PROJEKT I MATEMATISK KOMMUNIKATION

Transkript

1 PROJEKT I MATEMATISK KOMMUNIKATION VÅREN 2009 Matematikcentrum Matematik CENTRUM SCIENTIARUM MATHEMATICARUM

2

3 Förord Detta är en sammanställning av de projektarbeten som gjorts under våren på kursen matematisk kommunikation. Kursen är obligatorisk för förstaårselever på civilingenjörsprogrammet teknisk matematik på Lunds tekniska högskola och valfri för andra program. Dessa projektrapporter samt de tillhörande muntliga presentationer, har tillsammans med ytterligare två inlämningsuppgifter varit examinerande. Målen med kursen är: att ge en introduktion till den matematiska idévärlden och genom enkla exempel visa på kraften i stringent matematisk teori, att öva förmågan att framlägga och presentera matematiska resonemang, att öka den matematiska allmänbildningen och ge en kort presentation av den matematiska kulturen och dess historia, att ge en inblick i aktuell och modern matematisk forskning. Många av de projekt som återfinns här innehåller stoff från en högre nivå än den man som förstaårsstudent hunnit uppnå. Samtliga projekt har handletts av forskare och lärare från matematikcentrum vid Lunds universitet. Ett stort tack går till dessa handledare. Sist men inte minst tackar jag alla studenter som medverkat i kursen för en god insats. Lund i maj 2009, Pelle Pettersson.

4

5 Innehåll Millennieproblemen 7 Jonatan Ferm, Tobias Persson, Hampus Wessman, Johan Westerborn Grundläggande optionsteori och prissättning 27 Joel Hansson, Hilda Lindvall, Marcus Posada, Andrea Åkerström Optionsprissättning 43 Hannes Fryxell Sternbeck, Björn Henriksson, Tom Larsson, Andreas Qvist Icke-Euklidisk geometri 57 Tazim Ahsan, Änis Ben Hamida, Henrik Björk Omöjliga figurer 81 Emil Fredriksson, Maria Lorentzson, Terese Nilsson, Mikael Ögren Spader dam en matematisk saga 99 Andreas Melin, Mikael Pendse, Petter Svensson Beräkning av talet p 117 Paulin Frennberg, Frida Hansson, Samare Jarf, Martin Larsson Slumpvandring 139 Anders Dahlin, Johan Hedberg, Anders Persson, Fredrik Svensson Gyllene snittet 153 Dẑana Damjanovič, Linn Kallio, Stina Sjökvist, Vanja Tufvesson

6

7 MILLENNIEPROBLEMEN Projekt i Matematisk kommunikation Författare: Hampus Wessman Johan Westerborn Jonatan Ferm Tobias Persson Handledare: Pelle Pettersson 18 maj

8 Innehåll 1 Inledning Hilberts problem Problem Clay Mathematics Institute Millennieproblemen Reglerna för Millennieproblemen Andra matematikpriser Fieldsmedaljen Millennieproblemen Riemannhypotesen P vs NP Poincarés förmodan Hodges förmodan Yang-Mills-teori Navier-Stokes ekvationerna Birch-Swinnerton-Dyers förmodan Riemannhypotesen Allmänt, primtal Zeta funktionen Riemannhypotesen och dess konsekvenser P vs NP Allmänt Grundläggande begrepp Komplexitetsklassen P Komplexitetsklassen NP Förhållandet mellan P och NP NP-fullständighet SAT Minröj Hur fungerar minröj Problemet Bevis Konsekvenser av P = NP

9 1 Inledning Det har alltid funnits olösta problem inom matematiken, antingen en svår ekvation, någon hypotes man inte kunnat bevis eller bara nyfikenheten att utforska ett nytt område. Strävandet efter att alltid veta lite mer är vad som har gjort att vi hamnat där vi är idag. Men hur vet matematikerna vad de ska jobba med, hur vet de vilka problem som är viktigast? Självklart har varje matematiker sitt eget intresse och sitt egna område där han sysslar med saker. Men vissa problem kan de flesta matematiker ställa sig bakom när man letar efter det viktigaste. Det är några av dessa viktiga problem som vi studerat, vi har även kollat på vilka som kommer fram med problem och vilka priser man kan få om man lyckas lösa något av de. 1.1 Hilberts problem David Hilbert ( ) var en tysk matematiker, känd som en av de mer inflytelserika matematikerna under 18 och 19 hundratalet. Han bedrev matematik inom flera olika områden och skapade en hel del olika fundamentala teorier bland annat Hilberts Axiom inom geometrin där han moderniserar den euklidiska geometrin. En annan känd skapelse från Hilbert är Hilberts hotell, det är en paradox för att illustrera oändlighetsbegreppet. Tänk dig ett hotell med oändligt många rum, men alla rum är upptagna. När det kommer en ny gäst får alla flytta ett rumsnummer upp, 1 till 2, 2 till 3 osv. på så sätt får alla plats i hotellet. När det senare kommer oändligt många nya gäster får varje gäst flytta till ett rum med dubbelt så högt nummer, 1 till 2, 2 till 4 osv. Alla får fortfarande plats. Detta bevisar bland annat att antalet naturliga tal är lika många som antalet naturliga tal som är jämna. År 1900 presenterade Hilbert 23 matematiska problem. Dessa var vid den tiden olösta problem som Hilbert ansåg var de viktigaste problemen att lösa under de kommande 100 åren. Problemen kommer från flera olika områden och av väldigt varierande precision, vissa problem är specificerade ner till ett ja eller nej, medan andra är att betrakta som väldigt vaga. En intressant grej är att många av problemen som har blivit löst har blivit löst med metoder som för den tidens matematiker skulle varit helt otänkbara.[7] Problem 3 Problem tre var det första problemet som blev löst, det är ett av de mer lättförståeliga problemen. Givet två polyedrar 1 med samma volym är det möjligt att skära ut ett ändligt antal polyedrar ur den första som sen kan sammansättas till den andra? 2 Bevis. Max Dehn som löste problemet skapade något som han kallade för Dehn-invariant D (P ) där P är en polyeder. Dehn-invarianten är en komplex funktion som bland annat tar hänsyn till längden på alla sidor, alla vinklar med mera. Dehn-invarianten har följande egenskaper: 1. Om man skär P i två bitar med ett plant snitt får man två bitar P 1 och P 2 då blir D (P ) = D (P 1 ) + D (P 2 ) 1 En polyeder är en geometrisk figur i rymden som begränsas av ett ändligt antal plan och har ett antal polygoner som sidoytor. 2 Två polyedrar med denna egenskap kallar vi för sax-kongruenta (engelskans scissor-congruent) 9

10 2. Från det följer om vi gör n snitt får vi D (P ) = D (P 1 ) + D (P 2 ) + + D (P n ) 3. Och om två polyedrar är sax-kongruenta ska de ha samma Dehn invariant. Han visade sen att varje kub har Dehn invarianten noll samtidigt som varje regelbunden tetraeder har en Dehn invariant skild från noll. Alltså kan de inte vara saxkongruenta och det slutför beviset. 1.2 Clay Mathematics Institute The Clay Mathematics Institute (CMI) är ett privatägt matematiskt institut som grundades 1998 av en affärsman vid namn Landon T. Clay från Boston och hans fru Lavinia D. Clay. Deras mål, när de började, var to increase and disseminate mathematical knowledge. Översatt till svenska betyder detta att de ville öka och sprida matematisk kunskap. Institutet är mest känt för millennieproblemen men de har även en årlig Clay Research award som delas ut för insatser inom matematiken. Detta pris har delats ut sedan 1999 och under denna tid har en svensk fått priset. Den svensk som har fått priset är Nils Dencker från Lund. Han fick det för sin lösning till Nirenberg-Treves förmodan.[10][9] 1.3 Millennieproblemen The Clay Mathematics Institute i Cambridge, Massachusetts valde att fira matematiken i det nya millenniet genom att lägga fram sju stycken Prize Problems. Problemen valdes för att de är klassiska problem inom matematiken som ingen har lyckats lösa genom åren. Styrelsen för Clay Institutet satte undan en fond på sju miljoner dollar som skulle gå till de som löste problemen en miljon dollar för varje problem. Problemen lades fram under millenniemötet den 24:e maj 2000 i Collègen i Frankrike, 100 år efter Hilbert lade fram sina problem.[11] 1.4 Reglerna för Millennieproblemen De sju millennieproblemen valdes av The Scientific Advisory Board of CMI, vilket förkortas SAB. Den enda som kan ge klartecken till en utdelning av prispengarna är ordföranden för CMI. Styrelsen för CMI tar alla matematiska beslut för CMI, med rekommendationer från SAB. SAB tar bara in en lösning om det är ett fullständigt matematiskt bevis. En lösning till millennieproblemen får ej läggas fram direkt till CMI. Innan SAB överväger att ta emot en lösning till något av millennieproblemen, så måste lösningen publiceras i en internationell matematisk tidskrift. När lösningen har publicerats så måste den fortfarande vara accepterad i det matematiska samhället efter en två-årig väntetid. När dessa två år har gått tar SAB ett beslut om lösningen har tillräckligt med meriter för en detaljerad undersökning. Om SAB väljer att gå vidare med lösningen så sammanställs en speciell kommitté som består av en medlem från SAB och minst två personer som inte är med i SAB och som är experter inom problemets område. En del av utvärderingen är att alla delar av den framlagda lösningen ska bekräftas av en eller flera medlemmar i kommittén. Den specialtillsatta kommittén rapporterar till SAB. Med denna rapport som grund och möjliga framtida undersökningar gör SAB en rekommendation till styrelsen. SAB kan rekommendera utdelningen av en prissumma till en person eller till flera personer om det har varit en gemensam lösning. Pengarna kan även tilldelas arvingar till 10

11 någon som har löst ett av problemen. Om SAB inte kan komma fram till om en lösning är korrekt eller ej, så kan de rekommendera att ingen prissumma betalas ut. Om ny information kommer fram om lösningen kan SAB, om de vill, överväga att ändra sitt beslut, men bara efter att två år har gått sedan den nya informationen kom fram. SAB är de enda som kan lägga fram en rekommendation till styrelsen om något av millennieproblemen och dess lösning.[11] 1.5 Andra matematikpriser Om man lyckas lösa ett av millennieproblemen har man troligtvis en stor chans att även vinna något annat matematiskt pris. Ett av de mest kända prisen är Fieldsmedaljen Fieldsmedaljen Var fjärde år hålls International Congress of the International Mathematical Union då mellan två och fyra matematiker tilldelas Fieldsmedaljen 3. För att få priset måste man vara 40 år gammal eller yngre. Detta är till för att ge yngre matematiker erkännande och stöd för stora insatser inom matematiken. Priset anses var det största som en matematiker kan uppnå och är en enorm ära att få. Trots att det här ses som ett ärofullt pris så finns det även en prissumma som följer med medaljen och när priset delades ut senast var denna summa $ Priset grundades av den kanadensiska matematikern John Charles Fields och det delades ut första gången år 1936 till den finska matematikern Lars Ahlfors och den amerikanska matematikern Jesse Douglas. Medaljen har delats ut regelbundet sedan 1950 och under denna tid har en svensk mottagit priset. Den svensk som har fått priset är Lars Hörmander och han fick det för sin insats i partiella differentialekvationer. En av de mest kända händelserna i samband med Fieldsmedaljen är att den brittiska matematikern Andrew Wiles tilldelades en silvermedalj 1998 för sitt bevis av Fermats stora sats. Anledningen till att han inte fick Fieldsmedaljen var att han när beviset presenterades var 41 år gammal, men trots detta så tilldelades han en silvermedalj eftersom det ansågs vara ett så stort framsteg inom matematiken. Satsen hade saknat bevis i omkring 350 år när Andrew Wiles slutligen bevisade den.[8] 2 Millennieproblemen 2.1 Riemannhypotesen Ett problem som funnits med länge och av vissa anses vara det svåraste öppna matematiska problemet det fanns med redan i Hilberts lista. Frågan är om Riemanns zeta-funktions icketriviala nollställen alla har en realdel som är en halv. Problemet formulerades redan P vs NP P vs NP handlar ungefär om ifall alla problem vars lösningar är lätta att kontrollera också är lätta att lösa (med hjälp av en dator och en smart algoritm). P är mängden av alla problem som är lätta att lösa (d.v.s. går att lösa på polynomiell tid ) och NP är mängden av alla problem vars lösningar är lätta att kontrollera. Alla problem i P tillhör 3 På engelska The Fields Medal. 11

12 naturligtvis också NP, men däremot är det okänt om alla NP-problem tillhör P eller med andra ord om P = NP eller ej. Det är detta som P vs NP går ut på att besvara. 2.3 Poincarés förmodan Om man har ett gummiband runt en sfär kan man minska gummibandet till en punkt utan att den lämnar ytan och utan att ha sönder varken sfären eller gummibandet. Poincarés förmodan handlar om att undersöka kroppar med denna egenskap. Ett problem inom topologi. 2.4 Hodges förmodan Ett geometriskt problem som handlar om hur bra man kan approximera givna former genom att limma ihop enkla geometriska figurer. 2.5 Yang-Mills-teori Yang-Mills teori är grunden i en stor del av elementär partikelteori. Den har bevisats att den fungerar väl genom experiment men den matematiska bakgrunden är fortfarande oklar. 2.6 Navier-Stokes ekvationerna Navier-Stokes ekvationerna är en av grunderna i mekaniken för fluider. Ekvationerna beskriver fluiders rörelser i utrymmen. Lösningar till Navier-Stokes ekvationer används till många praktiska applikationer. Då lösningarna är användbara i praktiken så är den teoretiska förståelsen för lösningarna ofullständiga, lösningarna man får innehåller ofta turbulens. Detta är ett av de viktigaste olösta problemen inom fysiken trots dess stora vikt inom vetenskap förblir problemet olöst tills vidare. Eftersom förståelsen av Navier- Stokes ekvationerna anses vara det första steget av förståelse av turbulens utnämnde Clay Institutet det till ett av Millenium problemen år Birch-Swinnerton-Dyers förmodan Den handlar om en viss typ av ekvationer, de som definierar elliptiska kurvor över de rationella talen. Frågan är om det finns något enkelt sett att se om dessa funktioner har oändligt eller ett ändligt antal rationella lösningar. 3 Riemannhypotesen 3.1 Allmänt, primtal Ett primtal är, som dom flesta känner till, ett tal som som inte kan delas till ett heltal när man delar med något annat tal än 1 och sig självt. Primtalens fördelning över tallinjen är något som har studerats i århundraden. För att beskriva fördelningen är det inte ovanligt att man använder primtalsräknarfunktionen π(x). Funktionen antar värdet av antalet primtal till och med x. Om vi t.ex. låter x vara 20 kommer π(x) att anta värdet 8, eftersom vi finner 8 primtal upp till 20, nämligen 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 samt 19. Sålunda 12

13 är π(19) = π(20) gjorde en 15-årig Gauss ett första försök att approximera π(x), han använde sig av den logaritmiska integralen, li(x). Denna definieras på följande sätt li(x) = x 0 dt ln(t). Detta visar sig vara en väldigt bra approximation av π(x). Inte minst för att den ryska matematikern Chebyshev bevisade att om π(x) lim x li(x) existerar måste denna vara identisk 1. Det finns fler sätt att räkna primtal, ett sätt som vi kommer att använda oss av senare är ψ(x) vilken fungerar så att när man kommer till ett primtal räknar man logaritmen av primtalet och när man kommer till en potens av ett primtal räknar man logaritmen av primtalet igen. T.ex. är ψ(30) = log(2) + log(3) + log(2) + log(5) + log(7) + log(2) + log(3) + log(11) + log(13) + log(2) + log(17) + log(19) + log(23) + log(5) + log(3) + log(29) = För att förstå vad Riemannhypotesen har att göra med primtalsräknar funktionerna går vi vidare till zeta-funktionen. 3.2 Zeta funktionen Riemannhypotesen är en förmodan om hur en viss funktion beter sig, och för att förstå vad den går ut på måste man först känna till ovannämnda funktion. Funktionen har fått sitt namn efter samma man som hypotesen och kallas sålunda för Riemanns zetafunktion. Denna definieras följande: ζ(s) = n=1 1 n s = 1 1 s s s +..., s C Vid första anblick kan man undra vad som gör denna funktion så intressant och varför man överhuvudtaget, förutom att det är kul, skulle intressera sig av hur den beter sig. En anledning är att man kan studera primtal med den, vilket kan vara lite svårt att se utan hjälp. Zeta funktionen definieras ovan med hjälp av en serie som innehåller alla positiva heltal. Om man är medveten om att varje positivt heltal kan delas upp i primfaktorer på ett unikt sätt är man ett steg närmare kopplingen. Man kan nämligen 13

14 skriva om serien till följande oändliga produktserie av oändliga summor: ( ζ(s) = s s s + 1 ) 2 4s +... ( s s s + 1 ) 3 4s +... ( s s s + 1 ) 5 4s +... ( s s s + 1 ) 7 4s +... ( s s s + 1 ) 11 4s Med hjälpa av dessa summor innehållande primtal kan man skriva varje term i den första summan, och eftersom varje tal har en unik primtalsuppdelning kan man inte få ett tal två gånger. För att t.ex. få ut 1/(15 s ) tar man ettan ur serien med tvåor, 1/(3 s ) ur serien med treor, 1/(5 s ) ur serien med femmor och ettorna ur resten av serierna. Vidare kan man visa, att denna oändliga produktserie kan skrivas: (1 1p s ) 1 p primtal Med denna kunskap om zeta-funktionen går vi vidare till Riemannhypotesen. 3.3 Riemannhypotesen och dess konsekvenser Zeta funktionen är en funktion som har oändligt antal nollställen, en delmängd av dessa,de så kallade triviala, ligger på dom jämna negativa heltalen (-2, -4, -6,...). Det är inte dessa nollställen som Riemann intresserade sig av, han intresserade resten av nollställena som har bevisats ligga på den delen av det komplexa talplanet som ligger mellan 0 och 1. Riemann ville precisera sig mer än och spådde att alla icke triviala nollställen har en realdel på 1/2. Detta har bevisats med hjälp av datorer för de första icke triviala nollställena. En av anledningarna till dessa framsteg är att man kan skriva om ψ(x) på följande sätt med hjälp av dessa, ψ(x) = x ρ x ρ ρ log 2π 1 2 log(1 x 2 ), där ρ är nollställena till zeta-funktionen.[11] 4 P vs NP 4.1 Allmänt Det finns många beräkningsmässiga problem som inte rimligen kan lösas för hand, eftersom det åtminstone i värsta fall skulle ta oerhört lång tid. Många av dessa problem kan lösas effektivt med hjälp av datorer, men även datorer är inte alltid snabba 14

15 nog. I synnerhet kan beräkningstiden för en del problem öka väldigt snabbt när problemstorleken blir större och därmed göra det praktiskt omöjligt att ens lösa relativt små uppsättningar av problemet. P vs NP handlar om just hur lång tid det tar att beräkna en lösning för olika typer av problem och särskilt hur denna tid påverkas av att problemstorleken ökar. Naturligtvis kan ett problem ofta lösas på många olika vis. Vi är här främst intresserade av den mest effektiva (d.v.s. snabbaste) algoritmen som löser problemet. Även om det finns en algoritm som effektivt löser ett problem kan det dock vara mycket svårt att i praktiken skapa en sådan och att vi inte lyckas med det säger ingenting om huruvida det är (teoretiskt) möjligt. Hur vet vi då om det är lönt att fortsätta leta efter en effektiv algoritm? Ibland kan det vara väldigt eftersträvansvärt att finna en effektiv algoritm och om det finns en sådan skulle det kanske vara värt det att lägga ner mycket tid på att finna den. Å andra sidan kanske det helt enkelt inte är möjligt och då är det ett rent slöseri med tid att ens försöka. Det vore därför bra om vi kunde bevisa, en gång för alla, att det inte gick att finna en effektiv algoritm som löser ett givet problem. Då hade vi inte behövt slösa någon mer tid på att söka efter något som inte finns och vi skulle lätt kunna försäkra oss själva och andra om att våra misslyckade försök inte berodde på oförmåga, utan på en inneboende svårighet hos problemet i fråga. Nu är det tyvärr inte så lätt att bevisa att ett problem inte går att lösa effektivt och här kommer komplexitetsklasserna P och NP in i bilden. Problem som tillhör P anses, till skillnad från övriga problem, vanligtvis gå att lösa effektivt [2, 3, 5]. Alla problem som tillhör P är också NP-problem (d.v.s. P är en delmängd till NP). Däremot är det okänt om alla NP-problem tillhör P, d.v.s. om P = NP. Det är den här frågeställningen som P vs NP går ut på att besvara [5]. Det finns många problem som tillhör NP, men som saknar kända effektiva algoritmer och således kanske inte tillhör P. Om det visar sig att P = NP, så vet vi att alla dessa problem tillhör P och därmed går att lösa effektivt. Om däremot P NP, så vet vi bara att det finns minst ett NP-problem som inte tillhör P och det säger oss egentligen väldigt lite om alla de NP-problem som vi inte vet om de tillhör P eller ej. Det finns dock en mängd problem, s.k. NP-fullständiga problem, som tillhör P om och endast om alla NP-problem tillhör P. Alla dessa NP-fullständiga problem tillhör alltså inte P, om P NP. Att bevisa att ett NP-problem 4 är NP-fullständigt är betydligt enklare än att bevisa att det inte tillhör P (vilket är ekvivalent med att bevisa att P NP). Tills P vs NP är löst kan vi alltså för flertalet svåra problem visa att de är NP-fullständiga och därmed endast möjliga att lösa effektivt om P = NP. Då torde det i varje fall vara mycket svårt att konstruera en effektiv algoritm som löser problemet. Klart mer tillfredsställande vore dock om vi kunde ge ett definitivt svar på om NP-fullständiga problem går att lösa effektivt eller ej, vilket kräver en lösning på P vs NP. Frågan om P = NP eller ej anses av många vara ett av den moderna matematikens och datorvetenskapens viktigaste olösta problem [4]. 4.2 Grundläggande begrepp Innan vi går närmare in på komplexitetsklasserna P och NP ska vi gå igenom några grundläggande begrepp och idéer, som resten av framställningen bygger på. En formell 4 Många vanliga problem tillhör NP. Se t.ex. [2] eller [3]. 15

16 behandling av ämnet kräver fler och striktare definitioner, men vi nöjer oss här med en informell diskussion. En mer fullständig framställning ges t.ex. i boken [3]. Till att börja med menar vi med ett problem en generell fråga, som ofta har flera parametrar med ospecificerade värden. Utgående från dessa parametrar ställer problemet vissa krav som en lösning måste uppfylla. När problemet konkretiseras genom att parametrarna tilldelas värden fås en instans av problemet. Ofta undersöks eftersom det är teoretiskt enklare s.k. beslutsproblem. De är problem vars lösning utgörs av antingen Ja eller Nej. De flesta problem är lätta att skriva om till beslutsproblem. Om ett problem går ut på att minimera ett värde kan t.ex. problemet istället skrivas om till att fråga om det finns en lösning vars värde är lägre än en viss gräns. Det ursprungliga problemet är i sådant fall minst lika svårt som beslutsproblemet, eftersom en lösning på det ursprungliga problemet gör det trivialt att lösa motsvarande beslutsproblem. Ett exempel på ett problem är Ryggsäcksproblemet. Parametrarna till detta problem består av en ändlig mängd U, för varje u U en storlek s(u) Z + och ett värde v(u) Z +, och positiva heltal B och K. Frågan är om det finns en delmängd U U, vars totala storlek är mindre än eller lika med B (ryggsäckens storlek) och vars totala värde är större än eller lika med K. En instans av problemet fås, som sagt, genom att parametrarna tilldelas värden. För att lösa problem använder vi oss av algoritmer. En algoritm är en beskrivning, steg för steg, av hur ett problem löses. I praktiken kan man tänka på ett datorprogram som kör på en dator och beräknar en lösning till ett problem. I striktare sammanhang används ofta s.k. Turingmaskiner för att ge en formell beskrivning av exakt vad som menas. Vi säger att en algoritm löser ett problem om den för varje instans av problemet är garanterad att ge en korrekt lösning. Tiden som en algoritm behöver för att lösa ett problem beskrivs lämpligen som en funktion av probleminstansens storlek härefter kallad problemstorleken. Storleken mäts som längden av den indata som krävs för att beskriva probleminstansen. Indatan kan visserligen representeras på olika vis, men normalt sett spelar detta ingen roll och vi går därför inte närmare in på saken. En algoritms tidskomplexitet är en funktion av problemstorleken och definieras, för varje möjlig problemstorlek, som den längsta tid algoritmen behöver för att lösa en probleminstans av den storleken. Tidskomplexiteten anger alltså hur lång tid det i värsta fall tar för algoritmen att lösa en probleminstans av en viss storlek. 4.3 Komplexitetsklassen P Vi har tidigare endast sagt att problem som tillhör P går att lösa effektivt. Det är nu dags att ge en mer precis definition. Problem som tillhör P går att lösa på polynom tid och vi börjar därför med att definiera vad vi menar med polynom tid. Definition. En algoritm tar polynom tid om det finns ett polynom p(n) sådant att T (n) p(n) för alla n 1, där T (n) är algoritmens tidskomplexitet och n är problemstorleken. Alla övriga algoritmer sägs ta exponentiell tid [3]. Nu kan vi slutligen definiera komplexitetsklassen P. Definition. Ett problem tillhör P om det finns en algoritm som löser problemet på polynom tid. För att ge en uppfattning av vilken betydelse detta har för beräkningstiden ska vi nu jämföra hur några olika tidskomplexitetsfunktioner växer för ökande problemstorlekar. 16

17 Lägg märke till hur snabbt tidsåtgången växer för algoritmer med icke-polynom tidskomplexitet. Om komplexitetsfunktionen är polynom håller sig däremot tidsåtgången betydligt mer rimlig särskilt när problemstorleken blir stor. Funktionerna anger körtid i antalet mikrosekunder. Funktion Problemstorlek n n s s s s s n s s s s 0.01 s n s s s 0.13 s 1.0 s n s 3.2 s 24 s 5.2 min 2.8 h 2 n s 1.0 s 18 min 36 år år 3 n s 0.97 h 6.5 år år år Tabell 1: Jämförelse av olika tidskomplexitetsfunktioner För att ytterligare visa varför problem som tillhör P är fördelaktiga kan vi undersöka hur mycket större probleminstanser vi kan lösa på samma tid om beräkningskapaciteten görs tusen gånger så stor. Låt oss kalla den största storleken som vi ursprungligen kunde lösa på en given tid för N. För en algoritm med tidskomplexitetsfunktionen n 3 kan vi nu lösa instanser av storleken 10N. Det kanske kan tyckas vara en liten skillnad, men för en algoritm med tidskomplexitet 2 n blir motsvarande uttryck ungefär N Trots att vi har tusenfaldigat vår beräkningskapacitet kan vi alltså bara lösa problem med en storlek som är 10 större. Det torde vara uppenbart att tillräckligt stor beräkningskapacitet ofta inte är möjlig att uppnå för stora problem av denna typ. Något som är viktigt att tänka på när vi talar om tidskomplexiteten hos en algoritm är att den definitionsmässigt handlar om hur lång tid algoritmen tar i värsta fall. Det kan alltså finnas en algoritm som oftast löser ett problem på polynom tid, trots att problemet inte tillhör P. För att ett problem ska tillhöra P måste det finnas en algoritm som kan lösa alla probleminstanser på polynom tid. Det är vanligt att identifiera polynom tid med användbara (eller effektiva) algoritmer. Cook ställer i den officiella problembeskrivningen [5] upp tesen att det för naturliga problem finns en användbar 5 algoritm om och endast om det finns en algoritm som löser problemet på polynom tid. 4.4 Komplexitetsklassen NP NP kan sägas bestå av alla problem vars lösningar går att kontrollera på polynom tid. Här ställs alltså inga krav på hur lätt det ska gå att finna en lösning, utan givet en påstådd lösning på problemet ska det finnas en algoritm som på polynom tid kan kontrollera om den stämmer eller ej. Låt oss först introducera ett enkelt NP-problem innan vi fortsätter. Delmängssumma går ut på att avgöra om det finns en delmängd till en given mängd tal, vars summa är ett givet tal. Låt t.ex. mängden av tal vara {3, 5, 7, 9, 13} och frågan vara om det finns en delmängd vars summa är 25. Svaret är ja och det motiveras lätt genom att delmängden {3, 9, 13} presenteras. När vi känner till denna delmängd kan vi lätt kontrollera lösningen. 5 Egentligen engelskans feasible. 17

18 Vi tänker oss nu att vi istället frågas om det finns en delmängd, till samma mängd tal, som har summan 26. Svaret är nej, men det är betydligt klurigare att kontrollera (åtminstone med huvudräkning)! Nu finns det inte längre något enkelt bevis som kan hjälpa oss att kontrollera lösningen. Med exemplet i åtanke gör vi följande (informella) definition: Definition. Ett beslutsproblem tillhör NP om det för alla Ja -lösningar finns korta bevis, som kan kontrolleras på polynom tid. 6 Lägg märke till att den här definitionen är väldigt informell och aningen ofullständig. Mer formella definitioner av både P och NP ges bland annat i den officiella problembeskrivningen [5]. 4.5 Förhållandet mellan P och NP Det är relativt uppenbart att P NP, eftersom alla P-problems lösningar kan kontrolleras på polynom tid genom att helt enkelt lösa själva problemet. Däremot är det inte känt om alla NP-problem tillhör P, dvs om NP P, och det är som sagt detta som P vs NP går ut på att besvara. Millennieproblemet P vs NP är alltså att besvara följande fråga [5]: Är P = NP? De flesta experter tror att P NP och det finns mycket som talar för detta. Dels finns det många viktiga NP-problem som trots stora ansträngningar har motstått alla försök att finna effektiva algoritmer. Det ligger naturligtvis nära till hands att förklara detta med att det faktiskt finns NP-problem som inte tillhör P. Att P = NP leder dessutom till en del besynnerliga konsekvenser (som vi återkommer till), vilket även detta tyder på att så inte är fallet. Oavsett hur det förhåller sig så saknas det dock en viktig detalj ett bevis. NP P Figur 1: Förhållandet mellan P och NP. Det skuggade området är tomt om P = NP. 4.6 NP-fullständighet En av anledningarna till att P vs NP är ett sådant intressant och uppmärksammat problem är begreppet NP-fullständighet 7. Utgångspunkten är att problem kan reduceras till andra problem, genom att skapa en transformation som överför varje instans av 6 Jfr bl.a. [1] och [3]. 7 Begreppet introducerades 1971 av Stephen Cook [5]. 18

19 det första problemet till en ekvivalent instans av det andra problemet. Med en sådan transformation kan sedan en algoritm som löser det andra problemet göras om till en algoritm som även löser det första problemet. Intressant i det här sammanhanget blir det när en sådan transformation tar polynom tid. Om problem p 1 kan reduceras på polynom tid till problem p 2 så betyder det att p 1 går att lösa på polynom tid om p 2 gör det, d.v.s. att p 2 P p 1 P och därmed även att p 1 / P p 2 / P. Ett NP-problem är NP-fullständigt om alla NP-problem går att reducera till problemet ifråga på polynom tid [3]. Det betyder alltså att om ett NP-fullständigt problem tillhör P, så tillhör alla NP-problem P. Omvänt gäller att om ett NP-problem, vilket som helst, inte tillhör P, så tillhör alla NP-fullständiga problem inte P. NP-fullständiga problem ger oss ett tilltalande sätt att bevisa att P = NP. Det räcker nämligen att vi lyckas lösa ett NP-fullständigt problem på polynom tid för att alla NPproblem ska tillhöra P, vilket medför att P = NP. För att bevisa omvändningen, d.v.s. att P NP, får vi däremot inte samma hjälp av NP-fullständighet. Här måste vi visa att (minst) ett NP-problem inte tillhör P och det går redan från början bra med vilket som helst. Definitionen som sådan är inte särskilt konstig. Att det faktiskt finns en hel del problem som är NP-fullständiga är däremot minst sagt fascinerande! Kanske låter det som om det skulle vara väldigt svårt att bevisa att ett problem är NP-fullständigt. Tänker man efter lite så inser man dock att det räcker att ett problem bevisas vara NPfullständigt för att det ska bli mycket lättare. Sedan räcker det att man visar att ett känt NP-fullständigt problem går att reducera till ett nytt problem på polynom tid, för att indirekt alla NP-problem ska gå att reducera på polynom tid till detta problem! 4.7 SAT SAT, eller egentligen Satisfiability -problemet, var det första problemet som bevisades vara NP-fullständigt. Det går ut på att avgöra om ett booleskt uttryck går att tillfredsställa, d.v.s om det finns en uppsättning värden för de ingående variablerna som gör uttrycket sant. Vi utgår ifrån ett antal booleska variabler, u i. Varje variabel kan anta värdet Sant eller värdet Falskt. Utifrån dessa variabler konstruerar vi ett booleskt uttryck på följande vis. Först skapar vi satser genom att några variabler kombineras samman med operatorn ELLER. Varje variabel kan antingen föregås av en INTE-operator eller ej. Flera sådana satser sätts till slut samman med hjälp av den logiska OCH-operatorn till ett uttryck. Problemet går, som sagt, ut på att avgöra om det finns en uppsättning värden för variablerna, så att uttrycket blir Sant. Det är allmänt känt, men några få ord om hur OCH, ELLER och INTE fungerar skadar inte. x OCH y är sant om (och endast om) x är sann och y är sann. x ELLER y är sant om x är sann, y är sann eller båda är sanna. INTE x är sann om x är falsk. Lägg märke till att INTE här har prioritet över ELLER. Ett exempel på ett booleskt uttryck är: (INTE u 1 ELLER u 2 ELLER u 3 ) OCH u 1 OCH (u 2 ELLER INTE u 3 ) Det finns mer kompakta skrivsätt för detta, men här nöjer vi oss med det här något otympliga skrivsättet. Frågan är i det här exemplet om det finns värden för u 1, u 2 och u 3 så att uttrycket ovan är sant. Svaret är ja, eftersom u 1 = u 2 = Sant medför detta. Lösningen är lätt att kontrollera. Problemet är NP-fullständigt, så det är däremot inte alltid så enkelt att finna en sådan uppsättning värden (åtminstone inte om P NP). 19

20 Det är som sagt bevisat att SAT är NP-fullständigt. Eftersom SAT var det första NP-fullständiga problemet måste beviset visa att alla NP-problem går att reducera på polynom tid till SAT (och kan inte gå genvägen via ett annat NP-fullständigt problem). Vi går inte in på några detaljer om hur det går till. 4.8 Minröj För att visa att ett speciellt problem är NP-fullständigt krävs att man visar att det kan överföras till ett annat NP-fullständigt problem. Vi ska på ett enkelt sett visa hur minröj egentligen är ett NP-fullständigt problem Hur fungerar minröj Vi börjar med att prata lite om hur spelet går till. Spelets mål är att hitta och markera ett visst antal minor utan att gå på dem. Man börjar varje spel med ett tomt rektangulärt bräde och sen klickar man på en ruta, under den kan man antingen hitta en siffra (0-8) eller en mina. Är det en mina är spelet över och man får börja om. Om det är en siffra säger den hur många minor som ligger i en av de intilliggande åtta rutorna. Knepet är att genom logik lista ut vart alla minor ligger med så få gissningar som möjligt, men även de bästa spelarna behöver gissa sig till lösningar Problemet Problemet som vi studerar ligger i att lösa spelet med att göra så få gissningar som möjligt. Det är sant att man måste gissa i början men det gäller att hela tiden testa alla kombinationer och se om man kan hitta en säker ruta innan man gissar Bevis Bevis. För att kunna göra om detta spel till ett NP-fullständigt problem ska vi göra om det till ett SAT problem och för det behöver vi en del komponenter. Vi ska alltså göra om minröj till ett logiskt problem, genom att skapa de logiska operatorerna och ett sätt att transportera sant och falskt genom planen kan vi visa att minröj är ett NPfullständigt problem. I följande figurer är motsvarar siffrorna de siffror som skulle kunna dyka upp i ett parti, stjärnorna är bekräftade minor (där de måste ligga), bokstäverna möjliga minplaceringar där det är antingen de med apostrof eller de utan som har minor för varje bokstav och de bokstäver som har ett index är hjälpminor där olika av de blir minor beroende på situationen. Vi börjar med att skapa ett sätt att transportera sant/falskt genom planen. I följande figur så finns det två möjliga lösningar, antingen är alla x minor eller alla x. 20

21 X x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x x Figure 3: A wire. X X x x1 x 2 x 1 x 2x 1 x x 1 x x 1 x x x X0 0 1 x x 1 X 3 x x 1 x x 1 Figur : Figure 1. Transport 3: Aav 2wire. sant/falskt Vi definierar (a) Xsant som det 1 2värde 2 1som är bakom (b) (i den meningen att framåt är den i figuren angivna riktningen) den mittersta 3 1 ettan. Vi behöver också möjligheten att svänga och dela ledningarna 1 x vilket x 2 vi x löser på2följande sätt: Figure 4: (a) A bent wire. (b) A terminated wire x X 1 x x 1 X1 x 1 3 x x 1 x x x X X X x (a) (b) x x 1 x 2 x 1 xx x X Figure 4: (a) A bent 0 1wire (b) 0 0A 0terminated wire x X x. 1. x 1. x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x x x x 0 X Figure XFigur 5: A3: 1three-way En1förgrening. 1 X splitter x 1 1 Figure 1 1 3: A wire. x x 1 x 2 x 1 xx x X X X x X x x 1 x 1 x 31 x. x 2. 3x 1. xx 12 xx x X 1 x Figure 5: A three-way 1 x splitter. 1 X 3 x x 1 x x 1 Figure 6: A not gate (a) X X (b) Figur 4: 5En kurva x x 1 Figure x x 34: x (a) 3 Axx bent 1wire. xx (b) A terminated wire. Vi måste även ha möjligheten att 1korsa 2 två 2 1ledningar, 1 1 1det 1 gör vi genom följande figur x 1 Figure 6: A not gate. 1 x X 1 X X x x x 1 x 2 x 1 xx x x 1 1. x X

22 Figure 10: An or gate Figure 3: A wire. X x x 2 x x X 1 x x 1 X U 3 x x 1 x x u (a) u 1 (b) V V v 5 4 u r Figure v v 4: (a) A bent v v wire. 6 r r (b) 1A rterminated 2 r 1 r wire. r v s r v s r v 1 x v s r 1 r 2 r x X X 1 1 s 1 1 X x s 1 x x 1 x U 2 x 1 1 xx x Figure 11: 5: 1En A x wire korsning. 1 Xcrossing 1. x Nu kan vi transportera signaler i ett ms-röj spel. Nu behöver vi skapa de logiska operatorerna, AND, NOT, OR och XOR 8. Vi börjar med NOT växeln. Det är en rätt enkel figur som man ser byter x och x position och om vi definierar den bakom mitten Figure 5: A three-way splitter. ettorna som sant byter den då till falskt. 8 X X x x 1 x x 3 x 3 xx 1 xx Figure 6: 6: EnA NOT notväxel. gate. Vi går vidare och kollar på OR växeln, den innehåller tre hjälpminor a 1, a 2, a 3 och en hjälpslinga S. Om U och V är sanna (v5och u är minor) kommer s och r ha minor. Vi får då ett sant resultat och vi ser att a 1 och a 2 är minor. Om U eller V är falsk måste s vara tom, det finns en mina hos s och a 1 och a 3 har minor under sig. Om både U och V är falska är både s och r tomma. Det betyder att a 2 och a 3 har minor. 8 XOR är endast sann då ena värdet är sant och andra är falskt 22

23 u 1 1 u U V R u r v v 3 v 6 r r 1 r 2 r 1 r r s r s a 1 a 2 a 3 r Figure Figur 7: 10: En An OR or växel. gate Nästa figur är AND-växeln, den består av två ingångar V, U och en utgång T. Den har även två interna ledningar S, R. Den har även sex hjälpminor,a 1, a 2, a 3 och b 1, b 2, b 3. Vi observerar att den är helt symmetrisk så något som fungerar i en situation för s och a funkar även för r och b. Om T är sann (t är en mina) går det snabbt att kolla att a 2 och a 3 måste vara minor vilket leder till att s är en mina, samma sak gäller för b och r. När vi då kommer in till mitten fyrorna ser vi att u och v måste ha minor på sig alltså är både U och V sanna då T är sann. Om U eller V är falska kommer mitten fyrorna bara att få 3 eller 2 minor, eftersom svaret ska vara falskt ska t vara tom, då måste s och eller r ha mina under sig. Om s då är en mina är a 1 och a 3 också minor, s U inte är en mina är a 1 och a 2 minor u u U V V v u r u 1 1 v 2 3 v v v r r r 2 r 1 r 1 r 1 1 u v sa 1 a 2 a 3 t 3 t t s r t v u s s T r uu s v v s r r 2 r 1 1 t t t 1 t t 1 t t 1 t 2 t 1 t t v v r s t v r s U t v r b 1 b 2 b 3 t 3 t t v V.. Figure 11: A wire crossing... Figure 8: 9: En AnAND andväxel. gate. Vår sista figur är XOR 9 växeln. Den består av två ingångar U, V och en utgång W, works det finns is även my Intelligencer en hjälpslinga X. article, Om Wasäris some informaion of how to put these 8 sann kommer den markerade 6:an att ha fyra gates minortogether runt sig, det to make betyder upatt more antingen complicated är x minor boolean eller ucircuits. och v minor det ger de två The main difficulties in putting these gadgets together are concern firstly how 9 Den toärmake endast sann other då de standard två ingående gates parametrarna (such är asolika OR, and so on) out of the ones already found, and secondly how to cross wires over one another. It turns out that both these problems were well-understood, and I showed how they 23 can be solved in principle in my article. On the other hand, if one follows the method prescribed the resulting configurations can be rather large. After reading my article, Stefan Schwoon sent me (on 5th October 2000) two of his own configurations that manage to reduce this size quite a lot. They are: an OR gate (Figure 10); and a way of crossing wires (Figure 11) and are also reproduced here. Stefan s OR gate is substatially smaller than my original AND gate and is based on a slightly different and simpler method. (I had previously spotted

24 Figure 7: A phase-changer made from two not gates. olika sanna fallen. Om endast en av u och v innehåller minor kan inte w vara en mina vilket ger de två falska möjligheterna. U W u u 1 u u 3 3 ww 3 w 3 w w u w u w v v 1 v v v 6 x 4 x x 3 x 2 V x x x 1 2 x 1 2 x x 4 x Figure 9: 8: EnAn XOR xorväxel. gate. Nu har vi alla redskap för att skapa logiska kretsar och alltså har vi bevisat att minröj är ett NP-fullständigt problem. Visst dessa mönster kommer troligtvis aldrig att uppstå i ett vanligt spel men beviset håller ändå.[6] 4.9 Konsekvenser av P = NP Om någon lyckas konstruera en praktiskt användbar 6 algoritm som löser ett NP-fullständigt problem (och därmed visar att P = NP), så kommer det att få en hel del konsekvenser. Det skulle bland annat innebära problem för dagens internetsäkerhet, eftersom den till stor del bygger på krypteringsteknik som är beroende av att en del problem inte går att lösa effektivt. Det skulle även få positiva effekter. Många svåra problem ute i industrin skulle plötsligt gå att lösa mycket snabbare (och billigare!). Det skulle även leda till besynnerliga konsekvenser för bl.a. matematiken. Plötsligt hade datorer kunnat finna (formella) bevis till svåra matematiska problem, eftersom de går att kontrollera effektivt. Kanske till och med resten av Millennieproblemen skulle gå att lösa på sådant vis! Samma sak gäller problem inom andra områden, som t.ex. att designa flygplan, byggnader, datorprogram och kanske till och med musik. Det hade i princip bara krävts att det gick att finna en effektiv algoritm för att känna igen ett bra resultat. 10 Nog vore det roligt (på sitt vis) om det visade sig att P = NP, men det är nog ingen god idé att hoppas allt för mycket på detta. De besynnerliga och överraskande konsekvenser som det skulle leda till är kanske snarare en bra anledning till att anta att det faktiskt inte är så, utan att P NP och att världen därmed förblir sig lik. Oavsett saknas det fortfarande ett matematiskt bevis! Många har försökt sig på ett bevis, men ingen har lyckats än så länge. 10 Se den officiella problembeskrivningen [5]. 24

25 Bara framtiden kan utvisa om, hur och när P vs NP och de andra olösta millennieproblemen kommer att lösas. En sak står åtminstone klar. Det kommer att finnas intressanta problem för morgondagens matematiker att grubbla på! 25

26 Referenser [1] A. Widgerson, P, NP and Matematics a computational complexity perspecitve. W06/W06.pdf [2] C.M. Papadimitriou, NP-completeness: A Retrospective. [3] M.R. Garey and D.S. Johnson, Computers and intractability, a Guide to the Theory of NP-Completeness, W.H. Freeman and Co., New York, [4] M. Sipser, The History and Status of the P versus NP Question. [5] S. Cook, The P versus NP problem. Officiell problembeskrivning från CMI. [6] R. Kaye, Minesweeper is NP-complete. Mathematical Intelligencer, year 2000, volume 22, issue 2, pages 9-16 [7] Hilbert s problems - Wikipedia [8] Fields Institute - The Fields Medal fields_medal.html [9] Clay Research Award [10] Clay Mathematics Institute [11] Millenium Prize Problems 26

27 Matematisk kommunikation Optionsprissättning Andrea Åkerström Hilda Lindvall Joel Hansson Marcus Posada π08 18 maj 2009

28 Innehåll 1 Inledning 29 2 Aktier 29 3 Brownsk rörelse 29 4 Optioner Optionprissättningens historia Black & Scholes Optionspriser 32 6 Optionsinvestering 33 7 Optionsprissättning 35 8 Tvåtillståndsmodellen 36 9 Den binomiala optionsprissättningsmodellen - ett numeriskt exempel Den binomiala optionsprissättningsmodellen - en diskret modell Källor 41 28

29 1 Inledning I detta arbete görs en grundläggande presentation av förhållandet mellan aktier och optioner, samt en prissättning av dessa. Arbetet tar upp Brownsk rörelse, som behandlar aktiens framtida värde och även tvåtillstånds- och binomialmodellen, vilka lägger grunden för optionsprisättning. 2 Aktier En aktie är en ägarandel i ett företag och ägaren av aktien har rätt till utdelning, vilket innebär att man får ta del av företagets vinst. Däremot har aktieägaren ingen skyldighet att ta över företagets skulder vid konkurs. Ägaren har även rösträtt i bolagets årsstämma, rösträttens storlek står i proportion till hur stor andel av alla företagets aktier denne äger. Företag säljer andelar(aktier) för att få investerare(köpare), så att de får in pengar för att driva företaget vidare. Aktiekapitalet är de pengar som aktieägarna betalar in och det är företagets riskkapital, som används när det går dåligt för företaget. De aktier en privatperson eller företag äger och förvaltar kallas aktieportfölj. Aktiernas pris baseras på uppskattningar på företagets värde och framtida framgångar, vilket innebär att aktiernas värde ständigt fluktuerar. Privatpersoner och företag handlar med aktier för att få avkastning på sitt kapital. Summan av värdet på alla aktierna i ett företag utgör företagets marknadsvärde 1. 3 Brownsk rörelse Ett vanligt sätt att beskriva priserna på aktiemarknaden är genom Brownsk rörelse. Brownsk rörelse är namnet på en slumpmässig rörelse i n dimensioner. De förklarades för första gången, framgångsrikt, av Albert Einstein år Man kan använda figuren ovan för att beskriva ett enkelt fall av Brownsk rörelse. I figuren kan en partikel, som startar i ett hörn, röra sig till ett av de närliggande hörnen med lika stor sannolikhet, dvs. 1/4. I Brownsks rörelse sker stegriktningen i vilken riktning som helst. Om man låter avstånden mellan hörnen gå mot noll och går ett antal steg kan man tolka rörelsen som en Brownsk rörelse. 29

30 Det finns många aspekter på Brownsk rörelse. Exempelvis kan man titta på sannolikheten att rörelsen kommer oändligt långt bort från startpunkten. Sannolikheten för denna är ett. Man kan även titta på en förutbestämd sträcka, exempelvis en ring runt en prick, sannolikheten för att pricken under sin rörelse ska korsa ringen är ett. Anledningen till att Brownsk rörelse är viktig inom aktiemarknaden är att man kan anta att aktiepriset följer en geometrisk Brownsk rörelse, vilket är en tidskontinuerlig stokastisk process. En stokastisk process används inom sannolikhetsteorin, och beskriver slumpmässiga förändringar. För modellering av Brownsk rörelse och slumpmässiga finansiella händelser används en stokastisk process som kallas Wienerprocessen. 4 Optioner Aktier är den mest kända typen av värdepapper men det finns en annan stor grupp av värdepapper som går under samlingsnamnet derivatinstrument. De vanligaste är optioner, terminer, futurer och swappar. De har flera saker gemensamt. Deras värde bygger på olika underliggande tillgångar såsom exempelvis aktier, valutor eller råvaror, de är alla kopplade till händelser vid en specifik tidpunkt i framtiden och de utgör alla kontrakt mellan två parter. Det finns två olika sorters optioner, sälj- och köpoptioner. Vid köp av en säljoption köper man rätten att sälja den underliggande tillgången under avtalad tidsperiod. Köpoptionen fungerar på motsvarande sätt men man köper rätten att köpa den underliggande tillgången vid ett senare tillfälle. Tiden innan tidsfristen gått ut kallas löptid och sista dagen på denna kallas slutdag. Om innehavaren begär att utfärdaren skall fullfölja avtalet är denna tvingad till att göra det. Utfärdaren av optionen tar en risk när denna tar på sig skyldigheten att till ett förutbestämt pris sälja eller köpa den aktie som optionen avser. Priset för att köpa en option kallas premie. Premien betalas till utfärdaren eftersom optionsköparen genom optionen får rätt att köpa eller sälja den underliggande aktien till 30

31 ett bestämt pris. Den underliggande tillgången kan både stiga mycket och sjunka mycket vilket innebär att utfärdarens maximala förlust vid en köpoption kan vara väldigt stor. Däremot kan värdet på säljoptionens underliggande tillgång ej bli negativt och optionsköparen kan inte förlora mer än de pengar som redan betalts. Kontraktets ena part köper alltså rättigheten att eventuellt köpa den underliggande tillgången för en specifik summa i framtiden medan den andra parten åtar sig att sälja till det överenskomna priset. Systemet är inte helt smärt- och riskfritt ty systemet innebär stora ekonomiska risker för båda parterna (se ovan). Dock har det även en stor potentiell avkastning, oftast större än den möjliga avkastningen för den underliggande tillgången. Nämnvärt är att en börsnedgång inte bara behöver innebära att man förlorar pengar då en säljoption kan öka i värde vid börsnedgång. Fortsättningsvis kommer detta arbete ha fokus vid optioner, dess prissättning och dess risker. Optionens värde består av två delar, ett realvärde och ett tidsvärde. Realvärdet på optioner bestäms av skillnaden mellan aktiens nuvarande värde och optionens lösenpris på aktien dvs. hur mycket man skulle ha tjänat om optionen gick ut idag. Köpoptioner får ett realvärde om aktiens nuvarande värde överstiger optionens lösenpris. Motsvarande får säljoptioner ett realvärde om aktiens nuvarande värde understiger optionens lösenpris. Eftersom det inte finns någon skyldighet att utnyttja sin option, om nu utnyttjandet skulle innebära en förlust, så existerar inget negativt realvärde. Tidsvärdet är skillnaden mellan pris och realvärde och det påverkas av löptiden och volatiliteten. Optionens tidsvärde ökar, ju längre löptiden är och ju större aktiens volatilitet är. På optionens slutdag är tidsvärdet alltid noll. Det finns olika typer av sälj- och köpoptioner. En av de vanligaste är amerikanska optioner vilka kan lösas in eller kvitteras när som helst under löptiden. En annan vanligt förekommande är europeiska optioner vilka endast kan lösas eller kvitteras på slutdagen Optionprissättningens historia Människor har handlat med optioner länge. Redan under antiken, i Rom, Grekland och Fenicien, handlade man med optioner med sjöhandelsvaror som underliggande tillgångar. De moderna optionsprissättningsmetoderna började utvecklas 1877 när Charles Castelli skrev "The Theory of Options in Stocks and Shares". Castelli införde begrepp och tankar om optionernas spekulativa natur, men det var först några år senare som Louis Bachelier lyckades med den första analytiska optionsprissättningmetoden i "Theorie de la Speculation". Bacheliers arbete fortsattes av Paul Samuelson (MIT) 1955 med "Brownian Motion in the Stock Market". Samuelsons arbete fortsattes i sin tur av A. James Bones. Bones arbete lade förutsättningarna för Fischer Black och Myron Scholes, vars kända ekvation är grunden för den moderna optionsprissättningen. De belönades dessutom med Nobelpriset i ekonomi år 31

32 1997. Mycket av dagens prissättning på optioner baseras på Black Scholes modell. 4.2 Black & Scholes Fischer Black var år gammal och en frilansande ekonomisk entrepenör som tidigare hade jobbat vid Massachusetts Institute of Technology. Där kom han i kontakt med en modell för prissättning av värdepapper efter det att han några år tidigare blivt klar med sin doktorsexamen i tillämpad matematik vid Harvard Universitet. Myron Scholes var en 28 år gammal adjunkt professor i finans vid MIT. Tillsammans började de arbeta vidare på idéerna om prissättning som Black hade stött på vid MIT. År 1973 hade de båda skrivit den första analytiska modellen för prissättning av europeiska optioner. De försökte förgäves få sitt arbete publicerat i flera ledande amerikanska ekonomiska tidskrifter. Det var först efter att ha konsulterat nobelpriskandidaten Merton Miller och Eugene Fama vid Chicagos Universitet som de lyckades få sin teori och modell tryckt i Journal of Political Economy. Deras modell hade stort genomslag och blev väldigt snabbt den allmänt mest accepterade modellen för optionsprissättning 3. Myron Scholes och Fischer Black. 5 Optionspriser Chicago Board Options Exchange, CBOE, är en marknad för optionshandel. Tabellen nedan visar IBM:s aktieoptioner på denna marknad. Förklaringen av tabellen görs med hjälp av informationen på rad ett (1) i tabellen. Stängningspriset av IBM aktien var torsdagen den 28 maj Tittar man i kolumnen Lösenpris, hittar man ett pris och i raden brevid den månad då optionen går ut, juni. Den 28 maj har köpoptionen alltså en löptid på ungefär tre veckor. Kolumnen Volym ger information om hur många kontrakt som tecknats på CBOE den specifika dagen. Det var alltså kontrakt som skrevs. Kolumnen Pris visar det senaste priset då juni IBM:s köptes för 7 vilket innebär $700 per kontrakt eftersom varje option ger möjlighet att köpa 100 aktier. Kolumnen därpå, Total mängd, är det totala antalet 32

33 nummer av CBOE kontrakt av den speciella typen som existerade under dagen. De tre sista kolumnerna ger information om den Dagliga marknadsvolymen, stängningspris och den Totala mängden för IBM:s säljoptioner. I tabellen ser man att köp- och säljoptioner med längre löptid är dyrare än när löptiden är kortare. Detta beror på att när löptiden ökar, ökar även tidsvärdet. Man ser även att köpoptioner med lägre lösenpris är dyrare och köpoptioner med högre lösenpris är billigare. Andledningen till detta är att realvärdet är högre respektive lägre redan vid köpet av köpoptionen. Detsamma gäller för säljoptioner fast då omvänt 2. Lista på IBM:s optionspriser IBM(IBM) Underliggande aktiepris: 120 1/16 Köpoptioner Säljoptioner Lösenpris Slutdatum Volym Pris Total mängd Volym] Pris Total mängd (1) 115 jun / (2) 115 okt (3) 115 jan /4 40 (4) 120 jun / / Tabell 1: Priser vid stängning torsdag, 28 maj, 1998 Källa: The Wall Street Journal Interactive Edition, maj 29, Optionsinvestering Det finns många olika sätt att investera i optioner och det finns mängder av olika strategier för att maximera sin avkastning. Ett bra sätt för att visualisera de olika typer av strategierna för optionsinvestering är avkastningsdiagram. I ett avkastningsdiagram visas relationen mellan optionens värde och den underliggande tillgångens värde. Följande diagram, fakta och information är tagit ur boken Finance skriven av Z. Bodie och R. C. Merton, 2000, New Jersey. Första figuren nedan visar avkastningsdiagrammet för en köpoption. Där står avkastningen på y-axeln, och på x-axeln finns den underliggande tillgångens värde. Optionen i figuren har ett lösenpris på 100 dollar. Som man tydligt ser i figuren är optionens värde noll om den underliggande tillgångens värde understiger 100 dollar vilket överensstämmer med det faktum att man maximalt kan förlora sin insats (100 dollar) men inte mer. Däremot ökar optionen i värde om den underliggande tillgångens värde stiger. Om optionen är europeisk är det endast den underliggande 33

34 tillgångens värde på slutdagen som avgör hur avkastningen blir. Är det däremot en amerikansk option är slutdagen inte den absolut viktigaste, då man kan lösa in optionen vid ett tidigare tillfälle. Den andra figuren visar avkastningsdiagrammet för en säljoption. Om den europeiska säljoptionen köps för 100 dollar och om den underliggande aktien vid slutdagen har ett värde som är högre än 100 dollar blir optionens värde noll och vinsten uteblir. Däremot om den underliggande aktiens värde understiger 100 dollar ökar vinsten. Finance, Z. Bodie, R.C. Merton (2000) Prentice-Hall, New Jersey. Finance, Z. Bodie, R.C. Merton (2000) Prentice-Hall, New Jersey. Det är alltid svårt att investera sina pengar rätt för att maximera avkastningen. I figuren nedan har en schematisk bild gjorts för att visa tre olika investeringsstrategier. Det gemensamma är att de alla, innan investeringen, förvaltar dollar, att den riskfria räntan är 5 procent/år, och att de alla bygger på en förväntad börsuppgång. Strategierna är följande: 1. Investera alla dollar i aktier. 2. Investera alla dollar i köpoptioner. 3. Investera dollar i köpoptioner och resten riskfritt på ett konto. I figuren är den punktade linjen strategi ett, den streckade linjen strategi två och del heldragna är strategi tre. I strategi ett ökar eller minskar avkastningen med en procent för varje dollar som aktien stiger eller sjunker. I figuren ser man att brytpunkten ligger på 110 dollar för strategi två till skillnad från strategi ett där den 34

35 ligger på 100 dollar. Däremot är kurvan tio gånger brantare än kurvan i strategi ett. En mindre riskfylld strategi är nummer tre. Kurvans lutning är lika brant som kurvan i strategi ett om aktiens värde överstiger 100 dollar. Om däremot aktiens värde understiger det priset blir den maximala förlusten 5,5 %. Ingen av strategierna är optimal i alla lägen och det är alltid upp till varje individ att bestämma hur pass beredd man är på att ta risker 2. Finance, Z. Bodie, R.C. Merton (2000) Prentice-Hall, New Jersey. 7 Optionsprissättning Optioner prissätts med hjälp av uppskattningar av det framtida värdet av de underliggande aktierna. Sättet som köp- och säljoptioner fungerar på möjliggör att man kan skapa portföljer som ger exakt samma avkastning som en köp- eller säljoption ger. Detta kan göras genom att man lånar pengar till att köpa upp underliggande aktier och sedan köper en säljoption till aktierna som försäkring mot en eventuellt nedgång i aktiens värde. Motsvarande kan göras med säljoptioner, men görs då med en kombination av riskfria investeringar. Detta medför att om priset på en köp eller säljoption är för högt eller lågt finns det möjlighet att utnyttja denna obalansen för att göra riskfria vinster, ett så kallat arbitrage. Prissättningen bestäms för att motverka denna effekt. En grundläggande ekvation för denna prisrelation ser ut på följande sätt: E C P = S (1 + r) T (1) C = Köpotionens pris. P = Säljoptionens pris. S = Aktiens pris. E = Optionens lösenpris. r = Den riskfria investeringens avkastning. T = Löptiden på optionen. För att kunna använda ekvationen måste man i förväg känna till priset på antingen köp- eller säljoptionen, för att kunna beräkna den andra. I ekvationen ser man hur 35

36 de olika variablerna förhåller sig till varandra. Exempelvis visar relationen mellan köp och säljoptioner på att om aktiens pris är samma som nuvärdet på optionens lösenpriset, det vill säga, så är köp och säljoptionspriset lika. Om aktiens pris E (1+r) T skulle vara högre än nuvärdet på optionens lösenpris, är köpoptionens pris högre än säljoptionens pris och vice versa. Volatilitet är hur mycket aktiens värde förväntas variera. Storleken av volatiliteten på den underliggande aktien spelar en stor roll på prissättningen av optioner. När volatiliteten blir större, blir också optionspriset högre för både köp och säljoptioner. Detta eftersom när volatiliteten blir hög så kan en eventuell vinst förväntas att bli väldigt hög. 8 Tvåtillståndsmodellen I ekvation 1 ovan, kan man endast ta fram priset på köpoptionen om man redan känner till priset på säljoptionen sedan innan, och tvärtom. Om nu båda dessa är okända behövs andra metoder för att ta reda på optionspriset. För att göra detta måste uppskattningar göras av den underliggande aktiens framtida pris, det vill säga hur priset kommer att bete sig. Till att börja med så kan man uppskatta att aktien kan anta ett av två värden vid slutet av optionens löptid. Denna primitiva uppskattning ligger som grund för den binomiala modellen, som används i praktiken. Om man nu, exempelvis, ska ta fram priset på en köpoption, gör man först ett antagande på hur mycket det nuvarande aktiepriset kommer att ha stigit eller sjunkit när löptiden har gått ut. Man tar även med i beräkningen den riskfria räntan. Om aktiens lösenpris har fått det högre av de två möjliga värdena när optionen ska lösas ut, har man då fått en utdelning som motsvarar hur mycket aktiepriset har stigit. Om aktien skulle ha fått det lägre värdet istället, blir det ingen utdelning. Priset av denna köpoption bestäms med hjälp av en ihopsättning av en aktieportfölj med samma utdelning. Denna aktieportfölj ska genom Lagen Om Ett Pris kosta lika mycket som en köpoption. Lagen Om Ett Pris ser alltså till att priserna på ekvivalenta tillgångar är identiska. En sådan portfölj kan man skapa genom att köpa en aktie och finansiera detta genom ett riskfritt lån. Summan man lånar motsvarar nuvärdet av det lägsta värdet aktien kan anta vid slutdatumet. När lånet betalas tillbaka vid slutdatumet så har man en utdelning av noll, om aktien nått sitt lägsta värde 2. För illustrera ovanstående prissättning följer här ett exempel ur boken Finance skriven av Z. Bodie och R. C. Merton, 2000, New Jersey: 36

37 I exemplet används en köpoption med en underliggande aktie som har priset 100 dollar och som kan anta antingen priserna 80 eller 120 dollar efter den givna tidsperioden, här efter ett år. Den riskfria räntan ligger på 5 % per år. I följande bild visas schematiskt avkastningen för aktien och köpoptionen till denna. Man kan nu jämföra avkastningen på köpoptionen med avkastningen på följande portfölj. Portföljen består av en andel av den tidigare beskrivna underliggande aktien som är delvis finansierad med ett riskfritt lån. Säkerheten för lånet är aktien själv då man endast lånar upp det belopp som är nuvärdet av det lägsta värdet som aktien kan anta. Därför kan man vid slutdatumet alltid betala tillbaka lånet. Aktiens lägsta värde är 80 dollar och därmed kan vi låna nuvärdet av 80 dollar vilket är 76,19 dollar ty den riskfria räntan är 5 %. Utdelningen av portföljen vilken beror av aktiepriset i slutet av tidsperioden, dvs. om ett år, visas i följande bild. Finance, Z. Bodie, R.C. Merton (2000) Prenhall-Hall, New Jersey. Avkastningen för portföljen är nu större än för optionen och för att få samma avkastning som optionen behöver man bara en del av denna portfölj. Denna del tas variationen av optionspriset fram genom kvoten variationen av aktiepriset. Denna kvot kallas för hedge ratio. Om hedge ratio ska räknas ut för exemplet ovan gör man på följande sätt: $20 0 $120 $80 = 0, 5 Om man väljer att köpa endast hälften av aktierna och därmed endast lånar 38,095 dollar, skulle det innebära att vi skapar en portfölj som motsvarar en köpoption. Summan att låna är den maximala summan som garanterat kan betalas tillbaka när löptiden tar slut dvs. på slutdatumet. I exemplet ovan blir då det lägsta värdet av den halva aktien 40 dollar. På grund av Lagen Om Ett Pris måste köpoptionen 37

38 kosta lika mycket som vår portfölj med samma avkastning. K = 0, 5S $38, 095 där K är köpoptionens pris och S är den underliggande aktiens pris. Köpoptionen får där genom priset 11,905 dollar 2. Finance, Z. Bodie, R.C. Merton (2000) Prentice-Hall, New Jersey. 9 Den binomiala optionsprissättningsmodellen - ett numeriskt exempel Att anta att en aktie endast kan anta två olika värden vid slutet av en tidsperiod, är väldigt orealistiskt. För att skapa en mer realistisk modell för optionsprisättningen delas tidsperioden upp i flera delperioder. I varje delperiod kan nu aktien anta två nya värden. I följande exempel görs ett försök att illustrera detta. En aktie har priset 100 dollar. Perioden ett år delas nu upp i två delperioder bestående av sex månader vardera och man kan anta att aktiepriset antingen kan stiga eller sjunka med 10 dollar i varje delperiod. Det innebär att den största ändringen under hela perioden för aktien är 20 dollar. I slutet av året kommer det att finnas tre möjliga priser på aktien: 120, 100 eller 80 dollar. Motsvarande avkastning för en köpoption är 20, 0 och 0 dollar. Följande metod är ett försök att beskriva den självfinansierande investeringsstrategin vilken är en strategi som skapar strukturen för köpoptionens avkastning. Strategin är dynamisk därför att den justerar antalet aktier och det lånade beloppet efter en delperiod, dvs. efter sex månader, beroende på aktiens pris som skapas och formas över tiden. Efter den första insatsen investeras inte mer pengar i portföljen och därmed är aktieportföljen självförsörjande. Varje delperiod delas upp som en upprepad strategi av den tidigare förklarade tvåtillståndsmodellen. I figuren nedan visas resultaten av de beslut som tas under de olika delperioderna. 38

39 Finance, Z. Bodie, R.C. Merton (2000) Prentice-Hall, New Jersey. Man ser att aktiepriset börjar i punkt A med 100 dollar. Till att börja med köps en halv aktie för 50 dollar och det lånas 45 dollar till denna. Kostnaden på denna portfölj är därmed 5 dollar. I slutet av den första delperioden har aktien fått ett annat värde. Om värdet hamnat i punkt C har aktien värdet 90 dollar vilket innebär en nedgång. Då väljer man att sälja av den halva aktien för att säkert kunna betala av lånet. Om värdet på aktien däremot har stigit till 110 dollar, dvs. har hamnat i punkt C, är det fördelaktigt att köpa ytterligare en halv aktie och öka lånet för aktien till nuvärdet 100 dollar. En portfölj med denna investeringsstrategi får då en ekvivalent avkastning som en köpoption för en aktie. Priset för hela denna portfölj är 5 dollar och genom Lagen Om Ett Pris måste priset på en köpoption också vara 5 dollar. Denna form av den binomiala modellen förbättrar tvåtillståndsmodellen. Genom att dela upp tidsperioden i fler och fler delperioder kan man uppnå en mer realistisk och mer träffsäker beräkning Den binomiala optionsprissättningsmodellen - en diskret modell Exemplet ovan var en rudimentär, numerisk, beskrivning av binomialmodellen, här nedan beskrivs den mer matematiskt, med en modell över diskreta tidsperioder. Vi börjar, än en gång, med en aktie som har två möjliga värden efter en given tidsperiod. Men nu säger vi, mer allmänt, att de värdena är us och ds, om aktiens startvärde sätts till S, där u och d representerar kvoten av en uppgång respektive nedgång på aktiens värde. Då blir avkastningen antingen (u 1)S eller (d 1)S, om sannolikheten för att uppnå us är q är sannolikheten att uppnå ds lika med (1 q). Detta kan ses i figuren nedan: 39

40 Option Pricing: A Simplified Approach, John C. Cox, Stephen A. Ross, Mark Rubinstein (1979) Journal of Financial Economics. Om man låter r vara den riskfria räntan plus ett måste u > r > d för att undvika arbitrage. För att kunna använda detta för att prissätta en köpoption inför vi variablerna C, som är köpoptionens pris, C u, som är optionens slutvärde om den underliggande aktiens värde har uppnått us, och C d som är optionens slutvärde om den underliggande aktiens värde har uppnått ds. På grund av att köpoptionen inte kan ha ett negativt värde så representeras C u och C d av en maximifunktion av 0 och us K respektive 0 och ds K, där K är optionens lösenpris. Option Pricing: A Simplified Approach, John C. Cox, Stephen A. Ross, Mark Rubinstein (1979) Journal of Financial Economics. Kostnaden för att sätta ihop en portfölj som innehåller aktier och utlån kan skrivas S + B, där är ett antal aktier och B är det antal dollar som lånas ut. Hur portföljens värde kommer att se ut efter en tidsperiod visas i figuren nedan. Option Pricing: A Simplified Approach, John C. Cox, Stephen A. Ross, Mark Rubinstein (1979) Journal of Financial Economics. Man kan utnyttja Lagen om Ett Pris, genom att variera och B, för att sätta upp ekvationerna us + rb = C u och ds + rb = C d. De kan skrivas om som, = C u C d (u d)s, B = uc d dc u (u d)r. Dessa ekvationerna utgör en så kallad hedging portfolio, som är en portfölj med samma avkastning som en köpoption som utnyttjas för att prissätta köpoptioner, genom Lagen om Ett Pris. Enlig Lagen om Ett Pris måste 40

41 = C = S + B = Cu C d u d + uc d dc u (u d)r [( r d u d ) C u + ( u r u d ) C d ] / r. Detta kan göras mer överskådligt med definitionerna p r d u d och 1 p u r u d. Med dem kan vi skriva C = [pc u + (1 p)c d ] /r. Det finns flera nämnvärda aspekter av den här ekvationen. Bland annat spelar sannolikheten, q, ingen roll. Även om chanserna för en upp- respektive nedgång inte är kända påverkar det ändå inte priset på köpoptionen, utan det är endast volatiliteten som inverkar. Man tar inte heller hänsyn till individuella investerares attityd för risk, utan existerar riskfria arbitragemöjligheter utnyttjas dessa. Man kan tolka kvoten p r d u d som en sannolikhet, ty den ligger alltid mellan, men antar aldrig, värdena noll och ett. p och q skulle faktiskt anta samma värde i en riskneutral marknad i jämviktsläge. Alltså q = r d u d = p. Detta skulle dock resultera i att avkastningen på aktien skulle bli densamma som den riskfria investeringen. q(us) + (1 q)ds = rs. Likadant som i det numeriska exemplet ovan kan man utöka modellen efter samma metod för att få ett mer exakt resultat. De två moddellerna ovan är olika, men de ger samma resultat Källor Finance, Z. Bodie, R.C. Merton (2000) Prenhall-Hall, New Jersey arr/bsm/model.html 4. Option Pricing: A Simplified Approach, John C. Cox, Stephen A. Ross, Mark Rubinstein (1979) Journal of Financial Economics. 41

42

43 Matematisk kommunikation Optionsprissättning och Merton, Black & Scholes π-08 Andreas Qvist Björn Henriksson Hannes Sternbeck Tom Larsson 18 maj 2009 Sammanfattning Detta arbete bekriver på ett enkelt sätt de allmänna begrepp och formler som används för att sätta pris på olika sorters derivat på börsen. Börsen kan liknas vid en Brownsk rörelse vilket också beskrivs i rapporten. För att kunna prissätta derivat analyseras i synnerhet Black & Scholes PDE som ger ett marknadriktigt pris för ett derivat på tillgångar. Här behandlas även Monte Carlo-metoder som är ett sätt att lösa Black & Scholes ekvation med hjälp av stokastiska processer. Rapporten ger även ett perspektiv på hur dagens finansiella kris fick en början. 43

44 Innehåll 1 Inledning 45 2 Optioner Exempel Prissättning Volatilitet Finansiell matematik 46 4 Optionsprissättning Brownsk rörelse Merton, Black and Scholes Black & Scholes PDE Hedging Monte Carlo-metoder Historia Användningsområden David Li 54 7 Källor 56 44

45 1 Inledning Handel med optioner har pågått under många århundraden. De olika metoder för prissättning av optioner som vi ser idag har sitt ursprung under 1800-talets andra hälft då Charles Castelli kom ut med sin bok The Theory of Options in Stocks and Shares". Han funderade ut och införde begrepp och tankar om optionernas spekulativa natur, men det var först flera år senare som någon lyckades ta fram den första analytiska prissättningsmetoden för optioner. Det var Louis Bachelier och detta arbete finns i Theorie de la Speculation". Det var med framförallt dessa två och en man vid namn Paul Samuelson och hans arbete Brownian Motion in the Stock Marketsom ledde fram till Black & Scholes tankar, funderingar och till slut deras berömda ekvation som kanske är det idag viktigaste verktyget när man prissätter optioner. 2 Optioner Optioner är ett spel angående framtiden för en aktie. Dessa spel kallas derivat och det finns olika sorters derivat/optioner. Först så finns det Köp-optioner som ger möjligheten att köpa en aktie under en viss tidsperiod. Denna tidsperiod kallas mognadstid. Dessa spelas på om man förväntar sig att aktiens värde skall öka. I motsats till detta så finns Sälj-optioner som ger möjligheten att efter en viss tidsperiod sälja optionen för ett givet pris. I optionsspelet finns det två aktörer, den som köper optionen och den som ställer ut optionen. Den som köper optionen äger därmed rättigheten att för ett bestämt pris köpa en aktie av den som ställer ut optionen. Man brukar säga att den som äger en option har en lång position i optionen i motsats till den som ställer ut som sägs ha en kort position i optionen. För den som köper en option så begränsas förlusten till optionens pris men vinsten saknar begränsning. För den som ställer ut optionen så begränsas vinsten till det satta priset men förlusten saknar begränsning. I fallet av en köpoption så saknar optionen värde innan priset för aktien har ökat. Ligger priset kvar på samma nivå eller minskar så är möjligheten att köpa aktien för samma pris eller högre värdelös. Då brukar man helt enkelt låta tiden löpa ut utan att lösa in optionen. En vanlig handling efter sluttiden om aktien har ökat är att man "kvittaröptionen mellan de båda aktörerna. Med detta menas att den som ställer ut optionen betalar options-ägaren aktiens värdeökning. På detta viset byter aktierna aldrig händer utan det blir mer likt ett vad på aktien. 2.1 Exempel En option A ställs ut för 10kr och den underliggande aktien A vid det tillfället har ett pris 100kr. Om vår aktör tror att aktien är undervärderad och tänker investera i denna så kan vi jämföra vinstmöjligheterna aktie och option emellan. Aktören bestämmer sig för att köpa aktier för 1000kr samt optioner för samma summa. Detta ger 10 aktier och 100 optioner. Om aktien på slutdagen står i en kurs 110kr 45

46 då har aktiernas värde ökat med 10 procent = 10kr och vår aktör har tjänat 100 kr från sina aktier. Han har nu möjligheten att köpa 100 aktier för 100kr enligt hans optioner. De 100 aktierna han får köpa kan han sedan sälja tillbaka för 110kr och ge honom en förtjänst på 1000kr. Denna förtjänst är lika stor som det han betalade för optionerna, alltså var optionernas pris rätt då de motsvarade aktiernas ökning till slutdagen. Vi granskar scenariot då aktiens värde ökat till 120kr. Aktörens aktier har nu ökat i värde till 120kr styck och han kan göra en förtjänst på ( ) 10 = 200kr. Optionerna ger honom nu möjligheten att köpa 100 aktier för 100 kr som han sedan kan sälja med en förtjänst på 20kr minus priset för optionen. (20 10) 100 = 1000kr. Vi kan nu jämföra de två lika satsningarna. 1000kr i aktierna gav en förtjänst på 200kr och 1000kr värda optioner gav en vinst på 1000kr i detta fall. 2.2 Prissättning För den som ställer ut optionen som är det väldigt viktigt att optionen får rätt pris. Sätter man ett för lågt pris eller aktien ökar mer än förväntat kan man förlora enorma mängder pengar och i värsta fall mer pengar än man satsat. En options pris skall för att ge den som ställer ut aktien en neutral situation, vara exakt aktiens totala värdeökning på slutdagen. Man kan enkelt säga att en options pris är förväntningar på aktien. 2.3 Volatilitet Volatilitet beskriver hur mycket en underliggande tillgång kan svänga. Det är alltså ett mått på riskenman tar och samtidigt ett mått på hur stor vinst man kan göra. Volatilitet är ett tidsbundet begrepp och förhåller sig som sådant att ju längre tid man kollar på desto större blir volatiliteten. Detta är naturligt då man kan tänka sig att sannolikheten för en drastisk förändring ökar med tiden. 3 Finansiell matematik Det är den gren av tillämpad matematik där man studerar finansiella marknader. Så som modellering av finansiella tillgångar samt prissättning av optioner, även kallat derivat, på finansiell tillgång. Stokastiska modeller används för att förutse framtida värdeändringar på aktiepriser och man använder sedan statistiska modeller för att avgöra vilken sorts stokastisk modell som ligger närmast verkligenheten. De mest centrala resultaten finns inom Black & Scholes prissättningsmodell för europeiska optioner. Däremot underskattar denna modell de extrema rörelser som kan förekomma på marknaden. De matematiska teknikerna som används inom finansiell matematik är stokastisk kalkyl, statistik, differentialekvationer och funktionalanalys. Med finansiell matematik menar man användandet av matematiska tillämningar för att lösa uppkomna ekonomiska frågeställningar eller stödja sig mot dessa 46

47 tillämpningar i uppförandet av nya ekonomiska teorier. De flesta matematiska modeller idag är framtagna för att de ska vara lätta använda och förstå, för att tydligt visa samband mellan olika ekonomiska variabler. Den första matematiska tillämpningen inom ekonomin kom redan under 1600-talet, men användandet av den var högst begränsad. Främst skedde utvecklingen på tyska universitet och det var då benämningen statistik först användes. Dessa tidiga stapplande steg skedde av tysken Gottfried Achenwall. Samtidigt i Storbritannien så instiftades områden inom matematiken som syftade till att hitta samband, med hjälp av statistik, inom den politiska världen. Det var först mot slutet av 1800-talet som en vidare utveckling och tillämpning av finansiell matematik började användas i form av differentialanalys för att beskriva och förutspå olika ekonomiska svängningar. Inte förrän under andra världskriget skedde det en tillräckligt stor utveckling av matematiska formuleringar för att matematiken skulle bli tillämpbar inom de allra flesta områden av ekonomin. Utvecklingen av dessa ledde till en strid ström av kritik mot de nya teorierna. Kritiken grundade sig på antagandet att mänskligt beteende var irrationellt och högst godtyckligt. Utvecklingen fortsatte och under andra världskriget utvecklades linjär programmering, som ledde till generaliserad icke-linjär programmering. Dessa områden fick en tung inverkan på användandet av och synen på mikroekonomi. Kriget förankrade användandet av den tillämpade matematiken inom ekonomi. Att tillämpningen av matematik inom området ekonomi bara har ökat de senaste årtiondena har lett till att utvecklingen av sofistikerade matematiska metoder har ökats. Problemställningarna har lett till utvecklingen av många olika områden, bland annat finansiell riskhantering, portföljoptimering, investeringsplanering och olika kvantitativa ekonomiska modeller. Fler och fler av Riksbankens pris till Nobels minne tilldelas matematiker, som använt sig av komplexa matematiska metoder i finansiell teori är ett starkt bevis för dess användarvärde. Denna gren kallas för finansiell matematik och är en studie av finansiella marknader, där man sedan modellerar finansiella tillgångar och prisätter derivat (samlingsnamn på en speciell typ av värdepapper). Några av områdena för kvantitativ finansiell teori, omfattar stokastisk kalkyl, martingalteori, tidserieanalys, optimeringslära, partiella 47

48 differentialekvationer, matematisk statistik och spelteori. Det vi tänkte gå i genom på en djupare nivå är Black & Scholes modell, som använder differentialekvationer, och den matematiska statistikens Monte Carlo-metoder. 4 Optionsprissättning 4.1 Brownsk rörelse Ett ganska vanligt sätt att beskriva börsen är med Brownsk rörelse, därför att svängningarna på börsen inte är kontinuerliga och förefaller att hoppa upp och ner lite som den vill. Denna typ av rörelser är väldigt vanligt förekommande hos partiklar i fluider, dvs. gas eller vätska. Man kan ganska enkelt beskriva Brownsk rörelse genom att tänka sig att man har ett rutnät. Låt en partikel ligga i en av de punkter där två linjer korsar varandra. Vi tillåter partikeln att endast förflytta sig åt ena hållet på en av linjerna och att det är lika stor sannolikhet att förflytta sig åt något av de fyra hållen. Partikeln flyttar sig åt ett håll och stannar när den kommer till en punkt på linjen som korsas av en annan linje. Här följer samma procedur och partikeln förflyttar sig ett steg åt något håll. Efter att partikeln fått gjort denna procedur x antal gånger bildas ett mönster som kan se ut så här: Brownsk rörelse är slumpartad och kallas ibland lite slarvigt för slumpvandring. 4.2 Merton, Black and Scholes Det är möjligt att låna pengar till en känd riskfri ränta. 48

49 Priset följer en Brownsk rörelse tillsammans med ett visst värde på risk. Det finns inga transaktionskostnader. Aktien ger ingen utdelning. Det är möjligt att köpa vilken del som helst av en aktie. Det finns inga restriktioner huruvida man vid tiden av försäljning måste äga andelen man säljer, så kallad Shorting. Dessa antaganden gäller endast för europeiska optioner. Fischer Black (11 januari, augusti, 1995) var filosofie doktor i tillämpad matematik. Förutom att han tillsammans med Myron Scholes publicerade The Pricing of Options and Corporate Liabilities i The Journal of Political Economy där även Black & Scholes ekvation finns har han även bidragit en hel del till makroekonomin. Bland annat utvecklade han teorier om marknadscykler vilket handlar om att ekonomin vid ett tillfälle aldrig kan likna sig själv vid ett annat tillfälle. Real Business Cycle Theory är en makroekonomisk modell där affärscyklernas svängningar till största uteslutning beror på oförutsedda händelser som påverkar ekonomin, positivt eller negativt. 49

50 Myron Scholes (1 juli, ) är filosofie doktor i ekonomi med en MBA (Master of Business Administration) vilket är en av världens mest kända fortsättningsutbildningar fortsatte han som lärare vid MIT School of Management där han också träffade Fischer Black och Robert C. Merton. Under de kommande åren skulle de tillsammans göra stora genombrott inom prissättning av ekonomiska tillgångar som skulle komma att innehålla deras berömda prissättningsmodell tilldelades han tillsammans med Merton Nobelpriset i ekonomi For a new method to determine the value of derivatives. Black skulle även han tilldelats priset om han inte avlidit i cancer Robert C. Merton (31 juli, ) är examinerad civilingenjör i teknisk matematik med en Master of Science. Merton har även doktorerat i ekonomi vid MIT publicerade han Merton s portfolio problem som föreslog hur mycket människor skulle konsumera av sin inkomst och hur mycket de skulle investera av det som blev över. Han har även introducerat The Merton model som behandlade stamaktier som ett alternativ till ett företags tillgångar introducerade han The Intertemporal Capital Asset Pricing Model där man ser hedging som ett sätt att sprida sina risker i en portfölj. 50

51 4.3 Black & Scholes PDE Black & Scholes PDE satisfieras med ett pris av ett derivat på tillgångar. Utifrån de antaganden vi gjort tidigare kan vi nu anta att aktien följer en Brownsk rörelse. Vilket ger ds t = µs t dt + σs t dw t där W t är Brownsk rörelse och där dw står för all ovisshet i aktiens prishistoria. V (S, T ) är priset på aktien. Avkastningen är känd enligt vid optionens mognadstid. För att finna ett tidigare värde måste vi ta reda på hur V utvecklas som en funktion av S och T. Där S är värdet på den underliggande tillgången och T är mognadstiden. För att göra detta använder man här Itō s lemma som är en metod för att finna differentialen till en funktion av en speciell typ av stokastisk process. Vi får då dv = (µs V S + V t + 1 V V σs )dt + σs 2 S S dw. Vi föreställer oss sedan en köpstrategi där man innehar en option och sedan konstant handlar med aktien för att inneha antalet V S aktier. Vid tiden t kommer då värdet av innehavet vara V = V S S. Kompositionen av denna portfölj, som kallas för delta-hedge-portfölj, kommer att variera för varje tidssteg. Delta-hedging kallas det för att portföljen håller både positiva och negativa deltaelement som balanserar ut varandra och gör att uttrycket för de samlade deltaelementen blir noll. Portföljen är då även deltaneutral. Om man låter R beteckna vinsten eller förlusten av att man följer denna strategi. Över tiden [t, t + td], blir den ögonblickliga vinsten eller förlusten dr = dv V S ds. Substituerar vi in ekvationerna ovan får vi dr = ( V t + 1 V σs 2 S )dt. Denna ekvation innehåller ingen dw -term, alltså är den helt risklös (deltaneutral). Black & Scholes resonerar som så att under deras ideala förhållanden måste graden av avskastingen på denna portföljen alltid vara lika med graden av avkastning på något annat riksfritt instrument. Annars kommer där att finnas möjligheter till arbitrage. Antag nu att graden av avkastningen r vi måste ha över tiden [t, t + dt] r dt = dr = ( V t σs V S )dt. Om vi nu substituerar in för Π och dividerar med dt får vi Black & Scholes PDE V t σs V + rs rv = 0. S S Med antagandena gjorda i modellen håller den då V är två gånger differentierbar med avseende på S och en gång med avseende på t. 51

52 4.4 Hedging Ett sätt att ta hänsyn till de olika möjliga marknadsrörelserna och ett sätt att minska risken i en portfölj. Om man köper köpoptioner vill man minimera risken att förlora sina pengar. Därför ställer man ut köpoptioner till en annan aktie i samma bransch då de med avsikt påverkas olika mycket av marknaden. Det viktigaste är att det de båda tillgångarna är lika mycket värda vid dag 0. 5 Monte Carlo-metoder Monte Carlo-metoder är en klass av datoralgoritmer som bygger på upprepad sstokastisk", dvs. slumpmässig, information för att beräkna fram ett resultat. Monte Carlo-metoder används ofta för simulering av fysikaliska och matematiska system. De skiljer sig från andra simuleringsmetoder genom att vara stokastiska i någon form. Vanligtvis genom att förlita sig på slumptalsgeneratorer; eller pseudoslumptalsgeneratorer som oftast används. På grund av algoritmernas upprepade natur och de stora mängder beräkningar som måste till så lämpar sig Monte Carlo-metoder främst för datorberäkning. De olika Monte Carlo-metoder är mycket användbara då man studerar system med stora mängder av interagerade frihetsgrader, som till exempel vätskor. I ett bredare spektra så används Monte Carlo-metoder för att modellera fenomen med specifik osäkerhet i inmatningsinformationen, som då man tex. kalkylerar riskerna på börsen. Dessa metoder används även i stor utsträckning inom matematiken, som vid beräkning av flerdimensionella integraler med komplicerade gränsvillkor. Det finns (som man kanske redan förstått) inte bara en Monte Carlo-metod, utan istället så beskrivs termen som en stor och en vitt utbredd klass av ansatser på olika problem. Dessa ansatser tenderar till att följa ett mycket specifikt mönster: 1. Definiera ett område av möjliga inmatningsdata. 2. Ta fram slumpmässigt vald inmatningsdata från området. 3. Gör en deterministisk beräkning med hjälp av indata. 4. Sammanställ sedan de individuellt beräknade värdena i ett slutgiltigt resultat. Som exempel kan värdet av π approximeras med hjälp av en Monte Carlo-metod: 1. Rita en kvadrat på marken, rita sedan en i kvadraten inskriven cirkel. 2. Strö sedan slumpmässigt ut föremål av likformig storlek över hela kvadraten, till exempel ris- eller sandkorn. 3. Räkna sedan antalet av föremålen i cirkeln, multiplicera med fyra, och dividera med det totala antalet föremål i rutan. 52

53 4. Proportionen mellan antalet föremål i cirkel mot antalet i kvadraten kommer närma sig π 4, vilket är förhållandet mellan cirkelns area och kvadratens area, som ger en approximation till π. 5.1 Historia Namnet Monte Carlo var föreslaget Stanislaw Ulam, Enrico Fermi, John von Neumann och Nicholas Metropolis som var forskare inom fysik; och det refererar till Monte Carlo Casino i Monaco där Ulams farbror skulle låna pengar till att spela för. Användandet av slumpmässigheten och dess upprepade natur gör att den på många sätt liknar det som händer på ett kasino. Stokastiska metoder inom beräkning och simulering kan spåras tillbaka till de tidigaste pionjärerna inom sannolikhetslära, men härleds mer korrekt till tiden innan man använde datorer och miniräknare för olika beräkningar. Det som oftast beskrivs som signifikant för olika former av Monte Carlo-simuleringar är att de systematiskt "inverterartillvägagångsättet för de vanligaste typerna av simuleringar. Man behandlar deterministiska problem på detta sätt genom att gissa sig fram till en lösning. Det första kända användandet var av Enrico Fermi, år 1930, när han använde en stokastisk metod för att beräkna egenskaperna hos den då nyligen upptäckta neutronen. Monte Carlo-metoderna var även nödvändiga i simuleringarna som gjordes under Manhattan Projektet, dvs. projektet för att skapa den första atombomben, då forskarna var väldigt begränsade av de beräkningsverktyg som fanns under denna tid. Därför så var det först efter att den första datorn byggts, runt 1945, som man började studera Monte Carlo-metoderna mer ingående. Under 1950-talet användes de på Los Alamos där man höll på att utveckla de första vätebomberna, och blev på så vis populära inom fysik, fysikalisk kemi och operationsanalys områdena. Framför allt var det RAND-företagen och Amerikanska flygvapnet som stod för finansiering och spridning av information om Monte Carlo-metoderna, och upptäckte att man kunde använda dessa verktyg 53

54 inom ett stort antal områden. Användandet av Monte Carlo-metoderna kräver stora mängder med slumpmässiga tal, det var dessa krav som indirekt framtvingade utvecklandet av pseudoslumptalsgeneratorer, vilka var mycket snabbare att använda än de tabeller med slumpmässiga tal som de tidigare använt till statistisk analys. 5.2 Användningsområden Monte Carlo-metoderna är väldigt viktiga i beräkningsfysik, fysikalisk kemi med tillämpade områden, men används också i då man konstruerar värmesköldar och aerodynamiska former. Den är vida använda inom statistisk fysik, och i experimentell parikelfysik för att bygga partikeldetektorer för att förstå hur partiklarna uppför sig och jämföra experimentell data med teoretiska värden. Monte Carlometoder har också visats vara effektiva när man ska lösa integrerade differentialekvationer som beskriver strålningsfält och energitransport, men även i så kallade Global Illumination-beräkningar som används för att skapa fotorealistiska bilder av 3D-objekt i tex. datorspel, arkitektur och datorgenererade specialeffekter i filmer. Inom finanssektorn används Monte Carlo-metoder när man beräknar värdet på företag för att tex. utvärdera om investeringar i projekt inom företaget har någon ekonomisk vinning. Monte Carlo-metoder används också av finansanalytiker för att skapa stokastiska finansiella modeller som kontrasterar mot de traditionella deterministiska modellerna. När man planerar att bygga ett nytt trådlöst kommunikationsnät av något slag så måste det testas minutiöst så att det klara alla typer av påfrestningar. Dessa beror till stor del på hur många som använder nätet, var de befinner sig och vilka tjänster de använder. Man kan då använda Monte Carlometoder för att generera antalet användare och vad de gör, och på så sätt se om nätet klara de flesta scenariorna som uppkommer i vardagligt bruk. Monte Carlometoder används även till att skapa artificiell intelligens inom datorspelsbranschen, tex. för att skapa datorstyrda spelare när du spelar schack. Ovanstående visar på hur mångsidiga de olika Monte Carlo-metoderna är. De kan alltså användas till det mesta från beräkningsfysik och partikelfysik till finansanalyser och datorspel. 6 David Li En stor risk med finansiell matematik är att man kan förbise vissa inverkande faktorer. Antingen gör man det som en avrundning eller så räknar man med att de inte kommer att spela in. David Li är en matematisk professor och kvantanalytiker som vid millenieskiftet utvecklade en formel som kom att förändra bankernas, försäkrningsbolagens, pensionsfondernas etc. riskhantering avsevärt. Formeln blev väldigt uppmärksammad bland lekmän världen över i samband med tidskriften Wireds artikel The secret formula that destroyed Wall steet". I artikeln så binder de ihop den nuvarande recessionen med att alla dessa brancher bygger sin riskhantering på just denna formel. För några år sedan var David Li en mycket tänkbar kandidat till Sveriges Riksbanks pris i ekonomisk vetenskap till Alfred Nobels minne, då 54

55 formeln fick den inverkan som den nu har fått på omvärlden. Lis upptäckt har lett till beundran hos ekonomer, politiker och inte allra minst matematiska finansanalytiker. Ett stort skäl till detta är enkelheten i den Gaussiska kopulafunktionen. Den tillät olika komplexa risker att bli modellerade till mer precisa och lättförstådda svar än någonsin tidigare. Detta var en nästintill ohotad åsikt som varade under ungefär en femårs-period. Från 275 miljarder år 2000 till 4, 7 biljoner år 2006 ökade marknaden för CDO:er (som är en sorts derivattillgångar). Dessa CDO:er bygger på till stor del handel med bostadslån, på de, som man trodde, evigt stigande bostadspriserna. Det Li inte hade tagit med i sin formel och bankerna inte tog hänsyn till i sina utlån var att priserna på bostadsmarknaden kunde drastiskt och simultant rasa. När de globala marknaderna expanderades och dataåldern kom under 90-talet väntade biljarder av dollar på att användas till lån, inte bara till hus utan även inom andra brancher. Detta ledde till ett ökat antal av värdepapper med risker som hade olika riskvärden". Lis byggde sitt resonemang på att man tittar inte på alla dessa utan endast det sammanslagna värdet, som summerade alla dessa risker. Eftersom formeln bygger på att man klumpar ihop alla sannolikheter till en normalfördelning så kunde man bygga riskanalyser och så kallade trippel-a-trancher av i princip vad som helst. Dessa trippel-a-trancher ansågs så nära riskfria man kunde komma, så länge Lis formel pekade åt rätt håll. Orsaken till att investerare kände sig så pass säkra med prognoserna var att de trodde att det inte ens var en möjlighet att hundratals låntagare inte skulle kunna betala tillbaka sina lån. Att en eller två blev arbetslösa eller blev sjuka räknade de med, men att en betydelsefull del av massan skulle råka ut för samma öde var då otänkbart för analytikerna.när krisen började närma sig märkte de att volatiliteten minskade till andra nivåer mot var de borde ligga, vilket betydde att risken flyttades någon annanstans. Finansmännen frågade inte var den tog vägen, delvis för att de inte visste, men även för att pengarna fortsatte att rulla in. Det hela slutade i den djupa recessionen vi har idag. Då CDO:er är en annan sorts derivattillgångar än vad optioner är så kan man nog mest se detta som ett exempel om hur finansiell matematik kan tillämpas och missbrukas på värdepapper. Man kan även se att det kan vara ett otroligt kraftigt verktyg i jakten på fler kronor inom riskanalysen, men man kan inte endast lita på siffrorna utan även så är en ekonomisk förståelse nödvändig. De som hade bromsen i handen runt om på de olika företagen hade för liten förståelse inom kvantanalys för att förstå effekterna som kunde orsakas av detta beteende. 55

56 7 Källor en.wikipedia.org/wiki/black-scholes 3. en.wikipedia.org/wiki/brownian_motion 4. en.wikipedia.org/wiki/robert_c._merton 5. en.wikipedia.org/wiki/fischer_black Worst Case Hedges for Derivatives, Tor Gillberg,

57 Icke-euklidisk geometri Tazim Ahsan π08, Änis Ben Hamida π08, Henrik Björk F 04 Lunds Tekniska Högskola 19 maj 2009 Sammanfattning Denna rapport ger en introduktion till icke-euklidisk geometri. Euklides parallellpostulat är en naturlig utgångspunkt för denna typ av geometri och behandlas ingående. Framför allt två typer av icke-euklidisk geometri beskrivs, sfärisk och hyperbolisk geometri. Dessa har ett brett tillämpningsområde, allt från att beräkna stora avstånd på vår jordyta till att förklara olika kosmologiska fenomen. Några kända satser med tillhörande bevis återfinns även. 57

58 1 Historia De äldsta fynden av geometri härstammar från Babylonien, cirka 3000 år f.kr. Dåtidens geometri bestod av empiriska samband framtagna för att underlätta praktiska behov som lantmäteri, astronomi och konstruktion. Tecken som tyder på att Babylonierna hade en formel för att räkna ut area och volym för enklare geometriska former, t.ex. en cirkel eller cylinder, har hittats. Även samband som Pyhtagoras sats, var känt för Babylonierna, långt före Pythagoras tid. Från tiden år f.kr, finns fynd från andra delar av världen som visar på geometrisk kunskap, bl.a. från Egypten, Indien. Det var inte förrän under den grekiska perioden, 600 f.kr.-600 e.kr, som geometrin verkligen utvecklades. Från att endast ha behandlat enklare former och figurer, utvecklades nu teori för mer komplex geometri. Tidigare experimentellt och empiriskt arbetssätt ersattes med abstrakt tänkande och logisk härledning. Det var grekerna som utvecklade det axiomatiska system som vi ser i många delar av matematiken idag. En av de mest kända matematikerna på den tiden, Euklides, skrev ett verk kallat Geometrins elementa. Där beskrev han geometri utifrån axiom. Dessa var påståenden tänkta att vara så självklara att de inte behövdes bevisas. Det är härifrån den Euklidiska geometrin härstammar. Nedan följer Euklides fem axiom. 1. Två punkter kan förenas av en rät linje. 2. En ändlig rät linje kan förlängas till en oändlig rät linje. 3. En cirkel kan ha vilket centrum och vilken radie som helst. 4. Alla räta vinklar är identiska. 5. Om två linjer i planet skärs av en tredje linje (transversalen) och de inre vinklarna mellan de två linjerna och transversalen på transversalens ena sida tillsammans är mindre än två räta vinklar, då kommer de två linjerna att skära varandra på just denna sida om transversalen. Det femte axiomet brukar kallas parallellaxiomet och var mer kontroversiellt än de andra, då det inte ansågs självklart. Många började fundera på om detta axiom gick att bevisa utifrån de fyra andra, och en lång tid av försök drog igång. Det var inte förrän på 1800-talet man gjorde något större framsteg. Då drog man slutsatsen att det inte gick att bevisa, och utvecklade en ny geometri utifrån antagandet att axiomet var falskt. Detta ledde till en icke-euklidiska geometrin. 58

59 2 Sfärisk geometri Sfärisk geometri är, som man kan gissa utav namnet, den del av den icke-euklidiska geometrin som behandlar geometrin på en sfär. Sfärisk geometri är ett specialfall av den så kallade elliptiska geometrin där man behandlar geometrin på en ellipsoid. Här har vi valt att endast behandla den sfäriska geometrin. Den sfäriska geometrin har man stor nytta av eftersom planeten vi lever på har en form nästan som en sfär. När man till exempel räknar avstånd på jordytan så måste man ta hänsyn till att jordytan är krökt och inte bara är ett plan. När man räknar på små avstånd kan ytan approximeras till ett plan och man får värden relativt nära det verkliga avståndet beroende på hur litet avståndet är som man beräknar. Lagarna i den sfäriska geometrin ger oss verktyg för att räkna ut avstånd, ytor m.m på en sfär. GPS är ett exempel på en vardaglig apparat som uppenbarligen måste använda sig av dessa lagar. 2.1 Linje på en sfär I den Euklidiska geometrin finns det precis en parallell till en linje l genom en punkt P som inte ligger på l. I sfärisk geometri så existerar ingen parallell till l genom P, dvs det existerar inga parallella linjer över huvudtaget. När vi befinner oss på planet så kan en begränsad rät linje förlängas oändligt lång bort åt båda hållen(euklides andra postulat). Detta gäller även när vi befinner oss på en sfär, skillnaden är dock att man förr eller senare möter svansen". En rät linje på en sfär definieras därför som skärningen då ett plan skär sfären genom dess mittpunkt, se Figur 1. Figur 1: Ett plan som skär genom en sfär bildar en storcirkel. En sådan här linje kallas för storcirkel och är motsvarigheten till en rät linje på ett Euklidiskt plan. Då ett godtyckligt plan, vilket som helst, skär genom en sfär 59

60 kallas skärningen för cirkel, och då planet inte går genom cirkelns origo kallas det för en småcirkel, se Figur 2. Figur 2: Storcirkel och småcirkel. Denna definitionen av en storcirkel leder också till att det kortast vägen från en punkt på sfären till en annan punkt på sfären följer en storcirkel, vilket är ekvivalent med att den har minst krökning av alla cirklar på sfären. På en sfär så skär alla räta linjer(storcirklar) varandra precis två och endast två gånger. Detta inses lätt om ritar upp det och man inser även att man kan dra oändligt många storcirklar genom två antipodala punkter 1. Detta bryter naturligtvis mot Euklides första axiom som säger: Det fordras att man kan dra en rät linje från en punkt till en annan. Därför får detta modifieras till: Det fordras att man kan dra minst en rät linje från en punkt till en annan. Med lite modifikation av Euklides första och femte axiom så fungerar alltså Euklides axiom även i sfärisk geometri. Det finns andra axiom som är vedertagna i den plana geometrin men som inte fungerar i den sfäriska. Exempel på detta är Hilberts ordningsaxiom som vi ska diskutera i nästa avsnitt. 2.2 Separationsaxiomen David Hilbert( ) var en stor tysk matematiker mest känd för sitt berömda program som gick ut på att axiomatisera hela matematiken. Han han hade fyra ordningsaxiom: 1. När en punkt B ligger mellan en punkt A och en punkt C, så är A, B, C tre olika punkter på en rät linje, och B ligger då även mellan C och A. 2. Till två punkter A och C finns det alltid minst en punkt B på räta linjen AC sådan att C ligger mellan A och B. 1 Två punkter på en sfär sägs vara antipodala om de ligger en rät linje genom medelpunkten. 60

61 3. Av tre givna punkter på en rät linje finns det högst en som ligger mellan de båda andra. 4. Låt A, B, C vara tre punkter, som inte ligger på samma räta linje, och låt a vara en rät linje i planet ABC, som inte träffar någon av punkterna A, B, C. Om den räta linjen går genom en punkt på sträckan AB, så går den säkert även genom en punkt på sträckan AC eller genom en punkt på sträckan BC. Om vi betraktar dessa axiom ur ett sfärgeometriskt perspektiv så förstår vi att de inte har någon mening eftersom man omöjligt kan prata om en punkt B som ska vara mellan två andra punkter A och C på en storcirkel. Därför måste alla axiom som handlar om punkter som är mellan andra punkter skrotas. Dessa axiom kan ersättas med sju separationsaxiom [17]. Figur 3: A och C separerar B och D. I Figur 3 så separerar punkterna A och C punkterna B och D, ty du kan inte gå från B till D utan att korsa antingen A eller C. Låt oss definiera (A, C B, D) som att "A och C separerar B och DDå är de sju seprationsaxiomen följande: Axiom 1. Om (A, B C, D), så är punkterna A,B, C och D icke sammanfallande och ligger på en rät linje. Axiom 2. Om (A, B C, D), så (C, D A, B) och (B, A C, D). Axiom 3. Om (A, B C, D), så gäller inte (A, C B, D). Axiom 4. Om punkterna A,B, C och D är icke sammanfallande och ligger på en rät linje, så gäller antingen (A, B C, D), (A, C B, D) eller (A, D B, C). Axiom 5. 61

62 Om punkterna A,B, och C är icke sammanfallande och ligger på en rät linje, så finns det en punkt D sådan att (A, B C, D). Axiom 6. För fem godtyckliga, icke sammanfallande punkter A,B, C, D och E som ligger på en rät linje, och (A, B D, E) så gäller antingen (A, B C, D) eller (A, B C, E). För det sjunde axiomet krävs det att vi har en idé om vad perspektivavbildning är. Låt l och m vara två linjer vilka som helst och låt O vara en punkt som inte ligger på någon av dessa linjer. För varje punkt A på l så skär linjen OA i m på en unik punkt A. Det som pekar ut A utifrån A för varje A på l kallas för perspektivavbildningen från l till m med centrum O. Axiom 7. Perspektivavbildning behåller separation. Dvs om (A, B C, D) på en linje genom A,B, C och D så gäller (A, B C, D ). De flesta andra axiom gäller i den sfäriska geometrin också. Med dessa axiom har vi en grund på vilken vi kan bygga den sfäriska geometrin vidare. 2.3 Avstånd Att beräkna avstånd mellan två punkter på en sfär är en av de viktigare delarna i sfärisk geometri eftersom det tillämpas så ofta i verkligheten när vi mäter avstånd på jordytan som approximativt har formen av en sfär. Mellan två punkter på sfären som inte är antipodala så finns det precis en storcirkel. De två punkterna delar storcirkeln i två bågar där längden på den kortare bågen är det man menar med avståndet från den ena punkten till den andra, se Figur 4. Mellan två antipodala punkter finns det som vi vet oändlig många storcirklar som går igenom de båda punkterna. Men alla dessa har samma längd och bågarna som de uppdelas i är alla lika långa. Längden av dessa ges av halva omkretsen, dvs πr där är sfärens(och storcirkelns) radie. Avståndet mellan två godtyckliga punkter, angivna i latitud och longitud, på en sfär kan man få ut av cosinusteoremet för sfäriska trianglar 2 som säger cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A. Om vi säger att koordinaterna är (b 1, l 1 ) och (b 2, l 2 ) så är A är en vinkel angiven i grader lika med differensen i longitud i punkterna B och C, b 2 b 1. Storcirklebågen b = 90 b 2 Storcirklebågen c = 90 b 1 2 Bevisas i avsnitt

63 Figur 4: Kortaste avståndet mellan a och b är sträckan av storcirkelbågen mellan a och b. Vi får alltså a = arccos(sin(90 b 2 ) sin(90 b 1 ) cos(b 2 b 1 )+cos(90 b 2 ) cos(90 b 1 )). Därefter får man avståndet d = r a 360 Detta är praktiskt om man på ett enkelt sätt vill räkna ut avståndet mellan två städer där koordinaterna är givna i latitud och longitud. Om man definierar l som longitudskillnaden de två punkterna så kan formeln även skrivas a = arccos(sin b 1 sin b 2 + cos b 1 cos b 2 cos l). Formeln ovan kan dock ge stora avrundningsfel när räknar på korta avstånd, därför använder man vid kortare avstånd formeln a = 2 arcsin sin 2 b 2 + cos b 1 cos b 2 sin 2 l 2. Även om den här formeln är precis i de flesta fall så kan det även ge avrundningsfel i det specialfall då man vill räkna ut avståndet mellan två antipodala punkter. Det finns en ytterligare mer komplicerad formel för att räkna ut avståndet som är ett specialfall av Vincentys formel 3. Den ger (cos b2 sin l) a = arctan 2 + (cos b 1 sin b 2 sin b 1 cos b 2 cos l) 2 sin b 1 sin b 2 + cos b 1 cos b 2 cos l Denna formel ger precisa svar för alla avstånd. 3 Vincentys formel är en allmän formel för att räkna ut avstånd på ellipsoider. 63

64 2.4 Trianglar Figur 5: En sfärisk triangel består av storcirkelbågar. En sfärisk triangel definieras inte helt olikt som på planet av tre punkter som binds samman av storcirkelbågar. På sfären är det dock mer komplicerat än på planet eftersom 3 punkter på planet kan skapa flera olika trianglar. Det inser man när man ska dra linje från första punkten till andra, att du kan dra två olika linjer, där dem två olika linjerna från den första till den andra punkten skapar storcirkeln som omfattar dem. När vi sedan ska dra bågar till den återstående punkten kan även dessa dras på olika sätt så att olika trianglar bildas, totalt kan åtta olika trianglar skapas med samma tre punkter som hörn. När man pratar om sfäriska trianglar refererar man oftast till den minsta triangeln, som definieras som tre punkter som binds samman av dem mindre bågsegmenten av storcirklarna som kan dras genom punkterna. Teorin som vi kommer att gå igenom gäller dock för alla trianglar. När vi väl har ritat en liten triangel så ser man att de tre hörnen och bågarna som binder samman dem inte bara definierar en triangel, utan två, en yttre och en inre. Om trianglarna är lika stora så upptar de var sin hälft av sfären, men generellt är en större än den andra. Än en gång så är det oftast den inre triangeln som man menar om man inte nämner något annat. För en triangel i den Euklidiska geometrin så gäller det att vinkelsumman är lika med π. Det är dock inte fallet i den sfäriska geometri, här är den strikt större än π. Mer exakt så gäller att vinkelsumman S är för inre trianglar och π < S 3π 3π S < 5π för yttre trianglar. Det är lätt att inse att dessa gränser är riktiga. Om man har en väldigt liten triangel på en väldigt stor sfär så blir triangeln väldigt lik en triangel på en plan yta och vinkelsumman blir approximativt π. Observera att denna gräns 64

65 aldrig nås eftersom det innebär att vi inte längre skulle befinna oss på en sfär. Ju större triangel vi sedan har i jämförelse med sfären, desto större vinkelsumma får vi. Gränsen då en inre triangel övergår till en yttre är då den har formen av en halvsfär, då ligger alla punkterna på en och samma storcirkel. Eftersom storcirkeln är en rät linje och vinkeln på ett rät linje π så blir summan av alla vinklarna 3π. Om man tänker sig att man trycker ihop vinklarna i en inre triangel så att de yttre vinklarna blir 2π, då blir vinkelsumman av den yttre triangeln 6π. Men eftersom det inte längre finns en triangel i detta fallet måste vi subtrahera den nedre gränsen för vilken vinkelsumman av den inre triangeln kan vara. Vi får alltså 6π π = 5π. 2.5 Trigonometriska formler Beteckningar och definitioner Figur 6: Triangel med beteckningar. För att behandla en triangel på en sfär så vill vi göra följande definitioner, se Figur 6. A, B och C betecknar hörnen på en sfärisk triangel. Vi låter även A, B och C beteckna vinklarna i hörnen. Alltså är A vinkeln mellan planet AOB och planet AOC. Motsvarande gäller för B och C. Vi låter a,b och c beteckna sidorna BC, CA och AB i triangeln. Vi definierar vektorerna a OA, b OB och c OC. Båglängden(i radianer) skriver vi som a BOC, b COA och c AOB. Då får vi att den riktiga längden a = Ra, b = Rb och c = Rc där R är sfärens radie. 65

66 2.5.2 Cosinussatsen Cosinussatsen(eller cosinusteoremet) är välkänt i den plana geometrin. För trianglar på en sfär finns det ett motsvarande teorem som redovisas i följande sats. Sats 1. Låt A,B och C vara hörnen i en sfärisk triangel och låt a,b och c beteckna sidorna BC, CA och AB, då gäller cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A. Bevis. Det finns mer än ett sätt att bevisa cosinusteoremet på. Ett vanligt sätt är att använda sig av vektorerna a, b och c. Vi börjar med att ta en titt på vinkeln A. Denna kan räknas ut genom skalärprodukten mellan normalerna till planen AOB och AOC, ty A är definierad som vinkeln mellan dessa. Om vi antar R = 1 så ges vinkeln direkt av (a b) (a c) = ( a b sin c)( a c sin b) cos A = sin c sin b cos A. Samma uttryck kan utvecklas med hjälp av en välkänd regel för kryssprodukt: (a b) (a c) = a (b (a c)) = a (a(b c) c(a b)) = (b c) (a c)(a b) = cos a cos c cos b. Eftersom dessa två uttryck måste vara lika får vi sin b sin c cos A = cos a cos c cos b cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A. På samma sätt kan man få fram de analoga uttrycken cos b = cos c cos a + sin c sin a cos B cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C. Om man sättter C = π 2 så får vi en rätvinklig triangel. Detta leder till cos C = 0 vilket ger oss det analoga uttrycket för Pythagoras sats på sfären, cos c = cos a cos b. För små sfäriska trianglar, det vill säga för små a, b och c, så blir cosinussatsen ungefär densamma som i planet Detta får man utav Maclaurinutveckling. c 2 a 2 + b 2 2ab cos C. 66

67 2.5.3 Sinussatsen Sats 2. Låt A,B och C vara hörnen i en sfärisk triangel och låt a,b och c beteckna sidorna BC, CA och AB, då gäller sin A sin a = sin B sin b = sin C sin c. Det finns även här flera sätt att bevisa teoremet på och vi väljer återigen att använda oss av linjär algebra och räknereglerna som finns. Bevis. Ur definitionen för kryssprodukt får vi sin A = (a b) (a c) a b a c (a(b(a c)) + (b(a(a c)) = sin b sin c vilket ger oss sin A sin a = a(b c) sin b sin c a(b c) = sin a sin b sin c = sin B sin b = sin C sin c Andra trigonometriska formler De flesta trigonometriska formler i den Euklidiska geometrin har någon form av motsvarighet i den sfäriska geometrin, här följer en del trigonometriska formler för trianglar som ligger på en sfär [18]: Duala cosinussatsen: Tangenssatsen för sfäriska trianglar: cos A = cos B cos C + sin B sin C cos a. tan( 1 2 (B C)) tan( 1 2 (B + C)) = tan( 1 2 (b c)) tan( 1 2 (b + c)) Om s 1 2 (a + b + c) så är sinus för halva vinkeln sin( 1 2 A) = sin(s b) sin(s c) sin b sin c cosinus för halva vinkeln cos( 1 2 A) = sin s sin(s a) sin b sin c 67

68 och tangens för halva vinkeln Gauss formler säger: Andra viktiga formler är tan( 1 2 A) = sin( 1 2 (a b)) sin( 1 2 c) sin( 1 2 (a + b)) sin( 1 2 c) cos( 1 2 (a b)) cos( 1 2 c) cos( 1 2 (a + b)) cos( 1 2 c) sin(s b) sin(s c). sin s sin(s c) = sin( 1 2 (A B)) cos( 1 2 C). = cos( 1 2 (A B)) cos( 1 2 C). = sin( 1 2 (A + B)) cos( 1 2 C). = cos( 1 2 (A + B)) sin( 1 2 C). cos A = sin 1 b sin 1 c(cos a cos b cos c). sin a cos B = cos b sin c sin b cos c cos A. sin a cos C = sin a cot b sin C cot B. 2.6 Arean på sfären Digoner På ett plan går det endast en rät linje mellan två punkter. I sfärisk geometri kan man som bekant dra mer än en rät linje mellan två antipodala punkter. Därför kan på sfären, till skillnad från på planet, skapas ett polygon med endast två sidor och två hörn. Ett sådant polynom kan kallas för digon, se Figur 7, som i planet endast är en rät linje med start och slutpunkt. En digon, eller diangel som den också kallas har endast två vinklar och dessa är alltid lika. Vidare gäller att man från två punkter kan dra oändligt många digoner, men under förutsättning att dess punkter är antipodala. Arean av en digon ges av formeln A = 2r 2 α där α är digonvinkeln och r är sfärens radie. 68

69 Figur 7: Digon. Bevis. Vi vet att förhållandet mellan digonvinkeln och vinkeln runt hela sfären måste vara detsamma som förhållandet mellan digonens area och hela cirkelns area. Vi får att α 2π = A 4πr 2 A = 2r2 α Girards teorem(arean av en triangel) Albert Girard( ) var en fransk matematiker. Teoremet som uppkallades efter honom handlar om arean av en sfärisk triangel. Vi vet att i en sfärisk triangel så är vinkelsumman mer än 180. Det antal, E, som vinkelsumman överstiger π i en sfärisk triangel kallas för sfärisk excess och definieras E = A + B + C π, där A, B och C är triangelns vinklar. Girards teorem säger då att arean av triangeln är A = r 2 E = r 2 (A + B + C π) där r är sfärens radie. Vi ser att arean endast beror på vinklarna vilket innebär att det, till skillnad från i Euklidisk geometri, endast finns en triangel för tre givna vinklar. Bevis. Om vi ritar tre olika storcirklar så ser vi att dessa tillsammans med ekvatorn definierar 3 par av digoner. Vi ser också att triangeln ABC och dess antipodala motsvarighet A B C definieras. Vi ser att de sex digonerna täcker hela sfärens yta och att de överlappar varandra endast på de två trianglarna, se Figur 8. Vi betecknar arean av digonerna med 69

70 Figur 8: Tre storcirklar som skär varandra bilder trianglar. T dig1, T dig2 och T dig3. Eftersom varje digon har en exakt kopia och den antipodala triangeln är en kopia av den andra så får vi T sfr = 2T dig1 + 2T dig2 + 2T dig3 4T ABC. Genom att vi vet sambandet mellan vinklar och areor för digoner så kan vi substituera och få r 2 4π = 4A + 4B + 4C 4T ABC. Att vinklarna för digonerna är lika med A, B och C inser man genom att studera den första bilden av en digon. Om vi löser ut T ABC får vi det vi var ute efter, T ABC = A + B + C π. Om vi löser ut summan av vinklarna i Girards teorem får vi en speciellt intressant formel A + B + C = π + 1 r 2 T ABC som säger oss precis hur mycket vinkelsumman för en triangel på sfären överstiger vinkelsumman för en triangel på planet, nämligen T ABC. Vi ser att när sfärens radie r 2 är mycket stor och när triangelns area är mycket liten så blir vinkelsumman ungefär lika π som på planet Arean av en polygon Vi kan generalisera Girards teorem till att omfatta alla polygoner på sfären. En polygon med n hörn kan delas upp i n 2 trianglar, se Figur 9. Då blir arean lika med summan av triangelareorna. Eftersom där är n 2 st trianglar drar vi ifrån (n 2)π och eftersom alla trianglarnas sammanlagda vinkelsumman är lika med polygonens vinkelsumma får vi Area = r 2 ( vinklar (n 2)π). 70

71 Figur 9: Pentagon uppdelat i tre trianglar. Vilket ger att vinkelsumman är lika med (n 2)π + 1 r 2 T ABC. 71

72 3 En kort översikt av hyperbolisk geometri 3.1 Introduktion Om vi igen tar en titt på Euklides kontroversiella parallellpostulat. Axiom 3.1. Parallellpostulatet Om en rät linje skär två räta linjer på så sätt att de inre vinklarna på samma sida tillsammans är mindre än två räta vinklar, så möts de räta linjerna, om de förlängs i oändlighet, på den sida där vinklarna är mindre än de två räta vinklarna. [1] Ett alternativ till denna svåra formulering är den följande, som är populär i dagens skolböcker. Axiom 3.2. Playfairs axiom Givet en rät linje och en punkt som ligger utanför linjen, kan man dra en och endast en rät linje som går genom punkten och är parallell med linjen. [2] Fram till 1800-talet hade det gjorts många försök att omformulera postulatet till ett enklare axiom eller att ersätta postulatet med en sats och tillhörande bevis. Men alla försök att göra om axiomet till en sats misslyckades, men inte i onödan eftersom de tillslut ledde till andra icke-euklidiska geometrier som vi idag vet är konsistenta om och endast om det Euklidiska axiomsystemet först framfört i Euklides tour de force Elementa är konsistent. 3.2 Historisk utveckling Första riktiga steget mot de icke-euklidiska geometrierna var av italienska Giovanni Girolamo Saccheri ( ) som i sitt försök att bevisa parallellpostulatet antog motsatserna till denna för att komma fram till en reductio ad absurdum (motsägelse). Han ersatte parallellpostulatet med följande axiom. Axiom 3.3. Givet en linje och en punkt, som inte ligger på denna, existerar minst 2 linjer som inte skär den givna linjen. 4 Det ledde till vad han kallade hypotes för den spetsiga vinkeln 5. Axiom 3.4. Varje par av två linjer skär alltid varandra. 6 Och detta ledde till hans hypotes för den trubbiga vinkeln 7. Av dessa ska vi bara ta en titt på den första. Med det nya systemet med Axiom 3.3 så kom han fram till dessa slutsatser (bland andra). 8 i. Vinkelsumman för alla trianglar är mindre än två räta vinklar, se Figur Översatt från Cederberg, 1989 [5, sid. 37]. 5 Direkt översättning från engelska namnet. 6 Översatt från Cederberg, 1989 [5, sid. 37]. 7 Direkt översättning från engelska namnet. 8 Översatt från [3, sid. 23]. 72

73 bilder Figur 10: En triangel i hyperbolisk geometri. ii. Om två linjer skärs av en transversal sådan att vinkelsumman av de inre vinklarna på samma sida av transversalen inte är mindre än två räta vinklar, så skär linjerna inte nödvändigtvis varandra, d.v.s. de kan vara parallella. iii. Givet en linje och en punkt inte på denna existerar det mer än en linje genom punkten parallella med den givna linjen, se Figur 11. Figur 11: Flera ultraparalleller genom samma punkt. iv. Två parallella linjer måste inte ha en gemensam perpendikel, se Figur 13. v. Två parallella linjer är inte ekvidistanta. När de har en gemensam perpendikel ökar avståndet mellan dem obegränsat åt båda håll, när de saknar en gemensam perpendikel ökar avståndet obegränsat åt ett håll medan dem är asymptotiska åt det andra hållet, se Figur 12 och Figur 13. Figur 12: Ultraparallella linjer. Det fanns dock ett problem, hans motsägelsebevis var inte giltigt. Denna spricka blev aldrig fixad, och när Carl Friedrich Gauss ( ) tog en liknande väg i 73

74 Figur 13: Asymptotiska linjer. sina försök upptäckte han hyperbolisk geometri 9. Gauss valde dock att inte publicera hans upptäckt, och de första publikationerna angående den nya geometrin var av Farkas Bolyai ( ) och Nikolai Lobachevsky ( ) vid ungefär samma tid och oberoende av varandra. 3.3 Grundläggande system Vi ska först fastställa några definitioner, några som redan använts tidigare i kapitlet. Definition 3.1. Ett axiomsystem sägs vara konsistent om den saknar motsägelser. Definition 3.2. Ett axiom i ett axiomsystem sägs vara oberoende om den inte kan formuleras som en sats härledd från de andra axiomen. Ett axiomsystem sägs vara oberoende om alla dess axiom är oberoende. Om vi nu tar en titt på några alternativa framställningar till parallellpostulatet. 10 a. Genom en punkt inte på en given linje existerar en och endast en parallell linje genom punkten till den givna linjen. b. Två linjer som är parallella med samma linje är också parallella med varandra. c. En linje som skär en av två parallella linjer skär också den andra. d. Om två parallella linjer skärs av en transversal så är de inre alternatvinklarna lika. e. Det existerar en triangel vars vinkelsumma är två räta vinklar. f. Parallella linjer är ekvidistanta från varandra. g. Det existerar två parallella linjer där avståndet mellan linjerna inte överskrider ett ändligt tal. h. Det existerar likformiga trianglar som inte är kongruenta. 9 Namnet hyperbolisk geometri användes först av Felix Klein ( ) [6], det enda namnet som överlever från pionjärernas egna texter är namnet icke-euklidisk geometri [3, sid. 30]. 10 Översatt från Gans, 1973 [3, sid. 13]. 74

75 i. Genom tre punkter som inte ligger på en linje existerar en cirkel genom dessa. j. Det existerar en fyrhörning vars vinkelsumma är fyra räta vinklar. k. Två parallella linjer har en gemensam perpendikel. Vi föreställer oss mängden av alla definitioner, axiom/postulat och satser som inte beror på parallellpostulatet i Euklides system. Vi kallar denna mängd för bas E. Innebörden av ett oberoende axiom är att man kan byta ut detta axiom för dess negation och fortfarande få ett konsistent axiomsystem. Detta p.g.a. att resten av axiomsystemet inte beror på axiomet (enligt definitionen). Vi vet att parallellpostulatet är oberoende tack vare ett bevis från 1868 av Eugenio Beltrami ( ). [5, sid. 70] Om vi nu vill byta ut parallellpostulatet med en av dess negationer har vi två val, nämligen Axiom 3.3 (som leder till Saccheris hypotes för den spetsiga vinkeln) och Axiom 3.4 (som leder till Saccheris hypotes för den trubbiga vinkeln). Vi väljer den första eftersom detta ger oss grunden för hyperbolisk geometri. Genom att byta ut parallellpostulatet med Axiom 3.3 och utesluta alla beroende satser har vi nu systemet med bas E och Axiom 3.3. Detta är vår grund för hyperbolisk geometri. Många av satserna i Elementa Bok I (första boken om plan geometri) är fortfarande giltiga, alla postulat upp till Postulat 28 för att vara mer specifik. 11 Men p.g.a. av vår ändring har vi dessutom nya resultat utöver alla slutsatser fram till Postulat 28, t.ex. ser vi direkt att alla alternativa formuleringar av parallellpostulatet på sidan 74 inte längre är giltiga, istället är en av deras respektiva motsatser giltiga. D.v.s. följande utsagor som är en av motsatserna till dessa (med hänsyn till Axiom 3.3) är giltiga i vårt nya system. a. Genom en punkt inte på en given linje existerar det mer än en parallell linje genom punkten till den givna linjen. b. Två linjer som är parallella med samma linje är inte nödvändigtvis parallella med varandra. c. En linje som skär en av två parallella linjer skär inte nödvändigtvis den andra. d. Om två parallella linjer skärs av en transversal så är de inre alternatvinklarna inte nödvändigtvis lika. e. Det existerar en triangel vars vinkelsumma inte är två räta vinklar. f. Parallella linjer är inte ekvidistanta från varandra. g. Det existerar inte två parallella linjer där avståndet mellan linjerna inte överskrider ett ändligt tal. 11 Vi använder T. L. Heaths översättning av Elementa [4] i detta kapitel. 75

76 h. Det existerar inte likformiga trianglar som inte är kongruenta. i. Genom tre punkter som inte ligger på en linje existerar inte nödvändigtvis en cirkel genom dessa. j. Det existerar en fyrhörning vars vinkelsumma inte är fyra räta vinklar. k. Två parallella linjer har inte nödvändigtvis en gemensam perpendikel. I en rigorös teoriuppbyggnad skulle man framställa dessa utsagor som satser med bevis, vi undviker dock detta. Dessa utsagor tillsammans med slutsatserna från Saccheris hypotes för den spetsiga vinkeln ger oss en skymt av hyperbolisk geometri. 3.4 Två typer av parallella linjer Vi vet enligt motsats k, sid. 76, och resultaten från Saccheris hypotes för den spetsiga vinkeln, sid. 72, att det finns två typer av parallella linjer, d.v.s. i. linjer parallella med varandra och har en gemensam perpendikel, ii. och linjer parallella med varandra men saknar en gemensam perpendikel. Den första typen kallas för ultraparalleller, den andra för asymptotiska linjer. 12 Vi ska nu presentera några resultat för dessa paralleller, vi erinrar dock om att dessa egentligen borde presenteras som satser med bevis, men som vi undviker för korthetens skull. Vi börjar med några resultat och implikationer för ultraparalleller. 13 i. Om två paralleller har en gemensam perpendikel kan de inte ha en till, se Figur 12. ii. Avståndet mellan två ultraparalleller är som minst längs den gemensamma perpendikeln. Avståndet ökar obegränsat när man drar sig tillbaka från denna åt båda håll, se Figur 12. iii. Givet en linje och en punkt inte på denna existerar det oändligt många paralleller genom punkten till linjen. iv. Givet en linje och en punkt inte på denna existerar det oändligt många ultraparalleller genom punkten till linjen, se Figur 11. v. Två godtyckliga trianglar är ekvivalenta om och endast om de har samma vinkelsumma. vi. Vinkelsumman i en godtycklig triangel är mindre än 180. vii. Vinkelsumman i en godtycklig fyrhörning är mindre än Dessa termer är direkt översatta från Wikipedia [6]. 13 Följande resultat är utvalda satser utan bevis och översatta från Gans, 1973 [3]. 76

77 Definition 3.3. En godtycklig triangels defekt D definieras sådan att där S är triangels vinkelsumma. D = 180 S, Eftersom en godtycklig triangels vinkelsumma alltid är mindre än 180 enligt ovan vet vi att defekten alltid är positiv. Man kan visa att defekten är additiv när man delar en godtycklig månghörning i trianglar (vinkelsumman är inte detta), det gör defekten centralt för definitionen och slutsatsen nedan. Eftersom vi inte längre kan räkna area som enhetsblock får vi hitta något annat sätt att definera area. Det visar sig att arean måste vara en funktion av en triangels (och därför också månghörnings) defekt, man kan komma fram till följande definition. Definition 3.4. En godtycklig triangels area A definieras A = k D, där D är triangelns defekt och k en konstant. viii. Två trianglar har samma area om och endast om de har samma vinkelsumma (och därmed samma defekt.) Härnäst fortsätter vi med ett resultat för asymptotiska linjer. ix. Givet en linje och en punkt inte på denna existerar det två asymptotiska linjer genom punkten till den givna linjen (en åt varje håll), se Figur 14. Figur 14: Två asymptotiska linjer genom samma punkt och parallell mot samma linje. Det finns fler resultat för båda typer av paralleller i listan på sid. 76 och resultaten från Saccheris hypotes för den spetsiga vinkeln. Vi undviker med att repetera det här och hänvisar läseren till dessa delar. För att nu visualisera hur denna geometri kan uppkomma avslutar vi med att visa geometrin på ytan av en hyperbolisk paraboloid, se Figur

78 4 Avslut Figur 15: Geometrin på ytan av en hyperbolisk paraboloid. [6] Vi har nu fått en kort överblick av hur en del av den sfäriska geometrin ser ut och hur en del av den hyperboliska geometrin ser ut (med tonvikt på parallella linjerna). Det finns naturligtvis mycket mer att undersöka och fler konstruktioner som inte existerar i euklidisk geometri, men de faller utanför ramen av denna artikel. Vi vill också nämna att vi tog en geometrisk synpunkt, man kan också få andra perspektiv (t.ex. med hjälp av komplex analys) men dessa är dock svårare. Vi hoppas dock att genom att medföra materialet i det sätt vi valde att vi har fått läsaren att kanske kunna tänka sig att utföra en mer seriös undersökning av ämnet. Referenser [1] Wikipedia, Icke-euklidisk geometri Wikipedia, The Free Encyclopedia, 2009, [2] Wikipedia, Parallellaxiomet Wikipedia, The Free Encyclopedia, 2009, [3] David Gans, An Introduction to Non-Euclidian Geometry, Academic Press, Inc., 1973, ISBN [4] Euklides, Thomas L. Heath (översättning), Euclid s Elements, Green Lion Press, 2007, ISBN [5] Judith N. Cederberg, A Course in Modern Geometries, Springer-Verlag New York Inc., 1989, ISBN [6] Wikipedia, Hyperbolic geometry Wikipedia, The Free Encyclopedia, 2009, [7] I. Todhunter, Spherical Trigonometry, Macmillan Co., [8] Anthony D. Stanley, An Elementary Treatise of Spherical Geometry And Trigonometry, Durrie and Peck,

79 [9] William Chauvenet, A Treatise On Plane and Spherical Trigonometry, J.B. Lippincott & Co., [10] Wikipedia, Spherical trigonometry Wikipedia, The Free Encyclopedia, 2009, [11] KryssTal, Spherical Trigonometry, 2004, [12] J. J. O Connor, E. F. Robertson, Non-Euclidean geometry, 1996, history/histtopics/non-euclidean_geometry.html. [13] non-euclidean geometry The Internet Encyclopedia of Science, Euclidean_geometry.html. [14] Wikipedia, Spherical geometry Wikipedia, The Free Encyclopedia, 2009, [15] David C. Royster, Spherical Geometry, UNC Charlotte, 2006, droyster/math3181/notes/hyprgeom/node5.html. [16] David A. Brannan, Geometry, Cambridge University Press, 1999, ISBN [17] Marvin Jay Greenberg, Euclidean and Non-Euclidean Geometries - Development and history, W.H. Freedman & Co., 1973, ISBN [18] Wolfram Matchworld, Spherical Trigonometry from Wolfram MathWorld, 2009, 79

80

81 Matematisk kommunikation Omöjliga figurer Emil Fredriksson, Maria Lorentzson, Terese Nilsson, Mikael Ögren 14 maj

82 Innehåll 1 Inledning 83 2 Allmänt Historia Olika typer av omöjliga figurer Hur hjärnan uppfattar omöjliga figurer Realiseringar av omöjliga figurer Att beskriva figurer matematiskt Lite om vektorer Punktkonfigurationer Djup på figurer Projektion Omöjliga figurer Reutersvärdindex Räkneexempel Avslutning 96 6 Källförteckning 97 82

83 Sammanfattning Rapporten behandlar omöjliga figurer ur många olika vinklar. Den börjar med ett konstnärligt och psykologiskt perspektiv och går sedan över till ett matematiskt. Där tittar vi först helt allmänt på hur figurer kan beskrivas matematiskt, därefter speciellt på omöjliga figurer. 1 Inledning Omöjliga figurer är tvådimensionella bilder som ser normala ut vid första anblicken, men de kan inte återskapas tredimensionellt, eftersom perspektivet är förvridet på något sätt. De strider därför mot geometrins grundlagar. Efter några sekunders betraktande av en omöjlig figur framstår det omöjliga i bilden. Även om man förstår att objektet inte är möjligt i verkligheten försöker hjärnan tolka det som ett möjligt tredimensionellt objekt. En omöjlig figur kan vara lokalt möjlig. Det betyder att om man täcker över någon del i figuren så ser resten möjlig ut. Omöjliga figurer är intressanta för matematiker som kan analysera dem, ingenjörer inom bildanalys, psykologer som kan tolka hur hjärnan uppfattar dessa objekt och för konstnärer som kan skapa något utöver det vanliga. 2 Allmänt 2.1 Historia Redan från 1400-talet finns verk som innehåller omöjliga figurer. I kyrkan Grote Kerk (stora kyrkan) i Breda i Holland finns en fresk (en slags väggmålning) där valven är omöjligt konstruerade, se figur 1. Den målades omöjlig av praktiska skäl. Man ville inte ha mittpelaren mitt emellan de två personerna på målningen. Därför fick mittpelaren istället vara bakom ett bord, vilket inte är möjligt. 83

84 Figur 1: Grote Kerk, Breda På 1700-talet levde den italienske konstnären Giovanni Batista Piranesi. Han gjorde en serie på 16 plåtar som kallas Carceri d invenzione (Fängelsesviten). De visar enorma underjordiska valv med trappor och enorma maskiner. Målningarna innehåller bl.a oändliga trappor och omöjliga rumsförskjutningar, se figur 2. Figur 2: Fängelsesviten 84

85 Den första som medvetet skapade omöjliga figurer var den svenske konstnären och professorn i konsthistoria Oscar Reutersvärd. Han föddes 1915 i Stockholm och dog i Lund Reutersvärds första omöjliga figur, den omöjliga triangeln, publicerades Tre av hans figurer bl.a triangeln har givits ut som frimärke i Sverige, se figur 3. Reutersvärd framställde mer än 2500 olika teckningar. I slutet av hans karriär ägnade han sig åt att föreläsa om hur barn var bättre än vuxna på analytiska observationer (att se detaljer före helheten), vilket Reutersvärd ansåg vara fördelaktigt för minnet. Han jämförs ibland med M.C. Escher, en holländsk konstnär som levde Eschers konst kom att utforska matematikens och filosofins mysterier. Hans verk är ofta befolkade världar medan Reutersvärds bilder enbart är geometriska figurer, se figur 4. Under 1957 skapade Escher sitt första verk som innehöll ett verkligt omöjligt objekt, se figur 5. Själva kuben är möjlig men det är de inre magiska banden som skapar den omöjliga figuren. Figur 3: Reutersvärd Figur 4: Ascending and descending 85

86 Figur 5: Eschers kub 1958 återkom Reutersvärds triangel i en artikel skriven av Lionel Penrose och hans son Roger Penrose. Denna triangel bestod av tre balkar, se figur 6. Detta gjorde de utan vetskap om Reutersvärds omöjliga triangel, vars sidor var delade i små kuber. Efter detta kallar man den omöjliga triangeln för Penrose s triangel. Penrose s trappa, se figur 7, fanns också med i denna korta artikel. I Penrose s studier om omöjliga figurer inspirerades de av Escher som i sin tur fick inspiration från dem till två av sina mest kända verk, Waterfall, figur 8 och Ascending and descending, figur 4. Figur 6: Penrose s triangel Figur 7: Penrose s trappa 86

87 Figur 8: Waterfall 2.2 Olika typer av omöjliga figurer Man kan dela in omöjliga figurer i två grupper, äkta och oäkta. Ibland räknar man även med illusioner, men det är egentligen inga omöjliga figurer, utan kan enbart uppfattas på olika sätt beroende på hur man tittar. Ett exempel på en illusion är figur 9, där ruta A har exakt samma grå färg som ruta B. Äkta omöjliga figurer är figurer som uppfattas av hjärnan som slutna geometriska figurer, medan de oäkta inte är slutna figurer. Om man följer linjer på oäkta omöjliga figurer brukar de tonas bort, se figur 10. Ett exempel på äkta omöjlig figur är Reutersvärds triangel. Figur 9: En illusion 87

88 Figur 10: En stämgaffel? 2.3 Hur hjärnan uppfattar omöjliga figurer All information som upptas av ögat bearbetas i en särskild plats i hjärnan. Vi kan inte uppfatta hur de föremål som omger oss förhåller sig till varandra enbart med ögats hjälp. Allra först gör ögat en plan bild av verkligheten på näthinnan. Ögat konstruerar sedan en ny rumsföreställning. På bråkdelen av en sekund har ögat skaffat de nödvändiga upplysningar från bilden på näthinnan för att få fram ett resultat. Vad händer när vi betraktar en omöjlig figur? När ögat har skapat en bild av föremålet på näthinnan, dras slutsaten i hjärnan att detta föremål inte kan existera rumsligt. Det kräver längre tankemöda att konstatera att objektet inte fungerar i rummet. Vårt öga kan analysera den tredimensionella världen för att på rätt sätt reagera på det vi uppfattar. När ögat har dragit slutsatsen att föremålet inte kan existera kan man tro att det föremål som ögat uppfattat inte längre kommer ses som ett föremål. Detta är inte vad som sker. Ögat uppfattar det som ett föremål samtidigt som det står fast vid att det inte kan existera. Ögat skickar nu vidare informationen för att låta hjärnan dra slutsatsen om föremålets existens. På grund av detta har en omöjlig figur blivit verklig. Även om den omöjliga figuren enbart framlever i vår fantasi har den samma värde som allt annat vi uppfattar ur bilden ögat skapat på näthinnan. Det är just detta som är intressant med omöjliga figurer. 2.4 Realiseringar av omöjliga figurer För att kunna skapa en omöjlig figur i verkligheten, kan man slopa någon plan eller linjär incidens i figuren. En incidens är när en punkt ligger på en linje. Det kan även vara en linje som ligger i ett plan. Man kan också låta en punkt i den tvådimensionella bilden motsvara två punkter i 3D. Detta gör att figuren inte blir sammanhängande. För att se figuren som en omöjlig figur måste man betrakta den från vissa vinklar, där den upplevs som en sammansluten figur, se figur 11. Figur 11: En verklig omöjlig figur i East Perth, Australien 88

89 3 Att beskriva figurer matematiskt 3.1 Lite om vektorer Vi börjar med några matematiska förberedelser. Något som är viktigt är att våra resultat är oberoende av vilket koordinatsystem som används. Det visar sig också att det är en fördel att använda sig av vektorer. En vektor är en storhet som har en riktning och en längd. Den kan t.ex. reprensenteras genom att man anger dess begynnelse- och slutpunkt. Punkterna kan också beskrivas med hjälp av koordinatsystem. Vilket koordinatsystem vi än väljer kommer punkterna alltid att ha samma förhållande till varandra. Vi kan också addera koordinaterna för en punkt och en vektor. Det vi får då är en ny punkt som fås om man utgår från punkten och går vektorns längd i dess riktning. Inför nu ett koordinatsystem och låt P betyda koordinatvektorn, från origo till P. Den kallas även ortsvektorn för punkten P. Med ortsvektorn kan man nu räkna formellt. För att t.ex. för att beskriva en punkt som ligger mittemellan två punkter P och Q kan vi skriva P + Q. 2 Det kan vara svårt att förstå vad som menas med uttrycket ovan, men efter den finurliga omskrivningen P + Q 2 = P + Q P 2 så ser vi dock att det egentligen är en punkt adderad med en vektor. Resultatet blir en ny punkt som man får om man börjar vid P och går halva vektorns längd i vektorns riktning. Man inser att det är punkten som ligger mellan P och Q. Längre fram kommer vi använda oss av dessa principer fast med mer avancerade exempel. 3.2 Punktkonfigurationer En geometrisk figur i två dimensioner kan ofta beskrivas med ett antal punkter som t.ex. kan vara hörn i olika ytor. När vi sedan ska beskriva punkterna matematiskt så vill vi inte vara beroende av ett specifikt koordinatsystem, utan snarare titta på punkternas förhållande till varandra. Men även när vi ska göra detta kommer vi att behöva koordinater. Vi börjar med att ge några exempel på hur detta kan gå till. Det handlar om vad som kallas en punktkonfiguration. 89

90 Tre punkter i ett plan, X 1, X 2, X 3, har koordinaterna x 1, x 2, x 3. Koordinaten för masscentrum X 4 blir då x 4 = 1 3 (x1 + x 2 + x 3 ) vilket kan skrivas som x 1 + x 2 + x 3 3x 4 = 0. Detta är ett vanligt resultat inom linjär algebra. Ett annat exempel är en parallellogram. Vektorn mellan x 1 och x 3 är lika med summan av vektorn mellan x 1 och x 2 samt x 1 och x 4. x 1 x 3 = x 1 x 2 + x 1 x 4 (x 3 x 1 ) = (x 2 x 1 ) + (x 4 x 1 ) x 1 x 2 + x 3 x 4 = 0 I båda dessa fall ser vi att konfigurationen kännetecknas av ett linjärt uttryck av de ingående punkterna där koefficientsumman är noll. Låt (ξ 1,..., ξ 4 ) vara koefficienterna framför koordinaterna i konfigurationen. För triangeln med masscentrum är ξ = (1, 1, 1, 3) och för parallellogrammen är ξ = (1, 1, 1, 1). Vi inför nu beteckningen s(x) = tξ = t(ξ 1,..., ξ 4 ) och kallar den formen av X, där X betecknar alla punkter i figuren. Detta kommer nedan att generaliseras till allmännare konfigurationer. Om vi har en mer komplex figur, kan vi ofta dela upp den i enklare delar. Koefficienterna för de punkter som då inte ingår i de mindre delarna sätts till noll. I en sammansatt konfiguration kan delkonfigurationerna skrivas i form av en matris. Då skrivs de olika delkonfigurationerna i varsin kolonn. 90

91 För den sammansatta konfigurationen nedan är matrisen C X exempel på vad som kallas en kompositmatris. Den beskrivs närmare i avsnitt C X = Koordinaterna till punkterna kan skrivas på olika sätt beroende på vilket koordinatsystem man väljer. Variationen kan beskrivas som x k = Ax k + b, k = 1,..., n. Man kan tänka sig att koordinatsystemet kan parallellförflyttas och påverkas av en linjär avbildning, t.ex. rotation. Den linjära avbildningen beskrivs av A och parallellförflyttningen av b. I exemplet ovan inser vi att det som kallades s(x) är oberoende av vilket koordinatsystem man valt. Detta gäller allmänt: Lemma 1. {ξ ξ k x k = 0, ξ k = 0} = {ξ ξ k x k = 0, ξ k = 0} Vi har nu kommit fram till ett sätt att beskriva punktkonfigurationer oberoende av koordinatsystem. Följande definition är väldigt praktisk. Definition 1. Formen av X är s(x) = { ξ ξ k x k = 0, } ξ k = 0 91

92 Formen av X har en egenskap som beskrivs av följande sats. Sats 1. För punktkonfigurationen X, med n stycken punkter gäller: n 4 om X är 3D, ej 2D dim s(x) = n 3 om X är 2D, ej 1D n 2 om X är 1D 3.3 Djup på figurer Vår beskrivning av figurer har hittills bara hållt sig i ett plan, men fungerar även i högre dimensioner. Eftersom vi kommer att vilja titta på punkter i rummet och hur dessa förhåller sig till punkterna projicerade i ett plan måste vi ha något sorts djup. Djupet för varje punkt är förhållandet mellan avståndet till punkterna i rummet och avståndet till punkterna i planet. Avståndet mäts från en bestämd punkt, φ, perspektivcentrum. Man kan tänka sig denna punkt som det ställe där vårt öga befinner sig. Varje punkt får då ett djup α och alla dessa ordnas sedan praktiskt i en vektor, α = (α 1,..., α n ). Det gäller alltså att φx k = α k φy k, k = 1,..., n där α är djupvektorn för X med avseende på Y. Nu representeras punkterna av vektorer men fortfarande gäller vår definition, varför vi har att 0 = ξ k φx k = α i ξ i φy i = η i φy i så länge ξ är en punktkonfiguration av figuren. För fyrpunktskonfiguration gäller nu t.ex att s(x) = (ξ 1, ξ 2, ξ 3, ξ 4 ) s(y ) = (η 1, η 2, η 3, η 4 ) α = ( η 1 ξ 1, η 2 ξ 2, η 3 ξ 3, η 4 ξ 4 ). Genom att dividera motsvarande koefficienter i formvektorn får vi alltså fram djupen. 92

93 3.4 Projektion Nu när vi vet vad djup är och vad djupvektorn, α, betyder så kan vi titta på hur en figur projiceras från rummet till planet. Detta kan liknas med att vi tar ett kort av ett föremål i rummet. Föremålet finns då på en bild (planet). Det kan kännas konstigt att titta på det från detta håll när vi egentligen vill veta om ett 2D objekt (t.ex en omöjlig figur) motsvarar ett 3D objekt. Dock ska vi se att detta leder oss till en metod för att analysera projektioner i allmänhet. Vid projektion av en figur på planet med en djupvektor α så gäller konsistensekvationen diag(α)c X = C Y diag(c), där C X är kompositmatrisen för X, vår figur, som förklarats tidigare. Detsamma gäller för C Y som nu är kompositmatrisen för projektionen av X i planet. Som tidigare är α djupvektorn. När den står med diag betyder det att vektorn sätts som diagonalen i en matris. Anledningen till att c finns är att vi haft en frihet när konfigurationerna skapats. Denna frihet bestod i att de kan multipliceras med ett godtyckligt t. Konsistensekvationen ser krånglig ut men är egentligen bara ett linjärt ekvationssystem förutsatt att C X och C Y är kända. 4 Omöjliga figurer För att föra över problemet med omöjliga figurer till matematikens värld, gör vi följande definition. Definition 2. En omöjlig figur är en 2D-konfiguration Y som ej kan vara projektiv bild av en sann 3D-konfiguration X. I konsistensekvationen ser man att det enda som skiljer C X och C Y är att kolonnerna och raderna är multiplicerade med konstanter. Detta gör att deras rang är densamma. Viss information om figuren som finns i dess form behöver inte finnas i C Y. Därför är dimensionen av s(x) större eller lika med rangen av C Y. Detta ger tillsammans med vad vi redan vet i sats 1 { rang C Y = rang C X n 4 om X är 3D dim s(x) = n 3 om X är 2D Om rangen av C Y är n 3, där n är antal hörnpunkter, så kan inte dimensionen av s(x) vara n 4. Enligt sats 1 kan den alltså inte vara en sann 3D konfiguration. Vi får då följande sats. Sats 2 (Huvudsats). Y är en omöjlig figur rang C Y = n 3 93

94 Ett alternativt sätt att räkna på om en figur är omöjlig eller inte är att använda sig av följande beteckningar: n = antalet hörnpunkter f = maximala antalet oberoende sidoytor l = maximala antalet oberoende linjära incidenser p = maximala antalet oberoende plana incidenser Definition 3. Reutersvärdindex ρ = n f l p Vid en jämförelse med huvudsatsen ser man att f + l + p = rang C X och därav får man följande alternativa formulering av huvudsatsen. 4.1 Reutersvärdindex 4 Y omöjlig figur Reutersvärdindex = 3 Om Reutersvärdindex är större eller lika med fyra så har konsistensekvationen ett oändligt antal lösningar. Det leder till att objektet inte är entydig. Antalet oberoende parametrar ges av differensen mellan Reutersvärdindex och 3. Det betyder att varje oberoende parameter medför att figuren kan ses på ytterligare sätt. Se bild 12. Figur 12: Neckers kub kan ses på två olika sätt. Ut från papperets plan och in i papperets plan. 94

95 4.2 Räkneexempel C X = f l p I kompositmatrisen representerar den första raden punkt 1, den andra punkt 2 och så vidare. De fyra första kolonnerna beskriver maximala antalet oberoende sidoytor, f. Det finns fyra stycken och alla kan beskrivas som parallellogrammer, se tidigare exempel om punktkonfiguration. De två följande kolonnerna, l, beskriver tre punkter som ligger på samma linje. Den sista kolonnen, p, beskriver punkter som ligger i samma plan. Nu kan vi räkna ut Reutersvärdindex för figuren. ρ = n f l p = = 4 Eftersom Reutersvärdindex blev fyra är figuren en möjlig figur. 95

96 Vi gör nu ett försök att visa att Reutersvärds trebalk (ofta Penrose s triangel) är en omöjlig figur. I figuren är det 9 hörnpunkter, 3 oberoende sidoytor, 3 oberoende linjära incidenser och inga oberoende plana incidenser. Alltså blir Reutersvärdindex: ρ = n f l p = = 3 Triangeln är alltså omöjlig eftersom Reutersvärdindex är lika med tre. 5 Avslutning Först när vi tog oss an ämnet trodde vi inte att det fanns så mycket matematik kopplat till bilder och speciellt inte till omöjliga figurer. Det har varit fascinerande att se hur matematiken har kunnat användas för att från en annan vinkel titta på konst och psykologi. Projektet har varit lärorikt och intressant. Till sist vill vi tacka Gunnar Sparr för all hjälp och information om omöjliga figurer. 96

97 6 Källförteckning Gunnar Sparr, Omöjliga figurer. Japanska perspektiv inom konst, matematik och datorseende, föredragsmanuskript, Lunds Matematiska Sällskap, mars 2000 Gunnar Sparr, On the reconstruction of impossible objects, konferens SSAB, Uppsala, 1992 Bruno Ernst, Äventyr med omöjliga figurer, New Interlitho SpA, Italien Impossible_cube_illusion_angle.svg.png

98

99 Spader Dam - En Matematisk Saga Andreas Melin, Mikael Pendse, Petter Svensson 11 maj 2009

100 Spader Dam - En Matematisk Saga INNEHÅLL Innehåll 1 Inledning Historien Lösningen Resonemang om lösningen Vad händer då antalet spel ökar Väntevärde Axel Filip Jonte Avslutning

101 Spader Dam - En Matematisk Saga 1 INLEDNING 1 Inledning Att presentera matematik för en person utan god matematisk förståelse kan ibland tyckas vara svårt. Än svårare kan det vara att presentera matematik för en person utan intresse för matematik. Vi vill genom denna text på ett roligt och lättsamt vis förklara för den ej insatte dels hur allmängiltig matematiken är, samt även hur användbar den kan vara inom väldigt många områden som tillsynes kan verka oväntade för den ej insatte läsaren. Vi har valt att lägga fokus på berättarkonsten och på ett diskret sätt väva in matematiken utan att den ska ta överhand, samtidigt som vi efter berättelsen redogör strikt matematiskt för den vane läsaren eller för läsaren med ett nyvunnet intresse. Vi har valt att använda ett kvickt och vardagligt språk för att kunna attrahera läsare utan vana av akademiska skrifter. Kort talat är tanken att visa att matematik är roligt, och att matematik är långt mycket mer än beräkningar i en lärobok och sist men inte minst, att matematik verkligen är spännande! Andreas Melin, Petter Svensson, Mikael Pendse Lunds Nation, Lund 11 maj

102 Spader Dam - En Matematisk Saga 2 HISTORIEN 2 Historien Efter många om och men så satt de tre kompisarna slutligen på en liten inrökt bar i Prags utkanter. Deras kroppar ömmade efter en månads tågluff i Europa samtidigt som deras sinnen trånade efter mer. Bara ett litet problem stod mellan dem och fler historier att berätta om när de kom hem igen, respengarna var nästan helt slut. Med uppgivna miner diskuterade dem hur de skulle ta sig hem, eller om dem skulle förmå sig att åka hem. Jonte vill strängt åka hem, de hade ju varken pengar till mat eller hotell och snart inte till biljetten hem heller om dem fortsatte gå runt på barer. Axel var mer avslappnad, det löser sig alltid menade han. Filip satt tyst och stirrade ner i den slitna bordsskivan i massiv ek som elegant smälte in i den grovhuggna baren. På väggarna hängde tavlor på tjeckiska frihetskämpar och en stor ljuskrona i stål lös upp den stora kupolen i mitten på rummet. Runt om dem satt byggarbetare och målare, alla glada över att ha fått sluta för dagen men utan vett att gå hem. Bakom dem satt en grovhuggen man i en beige kostym av det enklare snittet och blossade på en tjock cigarr. Han blåste vant ut röken i stora ringar som på något konstigt vis tenderade att dra sig mot Axel som hostade frenetiskt. Mannen samtalade i låg stämma med en blond kort man, nästan albino, som raskt antecknade vad han sade. -De pratar om något spel, sa Filip. -Sällskapsspel får du lira hemma snutten, vart ska vi ikväll? svarade Axel. -Det handlar om pengar sa Filip, mycket pengar! Plötsligt lös ögonen upp på alla de tre barskrapade gentlemännen och Filip fortsatte att lyssna. Han plockade snabbt fram ett anteckningsblock och penna och började kladda medan han lyssnade. Den grovhuggna mannen blev mer och mer till sig när albinon nickade instämmande och när hans penna satte punkt på pappret skakade de två herrarna hand varpå den grovhuggna mannen tog pappret och lämnade baren. Filip som hade lyssnat under hela konversationen tittade sammanbitet på Axel och Jonte. -Här har vi vår chans grabbar, såhär ligger det till, sa Filip. Det finns en tobakshandlare i hamnen som tror att ödet är med honom, därför arrangerar han kasinospel i hamnen där oddsen är lika stora att vinna som att förlora. Han har en kortlek med 13 svarta och 13 röda kort, man får satsa valfri summa och sedan dra ett kort. Drar man ett rött så får man dubbelt det man satsade, får man ett svart kort så förlorar man allt. När man dragit ett kort läggs det tillbaka och leken blandas igen. -Ska vi tro på ödet eller gud nu eller, flinade Axel. -Låt mig berätta klart din ekonom, svarade Filip blixtsnabbt. Tobakshandlaren har en apa, som i sig gillar mörka damer. Apan har tagit spader 102

103 Spader Dam - En Matematisk Saga 2 HISTORIEN dam och lagt den i sin bur, så det finns fler röda kort än svarta kort i leken! Chansen är alltså större att man drar ett rött kort och vinner än att man förlorar! Tyvärr finns det en hake, sa Filip. Tobakshandlaren har märkt att de som spelar länge brukar vinna till slut, därför låter han bara varje person spela tre gånger. Dessutom har han satt maxvinsten till 1000 kr. -Det låter onekligen ändå ganska bra sa Axel. -Hur mycket pengar har vi kvar? frågade Filip. -Typ 400 kronor var, sa Jonte. Vi går hem och tänker igenom det här, på något sätt måste vi kunna spela på ett sätt att vi har väldigt stor chans att få ihop pengar till en längre resa, sa Axel. Grabbarna gick hem till hotellet där de eventuellt skulle sova sin sista natt, beroende på utgången i morgondagens spel. Axel skrev upp problemet igen för att förstå det bättre. 13 röda vinstkort - 12 svarta förlustkort = 52 % chans att vinna varje omgång. Vinst ger dubbel insats. Max 3 spel per person. Ingen får lämna spelet med mer än 1000 kr. Killarna pratade vidare, alla ense om att den här chansen fick man bara inte missa, men efter det gick deras meningar isär, hur skulle man lägga upp sin strategi för att maximera sina chanser att vinna pengar? De märkte ganska snabbt att alla var trötta och griniga efter en lång och upplevelsefylld dag och de bestämde sig därför att krypa till sängs. Snart låg Filip i sin säng men kunde knappast sova och denna gång så berodde det inte bara på att han delade rum med 15 andra smutsiga snarkande vrak till människor. Nej, nu hade de ju fått världens chans och Filip tänkte minsann ta den vare sig de andra vågade eller inte. Ju mer han tänkte på saken ju säkrare blev han på att han inte behövde tänka mer. Saken var ju biff. 52 % chans att dubbla sin insats, det här var ju bättre än när Casino Cosmopols kortblandare pajade och de bara körde med 3 lekar. Nej, det här behövde han knappt räkna på. Om jag satsar allt första gången så dubblar jag det till 800 och sen behöver jag bara satsa 200 för att kamma hem maxvinsten, 1000 kr och fler härliga äventyr. Även om jag skulle förlora andra rundan har jag ju 600 kvar och kan lätt dra in tusingen på den sista satsningen. Med såna pengar på fickan blir det nog Rivieran nästa stopp, Monte Carlo ska ju vara fint så här års, tänkte Filip och somnade in. 103

104 Spader Dam - En Matematisk Saga 2 HISTORIEN Härligt, nu kommer stora sågverket igång inatt igen, muttrade Axel lite tyst när Filips luftgångar började avge ljud som kunde ha använts som locksignal för brunbjörnar. Axel kunde inte heller sova, han var sliten och orolig. Kanske är det dags att lämna Prag och åka till någon mysig by på den tjeckiska landsbygden och gå skogspromenader. Men åter till problemet, tänkte Axel när han kände att han började sväva iväg för långt. Han hade 400 kronor i sin reseplånbok som han sov med runt bröstet. Han kunde inte säga emot att det var ett bra spel men lätt paranoid som han började bli kände han att han inte ville riskera allt. Samtidigt var han ju en vetenskapens man och hade inte kunnat förlåta sig om han lät en sådan här chans passera. Han började resonera för sig själv. Enligt min ekonomutbildning så är det viktigt att jag diversifierar riskerna, jag måste dela upp det så att risken att förlora allt inte blir så stor. Därför ska jag max satsa 100kr av mina pengar i den första rundan för att eventuellt kunna vinna tillbaka dem i nästa. Det är ju 52 % chans att vinna, så förlorar jag två i rad så borde jag ju vinna tredje! Då satsar jag 100kr igen för att vara säker på att ha minst 100kr kvar när jag slutar om jag motförmodan skulle förlora igen när jag redan har fölorat två gånger i rad. Det kanske inte var så dumt med fem års ekonomiutbildning trots allt. Jonte visste inte riktigt hur han skulle angripa problemet, men han var fast besluten om att det fanns att sätt som var bättre än alla andra möjligheter. En bästa lösning som gav honom störst chans att vinna. Frågan var bara hur, och hur han än vände och vred på det så kom han ingen vart. Om man satsar allt första rundan så har man 52 % chans att dubbla, men om man bara satsar 200 så har man en chans till om man skulle förlora den första gången. Då är maxvinsten visserligen bara 800 kr, men man har fortfarande pengar kvar. Det jag vill är ju att vinna mycket pengar med så stor sannolikhet som möjligt. Då kan vi fortsätta vår resa. Jonte log för sig själv innan han likt de andra somnade in som en mätt och trygg hundvalp. Dagen därpå var det livliga diskussioner om vem som hade rätt, vilken teori som var bäst och hur de skulle gå tillväga. Klart blev det i alla fall att de ville maximera vinsten. Samtliga grabbar var oerhört sugna på att få testa sina teorier mot tobakshandlaren och de väntade lika tålmodigt på att det skulle bli kväll som en hund som väntar på godis. Skymningen kom så småningom och skjortorna var lika släta som nypolerad marmor på de tre unga gossarna som äntligen skulle få sätta planen i verket. Alla visste 104

105 Spader Dam - En Matematisk Saga 2 HISTORIEN hur de skulle spela, och trodde sig ha bäst chans att vinna dessa 1000 kr så de kunde åka vidare. Med unga ben tog de sig kvickt till hamnen där spelet skulle äga rum. - Men Filip, var ska vi nu då? undrade Axel otåligt. - Det ska ligga här, jag vet bara inte var, vi får gå runt och kolla lite, svarade Filip kort. - Äre zhyou heare foör zhthe game"? frågade en mager man med ett fiskenät hängande över hans solblekta regnrock. Sakta puffade han på sin cigarett medan han spände ögonen i pojkvaskarna. - Of course, svarade Filip och tittade honom djupt i hans mörka ögon. Stumt reste mannen sin krokiga arm och pekade med sitt enda kvarvarande finger på en stor ståldörr som gick in till en stor lokal. Nu började de känna sig lite illa till mods, vad hade de gett sin in på egentligen? De gick sakta mot den stora dörren samtidigt som klumpen i Filips mage växte exponentiellt. Strax stod de där. Utanför. Rädda. Vad skulle hända? Axel tog ett stadigt tag om handtaget och vred om. Inget hände, det var låst. - Men det ska ju vara här! nästan skrek Jonte. - Det är ju här, galningen med fisknätet pekade hit, det är bara stängt, svarade Axel. Plötsligt öppnades brevlådan på dörren och en hes röst hördes viskande. - Tonight play, no okey. Tomorrow play, okey! Efter en stund gick de upp för dem att det inte blev något spel den kvällen utan att de var tvungna att komma tillbaka dagen därpå. Ledsna och uppgivna gick de hemåt samtidigt som de berättade för varandra hur de skulle ha spelat och hur mycket de skulle ha vunnit. Filip och Axel gick mot deras hostel för ännu en natts sömn bland kackerlackor medan Jonte gick till den lokala baren för att reda ut sina tankar om spelet. Det måste finnas ett sätt, ett korrekt sätt. Ett matematiskt genialiskt sätt att genomföra spelet på. Frågan är bara hur. På hostelrummet var stämningen synnerligen god. Axel och Filip diskuterade sina sätt att spela, utvärderade och testade med kortlek för att simulera hur det skulle kunna gå. Efter flera tester och analytiskt tänkande hade de båda kommit fram till att just deras metod var bäst, något de dock inte sade högt till varandra. Samtidigt satt Jonte ensam med en Urquelle som enda vän på den pittoreska baren i Prags utkanter. Han summerade deras fina resa och tänkte på så roligt de haft tillsammans och så gärna han ville att de kunde fortsätta sin resa. Han tog en servett och började skriva och räkna på problemet, men på något sätt fick han inte det att 105

106 Spader Dam - En Matematisk Saga 2 HISTORIEN gå ihop. Antingen gick det inte att vinna, eller så vann han hela tiden. Plötsligt kände han en trygg hand på sin axel, han vände sig om och såg en leende man i sina bästa år med en pipa i mungipan. - Okej du tänker på matematik på en pub? sade mannen glatt. - Njae, eller jo, litegrann bara, svarade Jonte tveksamt. - Okej, mitt namn är Victor Sparrchak, jag kan lite matematik, svarade mannen. Jonte funderade på om han skulle berätta om spelet eller om han skulle hålla det för sig själv. Fast alla fick ju spela, och om Victor visste ett bra sätt så gjorde det ju inget om han också spelade på samma sätt. Alla kunde ju vinna! - Jo det är såhär att det finns en tobakshandlare i hamnen som har ett spel, började Jonte. - Okej! Finns faktiskt mycket bra algoritm, men jag får inte gå dit för jag vet hur man ska spela! Kanske jag kan visa dig om du bjuder mig på en öl? När ölen hade kommit in och Victor hade laddat upp med en hög servetter så började han berätta. - Faktiskt är problemet inte så svårt, men man måste veta om att man kan distribuera fritt! började Victor. Jonte satt tyst och bara tittade när Victor kladdade servett efter servett med konstiga träd, massa variabler och tecken han aldrig hade sett förr. Två timmar senare kände sig Jonte mer redo än någonsin, han hade förstått hemligheten som den vise Victor ruvade på. Han gick hem till snarkfabriken men lyckades ändå att somna ganska så kvickt, drömmandes om den vise Victor Sparrchak - hans polstjärna på den matematiska himlen. På morgonen så var alla nöjda och glada, tysta satt dem och funderade över sina egna strategier. Jonte hade försökt berätta om Sparrchak men både Axel och Filip trodde han skojade och menade på att hans metod var omöjlig, skandalös och förkastlig. Men innerst inne visste Jonte att Victor hade rätt. Visheten som lös i hans ögon gick det inte att ta miste på - det måste vara rätt. Dagen gick fort och innan de visste ordet av så var det kväll igen. Snart dags, pulsen började stegra och i magen fanns fjärilar fler till antalet än kort i en kortlek. De begav sig till hamnen och när de såg den stora ståldörren stå glänt så visste de att kvällen var kommen. - Är ni redo grabbar? sa Jonte. - Jag har aldrig varit såhär redo! väste Axel. 106

107 Spader Dam - En Matematisk Saga 2 HISTORIEN - Vet alla hur de ska spela? sa Filip? - Ja, men jag berättar gärna vad Victor sa till mig om ni vill, svarade Jonte. - Victor har lurat dig, det sättet går inte. Han jobbar säkert åt tobakshandlaren, sa Axel. - Okej herrar, då kör vi! sa Jonte. De tre nu märkbart nervösa unga herrarna stegade in genom ståldörrarna och in i lokalen. En obestämbar doft träffade deras näsor när en apa iklädd röd väst med gulddetaljer svingade förbi i en trasig elledning mitt framför våra hjältar. Axel hoppade till med ett litet skri och snubblade nästan ut på gatan igen. Han möttes av ett hånskratt från en man som inte verkade ha sett solsken sen grabbarna föddes. De tittade på varandra, nickade och svalde. De visste att det inte fanns någon återvändo. I lokalens mitt stod en folkhop samlad kring ett bord. Det måste vara det stora spelet. De började gå ditåt. - Best price in town, 500! No fake! En gänglig man i trenchcoat försökte dra Jonte åt sidan för att sälja sina fina klockor. - Har inte tid, väste Jonte och trängde undan mannen. De var tre män på uppdrag. Mitt i klungan började plötsligt tre kortväxta bröder kasta äpplen som de av någon anledning haft med sig och skrika och svära på tyska. Überbrücker! Arschloch! Apfelstrudel! - De ropar något om fusk, översatte Axel. - Jag känner på mig att det kommer att gå desto bättre för mig, flinade Filip lite överlägset. Det dröjde inte många sekunder innan man såg de tre bröderna flyga upp och ner över folkmassan. Den största människa de någonsin sett, stor som en häst, hade fått ett äpple i huvudet och plockade upp de tre små tyskarna och jonglerade med dem ett slag till publikens stora förtjusning. Axel, Filip och Jonte såg sin chans och smet in och tog tyskarnas plats mitt i smeten. De stod nu öga mot öga med tobakshandlaren själv. Han hade bara ett öga, ett porslinsöga var placerat i den andra ögonhålan. Han höjde sin hand och lokalen tystnade, det enda som hördes var tre dunsar när tyskarna föll till marken. Tobakshandlaren tände en cigarill, drog ett rejält bloss och spände ögat i grabbarna. - Vet era mammor om att ni är ute så här sent, skrockade tobakshandlaren. - Vi är här för att spela, sa Jonte lugnt. - Visst, en veckopeng är väl också en peng, fortsatte tobakshandlaren. Nåväl, jag antar att ni kan reglerna? Ni spelar på rött eller svart kort, tre spel per spädbarn, skulle ni råka vinna någon omgång får ni dubbelt insatsen och ingen går härifrån med mer än 1000 kr om personen vill behålla alla sina lemmar. Förstått? Apan satt på axeln och lekte med ett spelkort. Grabbarna blinkade åt varandra och nickade åt tobakshandlaren. Filip skulle börja spela. Han slängde upp fyra skryn- 107

108 Spader Dam - En Matematisk Saga 2 HISTORIEN kliga hundralappar från bakfickan och la dem på rött. - Ojojoj, stora kulor för en sån liten grabb, skrockade tobakshandlaren. Alla höll andan när tobakshandlaren kuperade och drog upp det översta kortet i högen. Det kändes som en evighet innan man kunde skymta ena hörnet på kortet. Spader tre! Filips självsäkra grin suddades ut nästan lika snabbt som tobakshandlaren roffade åt sig sedlarna och stoppade dem i apans midjeväska. - Näste man till slakt, utropade han och det var Axels tur. Axel fipplade med handen innanför sin tröja och plockade ut en hundralapp som han försiktigt lade på rött. Han svettades när tobakshandlaren drog det första kortet. Hjärter dam! Yes, 500 spänn! Tobakshandlaren lade tillbaka kortet och blandade sen om högen. Axel slängde fram den vunna hundringen när handlaren spände ögonen i honom och ett nytt kort drogs. Turen var dock inte med honom den här rundan och en spader knekt visade sig och handlaren roffade nöjt åt sig hundringen. Återigen åkte kortet in i högen som blandades, Axel satsade återigen en hundring och denna gång visade sig det dragna kortet vara hjärter dam. Axel gick glatt åt sidan med 500 kronor i fickan. Så var det Jontes tur och han plockade fram 225 kronor som han la på rött. - Du försöker väl inte med några tricks, skrattade tobakshandlaren och blandade leken. Jonte log ett snabbt leende för att återgå till sitt pokeransikte. Han iakttog handlarens knotiga händer när denne drog det översta kortet. Hjärter 2! En smakstart. Jonte tog vinsten och mindes de skrynkliga servetterna från kvällen innan för att lägga ytterligare en femtiolapp på rött. En total satsning på 275 kronor. - Är det säkert att du inte har något fuffens för dig? Detta verkar mycket suspekt, sa handlaren när han såg dessa till synes märkliga satsningar. Jonte ryckte lite på axlarna och knackade lätt i bordet för att signalera att han ville spela. Handlaren blandade kortleken lite längre denna gången. Han lät apan kupera leken för att sedan dra Jontes andra kort. Man kunde höra när kortet föll mot bordet. Hjärter 7. Vinst igen! - Om det inte är Alexander Lukas själv som sitter mitt emot mig, utropade tobakshandlaren bittert samtidigt som han ryckte 275 kronor från apans spensliga händer. Jonte hade nu 900 kronor och lade en hundralapp på bordet för att spela sin sista omgång. Det sista kortet blev spader knekt och Jonte avslutade sina spel med 800 kronor. Grabbarna plockade ihop sina saker och reste sig för att gå. Tobakshandlaren var märkbart irriterad efter Jontes spel så de ödslade ingen tid. När de stod i dörren för att gå vände sig Jonte mot handlaren och sa: - Förresten, Victor hälsar! Jonte smällde igen dörren och hörde en flaska krossas på andra sidan. Grabbarna sprang skrattandes därifrån. 108

109 Spader Dam - En Matematisk Saga 2 HISTORIEN Väl hemma och med hälsan i behåll kunde grabbarna andas ut och ta var sin pilsner. - Det där var ju lite av ett fiasko för min del, började Filip. Man skulle kanske gjort en Axel och fegat ändå... - Visst, jag fick ju med mig 500 men kanske borde jag satsat lite mer, svarade Axel. Men Jonte, dina satsningar var ju helt galna. - Ja, eller hur? sa Axel. - Ni trodde mig inte innan när jag berättade om Victor Sparrchak men tricket är att tänka baklänges, började Jonte. Han tog upp en skrynklig servett han haft i fickan. - Hur man än spelar så har man en viss summa att fördela efter de tre spelen. Om man börjar satsa utan plan vet man inte var man hamnar men om man börjar nerifrån så vet man ju var man vill vinna. Utifrån det kan man gå tillbaka i det här trädet och se vad man måste satsa för att hamna där man vill! - Hur menar du? sa Axel. - Jo det förhåller ju sig som sådant, att man varje runda kan förlora det man satsar eller vinna lika mycket. Om man säger att man har A stycken kronor så kan första satsningen maximalt vara A kronor. Om man vinner så har man 2A kronor, och om man förlorar har man inga pengar kvar. Fortsätter man satsa allt och vinner igen har man 4A kronor, och vinner man igen så har man 8A kronor. Om man kan vinna eller förlora varje gång så har man två upphöjt till tre utfall, alltså åtta möjligheter att vinna eller eller förlora på tre olika spel. Ett utfal är tex att man vinner 3 gånger i rad, ett annat att man förlorar de två första och vinner det sista. Det man vet är att man kan vinna 8A efter tre rundor, och hemligheten är att man kan distribuera summan 8A fritt på de 8 olika utfallen. Om A motsvarar 400 kr som i mitt fall så kan jag placera ut 3200 kr på de 8 olika utfallen. Eftersom det är större sannolikhet att vinna än att förlora så är de utfallen med flest vinster mest sannolika att inträffa, därför placerar jag pengarna där. På så vis kan jag dela upp den potentiella vinsten på 3200 kr på flera utfall och addera ihop sannolikheterna för nå just det utfallet. På så vis ser jag hur stor chans jag har att vinna, och att det även är det bästa sättet att spela! Sedan är det busenkelt att gå tillbaka i trädet för att veta hur mycket man ska satsa i varje runda sa Jonte väldigt nöjt. - Det där låter som Star Trek- snack, fnös Filip. - Varför inte bara erkänna att du bara hade flax? Kom så drar vi, sa Axel och gänget gick iväg mot horisonten för nya äventyr. 109

110 Spader Dam - En Matematisk Saga 3 LÖSNINGEN 3 Lösningen 3.1 Resonemang om lösningen A 1A α α A + α A α 2A = 2A+α α β β γ γ A + α + β A + α β A α + γ A α γ 4A = 4A+α α + β β + γ γ För att få en överblick av problemet är det smidigt att börja med ett diagram över alla spelets utfall, ett så kallat träddiagram. Om vi vidare benämner alla olika insatser, som i figuren ovan, med α, β och γ och beloppet som vi har innan spelet börjar med A så kan man efter några enklare uträkningar, precis som i illustrationen ovan, se att det samlade utfallet efter varje omgång är en dubblering av föregående. I diagrammet ovan syns endast två spelomgångar, detta för att påvisningen av dubleringen inte skall bli för rörig. Vidare ser sannolikheterna ut som följer, här har vi betecknat vinst med P och förlust med Q. A P Q PP PQ QP QQ PPP 14% PPQ 13% PQP 13% PQQ 12% QPP 13% QPQ 12% QQP 12% QQQ 11% 110

111 Spader Dam - En Matematisk Saga 3 LÖSNINGEN Nu när vi har förutsättningarna uppritade så kan vi precisera problemet mer. Det vi vill göra är att omfördela det slutgiltiga utfallsrummet till vår fördel. Under de förutsättningarna att max tre spel får genomföras och att maximal vinst efter tre omgångar är 1000 kr. Dessutom har vi ett startvärde, ovan omnämnt som A, på 400 kr. Då det samlade utfallet efter tre spel, i enlighet med resonemanget ovan är 3200 kr så är det den här summan som vi ska sprida i utfallsrummet för att ge oss en fördel. De utfallen vi har är ett PPP, 3 stycken PPQ, 3 stycken PQQ, samt ett styck QQQ. (Den observanta läsaren ser att detta är en binomialfördelning.) Eftersom P > Q är det större sannolikhet att få ett utfall med många vinster än ett med få. Detta måste vi ha i åtanke när vi ska välja hur vår omfördelning ska se ut. För att ha en rimlig chans att få ut någon vinst väljer vi att satsa på de fyra mest sannolika utfallen. Alltså ska vi fördela de 3200 kronorna på fyra poster, här kan man antingen välja att maximera det mest sannolika utfallet av de fyra och sen jämt fördela resterande summa eller att bara jämt fördela det samlade utfallet på de fyra utfallen. Vi har i det här exemplet valt att maximera utfallet med störst sannolikhet för att sedan någorlunda jämt fördela resterande summa över de tre resterande utfallen. Den fördelningen vi valt illustreras mer ingående nedan. Ytterligare förklaringen till fördelningen fås senare under väntevärde PPP 1000 kr PPQ PQP 800 kr 700 kr PQQ 0 kr QPP 700 kr QPQ 0 kr QQP 0 kr QQQ 0 kr 111

112 Spader Dam - En Matematisk Saga 3 LÖSNINGEN På detta sätt har vi nu 53 % chans att vinna efter tre spel, att jämföra med 52 % chans vid ett spel. 3.2 Vad händer då antalet spel ökar Som tidigare påpekats så fördelar sig de olika typerna utfallen enligt binomialsatsen, för att åskådliggöra det illustrerar vi nu pascalls triangel nedan och där antalet spelomgångar är markerat till höger Om vi nu granskar triangeln finner vi att vid udda antal spel så har vi en fördelning som är speglad längs med mitten. Om vi då för godtyckligt udda antal spel väljer att omfördela det sammlade utfallet så att varje utfall på den vänstra sidan av triangeln har en fördubbling av ursprungsvärdet. Detta gör vi eftersom utfallen på denna sidan om symmetrilinjen innehåller fler vinster än förluster och alltså är summan av dem > Om vi nu tänker oss att antalet spel då går chansen att dubbla vår insats 1. Chansen att dubbla sina pengar då man omfördelar till den hälft av utfallen som har störst sannolikhet att vinna kan beskrivas med en summa enligt följande. där n är ett udda tal > 0 n k= n+1 2 ( ) n P k Q n k k 112

113 Spader Dam - En Matematisk Saga 3 LÖSNINGEN 3.3 Väntevärde En metod att jämföra de olika taktikerna får vi om vi använder väntevärde. Väntevärde är precis som det låter det vi kan förvänta oss av ett visst spel. För att kunna räkna på det med sannolikheter får man tänka att man tar medlevärdet av utfallen om spelet upprepas oändligt många gånger. Vi tar roulette som exempel. Vi har ett vanligt roulettebräde med 37 stycken siffror, 18 röda, 18 svarta och en grön. Om man satsar på ett enda rött eller svart nummer får man om man vinner 36 gånger pengarna. Blir det något annat nummer så förlorar vi vår insats. Låt oss anta att vi satsar 1 krona. Sannolikheten att vårt nummer ska komma upp och vi vinner 36 kronor är 1/37 och sannolikheten att vi förlorar kronan är 36/37. Väntevärdet V av vår satsade krona får vi då som: V (1 kr) = (36 kr 1/37) = kr Alltså, vi kan säga att värdet av en krona om vi spelar enligt denna strategin är kronor. Det blir då klart att det i längden är dyrt att spela roulette. Vi kan räkna ut väntevärdena för de 400 kronor våra tre hjältar Axel, Filip och Jonte spelar för i vår saga och därefter jämföra. Vi illustrerar varje persons spelande med ett träddiagram för att visa alla utfall och sannolikheter och därefter beräknar vi väntevärdena Axel % % % % % % % % Vi får då väntevärdet V Axel (400) = (700 0,14 + (3 500) 0,13 + (3 300) 0, ,11) =

114 Spader Dam - En Matematisk Saga 3 LÖSNINGEN Filip % % % % 0 13% 0 12% 0 12% 0 11% Vi får då väntevärdet V Filip (400) = (1000 0,14 + (2 1000) 0, ,12) = Jonte % % % 0 12% % 0 12% 0 12% 0 11% Vi får då väntevärdet V Jonte (400) = (1000 0,14 + ( ) 0,13) = 426 Här kan vi då tydligt se att även om skillnaderna är små i väntvärdet så är Jontes metod den bättre. Detta är principiellt viktigt ty om vi hade ökat antalet spel eller höjt chansen att vinna så hade skillnaderna blivit större. Att det är den bästa metoden att fördela kan vi försäkra oss om genom att vi maximerat den del av väntevärdet med störst sannolikhet och sedan satsat resten på den delen med näst störst sannolikhet, alltså har vi maximerat väntevärdet. 114

115 Spader Dam - En Matematisk Saga 4 AVSLUTNING 4 Avslutning Genom en god historia hoppas vi ha trollbundit många läsare som oavsett om de har blivit intresserade eller ej har insett styrkan och allmängiltigheten hos matematiken. Genom att berätta lösningen först i talspråk ger vi tid för den ej insatta läsaren att förstå principen utan att blanda in korrekta uttryck, variabler och svårtolkade resonemang. Vi visar sedan en matematiskt god lösning med en tillfredställande transparens i resonemanget och i våra antaganden för att påvisa lösningen på ett korrekt sätt. Således hoppas vi att vårt arbete har givit glädje till såväl unga aspirerande som till erfarna och upplysta matematiker. 115

116

117 Matematisk kommunikation Beräkning av talet π Paulin Frennberg, Frida Hansson, Samare Jarf, Martin Larsson 8 maj 2009 Sammanfattning Detta arbete ska ge läsaren grundläggande förståelse i beräkning av talet π. Rapporten inleds med historian kring hur beräkningar av talet har utvecklats genom årtusenden, för att sedan gå djupare in på specifika datorberäkningar och serieutvecklingar. Läsaren kommer också ges möjligheten att följa några bevis av satser som leder fram till π. Arbetet avslutas med lite kuriosa kring talet π. 117

118 Innehåll 1 Inledning π:s historia e.Kr e.kr e.kr Talserier Gregory-Leibniz serie Machins formel Viètes formel Wallis produkt Datorberäkning av π Algoritmer Iterativa algoritmer Serieutvecklingar Bestämning av n-te siffran I de grekiska matematikernas spår Kul fakta Buffons nål Rekord Magin bakom talet π

119 1 Inledning π är en av den mest fascinerande konstanterna inom matematiken. I den klassiska geometrin kan man visa med hjälp likformighetslära att kvoten mellan en cirkels omkrets och dess diameter är konstant, alltså oberoende av cirkelns storlek. Det är denna konstant som vi idag kallar för π, den första bokstaven i det grekiska ordet perimetros, vilket betyder omkrets. Samma konstant karakteriserar förhållandet mellan arean av en cirkel och arean av en kvadrat vars sida är lika med cirkelns radie. Detta bevisade Arkimedes redan på 200-talet f.kr.. Arkimedes kom även fram till fler samband där π förekommer. Bland annat visade han att kvoten mellan volymen av ett klot och volymen av kuben med klotets radie som sida är 4π 3, och att kvoten mellan arean av en sfär och kvadraten med sfärens radie som sida är 4π. För att kunna bestämma förhållandet mellan en cirkelns omkrets och dess diameter, eller i allmänhet, förhållandet mellan längderna av två sträckor, försökte de gamla grekiska matematikerna använda sig av en given "enhetssträcka" som mätenhet. Man jämförde då en viss sträcka med enhetssträckan genom att dela upp den senare i ett lämpligt antal likadana delsträckor, säg a stycken, på ett sådant sätt att den mätta sträckan skulle täckas av ett helt antal delsträckor av enhetssträckan, säg b. Då kunde man säga att den mätta sträckan hade längden a b. Senare upptäckte man att detta tillvägagångsätt inte alltid fungerar. Förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter kan inte uttryckas som kvoten av två heltal. Med dagens terminologi säger vi att talet π är irrationellt. Ett irrationellt tal, uttryckt i vårt decimala positionssystem har en oändlig följd av decimaler som inte består av ett oändligt antal periodiska upprepningar. Men hur stort är talet π? I Bibeln, Första Konungaboken 7:23 hittar man följande vers som refererar till uppförandet av kung Salomos tempel: "Han gjorde och havet, i gjutet arbete. Det var tio alnar från den ena sidan till den andra, runt allt omkring, och fem alnar högt; och ett trettio alnar långt snöre mätte dess omfång." Citatet pekar alltså på att den beskrivna byggnadens omkrets var tre gånger så stor som dess diameter, vilket ger 3 som ett närmevärde på π. Som vi kommer att se i nästa kapitel, är denna approximation inte särskilt noggrann och bättre approximationer var kända i den egyptiska och den babyloniska kulturen redan 1000 år tidigare. Med dagens datorer har man lyckats få fram 1,24 biljoner decimaler till talet. Hur har då utvecklingen skett? 119

120 2 π:s historia e.Kr. Av de historiska källor som finns bevarade från den babyloniska kulturen framgår att man använde värdet 25/8 = 3,125 som ett närmevärde på det konstanta förhållandet mellan en cirkels omkrets och diameter, alltså vårt nuvarande tal π. Den viktigaste källan till vår kunskap om egyptisk matematik är den så kallade Rhindpapyrusen som upptäcktes 1858 och har daterats till omkring 1650 f.kr. Papyren innehåller en samling av 85 matematiska problem och deras lösningar som nedtecknades av Ahmes som en Accurate reckoning for inquiring into things, and the knowledge of all things, mysteries...all secrets. Ett av problemen (nummer 50) innefattade areaberäkning av en cirkel. Nedtecknaren Ahmes presenterade metoden: dra bort en niondel av cirkelns diameter, kvadrera återstoden (dvs. 8/9); det erhållna värdet approximerar cirkelns area. En rekonstruktion av egyptiernas tankesätt skulle kunna vara följande: given en cirkel vars area ska bestämmas, omskriv en kvadrat och dela denna kvadrat i nio kongruenta kvadrater; skär av den stora kvadratens fyra hörn (varje hörn ses som en triangel lika med en halv utav de mindre kvadraterna); ytan som blir kvar approximerar cirkelns yta. Förhållandet mellan denna yta och kvadraten på cirkelns radie blir 256/81 = 3, 16049, värde som innebär ett relativt fel på 0, 6%. Nästa steg mot ett noggrannare värde tog Arkimedes på 200-talet f.kr. Arkimedes använde sig av en annan metod än Ahmes. Hans metod gick ut på att stänga in en cirkel mellan två regelbundna polygoner. Metoden kallas ofta för exhaustionsprincipen, som försvenskat kallas uttömningsmetoden. Han insåg att cirkelns omkrets alltså måste ligga mellan den inskrivna och den omskrivna polygonens omkrets. Genom att successivt fördubbla antalet sidor i månghörningen fick Arkimedes en bättre noggrannhet. I figur 1 kan man se en illustration av uppskattningar utförda med 5-, 6-, och 8-hörningar. Arkimedes själv använde sig av en 96-hörning. Figur 1: In- och omskrivna cirklar 120

121 Han kunde med hjälp av denna metod stänga in talet π inom intervallet < π < Medelvärdet av dessa två tal ger att π= 3,1418 som innebär ett relativt fel på mindre än 3 tiotusendelar. Under 400-talet gjorde den kinesiske astronomen Tsu Ch ung-chih och hans son Tsu Keng-chih samma försök som Arkimedes men använde istället en polygon med sidor och fick då fram det approximativa värdet 355/113 = 3, som ger ett relativt fel på mindre än en åttamiljonerdels procent. Detta approximativa värde slogs inte på närmare tusen år. Den indiske matematikern Madhava av Sangamagrama (ca ) lyckades beräkna 11 korrekta decimaler och ett par decennier senare beräknades 16 korrekta decimaler av den persiska matematikern och astronomen Ghiyath al-kashi ( ) e.kr. Med den matematiska analysens utveckling kom nästa steg i π:s historia. År 1593 härledde fransmannen Francois Viéte en formel som beskrev π som en produkt av oändligt många termer π = Att uttrycka talet π som en produkt med oändligt många termer var ett genombrott men själva Viéttes formel i sig hade ingen större praktisk betydelse för att beräkna π:s decimaler eftersom den var för invecklad. År 1655 fick även John Wallis fram en oändlig produkt för att beräkna π men han använde sig av integralkalkyl: π 2 = Under 1600-talet bidrog många matematiker med upptäckter kring talet π. Den berömde matematikern Gottfried Willhelm Leibniz härledde en formel för π genom att uttrycka funktionen arcustangens som en serie = π 4 Serien konvergerar inte tillräckligt fort för att ge ett effektivt sätt för att beräkna π:s decimaler. Endast för att få fram de två första decimalerna i π krävs ungefär 300 termer. 121

122 År 1706 publicerade William Jones sin bok A New Introduction to Mathematics där symbolen π användes för fösta gången för att beteckna talet. Att det blev just den grekiska bokstaven π som fick representera talet beror på att denna är den första bokstaven i det grekiska ordet för omkrets. Men beteckningen blev populär tack vore den berömde matematikern Leonard Euler vars vetenskapliga verk under 1700-talet utgjorde enorma framsteg för matematiken. En detalj som drunknar i Eulers matematiska verk är att han med hjälp av snabbt konvergerande arcustangens serier kunde räkna ut 20 decimaler till π på bara en timme. De högre krav som man under denna tidsperiod ställde på logisk stringens och korrekthet ledde också till att ett rigoröst bevis för att talet π är irrationellt lades fram J.H. Lambert, matematikern som genomförde detta bevis postulerade också att π är transcendent, dvs. att talet inte kan vara rot till någon algebraisk ekvation med rationella koeeficienter e.kr. - Under 1800-talet gjordes inte så många genombrott inom beräkning av talet π- världen. År 1882 bevisade dock Ferdinand von Lindemann att talet π är transcendent. Från 1900-talet och fram har jakten efter fler decimaler på π lämnats till datorerna. Dagens rekord ligger på decimaler. I nästa avsnitt ger vi en mer detaljerad presentation av några utav de ovannämnda talserier som leder till π. 122

123 3 Talserier När man började utveckla infinitesimalkalkylen så blev det ett stort steg i jakten på π:s decimaler. Man kunde nu med hjälp av oändliga serier och produkter få fram formler för att beräkna π genom att addera/multiplicera oändligt många termer/faktorer. 3.1 Gregory-Leibniz serie = π 4 Gottfried Leibniz och James Gregory var två matematiker från 1700-talet som fått ta åt sig äran för denna serie. Denna bygger på att funktionen arcustangens kan approximeras i närheten av x = 0 med ett polynom av godtycklig ordning. Man kan visa att felet som uppstår när man uppskattar funktionen med ett polynom av ordning n går mot 0 då n. För x nära 0 kan vi skriva: arctan x = x x3 3 + x5 5 x (observera att detta är Maclaurin utvecklingen av arctangens för x nära 0 om man använder det faktum att resttermen går mot 0 när Maclaurins polynomets grad går mot oändligeheten.) Gottfried-Leibniz serien fås då för x = 1, eftersom arctan(1) = π 4. Det var dock den indiske matematikern Madhava of Sangamagrama som redan 300 år tidigare fann den första oändliga serie för att beräkna π. Madhavas serie skiljde sig litet från ovannämnda serie och den ger 11 korrekta decimaler. π = ( ) Gregory-Leibniz serien är alltså en oändlig serie som konvergerar mot π/4 och som med vår moderna beteckning för en summa får följande utseende: n=0 ( 1) n 2n + 1 = π 4 Problemet med denna serie är att den inte konvergerar tillräckligt snabbt. Användning av denna serie kan ändå leda till ett snabbare sätt att beräkna decimaler genom att beräkna ett sorts medeltal. Man betraktar först följden π 0,1, π 0,2,... av delsummor dvs π 0,1 = 4 1, π 0,2 = , π 0,3 = , π 0,4 = ,... för att sedan skapa en följd av medeltal som ger snabbare konvergens, på följande sätt: π i,j = π i 1,j + π i 1,j+1, i, j

124 Att beräkna π 10,10 tar ungefär lika lång tid som att addera 150 termer i den ursprungliga serien och ger 9 korrekta decimaler. 3.2 Machins formel 1706 lyckades John Machin beräkna π med en noggrannhet på upp till 100 decimaler. Machin använde sig då av en formel, numera känd som Machins formel: π 4 = 4 arctan 1 5 arctan tillsammans med Maclaurin-utvecklingen av arctangens. En generell formeln för beräkning av detta slag ges av π N 4 = a n arctan 1, b n n där a n och b n är heltal. För att visa Machins formel används väsentligen additionsformeln for tangens: Betrakta tan(α ± β) = tan α ± tan β 1 tan α tan β. ( tan 4 arctan 1 5 arctan 1 ). 239 Om formeln stämmer så måste uttrycket ovan vara lika med tan(π/4) = 1. Vi visar nu att så är fallet: ( tan 4 arctan 1 5 arctan 1 ) = tan(4 arctan 1 5 ) tan(arctan ) tan(4 arctan 1 5 ) tan(arctan ) = tan(4 arctan 1 5 ) tan(4 arctan 1 5 ). Det återstår att räkna ut tan(4 arctan 1 5 ). För detta ändamål använder vi formeln för tangens av dubbla vinkeln (tag α = β i additionssatsen ovan): Med samma formel får vi att: tan(4 arctan 1 5 ) = 2 tan(2 arctan 1 5 ) 1 tan 2 (arctan 1 5 ). tan(2 arctan 1 5 ) = 2 tan(arctan 1 5 ) 1 tan 2 (arctan 1 5 ) = = Nu kan vi beräkna tan(4 arctan 1 5 ): tan(4 arctan 1 5 ) = ( ) 5 2 =

125 vilket ger slutligen: ( tan 4 arctan 1 5 arctan 1 ) = = = 1, vad skulle bevisas. Machin använde sin formel och Maclaurin- utvecklingen av arcustangens funktionen för att bestämma de första 100 decimalerna till π. Liknande formler för att beräkna π har härletts av bland annat Euler, av Hermann, och av Hutton, π 4 = arctan(1 2 ) + arctan(1 3 ), π 4 = 2 arctan(1 2 ) arctan(1 7 ), π 4 = 2 arctan(1 3 ) + arctan(1 7 ). 3.3 Viètes formel π = fann Francois Viète detta sätt att uttrycka π. Han var den första att beskriva π med en oändlig produkt. Med den moderna beteckningen för en produkt kan formeln skrivas som lim n n i=1 a i 2 = 2 π a n = 2 + a n 1, a 1 = 2 För att bevisa denna formel visar man först med hjälp av upprepad användning av formeln för dubbla vinkeln för sin(2x) att sin(2 n n 1 x) 2 n sin(x) = cos ( 2 i x ) gäller för alla positiva n. Låt x = y 2 och dividera båda sidor med cos ( y ) n 2 sin(y) cos( y 2 ) i=0 n n sin( y 2 ) = n i=1 cos( y ). 2i+1 125

126 Använd formeln för dubbla vinkeln för sin(y) igen: Sätt y = π 2 sin( y 2 ) n 1 2 n sin( y 2 ) = ( y ) cos 2 i+1. n i=1 2 2 n sin( π 2 ) = n ( π ) cos 2 i. n i=2 Vi kommer att se nu att faktorerna i högerledet överensstämmer med termerna a n i Viètes produkt. Använd formeln för cosinus av halva vinkeln för att härledda formeln: 2 cos(x/2) = cos x, och sätt b i = 2 cos( π ), 1 = 2,..., n. 2i+1 Talen b i uppfyller rekursionsformeln: b i+1 = 2 + b i, med b 1 = 2 cos( π 4 ) = 2 = a i. Alltså är a n = b n för alla positiva n. Om man nu låter n så får man Vietes formel eftersom 2 lim n 2 n sin( π 2 ) = 2 π. n 3.4 Wallis produkt π 2 = n=1 (2n)(2n) (2n 1)(2n + 1) = kom även John Wallis på en oändlig produkt att beskriva π med. Produkten är dock inte så lämplig att använda då man behöver väldigt många faktorer för att finna några rätta decimaler. Om man kan Eulers formel för sinus så är Wallis formel tämligen enkel att bevisa. Först har vi Eulers formel för sinus: ) ) ) sin(x) ) = (1 (1 x2 x π 2 (1 x2 4π 2 x2 9π 2... = (1 x2 n 2 π 2, Sätt x = π/2 2 (1 π = 12 ) ( ) ( ) 2... = 126 n=1 n=1 ( 1 1 ) 4n 2,

127 π 2 = n=1 ( ) 4n 2 4n 2 = 1 n=1 (2n)(2n) (2n 1)(2n + 1) =

128 4 Datorberäkning av π När de första datorerna kom var det självklart för matematikerna att utnyttja de nya hjälpmedlen för att räkna ut fler decimaler på π. ENIAC, den första programmerbara datorn, användes 1949 för att räkna ut 2037 decimaler. Det tog cirka 70 timmar. Sex år senare var man uppe i 3089 decimaler, dock tog det bara 13 minuter. Första gången man kom över en miljon decimaler var på sjuttiotalet och 2002 räknade man ut 1,24 biljoner decimaler på 600 timmar. Räknemässigt har man ingen användnings alls för den sortens noggrannhet. Redan 40 decimaler räcker för att räkna ut omkretsen på universum med en atoms noggrannhet. Det är mest själva uträkningarna och tekniken som är intressant för forskare. Jakten på fler decimaler har varit ett sätt att testa nya superdatorer och kontrollera att de funkar som de ska. Det har också drivit fram utvecklingen av effektiva metoder för att till exempel multiplicera och ta roten ur stora tal. Matematiskt finns det dock en liten anledning till för att räkna ut fler decimaler. En sak man aldrig kunnat bevisa om π är att decimalföljden är slumpmässig, dvs om alla siffror förekommer lika många gånger och för den delen om alla förekommer oändligt många gånger. Bland de 800 miljarder första decimalerna förekommer 2,4 och 8 fler gånger än de borde och resten färre. 8 förekommer hela 0, 0008% fler gånger än det borde. Det tyder på att följden är slumpmässig, men matematikerna vill gärna ha ett riktigt bevis också. 4.1 Algoritmer De algoritmer som används för att räkna med på datorer kan delas in i iterativa formler och serieutvecklingar. Bland serieutvecklingarna är Machin-formeln och dess utvecklingar klart vanligast och den så kallade Gauss-Legendre algoritmen är vanligast bland de iterativa. 128

129 4.1.1 Iterativa algoritmer Algoritm 1. Gauss-Legendre a 1 = 1 b 1 = 1 2 t 1 = 1 4 x 1 = 1 a n+1 = a b + b b 2 b n+1 = b n a n t n+1 = t n x n (a n a n+1 ) 2 x n+1 = 2x n π n = (a n + b n ) 2 4t n Antalet korrekta decimaler med Gauss-Legendre fördubblas för varje iteration, vilket betyder att det bara behövs 19 iterationer för att räkna ut 1 miljon decimaler. Dock är beräkningen av rotuttrycken ganska tidskrävande och själva algoritmen kräver mycket minne då många variabler och temporära uträkningar behövs sparas. Man har funnit fler algoritmer för där antalet korrekta decimaler fyrdubblas eller mer per iteration. De är dock ofta för komplicerade för att vara mer effektiva Serieutvecklingar Serieutvecklingar är ofta mycket enklare att implementera och använda. Eftersom man till Machin-formlen använder Maclaurin-utvecklingen av arctan behövs endast de fyra räknesätten. Den japanska forskaren Yasumasa Kanada använde nedanstående varianter av Machinformlen när han räknade ut de 1,24 biljoner första decimalerna. π 4 = 12 arctan 1 49 π arctan arctan arctan = 44 arctan arctan arctan + 24 arctan arctan(x) = x x3 3 + x5 5 x7 7 + Anledningen till att man använde två är att om båda ger samma resultat kan man anta att det är ett korrekt resultat. Det krävs nästan 300 termer i den första varianten för att få 1000 korrekta decimaler, vilket kan tyckas väldigt ineffektivt jämfört med Gauss-Legendre. Den stora fördelen är att Maclaurin-utvecklingen kräver mycket 129

130 mindre minne och räkningarna går effektivt att sprida ut bland flera beräkningsenheter. En annan populär serieutveckling är bröderna Chudnovskys algoritm, som bygger på en algoritm av Ramanajun från början av 1900-talet: Algoritm 2. Chudnovsky algoritmen 1 π = 12 inf ( 1)k (6k)!( k) (3k)!(k!) k+3/2 k=0 Den ger ungefär 15 korrekta decimaler för varje extra term man räknar ut och den var den första som kom över en miljard decimaler. Den är också ett exempel på de ganska många formler som räknar 1/π istället för π direkt Bestämning av n-te siffran 1995 upptäckte tre forskare (Bailey, Borwein och Plouffe) en formel, kallad BBPformeln efter upptäckarna, som kunde plocka ut vilken siffra som helst i den binära framställningen av π. Det var en stor upptäckt som många inte trodde det var möjligt. Två år senare upptäckte en av de ovannämnda forskarna även en formel som gjorde samma sak för π skrivit i vårt normala tio-system. Den är tyvärr så långsam att det är mer effektivt att räkna ut alla decimaler till och med den man är ute efter med vanliga metoder. Dock så hoppas man att de kan användas för att bevisa slumpmässigheten i π:s decimalföljd, men än så är det ingen som lyckats med det. 130

131 5 I de grekiska matematikernas spår Efter att ha följt π:s historia genom tiden har vi valt att i detta avsnitt gå i de grekiska matematikernas spår, tillbaka till det grundläggande faktum som medför talets existens, nämligen till att förhållandet mellan en cirkels omkrets och diameter är konstant. För detta ändamål, låt oss betrakta en cirkel med radien lika med en längdenhet. Men hur mäter man dess omkrets, som är längden av en krökt kurva? I allmänhet, för att mäta längden av en allmän kurva skriver man in en polygonkurva som fås genom att använda ett antal punkter på den ursprungliga kurvan, numrerade så att kurvan mellan två konsekutivt numrerade punkter inte innehåller någon utav de övriga punkterna, för att sedan förbinda varje punkt med nästa med ett linjestycke. Längden av en sådan polygonkurva definieras som summan av längderna på de ingående linjestyckena. För att definiera längden av en allmän kurva betraktar man mängden av alla inskrivna polygonkurvor associerade till denna; kurvans längd definieras som supremum av längderna av alla inskrivna polygonkurvor, alltså som det minsta tal som är större eller lika med längden av varje inskrivna polygonkurva, ifall ett sådant tal existerar. Med denna definition är omkretsen av en cirkel lika med det minsta tal som är större än omkretsen av alla möjliga inskrivna polygoner, om ett sådant tal finns. På samma sätt definieras arean av ett godtyckligt plant område. Mätenheten för area blir en kvadrat vars sida är lika med längdenheten. Man kan lätt bestämma arean av en triangel och arean av en polygon (då polygon kan trianguleras, dvs delas in i ändligt många trianglar). Men i allmänhet definieras arean av ett begränsat område i planet på samma sätt som ovan, som supremum av areorna av alla inskrivna polygoner, dvs, som det minsta tal som är större än eller lika med arean av varje inskriven polygon. Men existerar ett sådant supremum för omkretsen respektive arean av alla inkrivna polygoner i en cirkel? Svaret är givetvis ja, och detta bygger på en grundläggande egenskap hos de reella talen, nämligen supremumaxiomet, som säger att varje icke-tom uppåtbegränsad mängd av reella tal har ett (ändligt) supremum, dvs ett minsta tal som är större än eller lika med alla tal i mängden. Arean av en cirkel med en given radie existerar som ett ändligt tal eftersom cirkeln kan skrivas i en kvadrat med arean lika med cirkelns diameter i kvadrat, och areorna av de polygoner inskrivna i cirkeln utgör en mängd av reella tal som är uppåt begränsad av den omskrivna kvadratens area. Vi kan alltså utgå från att arean av enhetscirkeln är ett tal, kalla det π och vi ska visa att enhetscirkelns omkrets också existerar som ett ändligt tal och den är lika med 2π. 131

132 För detta ändamål betraktar vi en sektor av enhetscirkeln som i figur 2 Figur 2: En cirkelsektor I figuren betecknar O enhetscirkelns medelpunkt och triangeln OAB har hörnen A och B på enhetscirkelns periferi. Radien OC går genom mittpunkten på kordan AB som har längden d. Då gäller att Enligt Pythagoras sats gäller OAB = rh 2 OAC = OCB = r d/2 = rd 2 4 h 2 = d 2 r 2 Det ger att d måste vara större än h. Dvs: rh 2 = OAB < OAC + OCB = rd

133 Eftersom det är en enhetscirkel är r lika med 1 och därmed: OAC + OCB = d/2. Om AB uppfattas som sidan i en inskriven polygonkurva, och AC och BC som sidor i en annan inskriven polygonkurva, så kan vi använda det vi ovan har visat för att dra slutsatsen att cirkelns periferi kan tilldelas längden 2π. Eftersom vi kallade enhetscirkelns area för π gäller det att π = sup P, P M där M betecknar mängden av alla polygoner P inskrivna i enhetscirkeln, och P betyder area av polygonen P. Enhetscirkelns omkrets ges av sup P M där d i betecknar sidlängderna i en godtycklig polygon P, och enligt våra betraktelser för en godtycklig sidlängd d följer att detta supremum är lika med i d i sup 2 P = 2π. P M Arkimedes använde sig av regelbundna inskrivna och omskrivna n-hörningar för att uppskatta talet π. Låt oss betrakta inskrivna och omskrivna 3 2 n -hörningar, n 1 till enhetscirkeln, och låt p n respektive q n beteckna areorna till en sådan 3 2 n hörning. Man kan lätt visa att följden p n är växande (följden är också uppåt begränsad av π) och följden q n är avtagande (och nedåt begränsad), samt att p n < q n för alla n 1. Båda följderna är alltså konvergenta. Vi skall senare visa att båda följderna konvergerar mot det gemensamma gränsvärdet π. För att beräkna p n och q n använde vi oss av återigen av figur 6.1. Vi börjar med att beskriva den inskrivna månghörningen. För att få dess area använde vi oss av areasatsen och eftersom vi utgår från enhetscirkeln(r = 1) blir dess area 2π n sin( 3 2 ) p n = 3 2 n = 3 2 n 1 sin(2 1 n π/3). 2 För den omskrivna månghörningen med lika många sidor delade vi tårtbiten med en bisektris som får längden 1. Med hjälp av tangens räknade vi ut arean för halva tårtbiten och får då att den totala arean för den omskrivna månghörningen blir ( π ) q n = 3 2 n tan 3 2 n = 3 2 n tan(2 n π/3). Dessa formler kan nu användas för att härledda ett rekursivt sätt för att approximera π. 133

134 Sats 1. p 1 = 3 3/2, q 1 = 2 3, p n+1 = p n q n, n = 1, 2,..., q n+1 = 2/(1/p n+1 + 1/q n ), n = 1, 2,... p = lim p n = π, q = lim q n = π. Bevis. Att p 1 = 3 3/2 och q 1 = 2 3 följer direkt av att ta n = 1 i formlerna för p n och q n För att bevisa det tredje påståendet gjorde vi följande ( ) 2π pn q n = 3 2 n 1 sin 3 2 n 3 2 n sin ( ) π 3 2 n cos ( ) π = 3 2 n ( π ) ( π ) n sin n = 3 2 n sin 3 2 n = p n+1 Det sista påståendet i satsen bevisade vi på följande sätt: 2/(1/p n+1 + 1/q n ) = / ( ) n sin ( 1 ) π n tan ( ) π = 2 n 3 2 n 3 2 n sin ( π 3 2 n ) ( 1 + cos ( π 3 2 n )) /2 = 3 2 n+1 sin ( ) π 3 2 n+1 cos ( ) π = 3 2 n+1 tan 3 2 n+1 / 1 + cos ( π 3 2 n sin ( ) 2π 3 2 n+1 cos ( ) 2 π = 3 2 n+1 ( π ) 3 2 n n ) 3 2 n sin ( π 3 2 n ) = = q n+1. Vi kan slutligen visa att båda följderna konvergerar mot π, dvs. p = lim p n = n π samt q = lim q n = π. Av rekursionsformeln för p n+1 följer, om vi låter n n, att p = pq vilket ger p = q. Nedan visar vi att p = π: ( π ) [ lim p n = lim 3 2n sin n n 3 2 n = x = 1 ] 3 2 n, x 0 = lim π sin(πx) = π x 0 πx 134

135 6 Kul fakta Talet π är något som har förundrat människan i århundraden. Tusentals matematiker världen över har genom alla tider kämpat med det ändlösa problemet att finna så många decimaler till π så möjligt, en och annan har till och med fått sätta livet till. När den store grekiske matematikern Arkimedes stod och ritade cirklar i sanden blev han dödad av en romersk soldat efter att upprört uppmanat denne att se sig upp med var han trampade. Rubba inte mina cirklar! blev de sista ord som den tidens klokaste man uttalade. 6.1 Buffons nål Den franske greven de Buffon beskrev 1777 en metod att räkna ut π på som går ut på att man upprepade gånger kastar en pinne på golvet och låter slumpen göra jobbet. Det enda som krävs är att pinnens längd är lika stor som golvbrädans bredd. Allt man sedan behöver göra är att räkna hur många gånger pinnen kastas och hur många gånger den hamnar över en brädspringa. Multiplicera det första talet med 2 och dela sedan resultatet med det andra talet, svaret kommer då att ge ett närmevärde på π förutsatt att man kastat pinnen tillräckligt många gånger. Det krävs dock att man har väldigt mycket tid på sig, för att få ett värde med tre siffrors noggrannhet måste man kasta uppåt tio tusen gånger. Hur kan det då komma sig att π kan beräknas på detta sätt? Förklaringen har att göra med vilken vinkel, q, mot springan som pinnen hamnar, denna kan variera mellan 0 och π, samt hur stort avståndet D från pinnens mitt till närmaste springa är. Avståndet kan variera mellan 0 och 1/2. För att pinnen ska hamna över en springa måste D vara mindre eller lika med 1 2 sin q. Det färgade området i grafen nedan visar för vilka värden detta kan inträffa medan hela rektangeln beskriver alla tänkbara utfall. Figur 3: Uppställning och utkast 135

136 Sannolikheten att pinnen ska hamna över en springa ges då av kvoten mellan hur många gånger pinnen korsar en springa och hur många gånger den kastas, alltså ( π ) ( ) 1 1 sin qdq / 2 2 π = 1/ π 2 = 2 π. 0 Detta ger att 2/ (sannolikheten att pinnen hamnar över en springa) kommer att ge ett värde på π, dvs antalet kast multiplicerat med 2, dividerat på antalet träffar. 6.2 Rekord Tävlingen om att räkna ut flest decimaler på π har pågått flera hundra år. Från att ha legat på 14 decimaler år 1430 har man idag kommit upp i decimaler, ett rekord som säkert kommer att slås flera gånger om. Att toppa listan tycks för många ha blivit en livsuppgift, men det är inte alltid det slutar lyckligt. År 1873, när rekordet låg på omkring 200 lyckades en matematiker vid namn William Shanks finna hela 707 decimaler, och som en sista önskan fick han dessa inristade i sin gravsten. Tråkigt nog visade det sig senare att han hade gjort ett räknefel vilket innebar att de 180 sista decimalerna var fel... Om kampen att finna nya decimaler verkar för svår går det även att tävla i att memorera decimaler. Rekordet här ligger på 67,890 decimaler och det tog rekordinnehavaren Chao Lu drygt ett dygn att recitera alla decimalerna. För den som vill komma igång och börja lära sig åtminstone några stycken decimaler finns det många minnesknep att ta till som hjälper en på traven, däribland en ramsa på engelska som går: How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lecture involving quantum mechanics. All of thy geometry, Herr Planck, is fairly hard... och så vidare. Antalet bokstäver i orden ger siffran de olika decimalerna. Frågan är dock om det då inte är lättare att lära sig siffrorna istället för att tänka ut hur många bokstäver varje ord innehåller. 6.3 Magin bakom talet π Talet π förekommer i väldigt många sammanhang, det tycks dyka upp när man minst anar det. Bland annat ingår π i den matematiskt vackra ekvationen e iπ + 1 = 0 som förutom π innehåller både e och i som tillsammans med π utgör matematikens viktigaste konstanter. Siffrorna 1 och 0 är dessutom de två grundläggande talen från vilka alla andra tal kan bildas. Ja, det tycks nästan vara något magiskt bakom π, vilket kanske är anledningen till att talet fått så mycket uppmärksamhet. 136

137 Det har skrivits böcker endats bestående av decimaler till π, gjorts sånger och till och med en film med namnet π. Men det slutar inte här. Den 14 mars firas varje år den internationella π-dagen, då nördar över hela världen äter paj och reciterar decimaler. Den 22 juli, alltså den 22/7, som för övrigt är en bra approximation av pi, kan också ses som något av en högtid av de mest fanatiska anhängarna. Huruvida det finns någon magi med talet tåls att diskutera men det råder inga tvivel om att π är ett tal med stor betydelse. 137

138 Referenser [1] Anker Tiedemann. Talens magi lustläsning för talfreaks Berghs förlag AB 1999 [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] chber/kurser/lsmac2/daniela%20s.pdf [11] [12] [13] 138

139 Slumpvandring Matematisk kommunikation Anders Persson, Johan Hedberg Anders Dahlin, Fredrik Svensson 18 maj 2009 Innehåll 1 Sammanfattning Inledning Historik Essentiella begrepp Stokastisk process Markovkedja Exempel 1 - meteorologi Slumpvandring Exempel 2 - råttan i buren Exempel 3 - Hemfärd från krogen Exempel 4 - Indiana Jones i trubbel Slumpvandring i R Fördelning vid slumpvandring i R Källförteckning

140 1 Sammanfattning Denna rapport behandlar slumpvandring sett ur ett matematiskt perspektiv. Rapporten ger en kort historisk notis vad gäller viktiga upptäckter inom ämnet följt av viktiga begrepp såsom vad en stokastisk process och en markovkedja är. Med hjälp av exempel förklaras hur olika slumpvandringar beskrivna av markovkedjor utvecklas med tiden. Slutligen behandlas en slumpvandring i R 1 ; hur långt från startläget vi kan förväntas benna oss efter given tid samt hur fördelningen ser ut. Figur 1: Ett exempel på slumpvandring 140