Finns det en naturmetod i matematikundervisningen?

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Finns det en naturmetod i matematikundervisningen?"

Transkript

1 Finns det en nturmetod i mtemtikundervisningen? Bengt Ulin är lektor vid högskoln för lärrutildning i Stockholm och mtemtiklärre vid Kristofferskoln i Bromm. Här ger hn motiv för och förslg till innehåll i en nturmetod för mtemtikundervisning. Som eknt finns det nturmetoder som med frmgång nvänds vid undervisning i främmnde språk. En metod för läsinlärning klls LTG: läsning på tlets grund, dvs en metod som vill ygg på rnets sätt tt tl, på tlets ntur. Finns det en nturmetod för oss som undervisr i mtemtik? Visst orde det finns en sådn! All undervisning ör först och främst utgå från rnets hel ntur. Det orde vr självklrt tt ll pedgogik skll h sin rötter i elevens utveckling, en process som pågår under hel skoltiden. Vi måste vr förtrogn med viktig utvecklingsskeden som puerteten. Inom rmen för den llmänn grund som en kunskp om människn skll ge ställer oss fckämnen inför specifik frågor. När en klss övr rättskrivning, ekvtionslösning, skriver uppsts eller skll komponer ffischer till en teterföreställning, rör det sig om ktiviteter v olikrtde slg. J, redn inom ett och smm ämne, exempelvis svensk eller mtemtik, ryms övningr som ktiverr elevern på helt olik sätt. För tt komm till en nturmetod i skolmtemtiken måste vi därför li förtrogn med mtemtikens egen ntur, lär känn de olikrtde kvliteter som präglr skild slg v mtemtisk prolemlösning. Mtemtik i skoln - prolemlösning Det finns mång som tänker på räkning när de hör ordet mtemtik. En mtemtiker är en person som räknr, som (ännu snävre etrktt) kn räkn ut någonting, ett vstånd eller en vinkel eller en kostnd. Men mtemtik hndlr om prolemlösning, och det ligger en djup snning i ett yttrnde v den frmstående mtemtikern Pul Hlmos: The computer is importnt, ut not to mthemtics. Prolemlösning inneär tt komm på en idé eller rent v fler idéer. Att kunn räkn är ett hjälpmedel för tt nå ett kvntittivt resultt eller för tt gör förundersökningr. Att komm på en idé måste mn fktiskt gör själv. Mn kn visserligen få hjälp v ndr, men den vgörnde tnkelixten måste ju slå ned i en själv. Den äst hjälpen är det egn sökndet, ens egen strävn. Genetisk undervisning Ju äldre elevern lir, desto strkre växer sig ett erättigt ehov v tt få klr v uppgifter på egen hnd. Att lös ett prolem med en h-upptäckt ereder en lldeles särskild glädje. För tt ge en grupp tonåringr riktigt r tillfällen till självständigt rete och egn upptäckter lät den tyske didktikprofessorn Mrtin Wgenschein elevern undersök om det finns hur stor primtl som helst. Efter en skolvecks kmp (en heltimme per dg) hde gruppen upptäckt tt svret är j, och den hde efter viss irrfärder funnit smm vckr evis som en gång Euklides. Någr månder senre skrev en v deltgrn i ett rev till lärren: Mtemtik hde för mig vrit inegreppet v långtråkighet och nu kunde jg knppt förstå tt denn härlig upplevelse också kunde het mtemtik Nämnren 100

2 Wgenschein kllr denn form v undervisning för genetisk undervisning: den föds i elevern själv i lektionerns nu. Vi skulle vr i en idelsitution om ll kunskper, förmågor och färdigheter kunde förvärvs på dett genetisk sätt. Men i motsts till primtlen är inte lektionern oegränst mång, och därtill kommer tt elevern retr i olik tkt och med strkt vriernde förutsättningr. Vidre måste en hel del kunskper övs in, övs och repeters och efästs, så tt de lir retsverktyg för nödvändig rutiner. Här lir vi medvetn om två poler i mtemtikundervisningen: å en sidn eleverns eget skpnde, å den ndr en lärrledd träning i rutiner. Den förr polen kn urrt i ett mycket egränst kunnnde, den senre kn ge elevern led vid lott tnken på räkning. Vid sidn v denn didktisk polritet finns en nnn, mtemtisk, nämligen tvåflden v ren mtemtik och tillämpd. I ren mtemtik frågr vi inte efter ett prktiskt resultt, här hr vi l'rt pour l'rt. I den tillämpde mtemtiken ygger frågeställningen på en prktisk uppgift. Det rör sig inte om ett pr sttisk tvåflder. Tvärtom, det hndlr om duliteter som hr efruktt vrndr och ör gör det i hög grd i skolmtemtiken. Någr historisk perspektiv Den erömd Rhind-ppyren från tlet före Kristus vittnr om tt ren och tillämpd mtemtik lnddes i Fornegypten. Prolem 2, tt del 2 röd på 10 personer, vr en prktisk uppgift som krävde en ritmetisk lösning och Prolem 22, tt kompletter 2/3 + 1/30 till 1, vr en ren räkneuppgift som kunde dyk upp i vrdgen. Ännu fler århundrden efter tillkomsten v Ppyrus Rhind hde de egyptisk skrivrn och de tillhörde eliten möd med de fyr räknesätten, och dett redn i ehndlingen v hel tl. Ppyrus Rhind och likrtde dokument vr en smling ruksnvisningr när det gällde mtemtisk eräkningr. Dess recept vr okänd för folket, men skrivrn utilddes i konsten tt nvänd dem. Kunnndet reducerdes med tiden till en teknik, vrs utövre inte längre visste hur räknemetodern livit härledd, j inte ens kände till vilk formler de yggde på. Det är intressnt tt gör en jämförelse med elevern och ders skolsitution i dg. I åtminstone de tre lägst årskursern, men ej sälln högre upp, rotts vår elever precis som fornegyptern med heltl och räknesätt men med vårt överlägsn positionssystem till sitt förfognde. Under dess år och de närmst följnde skll elevern tillägn sig en rd räknerutiner och lär sig diverse regler. Det är en känslig process. Här och vr smyger sig felktig tnkeformer in, en del elever stelnr i ett efterhärmnde som medför tt de i en högre årskurs lir helt ställd redn vid en oetydlig vrition v en frågeställning. Därmed är vi tillk vid den didktisk polriteten melln eleverns egen ktivitet och lärrens demonstrtion. Hur fortstte det historisk perspektivet? Liksom i Fornegypten utgjorde mtemtikkunnig en elit även i Tvåflodslndet och sedermer i Greklnd. Men efter tt h lärt åtskilligt v egyptier och ylonier tog grekern mtemtiken i egn händer. De sökte sig frm till egn upptäckter och evis. De ville inte sätt tilltro till forn uktoriteter och utvecklde den självmedvetn tnkekrft som sedn dess präglt mtemtiken, den krft som ger oss säkerställd visshet: jg vet tt jg vet. I och med puerteten intensifierr ungdomrn den process som skll led till frigörelse från uktoritet och vuxeneroende. Individuell ktivitet och omdömesildning lir llt viktigre. I fortsättningen skll vi nu se på någr mtemtikuppgifter som kn vr ägnde tt möt elevern på hög- och gymnsiestdiern i ders sitution. Nämnren

3 Att gör en upptäckt Till de tidigre grekisk mtemtikern hörde Pythgors och hns elever. De enggerde sig strkt i heltl och heltlsförhållnden. De geometriserde tlen till figurerde tl, punktkvdrter, punktrektnglr, -tringlr, -femhörningr, etc. (Figur 1) Figur 1 Eftersom ilden, åskådningen, etydde så mycket för grekern, kom geometrin tt sätts högst. De studerde formförvndlingr och lev skicklig i tt omvndl en figur utn tt ändr dess ytinnehåll. Dett är ett tem än i dg, när det gäller tt härled formler för ren v cirkeln och en del månghörningr, exempelvis prllelltrpetset. Låt oss se på hur elevern kn t sig n det prolemet. D C Figur 2 A Figur 2 Figur 2c A D h E C B F B Figur 2d Figur 2e I fig 2-e ser vi fem förslg som elevern hittt, inte lltid i en och smm klss. I fig 2 är ren uppdeld på en rektngel och två tringlr, i fig 2 på prllellogrm + tringel. I fig 2c går EF prllellt med AD och delr BC på mitten. Tringeln nere till höger är flyttd, så tt trpetset förvndlts till en prllellogrm. I fig 2d är tringeln uppe vid vskuren och vriden ner till slinjen. Metoden i 2e är tt fördul trpetset till en prllellogrm. Hur kommer vi nu till en formel? I fllet 2 får vi förenkl h + ( ) h 2 till ett enklre uttryck; i fig 2c finner vi tt längden AE = DF är medelvärdet + 2 vrefter vägen är fri. I fig 2d kommer vi direkt till uttrycket ( + )h 2 och detsmm gäller fll 2e. Uppdelningen 2, som mång i örjn höll för tt vr särskilt lovnde, visde sig vr knepig tt omsätt i lger. All vägrn ledde inte lik lätt till Rom, men de flest v dem vr rätt frmkomlig och ledde till målet ( + )h 2 Någr elever fnn 2 vr det enklste sättet, ndr tyckte tt 2d vr elegntst och somlig tt 2e vr smrtst. 124 Nämnren 100

4 På lärrhögskoln i Stockholm hr mtemtikinstitutionen mottot Tänk rätt på fler sätt. Riktt till en hel klss i mtemtik lir dett motto ett utmärkt didktiskt ledmotiv. Andr r motiv är: Upptäck något! och Giss! Ingen ehöver li ledsen för tt giss fel en inkörsport till tt inte heller ett tnkefel ts så trgiskt. Att försök upptäck något eller tt giss något ppellerr till ll i klssen och särskilt glädjnde är det förstås tt upptäck den nyckel som öppnr prolemlösningslåset. Här ett exempel som skll vis tt mtemtik inte är räkning. Det erömd tornet i Hnoi Figuren ovn visr Hnois torn, välkänt från mång öcker om rolig mtemtik, mtemtikgåtor o.d. Ett torn med llt mindre rickor mot sin topp skll yggs upp på en nnn v de tre pinnrn, vrvid den tredje pinnen skll utnyttjs som hjälppinne. Vid vrje flyttning får mn t en rick, och en större rick får ldrig läggs på en mindre. Uppgiften är tt estämm minimintlet flyttningr som funktion v ntlet rickor. Ännu i årskurs 9 torde elevern vilj gå direkt till prktisk undersökningr. Men åtminstone på gymnsiet skulle vi kunn örj med tt fråg oss, om vi skulle kunn finn någr fser i överflyttningsprocessen. Det duger inte tt r räkn ntlet flyttningr, det gäller tt om möjligt finn en struktur i flyttningrn. (För det prktisk utförndet ehövs ing pinnr. Det räcker med exempelvis fyr krtongitr v olik storlekr och färger.) Så småningom märker vi det som strx förefller självklrt och därför knske oviktigt: ottenrickn måste flytts. Denn Nämnren 100 flyttning ildr ett slgs mitt: dessförinnn måste det närmst lägre tornet yggs upp, och efter det tt ottenrickn flyttts måste det lägre tornet yggs upp en ndr gång, nämligen på ottenrickn. J, därmed är lösningen i full gång! Vi kn nämligen formuler följnde resultt: Minimintlet flyttningr = 2 ggr (minimi-) ntlet flyttningr v det närmst lägre tornet plus 1. I mtemtisk text: A n = 2A n och vi hr funnit en sk rekursionsformel, med vrs hjälp vi kn erhåll vilk ntl A n som helst: ur A 1 = 1 följer A 2 = 3, A 3 = 7, A 4 =15, etc. Men vilket jo tt räkn frm A 100 eller något ännu större tl, invänder någon. Måste mn steg för steg räkn sig frm till A 100? Finns det ingen direktformel? Någr hr upptäckt tt tlen 1, 3, 7 och 15 ligger 1 under fördulingstlen 2, 4, 8 och 16. Formeln måste vr A n = 2 n 1 hävdr de. De prövr med n = 5, 6 och 7 och får ekräftelse. Men är formeln säkrd? Nej, ränt rn skyr elden; de hr sett exempel på hur en regelundenhet kn spår ur... Men ett induktionsevis, rätt enkelt, grnterr tt formeln är riktig. Och nu är vi helt inne på en tredje dulitet i mtemtiken, den llr viktigste och med stor etydelse för skolmtemtiken: polriteten melln induktivt och deduktivt tänknde eller, enklre uttryckt, melln fntsi och logik. Fntsi och logik Prolemlösning omfttr en stor repertor v tnkeformer, lltifrån ningr och hugskott till logisk kedjor och tnkekontroll. För tt komm igång måste vi få tg på något uppslg, och för tt säkerställ ett resultt ehövs medveten kontroll, oft v logisk evisföring. Formeln A n = 2 n - 1 för Hnois torn är ett 125

5 exempel på hur en (knske turrtd) upptäckt i ett siffermteril lir strtlocket för lösningen. Men mn är i mål först sedn formeln evists, först sedn vi säkerställt formeln med logiskt tänknde. Kn fntsin övs på redre front än för gissningr och upptäckter? J visst. Låt oss se på följnde nästn leketonde uppgift: Vi skriver exempelvis 4 nturlig tl i redd, säg Vi dderr nu ngränsnde tl två och två och skriver summorn på rden nednför. Dett uppreps två gånger tills vi lndr på ett sist tl, ett ottentl. I exemplet här får vi resulttet Frågn är nu: kn mn på något enkelt sätt förutsäg om ottentlet lir udd eller jämnt? Utredningen kn gärn örj med 4 givn tl, sedn fortsätt med 5 tl. Därefter kommer mång elever utn nmning tt vilj t steget ut till full generlisering. I en rtikel med titeln En ritmetikuppgift med mång utlickr i Nämnren nr1 82/ 83 hr jg närmre skildrt klssens rete med dett prolem. Jg egränsr mig här till följnde spekt. Elevern måste örj med tt sml ett siffermteril, de måste välj egn exempel. Frågn lir då: hur skll exemplen väljs, dvs hur skll vi välj utgångstlen? Här gäller det tt komm på idéer hur mn med fördel skll vrier exemplen så tt det skll li möjligt tt komm på någon teori ur det smlde siffermterilet. Här kommer fntsin till sin rätt, inte en vild fntsi utn en som npsss till uppgiften. Elevern förstår tt vritionen från exempel till exempel ör görs så liten som möjligt. Mn kn yt ut ett v utgångstlen eller låt två utgångstl yt plts. På så vis lir mtemtisk metod mönsterildnde för nturvetenskp, medicin, m fl forskningsfält. Hur kn vi då trän det logisk tänkndet? Det kn och ör görs på olik sätt. Emellnåt hndlr det om tt presenter ett evis. Det gäller då tt undvik en guidertd demonstrtion; snrre kn en sokrtisk dilog med frågor li fruktr. När en klss en gång fick se ett evis för tt ll tringlr är likent flög två elever upp och egärde med eftertryck tt få gå ut ur rummet för tt i lugn och ro kross det edrägeri som de måste h vrit med om, men som de inte omedelrt kunde genomskåd. På senre år hr mtemtikundervisningen fått ett utmärkt mteril när det gäller logisk träning - och jg tänker då på gymnsiestdiet. I Högskoleprovet, som ges två gånger per år för söknde till universitet och högskol, ingår ett delprov, NOG, där det hndlr om logiskt tänknde. Det gäller tt edöm, huruvid nog med informtion givits för tt mn skll kunn lös en mtemtiskt formulerd uppgift entydigt. Ett exempel: I en elmätre finns en skiv som snurrr fortre och fortre, ju fler energikrävnde pprter som koppls in. På skivn finns ett märke så tt mn sk se hur fort den snurrr. Skivn snurrr 120 vrv per kilowttimme. Hur stort vr effektuttget vid ett tillfälle då skivn snurrde med konstnt frt? (1) Skivn snurrde 10 vrv på 10 sekunder. (2)Skivn snurrde så tt märket på dess knt rörde sig med en frt v 0,11mpersekund. Tillräcklig informtion för lösningen erhålls A i (1) men ej i (2) B i (2) men ej i (1) C i (1) tillsmmns med (2) D i (1) och (2) vr för sig E ej genom de åd påståenden. Det gäller lltså inte tt eräkn effektuttget utn tt kryss för vilket v de fem svrslterntiven A-E som är snt eträffnde tillräcklig informtion utöver den som ges i uppgiftspresenttionen. 126 Nämnren 100

6 Det äst med denn typ v uppgifter är tt det rör sig om ett centrlt område för mtemtiskt tänknde: hr jg tt gör med tillräcklig förutsättningr eller enrt nödvändig? Att undersök förutsättningr för lösning v ett prolem är verkligen v störst etydelse i mtemtiken. Trots dett ägns lldeles för litet uppmärksmhet, om ens någon, åt undersöknde rete v sådnt slg i gymnsiet. Den uppgift som här citerts hr även en nnn god egenskp. Den är i princip en uppgift i tillämpd mtemtik och knyter n till något som vi känner till i vrdgen. I klssrummet ehöver ingen tidspress råd som under provets genomförnde. Tvärtom, mn kn med fördel ygg ut uppgiftern så tt elevern skll motiver vlet v svrslterntiv och föreslå kompletteringr v känd dt i de fll då en v uppgiftern (1) och (2) är otillräcklig och då inte ens åd uppgiftern räcker till. Det vore önskvärt tt ordentligt med tid kunde ägns åt nlys v mtemtisk påståenden v typen Om A gäller, så gäller B och v typen Om och endst om C gäller, så gäller D. I det förr fllet är A ett tillräckligt villkor men i regel inte nödvändigt. I de fll då ett villkor är åde nödvändigt och tillräckligt (C i den senre versionen) nvänds formuleringen om och endst om. Att skilj melln nödvändig och tillräcklig villkor är inte så lätt, och dess åd typer förväxls ilnd i offentlig detter. Prktisk prolem och etnomtemtik Till en nturmetod i mtemtikundervisningen hör givetvis uppgifter som hämts ur vrdgens prktisk smmnhng, ur etnomtemtiken, som det rukr het. Även på dett område kn Högskoleprovet, närmre estämt dess DTK-del, ge oss ett utmärkt prolemmteril, vrvid uppgiftern hndlr om tt ur dt, teller och kurvor erhåll upplysningr som möjliggör svr på ställd frågor. Det fin med uppgiftern är tt de hr en utentisk prägel Nämnren 100 i motsts till en del gängse prolem som förefller vr skrivordsprodukter, fjärrn från livet. I den tillämpde mtemtiken, ett område som är speciellt viktigt under eleverns puertetsår, ör prolemen vr äkt och ktuell, helst hämtde ur nuets ktulitet, Dgspress, rdio och TV, speciellt nyhetssändningrn, ger vrje dg mteril v intresse, som t ex följnde, som (nästn i skrivnde stund) kunde hämts ur en TTsändning den 6 juli 1991: Där hette det, tt vr tredje grvid kvinn i Sverige är rökre och tt endst vr tionde v dess förmår gör uppehåll i rökningen under grviditeten. Mn kn då - osökt - fråg: hur stor råkdel v kvinnorn röker ej under grviditeten? En något knepigre uppgift (från Godmorgon världen, P ): Där sdes tt "1/8 v världens muslimer är rer" och tt "10% v rern är ickemuslimer." Ungefär i stil med Högskoleprovet kn vi här fråg om det går tt räkn ut förhållndet melln ntlet rer och ntlet muslimer. De flest mediuppgiftern leder till prolem rörnde procent. Ju mer omväxlnde etnomtemtiken i skoln kn li, desto ättre. Till sist rörnde dett kursområde: Det måste omftt hel skoltiden. Det går tt ställ trevlig prolem redn i årskurs 1, åde i ren och tillämpd mtemtik. Innn vi återgår till frågn om nturmetod vill jg på det återstående rtikelutrymmet t upp någr spekter på mtemtik, ntur och konst. Mtemtik, ntur och konst Vi lever i en tredimensionell omgivning, prägld v den rät vinkeln. Från ett husygge kn vi hämt mång r geometriprolem, som ger elevern tillfälle tt nvänd sin kunskper om likformighet, Pythgors sts etc. Sedn örjn v 60- tlet hr jg sprt Hedström Öije Mtemtisk uppgifter i relexmen vt

7 vt Liksom Högskoleprovet innehåller denn prolemsmling en rd relistisk uppgifter. I geometrivsnitten förekommer en vill som skll isolers, en pump som skll försörj ett trädgårdslnd med vtten, ett frtyg som efinner sig på spning i öppen sjö och en häftig snöstorm som hr vållt isildning på telegrfledningen utefter Riksgränsnn. En relism lik strk som hos Bellmn och Tue, men givetvis utn poesin hos dess trudurer. Det finns dock åtskillig områden v tillvron där mtemtik är smmnvävd med åde skönhet och relism. Verkligheten överträffr dikten, rukr det het. Besnns inte dett när vi ser på en genomskuren Nutilus-snäck, en solros eller ett välformt lomkålshuvud? (Fig 4-6) Blomkålen visr en rkitektur, där vrje spirl själv innehåller lomkålshuvuden i mindre skl, dess visr i sin tur spirler v ännu mindre huvuden osv, änd tills ögt inte längre kn urskilj detljern. Även i solrosens korgr är spirlern logritmisk och där finns två system v spirler, ett medsols och ett motsols. Figur 6 Figur 4 I Nutilus-snäckn möter vi den logritmisk spirlens rkitektur, genomförd med ytterst precision. Figur 5 Vi hr räknt ntlet spirler hos skolträdgårdens solrosor och funnit 21 spirler motsols och 34 medsols. Hos ännu större solrosor lir dess tl 34 resp 55 eller 55 resp 89. Ser inte dett märkligt ut? Jättestor exemplr hr 89 resp 144 spirler och världsrekordet lyder på 144 resp 233. Dess tl ingår i den erömd tlföljden 1,1,2,3,5,8,13,21,34,... Tlen lnserdes v mtemtikern Fioncci (1200-tlet) och klls efter honom Fioncci-tl. Vrje tl fr o m det tredje är summn v de närmst föregående två tlen. Åtskillig ndr exempel kunde nförs, exempel som vittnr om hur tlen, heltlen, kn vr konstitutionellt invävd i nturen. På ett förluffnde sätt dök kvdrttlen upp då schweizren J.J. Blmer undersökte proportionern melln de våglängder som vår lndsmn Anders Jens Ångström uppmätt hos fyr vätespektrllinjer, nämligen värden H = 6562,10 Å H = 4860,47 Å H c = 4340,1 Å H d = 4101,2 Å 128 Nämnren 100

8 Blmer fnn tt H : H : H c : H d = Därmed är vi tillk hos pythgoreern, som ju höll heltlen för tt vr konstituernde i tillvron. När elevern i en klss efter sex, sju timmrs rete med stereometrisk konstruktioner får t kristller i olik färger i hnden och med egn ögon se den geometri som de förut utvecklt, infinner sig en välgörnde tmosfär v häpnd, en pythgoreisk stämning! Det är snnolikt tt Pythgors vr den förste i historien tt spår upp tl i musikens värld, då hn knäppte på sitt monokord och lyssnde till tonintervllern. Det visde sig tt de fem först heltlen, 1,2,3,4 och 5 ygger upp den ditonisk skln från grundtonen till dess högre oktv. Oktven svrr mot förhållndet 2:1, kvinten mot 3:2, kvrten mot 4:3, etc. Septimens förhållnde är 15 8 = 3 5 Den är rätt dissonnt. 2 4 Strkt dissonnt, som en mulnssignl, är djävulsintervllet tritonus, steget om tre heltoner från exempelvis c till fiss. Dett intervll är irrtionellt (roten ur 2), dvs outtlrt med heltl. Denn kvdrtrot som först uppträdde i smnd med kvdrtdigonlen, kom tt skk pythgoreerns filosofi. En kris som lev särskilt fruktr under de senste 200 åren v mtemtik och fysik. Vd ör ingå i en nturmetod? En nturmetod ör t hänsyn till och ge rättvis åt 1. människns ntur, dvs eleverns utvecklingsehov 2. mtemtikens ntur 3. tl och former i nturen 4. tl och former i det som människn skpt, även i konsten Punkt 1 och 2 motiverr skolmtemtikens huvudkrktär tt vr övningsämne. Det som främst ör övs är tnkeförmågn, förmågn tt lös prolem. Punkt 1 och 4 kräver tt vi ger ordentligt utrymme åt tillämpd mtemtik. Punkt 3 och 4, slutligen, förnleder oss tt etrkt skolmtemtiken även som något v ett orienteringsämne. Och med orientering sk då inte mens en mer eller mindre färglös informtion utn något som är ägnt tt ge liv åt undervisningen och öppn fönster för elevern ut i världen. Till punkt 1 ör vi också räkn glimtr ur mtemtikens histori, glimtr om mtemtiker och ders idrg till utvecklingen v åtminstone västerländsk etrktelsesätt. Sådn glimtr lir vitminer som ökr eleverns ptit och förättrr tmosfären i lektionsretet. Den genetisk metoden för tt t ännu en ild kn emellnåt ge oss uppvindr i retet och ge elevern upplevelser som stimulerr dem tt med större positivitet t sig n de mindre hisnnde rutinövningr som tillhör skolvrdgen. Någr litterturtips SIGMA, En mtemtikens kulturhistori (FORUM) Kline, M. (1968) Mtemtiken i den västerländsk kulturen. Prism. Onstd, T. Fioncci-tllene. Normt, Nordisk mtemtisk tidskrift, nr 1, Midonick, H. The Tresure of Mthemtics, del 1 och 2 (Pelicn Books) Ulin, B. Att finn ett spår. Utildningsförlget. Dhl, K. (1991) Den fntstisk mtemtiken. Fischer & Co. Nämnren

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen... Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är

Läs mer

Finaltävling den 20 november 2010

Finaltävling den 20 november 2010 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Finltävling den 20 november 2010 Förslg till lösningr Problem 1 Finns det en tringel vrs tre höjder hr måtten 1, 2 respektive 3 längdenheter? Lösning

Läs mer

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).

Läs mer

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46 Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl

Läs mer

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd.

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd. LINSER Uppgit: Mteriel: Teori: Att undersök den rytnde örmågn hos olik linser och tt veriier linsormeln Ljuskäll och linser ur Optik-Elin Med hjälp v en lmp och en ländre med ler öppningr år vi ler ljusstrålr,

Läs mer

Sfärisk trigonometri

Sfärisk trigonometri Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller

Läs mer

Kan det vara möjligt att med endast

Kan det vara möjligt att med endast ORIO TORIOTO yllene snittet med origmi ed endst någr få vikningr kn mn få frm gyllene snittet och också konstruer en regelbunden femhörning. I ämnren nr 2, 2002 beskrev förfttren hur mn kn rbet med hjälp

Läs mer

Geometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför?

Geometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför? Geometri 1. Linjen är isektris till vinkeln. Sträkorn, oh är lik lång. Hur stor är vinkeln? vgör utn mätningr! 4. Fyr kopior v en rätvinklig tringel kn lltid sätts ihop till en kvdrt med hål som i följnde

Läs mer

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v

Läs mer

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär

Läs mer

Gör slag i saken! Frank Bach

Gör slag i saken! Frank Bach Gör slg i sken! Frnk ch På kppseglingsbnn ser mn tävlnde båtr stgvänd lite då och då under kryssrn. En del v båtrn seglr för styrbords hlsr och ndr för bbords. Mn kn undr vem som gör rätt och hur mn kn

Läs mer

Föreläsning 7: Trigonometri

Föreläsning 7: Trigonometri ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi

Läs mer

Exponentiella förändringar

Exponentiella förändringar Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 5-7.

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 5-7. Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KndM, MtemA -9-6 Smmnfttning v föreläsningrn 5-7. Föreläsningrn 5 7, 7/9 6/9 : Det kommer, liksom i lärooken, inte tt finns utrymme för

Läs mer

Associativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc). Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba.

Associativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc). Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba. Rtionell tl Låt oss skiss hur mn definierr de rtionell tlen utifrån heltlen. Förutom tt det ger en inblick i hur mtemtiken är uppbyggd, är dett är ett br exempel på ekvivlensreltioner och ekvivlensklsser.

Läs mer

MATEMATISKT INNEHÅLL UPPGIFT METOD. Omvandla mellan olika längdenheter. METOD BEGREPP RESONEMANG. Ta reda på omkrets. 5 Vilken omkretsen har figuren?

MATEMATISKT INNEHÅLL UPPGIFT METOD. Omvandla mellan olika längdenheter. METOD BEGREPP RESONEMANG. Ta reda på omkrets. 5 Vilken omkretsen har figuren? Kn du dett? Uppgiftern här är tänkt tt nvänds för utvärdering v hur elevern tillägnt sig kpitlets mtemtisk innehåll. Låt elevern, prvis eller i mindre grupper, lös uppgiftern tillsmmns och förklr för vrndr

Läs mer

Appendix. De plana triangelsatserna. D c

Appendix. De plana triangelsatserna. D c ppendix e pln tringelstsern Pythgors sts: I en rätvinklig tringel gäller, med figurens etekningr: 2 = 2 + 2 1 2 evis: Vi utnyttjr likformigheten melln tringlrn, oh. v denn får vi, med figurens etekningr:

Läs mer

SLING MONTERINGS- OCH BRUKSANVISNING

SLING MONTERINGS- OCH BRUKSANVISNING SLING MONTERINGS- OCH BRUKSANVISNING FOC_SLING_1107 Introduktion Dett är en ruksnvisning för det dynmisk rmstödet SLING som monters på rullstol, stol eller nnn nordning. SLING tillverks v FOCAL Meditech,

Läs mer

Induktion LCB 2000/2001

Induktion LCB 2000/2001 Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n

Läs mer

Under årens lopp har många lärare och forskare beskrivit hur nybörjarstudenterna

Under årens lopp har många lärare och forskare beskrivit hur nybörjarstudenterna B. Grevholm, J. Lundqvist, L-E. Persson & P. Wll Ett mentorprojekt för gymnsieelever i Luleå Hur får vi fler gymnsieelever intresserde v tt örj läs mtemtik vid universitetet? Den frågn hr mång mtemtiklärre

Läs mer

Bokstavsräkning. Regler och knep vid bokstavsräkning

Bokstavsräkning. Regler och knep vid bokstavsräkning Mtemtik Bokstvsräkning Du står nu inför en ny kurs i mtemtik, där meningen är tt du sk tillgodogör dig ny teorier, som smtlig leder frm till övningr och uppgifter. Även om du förstått vd teorin sk nvänds

Läs mer

Sidor i boken

Sidor i boken Sidor i boken -5 Vi räknr en KS För tt ni sk få en uppfttning om hur en KS kn se ut räknr vi här igenom den end KS som givits i denn kurs! Totlt kn mn få poäng. Om mn lycks skrp ihop 7 poäng eller mer

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om

Läs mer

Area([a; b] [c; d])) = (b a)(d c)

Area([a; b] [c; d])) = (b a)(d c) Aren och integrl Summor Huvudämne i föreläsningen är reor v gurer i plnet och integrler. Integrl är ett egrepp som låter de nier reor v gurer i plnet, och speciellt eräkn reor melln grfer v funktioner

Läs mer

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen Ett förspel till Z -trnsformen Fibonccitlen Leonrdo Pisno vnligen klld Leonrdo Fiboncci, den knske störste mtemtiker som Europ frmburit före renässnsen skrev år 10 en bok (Liber bci) i räknelär. J, fktiskt.

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen

Läs mer

14. MINSTAKVADRATMETODEN

14. MINSTAKVADRATMETODEN 4 MINTAKADRATMETODEN Nu sk vi gå igenom någr olik sätt tt lös ekvtionssystemet Ax Om A är m n mtris med m n så sägs systemet vr överestämt och det sknr då i llmänhet lösningr Istället söker mn en pproximtiv

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 5 november 28 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn

Läs mer

1. (6p) (a) Använd delmängdskonstruktionen för att tillverka en DFA ekvivalent med nedanstående NFA. (b) Är den resulterande DFA:n minimal? A a b.

1. (6p) (a) Använd delmängdskonstruktionen för att tillverka en DFA ekvivalent med nedanstående NFA. (b) Är den resulterande DFA:n minimal? A a b. UPPSAA UNIVERSITET Mtemtisk institutionen Slling (070-6527523) PROV I MATEMATIK AUTOMATATEORI 18 okt 2012 SKRIVTID: 8-13. HJÄPMEDE: Ing. MOTIVERA AA ÖSNINGAR NOGGRANT. BETYGSGRÄNSER: För etygen 3, 4 respektive

Läs mer

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter? Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.

Läs mer

Repetitionsuppgifter i matematik

Repetitionsuppgifter i matematik Lärrprogrmmet Ingång Mtemtik och Lärnde Repetitionsuppgifter i mtemtik Inför vårterminens mtemtikstudier kn det vr r tt repeter grundläggnde räknefärdigheter. Dett mteril innehåller uppgifter inom följnde

Läs mer

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt:

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt: Sinusstsen Beviset i PB gger å tre resultt som nog få gmnsieelever är förtrogn med. Vrje tringel hr en s.k. omskriven cirkel en cirkel som går genom ll tre hörnen : C Uttrck höjden mot c åtvåoliksätt:

Läs mer

Bilaga 1. Beskrivning av uppgifterna och provresultaten

Bilaga 1. Beskrivning av uppgifterna och provresultaten Bilg 1. Beskrivning v uppgiftern oh provresultten 1997-003 I det följnde redoviss lydelsen på de olik uppgifter som ingår i testet oh resulttet för de fyr år som testet hittills hr nvänts. Härigenom kn

Läs mer

Bilaga 1. Beskrivning av uppgifterna och provresultaten

Bilaga 1. Beskrivning av uppgifterna och provresultaten Bilg 1. Beskrivning v uppgiftern oh provresultten 1997-00 I det följnde redoviss lydelsen på de olik uppgifter som ingår i testet oh resulttet för de fyr år som testet hittills hr nvänts. Härigenom kn

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen

Läs mer

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär

Läs mer

Kontrollskrivning 3 till Diskret Matematik SF1610, för CINTE1, vt 2019 Examinator: Armin Halilovic Datum: 2 maj

Kontrollskrivning 3 till Diskret Matematik SF1610, för CINTE1, vt 2019 Examinator: Armin Halilovic Datum: 2 maj Kontrollskrivning 3 till Diskret Mtemtik SF60, för CINTE, vt 209 Emintor: Armin Hlilovic Dtum: 2 mj Version B Resultt: Σ p P/F Etr Bonus Ing hjälpmedel tillåtn Minst 8 poäng ger godkänt Godkänd KS nr n

Läs mer

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning Sidor i boken 8-9, 0- Rtionell uttryck. Förlängning och förkortning Först någr begrepp. Aritmetik eller räknelär är den mest grundläggnde formen v mtemtik. Ett ritmetiskt uttryck innehåller tl, men ing

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En

Läs mer

9. Vektorrum (linjära rum)

9. Vektorrum (linjära rum) 9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,

Läs mer

ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM. LÄNGDEN AV EN VEKTOR. AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER. MITTPUNKT. TYNGDPUNKT. SFÄR OCH KLOT.

ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM. LÄNGDEN AV EN VEKTOR. AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER. MITTPUNKT. TYNGDPUNKT. SFÄR OCH KLOT. Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR v Vektorer oh koordinter i D-rummet ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM LÄNGDEN AV EN VEKTOR AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER MITTPUNKT TYNGDPUNKT SFÄR OCH KLOT INLEDNING För tt bild

Läs mer

9. Bestämda integraler

9. Bestämda integraler 77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln

Läs mer

Evighetskalender. 19 a) nyårsdagen var år 2000 b) julafton kommer att vara på år 2010 c) de första människorna landade på månen, 20 juli 1969

Evighetskalender. 19 a) nyårsdagen var år 2000 b) julafton kommer att vara på år 2010 c) de första människorna landade på månen, 20 juli 1969 Evighetsklender Vilken veckodg vr det när du föddes? På vilken veckodg fyller du 18 år? Med den här evighetsklendern kn du t red på det. Gör så här när du sk t red på veckodgen: Lägg ihop följnde fyr tl:

Läs mer

Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se Matteboken.se Formelsamlingen.se Pluggakuten.se. Innehåll: Pluggtips Formelsamling Kursprov

Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se Matteboken.se Formelsamlingen.se Pluggakuten.se. Innehåll: Pluggtips Formelsamling Kursprov Mtte KONVENT Plgg tillsmmns inför de ntionell proen i mtemtik M te m tik Länktips: Mttecentrm.se Mtteoken.se Formelsmlingen.se Plggkten.se 5 Innehåll: Plggtips Formelsmling Krspro I smrete med retsgirorgnistionen

Läs mer

a sin 150 sin 15 BC = BC AB 1.93 D C 39º 9.0

a sin 150 sin 15 BC = BC AB 1.93 D C 39º 9.0 18 Trigonometri Övning 18.1 I tringeln är sidorn och lik lång. Tringelns störst vinkel är 10. eräkn förhållndet melln sidorn och. Svr med tre gällnde siffror. Mätning i figur godts ej. Tringeln är likbent.

Läs mer

Nautisk matematik, LNC022, Lösningar

Nautisk matematik, LNC022, Lösningar Nutisk mtemtik, LN022, 2012-05-21 Lösningr 1. () För vilken eller vilk vinklr v melln 0 oh 180 är sin v = 0, 25? Räknren ger oss v 14, 5, då finns okså lösningen 180 14, 5 = 165, 5 i det givn intervllet.

Läs mer

Tentamen Programmeringsteknik II Skrivtid: Skriv läsligt! Använd inte rödpenna! Skriv bara på framsidan av varje papper.

Tentamen Programmeringsteknik II Skrivtid: Skriv läsligt! Använd inte rödpenna! Skriv bara på framsidan av varje papper. Tentmen Progrmmeringsteknik II 014-10-4 Skrivtid: 1400 1900 Tänk på följnde Skriv läsligt! Använd inte rödpenn! Skriv r på frmsidn v vrje ppper. Börj lltid ny uppgift på nytt ppper. Lägg uppgiftern i ordning.

Läs mer

Integraler och statistik

Integraler och statistik Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik

Läs mer

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på

Läs mer

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p)

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p) 1(1) IF1611 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 1 Tentmen Gäller även studenter som är registrerde på B1116 Torsdgen den 1 okt, 1, kl. 14.-19. Skriv tydligt! Skriv nmn och personnummer på ll inlämnde ppper!

Läs mer

============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE.

============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE. GENERALISERADE INTEGRALER ============================================================ När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

Slutrapport Jordbruksverket Dnr. 25-12105/10 Kontroll av sniglar i ekologisk produktion av grönsaker och bär

Slutrapport Jordbruksverket Dnr. 25-12105/10 Kontroll av sniglar i ekologisk produktion av grönsaker och bär Slutrpport Jordruksverket Dnr. 25-125/ Kontroll v sniglr i ekologisk produktion v grönsker och är Projektledre: Birgitt Svensson, Område Hortikultur, SLU Innehåll sid Smmnfttning 3 Bkgrund / Motivering

Läs mer

Varför är. kvinnor. mer sjukskrivna. änmän. -just här? Reflektioner och ett fortsatt lärande

Varför är. kvinnor. mer sjukskrivna. änmän. -just här? Reflektioner och ett fortsatt lärande Vrför är kvinnor mer sjukskrivn änmän -just här? Reflektioner och ett fortstt lärnde Smmnställning v vunnen kunskp och reflektioner Under tre dgr hr 29 medrbetre från sex myndigheter i norr Västmnlnd fördjupt

Läs mer

13.9.2006 Dnr 6/002/2006. Till pensionsstiftelser som bedriver tilläggspensionsskydd och är underställda lagen om pensionsstiftelser

13.9.2006 Dnr 6/002/2006. Till pensionsstiftelser som bedriver tilläggspensionsskydd och är underställda lagen om pensionsstiftelser FÖRESRIFT 13.9.2006 Dnr 6/002/2006 Till pensionsstiftelser som edriver tilläggspensionsskydd och är underställd lgen om pensionsstiftelser FÖRSÄRINGSTENIS BERÄNINGR OCH DERS BERÄNINGSGRUNDER FÖR PENSIONSSTIFTELSER

Läs mer

Monteringsanvisning. Bakåtvänd montering. Godkänd höjd 61-105 cm. Maximal vikt 18 kg. UN regulation no. R129 i-size. Ålder 6 mån - 4 år. 1 a.

Monteringsanvisning. Bakåtvänd montering. Godkänd höjd 61-105 cm. Maximal vikt 18 kg. UN regulation no. R129 i-size. Ålder 6 mån - 4 år. 1 a. 1 6 d c e Monteringsnvisning f h g i j k l m 7 8 10 2 3 9 c e d Bkåtvänd montering Godkänd höjd 61-105 cm 4 5 11 12 Mximl vikt 18 kg Ålder 6 mån - 4 år UN regultion no. R129 i-size 8 9 Tck för tt du vlde

Läs mer

MEDIA PRO. Introduktion BYGG DIN EGEN PC

MEDIA PRO. Introduktion BYGG DIN EGEN PC BYGG DIN EGEN PC MEDIA PRO Introduktion Dett är Kjell & Compnys snguide till hur Dtorpketet MEDIA PRO monters. Att ygg en dtor är idg myket enkelt oh kräver ingen tidigre erfrenhet. Det ehövs ing djupgående

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

Skogstorp i framtiden

Skogstorp i framtiden I SKOGSTORP www.skogstorp.om/soildemokrtern Skogstorp i frmtiden Redovisning v enkät genomförd under perioden Novemer- Deemer 2005. 1. Tyker Du liksom fler v oss tt det ehövs yggs en förifrt utnför skogstorp?

Läs mer

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ORTONORMERADE BASER I PLAN D OCH RUMMET 3D ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Vi säger tt en bs i rummet e r, e r, e r z e r,

Läs mer

Sammanfattning, Dag 9

Sammanfattning, Dag 9 Smmnfttning, Dg 9 Idg studerde vi begrepp sklärprudokt (eller innerprodukt), norm och ortogonlitet på ett llmänt vektorrum. Vi börjde med en kort repetition på smm begrep för vektorrummet R 3. I rummet

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))

Läs mer

Finita automater, reguljära uttryck och prefixträd. Upplägg. Finita automater. Finita automater. Olika finita automater.

Finita automater, reguljära uttryck och prefixträd. Upplägg. Finita automater. Finita automater. Olika finita automater. Finit utomter, reguljär uttryck och prefixträd Algoritmer och Dtstrukturer Mrkus Sers mrkus.sers@lingfil.uu.se Upplägg Finit utomter Implementtion Reguljär uttryck Användningr i Jv Alterntiv till inär

Läs mer

AUBER 95 9 jan LÖSNINGAR STEG 1:

AUBER 95 9 jan LÖSNINGAR STEG 1: AUBER 95 9 jn AR. Den finit utomten nedn ccepterr ett språk L över = {, }. A B ε Konstruer ) ett reguljärt uttryck för L. ) L = ( ( ) ) = ( ) ) en reguljär grmmtik för L S A S A c) en miniml DFA för L.

Läs mer

Programmeringsguide ipfg 1.6

Programmeringsguide ipfg 1.6 Progrmmeringsguide ipfg 1.6 Progrmmeringsklr i-ört pprter (CIC, knl, fullonh) Progrmmeringsklr kom-ört pprter CS-44 Phonk-version Progrmmeringsklr miropprter CS-44 Phonk-version 1 2 1 2 1 2 ipfg 1.6 stndrd

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det

Läs mer

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13 LINKÖPINGS UNIVERSITET Mtemtisk Institutionen Jokim Arnlind Tentmen i Anlys B för KB/TB (TATA9/TEN 5-6- kl 8 3 Ing hjälpmedel är tillåtn. Vrje uppgift kn ge mximlt 3 poäng. Betygsgränser: 8p för etyg 3,

Läs mer

TENTAMEN. Matematik för basår I. Massimiliano Colarieti-Tosti, Niclas Hjelm & Philip Köck :00-12:00

TENTAMEN. Matematik för basår I. Massimiliano Colarieti-Tosti, Niclas Hjelm & Philip Köck :00-12:00 Kursnummer: Moment: Progrm: Rättnde lärre: TENTAMEN HF00 Mtemtik för bsår I TENA / TEN Tekniskt bsår Mssimilino Colrieti-Tosti, Nicls Hjelm & Philip Köck Nicls Hjelm 0-0-6 08:00-:00 Emintor: Dtum: Tid:

Läs mer

1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1

1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1 UPPSALA UNIVERSITET Svr till tent i mtemtik Mtemtisk institutionen Anlys MN Distns Jons Elisson 7-- Skrivtid: - 5. Observer tt problemen inte står i svårighetsordning. All svr sk motivers. Det kn krävs

Läs mer

Internetförsäljning av graviditetstester

Internetförsäljning av graviditetstester Internetförsäljning v grviditetstester Mrkndskontrollrpport från Enheten för medicinteknik 2010-05-28 Postdress/Postl ddress: P.O. Box 26, SE-751 03 Uppsl, SWEDEN Besöksdress/Visiting ddress: Dg Hmmrskjölds

Läs mer

Nya regler för plåtbalkar-eurokod 3-1-5

Nya regler för plåtbalkar-eurokod 3-1-5 Bernt Johnsson 008-0-5 Ny regler för plåtlkr-eurokod --5 Bkgrund Med plåtlk mens en lk som är uppyggd v smmnsvetsde plåtr på engelsk plted structure. Plåtlkr nvänds när vlsde lkr inte räcker till eller

Läs mer

Tyngdkraftfältet runt en (stor) massa i origo är. F(x, y, z) =C (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2

Tyngdkraftfältet runt en (stor) massa i origo är. F(x, y, z) =C (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 Nr 7, pril -, Ameli 7 Linjeintegrler 7. Idéer och smmnhng I en enkelintegrl summers värden v en funktion v en vriel f() längs ett visst intervll. I en duelintegrl summers värden v en funktion v två vriler

Läs mer

SPEL OM PENGAR FÖR - EN FRÅGA FÖR SKOLAN? VERKTYG, ÖVNINGAR OCH KUNSKAPSBANK FÖR ARBETE MED SPEL OM PENGAR I SKOLAN

SPEL OM PENGAR FÖR - EN FRÅGA FÖR SKOLAN? VERKTYG, ÖVNINGAR OCH KUNSKAPSBANK FÖR ARBETE MED SPEL OM PENGAR I SKOLAN Övningr och verktyg för år 7-9 och gymnsiet SPEL OM PENGAR - EN FRÅGA FÖR SKOLAN? ANPASSAT FÖR BLAND ANNAT SVENSKA, SPEL I KONSTHISTORIEN BILD, MATEMATIK OCH SAMHÄLLSKUNSKAP IILLEGALT SPEL VERKTYG, ÖVNINGAR

Läs mer

Allmän information (1 av 1)

Allmän information (1 av 1) ASI Uppföljning ASI Uppföljning är en stndrdintervju för uppföljning v personer i missruks- och eroendevård. Den nvänds för tt stämm v personens sitution och hjälpehov smt för uppföljning v instser. Intervjun

Läs mer

Campingpolicy för Tanums kommun

Campingpolicy för Tanums kommun 1(8) Cmpingpolicy för Tnums kommun 1. Bkgrund Strömstds och Tnums kommuner diskuterde gemensmt sin syn på cmpingverksmhetern i respektive kommun år 2003 och kunde då se ett stort behov v tt en likrtd syn

Läs mer

Datorernas matematik

Datorernas matematik Stockholms mtemtisk cirkel Dtorerns mtemtik Dniel Ahlsén Jor Bgge Institutionen för mtemtik, KTH och Mtemtisk institutionen, Stockholms universitet 2019 2020 Stockholms mtemtisk cirkel genom tidern (tidigre

Läs mer

Användande av formler för balk på elastiskt underlag

Användande av formler för balk på elastiskt underlag Användnde v formler för blk på elstiskt underlg Bilg 2 Sidn 1 v 1 Formler från [ ] hr nvänts i exelberäkningr för någr geometrier och någr lstfll. Dess exempel hr också beräknts med FEM för tt kontroller

Läs mer

Algebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger )

Algebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger ) Intrduktinskurs i mtemtik 1 v 5 Algerisk uttrk: Räknelgr: lgen distriutiv lgr ssitiv lgr kmmuttiv, Ptenser: 1 n L n gånger --------------------------------------- n udd tl, jämnt tl n, n n n 4 4.. ---------------------------------------

Läs mer

uppdrag: matte Gunnar Kryger Andreas Hernvald Hans Persson Lena Zetterqvist Mattespanarna

uppdrag: matte Gunnar Kryger Andreas Hernvald Hans Persson Lena Zetterqvist Mattespanarna uppdrg: mtte Gunnr Kryger ndres Hernvld Hns Perssn Len Zetterqvist Mttespnrn ISN 978-9-7-0- ndres Hernvld, Gunnr Kryger, Hns Perssn, Len Zetterqvist ch Liber re d k t i n Mirvi Unge Thrsén, Mri Österlund

Läs mer

Tentamen i Databasteknik

Tentamen i Databasteknik Tentmen i Dtsteknik lördgen den 22 oktoer 2005 Tillåtn hjälpmedel: Allt upptänkligt mteril Använd r frmsidn på vrje ld. Skriv mx en uppgift per ld. Motiver llt, dokumenter egn ntgnden. Oläslig/oegriplig

Läs mer

XIV. Elektriska strömmar

XIV. Elektriska strömmar Elektromgnetismens grunder Strömmens riktning Mn definierr tt strömmen går från plus (+) till minus (-). För tt få till stånd en ström måste mn. Spänningskäll 2. Elektriskt lednde ledningr 3. Sluten krets

Läs mer

Matematik för sjöingenjörsprogrammet

Matematik för sjöingenjörsprogrammet Mtemtik för sjöingenjörsprogrmmet Mtemtisk Vetenskper 29 ugusti 202 Innehåll Aritmetik och lger. Räkning med nturlig tl och heltl.................... Nturlig tl.......................... 2..2 Negtiv tl...........................

Läs mer

> VD har ordet: Frösunda satsar på anhörigfrågorna > Frösunda främjar kvinnors företagande i Indien > 5 frågor: Sofia Hägg-Jegebäck

> VD har ordet: Frösunda satsar på anhörigfrågorna > Frösunda främjar kvinnors företagande i Indien > 5 frågor: Sofia Hägg-Jegebäck > VD r ordet: Frösund stsr på nörigfrågorn > Frösund främjr kvinnors företgnde i Indien > 5 frågor: Sofi Hägg-Jegebäck APRIL 2015 Nyetsbld med ktuell informtion till dig som rbetr i Frösund. VD HAR ORDET

Läs mer

Operativsystemets uppgifter. Föreläsning 6 Operativsystem. Skydd, allmänt. Operativsystem, historik

Operativsystemets uppgifter. Föreläsning 6 Operativsystem. Skydd, allmänt. Operativsystem, historik Opertivsystemets uppgifter Föreläsning 6 Opertivsystem Opertivsystemets uppgifter Historik Skydd: in- oh utmtning, minne, CPU Proesser, tidsdelning Sidindelt minne, virtuellt minne Filsystem Opertivsystemet

Läs mer

definitioner och begrepp

definitioner och begrepp 0 Cecili Kilhmn & Jokim Mgnusson Rtionell tl Övningshäfte Avsnitt definitioner och egrepp DEFINITION: Ett rtionellt tl är ett tl som kn skrivs som en kvot melln två heltl och där 0. Mängden rtionell tl

Läs mer

MA002X Bastermin - matematik VT16

MA002X Bastermin - matematik VT16 MA00X Bstermin - mtemtik VT6 Något om trigonometri Mikel Hindgren februri 06 Cirkelns ekvtion Exempel Beräkn vståndet melln punktern (4, 6) och (, ). 7 6 5 4 d (, ) 4 = (4, 6) 6 = 4 4 5 6 Pythgors sts:

Läs mer

Långtidssjukskrivna. diagnos, yrke, partiell sjukskrivning och återgång i arbete. En jämförelse mellan 2002 och 2003 REDOVISAR 2004:7.

Långtidssjukskrivna. diagnos, yrke, partiell sjukskrivning och återgång i arbete. En jämförelse mellan 2002 och 2003 REDOVISAR 2004:7. REDOVISAR 2004:7 Långtidssjukskrivn dignos, yrke, prtiell sjukskrivning och återgång i rbete En jämförelse melln 2002 och 2003 Smmnfttning Kvinnor svrr för 65 procent v de långvrig sjukskrivningrn som

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8 Kurs plnering.se NpMC vt011 1(9) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 011 Krvgränser 4 Del I, 8 uppgifter utn miniräknre 5 Del II, 9 uppgifter med miniräknre 8 Förslg på lösningr

Läs mer

Några integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1

Några integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1 F r å g L u n d o m m t e m t i k Mtemtikcentrum Mtemtik NF Någr integrler Kjell Elfström Invers funktioner Om f är en funktion, och ekvtionen f() = till vrje V f hr en entdigt bestämd lösning D f, så

Läs mer

Matris invers, invers linjär transformation.

Matris invers, invers linjär transformation. Mtris invers, invers linjär trnsformtion. Påminnelse om mtris beräkningr: ddition, multipliktion med sklärer och mtrisprodukt Algebrisk egenskper hos mtrisddition och multipliktion med ett tl (Ly Sts..,

Läs mer

RÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER. LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER. ----------------------------------------------------------------- Låt u vr en vektor med tre koordinter u. Vi säger tt u är tredimensionell

Läs mer

Råd och hjälpmedel vid teledokumentation

Råd och hjälpmedel vid teledokumentation Råd och hjälpmedel vid teledokumenttion Elektrisk Instlltörsorgnistionen EIO Innehåll: Vd skiljer stndrdern åt När sk vilken stndrd nvänds Hur kn gmml och ny stndrd kominers Hur kn dokumenttionen förenkls

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00 Tentmen i Mtemtik, HF9 9 dec 6, kl. 8:-: Emintor: Armin Hlilovic Undervisnde lärre: Erik Melnder, Jons Stenholm, Elis Sid För godkänt betyg krävs v m poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs,

Läs mer

3 κappa Frågan. På R 4 definieras en produkt * på följande sätt: 1. x,y S och a,b R medför ax+by S. 2. x S och y R 4 medför x y S

3 κappa Frågan. På R 4 definieras en produkt * på följande sätt: 1. x,y S och a,b R medför ax+by S. 2. x S och y R 4 medför x y S Täljren Mtemtiskt dividernde Gunnr Lindholm gunnr @ tljren. se novemer 7 Täljren är en nästn måntlig skrift om mtemtik och mtemtikundervisning riktd till ll intresserde. Jg uppmnr läsrn tt hör v sig med

Läs mer

Listor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering.

Listor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering. 1 Introduktion till progrmmering SMD180 Föreläsning 8: Listor 2 Listor = generliserde strängr Strängr = sekvenser v tecken Listor = sekvenser v vd som helst [10, 20, 30, 40] # en list v heltl ["spm", "ungee",

Läs mer

Materiens Struktur. Lösningar

Materiens Struktur. Lösningar Mteriens Struktur Räkneövning 1 Lösningr 1. I ntriumklorid är vrje N-jon omgiven v sex Cl-joner. Det intertomär vståndet är,8 Å. Ifll tomern br skulle växelverk med Coulombväxelverkn oh br med de närmste

Läs mer

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013 TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment

Läs mer

Volum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3

Volum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3 Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Adms 7., 7., 7.3 Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Integrtion v rtionell uttryck, prtilbråksuppdelning. Exempel med invers substitutioner.

Läs mer

Grundläggande matematisk statistik

Grundläggande matematisk statistik Grundläggnde mtemtisk sttistik Diskret och kontinuerlig slumpvribler Uwe Menzel, 208 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@mtstt.de www.mtstt.de Diskret och kontinuerlig slumpvribler Slumpvribel (s.v.): vribel

Läs mer