Hur bildas svarta hål?

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Hur bildas svarta hål?"

Transkript

1 Örebro Uiversitet Akademi för aturveteskap och tekik Fysik C, 15 högskolepoäg Hur bildas svarta hål? Neutrostjäror, kaokodesatio och dess kosekveser och Miihål på jorde? Roja Höglud Aldri Hadledare: Fredrik Wallider Examiator: Peter Johasso Utförd: HT -08

2 Sammafattig Med utgågspukt frå de teoretiska bakgrude, defiitioe av svarta hål och deras geerella egeskaper har jag studerat villkor för bildadet av svarta hål frå döede sigulära stjäror. Superovaprocesse beskrivs tillsammas med hur eutrostjäror ka påverkas av destabiliserade mekaismer som t.ex. kaokodesatio. Olika observatioer samt alterativa teorier läggs fram som argumet och motargumet. Utifrå detta uderlag drar jag slutsatse att svarta hål ka existera i fler variater ä vad som hittills atagits, främst i form av s.k. lågmassiva svarta hål på 1,5-1,8 M sol. Vidare skildras möjlighete att producera mikroskopiska svarta hål i LHC-accelerator (Large Hadro Collider) i CERN, de kotroverser som omgärdar detta feome och de kuskaper som skulle kua vias frå kotrollerade observatioer av sådaa objekt. De geerella slutsatse här är det ofråkomliga mötet mella partikelfysik och astrofysik för att få tillgåg till de allra djupaste isiktera om det uiversum vi lever i. Abstract Buildig o the theoretical backgroud, defiitio of black holes ad their geeral characteristics, I have studied some coditios for the formatio of black holes from dyig sigular stars. The superova process is described alog with the ifluece o eutro stars by destabilisig mechaism such as kao codesatio. Various observatios as well as alterative theories are preseted for argumetatio. From this material I draw the coclusio that black holes ca exist i more varieties tha has bee previously assumed, foremost i the shape of low-massive black holes with masses betwee 1.5 ad 1.8 M su. Furthermore the possibility to produce microscopic black holes i the LHC accelerator (Large Hadro Collider) at CERN is portrayed, together with the cotroversies that curretly surroud this pheomeo ad the kowledge that could be wo from cotrolled observatios of such objects. The geeral coclusio here is the uavoidable meetig betwee particle physics ad astrophysics i order to access the deepest isights about the Uiverse we ihabit. 2

3 Iehåll Iledig... s.4 Hur bildas svarta hål?... s.4 Eisteis arv... s.5 Krökt rumtid och sigulariteter... s.6 Svarta hål... s.9 Kompakta objekt... s.12 Vita dvärgar... s.1 Neutrostjäror... s.17 Superovor... s.18 Kaokodesatio... s.22 Lågmassiva svarta hål kotra högmassiva svarta hål... s.2 Observatioer... s.25 Saduleak SN1987A... s.26 Observatioella resultat av eutrostjärors massa... s.27 Hyperoer och kvarkmateria alterativa teorier... s.28 Kvatmekaiska svarta hål på jorde?... s.29 Diskussio... s.2 Källor... s.4 Litteratur... s.4 Övrigt... s.4

4 Iledig Svarta hål tillhör ågra av de mest extrema feomee iom astrofysik. Med gravitatiosfält så starka att ite es ljuset ka udkomma har svarta hål kommit att spela e avgörade roll i flera feome, särskilt rötge- och gammastråligskällor och aktiva galaxkäror. Det valigaste sättet att upptäcka svarta hål är att observera biära system, där det svarta hålets ärvaro röjs geom dess iverka på si (oftast syliga) kompajo. På detta sätt har ma kuat idetifiera ett flertal svarta hål med massor omkrig 10 M sol. Udersökigar av Dopplerförskjutige i gasmol som går i baor ära galaxcetra har vidare avslöjat att ästa alla utvecklade galaxkäror iehåller ett s.k. supermassivt svart hål på M sol. Ma har ylige också upptäckt vad som skulle kua vara ett itermediärt svart hål på 500 M sol i galaxe M82 i stjärbilde Stora Björ. 1 Hur bildas svarta hål? Ma är idag allmät överes om att stellära svarta hål (~10 M sol ) bildas som ett slutstadium i massiva stjärors livscykler. När e stjäras termoukleära bräsle tar slut, kollapsar dess ire delar uder si ege gravitatio. Är stjära tillräckligt massiv, kommer de att kollapsa till ett svart hål. Dea process har föreslagits som e förklarig till gammastråligsutbrott. 2 E viktig faktor för bildadet av svarta hål är de maximala stabila massa hos de två mest käda kompakta objekte, vita dvärgar och eutrostjäror. Därför är processer som påverkar dessa objekts itera stabilitet av stort itresse att bekräfta eller demetera. Supermassiva svarta hål atas vara de drivade krafte i aktiva galaxer och kvasarer geom ackretio av materia i galaxkära. De tros ha bildats i sambad med galaxeras tillkomst i det uga uiversum. Det faktum att praktiskt taget alla observerade aktiva galaxer har höga rödförskjutigar talar för att ackreerade supermassiva svarta hål är e aturlig del av galaxeras utvecklig. 4 Ma har ylige börjat aväda sig av avacerade umeriska simulerigar för att ta fram modeller för hur sådaa svarta hål ka bildas; bl.a. geom ett ursprugligt frö (valigtvis e mycket massiv stjära som kollapsar till ett svart hål) som därefter ackreerar materia frå det omgivade mediet i galaxes cetrala delar, me också geom asamligar av gasmol och stjäror som kollapsar och smälter samma geom si ibördes gravitatio. Rödförskjutige hos de mest avlägsa kvasarera sätter e viktig gräs för hur tidigt ett supermassivt hål ka bildas och hur sabbt det måste växa för att motsvara observatioera. 5 1 Uiverse Eighth Editio, s.586, 591f 2 Se Superovor, s.18 Se Vita dvärgar, s.1; Neutrostjäror, s.17; Kaokodesatio, s.22 4 Uiverse Eighth Editio, s.626f; Astroomy A Physical Perspective, s.152, 70ff 5 Black hole formatio ad growth: simulatios i geeral relativity, s.9ff; Formatio of Supermassive Black Holes: Simulatios i Geeral Relativity 4

5 Ytterligare e typ av svarta hål, mikrohål, ka visa sig ha stor betydelse för att förstå kvatgravitatioes atur och de förhållade som råder på mycket små skalor. Detta har blivit särskilt uppmärksammat i sambad med de föreståede högeergiexperimete i LHC-accelerator (Large Hadro Collider) i CERN, där ma hävdar att mikrohål ka bildas iom ramara för vissa teorier. 6 Amärkig: Huvuddele av de här uppsatse hadlar om sigulära stjäror och uder vilka förhållade de ka bilda svarta hål. Närvaro av e kompajo i ett biärt system ädrar förutsättigara radikalt, eftersom massöverförig och förlust av gemesamma gashölje spelar e avgörade roll för hur stjärora i systemet utvecklas. Det tas ite upp i det här arbetet. Eisteis arv 1905 publicerade Albert Eistei de speciella relativitetsteori, som beskriver det tredimesioella rummet och de edimesioella tide som e sammahägade, fyrdimesioell rumtid. Bl.a. ledde de till flera uppseedeväckade förutsägelser om hur mätigar av avståd och tid påverkas av ett föremåls hastighet lägdkotraktio respektive tidsdilatatio och dessa har alla bekräftats i flera experimet. Teori ger äve upphov till de berömda eergiekvatioe E = mc 2, samt de oudvikliga regel att iget objekt som har massa helt ka uppå ljusets hastighet. 7 Ma ka åskådliggöra e fyrdimesioell rumtid geom att aväda e eklare tredimesioell modell. I dea är två av dimesioera rumskoordiater och de tredje är tidskoordiate. E lije i detta koordiatsystem kallas för världslije eller geodet ( geodesic ). Alla partiklar som rör sig geom rummet och tide ka på detta sätt beskrivas med geodeter. Ljushastighetes begräsig motsvaras av s.k. ljuskoer, vilka åskådliggör e ljusfrots (tvådimesioella) utbredig med tide. Varje ljusko har två riktigar, e förflute och e framtida. På så vis utgör varje ljusko e 6 Se Kvatmekaiska svarta hål på jorde?, s.26 7 Uiverse Eighth Editio, s.577ff; Black Holes ad Time Warps, ch.1 5

6 begräsig för vilka hädelser som ka påverka varadra i rumtide. Regel att e orsak ite får förekomma dess verka kallas kausalitet. Alla geodeter går geom varsi ljusko, me ige geodet ka gå utaför si ljusko det skulle iebära att de associerade partikel överskrider ljusets hastighet, vilket är omöjligt eligt relativitetsteori. E foto, som färdas kostat med ljusets hastighet, har alltid si geodet utmed ljuskoes kat. 8 Krökt rumtid och sigulariteter De speciella relativitetsteori är speciell för att de är specialiserad de tar ite häsy till acceleratioer, och i syerhet ite gravitatioe. Tio år efter si första publicerig preseterade Eistei de allmäa relativitetsteori, där dessa effekter tas med. Geom ekvivalespricipe kude Eistei fokusera på ett föremåls rörelse sarare ä de krafter som påverkar de. Resultatet är e rumtid som kröks av massiva objekts ärvaro, och gravitatioskrafte uppstår är föremål rör sig i aturliga baor lägs rumtide. Krökt rumtid förklarar bl.a. hur ljus böjs av, varför ljus rödförskjuts och klockor sackar efter i gravitatiosfält, varför Merkurius baa skiftar si positio och existese av gravitatiosvågor. Ovaståede feome har alla (direkt eller idirekt) påvisats geom observatioer och experimet. 9 8 Astroomy A Physical Perspective, s.14; Black Holes, s.24ff, Black Holes: A Geeral Itroductio, s. 9 Uiverse Eighth Editio, s.582ff; Astroomy A Physical Perspective, s ; Black Holes ad Time Warps, ch.2 6

7 Liksom i de speciella relativitetsteori ka rumtide beskrivas med ljuskoer. Ljuset följer fortfarade de kortaste baora, me eftersom rumtide ite lägre är rigid kommer ljuskoera att deformeras beroede på rumtides krökig. De speciella relativitetsteori gäller fortfarade lokalt; alla geodeter är hävisade till att gå geom ljuskoera. Ma ka göra sig e bättre bild av hur rumtid kröks i ärvaro av massiva objekt med hjälp av ibäddigsdiagram. De eklaste versioe är e krökt tvådimesioell yta i e tredimesioell volym, där ytas krökig motsvarar rumtides förvrägig. 10 De mest dramatiska förutsägelse är existese av sigulariteter i rumtide område där rumtide är så kraftigt krökt och gravitatioe så stark att igetig, ite es ljus, ka udkomma. E sigularitet är ett område i rumtide där ågo mätbar storhet blir oädlig. Strax efter att Eistei publicerade si allmäa relativitetsteori började de tyske matematiker Karl Schwarzschild att utarbeta e lösig för de ekvatioer som Eistei aväde för att beskriva rumtide. Resultatet blev Schwarzschildmetrike, som beskriver rumtide krig varje sfärisk, statisk kropp: 1 2 2M 2 2M ds = 1 dt + 1 dr + r dω. r r Här är dω 2 = dθ 2 + si 2 θ dφ 2. Gravitatioskostate G och ljushastighete c har satts som eheter, G = c = 1. Schwarzschild upptäckte att om e kropp är helt ieslute iaför e kritisk radie, Schwarzschildradie, går de observerade tidsdilatatioe mot oädlighete vid radie. De gravitatioella rödförskjutige hos emitterade fotoer i ett gravitatiosfält beror på tidsdilatatioe, vilket iebär att om e foto emitteras exakt frå Schwarz- 10 Black Holes ad Time Warps, s.126ff; Black Holes, s.46f, 161ff; Black Holes: A Geeral Itroductio, s., 17 7

8 schildradie blir fotoes rödförskjutig oädligt stor fotoe förlorar all si eergi i det svarta hålets gravitatiosfält och upphör att existera. Om fotoe emitteras iaför Schwarzschildradie kommer de aldrig att kua gå utaför radies utsträckig. Formel för gravitatioell rödförskjutig ges av λ 2 α = 2, λ 1 α 1 2M där α1 = 1 r 1 2M och α 2 = 1. r 2 Uttrycket för Schwarzschildradie ges av R S = 2M. (G och c är satta som eheter, G = c = 1.) Om r 1 = R S, så får vi α 1 = 0 och λ 2 =. Fotoe blir oädligt rödförskjute. Om r 1 < R S och r 2 > R S så får vi α 1 /α 2 < 0 och λ 2 blir icke-reell. Fotoe ka ite börja iaför Schwarzschildradie och sluta utaför. Ma ka se Schwarzschildradies iebörd i Schwarzschildmetrike ova. När r 2M, går uttrycket framför dr 2 mot oädlighete. Detta motsvarar e massiv kropp med så stark gravitatio att dess flykthastighet överstiger ljusets. Ett objekt med dea egeskap kallas för ett svart hål. 11 Äve om Schwarzschildradie ger upphov till e sigularitet i tidsdilatatioe (och retav kallades e sigularitet till att börja med) är just de sigularitete e beräkigsmiss. David Fikelstei visade i slutet av 50-talet att Schwarzschilds sigularitet kude udvikas geom ett aat val av koordiater, som i si tur ger e aa versio av Schwarzschildmetrike. Schwarzschildmetrike (i Schwarzschild-koordiater) ges av 1 2 2M 2 2M ds = 1 dt + 1 dr + r dω. (G = c = 1.) r r Vi iför Eddigto-Fikelstei-koordiater med koordiatbytet r v = t + r + 2M l 1. 2M På differetialform med avseede på t respektive r: dv = dt 11 Uiverse Eighth Editio, s.584f; Astroomy A Physical Perspective, s.148; Black Holes ad Time Warps, s.124, 11ff, 55; Black Holes, s.119f, 10; Black Holes: A Geeral Itroductio, s.6 8

9 dv = dr + dr r 2M 2M 1 = 1+ dr = r 2M r r 2M 2M dr = 1 r 1 dr Då får Schwarzschildmetrike följade utseede: 2M Ω r 2 = dv 2 dvdr r 2 d 2 ds. Därmed är de tidigare sigularitete elimierad. r = 2M är e koordiatsigularitet och är därför ite fysisk. De verkliga sigularitete, som ite ka elimieras med koordiatbyte, är de vid r = Det är de som hädaefter kommer att refereras till som sigularitet. Svarta hål I si eklaste form består ett svart hål av e hädelsehorisot som omger de cetrala sigularitete. Sigularitete är hålets bokstavliga mittpukt de pukt i vilke all massa hos det svarta hålet ligger samlad. I sigularitete är täthete och därmed gravitatioe oädligt stor och rumtide oädligt krökt. De här type av svarta hål kallas för Schwarzschild-hål. De defiieras ebart av si massa och har därför de eklaste hädelsehorisote; e exakt sfär med samma radie som Schwarzschildradie, cetrerad på sigularitete. Hädelsehorisote är ite ett fast skal uta sarare e täkt yta i rymde: det avståd frå sigularitete vid vilket rumtide blir så pass krökt att ite es ljus ka udkomma det svarta hålets gravitatio, vilket i grudfallet är detsamma som Schwarzschildradie. Beämige hädelsehorisot ( evet horizo ) kommer sig av termiologi i de allmäa relativitetsteori e hädelse defiieras i rumtide geom rummets tre koordiater och tidskoordiate, där ljusets hastighet sätter gräse för vilka hädelser som ka utbyta iformatio och därmed påverka varadra. (Se rumtidsdiagramme ova.) Eftersom ite es ljuset ka udkomma ett svart hål, ka iga hädelser skicka iformatio ut ur ett svart hål och hädelsehorisote blir bokstavlige talat e horisot bortom vilke iget ka uppfattas. Ett svart håls utsträckig i rymde defiieras av dess hädelsehorisot. 1 Det mist komplicerade sceariot för bildadet av ett svart hål är e sfärisk, massiv stjära som geomgår symmetrisk gravitatioell kollaps. I bilde eda visas ett rumtidsdiagram av förloppet, som också åskådliggör iebörde av ett svart håls hädelsehorisot. 12 Black Holes ad Time Warps, s.244f, 250; Black Holes, s.120f; Black Holes: A Geeral Itroductio, s.6ff 1 Uiverse Eighth Editio, s.592ff; Black Holes, s.126, 10 9

10 Rumtidsdiagram av e stjära som kollapsar till ett svart hål. Lågt ifrå det svarta hålet är rumtide i pricip platt; alla ljuskoer är riktade åt samma håll med samma toppvikel. Ju mer rumtide kröks av det svarta hålets gravitatio, desto mer deformerade blir ljuskoera de tippar över och trycks ihop. Utsäda ljusstrålar registreras med allt starkare fördröjig. Iaför hädelsehorisote är rumtide så pass krökt att samtliga ljuskoer är riktade i mot sigularitete varje geodet som passerar ett svart håls hädelsehorisot kommer oudviklige att dras i i sigularitete. De gravitatioella krökige ka beskrivas som att rumtide rör sig kotiuerligt iåt mot sigularitete. De oädliga rödförskjutige på Schwarzschildradie är e direkt kosekves av geometri krig hädelsehorisote. Trots att fotoera färdas kostat med ljusets hastighet kommer de ige vart på horisote rör sig rumtide mot det svarta hålets mittpukt med samma hastighet som ljusets! 14 Svarta hål ka också bildas i asymmetriska kollapser. Om stjära är starkt deformerad i det ögoblick hädelsehorisote uppstår kommer horisote att vara likaledes deformerad, me så sart stjära försvier iaför horisote har de ige iverka på rumtide utaför horisote lägre. Geom e serie vibratioer ( quasi-ormal modes ) avlägsas horisotes alla ojämheter och lämar det svarta hålet i form av gravitatiosvågor, svägigar i rumtide. 14 Black Holes ad Time Warps, s.249ff; Black Holes, s.128ff, 15; Black Holes: A Geeral Itroductio, s.5 10

11 Rumtidsdiagram av e godtycklig asymmetrisk kollaps. Till e börja är horisote starkt deformerad av de kollapsade stjära, me geom att säda ut gravitatiosvågor atar horisote sitt slutliga jämviktsläge. 15 De exakta villkore för att ett kollapsade objekt ska bli ett svart hål är äu oklara. Ett av de mer låglivade atagadea är de amerikaske fysiker Kip Thores hoop cojecture ett objekt som geomgår asymmetrisk kollaps bildar ett svart hål om och edast om e täkt ögla med objektets Schwarzschildradie ka placeras rut objektet och roteras. Med adra ord, edast är e kollapsade stjära är helt ieslute iaför Schwarzschildradie i alla riktigar har stjära blivit ett svart hål. Thore kude visa att detta gäller för sfärer, oädligt låga cylidrar och oädligt utbredda ytor. För oregelbuda kroppar med ädlig utsträckig är beräkigara betydligt mer ivecklade. Det har gjorts försök att omformulera Thores atagade på e mer exakt matematisk form, me iget defiitivt resultat har hittills framkommit. 16 Eftersom de allra flesta stjäror har ågo slags rotatio, faller det sig aturligt att ata att äve svarta hål ka rotera. De lösig av Eisteis fältekvatioer som gäller för roterade svarta hål upptäcktes 196 av de yzeelädske matematiker Roy Kerr. Dea modell, beämd Kerr-hål, är idag asedd som de mest realistiska. Kerrmetrike beskriver det slutliga jämviktstillstådet efter att det svarta hålet har bildats och alla störigar lämat systemet. På grud av rotatioe blir sigularitete ite e pukt uta e oädligt tu rig parallell med ekvatorialplaet och cetrerad lägs rotatiosaxel, och hädelsehorisote atar e mer elliptisk form, tillplattad vid polera. Det fis äve e adra hädelsehorisot mella de yttre horisote och sigularitete, e s.k. Cauchy-yta. Dea är dock extremt istabil och tas mycket sälla i beaktig vid realistiska astrofysiska sceario. 15 Black Holes ad Time Warps, s.281ff; Black Holes, s.147ff; Black Holes: A Geeral Itroductio, s.8f 16 Astroomy A Physical Perspective, s.148; Black Holes ad Time Warps, s.266ff; A Reformulatio of the Hoop Cojecture 11

12 Schematisk bild av ett Kerr-hål. Här visas också ergosfäre och de statiska gräse, vilka resulterar frå det svarta hålets iverka på rumtide är det roterar. Rumtide dras bokstavlige talat med av hädelsehorisote likt vatte i e malström, och iaför de statiska gräse är dea effekt så stark att ett objekt ite ka staa. Detta feome kallas koordiatmedsläpig. Ergosfäre har fått sitt am av att det är möjligt att utvia det svarta hålets rotatioseergi geom att föra objekt i särskilda baor iaför de statiska gräse ( Perose-processe ), vilket upptäcktes och bevisades 1969 av de brittiske matematiker Roger Perose. 17 Svarta hål ka beskrivas helt och hållet med tre parametrar: massa, rotatio och elektrisk laddig. All aa iformatio förs bort geom elektromagetisk strålig och gravitatiosvågor är de kollapsade stjära försvier iaför si hädelsehorisot. Dea egeskap kallas populärt att svarta hål har iget hår (mytat av de amerikaske fysiker Joh Wheeler i slutet på 60-talet). Geerellt brukar astrofysiker bortse frå laddig, eftersom ett svart hål med mätbar elektrisk laddig kommer att attrahera materia med motsatt laddig och därigeom eutraliseras förhålladevis sabbt. 18 Ma aser idag allmät att svarta hål bildas geom gravitatioell kollaps. Det är vad som sker är e stjära börjar uttömma sitt bräsleförråd och duka uder för si ege gravitatio, och därför är döede stjäror och de processer som försiggår i dem e viktig faktor för att förstå hur svarta hål ka uppstå. Kompakta objekt Svarta hål räkas till e särskild grupp av astroomiska objekt kallade kompakta objekt; hit hör äve vita dvärgar och eutrostjäror, vilka ases vara rester av åldrade stjäror. Både vita dvärgar och eutrostjäror har dock e gräs för hur massiva de ka bli, beroede på de fysikaliska processer som stabiliserar dem gravitatioellt. 17 Uiverse Eighth Editio, s.596; Astroomy A Physical Perspective, s.150; Black Holes ad Time Warps, s , 594; Black Holes, s.148, ; Black Holes: A Geeral Itroductio, s.10ff; The Kerr spacetime: A brief itroductio, s Uiverse Eighth Editio, s.594, 597; Black Holes ad Time Warps, s.28ff; Black Holes, s.156ff 12

13 Vita dvärgar Vita dvärgar är återstode av medeltuga stjäror (c:a 1-4 M sol ) och består huvudsaklige av kol och syre. Hos e vit dvärg har alla termoukleära processer avstaat och stjära lyser ebart geom de kvarvarade värme. Materie i e vit dvärgs ire är degeererad e kosekves av Paulis uteslutigspricip som säger att två elektroer ite ka ita samma kvatmekaiska tillståd. I e vit dvärg har materie så hög desitet att vidare kompressio skulle bryta mot Paulis pricip, vilket får de degeererade elektroera att utöva ett starkt tryck. Detta degeeratiostryck är oberoede av stjäras temperatur. 19 E elektros tillståd ka beskrivas med olika kvattal, bl.a. dess rörelsemägd (riktige på rörelsemägdsvektor) och spi (som ka vara riktat uppåt eller edåt), och Paulis pricip iebär att två elektroer ite ka ha exakt samma kvattal. Elektroe är e s.k. fermio, d.v.s. de har halvtalsspi ( h 2, h 2, 5h 2 o.s.v.). Degeeratioe uppkommer geom att elektroera geom uteslutigspricipe tvigas ita högre eergitillståd ä vad materialets temperatur atyder, geom att det ite fis plats i de lägre eergiivåera de är likaledes fyllda med elektroer. Ett sätt att åskådliggöra degeeratiostrycket är geom våg-partikeldualitete (postulerad av de Broglie på 20-talet), vilket iebär att e kvatmekaisk partikel som elektroe ka uppvisa vågegeskaper. E degeererad elektro som stägs i i e mycket lite volym ka likas vid ett kvatmekaiskt vågpaket som då tvigas ha e kort våglägd (aars skulle partikel ha e större utsträckig ä volyme de är istägd i!). Det motsvaras av höga eergier (E = hf), så elektroe måste ata ett högt eergitillståd. Detta iebär i si tur att elektroe ka ha höga hastigheter (E k = mv 2 /2). 20 Ma ka också beskriva degeeratiostrycket utifrå Heisebergs osäkerhetspricip, e kvatmekaisk egeskap som iebär att det alltid fis e osäkerhet i e kvatpartikels positio respektive rörelsemägd i e give riktig. Dessa beror på varadra eligt x p h, där h = h 2π. I degeererad materia är elektroera tätt packade; de har lite osäkerhet i positioe x. Detta motsvaras av e stor osäkerhet i rörelsemägde p, som i si tur iebär att elektroera ka ha höga hastigheter (v = p/m) vilket orsakar det höga trycket. Neda beskrivs hur ma ka härleda ett uttryck för degeeratiostrycket i e elektrogas. 19 Uiverse Eighth Editio, s.504, 506, 51; Black Holes ad Time Warps, s.146ff 20 Uiversity Physics, s.91f; Black Holes, s.72ff 1

14 E täkt volym iehåller e elektrogas med kocetratioe e elektroer per volymehet [m - ], där elektroera har hastighete v x [m s -1 ] i x-led. Atalet elektroer som träffar volymes vägg per sekud och areaehet är e v x [s -1 m -2 ]. Varje elektro har e rörelsemägd, och de totala rörelsemägde som överförs till vägge per sekud och areaehet blir e v x p x. Detta är iget midre ä trycket mot vägge frå elektrogase [kg m s -1 s -1 m -2 = kg m -1 s -2 = kg m s -2 m -2 = N m -2 ], så vi har P = v p. ( ) e x x Kocetratioe e ka också uttryckas som att det fis e elektro per delvolym 1/ e. Sida på varje såda delvolym är (1/ e ) 1/, så det geomsittliga avstådet mella elektroera ka sättas till 1 x =. e För ett givet x har vi ett motsvarade p, p h. x Om vi atar att de geomsittliga rörelsemägde p x är i samma storleksordig som dess osäkerhet, får vi p h =. x 1 x h e Hastighete hos varje elektro är dess rörelsemägd delat med massa, p x v x =, me och alltihop isatt i ( ) blir 2 x e 5 e p 2 P = evx px = e =h. ( ) m m e Ma ka vidare uttrycka P med totala desitete ρ istället för elektrokocetratioe. Varje atomkära har Z protoer (Z = atomumret) som balaseras av lika måga elektroer i e eutral atom, så om kocetratioe av po- 14

15 sitiva joer i e eutral gas är Z måste elektrokocetratioe vara e = Z Z [m - ]. Varje positiv jo har massa Am p (A = massumret, atalet protoer + atalet eutroer) om ma bortser frå skillade mella protomassa och eutromassa. De totala desitete ρ [kg m - ] i gase blir då summa av protodesitete och elektrodesitete, ρ = Am + m Am. p Z e e p Z Här har vi bortsett frå elektromassa i förhållade till protomassa (som är ästa tuse gåger större). Förhålladet mella e och Z ges som ova av e = Z Z, eller Z = e /Z. Isättig ger ρ = A m p e, där vi ka bryta ut e till Z e Z ρ =. A m p Isättig i ( ) ger u P deg = e h Z ρ h. m e = m e A m p E aalys av storhetera visar att uttrycket ova är korrekt: (J s) 2 kg / (kg m - kg -1 ) 5/ = = J 2 s 2 kg -1 m -5 = = (N m) 2 s 2 kg -1 m -5 = = (kg m 2 s -2 ) 2 s 2 kg -1 m -5 = = kg 2 m 4 s -4 s 2 kg -1 m -5 = = kg m -1 s -2 = = kg m s -2 m -2 = = N m -2 Trycket beror på protokocetratioe Z/A i gasatomera och på gases desitet ρ, me ite på temperature som i e ideal gas. Detta är karakteristiskt för e degeererad gas. (Det här är bara e uppskattig. E mer detaljerad beräkig ger ett resultat som är c:a 2 gåger större ä detta.) 21 På grud av relativistiska effekter ka trycket ite bli hur högt som helst. De högsta massa som trycket hos degeererade elektroer ka upprätthålla i e vit dvärg är 1,44 M sol och beäms Chadrasekhars gräs, eller Chadrasekharmassa. 22 Ju mer elektroera komprimeras, desto högre blir deras möjliga rörelsemägd och därmed hastigheter. När de börjar ärma sig ljusets hastighet träder relativistiska effekter i, vilka bl.a. leder till att materie blir midre motstådskraftig mot vidare komprimerig. Såda materia kallas relativistiskt 21 Astroomy A Physical Perspective, s.186ff; Formatio ad Evolutio of Black Holes i the Galaxy, s Uiverse Eighth Editio, s.52; Black Holes, s.75 15

16 degeererad. Framförallt gör ljushastighetes begräsig att det fis ett maximalt tryck som degeererade elektroer ka utöva, eftersom det fis e maximal hastighet och därmed rörelsemägd som de ka ha. 2 Vi återgår till uttrycket för rörelsemägd, p 1 x h e =. Eftersom elektroera är relativistiska ka vi ite lägre aväda uttrycket för hastighete, v x = p x /m e. För att fia det maximala degeeratiostrycket sätter vi v x = c och får P max = v p e x x Z ρ = h ce = hc. A m p (Återige är det här e uppskattig. E mer detaljerad beräkig lägger till e faktor 0,8 i högerledet ova.) Gravitatioe ger upphov till ett cetraltryck i de vita dvärge som ges av 2 GM P C =. 4 R För att stjära ska befia sig i hydrostatisk jämvikt måste detta tryck balaseras av ågot aat tryck, t.ex. degeeratiostrycket. Vi sätter ρ = M/(4πR ) och P max = P C och får Z M 1 GM 0,8h c =, 4 A 4 R m π p R vilket ka reduceras till M = 0,8 2 hc G 2 Z A 2 4π m p 2. Detta är de maximala massa som degeererade elektroer ka stabilisera. Med alla värde isatta i uttrycket ova (vi atar Z/A = 0,5 för e vit dvärg beståede av kol och syre) får ma M 0,02 M sol. Detta värde är över 70 gåger midre ä Chadrasekharmassa, 1,44 M sol, me så har vi heller ite tagit häsy till variatioer i tryck och desitet med avseede på avstådet till de vita dvärges cetrum. 24 Desitete i e vit dvärg är så hög att alla atomära strukturer löses upp och elektroera rör sig fritt mella atomkärora. Äve vid extrem degeeratio är materie i e vit dvärg dock ite maximalt komprimerad; avståde mella atomkärora är fortfarade så pass stora i förhållade till deras storlek att de uppför sig som molekyler i e ideal gas, trots att elektroera har packats så tätt det går Black Holes ad Time Warps, s.149ff 24 Astroomy A Physical Perspective, s Black Holes, s.75 16

17 17 Neutrostjäror Neutrostjäror bildas av stjäror på över 8 M sol. E eutrostjära består ästa helt av eutroer, som amet atyder. Liksom i e vit dvärg har alla termoukleära processer avstaat, och stjäras strålig geereras av de kvarvarade värme. Neutroer lyder också uder Paulis pricip och utövar därmed ett degeeratiostryck vid stark komprimerig. De främsta skillade mot e vit dvärg är att täthete är måga gåger högre i e eutrostjära är materie så sammapressad att elektroer och protoer har smält samma till eutroer och desitete är jämförbar med de i e atomkära. 26 (Desitete i e vit dvärg är i storleksordige 10 6 g/cm ; de i e eutrostjära är över g/cm, 10 8 gåger större!) Vi ka göra e likade uppskattig av degeeratiostrycket i e eutrostjära som vi gjorde för e vit dvärg. Motsvarighete till ( ) är x x x m m p p v P =h = =. Eftersom hela stjära består av eutroer ka vi uttrycka desitete ρ som = m ρ, där vi ka bryta ut till m ρ =. Isättig ger m m P ρ h =h =. (Som ova får vi lägga till e faktor 2 för att uttrycket ska motsvara de mer detaljerade härledige.) Nu ka vi göra e kvalitativ jämförelse mella degeeratiostrycket i e vit dvärg och dito i e eutrostjära = = = = wd s e wd p s e p wd e s p wd e s wd s m m m m m m m m m A Z m m P P ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ h h 26 Uiverse Eighth Editio, s.556;

18 Här har vi atagit att Z/A är av storleksordige 1 samt att skillade mella proto- och eutromassa är försumbar. Med m e /m 10 - och ρ s /ρ wd 10 8 får vi P s /P wd 10 10! (Som i e vit dvärg varierar desitete och trycket med avstådet till eutrostjäras mitt, varför ovaståede härledig är e approximatio som bäst.) 27 Förutom degeeratioseffekte påverkas eutroer också av de starka kärkrafte, de kraft som håller samma atomkäror. (E eutrostjära hålls dock samma av gravitatioe sarare ä kärkrafter.) De starka kärkrafte är attraherade vid vardagliga tätheter, me i e eutrostjära är desitete så hög att kärkrafte blir repulsiv. På detta sätt ka eutroers degeeratiostryck förstärkas ytterligare. 28 Äve här sätter relativistiska effekter e gräs för hur stor massa som eutrodegeeratiostrycket ka upprätthålla. De maximala massa för eutrostjäror kallas Tolma-Oppeheimer-Volkoff-gräse, efter de tre fysiker som i slutet av 0-talet tillsammas bevisade existese av e såda massgräs och tog fram de ekvatioer som bestämmer de. Deras första beräkigar gav e övre massgräs på 0,7 M sol ; seda dess har otaliga förbättrigar gjorts, främst vad gäller tillstådsekvatioe för eutromateria vid extrema desiteter (som äu ite bestämts etydigt). De mest realistiska beräkigara hittills ger e massgräs på 1,5-,0 M sol, med ett allmät accepterat itervall på 2- M sol. 29 Eftersom ma idag ite käer till ågo starkare kraft som skulle kua hejda gravitatioskrafte, är det rimligt att ata att ett kompakt objekt med tillräckligt stor massa kommer att kollapsa till ett svart hål. Superovor E stjära som sole fusioerar väte till helium uder huvudserie och därefter helium till kol och syre som e röd jätte ( red giat stage ). När dess cetrala delar fyllts med degeererat kol geomgår de e serie massutkastigar tills edast kära återstår, vilke utvecklas till e vit dvärg. Stjäror större ä 4 M sol är tillräckligt massiva för att fusioera kol till tygre grudäme. Stjäror mella 4 och 8 M sol ases idag geomgå massutkastig och bli vita dvärgar. Frå 12 M sol och uppåt uppår de cetrala delara så högt tryck och temperatur att stjära geomgår e hel serie fusiosprocesser med successivt tygre grudäme tills e cetral kära av eutralt jär ( 56 Fe) uppstår, omgive av lager av material frå tidigare fusiosprocesser. 56 Fe är det mest stabila grudämet och det krävs ett tillskott av eergi för att smälta samma järatomer till äu tygre grudäme eller bryta upp (fissio) till lättare. 27 Uiverse Eighth Editio, s.56; Astroomy A Physical Perspective, s.197ff; Black Holes, s.110f 28 Black Holes ad Time Warps, s.169, Uiverse Eighth Editio, s.572; Astroomy A Physical Perspective, s.206; Black Holes ad Time Warps, s.19ff, 200ff; Black Holes, s.111f; O Massive Neutro Cores; The maximum mass of a eutro star 18

19 Schematisk bild av strukture i e massiv stjäras cetrum efter att de har lämat huvudserie. När bräslet i de iersta delara har förbrukats, trycks kära ihop och dess temperatur stiger tills fusiosproduktera ka starta fusio i si tur. På så sätt byggs lager av successivt tygre grudäme upp. Fusiosprocessera fortgår i varje lager och tillför ytt material iåt, vilket mågdubblar stjäras lumiositet och får de att svälla upp till e superjätte. De iersta järkära är iaktiv, eftersom järatomeras stabilitet ite tillåter att eergi frigörs geom fusio. Protoera och eutroera i e atomkära bids till varadra geom de starka kärkrafte. Bidigseergi är de eergi som måste tillföras för att fullstädigt upplösa atomkära i dess bestådsdelar. Diagram över förhålladet mella bidigseergi i MeV (per ukleo) och masstal A hos de aturligt förekommade grudämea. Ju högre bidigseergi, desto mer stabil är atomkära. Notera toppe efter A = Järkära byggs på av yproducerat jär frå de omgivade lagre tills dess Chadrasekharmassa överskrids (1,2-1,5 M sol ) och degeeratiostrycket övervis. Därefter kollapsar kära sabbt uder si ege gravitatio. De eergi som frigörs i kollapse absorberas geom elektroifågig och dissociatioer i järatomera, vilket får kollapse att accelerera. 0 Uiverse Eighth Editio, s.5, 55f; Astroomy A Physical Perspective, s.160,

20 När järkära kollapsar frigörs e del av dess gravitatioella eergi (de potetiella bidigseergi som fis lagrad i käras material geom dess ege gravitatio). Eergi, som främst frigörs som högeergifotoer, absorberas av järatomera vilka därigeom bryts upp till lättare grudäme detta kallas fotodisitegratio. Kosekvese blir att järkära ite ka stabiliseras, eftersom de eergi som aars skulle ha kuat öka dess temperatur och därmed det termiska trycket förbrukas geom fotodisitegratioe. Iom ågo tiodels sekud är järkära tillräckligt komprimerad för att elektroer och protoer ska kua smälta samma till eutroer geom elektroifågig, e + p +ν. Elektroifågige producerar stora mägder eutrier som strömmar ästitill fritt geom de omgivade materie och därigeom för bort äu mer eergi. När desitete i de iersta delara överskrider g/cm blir materie opak för eutrier eutriera stägs i i de kollapsade järkäras ire delar ( eutrio trappig ). Dock ka ite deras eergi bidra till att hejda kollapse; istället späder de ut elektroiehållet ytterligare, vilket säker degeeratiostrycket. Chadrasekharmassa är u ärmare 0,88 M sol och represeterar de sammahägade cetrala massa som ka kollapsa som e ehet. Till slut uppår de iersta delara ukleär desitet, ugefär g/cm, och omvadlas till ukleär materia ( uclear matter ); atomera smälter samma uder gravitatioes tryck till e gigatisk atomkära beståede huvudsaklige av eutroer. Vid 20

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik Föreläsig 3 732G04: Surveymetodik Dages föreläsig Obudet slumpmässigt urval (OSU) Populatiosparametrar och stickprovsstatistikor Vätevärdesriktighet Ädliga och oädliga populatioer Medelvärde, adel Kofidesitervall

Läs mer

Torsdag 16 oktober: Klassisk fysik- Modern Fysik -Teknologi (Arne)

Torsdag 16 oktober: Klassisk fysik- Modern Fysik -Teknologi (Arne) Torsdag 16 oktober: Klassisk fysik- Moder Fysik -Tekologi (Are) Iledig I slutet av 1800-talet existerade ett flertal experimetella fakta, som ej kude förklaras med de s.k. Klassiska Fysike. Flera av dessa

Läs mer

Lektion 3 Kärnan Bindningsenergi och massdefekt

Lektion 3 Kärnan Bindningsenergi och massdefekt Lektio 3 Kära Bidigseergi och assdefekt Några begre och beteckigar Nuklid Nukleo Isotoer Isobarer Masstal A Atouer Z E ato ed ett bestät atal rotoer och eutroer. Beteckas ofta A ed skrivsättet Z Xx där

Läs mer

Borel-Cantellis sats och stora talens lag

Borel-Cantellis sats och stora talens lag Borel-Catellis sats och stora tales lag Guar Eglud Matematisk statistik KTH Vt 2005 Iledig Borel-Catellis sats är e itressat och avädbar sats framför allt för att bevisa stora tales lag i stark form. Vi

Läs mer

Introduktion till statistik för statsvetare

Introduktion till statistik för statsvetare "Det fis iget så praktiskt som e bra teori" November 2011 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag Stora tales lag ger att är slumpvariablera X i är oberoede, med e och samma

Läs mer

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet?

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet? Statistisk aalys Vilka slutsatser ka dras om populatioe med resultatet i stickprovet som grud? Hur säkra uttalade ka göras om resultatet? Mats Guarsso Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 83 Exempel

Läs mer

Tentamen 19 mars, 8:00 12:00, Q22, Q26

Tentamen 19 mars, 8:00 12:00, Q22, Q26 Avdelige för elektriska eergisystem EG225 DRIFT OCH PLANERING AV ELPRODUKTION Vårtermie 25 Tetame 9 mars, 8: 2:, Q22, Q26 Istruktioer Skriv alla svar på det bifogade svarsbladet. Det är valfritt att också

Läs mer

Kompletterande kurslitteratur om serier

Kompletterande kurslitteratur om serier KTH Matematik Has Thuberg 5B47 Evariabelaalys Kompletterade kurslitteratur om serier I Persso & Böiers.5.4 itroduceras serier, och serier diskuteras också i kapitel 7.9. Ia du läser vidare här skall du

Läs mer

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065, HT-15 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik Sammafattig, del I G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 2 oktober 2013 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2Ioktober

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035 Tetame i Flervariabelaalys F/TM, MV35 8 3 kl. 8.3.3. Hjälpmedel: Iga, ej räkedosa. Telefo: Oskar Hamlet tel 73-8834 För godkät krävs mist 4 poäg. Betyg 3: 4-35 poäg, betyg 4: 36-47 poäg, betyg 5: 48 poäg

Läs mer

Linköpings tekniska högskola IKP/Mekaniksystem Mekanisk värmeteori och strömningslära. Exempeltentamen 3. strömningslära, miniräknare.

Linköpings tekniska högskola IKP/Mekaniksystem Mekanisk värmeteori och strömningslära. Exempeltentamen 3. strömningslära, miniräknare. Exempeltetame 3 (OBS! De a te ta m e ga vs i a ku rse delvis bytte i eh å ll. Vis s a u ppgifter s om i te lä gre ä r a ktu ella h a r dä rför ta gits bort, vilket m edför a tt poä gs u m m a ä r < 50.

Läs mer

7 Sjunde lektionen. 7.1 Digitala filter

7 Sjunde lektionen. 7.1 Digitala filter 7 Sjude lektioe 7. Digitala filter 7.. Flera svar Ett lijärt tidsivariat system ka karakteriseras med ett flertal svar, t.ex. impuls-, steg- och amplitudsvare. LTI-system ka ju äve i de flesta fall beskrivas

Läs mer

Jag läser kursen på. Halvfart Helfart

Jag läser kursen på. Halvfart Helfart KOD: Kurskod: PC106/PC145 Kurs 6: Persolighet, hälsa och socialpsykologi (15 hp) Datum: 3/8 014 Hel- och halvfart VT 14 Provmomet: Socialpsykologi + Metod Tillåta hjälpmedel: Miiräkare Asvarig lärare:

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I G. Gripeberg Mägder och logik Relatioer och fuktioer Aalto-uiversitetet oktober 04 Kombiatorik etc. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret

Läs mer

SveTys. Affärskultur i Tyskland. Vad är det? Och vad ska jag tänka på?

SveTys. Affärskultur i Tyskland. Vad är det? Och vad ska jag tänka på? SveTys Affärskultur i Tysklad Vad är det? Och vad ska jag täka på? 2 Affärskultur i Tysklad Vad är det? Och vad ska jag täka på? 2008 SveTys, Uta Schulz, Reibek 3 Iledig När ma gör affärer i Tysklad eller

Läs mer

Inledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan

Inledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan Iledade matematisk aalys TATA79) Hösttermie 016 Föreläsigs- och lekiospla Föreläsig 1 Logik, axiom och argumet iom matematik, talbeteckigssystem för hetal, ratioella tal, heltalspoteser. Lektio 1 och Hadledigstillfälle

Läs mer

Konsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkning av färdigförpackade varor

Konsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkning av färdigförpackade varor Kosoliderad versio av Styrelses för ackrediterig och tekisk kotroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkig av färdigförpackade varor Rubrike har dea lydelse geom (STAFS 2008:11) Ädrig iförd: t.o.m.

Läs mer

Räkning med potensserier

Räkning med potensserier Räkig med potesserier Serier (termiologi fis i [P,4-4]!) av type P + + + + 4 +... k ( om < ) k + + + + P 4 4 +... k k! ( e för alla ) k och de i [P, sid.9, formler 7-] som ärmast skulle kua beskrivas som

Läs mer

god stiftelsepraxis www.saatiopalvelu.fi

god stiftelsepraxis www.saatiopalvelu.fi god stiftelsepraxis SÄÄTIÖIDEN JA RAHASTOJEN NEUVOTTELUKUNTA RY DELEGATIONEN FÖR STIFTELSER OCH FONDER RF www.saatiopalvelu.fi 1 Cotets God stiftelsepraxis 1 Iledig 3 2 God stiftelsepraxis 3 Stipedier

Läs mer

Design mönster. n n n n n n. Command Active object Template method Strategy Facade Mediator

Design mönster. n n n n n n. Command Active object Template method Strategy Facade Mediator Desig möster Desig möster Commad Active object Template method Strategy Facade Mediator Commad Ett av de eklaste desig möstre Me också mycket avädbart Ett grässitt med e metod Comm ad do()

Läs mer

Örserumsviken. Förorenade områden Årsredovisning. Ansvar för sanering av förorenade områden. Årsredovisningslagen och god redovisningssed

Örserumsviken. Förorenade områden Årsredovisning. Ansvar för sanering av förorenade områden. Årsredovisningslagen och god redovisningssed Föroreade område Årsredovisig Örserumsvike Birgit Fleig Auktoriserad revisor Sustaiability Director birgit.fleig@se.ey.com 19 september 2005 1 2 Årsredovisigslage och god redovisigssed Föroreade område

Läs mer

Enkel slumpvandring. Sven Erick Alm. 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) 2 Apan och stupet 3 2.1 Passagesannolikheter... 3 2.2 Passagetider...

Enkel slumpvandring. Sven Erick Alm. 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) 2 Apan och stupet 3 2.1 Passagesannolikheter... 3 2.2 Passagetider... Ekel slumpvadrig Sve Erick Alm 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) Iehåll 1 Iledig 2 2 Apa och stupet 3 2.1 Passagesaolikheter............................... 3 2.2 Passagetider....................................

Läs mer

Allmänna avtalsvillkor för konsument

Allmänna avtalsvillkor för konsument Godkäare 7.2 Kudakuta Godkät Kommuikatio Distributio Kudservice Kommuikatio, deltagade och samråd Allmäa avtalsvillkor för kosumet för leveras av fjärrvärme Allmäa avtalsvillkor för kosumet för leveras

Läs mer

Bilaga 1 Formelsamling

Bilaga 1 Formelsamling 1 2 Bilaga 1 Formelsamlig Grudbegre, resultatlaerig och roduktkalkylerig Resultat Itäkt - Kostad Lösamhet Resultat Resursisats TTB Täckigsgrad (TG) Totala itäkter TB Säritäkt Divisioskalkyl är de eklaste

Läs mer

Geometriska summor. Aritmetiska summor. Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som. Geometriska talföljder kallar vi talföljder som

Geometriska summor. Aritmetiska summor. Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som. Geometriska talföljder kallar vi talföljder som Aritmetiska summor Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som, 4, 6, 8, 10, 1, 14, 000, 1996, 199, 1988, 0.1, 0., 0.3, 0.4, för vilka differese mella på varadra följade tal kostat. Aritmetiska summor

Läs mer

Webprogrammering och databaser. Begrepps-modellering. Exempel: universitetsstudier Kravspec. ER-modellen. Exempel: kravspec forts:

Webprogrammering och databaser. Begrepps-modellering. Exempel: universitetsstudier Kravspec. ER-modellen. Exempel: kravspec forts: Webprogrammerig och databaser Koceptuell datamodellerig med Etitets-Relatiosmodelle Begrepps-modellerig Mål: skapa e högivå-specifikatio iformatiosiehållet i database Koceptuell modell är oberoede DBMS

Läs mer

a utsöndring b upptagning c matspjälkning d cirkulation

a utsöndring b upptagning c matspjälkning d cirkulation I levade varelser bryts stora och sammasatta molekyler ed till små och ekla molekyler. Vad kallas dea process? S02_01 a utsödrig b upptagig c matspjälkig d cirkulatio S042009 Kalle hade ifluesa. Ha spelade

Läs mer

Sydkraft Nät AB, Tekniskt Meddelande för Jordningsverktyg : Dimensionering, kontroll och besiktning

Sydkraft Nät AB, Tekniskt Meddelande för Jordningsverktyg : Dimensionering, kontroll och besiktning ydkraft Nät AB, Tekiskt Meddelade för Jordigsverktyg : Dimesioerig, kotroll och besiktig 2005-04-26 Författare NUT-050426-006 Krister Tykeso Affärsområde Dokumettyp Dokumetam Elkrafttekik Rapport 1(6)

Läs mer

F10 ESTIMATION (NCT )

F10 ESTIMATION (NCT ) Stat. teori gk, ht 2006, JW F10 ESTIMATION (NCT 8.1-8.3) Ordlista till NCT Iferece Parameter Estimator Estimate Ubiased Bias Efficiecy Cofidece iterval Cofidece level (Studet s) t distributio Slutledig,

Läs mer

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar TMS36: Dataaalys och statistik Tetame 03-0-6 med lösigar Examiator och jour: Mattias Sude, tel. 0730 79 9 79 Hjälpmedel: Chalmersgodkäd räkare och formelsamlig formelsamlig delas ut med teta). Betygsgräser:

Läs mer

För att minimera de negativa hälsokonsekvenserna av tunnelluft finns i dagsläget tre metoder;

För att minimera de negativa hälsokonsekvenserna av tunnelluft finns i dagsläget tre metoder; MKB till detaljpla Förbifart Stockholm Hälsoeffekter av tuelluft Studier idikerar att oöskade korttidseffekter, blad aat ökat atal iflammatiosmarkörer, börjar uppstå vid e expoerig som motsvaras av tuelluft

Läs mer

Så här kommer byggherren och entreprenören överens om energianvändningen

Så här kommer byggherren och entreprenören överens om energianvändningen Så här kommer byggherre och etrepreöre överes om eergiavädige Så här kommer byggherre och etrepreöre överes om eergiavädige Sveby står för Stadardisera och verifiera eergiprestada i byggader och är ett

Läs mer

Remiss Remissvar lämnas i kolumnen Tillstyrkes term och Tillstyrkes def(inition) och eventuella synpunkter skrivs i kolumnen Synpunkter.

Remiss Remissvar lämnas i kolumnen Tillstyrkes term och Tillstyrkes def(inition) och eventuella synpunkter skrivs i kolumnen Synpunkter. 1(10) Svar lämat av (kommu, ladstig, orgaisatio etc.): Remiss Remissvar lämas i kolume Tillstyrkes term och Tillstyrkes (iitio) och evetuella sypukter skrivs i kolume Sypukter. Begreppe redovisas i Socialstyrelses

Läs mer

Slutrapport Bättre vård i livets slutskede

Slutrapport Bättre vård i livets slutskede Team : Stadsvikes VC Syfte med deltagadet i Geombrott Att öka tillite och trygghete till de vård som bedrivs i det ega hemmet för de palliativa patiete. Teammedlemmar Eva Lidström eva.lidstrom@ll.se Viktoria

Läs mer

Föreskrift. om publicering av nyckeltal för elnätsverksamheten. Utfärdad i Helsingfors den 2. december 2005

Föreskrift. om publicering av nyckeltal för elnätsverksamheten. Utfärdad i Helsingfors den 2. december 2005 Dr 1345/01/2005 Föreskrift om publicerig av yckeltal för elätsverksamhete Utfärdad i Helsigfors de 2. december 2005 Eergimarkadsverket har med stöd av 3 kap. 12 3 mom. i elmarkadslage (386/1995) av de

Läs mer

MARKNADSPLAN Kungälvs kommun 2010-2014

MARKNADSPLAN Kungälvs kommun 2010-2014 MARKNADSPLAN Kugälvs kommu 2010-2014 Fastställd av KF 2010-06-17 1 Iehåll Varför e markadspla? 3 Mål och syfte 4 Markadsförutsättigar 5 Processer, styrig och orgaisatio 6 Politisk styrig 7 Politisk styrig,

Läs mer

Databaser - Design och programmering. Programutveckling. Programdesign, databasdesign. Kravspecifikation. ER-modellen. Begrepps-modellering

Databaser - Design och programmering. Programutveckling. Programdesign, databasdesign. Kravspecifikation. ER-modellen. Begrepps-modellering Databaser desig och programmerig Desig processe ER-modellerig Programutvecklig Förstudie, behovsaalys Programdesig, databasdesig Implemetatio Programdesig, databasdesig Databasdesig Koceptuell desig Koceptuell

Läs mer

Repetition: Enkel sampling. Systemplanering VT11. Repetition: Enkel sampling. Repetition: Enkel sampling

Repetition: Enkel sampling. Systemplanering VT11. Repetition: Enkel sampling. Repetition: Enkel sampling Systemplaeri VT Föreläsi F6: Mote Carlo Iehåll:. Repetitio av ekel sampli 2. Sampli av elmarkader 3. Multi-areamodelle 4. Räka exempel Repetitio: Ekel sampli Mål: Få fram E[X] Defiitio av E[X]: EX [ ]

Läs mer

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15 Karlstads uiversitet Fakultete för ekoomi, kommuikatio och IT Statistik Tetame i Statistik STG A0 ( hp) 5 mars 00, kl. 08.5 3.5 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt

Läs mer

Många tror att det räcker

Många tror att det räcker Bästa skyddet Måga vet ite hur familje drabbas ekoomiskt om ågo dör eller blir allvarligt sjuk. Här berättar Privata Affärer vilket skydd du har och hur du ka förbättra det. Av Aika Rosell och Igrid Kidahl

Läs mer

Systemdesign fortsättningskurs

Systemdesign fortsättningskurs Systemdesig fortsättigskurs Orgaisatio Föreläsare Potus Boström Assistet? Tider mådagar och tisdagar kl. 8-10 Börjar 3.9 och slutar 16.10 Rum B3040 Orgaisatio Iga föreläsigar 24.9, 25.9, 1.10 och 2.10

Läs mer

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Övigstetame i MA08 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.

Läs mer

Fouriertransformen. Faltning, filtrering och sampling

Fouriertransformen. Faltning, filtrering och sampling Faltig Fouriertrasforme Faltig, filtrerig och samplig Givet två sigaler f och g och deras respektive spektra f`, g`, hur bildar ma e tredje sigal såda att dess spektrum är lika med summa f` + g`. Lätt!

Läs mer

Samtal med Karl-Erik Nilsson

Samtal med Karl-Erik Nilsson Samtal med Karl-Erik Nilsso,er Ert av Svesk Tidskrifts redaktörer, Rolf. Ertglud, itejuar här Karl-Erik Nilsso, ar kaslichej på TCO och TCO:s represetat ed i litagarfodsutredige. er e t or så å g. ). r

Läs mer

tullinge FLEMINGSBERG TULLINGE Kommunens avsikter för Tullinge som helhet

tullinge FLEMINGSBERG TULLINGE Kommunens avsikter för Tullinge som helhet tullige VILLASTAD r be e tri Tulligesjö e äg v gs FLEMINGSBERG Ka TRÄDGÅRDSSTAD Nib ble väg e PARKHEM 10 BERG Tullige är e attraktiv plats i Stockholmsregioe att bo och bygga på. Tullige är också de del

Läs mer

Enkät inför KlimatVardag

Enkät inför KlimatVardag 1 Ekät iför KlimatVardag Frågora hadlar om dia förvätigar på och uppfattigar om projektet, samt om hur det ser ut i ditt/ert hushåll idag. Ekäte är uderlag för att hushållet ska kua sätta rimliga och geomförbara

Läs mer

Produsert for bevegelses hemmede, og er det mest fleksible og variasjonrike alternativ på markedet. Tilpasnings-mulighetene er nesten ubegrensede.

Produsert for bevegelses hemmede, og er det mest fleksible og variasjonrike alternativ på markedet. Tilpasnings-mulighetene er nesten ubegrensede. VÄSTIA DUSJROM Produsert for bevegelses hemmede, og er det mest fleksible og variasjorike alterativ på markedet. Tilpasigs-mulighetee er este ubegresede. HML Hjelpemiddel-leveradøre AS Braderudv. 90, 2015

Läs mer

AMF. I princip är det bara möjligt att flytta privat sparande och sparande där avtalet tecknats efter den 2 februari i fjol.

AMF. I princip är det bara möjligt att flytta privat sparande och sparande där avtalet tecknats efter den 2 februari i fjol. Välj att flytta dia Utyttja di flytträtt om du ka. Det är Privata Affärers råd u är regeriges tillfälliga flyttstopp hävs de 1 maj. Flyttstoppet ifördes i februari i fjol som e direkt följd av Damarksmålet.

Läs mer

Detaljplan Ekedal södra. Behovsbedömning 1/5. Sektor samhällsbyggnad

Detaljplan Ekedal södra. Behovsbedömning 1/5. Sektor samhällsbyggnad 1/5 Sektor samhällsbyggad Datum Beteckig 2015-02-10 PLAN.2014.19 Plaehete Hadläggare Jey Olausso Detaljpla Ekedal södra Behovsbedömig Förslag Geomföradet av plaförslaget bedöms ite medföra ågo betydade

Läs mer

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Föreläsig 6 732G70, 732G01 Statistik A Föreläsigsuderlage är baserade på uderlag skriva av Karl Wahli Kapitel 6 Iferes om e populatio Sid 151-185 Puktskattig och itervallskattig Statistisk iferes om populatiosmedelvärde

Läs mer

= (1 1) + (1 1) + (1 1) +... = = 0

= (1 1) + (1 1) + (1 1) +... = = 0 TALFÖLJDER OCH SERIER Läs avsitte - och 5 Lös övigara, abcd, 4, 5, 7-9, -5, 7-9, -abcd, 4, 5 Läsavisigar Avsitt Defiitioe av talföljd i boe är ågot ryptis, me egetlige är det ågot väldigt eelt: e talföljd

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00 0.01.007 Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 0 jauari 007, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt miiräkare. Asvarig lärare: Haah Hall Övrigt:

Läs mer

Försöket med trängselskatt

Försöket med trängselskatt STATISTISKA CENTRALBYRÅN m 1(5). Nilo Trägelkatt Förlag frå Ehete för pritatitik Ehete för pritatitik förelår att å kallad trägelkatt ka täcka i KI frå och med idex aveede jauari 26. Trägelkatte ave då

Läs mer

Korrelationens betydelse vid GUM-analyser

Korrelationens betydelse vid GUM-analyser Korrelatoes betydelse vd GUM-aalyser Hela koceptet GUM geomsyras av atagadet att gåede mätgar är okorrelerade. Gude betoar och för sg att ev. korrelato spelar, me ger te mycket vägledg för hur ma då ska

Läs mer

Del A. x 0 (1 + x + x 2 /2 + x 3 /6) x x 2 (1 x 2 /2 + O(x 4 )) = x3 /6 + O(x 5 ) (x 3 /6) + O(x 4 )) = 1 + } = 1

Del A. x 0 (1 + x + x 2 /2 + x 3 /6) x x 2 (1 x 2 /2 + O(x 4 )) = x3 /6 + O(x 5 ) (x 3 /6) + O(x 4 )) = 1 + } = 1 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska istitutioe Sigstam, Styf Svar till övigsteta ENVARIABELANALYS 0-0- Svar till övigsteta. Del A. Bestäm e ekvatio för tagete till kurva y f x) x 5 i pukte där x. Skissa kurva.

Läs mer

Lärarhandledning Att bli kvitt virus och snuva - När Lisa blev av med förkylningen

Lärarhandledning Att bli kvitt virus och snuva - När Lisa blev av med förkylningen Lärarhadledig Att bli kvitt virus och suva - När Lisa blev av med förkylige För ytterligare iformatio kotakta projektledare: Charlotte.Kristiasso@phs.ki.se 1 Iledig Atibiotikaresistes är ett växade problem

Läs mer

Funktionsteori Datorlaboration 1

Funktionsteori Datorlaboration 1 Fuktiosteori Datorlaboratio 1 Fuktiosteori vt1 2013 Rekursiosekvatioer och komplex aalys Syftet med datorövige Öviges ädamål är att ge ett smakprov på hur ett datoralgebrasystem ka avädas för att att lösa

Läs mer

Kollektivt bindande styre på global nivå

Kollektivt bindande styre på global nivå Iteratioell ivå Global, regioal eller mellastatlig? Allt fler viktiga politiska frågor går ite lägre att lösa på atioell ivå. Folk över hela världe berörs exempelvis av växthuseffekte. Vad fis det för

Läs mer

Kollektivt bindande styre på global nivå

Kollektivt bindande styre på global nivå Iteratioell ivå Global, regioal eller mellastatlig? Allt fler viktiga politiska frågor går ite lägre att lösa på atioell ivå. Folk över hela världe berörs exempelvis av växthuseffekte. Vad fis det för

Läs mer

Grammatik för språkteknologer

Grammatik för språkteknologer Grammatik för språktekologer Språktekologi och grammatiska begrepp http://stp.ligfil.uu.se/~matsd/uv/uv11/gfst/ Mats Dahllöf Istitutioe för ligvistik och filologi November 2011 Dea serie Frasstrukturaalys

Läs mer

Förslag FÖRSLAG. Riktlinjer

Förslag FÖRSLAG. Riktlinjer Förslag Riktlijer Övergripade riktlijer för lokaliserig Följade övergripade riktlijer gäller vid prövig av vidkraftsetablerigar. Riktlijera gäller för stora verk, 14-15 meter där gräse edåt är verk med

Läs mer

Duo HOME Duo OFFICE. Programmerings manual SE 65.044.20-1

Duo HOME Duo OFFICE. Programmerings manual SE 65.044.20-1 Duo HOME Duo OFFICE Programmerigs maual SE 65.044.20-1 INNEHÅLL Tekiska data Sida 2 Motage Sida 3-5 Programmerig Sida 6-11 Admiistrerig Sida 12-13 Hadhavade Sida 14-16 TEKNISKA DATA TEKNISK SPECIFIKATION

Läs mer

(a) om vi kan välja helt fritt? (b) om vi vill ha minst en fisk av varje art? (c) om vi vill ha precis 3 olika arter?

(a) om vi kan välja helt fritt? (b) om vi vill ha minst en fisk av varje art? (c) om vi vill ha precis 3 olika arter? Lösigar Grudläggade Diskret matematik 11054 Tid: 1.00-17.00 Telefo: 036-10160, Examiator: F Abrahamsso 1. I de lokala zoo-affäre fis 15 olika fiskarter med mist 0 fiskar utav varje art). På hur måga sätt

Läs mer

TRIBECA Finansutveckling

TRIBECA Finansutveckling TRIBECA Rådgivare iom fiasiella helhetslösigar TRIBECA a s k r e i v g S f a s k r i e v g S f g g r r e e a r a r e e i i f f TRIBECA s målsättig är att bidra med råd & produkter som hela tide gör att

Läs mer

Digital signalbehandling Fönsterfunktioner

Digital signalbehandling Fönsterfunktioner Istitutioe för data- och elektrotekik Digital sigalbehadlig Fösterfuktioer 2-2-7 Fösterfuktioer aväds för att apassa mätserie vid frekvesaalys via DFT och FFT samt vid dimesioerig av FIR-filter via ivers

Läs mer

INSTALLATIONSMANUAL COBRA 8800/8900 CAN

INSTALLATIONSMANUAL COBRA 8800/8900 CAN INSTALLATIONSMANUAL COBRA 8800/8900 CAN DRA UT MITTSEKTIONEN MED INSTALLATIONSSCHEMAT. INNEHÅLL 8808 8805 Larmehet 03CB0364A 10SA0623A Kablage Moterigspåse KA0001STSAA Ultraljudsesorer 04PC3600B 8800USER

Läs mer

Frasstrukturgrammatik

Frasstrukturgrammatik UALA UNIVERITET Metoder och tillämpigar i språktekologie Istitutioe för ligvistik och filologi Föreläsigsateckigar Mats Dahllöf http://stp.lig.uu.se/~matsd/uv/uv07/motist/ Oktober 2007 Frasstrukturgrammatik

Läs mer

2015-10-22. Ca 415.000m 3 = 600.000 ton. Masshantering Sven Brodin. Dessa mängder ska Stockholms Stad transportera varje månad.

2015-10-22. Ca 415.000m 3 = 600.000 ton. Masshantering Sven Brodin. Dessa mängder ska Stockholms Stad transportera varje månad. Masshaterig Ca 415.000m 3 = 600.000 to Dessa mägder ska Stockholms Stad trasportera varje måad. The Capital of Scadiavia Sida 2 Till varje km väg som ska byggas behövs ytor på ca 4000m 2 för: Etablerig

Läs mer

Stadsbyggande och farligt gods

Stadsbyggande och farligt gods Stadsbyggade och farligt gods Dialog-pm 2004:2 Aktualiserig av Översiktspla 2000 Malmö Stadsbyggadskotor mars 2004 Dialog-pm 2004:2 Stadsbyggade och farligt gods Sammafattig Dialog-pm 2004:2 Stadsbyggade

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för statistik Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 5 jui 004, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Asvarig lärare: Övrigt: Bifogad formel-

Läs mer

Antalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1).

Antalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1). Harald Lag Formelsamlig och Tabeller i Statistik och Saolikhetsteori (15/11-10) Datareducerig Om x 1,..., x är ett stickprov ur e populatio så defiieras medelvärdet x x = 1 k=1 x k och stadardavvikelse

Läs mer

Utlandskyrkans krisberedskap

Utlandskyrkans krisberedskap Utladskyrkas krisberedskap hadbok för beredskapsplaerig Kyrkokasliet Uppsala Sveska kyrkas kriscetrum 2 Kotaktiformatio veska kyrka i utladet S Kyrkokasliet 751 70 Uppsala Tel. 018-16 95 00 www.sveskakyrka.se

Läs mer

Ny lagstiftning från 1 januari 2011

Ny lagstiftning från 1 januari 2011 Ny lagstiftig frå 1 jauari 2011 1. Ny lag lage om allmäyttiga kommuala bostadsaktiebolag 2. Förädrigar i hyreslage De ya lagstiftige - Bakgrud Klicka här för att ädra format på uderrubrik i bakgrude q

Läs mer

Föreläsning F3 Patrik Eriksson 2000

Föreläsning F3 Patrik Eriksson 2000 Föreläsig F Patrik riksso 000 Y/D trasformatio Det fis ytterligare ett par koppligar som är värda att käa till och kua hatera, ite mist är ma har att göra med trefasät. Dessa kallas stjärkopplig respektive

Läs mer

4.2.3 Normalfördelningen

4.2.3 Normalfördelningen 4.2.3 Normalfördelige Biomial- och Poissofördelige är två exempel på fördeligar för slumpvariabler som ka ata ädligt eller uppräkeligt måga olika värde. Sådaa fördeligar sägs vara diskreta. Ofta är ett

Läs mer

Mätbar vetskap om nuläget och tydliga målbilder om framtiden. Genomför en INDICATOR självvärdering och nulägesanalys inom tre veckor

Mätbar vetskap om nuläget och tydliga målbilder om framtiden. Genomför en INDICATOR självvärdering och nulägesanalys inom tre veckor Mätbar vetskap om uläget och tydliga målbilder om framtide Geomför e INDICATOR självvärderig och ulägesaalys iom tre veckor Självvärderig e del av dokumetatioskravet i ya skollage Skollage ställer också

Läs mer

Subsystem. Klasser är ett bra sätt att organisera små system. Klasser är för små enheter för att organisera stora system

Subsystem. Klasser är ett bra sätt att organisera små system. Klasser är för små enheter för att organisera stora system Desig av subsystem Subsystem Klasser är ett bra sätt att orgaisera små system Klasser är för små eheter för att orgaisera stora system Större eheter behövs för orgaiserige Subsystem Sex priciper diskuteras

Läs mer

Extrem prestanda Nu utan BPA UPPLEV DEN FANTASTISKA STYRKAN HOS VÅRA BPA-FRIA PRODUKTER

Extrem prestanda Nu utan BPA UPPLEV DEN FANTASTISKA STYRKAN HOS VÅRA BPA-FRIA PRODUKTER Extrem prestada Nu uta BPA UPPLEV DEN FANTASTISKA STYRKAN HOS VÅRA BPA-FRIA PRODUKTER Formar för kall och varm mat BPA-fritt kommersiellt produktsortimet för livsmedelsservice Rubbermaid Commercial har

Läs mer

Bilaga 1 Schematisk skiss

Bilaga 1 Schematisk skiss Bilaga 1 Schematisk skiss Kalkylbilaga till PM fördjupig JU140 2010-02-01 Baverket Norrbotiabaa Järvägsutredig 140 Dele läsgräse AC/BD - Piteå Bilaga 12 till PM Fördjupigg JU140 Iehållsförteckig Sida 1

Läs mer

Tentamen i EG2050/2C1118 Systemplanering, 14 mars 2009, 8:00 13:00, Q21, Q22

Tentamen i EG2050/2C1118 Systemplanering, 14 mars 2009, 8:00 13:00, Q21, Q22 Tetame i EG2050/2C1118 Systemplaerig, 14 mars 2009, 8:00 13:00, Q21, Q22 Tillåta hjälpmedel Vid dea tetame får följade hjälpmedel avädas: Miiräkare uta iformatio med akytig till kurse. E hadskrive, ekelsidig

Läs mer

Ångfärjan eller Oceanpiren? Stadsbyggnadsförvaltningen Inledande lokaliseringsstudie av kongress/hotel center i centrala Helsingborg 2008-04-28

Ångfärjan eller Oceanpiren? Stadsbyggnadsförvaltningen Inledande lokaliseringsstudie av kongress/hotel center i centrala Helsingborg 2008-04-28 Ågfärja eller Oceapire? Stadsbyggadsförvalti Iledade lokaliserigsstudie av kogress/hotel ceter i cetrala Helsigborg 2008-04-28 Bakgrud Utredigar som ligr till uderlag för Stadsbyggadsförvaltis iledade

Läs mer

Sannolikhetslära. c 2015 Eric Järpe Högskolan i Halmstad

Sannolikhetslära. c 2015 Eric Järpe Högskolan i Halmstad Saolikhetslära c 201 Eric Järpe Högskola i Halmstad Saolikhetslära hadlar om att mäta hur saolikt (dvs hur ofta ) ma ka förväta sig att ågot iträffar. Därför sorterar saolikhetslära uder de matematiska

Läs mer

ÖPPNA OCH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Några viktiga andragradskurvor: Cirkel, ellips, hyperbel och parabel.

ÖPPNA OCH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Några viktiga andragradskurvor: Cirkel, ellips, hyperbel och parabel. ÖPPNA OH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Någr viktig drgrdskurvor: irkel ellips hyperbel och prbel.. irkels ekvtio irkel med cetrum i och rdie hr ekvtioe pq O Amärkig. Edst

Läs mer

Tentamen i Kunskapsbaserade system, 5p, Data 3

Tentamen i Kunskapsbaserade system, 5p, Data 3 Kuskapsbaserade system, tetame 2000-03-0 Istitutioe för tekik Tetame i Kuskapsbaserade system, 5p, Data 3 Datum: 2000-03-0 Tid: 8.00-3.00 Lärare: Potus Bergste, 3365 Hjälpmedel: Miiräkare Uppgiftera ska

Läs mer

Plan för hasselmus vid Paradis, Sparsör

Plan för hasselmus vid Paradis, Sparsör 2010-06-28 Pla för hasselmus vid radis, Sparsör Bakgrud och syfte E pla för hasselmus har tagits fram i sambad med detaljplaeläggig av fastighet radis 1:4 i Sparsör, Borås Stad. Detaljpla syftar till att

Läs mer

PTKs stadgar. Fastställda vid stämman 2009 06 16

PTKs stadgar. Fastställda vid stämman 2009 06 16 PTKs stadgar Fastställda vid stämma 2009 06 16 INNEHÅLLSFÖRTECKNING SYFTE OCH UPPGIFTER Syfte och uppgifter 3 Medlemskap 4 Orgaisatio 7 Stämma 8 Överstyrelse 12 Styrelse 15 Förhadligsorgaisatio 17 PTK-L

Läs mer

D 45. Orderkvantiteter i kanbansystem. 1 Kanbansystem med två kort. Handbok i materialstyrning - Del D Bestämning av orderkvantiteter

D 45. Orderkvantiteter i kanbansystem. 1 Kanbansystem med två kort. Handbok i materialstyrning - Del D Bestämning av orderkvantiteter Hadbok materalstyrg - Del D Bestämg av orderkvatteter D 45 Orderkvatteter kabasystem grupp av materalstyrgsmetoder karakterseras av att behov av materal som uppstår hos e förbrukade ehet mer eller mdre

Läs mer

Kontrakt baserad design. Design by contract

Kontrakt baserad design. Design by contract Kotrakt baserad desig Desig by cotract Motiverig Objekt ka valige ite avädas på ett godtyckligt sätt Metoder ska aropas med vissa parametervärde I rätt ordig Svårt att veta hur ett objekt ka avädas uta

Läs mer

Digital pedagogik en naturlig del av framtidens skola!

Digital pedagogik en naturlig del av framtidens skola! Rabatt om i är 2 eller fler! Digital pedagogik e aturlig del av framtides skola! Aktuell forskig och kokreta arbetssätt med fokus på ökat lärade Hur ser läradet ut i digitala miljöer och vilka är effektera?

Läs mer

Tentamen Metod C vid Uppsala universitet, , kl

Tentamen Metod C vid Uppsala universitet, , kl Tetame Metod C vid Uppsala uiversitet, 160331, kl. 08.00 12.00 Avisigar Av rättigspraktiska skäl skall var och e av de tre huvudfrågora besvaras på separata pappersark. Börja alltså på ett ytt pappersark

Läs mer

Parkerings- och handelsutredning Kristianstad centrum

Parkerings- och handelsutredning Kristianstad centrum Parkerigs- och hadelsutredig Kristiastad cetrum Del 1: Parkerigsstrategi, kompletterade iveterig 2011-11-21 Beställare Kristiastad kommu Aders Magusso Joha Gomér Lars Nyström Atkis Simo Radahl, Atkis Eli

Läs mer

Smärtlindring vid medicinsk abort

Smärtlindring vid medicinsk abort Smärtlidrig vid medicisk abort EN JÄMFÖRANDE STUDIE VETENSKAPLIGT ARBETE UNDER ST ELIN SJÖLANDER HANDLEDARE MARIE BOLIN Itroduktio Smärta vid medicisk abort valig, smärtlidrig vid medicisk abort dåligt

Läs mer

F19 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Hypotesprövning för en differens mellan två medelvärden

F19 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Hypotesprövning för en differens mellan två medelvärden Stat. teori gk, ht 006, JW F19 HPOTESPRÖVNING (NCT 11.1-11.) Hypotesprövig för e differes mella två medelvärde Samma beteckigar som vid kofidesitervall för differes mella två populatiosmedelvärde: Medelvärde

Läs mer

Markanvisningsavtal för och försäljning av fastigheten Gesällen 25

Markanvisningsavtal för och försäljning av fastigheten Gesällen 25 TJÄNSTSKRIVLS Hadläggare atum Äredebeteckig Johaa Kidqvist -05- KS /05 50 Kommufullmäktige Markavisigsavtal för och försäljig av fastighete Gesälle 5 Förslag till beslut Kommufullmäktige godkäer förslag

Läs mer

Innehåll Grafräknaren och diskret matematik...1 Vad handlar diskret matematik om?...1 Permutationer och kombinationer...3 Något om heltalsräkning...

Innehåll Grafräknaren och diskret matematik...1 Vad handlar diskret matematik om?...1 Permutationer och kombinationer...3 Något om heltalsräkning... Iehåll Grafräkare och diskret matematik...1 Vad hadlar diskret matematik om?...1 Permutatioer och kombiatioer...3 Något om heltalsräkig...4 Modulusoperator...4 Faktoriserig i primfaktorer...5 Talföljder...7

Läs mer

Solgläntans föräldrakooperativ Kvalitet och måluppfyllelse läsåret 2012/13

Solgläntans föräldrakooperativ Kvalitet och måluppfyllelse läsåret 2012/13 1 s föräldrakooperativ Kvalitet och måluppfyllelse läset 2012/13 Iehåll: Iledig 2 Förutsättigar...2 Bedömig av kvalitet och måluppfyllelse 3 Beslutade mål och åtgärder 6 Slutord 7 Bilaga: Resultat - seaste

Läs mer

Föreläsning G04 Surveymetodik 732G19 Utredningskunskap I

Föreläsning G04 Surveymetodik 732G19 Utredningskunskap I Föreläsig 5 732G04 Surveymetodik 732G19 Utredigskuskap I Dages föreläsig Klusterurval Estegs klusterurval Tvåstegs klusterurval Klusterurval med PPS 2 Klusterurval De urvalsdesiger som diskuterats hittills

Läs mer

Art. 7953. Brugsanvisning

Art. 7953. Brugsanvisning Art. 7953 D GB F NL S I E DK Gebrauchsaweisug Licht- / Wasserspieldüse Operatig Istructios Light ad Waterworks Jet Mode d emploi Buse pour jet d eau avec éclairage Gebruiksaawijzig Licht- / waterspelsproeier

Läs mer

Återanvändning. Två mekanismer. Nedärvning av egenskaper (inheritance) Objekt komposition

Återanvändning. Två mekanismer. Nedärvning av egenskaper (inheritance) Objekt komposition Iheritace Återavädig Två mekaismer Nedärvig av egeskaper (iheritace) Objekt kompositio A A +a +b B B Iheritace Återavädig geom att skapa subklasser kallas ofta white box reuse Ekelt att aväda Relatioe

Läs mer