avancerad mikroekonomisk teori

Transkript

1 Nationalekonomi Institutionen för ekonomisk och industriell utveckling INKÖPINGS UNIVERSITET Tentamenssamling med lösningsförslag för ugifter å avancerad mikroekonomisk teori Thomas Sonesson

2 Observera att tentorna 006 augusti 00 inte omfattar välfärdsteorin. Mikroekonomisk teori ingick då som en del av en större kurs, därav begränsningen till (oftast) två till tre ugifter å dessa tentor. För några få ugifter fattas lösningsförslag eftersom dessa även används som lektionsugifter. ösningar till dessa ugifter erhålls i anslutning till aktuell lektion. Mars 006 Ugift (0) En konsument har nttofunktionen u = där och visar konsumtionen av två varor. a) 4) Bestäm Marshallian demand functions för de två varorna. Bestäm därefter den indirekta nttofunktionen b) 3) Bestäm Hicksian demand functions för de två varorna. Bestäm därefter utgiftsfunktionen c),5) Mellan utgiftsfunktionen och den indirekta nttofunktionen finns ett samband. Visa detta samband! d),5) Illustrera slutligen Shehards lemma. Ugift (0) En marknad med fullständig konkurrens befinner sig i långsiktig jämvikt. Marknaden kännetecknas av eternal ecuniar effects. Varan roduceras dels med hjäl av inuts, som går att variera å kort sikt och inuts som det tar en tidseriod att förändra till önskad storlek. Förklara hur marknaden åverkas å kort och lång sikt om staten i början av eriod inför en skatt er roducerad enhet av varan, utan att information om detta läckt ut i förväg. Analsen skall utföras under nedanstående två förutsättningar: företagen har naiva förväntningar företagen har rationella förväntningar Maj 006 Ugift (0) Ett företags roduktionsfunktion visas av två inuts. =, där och anger kvantiteten av a) 4) Bestäm företagets efterfrågan å inuts som funktioner av outut,, och riserna å inuts, och. Bestäm därefter företagets kostnadsfunktion å lång sikt,

3 C = C(,, ). Bestäm slutligen MC, den långsiktiga marginalkostnaden som en funktion av samma variabler. b) ) Bestäm kostnadselasticiteten med avseende å outut, E. 0 c) 4) Antag att företaget har en given mängd av inut, så att = 5. Bestäm företagets kostnadsfunktion å kort sikt S = S(, ). Bestäm även SMC, den kortsiktiga marginalkostnaden. Illustrera grafiskt (för givna riser) med outut å -aeln hur SMC och MC i detta eemel beror å, samt hur de förhåller sig till varandra. Kan man från grafen säga något om hur AC (den långsiktiga genomsnittskostnaden) och SAC (den kortsiktiga genomsnittskostnaden) förhåller sig till varandra? Förklara! c Ugift (0) Ugiften behandlar ett intertemoralt resursfördelningsroblem, med följande förutsättningar: Två tidserioder, 0 och. Given ränta = r Individens inkomst i varje eriod är given ( M, M ) 0 Preferenserna beskrivs av en nttofunktion u ( M 0, M), där ( M 0, M ) visar konsumtionen i de två erioderna. Marginalnttan av konsumtion är strikt ositiv i båda erioderna. Ugift: Analsera under vilka omständigheter en räntesänkning skulle kunna innebära att en individ ökar sitt nettosarande i eriod 0 (sarar mer eller lånar mindre). Behandla de två terna av individer (den som i utgångsläget sarar i eriod 0 och den som i utgångsläget lånar i eriod 0) var för sig. Grafisk anals är ett krav. Augusti 006 Ugift () En konsument har nttofunktionen u = där och visar konsumtionen av två varor. Konsumenten har inkomsten 0:-. Priset å vara är 0:- och riset å vara är 5:-. a) ) ös konsumentens nttomaimeringsroblem. b) 5) Antag att riset å vara sjunker till 5:-. Bestäm CV-beloet (CV = Comensating Variation). Illustrera grafiskt. Är beloet större eller mindre än konsumentöverskottet beräknat från en Marshallian demand function? Förklara! c) 5) Antag som i ugift b att riset å vara sjunker till 5:-. Bestäm EV-beloet (EV = Equivalent Variation). Illustrera grafiskt. Är beloet större eller mindre än konsumentöverskottet beräknat från en Marshallian demand function? Förklara! 3

4 Kommentar: Om du har roblem med den matematiska lösningen av CV- och EV-beloen så gör en så fullständig skriftlig och grafisk lösning som möjligt. Eventuellt kan du dessutom då även uskatta storleksordningen å beloen! Ugift (8) Denna ugift gäller hur en marknad beter sig utanför jämvikt i en artiell modell. Beskriv förutsättningar och resultat för Walras tâtonnementrocess, Marshalls rocess, samt Cob-web modellen (sindelvävsmodellen). Diskutera särskilt den viktiga frågan om stabilitet. Oktober 006 Ugift (8) För ett monoolföretag gäller följande. Företaget roducerar sin vara med hjäl av två roduktionsfaktorer, varav den ena är rörlig å kort sikt (under innevarande eriod) och båda är rörliga å lång sikt (mellan två erioder). Företagets roduktionsfunktion är homogen och skalelasticiteten är mindre än. Det ris företaget kan sälja sin vara till beror å hur mcket man roducerar och säljer. Sambandet antas vara linjärt, d.v.s. = a b där anger riset och den utbjudna kvantiteten. I eriod 0 befinner sig det vinstmaimerande företaget i långsiktig jämvikt. I eriod inträffar en oväntad efterfrågeökning, innebärande att det ris företaget kan sälja en given kvantitet till stiger med c kronor, d.v.s. = ( a + c) b. a) 4) Förklara hur den oväntade efterfrågeökningen åverkar företagets val av ris och kvantitet å kort sikt, d.v.s. under eriod. b) 4) Antag att företaget gör rognosen att efterfrågan kommer att ligga kvar å den na och högre nivån även under eriod. Förklara företagets val av ris och kvantitet under eriod under nedanstående två förutsättningar: Förutsättning : Företagets rognos beträffande efterfrågan visar sig vara riktig. Förutsättning : Företagets rognos beträffande efterfrågan visar sig vara felaktig. I själva verket återgår efterfrågan eriod till den nivå som rådde i utgångsläget, d.v.s. under eriod 0. Utförliga grafiska illustrationer krävs! Ugift (8) * 0, 0,8 En konsument har den indirekta nttofunktionen U ( P, P, M ) MP P, där M betecknar inkomst och P och P betecknar riserna för de två varor X och Y som konsumenten konsumerar. 4

5 a) ) Bestäm konsumentens utgiftsfunktion, (eenditure function). b),5) Bestäm Hicksian constant utilit demand function för vara X med hjäl av Shehards lemma. c),5) Bestäm Marshallian demand function för vara X med hjäl av Ro s identit. d) 4 ) Antag nu att M 000, P 0 samt P 0. Nu sänks P till 50. Beräkna CV (comensating variation) och EV (equivalent variation) för rissänkningen. Samtliga beräkningar skall förklaras! November 006 Ugift (0) Bakgrund: När riset å en vara förändras kan den förändring av efterfrågad kvantitet som blir resultatet delas in i en substitutions- och en inkomsteffekt. Slutsk och Hicks gör den inledningen efter något olika rincier. Utgå ifrån en individ som konsumerar två varor, och. Antag att riset å blir dubbelt så högt, d.v.s. stiger från 0 och 0. Visa grafiskt totaleffekten å efterfrågad kvantitet av udelad å inkomst- och substitutionseffekt, dels enligt Slutsk, dels enligt Hicks, om vi vet att är en inferior vara, men samtidigt inte är en Giffenvara, d.v.s. efterfrågans riselasticitet är negativ. Förklara! Illustrera också grafiskt utseendet å Hicksian demand curve, Slutsk demand curve och Marshallian demand curve i risintervallet mellan 0 och 0. Klargör tdligt kolingen mellan grafen ovan och denna graf. Förklara! Mars 007 Ugift (8) En individ fördelar sin inkomst å kö av två varor, X och Y. Antag att riset å vara X sjunker från P X0 till P X. Det visar sig att individen vid det na riset konsumerar eakt lika mcket av vara X som vid det ursrungliga riset. Dessa förutsättningar gäller vid båda delugifterna nedan. a) 5) Illustrera situationen grafiskt och visa substitutionseffekten och inkomsteffekten, dels enligt Hicks definition, dels enligt Slutsks definition. Beskriv också grafiskt utseendet å de tre efterfrågekurvor i risintervallet P X0 till P X som är aktuella, d.v.s. Marshallian demand curve, Hicks demand curve och Slutsk demand curve. b) 3) Definiera begreen CV (comensating variation) och EV (equivalent variation), samt illustrera dem grafiskt i det aktuella eemlet, i en figur med varorna X och Y å alarna. 5

6 Ugift () a) 3) Ett företag använder två inuts i roduktionen av en vara. Sambandet mellan mängden inuts ( resektive ) och mängden av den färdiga varan ().beskrivs av en generell roduktionsfunktion = f (, ). Företaget köer sina inuts till de givna riserna resektive. Förklara hur man går tillväga för att i det generella fallet härleda företagets långsiktiga totalkostnadsfunktion C (,, ). Förklara också innebörden av Shehard s lemma i detta fall. 0,4 0,4 b) 4) Nu antar vi att företagets roduktionsfunktion är känd och lika med =. Bestäm företagets långsiktiga totalkostnad, långsiktiga marginalkostnad och långsiktiga genomsnittskostnad som funktioner av riserna å inuts samt roduktionens storlek, d.v.s. C (,, ), MC (,, ) samt AC (,, ). Illustrera även Shehards lemma för och. (Om du inte lckas lösa ugiften för generella riser för inuts, så lös ugiften givet att = 4 och =6. Du får då C, MC samt AC som funktioner enbart av, d.v.s. C (), MC () samt AC (). Ett sådant rätt svar ger dig då maimalt och du kan då också lösa ugiften c) nedan. Observera dock att du då inte har någon möjlighet att visa Shehards lemma) c) 5) I denna del av ugiften antas riserna å inuts vara givna som = 4 och = 6. Bestäm först uttrck för MC och AC som funktioner av från svaret i b-ugiften. Antag vidare att företaget kortsiktigt har en given mängd av inut så att = 6. Bestäm företagets kortsiktiga totalkostnad S (), kortsiktiga marginalkostnad SMC() och kortsiktiga genomsnittskostnad SAC (), d.v.s. som funktioner av roduktionens storlek. Illustrera MC, AC, SMC samt SAC grafiskt i stora drag! Om du inte lckas lösa ugiften matematiskt så kanske du ändå kan säga en del om kurvornas utseende, givet den aktuella roduktionsfunktionen. Maj 007 Ugift (8) åt studenter stå för en gru människor som har låg inkomst idag och hög inkomst i morgon, medan 60-åringar står för en gru människor som har hög inkomst i dag och låg inkomst i morgon. Alla andra människoter bortser vi ifrån. I utgångsläget (vid gällande ränta) lånar studenterna recis lika mcket som 60-åringarna sarar. Antag att räntan stiger. Märkligt nog gäller även vid denna högre ränta att studenterna lånar recis lika mcket som 60-åringarna sarar. Förklara detta genom att utgå ifrån en lämlig modell från kurslitteraturen, inklusive de antaganden som görs i modellen. Kola till begreen substitutionseffekt och inkomsteffekt och illustrera grafiskt! 6

7 Ugift () Ett företag använder två inuts i roduktionen av en vara. Sambandet mellan mängden inuts ( resektive ) och mängden av den färdiga varan ().beskrivs av roduktionsfunktionen n = där n är ett tal > 0. a) 3) Produktionsfunktionen ovan är eemel å en homogen roduktionsfunktion. Visa av vilken grad den är homogen. Visa också av vilken grad marginalrodukterna är homogena. b) 3) Definiera begreen skalelasticitet och kostnadselasticitet, samt bestäm (utan att visa härledningen/utföra några beräkningar) storleken å skalelasticitet och kostnadselasticitet i detta fall. Förklara också vad detta innebär för utseendet å företagets långsiktiga kostnadskurvor (MC resektive AC), var för sig och i förhållande till varandra. c) 6) Härled företagets efterfrågan å och som funktioner av,, samt n. Förklara vad resultaten innebär för företagets eansionsväg (eansion ath). Visa även att den andel av företagets totala kostnader som är kostnader för resektive helt och hållet bestäms av n, d.v.s. är oberoende av storleken å, och Om du inte kan lösa delugift c) för godtckliga värden för n, så lös den för n =. En sådan lösning kan ge maimalt 4 å denna delugift. Augusti 007 Ugift (0) För ett monoolföretag gäller följande. Företaget roducerar sin vara med hjäl av två roduktionsfaktorer, varav den ena är rörlig å kort sikt (under innevarande eriod) och båda är rörliga å lång sikt (mellan två erioder). Företagets roduktionsfunktion är homogen och skalelasticiteten är eakt lika med. Det ris företaget kan sälja sin vara till beror å hur mcket man roducerar och säljer. Sambandet antas vara linjärt, d.v.s. = a b där anger riset och den utbjudna kvantiteten. I eriod 0 befinner sig det vinstmaimerande företaget i långsiktig jämvikt. I eriod inträffar en oväntad efterfrågeminskning, innebärande att vid varje ris sjunker den efterfrågade kvantiteten av varan med 50%. a) 5) Förklara hur den oväntade efterfrågeminskningen åverkar företagets val av ris och kvantitet å kort sikt, d.v.s. under eriod. b) 5) Antag att företaget gör rognosen att efterfrågan kommer att ligga kvar å den na och lägre nivån även under eriod. Förklara företagets val av ris och kvantitet under eriod under nedanstående två förutsättningar: Förutsättning : Företagets rognos beträffande efterfrågan visar sig vara riktig. Förutsättning : Företagets rognos beträffande efterfrågan visar sig vara felaktig. I själva verket återgår efterfrågan eriod till den nivå som rådde i utgångsläget, d.v.s. under eriod 0. Utförliga grafiska illustrationer krävs! 7

8 Ugift (0 ) En konsument har nttofunktionen u = där och visar konsumtionen av två varor. a) 6) Bestäm Marshallian demand functions för de två varorna. Bestäm därefter den indirekta nttofunktionen. Förklara härledningen! b) 4) Antag att = 9, = samt M 00. Nu sänks riset å till 4. Beräkna CVbeloet för denna rissänkning. Förklara tillvägagångssättet. Mars 008 Ugift ( ) En konsument har nttofunktionen U =, där och reresenterar konsumtionen av två varor. Konsumenten har en inkomst å 00:- och de ursrungliga riserna är P 0 :, P :. X = Y Antag att riset å vara ökar till 0:-. a) ) Bestäm konsumentens ursrungliga konsumtion (före risökningen) av de båda varorna. b) 4) Bestäm CV-beloet och illustrera grafiskt! c) 5) När riset för å vara stiger från 0:- till 0:- förändras den faktiskt konsumerade kvantiteten av vara. Dela u förändringen i konsumerad kvantitet av vara i en inkomsteffekt och en substitutionseffekt, dels enligt den definition som Hicks gör, dels enligt Slutsk s definition. Illustrera de båda effekterna grafiskt, med aktuella värden markerade. Påeka särskilt i vilket fall substitutionseffekten blir störst. Samtliga beräkningar skall motiveras och redovisas. Ugift (4 ) Ett företag roducerar en vara i kvantiteten, med hjäl av två roduktionsfaktorer, vars kvantiteter mäts som och. Företaget roducerar en given kvantitet till så låg kostnad som möjligt och givet detta antas företagets långsiktiga kostnadsfunktion vara 0,4 0,6 C (,, ), där och står för riset å resektive roduktionsfaktor. Bestäm genom att utgå ifrån kostnadsfunktionen: a) ) Företagets val av och som funktioner av, och. Diskutera om resultaten är förenliga med ekonomisk teori! b) ) Företagets utbud å lång sikt av den vara man roducerar, d.v.s. val av, som en funktion av, och. I ugiften antas således företaget sälja sin vara å en marknad med fullständig konkurrens till marknadsriset. Diskutera om resultatet är förenligt med ekonomisk teori. 8

9 Ugift 3 (5 ) En vara roduceras av ett stort antal företag å en marknad. Företagen har identisk roduktionsteknologi men det råder ecuniar eternal diseconomies. Varan roduceras dels med hjäl av inuts som går att variera å kort sikt och inuts som det tar en tidseriod att förändra till den storlek företaget önskar. Under tidseriod 0 befinner sig marknaden i långsiktig jämvikt. I tidseriod inträffar en för alla helt oväntad minskning av efterfrågan. I tidseriod återgår, likaledes helt oväntat av alla, efterfrågan till ursrunglig nivå, och förblir där för all framtid. Ugiften består av att skriftligt och grafiskt förklara vad som händer å marknaden år -3 givet att vi antar att företagen har vad i kursboken beskrivs som naiva förväntningar. Maj 008 Ugift (7 ) Antag att man i ett land roducerar olja och övriga varor i kvantiteter som i ugiften genomgående antas vara givna. Man bter sedan varorna med omvärlden till gällande världsmarknadsriser, vilket för vårt land innebär att man eorterar olja och imorterar övriga varor. Använd en lämlig modell ur kurslitteraturen för att analsera effekten av att världsmarknadsriset å olja stiger och besvara i analsen de tre frågor som nämns sist i ugiften. Förklara modellens förutsättningar. Utgå ifrån att landets referenser kan beskrivas med en given nttofunktion, med de egenskaer som man i kurslitteraturen ger en enskild konsuments nttofunktion. Såväl olja som övriga varor är normala varor. Dela u effekten av risökningen å olja i en substitutionseffekt och en inkomsteffekt. Grafisk lösning är ett krav! Kommer en risökning å olja att innebära att landet ökar sin eort av olja? Kommer en risökning å olja att innebära att landet ökar sin imort av övriga varor? Kommer en risökning å olja att innebära att landet ökar sin välfärd? Ugift (7 ) Antag att en konsuments referenser för de två eisterande varorna och kan beskrivas med nttofunktionen U = a b, där a och b är ositiva tal. a) 3) Visa att det är möjligt att lika gärna beskriva referenserna med nttofunktionen α α U = där 0 < α <, samt bestäm α och - α (som uttrck i a och b) för att en sådan transformering skall vara giltig. α α b) 4) Antag nu att vi utnttjar U = för att beskriva referenserna. Härled Marshallian demand functions för de båda varorna, och förklara med hjäl av resultatet vilka imlicita antaganden om olika elasticiteter (riselasticitet, inkomstelasticitet och korselasticitet) som användandet av denna nttofunktion innebär. 9

10 Ugift 3 (6 ) a) 4) Ett företag skall roducera eakt 000 enheter av en vara med hjäl av två roduktionsfaktorer som båda är rörliga. Priset å den ena roduktionsfaktorn är givet, medan det vad beträffar riset å den andra roduktionsfaktorn finns två alternativ. Alternativ A: Priset är givet och lika med 0:- er enhet. Alternativ B: Priset är inte givet, men med sannolikheten kommer det att bli 5: - er enhet och med sannolikheten kommer det att bli 5:- er enhet. Företaget behöver dock inte bestämma val av inutkombination förrän man fått reda å vilket ris som gäller. Vilket av alternativen A eller B är förmånligast för företaget om vi antar att företaget är riskneutralt, d.v.s. enbart är intresserat av att jämföra den förväntade roduktionskostnaden i de två alternativen? Motivera svaret! b) ) Nu släer vi antagandet att företaget måste roducera en given kvantitet. I såväl alternativ A som i båda utfallen i alternativ B får företaget fritt välja vilken kvantitet man väljer att roducera och sälja till ett givet marknadsris. Kommer detta att åverka vilket alternativ som är förmånligast eller inte. Motivera svaret! Augusti 008 Ugift (0 ) Ugiften behandlar en individs utbud av arbetskraft. Antag att individens nttofunktion är U = f, där visar konsumtionen uttrckt i kronor, medan f visar kvantiteten fritid. Vi är intresserade av utbudet av arbetskraft er arbetsdag och antar att individen efter avdrag för sömn har 6 timmar att fördela å fritid och arbetstid, (som vi kan beteckna med ). Vidare har individen en arbetsfri inkomst som udelat er dag är 400:-. Hela dagsinkomsten, inklusive den arbetsfria, används till konsumtion. a) 4) Bestäm individens arbetsutbud för en godtcklig timlön w. Visa beräkningarna! Använd resultatet av beräkningarna för att grafiskt illustrera Marshallian labour sul function. b) 4) Använd resultatet i ugift a) för att beräkna och grafiskt illustrera effekten av att timlönen ökar från 00:- till 00:-. Dela grafiskt u totaleffekten å arbetsutbudet i en substitutionseffekt och en inkomsteffekt, (utan att göra egna eakta beräkningar). Vad kan man säga om substitutionseffektens och inkomsteffektens storlek, (utan att göra egna eakta beräkningar)? c) ) Det går givetvis också, efter samma rinci som för efterfrågefunktioner, att härleda Hicks constant utilit sul functions för arbetskraft. Gör detta med timlönen 00:- som utgångsunkt och jämför utseendet med Marshallian labour sul function. 0

11 Ugift (0 ) Ett företag roducerar sin vara i kvantiteten med hjäl av två roduktionsfaktorer, vars 0.5 kvantiteter betecknas resektive. Produktionsfunktionen är =. a) ) Bestäm först skalelasticiteten för roduktionsfunktionen och visa beräkningarna. Bestäm sedan även kostnadselasticiteten med avseende å outut. Motivera svaret! b) ) Antag att företaget roducerar sin vara genom att använda sig av lika stor kvantitet av de båda roduktionsfaktorerna. Priserna, och, är givna för företaget. Vilken slutsats kan man dra från denna information om riserna? c) 4) Bestäm företagets kostnadsfunktion å lång sikt, d.v.s. C = C(,, ). Observera att kostnadsfunktionen skall härledas för godtckliga riser å roduktionsfaktorerna, d.v.s. oberoende av svaret å ugift b. d) ) Bestäm företagets kostnadsfunktion å kort sikt, d.v.s. S = S (,, ), om vi antar att 0 =, d.v.s. företaget har den givna mängden 0 enheter av roduktionsfaktor. Mars 009 Ugift (5 ) (ösningsförslag saknas till ugift a) Ugiften behandlar två olika funktioner som tagits u å kursen. Parametrarna α, β och γ i funktionsuttrcken nedan kan inte bestämmas till vilka värden som helst, vid vanliga villkor inom konsument- och roducentteorin. Ugiften går ut å att ange vilka teoretiskt logiska restriktioner som gäller för arametervärdena, (intervall, eakta värden, arametrarnas värden i förhållande till varandra o.s.v.). Motivera! a),5) En konsument har nedanstående indirekta nttofunktion, där M anger inkomst och och, riserna å de två varor som konsumenten kan välja att konsumera. u 0M. α β γ b),5) Ett företag har nedanstående kostnadsfunktion, där anger roducerad kvantitet och och, riserna å de två roduktionsfaktorer som företaget använder sig av. C 0 α β γ Ugift (7 ) (ösningsförslag saknas) Ett monoolföretag roducerar sin vara med hjäl av två roduktionsfaktorer. Endast den ena är rörlig å kort sikt (under innevarande eriod), medan båda är rörliga å lång sikt (mellan två tidserioder). Företaget befinner sig i tidseriod 0 i långsiktig jämvikt och har valt att roducera kvantiteten q 0. Vid kvantiteten q 0 är kostnadselasticiteten (the elasticit of cost with

12 resect to outut) eakt lika med ett. För kvantiteter understigande q 0 är kostnadselasticiteten mindre än ett och för kvantiteter överstigande q 0 är den större än ett. I tidseriod inträffar helt oväntat en kraftig efterfrågeminskning å företagets rodukt. Vid varje ris är nu efterfrågad kvantitet bara hälften så stor som tidigare. a) ) Beskriv grafiskt, samt förklara i skrift, företagets situation i eriod 0. Figuren skall innehålla begre som AC, MC, SAC och SMC. b) ) Förklara hur den oväntade efterfrågeminskningen åverkar företagets val av ris och kvantitet i eriod. Utgå ifrån figuren i ugift a! c) 3) Antag att företaget gör rognosen att efterfrågeminskningen kommer att hålla i sig även under eriod. Förklara företagets val av ris och kvantitet i eriod dels om företagets rognos är riktig, dels om efterfrågan under eriod återgår till ursrunglig nivå. Utgå ifrån figuren i ugift a! Ugift 3 (8 ) En konsuments nttofunktion kan skrivas som U =, där och visar konsumerad kvantiteten av de två eisterande varorna. Konsumenten har en inkomst å 6000:- och riserna å varorna är : och = 40 :. Nu sjunker riset å varan till 5:-. a) 5) Bestäm CV-beloet och ange samtidigt i ord vad beloet står för. b) 3) När riset å varan sjunker till 5:- kommer den köta kvantiteten av varan att öka. Dela u ökningen i substitutionseffekt och inkomsteffekt, dels utifrån Hicks definition, dels enligt Slutsk. Maj 009 Ugift (8 ) 3 En konsuments referenser för de två varorna och visas av nttofunktionen U =. Härled konsumentens indirekta nttofunktion samt utgå från denna för att bestämma såväl CV-beloet som EV-beloet vid en risökning från :- till :- för vara, om vi samtidigt vet att konsumenten har en inkomst å 00:- och riset å vara är :-. Förklara också i ord vad de båda beloet står för, givet den risförändring som är aktuell i denna ugift.. Ugift (6 ) En efterfrågekurva (Marshallian demand curve) har vanligtvis negativ lutning. Endast i etrema undantagsfall kan den i ett begränsat risintervall ha ositiv lutning. Ett nödvändigt (om än inte tillräckligt) villkor för detta är att varan är inferior. För de s.k. nettoefterfrågekurvor som i Gravelle-Rees kolas till härledningen av offerkurvor bör emellertid en ositiv lutning (vid vissa riser) vara betdligt vanligare och förekomma

13 även om varan ifråga är en normal vara, d.v.s. har en inkomstelasticitet > 0. Förklara varför det förhåller sig så och avgör när en ositiv lutning är möjlig. Är det när riset är högt (och nettoefterfrågan följaktligen är mindre än noll), eller är det när riset är lågt (och nettoefterfrågan är större än noll)? Illustrera grafiskt! Ni behöver dock inte förklara eller beskriva begreet offerkurvor. Ugift 3 (6 ) Ett företag roducerar sin vara med hjäl av de två roduktionsfaktorerna och. Produktionsfaktorerna kös till de givna riserna och och varan säljs till det likaledes givna riset. Företagets efterfrågan å de två roduktionsfaktorerna, som en funktion av roducerad kvantitet och riserna å de två roduktionsfaktorerna visas nedan. 0, 0, ( ), 4 () 0,8 0,8, Ugift: Uttrck istället företagets efterfrågan å de båda roduktionsfaktorerna som funktioner av riset å företagets vara samt riserna å de två roduktionsfaktorerna, d.v.s. bestäm utseendet å funktionerna = (,, ) = (,, ), samt förklara förändringarna i arametrarna tillhörande och om man jämför med uttrcken () och () ovan. Om du inte kan lösa ugiften matematiskt så försök ändå att förklara å vilket sätt arametervärdena kan förväntas att ändras och varför! Augusti 009 Ugift (5) Trots att riset å varan X halverades så köte konsumenten recis lika mcket av varan som före rissänkningen. Illustrera detta grafiskt i lämlig figur och förklara i termer av substitutionseffekt och inkomsteffekt, dels enligt Hicks definition, dels enligt Slutsks. Förklara särskilt enligt vilken definition som substitutionseffekten, resektive inkomsteffekten blir störst. Ugift (6) En konsument har nttofunktionen U =, där och visar kvantiteten av de två varor som konsumeras. Konsumenten har en inkomst å :- och riserna för de två varorna är 00:- er enhet av och 400:- er enhet av. Regeringen vill öka välfärden för konsumenten ifråga (vi kan tänka oss att konsumenten reresenterar en större gru av konsumenter som vi kan kalla låginkomsttagare ). Man funderar därför å att subventionera konsumtionen av vara med 00:-, vilket skulle sänka konsumentens ris för varan till 300:-. a) 3) Hur mcket skulle detta kosta staten? b) 3) Statens åtgärd kommer givetvis att öka konsumentens välfärd. Antag att man istället hade valt att genom ett allmänt bidrag till konsumenten åstadkomma samma välfärdsökning 3

14 (nttoökning). Hur mcket hade detta kostat staten och hur mcket billigare/drare skulle denna åtgärd vara jämfört med alternativet i ugift a? Ugift 3 (9) α α Ett företag har roduktionsfunktionen =, där = roducerad kvantitet, och använd kvantitet av två roduktionsfaktorer och α en arameter större än 0. a) 6) Härled företagets långsiktiga kostnadsfunktion, C (,, ), för godtckliga ositiva värden för α. b) 3) Antag nu att vi vet att företaget är ett av många företag som roducerar varan under marknadsformen fullständig konkurrens. Alla företag har samma roduktionsfunktion och kan köa roduktionsfaktorer till samma riser. Vilken slutsats om storleken å α kan vi dra av denna information? Motivera! Mars 00 Ugift (7,5 ). Priserna för de två roduktionsfakto- För ett företag gäller roduktionsfunktionen = rerna är 0 och = 5. Härled dels företagets långsiktiga marginalkostnadsfunktion, dels företagets kortsiktiga marginalkostnadsfunktion givet att 0. Härled även motsvarande genomsnittskostnadsfunktioner. = Bestäm kostnadselasticiteten å lång sikt och kola storleken å den till utseendet å långsiktig marginalkostnad och långsiktig genomsnittskostnad och hur kurvorna förhåller sig till varandra. Ugift (5 ) Ett företag å en marknad med fullständig konkurrens roducerar sin vara i kvantiteten q till riset, med hjäl av de två roduktionsfaktorerna och. Produktionsfaktorerna kös till riser som är givna av marknaden. Antag att utbudet av en av roduktionsfaktorerna ökar å marknaden i sådan grad att det sänker marknadsriset å roduktionsfaktorn. a),5) Illustrera grafiskt med lämliga figurer för det aktuella företaget, samt förklara skriftligt, begreen substitutionseffekt och oututeffekt i anslutning till det sänkta marknadsriset. b),5) Är det troligt att sambandet mellan storleken å substitutionseffekt och inkomsteffekt är ositivt eller negativt? Motivera! c) ) Alla företag som utnttjar roduktionsfaktorn kommer förstås att kunna ta del av rissänkningen. Därför kan vi å motsvarande sätt härleda en substitutionseffekt och oututeffekt även för dem. Förklara varför förändringen i marknadsefterfrågan för roduktionsfaktorn i 4

15 fråga ändå inte kan erhållas enbart med hjäl av information om dessa effekter för alla berörda företag. Ugift 3 (7,5 ) (ösningsförslag saknas) Ugiften behandlar tre olika funktioner som tagits u å kursen. Parametrarna α, β och γ i funktionsuttrcken nedan kan inte bestämmas till vilka värden som helst, vid vanliga villkor inom konsument- och roducentteorin. Ugiften går ut å att ange vilka teoretiskt logiska restriktioner som gäller för arametervärdena, (intervall, eakta värden, arametrarnas värden i förhållande till varandra o.s.v.). Motivera! Varorna i ugifterna antas vara normala varor, d.v.s. ej inferiora. a),5) En konsument har nedanstående utgiftsfunktion, där M anger inkomst, och riserna å de två varor som konsumenten kan välja att konsumera, medan u står för nttonivå. M 0u. α β γ b),5) En konsument har nedanstående Marshallian demand function för vara, där anger efterfrågad kvantitet, M anger inkomst och och riserna å de två varor som konsumenten kan välja att konsumera. = α β γ 00M c),5) En konsument har nedanstående hicks demand function för vara, där anger efterfrågad kvantitet, u nttonivå och och riserna å de två varor som konsumenten kan välja att konsumera. = α β γ 00u Augusti 00 Ugift (0) En konsument har nttofunktionen U =. a) 4) Vilken eller vilka av nedanstående nttofunktioner skulle lika gärna kunna användas för att beskriva individens referenser? Förklara noga! i) ii) iii) U = U = e U,5ln + ln Hade svaret varit detsamma om frågan istället hade gällt en roduktionsfunktion, d.v.s. om U i funktionerna ovan hade btts ut till Q? Förklara! 5

16 b) 6) Antag att konsumenten har en inkomst å 3000:- och att båda varorna säljs till riset 0:-. Nu höjs riset å varan till 0:-. Bestäm CV- och EV-beloet och tala om vad dessa begre ger för information. Ugift (0) För ett monoolföretag gäller följande. Företaget roducerar sin vara med hjäl av två roduktionsfaktorer, varav den ena är rörlig å kort sikt (under innevarande eriod) och båda är rörliga å lång sikt (mellan två erioder). Företagets roduktionsfunktion är homogen och skalelasticiteten är eakt lika med. Det ris företaget kan sälja sin vara till beror å hur mcket man roducerar och säljer. Sambandet antas vara linjärt, d.v.s. = a b där anger riset och den utbjudna kvantiteten. I eriod 0 befinner sig det vinstmaimerande företaget i långsiktig jämvikt. I eriod inför staten helt oväntat en skatt er roducerad enhet av storleken 0,a. Skatten betalas av företaget. c) 5) Förklara hur den oväntade skatten åverkar företagets val av ris och kvantitet å kort sikt, d.v.s. under eriod. d) 5) Antag att företaget gör rognosen att skatten kommer att ligga kvar i eriod. Förklara företagets val av ris och kvantitet under eriod under nedanstående två förutsättningar: Förutsättning : Företagets rognos beträffande skatten visar sig vara riktig. Förutsättning : Företagets rognos beträffande skatten visar sig vara felaktig. I själva verket tar staten bort skatten i eriod. Utförliga grafiska illustrationer krävs! Däremot krävs inga eakta matematiska resultat. Oktober 00 Ugift (0) Ett företag har roduktionsfunktionen =, där = roducerad kvantitet och och använd kvantitet av två roduktionsfaktorer. Produktionsfaktorerna kan köas till de givna riserna och. a) 7) Härled företagets långsiktiga kostnadsfunktion, marginalkostnadsfunktion, och genomsnittskostnadsfunktion. Illustrera marginalkostnads- och genomsnittskostnadsfunktionerna grafiskt med roducerad kvantitet å -aeln för givna inutriser. b),5) Illustrera Shehard s lemma med hjäl av resultaten i a-ugiften. c),5) Antag att vi vet att företaget är ett av många företag som roducerar varan under marknadsformen fullständig konkurrens. Alla företag har samma roduktionsfunktion och kan köa roduktionsfaktorer till samma riser. Vilket roblem beträffande eistensen av en långsiktig jämvikt å marknaden ställer detta till med? 6

17 Ugift (0) En individ har följande nttofunktion för de två förekommande varorna och. U = + 0 I den ursrungliga situationen eisterar endast vara, som säljs till riset 0:-. Således lägger individen hela sin inkomst å kö av. Nu introduceras vara till riset. a) 3) Bestäm Marshallian Demand för vara, vid det givna riset å vara, (. ) Bestäm utifrån det uttrck som erhålls efterfrågans riselasticitet med avseende å varans eget ris. Bestäm även inkomstelasticiteten. b) 6) Antag nu att vara introduceras till riset :-, d.v.s. =, samt att individens inkomst är 0000:-. Bestäm storleken å CV- och EV- beloen för introduktionen av varan till riset :-, samt förklara vad beloen visar. c) ) Resultaten i ugift b) kan ufattas som seciella, men hänger iho med svaren å ugift a). Förklara! Ugift 3 (7) Ugiften bgger å modellen i Gravelle-Rees med en ekonomi bestående av två konsumenter och två företag, som trots begränsningen i antalet aktörer antas fungera som om aktörerna tar marknadsriserna för givna. Företag roducerar vara och företag roducerar vara. I båda fallen råder avtagande skalavkastning (stordriftsnackdelar). Båda konsumenterna säljer sin inut (arbetstid) till båda företagen och köer också varor från båda företagen. I den ursrungliga aretoeffektiva situationen är varuriserna och inutriserna,, w 0 och w = 400. Inutriserna definieras här som den ersättning som resektive konsument får er såld enhet arbetstid. a) ) Bestäm storleken å f, f, f och f, d.v.s. marginalrodukterna för resektive inut i resektive företag. Indeen skall tolkas så att eemelvis f betecknar marginalrodukten för inut i företag. b) 6) Antag att mndigheterna nu inför en skatt å 5% som ett ålägg å den kostnad som företagen har för inkö av inuts. Marknaden anassar sig till den na jämvikten. Avgör om de olika villkoren för aretoeffektivitet är ufllda i den na jämvikten. Sammanfatta också den situation som ustår med egna ord och förklara hur den å olika sätt skiljer sig från den ursrungliga. Ugift 4 (3) Ett av välfärdsteorins mest välkända begre eller kriterium, bland annat flitigt använt när man gör samhällsekonomiska lönsamhetskalkler eller mera generellt jämför olika sociala situationer, utsätts för kritik i Scitovskaradoen. Vilket kriterium avses och vad går kritiken i Scitovskaradoen ut å? Skriftlig förklaring är tillräcklig. 7

18 Ugift 5 (6) I Gravelle-Rees finns ett eemel som resenterar roblemen med common roert resources (allmänningar) ur resursfördelningssnunkt. I eemlet har ett antal ersoner fri tillgång till fiske i en sjö. Fisken kan sedan säljas till ett konstant ris. I den grafiska modell som resenteras visas mängden timmar som senderas å fiske å -aeln. Det är dock fullt möjligt att istället använda sig av en modell där man mäter mängden fångad fisk å -aeln och ris, marginalkostnad och genomsnittskostnad å -aeln för att illustrera samma roblem. a) 3) Använd den t av modell som beskrivs understruket i sista stcket ovan för att redogöra för roblemen med common roert resources. Förklara modellen och resultaten noga! b) 3) Använd samma modell för att förklara effekten av att äganderätten till fisket läggs å en enda aktör, dels när riset å fisk är givet, dels när riset å fisk beror å hur mcket som fiskas i sjön. Ugift 6 (4) α En individ har en von Neumann Morgenstern nttofunktion med utseendet g ( ) =, där betecknar individens disonibla inkomst (förmögenhet) och α > 0. Med en viss sannolikhet () drabbas individen av en monetär skada av storlek S. Individen kan varken åverka storleken å eller S. Ugift: För vilka värden å α är det möjligt att individen kan komma överens med ett riskneutralt försäkringsbolag om att mot en avgift (remie) försäkra bort den risk hon är utsatt för? Bortse från transaktionskostnader. Motivera svaret med hjäl av en lämlig figur. Förklara figuren. November 00 Ugift (6) Två konsumenter har nttofunktioner över de två eisterande varorna och enligt följande: U = och U =. Sammanlagt eisterar 00 och 00 som skall fördelas å de två individerna. a) ) Visa att effektiv konsumtion inte råder om båda får 50 enheter var av såväl som. b) 4) Antag att konsumenterna från en okänd ursrunglig fördelning vid en given risrelation har fått bta varor sinsemellan. Vi vet vidare att marknadsjämvikten resulterat i att båda valt 50. Avgör hur mcket var och en har valt och avgör också vilken risrelation (bteskvot) som råder, angiven som. 8

19 Ugift (4) 0,8 En individ har en von Neuman Morgenstern nttofunktion som visas av v =, där anger individens inkomst. Individen har en inkomst å 0 000:-, men drabbas med sannolikheten, av en ekonomisk skada å 8000:-. a) ) Vilket belo kräver ett riskneutralt försäkringsbolag minst i remie för att fullständigt försäkra individen mot skadan, d.v.s. betala 8000:- om skadan inträffar? Inga transaktionskostnader eisterar. b) 3) Vad är det största belo som individen är beredd att betala för att fullständigt försäkra sig mot skadan? Ugift 3 (0) För ett monoolföretag gäller följande. Företaget roducerar sin vara med hjäl av två roduktionsfaktorer, varav den ena är rörlig å kort sikt (under innevarande eriod) och båda är rörliga å lång sikt (mellan två erioder). Företagets roduktionsfunktion är homogen och skalelasticiteten är mindre än. Det ris företaget kan sälja sin vara till beror å hur mcket man roducerar och säljer. Sambandet antas vara linjärt, d.v.s. = a b där anger riset och den utbjudna kvantiteten. I eriod 0 befinner sig det vinstmaimerande företaget i långsiktig jämvikt. I eriod inträffar en oväntad efterfrågeminskning, innebärande att det ris företaget kan sälja en given kvantitet till sjunker med 0,a kronor, d.v.s., 8a b. e) 5) Förklara hur den oväntade efterfrågeminskningen åverkar företagets val av ris och kvantitet å kort sikt, d.v.s. under eriod. f) 5) Antag att företaget gör rognosen att efterfrågan kommer att ligga kvar å den na och lägre nivån även under eriod. Förklara företagets val av ris och kvantitet under eriod under nedanstående två förutsättningar: Förutsättning : Företagets rognos beträffande efterfrågan visar sig vara riktig. Förutsättning : Företagets rognos beträffande efterfrågan visar sig vara felaktig. I själva verket återgår efterfrågan eriod till den nivå som rådde i utgångsläget, d.v.s. under eriod 0. Utförliga grafiska illustrationer krävs! Ugift 4 (0) En individ har nttofunktionen u =, där visar konsumtionen av en comosite commodit och står för fritid. Individen har totalt T timmar att fördela å arbetstid och fritid, d.v.s. T = +, där står för arbetstid. Timlönen är w. Priset å vara antas vara lika med. Individen har ingen arbetsfri inkomst. a) 6) Visa att individen oberoende av timlönens storlek alltid kommer att vilja arbeta en konstant andel av T. Bestäm även denna andel. 9

20 b) 4) Illustrera grafiskt med angivande av substitutionseffekt (Hicks definition) och inkomsteffekt effekten av en ökning av timlönen i situationen ovan, d.v.s. när individens arbetsutbud inte åverkas. (Denna delugift kan lösas oberoende av lösningen i delugift a). Ugift 5 (0) Endast två varor eisterar i en ekonomi. Vara är en vanlig rivat vara, medan vara är en kollektiv nttighet. Individ har nttofunktionen U = 30 +, medan individ har nttofunktionen U +. Produktionsmöjlighetskurvan visas av funktionen a) 3) Bestäm den otimala storleken av den kollektiva nttigheten. b) 3) Antag att riset för vara är :-. Den otimala storleken av den kollektiva nttigheten har unåtts med hjäl av the indahl rocess. Vilka riser kommer resektive individ då att betala er enhet av vara? c) 4) Beskriv indahl-rocessen skriftligt och grafiskt och redovisa också den kritik som har riktats mot den. Denna del av ugiften kan besvaras searat från svaren i delugifterna a) och b). 0

21 ÖSNINGSFÖRSAG Mars 006 Ugift a) = ( ) + λ M = λ λ = λ = M Detta ger = λ samt = λ som sätts in i ekvation λ. M λ λ λ = M = M = M Indirekt nttofunktion: M u = = = u(,, 4 M b) = ( ) + + μ u = μ λ = = u μ ) Detta ger u μ = samt = som sätts in i ekvation λ. μ μ μ = μ = u = u u = u Utgiftsfunktion: M = + = u + u = u = m(,, u ) c) Inversfunktionen till den indirekta nttofunktionen i b) ovan ger utgiftsfunktionen (eller tvärt om). Alltså: ös ut M som en funktion av, och u i a) så erhålls utgiftsfunktionen i ugift b)

22 d) Shehards lemma säger att m = i i för i=,. (hicksian demand) m = u =. På motsvarande sätt för vara. Ugift s s 3 s s 0 S () S () P P * P P 3 P 0 D() Y Y Y * Y 3 Y Y 0 Y Den långsiktiga utbudskurvan har ositiv lutning.g.a. eternal ecuniar effects. När den totala roduktionen å marknaden stiger ökar efterfrågan å normala inuts. Vid eternal ecuniar diseconomics kommer detta att leda till höjda inutriser och således till en ositivt lutande långsiktig utbudskurva. (Även för regressiva inuts gäller att effekten blir en ositivt lutande långsiktig utbudskurva, se Gravelle-Rees).Den kortsiktiga utbudskurvan är dock brantare.g.a. företagen inte kan förändra mängden av samtliga inuts å kort sikt. Skatten förskjuter såväl den kortsiktiga som den långsiktiga utbudskurvan uåt recis med skattens storlek. Kortsiktig jämvikt i eriod anges med inde för ris och roduktion. Vad som sedan händer beror å vilka förväntningar företagen har: a) Vid naiva förväntningar antar man att riset i eriod blir lika med riset i eriod. Detta gör att man anassar sig till den roduktion som betecknas Y i figuren (enligt den na långsiktiga utbudskurvan) å den långsiktiga utbudskurvan. Till eriod är det nämligen möjligt att förändra samtliga inuts. Den kortsiktiga utbudskurvan för eriod betecknas s. När eriod inträffar råder dock efterfrågeöverskott vid det förväntade riset, vilket gör att det faktiska riset år överstiger det förväntade. Man följer den kortsiktiga utbudskurvan uåt och n kortsiktig jämvikt år anges med inde för ris och roduk-

23 tion. Inför eriod 3 tror man åter igen att riset blir oförändrat, d.v.s. förväntat ris för år 3 = faktiskt ris för år två. Man lanerar då för en ökad roduktion (se långsiktigt utbud) och får samtidigt en n kortsiktig utbudskurva som i figuren betecknas med s 3. När eriod 3 kommer visar det sig att vid förväntat ris råder utbudsöverskott, varvid marknadsriset anassas nedåt. N kortsiktig jämvikt anges med inde 3 för ris och roduktion. Så håller det å. Vid de förhållanden som råder i figuren konvergerar man mot den långsiktiga jämvikten (P *, Y * ), men vid andra lutningar å kurvorna kan resultatet bli divergens. b) Vid rationella förväntningar går man direkt å långsiktig jämvikt i eriod. Jämviktsriset är det enda ris som har den egenskaen att om alla förväntar sig riset och agerar efter detta, så kommer dt också att realiseras. Maj 006 Ugift a) = + + λ ( = = λ λ = λ ) och ger = = = som sätts in i λ och ger = samt Kostnadsfunktionen C = + = + vilket ger svaren C = och C MC = = C b) Kostnadselasticiteten m.a.. : E c = = = 0, 5 C c) Eftersom = 5 är given så erhålls direkt från roduktionsfunktionen =, vil- S ket ger = =. S = + = + 5 och SMC = =

24 Grafisk illustration: kostnad SMC MC * Som framgår av funktionsuttrcken är MC oberoende av, medan SMC är roortionell mot. Genom att sätta uttrcken för SMC och MC lika varandra finner man att de är lika stora ( ) för * = 5. Vid just denna roduktionsvolm är SAC = AC = 50. Vid samtliga andra roduktionsvolmer är SAC > AC. Ugift u0 Nttomaimeringsvillkoret för individen kan skrivas =+ r, där +r kan tolkas som u 0. En räntesänkning medför att individens budgetlinje vrids kring den unkt som visar individens endowment, d.v.s. inkomstkombinationen M, M och får flackare lutning. Hur 0 individens val förändras beror å den sammanlagda effekten av substitutions- och inkomsteffekt a) Substitutionseffekt. När risförhållandet förändras så blir det relativt sett billigare att konsumera i eriod 0, vilket leder till ökad konsumtion i eriod 0, d.v.s. ett minskat sarande i eriod 0. b) Inkomsteffekt. Om individen i utgångsläget sarar kommer han/hon inte att kunna behålla sitt ursrungliga val, utan tvingas välja en kombination med mindre konsumtion i minst en av erioderna. Normalt får kan man räkna med att konsumtionen minskar i båda erioderna, d.v.s. allt annat lika ökar han/hon sitt sarande i eriod 0. Om individen i utgångsläget däremot lånar kommer han/hon att kunna konsumera mer i båda erioderna än vad som visas av det ursrungliga valet, d.v.s. han/hon ökar sitt låntagande i eriod 0. Men att öka sitt låntagande är samma sak som att minska sitt nettosarande. 4

25 M Figur u A u B Sammanfattningsvis gäller att för den individ som i utgångsläget lånar blir effekten entdig, nettosarandet minskar, d.v.s. man lånar mer än tidigare. Se figur. För den som i utgångsläget sarar går effekterna åt olika håll och det är oklart om sarandet ökar eller minskar. Se figur som visar ett fall där sarandet är oförändrat. Det är då inte svårt att tänka sig ett fall där inkomsteffekten överstiger substitutionseffekten, vilket leder till minskad konsumtion i eriod 0 och därmed ökat sarande. Visserligen blir det mindre lönsamt att sara när räntan sjunker, men om individen (som i figur ) har en relativt hög inkomst i eriod 0 (och därmed relativt låg i eriod ) och.g.a. detta vill sara i eriod 0 för att få en jämnare konsumtion, så måste man nu sara mera. M M S lån efter lån före I ökad ntta S = substitutionseffekt I = inkomsteffekt M 0 M M 0 0 M 0 M Figur u B u A S = substitutionseffekt I = inkomsteffekt M M I S sarande före och efter minskad ntta M 0 M 0 M 0 M 0 5

26 Augusti 006 Ugift a) agrangefunktionen blir: = + λ = 0λ = 5λ 0 5 λ ( ) Detta ger λ samt = 5λ = som sätts in i ekvation λ och ger =, samt nttan U = 7 som är väsentlig för följande ugift. 6 = b) Nu sjunker riset till 5:-. CV- beloet visar hur mcket mindre inkomst konsumenten nu kan ha om man samtidigt skall behålla ursrungsnttan U = 7. Vi måste därför minimera 5 + s.t. 7. Vi får nedanstående lagrangefunktion: 5 = = μ (7 ) = 5 μ = 5 μ = 7 μ Detta ger = och (från μ ) = = 7 = = 7 8, 485. Den inkomst som är nödvändig för att kunna köa dessa mängder av de båda varorna är ,85. Alltså kan inkomsten minskas med 0 84,85 = 35,5 = CV. c) EV-beloet visar vilken inkomstökning som ger samma nttoökning som rissänkningen. Vi måste därför i första steget beräkna vilken ntta konsumenten får som en följd av rissänkningen. agrangefunktionen för nttomaimeringsroblemet blir: = + λ ( ) = 5λ = 5λ 5 5 λ Detta ger = som sätts in i ekvation λ och ger =, = samt nttan U = 44. Antag nu ursrungliga riser. Hur stor inkomst skulle krävas för att då erhålla nttan 44? Vi måste nu minimera s.t. = 44. Vi får nedanstående lagrangefunktion: 6

27 + 5 + μ (44 ) μ μ = 5 μ = 44 Från de två första ekvationerna får man att = som insatt i μ ger = 44 vilket ger lösningen = 7 8, 485 och = 7 6, 97. Den inkomst som vid ursrungliga riser är nödvändig för att kunna köa dessa mängder av de båda varorna är ,7. Alltså måste inkomsten ökas med 69,7 0 = 49,7 = EV. Grafisk illustration (se nästa sida) Kommentarer: Figur CV: Ursrungligt val visas av A. När riset å vara faller väljer konsumenten kombinationen B. Om vi minskar konsumentens inkomst så att han/hon behåller ursrunglig ntta väljer konsumenten kombination C. CV uttrckt i antal enheter av vara visas å den lodräta aeln som avståndet 4-6,97 = 7,03. Motsvarande monetära CV-belo får vi genom multilikation med riset å vara : CV = 5 7,03 = 35,5:-. EV: Ursrungligt val visas av A. När riset å vara faller väljer konsumenten kombinationen B, som ger en högre ntta. För att nå samma ntta givet de gamla riserna skulle vi behöva höja inkomsten. Individen väljer då kombination D. EV uttrckt i antal enheter av vara visas av den lodräta aeln som avståndet 33,94 4 = 9,94. Motsvarande monetära EVbelo får vi genom multilikation med riset å vara : EV = 5 9,94 = 49,7:- Figur CV-beloet visas av tan 0:-AC5-, utifrån Hicksian demand med ursrunglig ntta U = 7. EV-beloet visas av tan 0:-DB5:-, utifrån Hicksian demand med slutlig ntta U = 44. Ett konsumentöverskott beräknat från Marshallian demand, som tan 0:-AB5:- hamnar mellan dessa båda belo. 7

28 33,94 Figur EV/5 4 CV/5 6,97 D A B 8,485 C I (U = 44) I (U = 7) 6 8,485 6,97 4 kronor Figur Hicksian demand (U = 7) 0:- A D Hicksian demand (U = 44) 5:- C B Marshallian demand (inkomst ) 6 8,485 8

29 Ugift Denna ugift gäller hur en marknad beter sig utanför jämvikt i en artiell modell. Beskriv förutsättningar och resultat för Walras tâtonnementrocess, Marshalls rocess, samt Cob-web modellen. (sindelvävsmodellen). Diskutera särskilt den viktiga frågan om stabilitet. Processerna beskrivs väl i kurslitteraturen sid 76 83, se även figurerna 8.5 och 8.6 (observera dock att S 0 och D 0 är förvälade i figur 8.5.c. Följande bör behandlas: d Walras rocess kan beskrivas med ekvationen = λ( D( ) s( ) ) λ > 0. Marknaden fungerar som om en koordinator annonserar ett ris och sedan successivt justerar riset u vid dt efterfrågeöverskott och ned vid utbudsöverskott. Handel äger rum först när jämvikt har unåts d Marshalls rocess kan beskrivas med ekvationen = λ( ( ) ( ) ) λ > 0. Man antar att D s dt roducenterna bjuder ut en viss kvantitet å marknaden och sedan säljer det till det ris som marknaden ger. Om riset (efterfrågeriset) överstiger utbudsriset (det lägsta ris roducenterna kräver för att bjuda ut den aktuella kvantiteten) så ökar man sitt utbud. I det omvända fallet så minskar man sitt utbud. Handel äger rum hela tiden. Båda rocesserna ger stabilitet (konvergens mot jämvikt) om efterfrågekurvan har negativ lutning och utbudskurvan har ositiv lutning, d.v.s. under normala förhållanden. Om båda kurvorna lutar åt samma håll ger emellertid de båda rocesserna olika resultat. I figur 8.5.a är Marshalls rocess stabil, medan Walras inte är det. I figur 8.5.b är förhållandena omvända. Cob-web modellen (sindelvävsmodellen) bgger å antagandet om en sul-lag. Modellen bgger å naiva förväntningar å så sätt att roducenterna antar att riset nästa eriod blir lika med riset innevarande eriod och lanerar sitt utbud nästa eriod efter detta. När väl nästa eriod inträffar beter man sig som i Marshalls rocess, d.v.s. man säljer till det ris som marknaden ger. Modellen illustreras av figur 8.6. Efterfrågekurvan antas ha negativ lutning och utbudskurvan ositiv. Om efterfrågan reagerar kraftigare å en risförändring än utbudet (efterfrågekurvan flackare än utbudskurvan) är modellen stabil med oscillationer kring jämvikten, se figur 8.6.a. Om utbudet reagerar kraftigare än utbudet (efterfrågekurvan brantare än utbudskurvan) är oscillationerna divergerande, se figur 8.6.b. Även ett mellanfall är möjligt, se figur 8.6.c. 9