MEKANIK KOMPENDIUM I FYSIK. Thomas Lundström. Avd för FYSIK Linnéuniversitetet TL jan 2007 Rev: CS mars 2010

Transkript

1 Avd för FYSIK Linnéuniversitetet TL jan 2007 Rev: CS mars 2010 KOMPENDIUM I FYSIK MEKANIK Thomas Lundström Hämtat från The Physics Teacher 1997 The Variety of Learning Physics

2 Innehållsförteckning: 1. MÄTNINGAR och MÄTVÄRDESBEHANDLING 2. REPETITION 2.1 Kraft och jämvikt. Repetition. 2.2 Några exempel på krafter 2.3 Inre och yttre krafter 2.4 Lösta exempel 2.5 Övningsuppgifter 3. OM VEKTORER 3.1 Inledning 3.2 Addition och subtraktion av vektorer 3.3 Enhetsvektorer, basvektorer 3.4 Skalär produkt av två vektorer 3.5 Vektoriell produkt av två vektorer 3.6 Lösta exempel 3.7 Övningsuppgifter 4. RÖRELSEBESKRIVNING 4.1 Linjär rörelse. Repetition. 4.2 Rörelse i tre dimensioner 4.3 Likformigt accelererad rörelse 4.4 Kaströrelse 4.5 Övningsuppgifter 5. CIRKULÄR RÖRELSE 5.1 Begrepp och definitioner 5.2 Cirkulär rörelse. Konstant vinkelacceleration 5.3 Rullning 5.4 Övningsuppgifter 6. KRAFT 0CH RÖRELSE 6.1 Newtons rörelselagar 6.2 Mer om olika krafter 6.3 Några tillämpningsexempel på Newtons lagar 6.4 Kraftlagen vid cirkulär rörelse 6.5 Övningsuppgifter 7. ARBETE OCH ENERGI 7.1 Arbete uträttat av en konstant kraft 7.2 Effekt, verkningsgrad 7.3 Arbete uträttat av en variabel kraft 7.4 Kinetisk energi 7.5 Potentiell energi i tyngdkraftfältet 7.6 Elastisk potentiell energi 7.7 Icke konservativa krafter 7.8 Om konservativa krafter 7.9 Mer om potentiell energi i tyngdkraftsfältet 7.10 Övningsuppgifter

3 8. RÖRELSEMÄNGD 8.1 Rörelsemängd och impuls 8.2 Rörelsemängdens bevarande hos isolerat system 8.3 Elastisk och oelastik stöt 8.4 Exempel 8.5 Partikelsystem. Masscentrum och tyngdpunkt 8.6 Lösta exempel 8.7 Masscentrums rörelse 8.8 Övningsuppgifter 9. ROTATIONSSDYNAMIK 9.1 Kinetisk energi och tröghetsmoment 9.2 Parallellaxelsatsen - Steiners sats 9.3 Newtons andra lag för rotation 9.4 Kinetisk energi för ett rullande föremål 9.5 Rörelsemängdsmoment 9.6 Rörelsemängdsmoment hos en roterande fast kropp 9.7 Sammanfattning 9.8 Lösta exempel 9.9 Övningsuppgifter 10. MEKANISKA SVÄNGNINGAR 10.1 Den enkla harmoniska oscillatorn 10.2 Harmoniska oscillatorns energi 10.3 Matematisk pendel 10.4 Fysisk pendel 10.5 Torsionspendel 10.6 Dämpade svängningar 10.7 Tvungna svängningar 10.8 Övningsuppgifter

4 1. MÄTNINGAR och MÄTVÄRDESBEHANDLING Fysik handlar om att beskriva världen på ett objektivt sätt. Det är ett sätt att se på naturen. Precis som biologin, kemin och konsten har sina sätt att se på omgivningen har fysiken sitt. Inget är bättre än något annat men fysiken sätt är annorlunda. Fysikens sätt att se på naturen är inget som man så där direkt fann någonstans utan synsättet har vuxit fram i consensus genom århundraden. Fysik handlar inte om att plugga in en massa fakta utan handlar om att se samband, mönster i naturen. Det låter som om det skulle vara enkelt men så är inte fallet. Sambanden beskrivs med hjälp av ett språk innehållande begrepp, definitioner mm. Det är således viktigt att kunna detta språk. För att kunna se samband måste man göra mätningar (observationer). Ur Tycho Brahes gedigna mätningar såg Kepler samband och kunde så göra en matematisk modell av vårt solsystem. Newton formulerade sin gravitationsteori, som förklarade Keplers lagar. Ur Newtons teorier och lagar kunde nya teorier prövas genom experiment och mätningar, som bla lett fram till att man kunnat placera satelliter i vårt solsystem. Man gör således experiment där frågeställningarna renodlas för att testa nya teorier. Vid dessa experiment gör man som sagt mätningar som kan presenteras på olika sätt; i tabell- eller diagramform eller med hjälp av matematisk formalism. Nedan ges exempel på detta. Observera hur man skriver i tabellhuvud och diagramaxlar. Tabell: Diagram Matematisk formalism Spänning U/V Ström I/mA U = U 0 + k " I Enheter endast i tabellhuvudet. Inga 10-potenser i tabell. Lättavläst axelgradering När man presenterar ett mätresultat är det viktigt att tala om hur noggrant detta är. Det är med andra ord viktigt att resultatet ges med rätt antal värdesiffror. Upprepar man mätningen flera gånger får man en fördelning av mätvärdena kring ett medelvärde. Ur fördelningen kan man få fram ett mått på mätosäkerheten, som i sin tur kan bestå av tillfälliga och/eller systematiska variationer. Varför uppstår då mätosäkerheten? Vi illustrerar detta genom att ge tre olika exempel. Exempel 1: Sannolikheten för att en radioaktiv kärna skall sönderfalla är lika stor för varje kärna men detta innebär inte att de utsända partiklarna som uppstår vid sönderfallet kommer i jämn takt. Detta kan jämföras vid kast med tärning där sannolikheten för att få tex en sexa är 1/6. Detta innebär ju inte att vi får en sexa var sjätte gång. Naturen har med andra ord inbyggda slumpmässiga egenskaper. 1

5 Exempel 2: När man mäter en sträcka uppskattar olika personer den sista decimalen olika. Exempel 3: I varje instrument finns inbyggda fel. Detta gäller även digitala instrument. Vid en mätning finns naturligtvis ett sant värde som alltid är okänt för oss. Mätosäkerheten som är oskärpan i mätresultatet kan emellertid ofta uppskattas. Vi kan få en uppfattning om den genom att upprepa mätningen men vi kan också beräkna den men då måste vi känna till eller anta en sannolikhetsfunktion som anger hur mätvärdena fördelar sig. En sannolikhetsfunktion som ofta används är den sk normalfördelningsfunktionen, som är användbar om man gör flera upprepade mätningar. Man antar då att mätvärdena fördelas symmetriskt kring ett medelvärde µ med en spridning som anges av den sk standardavvikelsen. Funktionen visas i vidstående graf och som matematiskt beskrivs med exponentialfunktion f (x) = 1 2" # 1 2 x%µ) 2#$ # e%( 2 där x är det uppmätta $ värdet. I intervallet µ "# $ µ +# ligger 68% av mätvärdena. I praktiken har vi inte möjlighet att göra speciellt många mätningar men av de vi gör kan vi alltid beräkna ett medelvärde x och en standardavvikelse s med " x i N i hjälp av x = N och 1 s = N "1 # $ (x " x i )2 i=1 där x i står för mätvärde nummer i och N för antalet gjorda mätningar. Förhoppningen är nu att våra mätningar är av sådan kvalitet att vi kan ersätta x " µ och s " #. Man kan visa att mätosäkerheten i medelvärdet s m fås ur s m = s N. Om vi vid en mätserie erhållit x =12,654 och s = 1,2 och vi utfört 10 mätningar så är 1,2 mätosäkerheten i hela materialet 1,2 medan mätosäkerheten i medelvärdet är = 0, Vi anger då vårt värde av mätserien genom att skriva: x = (12,65 ± 0, 38) eller bättre x = (12,6 ± 0,4) Detta innebär att om vi skulle utföra mätserien igen skulle medelvärdet av mätserien med 68% sannolikhet hamna i intervallet 12,2 till 13,0 I många fall nöjer man sig med att mäta en enda gång. Osäkerheten får man då uppskatta genom att studera mätinstrumentet. Om man uppmätt sträckan 12,62 mm med ett skjutmått så kan vi ju uppfatta den sista decimalen som en korrekt avrundat siffra och det riktiga värdet skulle ligga i intervallet 12,615 till 12,625 dvs mätosäkerheten vara 0,005 mm. Man kan visa att mätosäkerheten s m = s 3 = 0,005 3 " 0,0029 Vanligt är att man misstänker att det finns en relation mellan två storheter och man gör då en mätserie där man varierar den ena storheten och ser hur det påverkar den andra. För att undersöka hur relationen ser ut brukar man grafiskt åskådliggöra de samhörande mätvärdena. 2

6 Många gånger får man direkt ett linjärt samband mellan storheterna, annars försöker man manipulera (tex genom att kvadrera den ena) så att sambandet blir linjärt. Därefter gör man med en grafritande räknare eller med en dator en minsta kvadratanpassning och får en sk regressionslinje på formen y = a + b " x, där b är regressionslinjens riktningskoefficient. Som ett mått på det linjära sambandets styrka brukar man beräkna den sk regressionskoefficienten r som är ett tal mellan -1 och +1. Om alla mätningar ligger på regressionslinjen är r = ±1. Ju mer r avviker från ±1 desto sämre är sambandet. Övningsuppgifter. 1. En insekt vägdes ett antal gånger, varje gång med samma noggrannhet. Följande värden i gram uppmättes: 5,0 5,3 5,9 5,3 5,2 5,7 5,4 5,1 4,8 5,3 5,3 5,6 Ange ett värde på insektens massa och hur noggrant är detta värde? 2. Man önskar bestämma sambandet mellan hur långt en kula rullat och den tid detta tagit. Följande mätserie erhölls i i det fall planet var a) horisontellt sträckan (s) i meter: 1,0 1,3 2,3 2,7 3,2 tiden (t) i sekunder: 2,4 3,5 6,2 7,2 8,7 b) lutande sträckan (s) i meter: 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 tiden (t) i sekunder: 0,95 1,17 1,35 1,51 1,65 Svar: 1) (5,32 ± 0,09) gram 2a) s = 0,10 + 0,36t, r = 0,999 2b) s =1,099 "t 2 + 0,0015 # 1,1"t 2 r # 1,0 3

7 4

8 2. INLEDNING Mekanik är den gren av fysiken som behandlar föremål i vila (statik) och i rörelse (dynamik) under inverkan av krafter 2.1 Kraft och jämvikt. Kort repetition. Ert viktig storhet i fysiken är kraft. En kraft har både storlek och riktning och man brukar därför åskådliggöra krafter med pilar. Pilens längd anger storleken och pilens riktning anger kraftriktningen. Storheter som har både storlek och riktning kallas vektorer. Kraft är alltså en vektorstorhet. Storheter som endast kännetecknas av storlek kallas för skalärer. Massa, tid och temperatur är exempel på skalära storheter. Varje storhet har en enhet. Enheten för kraft är 1 N. Krafter kan sammansättas till en resultant, vars storlek och riktning fås genom vektoraddition (se figur). F F 1 F 2 På motsvarande sätt kan en kraft uppdelas i två eller flera komposanter. och F 2 är alltså ett exempel på komposantuppdelning av F. Ett föremål som påverkas av en kraft tenderar att röra sig i kraftens riktning. Kraften kan också orsaka en vridning av föremålet. Om föremålet sitter fast i en punkt O tenderar föremålet att vrida sig kring O. Kraften sägs ha en vridande förmåga, ett kraftmoment, M, med avseende på O. Kraftmomentet eller vridmomentet för en kraft med avseende på O definieras som produkten av kraftens storlek F och momentarmen l: M = F " l = F " r " sin# F 1 Obs: Momentarmen är det vinkelräta avståndet från kraftens verkningslinje till O Två antiparallella lika stora krafter, vilkas riktningslinjer inte sammanfaller, bildar ett kraftpar. Kraftsumman är noll och kraftparets verkan på en kropp är enbart vridande. Man kan enkelt visa att kraftparets moment kan skrivas M = F " d där d är det vinkelräta avståndet mellan de ingående krafternas verkningslinjer. 5

9 Jämvikt. För att ett föremål med utsträckning skall befinna sig i vila måste två villkor vara uppfyllda: 1) Vektorsumman av alla krafter som verkar på föremålet måste vara noll, dvs " F i = 0 i 2) Summan av de kraftmoment som verkar åt ena hållet måste vara lika med summan av de kraftmoment som verkar åt andra hållet (kraftmomenten medurs och moturs är lika stora men räknas med olika tecken) dvs " M i = 0 (för problem i 3 dimensioner blir kraftmomenten också vektorer) i 2.2 Några exempel på krafter Tyngdkraften eller kortare tyngden (G) som verkar på ett föremål med massan m vid jordytan är G = mg där g = tyngdaccelerationen = 9,81 N/kg. Mer om detta längre fram. Tyngdkraften verkar alltid i en viss punkt i föremålet, tyngdpunkten, och är den punkt i där resultanten till de tyngdkrafter som verkar på föremålets smådelar kan tänkas placerad. Kontaktkrafter Kroppar i kontakt med varandra påverkar varandra ömsesidigt med lika stora men motsatt riktade krafter. Ett föremål som ligger på ett underlag påverkas av underlaget med en kraft vinkelrätt mot ytan den sk normalkraften (N). (Samtidigt påverkas underlaget nedåt av en lika stor kraft från föremålet) Ett annat exempel på kontaktkraft är friktionskraften (f), som uppstår när två sträva ytor rör sig eller försöker röra sig i förhållande till varandra. Friktionskraften på en kropp har alltid den riktningen att den försöker motverka rörelsen eller tendensen till rörelse. Friktionskraften har ett maxvärde som är ungefär proportionell mot normalkraften, dvs f max = µ " N, där µ är friktionskoefficienten. Mer om friktionskraften i kap 6. Ytterligare exempel på kontaktkrafter är krafter som härrör från linor, spännkrafter, och fjädrar, fjäderkrafter, som påverkar föremål. Båda är elastiska krafter och för båda gäller att de är proportionella mot förlängningen, "l dvs. F elastisk = k " #l, där k är den sk fjäderkonstanten. Nedan visas kraftverkan på en stång i några viktiga fall. Endast krafter, som verkar på stången, är inritade. Stången är ur kraftsynpunkt frilagd. Proceduren kallas friläggning. Mer om detta senare. 6

10 2.3 Inre och yttre krafter Ett föremål placerat på ett underlag påverkas av andra kroppar i dess omgivning som gravitationskraften från jorden, tyngden, och normalkraften från underlaget. Dessa krafter kallas yttre krafter på föremålet. Påverkas föremålet också av en dragkraft tillkommer denna som en yttre kraft. Samtidigt kommer denna yttre kraft att skapa krafter mellan smådelarna som bygger upp föremålet. Dessa inre krafter uppstår pga kontaktkrafterna mellan föremålets egna delar. Vi illustrerar detta med ett exempel: Betrakta två föremål A och B förbundna med en lina på ett glatt underlag. A påverkas också av en dragkraft F se figur. Låt oss först betrakta A och B som om de vore ett föremål. I figuren visas de yttre krafter som verkar på detta system. Observera att spännkrafter i linan då är inre krafter. Om vi däremot betraktar A och B som två olika föremål kommer de yttre krafterna vara de som visas i vidstående figur. Observera att spännkraften nu blir yttre krafter på A och B samt att de är lika stora och motriktade. Av ovan nämnda följer att det är viktigt att bestämma sig för vilket system man väljer att studera. När man valt system ritas de yttre krafterna in. Som tidigare nämnts kallas proceduren friläggning. 7

11 2.4 Exempel. 1. En glatt cylinder med massan 6 kg och radien 5 cm befinner sig i vila. Se nedanstående figur. Beräkna krafterna på cylindern från den vertikala väggen. (Ordet glatt betyder att vi försummar eventuella friktionskrafter) Lösning: Vi frilägger cylindern. N 1 är normalkraften från den vertikal väggen medan N 2 är normalkraften från det lutande planet. Eftersom krafterna verkar i olika riktningar ligger vi in ett rätvinkligt koordinatsystem. Då dessutom samtliga yttre krafter går genom samma punkt uppstår inget vridande moment. Vi komposantuppdelar nu N 2 i N 2 " cos 40 och "N 2 #sin 40. Jämviktsvillkoren ger nu: #F x = 0 $ N 1 N 2 sin 40 = 0 #F y = 0 $ N 2 cos 40 - Mg = 0 Härur fås att N 1 = 49,3 N Exempel 2. En inhomogen stång är upphängd i två fjädervågar som visar F 1 = 60 N respektive F 2 = 20 N. Stavens längd är 1.4 m. Var ligger stångens tyngdpunkt? Lösning Vi frilägger stången. Hela stångens massa kan förläggas till tyngdpunkten. Endast krafter i y- led förekommer. Krafterna går nu inte genom en och samma punkt varför de kan ha ett moment. Men eftersom staven är i vila är summa av alla krafters moment noll oavsett vilken punkt vi väljer som momentpunkt. Vi väljer stavens vänstra ändpunkt O som momentpunkt och får då #F y = 0 $ F 1 + F 2 - mg = 0 #M O = 0 $ "x CM # m # g + l # F 2 = 0 $ x CM = 0,35 m 8

12 2.5 Övningsuppgifter 1. a) Bestäm resultanten (till storlek och riktning) till krafterna i nedanstående figur. b) Beräkna A + B och A " B om vinkeln mellan A och B är 45 B 3N 5N A 2. Staden London är belägen 710 km från Paris i riktningen 13 väster om norr-riktningen. Ange (i km) hur långt väster resp. norr om Paris som London är beläget. 3. Rita en skalenlig figur över de krafter som verkar på lådan som befinner sig i vila på det glatta lutande planet om kraften 30 N. Vad väger lådan? 4. Två klossar är placerade enligt figuren på ett glatt underlag. En yttre kraft F verkar på M. Systemet är i vila. Rita ett friläggningsdiagram för a) M, b) m, c) hela systemet M+m 5. En stege står lutad mot en vägg. Rita in de krafter som verkar på a) stegen b) väggen c) golvet 6. Två krafter med beloppen 2 N och 3 N bildar 40 vinkel med varandra. Beräkna beloppet av resultanten samt den vinkel denna bildar med den större kraften. 7. Ett block med massan M=15 kg är upphängd enligt figur. Beräkna spännkraften i de tre linorna. 8. Bestäm kraften F så att blocket A med massan 15 kg befinner sig i vila. Trissornas massor kan försummas. 9

13 9. Figuren visar en väggströmbrytare. Beräkna storleken på det vridande moment som kraften 1.6 N utövar med avseende på punkten O. 10. Bestäm det resulterande kraftmomentet med avseende på punkten A för systemet i figuren. 11. En vägbom med längden 4.0 m och massan 20 kg är försedd med en tyngd i ena änden med massan 60 kg. Bommen är rörlig kring en horisontell axel som är placerad så att bommen är balanserad. Bestäm läget för axeln. 12. Hur långt kan mannen i figuren gå innan brädan tippar? Mannens massa är 75 kg. Brädans massa är 15 kg och dess längd 5,0 m. Bestäm x. 13. En jämntjock stav är sammansatt av en 50 cm lång stav av järn och en 40 cm lång stav av aluminium. Var ligger stavens tyngdpunkt? Densiteten för järn är 7.8 "10 3 kg / m 3 och för aluminium 2.7 "10 3 kg / m En stång är i ena änden infäst i fast men glatt led A och i andra änden i en glatt fritt rörlig led. Stången, vars massa kan försummas, påverkas av en yttre kraft på 2 kn. Beräkna reaktionskrafterna från lederna. 10

14 Svar: 1a) Resultantens längd är 5.8N. 1b) A + B = 7.4N ; 16,6 i förhållande till A " B = 3,6N ; 36,4 i förhållande till A km väster respektive 692 km norr om Paris. 3. 6,1 kg N och N i högra, 94 N i vänstra och 147 N i lodräta delen N Nmm 10. Kraftmomentet är 10 Nm, motsols. 11. Axeln bör placeras 0,5 m från tyngden i bommens ände cm cm från järnändan. 14. A x = 0,69 kn, A y = -0,80 kn, B = 1,39 kn A 11

15 12

16 3. OM VEKTORER 3.1 Inledning. Vid undersökning av en krafts inverkan på ett föremål framgår att kraftens riktning är av lika stor betydelse som dess storlek. Fysikaliska storheter som karakteriseras av såväl riktning som av storlek kallas vektorer. En storhet som helt karakteriseras av ett mätetal sägs vara en skalär. Ytterligare exempel på vektorstorheter är hastighet, acceleration, elektrisk fältstyrka, magnetisk flödestäthet. Med vektorbegreppet går det ofta att skriva formler och samband på ett överskådligt och allmängiltigt sätt. Man konstruerar därför ibland vektorer för beskrivning av storheter som man annars inte tillskriver vektoregenskaper. Vi skall tex senare införa ett sätt att skriva kraftmoment som en vektor. Rörelsetillståndet hos en roterande kropp kan beskrivas med en vektor riktad längs rotationsaxeln med en storlek som är proportionell mot kroppens rotationshastighet. För att i figurer åskådliggöra en fysikalisk situation där vektorer är av betydelse kan dessa representeras av pilar pekande i vektorriktningarna och med storlekar proportionella mot vektorernas storlekar ("riktade sträckor"). I skrift bör det markeras om en viss beteckning avser en vektorstorhet. Vid hand- eller maskinskriven text förekommer streck eller pil över eller under en bokstav för att markera vektoregenskapen: a, a, A, A. I detta kompendium kommer streck över en bokstav att användas. Vektorns belopp eller vektorns storlek är en skalär och betecknas a eller a om vektorn är a. Beloppet är alltid ett positivt tal Addition och subtraktion av vektorer Exempel på addition av två vektorer till en resultant gavs på sidan 2.1. Vektorns läge har ingen fysikalisk innebörd, varför den kan parallellförflyttas om det är praktiskt. Sambandet mellan resultanten (vektorsumman) F och de båda vektorerna F 1 och F 2 skrivs F = F 1 + F 2. Beloppet av F,F = F samt riktningen av F i förhållande till t.ex. F 2 kan beräknas ur geometriska samband: F = F F " F 1 " F 2 " cos# 1 F tan# = 1 "sin# 1 F 2 + F 1 " cos# 1 13

17 Resultanten till flera vektorer N F = F 1 + F = " F i kan beräknas genom att man först beräknar resultanten till två av vektorerna och därefter resultanten till denna och en tredje vektor o.s.v. Vektorerna a och "a är lika stora men motriktade (antiparallella) : a "a Differensen, i=1 c, mellan två vektorer a och b kan beräknas ur en figur innehållande a och b sedan vektorn "b ritats in i figuren. c är resultanten till a och "b, ty c = a " b = a + ("b ) Operationen kallas vektorsubtraktion Konstruera vektorn c = a " b En given vektor kan alltid uppdelas i komposanter dvs uppfattas som en summa av ett antal delvektorer. Man är t.ex. ofta intresserad av den del av en kraft som är parallell med förflyttningsriktningen hos ett föremål. Det är då naturligt att dela upp kraften i två mot varandra vinkelräta komposanter, en parallell med och en vinkelrät mot rörelseriktningen. 14

18 3.3 Enhetsvektorer, basvektorer. För diskussionen av vissa fysikaliska situationer är det ofta åskådligt att i en figur representera vektorstorheter med pilar. Att geometriskt beräkna resultanten till flera vektorer ur en sådan figur kan bli omständigt, speciellt om vektorerna inte ligger i samma plan. Med hjälp av s.k. basvektorer kan vektorer representeras så att en vektorrelation ersätts av flera skalära relationer. För att representera en godtycklig vektor i rummet (3 dimensioner) krävs tre basvektorer. Som basvektorer väljs ofta tre enhetsvektorer betecknade som i, j och k som pekar i positiv x- respektive y- och z-riktning i ett cartesianskt koordinatsystem: En enhetsvektor är en vektor vars belopp är en enhet av den storhet som beskrivs. i = j = k =1. Ofta betecknas dessa tre enhetsvektorer med e x,e y,e z eller u x,u y,u z (u som i unit) Med dessa tre basvektorer kan en vektor a då skrivas a = a x i + a y j + a z k där a x, a y och a z är vektorns komponenter längs de tre axlarna. Exempel: 15

19 z Beloppet av en vektor kan lätt beräknas om dess komponenter är kända. Om a = a x i + a y j + a z k, gäller az a a = a = a x 2 + a y 2 + a z 2 a Detta följer av Pythagoras sats tillämpad två gånger i vidstående figur x a x a y 2 2 a x + a y y Antag att man har tre vektorer a,b och c med komponenterna a x, a y och a z respektive b x, b y, b z och c x, c y och c z. Man kan enkelt visa att för vektorsumman c = a + b gäller c x = a x + b x c y = a y + b y c z = a z + b y Om i stället c = a " b gäller c x = a x b x osv 3.4 Skalär produkt av två vektorer. Om två vektorer a och b är givna definieras deras skalärprodukt av följande samband: a "b = a " b " cos# där " betecknar den minsta vinkeln mellan de båda vektorerna. Att just skalärprodukt avses, betecknas med en punkt mellan vektorsymbolerna. Den skalära produkten av två vektorer är ett tal, d.v.s. en skalär. Det gäller tydligen att a "b = b " a Exempe1: Figurerna visar två vektorer med olika relativ orientering. Den skalära produkten är utskriven i de olika fallen. Tydligen gäller "ab < a #b < ab 16

20 Man kan uppfatta a "b antingen som projektionen av a på b multiplicerad med beloppet av eller projektionen av b på a multiplicerad med beloppet av a. Detta följer av att a "b = acos# "b = bcos# " a b Skalärprodukt i komponentframställning. Eftersom de tre basvektorerna i, j och vinkelräta mot varandra gäller för deras skalärprodukter: i " j = i " k = j " k =1"1" cos90 = 0 Däremot gäller: i " i = j " j = k " k =1"1" cos0 =1 k är Sambandet mellan skalärprodukten av två vektorer och deras komponenter kan beräknas enligt följande: a "b = ( a x i + a y j + a z k ) "( b x " i + b y j + b z k ) = = a x b x i " i + a x b y i " j + a x b z i " k + +a y b x j " i + a y b y j " j + a y b z j " k + +a z b x k " i + a z b y k " j + a z b z k " k De enda termer som här är skilda från noll är de som innehåller skalärprodukt av en enhetsvektor med sig själv, dvs endast termer återstår: Vinkeln mellan två vektorer i komponentframställning. Enligt definitionen av skalärprodukt erhålles cos" = a # b ab = a x b x + a y b y + a z b z a 2 x + a 2 y + a 2 z # b 2 x + b 2 2 y + b z 3.5 Vektoriell produkt av två vektorer_ a "b = a x b x + a y b y + a z b z Vektoriella produkten, även kallad kryssprodukten, av två vektorer a och b är en ny vektor. Om denna kallas c, skriver man c = a xb Beloppet av den nya vektorn är c = c = a xb = absin", där " är den minsta vinkeln mellan a och b. Vektoriella produkten c är vinkelrät mot både a och b. Riktningen av den vektoriella produkten ges av en "skruvregel": Rotera en vanlig högergängad skruv åt samma håll som a 17

21 skulle behöva vridas för att med minsta möjliga vridningsvinkel överföras i skruvens rörelseriktning ger då riktningen av c. b. Den tänkta Riktningen av c kan även fås med "högerhandsregeln": Placerar din högra hand med fingrarna orienterade utefter vektorn a. Vrid fingrarna kortaste vägen så att de sammanfaller med vektorn b. Din tumme pekar nu i vektorn c :s riktning Man inser att b xa = "a xb dvs de båda vektorernas ordning är av betydelse (riktningen av c ) i uttrycket för den vektoriella produkten. För de tre basvektorerna i, j och k gäller: j i k Observera ordningen i xj = k, j xk = i, k xi = j Omkastad ordning ger tex k xj = "i i xi = j xj = k xk = 0 Man kan visa att i komponentframställning blir den vektoriella produkten: c = i (a y b z " a z b y ) " j (a x b z " a z b x )+ k (a x b y " a y b x ) 18

22 Vridmoment uttryckt som en vektoriell produkt. På sidan 2.1 skrev vi det vridande momentet av en kraft på följande sätt: M = F "l. Låt oss gå ett steg längre. Vi tänker oss att vi skall öppna en dörr. Ju större kraft F vi använder ju enklare är det. Dessutom vet vi av erfarenhet för att få bäst verkan skall kraften appliceras så långt som möjligt från gångjärnen, dvs r i figuren skall vara stort. Dessutom vet vi av erfarenhet att vinkeln % helst skall vara 90. Vi skulle då kunna definiera en storhet med innebörden förmåga att öppna dörren som r " F " sin# (sin % har just egenskapen att vara störst när % = 90 och vara 0 vid vinklarna 0 och 180 ). Förmågan är då stor när r, F är stora samt % närmar sig 90. Vi kallar denna storhet för vridmoment och betecknar den med M O, där O kallas momentpunkten. Men enligt ovan kan vi tolka r " F "sin# som just beloppet av vektorprodukten r xf, där r är vektorn som utgår från momentpunkten med riktning mot kraftens angreppspunkt. Observera att % är den minsta vinkel r måste vridas för att överföras i F. Vi kan alltså definiera vridmomentet M O som en vektor enligt M O = r xf M O representerar alltså en vektor som ligger i ett plan vinkelrätt mot &r och &F och i figuren ovan är riktad ut ur papperets plan och vi anger detta med en ring med en prick inuti Om kraften är riktad åt andra hållet dvs dörren vrids åt andra hållet se figur, kommer &M att vara riktad in i papperets plan och vi anger detta med en ring med ett kryss inuti. Kroppen i nedanstående figur är vridbar kring O. Om F 1 och F 2 ligger i samma plan är M 1 = r 1 xf 1 riktad ut ur pappret medan M 2 = r 2 xf 2 är riktad in i pappret. För jämvikt skall gälla måste villkoret M 1 + M 2 = 0 vara uppfyllt Allmänt kan de två jämviktsvillkoren på sidan 2.2 skrivas 1) 2) " " F i = 0 M i = 0 19

23 3.6 Löst exempel En 2,0 m lång homogen stång med tyngden 20 N är infäst i ett friktionsfritt gångjärn i sin nedre ände. I sin andra ände bär stången upp en tyngd på 50 N. Stången hålls i sin position genom en lina fäst 0,5 m från stångens övre ände och som bildar vinkeln ' = 65 med stången, som i sin tur bildar vinkel % = 50 med horisontalplanet. Beräkna spännkraften i linan samt storleken och riktningen på kraften i nedre infästningen. Lösning: Eftersom vi söker spännkraften i linan är det krafterna på stången vi vill studera och ritar därför ut de yttre krafter som verkar på stången. Kraftens riktning vid stångens nedre ände känner vi inte. Däremot vet att varje kraft kan delas upp i två vinkelräta komponent. Vi lägger därför in ett koordinatsystem. Jämviktsvillkoren ger med moment kring stångens nedre del O #F x = 0 $ H T cos(' - %) = 0 #F y = 0 $ V + T sin (' - %) + W = 0 #M O = 0 $ W. 2 cos % - T cos (' - %). 1,5 sin % - T sin (' - % ). 1,5 cos % = 0 Detta ger T = 47,3 N, H = 45,7 N och V = 37,8 N. Resultanten R till H och V fås ur R = vinkeln H 2 +V 2 = 59,3 N riktad åt höger och bildar arctan V H = 39,6 mot horisontalplanet. 3.7 Övningsuppgifter 1. Beräkna komponenterna och beloppet av resultanten till de båda vektorerna a = "8,7i + 5,0 j och b = i + 3j " 2k 2. Beräkna vinkeln mellan positiva y-axeln och vektorn A = 7i + 9 j + 5k 3. Beräkna vinkeln mellan positiva y- axeln och vektorn B = 9i "12 j. Rita figur 4. Två vektorer är givna a = 3i " 2 j + k och b = i + 3j " 2k. Använd analytisk metod för att beräkna a) a + b, b) a " b, c) a "b, d) a xb samt e) vinkeln mellan a och b. 20

24 5. Kan man få fram trådrullen som rullat in under sängen genom att dra i tråden? Hur kommer trådrullen i figuren att röra sig då tråden är riktad enligt figuren? 6. Stången i figuren påverkas av de krafter som anges i figuren. Bestäm storleken och angreppspunkten på den extra kraft som behövs för att stången skall vara i jämvikt. Alla avstånd är givna i cm. 7. En planka med massan 3,0 kg och längden 2,0 m är via ett gångjärn fäst i en vägg i ena änden och i ett rep i andra. Repet är i sin tur fäst i väggen i en punkt 0,80 m ovanför gångjärnet så att plankan bildar 20 vinkel med horisontalplanet. Beräkna spännkraften i repet samt storleken och riktningen på den kraft med vilken väggen påverkar plankan 8*. Streching har ju blivit populärt och det är många som står och försöker välta träd längs våra motionsspår. Hur liten lutningsvinkel % mot horisontalplanet kan man maximalt tillåta sig om man bara skall förlita sig till friktionen. Anta för enkelhets skull att vilofriktionstalet är, 0,30, samma för händer och fötter, att kroppen är stel och att tyngdpunkten ligger mitt emellan händer och hälar. 9*. En halvsfär är lutad mot en sträv vägg och ett strävt golv. Friktionskoefficienterna är 0,35 respektive 0,45. En horisontell kraft angriper i halvsfärens överkant. Halvsfärens tyngd är 100 N. Hur stor får F högst vara för att halvsfären inte skall börja glida. Man kan visa att tyngdpunktens läge räknat från centrum, x tp, är 0,375. R, där R är radien. 21

25 10. Antag att den kraft som hammaren utövar på spikhuvudet är vertikal och att vi i sammanhanget kan försumma hammarens massa. Beräkna den kraft som hammaren utövar på spiken samt den kraft som underlaget utövar på hammaren. 11. Lastbilen i figuren har massan 4 ton. Dess hjul är låsta och spännkraften T i kabeln är 10 kn. Beräkna de normalkrafter som vägbanan utövar på lastbilens däck. 12. En homogen kub vilar med en kant mot ett strävt golv och med en annan kant mot en lika sträv vägg. Bestäm friktionstalet µ mellan kub och golv-vägg om kubens minsta lutningsvinkel mellan undersidan och golvet är 30 Svar: 1) x-, y- och z-komponenterna är -7,7 respektive 8,0 och -2,0. Beloppet är 11,3. 2) Vinkeln är 44. 3) Vinkeln är ) a) Komponenterna är (4,1,-1), b) (2, -5, 3), c) -5, d) (1,7,11), e) 111 6) 400 N nedåt, 29 cm från vänstra änden. 7) Spännkraften är 44,2 N. Kraften är 34,8 N och riktad 3,4 ovan horisontalplanet. 8) 56,6 oberoende av tyngd och längd 9) 48 N 10) Kraften på spiken 5, 4 " F, Kraften från underlaget 5,0 " F 11) 14 kn på framdäcken och 34 kn på bakdäcken 12) 0.27 = 3 "

26 4. RÖRELSEBESKRIVNING 4.1 Linjär rörelse. För att beskriva en rörelse krävs begreppen läge, tid, förflyttning, hastighet, acceleration. Vi skall nu definiera begreppen. a) En partikels läge,s, anges med en koordinat längs en koordinataxel. Om denna benämns med s kommer partikels läge att vara en funktion av tiden och skrivs s(t) P 1 P 2 tidpunkt t 1 t 2 läge s(t 1 ) s(t 2 ) s b) Partikels förflyttning, "s, erhålles genom att subtrahera startkoordinaten med slutkoordinaten dvs "s = s 2 # s 1 c) Medelhastigheten,v m, vid den linjära förflyttningen s 2 s 1 under tidsintervallet t 2 t 1 definieras enl. v m = s " s 2 1 t 2 " t 1 Enheten för hastighet är l m/s. Om läget ritas som en funktion av tiden i ett s- t- diagram kommer medelhastigheten kunna tolkas som lutningen hos den räta linjen i grafen: d) Momentanhastigheten, v, dvs hastigheten i ett visst ögonblick tex t 1, får man genom att låta t 2 " t 1 dvs låta "t # 0. Matematiskt innebär detta att "s v = lim "t#0 "t = ds dt = s Derivering med avseende på tiden anges ofta med en punkt över storheten och utläses s prick 23

27 Grafiskt innebär detta att momentanhastigheten ges av lutningen hos den räta linjen som tangerar s- t- grafen i punkten (t 1,s 1 ) grafen intill. se e) Medelaccelerationen, a m, vid den linjära hastighetsändringen v 2 v 1 under tidsintervallet t 2 t 1 definieras enligt a m = v 2 " v 1 = #v t 2 " t 1 #t Enheten för acceleration är 1 m/s 2. Medelaccelerationen ges av lutningen hos den räta linjen i grafen nedan f) Momentanaccelerationen, a, dvs accelerationen i ett visst ögonblick fås genom att låta "t # 0 "v a = lim "t#0 "t = dv dt = v Obs. Med dessa definitioner kan hastigheter och accelerationer vara både positiva och negativa Se övningsuppgift 3 nedan. 24

28 4.2 Rörelse i tre dimensioner. För att på ett överskådligt sätt beskriva kroklinjig rörelse krävs vektorer. Figuren nedan visar lägevektorerna r 0 och r för en partikel vid tidpunkterna t 0 respektive t. Dessutom visas förflyttningen "r = r # r 0 mellan de båda tidpunkterna. Med basvektorerna i, j och k kan då lägesvektorerna skrivas: r = r (t) = x(t)" i + y(t)" j + z(t)" k r 0 = r 0 (t) = x 0 (t)" i + y 0 (t)" j + z 0 (t)" k Medelhastigheten hos partikeln under tidsintervallet "t = t # t 0 ges i detta fall av v = v m = r " r 0 = #r t " t 0 #t Hastigheten i ett visst ögonblick, momentanhastigheten, är v = dr dt = "t#0 lim "r "t i analogi med definitionen vid linjär rörelse. Av uttrycket för v framgår att partikelhastigheten i ett visst ögonblick är riktad längs tangenten till partikelns rörelsebana. Hastighet är ju en vektorstorhet. Beloppet av hastigheten, en skalär, kallas fart. De engelska termer som motsvarar hastighet och fart är velocity respektive speed. Medelaccelerationen under tidsintervallet "t = t 2 # t 1 definieras vid vektorbeskrivning av a = "v "t där "v = v 2 # v 1 är hastighetsändringen under tidsintervallet. Figuren nedan visar exempel på hur man bestämmer medelaccelerationens riktning under tidsintervallet "t : 25

29 Momentanaccelerationen ges av "v a = lim "t#0 "t = dv dt Exempel. Partikel i cirkulär bana. Partikelns läge ges av r = r (t). Förflyttning av partikeln under tidsintervallet "t = t 2 # t 1 ges av "r = r 2 # r 1. Partikelns medelhastighet under tidsintervallet är v = "r "t. v är alltså parallell med "r som ju utgör en korda till cirkeln. Momentanhastigheten "r v = lim "t#0 "t = dr är riktad längs tangenten till cirkeln. dt Partikelns acceleration vid a) konstant fart Då "t blir litet genom att t 2 " t 1 blir a alltmer antiparallell med r 1 Då partikeln beskriver en cirkulär bana med konstant fart är accelerationen riktad mot centrum. 26

30 b) ökande fart: Medelaccelerationen under tidsintervallet är nu inte riktad mot cirkelbanans centrum. Accelerationen kan dock delas upp i två komposanter, en riktad mot centrum och en riktad längs tangenten till bankurvan i den punkt där partikeln befinner sig. Cirkulär rörelse behandlas utförligare i kapitel Likformigt accelererad rörelse. Likformigt accelererad rörelse innebär att accelerationen a hos en partikel är konstant till storlek och riktning. Accelerationen definieras a = dv. Detta vektorsamband säger detsamma dt som de tre komponentrelationerna: a x = dv x dt,a = dv y y dt,a = dv z z dt. Vid likformigt accelererad rörelse är a x, a y och a z konstanta. Rörelsen i x-, y- och z- led kan matematiskt behandlas var för sig. Om ovanstående uttryck för accelerationens x- komponent integreras får man v x t " dv x = " a x dt Eftersom a inte varierar i tiden kan högra ledet skrivas v o v x = v 0x + a x " t (1) där v 0x är hastighetens x- komponent vid tiden t = 0 Detta kan integreras vidare ty v x = dx, som kan omformas till dx = v x " dt dt x t t och hela uttrycket blir " dx = " v x (t) = " (v 0x + a x # t)dt. Efter integration och omstuvning fås x t a x 0 " dt och hela uttrycket blir x är partikelns lägeskoordinat vid tiden t. Förläggs origo till partikelns läge vid t = 0, blir x 0 =0 x = x 0 + v 0x " t " a x" t 2 (2)

31 Om a x "t löses ut ur (1) och sätts in i (2) får man x " x 0 = (v + v ) 0x x #t 2 Man kan även få ett samband mellan fart, läge och acceleration som inte innehåller t genom att lösa ut t ur (1) och sätta in i (2): v 2 = v " a " (x # x 0 ) (4) (3) Här följer så några lösta exempel för att illustrera hur de fyra sambandet kan utnyttjas vid problemlösning när likformigt accelererad rörelse föreligger. Exempel 1 En partikel rör sig i positiv x- led och passerar origo med farten 20 m/s. Rörelsen är retarderad med 5,0 m/s 2. Beräkna hastigheten och läget 10 sekunder senare. Beskriv med ord rörelsetillståndet Lösning: Man inser att sedan partikeln passerat origo avtar farten tills den blir noll. Från vändläget, där detta inträffar, accelereras sedan partikeln i negativ x- riktning. Dess hastighet är då hela tiden riktad i negativ x- riktning. Numeriskt: v 0 = 20 m/s, a = - 5 m/s 2. Samband (1) ovan ger v = 20 + (-5). 10 = -30 m/s. (2) eller (3) ger x = - 50 m. Det negativa värdet anger att origo har passerats. v x (10) v 0x x x(10) x=0 Svar: Hastigheten är 30 m/s och riktad i negativ x riktning. Partikeln befinner sig 50 m från origo i negativ x riktning. Rörelsen är accelererad. Exempel 2 En sten kastas rakt upp med utgångsfarten 7 m/s. a) Hur högt når den maximalt? b) Vilken hastighet har den på nervägen på höjden 2 m? c) Hur länge har den då varit i luften? Lösning Låt upp vara positiv riktning, se figur. Kända storheter är då: v 0 = + 7 m/s, a = - 9,8 m/s -2 och y 0 = 0 a) I högsta punkten är v = 0. (4) ger då 0 = "(#9,8)"(y # 0), vilket ger y = 2,5 m b) Använd (4) som ger v 2 = 7 2 " 2 #("9,8)#(2 " 0), vilket ger v = ±3,13 m/s. Pluslösningen förkastas då stenen är på väg ner. 28

32 c) Tiden kan bestämmas ur (2) med y = 2 dvs eller (1) som ger "3,13 = 7 + ("9,8)#t 2 = " t + (#9,8)" t 2 2 vilket ger t = 1,03 s 4.4. Kaströrelse. Ett exempel på likformigt accelererad rörelse. En kastad sten, en utskjuten projektil e.d. som rör sig i jordens tyngdkraftfält beskriver under idealiserade förhållanden en parabelbana. Denna kaströrelse karakteriseras av att föremålet påverkas av en konstant kraft i vertikal led som ger det en konstant acceleration i denna riktning. I horisontell led verkar inga krafter och accelerationen är således noll och rörelsen likformig (dvs farten är konstant). Då denna modell tillämpas gör man vissa förenklande antaganden. l) Luftmotståndet kan försummas. Detta kan vara rimligt vid måttliga hastigheter och för "projektiler" med liten genomskärningsarea. 2) Tyngdaccelerationens variation med avståndet till jordytan kan försummas. Detta gäller på höjder över jordytan som är små jämfört med jordradien 3) Jordytans krökning försummas. Denna krökning saknar betydelse vid rimliga kastvidder. Kontrollera gärna detta påstående Räkna tex ut avståndet mellan jordytan och ett tangentplan till jordsfären l km från den punkt där planet tangerar sfären. Se figur nedan. Beräkning av banhöjd och kastvidd. En partikel lämnar origo vid tiden t = 0. Dess läge vid tiden t ges av koordinaterna 29

33 x = v 0 " cos# "t y = v 0 sin# "t $ 1 2 " g "t 2 Beräkning av banans höjd: I övre vändläget är v y = 0. Uttrycket (a) tillämpad på hastigheten i y-led ger tidpunkten då partikeln är i sitt översta läge: t h = v sin" 0 g Höjden, h, blir då h = y(t h ) = v 2 0 " sin 2 # $ 1 g 2 " v 2 0 " sin 2 # = v 2 0 " sin 2 # g 2 " g v y = v 0 y " g #t Kastvidden, R, fås som x-koordinaten vid tiden 2. t h (p.g.a. symmetrin i problemet): R = v 0x "(2 "t h ) = 2 " v 0 " cos# " v "sin# 0 = v 2 0 sin(2 "#) g g Vi har utnyttjat att 2 " sin# " cos# = sin(2 "#). Man ser att kastvidden är " v 2 0 g. Man ser direkt i uttrycket för kastvidden att den blir maximal då sin(2 "#) =1 dvs då elevationsvinkeln " = 45 Exempel: 1. En golfspelare spelar ut från en utslagsplats (tee) som befinner sig 3 m ovanför golfbanans horisontalplan. Bollens spelas ut med en utgångsfart av 28 m/s och en elevationsvinkel (") på 35. Beräkna a) den tid bollen befinner sig i luften. b) den maximala höjd h bollen uppnår. c) hur långt från utslagspunkten bollen träffar marken d) bollens hastighet när den träffar marken Lösning: Placera ett koordinatsystem med origo tex enligt figur. 30

34 Bollens utgångskoordinat blir då (0,H) = (0,3). Bollens utgångshastighet (v 0 ) kommer då att ha komposanterna, se figur (b) v 0x = 28. cos 35 v 0y = 28. sin 35 Bollens rörelse i x- respektive y- led kan skrivas x = x 0 + v 0 x "t = " cos 35 "t (1) y = y 0 + v 0 y "t + a "t 2 2 9,8 "t = " sin 35 "t # (2) 2 2 Bollens hastighet i x- respektive y- led vid godtycklig tidpunkt (t) kan skrivas v x = v 0 x = 28 " cos 35 "t (3) v y = v 0 y + a y "t = 28 "sin35 # 9,8 "t (4) a) När bollen träffar marken är y = 0. Insättning i (2) ger 0 = sin 35. t 4,9. t 2 " t 1 =3,455 s och t 2 = - 0,177 s (ingen fysikalisk lösning) b) När höjden är maximal är hastigheten i y led v y = 0. Ur (4) fås 0 = 28. sin 35-9,8. t " t = 1,64 s Insättning av denna tid i (2) ger y = sin35. 1,64 4,9. 1,64 2 = 27,4 m c) Kastvidden (R) får ur (3): R = 28. cos35. 3,455 = 79,2 m d) Se figur (c). Hastigheten i x- led är konstant under hela banan (likformig rörelse) dvs v x = 28. cos 35 = 22,9 m/s Hastigheten i y- led vid nedslag fås ur (4) till v y = 28. sin 35-9,8. 3,455 = - 17,8 m/s Tillsammans ger detta v = v x 2 + v y 2 = 22,9 2 + "17,8 Riktningen (") mot horisontalplanet fås ur horisontalplanet. Alternativt anges vinkeln med 37,8 ( ) 2 = 29,0 m/s " = arctan v x = arctan #17,80 v y 22,94 = 37,8 under 31

35 4.5 Övningsuppgifter 1. Väg- tid- grafen för en resa med bil visas nedan. Bestäm medelhastigheten under de första 5 timmarna. 2. Bestäm ur diagrammet a) accelerationen under de första 10 sekunderna b) accelerationen under de därpå följande 10 sekunderna c) medelaccelerationen under de första 15 sekunderna 3. Man kastar ett föremål rakt upp. För att beskriva rörelsen tänker vi oss att koordinataxeln är ritad rakt upp med markytan i origo. Ange tecknet på hastigheten och accelerationen när föremålet är på väg a) upp b) ner. c) Hur stor är hastigheten och accelerationen i banans högsta punkt? 4. Grafen visar hur hastigheten varierar hos ett föremål som startar i en punkt med x = 30 m vid tiden t = 0. a. I vilken punkt ändrar föremålet rörelseriktning? b. När anländer föremålet till origo? 5. Ett föremål accelererar med 5 m/s 2 i 4 sekunder, varefter det färdas med konstant fart i 6 sekunder för att därefter sänka farten till noll genom att sänka hastigheten med 6 m/s varje sekund. Hur lång sträcka hade föremålet då tillryggalagt? 6. En Porsche utmanar en Honda i ett 400 m lopp. Eftersom Porschens acceleration på 3,5 m/s 2 är större än Hondans 3,0 m/s 2 får Hondan ett försprång på 50 m. Båda bilarna startar samtidigt och accelererar för fullt hela tiden. Vem vinner? 7. En kula rullar utan friktion längs en bana som visas i figuren med utgångsfarten 5,0 m/s. Antag att kulan passerar kanterna i bana utan att förlora fart. a. Vilken hastighet har kulan när den passerar övre delen av banan? b. Vilken hastighet har kulan när den når banans högra horisontella del? c. Rita ett vt- diagram och ett at-diagram för kulan. Rita diagrammen i rad med samma tidsskala. 8. Två bilar befinner sig på 1000 m från varandra och rör sig mot varandra, den ena med hastigheten 108 km/h, den andre startar från vila och börjar accelerera med 2 m/s 2. När och var möts de och vilken hastighet har den andra bilen? 32

36 9. En sten kastas ut vertikalt med hastigheten 12 m/s från taket av ett hus. Stenen når marken efter 3,4 sekunder. a. Hur hög är byggnaden? b. Hur högt över marken var stenen som mest? c. Vilken hastighet har stenen när den når marken? 10. En sten kastas ut horisontellt från ett 125 m högt torn och träffar marken 90 m från tornet. Vilken var stenens utgångsfart? 11. En boll kastas ut från en 30 m hög byggnad med en hastighet av 20 m/s. Bollens kastas ut med en riktning som 30 ovan horisontalplanet. a. När träffar bollen marken? b. Hur långt från byggnaden ligger nedslagsplatsen? c. Vilken hastighet har den då? 12. A car is parked on a steep incline overlooking the ocean, where the angle of inclination is 37 from the horizontal. The negligent driver leaves the car in neutral and the emergency brakes are defective. The car rolls from rest down the incline with an acceleration of 4 m/s 2 and travels a distance of 50 m t the edge of the cliff. The cliff is 30 m above the ocean level. (a) What is the speed of the car when it reaches the edge of the cliff, and how long does it take to get there? b) What is the velocity of the car when it lands in the ocean? c) What is the total time that the car is in motion? (d) Where does the car hit the ocean relative to the cliff? Svar: 1) 80 km/h. 2a) 1 m/s 2. 2b) 3 m/s 2. 2c) 1,7 m/s 2 3a) v>0, a<0 3b) v<0, a<0 3c) v = 0, a= - 9,8 m/s 2 4) a) 40 m b) 6 s 5)193 m 6) Porschen vinner med 7 m 7) a) 2,3 m/s b) 5 m/s 8) 20 s, 600 m från den första bilens startposition, 40 m/s. 9) a) 15,9 m b) 23,2 m c) 21,3 m/s. 10) 17,8 m/s 11) a) 3,70 s b) 64,0 m c) v y = -26,3 m/s v x = 17,3 m/s 12) a) 20 m/s, 5 s. b) 31,4 m/s c) 6,5 s d) 24,4 m från klippväggen 33

37 34

38 5. CIRKULÄR RÖRELSE 5.1 Begrepp och definitioner. För beskrivning av läget hos en partikel som rör sig längs en cirkelbana är det bekvämare att använda polära koordinater r," (x,y). Vid cirkulär rörelse varierar endast en av de båda polära koordinaterna, ", i tiden medan avståndet till origo, r, är konstant. Både x och y varierar däremot. ( ) än cartesianska koordinater Om en partikel startar sin rörelse från positiva x- axeln (" = 0 ) är tillryggalagd väg längs cirkelns periferi under en tid t: s = r "#. Om partikeln gör ytterligare en förflyttning svarande mot "% gäller "s = r # "$. Om tiden för den senare förflyttningen är "t, är partikelns fart "s v = lim "t#0 "t = r $ lim "% "t#0 "t = r $ d% dt = r $ % Hastigheten v är ju riktad längs tangenten till rörelsebanan och kallas därför tangentialhastighet. d" Storheten kallas vinkelhastighet och betecknas med " (omega): " = d# dt dt = # Samband mellan tangentialhastighet och vinkelhastighet blir således: v = r "# Enheten för vinkelhastighet är l radian per sekund, l rad/s. Om partikelns tangentialhastighet ändrar storlek, varierar även vinkelhastigheten. För att beskriva denna variation har man infört begreppet vinkelacceleration. Vinkelacceleration brukar betecknas ( (alfa). Enheten l rad/s 2 För att i en figur markera rotationsriktningen hos en kropp som roterar med en vinkelhastighet ) kan man införa en vektor med beloppet ). Vektorn väljs vinkelrät mot planet genom den bana en punkt på kroppen beskriver vid rotationen. 35

39 Samband mellan omloppsriktning och riktningen av den sålunda konstruerade vektorn " väljs som sambandet mellan omloppsriktning och rörelseriktning hos en "vanlig" högergängad skruv: 5.2 Cirkulär rörelse. Konstant vinkelacceleration. För en situation där vinkelaccelerationen är konstant kan man ställa upp ett antal formler analoga med dem som gäller vid likformigt accelererad linjär rörelse: " t d" = # = konstant ger : # dt = # $ dt som ger dt $ : " 0 0 " = " 0 + # $ t (1) " t d" dt = # = # +$ % t ger : d" = # +$ % t 0 & & ( 0 )dt som ger : " 0 0 " #" 0 = $ 0 %t %& % t 2 (2) Eliminering av t ger " #" 0 = $2 2 #$ 0 2 %& som efter omskrivning ger: (3) " 2 = " #$ #(% &% 0 ) Motsvarigheten till uttrycket (2) på sidan? fås också lätt. " #" 0 = $ 0 +$ % t = $ medel %t 2 (4) 5.3 Rullning Betrakta ett rullande hjul med radien R som rullar med konstant hastighet utan att glida på ett horisontellt underlag. För en punkt på hjulets periferi gäller att dess (tangential) hastighet kan skrivas sträckan v t = " # R = 2$ # R, där T är omloppstiden. För hjulets centrum gäller att det rört sig T 2"R under tiden T dvs dess hastighet 36 v c = 2"R. Således gäller T v t = v c = "R.

40 Rullning kan uppfattas som en kombination av tyngdpunktens tangentiella rörelse och individuella partiklars rotation kring tyngdpunkten, vilket illustreras i nedanstående figur. Av figuren framgår att kontaktpunkten är momentant i vila. Om det inte varit så skulle ju kontaktpunkten ha en hastighet i horisontalplanet vilket inneburit att hjulet glidit Notera också att hastighet hos den punkt som befinner sig högst ovan underlaget är dubbelt så stor som tyngdpunktens hastighet 5.4 Löst exempel. En skiva med radien 16 cm roterar med vinkelhastigheten 30 rad/s. Skivans utsätts därefter för vinkelaccelerationen 2 rad/s 2 under 12 s. a) Vilken vinkelhastighet har skivan efter 12 s? b) Hur många varv har skivan då roterat? c) Vilken tangentialhastighet har då en punkt belägen halvvägs från centrum? Lösning a) Ekvation (1) ger varv blir då " = #12 = 54 rad/s b) Ekvation (2) ger " # 0 = 30 $ $ 2 $122 = 504 rad. Men 1 varv = 2* rad dvs sökt antal c) För tangentialhastigheten, v t,, gäller att 504 2" = 80,2 v t = " # r = 54 # 0,16 2 = 4, 32 m/s 37

41 5.5 Centripetalacceleration I exemplet på sidan 4-4 visades hur hastighetsändringen partikel vid cirkulär rörelse "v = v 2 # v 1 kan konstrueras för en Det nämndes tidigare att om banhastigheten inte är konstant så blir accelerationen (hastighetsändringen per tidsenhet) inte riktad mot cirkelbanas centrum men att den ändå kan delas upp i en komposant i radiell led (proportionell mot "v r ) och en komposant riktad vinkelrätt mot r (proportionell mot "v t i positiv %-riktning): "v t är skillnaden av beloppen hos v 1 och v 2 dvs "v t = r #( $ 2 %$ 1 ) = r # "$. "v r i sin tur kan approximeras med längden av en cirkelbåge: "v r = r #$ # "% Medelaccelerationen "a# under tidsintervallet: tangentialkomponen radialkomponent a r a t = r " #$ #t = "r #$ # %& %t 38

42 Efter gränsövergång genom att "t # 0 blir de båda komponenterna av accelerationen hos en partikel som beskriver en cirkulär bana: a t = r "# a r = - r "$ 2 = - v t 2 r I det senare sambandet har utnyttjats att tangentialhastigheten v t = r "#. Minustecknet i uttrycket för radialaccelerationen uttrycker att den är riktad i negativ r-led, d.v.s. mot partikelbanans centrum. Av de latinska orden centrum = medelpunkt och petere = söka, uppnå, har man bildat termen centripetalacceleration som används som beteckning för a r. Beloppet av partikels totala acceleration ges av: a = a 2 r + a 2 t = ( r" 2 ) 2 + ( r# ) 2 = r " 4 +# Övningsexempel. 1) En person sitter i en vilstol vid ekvatorn. Om jorden betraktas från ett koordinatsystem som följer jorden i dess bana runt solen är det endast jordens rotation kring sin axel som observeras. Utgående från detta koordinatsystem, hur stor är personens hastighet? Hur stor är personens acceleration? 2) Ett svänghjul med diametern 40,0 cm ökar sitt varvtal från 600 till 2400 varv/min under 1,6 s. a) Bestäm svänghjulets vinkelacceleration b) Hur många varv har hjulet roterat under dessa 1,6 s? c) Bestäm tangentialaccelerationen för en punkt på hjulets periferi d) Bestäm hastigheten och centripetalaccelerationen för en punkt som befinner sig 15 cm från centrum när varvtalet är 600 varv/min 39