Linjära ekvationssystem

Transkript

1 Linjära ekvationssystem Gymnasiemetoderna För 2 2-ekvationssystem, som t.ex. ½ 7x 3y =7 (i) 2x 8y = 3 (ii) lärmansigpågymnasiet, förutom en grafisk lösningsmetod (rita linjerna som de två ekv. svarar mot och avläs koordinaterna för deras skärningspunkt), även två algebraiska : "Substitutionsmetoden" Lös ut en av de obekanta ur en av ekvationerna, t.ex. (ii) ger 2x = 8y 3 x = 4y 5 och stoppa in detta (substituera) i den ännu icke-utnyttjade ekvationen : 7(4y 5) 3y =7 (Vi har härmed eliminerat x ur ekv.(i).) 25y 5 = 7 y = 7 Substituera detta tillbaka i (ii) : Svar: x =3,y =7. x =4y 5 = 3 "Additionsmetoden" Eliminera t.ex. y genom att multiplicera (i) med 8, (ii) med 3 ½ 56x 24y = 56 6x +24y =9 och addera: 5x = 65 x = 3 Substituera detta värde på x i någon av de ursprungliga ekv., t.ex. (i) : 7 3 3y = 7 y = 7 Hur olika är de här metoderna, egentligen? Hade vi i "substitutionsmetoden" valt att lösa ut y 2x = 8y 3 2x +3 8 = y hade insättningen i (i) givit 2x +3 7x 3 8 = 7 56x 3(2x + 3) = 56 5x = 65 vilket känns igen från "additionsmetodens" lösning. För att få bättre perspektiv, kasta ett öga på sid.3. Där har du en verkligen annorlunda metod! Substitution- och additionsmetoden är, menar jag, baratvåolikasättattbokföra samma matematik. Kan gymnasiemetoderna generaliseras till att klara av större system (fler ekvationer och/eller fler obekanta)? Den grafiska metoden klarar inte mer än 2 obekanta. Den algebraiska, däremot, fungerar bra: Har man ett system av n ekvationer, kan man lösa ut en av de obekanta, säg x, från, säg, ekv., och stoppa in uttrycket för z i övriga ekvationer. Kan man då, på något sätt, lösa det mindre systemet, bestående av ekv. 2, 3,..., n (som ej innehåller x), och stoppar in denna lösning i uttrycket för x, så har man lösningen för hela det urspr. systemet. Hur man löser det mindre systemet? På samma sätt genom att reducera sig till mindre och mindre system, tills man har ett system med bara 2 ekvationer sådant som man redan kan klara. Det visar sig att bokföringen blir effektivast om man förfar (ungefär) som i "additionsmetoden" snarare än som i "substitutionsmetoden". Läs Sparr, kap.. Skulle det kännas otillräckligt, kanduutnyttjalänkarnapå (alt. ) Från efterföljande sidor gör (i första hand) övningar -6,8-,3,6,8-2,23,28-29,3-37 Läs igenom mellanliggande kommentarer och exempel.

2 Bokföringsmetoden med utökad matris När man efterhand börjar tycka att skrivarbetet vid lösning av linjära ekv.system är oproportionerligt stort i förhållande till tankearbetet, så brukar man förkorta det. Sä här t.ex. skulle man kunna bokföra eliminationen i Sparr, sid.4, Exempel : (Oftast skriver man inte ut detta steg utan nästa direkt.) medan eliminationen i Exempel 8, sid.2 bokförs så här: Rektangulära taltabeller av detta slag kallas matriser. Till vänster om det vertikala strecket har vi den s.k. koefficientmatrisen, till höger "högerledet". Tillsammans bildar de systemets utökade matris Lös ekv. systemet 2x +3y z = 5 3y +5z = 4z = 8 2. Lös ekv.systemet x 2y +z = 2 2x 6y +z = 35 3x +5y +z = 8 3. Lös ekv.systemet x 2y +z = 2x 6y +6z = 2 3x +5y +z = 3 4. Lös ekv.systemet x 2y +z = 2x 6y +6z = 2 3x +5y z = 3 5. Lös ekv.systemet x y 2z +2u = 3x +4y +7z 2u =2 2x 4y 3z 2u = 2 5x y 3z 3u = 2 6. Lös systemet x 2y = 3x +4y =3 5x +2y = 3 4x 3y =9 7. Lös systemet ½ x/y =7 (y +3x) / (5 6y) = 8 Anm. Flera tal, men bara en lösning! Systemet (exempel!) ½ x + y =5 x y = har lösningen ½ x =3 y =2 Talen är två, men lösningen är bara en de obekantas värden bildar tillsammans en lösning. 2

3 8. Vi vill framställa liter vätskeblandning som innehåller 37.5% av ämne A, 2% av ämne B och resten vatten. Till vårt förfogande har vi stora mängder av tre färdiga lösningar av ämne A och ämne B ivatten, med koncentrationer enligt följande : A B lösning 3% 2% lösning 2 4% % lösning 3 3% % Hur mycket skall vi ta av var och en av de tre lösningarna? 9. Det litet säsongsbetonade företaget Christmas Inc. har under flera år levt på tre starka produkter: jultomten Santa, renen Rudolph och den mycket populära granen EverGreen. Santa tar min i anspråk i snickarverkstan, 2 min i måleriet och 2 min i paketeringen. Motvarande tider för Rudolph är 2 min, 3 min och 5 min och för EverGreen gäller 6 min, min och 2 min. Hur många Santa, Rudolph respektive EverGreen tillverkas under november månad, om total tidsåtgång för de tre produkterna i verkstan är 64 tim, 33 tim i måleriet och 23 tim i paketeringen?. Tomtemors smörringar bakas av smör, socker, vetemjöl och skummjölkspulver. Tyvärr framgår det inte av det gamla receptet i vilka proportioner dessa ingredienser skall blandas. Däremot kan man utläsa att g deg innehåller 24. g fett, 55 g kolhydrater, 7.5 g protein och 5 kcal. På förpackningarna till de olika ingredienserna kan man avläsa att g innehåller fett kolhydrater protein kcal smör 8 8 socker 4 vetemjöl skummjölkspulver Beräkna hur många g av varje ingrediens som behövs för 5 g deg ( 6 st. smörringar).. När Tomten blandar sina tre glöggsorter i volymförhållande :2:4, får blandningen en alkoholhalt på 35%. Om de blandas i volymförhållande 2: 3:, blir alkoholhalten 4% och om de blandas 3: : 5blir den 3%. Beräkna alkoholhalten i Tomtens tre olika glöggsorter. 2. Tre vätskor blandas i volymförhållandet :2:4, varvid blandningen får densiteten.9. Om de blandas i volymförhållandet 2:3:, blir densiteten.8. Om de blandas i förhållandet 3::5, blir blandningens densitet.. Beräkna densiteterna av var och en av de tre vätskorna. 3. I en stad finns ett kolgruvebolag, en elproducent och ett lokalt järnvägsbolag. För att bryta kol till ett värde av kr. köper gruvbolaget elenergi för.25 kr. och järnvägstransporttjänster för.2 kr. För att producera el för kr., använder elbolaget kol för.6 kr., elenergi (för diverse styrutrustning) för.5 kr. och järnvägstransporter för. kr. Slutligen behöver järnvägsbolaget kol för.5 kr. och el för.5 kr., för att sälja transporttjänster för kr. Underenvissveckafårgruvanorderför 4 kr. från andra orter, medan elbolaget säljer el till andra orter för 2 kr. Järnvägsbolaget säljer tjänster endast till gruvan och elbolaget. Ställ upp de ekvationer, ur vilka man kan bestämma för hur mycket de tre företagen skall producera den här veckan, för att precis tillfredsställa behoven för sig själva och de externa kunderna. 4. Ett system består av α-, β- och γ-partiklar. Varje tidsenhet omvandlas 2% av β-partiklarna och 4% av γ-partiklarna till α-partiklar 2% av α-partiklarna och 3% av γ-partiklarna till β-partiklar 5% av α-partiklarna och 8% av β-partiklarna till γ-partiklar Vid en viss tidpunkt är partikelfördelningen (α, β, γ) = (5, 25, 95). Hur var den en tidsenhet tidigare? 3

4 5. Bestäm konstanterna a, b, c, d, så att kurvan y = ax 3 + bx 2 + cx + d går genom punkterna (, 2) och (, 4) samt har en tangent i (2, ) som är parallell med linjen y =7x 3. System med oändligt många lösningar Lösningen till Sparr, sid.9-, exempel 6 3x + y z = y +2z = z = skulle man lika gärna kunna beskriva så här: z godtyckligt reellt tal y = 2z x = z 6. I boken Problemlösning är # av David Berglund hittar man ekvationssystemet a + b + c + d + e = 6a +8b +4c +2d + e =2 8a +27b +9c +3d + e =4 256a +64b +6c +4d + e =8 625a + 25b +25c +5d + e =6 med kommentaren "... ett ganska bökigt system...". Något långa får räkningarna förvisso bli vi har här ett 5 5-system men "bökigt"?? "Motbevisa" Berglund visa att det finns en enkel och rättfram väg till lösningen! 7. Lös systemet x +2x 2 +2x 3 +2x 4 +2x x 99 +2x = x +3x 2 +4x 3 +4x 4 +4x x 99 +4x =2 x +3x 2 +5x 3 +6x 4 +6x x 99 +6x =3 x +3x 2 +5x 3 +7x 4 +8x x 99 +8x = x +3x 2 +5x 3 +7x 4 +9x x x =99 x +3x 2 +5x 3 +7x 4 +9x x x = Alltså: utan att blanda in något t. Men traditionen är som den är. parameter Ordet kommer från latin och betyder ungefär det man mäter med. Kan ses som ett slags nummer på lösningarna. 8. Undersök om systemet x + y + z = x + 2y + z = x + 4y + z = x + y z = har några icke-triviala lösningar och ange i så fall dessa. 9. Lös ekv. systemet x y +2z = 4 2x +y z = 3x +3y 4z = 2 2. På ett visst ekv.system fick Anna svaret µ 5 (x, y, z) = 3 3 t, t, t, t R medan Annika fick svaret (x, y, z) =(t, 6 5t, 5 3t), t R Kan det vara så att båda har rätt? (Se även nästa sida.) 2. Lös ekv.systemet 22. Lös ekv.systemet x 2y + z = 2x 6y +6z =4 3x +5y z = 2 ½ x +2y z =3 x y +2z =6 4

5 Det finns oändligt många korrekta sätt att beskriva en oändlig lösningsmängd! Exempel (med enbart en ekvation, men det illustrerar tillräckligt det är just p.g.a. att enskilda linjära ekv. med mer än en obekant har oändligt många lösningar som ett helt system kan ha oändligt många lösningar): 2x +3y =2 Alt. : 2 3t y = t, x = = t, t R Alt.2 : 2 2t x = t, y = = t, t R Geometriskt: Lösningsmängden svarar mot räta linjen :2x +3y =2i xy-planet. (Ritas enklast genom att observera att den går genom punkterna B :, 2 3 och A : 2 2,. Beskrivningen i alt. svarar mot att vi gör till en graderad t-axel med nollpunkt (t =)i A, ochskalanvaldsåattförflyttning t steg längs innebär förflyttning t steg i y-led enl. y-axelns gradering (speciellt svarar punkten B mot t =4): t= t=4 t=3 t=2 t= t= t= Alt. 2 innebär att vi lägger nollpunkten i B och förflyttning t steg svarar mot förflyttning t steg i x-led enl. x-axelns gradering : 5 t= 4 t= 3 2 t= t=2 t=3 t=4 t=5 t= t=7 Klart att det finns oändligt många andra sätt att "parametrisera linjen ", d.v.s. att beskriva lösningmängden: Etttredjesättärt.ex. ½ x =3+3t y =2 2t 4 t= 3 2 t= t= Hur övertygar man sig då att två olika beskrivningar ger samma lösningsmängd? Tänk på att t:et i ena beskrivningen inte behöver vara samma som t:et i den andra. Byt ett av dem, så de olika beskrivningarna har olika parametrar: ½ x =6 3 2 t y = t, ½ x = s y =4 2 3 s Väljer vi parametervärden så att (t.ex.) x-koordinaterna blir lika t = s så skall även y-koord. vara lika: s =4 2 µ t = t Det visar att de två beskrivningarna genererar samma mängd av talpar. (Hade vi haft fler obekanta z, u, v,... hade vi behövt kontrollera att även deras uttryck blir lika.) 5

6 23. En grupp om 5 turister besökte ett nöjesfält. Efter påtryckningar från de yngre i sällskapet, enades man om att åka skräcktåg. Avgiften var 7 för vuxna, 2 för pensionärer och.5 för barn. Totalt fick man betala exakt. Hur många räknades som vuxna, hur många som pensionärer och hur många som barn? 24. Sluten ekonomi: Andersson odlar tomater, Bengtsson gurka och Carlsson sallad. De tänker dela upp skördarna mellan sig så att Andersson får /2 av tomatskörden, /3 av gurkskörden o.s.v. enl. tabellen tomater gurka sallad Andersson /2 /3 /4 Bengtsson /3 /3 /4 Carlsson /6 /3 /2 Vid vilken prissättning av skördarna skulle värdet av det de erhåller genom fördelningen vara detsamma som värdet av det de odlat? Olinjära ekvationssystem De tre operationerna som används vid lösande av linjära ekv.system i) till en ekv. addera en multipel av en annan, ii) multiplicera en ekv. med tal 6=, iii) kasta om ordningen mellan ekvationerna kananvändasävenpåicke-linjärasystem dessa operationer resulterar i ekvivalenta system (d.v.s. system med samma lösningsmängd), oavsett hur ekvationerna ser ut. Problemet är bara det att man i allmänhet inte får några "enklare" system i allmänhet går det inte att eliminera variabler som i det linjära fallet. 28. Lös, genom att utnyttja att det råder (råkar råda...) proportionalitet mellan vissa koefficienter i ekvationerna : ½ 2x 2 + y 2 4x +2y = 3x 2 2y 2 6x 4y 5= 25. Bestäm koefficienterna i reaktionsformeln, så att laddning och materia bevaras. x Cr 2 O 3 +x 2 NO 3 +x 3CO 2 3 y CrO 2 4 +y 2NO 2 +y 3CO 2 (Ställ upp och lös ett linjärt ekvationssystem! Att tänka på som extra kontroll: Kan man vänta sig entydig lösning i detta fall?) 26. Orter K och L behöver 4 resp. 5 liter olja. Oljedepåer med, 3 resp. 5 liter finns på orter A, B och C. Hur skall man fördela leveranserna från A, B och C till K och L, så att den totala fraktkostnaden minimeras, om fraktkostnaderna i kr. per liter är 27. Om A B C K L Vissaicke-linjäraekvationssystem kan omformas till linjära dito genom lämpliga variabelbyten 29. Lös systemet xy x+y = 2 yz y+z = 3 zx z+x = 7 3. Var och en av de tre tvärsgående kurvorna halverar det ovalformade områdets area. Figuren är enbart en grov skiss. Vilket av delområdena A och B har störst area? x +4x 2 +9x 3 +6x 4 +25x 5 +36x 6 +49x 7 = a 4x +9x 2 +6x 3 +25x 4 +36x 5 +49x 6 +64x 7 = b 9x +6x 2 +25x 3 +36x 4 +49x 5 +64x 6 +8x 7 = c där a, b, c antas kända, vilket värde har då 6x +25x 2 +36x 3 +49x 4 +64x 5 +8x 6 + x 7? A B 6

7 Flera system med samma koefficientmatris (Simultana system säger man ibland, men jag vet inte hur vedertagen den termen är. Simultant lösbara system vorenogmeralogiskt.) Om vi har att lösa flera ekvationssystem med samma vänsterled men olika högerled t.ex. följande fyra system 2x + y 2z =6 2x 2y +3z = 3x + y 5z =7 2x + y 2z =5 2x 2y +3z = 3x + y 5z =7 2x + y 2z = 7 2x 2y +3z =2 3x + y 5z = 8 2x + y 2z = 2x 2y +3z =, 3x + y 5z = 3 kan vi då på något sätt utnyttja att systemen har samma vänsterled för att förenkla räknearbetet, jämfört med fallet då vi har fyra helt olika system? Ja, det kan vi. Vilka operationer vi väljer att göra för att överföra systemet till trappform, beror enbart på koefficientmatrisen, inte på högerledet.. Därför kan vi utföra radoperationer på alla fyra systemen "parallellt" (simultant). Se ev. T.Ekedahls stencil på (alt. ) för ett ytterligare / bättre exempel. Utöka koefficientmatrisen med fyra kolonner i stället för en: / Flytta första kolonnen till tredje plats i hopp om att undvika bråktal (Principiellt onödigt, mendetkanvaraennyttigövning att tänka igenom hur/varför detta kan fungera!) / / / / Multiplicera andra och tredje ekv. med lämpliga konstanter, så att första icke-noll-koeff. är = 2 2 9/ Nu genomför vi bakåtsubstitutionen på ett sätt, som det inte är någon fördel med, när man har endast ett högerled, men som förkortar skrivarbetet, när man har många högerled : Kör samma typ av elimination "baklänges", d.v.s. nerifrån uppåt och från höger till vänster: Det här säger oss att systemen har lösningarna: Första: y =2,z =3,x=, andra: y =,z =,x=2, tredje: y =3,z =3,x= 2, fjärde: y =2,z =,x=. 7

8 Linjära ekvationer med parametrar Termen parameter används här i en annan betydelse än i Sparr, sid. (t:et som brukar förekomma, när ett system har oändligt många lösningar). Där hade vi ett system med flera lösningar och parametern är en slags etikett på lösningarna (parameterframställning av lösningar). Nuskallvibetraktaflerasystempåengångoch parametrarna är etiketter på systemen, ett slags mellanting mellan variabel och konstant. Om vi studerar ett rörelseförlopp med konstant fart, så är det naturligt att i sambandet s = vt betrakta s och t som variabler och v som konstant, men om man har i åtanke flera förlopp med olika farter, så kallar man v för parameter. Den enklaste linjära ekvationen med parametrar den som ligger i botten vid lösningen av alla system med parametrar är ax = b Här är x obekant, medan a och b förutsätts stå för kända tal, men som ändå kan variera från fall till fall, så nu vill vi ta fram en formel, som tillåter oss att få x direkt genom att stoppa in a och b i stället för att lösa en ekvation varje gång. (Vi vill "uttrycka lösningen x som funktion av parametrarna a och b".) Det är frestande att avfärda frågan med x = b/a, men så enkelt är det inte : kvoten är ju meningslös då a =. Därför skriver vi: Fall, a 6= : x = b a Fall 2, a =: x = b Här ser vi oss tvingade att åter dela upp i fall: Fall 2, delfall (i), a =,b=: x = alla x duger som lösningar! Fall 2, delfall (ii), a =,b6= : x = b 6= inga x duger lösning saknas! 3. Lös nedanstående ekvationssystem för alla möjliga värden på parametrarna a och b ½ x + y =2 ax + by = b 32. Lös för alla värden på a ½ x + ay = x y = 33. Lös nedanstående ekvationssystem för alla möjliga värden på parametern a x + y + z = x + 2y + 4z = a x + 4y + z = a Lös för varje värde på a a 2 x +2y +3z = ay +(a ) z = a + a 2 z = a Lös följande ekvationssystem för alla reella värden på parametern a ax + ay + az = ax +2ay +3az = (a +)x +(a +2)y +(a +3)z = 36. Bestäm för alla reella värden på parametern a samtliga lösningar till x + y + az = x + y + z = a ax + y + z = a Lös nedanstående ekvationssystem för alla möjliga värden på parametern a x + ay + z = 2ax ay + 2z = a x + 2y z = 2a 38. Lös följande ekvationssystem för alla värden på parametern a ax + ay + az = ax + ay + z = a ax + y + z = 39. Bestäm alla tal a och b sådana att ekv. systemet x + ay = 2 ax + 4y = 4 x by = a får oändligt många lösningar. Bestäm även lösningarna i dessa fall. 8

9 4. Lös för alla värden på konstanterna a, b, c x + y + z + w = x + ay + z + w = x + y + bz + w = x + y + z + cw = 4. Bestäm samtliga lösningar till x +2y +3z = b ax + y +2z = x +2y + z = b för alla reella värden på parametrarna a och b. 42. För vilka reella a är systemet nedan lösbart? Ange lösningarna för varje sådant a. x + y + z = 2x y + az = 2 x z = (a +2)x + y + 4z = a 43. Lös, för alla värden på parametern a, systemet ½ ax 2y =4 a (a 3) x +(a ) y = 44. Lös, för alla värden på parametern a, systemet ½ ax +( a) y = ( a) x + ay =3 45. För vilka värden på parametrarna a och b har ekvationssystemet x + y + z = 2x 2y + 3z = b 3x y + az = 2 precis en lösning (= "entydig lösning"), flera lösningar resp. ingen lösning? Ange lösningarna i förekommande fall. 46. Finns det några värden på parametern a, för vilka det överbestämda systemet x 3y + 2z = 5 2x 4y 3z = 2 x + 3y 7z = a 2x 3y 5z = Lös för alla värden på parametrarna a och b. x + y +2z w =2 x +2y + z + w =3b 2x + y z +2w = x +2y z + aw = 48. Lös för alla värden på parametrarna a och b : ax + by + z + aw = bx + ay + z + bw = x y + z + w = 49. Lös för alla värden på parametern a ax + ay + az = ax + ay + az = ax +2ay az = 5. Lös för alla värden på parametern a ax + y + z = x + ay + z = x + y + az = 5. Lös för alla värden på parametern a ax + ay 2az = 2ax + ay + az = ax 2ay + az = Lös för alla värden på parametrarna a, b och c ax + ay + az = a bx + by + z = b cx + y + z = c 53. Lös för alla värden på parametern a x +y +z +aw = ax +z +w =2 ay +az +w = x +az +aw = 54. Lös för alla värden på parametrarna a och b x + by + az = bx + ay + z = x y + z = har någon lösning? Ange lösningarna i så fall. 9

10 Allmänt 2 2-system Betrakta ett allmänt 2 2 linjärt ekvationssystem: ½ ax + by = e, a,b,c,d,e,f givna konstanter cx + dy = f Vi önskar oss en generell formel för lösningen (x, y) som funktion av parametrarna a, b, c, d, e, f. Försöker vi lösa det med successiv elimination och antar att ingen av nämnarna nedan råkar bli, får vi x + b a y = e a µd ba c y = f e a c y = f e a c af ec d b = ac ad bc à x = e a b f e a c! a d b a c = = e d b a c b f e a c = ad bc ed bf = ad bc Räkningarna har förutsatt att a 6= och ad bc 6=. Man kan övertyga sig att det är det andra villkoret () Är däremot ad bc =, så kommer det att finnas högerled (e, f) för vilka det inte finns någon lösning, samtidigt som antalet lösningar kommer att vara oändligt i de fall någon lösning överhuvudtaget finns. I fallet a 6=,ad bc =, d.v.s. d b a c =, så ser vi ur den andra ekv. i () µd ba c y = f e a c att lösningar finns endast när y = f e a c f e b c = och då är de oändligt många y kan väljas godtyckligt, bara man sedan tar x = e a b a y Fallet a =,ad bc =, betyder att även b =eller c =, och tittar man på ½ ax + by = e cx + dy = f så kommer man till samma slutsats antingen ingen lösning alls, eller oändligt många lösningar, beroende på vad högerledet är. ad bc 6= som är det väsentliga (se nedan): När ad bc 6=, har systemet en entydigt bestämd lösning, oavsett vad e och f är. Om a =, men ad bc 6=, har vi nämligen b 6= c 6= by = e y = e b = ec bc cx + dy = f x = f de/b ed bf = c bc så formlerna ovan är fortfarande riktiga.

11 Determinanter av 2 2- och3 3-system Storheten ad bc, som dyker upp i utredningen av ett allmänt 2 2-system på sid., visar sig ha en motsvarighet även för större kvadratiska system (kvadratiskt = lika många ekvationer som obekanta): Systemets determinant = ett tal, som kan räknas fram ur systemets koefficienter, med följande egenskap: När determinanten är 6=, så har systemet en entydigt bestämd lösning för varje högerled. När determinanten är =, så har systemet antingen ingen lösning alls, eller oändligt många lösningar, beroende på vad högerledet är. Determinanten av ett 2 2-system ½ ax + by = e cx + dy = f betecknas a b c d och beräknas alltså med korsvis multiplikation a b c d = ad bc Försök till "åskådliggörande": a b & a c d c. Determinanten av ett 3 3-system a x + b y + c z = d a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 b d kan beräknas utifrån 2 2-"underdeterminanter" : a b c a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 b = a 2 c 2 b 3 c 3 a 2 a2 c 2 a 3 c 3 + a 3 a2 b 2 a 3 b 3 Cramers regel Med hjälp av determinanter kan de lösningsformler för ½ ax + by = e cx + dy = f som vi kom fram till på sid. (), skrivas: x = ed bf ad bc = e b f d a b c d y = af ec ad bc = a e c f a b c d För 3 3-systemet i vänsterspalten är motsvarande formler : d b c, x = d 2 b 2 c 2 d 3 b 3 c 3 a d c, y = a 2 d 2 c 2 a 3 d 3 c 3 a b d, z = a 2 b 2 d 2 a 3 b 3 d 3 Alltså: obekant nr k = a b c a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 a b c a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 a b c a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 den determinant som fås när kolonn k i systemets determinant byts ut mot högerledet systemets determinant Dessa formler kallas Cramers regel och generaliseras till godtyckligt kvadratiska system, men leder till alltför långa räkningar för att vara användbara i praktiken successiv elimination är klart effektivare! OBS! Gabriel Cramer (74-752) var en (mindre betydelsefull) schweizisk matematiker, varför hans namn inte skall uttalas med några diftonger! (Det finns liv & vetenskap även utanför USA/England!)

12 55. Visa att strömmarna I,I 2,I 3,I 4,I 5 ikretsen ges av I R I2 R 2 R 3 I3 R 4 I4 U 3 U 4 I 5 = I 5 R 5 R R +R 3 U 3 + R 2 R 2 +R 4 U 4 R 5 + RR3 R +R 3 I = U 3 R 3 I 5 R + R 3 I 2 = U 4 R 4 I 5 R 2 + R 4 I 3 = I + I 5 I 4 = I 2 + I 5 + R2R4 R 2 +R Man vill hitta konstanter A, B, C och D sådana att för alla x (utom då nämnaren är, förstås) (x 2 ) 2 = Ax + B (x ) 2 + Cx + D (x +) 2 (s.k. partialbråksuppdelning). (a) Förklara varför en ev. lösning borde uppfylla A = C B = D (b) Gör liknämnigt och inse att önskemålet är ekvivalent med att hitta en lösning till ekv.systemet A +C = 2A +B 2C +D = A +2B +C 2D = B +D = (c) Lös systemet med så litet räknande som möjligt! 57. Tittar man närmare på ekvationssystemet x +7y +5u +3v = 6 8x +4y +2u +6v = 6 2x +6y +8u +4v = 6 5x +3y + u +7v = 6 upptäcker man regelbundheter i koefficienterna : Första ekv. har x +5u,fjärde har 5x + u. Första har 7y +3v, fjärde har 3y +7v. Likadant är det med andra och tredje. Kan detta utnyttjas till att förenkla lösandet? 58. För vilka heltal n 3, har det "cykliska" n n-systemet x + x 2 + x 3 = x 2 + x 3 + x 4 = x 3 + x 4 + x 5 =... x n 2 + x n + x n = x n + x n + x = x n + x + x 2 = icke-trivial lösning, d.v.s. lösningar utöver den s.k. triviala lösningen x = x 2 =... = x n =, som varje homogent system har? 59. För vilka a,a 2,a 3,a 4 är nedanstående system lösbart? Bestäm lösningen för dessa a j. x + x 2 = a a 2 x + x 3 = a a 3 x + x 4 = a a 4 x 2 + x 3 = a 2 a 3 x 2 + x 4 = a 2 a 4 x 3 + x 4 = a 3 a 4 6. Som föregående för x + x 2 + x 3 = a a 2 a 3 x + x 2 + x 4 = a a 2 a 4 x + x 2 + x 5 = a a 2 a 5 x + x 3 + x 4 = a a 3 a 4 x + x 3 + x 5 = a a 3 a 5 x + x 4 + x 5 = a a 4 a 5 x 2 + x 3 + x 4 = a 2 a 3 a 4 x 2 + x 3 + x 5 = a 2 a 3 a 5 x 2 + x 4 + x 5 = a 2 a 4 a 5 x 3 + x 4 + x 5 = a 3 a 4 a 5 6. Låt m>2 och n>m+. Som föregående för systemet av n m ekvationer mx my x jk = a jk, j <j 2 <...<j m n k= k= 2

13 Iterativ metod för linjära ekv. system Betrakta åter systemet ½ 7x 3y =7 (i) 2x 8y = 3 (ii) Ur (i) lös ut x, ur (ii) lös ut y : x =+ 3 7 y y = x Välj (på måfå) ett par av tal x,y. Jag väljer x = y =, bara för att nollor är lättast att räkna med. Räkna sedan successivt (x,y ), (x 2,y 2 ), (x 3,y 3 ),... enligt receptet x n =+ 3 7 y n, n =, 2, 3,... y n = x n Alltså etc. x =+ 3 7 =. y = = 3.75 x 2 = =.6 y 2 = = 6.25 x 3 = = 2.7 y 3 = = 6.65 Upplagt för datoranvändning : n x n y n Lustigt att talföljden tycks närma sig (konvergera mot, säger man) lösningen x =3,y =7? Hade vi löst ut de obekanta "tvärtom" x ur (b) och y ur (a) y = 7 3 x 7 3 x =4y 5 och definierat följden (x n,y n ) efter dessa formler, hade vi inte alls kommit åt lösningen (avrundar till heltal): n x n y n Intressant att förstå när och varför detta fungerar / inte fungerar? Får dessvärre anstå till någon annan kurs. Vi kan emellertid illustrera skillnaden mellan de två fallen med figurer. Rita i ett koord.system de räta linjerna 7x 3y =7 2x 8y = 3 och samt startpunkten (x,y ). Sedan kan man successivt konstruera punkterna (x,y ), (x 2,y 2 ), (x 3,y 3 ),... grafiskt. Den ena linjen bestämmer nästa punkts x-koordinat, den andra linjen y-koordinaten. Iförstafalletserdetutsåhär: Hx,y L 2 Hx,y L I andra fallet "rör" man sig åt motsatt håll. Förknippas med matematikern C.G.J.Jacobi (84 85). 3