V. Den klassiska idealgasen
|
|
- Ingrid Nyström
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 V. Den klassiska idealgasen Viktiga målsättningar med detta kapitel Veta att Boltzmanns distributionsfunktion leder till idealgasekvationen Känna till. Maxwell-Boltzmanns distributionsfunktion... både i 1D och 3D och för energier och hastigheter Förstå ursprunget för barometerformeln Förstå hur man kan härleda idealgasens fria energi och Sackur-Tetrode-ekvationen Förstå interna frihetsgrader i polyatomära idealgaser Lära sig ekvipartititionsprincipen Termofysik, Kai Nordlund V.1. Idealgasernas statistiska mekanik Vi ger först ett sammandrag över idealgasens tidigare härledda egenskaper, skilt för den kanoniska och makrokanoniska fördelningsfunktionen. Sedan härleder vi Boltzmanns fördelningsfunktion för den makrokanonoska fördelningsfunktionen, på ett sätt som senare på kursen kan också användas för de kvantstatistiska fördelningsfunktionerna. Termofysik, Kai Nordlund
2 Kanonisk fördelning p r = 1 Z e βɛ r S = k B Σp r ln p r = k B Σp r [ln Z + βɛ r ] = k B ln Z + βk B E ty E = p r ɛ r F = E T S = E T [k B ln Z + βk E] }{{} =1/T F = k B T ln Z (1) Samband mellan partitions-funktionen och den fria energin: Z = e βf Makrokanonisk fördelning p nn = 1 Z N e +β[µn ɛ n] S = k B Σp nn ln p nn = k B Σp nn [ ln Z N + βµn βɛ n ] = k B ln Z N k B βµ < N > +βk B E N =< N >= Σp nn N = T S = E + k B T ln Z N µ N 0 = F + k B T ln Z N µ N F µ N Ω Ω = k B T ln Z N (2) Sambandet mellan den stora partitionsfunktionen och den stora potentialen: Z N = e βω Termofysik, Kai Nordlund Betrakta en tunn gas av molekyler som inte växelverkar med varandra (en idealgas). Gasens tillstånd kan då, om alla molekyler är likadana, anges av antalet molekyler n r i varje molekylär energinivå ɛ r. Gasens tillstånd anges av ett histogram: ε r n r ε 2 n 2 ε 1 n 1 ε 0 n 0 Betrakta nu det subsystem som består av molekylerna i ɛ r. Sannolikheten för att det skall innehålla n r partiklar är p r = e β[µn r nrɛr] 1 Z N,r (3) Termofysik, Kai Nordlund
3 där Z N,r = e βω r (4) där Ω r är den stora potentialen för delsystemet {ɛ r, n r } Sannolikheten för att delsystemet innehåller något antal partiklar är givetvis 1 så: p n r = 1 (5) nr Vi skriver nu ut några av sannolikheterna explicit: p n r=0 = e βω r (6) p n r=1 = e β[ω r+µ ɛr] (7) p n r=2 =... (8) p n r=n = e β[ω r+n(µ ɛr)] (9) Termofysik, Kai Nordlund Medelockupationen för tillståndet r är: < n r >= Σp n rn r = p n r=0 0 + p n r= (10) Om gasen är tunn är sannolikheterna för att en exciterad energinivå skall innehålla en molekyl mycket liten: < n r ><< 1 (11) och om man vidare antar att ɛ 2 ɛ 1 ɛ 1 ɛ 0 gäller p n r>1 0. (12) Därmed är < n r > p n r=0 0 + p n r=1 1 = p n r=1 = e β(ω r+µ ɛr) (13) Då p.g.a. ekvation 6. p n r=0 1 = e βωr 1 (14) Termofysik, Kai Nordlund
4 Detta ger oss Boltzmann s fördelningsfunktion: < n r > e (µ ɛ r)/k B T (15) Notera att alla delsystem är i jämvikt med varandra vilket innebär µ 1 = µ 2 = µ 3 =... = µ r =... = µ. (16) (de kemiska potentialerna är lika). Därmed kan man om man vill betrakta termen med den kemiska potentialen som en konstant med avseende på r och skriva n r = konst e ɛ r/k B T (17) Termofysik, Kai Nordlund V.1.1. Tillståndsekvationen Vi betraktar vidare detta system och härleder nu dess tillståndsekvation genom att använda lite mindre approximationer än ovan. Allmänt gäller Ω = P V (18) Ω = r Ω r (19) Om vi nu använder oss av Boltzmanns fördelning och betraktar de två lägsta tillståndena 0 och 1 är Vi löser ut Ω r ur detta och får: 1 e βωr [1 + e (µ ɛ r)/k B T ] (20) Ω r = k B T ln[1 + och med Taylorserien ln(1 + x) = x + fås e (µ ɛ r)/k B T }{{} ] (21) litet ty <nr><<1 Ω r k B T e (µ ɛ r)/k B T (22) Termofysik, Kai Nordlund
5 Med denna approximation fås Ω = r Ω r = k B T r e (µ ɛ r)/k B T (23) Å andra sidan är N = r < n r >= r e (µ ɛ r)/k B T (24) Jämförelse av dessa två ekvationer visar genast att med då dessutom helt allmänt Ω = P V får vi resultatet Ω = k B T N (25) P V = Nk B T (26) vilket ju ser ganska bekant ut. Vi har alltså visat att Boltzmann s fördelningsfunktion beskriver en klassisk idealgas! Termofysik, Kai Nordlund V.1.2. Alternativ härledning av Boltzmannfördelningen [Riskas anteckninggar, från Landau-Lifschitz S 40] DETTA STYCKE HÖR EJ TILL KURSEN 2010 Vi ser nu pånytt på ett system med energitillstånd ɛr och nr partiklar i detta tillstånd: ε r n r ε 2 ε 1 n 2 n 1 Per entropins definition gäller S = k B ln Ω där Ω = antal olika mikrotillstånd för en viss fördelning av N partiklar {nr}. Antal sätt att av N partiklar utvälja n 1 för det första energitillståndet: N(N 1)...N (n 1 1) (27) Antalet olika mikrotillstånd fås genom att dividera detta tal med permutationena av de n 1 partiklarna: N...N (n 1 1) N! = n 1! n 1!(N n 1 )! (28) Termofysik, Kai Nordlund
6 För tillståndet 2: För tillståndet r (N n 1 )! n 2!(N n 1 n 2 )! (N n 1 n 2... n r 1 )! nr!(n n 1 n 2... nr)! (29) (30) Därmed är hela antalet mikrotillstånd och därmed Ω = N! n 1!(N n 1 )! (N n 1 )!... n 2!(N n 1 n 2 )! (31) N! = n 1!n 2!..nr!.. (32) S = k B ln N! k B ln(n 1!n 2!..nr!..) = k B ln N! k B ln nr! (33) r För att maximera detta använder vi igen variationsberäkning, där variationen är med avseende på antalet partiklar nr: δ[s + αn + βe] = 0 (34) där N = Σnr (35) E = Σɛrnr (36) Vi använder nu Stirlings approximation ln nr! nr ln nr nr (37) Termofysik, Kai Nordlund på S = k ln N! k r ln nr! (38) och får [ δ k B N ln N k B N k B nr ln nr + k B nr + αnr + β ] ɛrnr = 0 (39) r r r r N är konstant med avseende på nr så de två första termerna försvinner. Vi utför variationen/derivatan på nr och får r k B (δnr) ln nr r nr k B nr δn r + k B δnr + r r αδnr + β r ɛrδnr = 0 (40) Termerna k B r δn r kancellerar och kvar är r k B (δnr) ln nr + r αδnr + β r ɛrδnr = 0 (41) eller δnr{ k B ln nr + α + βɛr} = 0 (42) r Detta bör gälla för alla variationer δ så vi måste ha att delen inom klamrarna är noll, varur fås ln nr = α + βɛ r k B (43) α + β = nr = e k B k ɛr B (44) Termofysik, Kai Nordlund
7 Nu kan man å andra sidan också skriva ekv. 34 som en totaldifferential ds + αdn + βde = 0 (45) Jämförelse med den andra grundlagen för ett system med variabelt partikelantal vid konstant volym de = T ds + µdn (46) indikerar att β = 1 T samt α β = µ = α = µ T (47) Alltså får man vilket är igen Maxwell-Boltzmann-fördelningen! nr = e (µ ɛ r)/k B T (48) Termofysik, Kai Nordlund V.1.3. Den klassiska Maxwell-Boltzmann fördelningen i 3 dimensioner Nu vill vi härleda hastighetsdistributionen för partiklar i en idealgas, alltså sannolikheten att en partikel har en hastighet i intervallet [v, v + dv] för alla hastigheter v. Vi har alltså det centrala resultatet n r = e (µ ɛ r)/k B T där nr = N = e µ/k B T r e ɛ r/k B T }{{} Z 1 =partitionsfunktion för en molekyl Nu kan vi lösa detta med avseende på exponenten på µ: e µ/k B T = N Z 1 = varvid n r kan skrivas utan µ-beroende som N r e ɛ r/k B T (49) (50) (51) n r = N Z 1 e ɛ r/k B T (52) Termofysik, Kai Nordlund
8 Nu tillämpar vi detta på en klassisk partikel med kinetisk, potential- och inre energi i ett konservativt kraftfält (sådant där potentialenergin bara beror på r men inte hastigheterna). Då blir ɛ r ɛ(p, r) = p2 2m + V (r) + ɛ int (53) Nu motsvaras det diskreta indexet r av alla möjliga punkter i den kontinuerliga rymd som bildas av rörelsemängderna p och platserna r. Denna 6N-dimensionella rymd kallas fasrymden ( phase space ). Nu vill vi alltså bestämma n r som nu motsvaras av n(p, r): partikeltätheten i fasrymden. Detta gör vi med att notera att man bör ha d 3 pd 3 r n(p, r) = N (54) men å andra sidan vet vi att n(p, r) = N Z 1 e ɛ(p,r)/k B T (55) Termofysik, Kai Nordlund Z 1 fås genom att integrera över alla möjliga punkter i fasrymden: Z 1 = d 3 pd 3 re ɛ(p,r)/k B T (56) För en idealgas gäller vidare V (r) 0 så n(r, p) = N Z 1 e p2 /2mk B T e ɛ int /k B T (57) Dessutom kan vi säga att integralen över d 3 r ger rymdens volym V så: Z 1 = e ɛ int /k B T V [ d 3 pe p2 /2mk B T }{{} dp x e p2 x /2mk B T ] 3 (58) Termofysik, Kai Nordlund
9 Denna integral kan beräknas med det klassiska tricket för att beräkna den gaussiska integralen: dxe α2 x 2 = dxe α2 x 2 dye α2 y 2 (59) = dxdye α2 (x 2 +y 2 ) (60) 2π = dϕ 2π 0 0 x = ρ cos ϕ (61) y = ρ sin ϕ (62) 0 dρρe α2 ρ 2 (63) dρ( 1 2α 2) d dρ e α2 ρ 2 (64) Termofysik, Kai Nordlund = 2π 2α 2 / 0 e α2 ρ 2 (65) π = (66) α 2 Alltså fås och därmed Z 1 = e ɛ int /k B T V (2πmk B T ) 3/2 (67) n(p, r) = N 1 2 /2mkB T = N(p) V (2πmk B T ) 3/2e p (68) dn(p) = N 1 2 /2mkB T d 3 p (69) V (2πmk B T ) 3/2e p = antal partiklar med rörelsemängd i fasrymdselementet d 3 p Termofysik, Kai Nordlund
10 V Hastighetsfördelning Från detta resultat kan man nu med enkla variabelbyten få hastighetsfördelningen som vi önskade ha: p = mv d 3 p = m 3 d 3 v (70) vilket ger dn(v) = N V ( m 2πk B T )3/2 e mv 2 /2kB T d 3 v }{{} dφ sin θdθv 2 dv Integralen över rymdvinkeln dφ sin θdθ ger som känt 4π och vi kan alltså skriva antalet (tätheten av) molekyler med v i intervallet (v, v + dv): (71) dn(v) = 4π( N V )( m 2πk B T )3/2 v 2 e mv 2 /2kB T dv (72) Detta ger oss det centrala resultatet för n(v) : Maxwells fördelningsfunktion n(v) = 4π N V ( m 2πk B T ) 3/2 v 2 e mv2 /2k B T (73) Termofysik, Kai Nordlund Denna har följande form: n(v) v 2 exp(-v 2 ) v För att kontrollera att denna härledning gick rätt, kan vi nu räkna om den uppfyller det uppenbara kravet dvn(v) = N V = dn(v) (74) Termofysik, Kai Nordlund
11 dvn(v) = 4π N V ( ) m 3/2 dvv 2 e mv2 /2k B T 2πk B T }{{} α 2k m B T dvv 2 e αv2 }{{} = α dve αv2 0 }{{ } 1 π }{{ 2 α } π 2 α 3 (75) = 4π N V ( m 2πk B T ) 3/2 1 4 π α 3 (76) = 4π N V ( ) m 3/2 ( ) 1 2kB T 3/2 π = π N 2πk B T 4 m V π 3/2 π 1/2 = N V v. s. b. (77) Termofysik, Kai Nordlund Den mest sannolika hastigheten är maximet i distributionen, där derivatan bör givetvis vara 0: v max v v2 e mv2 /2k B T = 0 (78) = 2v v 2 2v m 2k B T = 0 (79) 2kB T v m = (80) m V Exempel Exempel 1: mest sannolika hastigheten för neutroner i en kärnreaktor vid 300 K: v m = 2 300K J/K kg (81) Termofysik, Kai Nordlund
12 = m s 2200m/s (82) Exempel 2: distributionernas form. Vi ritar nu hastighetsdistributionerna för partiklar med massan 29u, som är ganska exakt medelmassan för molekyler i luft. n(v) K 300 K 1000 K 3000 K Mon Oct v (m/s) Termofysik, Kai Nordlund Exempel 3: fasta ämnen Ett i högsta grad ickeintuitivt resultat är att Maxwell-Boltzmann- hastighetsdistributionen gäller med stor noggrannhet också i fasta ämnen. Detta kan man lätt testa med datorsimuleringar. Här är en jämförelse över analytisk och simulerad hastighetsdistribution i koppar vid 300 K [kursen i atomistiska simuleringar 2003 rö 7]: Analytical MB distr. Simulated MB distr n(v) v (m/s) Mon Oct Termofysik, Kai Nordlund
13 Skillnaderna är extremt små och i själva verket statistiskt betydelselösa. Vi kan också skriva distributionen V Energidistributionen ( m ) 3/2 v 2 e mv2 /2k B T dv (83) n(v)dv = 4π N V 2πk B T som en (kinetisk) energidistribution genom att använda E = 1/2mv 2 de = mvdv = dv = de mv = de m 2E m (84) och får n(e)de = 4π N V n(e)de = 4π N V ( 1 2πk B T ( m 2πk B T ) 3/2 2E m e E/k B T de m 2E m (85) ) 3/2 m 3/2 2Em 1 e E/k B T de 2E m 1/2 (86) Termofysik, Kai Nordlund Alla m-termer försvinner bekvämt nog och med att kombinera 2:orna och π:na får vi n(e)de = 2 N E B T de (87) π V (k B T ) 3/2e E/k V Medelenergin Nu kan vi också beräkna idealgasens partiklars medelenergi med att integrera ekvationen ovan vägt med E och normalisera eller enklare med den gamla trick-formeln: Nu fås med resultatet för Z 1 ovan: E = ln Z(β) (88) β E N = β ln Z 1(β); Z 1 (β) = V (2πmk B T ) 3/2 = V ( 2πm β )3/2 (89) Termofysik, Kai Nordlund
14 Alltså E N = ln V (2πm β β )3/2 (90) = 1 V ( 2πm β )3/2V (2πm)3/2 ( 3 2 )β 5/2 (91) = 3 2 β 1 = 3 2 k BT (92) Alltså har vi härlett energin för partiklar i en idealgas: E = 3 2 Nk BT (93) Detta bevisar explicit vårt tidigare resultat att energin i en idealgas är endast en variabel av temperaturen: E = E(T ), men ger samtidigt också funktionsformen för temperaturberoendet. Termofysik, Kai Nordlund Nu kan vi också beräkna vilken hastighet detta motsvarar: E 1 = 1 2 mv2 = E N v = 2E/N m (94) 2 3 = m 2 k BT (95) 3kB T = (96) m Det är viktigt att inse att denna hastighet är inte samma som den mest sannolika hastigheten som härleddes tidigare! Denna hastighet kallas vroot-mean-square = v rms. Notera vidare att detta inte är samma som medelhastigheten, som fås genom att integrera vn(v) över alla hastigheter, och blir 8kB T v medel = (97) πm (kan räknas som räkneövningsuppgift). v rms kan fås (förutom metoden ovan) också genom att integrera v 2 n(v) och ta kvadratroten av det. Termofysik, Kai Nordlund
15 V.1.4. Den klassiska Maxwell-Boltzmann fördelningen i 1 dimension Det är också instruktivt att se vad hastighetsfördelningen blir i en dimension. Vi kan nu först upprepa härledningen ovan i en dimension, för rörelsemängder p x och hastigheter v x. Nu är vår energi (för en idealgas med V (x) = 0 och ingen inre energi) ɛ(p x ) = p2 x 2m (98) och vår partikeltäthet och partitionsfunktionen fås med Z 1,x = dx }{{} L Alltså är n(p x ) = dpe ɛ(p x)/k B T = L N Z 1,x e ɛ(p x)/k B T (99) dpe p2 x /2mk B T π = L 1/(2mk B T ) = L(2πmk BT ) 1/2 (100) dn(p x ) = N 1 2 x /2mk B T dp L (2πmk B T ) 1/2e p x (101) Termofysik, Kai Nordlund = antal partiklar med rörelsemäng i fasrymdselementet dp. Hastighetsdistributionen får man med p x = mv x till ( m ) 1/2 e mv2 x /2k B T dv x (102) dn(v x ) = N L 2πk B T Detta är ju bara en Gaussisk distribution centrerad vid v x = 0! Alternativt kunde man ha härlett samma distribution från den 3-dimensionella genom att skriva v 2 = v 2 x + v2 y + v2 z (103) och faktorisera den 3-dimensionella distributionen i 3 identiska delar. Men nyttan av att göra den 1-dimensionella härledningen skilt är att vi ser uppkomsten av en viktig skillnad i formen på denna distribution visavi den 3-dimensionella. Jämför nu formerna: Termofysik, Kai Nordlund
16 n(v) 1D: n(v x ) 3D: n(v) I varje enskild dimension är distributionen alltså centrerad vid 0. Hur är det då möjligt att den tredimensionella distributionen inte är det? v Jämförelse av härledningarna för 3D vs. 1D visar klart orsaken: i den tredimensionella hade vi ju ett differentialt volymelement d 3 p = p 2 sin θdφdθdp (104) Termofysik, Kai Nordlund medan den endimensionella har bara en term dp (105) Termen p 2 visar att volymelementets storlek ökar med p, vilket ger upphov till att n 3D (p) = 0 då p = 0 och därmed ett maximi större än noll. Rent kvalitativt kan man förstå detta som att trots att sannolikheten att hastigheten är 0 är maximi i en dimension är stor, är sannolikheten att hastigheten är 0 i alla tre dimensioner samtidigt försvinnande liten Rms-värdet för den endimensionella hastighetsdistributionen är p.g.a. de normala egenskaperna på Gaussiska profiler helt enkelt ( ) kb T 1/2 v x,rms = (106) m Detta är konsistent med vårt rms-värde för den tredimensionella distributionen ( ) 3kB T 1/2 v rms = (107) m Termofysik, Kai Nordlund
17 ty v 2 x,rms + v2 y,rms + v2 z,rms = 3 ( kb T m ) = v 2 rms (108) Termofysik, Kai Nordlund V.1.5. Exempel: barometerformeln Nu ser vi för exempels skull på ett fall där potentialenergin inte är = 0 som för idealgasen. Om atmosfärens temperatur är konstant = T är potentialenergin hos en molekyl med massan m på en höjd h över den plana jordytan V = mgh (109) Boltzmann s fördelningsfunktion blir därmed e (E kin +V )/k B T : n(p, h) = konstant e p2 /2k B T e mgh/k B T (110) Om uttrycket integreras över alla hastigheter (rörelsemängder) blir n 0 : partikelantal/ytenhet på jordytan h = 0 n(h) = konstant e mgh/k B T (111) n(h) = n 0 e mgh/k B T (112) Termofysik, Kai Nordlund
18 n(h) n 0 = e mgh/k B T (113) Detta säger alltså att atmosfärens partikeltäthet faller exponentiellt med med höjden över jordytan. Detta kallas barometerformeln. h e -mgh/kt approximation för små höjder n 0 n(h) Det är också intressant och se på ekvationens beteende på små höjder, mgh << k B T : Termofysik, Kai Nordlund n(h) n 0 = e mgh/k B T 1 mgh k B T (114) Massan på molekylerna i luften kan beräknas om man minns att luften består av ung. 78% kväve N 2, 21 % syre O 2 och 1% argon Ar: m = 29.0 (115) och därmed fås så vi kan skriva h 0 = 1 mg k B T = k B u 9.81 = 7980m 8000m (116) n(h) n 0 = e h/h 0 1 h h 0 (117) Nu har vi alltså härlett den gamla tumregeln att lufttrycket sjunker med 1 mbar för varje 8 m man stiger uppåt! Men samtidigt vet vi nu att det verkliga beteendet är exponentiellt. Termofysik, Kai Nordlund
19 Hojd (m.o.h.) Mon Oct n/n 0 Experiment e -h/8000 Jämförelse med experimentellt data (se CRC) visar att denna formel gäller som god första approximation till överraskande stora höjder, ungefär 100 km eller så. Den bryter till slut ihop i den joniserade delen av atmosfären, jonosfären (lägre delen av rymden från ungefär 70 km uppåt) där atmosfären joniseras av solvinden och blir ett dynamiskt plasma med mycket komplicerat beteende. Termofysik, Kai Nordlund V.1.6. Partikeltätheten i en roterande cylinder Vi betraktar som ett annat exempel en roterande cylinder där man antar att gasen roterar med cylindern. L R r Centripetalacceleration: a = v2 r ω = v/r F = m v2 r = mrω2 V (r) = F dr eller F = V r V = 1 2 mr2 ω 2 Nu bör enligt Boltzmann-distributionen n(r) = Ae 1 2 mr2 ω 2 /k B T (118) Termofysik, Kai Nordlund
20 men konstanten A är okänd. För att bestämma den använder vi villkoret: 2π 0 R L dϕ rdr dzn(r) = N (119) 0 0 R = 2πLA dr re2 1mr2 ω 2 /k B T }{{} 0 k B T mω 2 r e1 2 mr2 ω 2 /k B T = N (120) 2πLA k BT mω 2[e1 2 mr 2 ω 2 /kb T 1] = N (121) A = Nmω 2 2πLkT [e 1 2 mr2 ω 2 /k B T 1] (122) Termofysik, Kai Nordlund V.2. Boltzmanngasens fria energi Vi vill nu bestämma idealgasens fria energi. F = Ω + µn; Ω = P V (123) = F = P V + µn (124) För idealgaser gäller P V = Nk B T så: F = N[k B T µ] (125) men å andra sidan vet vi från förra kapitlet att N = r n r = r e (µ ɛ r)/k B T = e µ/k B T r e ɛ r/k B T (126) där vi använt oss av vetskapen om att den kemiska potentialen µ måste vara lika för alla delsystem r om de är i jämvikt. Termofysik, Kai Nordlund
21 Med att lösa ut µ-termen ur ekvationen ovan fås e µ/k B T = N r e ɛ r/k B T (127) och därur = µ = k B T ln { 1 N { F = Nk B T }{{} 1 + ln 1 N ln e r r e ɛ r/k B T } e ɛ r/k B T } (128) (129) F = Nk B T ln { e N r e ɛ r/k B T } (130) Termofysik, Kai Nordlund V.2.1. Partitionsfunktionen Vi vet från tidigare att och ur ekvation 130 F = k B T ln Z (131) Z = e F/k B T (132) F { e k B T = N ln N r e ɛ r/k B T } (133) = ln { e N } N e ɛ r/k B T (134) r { } e N { } N = ln e ɛ r/k B T (135) N r Partitionsfunktion per partikel var ju per definition Z 1 r e ɛ r/k B T (136) Termofysik, Kai Nordlund
22 så den senare termen i ekvationen för F är Z N 1. Men vad är ( e N )N? (137) Om vi jämför med Stirlings ekvation ln N! N ln N N = ln N N ln e N (138) = ln( N e )N (139) ser vi att N! ( N e )N (140) och därmed kan vi skriva Z = 1 N! ZN 1 = 1 [ ] N e ɛ r/k B T (141) N! r Termofysik, Kai Nordlund För en klassisk idealgas har vi på basen av resultaten i förra kapitlet att e ɛ r/k B T konstant d 3 rd 3 pe p2 /2k B T m r (142) så för den gäller = konstant }{{}(2πmk B T ) 3/2 (143) C Z = C N! (2πmk BT ) 3N/2 = C N! (2πm)3N/2 β 3N/2 (144) Nu kan vi än en gång beräkna energin för detta medelst E = 1 Z β Z (145) 1 C 3N = C N! (2πm)3N/2 β 3N/2 N! (2πm)3N/2 2 β 3N/2 1 (146) = 3N 2 β 1 (147) = 3 2 Nk BT (148) Termofysik, Kai Nordlund
23 V.2.2. Energifluktuationen Liknande som vi gjorde i kapitel II.2. kan vi beräkna energifluktuationen som och potensen N kancellerar, och vi får ( E) 2 = E 2 E 2 (149) 2 E 2 = 1 Z β2z (150) = β 3N/2 2 β } 2β 3N/2 {{} (151) 3N 2 ( 3N 2 1 ) β 3N/2 2 E 2 = 3N 2 (3N 2 + 1)β 2 (152) och därmed med vår medelenergi E = 3/2Nk B T : ( E) 2 = 3N 2 (3N 2 + 1)(k BT ) 2 ( 3N 2 k BT ) 2 (153) Termofysik, Kai Nordlund = 3N 2 (k BT ) 2 (154) E E = 3N 2 k BT 3N 2 k BT = 1 3N 2 0 då N (155) Det centrala resultatet att E E 1/ N är exakt det samma som härleddes tidigare under kursen! Termofysik, Kai Nordlund
24 V.2.3. Fria energin med inre frihetsgrader V Tillståndstätheten [t.ex. Mandl appendix B] Vi härleder nu ett mycket centralt begrepp i våg- och kvantfysiken: tillståndstätheten eller hur många vågtal som är möjliga i en ändlig volym V. En stående våg kan behandlas matematiskt med sinus eller kosinus-funktioner eller mer allmänt som e ik r = e ik xx e ik yy e ik zz (156) Vi vill nu räkna hur många sådana vågor kan finnas i en volym V. För enkelhets skulle betraktar vi en kub med sidan L, så V = L 3. Termofysik, Kai Nordlund x I.o.m. att z y För att en våg skall kunna existera i x-led, krävs det att antalet vågor som finns i inneslutningen är ett heltal. Annars skulle vågens amplitud inte vara kontinuerlig vid gränserna 0 eller L. Detta ger som gränsvillkor för innesluten strålning: e ik x 0 = e ik xl e ik xl = 1 (157) e ik xl = cos(k x L) + i sin(k x L) (158) och cos x = 1 då x = n2π där n är ett heltal, leder detta till villkoret k x L = n x 2π = k x = 2π L n x, n x = ±1, ±2,.. (159) (fallet n x = 0 är uteslutet för då finns det ju ingen våg!). Termofysik, Kai Nordlund
25 Vidare gäller på samma sätt att k y = 2π L n y, n y = ±1, ±2,... (160) k z = 2π L n z, n z = ±1, ±2,... (161) och de tillåtna vågtalen är alltså k = 2π L {n xi + n y j + n z k} (162) Om vi nu betraktar vågtalen k som en 3-dimensionell rymd (känd som k-rymden eller vågvektorrymden eller Fourier-rymden eller reciproka rymden) kan vi beräkna hur många vågtal som ryms i en viss volym. Termofysik, Kai Nordlund k y 2π L Man kan se resultatet genast om man ritar ut de tillåtna vågtalen i ett k x, k y -diagram: Vi ser att tätheten av kvanttillstånd i vågvektorrummet är 2π L k x 1 ( 2π L )3 (163) Antalet kvanttillstånd i ett volymelement d 3 k är alltså Detta är tillståndstätheten i tre dimensioner! d 3 k ( 2π = d 3 k L3 L )3 (2π) = V d3 k (164) 3 (2π) 3 Om man använder den kvantmekaniska definitionen för rörelsemängd p = k kan detta alternativt skrivas d 3 k ( 2π = d 3 p L3 L )3 (2π ) = V d3 p 3 (2π ) = V d3 p (165) 3 h 3 Termofysik, Kai Nordlund
26 Notera att trots att vi gjorde härledningen för en kub, kunde man väl generalisera det för en godtycklig form genom att betrakta ett antal allt mindre rätblock som följer den godtyckliga formen. Det slutliga resultatet skulle i varje fall uppenbart bli det samma. Vi har alltså från tidigare V Fria energin F = Nk B T ln { e N r e ɛ r/k B T } (166) men ser nu på fallet där där ɛ r = ɛ p + ɛ int r (167) ɛ p : molekylens totala kinetiska energi (168) ɛ int r : molekylens interna rotations och vibrationsenergi (169) Termofysik, Kai Nordlund Alltså fås e ɛ r/k B T = e ɛ p/k B T r p r Vi definierar partitionsfunktionen för de inre frihetsgraderna e ɛr int /k B T (170) Z int r e ɛr int /k B T (171) och kan skriva detta som e F = Nk B T ln N e ɛ p/k B T Z int p (172) där = F tr + F int (173) e F tr Nk B T ln N p e ɛ p/k B T (174) Termofysik, Kai Nordlund
27 och F int Nk B T ln Z int (175) Nu antar vi att skillnaden mellan tillstånd är tät, dvs. k B T >> ɛ p, så man kan ersätta summan över antalet tillstånd = (176) med en integral: d 3 pd 3 r = V } h{{ 3 } 3 : tillståndstäthet i fasrymden 1 h där vi använt oss av tillståndstätheten som härleddes ovan. p d 3 p (2π ) 3 (177) Alltså fås F tr = Nk B T ln e N d 3 r }{{} V d 3 p 2 /2mkB h 3 e p T }{{} 1 (2π ) 3 (2πmk B T )3/2 (178) Termofysik, Kai Nordlund och därmed { } ev F tr = Nk B T ln N (mk BT 2π 2 )3/2 (179) Termofysik, Kai Nordlund
28 V.2.4. Inre energi (notera att F int = F int (T )). E = F + T S = F tr + F int + T [ ( F tr T ) V ( F ] int T ) V (180) E = F tr T ( F tr T ) V + F int T ( df int dt ) (181) F tr = Nk B T ln { ev N ( ) mkb T 3/2 } 2π 2 (182) ( F tr T ) V = Nk B ln { ev N ( ) mkb T 3/2 } Nk 2π 2 B T ev N 1 ev ( ) mkb T 3/2 N 2π 2 ( ) 3 mkb T 1/2 mk B 2 2π 2 2π 2 (183) Termofysik, Kai Nordlund som efter alla förkortningar ger ( F tr T ) V = Nk B ln { ev N ( ) mkb T 3/2 } 2π 2 Nk B 3 2 (184) Då detta sätts in i ekvationen för E kancellerar F och den första termen i dess derivata behändigt nog och kvar blir E = 3 2 Nk BT + F int T ( df int dt ) (185) Termofysik, Kai Nordlund
29 V.2.5. Specifikt värme Med denna ekvation för E fås också C V = ( E T ) V = 3 2 Nk B + df int dt (df int dt ) T (d2 F int dt 2 ) (186) C V = 3Nk B 2 T d2 F int dt 2 (187) Alltså molekylernas inre frihetsgrader bidrar till det specifika värmet. C P kan man efter att ha beräknat C V lätt få med det tidigare härledda sambandet H = E + P V = E + Nk B T C P = C V + Nk B (188) som gällde allmänt för en idealgas (vare sig den har inre frihetsgrader eller inte). Termofysik, Kai Nordlund V.2.6. Idealgasens entropi S = ( F T ) V = ( F tr T ) V ( F int T ) (189) = ( F tr T ) V + S int (190) F tr = Nk B T ln ev N (mk BT 2π 2 )3/2 (191) Derivatan F tr / T är samma som tidigare beräknat och man får S = S int + Nk B ln ev N (mk BT 2π 2 )3/ Nk B (192) Genom att dela upp logaritmen i lämpligt valda delar fås = S int + Nk B {ln }{{} e 1 + ln V N ln T ln mk B 2π 2 } (193) Termofysik, Kai Nordlund
30 och därmed { 5 S = S int + Nk B ln mk } B + Nk 2π 2 B ln V N Nk B ln T (194) vilket är känt som Sackur-Tetrode-ekvationen. Notera att S 0 då T 0 vilket innebär att idealgasteorin bryter mot termodynamikens III grundlag(!). Orsaken är att då vi flyttade över från en summa över tillstånd till en integral i ekv. 177, antog vi att kt >> ε. Men nära 0 K gäller detta givetvis inte. Notera också att ekvationen innehåller Plancks konstant h. Detta kommer från den kvantmekaniska tillståndstätheten, och kunde alltså inte härledas från klassisk fysik. I själva verket, utan kvantisering blir tillståndstätheten oändligt stor, vilket leder till ett vansinnig resultat. Detta kallas Gibbs paradox. Gibbs paradox var ett stort problem i den klassiska termodynamiken, och löstes först då Sackur och Tetrode (oberoende av varandra) tog kvantmekaniken i beaktande och härledde ekvation 194. Termofysik, Kai Nordlund Ett intressant sammandrag om historien bakom ekvationen, dess härledare, och dess samband med kvantmekaniken finns i Termofysik, Kai Nordlund
31 V.2.7. Ångtryckets beroende av T [Mandl sd ] Med ångtrycket ( vapour pressure ) menas det tryck P (T ) vid vilken en vätska är i jämvikt med en omgivande gas. Vi antar att ånga idealgas (i verkligheten är ånga en blandning av vatten i gasform och heta vattendroppar men vi ignorerar nu denna komplikation). P V = Nk B T = V N = k BT P (195) Sånga Nk B = S int + 5 Nk B ln mk B 2π + ln k BT 2 }{{} ln P + 3 ln T (196) 2 =ln k B +ln T Vi använder oss av att S int = 0 för monatomära idealgaser, och får ln P = S ånga Nk ln T + ln(k5/2 B ( m ) (197) 2π 2)3/2 Termofysik, Kai Nordlund För att S = Q/T kan man skriva Sånga N S vatten N = l T l = latent värme per partikel (198) Vid låga temperaturer är dessutom Svatten mycket mindre än Sånga och då får man detta i den enkla formen Sånga N l T ; (199) och därmed ln P l kt Detta är Sackur-Tetrode-ekvationen för ångtryck. ln T + ln k5/2 B ( m (200) 2π 2)3/2 Detta är intressant för att ångtrycket ju är en mätbar storhet, så med att jämföra denna ekvation med experiment kan man direkt testa Sackur-Tetrode-ekvationen för entropin. Jämförelsen ger ofta mycket bra överrenstämmelse! Här är t.ex. data för några idealgaser vid kokpunkten [Paakkari] Termofysik, Kai Nordlund
32 Gas T b (K) S (J/mol K) (expt) S (J/mol K) (teor) Ne Ar Kr Termofysik, Kai Nordlund V.3. Monatomära idealgaser Den allmänna formeln för en idealgas fria energi är F = F tr + F int (201) F tr = Nk B T ln{ ev N (mk BT 2n 2 )3/2 } (202) e ɛr int /k B T F int = Nk B T ln{ r }{{} Z int } (203) Z int = k e ɛint k /k B T (204) Om den atomära energinivån är degenererad måste degenerationsfaktorn g k tas med i partitionsfunktionens uttryck: Z int = g k e ɛ k /k B T (205) k Termofysik, Kai Nordlund
33 Energinivåerna bestäms direkt av det atomära (eller molekylära) energispektret: 0 jonisationstillstånd ε 2 ε 1 bundna tillstånd ε 0 För att begreppet monatomär gas skall vara meningsfullt måste jonisationssannolikheten vara försvinnande liten. Detta innebär att temperaturen måste vara liten i jämförelse med jonisationse- Termofysik, Kai Nordlund nergin. n k = 1 Z e ɛ k /k B T (206) n k << 1 k B T << ɛ k (207) De molekylära nivåskillnaderna är av storleksordningen ev 10 4 K, medan rumstemperatur 300K 1 ev (208) 40 Alltså är då de flesta gasmolekylerna i sitt grundtillstånd vid rumstemperatur och Z int e ɛ 0 /k B T (209) Med en energiskala där ɛ 0 = 0 gäller Zint = 1 (210) och F int = Nk B T ln Z int = 0 (211) Då gäller de tidigare härledde resultaten för en idealgas utan inre frihetsgrader C V = 3 2 Nk B och C P = 5 2 Nk B; (212) Termofysik, Kai Nordlund
34 γ = C P C V = (213) Termofysik, Kai Nordlund V.4. Polyatomära idealgaser Även polyatomära molekyler kan anses utgöra idealgaser, i approximationen att molekylerna inte alls växelverkar sinsemellan (trots att de nog kan ha starka inbördes växelverkingnar som håller molekylen ihop). Fysikaliskt (kemikaliskt) sätt är det helt rimligt att behandla ett sådant system: en massa molekyler har nämligen starka kovalenta kemiska bindningar som håller molekylen ihop. Men alla elektroner är bundna till dessa bindningar, så den resterande växelverkningen utanför molekylen är ofta faktiskt storleksordningar svagare. Speciellt om molekylen är opolär: då kvarstår bara van der Waal s växelverkningar (inducerade dipol-dipol- växelverkningar, även kallade dispersionsväxelverkan) som är mycket svaga. Dissociationsenergin för typiska (kovalent bundna) diatomära molekyler är av storleksordningen 1-10 ev eller K och är således av samma storleksordning som de elektroniska excitationsenergierna. Den termodynamiska beskrivningen av diatomära gaser kan därför antas vara korrekt vid rumstemperatur och lägre temperaturer där dissociations- och jonisationssannolikheterna är små. Termofysik, Kai Nordlund
35 De polyatomära molekylerna har inre energier associerade med vibration av atomerna mot varandra och rotation av molekylerna kring någon axel. Rotationsenergierna är mycket små: 10 4 ev och kan inte lämnas obeaktade vid rumstemperatur ( 1/40 ev 0.03 ev). Vibrationsenergierna är något större - av storleksordningen 10 3 ev ev och bör också betraktas vid rumstemperatur. En första approximation för att beskriva är att skriva den inre molekylära energin i formen ɛ = ɛ 0 + ɛ vib + ɛ rot. (214) För vidare behandling av termerna ɛ vib och ɛ rot begränsar vi diskussionen till diatomära molekyler. Termofysik, Kai Nordlund m m Det klassiska uttrycket för en diatomär molekyls rotationsenergi kring en axel genom mittpunkten är ɛ rot = L 2 /2I I = tröghetsmomentet = mr 2 /2, R = molekylens atomavstånd. Kvantmekaniskt gäller att L 2 = 2 l(l + 1) l = 0, 1, 2,... (215) impulsmomentet är kvantiserat! Den inre molekylära partitionsfunktionen Z int är nu Z = k e ɛint k /k B T = e ɛ 0 /k B T k e ɛrot k /k B T k e ɛvib k /k B T (216) Termofysik, Kai Nordlund
36 = e ɛ 0 /k B T Z rot Z vib (217) Nu vet vi vad rotationsnivåerna är, och kan direkt skriva Z rot = (2l + 1)e 2 l(l+1)/2ik B T l=0 (218) där vi tagit i beaktande det kvantmekaniska resultatet att varje L-nivå är (2l + 1) gånger degenererad, för att l z = l, (l 1),... l (219) Molekylens vibration kan i första approximation, då vibrationerna är relativt nära energiminimum som kan approximeras med en parabel, beskrivas som en harmonisk oscillator. Då gäller enligt kvantmekaniken att ɛ vib = ω(n ) där ω är vibrationens vinkelfrekvens och n är vibrationskvanttalet. Partitionsfunktionen för vibrationsrörelsen är Z vib = e ω(n+1 2 )/k B T (220) n=0 Termofysik, Kai Nordlund Den fria energin är F = F tr + F int (221) F int = Nk B T ln Z int (222) = Nk B T ln Z rot Z vib (223) = Nk B T ln Z rot Nk B T ln Z vib (224) = F rot + F vib (225) Då C V = 3 2 Nk B T d2 F int dt 2 (jämför kapitel 20) är C V = 3 2 Nk B + C rot V + C vib V (226) där vi definierat C rot V C vib V = T d2 F rot dt 2 (227) = T d2 F vib dt 2 (228) Termofysik, Kai Nordlund
37 V.4.1. Beräkning av rotationspartitionsfunktionen Vi vill nu beräkna Z rot = (2l + 1)e 2 l(l+1)/2ik B T l=0 (229) För att uppskatta vilka vibrationsnivåer som är exciterade vid rumstemperatur definierar vi rotationstemperaturen: θ r = 2 2Ik B = 2 mr 2 k B (230) som man ju kan beräkna bara atomernas massa och inbördes avstånd är känt. Notera att θ r sjunker med atomernas massa (de interatomära avstånden är alltid av storleksordningen 1-2 Å). Här är några exempelvärden: molekyl H 2, HD, D 2 HCl HI N 2, O 2 θ r 85 K, 64 K, 43 K 15 K 9 K 2-3 K Termofysik, Kai Nordlund Vid rumstemperatur är θ r << T. Därigenom avtar exponentialfunktionen i Z rot inte särskilt snabbt med ökande l. En lämplig approximation som tar i beaktande höga l-värden är den klassiska approximationen: Z rot 0 dl(2l + 1)e l(l+1)θ r/t (231) = 0 dl d dl e l(l+1)θ r/t ( T θ r ) (232) = T θ r / 0 e l(l+1)θ r/t (233) = T θ r (234) Därmed fås F rot = Nk B T ln Z rot = Nk B T ln T θ r (235) Termofysik, Kai Nordlund
38 och C rot = T d2 F rot dt 2 = Nk B T d 2 dt 2T ln T }{{ θ r } (236) d dt ln T + T θ r 1 θ r } T {{ θ r } =1 }{{} θr T 1 θ r = Nk B (237) C rot = Nk B ; jämför med C tr = 3 2 Nk B (238) = C rot /N = k B : molekylernas rotationsfrihetsgrad ökar det molekylära specifika värmet med k B (vid höga temperaturer θ r ) C rot v Låga temperaturer: T θ r Termofysik, Kai Nordlund Nu är det bara de två första termerna i exponentialsumman som är betydelsefulla: Z rot = (2l + 1)e l(l+1)θ r/t l=0 (239) 1 + 3e 2θ r/t (240) F rot Nk B T ln[1 + 3e 2θ r/t ] }{{} 3e 2θ r/t (241) = 3Nk B T e 2θ r/t (242) Termofysik, Kai Nordlund
39 och därmed C V = T d2 F rot dt 2 d 2 = 3Nk B T dt 2T e 2θ r/t ( }{{} ( )) d e 2θr/T + T e 2θ r/t 2θr dt T }{{ 2 ( } d 1 + 2θ ) r e 2θ r/t dt T [ }{{} 2θ ( r T θ ) ] r 2θr e 2θ r/t 2 T T }{{ 2 } 2 2 θ 2 r T 3 e 2θ r/t (243) så C V ( ) 2 2θr = 3Nk B e 2θ r/t T (244) Termofysik, Kai Nordlund och då θ r 2 /2Ik B fås = 3Nk B ( 2 2 2Ik B T ) 2 e 2θ r/t (245) = 3Nk B ( 2 Ik B T I.o.m. att exponentialer alltid går snabbare mot noll än polynom ser vi att ) 2 e 2 /IkB T (246) C rot V 0 då T 0 (247) rot c v k = rot C v Nk 1 θ r T Termofysik, Kai Nordlund
40 . Termofysik, Kai Nordlund V.4.2. Vibrationspartitionsfunktionen Nu beräknar vi motsvarande vibrationernas kontribution till värmekapaciteten. Z vib = e ω(n+1 2 )/k B T (248) n=0 = e ω/2k B T n=0 e ωn/k B T (249) } {{ } geometrisk serie : }{{} 1 = 1 e ω/k B T 1 1 = e ω/2k B T 1 e ω/k B T (250) 1 = e ω/2k B T e ω/2k B T (251) = 1 2 sinh( ω 2k B T ) (252) Termofysik, Kai Nordlund
41 och därmed och vidare = Nk B T d dt = Nk B T d dt [ d dt T 1 F vib = Nk B T ln 2 sinh( ω 2k B T ) (253) ] ln C vib V = T d2 F vib (254) dt 2 [ ] 1 d 2 sinh( ω 2k B T ) + T dt ln 1 2 sinh( ω 2k B T }{{ ) } { 1 ln 2 sinh( ω 2k B T ) + T 2 sinh( ω 2k B T ) d [ dt A 1 2 sinh( ω 2k B T ) ]} (255) (256) = Nk B T d { ln dt 1 2 sinh( ω 2k B T 2 sinh( ω )+T 2k B T ) sinh 2 ( ω 2k B T cosh( ω )2 2k B T )( ω } 2k B T 2) (257) Termofysik, Kai Nordlund = Nk B T d dt ln 1 2 sinh( ω 2k B T ) + ω 2k B T coth( ω 2k B T ) }{{} B (258) Genom att följa den senare delen av denna derivering ser vi att A = B d.v.s. d dt ln 1 2 sinh( ω 2k B T ) = 1 T ω 2k B T coth( ω 2k B T ) (259) Nu kan vi använda oss av detta för att direkt skriva ner resultatet av det första steget av det andra deriveringssteget! Dessutom är D coth = 1/ sinh 2 och vi får C V ω = Nk B T 2k B T coth( ω 2 2k B T ) ω 2k B T coth( ω 2 2k B T ). + ω 1 ω 2k B T sinh 2 ( ω 2k B T ) 2k B T 2 (260) = Nk B ( ω 1 2k B T )2 sinh 2 ( ω 2k B T ) (261) Termofysik, Kai Nordlund
42 Alltså är värmekapaciteten från vibrationsmoderna per molekyl c vib v = k B ( ω 2k B T )2 sinh 2 ( ω 2k B T ) (262) Gränsvärdena för detta blir (sinh(x) x för små x och sinh(x) e x för stora x): Då T << ω 2k B är sinh( ω 2k B T ) e ω 2k B T = c vib v 0 (263) Då T >> ω 2k B är sinh( ω 2k B T ) ω 2k B T = cvib v k B (264) Vi definierar Här är några värden på 2θ vib : ω 2k B θ vib (265) Termofysik, Kai Nordlund molek. H 2 N 2 O 2 NO HCl vibrationsenergi ω/k B 6100 K 3340 K 2230 K 2690 K 4140 K Termofysik, Kai Nordlund
43 V.4.3. Hela värmekapaciteten Alltså ser vi sammanfattningsvis att hela värmekapaciteten är c tot v = 3 2 k B + c rot v + c vib v ( )k B = 7/2k B vid höga temperaturer (266) Men vidare kan vi uppskatta formen emellan genom att se på de karakteristika temperaturerna då rotations- och vibrationsmoderna aktiveras θ r respektiva θ vib. Våra tabeller visar att θ vib θ r så den allmänna formen är: Termofysik, Kai Nordlund c v ---- k C v = Nk 7/2 5/2 3/2 θ r θ vib T (Värmekapaciteten måste gå mot noll vid mycket låga T p.g.a. III grundlagen, jfr. kapitel 11). Detta har även observerats experimentellt! Man kan jämföra resultaten i detta kapitel med experiment genom att betrakta värden på γ som Termofysik, Kai Nordlund
44 för idealgaser ju är γ = c p c v = c v + k B c v (267) För monatomära idealgaser var ju det teoretiska resultatet att c v = 3/2k B och därmed γ(rumstemperatur, monatomär molekyl) = 3 2 k B + k B 3 2 k B = (268) Ur värdena på θ r och θ vib ovan ser vi att vid rumstemperatur skulle man förvänta sig att rotationsgraderna är exciterade medan vibrationsgraderna inte är det. Då blir alltså det teoretiska resultatet γ(rumstemperatur, diatomär molekyl) = Här är några experimentella värden [Paakkari]: 5 2 k B + k B 5 2 k B = 7 5 = 1.4 (269) Termofysik, Kai Nordlund Molekyl γ = c p cv He Ne 1.64 Ar H O N CO Cl Överensstämmelsen med experiment är alltså mycket bra. Detta förklarar också det som vi tidigare konstaterat på kursen, att γ = 1.40 för luft! Termofysik, Kai Nordlund
45 V.5. Ekvipartitionsprincipen Termofysik, Kai Nordlund V.5.1. Härledning av ekvipartitionsprincipen Betrakta en frihetsgrad för vilken energin är en kvadratisk funktion av koordinaten som beskriver frihetsgraden: ɛ = ax 2 (270) Denna form är mycket vanlig, praktiska exempel är bl.a. Motsvarande klassiska partitionsfunktion är ɛ tr = p2 2m ; ɛ vib = 1 2 kx2 ; ɛ rot = 1 2 Iω2 (271) Z = dxe ax2 /k B T (272) Vi gör ett variabelbyte: och får x 2 T = y2 y = Z = T x T dx = T dy (273) dye ay2 /k B (274) Termofysik, Kai Nordlund
46 Integralen är en temperaturoberoende konstant C, varav följer att Z = C T (275) och därmed F = Nk B T ln C T (276) C V = T d2 F dt 2 = T Nk B d dt d 2 dt 2T ln C T ( }{{} ln C T + T 1 C T C 1 ) 2 T 1/2 = d ( ln C T + 1 ) dt 2 }{{} 1 C T C 1 2 T 1/2 = 2T 1 (277) C V = 1 2 Nk B. (278) Då enligt definitionen C V = ( E T ) V (279) Termofysik, Kai Nordlund leder detta direkt till att energibidraget per frihetsgrad och molekyl är 1 2 k BT (280) Termofysik, Kai Nordlund
47 V.5.2. Följder av ekvipartitionsprincipen Resultatet ovan kallas ekvipartitionsprincipen och kan uttryckas i formen Varje molekylär frihetsgrad vars energi ger ett kvadratiskt bidrag till energin, bidrar med 1 2 k BT till en idealgas inre energi per molekyl. Vi såg i förra kapitlet att värmekapaciteten tenderade att öka med temperaturen i steg på 1 2 k B, i enlighet med när rotations- och vibrationsfrihetsgraderna aktiverades. Denna observation får nu en naturlig förklaring ur ekvipartitionsteoremet. Men härledning av lagen som gjordes ovan var helt klassisk. I den klassiska mekaniken förekommer inga kvantiserade energinivåer, och därmed förutspår ekivipartitionstemperaturen att detta skulle gälla vid alla temperaturer. Men i förra stycket såg vi hur kvantisering leder till att frihetsgraderna aktiveras enbart vid sådana temperaturer för vilkaa k B T E där E är den typiska magnituden på de kvantiserade energinivåernas skillnad. Oförmågan att förklara detta var historiskt sett en av de första av den klassiska mekanikens tillkortakommanden. För att korrigera detta kan man uttrycka lagen i formen Termofysik, Kai Nordlund Varje molekylär frihetsgrad vars energi ger ett kvadratiskt bidrag till energin, bidrar vid tillräckligt höga temperaturer med 1 2 k BT till en idealgas inre energi per molekyl. vilket dock kräver vetskap om vad tillräckligt hög innebär från fall till fall. Vi ser nu på hur de olika frihetsgraderna uppkommer. En molekyl som rör sig i 3 dimensioner har 3 translationsfrihetsgrader: rörelse i x-, y-, och z-riktningarna. Härav följer att E transl. /N = k BT = 3 2 k BT (281) och därmed C v,transl. = 3 2 k B (282) Termofysik, Kai Nordlund
48 z symmetriaxel En diatomär molekyls orientering kan fastställas med hjälp av två vinkelvariabler som anger symmetriaxelns riktning. Rotation kring symmetriaxeln kan inte iakttas! Därigenom är två frihetsgrader associerade med rotationen: två vinkelrätt mot varandra och mot symmetriaxeln stående rotationsaxlar. y E rot /N = k BT = k B T (283) x och C v,rot = k B (284) vilket är konsistent med resultatet vi fick med explicit beräkning ovan. En polyatomär molekyl som inte har axialsymmetri har 3 rotationsfrihetsgrader och E rot /N = 3 2 k BT ; (285) Termofysik, Kai Nordlund C v,rot = 3 2 k B. (286) Vibrationsrörelse i en diatomär molekyl har två frihetsgrader: rörelsen sker blott i en riktning men den omfattar både kinetisk energi och potentialenergi. Härav följer att E vib /N = k BT = k B T (287) och att C vib = k B (288) Därmed får vi för en diatomär molekyls inre energi vid höga temperaturer E diat /N = 3 2 k BT + k B T + k B T = 7 2 k BT (289) vilket är konsistent med resultatet som härleddes i förra kapitlet! Polyatomära molekyler kan ha många olika vibrationsfrihetsgrader. Om det totala antalet rotations- Termofysik, Kai Nordlund
49 och vibrationsfrihetsgrader är f gäller att och därmed E polyat /N = 3 2 k BT + f k BT 2 = ( 3 + f 2 )k BT, (290) C v = 3 + f 2 k B, (291) C p = 3 + f 2 k B + k B = 5 + f 2 k B, (292) γ = c p c v = 5 + f 3 + f, (293) För monatomära gaser äf f = 0 och vi har det från tidigare bekanta resultatet γ monat = 5 3 = (294) För polyatomära molekyler ser man från ekv. 293 direkt att γ 1 då f (295) Termofysik, Kai Nordlund och därmed gäller alltid för idealgaser 5 3 > γ > 1 (296) Nedan är några experimentella värden: Molekyl γ = c p cv He Ne 1.64 Ar H O N CO Cl HS 1.3 H 2 O 1.32 NH CO Termofysik, Kai Nordlund
50 Ekvipartitionsteoremet förutspådde ju att γ diat : f = 4 (297) γ = = 9 7 = (298) Vi ser alltså att detta inte stämmer bra, det är först de triatomära molekylerna som har γ 1.3. Men från förra kapitlet vet vi orsaken: vibrationsfrihetsgraderna har ännu inte aktiverats vid rumstemperatur! Termofysik, Kai Nordlund Vad har du åtminstone lärt dig i detta kapitel? Du vet hur Boltzmanns distributionsfunktion leder till idealgasekvationen Du känner till. Maxwell-Boltzmanns distributionsfunktion både i 1D och 3D och för energier och hastigheter Du förstår ursprunget för barometerformeln Förstår hur man kan härleda idealgasens fria energi och Sackur-Tetrode-ekvationen Du kan räkna antalet interna frihetsgrader i polyatomära idealgaser Du kan härleda ekvipartititionsprincipen och förstås skillnaden mellan dess klassiska och kvantmekaniska version Termofysik, Kai Nordlund
V. Den klassiska idealgasen
V. Den klassiska idealgasen Viktiga målsättningar med detta kapitel Veta att Boltzmanns distributionsfunktion leder till idealgasekvationen Känna till. Maxwell-Boltzmanns distributionsfunktion... både
Läs merX. Repetitia mater studiorum
X. Repetitia mater studiorum Termofysik, Kai Nordlund 2012 1 X.1. Termofysikens roll Den statistiska fysikens eller mekanikens uppgift är att härleda de fysikaliska egenskaperna hos makroskopiska system
Läs merX. Repetitia mater studiorum
X. Repetitia mater studiorum X.2. Olika processer En reversibel process är en makroskopisk process som sker så långsamt i jämförelse med systemets interna relaxationstider τ att systemet i varje skede
Läs merX. Repetitia mater studiorum. Termofysik, Kai Nordlund
X. Repetitia mater studiorum Termofysik, Kai Nordlund 2006 1 X.1. Termofysikens roll Den statistiska fysikens eller mekanikens uppgift är att härleda de fysikaliska egenskaperna hos makroskopiska system
Läs merInnehållsförteckning. I. Introduktion och första grundlagen I.1. Överblick och motivation
Innehållsförteckning Notera: denna förteckning uppdateras under kursens lopp, men stora förändringar är inte att vänta. I. Introduktion och första grundlagen I.1. Överblick och motivation I.1.1. Vad behandlar
Läs mer21. Boltzmanngasens fria energi
21. Boltzmanngasens fia enegi Vi vill nu bestämma idealgasens fia enegi. F = Ω + µ; Ω = P V (1) = F = P V + µ (2) Fö idealgase gälle P V = k B T så: F = [k B T µ] (3) men å anda sidan vet vi fån föa kapitlet
Läs mer18. Fasjämvikt Tvåfasjämvikt T 1 = T 2, P 1 = P 2. (1)
18. Fasjämvikt Om ett makroskopiskt system består av flere homogena skilda komponenter, som är i termisk jämvikt med varandra, så kallas dessa komponenter faser. 18.0.1. Tvåfasjämvikt Jämvikt mellan två
Läs merVI. Reella gaser. Viktiga målsättningar med detta kapitel. VI.1. Reella gaser
I. Reella gaser iktiga målsättningar med detta kapitel eta vad virialutvecklingen och virialkoefficienterna är Kunna beräkna första termen i konfigurationsintegralen Känna till van der Waal s gasekvation
Läs merVI. Reella gaser. Viktiga målsättningar med detta kapitel
VI. Reella gaser Viktiga målsättningar med detta kapitel Veta vad virialutvecklingen och virialkoefficienterna är Kunna beräkna första termen i konfigurationsintegralen Känna till van der Waal s gasekvation
Läs merLösningar till tentamen i Kemisk termodynamik
Lösningar till tentamen i Kemisk termodynamik 2012-05-23 1. a Molekylerna i en ideal gas påverkar ej varandra, medan vi har ungefär samma växelverkningar mellan de olika molekylerna i en ideal blandning.
Läs merIdealgasens begränsningar märks bäst vid högt tryck då molekyler växelverkar mera eller går över i vätskeform.
Van der Waals gas Introduktion Idealgaslagen är praktisk i teorin men i praktiken är inga gaser idealgaser Den lättaste och vanligaste modellen för en reell gas är Van der Waals gas Van der Waals modell
Läs mer24. Ekvipartitionsprincipen. Termofysik, Kai Nordlund
24. Ekvipartitionsprincipen Termofysik, Kai Nordlund 2004 1 24.1. Härledning av ekvipartitionsprincipen Betrakta en frihetsgrad för vilken energin är en kvadratisk funktion av koordinaten som beskriver
Läs merLösningsanvisningar till tentamen i SI1161 Statistisk fysik, 6 hp, för F3 Onsdagen den 2 juni 2010 kl. 14.00-19.00
EOREISK FYSIK KH Lösningsanvisningar till tentamen i SI1161 Statistisk fysik, 6 hp, för F3 Onsdagen den juni 1 kl. 14. - 19. Examinator: Olle Edholm, tel. 5537 8168, epost oed(a)kth.se. Komplettering:
Läs merLösningar till tentamen i Kemisk termodynamik
Lösningar till tentamen i Kemisk termodynamik 204-08-30. a Vid dissociationen av I 2 åtgår energi för att bryta en bindning, dvs. reaktionen är endoterm H > 0. Samtidigt bildas två atomer ur en molekyl,
Läs merLösningar till tentamen i Kemisk termodynamik
Lösningar till tentamen i Kemisk termodynamik 203-0-9. Sambandet mellan tryck och temperatur för jämvikt mellan fast och gasformig HCN är givet enligt: ln(p/kpa) = 9, 489 4252, 4 medan kokpunktskurvan
Läs merFöreläsning 12: Ideal gas i klassiska gränsen med inre frihetsgrader, ekvipartitionsprincipen
Föreläsning 12: Ideal gas i klassiska gränsen med frihetsgrader, ekvipartitionsprincipen April 26, 2013, KoK kap. 6 Centrala ekvationer i statistisk mekanik Mikrokanonisk ensemble (U,,N konst):p s = 1/g,
Läs merExempel på statistisk fysik Svagt växelverkande partiklar
Exempel på statistisk fysik Svagt växelverkande partiklar I kapitlet om kinetisk gasteori behandlades en s k ideal gas där man antog att partiklarna inte växelverkade med varandra och dessutom var punktformiga.
Läs mer14. Sambandet mellan C V och C P
14. Sambandet mellan C V och C P Vi skriver tillståndsekvationen i de alternativa formerna V = V (P, T ) och S = S(T, V ) (1) och beräknar ds och dv genom att dela upp dem i partiella derivator ds = (
Läs merKapitel IV. Partikeltalet som termodynamisk variabel & faser
Kapitel IV Partikeltalet som termodynamisk variabel & faser Kemiska potentialen Kemiska potentialen I många system kan inte partikelantalet antas vara konstant så som vi hittills antagit Ett exempel är
Läs merTentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F3(FTF140)
Chalmers Tekniska Högskola Institutionen för Teknisk Fysik Mats Granath Tentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F3(FTF14) Tid och plats: Tisdag 13/1 9, kl. 8.3-1.3 i V-huset. Examinator: Mats
Läs merKap 4 energianalys av slutna system
Slutet system: energi men ej massa kan röra sig över systemgränsen. Exempel: kolvmotor med stängda ventiler 1 Volymändringsarbete (boundary work) Exempel: arbete med kolv W b = Fds = PAds = PdV 2 W b =
Läs merDavid Wessman, Lund, 29 oktober 2014 Statistisk Termodynamik - Kapitel 3. Sammanfattning av Gunnar Ohléns bok Statistisk Termodynamik.
Sammanfattning av Gunnar Ohléns bok Statistisk Termodynamik. 1 Entropi 1.1 Inledning Entropi införs med relationen: S = k ln(ω (1 Entropi har enheten J/K, samma som k som är Boltzmanns konstant. Ω är antalet
Läs merStudieanvisningar i statistisk fysik (SI1161) för F3
Studieanvisningar i statistisk fysik (SI1161) för F3 Olle Edholm September 15, 2010 1 Introduktion Denna studieanvisning är avsedd att användas tillsammans med boken och exempelsamlingen. Den är avsedd
Läs mer@
Kinetisk gasteori F = area tryck Newtons 2:a lag på impulsformen: dp/dt = F, där p=mv Impulsöverföringen till kolven när en molekyl reflekteras i kolvytan A är p=2mv x. De molekyler som når fram till ytan
Läs merTermodynamik och inledande statistisk fysik
Några grundbegrepp i kursen Termodynamik och inledande statistisk fysik I. INLEDNING Termodynamiken beskriver på en makroskopisk nivå processer där värme och/eller arbete tillförs eller extraheras från
Läs merTentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk fysik för F3
Chalmers Institutionen för Teknisk Fysik Göran Wahnström Tentamen i FTF4 Termodynamik och statistisk fysik för F3 Tid och plats: Onsdagen den /, kl 4.-8. i Maskin -salar. Hjälpmedel: Physics Handbook,
Läs merKapitel II. Termodynamikens statistiska bas
Kapitel II Termodynamikens statistiska bas Introduktion Termodynamik vs. Statistik mekanik En gas består av ett stort antal atomer Termodynamiken beskriver gasens jämviktstillståndet med ett fåtal tillståndsvariabler
Läs merBose-Einsteinkondensation. Lars Gislén, Malin Sjödahl, Patrik Sahlin
Bose-Einsteinkondensation Lars Gislén, Malin Sjödahl, Patrik Sahlin 3 mars, 009 Inledning Denna laboration går ut på att studera Bose-Einsteinkondensation för bosoner i en tredimensionell harmonisk-oscillatorpotential.
Läs merTentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F3(FTF140)
Chalmers Tekniska Högskola Institutionen för Teknisk Fysik Mats Granath Tentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F3(FTF40) Tid och plats: Tisdag 8/8 009, kl. 4.00-6.00 i V-huset. Examinator: Mats
Läs merKinetisk Gasteori. Daniel Johansson January 17, 2016
Kinetisk Gasteori Daniel Johansson January 17, 2016 I kursen har vi under två lektioner diskuterat kinetisk gasteori. I princip allt som sades på dessa lektioner sammanfattas i texten nedan. 1 Lektion
Läs mer7. Anharmoniska effekter
7. Anharmoniska effekter [HH 2.7, Kittel 5, (AM 25)] Hittills har sambandet mellan atomers växelverkningsmodellers komplexitet och de effekter de kan förklara fortskridit ungefär på följande sätt: Term
Läs mer7. Anharmoniska effekter
7. Anharmoniska effekter [HH 2.7, Kittel 5, (AM 25)] Hittills har sambandet mellan atomers växelverkningsmodellers komplexitet och de effekter de kan förklara fortskridit ungefär på följande sätt: Term
Läs mer7. Anharmoniska effekter
7. Anharmoniska effekter [HH 2.7, Kittel 5, (AM 25)] Hittills har sambandet mellan atomers växelverkningsmodellers komplexitet och de effekter de kan förklara fortskridit ungefär på följande sätt: Term
Läs merTvå system, bägge enskilt i termisk jämvikt med en tredje, är i jämvikt sinsemellan
Termodynamikens grundlagar Nollte grundlagen Termodynamikens 0:e grundlag Två system, bägge enskilt i termisk jämvikt med en tredje, är i jämvikt sinsemellan Temperatur Temperatur är ett mått på benägenheten
Läs mer7. Anharmoniska effekter
7. Anharmoniska effekter [HH 2.7, Kittel 5, (AM 25)] Hittills har sambandet mellan atomers växelverkningsmodellers komplexitet och de effekter de kan förklara fortskridit ungefär på följande sätt: Term
Läs mer7. Anharmoniska effekter
7. Anharmoniska effekter [HH 2.7, Kittel 5, (AM 25)] Hittills har sambandet mellan atomers växelverkningsmodellers komplexitet och de effekter de kan förklara fortskridit ungefär på följande sätt: Term
Läs merHjälpmedel: Det för kursen ociella formelbladet samt TeFyMa. 0 x < 0
LÖSNINGAR TILL Deltentamen i kvantformalism, atom och kärnfysik med tillämpningar för F3 9-1-15 Tid: kl 8.-1. (MA9A. Hjälpmedel: Det för kursen ociella formelbladet samt TeFyMa. Poäng: Vid varje uppgift
Läs merRepetition F8. Lunds universitet / Naturvetenskapliga fakulteten / Kemiska institutionen / KEMA00
Repetition F8 System (isolerat, slutet, öppet) Första huvudsatsen U = 0 i isolerat system U = q + w i slutet system Tryck-volymarbete w = -P ex V vid konstant yttre tryck w = 0 vid expansion mot vakuum
Läs merViktiga målsättningar med detta delkapitel
Viktiga målsättningar med detta delkapitel Känna till begreppen ytenergi och ytspänning Förstå den stora rollen av ytor för nanomaterials egenskap Känna till storleksberoendet av nanopartiklars smältpunkt
Läs merFöreläsning 1. Elektronen som partikel (kap 2)
Föreläsning 1 Elektronen som partikel (kap 2) valenselektroner i metaller som ideal gas ström från elektriskt fält mikroskopisk syn på resistans, Ohms lag diffusionsström Vår första modell valenselektroner
Läs mer10. Den semiklassiska modellen för elektrondynamik
10. Den semiklassiska modellen för elektrondynamik [AM12, HH 4.4] När man känner igen materials bandstruktur i detalj, kanman använda denna kunskap till att korrigera bristerna i Sommerfeld-modellen för
Läs mer10. Den semiklassiska modellen för elektrondynamik
10. Den semiklassiska modellen för elektrondynamik [AM12, HH 4.4] När man känner igen materials bandstruktur i detalj, kan man använda denna kunskap till att korrigera bristerna i Sommerfeld-modellen för
Läs merKapitel III. Klassisk Termodynamik in action
Kapitel III Klassisk Termodynamik in action Termodynamikens andra grundlag Observation: värme flödar alltid från en varm kropp till en kall, och den motsatta processen sker aldrig spontant (kräver arbete!)
Läs merÖvningstentamen i KFK080 för B
Övningstentamen i KFK080 för B 100922 Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare (med tillhörande handbok), utdelat formelblad med tabellsamling. Slutsatser skall motiveras och beräkningar redovisas. För godkänt
Läs merMateriens Struktur. Lösningar
Materiens Struktur Räkneövning 3 Lösningar 1. Studera och begrunda den teoretiska förklaringen till supralednigen så, att du kan föra en diskussion om denna på övningen. Skriv även ner huvudpunkterna som
Läs merTermodynamiska potentialer Hösten Assistent: Frans Graeffe
Räkneövning 3 Termodynamiska potentialer Hösten 206 Assistent: Frans Graeffe (03-) Concepts in Thermal Physics 2.6 (6 poäng) Visa att enpartielpartitionsfunktionen Z för en gas av väteatomer är approximativt
Läs merTENTAMEN I KVANTFYSIK del 1 (5A1324 och 5A1450) samt KVANTMEKANIK (5A1320) med SVAR och LÖSNINGSANVISNINGAR Tisdagen den 5 juni 2007
TENTAMEN I KVANTFYSIK del (5A4 och 5A45) samt KVANTMEKANIK (5A) med SVAR och LÖSNINGSANVISNINGAR Tisdagen den 5 juni 7 HJÄLPMEDEL: Formelsamling i Fysik (teoretisk fysik KTH), matematiska tabeller, dock
Läs merTentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk mekanik för F3
Chalmers Institutionen för Teknisk Fysik Göran Wahnström Tentamen i FTF14 Termodynamik och statistisk mekanik för F3 Tid och plats: Tisdag 25 aug 215, kl 8.3-13.3 i V -salar. Hjälpmedel: Physics Handbook,
Läs mer14. Sambandet mellan C V och C P
14. Sambandet mellan C V och C P Vi skriver tillståndsekvationen i de alternativa formerna V = V (P, T ) och S = S(T, V ) (1) och beräknar ds och dv genom att dela upp dem i partiella derivator ds = (
Läs mer29. Stimulerad och spontan emission
29. Stimulerad och spontan emission [Främst ur Alonso-Finn III sid 532] Vi betraktar nu ett system av atomer med två energinivåer E 1 och E 2 (> E 1 ) och ett omgivande fotonsystem med energin ω = hν =
Läs mer9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets
9. Magnetisk energi [RMC] Elektrodynamik, ht 005, Krister Henriksson 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets
Läs merTentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk fysik för F3
Chalmers Institutionen för Teknisk Fysik Göran Wahnström Tentamen i FTF4 Termodynamik och statistisk fysik för F3 Tid och plats: Tisdag aug, kl 8.3-.3 i Väg och vatten -salar. Hjälpmedel: Physics Handbook,
Läs mer4-1 Hur lyder Schrödingerekvationen för en partikel som rör sig i det tredimensionella
KVANTMEKANIKFRÅGOR Griffiths, Kapitel 4-6 Tanken med dessa frågor är att de ska belysa de centrala delarna av kursen och tjäna som kunskapskontroll och repetition. Kapitelreferenserna är till Griffiths.
Läs mer9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets
9. Magnetisk energi [RM] Elektrodynamik, vt 013, Kai Nordlund 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets anod
Läs mer9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1
9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets
Läs merTentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F3(FTF140)
Chalmers Tekniska Högskola Institutionen för Teknisk Fysik Mats Granath Tentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F(FTF40) Tid och plats: Torsdag /8 008, kl. 4.00-8.00 i V-huset. Examinator: Mats
Läs merKvantfysik SI1151 för F3 Tisdag kl
TEORETISK FYSIK KTH Kvantfysik SI5 för F3 Tisdag 3008 kl. 8.00-3.00 Skriv på varje sida Namn och problemnummer Motivera noga Otillräckliga motiveringar leder till poängavdrag Hjälpmedel Teoretisk fysiks
Läs merTFYA16: Tenta Svar och anvisningar
150821 TFYA16 1 TFYA16: Tenta 150821 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Sträckan fås genom integration: x = 1 0 sin π 2 t dt m = 2 π [ cos π 2 t ] 1 0 m = 2 π m = 0,64 m Svar: 0,64 m b) Vi antar att loket
Läs merAndra föreläsningen kapitel 7. Patrik Lundström
Andra föreläsningen kapitel 7 Patrik Lundström Kvantisering i klassisk fysik: Uppkomst av heltalskvanttal För att en stående våg i en ring inte ska släcka ut sig själv krävs att den är tillbaka som den
Läs merGÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin 2
GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin Tid: Plats: Ansvarig: Hjälpmedel: Tisdag juni 009, kl 8 30 13 30 V-huset Lennart Sjögren,
Läs merTentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk mekanik för F3
Chalmers Institutionen för Teknisk Fysik Göran Wahnström Tentamen i FTF14 Termodynamik och statistisk mekanik för F3 Tid och plats: Onsdag 15 jan 14, kl 8.3-13.3 i Maskin -salar. Hjälpmedel: Physics Handbook,
Läs merMilstolpar i tidig kvantmekanik
Den klassiska mekanikens begränsningar Speciell relativitetsteori Höga hastigheter Klassisk mekanik Kvantmekanik Små massor Små energier Stark gravitation Allmän relativitetsteori Milstolpar i tidig kvantmekanik
Läs merKapitel 17. Spontanitet, Entropi, och Fri Energi
Kapitel 17 Spontanitet, Entropi, och Fri Energi Kapitel 17 Innehåll 17.1 Spontana processer och entropi 17.2 Entropi och termodynamiskens andra lag 17.3 Temperaturens inverkan på spontaniteten 17.4 Fri
Läs meroch/eller låga temperaturer bildar de vätskor, nåt som inte händer för Dieterici-modellen, och virialexpansionen.
9. Realgaser ermodynamiska potentialer (ermo 2): Krister Henriksson 9. 9.. Introduktion Realgaser uppvisar beteende som idealgasen saknar. Speciellt vid höga tryck och/eller låga temperaturer bildar de
Läs merKvantmekanik och kemisk bindning I 1KB501
Kvantmekanik och kemisk bindning I 1KB501 TENTAMEN, 013-06-05, 8.00-13.00 Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare, bifogade formelsamlingar. Börja på nytt blad för varje nytt problem, och skriv din kod på varje
Läs meruniversity-logo Mekanik Repetition CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 1 / 11
Mekanik Repetition CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 2010 03 18 1 / 11 Översikt Friläggning Newtons 2:a lag i tre situationer jämvikt partiklar stela kroppars plana rörelse Energilagen Rörelsemängd
Läs merStatistisk Termodynamik
Statistisk Termodynamik Jens Fjelstad, Marcus Berg 13 oktober 2011 Dessa anteckningar är ämnade att användas som kurslitteratur för kursdelen statistisk termodynamik i kursen EMGA70. För att göra tentauppgifterna
Läs merRepetion. Jonas Björnsson. 1. Lyft ut den/de intressanta kopp/kropparna från den verkliga världen
Repetion Jonas Björnsson Sammanfattning Detta är en kort sammanfattning av kursen Mekanik. Friläggning Friläggning består kortfattat av följande moment 1. Lyft ut den/de intressanta kopp/kropparna från
Läs merBFL122/BFL111 Fysik för Tekniskt/ Naturvetenskapligt Basår/ Bastermin Föreläsning 7 Kvantfysik, Atom-, Molekyl- och Fasta Tillståndets Fysik
Föreläsning 7 Kvantfysik 2 Partiklars vågegenskaper Som kunnat konstateras uppträder elektromagnetisk strålning ljus som en dubbelnatur, ibland behöver man beskriva ljus som vågrörelser och ibland är det
Läs merKapitel 17. Spontanitet, Entropi, och Fri Energi. Spontanitet Entropi Fri energi Jämvikt
Spontanitet, Entropi, och Fri Energi 17.1 17.2 Entropi och termodynamiskens andra lag 17.3 Temperaturens inverkan på spontaniteten 17.4 17.5 17.6 och kemiska reaktioner 17.7 och inverkan av tryck 17.8
Läs merTermodynamik Föreläsning 4
Termodynamik Föreläsning 4 Ideala Gaser & Värmekapacitet Jens Fjelstad 2010 09 08 1 / 14 Innehåll Ideala gaser och värmekapacitet TFS 2:a upplagan (Çengel & Turner) 3.6 3.11 TFS 3:e upplagan (Çengel, Turner
Läs merMekanik I Newtonsk mekanik beskrivs rörelsen för en partikel under inverkan av en kraft av
Mekanik 2 Live-L A TEX:ad av Anton Mårtensson 2012-05-08 I Newtonsk mekanik beskrivs rörelsen för en partikel under inverkan av en kraft av ṗ = m r = F Detta är ett postulat och grundläggande för all Newtonsk
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs merKvantmekanik - Gillis Carlsson
Kvantmekanik - Föreläsning 1 Gillis Carlsson gillis.carlsson@matfys.lth.se LP2 Föreläsningarna i kvantmekanik LP1 V1): Repetition av kvant-nano kursen. Sid 5-84 V2 : V3 : Formalism (I). Sid 109-124, 128-131,
Läs merF2: Kvantmekanikens ursprung
F2: Kvantmekanikens ursprung Koncept som behandlas: Energins kvantisering Svartkroppsstrålning Värmekapacitet Spektroskopi Partikel-våg dualiteten Elektromagnetisk strålning som partiklar Elektroner som
Läs merNFYA02: Svar och lösningar till tentamen 140115 Del A Till dessa uppgifter behöver endast svar anges.
1 NFYA: Svar och lösningar till tentamen 14115 Del A Till dessa uppgifter behöver endast svar anges. Uppgift 1 a) Vi utnyttjar att: l Cx dx = C 3 l3 = M, och ser att C = 3M/l 3. Dimensionen blir alltså
Läs merVågrörelselära och optik
Vågrörelselära och optik Kapitel 14 Harmonisk oscillator 1 Vågrörelselära och optik 2 Vågrörelselära och optik Kurslitteratur: University Physics by Young & Friedman (14th edition) Harmonisk oscillator:
Läs merRepetition F4. Lunds universitet / Naturvetenskapliga fakulteten / Kemiska institutionen / KEMA00
Repetition F4 VSEPR-modellen elektronarrangemang och geometrisk form Polära (dipoler) och opolära molekyler Valensbindningsteori σ-binding och π-bindning hybridisering Molekylorbitalteori F6 Gaser Materien
Läs merVIII. Fermi-Dirac-statistik
VIII. Fermi-Dirac-statistik Viktiga målsättningar med detta kapitel Kunna härleda Feri-Dirax-distributionen och känna till dess fysikaliska innebörd Känna till begreppet degenererat Fermisystem, termodynamiskt
Läs merKEMISK TERMODYNAMIK. Lab 1, Datorlaboration APRIL 10, 2016
KEMISK TERMODYNAMIK Lab 1, Datorlaboration APRIL 10, 2016 ALEXANDER TIVED 9405108813 Q2 ALEXANDER.TIVED@GMAIL.COM WILLIAM SJÖSTRÖM Q2 DKW.SJOSTROM@GMAIL.COM Innehållsförteckning Inledning... 2 Teori, bakgrund
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004
KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje
Läs merAndra EP-laborationen
Andra EP-laborationen Christian von Schultz Magnus Goffeng 005 11 0 Sammanfattning I denna rapport undersöker vi perioden för en roterande skiva. Vi kommer fram till, både genom en kraftanalys och med
Läs merFYTA11: Molekylvibrationer
FYTA: Molekylvibrationer Daniel Nilsson 2/ 202 Introduktion Övningens syfte var att undersöka normalmoderna hos molekyler, i synnerhet vattenmolekyler, och studera dessas variation beroende på olika parametrar.
Läs merx ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF160, Differential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 0 maj 2012, 8.00-1.00 Förslag till lösningar 1. Bestäm tangentplanet
Läs merLösningsförslag envariabelanalys
Lösningsförslag envariabelanalys 09-06-05. Ekvationen är linjär och har det karakteristiska polynomet pr) = r 4 + r 3 + 5r = r r + r + 5) = r r + i)r + + i). Således ges lösningarna till den homogena ekvationen
Läs merF3: Schrödingers ekvationer
F3: Schrödingers ekvationer Backgrund Vi behöver en ny matematik för att beskriva elektroner, atomer och molekyler! Den nya fysiken skall klara av att beskriva: Experiment visar att för bundna system så
Läs merLite fakta om proteinmodeller, som deltar mycket i den här tentamen
Skriftlig deltentamen, FYTA12 Statistisk fysik, 6hp, 28 Februari 2012, kl 10.15 15.15. Tillåtna hjälpmedel: Ett a4 anteckningsblad, skrivdon. Totalt 30 poäng. För godkänt: 15 poäng. För väl godkänt: 24
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 10 hp STS, X 010-10-7 Genomgånget på föreläsningarna 11-15. Föreläsning 11, 4/11 010: Här kommer vi in i kapitel 4, som handlar om
Läs merTFYA16: Tenta Svar och anvisningar
180111 TFYA16 1 TFYA16: Tenta 180111 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Svar: 89 cm x = 0 t 3 dt = [ t 3 9 ] 0 = 8 m 89 cm 9 b) Om vi betecknar tågets (T) hastighet relativt marken med v T J, så kan vi
Läs merStelkroppsmekanik partiklar med fixa positioner relativt varandra
Stelkroppsmekanik partiklar med fixa positioner relativt varandra Rörelse relativt mass centrum Allmänt partikelsystem Stel kropp translation + rotation (cirkelrörelse) För att kunna beskriva och förstå
Läs merInstuderingsfrågor, Griffiths kapitel 4 7
Joakim Edsjö 15 oktober 2007 Fysikum, Stockholms Universitet Tel.: 08-55 37 87 26 E-post: edsjo@physto.se Instuderingsfrågor, Griffiths kapitel 4 7 Teoretisk Kvantmekanik II HT 2007 Tanken med dessa frågor
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F. Tentamen fredag 25 maj 27, 8.-3. Förslag till lösningar (ändrat 28/5-7, 29/5-7).
Läs merTentamen Fysikaliska principer
Institutionen för fysik, kemi och biologi (IFM) Marcus Ekholm NFYA/TEN1: Fysikaliska principer och nanovetenskaplig introduktion Tentamen Fysikaliska principer 15 januari 16 8: 1: Tentamen består av två
Läs mer1 x. SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 26-3-2 DEL A. Låt D vara fyrhörningen med hörn i punkterna, ), 6, ),, 5) och 4, 5). a) Skissera fyrhörningen D och beräkna dess area. p) b) Bestäm
Läs merRelativistisk kinematik Ulf Torkelsson. 1 Relativistisk rörelsemängd, kraft och energi
Föreläsning 13/5 Relativistisk kinematik Ulf Torkelsson 1 Relativistisk rörelsemängd, kraft och energi Antag att en observatör O följer med en kropp i rörelse. Enligt observatören O så har O hastigheten
Läs merKapitel I. Introduktion och första grundlagen
Kapitel I Introduktion och första grundlagen Introduktion Vad är Termofysik? Termofysiken handlar om att studera system bestående av ett stort antal partiklar (atomer, molekyler,...) i vilka temperaturen
Läs merMer om generaliserad integral
Föreläsning XI Mer om generaliserad integral Ex 64: Givet h(x) = ( x 2 5x + 2 ) e x/2. (a) Bestäm en p.f. till h(x). (b) Beräkna h(x)dx. (a) Vi har här en integrand som är en produkt av ett polynom av
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520)
Tentamen Mekanik F del (FFM51 och 50 Tid och plats: Lösningsskiss: Fredagen den 17 januari 014 klockan 08.30-1.30. Christian Forssén Obligatorisk del 1. Endast kortfattade lösningar redovisas. Se avsnitt
Läs merKonc. i början 0.1M 0 0. Ändring -x +x +x. Konc. i jämvikt 0,10-x +x +x
Lösning till tentamen 2013-02-28 för Grundläggande kemi 10 hp Sid 1(5) 1. CH 3 COO - (aq) + H 2 O (l) CH 3 COOH ( (aq) + OH - (aq) Konc. i början 0.1M 0 0 Ändring -x +x +x Konc. i jämvikt 0,10-x +x +x
Läs mer9. Termodynamiska potentialer
9. Termodynamiska potentialer Enligt den andra grundlagen i differentialform gäller för reversibla processer Energin är en funktion av S och V de = T ds P dv (1) de = 0 för isochoriska processer (dv =
Läs mer