Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Sannolikhetsteori

Transkript

1 Formel- och tabellamling i matematik tatitik Sannolikhetteori Sannolikhetaxiom : 0 P (A) :P () = 3: P (A [ B) = P (A) + P (B) om P (A \ B) =? Additionaten Betingad annolikhet P (A [ B) = P (A) + P (B) P (A \ B) P (AjB) = P (A \ B) P (B) Total annolikhet Om H i \ H j = för i 6= j och [ n k= H k = å P (A) = P (AjH k )P (H k ) k= Oberoende händeler A och B är oberoende om P (A \ B) = P (A)P (B) Kombinatorik. n element kan välja bland N element Stokatika variabler Med återläggning och med hänyn till ordning på N n olika ätt Med återläggning och utan hänyn till ordning på N+n n olika ätt Utan återläggning och med hänyn till ordning på N! (N n)! olika ätt Utan återläggning och utan hänyn till ordning på N n olika ätt Fördelningfunktionen för : F (x) = P ( x) Sannolikhetfunktion för en dikret tokatik variabel : p (k) = P ( = k) bx P (a < b) = F (b) F (a) = p (k) om är dikret k=a+ Tähetfunktionen för en kontinuerlig tokatik variabel : f (x) = df (x) dx P (a < b) = F (b) F (a) = Z b a f (x)dx om är kontinuerlig

2 Väntevärden Väntevärdet 8 för en tokatik variabel : P >< kp (k) dikret k= = E() = R >: xf (x)dx kontinuerlig Väntevärdet 8 för en funktion av en tokatik variabel g() : P >< g(k)p (k) dikret k= E(g()) = R >: g(x)f (x)dx kontinuerlig Varianen för en tokatik variabel = V () = E [( ] = E( ) Om a och b är rella tal och är tokatik variabel å gäller att E(a + b) = ae() + b; V (a + b) = a V () För alla tokatika variabler ; : : : ; n och för alla reela tal c ; ::c n gäller E(c + + c n n ) = c E( ) + c E( ) + :: + c n E( n ) om alla ; : : : ; n deutom är oberoende gäller: V (c + + c n n ) = c V ( ) + c V ( ) + :: + c nv ( n ) Normalfördelningen Om ; : : : ; n är oberoende och normalfördelade, N( ; ); : : : ; N( n ; n ) och c ; : : : ; c n är reella tal å gäller v 3 ux c i i N 4 c i i ; t n 5 Centrala gränvärdeaten, CGS i= i= Om ; : : : ; n är oberoende och likafördelade, med väntevärde E( i ) = och varian, V ar( i ) =, å gäller att i N(n; p n) och N(; = p n) i= Viktiga approximationer med CGS Hypergeometrik fördelning : Hyp(N; n; p) ) N Binomialfördelning: Bin(n; p) ) N " np; h np; p i np( p) Poionfördelning: P o() ) N(; p ) om 5 Andra viktiga approximationer i= r c i i # np( p) N n N om np( p) 0 Hypergeometrik fördelning : Hyp(N; n; p) ) Bin(n; p) om n N < 0: Hypergeometrik fördelning : Hyp(N; n; p) ) P o(np) om p + n N < 0: Binomialfördelning: Bin(n; p) ) P o(np) om n > 0 och p < 0: om np( p) N n N 0

3 Statitik teori Punktkattningar. Låt x ; : : : ; x n vara obervationer av oberoende och likafördelade tokatika variabler ; : : : ; n med väntevärde E( i ) = och varian, V ( i ) =. En väntevärderiktig kattning av och är då = n ( ) = n x i = x i= (x i ) om är känd i= ( ) = n (x i x) om är okänd i=. Om x är en obervation från på en Bin(n; p) eller Hyp(N; n; p) å är p = n kattning av p: en väntevärderiktig Kon denintervall. Givet i N(; ) där är känt och ett tickprov fx ; x ; : : : ; x n g. Ett 00( )% kon denintervall för är då x = pn ; x + = pn 3. Givet i N(; ) där är okänt och ett tickprov fx ; x ; : : : ; x n g. Ett 00( )% kon denintervall för är då x t = (n ) p n ; x + t = (n ) p n 4. Givet ett tickprov i par (x ; y ); (x ; y ); : : : ; (x n ; y n ) där i N( i ; ) och i N( i + ; ). Ett 00( )% kon denintervall för är då q där z i = y i x i och = n z t = (n ) p n ; z + t = (n P n i= (z i z) 5. Givet två tickprov, fx ; x ; : : : ; x n g och fy ; y ; : : : ; y n g där i N( ; ) och j N( ; ) med och kända. Ett 00( )% kon denintervall för är då x y = + n n ; x y + = ) p n n + n 6. Givet två tickprov, fx ; x ; : : : ; x n g och fy ; y ; : : : ; y n g där i N( ; ) och j N( ; ) med = men okända. Ett 00( )% kon denintervall för är då r x y t = (n + n ) + r ; x y + t = (n + n ) + n n n n där = (n ) + (n ) n + n 3

4 7. Givet ett tickprov fx ; x ; : : : ; x n g där i N(; ). En intervallkattning av är då 0; (n ) (n ) där = P n n i= (x i x), är en punktkattning av och kon dengraden är ( ). 8. Om ; ; : : : ; n är likafördelade och oberoende. v. med E( i ) = och V ( i ) = ( ) p n å är q Hypotetet n P n i= ( i N(0; ) och ett approximativt kon denintervall för är ) x = p ; x + = p n n Låt ( ; : : : ; N ) vara ett lumpmäigt tickprov från en fördelning om beror på en parameter. Nollhypoteen, H 0, peci cerar att 0 och en alternativ hypote, H, att dv H 0 : 0 H : Låt T = T ( ; : : : ; n ) vara en tickprovfunktion och C ett kritikt område om är anpaat å att P (T C) =, där är peci cerad iförväg. Tetet blir då Förkata H 0 om T ob C Förkata inte H 0 om T ob 6 C där tettorheten T ob = T (x ; : : : ; x n ) är en obervation av T = T ( ; : : : ; n ) Några vanliga tet Fördelning Parameter H 0 H T ob Förd av U Kritikt område, C under H 0 N(; ) = 0 < 0 x N( 0 ; = p n) T ob < p 0 n känt N(; ) = 0 > 0 x N( 0 ; = p n) T ob > 0 + p n känt N(; ) = 0 6= 0 x N( 0 ; = p n) T ob < = p 0 n känt T ob > 0 + = p n N(; ) = 0 < 0 = p n t(n ) T ob < t ej känt N(; ) = 0 > 0 = p n t(n ) T ob > t ej känt N(; ) = 0 6= 0 = p n t(n ) T ob < t = ej känt T ob > t = N(; ) = 0 6= 0 (n ) 0 (n ) T ob < =(n ) T ob > =(n ) Typ I fel,, är annolikheten att förkata H 0 då H 0 är ann. Typ II fel,, är annolikheten att inte förkata H 0 då H är ann. Tetet tyrka mot ett alternativ är annolikheten att förkata H 0 då H är ann, dv. 4

5 Några vanliga fördelningar Fördelning Slh funkt rep. täthet Väntevärde Varian Binomial p(k) = n k p k ( p) n k k = 0; : : : ; n np np( p) Bin(n; p) Hypergeometrik p(k) = Hyp(N; n; p) Np N k n N n Np k k Np; n k N( p) np np( p) N n N Poion P o() p(k) = e k k! k = 0; : : : Geometrik p(k) = p( p) k k = 0; : : : ( p)=p ( p)=p g p(k) = p( p) k k = ; ; : : : =p ( p)=p Normal f(x) = p (x ) e < x < N(; ) Gamma f(x) = a p (p) xp e x a ap a p (p; a) Exponential f(x) = e x Exp() Rektangel f(x) = a+b b a a x b R(a; b) (a b) 5