Beräkning av stråldoser i beläggningsfält med Monte Carlo simulering

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Beräkning av stråldoser i beläggningsfält med Monte Carlo simulering"

Transkript

1 FOA-R SE Oktober, 1995 ISSN Beräkning av stråldoser i beläggningsfält med Monte Carlo simulering Lena Berggren FOA ABC-skydd UMEÅ VOL

2 FOA ABC-skydd FOA-R ~SE Umeå Oktober, 1995 ISSN Beräkning av stråldoser i beläggningsfält med Monte Carlo simulering Lena Berggren Sändlista: HKV/ÖB, Milo S, Milo M/RAB, Milo N, SkyddS, SRV, SSI

3 Dokumentets utgivare FOA ABC-SKYDD UMEÅ Upphovsman (män) Lena Berggren Dokumentnamn och dokumentbeteckning FOA-R SE Dokumentets datum Oktober 1995 Uppdragsgivare FOA PEL Dokumentets titel Beräkning av stråldoser i beläggningsfält med Monte Carlo simulering. Huvudinnehåll Rapporten beskriver programmet GRAMCS, som beräknar stråldosen i ett beläggningsfält med Monte Carlo simulering. GRAMCS behandlar gammastrålning från en blandning av nuklider där växelverkan sker med fotoelektrisk effekt, Thomsonspridning, Comptonspridning och parbildning. Beläggningsfältet kan vara inliomogent vertikalt och omgivningen består av olika typer av naturer med horisontala gränslinjer. Detektorn kan placeras på valfri höjd eller inuti en människa. Resultaten visas i en graf med dosraten vs fotonenergin där den totala dosraten med felintervall också skrivs ut. Indata som används för beräkningarna och data som beskriver grafen skrivs ut i separata filer. Nyckelord Monte Carlo simulering, joniserande strålning, stråldoser, beläggningsfält, skogsmiljö Övriga bibliografiska uppgifter Språk Svenska ISSN Omfång 71 s Sekretessuppgift Öppen Pris kr

4 Issuing organisation National Defence Research Establishment Department of NBC Defence S Umeå Sweden Author (a) Lena Berggren Document name and doc. ref. No. FOA-R SE Date of issue October 1995 Item designation Initiator or sponsoring organisation National Defence Research Establishment (FOA) Document title Dose calculation in nuclear fall-out areas using Monte Carlo simulation. Abstract This report describes the GRAMCS, a program that calculate the dose in a nuclear fall-out area using Monte Carlo simulation. GRAMCS processes gamma radiation from amixture of nuclides, where interaction with photoelectric effect, Thomson scattering, Compton scattering and pair production occurs. The contaminated field may be vertically inhomogeneous, and the surrounding structure consists of different types of environments with horizontal limits. The detector can be placed at any height or inside a human body. Results are visualized in a graph with dose-rate vs photon energies. Total dose-rate with error interval and primary dose-rate percentage are also shown. Input parameters used for calculations and data describing the graph are written in separate files. Key words Monte Carlo simulation, doses, fall-out, forest environment Further bibliographic description ISSN Pages ZlE Distribution Unclassified Price SEK Language Swedish

5 Innehållsförteckning 1 Inledning 6 2 Strålningsteori Joniserande strålning Fotonens växelverkan med materia Fotoelektrisk effekt Thomsonspridning Comptonspridning Parbildning Triplettbildning Den fria elektronen efter växelverkan Positronen efter parbildning Tvärsnitt Klein-Nishinas fördelning Den linjära attenueringskoefficienten Detektering av strålning Mass-energi-absorptionskoefficienten Fluensraten och dosraten Primärfotoner 18 3 Simulering Mark och skog Simulering av mark och skog Grundämnesandelarna i de olika skikten När en foton kan tas bort ur simuleringen Liten källa, stor detektor Människan 23 4 Beräkningar Slumptalsmetoder Rektangulärfördelningen Den inversa transformmetoden Förkastningsmetoden Nyafotoner Transportsträckan Val av växelverkan Thomson-och Comptonspridning Vinkeln a och den nya energin Nya koordinater Detektering och felberäkning 32 5 Programbeskrivning Ingående variabler CREATE_FILES INPUT Utgående vaiabler Flödesschema 36 6 Slumptalsgeneratorn 37 7 Testkörningar 38 8 Referenser 39 9 Bilagor Testkörning Program 45

6 1 Inledning Huvudavdelningen för ABC-skydd vid Försvarets forskningsanstalt i Umeå (FOA 4) bedriver forskning med syfte att förbättra skyddet i bland annat radioaktiva beläggningsfält. Den kunskap som finns i dag bygger väsentligen på situationer där strålkällan är punktformig eller fördelad över ett plan. Dessa situationer är inte alltid relevanta då till exempel ett nedfall i ett skogsområde kommer att resultera i en strålkälla med en fördelning även i höjdled. Vid FOA 4 har denna fråga och dess eventuella inverkan på olika skyddsaspekter varit av intresse sedan en tid, bland annat som en följd av forskningen efter Tjernobyl-olyckan. Målet med arbetet har varit att ta fram en modell, baserad på Monte Carlo simulering. Denna modell ska kunna simulera olika situationer där källan är fördelad både i planet och i höjdled. I modellen ska det gå att ange vilken typ av natur området består av, vilket beläggningsfält som finns i området, var det är placerat samt om detekteringen ska ske inuti en människa eller ej. Arbetet avslutas med att ett antal typfall simuleras och jämförs. Arbetet har genomförts som ett examensarbete inom Teknisk fysik vid Institutionen för Radiakforskning. 2 Strålningsteori Hur joniserande strålning uppkommer, förändras med tiden och till slut träffar en detektor där den absorberade dosen mäts, förklaras med strålningsteori [ref 1]. Genom att dela in förloppet i respektive händelse kan en modell av verkligheten konstrueras. 2.1 Joniserande strålning Joniserande strålning uppkommer bland annat genom att en atomkärna sönderfaller. Detta kan ske genom alfa- eller betasönderfall. Vid alfasönderfall frigörs två protoner och två neutroner från kärnan, en så kallad a- partikel som också kan kännas igen som en heliumkärna. Vid betasönderfall omvandlas en neutron i kärnan till en proton, en elektron och en antineutrino. Elektronen och antineutrinon sänds direkt ut ur kärnan och den utsända elektronen kallas för 3-partikel. Efter sönderfallet har moderkärnans sammansättning av kämpartiklar förändrats och den är nu en isotop av ett annat grundämne, en dotterkärna. Dotterkärnan hamnar ofta i ett exciterat tillstånd men övergår till grundtillståndet genom att sända ut en eller flera fotoner med diskret energi, gammastrålning. Antalet bildade fotoner per sönderfall (n) varierar mycket mellan olika nuklider (se fig 2.1 och 2.2).

7 CS \ 6.0% 94.0% p \ P \ \ I 84.8% ^ \V Y o MeV El37 Cs = MeV n = '"Cs Fig 2.1 Sönderfall av cesium-137 [ref 2, sid B-306 och B-382] CO. \ 99.87%p 0.12% P \ \ \ % * I % I \> Yi Y NL NL Ni MeV " OMeV MeV E MeV i _ E W2 MeV = 1.0 Fig 2.2 Sönderfall av kobolt-60 [ref 2, sid B-279 och B-359].

8 2.2 Fotonens växelverkan med materia Fotonen är elektriskt neutral och kan förflytta sig en viss sträcka i materia utan att växelverka med sin omgivning. Den sträcka fotonen förflyttar sig innan den växelverkar anges av den linjära attenueringskoefficienten. När den växelverkar kan detta ske med fotoelektrisk effekt, Thomsonspridning (även kallad koherent spridning), Comptonspridning, parbildning eller triplettbildning Fotoelektrisk effekt Vid fotoelektrisk effekt (pe) sker växelverkan mellan en foton med låg energi och någon av elektronerna som finns i de fyra innersta elektronskalen. Fotonens hela energi överförs till elektronen som slits loss från atomen. Den kvarvarande energin efter joniseringen, dvs fotonenergin minus bindningsenergin (be), blir kinetisk energi hos elektronen. Fig 2.3 Fotoelektrisk effekt Thomsonspridning Vid Thomsonspridning (th) växelverkar fotonen med en elektron som antingen är helt fri eller är så svagt bunden till en atom att den kan räknas som fri. Växelverkan sker med fotoner som har låg energi och hela händelsen kan ses som en elastisk stöt. Fotonen kommer efter växelverkan att ha samma energi som tidigare men kan ha en helt annan riktning. Fig 2.4 Thomsonspridning.

9 2.2.3 Comptonspridning Vid Comptonspridning (et) gäller samma förutsättningar som vid Thomsonspridning, elektronen ska vara fri eller så svagt bunden till atomen att den kan anses som fri. Skillnaden är dock att vid Comptonspridningen är det fotoner med högre energier som ger upphov till växelverkan. Comptonspridningen kan ses som en elastisk stöt och resulterar i en foton med lägre energi än den ursprungliga och med en annan riktning. Elektronen påverkas också av växelverkan och får ett energitillskott av kinetisk energi. Den totala energin och rörelsemängden måste vara bevarad under hela händelsen och med några enkla formler får man fram den nya fotonenergin som en funktion av den vinkel fotonen sprids i. E i= E f m e v e 2 E- E L = - cosa + m v coscp c c sina = m e v e smep E f (a) = E ; E (l-cosa) mc (2.1) Fig 2.5 Comptonspridning.

10 2.2.4 Parbildning Om en foton med hög energi passerar tillräckligt nära en atomkärna kan växelverkan ske genom att fotonen omvandlas till ett elektron-positron-par, en s k parbildning (pp). För att denna övergång ska vara möjlig måste fotonens energi vara minst två gånger elektronens vilomassa. E>E pp =2m c c 2 =].02MeV Den kvarvarande energin efter parbildningen blir kinetisk energi som fördelas mellan elektronen och positronen. Fig 2.6 Parbildning Triplettbildning Om en foton passerar nära en bunden elektron och har hög energi kan växelverkan ske som en blandning mellan fotoelektrisk effekt och parbildning. Precis som vid fotoelektrisk effekt slits elektronen loss från atomen men vid triplettbildning skapas även ett elektronpositron-par. Den kvarvarande energin efter triplettbildningen blir kinetisk energi som fördelas mellan de två elektronerna och positronen. För att denna övergång ska vara möjlig måste fotonens energi vara minst fyra gånger elektronens vilomassa. E>E tp =4m e c 2 =2.04MeV Sannolikheten för att triplettbildning ska ske är i det närmaste obefintlig och det är därför möjligt att bortse från denna form av växelverkan. 10

11 2.2.6 Den fria elektronen efter växelverkan Elektronen, som efter någon av ovanstående växelverkan blivit fri, har ett energiöverskott i form av kinetisk energi. Elektronen kommer att avge sin energi i många små portioner till omgivningen genom brytning av molekylbindningar, jonisering och excitering av atomer. Den tomma platsen i elektronskalet, efter den utstötta elektronen, fylls snabbt ut av en ny elektron från något högre skal. Dessa övergångar måste vara tillåtna. Järnatomen är den tyngsta atomen som är med i simuleringen och alltså den atom som kan ge de mest energirika fotoner. Fotonerna har dock så låga energier att de har en fri medelväglängd på mindre än en meter i luft för att sedan växelverka med fotoelektrisk effekt och absorberas (se fig 2.12 och 4.4). Sannolikheten att fotonerna träffar detektorn är så låg att det är möjligt att bortse från dessa fotoner. 0 E[eV] j d E max = ev Fig 2.7 Järnatomens spektrum enligt Bohrs modell med de tillåtna övergångarna utritade [ref 2, sid E-185]. 11

12 2.2.7 Positronen efter parbildning Positronen som bildas vid parbildning kommer att transportera sig en sträcka innan den växelverkar med en elektron. När denna växelverkan sker förintas, annihileras, bägge partiklarna och fotoner bildas. Fig 2.8 Annihilation Den totala energin och rörelsemängden måste vara bevarad under hela händelsen vilket leder till att det är två fotoner som bildas och att energin fördelas lika mellan dem. = m c c =0.511 MeV Sannolikheten att parbildning ska inträffa är låg (se fig 4.4). Detta medför att antalet annihilationsfotoner inte är av någon större betydelse och gör det möjligt att bortse från dessa fotoner Tvärsnitt Tvärsnittet (a) beskriver sannolikheten för växelverkan per flödesenhet och har enheten m 2. Flödet är det antal fotoner som träffar tvärsnittsytan av en sfär där ytan hela tiden ligger vinkelrät mot de infallande fotonerna. Tvärsnittet kan m a o beskrivas som hur stor träffyta som fotonen "ser". Värdet på tvärsnittet beror på vilka atomer som fotonen möter, vilken energi fotonen har och vilken form av växelverkan (vv) som är aktuell. Tvärsnitten för de olika grundämnerna finns tabellerade för energier mellan 1 kev till 5 MeV [ref 3] och tvärsnittet för en specifik energi fås fram genom linjär interpolation. För att beräkna tvärsnittet i ett material bestående av en blandning av grundämnen summeras andelarna av respektive grundämne (X 1 ) multiplicerat med tvärsnittsytan för grundämnet (<r). (2.2) 12

13 Den totala tvärsnittsytan är summan av de olika bidragen varje växelverkan ger. (2.3) 1x10 photoelectric effect pairproduction loge [ev] " OT loge [ev] Compton scotterinq 40 Thomson scattennq sigma [bar-nsj 20 \ \ loge [ev] n loge [ev] Fig 2.9 Tvärsnittet i luft för de olika formerna av växelverkan, 1 barn = 10" 28 m Klein-Nishinas fördelning I både Compton- och Thomsonspridningen måste vinkeln som fotonen sprids i bestämmas. Detta kan göras med Klein-Nishinas fördelning [ref 4, sid ]. Den beskriver sannolikheten för att en foton, med energin E, före spridningen, ska bli spridd i en vinkel a med rymdvinkel dq (se fig 2.10). Fotonens nya energi efter Comptonspridningen, Ef(a), fås från ekvation 2.1. E, E f (o) 13

14 Fig 2.10 Spridningen av en foton vid växelverkan med en elektron enligt Klein-Nishinas fördelning Genom att infora några nya beteckningar kan Klein-Nishinas ekvation förenklas. r 0 me c där r 0 har enheten m där E och m e c 2 har enheten ev där a :[0,7i]ochx:[l,l X (2.4) Klein-Nishinas ekvation blir efter förenklingen: v J = 7rr n x + cos a -1 sina da \yj U ; (2.5) Genom att integrera över vinkeln a fas tvärsnittsytan fram som funktion av energin. (2.6) 14

15 Den linjära attenueriugskoefficienten Den linjära attenueringskoefficienten (u) beskriver sannolikheten per längdenhet för en foton att förflytta sig innan den växelverkar med sin omgivning. Den kan även kallas den makroskopiska tvärsnittsytan och har enheten m" 1. M(E) = na(e) där n : antal atomer per volymsenhet Attenueringskoefficienterna för de olika grundämnerna finns tabellerade för energier mellan 1 kev till 5 MeV [ref 5] och [i för en specifik energi fås fram genom linjär interpolation. För att beräkna attenueringskoefficienten i ett material bestående av en blandning av grundämnen tillämpas samma metod som för tvärsnittet (se kap 2.2.8). Genom att sända ett bestämt antal fotoner per sekund (N o ) genom ett medium och sedan mäta hur många fotoner per sekund (N) som fortfarande går rakt fram efter en sträcka r, dvs inte har växelverkat, kan värdet på u. bestämmas. Fig 2.11 Bestämning av den linjära attenueringskoefficienten Detta leder fram till differentialekvationen dn = -u.(e)dr med lösningen : (2.7) Inversen på \x kallas den fria medelväglängden (mfp) och utgör medelvärdet av den sträcka en foton rör sig innan den växelverkar. mfp in air mfp in oir loge [ev] loge [ev] 4.0 Fig 2.12 Den fria medelväglängden i luft. 15

16 2.3 Detektering av strålning Mängden joniserande strålning kan bestämmas på en rad olika sätt. Ett sätt är att registrera antalet fotoner som passerar detektorn, ett annat sätt är att mäta hur mycket energi som avges till detektorn. 1 bägge fallen beräknas den andel som produceras av primärfotoner Mass-energi-absorptionskoefficienten Energi-absorptionskoefficienten ( ^en ) beskriver hur mycket av fotonens energi som absorberas per längdenhet och har enheten m" 1. Denna koefficient tar hänsyn till sannolikheten för vilken växelverkan som kan inträffa och hur mycket av fotonens energi som lämnas kvar i absorbanten. Vid låga energier är energi-absorptionskoefficienten hög. Då är sannolikheten att fotoelektrisk effekt ska inträffa stor och hela fotonens energi kommer att avges till detektorn. Mass-energi-absorptionskoefficienten tar hänsyn till ämnets densitet, vilket påverkar absorptionen, och har enheten m 2 /kg. Mass-energi-absorptionskoefficienterna finns tabellerade för de olika grundämnerna i energiintervallet mellan 1 kev och 5 MeV [ref 5] och för en specifik energi fås a men fram genom linjär interpolation. För att beräkna i men i ett material görs på samma sätt som för tvärsnittet (se kap 2.2.8) Flucnsraten och dosraten Flödet av fotoner per areaenhet (O), också kallad fluensen, anger antalet fotoner som passerar genom detektorytan och har enheten m". Orn fluensen inte är vinkelrätt mot planet måste detta kompenseras med att, för varje foton, dividera med cosinus för infallsvinkel. 1 I 1 COSU: \ Att Fig 2.13 Flödet av fotoner genom detektorn 16

17 Fluensraten ((p) beskriver fluensen per tidsenhet och har enheten rrfv 1. 9 = -= Z (2-8) Den absorberade dosen (D) beskriver den energi som absorberas per massenhet och har enheten J/kg. A d=. i cosu i Dosraten (D) beskriver dosen per tidsenhet och har enheten J/kgs. y (29) t-a te i cosu i Primärfotoner Primärfotoner är de fotoner som ännu inte har växelverkat någon gång utan kommer direkt från källan. Antalet primärfotoner per sekund som träffar detektorn (N p ) är lätt att beräkna för en punktkälla i en homogen omgivning. Variabeln x beskriver sträckan mellan strålkällan och detektorn och aktiviteten (A) beskriver antalet sönderfall per sekund och har enheten Bq = s" 1. För att få fram antalet fotoner per sekund måste uttrycket multipliceras med antalet fotoner per sönderfall, n (se kap 2.1). Är det mer än en nuklid som sönderfaller summeras de olika nuklidernas bidrag. För att kunna beräkna antalet primärfotoner som träffar en detektor från ett beläggningsfält i form av en yta med konstant aktivitet per kvadratmeter (A m ) måste man integrera ekvationen över hela ytan. Genom att göra detta i cylindriska koordinater och låta detektorn sitta 1 m ovanför beläggningsytan erhålls följande: x - M(E,),C A l ^ Z (2.10) Integralen F i ekvationen kallas för Sievertintegral och kan inte lösas analytiskt, men genom att sätta in värden på u och rmax kan den bestämmas numeriskt. 17

18 3 Simulering Den verklighet som simuleras är ett stort område som är kontaminerat med radioaktivt nedfall. Vilken typ av omgivning det är, öken, äng eller fullvuxen tallskog, kan anges i programmet. Marken är en yta utan höjdskillnader. Mitt i detta område finns en detektor som skall mäta strålningsdosen och denna detektor kan placeras inuti en tänkt människa. 3.1 Mark och skog Det är omöjligt att i simuleringen ta hänsyn till varenda träd, buske, sten eller rot som finns i området. Med de avstånd som det här är frågan om går det bra att dela in volymen i olika skikt där man helt enkelt låter luft, vatten, biomassa m m bilda en mix av atomer Simulering av mark och skog Marken kan delas in i två huvudskikt, jord med organiskt material, s k humus, och mineraljord. Det går att dela in marken i mer detaljerade skikt. Humuslagret består av forna, förmultningsskikt, humusämnesskikt och humusblandad mineraljord. Mineraljorden består av två skikt, blekjord och rostjord [ref 6, sid 239]. Detta har dock inte så stor betydelse för resultatet i simuleringen då de olika finindelade skikten inte skiljer sig åt så mycket i innehåll och densitet. En fullvuxen tallskog består av ca 700 stammar/ha. Stammarna är i genomsnitt 20 m höga och har på 1 meters höjd en diameter på 0.24 m. Kronan befinner sig på 10 m och uppåt. Höjd [m] " Luft Kronor Stammar Humus Mineraljord Hl, pl H2,p2 H' 5,p3 u4,p4 u5,p5 Fig 3.1 De olika skikten i en simuleringsskog. 18

19 Humuslagret i en fullvuxen tallskog innehåller 34 % vatten, 38.8% torr biomassa och 27.2% luft. Det finns kg torr biomassa/ha [ref 7]. En mineraljord av standardtyp innehåller 30% vatten, 50% mineraler och 20% luft [ref 8]. Alla procenttal är angivna i volymprocent. I både stam och krona är innehållet av biomassa till hälften vatten. Det finns kg torr biomassa/ha i stammarna och kg torr biomassa/ha i kronorna. Om man ser stammen som en kon kommer 87.5% av stammens volym att vara kal stam och resten av stammen att vara bland kronan. Stamskiktet innehåller 0.1% vatten, 0.1% torr biomassa (stam) och 99.8% luft och det finns kg torr biomassa/ha. Skiktet som representerar kronorna innehåller 0.115% vatten, 0.100% torr biomassa (stam), 0.015% torr biomassa (krona) och % luft och det finns kg torr biomassa/ha. Alla procenttalen är angivna i volymprocent [ref 7] Grundämnesandclarna i de olika skikten För att beräkna tvärsnittsytan och attenueringskoefficienten för ett ämne så gäller det att ta reda på vilka grundämnen ämnet består av och i vilka viktandelar. Grundämnen vars viktandel är mindre än 0.1% behövs inte tas med då de inte ger något avgörande bidrag. Genom att räkna samman alla de olika beståndsdelarna i respektive skikt kan grundämnenas vikt-procent och densitet beräknas. H torr biom. 5.8 vatten 11.2 torr luft [ref 9] krona 5.5 stam 5.1 humus 10.8 mineralj. [ref 8] 2.1 C N O Mg 0.5 AI 5.0 Si 27.1 P 0.5 S 0.1 Ar K Ca Fe 1.1 P Tabell 3.1 Viktprocent av de mest förekommande grundämnena och densitetenia for de olika skikten. 19

20 3.2 När en foton kan tas bort ur simuleringen Simuleringen bygger på att fotonen används tills den på något sätt absorberas, för att sedan ersattas med en ny foton. Absorbering sker vid både fotoelektrisk effekt och parbildning och fotonen kan då tas bort ur simuleringen. En begränsning som har lagts in i programmet är --iå fotonen är 10 mfp (se kap ) från detektorn, vilket är lite drygt I km i luft. På det?, "Jtåndet är det inte troligt att någon foton kan ta sig ända fram till detektorn. Genom att au beräkna Sievertintegralen (ekv 2.10) med två olika rmax för cesium-137 visas att för mer än 5 mfp förändras inte nämnvärt antalet primärfotoner som träffar detektorn per sekund. F(5 mfp) =4.069 F(1O mfp) =4.07 I och med att det i simuleringsområdet finns olika skikt med stor skillnad på de respektive attenueringskoefficienterna beräknas de 10 mfp från den översta, respektive nedersta, skiktgränsen. 10 kronor stammar humus 10 mfp mineraljord Fig 3.2 Simuleringsområdets avgränsning. 20

21 3.3 Liten källa, stor detektor Att försöka simulera en kontaminerad yta av den här storleken, med en aktivitet på 1 GBq per kvadratmeter, gör att mer än 10 fotoner/sek är i omlopp. Många av fotonerna träffar dessutom aldrig detektorn. Genom att invertera hela situationen blir antalet partiklar hanterbart och alla fotonerna i simuleringen kommer att passera detektorn. Den kontaminerade ytan beskrivs då av en punktkälla och detektorn beskrivs av ett oändligt plan. En följd av detta är att fotonen är en helt "ny" foton när den har växelverkat och är i simuleringen helt oberoende av den "gamla" fotonen. Den "nya" fotonen uppkommer inte ur intet utan har hela simuleringsförloppet som sin historia. Fig 3.3 (A) En "foton" i simuleringsmodellen. (B) Dess motsvarigheter i verkligheten Källan sänder iväg ett bestämt antal fotoner per iteration (nmax). För att få fram hur stor tidsenhet nmax fotoner motsvarar används den teoretiska beräkningen för antalet primärträffar per sekund, N p (ekv 2.10). Den ekvationen jämförs med det totala antalet primärfotoner som träffar detektorn under en simulering (N p sim ). p sim ) P sim ' r m / N,-dt där N it : antal iterationer dt = Kontamineringen finns inte bara på markens ytlager utan den har även trängt ner i marken och fördelats i träden. Detta simuleras med linjekällor där antalet fotoner fördelas procentuellt mellan dessa källor och fördelas sedan jämnt över källorna. Linjekällorna är vertikalt placerade i mitten av simuleringsområdet. 21

22 3.4 Människan En människa består till största delen av vatten och kan därför simuleras med en vattendunk. På grund av geometrin är vattendunken sfärisk. Detektom ska kunna placeras på ett valfritt avstånd från vattendunkens ytterkant (a), antingen på 2.5 cm för att motsvara den röda benmärgen eller på 1 cm för att resultaten ska kunna jämtoras med miljödosekvivalent. Det stora problemet här är att detektom skall vara inuti vattendunken och simuleringen bygger på att detektom är ett oändligt plan. Detta löses genom att, för varje foton, kontrollera i vilken punkt fotonen träffar detektorplanet (p) och utifrån den punkten fixeras vattendunkens läge. Fig 3.4 Vattendunkens utplacering på detektorplanet. Ett problem kan uppstå här om fotonen växelverkar på en höjd av detektorplanet plusminus vattendunkens radie. I och med att fotonen räknas som en "ny" foton när den har växelverkat och ska i simuleringen vara helt oberoende av den "gamla" fotonen kan själva växelverkan ske i annat än avsett medium. A) ' ] ^ A* H 2 0 J B) Fig 3.5 Före (A) och etter (B) en spridning med en och samma foton. Sannolikheten för att fotonen ska växelverka med fotoelektrisk effekt är betydligt högre i vatten än i något av de olika skogs- eller luftlagren. Detta gör att sannolikheten ökar för att fotonen tas bort innan den har hunnit växelverka "rätt" antal gånger, något som leder till att resultatet av detekteringen minskar i de lägre energinivåerna och andelen primärfotoner ökar. Genom att låta alla växelverkningar ske i omgivningens medium kan detta fel minskas. 22

23 4 Beräkningar 4.1 Slumptalsmetoder För att tilldela en variabel ett slumptal måste tilldelningen ske med rätt fördelning. Slumptalsgeneratorer ger rektangulär- eller normalfördelade slumptal i intervallet [0,1]. Då dessa två varianter inte alltid täcker upp behovet måste andra fördelningar skapas [ref 10] Rektangulärford elningen Om variabeln x skall ges ett slumpmässigt värde inom intervallet [a,b], med lika stor sanno-likhet för alla tal, tilldelas x ett rektangulärfördelat slumptal ( ) och beräknas enligt: Den inversa transformmetoden Om variabeln x skall ges ett slumpmässigt värde i intervallet [a,b], men bero av funktionen g(x,y), så måste man hitta en funktion f(x,y) = f(g(x,y)) så att: F(y)=Jf(x,y)dx = l a För att få ut x som en funktion av ett slumptal integreras f(x,y) över intervallet [a,x]. 4 = F(x,y)=J"f(x,y)dx => xg,y) Förkastningsmetoden a Från alla funktioner är det inte möjligt att lösa ut x(,y). Då kan förkastningsmetoden vara funktionell. Denna metod kräver två av varandra oberoende rektangulärfördelade slumptal, ^1 och ^2- Variabeln x tilldelas det första slumptalet och "kontrolleras" sedan mot det andra slumptalet för godkännande. Om inte värdet på x godkänns börjar proceduren om. Även här måste en funktion f(x,y) hittas som följer kraven i föregående avsnitt men också funktionens maximala värde måste tas fram. Denna metod har dock en nackdel, den kräver mer datortid. dx om 23

24 4.2 Nya fotoner Den nya fotonen måste tilldelas startvärden i form av startpunkt (p 1 ), riktning (0 och ( >), transportsträcka till växelverkan (r) och primärenergi (E). På grund av symmetrin har sfariska koordinater använts i simuleringen. Fig 4.1 Fotonens koordinater. Startpunkterna fås genom att fördela dem jämnt över varje linjekälla. Om fotonen kan ha mer än en primärenergi slumpas det fram vilka av fotonerna som skall tilldelas de olika energierna. Hur transportsträckan tilldelas beskrivs i kapitel 4.3. Vinklarna 0 och får sina värden enligt rektangulärfördelningen (se kap 4.1.1) och sedan kan fotonens nya koordinater, p, beräknas. 0 = ran[o,it] (j> = ran[0,27t] x = x' + rsin0cos< ) y = y' + rsin0sin<)) z = z' + rcos0 4.3 Transportsträckan För att beräkna den sträcka fotonen transporteras innan den växelverkar använder man den inversa transformmetoden (se kap 4.1.2). Ekvation 2.7 används som utgångspunkt då den innehåller den linjära attenueringskoefficienten. u(e) u(e) 24

25 Fotonen kan transporteras genom flera olika skikt innan den växelverkar nästa gång. För varje nytt skikt har fotonen en ny attenueringskoefficient. För att få fram rätt sträcka tilldelas r ett värde enligt ovanstående och kontrolleras mot den maximala sträckan den kan transporteras i området, rmax. Om r är större än rmax tilldelas r värdet rmax och en ny sträcka slumpas fram och adderas till r samt att rmax i det nya området räknas fram och adderas till det första. Detta upprepas tills r är mindre än rmax och alltså har stannat för att växelverka i det området. Riktningen för fotonen är konstant under hela tiden. i=l i=l rmax: r * / L y / rmax 2 i?v / / / rmax, (. Z Fig 4.2 Beräkning av r genom olika skikt. När fotonen ska passera en vattendunk beräknas r på samma sätt men med fler villkor. Först beräknas r som ovan tills dess att fotonen når fram till vattendunken (se fig 4.3). Detta kon-trolleras genom att r ska vara större än w min. Därefter blir nästa attenueringskoefficient vattnets och r kontrolleras mot w max. Om r är större än w max fortsätter beräkningarna återigen som ovan. För att bestämma w min och w mny måste "max vektorerna r dcl och r c samt vinkeln a mellan de båda vektorerna bestämmas. 25

26 Fig 4.3 Beräkning av r genom en vattendunk. a = arccos w min = sin arcsin - a I. I rh 2 O J ) sina w max = sin 7t - arcsin rh 2 O) - a ) sina 4.4 Val av växelverkan För att med slumpens hjälp få fram vilken typ av växelverkan som sker används ekvationerna 2.2 och 2.3 som beskriver tvärsnittsytan. Genom att räkna fram hur stor andel den aktuella växelverkans tvärsnittsyta är av totala tvärsnittsytan ( T ) kan man få fram sannolikheten att just den växelverkan sker. -,o,(e) 26

27 Här kan man använda en förenklad form av förkastningsmetoden (se kap 4.1.3) då det i detta fall inte är frågan om att tilldela någon variabel ett värde. I detta fall behövs bara ett rektangulärfördelat slumptal. Sannolikheten för Thomson- och Comptonspridningen kontrolleras först, då dessa fotoner ska vara kvar i simuleringen. De resterande fotonerna kommer att vävelverka antingen med fotoelektrisk effekt eller parbildning och tas bort ur simuleringen. 0 < < F^ => Thomsonspridning F^ < 4 < r^ + r cl => Comptonspridning r^ + r ct > t, => fotoelektrisk effekt eller parbildning 1.0 photoelectric effect pairproduction -* * 0.8 o o 0.4 Q. 0.2 \ i loge [ev] loge [ev] 1.0 Compton scotterinq 1.0 Thomson scotterinq 0.8 f ' C.8 -t ' :j o.6 o "o 0.4 Q. 0.2 I 0-6 o "p ' / loge [ev] loge [ev] Fig 4.4 Sannolikheten i luft för de olika formerna av växelverkan. 27

28 4.5 Thomson- och Comptonspridning Vinkeln a och den nya energin I tvärsnittsytan för Thomson- och Comptonspridningen framgår inte i vilken vinkel fotonen sprids eller vilken dess energi blir efter Comptonspridningen. Vinkeln kan tas fram genom att använda Khans metod [ref 11, sid 326] som bygger på Klein-Nishinas ekvation (ekv 2.5 och 2.6) och de båda slumptalsmetoderna som beskrivs i kapitel och Den slutgiltiga energin efter Comptonspridningen kan sedan beräknas med ekvation 2.4. ( \ _ 1 ^ Kha " W ~Gda 2y x \( 2 1! -. cos oc + 2yx 2 2\ x Funktionen delas upp i två delar, A och B, vilka delas upp ytterligare i tre delar, u, v och w. ) = A ( X l)+b(x 2 ) =U ] V I W I (X,)+U 2 V 2 (X 2 )W 2 (X 2 ) Denna operation kräver tre av varandra oberoende rektangulärfördelade slumptal, i, %2 och 3. Funktionen u { jämförs med första slumptalet vilket avgör vilken av delarna A eller B som ska användas. Från v bestäms x med hjälp av den inversa transform metoden och det andra slumptalet. Därefter jämförs w med det tredje slumptalet för att avgöra om x ska accepteras eller inte med förkastningsmetoden. där, och 1- x, -1 om u, >4i och w 2 (x 2 )<^3 ingen tilldelning 28

29 4.5.2 Nya koordinater Vinkeln a, som fås genom att använda Khans metod, är vinkeln mellan fortsättningen på fotonens gamla rörelsevektor och den nya. Det är den vinkel som beskriver den nya rörelse-vektorn i två dimensioner. För att få fram den tredje dimensionen på rörelsevektorn tilldelas vinkeln p ett värde med rektangulärfördeiningen (se kap 4.1.1). Fotonens nya vinklar, 9 och $, kan nu beskrivas som en funktion av a, P och de gamla vinklarna, 9' och r p...^ Fig 4.5 Fotonens koordinater före och efter en Coniptonspridning. ',a,p)= arccos(cos9'cosa + sin9'sinacosp).,, n\ f i /cosa-cos9cos9'^.,/sinasind/ ',f,a,p)= arccos cosf) ^ J - sin* [- V V a : från Khans metod = ran[0,2yr] 29

30 4.6 Detektering och felberäkning Alla fotoner som passerar detekteringspianet registreras. Det som registreras är infallsvinklarna, fotonernas energi samt vilkc av dessa fotoner som är primärfotoner. Då resultatet redovisas i energiintervall kontrolleras och sorteras fotonenergierna i respektive energiintervall innan fluensen beräknas. Fluensraten beräknas enligt ekvation 2.9 och dosraten enligt ekvation 2.8. Felet beräknas med standardavvikelsen på dosraten. c--!- COS Oj COS Oj D = Di + it_prim Z r-jprirr 11, ' andel primärdosrat = : ' it_ prim 5 Programbeskrivning Programmet kallas GRAMCS, vilket står för Gamma Radiation in an Area with Monte Carlo Simulation och är skrivet i Wave. Wave är ett programspråk som är en blandning av Fortran och C men med den stora skillnaden att Wave arbetar med hela vektorer. För att kunna köra programmet behövs ett bibliotek som heter GRAMCS med underbiblioteken IN, EX och OUT. Indata läses in på filer med hjälp av rutinen CREATE_FILES och vilka av filerna som ska exekveras läses in i en fil med rutinen INPUT. Då programmet kräver mycket minne är det en fördel att köra det i batch mode. Detta görs genom att starta GRAMCS med en kommandofil där man också kan göra flera körningar efter varandra med olika indata. Programkoden redovisas i kap

31 5.1 Ingående variabler CREATE_FILES I CREATE_FILES finns värdena for konstanter samt några skikt och nuklider inlagda. Ska värden på konstanterna ändras, eller andra skikt och nuklider, ändras detta i programkoden. rh2o : zdet: rdet: Adet: Cresult: Radien på vattendunken. Detektorns placering i höjd över (+), eller under (-), marknivån (meter). Avståndet mellan vattendunkens kant och detektorns placering i meter. Detektorns area angivet i kvadratmeter. Konstant som multipliceras med dosraten for att ge de utdata som eftersöks. TYpIot: bin : mfpmax : Eel: elproc : nelproc : Tlevels : Titel på grafens y-axel. Energintervallens storlek för grafens x-axel angivet i ev. Antal fria medelväglängder, avgör simuleringsområdets storlek. Energier angivet i ev för bestämning av tvärsnittsytor, attenueringskoefficienter och mass-energi-absorptionskoefficienter. Om denna ändras måste även ändringar göras i filerna ELEMENTS_XX. Andel av grundämnen i respektive skikt där summan för varje nivå ska vara 1.0. Om antalet grundämnen ändras måste även ändringar göras i variabeln nelproc och filerna ELEMENTS_XX. Antal element i vektorn elproc. Namnen på de olika densitetsnivåerna. Om antalet densitetsnivåer utökas måste även ändringar göras i variablerna elproc och raa. raa : Densiteten i de olika densitetsnivåerna angivet i kg/m 3. Tcont: Namnen på de olika isotoperna. Om antalet isotoper utökas måste även ändringar göras i variablerna Emax, Emaxproc och ab samt på rad 132. Emax : Emaxproc : ab : Primärfotonernas energier angivet i ev. Andelen fotoner per totala antalet fotoner för respektive primärenergi där summan för varje isotop ska vara 1.0. Andelen fotoner per sönderfall för respektive primärenergi. 31

32 Programmet CREATE_FILES körs i Wave och ger frågor som användaren skall svara pä. Som exempel skall dosraten i en människa simuleras. Människan står i en öken där kontamineringen är 1 kbq/m cesium-137 som är jämt fördelat 1 dm ner i jorden. JEEVES: wave WAVE> create_files Human? NO = 0, YES = 1 : 1 */ Anger namnet på filen /* Number of levels, ex : 2 : 2 Name of the densitylevels, ex : 0,1,... air = 0, crowns = 1, trunks = 2, humus = 3 and soil = 4 : 0,4 Height over the ground in m for the limit between, ex : 10.0 or -0.1 air - soil : 0.0 Name on the nature : desert */ Anger namnet på filen /* Densitylevel in which the detector is air = 0 soil = I human = 2 : 2 Name on the isotops, Co = 0, Zr_Nb_I_La = 1, Cs = 2 : 2 */ Anger namnet på filen /* Activity/sqrm, ex 1.0e9 : 1.0e3 Name on the activity, ex lgbq : 1 kbq */ Anger namnet på filen /* Numer of contamination levels : 1 Limits for the contamination levels. Start with the lowest value!!! ex : startheight: -0.01, endheight: 0.0, share : 0.5 Startheight over the ground in m for contaminations level 1 :

33 Endheight over the ground in m for contaminations level 1 : 0.0 Share of contamination for contaminations level 1 : 1.0 Name on the contamination place : down */ Anger namnet på filen /* Size of the acceptable error, ex : 0.1 : 0.1 WAVE> exit INPUT Programmet INPUT körs i WAVE och skapar en fil som innehåller namnen på de filer som ska läsas in av GRAMCS. Det är här viktigt att stava på samma sätt som i CREATE_FILES. Med samma exempel som tidigare (se kap 5.1.1) blir anropet: JEEVES: wave WAVE> natur = 'desert' WAVE> cont_e_bq = 'Cs_lkBq' */ Här ska även isotopens namn skrivas! /* WAVE> cont_place = 'down' WAVE> human = 'with' */ Om det är utan människa skrivs 'without' /* WAVE> exnr =1 */ Anger nummret på utfilerna /* WAVE> WAVE> input,nature,cont e_bq,cont_place,human,exnr exit 5.2 Utgående vaiabler Resultaten skrivs ut i tre filer under biblioteket OUT. OUT_PLOT_EXNR.PS visar grafen dosraten vs energi. Dessutom skrivs den totala dosraten med felintervall ut samt andelen primärdosrat och filnamnet. OUT_DATA_EXNR.DAT redovisar alla resultaten i energiintervall och filens namn. De två första tabellerna anger energiintervallen. Den tredje tabellen anger fluensraten och de två sista tabellerna anger dosraten med felintervall. IN_DATA_EXNR.DAT redovisar de indata som har angetts till simuleringen samt filens namn. 33

34 5.3 Flödeschema Init r om dt = O Elements xx Get dt New Get r/get rh2o New > Getr / Get_rH2O Detecting it = it + 1 Maxdist Interaction Khan Get r/get rh2o om n > nmax om n ^ nmax New Get r/get rh2o v om errproc ^ err -> om errproc > err Output 34

35 6 Slumptalsgeneratorn Slumptalsgeneratorn är Wave's randomu som ger rektangulärfördelade slumptal i intervallet [0,1]. Den bygger på Park och Millers 'Minimal Standard'. = z-mod ( Det är en snabb slumptalsgenerator men rekommenderas inte i litteraturen for alla tillämpningar [ref 12]. En sådan situation är vid kopplade slumptal. Vid kontroll av slumptalsgeneratorn kunde en antydan till korrelation ses i tre dimensioner. Vinkeln efter Thomson- och Comptonspridningen beräknas genom att använda tre kopplade slumptal (se kap 4.5.1) vilket gör att här finns det en felrisk. Vid kontroll genom att köra GRAMCS med olika varianter av ordningen mellan slumptalen syntes ingen skillnad i resultaten, vilket tyder på att eventuell korrelation inte har någon betydelse för det slutgiltiga resultatet. Jag rekommenderar ändå att byta ut slumptalsgeneratorn, för säkerhets skull 7 Testkörningar Som testköming användes en blandning av isotoper som är vanlig i ett radioaktivt nedfall. Blandningen bestod av 28% Zr-97, 23% Nb-97m, 28% Nb-97, 19% och 2% La-140 [ref 13]. Alla dessa isotoper avger fotoner med många olika energier. Energier med en förekomst på över 10% (n > 0.1) redovisades separat medan de övriga energierna sammanräknades i intervall på 0.2 MeV. Naturen bestämdes till att vara en fullvuxen tallskog där hälften av kontamineringen var i trädkronorna och hälften nerträngt 1 cm i jorden. Aktiviteten sattes till sammanlagt 1 GBq/m och den absorberade dosen mättes 2.5 cm under huden på en människa. Indata och resultat av körningen redovisas i kapitel

36 8 Referenser 1. H.E.Johns och J.R:Cunningham The physics of radiology. Charles C Thomas Publisher, Illinois USA, tredje upplagan. 2. R.C. Weast Handbook of chemistry and physics. CRC Press Inc, Florida USA. 58:de upplagan. 3. E.Storm och H.I.Israel Photon cross sections from 1 kev to 100 MeV for elements z=l to z=100. Nuclear data tables, A7, S.Gasiorowicz Quantum physics. John Wiley & Sons Inc, Kanada. 5. J.H.Hubbell Photon mass attenuation and energy-absorption coefficients from 1 kev to 20 MeV. ////. J. Appl Radial hot. Vol. 33, J-E Lundmark Skogsmarkens ekologi, ståndortsanpassat skogsbruk del2 - tillämpning. Skogsstyrelsen, Jönköping. 7. Muntlig information från Torbjörn Nylén, ekolog på institution 46, FOA P.Jacob och H.G.Paretzke Gamma-Ray Exposure from Contaminated Soil. Nuclear science and engineering, 93, P.Jacob, H.G.Paretzke och J.Wölfel Monte Carlo Calculation and Analytical Approximation of Gamma-Ray Buildup Factors in Air. Nuclear science and engineering, 87, S.M.Ross Probability models. Academic press Inc. 11. D.J.Hughes, J.E.Sanders och J:Horowitz Progress in nuclear energy, series J, volume 2. Pergamon Press Ltd. 12. W.H.Press, S.A.Teukolsky, W.T.Vetterling och B.P.Flannery Numerical Recipes in Fortran. Press Syndicate of University of Cambridge, NY, USA. Andra upplagan. 13. Muntlig information från Twomas Ulvsand, radiofysiker på institution 46, FOA 4. 36

37 9 Bilagor 9.1 Testkörning 37

38 Zr_Nb_l_l_o_1 GBq_forest_tree-o_down_with_hurnan Primary : % Total : e e-07 Gy/s File : out_data_51 38

39 out_data_51 Energi.1 [ev] Energi.2 [ev] Fluensrate [No/msqs] E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E+06 0.OOOOE+00 0.OOOOE+00 0.OOOOE+00 0.OOOOE+00 0.OOOOE Dosrate [Gy/s] E E E E-08 q.q7qqe-q E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-09 0.OOOOE+00 + /- [Gy/s] E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-10 0.OOOOE+00 C.0000E+00

40 OOOOE+00 0.OOOOE OOOOE OOOOE+00 40

41 in_data_51 Prim.en [Mev] ab [%] Levels air crowns trunks humus soil human Limits [m] ******* ******* cont.1 [m] cont.2 cont cont [m] [%] [Bq/m2] E

42 9.2 Program 42

43 PRO create_files : * * * * * * * * CREATE_FILES (GRAMCS) * * Set the values on cangebel constants and startvalues for * using in GRAMCS.pro and write them to files. * ;CHANGEBEL CONSTANT. PLEASE DO CHANGE!!! rh20 =0.3 zdet =1.0 rdet = Adet = *2 ;* Cresult = Cresult*ee/(Adet*dt) Cresult =1.0 TYplot = 'Dosrate_[Gy/s]' bin = 5.0e4 mfpmax =10.0 ;FIRM CONSTANTS. THINK BEFORE YOU CHANGE!!! Eel = [0.0,0.1,0.15,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.8,1.0,1.5,2.0,3.0,4.0,5.0,6.0,$ 8.0,10.0,15.0,20.0,30.0,40.0,50.0,60.0,80.0,100.0,150.0,200.0,$ 300.0,400.0]*1.0e4 ;* elproc = [%H,%C,%N,%O,%A1,%Si,%Ar,%K,%Ca,%Fe] nelproc = 10 Tlevels = STRARR(6) elproc = FLTARR(6,10) raa = FLTARR(6) Tlevels(O) = 'air' raa(0) = elproc(0,*) = [0.0,0.0,0.755,0.232,0.0,0.0,0.013,0.0,0.0,0.0] Tlevels(1) = 'crowns' raa(l) = elproc(1,*) = [0.055,0.014,0.0374,0.549,0.0,0.0,0.006,0.001,0.001,0.0] / / Tlevels(2) = 'trunks' raa(2) = elproc(2,*) = [0.051,0.013,0.4,0.527,0.0,0.0,0.007,0.001,0.001,0.0] Tlevels(3) = 'humus' raa(3) = elproc(3,*) = [0.108,0.038,0.001,0.855,0.0,0.0,0.0,0.002,0.002,0.0] Tlevels(4) = 'soil' raa(4) = elproc(4,*) = [0.021,0.016,0.0,0.577,0.05,0.271,0.0,0.013,0.041,0.011] Tlevels(5) = 'water' raa(5) = elproc(5,*) = [0.112,0.0,0.0,0.888,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0] raa_water = raa(5) Tcont = STRARR(3) Emax = FLTARR(3,29) Emaxproc = FLTARR(3,29) ab = FLTARR(3,29) Tcont(0) = 'Co' Emax(0,*) = [1.173,1.331,FLTARR(27)]*1.0e6 Emaxproc(0,*) = [0.5,0.5,FLTARR(27)] 43

44 ab(o,*) = [0.9988,1.O,FLTARR(27)] Tcont(l) = 'Zr_Nb_I_La' Emax(l,*.) = [0.1,0.3, , ,0.5, , , ,$ ,0.7, , , ,0.8158,0.9, ,$ 1.1,1.3,1.5,1.5962,1.7,1.9,2.1,2.3,2.5,2.7,2.9,3.1,3.3]*1.0e6 Emaxproc(1,*) = [ , , , ,2.4452, ,$ , , , , , ,$ , , , ,1.9502, ,$ , ,0.3899, , , ,$ , , , , ]/100.0 aba,*) = [ , ,0.37,0.86, ,3.059,2.603, , $ ,5.8539,27.44,22.54, , , ,3.439,$ , ,0.378,1.9094, , , ,$ , ,5.415e-3,2.236e-3,5.4e-4,1.Oe-4]/100.0 Tcont(2) = 'Cs' Emax(2,*) = [0.6617,FLTARR{28)]*1.0e6 Emaxproc(2,*) = [1.0,FLTARR(28)] ab(2,*) = [0.848,FLTARR(28)] WORKING AREA. DO NOT TOUCH!!! PRINT,'Human? NO = 0, YES = 1' rcheck = 0 READ,rcheck PRINT,'Numbers of densitylevels, ex : 2' levels = 0 READ,levels PRINT,'Name of the densitylevels, ex : 0,1,...' PRINT,'air = 0, crowns = 1, trunks = 2, humus = 3 and soil = 4' i = INTARR(levels) READ, i Tlevels = Tlevels(i) IF (rcheck EQ 1) THEN BEGIN Tlevels = [Tlevels,'human'] END IF t PRINT,'Height over the ground in m for the limit between, ex : 10.0 or -0.1' limit = FLTARR(levels-1) dummy = 0.0 FOR j=0,levels-2 DO BEGIN PRINT,Tlevels(j),' - ',Tlevels(j+1) READ,dummy limit(j) = dummy ENDFOR nature = STRING(1) PRINT,'Name on the nature' READ,nature PRINT,'Densitylevel in which the detector is' FOR j=0,n_elements(tlevels)-l DO BEGIN PRINT,Tlevels(j),' = ',j ENDFOR Cdet = 0 READ,Cdet PRINT,'Name on the isotops, Co = 0, Zr_Nb_I_La = 1 or Cs = 2' k = 0 READ, k Emax = Emax(k,*) Emaxproc = Emaxproc(k,*) ab = ab(k,*) j = WHERE(Emax NE 0,nj) IF (ni GT 0) THEN BEGIN 44

45 Emax = Emax(j) Emaxproc = Emaxproc(j) ab = ab(j) END IF dt = 0.0 PRINT,'Activity/sqrm, ex 1.0e9' Bq = 0.0 READ,Bq PRINT,'Name on the activity, ex lgbq' cont_bq = STRING(1) READ,cont_bq PRINT,'Number of contamination levels' n = 0 READ,n pzstart = FLTARR(n) pzstop = FLTARR(n) pzproc = FLTARR(n) dummy = 0.0 PRINT,'Limits for the contamination levels.' PRINT,'Start with the lowest value!!!' PRINT,'ex : starthighc : -0.01, endhight : 0.0, share : 0.5' FOR j=0,n-l DO BEGIN PRINT,'Startheight over the ground in m for contaminations level',j+1 READ,dummy pzstart(j) = dummy PRINT,'Endheight over the ground in m for contaminations level',j+1 READ,dummy pzstop(j) = dummy PRINT,'Share of contamination for contaminatins level',j+1 READ,dummy pzproc(j) = dummy ENDFOR PRINT,'Name on the contamination place' cont_place = STRING(1) READ,cont_place PRINT,'Size of the acceptabel error, ex : 0.1' err =0.0 READ,err limithigh = 1.0e6 limitlow = -1.0e6 cont_e_bq = STRING(Tcont(k)+'_'+cont_bq) limit = [limithigh,limit,limitlow] IF (rcheck EQ 1) THEN BEGIN i = [i,5] levels = levels+1 limit = [limit(0:levels-2),0.0,limit(levels-1)] : :JDIF _proc = elprocd,*) raa = raa(i) r.eel = N_ELEMENTS(Eel) nemax = N_ELEMENTS(Emax) npzproc = N_ELEMENTS(pzproc) Tfile_ant_nature = STRING{'[.ex]'+nature+'_without_human.dat') Tfile_ant_e = STRING('[.ex]'+cont_e_bq+'.dat' ) Tfile_ant_place = STRING('[.ex]'+cont_place+'.dat') Tfile_nature = STRING('[.in]'+nature+'_without_human.dat') Tfile_cont_e_bq = STRING('[.in]'+cont_e_bq+'.dat') Tfile_cont_place = STRING('[.in]'+cont_place+'.dat') Tfile_det = STRING('[.in]det_'+nature+'_without_human.dat') 45

Sönderfallsserier N 148 147 146 145 144 143 142 141 140 139 138 137 136 135 134. α-sönderfall. β -sönderfall. 21o

Sönderfallsserier N 148 147 146 145 144 143 142 141 140 139 138 137 136 135 134. α-sönderfall. β -sönderfall. 21o Isotop Kemisk symbol Halveringstid Huvudsaklig strålning Uran-238 238 U 4,5 109 år α Torium-234 234 Th 24,1 d β- Protaktinium-234m 234m Pa 1,2 m β- Uran-234 234 U 2,5 105 år α Torium-230 230 Th 8,0 105

Läs mer

Atomens historia. Slutet av 1800-talet trodde man att man hade en fullständig bild av alla fysikaliska fenomen.

Atomens historia. Slutet av 1800-talet trodde man att man hade en fullständig bild av alla fysikaliska fenomen. Atomfysik ht 2015 Atomens historia Atom = grekiskans a tomos som betyder odelbar Filosofen Demokritos, atomer. Stort motstånd, främst från Aristoteles Trodde på läran om de fyra elementen Alla ämnen bildas

Läs mer

Kärnenergi. Kärnkraft

Kärnenergi. Kärnkraft Kärnenergi Kärnkraft Isotoper Alla grundämnen finns i olika varianter som kallas för isotoper. Ofta finns en variant som är absolut vanligast. Isotoper av ett ämne har samma antal protoner och elektroner,

Läs mer

1. Mätning av gammaspektra

1. Mätning av gammaspektra 1. Mätning av gammaspektra 1.1 Laborationens syfte Att undersöka några egenskaper hos en NaI-detektor. Att bestämma energin för okänd gammastrålning. Att bestämma den isotop som ger upphov till gammastrålningen.

Läs mer

2. Hur många elektroner får det plats i K, L och M skal?

2. Hur många elektroner får det plats i K, L och M skal? Testa dig själv 12.1 Atom och kärnfysik sidan 229 1. En atom består av tre olika partiklar. Vad heter partiklarna och vilken laddning har de? En atom kan ha tre olika elementära partiklar, neutron med

Läs mer

7. Radioaktivitet. 7.1 Sönderfall och halveringstid

7. Radioaktivitet. 7.1 Sönderfall och halveringstid 7. Radioaktivitet Vissa grundämnens atomkärnor är instabila de kan sönderfalla av sig själva. Då en atomkärna sönderfaller bildas en mindre atomkärna, och energi skickas ut från kärnan i form av partiklar

Läs mer

GAMMASPEKTRUM 2008-12-07. 1. Inledning

GAMMASPEKTRUM 2008-12-07. 1. Inledning GAMMASPEKTRUM 2008-12-07 1. Inledning I den här laborationen ska du göra mätningar på gammastrålning från ämnen som betasönderfaller. Du kommer under laborationens gång att lära dig hur ett gammaspektrum

Läs mer

Kärnenergi. Kärnkraft

Kärnenergi. Kärnkraft Kärnenergi Kärnkraft Isotoper Alla grundämnen finns i olika varianter som kallas för isotoper. Ofta finns en variant som är absolut vanligast. Isotoper av ett ämne har samma antal protoner och elektroner,

Läs mer

tentaplugg.nu av studenter för studenter

tentaplugg.nu av studenter för studenter tentaplugg.nu av studenter för studenter Kurskod F0006T Kursnamn Fysik 3 Datum LP4 10-11 Material Laborationsrapport radioaktivitet Kursexaminator Betygsgränser Tentamenspoäng Övrig kommentar Sammanfattning

Läs mer

PRODUKTION OCH SÖNDERFALL

PRODUKTION OCH SÖNDERFALL PRODUKTION OCH SÖNDERFALL Inom arkeologin kan man bestämma fördelningen av grundämnen, t.ex. i ett mynt, genom att bestråla myntet med neutroner. Man skapar då radioisotoper som sönderfaller till andra

Läs mer

Atom- och Kärnfysik. Namn: Mentor: Datum:

Atom- och Kärnfysik. Namn: Mentor: Datum: Atom- och Kärnfysik Namn: Mentor: Datum: Atomkärnan Väteatomens kärna (hos den vanligaste väteisotopen) består endast av en proton. Kring kärnan kretsar en elektron som hålls kvar i sin bana p g a den

Läs mer

Kärnfysikaliska grunder för radioaktiva nuklider

Kärnfysikaliska grunder för radioaktiva nuklider Institutionen för medicin och vård Avdelningen för radiofysik Hälsouniversitetet Kärnfysikaliska grunder för radioaktiva nuklider Gudrun Alm Carlsson Department of Medicine and Care Radio Physics Faculty

Läs mer

NFYA02: Svar och lösningar till tentamen 140115 Del A Till dessa uppgifter behöver endast svar anges.

NFYA02: Svar och lösningar till tentamen 140115 Del A Till dessa uppgifter behöver endast svar anges. 1 NFYA: Svar och lösningar till tentamen 14115 Del A Till dessa uppgifter behöver endast svar anges. Uppgift 1 a) Vi utnyttjar att: l Cx dx = C 3 l3 = M, och ser att C = 3M/l 3. Dimensionen blir alltså

Läs mer

Laborationer i miljöfysik Gammaspektrometri

Laborationer i miljöfysik Gammaspektrometri Laborationer i miljöfysik Gammaspektrometri 1 Inledning Med gammaspektrometern kan man mäta på gammastrålning. Precis som ett GM-rör räknar gammaspektrometern de enskilda fotonerna i gammastrålningen.

Läs mer

Föreläsning 5 Att bygga atomen del II

Föreläsning 5 Att bygga atomen del II Föreläsning 5 Att bygga atomen del II Moseleys Lag Pauliprincipen Det periodiska systemet Kemi på sidor Vad har vi lärt hittills? En elektron hör till ett skal med ett kvanttal n Varje skal har en specifik

Läs mer

Statens strålskyddsinstituts föreskrifter om mätning och rapportering av persondoser;

Statens strålskyddsinstituts föreskrifter om mätning och rapportering av persondoser; SSI FS 1998:5 Statens strålskyddsinstituts föreskrifter om mätning och rapportering av persondoser; beslutade den 29 oktober 1998. Statens strålskyddsinstitut föreskriver med stöd av 7 strålskyddsförordningen

Läs mer

Väteatomen. Matti Hotokka

Väteatomen. Matti Hotokka Väteatomen Matti Hotokka Väteatomen Atom nummer 1 i det periodiska systemet Därför har den En proton En elektron Isotoper är möjliga Protium har en proton i atomkärnan Deuterium har en proton och en neutron

Läs mer

Fysik. Laboration 4. Radioaktiv strålning

Fysik. Laboration 4. Radioaktiv strålning Tekniskt basår, Laboration 4: Radioaktiv strålning 2007-03-18, 7.04 em Fysik Laboration 4 Radioaktiv strålning Laborationens syfte är att ge dig grundläggande kunskap om: Radioaktiva strålningens ursprung

Läs mer

Approximation av funktioner

Approximation av funktioner Vetenskapliga beräkningar III 8 Kapitel Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner I allmänhet kan inte ens elementära funktioner

Läs mer

En introduktion till och första övning i @Risk5 for Excel

En introduktion till och första övning i @Risk5 for Excel LUNDS UNIVERSITET 1(6) STATISTISKA INSTITUTIONEN Per-Erik Isberg / Lars Wahlgren VT2012 En introduktion till och första övning i @Risk5 for Excel Vi har redan under kursen stiftat bekantskap med Minitab

Läs mer

MATEMATIK KURS A Våren 2005

MATEMATIK KURS A Våren 2005 MATEMATIK KURS A Våren 2005 1. Vilket tal pekar pilen på? 51 52 53 Svar: (1/0) 2. Skugga 8 3 av figuren. (1/0) 3. Vad är 20 % av 50 kr? Svar: kr (1/0) 4. Hur mycket vatten ryms ungefär i ett dricksglas?

Läs mer

Hur mycket betyder Higgspartikeln? MASSOR!

Hur mycket betyder Higgspartikeln? MASSOR! Hur mycket betyder Higgspartikeln? MASSOR! 1 Introduktion = Ni kanske har hört nyheten i somras att mina kollegor i CERN hade hittat Higgspartikeln. (Försnacket till nobellpriset) = Vad är Higgspartikeln

Läs mer

Kvantmekanik II - Föreläsning 14

Kvantmekanik II - Föreläsning 14 Kvantmekanik II - Föreläsning 14 Kvantmekanikens tolkningar Joakim Edsjö edsjo@fysik.su.se Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 1/36 Kvantmekanikens tolkningar Innehåll 1 Kvantmekanikens tolkningar

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken Y

Sammanfattningar Matematikboken Y Sammanfattningar Matematikboken Y KAPitel 1 TAL OCH RÄKNING Numeriska uttryck När man beräknar ett numeriskt uttryck utförs multiplikation och division före addition och subtraktion. Om uttrycket innehåller

Läs mer

Materia Sammanfattning. Materia

Materia Sammanfattning. Materia Materia Sammanfattning Material = vad föremålet (materiel) är gjort av. Materia finns överallt (består av atomer). OBS! Materia Något som tar plats. Kan mäta hur mycket plats den tar eller väga. Materia

Läs mer

Fysik (TFYA14) Fö 5 1. Fö 5

Fysik (TFYA14) Fö 5 1. Fö 5 Fysik (TFYA14) Fö 5 1 Fö 5 Kap. 35 Interferens Interferens betyder samverkan och i detta fall samverkan mellan elektromagnetiska vågor. Samverkan bygger (precis som för mekaniska vågor) på superpositionsprincipen

Läs mer

Solens energi alstras genom fusionsreaktioner

Solens energi alstras genom fusionsreaktioner Solen Lektion 7 Solens energi alstras genom fusionsreaktioner i dess inre När solen skickar ut ljus förlorar den också energi. Det måste finnas en mekanism som alstrar denna energi annars skulle solen

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1) a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM KH/CW/SS Tentamensskrivning i Experimentella metoder, 1p, för kandidatprogrammet i fysik, /5 01, 9-14 Införda beteckningar skall förklaras och uppställda ekvationer motiveras

Läs mer

Fysikaliska modeller

Fysikaliska modeller Fysikaliska modeller Olika syften med fysiken Grundforskarens syn Finna förklaringar på skeenden i naturen Ställa upp lagar för fysikaliska skeenden Kritiskt granska uppställda lagar Kontrollera uppställda

Läs mer

530117 Materialfysik vt 2010. 10. Materiens optiska egenskaper. [Callister, etc.]

530117 Materialfysik vt 2010. 10. Materiens optiska egenskaper. [Callister, etc.] 530117 Materialfysik vt 2010 10. Materiens optiska egenskaper [Callister, etc.] 10.0 Grunder: upprepning av elektromagnetism Ljus är en elektromagnetisk våg våglängd, våglängd, k vågtal, c hastighet, E

Läs mer

Idealgasens begränsningar märks bäst vid högt tryck då molekyler växelverkar mera eller går över i vätskeform.

Idealgasens begränsningar märks bäst vid högt tryck då molekyler växelverkar mera eller går över i vätskeform. Van der Waals gas Introduktion Idealgaslagen är praktisk i teorin men i praktiken är inga gaser idealgaser Den lättaste och vanligaste modellen för en reell gas är Van der Waals gas Van der Waals modell

Läs mer

RÖRELSE. - Mätningar och mätinstrument och hur de kan kombineras för att mäta storheter, till exempel fart, tryck och effekt.

RÖRELSE. - Mätningar och mätinstrument och hur de kan kombineras för att mäta storheter, till exempel fart, tryck och effekt. RÖRELSE Inledning När vi går, springer, cyklar etc. förflyttar vi oss en viss sträcka på en viss tid. Ibland, speciellt när vi har bråttom, tänker vi på hur fort det går. I det här experimentet undersöker

Läs mer

SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR

SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR STUDIEAVSNITT 3 SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR I detta avsnitt ska vi titta på några av de skogliga tillämpningar på geometri som finns. SKOGSKARTAN EN MODELL AV VERKLIGHETEN Arbetar man i skogen klarar man sig

Läs mer

Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk mekanik för F3

Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk mekanik för F3 Chalmers Institutionen för Teknisk Fysik Göran Wahnström Tentamen i FTF14 Termodynamik och statistisk mekanik för F3 Tid och plats: Tisdag 25 aug 215, kl 8.3-13.3 i V -salar. Hjälpmedel: Physics Handbook,

Läs mer

Grundläggande energibegrepp

Grundläggande energibegrepp Grundläggande energibegrepp 1 Behov 2 Tillförsel 3 Distribution 4 Vad är energi? Försök att göra en illustration av Energi. Hur skulle den se ut? Kanske solen eller. 5 Vad är energi? Energi används som

Läs mer

TAMS28 DATORÖVNING 1-2015 VT1

TAMS28 DATORÖVNING 1-2015 VT1 TAMS28 DATORÖVNING 1-2015 VT1 Datorövningen behandlar simulering av observationer från diskreta och kontinuerliga fördelningar med hjälp av dator, illustration av skattningars osäkerhet, analys vid parvisa

Läs mer

Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk fysik för F3

Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk fysik för F3 Chalmers Institutionen för Teknisk Fysik Göran Wahnström Tentamen i FTF4 Termodynamik och statistisk fysik för F3 Tid och plats: Tisdag aug, kl 8.3-.3 i Väg och vatten -salar. Hjälpmedel: Physics Handbook,

Läs mer

Fysik 1 kapitel 6 och framåt, olika begrepp.

Fysik 1 kapitel 6 och framåt, olika begrepp. Fysik 1 kapitel 6 och framåt, olika begrepp. Pronpimol Pompom Khumkhong TE12C Laddningar som repellerar varandra Samma sorters laddningar stöter bort varandra detta innebär att de repellerar varandra.

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

Cesium-137 i aska från förbräning av biobränslen. Tillämpning av Strålsäkerhetsmyndighetens regler

Cesium-137 i aska från förbräning av biobränslen. Tillämpning av Strålsäkerhetsmyndighetens regler Miljöriktig användning av askor 2009 Cesium-137 i aska från förbräning av biobränslen. Tillämpning av Strålsäkerhetsmyndighetens regler Rolf Sjöblom Tekedo AB Tekedo AB Tjernobyl, april 1986 185 1480 kbq/m

Läs mer

Strålsäkerhetsmyndighetens ISSN: 2000-0987

Strålsäkerhetsmyndighetens ISSN: 2000-0987 Strålsäkerhetsmyndighetens ISSN: 2000-0987 Strålsäkerhetsmyndighetens författningssamling ISSN 2000-0987 Utgivare: Johan Strandman Strålsäkerhetsmyndighetens föreskrifter m.m. om icke kärnenergianknutet

Läs mer

12) Terminologi. Brandflöde. Medelbrandflöde. Brandskapat flöde avses den termiska expansionen av rumsvolymen per tidsenhet i rum där brand uppstått.

12) Terminologi. Brandflöde. Medelbrandflöde. Brandskapat flöde avses den termiska expansionen av rumsvolymen per tidsenhet i rum där brand uppstått. 12) Terminologi Brandflöde Brandskapat flöde avses den termiska expansionen av rumsvolymen per tidsenhet i rum där brand uppstått. Medelbrandflöde Ökningen av luftvolymen som skapas i brandrummet när rummet

Läs mer

Fotoelektriska effekten

Fotoelektriska effekten Fotoelektriska effekten Bakgrund År 1887 upptäckte den tyska fysikern Heinrich Hertz att då man belyser ytan på en metallkropp med ultraviolett ljus avges elektriska laddningar från ytan. Noggrannare undersökningar

Läs mer

Energi & Atom- och kärnfysik

Energi & Atom- och kärnfysik ! Energi & Atom- och kärnfysik Facit Energi s. 149 1. Vad är energi? Förmåga att utföra arbete. 2. Vad händer med energin när ett arbets görs? Den omvandlas till andra energiformer. 3. Vad är arbete i

Läs mer

Optik, F2 FFY091 TENTAKIT

Optik, F2 FFY091 TENTAKIT Optik, F2 FFY091 TENTAKIT Datum Tenta Lösning Svar 2005-01-11 X X 2004-08-27 X X 2004-03-11 X X 2004-01-13 X 2003-08-29 X 2003-03-14 X 2003-01-14 X X 2002-08-30 X X 2002-03-15 X X 2002-01-15 X X 2001-08-31

Läs mer

Ansvariga lärare: Yury Shestopalov, rum 3A313, tel 054-7001856 (a) Problem 1. Använd Eulers metod II (tre steg) och lös begynnelsevärdesproblemet

Ansvariga lärare: Yury Shestopalov, rum 3A313, tel 054-7001856 (a) Problem 1. Använd Eulers metod II (tre steg) och lös begynnelsevärdesproblemet FACIT: Numeriska metoder Man måste lösa tre problem. Problemen 1 och är obligatoriska, och man kan välja Problemet 3 eller 4 som den tredje. Hjälp medel: Miniräknare (med Guidebook för miniräknare) och

Läs mer

OBS: Alla mätningar och beräknade värden ska anges i SI-enheter med korrekt antal värdesiffror. Felanalys behövs endast om det anges i texten.

OBS: Alla mätningar och beräknade värden ska anges i SI-enheter med korrekt antal värdesiffror. Felanalys behövs endast om det anges i texten. Speed of light OBS: Alla mätningar och beräknade värden ska anges i SI-enheter med korrekt antal värdesiffror. Felanalys behövs endast om det anges i texten. 1.0 Inledning Experiment med en laseravståndsmätare

Läs mer

1. Hur stor är magnetkristallin anisotropi i järn uttryckt i ev per atom?

1. Hur stor är magnetkristallin anisotropi i järn uttryckt i ev per atom? Problem 1. Hur stor är magnetkristallin anisotropi i järn uttryckt i ev per atom? 1 Problem 2. Standardmetoden för att mäta fonondispersionskurvor har varit inelastisk neutronspridning. Men genom utveckling

Läs mer

Introduktion till algoritmer - Lektion 1 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 1

Introduktion till algoritmer - Lektion 1 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 1 Kattis Lektion 1 I kursen används onlinedomaren Kattis (från http://kattis.com) för att automatiskt rätta programmeringsproblem. För att få ett konto på Kattis anmäler du dig på Programmeringsolympiadens

Läs mer

Ljusets polarisation

Ljusets polarisation Ljusets polarisation Viktor Jonsson och Alexander Forsman 1 Sammanfattning Denna labb går ut på att lära sig om, och använda, ljusets polarisation. Efter utförd labb ska studenten kunna sätta upp en enkel

Läs mer

Linjär algebra med tillämpningar, lab 1

Linjär algebra med tillämpningar, lab 1 Linjär algebra med tillämpningar, lab 1 Innehåll Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Uppgifterna i denna laboration täcker kapitel 1-3 i läroboken. Läs igenom motsvarande kapitel. Sitt

Läs mer

Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund

Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism En civilingenjör ska kunna idealisera ett givet verkligt problem, göra en adekvat fysikalisk modell och behandla modellen med matematiska

Läs mer

Lösningsanvisningar till tentamen i SI1161 Statistisk fysik, 6 hp, för F3 Onsdagen den 2 juni 2010 kl. 14.00-19.00

Lösningsanvisningar till tentamen i SI1161 Statistisk fysik, 6 hp, för F3 Onsdagen den 2 juni 2010 kl. 14.00-19.00 EOREISK FYSIK KH Lösningsanvisningar till tentamen i SI1161 Statistisk fysik, 6 hp, för F3 Onsdagen den juni 1 kl. 14. - 19. Examinator: Olle Edholm, tel. 5537 8168, epost oed(a)kth.se. Komplettering:

Läs mer

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Frågeställning Av en cirkulär pappersskiva kan en cirkelsektor med en viss vinkel klippas bort. Med den resterande sektorn går

Läs mer

Framtagen 2010 av: Sjukhusfysiker JonasSöderberg, Sjukhuset i Varberg Sjukhusfysiker Åke Cederblad, Sahlgrenska Universitetssjukhuset, Göteborg

Framtagen 2010 av: Sjukhusfysiker JonasSöderberg, Sjukhuset i Varberg Sjukhusfysiker Åke Cederblad, Sahlgrenska Universitetssjukhuset, Göteborg Första hjälpen vid RN-händelse Fakta om strålning och strålskydd Framtagen 2010 av: Sjukhusfysiker JonasSöderberg, Sjukhuset i Varberg Sjukhusfysiker Åke Cederblad, Sahlgrenska Universitetssjukhuset, Göteborg

Läs mer

Utbildningsutmaningar för ATLAS-experimentet

Utbildningsutmaningar för ATLAS-experimentet Utbildningsutmaningar för ATLAS-experimentet Erik Johansson Stockholms universitet 1 Projektledare Michael Barnett Lawrence Berkeley Nat. Lab. Erik Johansson Stockholms universitet 2 ATLAS utmaningar 1.

Läs mer

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18. Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.

Läs mer

Lösningsskisser till Tentamen 0i Hållfasthetslära 1 för 0 Z2 (TME017), = @ verkar 8 (enbart) skjuvspänningen xy =1.5MPa. med, i detta fall,

Lösningsskisser till Tentamen 0i Hållfasthetslära 1 för 0 Z2 (TME017), = @ verkar 8 (enbart) skjuvspänningen xy =1.5MPa. med, i detta fall, Huvudspänningar oc uvudspänningsriktningar n från: Huvudtöjningar oc uvudtöjningsriktningar n från: (S I)n = 0 ) det(s I) =0 ösningsskisser till där S är spänningsmatrisen Tentamen 0i Hållfastetslära för

Läs mer

Strålsäkerhetsmyndighetens ISSN: 2000-0987

Strålsäkerhetsmyndighetens ISSN: 2000-0987 Strålsäkerhetsmyndighetens ISSN: 2000-0987 Strålsäkerhetsmyndighetens författningssamling ISSN 2000-0987 Utgivare: Johan Strandman Strålsäkerhetsmyndighetens föreskrifter om externa personer i verksamhet

Läs mer

C++ Slumptalsfunktioner + switch-satsen

C++ Slumptalsfunktioner + switch-satsen C++ Slumptalsfunktioner + switch-satsen Veckans avsnitt består av ett antal lite udda funktioner man kan ha nytta av när man skriver program. Det är en slumptalsgenerator och lite annat smått och gott.

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

Användargränssnitt för proaktiv störningshantering för utilities

Användargränssnitt för proaktiv störningshantering för utilities ISSN 0280-5316 ISRN LUTFD2/TFRT--7623--SE Användargränssnitt för proaktiv störningshantering för utilities Martin Carlson Lund University Department of Automatic Control August 2012 Lund University Department

Läs mer

Energi, katalys och biosyntes (Alberts kap. 3)

Energi, katalys och biosyntes (Alberts kap. 3) Energi, katalys och biosyntes (Alberts kap. 3) Introduktion En cell eller en organism måste syntetisera beståndsdelar, hålla koll på vilka signaler som kommer utifrån, och reparera skador som uppkommit.

Läs mer

Prov 3 2014-10-13. (b) Hur stor är kraften som verkar på en elektron mellan plattorna? [1/0/0]

Prov 3 2014-10-13. (b) Hur stor är kraften som verkar på en elektron mellan plattorna? [1/0/0] Namn: Område: Elektromagnetism Datum: 13 Oktober 2014 Tid: 100 minuter Hjälpmedel: Räknare och formelsamling. Betyg: E: 25. C: 35, 10 på A/C-nivå. A: 45, 14 på C-nivå, 2 på A-nivå. Tot: 60 (34/21/5). Instruktioner:

Läs mer

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM K.H./C.F./C.W. Tentamensskrivning i Experimentella metoder, 1p, för kandidatprogrammet i fysik, 18/6 013, 9-14. Införda beteckningar skall förklaras och uppställda ekvationer

Läs mer

WALLENBERGS FYSIKPRIS

WALLENBERGS FYSIKPRIS WALLENBERGS FYSIKPRIS KVALIFICERINGS- OCH LAGTÄVLING 7 januari 0 SVENSKA FYSIKERSAMFUNDET LÖSNINGSFÖRSLAG. (a) Falltiden fås ur (positiv riktning nedåt) s v 0 t + at t s 0 a s,43 s. 9,8 (b) Välj origo

Läs mer

Matematik Uppnående mål för år 6

Matematik Uppnående mål för år 6 Matematik Uppnående mål för år 6 Allmänt: Eleven ska kunna förstå, lösa samt redovisa problem med konkret innehåll inom varje avsnitt. Ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och

Läs mer

Torskolan i Torsås Mars 2007. Matematik. Kriterier för betyget godkänd. Metoder: Arbetssätt. Muntligt. Problemlösning

Torskolan i Torsås Mars 2007. Matematik. Kriterier för betyget godkänd. Metoder: Arbetssätt. Muntligt. Problemlösning Torskolan i Torsås Mars 2007 Matematik Kriterier för betyget godkänd Metoder: Arbetssätt Ta ansvar för sin egen inlärning. Göra läxor. Utnyttja lektionstiden (lyssna, arbeta). Utnyttja den hjälp/stöd som

Läs mer

PROGRAMMERING-Java TENTAMINA

PROGRAMMERING-Java TENTAMINA PROGRAMMERING-Java TENTAMINA Nicolina Månsson 2010-03-17 Tentamensinstruktioner Poängsättning Hela tentamen omfattar 42 poäng. Poäng för varje uppgift står angivet inom parentes före varje uppgift. - För

Läs mer

Lösningar - Rätt val anges med fet stil i förekommande fall (obs att svaren på essäfrågorna inte är uttömmande).

Lösningar - Rätt val anges med fet stil i förekommande fall (obs att svaren på essäfrågorna inte är uttömmande). STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM Tentamensskrivning i Materiens Minsta Byggstenar, 5p. Lördag den 15 juli, kl. 9.00 14.00 Lösningar - Rätt val anges med fet stil i förekommande fall (obs att svaren på essäfrågorna

Läs mer

r 2 Arbetet är alltså endast beroende av start- och slutpunkt. Det följer av att det elektriska fältet är konservativt ( E = 0).

r 2 Arbetet är alltså endast beroende av start- och slutpunkt. Det följer av att det elektriska fältet är konservativt ( E = 0). 1 Föreläsning 2 Motsvarar avsnitten 2.4 2.5 i Griffiths. Arbete och potentiell energi (Kap. 2.4) r 1 r 2 C Låt W vara det arbete som måste utföras mot ett givet elektriskt fält E, då en laddning Q flyttas

Läs mer

15-1. MONITOR IT-utbildning

15-1. MONITOR IT-utbildning Sortering 15-1 Sortering I detta kapitel skall vi ta en titt på hur vi kan använda sorteringsprogrammet från ett COBOL-program, s.k. internsortering. 15-2 Sortering 15-3 Sortering Vid sortering så finns

Läs mer

Stokastisk geometri. Lennart Råde. Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet

Stokastisk geometri. Lennart Råde. Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet Stokastisk geometri Lennart Råde Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet Inledning. I geometrin studerar man geometriska objekt och deras inbördes relationer. Exempel på geometriska objekt

Läs mer

ANDREAS REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se. Coulombs lag och Maxwells första ekvation

ANDREAS REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se. Coulombs lag och Maxwells första ekvation ANDREA REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se oulombs lag och Maxwells första ekvation oulombs lag och Maxwells första ekvation Inledning Två punktladdningar q 1 samt q 2 i rymden

Läs mer

Strålning. Radioaktivitet och strålskydd NATIONELLT RESURSCENTRUM I FYSIK LUNDS UNIVERSITET 2015

Strålning. Radioaktivitet och strålskydd NATIONELLT RESURSCENTRUM I FYSIK LUNDS UNIVERSITET 2015 Strålning Radioaktivitet och strålskydd NATIONELLT RESURSCENTRUM I FYSIK LUNDS UNIVERSITET 2015 Strålning Radioaktivitet och strålskydd 2015 Laborationen Strålning av Nina Reistad är licensierad under

Läs mer

E-strängen rör sig fyra gånger så långsamt vid samma transversella kraft, accelerationen. c) Hur stor är A-strängens våglängd?

E-strängen rör sig fyra gånger så långsamt vid samma transversella kraft, accelerationen. c) Hur stor är A-strängens våglängd? Problem. Betrakta en elgitarr. Strängarna är 660 mm långa. Stämningen är E-A-d-g-b-e, det vill säga att strängen som ger tonen e-prim (330 Hz) ligger två oktav högre i frekvens än E-strängen. Alla strängar

Läs mer

WALLENBERGS FYSIKPRIS 2014

WALLENBERGS FYSIKPRIS 2014 WALLENBERGS FYSIKPRIS 2014 Tävlingsuppgifter (Kvalificeringstävlingen) Riv loss detta blad och häfta ihop det med de lösta tävlingsuppgifterna. Resten av detta uppgiftshäfte får du behålla. Fyll i uppgifterna

Läs mer

PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN

PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN Institutionen för beteendevetenskapliga mätningar PBMaE 5-5 Umeå universitet Provtid PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN Del I: Uppgift -9 Del II: Uppgift -7 Anvisningar Totalt 4 minuter

Läs mer

BILAGA I. Icke-koherent optisk strålning. λ (H eff är endast relevant i området 180-400 nm) (L B är endast relevant i området 300-700 nm)

BILAGA I. Icke-koherent optisk strålning. λ (H eff är endast relevant i området 180-400 nm) (L B är endast relevant i området 300-700 nm) Nr 146 707 BILAGA I Icke-koherent optisk strålning De biofysiskt relevanta värdena för exponering för optisk strålning kan fastställas med hjälp av nedanstående formler. Vilka formler som skall användas

Läs mer

Räkneövning/Exempel på tentafrågor

Räkneövning/Exempel på tentafrågor Räkneövning/Exempel på tentafrågor Att lösa problem Ni får en formelsamling Huvudsaken är inte att ni kan komma ihåg en viss den utan att ni kan använda den. Det finns vissa frågor som inte kräver att

Läs mer

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 8..05 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll och poängsättningar som ges här är inte bindande för studentexamensnämndens bedömning. Censorerna beslutar

Läs mer

Flera olika föreskrifter reglerar olika moment inom nuklearmedicinen

Flera olika föreskrifter reglerar olika moment inom nuklearmedicinen Lokaler och avfall Flera olika föreskrifter reglerar olika moment inom nuklearmedicinen Laboratoriearbete (beredning och dispensering) SSMFS 2008:28, 2008:51 Administration och undersökning/behandling

Läs mer

ELEKTRICITET. http://www.youtube.com/watch?v=fg0ftkaqz5g

ELEKTRICITET. http://www.youtube.com/watch?v=fg0ftkaqz5g ELEKTRICITET ELEKTRICITET http://www.youtube.com/watch?v=fg0ftkaqz5g ELEKTRICITET Är något vi använder dagligen.! Med elektricitet kan man flytta energi från en plats till en annan. (Energi produceras

Läs mer

Optimering av bränsledepåer för effektiv resa i öknen

Optimering av bränsledepåer för effektiv resa i öknen Optimering av bränsledepåer för effektiv resa i öknen Konsultarbete Matematik D Skriftlig rapport till kunden! Frågeställning: En jeep kan ta sammanlagt 200 liter bensin i tanken och i lösa dunkar. Jeepen

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2001 3. Skolverkets svar, #1 #6 9. Några lösningar till D-kursprov vt 2001 10

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2001 3. Skolverkets svar, #1 #6 9. Några lösningar till D-kursprov vt 2001 10 JENSENvuutbildning NpMaD vt för Ma4 (4) VERSION UNDER ARBETE. Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN Skolverkets svar, # #6 9 Några lösningar till D-kursprov vt Digitala verktg är

Läs mer

attraktiv repellerande

attraktiv repellerande Magnetism, kap. 24 Eleonora Lorek Magnetism, introduktion Magnetism ordet kommer från Magnesia, ett område i antika Grekland där man hittade konstiga stenar som kunde lyfta upp järn. Idag är magnetism

Läs mer

«RADIOKEMISK METOD FÖR 6 3Ni.»» * * (En metod under utveckling.) * «* E. Holm*, U. Nilsson och L. Hallstadius.

«RADIOKEMISK METOD FÖR 6 3Ni.»» * * (En metod under utveckling.) * «* E. Holm*, U. Nilsson och L. Hallstadius. A/0B6OOO6T0 INIS-mf 10463 Fjärde Nordiska Radioekologiseminariet, Gol, Norge, 27 februari- 1 mars, 1985. * * «RADIOKEMISK METOD FÖR 6 3Ni.»» * * (En metod under utveckling.) * «* E. Holm*, U. Nilsson och

Läs mer

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem Avsnitt Linjära ekvationssystem Elementära radoperationer Gausseliminering Exempel Räkneschema Exempel med exakt en lösning Exempel med parameterlösning Exempel utan lösning Slutschema Avläsa lösningen

Läs mer

PROGRAMMERING-JAVA TENTAMINA

PROGRAMMERING-JAVA TENTAMINA PROGRAMMERING-JAVA TENTAMINA Nicolina Månsson 2010-08-16 (Kontaktperson Nicolina Månsson, tel. 0768-530640) Tentamensinstruktioner Poängsättning Hela tentamen omfattar 42 poäng. Poäng för varje uppgift

Läs mer

DIGITAL KOMMUNIKATION

DIGITAL KOMMUNIKATION EN KOR SAMMANFANING AV EORIN INOM DIGIAL KOMMUNIKAION Linjär kod En binär linjär kod kännetecknas av att summan av två kodord också är ett kodord. Ett specialfall är summan av ett kodord med sig själv

Läs mer

D. Samtliga beräknade mått skall följas av en verbal slutsats för full poäng.

D. Samtliga beräknade mått skall följas av en verbal slutsats för full poäng. 1 Att tänka på (obligatorisk läsning) A. Redovisa Dina lösningar i en form som gör det lätt att följa Din tankegång. (Rättaren förutsätter att det dunkelt skrivna är dunkelt tänkt.). Motivera alla väsentliga

Läs mer

Gauss Linsformel (härledning)

Gauss Linsformel (härledning) α α β β S S h h f f ' ' S h S h f S h f h ' ' S S h h ' ' f f S h h ' ' 1 ' ' ' f S f f S S S ' 1 1 1 S f S f S S 1 ' 1 1 Gauss Linsformel (härledning) Avbilding med lins a f f b Gauss linsformel: 1 a

Läs mer

Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 4

Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 4 Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 014-015 Denna lektion ska vi studera rekursion. Lektion 4 Principen om induktion Principen om induktion är ett vanligt sätt att bevisa

Läs mer

Ljuskällor. För att vi ska kunna se något måste det finnas en ljuskälla

Ljuskällor. För att vi ska kunna se något måste det finnas en ljuskälla Ljus/optik Ljuskällor För att vi ska kunna se något måste det finnas en ljuskälla En ljuskälla är ett föremål som själv sänder ut ljus t ex solen, ett stearinljus eller en glödlampa Föremål som inte själva

Läs mer

Statens strålskyddsinstituts föreskrifter om kategoriindelning av arbetstagare och arbetsställen vid verksamhet med joniserande strålning;

Statens strålskyddsinstituts föreskrifter om kategoriindelning av arbetstagare och arbetsställen vid verksamhet med joniserande strålning; SSI FS 1998:3 Statens strålskyddsinstituts föreskrifter om kategoriindelning av arbetstagare och arbetsställen vid verksamhet med joniserande strålning; beslutade den 29 oktober 1998. Statens strålskyddsinstitut

Läs mer

Optimering av depåpositioner för den minimala bensinförbrukningen i öknen

Optimering av depåpositioner för den minimala bensinförbrukningen i öknen Optimering av depåpositioner för den minimala bensinförbrukningen i öknen Frågeställning: En jeep kan sammanlagt ha 200 liter bensin i tanken samt i lösa dunkar. Jeepen kommer 2,5 km på 1 liter bensin.

Läs mer

Beräkning med ord. -hur en dator hanterar perception. Linköpings universitet Artificiell intelligens 2 2010-10-03 Erik Claesson 880816-1692

Beräkning med ord. -hur en dator hanterar perception. Linköpings universitet Artificiell intelligens 2 2010-10-03 Erik Claesson 880816-1692 Beräkning med ord -hur en dator hanterar perception 2010-10-03 Erik Claesson 880816-1692 Innehåll Inledning... 3 Syfte... 3 Kan datorer hantera perception?... 4 Naturligt språk... 4 Fuzzy Granulation...

Läs mer

Kapitel. 9-1 Innan graflösning används 9-2 Analys av en funktionsgraf

Kapitel. 9-1 Innan graflösning används 9-2 Analys av en funktionsgraf Kapitel Graflösning Det går att använda följande metoder för att analysera funktionsgrafer och approximera resultat. Beräkning av roten Bestämning av lokalt maximivärde och lokalt minimivärde Bestämning

Läs mer

SWETHRO. Gunilla Pihl Karlsson, Per Erik Karlsson, Sofie Hellsten & Cecilia Akselsson* IVL Svenska Miljöinstitutet *Lunds Universitet

SWETHRO. Gunilla Pihl Karlsson, Per Erik Karlsson, Sofie Hellsten & Cecilia Akselsson* IVL Svenska Miljöinstitutet *Lunds Universitet SWETHRO The Swedish Throughfall Monitoring Network (SWETHRO) - 25 years of monitoring air pollutant concentrations, deposition and soil water chemistry Gunilla Pihl Karlsson, Per Erik Karlsson, Sofie Hellsten

Läs mer