3 κappa Frågan. På R 4 definieras en produkt * på följande sätt: 1. x,y S och a,b R medför ax+by S. 2. x S och y R 4 medför x y S

Transkript

1 Täljren Mtemtiskt dividernde Gunnr Lindholm tljren. se novemer 7 Täljren är en nästn måntlig skrift om mtemtik och mtemtikundervisning riktd till ll intresserde. Jg uppmnr läsrn tt hör v sig med egn funderingr och tnkr eller intressnt sker som kommit upp i klssrummet eller i ndr smmnhng. Allt för tt stimuler till eftertnke, kompetensutveckling och för tt inte glömm ort hur kul det är med mtemtik. All respons är välkommen. Procent igen I Helsingorgs Dgld pulicerdes tydligen en uppgift som löd så här: En melon väger kilo och innehåller 99% vtten. Melonen får ligg i solen och därmed sjunker vttenhlten till 98%. Hur mycket väger melonen nu? Enligt hr det vrit mång som hr rottts med uppgiften. Åter är det känsln v orimlighet som är så slående. Hur kn svret vr tt den r väger kg? Hur kn procentenhet inte procent motsvr hlv vikten? Åter är svret: procent uttrycker hur stor del något utgör v det hel. Det som inte är vtten väger g eftersom % v kg är just g. När den hr torkt motsvrr g % v vikten, d.v.s. vikten är kg. Mn kn noter tt icke-vttnet utgör % till en örjn, för tt sedn ök till % v vikten, d.v.s. en förduling. Vill mn kn mn tänk på det som tt om du spär ut väldigt lite i väldigt mycket vtten, så måste du minsk mängden vtten väldigt mycket för tt kunn fördul koncentrtionen v det som inte är vtten. Så slutstsen är: tg lltid procenttl med en nyp slt tills du förstår vd de står för. Betygens etydelse Högskoleverket hr kommit med en rpport Smnd melln etyg i gymnsieskoln och presttioner i högskoln som finns tt ldd ner från 7 :R. De hr sett ett strkt smnd melln etygen i mtemtik och fysik och presttionern på civilingenjörsprogrmmet smt melln etygen i svensk och smhällskunskp och presttionern på juristprogrmmet. Med frmgång på högskoln vsees hur mång poäng de får. Det fnns även en större skillnd melln dem som fått G och VG än melln dem som fått VG och MVG i gymnsiet. Är det etygsinfltionen som mn ser tecken på? κpp 7 Mtemtiktävlingen för lärre, κpp 7, hr nu nått frm till sist frågn. Här presenterr jg mitt svr, som jg på inget sätt vill frmhåll som kort eller elegnt eller ens korrekt. Jg kn tillägg tt tiden hr gått ut och tt jg som sämst kn komm på plts eftersom r hr lämnt in svr.. Frågn På R definiers en produkt * på följnde sätt:,,c,d,,c,d cd c d,c c+c c, d d +d d,c d cd eller mer läsligt uttryckt c c d d cd c d c c+c c d d + d d c d cd Bestäm smtlig delmängder S v R som uppfyller följnde två villkor:. x,y S och, R medför x+y S. x S och y R medför x y S. Svret.. Kort svr Det finns fyr olik delmängder S R, {}, {x,y,z, x x,y,z R}, {x,x,, x R}.. Långt svr Villkor ger för tt S för ll mängder S. Vi finner direkt tt de två trivil mängdern {} och R uppfyller villkoren. R gör det eftersom den innehåller hel rummet vi retr i och {} eftersom + och produkten lltid lir om minst en v de två operndern för produkten är. Villkor säger oss tt mängden S utgör ett linjärt underrum till R och vi vet tt ett sådnt underrum spänns upp v en, två eller tre svektorer som ll är skild från nollvektorn. Fllet med noll respektive fyr svektorer utgör {} respektive hel R. Jg kommer tt ehndl de olik dimensionsfllen seprt och nvänd villkor för speciellt vld vektorer y för tt genom eräknnde v produkten få frm det resultt jg ehöver.

2 .. dims Antg tt dims och tt vi hr svektorn,,c,d. Vi får,,c,d,,,, c,d, Enligt villkor skll då, c, d, S och lltså gäller, c,d, λ,,c,d för något tl λ. Dett ger oss två möjligheter. Antingen är λ eller λ. I fllet med λ får vi direkt genom tt jämför komponentvis tt och d. Dett leder genom komponentvis jämförelse till tt c som leder till tt. Dett strider mot tt,, c, d. Alltså kn inte λ. I fllet med λ får vi tt c d. Vi eräknr därför,,,,,,,,, Om denn vektor skll vr en multipel v,,, så måste. Det inneär tt om S spänns upp v en end vektor så hr vi svektorn,,,. För tt vis tt rummet som spänns upp v denn vektor verkligen uppfyller villkor konstterr vi tt,,, A,B,C,D,,, S för ll värden på,a,b,c,d R... dims Nu skll vi nvänd en egenskp i produkten. Vi oserverr tt först komponenten, i en produkt v två element, är densmm som fjärde komponenten med omytt tecken. Dett ger oss tt vrje element z vi får frm som en produkt z x y där x S och y R hr krv på sig tt vr ntingen eller z z,z,z, z. Vår mängd S måste lltså vr fylld med vektorer på denn form. Den fjärde komponenten är lltså ointressnt och vi kn etrkt det som tt vi skll estämm ett tredimensionellt rum med tre svektorer. Vi kn välj vilk svektorer vi vill, men enklst är tt välj,,,,,,, och,,, som ger oss den fjärde komponenten på enklste sätt. Vi kn välj en nnn s så länge som den sen ger oss smm mängd... dims I det tvådimensionell fllet vill vi estäm en liknnde mängd där först och fjärde komponenten är eroende v vrndr. Vi får ett ntl möjlig svektorer som kn skp vår element. Jg hr reducert sern till det llr enklste tänkr... med noll. vi hr lltid först komponenten lik där R.. där där Nu skll jg vis tt ingen v dess fyr ser ger oss någon fungernde mängd S. Jg gör det genom tt vis tt det går tt ild linjärkomintioner v svektorern som ger oss produkter som inte ligger i S.. Bild vektorn. Vi eräknr produkten de föreslgn svektorern.. Bild vektorn. För tt ild denn vektor måste vi h. Dett element kn inte ilds med och eräkn x + y för någr värden på x och y. Det är uppenrligen omöjligt.. Bild vektorn och eräkn. Denn vektor kn vi omöjligen få frm genom tt ild en linjärkomintion v och.. Bild vektorn + och eräkn

3 +. Denn vektor kn vi ej ild som linjärkomintion v vektorern och såvid vi inte sätter. Men dett ger oss ett krv på svektorn som gör tt vi hmnr utnför rummet om vi etrktr vektorn som mul- tiplicerd med linjärkomintion v ger 6 och som inte är en. Vi kn lltså inte h ett underrum S med två svektorer.. Extr frågn Fyr mycket snål systrr hr fått ärv en kolonilott. Lotten hr formen v en tringel där ll sidor är tjugo meter. Systrrn är överens om tt del kostndern för ett stket som delr in lotten i fyr till ren lik stor delr och dom vill h din hjälp med indelningen. Sätter upp det gör dom själv. Hur kort kn du kn du gör ett sådnt stket? Stketet kn vr krokigt. Beskriv formen på stketet och nge längden med tre decimler. Du ehöver inte evis tt ditt svr är optimlt, men om du gör det är det förstås en onus.. Extr svret Jg örjr med tt erätt tt jg inte hr evist tt det finns någon kortste längd eller mitt svr är den kortste längden. Min lösning går ut på tt test olik fll... Kort svr Det kortste stketet jg fnn hr längden 6,6 m exklusive 6 m som krävs för tt hägn in hel tringelns knt. Formen viss i figur och i denn figur skll höjden H vr för tt minimum skll uppnås... Långt svr Först en oservtion. Jg räknr inte med de 6 m stket som skll omgärd hel tomten eftersom denn extr sträck är densmm för ll möjlig former på stketet. Vill mn kn mn lätt dder 6 till mitt svr. Jg kllr den kortste längden v stketet som åtgår för L. Aren för hel det tringelformde området är sin6 så vrje del v mrken skll h ren A. En grov övre gräns är L som erhålls genom tt dr tre prllelltrnsversler i tringeln som delr sidorn mitt itu. En nnn vrint är tt skp ett cirkel med ren A, d.v.s. A med rdien r,7, så som i figur. C A B Figur : En vrint. Noter tt CE är en rk linje genom tringelns tyngdpunkt D även om det inte ser ut så. Cirkelns rdie är r. A,B,E är mittpunktern på respektive sid. Vi vet tt DB tn vilket ger tt längden v de små itrn som går från cirkelns periferi till punktern A,B,E är D E. Denn vrint ger då en omkrets på + + 9, Dett är mindre än. Vi kn även oserver tt cirkelns omkrets är,7 vilket gör tt vrje försök med tt inneslut ren med en figur i det inre v tringeln utn mer kontkt än eventuellt en tngeringspunkt med någon sid kräver, enligt isoperimetrisk olikheten L >,7. Dessutom är vståndet från cirkeln till sidorn det minst möjlig då cirkeln ligger mitt i tringeln. Att t.ex. flytt cirkeln uppåt skulle led till tt sträckorn som går till punktern A och E skulle li längre. Det lir även den sträck som går till B. Härnäst försöker vi med figur. I denn gäller tt h. h Figur : Vi testr med fler rk streck. Längden lir då + h Det ger L + + 7,. Dett vr lltså en kortre vrint än tt inneslut ett område som vi gjorde i förr försöket. Längden L +

4 Vi kn enkelt oserver tt om något v de i figuren lodrät strecken skulle vr icke-lodrät, men fortfrnde h sin ändpunkter i tringelns s respektive på prllelltrnsverslen, så skulle det idr till ökd längd. På smm sätt skulle en förflyttning v ändpunkten från prllelltrnsverslen led till tt vi ökr längden. Jämför med det llr först fllet med längden. Skulle vi flytt ändpunkten ut på tringelns sid skulle längden li ännu längre för tt täck smm re. Vi hr även denn möjlighet Figur A B Figur : Vi drr en prllelltrnsversl smt en hlvcirkel och ett streck AB. Vi finner tt cirkeln får rdien r, vilket ger omkretsen r 6,9 Sträckn AB kn då inte vr längre än c 7 6+ men AB r. Det finns dock en kortre lösning. Se figur. Längden kn nu skrivs som LH H + h+ h + H Funktionen är definierd för < H < med undntg för punkter där nämnren lir. Hde jg hft mer tid hde jg försökt ret vidre exkt men jg lev tvungen tt nvänd Mple. Jg gv följnde kommndon ¾ ÕÖØ µ À¹ ½¼¹»¾»À À¹ ¹¾¼ Àµ» ¾¼ ÕÖØ µ¹»à¹¾ Àµ Ä À¹ ¾ À ¾¼¹¾ Àµ ¾ ÕÖØ Àµ¹ Àµµ ¾ ÕÖØ µ Àµ¹Àµ ¾µ ÔÐÓØ Ñ Ò ¼ Ä Àµµ À ¼ºº½¼ ÕÖØ µµ Ä ÕÖØ µ µ ØØ Ú Ñ Ú Ö Ø ½¼ ½¼ ÕÖØ µ Ú Ð Ø Ú Ö ÚÒØ Ø ÓÚ Òº Ñ Ò Ñ Þ Ä Àµ À ¼ºº½¼ ÕÖØ µ ÐÓ Ø ÓÒ ØÖÙ µ Ú Ð ±µ Dess kommndon gv mig resulttet L 6,68 för H Här visr jg grfen som plottdes. 9, 9 8, 8 7, 7 y 6, 8 H 6 Svr: Det kortste stketet jg fnn hr längden 6,6m., H -h h x Figur : Vi lägger in en rektngulär yt smt drr linjer från hörnen till tringelns övrig sidor. I denn tringel, som vi hr plcert i ett koordintsystem, gäller tt höjden H på rektngeln estämmer llt. Det gäller tt om A så är H h A h A H Vidre får vi tt ren för området som utgår från koordintsystemets origo är som ger +H + h A A H 7 H H Kul med primtl Från oken Prime numers v Dvid Wells måste jg t upp två sker. Först det fktum tt polynomet pn n producerr primtl då n,,,,. Här orde mn kunn formuler en uppgift som rör snnolikheten tt få frm primtl för olik värden på n. Det får li en övning till läsren.. Uppvärmning med summor Som inledning till det följnde vill jg t upp summor över fler vriler. Betrkt N M Vd kn vi säg om dett uttryck? Vd etyder det? Det etyder tt vi skll summer, för vrje värde på från till N, för vrje värde på från till M, värdet v uttrycket. Lät oss t ett exempel. Låt N och M. Vi får då Uttrycken lir ändå inte speciellt enkl tt jo med.

5 Vi skll summer för och. Om får vi och för får vi eller om vi vill uttryck det längre, Det vi gör är tt vi summerr och sedn multiplicerr med värdet på som här vr. Vi hr lltså som vi kn skriv För tt förstå den sist likheten kn du tänk dig som en konstnt B. Du summerr då B som kn skrivs B. Vi hr även. Denn summ kunde vi lltså h eräknt i en nnn ordning genom tt örj sumer för vrje värde på. Allt dett lycks tck vre tt summorns gränser och summtionsvriler är oeroende v vrndr, likså är uttrycket en produkt där vi kn ryt ut fktorer som r eror på en summtionsvriel. När du ser ett uttryck som så skll du tänk tt i den inre summn så händer inget med värdet. Det kn flytts ut till. Vi ser även tt i summn är den inre summn helt oeroende v. Vi eräknr lltså summorn vr för sig och multiplicerr dem. Hr vi ett uttryck såsom N N N m m m så inser vi tt vi kn skriv det som en produkt v enskild summor. N N Nm m m Dett är kärnn i hel resonemnget. Som övning kn du övertyg dig om tt N N N m m f f f m m N N Nm f f f m m m för funktioner f, f,, f m.. Liouville Det desto intressntre från oken är ett resultt v Joseph Liouville som jg först tänkte illustrer med ett exempel. Tlet hr följnde delre,,,,,,. Vrje delre hr i sin tur delre; vi hr Tl Delre Antl delre,,,,,,,,,,,, 6 Oservtionen som Liouville gjorde och tydligen evisde generellt vr tt I åd leden får vi. Dett är dock ingen tillfällighet. Med ett mer mtemtiskt skrivsätt hndlr det om tt för vrje delre k till n skll vi studer ntlet delre till dess tl k. Antlet delre till ett tl k skrivs τk. Vänsterledet i kn då skrivs τ+τ+τ+τ+τ+τ eller mer llmänt för vrje k som delr n; I högerledet hr vi τk τ + τ + τ + τ + τ + τ eller mer llmänt Vi vill nu vis tt τk τk τk Frågn är nu, vd är τk? Som jg nog nämnde i förr numret är τk en multipliktiv funktion och då gäller tt om k p α pα p m tt τ p α pα p m τp α τpα τp m 6

6 Vi konstterde tt för primtl p gäller så τp α α + τ p α pα p m α + α + + Om vi nu ntger tt n p α pα p m så kommer vrje delre k till n skrivs på formen k p β pβ pβ m m, β i α i, i m Högerledet i kn då skrivs τk och med 6 får vi α α β β α α β β β m β m τ p β pβ pβ m m τp β τpβ τpβ m m och med vår tidigre resultt kn vi skriv dett α β τp β α τp β β β m τp β m m α β β + α β β + Vänsterledet i kn vi nu skriv α α τk α τp β β α β + β α β + β β β α β α β α β β m β m β m + 7 τ p β pβ pβ m m τp β τp β m m β m β + β m och dett uttryck är lik med 7 eftersom α β β β m + αm β + β m + αα + β m α β β Den sist likheten utgår jg från tt du kn sedn tidigre. Annrs visr du den lätt med induktion. Därmed hr vi vist smm sk som Lioville visde för över hundr år sedn. Dålig nyheter Enligt skolverket så hr ntlet elever som läser kursen Mtemtik E minskt åter igen. Våren 999 vr det c 9% som läste den, år 6% och år 6 enrt %. Ill värre! De vet inte vd för roligt de går miste om! 6