Här har du en sammanställning av en mängd tentor, som i stort liknar den Du står inför. Förutom sidnummer anges också lämpliga uppgifter.

Transkript

1 Tidigare tentamina Här ar du en sammanställning av en mängd tentor, som i stort liknar den Du står inför. Förutom sidnummer anges också lämpliga uppgifter. Tentamen Sida Lämpliga uppgifter Tentamen -0 Tentamen 9 - Tentamen -9 Tentamen - Tentamen Tentamen Tentamen 7 - Tentamen 8 5-6, 0- Tentamen , 6- Tentamen 0 6, -, 7-0 Tentamen 70 -, 8, 0- Tentamen 76, 6, 8, 0- Tentamen 85, 5, 7-8,0- Tentamen 89 -, 7- Tentamen 5 97, -, 7-0 Tentamen 6 0, 7- Tentamen Tentamen 8 5 7,9- Tentamen 9, 6-0 Tentamen Tentamen 5, 5-8, 0 Tentamen, 6-9 Tentamen 7,, 5, 7-8 Tentamen 50-5, 7, 9 Tentamen Tentamen , 8 Tentamen 7 67,, 7-8 Tentamen 8 70, 6, 7 Håkan Strömberg KTH Syd

2 Tentamen i matematik TEC: Kurskod: 6*980 Tekniskt basår. Bestäm förstaderivatan till följande funktioner 5e a y (p b y ÿ (p. Lös ekv. f ( 0 då 5 f (. Eakt svar krävs. (p 8. Beräkna minsta oc största värdet av funktionen f ( 5, 9 i intervallet 0. Figuren visar funktionerna y f ( oc y g( i intervallet. a För vilka värden på är både f( oc f ( negativa? Endast svar krävs. (p 5 y (p f( g( b Beräkna f ( 8 g (. (p a 0,5 är det första oc a 0,86 är det fjärde talet i en geometrisk talföljd. a Beräkna kvoten i talföljden (p b Hur många termer skall summeras om summan skall vara 6900? (p 6. Ett företag köper in en maskin. Efter år är maskinens värde y kr, där y ÿ e 0,. a Efter ur många år är maskinens värde % av inköpspriset? b Beräkna den genomsnittliga förändringsastigeten av värdet under de 5 första åren. c Med vilken astiget minskar värdet vid tiden år efter inköpsåret? (p

3 7. En löpare förbereder sig inför en tävling genom att träna löpning på varandra följande dagar. Från en dag till följande dag ökar an löpsträckan med samma längd. Sista dagen springer an 0, km oc totalt ar an under dagars perioden sprungit 06, km. Hur långt var ans första träningspass oc ur mycket ökade an löpsträckan för varje dag? (p a 8. Funktionen f ( b är given. Bestäm konstanterna a oc b så att f ( oc f ( (p 9. Kurvan y ar en normal som är parallell med den räta linjen y 5. Bestäm ekvationen för denna normal. (p 0. Den totala begränsningarean av ett rätblock är dm. En av rätblockets sidokanter är dubbelt så lång som en annan kant. Beräkna rätblockets maimala volym. Svara eakt. (p

4 Förslag till lösningar Matematik TEC: a y 5e b y ÿ 5e ; y ; ln y ln 5e Svar: a y b y ln (p (p. 5 f ( ; 5 5 f ( ; f ( f ( 0 ger 0; ; 0; ± Svar: ± 0 (p. f (,5 9, 0 Funktionens största oc minsta värde kan finnas i lokala etrempunkter där derivatan är noll eller i intervallets ändpunkter. f ( ( ; f 0 ( 0; 0, f (0 9 f (,5 f (,5 9 9,5 9 ( Svar: Minsta värdet är oc största värdet är 9,5 (p. a f ( oc f ( är båda negativa för -värden, för vilka gäller att f ( < 0 oc avtagande. Ur den givna grafen kan avläsas att båda dessa villkor gäller i intervallet 6 < < 8. Svar: f ( oc f ( är båda negativa i intervallet 6 < < 8. (p b f (a k-värdet för tangenten i den punkt där a. f ( 8 g ( 0 Svar: (p

5 5. Givet: Geometrisk talföljd: a 0,5 oc a 0,86 n / a a a k ; 0, 86 0, 5k ; k, 78; k, 78 ; k n, Svar: Kvoten är, (p n a b ( k 0,5(, s n ; sn 6900 ger 6900; k, n 0,6900 n lg 6767, ;, 6767; nlg, lg 6767; n ; n 6 0,5 lg, Svar: 6 termer skall summeras (p n 6. Efter år är maskinens värde y kr, där y ÿ e 0,. a Inköpspris: 0 ger y y % av inköpspriset : ÿ e 0, 0, 79000; e 0, ln 0, 0, ; 0, ln 0,; ; 6, 0 0, Svar: Efter 6,0 år är värdet % av inköpspriset (p b Genomsnittliga värdeminskningen per år under de 5 första åren 0,5 Δy e Δ 5 Svar: Genomsnittliga värdeminskningen under de 5 första åren är 8000kr/år (p c Värdeminskningen per år 0, y ( 79000( 0, e y ( 79000( 0, e 79 0, Svar: Efter år minskar värdet med 800 kr/år (p 7. Löpsträckorna bildar en aritmetisk talföljd med första talet a oc differensen d. a 0, oc s 06, n( a a n ( a 0, 06, sn ger 06, a 0, a 5, 0 7 0, 5, 0 a n a ( n d ger 0, 5, 0 d d ; d 0, 0 ; Svar: Första dagen är löpsträckan 5,0 km oc varje dag ökas sträckan med 0,0 km (p

6 8. f( a a b b ; f ( ; a b f ( ger b ; a ; 8a b 8 ( ; f ( ger b a ; a b ( 8a b 8 ( a b ( 0a ; a 0, ins. i ( b,8 Svar: a 0, ; b,8 (p 9. Kurvan f ( ar en normal som är parallell med linjen y 5. f ( ; f ( ; 5 Linjen y 5; y 5 ; y k linje Parallella linjer ar samma k-värde k normal k linje k normal ; k f ( tangent ; ; 6; 8; 8 ; ( ger y f ( ( dvs normalen går genom punkten P (, ; k Enpunktsformen y ( ( ; y ; 8 y Svar: Normalens ekvation 8 y eller y 8 0 (p 6 y y (-,

7 0. Basytans kanter är oc z Sidokanten är dm. Volymen V B V z V z ( Totala begränsningsarean är z z 6z (6 (6 z insätts i ( 6 6 (6 (6 (6 V ( ; 0 < < 6 V ( (6 ( ; V ( 0 för ( oc V ( 8 V ( 8 < 0 dvs ger z V ma V( ( 6 ( 6 (V( 0 0 V( (V( 6 V 6 0 störst Svar: Maimal volym 6 dm (p

8 Förslag till rättningsmall Matematik TEC:X a Rätt eller fel b p/rätt deriverad term. Rätt tecknad ekv., sedan fel p. Undersöker ej gränserna p Undersöker endast gränserna p Svarar med -värden eller svar med punkter p. a Svarar ej med strikt oliket Felet påpekas utan avdrag b Rätt eller fel 5. a Rätt eller fel b Fel kvot i a ger följdfel Inget avdrag 6. b oc c Enetsfel p en gång 7. Rätt sträcka första dagen, sedan fel p Fel sträcka första dagen, sedan rätt princip p 8. Deriveringsfel p Båda ekvationerna korrekt tecknade, sedan fel p 9. Endast rätt k-värde för den givna linjen ger ingen poäng Fel k-värde för den givna linjen p Principfel vid bestämning av normalens k-värde (e. k normal f ( p Fel vid lösning av ekv. p Fel vid bestämning av normalens ekv. p 0. Rätt tecknad funktion i en variabel ger p oavsett ur fortsättningen ser ut Definitionsområde saknas Inget avdrag Grovt deriveringsfel p Felaktig ekvationslösning p Ej verifierat ma enligt någon godtagbar metod p

9 Matematik TEC: Bestäm f ( då a f( 8 b f( / e. a Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan y i punkten (0, b I vilken punkt på kurvan y är tangenten parallell med -aeln? (p (p (p (p. Bestäm f ( med jälp av derivatans definition då f( 7 (p. Bestäm med jälp av derivata eventuella etrempunkter till funktionen f( De eventuella etrempunkternas karaktärer måste anges. (p 5. Beräkna summan av de 0 första termerna i talföljden 7k där k,,, (p 6. Bestäm funktionsvärdet f ( då f ( 5 e k oc f (0 Eakt svar krävs! 7. Temperaturen T C i en ugn kan beräknas med formeln T( 8 0,80 0, där tiden i minuter sedan ugnen börjar användas oc 0 0. Bestäm den genomsnittliga temperaturändringen ( C/min från det att ugnen börjar användas till det ögonblick då temperaturen är som ögst. 8. Beräkna bredden ( oc öjden (y av den starkaste bjälke som kan sågas ur en stock med diametern 0 cm. Högsta belastningen F på ett orisontellt bjälklag med rektangulärt tvärsnitt är proportionell mot bjälkens bredd oc mot kvadraten på bjälkens öjd. (p (p (p (cm 9. Hur mycket är ett pensionssparande värt, då man går i pension vid 65 års ålder, om man sparar 500 kr varje år från oc med 5 års ålder oc med en garanterad räntesats på,5%. Ingen inbetalning (inget sparande sker pensionsåret. (p 0 Visa att de två kurvorna Grafisk lösning godtas ej. y oc y tangerar varandra (p. Kurvan y a a b ar en minimipunkt i (, 0. (p Bestäm konstanterna a oc b.

10 Förslag till lösningar Matematik TEC: a f( 8 ; Svar: f ( 8 6 b f( / e - e ; f ( 8 e Svar: f ( -8/ - e (p (p. a y ; y y (0 Tangentens ekvation y k ( 0, där k y (0 y b Tangenten är parallell med -aeln då y 0 vilket ger / oc y / / / (p (p Svar: a y b (/, /. f ( lim 0 f ( - f ( lim 0 ( ( - 7 (p lim lim 0 (8 lim(8 8 0 f ( 8 oc f ( 6 ; Svar: f ( 6. Eventuella etrempunkter bestäms med jälp av f ( 0 oc dess karaktärer med jälp av teckenstudium av förstaderivatan eller andraderivatans tecken i etrempunkterna. f( f ( - ; f ( 0 0 ( - 8 med lösningarna 0 oc 8 vilket insatt i funktionen ger y 0 oc y -56 (p Teckenstudium av förstaderivatan f ( f ( f ( f ( 0-56 ma min Alt. lösning: Andraderivatans tecken f ( 6 - ; f (0 < 0 mapunkt ; f (8 > 0 minpunkt Svar: (0, 0 är en maimipunkt oc (8, 56 är en minimipunkt.

11 5. (7 ( (... ( Aritmetisk talföljd ty differensen [7(k] [7k] 7 S n n(a a n / ger S 0 0(/ 5* (p Svar: Summan är f ( 5 e k ; f ( ke k ; f (0 k e 0, dvs k / f( 5 e / ; f ( 5 e (p Svar: f ( 5 e 7. Temperatur T( 8 0,80 0 (p Högsta temperatur (T ma bestäms med T 0 0 8,6 7,5, T -,6 < 0 mapunkt (Alternativt påvisas etrempunktens karaktär med jälp av teckentabell föry T ma T(7,5 65 C vilket ger en genomsnittlig temperaturändring på ΔT Δ T ( 7,5 T ( ,5 7,5 C/min C/min Svar: Den genomsnittliga temperaturändringen är C/min 8. F ky, k > 0; y 0 F ( k(900, > 0 (p F ma fås via F ( 0 F ( k(900 F ( 0 då 0,( 0 vilket ger y 0 6 F ( - 6k < 0 (mapunkt (Alternativt påvisas etrempunktens karaktär med jälp av teckentabell för y 0 7, y 0 6 Svar: Måtten 7 cm cm ger starkaste bjälken kr sätts in varje år (0 år oc ger med ränta på ränta 500*, *, *,05 /* skriv i omvänd ordning */ (p 500*,05 500*,05 500*,05 0 Geometrisk talföljd med summan ( n a k sn oc med första termen k a 500*,05 kr, n 0 oc k,05 ger s n 9 79 kr Svar: Sparandet är värt 9 79 kr (eller 9 kkr

12 0. Kurvorna tangerar varandra om - ½ - oc derivatornas värden är lika i (p skärningspunkten. Gemensamt -värde (gemensam punkt: - ½ - ½ 0 ½ Samma värde på derivatan: y första kurvan är som för ½ blir lika med y för andra kurvan är som för ½ också blir lika med. Båda villkoren är uppfyllda för ½ dvs kurvorna tangerar varandra v.s.v.. ya a b ar derivatan y a a b Minimipunkt (, 0 ger y( 0 oc y ( 0 Dessa villkor ger följande ekvationer ur vilka b kan tecknas som funktion av a 0 -a a b b a oc 0 a a b b 5a a 5a vilket ger a oc b 5 y 6a a; a y 6 y ( 8 > 0 (minpunkt (Alternativt påvisas etrempunktens karaktär med jälp av teckentabell för y (p Svar: a oc b5

13 Förslag till rättningsmall Matematik TEC:X 007 XX XX.. a b Endast korrekt -värde p. Bestämt derivatan med jälp av deriveringsregler p. Ej visat ur typ av etrempunkter erålles p Svarar med enbart - eller y-koordinater p 5. Visar t.e. att a a oc a a ar samma värde oc använder sedan formeln för aritmetisk summa inget avdrag Använder formeln för aritmetisk summa utan att på något sätt visa att denna typ av talföljd gäller p 6. Deriveringsfel p Ej eakt svar p 7. Ej verifierat ma p Beräknar genomsnittlig temperaturändring genom att beräkna medelvärdet av T (0 oc T (7,5 utan motivering p 8. Ej verifierat ma p * 9. Visar ej att termerna som summeras bildar en geomerisk talföljd p Fel a p Fel antal termer p 0. Grafisk lösning p. Deriveringsfel p Ej verifierat min. p * * Ej verfierat typ av etrempunkt ger ma. poäng avdrag på tentan

14 Tentamen TEC: (TB06H oc Ma:(TB07V a Bestäm derivatan till f ( 6 (p b Bestäm derivatan till f ( e (p c Låt y( a e. Bestäm ett eakt värde på konstanten a så att y' (. (p. Funktionen f ( är given. Bestäm med jälp av derivatans definition f ( (p. a Bestäm den tjugonde termen i den geometriska talföljden 65, 5, 5, 5 Svara eakt! (p b Beräkna summan av de 00 första talen i den aritmetiska talföljden,7,, (p. Bestäm en ekvation för tangenten till kurvan y, 0, i den punkt där -koordinaten är. (p 5. En metallkula skjuts upp lodrätt. Kulans öjd meter över marken vid tiden t sekunder ges av funktionen ( t 5t 0t. a Bestäm kulans medelastiget i tidsintervallet t. (p b Bestäm kulans astiget vid tidpunkten t, 0s. (p 6. Bestäm med jälp av derivata eventuella maimi-, minimi- oc terrasspunkter till 5 funktionen f ( 5 (p 7. En plåtskiva ar formen av en rektangel med sidorna 0 cm oc 6 cm. Genom att klippa bort lika stora kvadrater i varje örn oc sedan vika plåtskivan längs de streckade linjerna kan vi tillverka en låda (utan lock. Hur stor skall sidan i varje bortklippt kvadrat vara för att lådans volym skall bli så stor som möjligt? (p 0 6

15 8. En person betalar vid början av varje år in 5000 kr till en pensionsfond med en årlig tillvät av 0%. Första inbetalningen sker i början av år 987 oc sista inbetalningen i början av år 00. a Hur stor är pensionsfonden i början av 00 (precis efter den sista inbetalningen? (p b Hur stor är pensionsfonden i början av 05? Inga inbetalningar görs efter 00. (p 9. Bestäm konstanterna a oc b så att f(a b5 får en minimipunkt i (,- (p

16 Lösningar till TEC: a f '( b ( '( ( e e f e e f c 6 '( '( ( e a e a y e a y e a y. f f f f ( 0 lim ( 0 lim 0 lim 0 lim ( ( ( 0 lim ( ( 0 lim ( (. a Detta är en geometrisk talföljd, där 65 a oc k. Vi får k a a k a a n n b

17 a 00 d a s s n n( a a 7 { a a ( } 00 a n 00( Punktens koordinater är (, f ( (, (,. Tangentens riktningskoefficient k : f ( / / f '( k f '( Till sist beräknar vi tangentens ekvation y k m m m m m Svar: Tangentens ekvation är y 5. En metallkula skjuts upp lodrätt. Kulans öjd meter över marken vid tiden t sekunder ges av funktionen ( t 5t 0t. a Bestäm kulans medelastiget i tidsintervallet t. (p b Bestäm kulans momentanastiget vid t, 0s. (p Δ ( ( 5 0 ( 5 0 a 0 Δt Svar: Medelastigeten är 0 m/s. b '( t 5 t 0 0t 0 '( 0 0 0

18 Svar: Momentanastigeten är 0 m/s 6. f ( 5 5 f '( f '( ( 0 5 ( ( 0 0,, Vi gör en värdetabell f ( ( f (0 0 f ( ( f '( 80 5 f '( 6 5 f '( 6 f '( 80 TECKENTABELL f( 0 - f ( Svar: Maimipunkt (,, terrasspunkt ( 0,0, minimipunkt (,. 7. V ( (0 ( < < 5

19 V '( V '( ± 0, ± ± ± Endast tillör funktionens definitionsmängd V '( V '( Vi ar alltså en mapunkt. Svar: Välj,0 cm Företagaren gör totalt inbetalningar till pensionsfonden. Pensionsfondens värde i början av år 00 fås genom att beräkna en geometrisk summa (,0 a s 760,0 b Om personen låter pensionsfonden väa i fem år till är värdet 760, f( är ett andragradspolynom med positiv koefficient för f( ar en lokal etrempunkt, oc denna punkt är en minimipunkt. f (ab f (0 ger ab0 ( f(- ger

20 a b5- ab-8 ( Vi får alltså ett ekvationssystem med två ekvationer oc två obekanta. Genom att lösa ut b ur ( oc stoppa in detta i ( fås -bb-8 b-8 Vi stoppar sedan in b-8 i ( oc får ab0 a-80 a8 a Svar: a, b-8

21 Rättningsmall: Uppgift Avdrag. Använder ej derivatans definition -p Formella fel (skriver ej ut limes på alla ställen -0p? (Enligt Kistas åsikt. Detta beöver dock diskuteras noga!! Ger vi full poäng om man skriver limes på endast ett ställe. a. Ej eakt svar 0p 5. Fel enet [dock avdrag bara en gång om fel på båda deluppgifterna] -p 6. Missar ett nollställe till f '( -p Ej verifierat punkternas karaktär -p Svarar med -koordinater, ej med punkter -p 7. Korrekt volymfunktion i en variabel, sedan fel -p Påvisar ej ma -p Noterar ej att 0 / inte tillör definitionsmängden. Får rätt svar på uppgiften oc konstaterar att 0 / är en minpunkt -0p 8. Räknar med istället för inbetalningar -p 9. Påvisar ej min -p

22 Matematik Tekniskt basår Tentamen TEN: Kurskod: 6H980. För elementen i en talföljd gäller att a 5 oc a a. Ange. ( p n n n a. I en aritmetisk talföljd är första elementet a oc differensen d, 5. Vilket ordningstal ar elementet 977? ( p. Bestäm f ( om f ( e ( p. Beräkna f ( med jälp av derivatans definition då f ( 5 7. ( p 5. Bestäm det minsta oc största värdet för funktionen y i intervallet. ( p 6. Funktionen f ( ( a är given. Bestäm värdet på konstanten a så att f ( f ( 0. ( p 7. Lägeskoordinaten s (m os ett föremål ges av funktionen där t är tiden i sekunder. s( t 5,0e 0,0t a. Beräkna medelastigeten från t,0 s till t,0 s. ( p b. Beräkna den momentana astigeten då t,0 s. ( p 8. I den punkt till funktionen y 5 som ar -koordinaten dras en normal till kurvan. Denna normal skär funktionskurvan i en annan punkt. Ange den punktens koordinater. Grafisk lösning godtas ej. ( p

23 9. En medicinberoende patient ska avvänjas genom att veckodosen minskas med 5% per vecka. Hur mycket medicin kommer det att gå åt om dosen den första veckan är 500 mg oc avvänjningen ska pågå i 0 veckor räknat från oc med den första veckan. ( p 0. Funktionen y a b, där a oc b är konstanter, ar en lokal etrempunkt i (, -. Bestäm koordinaterna för funktionens andra lokala etrempunkt oc bestäm också vilken typ av etrempunkt det är. ( p. En cylinderformad burk utan lock ska tillverkas. Volymen ska vara 0,50 l ( 0,50 dm. Beräkna cylinderns öjd så att materialåtgången blir så liten som möjligt. ( p

24 Lösningsförslag Matematik TEN: Rekursionsformeln ger a a 5 9 oc a 9 6 a 5 Svar: a 5. Element nummer n kan skrivas a ( n d 977 ( n,5 ; 977,5n, 5 a n 977,5 977,5,5n ; n 655,5 Svar: 655. f ( e e f ( ( e ( 6e Svar: f ( 6e. Enligt definition är f ( lim 0 f ( f ( f ( f ( ( 5( ( f ( lim(9 9 0 Svar: f ( 9

25 5. Funktionens minsta oc största värde måste antas i intervallets ändpunkter eller i en punkt där derivatans värde är 0. y y 6 ( ; y 0 för 0 ger y ( ( 0 ger y ger y ger y 9 Svar: Minsta värde:, största värde: 9 6. ( ( a a a f f ( a f ( f ( 0 ; a a a 0 ; a a 0 a ± ; a ± ; a ; a a Svar: a 7a. Medelastigeten är s( s( 5e 0, 5e 0, 5( e 0,6 e 0,,5079 Svar:,5 m/s 7b. Den momentana astigeten är derivatans värde då t, 0 y 0,t 5 0,e e 0,t 0, 0, t ger y e e, 98 Svar.,5 m/s

26 8. y 5 ; y ger tangentens riktningskoefficient k Normalens riktningskoefficient är då k N k T ger y 5. Normalen dras genom punkten (,. Räta linjens ekvation på enpunktsform ger normalens ekvation y ( ; y Då normalen skär funktionskurvan ar de samma y-koordinat, d v s 5 T 0 ; ± ; ± Den sökta skärningspunkten ar -koordinaten oc y-koordinaten y 5 Svar: (, 5 9. En minskning med 5 % ger en förändringsfaktor på 0,85. Dos vecka : 500 mg Dos vecka : Dos vecka : Dos vecka : 5000, , ,85 mg mg mg Dos vecka 0: ,85 mg Summan av alla dessa doser kan beräknas som summan av en geometrisk talföljd där a 500, k 0, 85 oc n 0 n 0 a ( k 500( 0,85 sn ger s0 60mg 6 g k 0,85 Svar: 6 g

27 0. y a b ; y 6 a Då är y 0, lokal etrempunkt. 6 a 0 ger a. Funktionen kan alltså skrivas y b Då är y ; b ; b Funktionen är y y 6 6 6( Derivatans andra nollställe (förutom är 0 y 6 ; 0 ger y 6 < 0 ; maimum 0 ger y Svar: lokal maimipunkt i ( 0, - 0,5. Cylinderns volym V πr 0,5 ; ; r>0, >0 πr Materialåtgången bestäms av den totala begränsningsytans area A. A A A r πr π 0,5 π r πr πr πr πr r π r r πr r r π r π > 0 för alla r>0, d v s förstaderivatans nollställe ger minimum. r A 0 ; πr 0 ; πr ; πr ; r r r π r 0,596 dm π 0,5 πr 0,5 0,596 dm π π Svar: 5 mm

28 Rättningsmall Två termer korrekt deriverade ger p. Ej använt derivatans definition -p 5. Två gränser oc två derivatanollställen ska undersökas: missat en av ovanstående -p missat två eller fler -p Svarar med punkt eller -koordinat, rätt f.ö. -p 6. Rätt ekvation, sedan fel -p 7a. Fel enet -p 7b. Fel enet, inget avdrag om avdrag gjorts i 7a 8. Grafisk lösning -p Normalens ekvation rätt ger p 9. Fel n -p Svarar med 60 mg är OK, men ännu noggrannare svar -p 0. Korrekt funktion, sedan fel -p Påvisar inte ma med y eller teckendiskussion av y -p. Korrekt areafunktion i en variabel, sedan fel -p Påvisar inte min -p

29 Tentamen i matematik TEC: Kurskod: 6*980. Bestäm f ( då a f ( 5. 7 (p b f ( ( (p. Funktionen g( K e. Bestäm K så att g ( e (p. a Det första oc andra talet i en aritmetisk talföljd är 7 respektive. Beräkna det 000:e talet i följden. b I en geometrisk talföljd är det första talet oc det femte talet 080. Beräkna kvoten i den geometriska talföljden. (p (p. Temperaturen y C på kaffet i en kaffekopp avtar enligt y 95 e 0,05 där är tiden i minuter efter det att kaffet älldes upp i koppen. a Beräkna genomsnittliga förändringsastiget på temperaturen under den första alvtimmen. (p b Vid vilken tidpunkt är kaffets temperatur 50 C? (p 5. Bestäm f ( med jälp av derivatans definition om f (. (p t 6. Antag att antalet anställda på ett företag ändras enligt N(t 6000, 88 där N(t är antalet anställda t år efter årsskiftet 99/9. Beräkna N ( oc tolka resultatet. (p 7. Funktionen y är given. a Ange med jälp av derivata funktionens samtliga lokala etrempunkter samt vilken typ av etrempunkt de är. b Ange i mån av eistens största oc minsta värdet för funktionen om dess definitionsområde är intervallet 6 5. (p (p

30 8. Kurvan y k tangerar räta linjen med ekvationen y för ett visst värde på konstanten k. Bestäm detta värde. (p 9. I en rätvinklig triangel är summan av de båda kateternas längder cm. Då triangeln roterar kring en av de två kateterna uppstår en kon. Bestäm maimala volymen för denna kon. (p 0. En maskininvestering förväntas resultera i en årlig avkastning av kr räknat vid varje års slut. Maskinens livslängd beräknas till 5 år. Hur mycket får maskinen ögst kosta i inköp för att investeringen skall vara lönsam? Årsräntan antas vara 0%. (p

31 Lösningsförslag Tentamen i matematik TEC: Kurskod: 6*980. a f ( 5 ; 7 f ( Svar: f ( 8 (p 7 b f ( ( f ( ( 6( alt. f ( ( ( f ( ( 6( Svar: f ( 6( 6 6 (p. g( K e ; g ( K e e g ( e ; K e e ; e K e; K ; K Svar: e e K (p e. a Aritmetisk talföljd: Differensen d 7 6. Vi får, n-te talet a ( n d 7 6( n, n,,, a n Tal nr. 000 a ( Svar: Tal nr 000 är 600 (p n b Geometrisk talföljd: an a k a , a ger k ; 080 k 0, Svar: Kvoten är 0,8 (p. a För temperaturen y C vid tidpunkten minuter efter det att kaffet älldes upp i koppen gäller y ( 95 e 0,05 Genomsnittlig förändringsastiget för temperaturen under första alvtimmen (0 min Δy Δ y(0 0 y(0 95 e -0, ,7 Svar: Genomsnittliga förändringsastigeten för temperaturen är,7ºc/min (p

32 b Temperaturen y C på kaffet i en kaffekopp avtar enligt y 95 e 0,05 där är tiden i minuter efter det att kaffet älldes upp i koppen. y 50 ger ekv 95 e 0,05 50; e 0,05 50/95; ln e 0,05 ln(50/95; ln(50 / 95 0,05 ln e ln(50/95; ; 5,97 0,05 Svar: Vid tidpunkten 6 min är temperaturen 50 C (p 5. f (. Derivatans definition f ( lim 0 f ( f ( 6( f ( f ( ( ( ( ( f ( lim 0 ( Svar: f ( (p 6. Tid: t år efter årsskiftet 99/9 t Antal anställda N(t 6000, 88 t N (t 6000,88 ln 0,88 N ( 6000,88 ln 0,88 Svar: Vid årsskiftet 00/0 minskade antal anställda med pers./år (p 7. a y ; y 6 ; y 6 6 y ; 8 0; ± 8 ± 9, ± y y > 0 dvs (, 80 är en minimipunkt y ( ( ( y 6 ( 6 8 < 0 dvs (, 8 är en maimipunkt Svar: Minimipunkt (, 80, maimipunkt (, 8 (p

33 b Minsta resp. största värde finns antingen i etrempunkter där y 0 eller i definitionsområdets ändpunkter 6 y ( 6 ( 6 ( 6 80 y 8 y 80 5 y Svar: Funktionens minsta värde är 80 Funktionens största värde är 8 (p 8. y k y Tangentens ekv. y k tan genten I tangeringspunkten gäller att derivatan y k tangenten Detta ger ekv. ; ;, 5 tangeringspunktens -koordinat. Tangeringspunkten ligger på linjen y vilket ger tangeringspunkten (,5;,5 Insättning av (,5;,5 i y k ger:,5,5, 5 k k,5,5,5 Svar: k,5 (p 9. Triangelns kateter motsvaras i den alstrade konen av radien r cm oc öjden ( cm. π r Konens volym V ger π ( V( 0 < < r V ( π(8 π (6 π (6 π(6 V ( 0 ger ekv. π(6 0; 0 tillör ej def.området, V ( π(6 6 V ( 6 π(6 6 6π< 0, dvs 6 ger V ma π 6 (6 cm 08π cm 5 cm, 0 cm Svar: Konens maimala volym är, dm (p

34 0. Antag maskinen kostar kr (nu Ekonomisk situation i slutet av :a året: 6,0 0 kr :a året: :e året: :e året: 5:e året: 6 6,0 0, ,0 0,0 0, ,0 0,0 0,0 0, ,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0 OBS! Ovanstående kan ersättas med en tidsael Efter det femte året skall det (i gränsfallet a gått jämnt ut. Vi får därför ekvationen:,0, (,0 (,0,0,0,0,0,0 0,0 Summan av termerna i parentesen kan beräknas med jälp av formeln för summan n a( k av en geometrisk talföljd sn där a, k,0 oc n 5 k 5 5 6,0,0 0, (, ,8,79 0 5,0 0,0 6 Svar: Maskinen får kosta ögst,8 miljoner kronor (p

35 Förslag till rättningsmall Tentamen i matematik TEC:X YYYY-MM-DD Kurskod: 6*980 (Tekniskt basår, studenter inskrivna 00 eller Rätt derivata oc rätt tecknad ekv., sedan fel p.. a Enetsfel p b 5. Ej använt derivatans definition p 6. Fel derivata p Rätt värde på N ( p För full poäng skall tolkningen inneålla tidpunkt (efter år OK samt visa att antalet minskar med värde oc rätt enet. 7. a Ej verifierat typ av etrempunkt med derivata p a oc b Skiljer ej på punkter oc koordinater p första gången felet görs 8. Principfel i någon del av lösningen p 9. Fel derivata p Ej verifierat ma. p Undersöker ej gränserna 0p Maimal volym felaktigt eller ej beräknat p 0. Rätt uppställd ekv. för beräkning av utan motivering. p, - p??? Missar räntefaktorn för (,0 5 p, -p??? Räknar med n p???

36 Tentamen TEC: för Tekniskt basår Derivera a f ( e (p b 5 f ( (p f ( a c Lös ekvationen då f ( a f ( (p. Funktionen f ( 5 är given. Bestäm med jälp av derivatans definition f ( (p. I punkten (, dras en tangent oc en normal till f ( 5. Normalen oc tangenten bildar tillsammans med -aeln ett avgränsat område. Bestäm arean av detta område eakt. (p. Undersök med jälp av derivata funktionen y.undersökningen skall omfatta nollställen, lokala etrempunkter samt funktionens största oc minsta värde i intervallet (p 5. Om en människa faller i nollgradigt vatten, avtar kroppstemperaturen T ( kt C eponentiellt med tiden (t minuter enligt formeln T ( t C e Efter 5 minuter ar kroppstemperaturen sjunkit från7 C till C. a Bestäm konstanterna C oc k. Beräkna sedan ur lång tid det tar innan kroppstemperaturen är 0 C (p b Med vilken astiget avtar kroppens temperatur 5,0 minuter efter det att personen fallit i vattnet? (p

37 6. Hur många av elementen är mindre än 50 a i talföljden 5,,9,6,.. (p b i talföljden, 6,,... (p 6 7. Kurvan y ar i första kvadranten en tangent som är parallell med linjen y Bestäm ekvationen för denna tangent. Svaret skall ges på formen y k m där k oc m skall ges i eakt form. Ledning: a a ( a a a (p 8. Man ar en 0 meter lång ståltråd som delas i två delar (se skiss nedan. Av den ena delen böjer man en cirkel oc av den andra en kvadrat. Hur skall tråden delas för att cirkelns oc kvadratens sammanlagda area skall bli så liten som möjligt. (p skissen är ej skalenlig 0 m

38 Lösningar till TEC: a e f e f 6 ( ( b ( ( f f c ( f ( a a a f oc ( a a f Ekvation 0 0 ( a a a a a a SVAR: a e f 6 ( b 5 ( f c a. 5 ( 5 5 ( 5( ( 5 ( f f f lim 5 5 lim ( ( lim ( f f f 0 0 0

39 . Tangentens ekvation blir, eftersom f ( k, med punkten (, y ( y Normalens k-värde ges av k k dvs Normalens ekvation blir därför y ( eller y N T k N Normalen skär -aeln i (,0 (Sätt y 0 i normalens ekvation På samma sätt beräknas var tangenten skär -aeln. Tangenten skär -aeln i (,0 0 Triangelns bas blir alltså b ( l. e Triangeln öjd är l.e (gemensamma y-koordinaten för normalen oc tangentens skärningspunkt Arean blir alltså A a. e 80 SVAR: a. e. y Nollställen: sätt y 0 0 ( 0 { 0, ± Etrempunkter: y 0 0 ± Teckenstudiem av derivatan: - y y -

40 Definitionsområde oc värdeförråd: f ( 8 f ( Graf: SVAR: Största värde 8. Minsta värde är - Nollställen är 0, oc Lokal mapunkt (, lokal minpunkt i (, 5. a k t T ( t Ce vid t 0 är T (0 7 C 7 kt T ( t 7e Efter 5 minuter är temperaturen grader. k5 k5 T (5 7e 7e k 5 ln( k 9, Tiden till det att temperaturen sjunkit till 0 grader ges av

41 9,67880 t 0 7e Denna ekvation ar lösningen 0 ln( 9, b t ln e t,7 minuter T ( t 7 ( 9,67880 e 0, t 0, T (5 7 ( 9,67880 e 0,C / min SVAR: a C 7; k 9,67880 oc det tar ca minuter till att temperaturen är 0 grader. b temperaturen avtar med ca 0, C / min då personen ar legat i vattnet i 5 minuter 6. a Talföljden 5,, 9, 6 är aritmetisk med differensen 7 oc första term 5 a n a ( n d Alltså: a n 5 ( n 7 7n 50 > 7n n < 6 Välj 5 element b Talföljden, 6,,... är geometrisk med kvoten oc första term an ak Alltså: a ( n n 50 ( n Välj 5 element n 50 ( n 50 lg n lg n, 5, SVAR: a 5 st. b 5 st.

42 7. Räta linjen kan skrivas y 5, 5 6 y y 6 Antag tangeringspunktens koordinater är (a,b y ( a eftersom räta linjen ar k-värdet a a ± a a Negativa roten förkastas eftersom punkten ligger i :a kvadranten 6 6 b ( Enpunktsformeln ger slutligen y ( y 6 SVAR: y 6 8. Antag att tråden delas så att en bit blir meter. Då är den andra (0- m Antag vidare att man gör en cirkel av -biten oc en kvadrat av den andra biten. Cirkelns omkrets blir Kvadratens area blir π R oc dess area A C π ( π (0 A K 6 (0 Sammanlagda arean blir T π 6 (0 ( 0 T ( π 6 π 8 T > 0 min π 8 0 T 0 8, 990 m ( π 8 π SVAR: Ena biten skall vara, m (cirkeln oc den andra skall vara 5,6 m

43 Rättningsmall: Uppgift Avdrag. deriveringsfel -p c Rätt uppställd ekvation. Sen fel -p a formella fel (skriver ej limes -p. rätt normal oc tangent men fel area. -p. Ej verifierade etrempunkter -p Ej beräknat nollställen -p. Fel nollställen -p Fel etrempunkter -p Ej verifierad karaktär -p Ej beräknat randvärdena -p 5. Fel C -p Fel k -p Fel tid -p trollar bort tecknet utan förklaring -p 6. svarar ett element för mycket i både a oc b -p b kan inte räkna ut n men annars rätt -p 7. Kan inte derivera rationella fkn rätt -p Ej eakta konstanter -p Svarar y 6 0p 8.

44 Matematik Tekniskt basår Tentamen TEC: Kurskod: 6*980. För elementen i en talföljd gäller att a 5 oc a a. Ange. ( p n n n a. I en aritmetisk talföljd är första elementet a oc differensen d, 5. Vilket ordningstal ar elementet 977? ( p. Bestäm f ( om f ( e ( p. Beräkna f ( med jälp av derivatans definition då f ( 5 7. ( p 5. Bestäm det minsta oc största värdet för funktionen y i intervallet. ( p 6. Funktionen f ( ( a är given. Bestäm värdet på konstanten a så att f ( f ( 0. ( p 7. Lägeskoordinaten s (m os ett föremål ges av funktionen där t är tiden i sekunder. s( t 5,0e 0,0t a. Beräkna medelastigeten från t,0 s till t,0 s. ( p b. Beräkna den momentana astigeten då t,0 s. ( p 8. I den punkt till funktionen y 5 som ar -koordinaten dras en normal till kurvan. Denna normal skär funktionskurvan i en annan punkt. Ange den punktens koordinater. Grafisk lösning godtas ej. ( p

45 9. En medicinberoende patient ska avvänjas genom att veckodosen minskas med 5% per vecka. Hur mycket medicin kommer det att gå åt om dosen den första veckan är 500 mg oc avvänjningen ska pågå i 0 veckor räknat från oc med den första veckan. ( p 0. Funktionen y a b, där a oc b är konstanter, ar en lokal etrempunkt i (, -. Bestäm koordinaterna för funktionens andra lokala etrempunkt oc bestäm också vilken typ av etrempunkt det är. ( p. En cylinderformad burk utan lock ska tillverkas. Volymen ska vara 0,50 l ( 0,50 dm. Beräkna cylinderns öjd så att materialåtgången blir så liten som möjligt. ( p

46 Lösningsförslag Matematik TEC:X Rekursionsformeln ger a a 5 9 oc a 9 6 a 5 Svar: a 5. Element nummer n kan skrivas a ( n d 977 ( n,5 ; 977,5n, 5 a n 977,5 977,5,5n ; n 655,5 Svar: 655. f ( e e f ( ( e ( 6e Svar: f ( 6e. Enligt definition är f ( lim 0 f ( f ( f ( f ( ( 5( ( f ( lim(9 9 0 Svar: f ( 9

47 5. Funktionens minsta oc största värde måste antas i intervallets ändpunkter eller i en punkt där derivatans värde är 0. y y 6 ( ; y 0 för 0 ger y ( ( 0 ger y ger y ger y 9 Svar: Minsta värde:, största värde: 9 6. ( ( a a a f f ( a f ( f ( 0 ; a a a 0 ; a a 0 a ± ; a ± ; a ; a a Svar: a 7a. Medelastigeten är s( s( 5e 0, 5e 0, 5( e 0,6 e 0,,5079 Svar:,5 m/s 7b. Den momentana astigeten är derivatans värde då t, 0 y 0,t 5 0,e e 0,t 0, 0, t ger y e e, 98 Svar.,5 m/s

48 8. y 5 ; y ger tangentens riktningskoefficient k Normalens riktningskoefficient är då k N k T ger y 5. Normalen dras genom punkten (,. Räta linjens ekvation på enpunktsform ger normalens ekvation y ( ; y Då normalen skär funktionskurvan ar de samma y-koordinat, d v s 5 T 0 ; ± ; ± Den sökta skärningspunkten ar -koordinaten oc y-koordinaten y 5 Svar: (, 5 9. En minskning med 5 % ger en förändringsfaktor på 0,85. Dos vecka : 500 mg Dos vecka : Dos vecka : Dos vecka : 5000, , ,85 mg mg mg Dos vecka 0: ,85 mg Summan av alla dessa doser kan beräknas som summan av en geometrisk talföljd där a 500, k 0, 85 oc n 0 n 0 a ( k 500( 0,85 sn ger s0 60mg 6 g k 0,85 Svar: 6 g

49 0. y a b ; y 6 a Då är y 0, lokal etrempunkt. 6 a 0 ger a. Funktionen kan alltså skrivas y b Då är y ; b ; b Funktionen är y y 6 6 6( Derivatans andra nollställe (förutom är 0 y 6 ; 0 ger y 6 < 0 ; maimum 0 ger y Svar: lokal maimipunkt i ( 0, - 0,5. Cylinderns volym V πr 0,5 ; ; r>0, >0 πr Materialåtgången bestäms av den totala begränsningsytans area A. A A A r πr π 0,5 π r πr πr πr πr r π r r πr r r π r π > 0 för alla r>0, d v s förstaderivatans nollställe ger minimum. r A 0 ; πr 0 ; πr ; πr ; r r r π r 0,596 dm π 0,5 πr 0,5 0,596 dm π π Svar: 5 mm

50 Rättningsmall Två termer korrekt deriverade ger p. Ej använt derivatans definition -p 5. Två gränser oc två derivatanollställen ska undersökas: missat en av ovanstående -p missat två eller fler -p Svarar med punkt eller -koordinat, rätt f.ö. -p 6. Rätt ekvation, sedan fel -p 7a. Fel enet -p 7b. Fel enet, inget avdrag om avdrag gjorts i 7a 8. Grafisk lösning -p Normalens ekvation rätt ger p 9. Fel n -p Svarar med 60 mg är OK, men ännu noggrannare svar -p 0. Korrekt funktion, sedan fel -p Påvisar inte ma med y eller teckendiskussion av y -p. Korrekt areafunktion i en variabel, sedan fel -p Påvisar inte min -p

51 Tentamen i Matematik för Teknisk bastermin Skrivtid: Tillåtna jälpmedel: Miniräknare oc formelsamling -p ger betyget E, 5-7p ger betyget D, 8-0p ger betyget C, - ger betyget B, -6 ger betyget A OBS! Om du ar KS godkänd beöver du inte göra uppgift -. f ( a Beräkna f (0,5 (p b Lös ekvationen f (, 5 (p. Bestäm f ( då f ( (p OBS! Om du ar KS godkänd beöver du inte göra uppgift -. En bil kostar i inköp kr. Efter år ar dess värde sjunkit till y , 80 kr. Efter ur många år är värdet kr? (p. Derivera 6 e (p OBS! Om du ar KS godkänd beöver du inte göra uppgift Bestäm ekvationen för tangenten till y e vid 0. (p 6. Bestäm lokala etrempunkterna till f ( 8. (p Här börjar du om alla kontrollskrivningarna är godkända: 7. Lös ekvationen 5 (p 8. Lös ekvationssystemet: y y 5 (p 9. Lös eakt lg lg 0 lg (p 0. År 960 var folkmängden i en kommun personer oc (p år 000 var den personer. Hur stor folkmängd kan man förvänta sig år 00 om tillväten antas vara eponentiell?

52 . Ange en eponentialfunktion y Ca sådan att (p y( oc y, 5 y.. En cylinder placeras inuti en kon. Cylinderns basyta står på konens basyta. Vilken är den största andel av konens volym som cylinderns volym kan a? (p

53 Tentamen i Matematik för Teknisk bastermin Lösningsförslag. f ( a Beräkna f (0,5 f ( 0,5 6 Svar: f ( 0,5 6 0,5 0,5 0,5 b Lös ekvationen f (, 5 f (,5 Multiplicera V.L. oc H.L. med ( (,5 (,5, 5,5 0, ± ± ± oc Svar: ;. Bestäm f ( då f ( 6 6 f ( ( Svar: f (. En bil kostar i inköp kr. Efter år ar dess värde sjunkit till y , 80 kr. Efter ur många år är värdet kr? ,80 0, , lg 0,80 lg lg 0,80 lg,, lg,,7 Svar: efter år lg 0,80 6. Derivera e d 6 d 0,5 ( e (6 e 9 d d 0,5 ( 6 0,5 e 9 ln 9 5 0,5 e 9 ln9 5 0,5 5 0,5 e 9 ln 9 Svar: e 9 ln 9 5. Bestäm ekvationen för tangenten till y e vid 0. y' e 0 k-värdet för tangenten k y'(0 0 e 0 0 m-värdet för tangenten m y(0 0 e 0 y k m Svar: y 6. Bestäm lokala etrempunkterna till f ( 8

54 f '( 6 6 6( ± 7 ± f ''( 6 ( 6 Vi ar en lokal etrempunkt vid 7 f ''(7 (7 6 är positiv vilket betyder en minimipunkt y f ( oc en annan lokal etrempunkt vid f ''( ( 6 8 är negativ vilket betyder en maimipunkt y f (7 ( 8 ( ( Svar: maimum i (-,5 oc minimum i (7, Lös ekvationen 5 Kvadrera både V.L. oc H.L:. 5 ( 5 ± Prövning: : VL 5 9 HL OK : VL ( 5 HL ej OK Svar: 8. Lös ekvationssystemet: y ( y 5 ( y ( 6y 0 ( 0 7y y 7 y insättes i ( 7 Svar: y 9. Lös eakt lg lg 0 lg lg lg 0 lg lg 0 lg lg lg lg lg,5, 5 Svar:, År 960 var folkmängden i en kommun personer oc år 000 var den personer. Hur stor folkmängd kan man förvänta sig år 00 om tillväten antas vara eponentiell? Använd formen y C a oc sätt y 50000, C 0000 oc

55 a a a, ger en formel för folkmängdsökningen y 0000, oc vid 00 ar vi y 0000, personer Svar: personer. Ange en eponentialfunktion y Ca sådan att y( oc y, 5 y. 0 y ( C a C y' Ca ln a,5 y, 5Ca ln a,5 a,8 Svar: y 5000, 8. En cylinder placeras inuti en kon. Cylinderns basyta står på konens basyta. Vilken är den största andel av konens volym som cylinderns volym kan a? Lösningalternativ : Konen med cylinder inuti, sett från sidan: H r R Cylinderns volym V Cyl π r oc konens volym V Kon R H π I toppen oc i ela konen bildas likformiga trianglar där r R r H H H R H V Kvoten mellan de två volymerna Cyl π r α V Kon π R H r H π ( H ( H Om ersätts med α ( R H π H H H ( H H 6 H H H H Derivera oc sätt lika med 0 föra att finna ett maimum: 9 α ' (. 0 H H H 9 α ' ( ( H H 0 H

56 H H H ± H H H H H ± ± (H ger minimum 9 ( ( H H H H H α Svar: 9 Lösningalternativ : Låt lilla istället var öjden i topptriangeln R r H Cylinderns volym oc konens volym ( H r V Cyl π H R V Kon π I toppen oc i ela konen bildas likformiga trianglar där H R r H R r Kvoten mellan de två volymerna H R H r Kon V V Cyl ( π π α Om R r ersätts med H ( ( ( H H H H H π π α ( H H Derivera oc sätt lika med 0 föra att finna ett maimum: 0 ( ( ' H H α 0 H H H (0 ger min 9 ( ( H H H H H H H H α Svar: 9

57 TB06V MATEMATIKTENTAMEN : Derivera följande funktioner a f ( e 5 p. b f ( p.. Funktionen f ( är given. Bestäm f (5 med jälp av derivatans definition. p.. Lös ekvationen lg lg lg9. Svara eakt i bråkform. p.. Lös följande ekvation 0 p. 5. Förenkla följande uttryck så långt som möjligt. 7a a 6a a p. 6. Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan y i punkten (,5. p. 7. En cylindrisk vattenbeållare är fylld med 000 liter vatten. Vid tiden t 0 öppnas avrinningsröret i botten. Efter t minuter återstår V(t liter vatten i beållaren där V(t ges t av V ( t 000 för 0 t 0. 0 Med vilken astiget rinner vattnet ur beållaren när t? p. 8. Bestäm konstanterna a oc b så att funktionen f ( a b får ett lokalt maimum i punkten (,. p. 9. Basytan i ett rätblock är en rektangel med omkretsen 8 cm. Höjden i rätblocket är dubbelt så stor som en av sidorna i basytan. Beräkna rätblockets maimivolym. p. 0. Temperaturen y C för en maträtt som placeras i en ugn kan k beräknas med ekvationen y 00 80e där minuter är den tid maträtten stått inne i ugnen. Vid den tidpunkt då maträtten sätts in i ugnen stiger temperaturen med,0 C/min. Vilken temperatur ar maträtten efter minuter? p.. Världens kända utvinningsbara koltillgångar uppgick vid slutet av år 98 till 660 miljarder ton. Med 98 års förbrukning skulle de räcka 00 år. Antag nu att förbrukningen ökar med 5,0 % per år. Hur mycket finns då kvar av de utvinningsbara tillgångarna vid början av år 00, om inga nya fynd görs? p.

58 TB06V MATEMATIKTENTAMEN TEN: LÖSNINGSFÖRSLAG a. f ( e f ( 6 e 5 Svar: f ( 6 e b. f ( f ( f ( f ( Svar: f (. f ( f (5 f (5 (5 f (5 lim 0 lim 0 ( lim 0 lim 0 0 lim 0 lim 0 ( 0 0 ( lg lg lg9 lg lg lg lg lg lg lg9 Svar: Svar: f ( Ersätter med t oc får följande ekvation: t t 0

59 t t ± ± ± 8 t t eller t Återgår, dvs ersätter t med oc får då: ± Saknar lösning Svar: ± 5. 7a a 6a a 8a (9a 8a a a 8a 9a 8a a 9a 5a Svar: 5a 6 6. y y Enpunktsformen: y y ( k y 5 k y ( 6 Med insatta värden: y 5 6( y y 6 Svar: y 6 7. t V ( t t 0 0 t t V ( t V ( t t t 8 0t V ( t 50 8

60 0 V ( 50 8 V ( 50 5 V ( 5 Svar: Vattnet rinner ut med astigeten 5 liter per minut. 8. f ( a b f ( 0 ger etrempunkter: f ( a a 0 Punkten i fråga var (,: a 0 a Funktionen blir: f ( b Punkten (, jälper oss att itta b: f ( f ( b b b b Funktionen blir: f ( Teckenväling runt etrempunkten som kontroll: f (0 f ( 0 f ( Jo, funktionen ar ett lokalt maimum i punkten (, Svar: a oc b ger ett lokalt maimum i punkten (,. 9. Kallar basytans sidor för oc y. Omkretsen blir då y: y 8 y 9 y 9 Basytans area ( 9 Höjden är dubbelt så stor som basytans ena sida: Rätblockets volym ( 9 V ( (9 V ( 8 V ( 0 ger etrempunkter: V ( (6 0

61 6 0 eller eller 6 ej aktuell Etrempunktens karaktär bestäms: V ( 5 > 0 V ( 6 0 V ( 7 < 0 V väande Maimipunkt V avtagande Rätblockets maimivolym beräknas: V ( Svar: Rätblockets maimala volym är 6 cm. 0. k y 00 80e y ( 0, 0 är givet i uppgiften k y ( 80e ( k y ( 0 80 ( k 80k Vi får: 80 k,0 k 80 k 90 Funktionen blir: e y y( söks: y ( 00 80e y 6 90 Svar: Efter minuter är temperaturen 6 C. 660 miljarder ton under 00 år ger en förbrukning av, miljarder ton per år (baserat på 98 års förbrukning. Förbrukningen anses öka med 5,0 % per år: År 98:,,05 miljarder ton År 98:,,05 miljarder ton År 98:,,05 miljarder ton År 08: År 09:,,05,, miljarder ton miljarder ton

62 Den totala förbrukningen under tidsperioden blir: 8,,05,,05...,,05 Detta är en geometrisk serie med kvoten k,05 Summan kan beräknas med formeln: s n n a( k sn k Med insatta värden: 8,,05(,05 s 8,05 s 8 7, miljarder ton I början av år 00 återstår således (660-7,, dvs ungefär 90 miljarder ton. Svar: 90 miljarder ton.

63 TB06V MATEMATIKTENTAMEN : Beräkna f ( då f ( p.. Lös ekvationen 0 Svara i eakt form. p.. En parkerad bil börjar glida nedför en backe så att den på tiden t sekunder glider sträckan s meter där s ges av s ( t 0,t. Vid vilken tidpunkt är astigeten,0 meter per sekund? p.. Bestäm summan av de tio första elementen i den geometriska talföljden 5, 5, 5,. p. 5. Lös följande ekvationer a (Svara med tre värdesiffror p. b lg lg 7 lg (Svara i eakt form p. 6. Ange ekvationen för en rät linje som går genom punkten (0, oc som är parallell med linjen y 5 p. 7. Man ar funktionen y. Ange koordinaterna för samtliga etrempunkter oc ange dessutom etrempunkternas karaktär. Skissa även grafen i grova drag. p. 8. Funktionen f ( är given. Förenkla f ( a f ( a så långt som möjligt. p. 9. Om en öppnad godispåse förvaras i ett normalt köksskåp visar det sig att inneållet försvinner enligt någon process som inte är elt klarlagd. Enligt en föreslagen modell minskar till eempel mängden Gott oc blandat eponentiellt med en genomsnittlig alveringstid på timmar i en normal svensk tvåbarnsfamilj. Vid ett tillfälle kontrollvägdes kvarvarande inneåll i en 500-gramspåse i ett köksskåp en tisdag klockan.00, varvid vikten uppmättes till 75 gram. Vilken kvarvarande vikt kan man förvänta sig klockan 8.00 dagen efter om den föreslagna modellen gäller? p. 0. Man vill tillverka en aluminiumburk med botten oc lock som ska rymma 0,50 dm. Vilken radie oc vilken öjd ska burken a om man vill att materialåtgången ska vara så liten som möjligt? Burken ska a formen av en rak cirkulär cylinder oc materialtjockleken ska vara densamma överallt. p.

64 TB06V MATEMATIKTENTAMEN : Lösningsförslag. 5 f ( f ( 5 f ( 0 0 f ( 0 0 f (,5 ( 8 Svar: f (, , ( ( ( ( ( 0 ( ( ( ( ( 0 ( ( ( 0 ( ( ± 9 ± 5 Svar: ± 5. s ( t 0,t v( t s ( t 0, 8t Tidpunkt för v,0 m/s söks:,0,0 0,8t t t,5 0,8 Svar: Efter,5 sekunder är astigeten,0 m/s.

65 . Geometrisk summa: n a( k sn k s 0 5( 0 s Svar: Summan är a. lg lg lg lg lg lg,90 Svar:, 90 5 b. lg lg 7 lg 7 lg lg Svar: Enpunktsformen: y y ( k y k( 0 y k y k Parallell med y 5 5 y 5 y 5 y Parallella linjer ar samma k-värde: k Insatt i y k : y Svar: y

66 7. y y 0 ger etrempunkter: y 0 ( 0 0 eller 0 0 ± ± 9 ± eller Etrempunkternas karaktär bestäms med jälp av teckenstudium: f ( < 0 f avtagande f ( 0 minimipunkt för f ( > 0 f väande f ( 0 0 maimipunkt för 0 f ( 0,5 < 0 f avtagande f ( 0 minimipunkt för f ( > 0 f väande Funktionsvärdena i etrempunkterna beräknas: f ( ( ( ( 0 f ( 0 f ( 8. f ( 7 Svar: Minimipunkt med koordinaterna (-, - 0 Maimipunkt med koordinaterna (0, Minimipunkt med koordinaterna (, 7 f ( a f ( a (a (a ( a a 9a 9a a 9a 6a Svar: 6a

67 9. kt y( t y 0 e Halveringstiden timmar används för att bestämma konstanten k: y0 k y0 e k e e k ln ln e k k ln ln k k 0,0888 Med insatta värden får vi följande: 0,0888t y( t 75 e y (9 75 e y ( 9 6 0, Burkens totala area A är: A πr πr Svar: Klockan 8.00 dagen efter finns 6 gram kvar. Burkens volym ska vara 0,50 dm Burkens volym V är: V πr 0, 5 0,50 π r πr Detta uttryck för sätts in i areaformeln, så får vi en formel med en variabel: 0, 5 A( r πr πr πr A( r π r r A( r πr r A ( r 0 ger etrempunkt: A ( r πr r A ( r π r r

68 0 π π π π π r r r r r r r 0,07 r Etrempunktens karaktär bestäms: A avtagande 0 0, A ( < 0 π A Minimipunkt 0 0,5 ( > A A väande Höjden beräknas: 0,5 r π (se tidigare i lösningen 0,86 0,5 π π Svar: Radien ska vara 0, dm oc öjden 0,86 dm.

69

70 Matematik TEN : Tekniskt basår Inför KS bör du klara uppgifterna,, 5, 6, 7, 8, 9. Förenkla uttrycket a a a a så långt som möjligt ( p. Bestäm med jälp av derivata lokala maimi- oc minimipunkter till kurvan y ( p. Funktionen f( a 5 är given. Bestäm talet a eakt så att f ( 9 ( p. Lös ekvationerna. Avrunda svaret till tre värdesiffror.,9 a 8 5 ( p 6 b 5 ( p 5. Lös ekvationen ( p 6. Lös ekvationen ln( ln ln ( p 7. Beräkna eakt längden av sidan DE om sidan AB är l.e. ( p

71 8. År 980 var folkmängden i en kommun personer oc år 000 var ( p den personer. Hur stor folkmängd kan man förvänta sig år 00 om tillväten antas vara eponentiell? 9. Lös ekvationen - 6 ( p 0. Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan y e 5 e - ( ( p i den punkt där 0. Kurvan y är skissad i figuren ( ej skalenligt. I det lilla området ( p mellan kurvan oc -aeln ritar man in en rätvinklig triangel som ar ett örn i A där kurvan skär -aeln, ett annat i B, som ligger på kurvan, oc det tredje örnet i C på -aeln. Bestäm den maimala area som denna triangel kan a.

72 Förslag på lösningar TEN : a a ( a ( a ( a ( a. ( a ( a a a a a a Svar: a. y deriveras. y 6 ( ; y 0 för 0 oc y ger y oc y 6 > 0, d v s lokal minimipunkt i ( 0, ger y 5 oc y -6 < 0, d v s lokal maimipunkt i (, 5 Svar: Minimum i ( 0,, Maimum i (, 5. f( a 5 ger f ( a 0 f ( 9 ger a 0 9 ; a 0 9 ; a - ; a Svar: a,9 a. 8 5 ; 6 b. 5 ;,, ; 0, Svar: 0, ; ln 6 ln 5 ln ; 0, ln Svar: 0, ; Definitionsområde: Multiplikation med (-5 ger: (-5 0 ; ; ; ± ± 6 6 ; 0 5 tillör ej definitionsmängden Svar:

73 6. ln( ln ln ; Definitionsmängd: > 0 ln ln ; ; 8 ; 7 ; 7 Svar: 7 7. ΔABC: cos0 o AC ; AC ΔACD: cos5 o ΔADE: cos60 o AD AD ; AD 6 AC DE DE ; DE 6 AD Svar: l.e. 8. N o då t 0 oc N då t 0. Modellen N N 0 e kt ger då e 0k 0k ln,5 ;,5 e ; ln,5 0k ; k 0 tln,5 0 Modellen kan nu skrivas N e År 00 är t 0, d v s folkmängden beräknas då vara 0ln,5 0 N e 80 Svar: 000 personer ; Definitionsmängd: > 0 Sätt t ; t ; t > 0 Nu kan ekvationen skrivas t t 6 ; t 69 5 t 6 0 ; t ± ; t ± t 9 ger 9 8 ; t ger 6 Prövning med 8: VL ; HL 6 ; VL HL Prövning med 6: VL ; HL 6 ; VL HL Svar: 8 ; 6

74 0. 0 ger y e 0 e 0 ( 0 ; Tangeringspunkten är ( 0, y 5e 5 e - ( 5e e ger tangentens riktningskoefficient k 5e 0 e 0 9 Tangentens ekvation enligt enpunktsformen: y 9( 0 ; y 9 Svar: y 9. Punkten A fås då kurvan skär -aeln, d v s då y 0 0 ; ( 0 ;, 0 Punkten A ar koordinaterna (, 0 Antag punkten C ar -koordinaten, där 0 < <. Då ar punkten B y-koordinaten, d v s triangelöjden BC Basen CA i triangeln är b b ( ( Triangelns area är då A 6 A ( A 6 6 A 0 för 0 tillör ej definitionsmängden. A 0 för ; ± ; ± 6 6 tillör ej definitionsmängden 0,5 ger A 0 oc A 6 0,5 6 0,5 0,5 < 0, d v s maimum. 0,5 ger A ma 0,5 0,5 0,5 0,05 Svar: a e

75 Rättningsanvisningar Deriveringsfel - p Verifierar ej ma-min - p. Svaret ej eakt - p. Fel antal värdesiffror - p en gång 5. Svarar även med 5 - p 6. Felaktig beandling av någon log-lag - p Definitionsmängd eller prövning av lösning krävs ej Rätt funktion, sedan fel - p Deriveringsfel - p. Rätt areafunktion i en variabel, sedan fel - p Verifierar ej ma - p

76 Matematiktentamen : Inför KS bör du klara uppgifterna,,, 5, 7, 9. Lös ekvationen 5 ( (7 0 p.. Förenkla följande uttryck så långt som möjligt. a ab a ab a ab a ab p.. Derivera y p.. Lös ekvationen p. 5. Lös ekvationen 9 p. 6. Givet är f (. Bestäm f ( med jälp av derivatans definition. p. 7. En rät linje som går genom punkterna ( 9, oc (8, a. ar riktningskoefficienten. Bestäm talet a. p. 8. En cylindrisk vattenbeållare är fylld med 00 liter vatten. Vid tiden t 0 öppnas avrinningsröret i botten. Efter t minuter återstår volymen V (t i beållaren, där V (t ges av; t V ( t 00( för 0 t 0 0 Med vilken astiget rinner vattnet ut då t? p. 9. B D v A C p. Bestäm vinkeln v, då BD är,0 cm, AD är,0 cm oc AC är,0 cm.

77 0. En patient får en injektion av ett preparat i blodet. Koncentrationen är från början, 00 mg / ml. Efter minuter ar koncentrationen gått ner till, 5 mg / ml. Preparatet är verksamt så länge koncentrationen överstiger 0,80 mg / ml. Hur länge är en sådan injektion verksam om koncentrationen avtar eponentiellt? p.. Givna är f ( 0 oc g( För både f ( oc g( gäller 5 0. För vilket värde på ar f ( g( sitt största värde? p.. I en likbent triangel med de lika långa sidorna centimeter oc basen 0 centimeter inskrivs en rektangel. Rektangeln ar två örn på basen oc de andra örnen på de lika sidorna. Bestäm det största värde som rektangelns area kan uppta. p. Lycka till!

78 Lösningsförslag. 5 ( (7 0 0 eller 7 0 eller 7 Svar: 7. a a ab ab a a ab ab a( a a( a b b a( a b a( a b ( a ( a b b ( a b ( a b ( a b ( a b ( a b( a b( a b ( a b ( a b a b ( a b Svar:. y y y y Svar: y. 0 ( 0 t : t : t t 0 t ± t ± t eller t ± Saknar lösning

79 5. 9 ( Svar: ± 5 Koll: OK! Svar: 5 6. f ( ( ( f ( lim 0 (9 6 7 f ( lim f ( lim 0 f ( lim 0 f ( lim 0 ( f ( Svar: f ( 7. y y k ( a 8 ( 9 a 7 7 a a 5 Svar: a5

80 8. t V ( t 00( 0 t t V ( t 00( V ( t 00 55t t 6 V ( t 55 6 t V ( t 55 t 8 V ( 55 8 V ( 8,5 Svar: Vattnet rinner ut med astigeten 9 liter per minut då t 9. B D v A u C tan u u 6, 57 tan( u v ( u v 6, 87 O O O O v 6,87 6, 57 O v 0, 0 Svar: Vinkeln v är O 0

81 0. y y kt y 0 e kt, 00 e,5,00 e,5 e k,00 k,5 k ln,00,5 ln,00 k k 0,0097 0,80,00 e 0,80 e,00 0,0097t 0,0097t 0,0097 t 0,80 ln,00 t 0,0097 0,80 ln,00 t 65 Svar: 65 minuter.. f ( g( 0 ( Inför: ( f ( g( ( ( ma söks: ( 0 ger etrempunkter ( vilket ligger i det definierade intervallet 5 0

82 Ma eller min? ( ( 6 < 0 Mapunkt! ( Intervallets ändpunkter: ( ( Svar: 6 ger största värde för uttrycket f ( g(. Triangelns öjd: Z 5 5 Likformiget ger: 5 z 5 5z (5 5z 60 z 5 Rektangels area: A z A ( 5 A( 5 A ( 0 X 5

83 A ( Ma eller min? 8 A ( A ( < 0 5 Ma! 5 ( 5 5 A( ( 5 5 A( 0 Svar: Arean är 0 areaeneter. RÄTTNINGSMALL Matematiktentamen :. Ej förenklat ända fram 0 p.

84 . Prövning 0 p. Löser en andragradsfunktion i t, men går inte tillbaka till p. 5. Kontrollerar inte lösningen Inget avdrag Prövning 0 p. 6. Deriverar på vanligt sätt 0 p. 7. Rätt uppställt, men felräknat p. 8. Deriveringsfel - p. 0. Felbestämt k, men gör därefter rätt p.. Deriveringsfel - p. Visar inte att det är en mapunkt - p. Undersöker inte intervallets ändpunkter - p. Svarar med funktionsvärdet - p.. Missuppfattat figur 0 p. Deriveringsfel - p. Visar inte att det är en mapunkt - p.

85 KTH Syd Campus Telge Teknisk bastermin Läsåret 005/006 Teknisk bastermin Tentamen Matematik :, Kurs 6S95 Skrivtid: Tillåtna jälpmedel: Räknedosa oc formelsamling. Betyg: -6p ger betyget, 7-0p ger betyget, -p ger betyget 5 Lycka till! Ola

86 . Beräkna y för a y ² - ³ (p b y (p. Förenkla (-² - (-² (p. Lös ekvationen 5 8 5,. Svara med tre värdesiffror. (p. Lös ekvationen 0 (p 5. Ange ekvationen för tangenten till kurvan y 5 6 i den punkt där -koordinaten är 5. (p 6. I triangeln ABC är vinkeln A rät oc sidan AC,5 cm lång. Triangelns area är 7,5 cm². Hur stor är vinkeln B? (p

87 7. Grafen till en eponentialfunktion y Ca går genom punkterna (0; 0 oc (;,75. Beräkna C oc a. (p 8. Värdet av en bil minskar med 8% per år. Hur lång tid tar det för värdet att sjunka från nypris 0000 kronor till kronor? (p 9. Förenkla så långt som möjligt: y y y (p 0. Antalet yngel i en fiskodling ges av Nt ( t, 5t 8000, där t tiden i minuter. Hur lång tid efter försökets början är tillvätastigeten 000 yngel/minut? Svara i ela minuter. (p. Bestäm triangeln ΔABC:s maimala area om punkten C ligger på grafen y 6 ( 0 < < (p

88 SVAR:. a y - 9² b y , , 5. y C 0 a 0, 5 8., år 9. y 0. minuter. 8 a.e.

89 Tentamen i Matematik för Teknisk bastermin Skrivtid: Tillåtna jälpmedel: Miniräknare oc formelsamling -6p ger betyget, 7-0p ger betyget, -9 ger betyget 5. Skuggan av en m ög flaggstång är vid ett tillfälle 5 m lång. Hur ögt över orisonten, uttryckt i grader, står solen? (p. Derivera funktionerna a y ( (p b y,5 e (p. Beräkna f ( då f ( (p. Förenkla uttrycket ( ( ( ( (p 5. Lös ekvationen (p 6. Lös ekvationen 7 (p 7. Antalet kaniner som bor i en slänt intill Klarastrandsleden i Stockolm var 0 stycken i början av år 00. Trots att många dör p g a trafiken ökar deras antal med 5% varje år. Hur stor är tillvätastigeten i början år 006? (p 8. En bil kostar i inköp kr. Efter år ar dess värde sjunkit kr. Antag att bilen fortsätter att sjunka i samma procentuella takt. När är dess värde bara 0% av inköpsvärdet? 9. Bestäm den linje som är vinkelrät mot kurvan y i den punkt där kurvan skär positiva -aeln. 0. Undersök funktionen y med avseende på nollställen oc lokala etrempunkter. Skissa kurvan. (p (p (p. Man ar dm material till sitt förfogande för att tillverka en cylindrisk burk utan lock. Vilka dimensioner skall man välja för att burkens volym skall bli maimal? Ett eakt oc rätt förenklat svar ger etra poäng. (p p Agneta Ivarsson/Ola Svärd

90 Lösningar till tentamen i Matematik för Teknisk bastermin Skuggan av en m ög flaggstång är vid ett tillfälle 5 m lång. Hur ögt över orisonten, uttryckt i grader, står solen? (p m 5 m v tan v 5 ( v arctan 5 v 8 Svar : Solen står 8 över orisonten. Derivera funktionerna a y ( (p y ( y y ( 6 y Svar: y b y,5 e (p y,5 e y,5 e Svar: y,5 e. Beräkna ( f då f ( (p

91 6 ( ( f Svar: 6 ( f. Förenkla uttrycket (p ( ( ( ( 8 8 ( ( ( ( ( ( ( Svar: 5. Lös ekvationen (p 0 ( ( ( : 0, ± mgn Lösningen tillör definitionsområdet Svar: 6. Lös ekvationen 7 (p

92 ( ± ± ( Test : VL : 7 9 HL : dvs. VL : ( 7 Svar: HL : ( dvs är en lösning är ingen lösning 7. Antalet kaniner som bor i en slänt intill Klarastrandsleden i Stockolm var 0 stycken i början av år 00. Trots att många dör p g a trafiken ökar deras antal med 5% varje år. Hur stor är tillvätastigeten i början år 006? (p Antalet kaniner C 0 ( t 0 år 00 t y C a ökning med 5% per år a, 5 y 0,5 t 0 ( e ln,5 t 0 e tln,5 Tillvätastiget/derivata y t 0,5 t e ln,5 (0 ln,5,5 år 006 t ln,5 y 0 e,5 (0 ln,5,5 9,777 0 st / år Svar: Tillvätastigeten i början av år 006 är 0 st kaniner per år 7. En bil kostar i inköp kr. Efter år ar dess värde sjunkit kr. Antag att bilen fortsätter att sjunka i samma procentuella takt. När är dess värde bara 0% av inköpsvärdet? (p

93 y C a C 0000 t a a t ger y 0000 a (0, y( t 0% 0% 00% ( 0, ( lg 0, lg( t t t lg 0, t lg( lg 0, t lg( t 0, år Svar: Bilen är värd 0% av inköpsvärdet efter 0 år 8. Bestäm den linje som är vinkelrät mot kurvan y i den punkt där kurvan skär positiva -aeln. Kurvans skärning med -aeln fås då y är lika med ( (, Punkten P ligger på positiva -aeln dvs p p, y p 0 Kurvans lutning i punkten P är y ( p Linjen (normalen är vinkelrät mot kurvan dvs k N y ( p k N y ( p y y ( k N Linjens ekvation y 0 ( y Svar: Linjens ekvation är y 9. Undersök funktionen y med avseende på nollställen oc lokala etrempunkter. Skissa kurvan. (p (p

94 y Kurvans skärningspunkter med -aeln (funktionens nollställen y 0: 0 0 ( 0 är ett 0 ± ± nollställe 9 lösning saknas Kurvans lokala etremvärden: y 6 ( ( Derivatans ar ett dubbelt nollställe - Typ av etrempunkt: - y y 0 terrass Terrasspunktens y-koordinat y ( ( ( Värdetabell: y Skiss:

95 0. Man ar dm material till sitt förfogande för att tillverka en cylindrisk burk utan lock. Vilka dimensioner skall man välja för att burkens volym skall bli maimal? Ett eakt oc rätt förenklat svar ger etra poäng. (p p r Materialet skall räcka till botten oc mantelytan r r r r r r A tot π π π π π π insättes i r V cyl π ( ( r r r r r r r r r r V π π π π π π π π Största volym, dvs lokalt maimum för volymen, söks

96 sträcka en är r då förkastas roten negativa r r r V r V π π π π ± 0 0 Undersökning av etremvärdestyp: 6 r V π Andra derivatan är (för positiva r alltid negativ, dvs också för π r Dvs volymen ar lokalt maimum. Beräkning av öjden: dm r r 0,6 π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π Svar: Cylinderns radie oc öjd är båda dm 0,6 π

97 KTH STH Campus Haninge Teknisk bastermin 060 Tentamen : i matematik 6H95 för Teknisk bastermin 060 kl Fullständiga lösningar till alla uppgifter Svaren skall vara förenklade så långt som möjligt Tillåtna jälpmedel: miniräknare oc formelsamlig. Beträkna y a y ³ - ² - (p b y c y (p (p 5,. Lös ekvationen, 60. Svara med två decimaler. (p. Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan y i den punkt på kurvan där. (p

98 . Det radioaktiva ämnet cesium ar en alveringstid på 0 år. Med ur många procent minskar mängden per år? Svara med två värdesiffror. (p 5. Lös ekvationen a a a a 6 a (p 6. Förenkla så långt som möjligt: a ( b 0a b 0 b a b a (p 7. Funktionen f ( 9 är given. a Ange funktionens nollställen! (p b Ange med jälp av derivata eventuella lokala maimi-, minimi- oc terrasspunkter! (p 8. I en by med 97 bybor ökar antalet med,9% per år. En annan by ar 09 invånare oc där är tillväten,% per år. Hur många år tar det tills det finns lika många invånare i de två byarna? (p 9. I en näringsrik sjö täcks ytan snabbt av vattenväter. Mätningar i sjön visar att 75 m av sjöns yta är täckt den juni. 8 dagar senare visar det sig att 0 m är täckt. Bestäm vattenväternas tillvätastiget den juli (dvs 0 dagar efter den juni om tillväten sker eponentiellt. (p 0. Bestäm konens maimala volym med tre gällande siffror. (p

99 SVAR:. a y ² - - b y c y., 57. y 7 5.,% 5. a ( a b 7. a Nollställen: (0;0 b Maimipunkt: (;5, minimipunkt: (; 8. Efter 8,0 år. 9. m /dag 0. 6,7 liter

100 Svar med lösningar. a y ² - b y, y c y 5,., 60 ->,5 60 ->, ( /,5 60 ->, 57,. Använd t e enpunktsformeln y y k. ( y ³ - ² -> k y (- 7. y ( y Enpunktsformeln ger y 7( ( -> y 7( -> y 7 7 -> y 7 5. t Använd t e N N 0, där N 0 startvärdet, N slutvärdet, förändringsfaktorn (förändringen per tidsenet, dvs förändringen per år oc t tiden. Halveringstid -> 0 0,5 -> (/ 0 0,5 0,977, vilket betyder en minskning med,%. ( a a a ( a 5. a 0. Gemensam nämnare 6a -> -> 6a 6a 6a a 6 a 6 a -> a 5a 0 -> a ( a 5 0 -> a 0, a 5. a 0 förbjudet, återstår a a ( b 0a b 0 b a b a ( a b b a 0a a 0b b ( a b b a 0a a 0b b a ( b 0( a b a b a b ( a b 0 0( a b

101 7. a f ( 0 -> 9 0 -> ( 9 0 -> (, > (, > 0. y ( 0 0 -> Nollställe: (0,0 f ( 6 8 -> f ( 0 -> > 6( 0 ->,. y y( 9 5. y y( 8 9. Etrempunkterna är (,5 oc (,. Undersökning av punkternas karaktär via t e andraderivatan -> f ( 8. f ( 8 6, maimipunkt. f ( 8 6, minimipunkt. Alltså: (,5 är maimipunkt oc (, minimipunkt. t 8. Använd t e N N 0, där N 0 startvärdet, N slutvärdet, förändringsfaktorn (förändringen per tidsenet, dvs förändringen per år oc t tiden. t t För den ena byn gäller N 97, 09 oc för den andra N 09, 0. De ska a t t t 97,0 samma slutvärde -> 97,09 09,0 -> t -> 09,09 97,0 t 97,0 ( -> t ln( / ln( -> t 7, t 8, 0 år 09,09 09,09 t 9. Använd t e N N 0, där N 0 startvärdet, N slutvärdet, förändringsfaktorn (förändringen per tidsenet, dvs förändringen per år oc t tiden (/8 (/8 -> (0 / 75 -> (0 / 75 -> (/ 8,8 (/8 t Förändringsfunktionen blir då: N 75,8. (/8 t Tillvätastigeten erålls med jälp av derivatan: N 75,8 (/8 ln,8. (/8 N (0 75,8 0 (/8 ln,8,86. Tillvätastigeten är m²/dag.

102 0. V πr / för en kon, vilket gör V πr / i detta fall. Nu gäller r 5, vilket ger r 5. Därmed gäller V 5 / π -> V π (5 / V π (5 /. Konens volym maimeras med jälp av derivata: V π (5 /. V 0 -> π (5 / 0 -> 5 0 -> eneten är cm³ oc minusvärdet förkastas. Andraderivatan avgör etrempunktens karaktär: fastställer maimipunkt. 5 ± 675, där V π -> V ( 675 < 0, vilket Konens maimala volym: V ( 675 π ( / 679. Eneten är cm³, vilket motsvarar 6,79 dm³, vilket i sin tur avrundas till 6,7 dm³ eller 6,7 liter.

103 Tentamen : i matematik för Teknisk bastermin 9 januari 007. Beräkna y om a. b. y 7 (p y (p. Lös ekvationen ( ( ( 0 (p. Lös ekvationen 7 5. Svara med ett närmevärde med tre gällande siffror. (p. Förenkla så mycket som möjligt (p 5a. Lös ekvationen ln 5 b. Lös ekvationen (p (p 6. Arean av en rätvinklig triangel är 60 cm. En katet ar längden 0 cm. Ange storleken av triangelns spetsiga vinklar. (p 7. Kålle sätter in 7000 kronor på ett bankkonto oc får,0 % ränta. Ada sätter samtidigt in 6000 kronor på ett bankkonto oc får 5,0 % ränta. Efter ur lång tid ar Kålle oc Ada lika mycket pengar på sina bankkonton? (p 8. Tillväten av plankton i ett laboratorium följer uttrycket plankton uttryckt i gram oc t är tiden i år. a Hur många gram plankton ade man från början? (p b Hur stor är tillvätastigeten efter år? (p ( t 0 p där p är vikten av 9. y e. Bestäm ekvationen för den tangent som ar k-värdet. (p 0. Undersök oc rita kurvan y 6 9 i intervallet 0, 5, 5. Ange lokala ma oc min-punkter samt funktionens största oc minsta värde. (p. Rektangeln ar en sida utefter positiva -aeln oc en sida utefter positiva y-aeln oc ett örn på linjen y 0,5 8. Bestäm största möjliga värdet på rektangelns area. (p

104 Svar oc lösningar till Tentamen : i matematik för Teknisk bastermin 9 januari 007 a. y 6 ( b. y y (. ( ( ( ( ( 0 0 ( ( ( ( ln 7 ln 5 ln 7 ln 5 ln5,0 ln7. - ( a. ln 5 e e e 5 b Antag att den andra kateten ar längden. Då gäller att Alltså, tan v v 6, 7, där v är vinkeln mot kateten som är 0 cm. 0 Då är w ,7 5,, där w är närliggande vinkel till kateten som är 0 cm. 7. Antag att det tar år. 7000, ,050 ln 7000,00 ln 6000,050 ( ( ln 7000 ln, 00 ln 6000 ln, 050 ln 7000 ln år. ln, 050 ln, 00 ( 0 t 8. p( t. a. 0 ( 0 6 p ( Man ade alltså 80 gram från början. b. 0 ( t ( 0 80 dp p t t 0. t dt dp t Tillvätastigeten efter år är alltså 80 gram/år. dt

105 9. y e y e 0. y e. 0 ( e y 0. Alltså ar tangenten ekvationen y. y 0. y 6 9, 0 y 9. y 6 y 0 om 9 0 eller ( ( ( y y 0 (, ma. y 6< 0 y(0,5,5 y(,5 0,5 Funktionens största värde är 0,5 Funktionens minsta värde är 0 ( ( ( y 0 y 0 (, 0 min. y 6> 0. ( A 0,5 8 0,5 8, 0 6 A 8 A A 0 för 8 A 8 ( ( 8 A < 0. Alltså, maimal area på areaeneter. A (, 0,5 8

106 TB07V Matematiktentamen : Student som är godkänd på kontrollskrivningen oppar över uppgift oc, oc eråller full poäng på dessa uppgifter. Lös ekvationen 5 0 (p Lös ekvationen. lg lg lg. Svara eakt. (p Bestäm summan (p Figuren visar funktionen y f (. En av följande fem derivator ör till funktionen, vilken? Noggrann motivering krävs, endast svar ger 0 poäng! (p a y' ( ( b y' ( ( c y ' ( ( d e y y ' ( ( ' ( ( 5 Bestäm derivatan till f ( genom att använda derivatans definition (p 6 Beräkna f '(, då a f ( e b f ( (p (p

107 7 Kalle placerar 0000 kr på ett konto med den årliga räntesatsen 7,0%. Lisa placerar 8000 kr på ett konto med den årliga räntesatsen 8,0%. Efter ur lång tid är de två kapitalen lika stora? Svara i ela år. (p 8 Ett föremål glider utför ett lutande plan så att den tillryggalagda vägen i meter vid tiden t s är s ( t,0t,5t Bestäm ur lång sträcka föremålet ar förflyttat sig när astigeten är 0 m/s. 9 I den punkt på kurvan y som ar -koordinaten dras en tangent till kurvan. Bestäm ekvationen för denna tangent. 0 Givet är funktionen f ( ( a (, där a är en konstant. Bestäm a så att f '( a (p (p (p Bestäm det största oc det minsta värdet som funktionen f ( antar i intervallet. (p En öppen låda (utan lock skall tillverkas. Lådan skall a formen av ett rätblock med kvadratisk bottenyta oc skall rymma 500 cm. Bestäm lådans mått, om materialåtgången skall vara så liten som möjligt. Stina tar vid årsskiftet 006/007 ett lån på 5000 kr. Lånet löper med den årliga räntesatsen,00%. Lånet är ett s k annuitetslån, som skall betalas tillbaka med tio lika stora belopp (annuiteter vid varje årsskifte t o m årsskiftet 06/07. Bestäm den årliga annuiteten. Svara i ela kr. (p (p

108 FACIT Sätt t. Då fås t 5 5t t ± 5 t ± t, t t t t ± ± ± Vi får alltså följande två ekvationer: ± ± ± ± Svar: Ekvationen ar fyra reella lösningar,,,. lg lg lg lg lg lg lg8 lg8 lg lg lg Detta är en aritmetisk summa, med n 500, a, a s

109 Ur den givna figuren ser vi att derivatan är noll då samt då. Det enda svarsalternativ som uppfyller villkoren 0 ( ' y samt är b. 0 ( y' Svar: b 5 f f f f ( 0 lim ( 0 lim 0 lim 0 lim ( 0 lim ( (( 0 lim ( ( 0 lim ( ( 6a e e f e f 0 '( ( 6b f f ( '( ( 7 Antag att kapitalen är lika efter år. Vi får ekvationen

110 8000,08,08,07,08,07,08 lg, ,5 0000,07 lg,5,08 lg lg,5,07 lg,5,08 lg,07,99 Svar: Kapitalen är lika efter år. 8 Sökt: s, då s (t0 s( t,0t,5t s'( t,0,5 t t s'( t 0 t 0 t 8 8 t s,0, m 8 9 Tangentens lutning fås genom att beräkna y '( : y( y'( y'( ( 5 Linjen går genom punkten (, y( Vi beöver alltså beräkna y ( : y( ( Till sist får vi tangentens ekvation (

111 m m m m k y 5 ( 5 Svar: 5 y 0 '( '( ( ( ( a a a a a f a f a a a f Största respektive minsta värde till antas antingen i intervallets ändpunkter eller i ( f någon punkt i det inre av intervallet där 0 ( ' f. 0 ( 0 '( ( '( ( f f f eller Både oc ligger i det inre av intervallet. 0 ( f Svar: Funktionens största värde är 6, funktionens minsta värde är 0. Låt volymen vara V cm, oc måtten (cm. Vi får

112 Vi skall minimera arean A cm. Teckentabell: A ( { } 000, > 0 A'( A'( / 000 ( A 00 A Min 000 A( A'( < A'( > Vi får alltså minimal materialåtgång om 0 oc 5 0 Svar: Minimal materialåtgång fås om lådans mått är 0 cm 0 cm 5 cm Låt annuiteten vara. Vi får ekvationen 9,,..., 5000, 0 Bryt ut. I vänsterledet står en geometrisk serie

113 , , 6, Svar: Annuiteten är 5 kr.

114 Rättningsmall Korrekt löst andragradsekvation efter att a substituerat t p 5 Ej använt derivatans definition 0p 7 Korrekt uppställd ekvation p 9 Korrekt bestämning av tangentens k-värde p 0 Korrekt beräknad f '( p Undersöker ej gränserna p Undersöker endast gränserna p Svarar med -värden eller svarar med punkter p Verifierar ej minimipunkten -p

115 Tentamen i matematik :. Inför KS bör du klara uppgifterna,,,, 5, 6, 8, 0 a b Förenkla uttrycket b a b a p Lös ekvationen p Lös ekvationerna a,56, 7,89 p b 7 8 p Låt f( oc g(. Bestäm f(g(. p 5 Lös ekvationen ( 9 p 6 Beräkna arean av triangeln BCD. p A (cm D 5,8 C B 7 Kurvan y ar en tangent som är parallell med linjen y. Bestäm ekvationen för denna tangent. Grafisk lösning godtas ej. p 8 Lös ekvationen 00 lg lg lg p 0 9 Vid en kemisk analys får en vätska sugas upp i ett papper, som placerats med nederkanten i vätskan. Efter minuter ar vätskan nått y cm upp i papperet. Sambandet mellan oc y beskrivs approimativt av ekvationen: y, 6,7e 0, 6,8 Med vilken astiget stiger vätskan i papperet efter 8 minuter? p

116 Tentamen i matematik :. 0 Jordens befolkning var personer år 700 oc personer år 000. Antag att befolkningstillväten är eponentiell oc låt y vara folkmängden vid tiden år efter år 700. Bestäm ett uttryck för y som funktion av oc beräkna därefter vilket år som jorden blir "full", dvs. då befolkningen är 6 0 personer. (Detta motsvarar personer per m landyta!. p En andragradskurva beskrivs av ekvationen y a b, där a oc b är positiva konstanter. Bestäm - oc y-koordinaterna för kurvans minimipunkt, uttryckta i a oc b. p Man ska tillverka en konisk byggnad av 6,0 m långa stänger. Hur ög ska byggnaden vara för att få maimal volym? p (m 6,0

117 Tentamen i matematik :. Förslag till lösningar a b b a b a a b ab a b ab ( a b( a b a b a b 5 5, multiplicera alla termer med ( 5( 5 oc förkorta där det går: 8( 5 ( 5 5( 5 ± ± Ingen av rötterna strider mot villkoren 5, 5., 7, a,56 7, 89, (,, 7,89,56, 7,89 7,89, 56,56,56,56 b 7 8 lg 7 lg 8 lg 7 lg 8 lg 8,7,7 lg 7 f ( g( f ( g( f ( f (0 0 00, 5 Både vänstra oc ögra leden är jämna kvadrater. ( ± 9 ± ± I II lösning saknas

118 Tentamen i matematik :. Förslag till lösningar CB 6 sin CB 5,8 sin Arean av triangeln BCD A 5,8 CD tan CD CB tan 5,8 sin tan CB A CB CD 5,8 sin 5,8 sin tan, 889,9 cm. 7 Den givna linjen ar k Tangenten skall vara parallell med linjen, dvs. a samma k-värde. Tangenten ar k T y ; y ; k T y ; i tangeringspunkten oc y y( Tangentens ekvation fås med jälp av enpunktsformen av räta linjens ekvation: y ( ( y 8 8 lg (lg00 lg (lg lg0 ( lg (lg lg , 9 y, 6,7e 6, 8 Beräkna y (8 0,,7 0, y, 6,7( 0, e 0,67e,7 0,8 y (8 0,67e 0,90 Hastigeten är 0,90 cm/min 8 0 k y Ce 0 år 700 oc 00 år y( 0 C e C k00 y(00 60 e 9 60 k00 e 0 k 00 ln0 k ln0 00 0,0077 y 60 8 e ln0 ln När blir jorden full? y 6 0 e 6 0 ln ln ln0 00 e 0 ln( ln0 Jorden blir full 800 år efter år 700, dvs. år 500 (Alternativ lösning: y C a 00 y , vilket ger samma svar.

119 Tentamen i matematik :. Förslag till lösningar I minimipunkten är derivatan 0. y a b y a b Sätt derivatan 0 oc lös ut : Beräkna y-koordinaten: Koordinaterna är b a a b 0 ; b y a b a b oc y a b a b a ab a b a b a πr Konens volym V Pytagoras sats ger ett samband mellan r oc : r 6,0 dvs. r 6 π 6π π V (6. (0 < < 6,0 Sök V ma genom att derivera oc sätta derivatan 0. V π π π ( 0 ±,6 ( < 0 förkastas Teckenstudium ger att V > 0 för < oc V < 0 för >, dvs en mapunkt. r 6,0 (m Höjden ska vara,5 m

120 Tentamen i matematik :. Rättningsmall Ej kommenterat ±5 ej avdrag a Redovisar ej eakt värde för b Redovisar ej eakt värde för 5 Endast fall I (eller motsvarande brist vid annan lösningsmetod 6 Använder fel trigonometrisk funktion 8 lg, sedan fel 9 Deriveringsfel Enet saknas eller felaktig 0 Rätt funktion men fel år Funktion saknas men rätt svar ma "tiodubbling var 00:e år" Rätt -värde, sedan fel Svarar med V ma istället för öjd ej avdrag Försöker derivera V(,r Rätt V( eller V(r, sedan fel Ej verifierat ma

121 TENTAMEN I MATEMATIK Kursnummer: 6H,L95 Moment: TEN Program: Bastermin Rättande Lärare: Håkan Strömberg oc Luciano Triguero Eaminator: HG Ivarsson Datum: Tid: Hjälpmedel: Miniräknare, formelsamling Omfattning oc betygsgränser: Mapoäng är p För betyget krävs -6 p För betyget krävs 7-0 p För betyget 5 krävs - p Övrig information: Den som blivit godkänd på kontrollskrivningen (KS skall inte göra uppgifter till. Skriv i så fall KS i rutan för uppgifterna på omslaget Lycka till! Kungliga Tekniska Högskolan KTH Syd Campus Haninge, Marinens väg 0,6 0 Haninge. Tel: Fa: E post: info@syd.kt.se Pg: Rg: Momsreg nr/vat SF

122 Lös ekvationerna. Eakta beräkningar erfordras. a 5 b ( (p (p Faktorisera polynomen så långt möjligt. a 5z z b 7 (p (p Lös ekvationen. Eakta beräkningar erfordras. (p ln( 9 ln(7 ln( Genom punkterna med -koordinaterna oc dras en sekant till kurvan. Ange sekantens k- värde, om y (p 5 Förenkla så långt möjligt (p y( y (y y( (y y y y y 6 Saltmängden y gram (g i en vattentank avtar eponentiellt med tiden t (i minuter. Vid t 0 minuter är saltmängden 65 g oc vid t minuter ar den avtagit till g. a Bestäm en eponentialfunktion som modell för denna situation. (p b Bestäm den astiget varmed saltmängden ändras då t 5 minuter. (p 7 Kurvan y ar en tangent som är parallell med linjen y. Bestäm ekvationen för denna tangent. Grafisk lösning godtas inte. (p 8 Derivera funktionen: (p f( (

123 9 Kurvan f( ar en tangent med riktningskoefficienten. Ange tangeringspunktens koordinater. Eakta beräkningar erfordras. (p 0 Vi ar en 0 meter lång ståltråd, som vi delar i två bitar. Av dessa bitar böjer vi sedan till en kvadrat oc en cirkel, se figur. Figur : Hur ska tråden delas för att få minsta möjliga, sammanlagda, area på cirkeln oc kvadraten? (p

124 Lösningsförslag till Tentamen Matematik (TEN 6HL a ( ± ± 5 5 b (, ± a Ett lämpligt sätt att faktorisera ett polynom p(z, av andra graden är att lösa ekvationen p(z 0 oc med jälp av rötterna z oc z bestämma faktorerna. 5z z 0 z 5 z 0 z ± 6 z 5 6 ± 7 6 z z När vi nu multiplicerar samman ( (z z z 5 z ser vi att uttrycket skiljer sig från vårt polynom med en konstant faktor. Den konstant vi ursprungligen dividerade båda sidor med i vår ekvation. Vi kan nu skriva polynomet på faktoriserad form som ( p(z ((z z (z (z b Denna gång ar vi ett polynom p(, som är av tredje graden. Får vi tag i rötterna, oc till ekvationen p( 0 ar vi nått målet. Normalt klarar vi inte av att lösa en tredjegradsekvation, men är ar vi tur som det kommer att visa sig!

125 7 0 (7 0 Tredjegradsekvationer som saknar den konstanta termen ar alltid en rot 0. Vi kan bryta ut oc ar därmed påbörjat faktoriseringen. Återstår så att finna de två andra rötterna, som vi får genom att att lösa andragradsekvationen ± ± 5 7 ( 7 Vi multiplicerar samman parenteserna i uttrycket oc får ( ( Genom att multiplicera uttrycket ovan med 7, får vi det önskade resultatet ( p( 7( ( (7 7 Vi ska lösa en logaritmekvation. Vi kommer att få glädje av logaritmlagarna lna lnb lnab oc lna lnb ln a b ln( 9 ln(7 ln( ln( 9 ln(7 ln( 0 ln ( ( 0 7( ln 0 7 e ln 7 e 0 7 f(. Vi beöver f( 0 oc f( 8 k 0 (8

126 5 y( y (y y( (y y y y y y y (y y y (y y y y y y y y y y y y (y (y (y ( y y ( y( y y (y ( y ( y( y ( y 6 Vi startar med f( C a. Målet är att finna numeriska värden på C oc a. Två villkor jälper oss: f(0 65 oc f(. Det första villkoret ger direkt C, f(0 C a 0 65, C 65. Med jälp av ekvationen f( 65 ger 65 a a ( 65 a 65 Funktionen vi söker ar följande utseende f( 65 ( f( är given. Vi söker nu funktionen t( k m för en tangent till funktionens kurva, som är parallell med linjen g(. Vi vet att det till en andragradsfunktion finns ögst en tangent med given lutning. Linjen g( ar g (, tillika linjens k-värde, k g. Vi bestämmer f ( oc därefter för vilket som derivatan är genom ekvationen f ( ger,. f( ger oss punkten (, genom vilken tangenten går. Då k får vi m genom m, m 8. Den sökta funktionen är t( 8. Graferna bekräftar:

127 Figur : 8 f( f( f( ( f( f ( 9 f ( f ( f( ( f( f ( f ( f ( ger 9 Punkten vi söker ar koordinaterna ( 9,f(9 (9, 9

128 6 5 Figur : 0 Fyra formler, som vi ämtar från formelsamlingen eller minnet: A K s O K s A C πr O C πr Den totala omkretsen kan nu skrivas O O K O C πr s. Vi vet också att πr s 0. Vi kan teckna den totala arean A(r,s, som funktion av s oc r: A(r,s s πr Men eftersom 0 πr s kan vi skriva A(r,s som en funktion enbart av r ( 0 πr A(r πr Det är till A(r vi ska finna ett minimum. Vi ska följaktligen lösa ekvationen A (r 0. A(r A(r A(r ( 0 πr πr (0 πr πr 6 00 π r 0πr 6 6πr 6 A(r 00 π r 0πr 6πr 6 A (r 8π r 0π πr 8 A (r π r 5π πr A (r 0 då r 5 π 5

129 Nu kan vi bestämma cirkelns omkrets oc därmed var vi ska dela tråden: O C π 5 π. Den ena delen av tråden ska vara. meter oc den andra 5.6 meter. Den totala arean är då.5 m, som vi kan utläsa från grafen Figur : 6

130 Tentamen i matematik TEN 6H,L 95 Teknisk bastermin Tillåtna jälpmedel: Miniräknare oc formelsamling För betyget krävs poäng, för betyget, 7 poäng oc för betyget 5, poäng. Bonuspoäng från KS-ar får räknas. Till alla uppgifter krävs lösningar med motiveringar liksom separata svar. Lycka till!!. Förenkla uttrycket a b ab a a ab p. Lös ekvationerna a p b 6 p c log p d 8 p. Beräkna f (- för f ( med jälp av derivatans definition. p. Använd deriveringsreglerna för att bestämma a D ( 5 p d b ( d p t c f (t då f ( t e p 5. Antalet partiklar som blandas i en vätska ges av t N ( t 50(,0 där t mäts i sekunder. Inblandningen avbryts då den inneåller 500 partiklar. a Hur lång tid tar detta? p b Bestäm N (50. p 6. Funktionen y är given. Den ar en normal i punkten (0,. a Bestäm ekvationen för denna normal. p b Var skär normalen -aeln? p

131 7. a Undersök funktionen y 8 6 med avseende på nollställen oc etrempunkter. Skissa kurvan. p b Ange också funktionens största oc minsta värde i intervallet <. p 8. Ett rätblock med kvadratisk basyta skall utformas så att dess volym blir maimal. Dess totala begränsningsarea, dvs summan av alla sidors areor, är cm. Vilka mått skall rätblocket a oc ur stor blir den maimala volymen? p

132 Lösningar till tentamen i matematik för BT ( ( ( ( ( ( ( ( ( a ab a a ab a b ab a a a b ab a a a a ab ab a a ab b a. a ( ( b 7 6 c 8 8 log d ( lim(8 (8 lim 8 lim lim ( ( ( ( lim ( ( lim ( f f f. a ( ( D D b 6 6 ( ( ( dv d d d c t e t f ( t t e e t f ( 5. a,0 50( ( t t N 500 ( t N 0,96 ln,0 ln 9 ln,0 ln 9 ln,0 ln 9,0 9,0 0,0 50( 500 t t t t t t b 50(,0 50( (,0 (ln t t e t N t t e t N 0, ln,0 50 ln,0 50(0 ( (ln,0 partiklar/sekund,5,0 ln,0 50 (50 50 N Svar: a Avbrottet sker efter sekunder. b Efter 50 sekunder ökar antalet partiklar med st /sekund

133 6. a y k Tangent ( 0, y (0 0 y k Punkt på kurvan P (0, Tangent k Normal k Tangent Normalens ekvation y ( 0 y y b Skärning med -aeln är den punkt där y Svar: a Normalens ekvation är y. b Normalen skär -aeln i a y 8 6 ( 8 6 Nollställen 0 lösning 0 oc ± ± ej 9 9 Etrempunkter y ( ( y ( 0 oc Typ av etrempunkter y 6 8 y (0 minimipunkt y ( terrasspunkt Y-koordinater y( 0 0 y ( 8 6 b intervall < y ( 6 8 ( y ( y( 0 0 minsta värdet y( största men ligger ej i intervallet Svar: a Funktionen ar nollställe då 0, dvs i origo. Den ar lokalt min i (0,0 oc terrasspunkt i (-,. b Största värde saknas, minsta värde är Rätblockets sidor i botten är alla lika stora oc kallas a. Rätblockets öjd kallas. Rätblockets basarea är B a a a dess volym V B a Rätblockets sidoytor ar alla arean a A sida Totala begränsningsarean blir A a a, A cm a a a a a a a insättes i V a a a ( a a( a a a V a a a Etrempunkter a ( a ( a( a V

134 a V 0 a 0 a oc a 0 a ej tillåtet värde, eftersom är en sträcka. Typ av etrempunkt 6a V a V ( 6 a cm ger maimivolym a cm a 8 6 V ma V ( 8 cm Maimala Svar: Basytans sidor är cm, öjden är cm, dvs rätblocket är en kub. volymen är 8 cm

135 TENTAMEN I MATEMATIK Kursnummer: 6H,L95 Moment: TENTA: Program: Teknisk bastermin Teknisk&Ekonomi oc Medicinsk Teknik Rätande Lärare: Håkan Strömberg oc Luciano Triguero Eaminator: HG Ivarsson Datum: Tid: Hjälpmedel: Miniräknare, formelsanling Omfattning oc betygsgränser: Mapoäng är p För betyget krävs -6 p För betyget krävs 7-0 p För betyget 5 krävs - p Övrig infromation: Lycka till! Kungliga Tekniska Högskolan KTH Syd Campus Haninge, Marinens väg 0,6 0 Haninge. Tel: Fa: E post: info@syd.kt.se Pg: Rg: Momsreg nr/vat SF

136 . För en polynom p( gäller att p( 0. Beräkna a p( (p b p(p( (p. Lös ekvationen oc svara med en decimal. (p ( ( 5 ( 5 0. k( är kvoten mellan f( ocg(. Ange ett förenklat uttryck för k(. (p f( ( g(. Lös ekvationen nedan. Svara med en decimal: (p lg( lg 5. Mängden av radioaktivt ämne avtar med % per timme. Från början finns 0 miligram av ämnet. Hur mycket finns kvar efter: a 5 timmar. (p b Bestäm alveringstiden,dvs. när det återstår 5milligram avämnet? (p 6. Bestäm talet a så att de räta linjerna a y oc blir vinkelräta. a y0 (p 7. Bestäm för funktionen: f( det största värdet då 0 (p

137 8. Figuren visar kurvan y av triangeln ABO. menentangentför. Bestäm arean (p y y A 0 B 9. Lös ekvationen. Svara med en decimal. (p e e 0 0. I figuren visas den inre sargen av en friidrottsoval som man tänker bygga. Ovalen består av två alvcirklar oc en rektangel. Omkretsen är förstås, som sig bör, 00 meter. Man önskar bygga ovalen på ett sätt, som ger inre gräsmattan en så stor area som möjligt. Bestäm den maimala arean, samt längden os alvcirklarnas diagonal oc längden av kortsidan. (p r l

138 Lösningar. För en polynom p( gäller att p( 0. Beräkna a p( ( 0 b p( (0 6;p(p( (60. ( k( är kvoten mellan f( ocg(. Ange ett föranklat uttryck för k(. (p k( k( k( ( ( ( (. Lös ekvationen nedan svara med en decimal: (p lg( lg 0.6 (Ej.6 5. Mängden av radioaktivt ämne avtar med % per timme. Från början finns 0 miligram av ämnet. Hur mycket finns kvar efter: y(t 0 (0.97 t y(5 6, mg 5 0 (0.97 t t timmar

139 5 6. Bestäm talet a så att de rätta linjerna ay oc blir vinkelräta. y a k a y (a k (a k k a 8 9 a y 0 (p 7. Bestäm för funktionen: f ( f ( 0 oc f(. 8. Figuren visar kurvan y av triangeln ABO. menentangentför. Bestäm arean (p y y A 0 B

140 6 Arean A B För att bestämma A oc B vi beöver linjens ekvation. y ( k y ( k y ( 7 Nu vet vi lutningen, då beöver vi en punkt i linjen. P unkten (; y( (; 9 ( Enpunktformel ger: y( 7 A y( B B 9 Då arean blir: Arean 9 Arean 0.75 ae 9. Stt: t e t t 0 t oc t Lösningar för blir då: e (Ej e ln(.

141 7 0. A(r, l π r r l Med ur omkretsen skapar vi en samband mellan r oc l 00 l π r l 00 π r A(r 00 r π r A (r 0 ger r 00 π ( Den eftersökta diametern är d 00, vilket ger l 0. π

142 TENTAMEN I MATEMATIK Kursnummer: 6H,L95 Moment: TEN : Program: Teknisk bastermin Teknik-Ekonomi oc Medicinsk Teknik Rätande Lärare: Håkan Strömberg oc Luciano Triguero Eaminator: HG Ivarsson Datum: Tid: :5-7:5 Hjälpmedel: Miniräknare, formelsanling Omfattning oc betygsgränser: Mapoäng är p För betyget krävs -6 p För betyget krävs 7-0 p För betyget 5 krävs - p Övrig infromation: Lycka till! Kungliga Tekniska Högskolan KTH Syd Campus Haninge, Marinens väg 0,6 0 Haninge. Tel: Fa: E post: info@syd.kt.se Pg: Rg: Momsreg nr/vat SF

143 . Det är vår oc Adam, Bertil oc Curt spelar kula. När leken är över ar Adam dubbelt så många kulor som Bertil oc Curt tillsammans. Bertil ar 5 fler än Curt. Tillsammans ar de kulor. Ta reda på urmånga kulor var oc en ar genom att göra ett antagande, ställa upp en ekvation, lösadenocgeettfullstndigtsvar. (p. Två av dessa uttryck är identiska. Visa vilka genom förenkling. (p A B C D ab a b ab a b ab a b ab a b ab a b ab b a ab a b ab a b. I andragradsekvationen a 6 0 är inte - koefficienten känd. Däremot är ena roten. Bestäm -koefficienten a oc den andra roten (p

144 . I figur ser vi fem grafer A...E, nedan fem funktioner..5. Para iop funktionerna med rätt graf (p Figur. f( e f( e f( e f( e 5 f( e 5. Lös ekvationen (p lg( lg( 6. Givet funktionen f(. Bestäm ekvationen för den linje med positiv lutning, som går genom f ( 0 oc genom en punkt där f( 0 (p 7. Adam satt för ett antal år sedan in 55 kr på banken till 5% ränta. Hur stort belopp satte Bertil in samma dag till 6% om ans kapital idag är 8 kr oc Adams kapital idag uppgår till 0000 kr? (p

145 8. Ett förlag använder sig av följande formel för att bestämma kostnaden K vid tryckningen av n matematikböcker. K(n 00 5n 0.0n a Hur mycket kostar det att tillverka 700 böcker? (p b Hur många böcker kan man tillverka för 900 kr? (p c Hur mycket kostar det att tillverka den 800:e boken? (p 9. Man vill tillverka en broscyr, som den i figur. Totalt ska den a arean 00 cm oc marginalerna ska vara (på båda sidor respektive cm (upptill oc nedtill. Man är samtidigt intresserad av att få tryckytan (den grå i figuren så stor som möjligt. Bestäm broscyrens dimensioner. (p Figur.