Elementär algebra, kap. 0: Något om matematisk metodik

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Elementär algebra, kap. 0: Något om matematisk metodik"

Transkript

1 Institutionen för matematik Läsanvisningar och matematisk statistik Matematiska verktyg Umeå universitet Benny Avelin 26 augusti 2011 Elementär algebra, kap. 0: Något om matematisk metodik 0.1: Dialoger om satser, bevis och definitioner Innebörden av begreppen Sats (Teorem), Bevis, Definition, Axiom. 0.2: Dialoger om det matematiska språket Symboler och språkbruk för de logiska konnektiven: implikation ( ), ekvivalens ( ), och ( ), eller ( ), icke ( ), enligt femte och sjätte samtalet. Se»Tecken och symboler«. Innebörden av och skillnaden mellan och, se femte samtalet. Innebörden av,, och, enligt sjätte samtalet. Observera att eller i matematiken alltid logiskt betyder och/eller (till skillnad från antingen/eller). Innebörden av»för alla«( ) och»det finns«( ), enligt sjunde samtalet. Kunna reglerna ( x: P(x)) x: ( P(x)) och ( x: P(x)) x: ( p(x)). Begreppen existens och entydighet, enligt åttonde samtalet. Elementär algebra, kap. 1: Logik 1.2: De grundläggande satslogiska konnektiven Begreppen sats (utsaga), atomär sats (atom), sammansatt sats (molekyl), konnektiv. Parentesregler inom satslogiken, prioritetsregler för konnektiv. Se Ex 1.6. Kunna analysera en sats logiskt, huvudkonnektiv,»top-down-metoden«. 1.3: Sanningsvärden De två principerna för sanningsvärdet av en sats. Definiera de fem konnektiven m.h.a. sanningsvärdestabeller. Ex : Begreppet logisk sanning i satslogiken Definiera vad som menas med att en sammansatt sats är satslogiskt sann (tautologi) respektive satslogiskt falsk (kontradiktion). Begreppet satslogisk konsekvens. Se Ex 1.11 och Ex Begreppet satslogisk ekvivalens. Se Ex 1.13 (de Morgans lag), Ex 1.14 (kontraposition), Ex 1.15 (distributiv lag). Bevisa Teorem 1.1 m.h.a. sanningstabeller. Vad är det för skillnad mellan skrivsätten A B och A B? Vad är det för skillnad mellan skrivsätten A B och A B?

2 Elementär algebra, kap. 2: Mängder 2.2: Grundläggande begrepp Du ska kunna alla symboler och deras betydelse (se»tecken och symboler«) Veta vad som menas med en mängd A och skrivsätten x A resp y / A (s96). Definiera vad som menas med A = B (s97). Definiera vad som menas med delmängd A B resp äkta delmängd A B, samt kunna åskådliggöra i Venndiagram (s98). Observera anmärkningen s Varför gäller alltid /0 A? Beteckningen A (s99), definiera potensmängd P(A) (s99), definiera produktmängd A B (s100), samt ge konkreta exempel som illustrerar dessa begrepp, se Ex 2.4 och Ex : Mängdoperationer Definiera: union A B, snitt A B, mängddifferens A \ B (alt. beteckning A B), komplementet Γ A (alt. A, om Γ är given), samt kunna åskådliggöra dessa begrepp i ett Venndiagram med en given grundmängd Γ (s ). Definitionen av begreppet disjunkt. Hur definierar man att mängderna A 1,A 2,...,A n är parvis disjunkta? Kunna innebörden av skrivsätten n n A k resp. A k (s44). OBS! Begreppen disjunktiv och konjunktiv normalform (s ) ingår ej. 2.4: Standardtalmängder k=1 Beteckningarna N, Z, Q, R, C, samt delmängder med enbart positiva eller negativa tal, t.ex. Z +. Elementär algebra, kap. 3: Funktioner och relationer 3.1: Inledning Läs igenom denna historiska översikt över funktionsbegreppet. 3.2: Funktioner Funktionsbegreppet definieras på s En funktion är en avbildning från en mängd A till en mängd B sådan att varje element x A avbildas på exakt ett element y B (observera orden i kursiv stil!). Detta skrivs ofta f : A B, eller y = f (x). Mängden A kallas definitionsmängd (eng. domain) för f och skrivs (i denna bok) D f, d.v.s. D f = A gäller alltid. Mängden B kallas funktionens målmängd, och mängden V f = {y B : y = f (x) för något x A} kallas för funktionens värdemängd (eng. range). Observera att allmänt gäller V f B. I konkreta fall kan det mycket väl vara så att V f B (äkta delmängd), som t.ex om f : R R är funktionen y = x 2, där ju V f = (0, ) R. Observera att definitionen egentligen inte föreskriver att det finns en regel given med vilken man kan beräkna y = f (x) för ett givet x (se Ex 3.5). Oftast finns dock en sådan regel, t.ex. y = 3x + 1, som ju motsvarar en linje. En viktig färdighet är att kunna ange D f och V f för en given funktion. D f är enklast, här gäller principen att D f är detsamma som mängden av alla x för vilka funktionen har ett värde (kallas i Adams för Domain convention). V f kan vara betydligt knepigare att beräkna, men är ibland enkelt som t.ex. i fallet f (x) = sin x. k=1

3 Vissa grafer är inte grafer till en funktion. Ett exempel är enhetscirkeln x 2 + y 2 = 1. Om man dock inskränker sig till t.ex. övre halvcirkeln så är denna del en graf till en funktion, nämligen y = 1 x 2. Särskilt viktigt i detta avsnitt är begreppen omvändbar och invers. Se Ex 3.6 och definitionen på s121 för begreppet omvändbar, se även Ex 3.5 som illustrerar en funktion som ej är omvändbar. Se Ex och definitionen på s122 för begreppet invers, och hur man kan gå tillväga för att bestämma inversen till en omvändbar funktion. Om f och g är två funktioner så definieras sammansättningen (eng. composition) f g enligt ( f g)(x) = f (g(x)), se längst ned s124 och Ex 3.11 s125. Elementär algebra, kap. 4: Talteori 4.2: Delare och primtal Definiera vad som menas med att ett heltal a delar ett heltal b, betecknas: a b (s145). Definiera begreppen äkta delare, triviala delare och primtal (s145). Bevisa Teorem 4.1 (som är existensdelen av Aritmetikens fundamentalsats, Teorem 4.12), med utvidgad induktion (Se exempel 5.11). Bevisa delbarhetslagarna i Teorem 4.2 (se Ex 4.3). Bevisa att det finns oändligt många primtal (Teorem 4.3). 4.3: Divisionsalgoritmen och restklasser Kunna formulera Divisionsalgoritmen (Teorem 4.4), samt definiera begreppen kvot och rest (s150), se Ex Definitionen av a b (mod n) och den ekvivalenta formuleringen i delbarhet enligt Teorem 4.5 (s153). Kunna lagarna för kongruensräkning i Teorem 4.6, och tillämpa dessa i kongruensräkning. Känna till Fermats lilla sats (s155), se Ex : Största gemensamma delare och Euklides algoritm Definiera begreppet största gemensamma delare till två heltal a och b (betecknas sgd(a, b) eller gcd(a,b)), se Ex 4.10 och texten s157. Begreppet relativt prima. Kunna tillämpa Euklides algoritm (Teorem 4.7) för att bestämma sgd(a,b), se Ex Hur kan man alternativt bestämma sgd(a,b) m.h.a. primtal? (se Ex 4.10). Elementär algebra, kap. 5: Induktion 5.2: Induktion och rekursion Kunna använda summatecknet (se Appendix s ). Kunna begreppet rekursiv talföljd (se Ex ). Kunna Fibonaccis talföljd, se Ex 5.10.

4 Formulera induktionsaxiomet (s186). Kunna begreppen aritmetisk och geometrisk summa (Ex 5.5). Kunna tillämpa induktionsaxiomet i problemlösning/bevisföring. Läs noga igenom exemplen! 5.3: Utvidgad induktion Kunna välordningsprincipen Kunna tillämpa den utvidgade induktionsprincipen i problemlösning/bevisföring. Bevisa att den utvidgade induktionsprincipen följer från välordningsaxiomet. Elementär algebra, kap. 6: Kombinatorik och Binomialteoremet 6.1: Inledning Läs igenom inledningen. 6.2: Permutationer och kombinationer Kunna multiplikationsprincipen (s211). Kunna fakultetsbegreppet, n! (s212). Definiera begreppet permutation av k element ur en mängd med n element, beteckningen P(n, k) Kunna Teorem 6.1: P(n,k) = n(n 1) (n k + 1) = n! (n k)!. Se Ex 6.3. Kunna Teorem 6.2, se Ex 6.4. Definiera begreppet kombination av k element ur en mängd med n element, beteckningen ( ) n k (läs:»n över k«eller»n välj k«) eller alternativt C(n,k). Dessa tal kallas också binomialkoefficienter. Kunna Teorem 6.3: ( ) n k = n!. Se Ex k!(n k)! 6.3: Binomialteoremet Bevisa Binomialteoremet (Teorem 6.4): (x + y) n = n ( n ) k x n k y k. Se också Ex k=0 Kunna Pascals triangel (s229) över binomialkoefficienterna i Binomialteoremet, se Teorem 6.5. Elementär algebra, kap. 7: Komplexa tal 7.1: Inledning Definiera den imaginära enheten i, och ange dess historiska bakgrund. 7.2: Grundläggande definitioner och räkneregler Definiera vad som menas med ett komplext tal, dess realdel och imaginärdel (s253). Ange räknereglerna (addition, subtraktion, multiplikation) för komplexa tal (s ). Känna till Teorem 7.1 (kommutativ, associativ, distributiv). Definiera vad som menas med konjugatet z till ett komplext tal z.

5 Kunna Teorem 7.2, definitionen av z, samt egenskapen z 2 = zz Känna till Teoremen 7.4 och : Geometrisk tolkning av räkning med komplexa tal Tolkningen av addition och subtraktion som vektoraddition (figurer s ). Geometrisk tolkning av absolutbeloppet av ett komplext tal, se Ex Bevisa (algebraiskt, se s266) Triangelolikheten (Teorem 7.6). Definiera vad som menas med argumentet ϕ för ett komplext tal (se fig s267). Kunna skriva om från rektangulär form till polär form (potensform) och vice versa, Ex Kunna Teorem 7.8 (multiplikation (i) och division (ii) på polär form). Kunna de Moivres formel (Teorem 7.9), samt tillämpa den, se Ex : Andragradsekvationer Kunna lösa allmänna andragradsekvationer (d.v.s. med komplexa koefficienter), se Ex Elementär algebra, kap. 8: Polynom och algebraiska ekvationer 8.1: Inledning Läs igenom Inledningen som ger en översikt över teorin för algebraiska ekvationer. 8.2: Polynom. Grundläggande definitioner och egenskaper Definiera vad ett polynom är (s291). Vad menas med ett reellt polynom? Definiera gradtalet för ett polynom (s292). Kunna innebörden av Teorem 8.1, se Ex Definiera begreppet delare till ett polynom (s298). Notera begreppen trivial delare och primpolynom (=irreducibelt polynom) (s299). Se Ex 8.5 där skillnaden mellan irreducibla polynom över R resp. C diskuteras. Observera att teorin i kap 8.2 för delare till polynom är analog med teorin för delare till heltal. Exempelvis gäller delbarhetssatserna på s300 både för polynom och heltal. Kunna Divisionslagoritmen för polynom (Teorem 8.3), inkl begreppen kvot och rest. Kunna utföra polynomdivision, som är Divisionsalgoritmen itererad ett antal gånger, se Ex 8.6. Jämför också division av heltal, och uppställningen i den s.k. liggande stolen (eller alt. trappan). Begreppet sgd(p,q) för polynom (s306) och Euklides algoritm (se Ex 8.8) är helt analogt med motsvarande för heltal. 8.3: Faktorsatsen och Algebrans Fundamentalsats Teorin i kap. 8.2 leder fram till de centrala satserna i detta avsnitt, nämligen Faktorsatsen och Algebrans fundamentalsats. Läs noga igenom s Observera också skillnaden mellan begreppen nollställe och rot!

6 Bevisa Faktorsatsen (Teorem 8.4). Se Ex 8.9. Kunna innebörden av Algebrans fundamentalsats (Teorem 8.5). Observera hur denna sats kombineras med Faktorsatsen för att ge det välbekanta resultatet att en algebraisk ekvation har lika många rötter som sitt gradtal (om man räknar in komplexa rötter och multipelrötter, se s ). Kunna använda sambandet mellan koefficienter och nollställen till polynom (eller ekvivalent uttryckt; sambandet mellan koefficienter till ett polynom och rötterna till motsvarande algebraiska ekvation), se fallen n = 2 och n = 3 på s Särskilt användbart är sambandet vid prövning av rötter. Kunna använda Euklides algoritm för att bestämma alla gemensamma nollställen till två polynom f och g, och därefter lösa de algebraiska ekvationerna f (x) = 0 och g(x) = 0 fullständigt, se Ex : Polynom med reella koefficienter Bevisa satsen om komplexkonjugerade nollställen till reella polynom (Teorem 8.7). Se också korollariet på s322. Kunna tillämpa Teorem 8.7 i ekvationslösning, se Ex Läsanvisningar till Preliminaries i Calculus, Adams. P1 Detta avsnitt handlar i stort om tre saker: Reella talsystemet: Kunna definiera talområdena N, Z och Q, samt förstå inklusionerna N Z Q R. Kunna motivera varför det finns tal på tallinjen som är irrationella, d.v.s. varför R\Q /0. Detta görs genom att motivera/bevisa att Q = {periodiska decimaltal} (enligt föreläsning och Ex 1), och inse att det finns icke-periodiska decimaltal (ett exempel på ett sådant är 2). Mängden av alla tal på tallinjen kallas för det reella talsystemet R. Observera att varje tal på tallinjen (reellt tal) är ett decimaltal, antingen med periodisk eller icke-periodisk decimalutveckling. Kunna skriva ett givet periodiskt decimaltal på rationell form (se Ex 1). Olikheter: Kunna och tillämpa reglerna (1 6) för olikheter i rutan, s4 (observera särskilt regel 6). Intervallbeteckningarna, s5. Kunna lösa linjära, kvadratiska och dubbla olikheter (Ex 2 5). Fullständighet Kunna termerna, övre gräns, minsta övre gräns och definitionen av supremum (sup), respektive nedre gräns osv. Definiera vad som menas med att de reella talen är fullständiga. Absolutbelopp:

7 Definiera absolutbeloppsfunktionen f (x) = x, samt rita dess graf. Egenskaperna (1 3) för absolutbelopp rutan, s8. Bevisa triangelolikheten för reella tal (=regel 3, s8). Detta är ett specialfall av triangelolikheten för komplexa tal. Kunna lösa ekvationer/olikheter med absolutbelopp, enligt Ex 7 9. Observera särskilt Ex 8 och övning 41, som båda enklast löses via geometrisk tolkning (avstånd). P2 Analytisk geometri: Koordinatsystemet R R (=xy-systemet), avstånd, linjer, cirkeln. Indelningen av R R i kvadranter enligt fig. P.10, s11. Avståndsformeln rutan s12, se Ex 2 och Ex 3. Beteckningarna x och y, se Ex 1. Behärska följande varianter av linjens ekvation: y = mx + b (m=lutningen, b= skärning med y-axeln), y = m(x a) (m=lutningen, a= skärning med x-axeln) resp y = m(x x 1 ) + y 1 (där (x 1,y 1 ) är en given punkt på linjen). Känna till att om m 1 och m 2 är lutningarna (slope) till två vinkelräta linjer så gäller att m 1 m 2 = 1 (se fig. P.17, s14). Kunna ekvationen för en cirkel med radien r och medelpunkt i origo. P3 Grafer (=lösningsmängd) till kvadratiska ekvationer: ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey = f. Kunna allmänna ekvationen för en cirkel: (x h) 2 + (y k) 2 = a 2 (s18, a = radie, (h,k) = medelpunkt). Kunna rita lösningsmängden till en kvadratisk olikhet, se Ex 4 (det inre kallas cirkelskiva). Parabelns ekvation (ej härledning) och graf: y = k(x x 0 ) 2 + y 0 (eller x = k(y y 0 ) 2 + x 0 ), se Ex 6 9 och tillhörande figurer. Observera skalning (beror på k, se fig. P.28) och skiftning (beror på x 0 och y 0, se fig. P.10. Reflektionsegenskapen enligt fig. P.26. Ellipsens ekvation och graf: (x x 0) 2 a 2 + (y y 0) 2 b 2 = 1, se Ex 12 och fig. P.31 (där x 0 = y 0 = 0). Skiftning: x 0 och y 0. Excentricitet: Förhållandet mellan a och b. Observera specialfallet a = b, som ger en cirkel. Hyperbelns ekvation och graf i fallet: x2 a 2 y2 = 1, observera minustecknet. Begreppet asymptot, se fig. b2 P.33. Genom kvadratkompletteringar m.a.p. x och y kunna identifiera grafen till en kvadratisk ekvation, se Ex 3, Ex 11, samt övning 7 och 15. P6 Detta avsnitt är repetition av kap. 8.3 i Elementär algebra.

8 P7 Trigonometriska funktioner. Definition 6 av begreppet radian, se fig. P.64. Se också Ex 1. Definition 7 av sin(t) och cos(t), se fig. P.66. Alla trigonometriska samband som finns i rutor s46 50 ska kunnas, särskilt viktigt är additionsformlerna i Theorem 2, s49 (som dock inte behöver kunna bevisas). Det är centralt att kunna använda sig av enhetscirkeln för att motivera symmetriegenskaper, som t.ex. att sin(π x) = sin(x). Definition 8 av funktionerna tan, cot, sec (sekanten) och csc (cosekanten). Graferna till sin(x), cos(x), tan(x) och cot(x) ska kunnas. Bevisa sinussatsen och cosinussatsen (Theorem 3, s54), och tillämpa dem i problemlösning, se Ex Kunna areasatsen: T = 1 2absinC, där T är triangelarean.

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi A1:an Repetition Philip Larsson 6 april 013 1 Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi 1.1 Delmängd Om ändpunkterna ska räknas med används symbolerna [ ] och raka sträck. Om ändpunkterna inte skall

Läs mer

MA2047 Algebra och diskret matematik

MA2047 Algebra och diskret matematik MA2047 Algebra och diskret matematik Något om komplexa tal Mikael Hindgren 17 oktober 2018 Den imaginära enheten i Det finns inga reella tal som uppfyller ekvationen x 2 + 1 = 0. Vi inför den imaginära

Läs mer

Föreläsning 1. Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida

Föreläsning 1. Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida Föreläsning 1 Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida http://www2.math.uu.se/ rikardo/ baskursen/index.html Mängdlära * En "samling" av tal kallas för en mängd.

Läs mer

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1 Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall

Läs mer

Modul 1 Mål och Sammanfattning

Modul 1 Mål och Sammanfattning Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation

Läs mer

Rekursionsformler. Komplexa tal (repetition) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac

Rekursionsformler. Komplexa tal (repetition) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 21. Vi nämner något kort om rekursionsformler för att avsluta [Vre06, kap 4], sedan börjar vi med

Läs mer

TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal

TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal Johan Thim 22 augusti 2018 1 Komplexa tal Definition. Det imaginära talet i uppfyller att i 2 = 1. Detta är alltså ett tal vars kvadrat är negativ. Det kan således aldrig

Läs mer

Introduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR

Introduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Höstterminen 006 Introduktionskurs i matematik för civilingenjörsprogrammet F Tentamen på Introduktionskursen i matematik äger rum lördagen den 6 september

Läs mer

A B A B A B S S S S S F F S F S F S F F F F

A B A B A B S S S S S F F S F S F S F F F F Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 17. Logik När man utför matematiska resonemang så har man alltid vissa logiska spelregler att förhålla

Läs mer

MA2047 Algebra och diskret matematik

MA2047 Algebra och diskret matematik MA2047 Algebra och diskret matematik Något om logik och mängdlära Mikael Hindgren 5 september 2018 Utsagor Utsaga = Påstående som har sanningsvärde Utsagan kan vara sann (S) eller falsk (F) öppen eller

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs. Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer

Läs mer

Block 1 - Mängder och tal

Block 1 - Mängder och tal Block 1 - Mängder och tal Mängder Mängder och element Venndiagram Delmängder och äkta delmängder Union och snittmängd Talmängder Heltalen Z Rationella talen Q Reella talen R Räkning med tal. Ordning av

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande

Läs mer

Block 1 - Mängder och tal

Block 1 - Mängder och tal Block 1 - Mängder och tal Mängder Mängder och element Venndiagram Talmängder Heltalen Z Rationella talen Q Reella talen R Räkning med tal. Ordning av talen i R Intervall Absolutbelopp Olikheter 1 Prepkursen

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp

Läs mer

Sanningsvärdet av ett sammansatt påstående (sats, utsaga) beror av bindeord och sanningsvärden för ingående påståenden.

Sanningsvärdet av ett sammansatt påstående (sats, utsaga) beror av bindeord och sanningsvärden för ingående påståenden. MATEMATISK LOGIK Matematisk logik formaliserar korrekta resonemang och definierar formellt bindeord (konnektiv) mellan påståenden (utsagor, satser) I matematisk logik betraktar vi påståenden som antingen

Läs mer

Komplexa tal: Begrepp och definitioner

Komplexa tal: Begrepp och definitioner UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,

Läs mer

Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal

Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande aktivitet

Läs mer

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra Matematik 1a Centralt innehåll Metoder för beräkningar med reella tal skrivna på olika former inom vardagslivet och karaktärsämnena, inklusive överslagsräkning, huvudräkning och uppskattning samt strategier

Läs mer

Kompletteringskompendium

Kompletteringskompendium Kompletteringskompendium Tomas Ekholm Institutionen för matematik Innehåll 0 Notationer och inledande logik 3 0.1 Talmängder............................ 3 0. Utsagor.............................. 3 1 Induktion

Läs mer

Matematik: Det centrala innehållet i kurserna i Gy 2011 i relation till kurserna i Gy 2000

Matematik: Det centrala innehållet i kurserna i Gy 2011 i relation till kurserna i Gy 2000 2011-12-21 Matematik: Det centrala innehållet i kurserna i Gy 2011 i relation till kurserna i Gy 2000 Kurs 1a och 2a i Gy 2011 jämfört med kurs A och B i Gy 2000 Poängomfattningen har ökat från 150 poäng

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson LÄSANVISNINGAR VECKA 36 VERSION 1. ARITMETIK FÖR RATIONELLA OCH REELLA TAL, OLIKHETER, ABSOLUTBELOPP ADAMS P.1 Real Numbers and the Real

Läs mer

(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C

(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C Sats 1.3 De Morgans lagar för mängder För alla mängder A och B gäller att (A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B C A C B C (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B

Läs mer

29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5.

29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5. Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den 3 november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1 a) Lös den diofantiska ekvationen 9x + 11y 00 b) Ange alla lösningar x, y) sådana

Läs mer

Föreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära

Föreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära Inledande matematisk analys tma970, 010, logik, mängdlära Föreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära Dessa öreläsningsanteckningar kompletterar mycket kortattat kap 0 och appendix B i Persson/Böiers,

Läs mer

Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer

Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer LMA100 VT2005 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL 2 Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer Syftet med denna övning är att repetera gymnasiekunskaper om polynom och polynomekvationer samt att bekanta sig med

Läs mer

Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk

Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2014 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk Övning A Målet är att genom att lösa och diskutera några inledande uppgifter få erfarenheter

Läs mer

Begreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken.

Begreppen mängd och element är grundläggande begrepp i matematiken. MÄNGDER Grundläggande begrepp och beteckningar Begreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken. Vi kan beskriva (ange, definiera) en mängd som innehåller ändligt många element genom

Läs mer

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8. Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +

Läs mer

LMA033/LMA515. Fredrik Lindgren. 4 september 2013

LMA033/LMA515. Fredrik Lindgren. 4 september 2013 LMA033/LMA515 Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 4 september 2013 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematik 4 september 2013 1 / 25 Outline 1 Föreläsning

Läs mer

Övningshäfte 2: Komplexa tal

Övningshäfte 2: Komplexa tal LMA100 VT007 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet

Läs mer

4x 1 = 2(x 1). i ( ) får vi 5 3 = 5 1, vilket inte stämmer alls, så x = 1 2 är en falsk rot. Svar. x = = x x + y2 1 4 y

4x 1 = 2(x 1). i ( ) får vi 5 3 = 5 1, vilket inte stämmer alls, så x = 1 2 är en falsk rot. Svar. x = = x x + y2 1 4 y UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Prov i matematik BASKURS DISTANS 011-03-10 Lösningar till tentan 011-03-10 Del A 1. Lös ekvationen 5 + 4x 1 5 x. ( ). Lösning. Högerledet han skrivas

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Föreläsning 2 Institutionen för matematik KTH 31 augusti 2016 Att göra denna vecka Översikt över modul 1 Funktion Definitionsmängd Värdemängd Udda, jämn Begränsad Absolutbelopp, Trigonometri, Polynom Gränsvärde

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

Grupper och RSA-kryptering

Grupper och RSA-kryptering UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin Specialkursen HT07 26 oktober 2007 Grupper och RSA-kryptering Dessa blad utgör skissartade föreläsningsanteckningar kombinerat med övningar. Framställningen

Läs mer

S n = (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n. 1 x < 2x 1? i i. och

S n = (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n. 1 x < 2x 1? i i. och Uppgift 1 För vilka x R gäller x 4 = 4? Uppgift Låt S n = n k=1 3 k (a) Visa att S n är en geometrisk summa (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n Uppgift 3 Lös ekvationen e x + e x = 3 Uppgift 4

Läs mer

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING Avdelningen för ämnesdidaktik och matematik (DMA) Avdelningen för kvalitetsteknik, maskinteknik och matematik (KMM) MATEMATISK FORMELSAMLING UPPLAGA (Utkast aug, 0) Innehåll Notation, mängdlära och logik........................

Läs mer

Lösningar till övningstentan. Del A. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Övningstenta BASKURS DISTANS

Lösningar till övningstentan. Del A. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Övningstenta BASKURS DISTANS UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Övningstenta BASKURS DISTANS 011-0-7 Lösningar till övningstentan Del A 1. Lös ekvationen 9 + 5x = x 1 ( ). Lösning. Genom att kvadrera ekvationens led

Läs mer

TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen.

TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen. TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen. 2008 10 14 A. Talsystemen. (Adams P.1. Anteckningar från introkursen.) N de naturliga talen Z de hela talen Q de rationella

Läs mer

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor Johan Thim 22 augusti 2018 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför Q

Läs mer

Introduktion till Komplexa tal

Introduktion till Komplexa tal October 8, 2014 Introduktion till Komplexa tal HT 2014 CTH Lindholmen 2 Index 1 Komplexa tal 5 1.1 Definition och jämförelse med R 2................ 5 1.1.1 Likheter mellan R 2 och C................ 5

Läs mer

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar TATM79: Föreläsning 4 Polynomekvationer och funktioner Johan Thim 2 augusti 2016 1 Polynomekvationer Vi börjar med att upprepa definitionen av ett polynom. Polynom Definition. Ett polynom p(z) är ett uttryck

Läs mer

Matematisk Grundkurs

Matematisk Grundkurs LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematisk Grundkurs för högskoleingenjörer inom byggnadsteknik Peter Holgersson Institutionen för teknik och naturvetenskap Sida 2 Syfte och mål Kursen syftar till att bidra till

Läs mer

Explorativ övning 7 KOMPLEXA TAL

Explorativ övning 7 KOMPLEXA TAL Explorativ övning 7 KOMPLEXA TAL Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet då man försökte lösa kvadratiska

Läs mer

Begreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken.

Begreppen mängd och element är grundläggande begrepp i matematiken. MÄNGDER Grundläggande begrepp och beteckningar egreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken. Vi kan beskriva (ange, definiera) en mängd som innehåller ändligt många element genom

Läs mer

POLYNOM OCH POLYNOMEKVATIONER

POLYNOM OCH POLYNOMEKVATIONER Explorativ övning 8 POLYNOM OCH POLYNOMEKVATIONER Syftet med denna övning är att repetera gymnasiekunskaper om polynom och polynomekvationer samt att bekanta sig med en del nya egenskaper hos polynom.

Läs mer

Hela tal LCB 1999/2000

Hela tal LCB 1999/2000 Hela tal LCB 1999/2000 Ersätter Grimaldi 4.3 4.5 1 Delbarhet Alla förekommande tal i fortsättningen är heltal. DEFINITION 1. Man säger att b delar a om det finns ett heltal n så att a Man skriver b a när

Läs mer

Lite om räkning med rationella uttryck, 23/10

Lite om räkning med rationella uttryck, 23/10 Lite om räkning med rationella uttryck, / Tänk på att polynom uppför sig ungefär som heltal Summan, differensen respektive produkten av två heltal blir ett heltal och på motsvarande sätt blir summan, differensen

Läs mer

Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik

Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik Mats Boij 28 oktober 2001 1 Heltalen Det första kapitlet handlar om heltalen och deras aritmetik, dvs deras egenskaper som

Läs mer

MA 11. Hur starkt de binder. 2 Reella tal 3 Slutledning 4 Logik 5 Mängdlära 6-7 Talteori 8 Diofantiska ekvationer 9 Fördjupning och kryptografi

MA 11. Hur starkt de binder. 2 Reella tal 3 Slutledning 4 Logik 5 Mängdlära 6-7 Talteori 8 Diofantiska ekvationer 9 Fördjupning och kryptografi MA 11 Talteori och logik 2 Reella tal 3 Slutledning 4 Logik 5 Mängdlära 6-7 Talteori 8 Diofantiska ekvationer 9 Fördjupning och kryptografi propositionssymboler: bokstäver konnektiv Paranteser konnektiv

Läs mer

(N) och mängden av heltal (Z); objekten i en mängd behöver dock inte vara tal. De objekt som ingår i en mängd kallas för mängdens element.

(N) och mängden av heltal (Z); objekten i en mängd behöver dock inte vara tal. De objekt som ingår i en mängd kallas för mängdens element. Grunder i matematik och logik (2017) Mängdlära Marco Kuhlmann 1 Grundläggande begrepp Mängder och element 2.01 En mängd är en samling objekt. Två standardexempel är mängden av naturliga tal (N) och mängden

Läs mer

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och

Läs mer

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och

Läs mer

Tal och polynom. Johan Wild

Tal och polynom. Johan Wild Tal och polynom Johan Wild 14 augusti 2008 Innehåll 1 Inledning 3 2 Att gå mellan olika typer av tal 3 3 De hela talen och polynom 4 3.1 Polynom........................... 4 3.2 Räkning med polynom...................

Läs mer

Analys o Linjär algebra. Lektion 7.. p.1/65

Analys o Linjär algebra. Lektion 7.. p.1/65 Analys o Lektion 7 p1/65 Har redan (i matlab bla) stött på tal-listor eller vektorer av typen etc Vad kan sådana tänkas representera/modellera? Hur kan man räkna med sådana? Skall närmast fokusera på ordnade

Läs mer

SF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 24 oktober 2013 kl Svar och lösningsförslag. z 11. w 3. Lösning. De Moivres formel ger att

SF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 24 oktober 2013 kl Svar och lösningsförslag. z 11. w 3. Lösning. De Moivres formel ger att SF11 Perspektiv på matematik Tentamen 4 oktober 013 kl 14.00 19.00 Svar och lösningsförslag (1) Låt z = (cos π + i sin π ) och låt w = 1(cos π 3 + i sin π 3 ). Beräkna och markera talet z11 w 3 z 11 w

Läs mer

Kommentarer till uppbyggnad av och struktur för ämnet matematik

Kommentarer till uppbyggnad av och struktur för ämnet matematik 2011-06-10 Kommentarer till uppbyggnad av och struktur för ämnet matematik Likheter och skillnader jämfört med den gamla kursplanen Ämnesplanen i gymnasieskola 2011 (Gy 2011) har en ny struktur jämfört

Läs mer

Övningshäfte 6: 2. Alla formler är inte oberoende av varandra. Försök att härleda ett par av de formler du fann ur några av de övriga.

Övningshäfte 6: 2. Alla formler är inte oberoende av varandra. Försök att härleda ett par av de formler du fann ur några av de övriga. GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MAM100, HT2005 MATEMATISK BASKURS Övningshäfte 6: Syftet med övningen är att utforska strukturen hos talsystemen under addition respektive multiplikation samt sambandet

Läs mer

Algebra I, 1MA004. Lektionsplanering

Algebra I, 1MA004. Lektionsplanering UPPSALA UNIVERSITET Matematiska Institutionen Dan Strängberg HT2016 Fristående, IT, KandDv, KandMa, Lärare 2016-11-02 Algebra I, 1MA004 Lektionsplanering Här anges rekommenderade uppgifter ur boken till

Läs mer

Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik

Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik Mats Boij 18 november 2001 15 Ringar, kroppar och polynom Det fjortonde kapitlet behandlar ringar. En ring har till skillnad

Läs mer

Övningshäfte 3: Funktioner och relationer

Övningshäfte 3: Funktioner och relationer GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MAM100, HT2014 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 3: Funktioner och relationer Övning H Syftet är att utforska ett av matematikens viktigaste begrepp: funktionen. Du har

Läs mer

Övningshäfte 2: Komplexa tal (och negativa tal)

Övningshäfte 2: Komplexa tal (och negativa tal) LMA110 VT008 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal (och negativa tal) Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal och att fundera på några begreppsliga svårigheter som negativa

Läs mer

Euklides algoritm för polynom

Euklides algoritm för polynom Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 22. Euklides algoritm för polynom Ibland kan det vara intressant att bestämma den största gemensamma

Läs mer

2 Matematisk grammatik

2 Matematisk grammatik MATEMATISK GRAMMATIK Matematisk grammatik.1 Skriva matematik Matematisk grammatik, minst lika kul som det låter, och hur man skriver matematik är nästan lika viktigt som vad man skriver. En grammatisk

Läs mer

Denna uppdelning är ovanlig i Sverige De hela talen (Både positiva och negativa) Irrationella tal (tal som ej går att skriva som bråk)

Denna uppdelning är ovanlig i Sverige De hela talen (Både positiva och negativa) Irrationella tal (tal som ej går att skriva som bråk) UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Olof Johansson, Nina Rudälv 2006-10-24 SÄL 1-10p Avsnitt 1.1 Grundläggande begrepp Detta avsnitt behandlar de symboler som används

Läs mer

Referens :: Komplexa tal

Referens :: Komplexa tal Referens :: Komplexa tal Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. Definition av komplexa tal Definition 1. Ett komplext tal z är ett tal på formen

Läs mer

1.1 Den komplexa exponentialfunktionen

1.1 Den komplexa exponentialfunktionen TATM79: Föreläsning 8 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer Johan Thim augusti 07 Komplexa tal på polär form Ett komplex tal z = a+bi kan som bekant betraktas som en punkt i komplexa

Läs mer

Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter

Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter En ekvation är en likhet som innehåller en flera obekanta storheter. Exempel: x = 9, x är okänd. t + t + 1 = 7, t är okänd. Vi säger att ett värde på den obekanta

Läs mer

Matematik. Ämnets syfte

Matematik. Ämnets syfte Matematik Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

Grundidén är att våra intuitiva rationella tal (bråk) alltid kan fås som lösningar till ekvationer av typen α ξ = β, där α och β är tal Z och α 0.

Grundidén är att våra intuitiva rationella tal (bråk) alltid kan fås som lösningar till ekvationer av typen α ξ = β, där α och β är tal Z och α 0. 5B2710, lekt 4, HT07 Konstruktion av de rationella talen Q (AEE 2.3) Grundidén är att våra intuitiva rationella tal (bråk) alltid kan fås som lösningar till ekvationer av typen α ξ = β, där α och β är

Läs mer

Dagens teman. Mängdlära forts. Relationer och funktioner (AEE 1.2-3, AMII K1.2) Definition av de naturliga talen, Peanos axiom.

Dagens teman. Mängdlära forts. Relationer och funktioner (AEE 1.2-3, AMII K1.2) Definition av de naturliga talen, Peanos axiom. Dagens teman Mängdlära orts. Relationer och unktioner (AEE 1.2-3, AMII K1.2) Deinition av de naturliga talen, Peanos axiom. Relationer och unktioner Relationer Generell deinition: En relation R på mängden

Läs mer

TATM79: Matematisk grundkurs HT 2018

TATM79: Matematisk grundkurs HT 2018 TATM79: Matematisk grundkurs HT 08 Föreläsningsanteckningar för Y, Yi, MED, Mat, FyN, Frist Johan Thim, MAI y y = /x x x TATM79: Föreläsning Notation, ekvationer, polynom och summor Johan Thim augusti

Läs mer

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson Matematikcentrum Matematik BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS Jan Gustavsson. Algebraiska förenklingar.. Reella andragradsekvationer.. Enkla rotekvationer - eventuellt med falsk rot.. Enkla absolutbeloppsproblem.

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

PRÖVNINGSANVISNINGAR

PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik 4 PRÖVNINGSANVISNINGAR Kurskod MATMAT04 Gymnasiepoäng 100 Läromedel Valfri aktuell lärobok för kurs Matematik 4 Skriftligt prov (4h) Muntligt prov Bifogas Provet består av två delar.

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri SF1624 Algebra och geometri Första föreläsningen Mats Boij Institutionen för matematik KTH 26 oktober, 2009 Översikt Kurspresentation Komplexa tal Kursmålen Efter genomgången kurs ska studenten vara förtrogen

Läs mer

Komplexa tal. z 2 = a

Komplexa tal. z 2 = a Moment 3., 3.2.-3.2.4, 3.2.6-3.2.7, 3.3. Viktiga exempel 3.-3.8, 3.9,3.20 Handräkning 3.-3.0, 3.5a-e, 3.7, 3.8, 3.25, 3.29ab Datorräkning Komplexa tal Inledning Vi skall i följande föreläsning utvidga

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016 Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri

Läs mer

Sommarmatte. Matematiska Vetenskaper. 12 mars 2012

Sommarmatte. Matematiska Vetenskaper. 12 mars 2012 Sommarmatte Matematiska Vetenskaper 1 mars 01 Innehåll 1 Aritmetik och algebra 5 1.1 Räkning med naturliga tal och heltal.................. 5 1.1.1 Naturliga tal.......................... 5 1.1. Negativa

Läs mer

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow Matematik i Gy11 110912 Susanne Gennow Var finns matematik? Bakgrund Nationella utredning 2003 PISA 2009 TIMSS Advanced 2008 Skolinspektionens rapporter Samband och förändring åk 1 3 Olika proportionella

Läs mer

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar 1 Tisdag v 2 Speglingar, translationer och skalningar Ofta i matematik och i matematiska kurser är det så att man måste kunna några grundläggande exempel utantill och man måste kunna några regler som säger

Läs mer

TATM79: Matematisk grundkurs HT 2017

TATM79: Matematisk grundkurs HT 2017 TATM79: Matematisk grundkurs HT 017 Föreläsningsanteckningar för Y, Yi, MED, Mat, FyN, Frist Johan Thim, MAI y 1 y = 1/x 1 x x TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim

Läs mer

TATM79: Matematisk grundkurs HT 2016

TATM79: Matematisk grundkurs HT 2016 TATM79: Matematisk grundkurs HT 016 Föreläsningsanteckningar för Y, Yi, MED, Mat, FyN, Frist Johan Thim, MAI y 1 y = 1/x 1 x x TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim

Läs mer

Utsagor (Propositioner) sammansatta utsagor sanningstabeller logisk ekvivalens predikat (öppna utsagor) kvantifierare Section

Utsagor (Propositioner) sammansatta utsagor sanningstabeller logisk ekvivalens predikat (öppna utsagor) kvantifierare Section Föreläsning 1 Utsagor (Propositioner) sammansatta utsagor sanningstabeller logisk ekvivalens predikat (öppna utsagor) kvantifierare Section 1.1-1.3 i kursboken Definition En utsaga (proposition) är ett

Läs mer

SAMMAFATTNINGAR AV VISSA FÖRELÄSNINGAR

SAMMAFATTNINGAR AV VISSA FÖRELÄSNINGAR SAMMAFATTNINGAR AV VISSA FÖRELÄSNINGAR 1. Föreläsning 1 Se litet blad om mängdlära på kurshemsidan. Talsystemen N, Z, Q, R. Mängder och symboler. Lite logik. Slutligen gick vi igenom potenslagarna. Eftersom

Läs mer

Mängder och kardinalitet

Mängder och kardinalitet UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin Specialkursen HT07 28 september 2007 Mängder och kardinalitet Dessa blad utgör skissartade föreläsningsanteckningar kombinerat med övningar. Framställningen

Läs mer

Matematik 4 för basår, 8 högskolepoäng Föreläsnings- och lektionsplanering

Matematik 4 för basår, 8 högskolepoäng Föreläsnings- och lektionsplanering Matematik 4 för basår, 8 högskolepoäng Föreläsnings- och lektionsplanering Kursboken innehåller uppgifter på tre nivåer, a, b och c, i stigande svårighetsgrad. Efter varje kapitel finns en bra sammanfattning,

Läs mer

TATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer

TATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer TATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer Johan Thim 9 september 05 Komplexa tal på polär form Ett komplex tal z = a+bi kan som bekant betraktas som en punkt i komplexa

Läs mer

Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer)

Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Faktorsatsen 1. Pettersson: teori och exempel på sid. 21-22 Det intressanta är följande idé: Om man på något sätt (Vilket det är en annan fråga, se nedan!) har

Läs mer

x2 6x x2 6x + 14 x (x2 2x + 4)

x2 6x x2 6x + 14 x (x2 2x + 4) Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Måndagen den 5:e november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. För vilka reella tal x gäller olikheten x 6x + 14? Lösningsalternativ 1: Den

Läs mer

Definitionsmängd, urbild, domän

Definitionsmängd, urbild, domän 5B1493, lekt 5, HT06 Funktioner Definition av begreppet Definition: Låt X och Y vara två mängder. En funktion f av typ X Y är detsamma som en delmängd av X Y, sådan att 1. Om (x, y) och (x, z) f, så är

Läs mer

Några saker att tänka på inför dugga 2

Några saker att tänka på inför dugga 2 LINKÖPINGS UNIVERSITET 17 oktober 017 Matematiska institutionen TATA68 Matematik och tillämpad matematik Några saker att tänka på inför dugga Dugga omfattar HELA kursen, så titta även på de tips som lämnades

Läs mer

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b

Läs mer

MA2047 Algebra och diskret matematik

MA2047 Algebra och diskret matematik MA2047 Algebra och diskret matematik Något om heltal Mikael Hindgren 17 september 2018 Delbarhet Exempel 1 42 = 6 7 Vi säger: 7 är en faktor i 42 eller 7 delar 42 Vi skriver: 7 42 Definition 1 Om a, b

Läs mer

Diskret matematik. Gunnar Bergström

Diskret matematik. Gunnar Bergström Diskret matematik Gunnar Bergström 20 september 2005 ii INNEHÅLL iii Innehåll 1 Logik och mängdlära 1 1.1 Satslogik........................... 1 1.1.1 Utsagor....................... 1 1.1.2 Konnektiv......................

Läs mer

Komplexa tal. i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = i 2 = 1, i 5 = i,...

Komplexa tal. i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = i 2 = 1, i 5 = i,... Komplexa tal Vi inleder med att repetera hur man räknar med komplexa tal, till att börja med utan att bekymra oss om frågor som vad ett komplext tal är och hur vi kan veta att komplexa tal finns. Dessa

Läs mer

Complex numbers. William Sandqvist

Complex numbers. William Sandqvist Complex numbers Hur många lösningar har en andragradsekvation? y = x 2 1 = 0 Två lösningar! Kommer Du ihåg konjugatregeln? Svaret kan ju lika gärna skrivas: x 1 = 1 x2 = + 1 Hur många lösningar har den

Läs mer

Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 22 augusti, 2001

Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 22 augusti, 2001 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 22 augusti, 2001 1. Ange kvot och rest vid division av 5BE med 1F där båda talen är angivna i hexadecimal

Läs mer

Gaussiska heltal. Maja Wallén. U.U.D.M. Project Report 2014:38. Department of Mathematics Uppsala University

Gaussiska heltal. Maja Wallén. U.U.D.M. Project Report 2014:38. Department of Mathematics Uppsala University U.U.D.M. Project Report 014:38 Gaussiska heltal Maja Wallén Examensarbete i matematik, 15 hp Handledare och examinator: Gunnar Berg Juni 014 Department of Mathematics Uppsala University Innehållsförteckning

Läs mer

Några satser ur talteorin

Några satser ur talteorin Några satser ur talteorin LCB 997/2000 Fermats, Eulers och Wilsons satser Vi skall studera några klassiska satser i talteori, vilka är av betydelse bland annat i kodningsteknik och kryptoteknik. De kan

Läs mer