MSG830 Statistisk analys och experimentplanering

Transkript

1 MSG830 Statistisk analys och experimentplanering Tentamen 15 januari 2016, 8:30-12:30 Examinator: Staan Nilsson, telefon , kommer till tentamenslokalen 9:30 och 11:30 Tillåtna hjälpmedel: Valfri kalkylator Antal poäng totalt: 30. För betyget godkänd krävs minst 12 poäng, för väl godkänd 22 poäng 1. Vid Anders Perssons julbord nns alltid någon av kålrätterna grönkål eller brunkål. Under 30% av måltiderna nns det både grönkål och brunkål. Vid hälften av de måltider då grönkål serveras nns det också brunkål. Beteckna händelserna G: grönkål serveras, B: brunkål serveras. (a) Ange med ledning av texten värdet på sannolikheterna: P (B G), P (B G), P (B G) (b) Beräkna P (B) (c) Beräkna P (G) (d) Är händelserna B och G oberoende? Motivera ditt svar. 2. Skramla nötter heter en hederlig gammal jullek, som nns i många varianter. I en variant startar alla spelare med ett givet antal nötter. En spelare börjar med att gömma en, två eller tre nötter under en kopp och nästa spelare ska gissa hur många där nns. Om den spelaren gissar rätt får hon nötterna under koppen. Sen blir det hennes tur att gömma nötter på samma sätt. Spelet tar slut när alla utom vinnaren har slut på sina nötter. Om man räknar på strategier, så visar det sig att ett bra sätt är att slumpa fram hur många nötter man ska lägga med sannolikheterna 6/11, 3/11 och 2/11 för 1, 2 respektive 3 nötter. (a) Låt Y beteckna det antal nötter som spelaren gömmer med den föreslagna strategin. Beräkna väntevärdet av Y. (b) Vad är väntevärdet av antal förlorade nötter vid en gissning om den andre spelaren gissar på två nötter? 3. I Anders Perssons hem tändes 20 värmeljus på julafton och dessa ck brinna tills de slocknade. Ljusen var från ICA och Coop. De 10 ljusen från ICA brann i genomsnitt 419 minuter med en standardavvikelse på 25 minuter. De 10 ljusen från Coop brann i genomsnitt 437 minuter med en standardavvikelse på 30 minuter. Testa på 5% signikansnivå om det är någon skillnad mellan de två fabrikaten med avseende på brinntid. (4p) 4. Anders Persson tände också två marshaller vid entren på julafton, juldagen, annandagen, nyårsafton och nyårsdagen. Varje dag tände han en från Rusta och en från Hemköp. Brinntiderna anges nedan 24/12 25/12 26/12 31/12 1/1 Rusta Hemköp Testa på 5% signikansnivå om det nns någon skillnad i brinntid mellan de två fabrikaten. 5. I ett projekt på en statistikkurs undersökte en grupp hur vanligt det var med plastgran respektive vanlig gran bland kunder på GeKås. Bland annat jämförde man de som bodde i lägenhet med de som bodde i villa. Av de 49 villaboende hade 11 plastgran. Av de 21 som bodde i lägenhet hade 10 plastgran. Testa på 5% signikansnivå om boendet har samband med val av gran. (4p) (4p) (3p) (4p) 1

2 6. På en provyta för granodling följer man granar som nått en meters höjd. Var annat år sågas 6 granar ner och bland annat mäts höjden. Totalt omfattar studien 30 granar. Granarnas höjd används för att med regressionsanalys bestämma den genomsnittliga årstillväxten. Nedan visas utdata från SPSS. Granhöjden har angetts i meter. (a) Hur stor andel av granhöjdsvariansen beror av åldern? (b) Hur mycket växer granarna i genomsnitt på 10 år? (c) Vad är korrelationen mellan granhöjd och ålder? (d) Kan vi förkasta att populationsmedelvärdet µ av granarnas årliga tillväxttakt är 50 cm? Motivera! (4p) 2

3 7. I ett annat projekt granodlingsförsök jämförs tillväxttakten på 8 olika orter. På varje ort bestäms den av 10 granar som följs utan att fällas. För att avgöra om det nns någon skillnad i tillväxttakt mellan orterna gör man en analys enligt nedan. (a) Formulera nollhypotesen i variansanalysen. (b) För vilken/vilka av följande signikansnivåer kan vi förkasta nollhypotesen: 0.01,0.05,0.10 (c) Ge ett förslag på en analys som har bättre förutsättningar att detektera skillnader i tillväxttakt. 8. Malin har skickat Kronblom att köpa gran på torget i Vinkelboda. Deras julgransfot kan ta granar med en diameter mellan 7.5 och 9 centimeter. På torget säljs granar vars stamdiameter i centimeter är normalfördelad med väntevärde 8.5 cm och standardavvikelse 0.5 cm. (a) Vad är sannolikheten att Kronbloms gran passar foten om han väljer en gran på måfå? (b) Vad är sannolikheten att någon gran passar om Kronblom köper tre granar på måfå? (3p) (4p) 3

4 Formler och tabeller till kursen MSG830 Deskriptiva mått För en datamängd x 1,, x n denieras medelvärde standardavvikelse standardfelet (SEM) Sannolikheter x = 1 n n i=1 = x x n n s = 1 n (x i x) n 1 2 i=1 SEM = s/ n För två händelser A och B gäller Betingade sannolikheter P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) Lagen om total sannolikhet P (A B) = P (A B) P (B) Om utfallsrummet indelas i disjunkta händelser A 1,, A k, vars union är hela utfallsrummet, så gäller för varje händelse B P (B) = k P (B A i )P (A i ) i=1 Om P (A B) = P (A) säges A och B vara oberoende. Detta medför också att A och B är oberoende om och endast om P (A B) = P (A)P (B) Stokastiska variabler En diskret stokastisk variabel X kan anta ett ändigt (eller uppräkneligt) antal värden. Sannolikheten för varje värde bestäms av en sannolikhetsfunktion p p(x) = P (X = x) Väntevärdet av en diskret stokastisk variabel är µ = E[X] = x xp(x) 1

5 och variansen är σ 2 = V [X] = x (x µ) 2 p(x) = E[X 2 ] µ 2 Kontinuerliga stokastiska variabler beskrivs med en täthetsfunktion f(x) 0 för alla x och f(x) = 1 För en kontinuerlig stokastisk variabel X är P (X = x) = 0 för varje x, men P (a X b) = b a f(x) X och Y är oberoende om P (X x Y y) = P (X x)p (Y y) för alla x, y Regler för väntevärden och varians Om a, b är konstanter och X, Y är stokastiska variabler gäller alltid E[X + Y ] = E[X] + E[Y ] E[a + bx] = a + be[x] V [a + bx] = b 2 V [X] om dessutom X och Y är oberoende så gäller även E[XY ] = E[X]E[Y ] och V [X + Y ] = V [X] + V [Y ] Binomialfördelning S bin(n, p) ( ) n P (S = k) = p k (1 p) n k för k = 0, 1, 2,, n k Normalfördelning X N(µ, σ) E[S] = np, V [S] = np(1 p) f(x) = 1 σ 2π e (x µ) 2 2σ E[X] = µ, V [X] = σ 2 2

6 Fördelningen med µ = 0 och σ = 1 kallas standard (el standardiserad) normalfördelning Om X N(µ, σ) så är Z = X µ σ N(0, 1) och om vi har ett stickprov X 1, X 2,, X n så är Z = X µ σ/ n N(0, 1) Ett stickprov X 1, X 2,, X n där varje X i N(µ, σ) Testa H 0 : µ = µ 0 på signikansnivå α med T = x µ 0 s/ n t n 1 (t-fördelning med n 1 frihetsgrader) Förkasta H 0 om T t α/2,n 1 då H a : µ µ 0 Förkasta H 0 om T t α,n 1 då H a : µ > µ 0 Förkasta H 0 om T t α,n 1 då H a : µ < µ 0 Bilda ett tvåsidigt 100(1 α)% kondensintervall med x ± t α/2,n 1 s/ n Om σ av någon anledning råkar vara känt, ersätt s med σ och använd z α/2 i st f t α/2,n 1 Om X i inte är normalfördelad, men stickprovet stort kan vi anta att T ovan är approximativt standard normalfördelad. Parade data (X 1, Y 1 ), (X 2, Y 2 ),, (X n, Y n ) där varje D i = X i Y i N(δ, σ) Testa H 0 : δ = δ 0 (oftast δ 0 = 0) genom att betrakta alla D i som ett stickprov på dierenser och följ anvisningar för ett stickprov. T = D δ 0 s/ n Två stickprov X 1, X 2,, X m och Y 1, Y 2,, Y n Anta X i N(µ 1, σ) och Y i N(µ 2, σ) Poola de två variansskattningarna s 2 1 och s2 2 för X resp Y. 3

7 s 2 p = (m 1)s2 1 + (n 1)s 2 2 m + n 2 och testa H 0 : µ 1 µ 2 = 0 (oftast 0 = 0) på signikansnivå α med T = x ȳ 0 s p 1/m + 1/n t n+m 2 (t-fördelning med n + m 2 frihetsgrader) Förkasta H 0 om T t α/2,n+m 2 då H a : µ 1 µ 2 0 Förkasta H 0 om T t α,n+m 2 då H a : µ 1 µ 2 > 0 Förkasta H 0 om T t α,n+m 2 då H a : µ 1 µ 2 < 0 Bilda ett tvåsidigt 100(1 α)% kondensintervall med x ȳ ± t α/2,m+n 2 s p 1/m + 1/n ANOVA - Fler än två stickprov (k>2) Anta att de olika grupperna är normalfördelade N(µ i, σ), dvs eventuellt olika medelvärden, men samma varians. Man kan då testa H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k mot med H a : någon skillnad mellan medelvärdena F = ˆσ2 B ˆσ 2 W där ˆσ W 2 är den poolade variansen analogt med tvåstickprovsfallet och ˆσ2 B skattning av σ baserad på medelvärdena. är en Förkasta H 0 för stora värden på teststatistikan Test av samband mellan två kategoriska variabler Samla antalen av varje kategoripar i en kontingenstabell med r rader och c kolumner 4

8 1 j c 1 n 11 n 1j n 1c n 1. i n i1 n ij n ij n i. r n r1 n rj n rc n r. n.1 n.j n.c n n i. = c n ij och n.j = j=1 Anta att följande sannolikheter gäller för cellerna och marginalerna 1 j c 1 p 11 p 1j p 1c p 1. i p i1 p ij p ij p i. r p r1 p rj p rc p r. p.1 p.j p.c 1 r i=1 Testa H 0 : p ij = p i. p.j för alla par i, j (dvs oberoende) med n ij χ 2 = (n ij ê ij ) 2 som är approximativt χ 2 fördelad med (r 1)(c 1) frihetsgrader och där ê ij = ni.n.j n. För att approximationen ska vara god bör ê ij 5 för minst 80% av cellerna. ê ij Förkasta H 0 för stora värden på teststatistikan Goodness of t För att testa om en kategorisk variabel med k kategorier följer förutbestämda proportioner p 1, p 2,, p k används ett chi2-test. χ 2 = (n i np i ) 2 np i som är approximativt χ 2 fördelad med k 1 frihetsgrader. För att approximationen ska vara god bör np i 5 för varje i. H 0 förkastas för stora värden på χ 2. Regression Vid linjär regression med n observationspar (x i, y i ) skattar man en linje mha modellen y = β 0 + β 1 x + ɛ där ɛ N(0, σ) är bruset. Skattningar får man genom ˆβ 1 = (xi x)(y i ȳ) (xi x) 2 5

9 ˆβ 0 = ȳ ˆβ 1 x Test av H 0 : β 1 = 0 testas med en teststatistika av typen T = ˆβ 1 se( ˆβ 1 ) som är t fördelad med n 2 frihetsgrader Förklaringsgraden R 2 är den andel av variansen hos Y som förklaras av regressionsmodellen. I enkel linjär regression är R 2 = r 2, där r är Pearsons korrelationskoecient. Korrelation Pearsons korrelationskoecient r är ett mått mellan 1 och 1. (xi x)(y i ȳ) r = (xi x) 2 (yi ȳ) 2 som skattar en motsvarande populationsstorhet ρ. Om X och Y är oberoende så är ρ = 0. Man kan testa H 0 : ρ = 0 med T = r n 2 1 r 2 som är t fördelad med n 2 frihetsgrader och identisk med teststatistikan för H 0 : β 1 = 0 från regressionsanalysen. 6

10 A-6 Appendix Tables Table A.3 Standard Normal Curve Areas Φ(z) P(Z z) Standard normal density curve Shaded area = Φ(z) 0 z z (continued) Copyright 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. Due to electronic rights, some third party content may be suppressed from the ebook and/or echapter(s). Editorial review has deemed that any suppressed content does not materially affect the overall learning experience. Cengage Learning reserves the right to remove additional content at any time if subsequent rights restrictions require it.

11 Appendix Tables A-7 Table A.3 Standard Normal Curve Areas (cont.) (z) 5 P(Z # z) z Copyright 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. Due to electronic rights, some third party content may be suppressed from the ebook and/or echapter(s). Editorial review has deemed that any suppressed content does not materially affect the overall learning experience. Cengage Learning reserves the right to remove additional content at any time if subsequent rights restrictions require it.

12 Appendix Tables A-9 Table A.5 Critical Values for t Distributions t density curve Shaded area = 0 t, v Copyright 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. Due to electronic rights, some third party content may be suppressed from the ebook and/or echapter(s). Editorial review has deemed that any suppressed content does not materially affect the overall learning experience. Cengage Learning reserves the right to remove additional content at any time if subsequent rights restrictions require it.

13 Appendix Tables A-11 Table A.7 Critical Values for Chi-Squared Distributions 2 density curve Shaded area = α 0 α, For v. 40, x 2 a,v, va v 1 z 2 a B9v b Copyright 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. Due to electronic rights, some third party content may be suppressed from the ebook and/or echapter(s). Editorial review has deemed that any suppressed content does not materially affect the overall learning experience. Cengage Learning reserves the right to remove additional content at any time if subsequent rights restrictions require it.

14 A-12 Appendix Tables Table A.8 t Curve Tail Areas t curve Area to the right of t 0 t t (continued) Copyright 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. Due to electronic rights, some third party content may be suppressed from the ebook and/or echapter(s). Editorial review has deemed that any suppressed content does not materially affect the overall learning experience. Cengage Learning reserves the right to remove additional content at any time if subsequent rights restrictions require it.

15 Appendix Tables A-13 Table A.8 t Curve Tail Areas (cont.) t curve Area to the right of t 0 t t `( 5z) Copyright 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. Due to electronic rights, some third party content may be suppressed from the ebook and/or echapter(s). Editorial review has deemed that any suppressed content does not materially affect the overall learning experience. Cengage Learning reserves the right to remove additional content at any time if subsequent rights restrictions require it.