LINJAR PROGRAMME.RING

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "LINJAR PROGRAMME.RING"

Transkript

1 optimering driflen sid i (64) Bilaga 2 LINJAR PROGRAMME.RING SOM ARBETSMETOD 615 T996LFK

2 optimering driften sid 2 (64) Vad är linjår programmering? Idag, när det finns bra dataprogram som utfor allt räknearbete, är det enklaste sättet att komma underfund med vad linjär programmering uträttar att titta på ett exempel som av sig sjalvt leder till den formella uppstållningen av optimeringsmetodens mattedel. Varj e datapro gram har sin standarduppställning ör det rent praktiska inknappandet och berörs inte hår. Ritar man flödesschemat for lösningsvolymerna i ätetvinnings-systemet och antecknar sammanhangen så har man automatiskt formulerat villkorsdelen i den linjåra programmeringen.den funktion som skall göras så liten eller så stor som möjligt faller naturligt på plats. Titta på blandningen av stopp-, fix- och bleksköljvattnen. I dess enklaste utf,crmning går allt till avloppet. villkor: vl: volym sköljvatten till avloppet, villkoret är självklart men måste vara med. Många villkor har denna enkla utformning' [halten NH4] * vl {: tillåten mängd NH4 enlig tillståndet [halten SO4] * vl <: tr rr SO4 rr r' [halten CN ] * vl <: '! I' CN * '' de tre sista villkoren år riktvärden från länsstyrelsen kostnad: plxvl målfunktionen, optimeras av den linjåra optimeringen så att villkoren uppfulls pl år kostn adern:aflorknippade med att bli av med en m3 vatten genom vattenverkets örsorg. Ett sätt att bli av med åmnen som inte får gå till avlopp är attlätalösningen gå genom aktivt kol innan det når avloppet. Miljokrav leder ofta till sådan hantering' Systemet ser då ut så hår:

3 optimering driften sid 3 (64) villkor. vl + v2: hela volymen sköljvatten i m3, villkoret år sjålvklart men måste vara med. Många villkor har denna enkla utformning. v3 : v2 ingående volym till kolet ilr också lika med utgående volym, inget år komma pä avvägar. NH4 * vl + NH4 * v3 {: tillåten miingd NH4 enlig tillståndet so4xvl +So4*v3<:, 'r so4 " I' CN *v1 +CN *v3(: tr rr CN tr rt de tre sista villkoren är riklvården skrivsättet fhalten ]IH4l har forenklats till NH4 lor att göra villkoren mer lattlasta och syftar på efterfibljande volym, likadant lor SO4 och CN v7,v2 och v3 ):0 inga flöden rinner baklänges kostnad: pl * vl + p3 * v3 måtfunktionen, optimeras av den linjära optimeringen, så att villkoren uppfylls pl och p3 är kostnaderna frrknippade med att bli av med en m3 vatten genom vattenverkets forsorg. I p3 ingår också kostnader som iir forknippade med kolhanteringen.

4 optimering dffien sid 4 (64) Allt våsentligt x nu på plats, en villkorsdel som måste vara uppsrlld samtidigt som en funktion, kostnader i detta fall, görs så liten eller så stor som möjligt. Detta år linjär programmering. Det var det hela- Sedan är det bata att välja tillämpning och komplicera saker och ting. Linjär programmering i praktiken. Fyra saker att komma ihåg. 1. Villkoren har alltid forrnen a x x*b * y+ c* 2t... (:, : eller >: etttal 2. Målfunktionen har också samma form. Vad den är lika med tar den linjåra programmeringen reda på. 3. Resultatet år en helhet och kan kräva en stunds eftertanke. 4. Genom att sätta in värdena på variablerna i villkoren frr man reda på hur mycket ett villkor ilr taget i anspråk, om det finns marginal kvar eller om det är helt uppfi'llt Effekterna av ett jonbytessteg för att återvinna en kemikalie ur vattnet kan lått infioras. Observera att den volym som gått genom jonbytaren kanske måste gå genom aktiw kol också. Det utökade systemet ser nu ut så här. aktiv kol

5 optimering driften sid 5 (6a) villkor: vl + y2 * v4: totala volymen sköljvatten v3 : v2 utgående volym från kolet : ingående volym till kolet, inget på awägar, skrivs också v3-v2:o v6 : v5 utgående volym från kolet : ingående volym till kolet, inget på avvägar, skrivs också v6-v5:0 v5 * v7 :v4 utgående volym franjonbytaren: ingående volym till jonbytaren, inget på awägar, v8 : skrivs också v5+v7-v4:0 återvunnen volym, spelar roll i kostnaden NH4 * vl + NH4 *v3 + NH4 * v6 + NH4 * yl {: tillåten mängd NH4 SO4 * v1 + SO4 *v3 * SO4 E v * v7 <: tillåten mängd s04 CN * vl *v3 - CN * v6 + CN * v'7 <: tillåten mängd CN NH4, SO4 OCH CN är givetvis olika for olika sorters volymer v1 t o m v7 >: 0 kostnad: inea flöden rinner baklånses p1 * vl + p3 *v3 +p6 *v6 + p7 *v7 - p8 x v8 pl är priset lor att bli av med m3 vatten genom vattenverkets florsorg. p3 är priset for att bli av med m3 som gått genom aktivt kol och inkluderar priset for kol, dess transport till Sakab och deras destruktion av det samt andra kostnader som kan vara relevanta i sammanhanget. p6 är priset for att bli av med m3 vatten som gått genom jonbytaren och sedan genom aktivt kol och inkluderar alla kostnader som är adekvata i det sammanhanget. p7 är priset lor att bli av med m3 vatten som gått enbart genom jonbytaren. p8 är vårdet av den återr,unna lösningen. Optimeringen kan misslyckas om villkoren är lor lösa och inte medger en entydig och andlig losning. Villkoren måste då utökas. Motsatsen kan också inträffa; villkoren är for många, ör hårda eller motsågande. God praxis i detta fall ar att inlora en "flykrväg", som garanterar en lösning. I det här fallet år Sakab det uppenbara hjillpmedlet. De priser som anvånds i kostnadsfunktionen är då reella Ar nödlösningen till bara for att möjliggöra eff optimeringsresul-

6 tat såtts priset for den orimligt hogt' Den kommer då med bara om det år absolut nödvändig1. Innebörden är egentligen att det inte finns någon losning. optimering driften sid 6 {64)

7 Det ytterliggare utökade systemet kommer att se ut så här: optimering driften sid 7 (64) aktiv kol återvunnet Antalet möjliga vågar lor avfallshanteringen Ökar ordentligt. Nu kan genomrunna lösningar fran jonbytaren gå till Sakab, eventuellt via indunstare, istället for genom kol, om det blir billigare. Hur långt indunstningen kan drivas måste man forstås kånna till. Ett indunstningsvillkor är egentligen två eftersom den indunstade volymen kan variera mellan maximal indunstning till ingen alls. Ex v14170 (: v13 (: v14. De två villkoren blir då v13 - v14 (:0 och v74ll} - v13 {:O.Den senare är enklare att skriva v14-10 * v13 (: 0. Villkor: vl + vz * v4 * v10 + vl1 : totala volymen sköljvatten

8 optimering driften sid 8 (64) v3 - v2 :0 utgående volym fran kolet : ingående volym till kolet, inget På awägar v4 -v5 -v7 -v9 : 0 utgående volym från jonbytaren : ingåendevolym till jonbytaren, inget På avvägat, v8 uppfattas här som oberoende av v4 och är inte med i villkoret v6 -v5 -o :d;?ä:töm'ffå5:* v8 inget På awägar : återr,'unnen volym, spelar roll i kostnaden v9 -v 14 - v15 :0 inget på awägar mellan jonbytare och indunstare eller Sakab v13 - v14 <: 0 v14 - Kl*v13 (:0 lånet som helst den indunstade volymen är inte större än den ingående, självklart kan det tyckas" men det måste vara med indunstningen kan inte drivas hur v12 - v10 <: 0 den indunstade volymen är inte större än den ingående, självklart kan det tyckas, men det måste vara med v10 - K2*v 72 <: O indunstningen kan inte drivas hur lånst som helst vlo + v14 {: indunstarens kapacitet kan inte skridas vl1 + v12 + vll + vl5 <: Sakab tar inte ernot hur mycket som helst och så riktvårdena till sist NH4 * vl + NH4 *v3 * NH4 * v6 + NH4 * vj (: tillåten mängd NH4 SO4 * vl + SO4 *v3 + SO4 * v6 + SO4 * vj 4: tillåten mångd s04 cn * vl + CN *v3 * CN * v6 + CN * v7 1: tillåten mångd CN

9 optimering driften sid 9 (64) NH4, SO4 OCH CN Ar givetvis olika for olika v.en v1tomvl5>:0 Kostnad. pl * vl +p3 * v3 +P6 * v6* p7 * v7 -p8*v8 +pl1 * vl1 + ptz* vl}+ p13 * v13 + P15 * vl5 En optimering av den här storleksordningen, sambanden mellan villkoren, hur flödena konkurerar om behandling och hur kostnaden påverkas år knappast överskådligt utan linjär programmering. I-öu*ngen är komplett och innehåller värden på uttu ts variabler plus minsta kostnaden som är lorenlig med att villkoren uppfylls. Genom att sätta in variabelvärdena i villkoren får man veta, i fallen (: och ):, hur stor del av villkoret som år tageti anspråk' Resultatet är en helhet, variablerna iir beroende av vatandta, och målfunktionens vårde åir beroende av villkoren och variablerna. Det är viktigt att göra resultatanvändarna uppmärksamma på detta eftersom de ofta diskuterar redovisade resultat Som om de har med oberoende variabler att gora. Ändrar man ett variabelvärde kan man göra de andra ogiltiga. Om man ändrar, tar bort eller tillfor villkor år detta så gott som säkert' I så fall år det nödvändigt att göra en ny körning lor att bekräfta eller forkasta dragna slutsatser. Fastän de olika p:na är konstanter är de många gånger baserade på ett stort antal variabler utanfor villkorsdelen. En lyckad optimering år givetvis beroende av att alla ingångsvärden är riktiga. Man kan man vånta att linjår programmering blir ett standardforfarande for att dimensionera anlaggningar och flöden samt redovisa planerad drift vid tillståndsansökningar. Dessutom lämpar dån sig väl som beskrivning av komplicerade system och deras beteende vid olika forutsättningar. Optimeringen blir sannolikt ett hjalpmedel som genom åren ständigt uppdateras och forfinas då anlåggningar modifieras-eller bytts mot nya, verksamheten lorändras eller nya krav från milj övårdande myndigheter tillkommer. Ju bättre ingångsvärden desto större precision i optimeringen' TVÄ ENKLA TILLÄMPNINGAR...

10 optimering driften sid 10 (64) Linjär programmering har tillämpats i två fall hittills hos oss. Det forsta fallet är strukturellt enkelt' men leder till ett omfattande databehov och olika tolkningar av villkorsdelens ekvationer. Infrr en masskopiering av biogra{kopior stod det klart att återvinningsanläggningen for ECP-U inte skulle hinna med att behandla fiirgframkallaren och dess stoppbad. Systemet ser ut som nedan och måste utökas. fl volym framkallare / tidsenhet sl volym stoppbad /tidsenhet x återvunnen volym, alltid 1 m3 ltidsenhet Vad man kunde förutse, om inget giordes, var att det kunde bli nödvändigt att skicka både stoppbad och framkallare till Sakab. För att minska volymen av stoppbadet kunde aktivt kol användas, stoppbadet innehåller endast la 6Ä av CD-z halten i framkallaren. Aktivt kol lor framkallaren bedömdes inte behövas, eftersom den kan gå tillbaka till framkallningen efter kemikaliekomplettering. I vissa lagen kunde det bli nödvändigt att blanda ny framkallare flir att undvika avbrott i framkallningen. Det utökade systerret måste då se ut som nedan. Problemet är att finna de floden som ger den lägsta kostnaden.

11 optimering driften sid 11 (64) maskiner f0 är volym framkallare från maskinerna fl " " av f0 som går till återvinningen P. u " av f0 som går tillbaka obehandlad f3 " " av f0 som går till Sakab f4' " från återvinningen f5 " " nyblandad framkallare s0 " " stoppbad från maskinerna s1 " " av s0 som går till återvinningen s2 " " av s0 som går genom aktiw kol, som sedan går till Sakab s3 " " av s0 som går direkt till Sakab Låt oss kika på vilka ingångsvärden man måste ha i villkorsdelen. Optimeringen måste avse sn bestämd period. Optimeringen kan ge olika resultat ör olika perioder' Det är inte bara att skala upp eller skala ned i sådana här sammanhang' Perioden sattes till48 timmar, vilket är tidscykeln for återvinningsanläggningen. Därutöver behövs fl ödet/48 timmar for framkallare och stoppbad från maskinerna, jonbytarens

12 kapacitet, aktiva kolets kapacitet, CD-? halten i framkallare och stoppbad sorn kommer från maskinerna samt CD-? halten i framkallaren som går tillbaka till maskinerna. Till kostnadsfunktionen behövs en hel del ingångsvården' - destruktiontskostnaderna hos Sakab for framkallare, stoppbad och aktivt kol. - transportkostnader till Sakab lor desarnma - andra kostnader som år aktuella når Sakab är involverad' - kostnaden for 1 m3 nyblandad framkallare, - " * CD-2tillskottet i en m3 ej behandlad framk' - rr " 1 m3 åtenunnen framkallare It rr I m3 återwnnet stoppbad tr rr 1 kg CD-2 Det behövs alltså ett stort antal ingångsvården flor att kunna starta optimeringen. Oftast finns de inte tillgängliga till att börja med. Sedan år det svårt att få dem tillforlitliga' Ibland finns det inget faktaunderlag alls, eftersom man aldrig forutsett behovet av det och exempelvis journaler saknas. En optimering kan alltså behova en hel del forberedelser och framforhållning. Till sist år man emellertid, utan att visa sifferdetaljerna i högerleden: optimering driften sid 12 (64) Villkor lor perioden 48 timmar fl + f2 * f3 : 3,36 volym framkallare från maskinerna, allt måste tas om hand 2 + f4 + f5 : 3,36 volym framkallare till maskinerna, saflrma volym måste återgå till maskinerna så att totala volymen är konstant. Nyblandning kan inte uteslutas f4 fl + sl - 1 en m3 framkallarel48 timme måste tillforas systemet så att halten biprodukter stannar på en godtagbar nivå :3,67 jonbytarens kapacitet, hela kapaciteten utnyttjas, dårav likhetstecknet s1 + s2 + s3 : 5,71 volym stoppbad från maskinerna, allt måste tas om hand [halten CD-2] * fl + [halten CD-2] * sl (: 5'8 ' den återvunna framkallningsvolymen ffir inte innehålla mer CD-z än vad som står i receptet

13 optimering driften sid 13 (64) alla variabler >0 : 0 Kostnad i tusenkronor: 2.9-1,4 * fl * sl * 1,5 x D. + 3 * fj + 3,3 * f5 +0,6xs2+3*s3 RESULTATET av optimeringen blev att per 48 timme fl : 1 m3 framkallare från maskinerna genom jonbltaren D.:2,36 m3,,?t,' gär tillbaka obehandlat av jonbytaren ingen framkallare till Sakab R :0 f4: 1 m3 återvunnen volym från jonbytaren f5 : 0 ingen ny framkallare behöver blandas sl :2,6'l m3 stoppbad från maskinerna går till jonbytaren s2:3,04m3,,,,,, gär till Sakabvia s3 : 0 aktivt kol inget stoppbad går till Sakab direkt min. kostnad:6196 krl48 tirnmar Av speciellt intresse här är naturligtvis de variabler som är noll. Resultatanvåndare missar ibland betydelsen av en nollvariabel. Driften sattes upp efter resultatet och naturligtvis blev det awikelser, till det bättre faktiskt. Volymen stoppbad till Sakab via aktivt kol stannade på 3 m3 for hela perioden på 10 dagar, vilket tyder på att flödet överskattades då optimeringen sattes upp. De.t andra fallet gäller minimering av operatörskostnaden for framkallningsmaskiner i ett tänkt sammanslaget laboratorium mellan Swelab och FilmTeknik. Ingångsvärdena var antalet meter/timme, antalet timmar maskinerna kan gå och operatörskostnaderltimme for olika arbetstider. Resultatet båkraftar tumregeln att belasta den billigaste vägen forst. Hade belastningen angetts i meter/timme under daglid hade denna siffra blivit mindre under dagtid iin "nattetid" beroende på fler avbrott och servicetillfiillen på dagen' Det hade då inte varit uppenbart vilken belastning som blivit billigast och optimering hade varit enda möjligheten att fä den sorts klarhet som övertygar folk med pengar- Optimeringen är emellertid intressant ur andra synpunkter. Flödesschemat for tre positir.'rnaskiner är:

14 optimering driften sid 14 (64) FILMFLODET TILL EN MASKIN-GRUPP maskin 2 Alla f betyder meter film/tirnme Villkor: fl+f2+f3 fl1 +flz+fl3 -fl u+n2+n3 -n f31+ f32+ f 33 - R fl1 (: fi21: 9900 fl3 <: D1<::13500 f221: 9900 D31:14400 R1 {: RZ 4: 9900 R3 (: F, alla f ): 0 :f n Kostnad: Minimera.5*T27,27*9,5 + ft2*2,166*223,40/ fl3 * 2,T66*291, n2*2,166x223,401180a + n3 x 2,166*291,65/ RZxZ"I66*ZZj,4Allg00 + f33 * 2,166*291,

15 optimering driften sid 15 (64) optimeringsperioden är 24 timmar. De fyra lorsta villkoren är balanwillkor. Det år inte forsvinna eller komma till film på vägen. Resterande är öwe och undre begränsningar for variablerna. Här har ciet "självklara" villkoret att ingen film har negativ längd skrivits ut sist i villkorsdelen. Det är inte alltid kla* vilken algoritm eller råkneprocedur ett dataprogram anvånder och for säkerhets skull kan det vara nödvändigt rttvaraövertydlig. När jag korde det forra exemplet fick jag negativa värden på en del floden och nollkostnad' Problernets praktiska natur avslöjade falsariet, men det finns problem diir det inte ilr lika lättgenomskådligt. Kostnaden innehåller en konstant fiorst. Den tas inte med i algoritm, den har ingen inverkan på optimeringen' De andra termerna har sorten [meter film ] * [1](meter/timme)] * fant operatörer] * fkr/(timme & operatör)] : kr Det är till trjalp att göra en sortanalys i kostnadsdelen for att kontrollera att den blir rätt....och EN MINDRE ENKEL UTREDNING.., Denna utredning avser inte ett sammanslaget laboratorium. Swelab är skyldig att ha en indunstningsanläggning i drift den I juli 1996 enligt lånsstyrelsens tillstånd for att inte modifierade former av cd-z och cd-3 från återvinningsanläggningarna skall nå reningsverket på Loudden. Ämnena finns i fiir[framkallare och deras stoppbad. En optimeringsanalys görs foiatt se hur man på billigaste sått skall uppfylla villkoren. Hänsyn kommer också att tas till riktvardesvillkoren lor NH4, SO+ och cn, eftersom indunstaren kan användas åven på dessa Men lorst en titt på ingångsvårdenas kvalitet och ursprung. Volymerna lor olika bad lir noga kåinda utom for sköljvatten, vars volymer kan vara Över- eller underskattade 1-2 ggr' Kostnaderna iir ktinda och torde vara riktiga. Indunstningsfaktorena är uppskattningar. Ingen egen praktisk erfarenhet finns for närvarande. Badens ämnen och halter är vål kända enli$ recept och analyser. Skölj-volymer Det år svårt att uppskatta sköljvolymerna' Inga måtningar har gjorrs på dem. Man får tills vidare lita till beräkningar baserade på mångden utslåppta kemikalier under året, tot-cn flor blek och S2O3 for fix. Manualviirdena for blek och stopp är lika varfor volymen stoppskölj sätts lika rned den for bleket'

16 optimering driften sid 16 (64) Volym blek-skölj Enligt analysresultat från utomstående lab (VW) var utsläppt mängd tot-cn 119 kg, vilket motsvarar 251,2 kg K-ferricyanid, som finns i 4,7 m3 blek. Om bleksköljen år 1 o/o blek, vilket analyser tyder på, motsvarar detta 470 m3 blekskolj. Volym stopp-skölj Volymen uppskattas till470 m3. Volym fix-skölj 3506 kg S2O3 släpptes ut vilket motsvarar 4639,4 kg ATS' fi*. Volymen utsläppt slutavsilwat fix Det finns i 30,8-3 O* fixsköljen är I Yo fix var volymen fixskölj 590 var m' kg SOa slåpptes ut vilket är 854 kg mer än vad balansråkningarna kan svara for. Dårlor har 4 m3 extra fix formellt tilllorts for att få en realistisk optimering' Det är trots allt analysvåirdena fran WL som bestiimmer utomstående intressenters ståillningstagande. NH4 kommer dä attbli 14 % hogre än vad analysvärdena säger. Frågan är om NH4 kan mätas koirekt eftersom dygnsprovetnaär basiska, ph 8-9, och det formodligen avdunstar NH4. Kostnader I kostnaderna ingår inkopspriser, transport- och destruktionspriser enligt fakturor från sellbergs och Sakab. vattenoch elkostnader tas inte med. Medelvärden har använts. Enligt branschkållor är Sakabs pris for indunstade lösningar 9-13 kr/i. 10 har använts' Indunstningsfaktorer Labbet har ingen egen erfarenhet av hur långt indunstningar kan drivas foi olika lösningar eller blandningar därav. Till grund lor de angivna faklorerna ligger kemiska övervåganden baserade på salters löslighet. Det är viktigt att den indunstade lösningen är pumpbar och lätthanterlig for transportörer och Sakab. Riktvärden Riktvärden är angivna som halter, mg/i, i tillståndet for verksamheten. Optimeringen åndrar utslåppta volymer och därmed hal-

17 terna. Därbr har riktvärdena översatts till vikter, kg. De är ftillåten halt] * [utgående volym processvatt en 799 5f - optimering driften sid 17 (64)

18 optimering driften sid 18 (64) Destruktions-kostnader Aktivt kol 84>lkg Kapacitet 2 hg CD/kg Sakab 4.-lkg Transport 3.-lkg Destruktionskostnad/liter framkallare kr Fotolösningar Sakab 4,20kdl Transport O,3074krll Destruktionskostnad/liter lösning 4,5A7 4 kt bad :ECP-[ ämne(n) '.3.62 g SO4/1 årsvolym : I (enljournaler) destr.kost krll lor lösning symbol : x11, x12 ind.fakt. : l0 bad : ECP-[ stopp ämne(n) :10.585gSOa/l årsvolym : (enl. journaler) destr.kost. '. 4.5A74 kr/lfor losning symbol '. x2l,x22 x2t+x4l ind.fakt. : 10 ( bad : ECP-[ stoppskölj : l Yo stopp ämne(n) : gSOaÄ årsvolym..32g7011(uppskattad"g4000enligtmanualer) destr.kost. ' krll for losning symbol : sammanslaget med ECN-II stoppsköljar ind.fakt. : 200 ) bad.ecn-ii ämne(n) SO4/l årsvolym : I (enl.journaler) destr.kost. : kr/l lor losning symbol '. x31,x32 ind.fakt. : 10 bad : ECN-II stopp ämne(n) :10.585gSO411 årsvolym I (enl journaler) destr.kost kril for lösning symbol '. x4i,x42 ind.fakt. : 10 ( bad : ECN-II stoppskolj : 1Yo stopp

19 ämne(n) : g SO4/l årsvolym. MA 2991 (uppskattad,4a 000 enl manualer) destr.kost. ' kr/l for lösning symbol : sammanslaget med ECP-[ stoppsköljar ) ind.fakt..zaa bad :VNF ämne(n) : 11 g CD-3n g SO4ll årsvolym.295a I (enljournaler) destr.kost. ' krll flor losning krlkg aktivt kol symbol. x51, x52 ind fakt.. 1o bad :SV/V ämne(n) :HQ, metol, fenidon årsvolym : (enl journaler) destr.kost. ' kr/l for lösning symbol :x61 ind.fakt. '.2p gamycket sulfit bad :FIX åmne(n)' gnh4/1 r9s.437 g SO4/l årsvolym (enl journaler) destr.kost. ' krll för lösning symbol '. x7i,x72 ind.fakt. :5pgaATS bad : STOPP-SKÖLJAR sammanslaget ECP-II och ECN-II stoppsköljar: 1 oä stopp amne(n) : g SO4ll årsvolym : I (uppskattad,l enl manualer) destr.kost.. 4,5074 kr/l for losning symbol : x81, x82 ind.fakt. : 200 bad : BlEK-sköljar: 1 %blek ämne(n) '. A g CNÄ årsvolym : I (uppskattad, T enl manualer) destr.kost ktä symbol '. x9l, x92 ind.fakt. '.2a0 bad : FlX-skÖljar: I o/o ftx ämne(n).a36629gnh4ll r.9s437 g SO4/l årsvolym : I (uppskattat, enl manualer) destr.kost.. 4.5A7 4 krll optimering driften sid 19 (64)

20 symbol. xl01, xl02 ind.fakt. :200 (u3 1e96 LEK) optimering driften sid 20 {64)

21 Den nuvarande ar,{allshanteringen har nedanstående konfiguration, dår flödena år angivna i m3. Aktivt kol örekommer som mojlighet for VNF. optimering driften sid 2l (64) ECP-ll ECP-II STOPP ECN-Il ECN-II STOPP VNF x31 x41 103,57 224,27 26 AVLOPP SVA/ FIX STOPP - SKÖLJ BLEK - SKÖLJ FIX - SKÖLJ x71 x81 x91 x101 28, AKTIW KOL 0 2,95 11,95 SAKAB

22 optimering driften sid 22 (64) Villkor: xll: T03,57 m3 ECP-II frånåtervinningen x2i :224,27 m3 tt Stoppbad 'r x3l: 26 m3 ECN-II " 't x51+ x52:2,95 m3 VNF frånmaskinerna x61 :11,95 m3 rt sv/v " rr rl x77 :28,945 m3 Fix x81 :470 x9i :470 m3 blek skoljar m3 fi* skoljar x101 :590 m3 stoppsktiljar NH4-riktvärdet: 36,629 * x71 * * x101 <: 1617,4 kg SO4-riktvardet: 3,62 * xl I * 10,585 xxzl * 4,945 * x ,661 * x ,571 * x71 + 0,10585 * x81 f Z,I457I * x 101 <:97A4,4k9 CN-riktvärdet: 0,23293 * x9l <:80,87 kg alla variabler ): 0 Kostnad: * x51 f 4, x52 + 4,5A74 * x61 Resultat av optimeringen Riktvärdeskraven är inte uppfullda. För mycket CN från blekskoljvattnet och so4 från slutavsilvrat fix kommer ut. Kostnaden lor hantering en är :-. I själva verket är kostnaden högre p g a att framkallare i maskinerna då och då skickas till Sakab når de misstänks vara av dålig kvalitet. Ibland skickas också fix till Sakab när det inte finns hanteringsutrymme for det. För att finna kostnaden för det nuvarande systemet om det skall uppfylla alla villkoren infors alla tänkbara vägar och optimering av dem följer. För åskådlighets skull visas de på tre sidor. annars blir bilderna mera en demonstration av komplicerad rördragning

23 optimering driften sid 23 (64) Del 1(3) ECP-II och ECN-II processerna ECP-ll ECP-II STOPP ECN-rl ECN.II STOPP x41 x11 x21 x31. VNF AVLOPP SVA/ FIX STOPP - SKÖLJ BLEK - SKÖLJ FIX - SKÖLJ E SAKAB

24 optimering driften sid 24 (64) Del2(3) \rflf, SV/V OCH slutavsilwat FIX ECP-ll ECP_II STOPP ECN-ll ECN-II STOPP VNF AVLOPP SVru FIX STOPP - SKÖLJ BLEK - SKÖLJ FIX - SKÖLJ x71 AKTIW KOL

25 optimering driften sid 25 (64) Del 3(3) Stopp-, fix- och bleksköljvattnen ECP-tl ECP-II STOPP ECN-II ECN-II STOPP VNF sv/ AVLOPP FIX STOPP - SKÖLJ BLEK - SKÖLJ FIX - SKÖLJ x8t xe1 1 x101. E x12 x102 - SAKAB

26 optirnering driften sid 26 (64) Villkor: xll + xi2: 1A3,57 m3 ECp-II från återvinningen x2l + xz2:224,27 m3 Stoppbad " 'r x31+ x32: 26 m3 ECN-II " '' x51 + x52: 2"95 m3 \'NrF från maskinerna x61 : 11,95 m3 SV/V " '' x71 + x72: 28,945 m3 Fix rr rr x81 + x82:470 m3 stoppsköljar x91 + x92: 470 m3 blek sköljar x101 + xl}2:590 m3 fix skoliar NH4-riktvärdet: 36,629 * x * x101 <: 1617,4 kg SO4-riktvärdet: 3,62 * xl1 * 10,585 *x21 + 4,945 * x31 t 11,661 * x51 * 214,571* x71 f 0,10585 * x81 * 2,14571x x 101 <:97A4,4k9 CN-riktvardet: 0,23293 * x9l (: 90,97 kg alla variabler >: 0 Kostnad: 4.5A74* xl}+ 4,5074* x22+ 4,5074* x * x51 + 4,5A74* x * x61 * 4,5074* x72+ 4,5074 * x82* 4,5074* x92+ 4,5074* x102 Resultat av optimeringen. De erhållna flöden, som inte är noll, år markerade i m3 i efterloljande figur. Kostnaden lor hanteringen år :-, nästan l0 ggr den nuvarande kostnaden.

27 optimering driften sid, 27 (64) RESULTAT AV OPTIMERINGEN forts ECP-lr ECP-II STOPP ECN-ll 103,57 224,27 26 ECN-II STOPP VNF SVAI FIX STOPP - SKÖLJ BLEK - SKÖLJ FIX - SKÖLJ AVLOPP 25, ,2 590 AKTIW KOL 122,8 2,95 SAKAB 11,95 3,26

28 oplimering driften sid 28 (64) En tabell-jämftirelse av de två analyserna ger: n indunstare, sort m3 Villkor ej uppfyllda Villkor uppfyllda Avlopp Sakab Avlopp Sakab ECP-il r03,27 103,27 ECN-II 26,00 26,A0 Stoppbad 224,27 224,27 VNF?q5,q5 SVA/ 11,95 I 1,95 FIX 28,95 25,69 3,26 Stoppsköli 470, Blek rl 470,00 347,20 122,80 Fx 590,00 590,00 Kostnad ' :- Nästa steg är att infora den krävda indunstaren, definiera flödesvägarna, optimera och dra slutsatser. I kostnadsfunktionen ingår bara destruktionskostnader inklusive transport. För åskådlighets skull visas konfigurationen på tre sidor. Framkallare och stopp kan inte skiljas åt eft.er återvinningen av CD-ämnen. De är sammanslagna till en lösning. Indunstarens kapacitet är en eftersökt variabel, därlor har inga begränsningar inforts for den. Det blir aktuellt forst när den är på plats.

29 optimering driften sid 29 (64) Del l(3) ECP-[ och ECN-II processerna. ECP-tl ECP-II STOPP ECN-rl ECN-II STOPP VNF SVA/ FIX STOPP-SKÖLJ BLEK-SKÖLJ FIX-SKÖLJ AVLOPP AKTIW KOL

30 optimering driften sid 30 (64) Del 2(3) \AIF, SV/V OCH FIX processernå med indunstare ECP-tl ECP-IISTOPP ECN-ll ECN-II STOPP VNF SVA/ FIX STOPP-SKÖLJ BLEK-SKÖLJ FIX-SKÖLJ AVLOPP

31 optrmering driften sid 31 (64) Del 3(3) Stopp-, blek- och fixsköljvatten med indunstare ECP-il ECP.IISTOPP ECN-tl ECN-II STOPP VNF SVA/ FIX STOPP-SKOLJ BLEK-SKÖLJ FIX-SKÖLJ AVLOPP AKTIW KOL

32 optirnering driften sid 32 (64) Villkor for perioden 1 år: xl1 + x12 : 353,84 m3 ecp-tt + ECN-II + Stoppbaden -xl1 + x13 (: 0 indunstningwillkor xll - 10 * x13 <:0 '' x21 + x22 + x.23 :2,95 m3 VNIF -x2i + x24 (: 0 indunstningsvillkor x2l-10*x241:a '' x3t + x32 (: 11,95 m3 SV/V -x31 + x33 <: 0 indunstningsvillkor x3i-2*x33 <:0 '' x41 + x42 + x43 : 28,945 m3 ftx -7Q/ + x44 (: 0 indunstningwillkor x42-5*x44 <:0 'r x51 + x52 + x53 : 470 m3 Stoppskölj -yj) + x54 (: 0 indunstningsvillkor x52-200* x54 (:!r 0 x61 + x62 + x63 : 470 rr'3 Blekskölj -x62 + x64 <:0 indunstningwillkor x62 _ 200* x64 (: 0,, x71 + x72 + x73 :590 m3 Fixskölj -x72 + x74 (: 0 indunstningsvillkor x72-5aa*x74 <: O '' NH4-riktvärdet: 36,629 * x41 * A36629 * x7l <: 1617,4k9 SO4-riktvärdet: Il,66I x x ,571 * x4l * 0,10585 * x5l * 2"14571 x x7t <:9704,4kg CN-riktvärdet: * x61 <: 80,87 kg (( Indunstarens kapacitet, används ej här: xl1+ xzl+ x31+ x42+x52+v$/+x72 (:Maxvol)) Kostnad: 4.5A74 * xl?+ 10 * x13 + 4,5074 * x22+ 5,005 * x23 + IO * x24 + 4,3074 * x *x33 + 4,5074 * x43 + 1O *x44 + 4,5A74 * x * x54 +4,5074I x * x x x73 t 10 x x74

33 Kommen så här långt är en vanlig situation att resultatanvändaren vill ha variationer på ett tema, vilket ar latt att åstadkomma genom små andringar i villkoren eller ingångsvärdena. Risken är bara att rikedomen på resultat blir överväldigande. Om inte resultatanvåndaren själv är väl insatt i problemställningen eller inte har deltagit i uppbyggnaden av optimeringen är det nödvåndigt att tolka resultaten, formulera slutsatser, påpeka speciella lorhållanden av intresse och göra begripliga tabell sammanfattningar. Stoppbadet exempelvis gär att återvinna genom jonbytesteknik och påverkar då villkoret xl1 + xtz:353"84 m3 så att det blir xl1 + xl2: t29.27 m3 Ett nytt resultat faller genast ut, tabell2. Bleksköljvattnet kan koncentreras genom nanofi ltrering. Det påverkar villkoren x61 + x62 + x63 : 470 m3 Blekskölj -x62 + x64 <: 0 indunstningsvillkor r' x62-200* x64 <: 0 så att de strycks. Ett nytt resultat faller genast ut, tabell3. Indunstaren kapacitet lor de olika resultaten är nu lätt att beräkna, tabell 4. Med de givna ingångsvärdena kommer man inte längre. För att kunna det måste man veta hur stoppbadet tas om hand, om elutatet går till Sakab eller om CD-ämnena återvinns, vilka anläggningar som kommer att anvåndas och vad det kostar att driva dem? Detsamma gäller lor blekskoljvattnet. Det är alltså dags att gätillbaka och komplettera optimeringen. Genom att köra optimeringen med olika foreslagna anläggningar kan man skaffa sig underlag lor en noggraffl utvärdering av investeringar och hur lång tid det tar att känna in dem. En tabelljåmforelse mellan de tre analyserna for indunstare visar att återvinning av stoppbadet sänker avfallskostnaderna rejålt, medan blekbadet däremot har en marginell inverkan på kostnaderna. Indunstaren frrutses ha autotomatisk påfullning och tömning samt reglera ph så att NH4 (ammoniak) från fixsköljvattnet och SO2 (svaveldioxid) fran sulfiter inte finns i den bortkokade ångan? annars uppstår nya miljöproblem, formodligen med krav på aktivt kol i släpptåg. Daglig tillsyn uppskattas till 1 timme. En separat beråkning ger att det återvunna stoppbadet sparar 5190 :- i vatten- och kemikalierkostnader,224,27 m3 vatten och 1345,62 I svavelsyra om CD-ämnena inte återvinns och optimering driften sid 33 (64)

34 ytterliggare :- om CD-åimnena återvinns. I m3 btek sparer ,55 kg kaliumferricyanid och 40,5 kg kaliumbromid. Det år alltså marginella vinster. För närvarande år tillgiinglig kunskap om bleksköljarna rnotsägande. EnliE utsläppsmångden tot-cn rör optimering driften sid 34 (64) det sig om 4,5 m3, men det nyblandas bara 1 tt13 per år for att hå1la blekvolymen i systemet konstant. Å andra sidan tillsätts kaliumferricyanrd som motsvarar 4,5 m3. Vad som verkligen händer är inte kant idag.

35 optimering driften sid 35 (64) Tabell 1, resultat for 1 år '4ed indunslare, sort m3 Tabell2 resultat for I år itoppbäd el ätervunnel Lekskö1j ej återvu lrrcnrttnd s akab S akab indunstat di rekt ECP_ I I LA3,21?q 1e ECN- ] T 26,44 a+ nnnl-r:ä 224,2'7 VNF )a\ 0,30 '1 SV/V 1 q5 11 qq FlX )e q5 )a qt Q 1- nnn < L Ä I - 470,00 470,00 tj-l CK 4?0,00 341,24 0,61 "t -Lx 590,00 590,00 nv - --r..* qull- ^! u. -.^ v 1 vt,-- yrtt -3 ]!t 443, o0 Tot-kostn :- Iekskölj ervllnne e1 återvunnet Stoppbad Avdunst. volym m3 Tot-kostn.

36 optimering driften sid 36 (64) Tabell 3,resultat for 1 år itoppbad r.l eksl.äl ; återvunnet å1- efvunnel ursprung. Sakab Sakab volym rvliv indunstat direkt ^v ECP_II LO3,2'/ L2, 96 ECN_ I I 26, OO Stoppbad?? a 21 /NF, oe. 0, 30 SV/V 11 0q LL, 95 FIX?c qq 28, 95 Stoppskö1 470,00 414,40 Bfek 470,00 Fax 590,00 590,00 ArrrJr rn qf - rrol rrm m3 119,00 Tot-kostn : - Tabell4 resultat for 1 år :E=dr#es lqrcij:*l*q. a.rf r:*- rccgr:å-:cirrr lc$rnr6 ltftn I,r=ö Ytilc. ft=ljrra t:r9 71 4re t5 ':.% 24- Q w re -77 :I_/ 2. 5 T}4- S AMMANFATTNING for kemi ster. 1. Villkoren har alltid formen a * x*b * y+ c* (:, : eller ): etttal Glom inte de "sjålvklara" villkoren! Att bygga upp optimeringen stegvis minskar risken lor fel och ökar forståelsen for problemet. Rita figurer! 2. Målfunktionen har också samma form. Vad den är lika med tar den linjara prograflrmeringen reda på. 3. Resultatet år en helhet och kan kräva en stunds eftertanke och bearbetning, speciellt om beställaren av optimeringen inte själv är väl insatt i problemet och antalet variabler är stort (1500 for att böja motorhuven på bil och for att dimensionera telefonnätet i Stilla Havet, enligt uppgift i alla fall). 4. Genom att såtta in värdena på variablerna i villkoren år man reda på hur mycket ett villkor år taget i anspråk, om det finns marginal kvar eller om det är helt upps'llt. Det torde vara av störst intresse lor t ex miljolorvaltningen

37 och lånsstyrelsen" när de skall beståmma rikt- och gränsvården. 5. Ingångsvårdena kan komma från ett stort antal kallor och vara av skiftande kvalitet. Om mojligt var ute i god tid och samla in dem. optimering driften sid 37 (64)

38 optimering driften sid 38 (64) S AMMANFATTNING for ekonomer : Linjåir optimering har anvåints lor att minimera destruktionskostnaderna. De inkluderar transport till Sakab. Beråikningarna har skett på 1995 års volymer enligt miljörapporten. Extra volymer p g a misstänkt dålig kvalitet hos vissa bad ingår ej. Kostnader lor drift av anlåggningarna ingår ej. Vinster p g a återvinning ingår ej heller, eftersom anlaggningar och konfiguration inte har beslutats om. Uppglfterna duger till att bedöma destruktionskostnaderna i stort. Nuvarande anlaggning villkoren ej upp$llda '.- Nuvaranda anläggning :- villkoren uppfyllda Nuvarande anläggning * indunstare villkoren uppfyllda :- Nuvarande anlaggning * indunstare villkoren upp$llda stoppbadet återvinns :- Nuvarande anläggning * indunstare villkoren uppfyllda stoppbadet återvinns bleksköljvatten återvinns :-

39 optimering driften sid 39 (64)...SOM BLIR ALLTMER INVECKLAD. Om Swelab och Film Teknik AB slås ihop till ett laboratorium kommer sannolikt återvinningssystemet att byggas ut. Utredningen måste då göras mer omfattande. Man måste ta med vad som kan tånkas komma till i form av nya anläggningar, att räkna med alla kända kostnader, som t ex anläggning forbrukningsmateriel specifika för anläggnngen t ex jonbytare, filter, aktivt kol, tvättlösningar, elueringslösnigar, ph-justerande losningar etc etc underhåll energi arbetskraft och att variera driftsätten samt forsöka forutse konsekvenserna av dem. Äterigen är kvaliten på uppgifter ojåmn. Några firmor ger noggranna uppgifter andra bara översiktliga. Jonbytare for återvinning av vatten ur stopp-, blek- och fixsköljarna kan tillkomma och jonbyare frr återvinning av stoppbaden till ftirgframkallarna samt nanofiltrering for återvinning av blekkemikalierna och vattnet ur bleksköljarna, Kostnaderna är lor el till pumpar och indunstning, lor kemikalerier for ph-justering av lösningar samt eluering och tvätt av jonbytare. Äterr,unna kostnader, om uttrycket tillåts, är från återvunnet vatten, stoppbad och blekbad. Kostnader av de båda typerna inlors bara om de medlor awikelser från de kostnader som finns for den nuvarande anläggningen, som således är referensanläggning Kapacitetsvillkor for nanofilteringen och indunstaren tillkommer. Därlor infors destruktionsvägar via aktivt kol i en del fall for att öka möjligheterna att uppfylla villkoren. Jonbytarna antas dimensionerade så att de räcker till. I de uppskattade kostnaderna nedan ingår inte anlåggningskostnaderna. Indunstaren är pä 76 kw" indunstar 100 Vtimme och drar 0,45 kw. Elkostnaden blir 0,A7 2 tkr/m3. Arbetskraften kan uppskattas till 0,021 tkrlm3. Således 0,093 tkr/m3. Ärskapacitet 350*23* 100i1000:805 m3. Jonbytaren for sköljvatten kostar enli$ uppgift i branschen 0,04503 tkr/m3. Jonbytaren for stoppbad antas kostar 0,0009 tkr/m3 i pumpkostnader. 0.1 tkr/m3 for eluat och 0,021 tkrlm3 for

40 optimering driften sid 40 (64) arbetskraft. Således 0,1219 tktlm? flor eluering av CD-ämnen. Nanofiltreringen för blekhanteringen kostar 0, tkr/m3. fuskapaciteten är 1352 m3. ph-justering med hydrolitmagnesium kostar 0,0686 tkrlm3 for stoppbaden. destruktion av 1 m3 stoppbad på aktivt kol ar 0.5 tkr under forutsättning att CD-halten är 0,5 g/1. Den tidigare uppgiften, 5,005, avser VNF-framkallaren. Det är således bara jonbytaren för sköljvatten och nanoflltrering av blek som har trovärdiga kostnader, men {ör principdiskussionen spelar det mindre ro11. Man kan infora alla tånkbaravägar, det iir ändå bara den optimala som "överlever". Förfarandet är praktiskt i de fall man inte kan ha någon uppfattning om det kommande resultatet, beroende på att man inte kan Överblicka hur olika lösningar konkurerar om anlaggningarna eller hur kostnader och åter- \unna kostnader tar ut varandra. Man kan också infora anlaggningar från olika leverantörer samtidigl, som gör samma jobb, men är olika dyra i drift. Metoden väljer de flödesvägar som ger den billigaste totala kostnaden samtidigt som alla villkor år uppfitllda. Den pekar på så sätt ut de anläggningar som bör våljas att fungera tillsammans. Resultatet är en lista på vården for alla variabler, d v s volymer per flödesvägar och hur villkoren iir uppfyllda, ddr framgår vilka villkor som inte har utnyttjats fullt ut. Det kan vara vårt att påpeka vad programmet inte gör: det ger flödena per år och anlaggning men såger inget om hur den dagliga fordelningen skall ske. Och nu till praktikfallet som sannolikt kommer att tillämpas vid framtida planering. Löpande kommentarer ges efter hand som de är nödvändiga. Genom att inte ha några kapacitetsvillkor på stopp- och sköljjonbytarna ftlr man fram den volym de bör ha. Kostnader i tkr/m. Volymer är årsvolymer. ECP-[ och ECP-[ Enligt nuvarande villkor får modifierade former av CD-ämnen inte tillforas avloppet. Framkallare som gått genom återvinningsanläggningarna måste indunstas och återstoden skickas till destruktion eller gå direkt till Sakab.

41 optimering driften sid 4f (64) I Driftvillkor xlo + x11 : l?9,27 total volyrn frarnkallare -xl0 + x12 (:0 indunstningwillkor x10-10 *x12 (:0 r' 2 Kostnader 1 0 åir indunstningsfaktor Sakab 4,5074 x xl * x12 Indunst. 0,093 (x10 - xl2) 3 Återvunna kostnader inga 4 Sammansatt kostnad 0,093 * xlo + 4,5074 * xll + 9,907 * xl? 5 Indunstat x10 - xl2 6 Genom jonbytaren lor stopp inget 7 Genom jonbytaren for sköljvatten inget S.Genom nanofiltreraren inget 9 Riktvarden inga

42 o'ptimering driften sid a2 (6a) ECN-II och ECP-il ECP.IISTOPP ECN-IISTOPP VNF SVA/ FIX STOPP-SKÖLJ BLEK-SKÖLJ FX-SKÖLJ AVLOPP AKTIW KOL NANOFILT- RERING AV BLEK JONBYTARE FÖR STOPP INDUNST, BLEK ATER VATTEN ATTR STOPP ÄTCR

43 optimering driften sid 43 (64) ECP-II STOPP Stoppbadet kan göras basiskt och destrueras via aktivt kol, indunstas och gå till Sakab, gå direkt till Sakab eller återvinnas. En väg har lagts in for återvunnet stopp till indunstare och Sakab, ifall en del dårav måste kastas. 1 Driftvillkor x20 + x2l + x22 + x23 : T59,7 99 a/a av total årsvolym, I Yo går bort i stoppsköljvattnet -x22 + y24 <: 0 indunstningsvillkor x22-2a * x24 <:0 '' x25 +x26 + x28 -x20:0 -,n5 + x27 (:0 x25-20 * x27 <: Q 2 Kostnader 20 är indunstningsfaktor balansvillkor vågen finns med for det fall att återvunnet stopp måste kastas indunstningsvillkor '' 20 är indunstningsfaktor Sakab 0,5 x x2l * x23 + T0 * xz4 +4 5A74 * x26+ I0 * x27 Indunst. 0,093 * (x22 -x24) + 0,093 * ("25 -Y27) Stoppjonb 0,0009 * x20 + 0,01309 * xzb ph-just. 0,0685 * x2l + 0,0685 x x22 + 0,0685 * x25 Om stoppbadet till ECP-U återvinns undandras det från återvinningen av framkallaren. ph måste då sånkas for den senare med svavelsyra. Kostnaden är 0,0135 tkr/m3 framkallare. Man gör alltså ingen vinst på svavelsyran niir man återvinner ECP-U stoppbadet for sig. I kostnadsfunktionen kan sådana här interna samband fångas upp. 3. Återvunna kostnader stopp 0,0135 * x28 svavelsyra * x28 vatten CD-ämmnen inga, det skulle ändå ha återvunnits i samband med framkallaren for ECP-II 4. Sammansatt kostnad 0,1363 * x * y/1+ 0,1615 * x22+ 4,5074* y23 + 9"907 * x24+ 0,1615 * x * x * x27 - A,02296 *x28

44 5 Indunstat v22-x24+x25-x27 optimering driften sid 44 (64) 6. Genom jonbytaren lor stopp x20 7. Genom jonbyaren for sköljvatten inget S.Genom nanofiltreraren inget 9 Riktvården SO4 * x21 lso4l:10,s85 g,{

45 optimering driften sid 45 (64) ECP-II STOPP I EcN-il I ECP-il I ECP-IISTOPP ECN-IISTOPP VNF SVA/ FIX STOPP-SKÖLJ BLEK-SKOLJ FIX-SKÖLJ AVLOPP NANOFILT- RERING AV BLEK INDUNST BLEK ATER VATTEN ÄTER

46 optimering driften sid 46 (64) ECN.II STOPP Stoppbadet kan göras basiskt och destrueras via aktivt kol, indunstas och gå till Sakab, gå direkt till Sakab eller återvinnas. En våg har lagts in for återr,unnet stopp till indunstare och Sakab, ifall en del diirav måste kastas. 1 Driftvillkor x30 + x31 + x32 + x33 : 62,33 99 Yo av total volym, 1 0Ä går bort i stoppsköljvattnet -x32 + x34 <: 0 indunstningsvillkor t' x32-20*x34<:0 x35 +x36 +x38 -x30 : 0 20 är indunstningsfaktor balansvillkor vägen finns med for det fall att återvunnet stopp måste kastas -x35 + x37 <: 0 indunstningsvillkor x35-20 * x37 <:0 2 Kostnader 20 år indunstningsfaktor Sakab 0,5 * x3l * x * x * x * x37 Indunst. 0,093 * (x32 - x34) + 0,093 * (x35 -x37) Stoppjonb 0,0009 * x30 + 0,01309 *x30 ph-just. 0,0685 * x3l * 0,0685 * x32 + 0,0685 * x35 3. Återvunna kostnader stopp 0,0135 * x38 svavelsyra 0,00946 * x38 vatten CD-ämmnen inga, det skulle ändå ha återåtervunnits i samband med framkallaren flor ECP-II 4. Sammansatt kostnad 0,1309 * x30 + 0,5685 x x31 *0,1615 * x32+ 4,5074 * x33 * 9,907 * x34 + 0,1615 * x35 + 4,5074 * x36 + 9,907 * x37 * A,02296 * x38 5 Indunstat x32 - x34 + x35 - x37 6. Genom jonbytaren lor stopp x30 7. Genom jonbytaren lor sköljvatten inget S.Genom nanofiltreraren inset t'

47 9 Riktvården SO4 * x31 [SO4]:i0,585 g/l optimering driften sid 4? (64)

48 optimering driften sid 48 (64) ECN-II STOPP I EcN-il I ECP-il I ECP-IISTOPP ECN-IISTOPP VNF SVA/ FIX STOPP-SKÖLJ BLEK-SKÖLJ FIX-SKÖLJ AVLOPP NANOFILT- RERING AV BLEK JONBYTARE FÖR STOPP INDUNST BLEKATER VATTEN ATER

49 optimering driften sid 49 (64) \TNF, SV/V OCH SLUTAVSILVRAT FDGAD Destruktionsvägen över aktivt kol finns med av havd for \rnf. Alla lösningar skall gå till Sakab, via indunstare eller ej. 1 Driftvillkor x40 + x41 + x42:2,95 total volym VNF -x41 + x43 <: 0 indunstningsvillkor x41-10* x43 <:0 " 1 0 är indunstningfaktor x50 + x51 : 11,95 total volym SV/V -x50 + x52 <:0 indunstningsvillkor x50-2*x52 <:0 '' x60 + x61 +x62 :2:,95 2 år indunstningfaktor total volym slutavsilvrat ttx -x61 + x63 <: 0 indunstningsvillkor rt x61-5*x63 <:0 2 Kostnader 5 år indunstningfaktor Sakab 4,5074 * x * x43 for VNF 4,5074 * x * x52 lor SV/V * x * x63 för FIX Indunst. 0"093 * (x41 - x43)+ for \D{F 0,093 * (x50 - x52)+ for SV/V 0"093 * (x61 - x63) for FIX 3. Återr,unna kostnader inea 4. Sammansatt kostnad 0,093 * x41 + 4,5074 * x42 + 9"907 * x43 + 0,093 *x50 + 4,5074 * x51 * 9,907 * x52+ 0,093 xx61 + 4,50V4*x62+9,907 * x63 5 Indunstat x41 -x 43 + x50 -x52 + x6l - x63 6. Genom jonbytaren lor stopp inget 7. Genom jonbyaren for sköljvatten ingel S.Genom nanofiltreraren inget 9 Riktvärden SO48x40+SO4xx60 NH4 " x60 (samma SO4) [SO4]: 11,661 g/l for x40 [SO4]:195,437 gll for x60 FIH4I: 36,629 g/l for x60

50 optimering driften sid 50 (64) \I{F, SV/V OCH SLUTAVSILVRAT FDGAD I EcN-il I EcP-il ECP-IISTOPP ECN-IISTOPP VNF SVru FIX STOPP-SKÖLJ BLEK-SKÖLJ FIX-SKÖLJ f-^^r".] f;-"f;l I RERTNG I I FoR I t_oy''a_j t_='.*_j INDUNSTARE x41 x50 x61 BLEK ATER VATTEN ATER x62 x51 x42 SAKAB STOPP ATEN

51 optimering driften sid 51 (64) SKÖLJVATTEN Jonbytaren for sköljvatten anrikar salterna l40l2,5:56 ggr. Varje sköljvatten for sig antas gå genom jonbytaren for att man eventuellt skall kunna utnyttja att eluatet går till avlopp så långt riktvärdena medger. STOPP-SKÖTTVATTNN Stoppsköljvattnet antages vara lya stopp. Det kan gå till avlopp, Sakab via indunstare eller ej och till jonbytare, vars elutat i sin tur kan gå till avlopp eller Sakab, med eller utan indunstare. Observera att det räcker att sätta upp villkoren. Optimeringsprogrammet tar hand om resten. l Driftvillkor x7l +x72 + x73 + x74:470 totala volymen stoppskölj x76+x77 +x79-2,51140* x72:a balansvillkor -x73 + x75 <: 0 indunstningsvillkor x * x75 <:0 '' 2000 år indunstninssfaktor -x76 + x78 <: 0 'r x *x78 <:0 2 Kostnader år indunstningfaktor. 56 gg har redan skett i jonbytaren Sakab 4,5074 * x *x A74 *x *x78 Indunst. 0,093 *(x73-x75) + 0,093 * (x76 - x78) Sköljjonb 0,04503 * x72 3. Återvunna kostnader vatten 0,00946 * x72 4. Sammansatt kostnad 0,03557 * x72 + 0,093 * x73 + 4,5074 * x74 +9,907 x x75 + 0,093 * x76 + 4,5074 * x77 + 9,907 * x78 5 Indunstat x73 - x75 + x76 -x78 6. Genom jonbytaren for stopp inget 7. Genom jonbytaren for sköljvatten x72 ''

52 optim ring driften sid 52 (6a) 8.Genom nanofiltreraren ineet 9 Riktvården SO4 * x7l + 200A156 * SO4 *x79 (samma SO4) lso4l:0,10585 g/l

53 optimering driften sid 53 (64) STOPP-SKOLJ l-e Jur I I rcp-rr I ECP-IISTOPP ECN-IISTOPP VNF sv/ FIX STOPP-SKÖLJ BLEK-SKÖLJ FIX-SKÖLJ JONBYTARE FÖR INDUNSTARE SKÖLJ- VATTEN BLEK ATER STOPP ATEN

54 optimering driften sid 5a (6a) BLEK-SKÖLJ Sköljvattnet antages vara lyo blek.bleksköljvattnet antages vara IYo stopp. Det kan gå till avlopp, Sakab via indunstare eller ej, till nanofiltrering eller till jonbytare, vars elutat i sin tur kan gå till avlopp eller Sakab, med eller utan indunstare. l Driftvillkor x81 +x82 + x83 + x84 + x85 : 47A llatula volymen blekskölj x87+x88 + x89-2,5/t40 x x83:0 balansvillkor -x84 + x86 <:0 indunstningsvillkor x * rr x86 <:0 -x87 + x871 <- 0 x87-200/56 *x871 <:0 2 Kostnader 200 är indunstninssfaktor 20A I 56 är indunstninssfaktor Sakab * x85 + l0 *x *x *x871 Indunst. 0,093 *(x84-x86) + 0,093 * (x87 - x871) jonbytare 0,04503 * x83 nanofiltr. 0,03057 * x82 3. Återvunna kostnader blek A,02933 * x82 vatten 0,00946 * x82 + 0,00946 "x83 4. Sammansatt kostnad -0,00822x x82 + 0,03557 x x83 + 0,093 * x84 + 4,5074 * x x x86 + 0,093 * x87 + 9,9A7 f x ,5074 * x88 5 Indunstat x84 - x86 + x87 -x Genom jonbytaren for stopp inget 7. Genom jonbyaren for sköljvatten x83 S.Genom nanofiltreraren x82 9 Riktvarden CN * x A156 * CN *x89 (samma CN) [CN]:0,23293 Cl

55 optimering driften sid 55 (64) BLEK-SKOLJ I EcN-il I ECP-il I ECP-IISTOPP ECN-IISTOPP VNF SVA/ FIX STOPP-SKÖLJ BLEK-SKOLJ FIX-SKÖLJ AVLOPP AKTIW KOL INDUNST 0,01*x82 VATTEN ATER STOPP ATER

56 optirnering driften sid 56 (6a) FIX-SKÖLJVATTEN Fixsköljvattnet antages varz lyo fix. Stoppskoljvattnet antages vara lyo stopp. Det kan gå till avlopp, Sakab via indunstare eller ej och till jonbytare, vars elutat i sin tur kan gå till avlopp eller Sakab, med eller utan indunstare. l Driftvillkor x9i +x92 + x93 + x94: 590 totala volymen stoppskölj x96 + x97 + x99-2,51t40 * x92 : 0 balansvillkor -x93 + x95 <:0 indunstningsvillkor x * x95 <:0 '' 500 är indunstninssfaktor -x96 + x98 <:0 '' x96-500/56 *x98 <:0 2 Kostnader 500/56 är indunstninssfaktor Sakab 4,5074 * x *x *x *x98 Indunst. 0,093 *(x93-x95) + 0,093 * (x96 - x98) Skoljjonb 0,04503 * x92 3. Ätervunna kostnader vatten 0,00946 * x92 4. Sammansatt kostnad 0"03557 x x92+ 0"093 * x93 + 4,5074 x x94 + 9,907 * x95 * 0,093 * x96 + 4,5074 * x97 + 9,9A7 * x9g 5 Indunstat x93 - x95 + x96 -x98 6. Genom jonbyaren for stopp inget 7. Genom jonbytaren for sköljvatten x92 S.Genom nanofiltreraren inget 9 Riktvärden NH4 * Xgl + 500/56 * x99 SO4xx91+500/56*x99 (sammanh4 och SO4) lnh4l:o 3662e slr [SO4]:1,95437 gll ''

57 optimering driften sid 57 (64) FIX-SKOLJ I ECN-il I ecp-rr I ECP-IISTOPP ECN-IISTOPP VNF SVA/ FIX STOPP-SKOLJ glex-sröl.r rrx-sröul AVLOPP AKTIVT KOL JONBYTARE FÖR INDUNST SKÖLJ- VATTEf{ BLEK ATER STOPP ATER

58 optirnering driften sid 58 (6a) Sammanfattningsvis l Driftvillkor x10+xl1 :129,27 -x10 + x12 <:0 xl0-10 *x12 (: 0 x20+fl.\+fl2+x23:159,7 -x22 + x24 <: 0 x22-20*x24<:o x25 +x26 + x28 -x20 : 0 -x25 + v37 d:0 x25-20 x i)j 1: Q x30 + x31 + x32 +x33 : 62,33 -x32 + x34 <: 0 x32-20 I x34 <:0 x35 + x36 + x38 -x30 : 0 -x35 + x37 <:0 x35-20 * x37 (:0 x40+x41 +x42:2,95 -x41 + x43 <: 0 x41-10* x43 <:0 x50 + x51 :11,95 -x50 + x52 <:0 x50-2 E x52 (:0 x60 + x61 +x62 :28,95 -x61 + x63 <: 0 x61-5*x63 <:0 x71 +x72 + xl3 + x74: 470 x76 + x77 + x79-2,51140 * x72 : 0 -x73 + x75 (:0 x * x75 {:0 -x76 + x78 <:0 x *x78 (:0 x81 +x82 + x83 + x84 + x85 :470 x87 +x88 + x89-2,51140 * x83 : 0 -x84 + x86 <: 0 x * x86 <:0 -x87 + x871 d:0 x x871 (: 0 x91 +x92 +x93 +x94:590 x96 + x97 + x99-2,51140 * x92: 0 -x93 + x95 <:0 x * x95 <:0 -x96 + x98 (:0 x96-500/56 *x98 <:0 ( Genom jonbytaren for stopp xz} + x30 (: inga begråinsningar i detta fall)

59 optimering driften sid 59 (64) (Genom jonbytaren for sköljvatten x72 + x83 + x92 <: inga begrånsningar i detta fall) 2 Riktvärden SO4 * x2l + SO4 * x31 + SO4 x x40 + SO4 * x60 + SO4 * x7l + 35,7T43 * SO4 *x79 + SO4 * x91 + 8,9285 * x99 <: 9744,4 kg NH4 * x60 +NH4 * X9l + 8,9285 * x99 CN * x * CN *x89 <: 1617,4 kg <: 80,87 kg 3 Kapacitetsvillkor for indunstaren x10 - x12 + x22 - x24 + x25 - x27 + x22 - x24 + x25 - *27 + x32 -x34 + x35 - x37 + x4l -x 43 + x50 -x52 + x61 - x63 + x73 - x75 + x76 -x78 + x84 - x86 + x87 -x87i +x93 - x95 + x96 -x98 <:805 m3 4.Kapacitetsvillkor for nanofiltreraren x82 <: 1352m3 Kostnad 0,093 x x10 + 4, xl1 + 9,907 * x12 + 0,1363 * x * xzi + 0"1615 * x22 + 4,5074 * x * x24 + 0,1615 * x * x A7 * x27-0,02296 *x28 + 0,1309 * x30 + 0,5685 x x31 *0,1615 * x32 + 4,5A74I x33 + 9,907 * x34 + 0,1615 * x35 + 4,5074 * x36 + 9,907 * x37-0,02296 * x38 + 0,093 * x41 + 4,5074 * x42 + 9,907 * x43 + 0,093 xx50 + 4,5074 * x51 + 9,907 * x52 + 0,093 *x6l + 4,5074 *x62 + 9,907 * x63 + 0,03557 * x72 + 0,093 * x73 + 4,5A74 * x74 +9,907 * x75 + 0,093 * x76 + 4,5074 * x77 + 9,907 x x78 -A,A0822 * x82 + 0,03557 * x83 + 0,093 * x84 + 4,5074 * x85 + 9,907 *x86+0,093 * x87 +9,907 * x ,5074 * x88 + 0,03557 * x92+ 0,093 * x93 + 4,5074 * x94 * 9,907 * x95 + 0,093 * x96 + 4,5074 * x97 + 9,907 * x98 Resultat Algoritmen for linjär programmering ger inte värden på variablerna och hur villkoren är uppftllda. De är emellertid implicit givna i materialet och kan latt fäs med några tillskrivna rader i programmet. Resultatet ar då ett värde på kostnadsfunktionen, en lista på värden for alla variabler, d v s floden per flödesväg, och en lista på hur villkoren slår, d v s om det är upp$llda med < eller:. (> finns inte med i denna model)

Optimering. Optimering av transportproblem. Linköpings universitet SL. Campusveckan VT2013

Optimering. Optimering av transportproblem. Linköpings universitet SL. Campusveckan VT2013 Optimering Optimering av transportproblem Campusveckan VT2013 Linköpings universitet SL 1 Optimering - Distributionsproblem Företaget Kulprodukter AB producerar sina kulor vid fyra olika fabriksanläggningar

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: januari 2013 Tid: 14.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

Objective:: Linjärt beroende och oberoende version 1.0

Objective:: Linjärt beroende och oberoende version 1.0 DEFINITIONEN AV LINJÄRT BEROENDE MED EXEMPEL Objective:: Linjärt beroende och oberoende version. Definitionen av linjärt beroende med exempel Vi börjar med ett inledande exempel för att motivera definitionen

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP8/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: 10 januari 201 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg:

Läs mer

1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta denna följd av tal, där varje tal är dubbelt så stort som närmast föregående

1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta denna följd av tal, där varje tal är dubbelt så stort som närmast föregående MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Christian Gottlieb Gymnasieskolans matematik med akademiska ögon Induktion Dag 1 1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: 29 maj 20 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem Avsnitt Linjära ekvationssystem Elementära radoperationer Gausseliminering Exempel Räkneschema Exempel med exakt en lösning Exempel med parameterlösning Exempel utan lösning Slutschema Avläsa lösningen

Läs mer

Linjärprogramming. EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin

Linjärprogramming. EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin Linjärprogramming EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin 1 Kursmål Formulera korttidsplaneringsproblem för vatten- och värmekraftsystem. 2 Tillämpad matematisk programming Korttidsplanering

Läs mer

Algoritmer och Komplexitet ht 08. Övning 5. Flöden. Reduktioner. Förändrat flöde

Algoritmer och Komplexitet ht 08. Övning 5. Flöden. Reduktioner. Förändrat flöde Algoritmer och Komplexitet ht 08. Övning 5 Flöden. Reduktioner Förändrat flöde a) Beskriv en effektiv algoritm som hittar ett nytt maximalt flöde om kapaciteten längs en viss kant ökar med en enhet. Algoritmens

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: 1 mars 01 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP14/TEN 1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för I, Ii och TB Datum: 24 augusti 2009 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Lundgren m fl: Optimeringslära och/eller Lundgren

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR för IT Datum: 10 mars 01 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kaj Holmberg: Optimering.

Läs mer

Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret.

Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. NAN: KLASS: Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. 1) a) estäm ekvationen för den räta linjen i figuren. b) ita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 1106 d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna

Läs mer

Optimeringslära Kaj Holmberg

Optimeringslära Kaj Holmberg Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 26-6- Kaj Holmberg Lösningar Uppgift Hinkpackning (hink = tur med cykeln. Jag använder

Läs mer

Optimeringslära 2013-11-01 Kaj Holmberg

Optimeringslära 2013-11-01 Kaj Holmberg Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 23-- Kaj Holmberg Uppgift a: Problemet skrivet i standardform är: Lösningar min

Läs mer

VECKANS LILLA POSTKODVINST á 1.000 kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 219 lottnummer 1.000 kronor vardera:

VECKANS LILLA POSTKODVINST á 1.000 kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 219 lottnummer 1.000 kronor vardera: Dragningsresultat vecka 27-2015 Här nedan kan du se om du är en av de lyckliga vinnarna i veckans utlottning i Svenska PostkodLotteriet. När du har vunnit betalar vi automatiskt ut dina vinstpengar till

Läs mer

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 26 augusti 2014 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg:

Läs mer

Linjärprogrammering (Kap 3,4 och 5)

Linjärprogrammering (Kap 3,4 och 5) Linjärprogrammering (Kap 3,4 och 5) Fredrik Olsson, fredrik.olsson@iml.lth.se Avdelningen för produktionsekonomi Lunds tekniska högskola, Lunds universitet 16 september 2015 Dessa sidor innehåller kortfattade

Läs mer

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Andreas Axelsson Vi beskriver här de grundläggande teknikerna för att lösa icke-linjära ekvationssystem. Detta är en nödvändig kunskap för att kunna lösa diverse

Läs mer

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E VÅREN Tidsbunden del

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E VÅREN Tidsbunden del Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av november 1997. NATIONELLT

Läs mer

BILAGA 6.1: INSTRUKTION TILL ANBUDSFORMULÄR SÄKO 2015

BILAGA 6.1: INSTRUKTION TILL ANBUDSFORMULÄR SÄKO 2015 KOLLEKTIVTRAFIKMYNDIGHETEN I VÄSTERNORRLANDS LÄN DNR: 13/00266 2014-12-01 UPPHANDLING SÄRSKILD KOLLEKTIVTRAFIK 2015 BILAGA 6.1: INSTRUKTION TILL ANBUDSFORMULÄR SÄKO 2015 Instruktion till anbudsformulär,

Läs mer

Optimering med bivillkor

Optimering med bivillkor Optimering med bivillkor Vi ska nu titta på problemet att hitta max och min av en funktionen f(x, y), men inte över alla möjliga (x, y) utan bara för de par som uppfyller ett visst bivillkor g(x, y) =

Läs mer

Dynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering

Dynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering Betrakta ett lagerhållningsproblem i flera tidsperioder. Vi har tillverkning och försäljning av produkter i varje tidsperiod. Dessutom kan vi lagra produkter mellan tidsperioder, för att utnyttja stordriftsfördelar

Läs mer

RU 24 NDT. Manual 9000-608-26/31

RU 24 NDT. Manual 9000-608-26/31 RU 24 NDT Manual SV 9000-608-26/31 SV 2 9000-608-26/31 2009/03/10 Innehåll Viktig information 1. Allmänt...4 1.1 Direktiv...4 1.2 Allmänna anvisningar...4 1.3. Avfallshantera produkten...4 1.4 Ändamålsenlig

Läs mer

2002-03-21 Dnr: 2410-12077-01

2002-03-21 Dnr: 2410-12077-01 BESLUT 1 (7) Miljöprövningsdelegationen (MPD) Kodak Nordic AB Ombud: MANECO KB 184 85 ÅKERSBERGA Delgivningskvitto Slutliga villkor för utsläpp av föroreningar till vatten från Kodak Nordic AB:s verksamhet

Läs mer

Mer om reella tal och kontinuitet

Mer om reella tal och kontinuitet Kapitel R Mer om reella tal och kontinuitet I detta kapitel formulerar vi ett av de reella talens grundläggande axiom, axiomet om övre gräns, och studerar några konsekvenser av detta. Med dess hjälp kommer

Läs mer

MATEMATIKENS SPRÅK. Avsnitt 1

MATEMATIKENS SPRÅK. Avsnitt 1 Avsnitt 1 MATEMATIKENS SPRÅK Varje vetenskap, liksom varje yrke, har sitt eget språk som ofta är en blandning av vardagliga ord och speciella termer. En instruktionshandbok för ett kylskåp eller för en

Läs mer

Lyft produktionen med rätt vattenrening

Lyft produktionen med rätt vattenrening Lyft produktionen med rätt vattenrening ~ 1 ~ Kraven på rening av industriellt avloppsvatten Reningsverken är byggda för att ta emot hushållsspillvatten, som är biologiskt nedbrytbart samt reduktion av

Läs mer

Säsongrensning i tidsserier.

Säsongrensning i tidsserier. Senast ändrad 200-03-23. Säsongrensning i tidsserier. Kompletterande text till kapitel.5 i Tamhane och Dunlop. Inledning. Syftet med säsongrensning är att dela upp en tidsserie i en trend u t, en säsongkomponent

Läs mer

Linköpings Universitet 2010-12-14 IFM - Kemi Yt- och Kolloidkemi - NKEC21 NOP/Kontaktvinkel_10.doc. Lab. 1 Mätning av ytspänning och kontaktvinkel

Linköpings Universitet 2010-12-14 IFM - Kemi Yt- och Kolloidkemi - NKEC21 NOP/Kontaktvinkel_10.doc. Lab. 1 Mätning av ytspänning och kontaktvinkel Linköpings Universitet 2010-12-14 IFM - Kemi Yt- och Kolloidkemi - NKEC21 NOP/Kontaktvinkel_10.doc Lab. 1 Mätning av ytspänning och kontaktvinkel Mätning av ytspänning. Många olika metoder finns för att

Läs mer

Rev. 2008-11-03 HYRESJURIDIK

Rev. 2008-11-03 HYRESJURIDIK PM Rev. 2008-11-03 HYRESJURIDIK Att tänka på vid uppsägning av lokaler...3 Adressaten...3 Objektet...3 Tiden...3 Sättet...3 Innehållet...4 Bevakning...4 Acceptfristen...4 Hänskjuta till hyresnämnden...5

Läs mer

PLÅTSLAGERI. Ämnets syfte

PLÅTSLAGERI. Ämnets syfte PLÅTSLAGERI Ämnet plåtslageri behandlar grundläggande planering och genomförande av plåtslageriarbeten. Det behandlar arbetsmetoder inom såväl byggnads- som ventilationsplåtslageri. Ämnets syfte Undervisningen

Läs mer

Linjära ekvationer med tillämpningar

Linjära ekvationer med tillämpningar UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Olof Johansson, Nina Rudälv 2006-10-17 SÄL 1-10p Linjära ekvationer med tillämpningar Avsnitt 2.1 Linjära ekvationer i en variabel

Läs mer

TNK047 [TEN1] OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS

TNK047 [TEN1] OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS TNK047 [TEN1] OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS Datum: 22 maj 2012 Tid: 8 12, TP56 Hjälpmedel: Ett A4-blad med text/anteckningar (båda sidor) samt miniräknare. Antal uppgifter: 5; Vardera uppgift kan ge 5p.

Läs mer

POSTKODVINSTER á 1.000 kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 307 lottnummer 1.000 kronor vardera:

POSTKODVINSTER á 1.000 kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 307 lottnummer 1.000 kronor vardera: Dragningsresultat vecka 05-2015 Här nedan kan du se om du är en av de lyckliga vinnarna i veckans utlottning i Svenska PostkodLotteriet. När du har vunnit betalar vi automatiskt ut dina vinstpengar till

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 28 augusti 2015 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

Kvalificeringstävling den 29 september 2009

Kvalificeringstävling den 29 september 2009 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 29 september 2009 Förslag till lösningar Problem Visa att talet 2009 kan skrivas som summan av 7 positiva heltal som endast

Läs mer

Inledande matematik för I1. MVE011 läsperiod Matlab vecka 2 övningsuppgifter

Inledande matematik för I1. MVE011 läsperiod Matlab vecka 2 övningsuppgifter Inledande matematik för I1 MVE011 läsperiod 1 010 Matlab vecka övningsuppgifter Linjära ekvationssystem Matlab har många kraftfulla redskap för att hantera matriser och därmed också linjära ekvationssystem.

Läs mer

VECKANS LILLA POSTKODVINST á 1.000 kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 229 lottnummer 1.000 kronor vardera:

VECKANS LILLA POSTKODVINST á 1.000 kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 229 lottnummer 1.000 kronor vardera: Dragningsresultat vecka 37-2015 Här nedan kan du se om du är en av de lyckliga vinnarna i veckans utlottning i Svenska PostkodLotteriet. När du har vunnit betalar vi automatiskt ut dina vinstpengar till

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR för IT Datum: 16 mars 010 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kaj Holmberg: Kombinatorisk

Läs mer

Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 4

Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 4 Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 014-015 Denna lektion ska vi studera rekursion. Lektion 4 Principen om induktion Principen om induktion är ett vanligt sätt att bevisa

Läs mer

BRUKSANVISNING CEAPRO FRAMKALLNINGSMASKIN

BRUKSANVISNING CEAPRO FRAMKALLNINGSMASKIN BRUKSANVISNING CEAPRO FRAMKALLNINGSMASKIN På kommande sidor följer en kortfattad bruksanvisning som beskriver handhavandet av framkallningsmaskinen CEAPRO. Bruksanvisningen är till största delen en ren

Läs mer

1. Vad är optimering?

1. Vad är optimering? . Vad är optimering? Man vill hitta ett optimum, när något är bäst, men att definiera vad som är bäst är inte alltid så självklart. För att kunna jämföra olika fall samt avgöra vad som är bäst måste man

Läs mer

Generell tillämpning av mät- och ersättningsregler MER

Generell tillämpning av mät- och ersättningsregler MER Generell tillämpning av mät- och ersättningsregler MER ALLMÄNT Mät- och ersättningsregler MER är anpassade till AMA och är avsedda att användas vid förteckning av mängder och vid mätning och ersättning

Läs mer

Installationsanvisning. Kolfilter HG 10-13

Installationsanvisning. Kolfilter HG 10-13 Installationsanvisning Kolfilter HG 10-13 Viktig information före installation Kontrollera så att godset inte har blivit skadat under transporten. Transportskada skall omedelbart anmälas till transportföretaget.

Läs mer

+ 1 R 2.. Lös ut a och beräkna sidlängden hos en liksidig triangel med arean 35 cm 2

+ 1 R 2.. Lös ut a och beräkna sidlängden hos en liksidig triangel med arean 35 cm 2 . Lös ut m ur F = mv r. Lös ut r ur F = π mr T. Lös ut v o ur s = v o t + at. Lös ut v o ur v = vo v 5. Lös ut R ur R = R + R. Arean hos ett klot ges av formeln A = πr. Lös ut r och beräkna radien hos

Läs mer

Dags att byta port? Allt du behöver veta när du funderar på att byta! Vi gör det lätt.

Dags att byta port? Allt du behöver veta när du funderar på att byta! Vi gör det lätt. Dags att byta port? Allt du behöver veta när du funderar på att byta! Vi gör det lätt. Välj en leverantör som passar dig Det kan vara viktigare än du tror! Hur mår din port? Kanske är det uppenbart dags

Läs mer

Föreläsning 9: Turingmaskiner och oavgörbarhet. Turingmaskinen. Den maximalt förenklade modell för beräkning vi kommer använda är turingmaskinen.

Föreläsning 9: Turingmaskiner och oavgörbarhet. Turingmaskinen. Den maximalt förenklade modell för beräkning vi kommer använda är turingmaskinen. Föreläsning 9: Turingmaskiner och oavgörbarhet Turingmaskinen Den maximalt förenklade modell för beräkning vi kommer använda är turingmaskinen. Data är ett oändligt långt band där nollor och ettor står

Läs mer

Funktionsstudier med derivata

Funktionsstudier med derivata Funktionsstudier med derivata Derivatan ett kraftfullt verktyg för att studera och tolka funktioner Det här avsnittet handlar om att man kan använda derivatan till att bestämma en funktions egenskaper

Läs mer

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Detta kapitel är en liten matematisk vägledning om att beräkna tillväxttakten i Excel. Här visas exempel på potenser och logaritmer och hur dessa funktioner beräknas

Läs mer

Linnéuniversitetet Institutionen för fysik och elektroteknik

Linnéuniversitetet Institutionen för fysik och elektroteknik Linnéuniversitetet Institutionen för fysik och elektroteknik Ht2015 Program: Naturvetenskapligt basår Kurs: Fysik Bas 1 delkurs 1 Laborationsinstruktion 1 Densitet Namn:... Lärare sign. :. Syfte: Träna

Läs mer

Bio-Box + Bio-Box XL INSTALLATIONSANVISNING

Bio-Box + Bio-Box XL INSTALLATIONSANVISNING Bio-Box + Bio-Box XL INSTALLATIONSANVISNING 2, Allmänt 2, Placering 2, Inkommande och utgående avlopp 2, Reningsverkets ventilation 3, Installation 4, Storlek Bio-box 5, Storlek Bio-Box XL 6, Skötselråd

Läs mer

Övergång till komponentavskrivning

Övergång till komponentavskrivning INFORMATION Övergång till komponent Bakgrund I RKR 11.4 Materiella anläggningstillgångar, uttrycks ett explicit krav på tillämpning av komponent. Även om tidigare versioner av rekommendationen inte har

Läs mer

Optimeringsproblem. 1 Inledning. 2 Optimering utan bivillkor. CTH/GU STUDIO 6 TMV036c /2015 Matematiska vetenskaper

Optimeringsproblem. 1 Inledning. 2 Optimering utan bivillkor. CTH/GU STUDIO 6 TMV036c /2015 Matematiska vetenskaper CTH/GU STUDIO TMV3c - 1/15 Matematiska vetenskaper Optimeringsproblem 1 Inledning Vi skall söka minsta eller största värdet hos en funktion på en mängd, dvs. vi skall lösa s.k. optimeringsproblem min f(x)

Läs mer

Avrinning. Avrinning

Avrinning. Avrinning Avrinning Avrinning När nederbörden nått marken kommer den att söka söka sig till allt lägre liggande nivåer. Först bildas små rännilar och som efterhand växer till bäckar och åar. När dessa små vattendrag

Läs mer

TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar

TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar Johan Thim 9 januari 27 Entydighet Om vi har ett polynom som approximerar en snäll funktion bra, kan vi då vara säkra på att koefficienterna

Läs mer

Tentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 16 augusti 2007 9 14

Tentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 16 augusti 2007 9 14 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Tentamen för kursen Linjära statistiska modeller 16 augusti 2007 9 14 Examinator: Anders Björkström, tel. 16 45 54, bjorks@math.su.se Återlämning: Rum 312, hus

Läs mer

Checklista för funktionsundersökning

Checklista för funktionsundersökning Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara

Läs mer

Kursprov i matematik, kurs E vt Del I: Uppgifter utan miniräknare 3. Del II: Uppgifter med miniräknare 5

Kursprov i matematik, kurs E vt Del I: Uppgifter utan miniräknare 3. Del II: Uppgifter med miniräknare 5 freeleaks NpMaE vt2000 för Ma4 1(6) Innehåll Förord 1 Kursprov i matematik, kurs E vt 2000 2 Del I: Uppgifter utan miniräknare 3 Del II: Uppgifter med miniräknare 5 Förord Kom ihåg Matematik är att vara

Läs mer

Fysikaliska modeller. Skapa modeller av en fysikalisk verklighet med hjälp av experiment. Peter Andersson IFM fysik, adjunkt

Fysikaliska modeller. Skapa modeller av en fysikalisk verklighet med hjälp av experiment. Peter Andersson IFM fysik, adjunkt Fysikaliska modeller Skapa modeller av en fysikalisk verklighet med hjälp av experiment Peter Andersson IFM fysik, adjunkt På denna föreläsning Vad är en fysikalisk modell? Linjärisering med hjälp av logaritmer

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.

Läs mer

STYRNING AV PORTFÖLJER MED FLERA TILLGÅNGAR

STYRNING AV PORTFÖLJER MED FLERA TILLGÅNGAR 1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. KOMPLEMENT DAG 13. STYRNING AV PORTFÖLJER MED FLERA TILLGÅNGAR Hittills har vi betraktat

Läs mer

Kommentarer till behandlingen av data som ligger till grund för den statistiska utvärderingen av Genetisk Analys av Svenska Vorstehklubbens Jaktprov.

Kommentarer till behandlingen av data som ligger till grund för den statistiska utvärderingen av Genetisk Analys av Svenska Vorstehklubbens Jaktprov. Kommentarer till behandlingen av data som ligger till grund för den statistiska utvärderingen av Genetisk Analys av Svenska Vorstehklubbens Jaktprov. Rolf Bergman Gammelhöjdas Kennel I examensarbetet Genetisk

Läs mer

MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p

MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p Uppvisat terminsräkning ( ) Ja ( ) Nej Inst. för teknisk ekonomi och logistik Avd. för Produktionsekonomi Jag tillåter att mitt tentamensresultat publiceras på Internet Ja Nej TENTAMEN: MIO0 OPTIMERING

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: 1 november 2013 Tid:.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

Introduktion till algoritmer - Lektion 1 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 1

Introduktion till algoritmer - Lektion 1 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 1 Kattis Lektion 1 I kursen används onlinedomaren Kattis (från http://kattis.com) för att automatiskt rätta programmeringsproblem. För att få ett konto på Kattis anmäler du dig på Programmeringsolympiadens

Läs mer

Föreläsning 9. Absolutstabilitet

Föreläsning 9. Absolutstabilitet Föreläsning 9 Absolutstabilitet Introduktion För att en numerisk ODE-metod ska vara användbar måste den vara konvergent, dvs den numeriska lösningen ska närma sig den exakta lösningen när steglängden går

Läs mer

Regression med Genetiska Algoritmer

Regression med Genetiska Algoritmer Regression med Genetiska Algoritmer Projektarbete, Artificiell intelligens, 729G43 Jimmy Eriksson, jimer336 770529-5991 2014 Inledning Hur många kramar finns det i världen givet? Att kunna estimera givet

Läs mer

Beteckningar för områdesreserveringar: T/kem Landskapsplanering

Beteckningar för områdesreserveringar: T/kem Landskapsplanering kk mk mv se jl ma ge pv nat luo un kp me va sv rr rr A AA C P TP T TT T/kem V R RA RM L LM LL LS E ET EN EJ EO EK EP S SL SM SR M MT MU MY W c ca km at p t t/ kem mo vt/kt/st vt/kt st yt tv /k /v ab/12

Läs mer

LAB 4. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER. 1 Inledning. 2 Eulers metod och Runge-Kuttas metod

LAB 4. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER. 1 Inledning. 2 Eulers metod och Runge-Kuttas metod TANA21+22/ 30 september 2016 LAB 4. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER 1 Inledning Vi skall studera begynnelsevärdesproblem, både med avseende på stabilitet och noggrannhetens beroende av steglängden. Vi

Läs mer

De optimeringsproblem som kommer att behandlas i denna kurs kan alla (i princip) skrivas. 1 2 xt Hx + c T x. minimera

De optimeringsproblem som kommer att behandlas i denna kurs kan alla (i princip) skrivas. 1 2 xt Hx + c T x. minimera Krister Svanberg, mars 2012 1 Introduktion De optimeringsproblem som kommer att behandlas i denna kurs kan alla (i princip) skrivas på följande allmänna form: f(x) (1.1) x F, där x = (x 1,..., x n ) T

Läs mer

VECKANS LILLA POSTKODVINST á 1.000 kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 245 lottnummer 1.000 kronor vardera:

VECKANS LILLA POSTKODVINST á 1.000 kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 245 lottnummer 1.000 kronor vardera: Dragningsresultat vecka 42-2015 Här nedan kan du se om du är en av de lyckliga vinnarna i veckans utlottning i Svenska PostkodLotteriet. När du har vunnit betalar vi automatiskt ut dina vinstpengar till

Läs mer

OMTENTAMEN I GRUNDLÄGGANDE STATISTIK FÖR EKONOMER

OMTENTAMEN I GRUNDLÄGGANDE STATISTIK FÖR EKONOMER STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Termeh Shafie OMTENTAMEN I GRUNDLÄGGANDE STATISTIK FÖR EKONOMER 2012-04-16 Skrivtid: 15.00-20.00 Hjälpmedel: Miniräknare utan lagrade formler eller text,

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 10 januari 201 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för

Läs mer

LABORATION 1 AVBILDNING OCH FÖRSTORING

LABORATION 1 AVBILDNING OCH FÖRSTORING LABORATION 1 AVBILDNING OCH FÖRSTORING Personnummer Namn Laborationen godkänd Datum Labhandledare 1 (6) LABORATION 1: AVBILDNING OCH FÖRSTORING Att läsa före lab: Vad är en bild och hur uppstår den? Se

Läs mer

Installationsanvisning. Kolfilter HG 10-13

Installationsanvisning. Kolfilter HG 10-13 Installationsanvisning Kolfilter HG 10-13 Viktig information före installation Kontrollera så att godset inte har blivit skadat under transporten. Transportskada skall omedelbart anmälas till transportföretaget.

Läs mer

STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM

STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM Tentamensskrivning i Fysikexperiment, 7,5 hp, för FK2002 Onsdagen den 15 december 2010 kl. 9-14. Skrivningen består av två delar A och B. Del A innehåller enkla frågor och

Läs mer

Regler för dricksvatten och vattenverk

Regler för dricksvatten och vattenverk Reviderad november 2009 Regler för dricksvatten och vattenverk Information för den som hanterar eller producerar dricksvatten Miljö och hälsoskyddskontoret Kort om föreskrifterna för dricksvatten Från

Läs mer

inte följa någon enkel eller fiffig princip, vad man nu skulle mena med det. All right, men

inte följa någon enkel eller fiffig princip, vad man nu skulle mena med det. All right, men MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Christian Gottlieb Gymnasieskolans matematik med akademiska ögon Induktion Dag 2. Explicita formler och rekursionsformler. Dag mötte vi flera talföljder,

Läs mer

Optimering av olika avfallsanläggningar

Optimering av olika avfallsanläggningar Optimering av olika avfallsanläggningar ABBAS GANJEHI Handledare: LARS BÄCKSTRÖM Inledning Varje dag ökar befolkningen i världen och i vår lilla stad Umeå. Man förutsäg att vid år 2012 har Umeås folkmängd

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 28 maj 2014 Tid: 14.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

!" # $ %&%%'% &%&(%%

! # $ %&%%'% &%&(%% !"#$%&%%'% &%&(%% &)*+,-+./-010/*+223 *+223... 3 ()21442... 3 2.1 ANSLUTNINGAR:... 3 2.2 RÖRLEDNINGAR:... 3 2.3 UPPACKNING:... 3 2.4 INSTALLATIONSPLATS:... 3 2.5 FYLLNING OCH START AV UTRUSTNINGEN... 4

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR för IT Datum: 2 oktober 2013 Tid:.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kaj Holmberg: Optimering.

Läs mer

Bilaga 1 Anslutning och belastning Sven Georg Karlsson Skara avloppsreningsverk, Horshaga Anslutning till verket

Bilaga 1 Anslutning och belastning Sven Georg Karlsson Skara avloppsreningsverk, Horshaga Anslutning till verket Uppgiftslämnare Avloppsreningsverk: Antal fysiska personer anslutna till vattenverket (st) Antal anslutna fysiska personer till avloppsreningsverket (st) Bilaga 1 Anslutning och belastning Sven Georg Karlsson

Läs mer

Elektronik grundkurs Laboration 1 Mätteknik

Elektronik grundkurs Laboration 1 Mätteknik Elektronik grundkurs Laboration 1 Mätteknik Förberedelseuppgifter: Uppgifterna skall lösas före laborationen med papper och penna och vara snyggt uppställda med figurer. a) Gör beräkningarna till uppgifterna

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: 9 april 0 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

tentaplugg.nu av studenter för studenter

tentaplugg.nu av studenter för studenter tentaplugg.nu av studenter för studenter Kurskod T0002N Kursnamn Logistik 1 Datum 2012-10-26 Material Fördjupningsuppgift Kursexaminator Betygsgränser Tentamenspoäng Övrig kommentar Försättsblad inlämningsuppgift

Läs mer

Optimering -av energibesparingar i en villa.

Optimering -av energibesparingar i en villa. Optimering -av energibesparingar i en villa. Mats Karlström ce01mkm@ing.umu.se Stefan Lahti ce01sli@ing.umu.se Handledare: Lars Bäckström Inledning Än idag finns det många hus i Sverige som använder direktverkande

Läs mer

SOSFS 2004:7 (M) Bassängbad. Socialstyrelsens författningssamling

SOSFS 2004:7 (M) Bassängbad. Socialstyrelsens författningssamling SOSFS 2004:7 (M) frfattningssam ling Allmänna råd Bassängbad Socialstyrelsens författningssamling I Socialstyrelsens författningssamling (SOSFS) publiceras verkets föreskrifter och allmänna råd. Föreskrifter

Läs mer

TENTAPLUGG.NU AV STUDENTER FÖR STUDENTER. Kursnamn Fysik 1. Datum LP Laboration Balkböjning. Kursexaminator. Betygsgränser.

TENTAPLUGG.NU AV STUDENTER FÖR STUDENTER. Kursnamn Fysik 1. Datum LP Laboration Balkböjning. Kursexaminator. Betygsgränser. TENTAPLUGG.NU AV STUDENTER FÖR STUDENTER Kurskod F0004T Kursnamn Fysik 1 Datum LP2 10-11 Material Laboration Balkböjning Kursexaminator Betygsgränser Tentamenspoäng Övrig kommentar Sammanfattning Denna

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: juni 0 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken får

Läs mer

Med ett samband menar vi hur något beror av någonting annat. Det skulle t.ex. kunna vara (sant eller inte):

Med ett samband menar vi hur något beror av någonting annat. Det skulle t.ex. kunna vara (sant eller inte): Linjära samband Räta linjens ekvation Förmågan att se, analsera och förstå olika samband är egenskaper som är viktiga att ha i vardagslivet men oundvikliga för kommande studier och arbetsliv. Med ett samband

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter utan miniräknare 5

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter utan miniräknare 5 freeleaks NpMaB vt00 1(8) Innehåll Förord 1 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 00 Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3 Del II, 8 uppgifter utan miniräknare 5 Förord Uppgifter till den äldre

Läs mer

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 23 augusti 2016 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteraturen: Kaj Holmberg:

Läs mer

Kretslopp för avlopp Södertälje kommun och ansökan om tillstånd för avlopp

Kretslopp för avlopp Södertälje kommun och ansökan om tillstånd för avlopp Kretslopp för avlopp Södertälje kommun och ansökan om tillstånd för avlopp Stefan Jonsson, Miljökontoret 1 Kretslopp med källsortering av avlopp Lokalt utsläpp från WC = 0 Modern återvinning av WC-avfall:

Läs mer

Simulering av Sveriges elförsörjning med Whats Best

Simulering av Sveriges elförsörjning med Whats Best Simulering av Sveriges elförsörjning med Whats Best Sammanfattning Projektet gick ut på att simulera elförsörjningen med programmet Whats Best för att sedan jämföra med resultaten från programmet Modest.

Läs mer

Kort om mätosäkerhet

Kort om mätosäkerhet Kort om mätosäkerhet Henrik Åkerstedt 14 oktober 2014 Introduktion När man gör en mätning, oavsett hur noggrann man är, så får man inte exakt rätt värde. Alla mätningar har en viss osäkerhet. Detta kan

Läs mer

Modeller för dynamiska förlopp

Modeller för dynamiska förlopp Föreläsning 3 Modeller för dynamiska förlopp 3.1 Aktuella avsnitt i läroboken (.1) Population Models. (.) Equilibrium Solutions and Stability. (.3) Acceleration-Velocity Models. 19 FÖRELÄSNING 3. MODELLER

Läs mer