtentamen OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas!

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN m fl. Problemtentamen OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! 014-08-19 Tentamen i Mekanik SG110, m. k OPEN m fl. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik Problemtentamen 1. En boll med massa m skjuts ut ur ett hål så att den hamnar

Läs mer

Arbete och effekt vid rotation

Arbete och effekt vid rotation ˆ F rˆ Arbete och effekt vid rotation = Betrakta den masslösa staven med längden r och en partikel med massan m fastsatt i änden. Arbetet som kraften ሜF uträttar vid infinitesimal rotation d blir då: ds

Läs mer

Mer Friktion jämviktsvillkor

Mer Friktion jämviktsvillkor KOMIHÅG 6: --------------------------------- Torr friktion: F! µn. Viskös friktion: F = "cv. Extra villkor för jämvikt: risk för glidning eller stjälpning. ---------------------------------- Föreläsning

Läs mer

Ordinarie tentamen i Mekanik 2 (FFM521)

Ordinarie tentamen i Mekanik 2 (FFM521) Ordinarie tentamen i Mekanik 2 (FFM521) Tid och plats: Fredagen den 1 juni 2018 klockan 08.30-12.30 Johanneberg. Hjälpmedel: Matte Beta och miniräknare. Examinator: Stellan Östlund Jour: Stellan Östlund,

Läs mer

VSMA01 - Mekanik ERIK SERRANO

VSMA01 - Mekanik ERIK SERRANO VSMA01 - Mekanik ERIK SERRANO Översikt Kursintroduktion Kursens syfte och mål Kursprogram Upprop Inledande föreläsning Föreläsning: Kapitel 1. Introduktion till statik Kapitel 2. Att räkna med krafter

Läs mer

Vi har väl alla stått på en matta på golvet och sedan hastigt försökt förflytta

Vi har väl alla stått på en matta på golvet och sedan hastigt försökt förflytta Niclas Larson Myra på villovägar Att modellera praktiska sammanhang i termer av matematik och att kunna använda olika representationer och se samband mellan dessa är grundläggande förmågor som behövs vid

Läs mer

6.2 Partikelns kinetik - Tillämpningar Ledningar

6.2 Partikelns kinetik - Tillämpningar Ledningar 6.2 Partikelns kinetik - Tillämpningar Ledningar 6.13 Det som känns som barnets tyngd är den uppåtriktade kraft F som mannen påverkar barnet med. Denna fås ur Newton 2 för barnet. Svar i kilogram måste

Läs mer

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520)

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tid och plats: Lördagen den 19 januari 2013 klockan 08.30-12.30 i M. Hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, Typgodkänd miniräknare samt en egenhändigt skriven A4 med valfritt

Läs mer

Tentamen i SG1140 Mekanik II för M, I. Problemtentamen

Tentamen i SG1140 Mekanik II för M, I. Problemtentamen 2010-10-23 Tentamen i SG1140 Mekanik II för M, I. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Problemtentamen Triangelskivan i den plana mekanismen i figuren har en vinkelhastighet

Läs mer

Enda tillåtna hjälpmedel är papper, penna, linjal och suddgummi. Skrivtid 4 h. OBS: uppgifterna skall inlämnas på separata papper.

Enda tillåtna hjälpmedel är papper, penna, linjal och suddgummi. Skrivtid 4 h. OBS: uppgifterna skall inlämnas på separata papper. KTH Mekanik Fredrik Lundell Mekanik mindre kurs för E1 och Open1 Läsåret 05/06 Tentamen i 5C110 Mekanik mk, kurs E1 och Open 1 006-03-15 Var noga med att skilja på skalärer och vektorer. Rita tydliga figurer

Läs mer

Tentamen i SG1140 Mekanik II. Problemtentamen

Tentamen i SG1140 Mekanik II. Problemtentamen 010-01-14 Tentamen i SG1140 Mekanik II KTH Mekanik 1. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! Problemtentamen Triangelskivan i den plana mekanismen i figuren har en vinkelhastighet

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik

Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik Linköpings Universitet IFM Mats Fahlman Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik Fredagen 1/1 018, kl 14:00-18:00 Hjälpmedel: Avprogrammerad miniräknare, formelsamling (bifogad) Råd och regler Lösningsblad:

Läs mer

Laboration 1 Mekanik baskurs

Laboration 1 Mekanik baskurs Laboration 1 Mekanik baskurs Utförs av: Henrik Bergman Mubarak Ali Uppsala 2015 01 19 Introduktion Gravitationen är en självklarhet i vår vardag, de är den som håller oss kvar på jorden. Gravitationen

Läs mer

Föreläsning 10: Stela kroppens plana dynamik (kap 3.13, 4.1-8) Komihåg 9: e y e z. e z )

Föreläsning 10: Stela kroppens plana dynamik (kap 3.13, 4.1-8) Komihåg 9: e y e z. e z ) 1 Föreläsning 10: Stela kroppens plana dynamik (kap 3.13, 4.1-8) Komihåg 9: H O = "I xz e x " I yz e y + I z e z H G = "I xz ( ) ( G e x " I G yz e y + I G z e z ) # (fixt origo, kroppsfix bas) # (kroppsfix

Läs mer

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520)

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tid och plats: Måndagen den 24 augusti 2009 klockan 08.30-12.30 i V. Lösningsskiss: Christian Forssén. Obligatorisk del 1. Rätt svarsalternativ på de sex frågorna är:

Läs mer

Hanno Essén Lagranges metod för en partikel

Hanno Essén Lagranges metod för en partikel Hanno Essén Lagranges metod för en partikel KTH MEKANIK STOCKHOLM 2004 1 Inledning Joseph Louis Lagrange (1763-1813) fann en metod som gör det möjligt att enkelt ta fram rörelseekvationerna för system

Läs mer

Allmänt om kraft. * Man kan inte se, känna eller ta på en kraft, men däremot kan man se verkningarna av en kraft.

Allmänt om kraft. * Man kan inte se, känna eller ta på en kraft, men däremot kan man se verkningarna av en kraft. Kraft Allmänt om kraft * Man kan inte se, känna eller ta på en kraft, men däremot kan man se verkningarna av en kraft. * Det finns olika krafter t ex; tyngdkraft, friktionskraft, motkraft. * Krafter kan

Läs mer

Tentamen Mekanik MI, TMMI39, Ten 1

Tentamen Mekanik MI, TMMI39, Ten 1 Linköpings universitet tekniska högskolan IEI/mekanik Tentamen Mekanik MI, TMMI39, Ten Torsdagen den 9 april 205, klockan 4 9 Kursadministratör Anna Wahlund, anna.wahlund@liu.se, 03-2857 Examinator Joakim

Läs mer

Tillämpad biomekanik, 5 poäng Övningsuppgifter

Tillämpad biomekanik, 5 poäng Övningsuppgifter , plan kinematik och kinetik 1. Konstruktionen i figuren används för att överföra rotationsrörelse för stången till en rätlinjig rörelse för hjulet. a) Bestäm stångens vinkelhastighet ϕ& som funktion av

Läs mer

Lösning. (1b) θ 2 = L R. Utgå nu från. α= d2 θ. dt 2 (2)

Lösning. (1b) θ 2 = L R. Utgå nu från. α= d2 θ. dt 2 (2) Lösningar till dugga för kursen Mekanik II, FA02, GyLärFys, KandFys, F, Q, W, ES Tekn-Nat Fak, Uppsala Universitet Tid: 7 april 2009, kl 4.00 7.00. Plats: Skrivsalen, Polacksbacken, Uppsala. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar

9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar 9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar 9.43 b) Villkor för att linan inte skall glida ges av ekv (4.1.6). 9.45 Ställ upp grundekvationerna, ekv (9.2.1) + (9.2.4), för trådrullen. I momentekvationen,

Läs mer

Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik

Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik Linköpings Universitet IFM Mats Fahlman Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik Onsdagen 30/3 06, kl 08:00-:00 Hjälpmedel: Avprogrammerad miniräknare, formelsamling (bifogad) Råd och regler Lösningsblad:

Läs mer