Föredrag om relativitetsteorin AFI Håkan Sjögren

Transkript

1 Föredrag om relativitetsteorin AFI Håkan Sjögren

2 1800-talets slut Newton, mekanik Maxwell, elektricitet, magnetism Fysiken färdig

3 Absoluta rummet förblir alltid, på grund av sin natur och utan avseende på yttre omständigheter, detsamma och orörligt. Absolut och sann matematisk tid förflyter likformigt av sig själv och på grund av sin natur utan avseende på yttre omständigheter.

4 Viktiga årtal 1887 Heinrich Hertz upptäcker fotoelektriska effekten 1896 Henri Bequerel upptäcker radioaktivt sönderfall 1897 Joseph Thomson upptäcker elektronen 1900 Max Planck förklarar hålrumsstrålningen Ljuset är kvantiserat 1905 Albert Einstein förklarar den fotoelektriska effekten 1905 Albert Einstein lägger fram den speciella relativitetsteorin. Rum tid är relativa 191 Robert Andrews Millikan bestämmer elektronladdningen 191 Ernest Rutherford visar att atomen har struktur 1913 Niels Bohr förklarar vätets spektrum 1914 J Franck och G Hertz, energin hos atomen är kvantiserad 19 Arthur Compton, Compton-effekten, fotonen har partikelegenskaper 194 Louis de Broglie teorin för partikelns vågegenskap 197 C Davsson, L H Germer, bevis för partikelns vågegenskap 197 W Heisenberg, osäkerhetsrelationen

5 Viktiga principer och postulat Långt från stora massor är rummet isotropt och ljusastigheten i vakuum konstant km/s Mätning av ljushastigheten ger alltid samma värde Speciella relativitetsteorin Det är omöjligt att fastställa en absolut hastighet Acceleration gravitation Allmänna relativitetsteorin Ett system av partiklar strävar efter lägsta möjliga energi Energiprincipen Det är principiellt omöjligt att fastställa en partikels exakta läge och exakta rörelsemängd samtidigt Heisenbergs osäkerhetsrelation Man kan inte samtidigt behandla en företeelse som både en partikel och en våg Bohrs komplementaritetsprincip Det är omöjligt för partiklar med halvtaligt spinn, t ex elektroner, att inta samma läge och tillstånd Pauliprincipen Liksom vanliga vågor styrs av vågekvationen ψ, postuleras materievågorna styras av 1 c y t Schrödingerekvationen H y i h y t, η Plancks konstant

6 Relativitetsteori y y v Ett koordinatsystem O rör sig med den likformiga hastigheten v relativt ett annat, O. En observatör i vardera systemet medför en måttstock och en rättvisande klocka. Alla naturlagar måste gälla i båda systemen. Enligt Michelsen-Morleys försök, tolkat av Einstein, ger varje mätning av ljushastigheten i vakuum samma resultat oberoende av observatörens hastighet. Detta blir endast möjligt om tiden och rummet förändras så att längden L 0 och tiden T 0 uppmätt i det fasta systemet, vilosystemet, i det rörliga systemet uppmäts till L och T, där L L v T c T v c ; längdkontraktionen, cljushastigheten; ; tidsdilatationen. Exempel: En teknolog bryter mot naturlagarna och färdas med ljusets hastighet till den närmaste stjärnan, Proxima Centauri, en sträcka på 4 ljusår. Det tar honom 4 år, tycker vi. Han finner att det tog noll sekunder, sträckan var noll meter och hastighetenlängden/tiden c ljusets hastighet. x x

7 Om de båda observatörerna studerar en elastisk stöt och båda kräver att energi och rörelsemängd enligt mekanikens lagar skall bevaras medför detta med samma logiska konsekvens att partiklarnas massor blir beroende av deras rörelse. Är partikelns massa m 0 i dess egna koordinatsystem, bli massan i observatörens koordinatsystem större enligt m m v c, (1) där m observerad massa; m 0 vilomassa; v relativa hastigheten och c ljushastigheten i vakuum. Vi utgår nu från (1) och undersöker en partikels kinetiska energi om massan får variera. E kin F d x, arbetet kraften*vägen. d r d ( m v ) F d t d t (Klassiskt är F m d v ; (Newtons :a lag). d t m d x massan*accelerationen) d t F m d v + v d m ; d t d t m d v d x d m v d x E т ( + k i n d t d t Utnyttja (1): kvadrera och förläng med c. m c -m v m0 c. (3) Differentiera! mdmc -mdmv -vdv0 ) ( m d v v + d m v ) т ().

8 (c -v )dmmvdv; (4) (4) i () E kin (c dm-v dm+v dm) c dmc (m-m 0 ) Tydligen är m0c partikelns energi i vila, viloenergin. Totala energin EE kin +m 0 c Men E kin c m-c m 0 ; c me kin +m 0 c Totala energin Emc (5) Förläng (3) med c! m c 4 -m v c m 0 c 4 E - c m 0 c 4 E r c + m 0 (7) Kontroll: antag E k i n m 0 c 1 + E k i n» m 0 c ( 1 + E k i n r m 0 c 4 (6) r m 0 liten dvs v<<c c c 4 - m 0 c r c ) - m m 0 c 4 0 c m 0 v m 0 1 m 0 v ; stämmer! r c m m 0 c 4 0 c

9 För en foton gäller att den saknar vilomassa. Av (6) E r c + 0 r c ; Fotonens rörelsemängd E/c; Men fotonens energi Eh ; h /ch/ ; (då c!) ρ h h n (8) l c För en partikel gäller om c>>m 0 c att E» r c

10 Addition av hastigheter En ytterligare följd av transformationerna är att en hastighet i det primmade systemet, v x, i det oprimmade systemet uppmäts till v V x ў + v x v V 1 + x ў. c Ex: Et fientligt UFO närmar sig jorden med hastigheten 0,95c och skjuter iväg en fotontorped mot oss med hastigheten 0,9c relativt UFOn. Med vilken hastighet närmar sig torpeden oss? Ingalunda med 0,95c+0,9c1,85c utan med 0, 9 c + 0, 9 5 c V x 1, 8 5 c 0, c 0, 9 5 c Ч 0, 9 c 1 + 1, c -onen är en släkting till elektronen. Den har samma laddning men är några hundra gånger tyngre. Dess genomsnittliga livstid är t 0 *10-6 s. Den bildas högt uppe i atmosfären genom inverkan av kosmisk strålning. Hastigheten v,994*10 8 m/s 0,998c. Den påvisas nere på jordytan. På *10-6 s går den *10-6 *3* m och borde försvinna långt innan den kommit ner. Antag att i sitt referenssystem går 600 m L v L L L c L 0 Ч 0, L 0 600/0, m Från marken sett går :s klocka långsamt

11 T T 0 v 1 - c T 0 0, T*10-6 /0,06331,7*10-6 s Lv*T,994*10 8 *31,7* m! Det stämmer! Dopplereffekt A. Vågor i ett medium, vågens hastighet är c. Källan har frekvensen 0 och närmar sig en observatör med hastigheten v k relativt mediet. Observatören närmar sig källan med hastigheten v l relativt mediet; uppfattad frekvens c + v ν ν l 0 c - v Ч k ; v l och v k är positiva vid närmande. B. Elektromagnetiska vågor saknar medium. v är nu källans och observatörens relativa hastighet. c + v ν ν 0, v är positiv vid närmande. c - v C. Om c>>v l, v k, och v blir frekvensändringarna lika.

12 När första vågtoppen nått den bortre streckade linjen har andra vågtoppen hunnit till den närmaste streckade linjen. Observatören i system O reser med hastigheten v K O v vt K ct K T K (c-v); f K c/ c f K ( c - v ) T K T T O k f O 1 - v c c ( c - v ) T O c - v ( c - v ) T K c + v c - v Ч f K ; Obs att c -v (c+v) (c-v) där v är den relativa hastigheten.

13 Tågets klocka Tåg som går från söder mot norr Resenärens slutsats: stationsklockorna fortar sig mer och mer ju längre norrut han åker. Han vänder och ställer sin klocka efter stationsklockan. Tågets klocka Stationsklocka Stationsklocka Paradox: stationsklockorna går fortare ju längre söderut han kommer. Slutsats: hans egen klocka saktar sig. Varför? Vi retardation och acceleration var han nere i ett gravitationsfält. Tiden går långsamt nere i gravitationsfältet.

14 Förutom att rummet är krökt i närheten av materia är tiden föränderlig. Vid tillräckligt stor massa uppstår en singularitet med massan samlad i en matematisk punkt och stillastående tid så långt ut från punkten som anges av Schwarzschildradien R s G M c där Gallmänna gravitationskonstanten 6,67*10 11 Nm /kg Mmassan och cljushastigheten m/s. R s kallas även händelsehorisonten. Ex. Jordens massa M j 5,98*10 4 kg Jordens radie R j 6,37*10 6 m Solens massa M sol *10 30 kg Solens radie R sol *10 8 m Jorden skulle kunna ersättas med ett tunt skal och massan koncentrerad i ett svart hål med radien R s *6,67*10-11 *5,98*10 4 /(,998*10 8 ) 0,9 cm! Solens motsvarande svarta hål har R s 3000 m. Märk att R s är proportionellt mot massan. Vid R s står tiden still; vid 50* R s går den 1% långsammare än i fria rymden och varierar längre ut som ν ν t t - G M R c - s R R R50 R s t/t-1%; RR j t/t-7*10-10 Dvs när klockan på jordytan gått sekunder har rymdklockan hunnit sekunder. Differentiera: d ( D t t R ) s / d R ; R Jämför en klocka vid jordytan med en klocka 0 m upp. dr0 m;

15 d ( D t t ) 4, 5 * * 0 / ( 6, 3 7 * ) * När klockan vid jordytan tickat sekunder har den övre tickat sekunder. Runt det svarta hålet är rummet deformerat och tiden förändrad. En ljusstråle som passerar solytan får en avböjning den syftvinkel som det svarta hålet upptar 7*10 8 m α Ч * p Ч , 7 5 ўў Stämmer hyfsat!

16

17 Mössbauereffekten Exciterade järnkärnor 57 Fe * sänder ut -kvanta E -E 1 14,4 kev. t6,9*10-8 s Rörelsemängdens bevarande medför att kärnan tar upp rekylenergi. m v h n c ; v h n m c ; m v ( h n ) m c E k ; Eh +E k ; m c * 5 7 * 1, 0 6 * * ( 3 * ) 1, 6 * w , 1 * ev E v ( 1 4, 4 * ) 1, 1 * , 9 * ev Skärpan i övre nivån E fås ur E* t η. E 6, 6 * p * 6, 9 * * 1, 6 * , 5 * ev Eftersom fotonen tappat *10-3 ev vid emission och lika mycket vi ev. absorption kan den inte absorberas av en annan järnatom, då E bara är 10-8 ev! E» 1 0-8» 1 0 h n : Om atomen sitter fast i ett gitter (järnklump) tar hela kristallen upp rekylen varvid E k 0. Fotonen kan nu absorberas av en järnatom i en annan järnklump, såvida den ej rör sig Fe så att Doppler-effekten förstör frekvensen.

18 Enligt Einsteins allmänna relativitetsteori går tiden långsammare nere i ett gravitationsfält. 0 m över jordytan går tiden fortare än vid jordytan med delar på Detta har påvisats med Mössbauereffekten genom att mäta vilken hastighet neråt som absorbatorn måste ha för att absorption ska ske. ν ν v c ; 0 m v a v * 3 * * m/s Spetsen på timvisaren i en klocka, om den är 1 cm lång, har hastigheten 10-6 m/s. Avståndet jorden månen är 4*10 4 mil4*10 14 m delar på : 5* Samma mätnoggrannhet som om avståndet till månen mäts på en m när.