{ } { } Maximeringsproblemet kan formuleras som ett problem hur man kan kombinera två produkter y 1 och y 2, med Lagrangemetoden: = P

Transkript

1 Repetition: grafisk lösning av intäktsmaimeringsproblemet då vi har två produkter och inga begränsningar. Kertaus: tuottojen maksimoinnin graafinen ratkaisu kahden tuotteen tapauksessa, ei rajoituksia: D y Z 0 B B Z y DY - P DY P D y y Maimering av intäkterna genom kombination av olika produkter med begränsningar: (Tuottojen maksimointi eri tuotteiden yhdistelmillä ja rajoituksilla Rasmussen 0 s Maimeringsproblemet kan formuleras som ett problem hur man kan kombinera två produkter y och y, med Lagrangemetoden: { } Ma R, var ( jossa R p y + p y (ekvation. (Om inga begränsningar så är lösningen följande: Y Y -P P y y Vi inför en begränsning (tuodaan rajoitus ongelmaan: { } Ma R, var ( jossa R p y + p y (ekvation. med följande begränsing : (, g y y R Intäkter (tuotto LagrangefunktionenLkan då uttryckas som: ( ( L p y + p y + q - g y, y ( ekvation. Var q är Lagrangemultiplikatorn. Lagrangefunktionen L bör maimeras med hänsyn till variablerna y, y och Lagrangemultiplikatorn q genom att ta de partiella derivatan och lägga dem lika med noll. (Lagrangefunktio maksimoidaan osittaisderivaatoilla suhteessa muuttujiin y, y ja Lagrangemultiplikaattoriin q.

2 Lösningen är således: g p-θ 0 (ekvation y g p - q 0 y ( - g y, y 0 Eftersom vi redan vet att g y y y g (ekvation.6 Så kan ekvation.3 och.4 kombineras till q p p q i i i i (ekv..7 vilket är samma resultat vi erhöll på en tidigare föreläsning Ekvation.3 och.4 kan även skrivas som p g q (ekvation.8 y p g y q (ekvation.9 och ekvationerna (.6, (.8 och (.9 kan då skrivas som VMP VMP q (ekvation.0 i i Var VMP ij är värdet av marginalavkastningen (VMPi j P ij * ij då man använder insats i för att producera produkt j. (VMP ij rajatuotoksen arvo käytettäessä panosta i tuotteen j tuottamiseksi I förhållande till lösningen utan begränsningar måste här också dessa villkor uppfyllas (suhteessa ratkaisuun ilman rajoituksia, tässä myös yllä olevien ehtojen pitää täyttyä Man kan se ur ekvation.0 att värdet av den sista enheten som använts (marginalavkastningen är lika stor som Lagrangemultiplikatorn q. Detta innebär att Lagrangemultiplikatorn q kan tolkas som skuggpriset på begränsningen (koska viimeisen panosyksikön arvo on yhtä suuri kuin Lagrangemultiplikaattori q niin tämä Lagrangemultiplikaattori voidaan tulkita rajoituksen varjohinnaksi. Ekvation.0 kan lätt utvidgas till att omfatta k antal insatser: VMPi... VMP ik q (ekvation. Denna ekvation säger att mängden av en insats i skall fördelas mellan k antal produkter så att värdet av värdet av marginalavkastningen är lika för den sista enheten insats i i alla produktionslinjer Eempel (Rasmussen 0 En jordbrukare är osäker på hur fördela sin tid mellan produktion av svarta vinbär (y och grisar (y. Han kan också arbeta utanför lantbrukets för en timersättning om 50 MU. (Viljelijä ei tiedä kuinka jakaa työpanoksena herukan (y ja sikojen (y tuotannon välillä. Hänellä on myös mahdollista työskennellä maatalouden ulkopuolelle tuntihintaan 50 MU. Hans fördelning av arbetstiden borde följa ekvation.: (Hänen tulisi jakaa työaikaansa yhtälön. mukaan VMPi... VMP ik q (ekvation., dvs. Han borde fördela sin tid så att värdet av den sista arbetstimen ger 50 MU också i produktionen av svarta vinbär och grisar.

3 Epansionsstigen för två produkter Intermediära produkter (välituotteet och handel (kauppa (Rasmussen s. 9-96: Intermediära produkter är produkter som inte säljs men som används som insatser i andra produktionsprocesser (välituotteet ovat tuotteita, joita käytetään toisissa tuotantoprosesseissa. Ett typiskt eempel inom lantbruket är produktionen av grovfoder (karkea rehu för nötboskap (nautaeläimille Produktionsmöjligheternas kurva för vall (nurmi och spannmål (vilja Lutningen på kurvan är i - i Isokvanter för mjölk. Lutningen på isokvanten är - y y 3

4 q Jordbrukaren vill producera så mycket kött som möjligt. Den grafiska lösningen är enkel: y y Den matematiska lösningen är i i dvs. den optimala kombinationen av vall och spannmål för att maimera köttproduktionen är den punkt där lutningen på produktionsmöjligheternas kurva är lika med isokvantens lutning q Maanviljelijä haluaa tuottaa niin paljon lihaa kuin mahdollista: Graafinen ratkaisu on yksinkertainen: Matemaattinen ratkaisu on y y i i ts. Optimaalinen yhdistelmä nurmea ja viljaa lihatuotannon maksimoimiseksi on siinä pisteessä missä tuotantomahdollisuuksien käyrän kaltevuus on sama kuin samatuotoskäyrän kaltevuus. q q I en situation där jordbrukaren kan idka handel förändras den optimala lösningen jämfört med den nyss framförda (tilanteessa jossa viljelijä voi käydä kauppaa äsken esitetty ratkaisu muuttuu. Vi antar att spannmål kan köpas för priset p k och säljas till priset p g. Detta illustreras av den streckade linjen med vinkel p k /pg i figuren nedan (oletamme, että viljaa voidaan ostaa hintaan p k ja myydä hintaan p g, mikä käy ilmi viivoitetusta suorasta kulmakertoimella p k /p g kuviossa Optimal lösning med handel: i denna situation lönar det sig att minska produktionen av spannmål från q till q 3 och öka produktionen av vall från q till q 4. q 4 q q 6 y bp k pg y q 3 q q 5 4

5 Optimaalinen ratkaisu kun käydään kauppaa: tässä tilanteessa kannattaa vähentää viljan tuotantoa pisteestä q pisteeseen q 3 ja lisätä nurmen tuotantoa pisteestä q pisteeseen q 4. q 4 q q 6 y bp k pg Den optimala kombinationen för produktion av spannmål och vall är således (q 3, q 4 (optimaalinen tuotanto on siis (q 3, q 4. Den optimala konsumtionen av spannmål och vall är en annan än produktionen, trots att produktionen sker enligt ovan (optimaalinen viljan ja nurmen kulutus on toinen kuin tuotanto. För jordbrukaren lönar det sig dock att sälja en del av vallen, nämligen q 4 minus q 6 (kannattaa myydä q 4 miinus q 6. Å andra sidan lönar det sig att utfodra med q 5 enheter spannmål och q 6 enheter vall. Detta kan man se genom att denna kombination ger en högre produktion vilket kan observeras från en ny isokvant i figuren (kombinaatio q 5 yksikköä viljaa ja q 6 yksikköä nurmea antaa korkeamman tuotannon. Det lönar sig såldes att köpa en spannmålsmängd motsvarande q 5 minus q 3 y q 3 q q 5 Många insatser och produkter (monet panokset ja tuotteet Låt oss anta att företaget producera två produkter med två rörliga insatser: (, (, y f y f Budgeten är begränsad till C 0 monetära enheter (MU Maimeringsproblemet kan således formuleras som (maksimointiongelma voidaan muotoilla seuraavasti { (, + (, } Ma p f p f Budgetrestriktionen (budjettirajoite är 0 w + + w + C ( ( Var ij är användning av insats (panos i för produkt (tuote j. Lagrangefunktionen är då (Lagrangefunktio on silloin ( 0 (, (, l ( ( L p f + p f + C - w + - w + Om vi deriverar L med hänsyn till alla fem variabler erhåller vi följande resultat (jos derivoimme L suhteessa kaikkiin viiteen muuttujaan saamme saame seuraavan tuloksen 5

6 L p - lw 0 L p - lw 0 L p - lw 0 L p - lw 0 ( ( w + + w + C 0 Då vi löser dessa ekvationer med hänsyn till l och sätter dessa l lika med varandra erhåller vi följande villkor för en optimal produktion: (kun ratkaisemme em. yhtälöitä suhteessa l ja yhtäläistämme l niin saamme seuraava ehto optimaaliselle tuotannolle:. VMP VMP VMP VMP l w w w w Enligt ekvation skall för varje insats och varje produkt förhållandet mellan värdet av marginalprodukt och insatspris vara detsamma. (Yhtälön mukaan jokaisen tuotteen ja panoksen osalta kuuluu rajatuotoksen arvon ja panoksen hinnan suhde olla sama Lagrangemultiplikatorn l: l Visar skuggpriset på budgetbegränsningen. Mao visar l hur mycket mer vinst som kunde ha genererats med en MU mer. l osoittaa budjettirajoitteen varjohinnan. Ts se osoittaa kuinka paljon enemmän voittoa olisi ollut mahdollista tehdä yhdellä monetaarisella yksiköllä MU lisää. Eempel (Rasmussen s. 95 (obs. Fel i boken på s 96, huom. kirjassa on virhe s 96 En trädgårdsmästare har MU 00 till sitt förfogande (budgetbegränsning. Med denna kan hon köpa två insatser, och, vilka kan användas för att producera produkterna y och y. 0,3 0,5 Produktionsfunktionen för y är y f (, 6 och för y y f (, var ij är användning av insats i för produktion av produkt j. Priset på är MU 8 (w 8 och priset på är MU (w. Priset på y är MU 0 och priset på y är MU 6. 6

7 Lagrangefunktionen kan då utryckas som 0,3 0,5 0*6 + 6* ( l( 00-8( + - ( + Vi deriverar L med hänsyn till alla fem variabler och erhåller (derivoimme L suhteessa viiteen muuttujaan L -0,7 0,5 ( ( L 0,8 8l ( ( L 6 9-8l ( (3 L 0 3 l ( (4 L l ( ( (5 L l Om vi delar ( med (3 så erhåller vi: -0,7 0,5 ( ( 0,8 8l 03 l,8 8 (6 3,, ,5 0,5 0,3 0,7 Om vi delar ( med (4 så erhåller vi: 69 ( - 8l ( ( 6 - l, ( 6- (7 Om vi slutligen delar ( med (3 så erhåller vi ( l, ( 03 l ( ( ( , ( ( Ur ekvation (6 *,8 8*3,,6 4,, 0,9 ( - ( -,6 4 Ur ekvation ( , , ,, 8 Problemet har härvid reducerats till ett ekvationssystem med fyra obekanta variabler och fyra ekvationer(5, (6 (7 och (8 och kan således lösas. 7

8 ( 9-0 0,3 Urekvation (8, 9 ( 9-0 3( 0,9 3( 0,9 9 ( ( -0,5 ( ( ,9 ( ( 30 0, Ekvation (5 8( + + ( + 00 æ ö 8ç 0,9 + + ( + 00 è ø , , , 4 00, 9, , 8,33-,5 9, 9, 0,3 æ -0,5 30 ( ( 0,9-8ö ç 8,33-4,67 0,79 0,3-0,5 +, 5 8,33-,5, ç -9 è ø ( ( ( ( 0,3-0,5-0, ( + 8,33-4,67 0, 79 +, 5 4,67 0,79 9,58 3, ,58-0, -0, ( ( ln 3,038 + ln 9,58-0, ( ( ( ln 3,038 +ln ln 9,58-0.ln ( 3,038 +ln ( ln ( 9,58-0.*,+ln (,975 ln (,975+0, ln ( 3,97» 4,46 0,9, 0,9*4,46,04»,87 30 ( ( 0, ( ( 0,9*4,46 4,46-8, , ( 0,9*4, , +9, -3*4,46 +9, -3* 0, » 7, ,4 7,57» 3,79 De optimala insatsmängderna är således,87, 4,46, 3,79 och 7,4 8

9 Om vi lägger in dessa siffror för de optimala insatserna i produktionsfunktionerna y och y erhåller vi den optimala produktionskombinationen (jos panemme ratkaisun osoittamat optimaaliset panosluvut tuotantofunktioihin saamme optimaalisen tuotantoyhdistelmän: 0,3 0,5 y f (, 6, y» 35,80 y f (, , y» 50,5 6 Skuggpriset kan lösas ur funktion 4 ( 6-3, l l,05 l Restriktionen är bindande (sitova. En MU till i budgeten är värd,05 MU. Med tilläggsfinansiering skulle således intäkterna öka något. 9