Kvadratiska former. Betydelse. Definition

Transkript

1 Kvadratiska former Definition Definition En kvadratisk form i 2 variabler är ett polynom i 2 variabler av typen q (x, y) = ax 2 + bxy + cy 2, a, b, c konstanter Definition 2 En kvadratisk form i 3 variabler: q (x, y, z) = ax 2 + bxy + cxz + +dy 2 + eyz + fz 2 a, b, c, d, e, f konstanter Definition 3 En kvadratisk form i n variabler: q (x) = nx a jk x j x k j,k= där x = (x,x 2,..., x n ) Anm. Polynom i flera variabler där alla termer har samma gradtal, som t.ex. p (x, y, z) =4x 5 + x 3 y 2 7xy 4 ( sammanlagda gradtalet räknas!) kallas homogena polynom. Därför skulle man kunna säga: en kvadratisk form är ett homogent polynom av grad 2 Definition 4 Homogena polynom av grad som t.ex. kallas linjära former. 2x +5y 3z Betydelse Varför är (linjära och) kvadratiska former intressanta? På samma sätt som y = x 2 är den näst viktigaste funktionen efter y = kx, så är de kvadratiska formerna näst viktigast efter de linjära formerna, när det gäller funktioner R n R. En huvudidé med differentialkalkyl är att deriverbara funktioner kan lokalt approximeras med sin tangent: f (x) f (a)+f (a) (x a) då x a Om funktionen är 2 gånger deriverbar kan man få ännu noggrannare approximation med ett andragradspolynom : f (x) f (a)+f (a) (x a)+ 2 f (a) (x a) 2 (specialfall av Taylors formel) Motsvarigheten för en funktion av 2 variabler är För små h, k är f (a + h, b + k) f (a, b)+ +f (a, b) h + f2 (a, b) k + + f (a, b) h 2 +2f2 (a, b) hk + f22 (a, b) k 2 2 Högerledet är ett uttryck av formen konstant + + linjär form i h, k + + kvadratisk form i h, k Om vi vet hur linjära och kvadratiska former uppför sig, så vet vi ungefär vad en godtycklig olinjär funktion gör lokalt. (Homogena polynom av grad 3 som t.ex. x 3 +3x 2 y y 3 skulle kunna kallas ternära former, men förekommer sällan.)

2 Matrisbeskrivning Matrisräkning visar att x x 2 x 3 a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 y y 2 a 3 a 32 a 33 y 3 = a x y + a 2 x y 2 + a 3 x y 3 + a 2 x 2 y + a 22 x 2 y 2 + a 23 x 2 y 3 + +a 3 x 3 y + + a 32 x 3 y 2 + a 33 x 3 y 3 och analogt i andra dimensioner än 3. En kvadratisk form kan därför representeras med en matris. Om n =3, q (x, y, z) = ax 2 + bxy + cxz + +dy 2 + eyz + fz 2 = x y z a b/2 c/2 b/2 d e/2 x y c/2 e/2 f z På samma sätt i n variabler, med x x = x 2... x n q (x) = x t Qx med Q symmetrisk q,q 22,..., q nn ger koeff. framförx 2,x 2 2,..., x 2 n q ij = q ji q ij + q ji ger koeff. förx i x j då i 6= j Det finns andra möjligheter för Q-matrisen, men konventionen är att använda symmetrisk Q, ochdåärmatrisenentydigtbestämd.. Skriv på matrisform de kvadratiska formerna (a) (b) x 2 +3x x 2 3 2x x 2 + x x 3 +4x 2 x 3 Svar: x x 2 x 3 b) x x 2 x 3 x x 2 + x 2 x 3 + x 3 x /2 3 2 /2 2 4 /2 /2 /2 /2 /2 /2 x x 2 x 3 x x 2 x 3 2. Om man seriekopplar n st. identiska fjädrar med fjäderkonstant k och inför x,x,x 2,..., x n = ändpunkternas avvikelser från resp. jämviktsläge, så att förlängningen (räknat med tecken) av fjäder nr. j ges av x j x j, så blir den totala potentiella energin för systemet nx V = 2 k (x j x j ) 2 j= en kvadratisk form i (x,x,..., x n ). Vilken matris representerar denna form? Svar: k Inlämningsuppgift till den 25/9 Varje vektor x =(a,a 2,..., a n ) bestämmer ett polynom p x (t) =x + x 2 t + x 3 t x n t n Funktionen f (x) = Z p 2 x (t) dt blir då en kvadratisk form i a och kan representeras med en symmetrisk n n-matris H n Vad är H n? f (x) =x T H n x 2

3 Basbyte Om vi i polynomet q (x,x 2 ) = x x 2 µ /2 som motsv. av Q = /2 Diagonalisering Definition 5 Atthittaettvariabelbytesomöverför matrisen för en kvadratisk form till en diagonalmatris, S T QS = diagonalmatris, gör variabelbytet så transformeras q till x = bx + bx 2 x 2 = bx bx 2 bq = bx 2 bx 2 2 µ som motsv. av bq = Vi tänker på polynomen q och bq (resp. Q och bq) som två olika beskrivningar av en och samma funktion på R n :en och samma kvadratiska form ger upphov till olika polynom/matriser beroende på hur man väljer bas i R n så vi använder i fortsättningen samma bokstav q för alla polynom som kan överföras i varandra genom ett linjärt variabelbyte av ovanstående typ. Allmänt: Under ett linjärt variabelbyte transformeras ett homogent polynom av grad 2 tillettannathomogent polynom av grad 2. Hur transformeras matrisen för en kvadratisk form vid ett linjärt koordinatbyte? q (x) = d bx 2 + d 2 bx d n bx 2 n för några reella tal d,d 2,..., d n kallas att diagonalisera den kvadratiska formen. 4. Kontrollera att matriserna µ S = µ 2 S 2 = 2 2 båda diagonaliserar den kvadratiska formen q (x, y) =x 2 +2xy + y 2 Kvadratiska former kan (till skillnad mot linjära avbildningar) alltid diagonaliseras! Minst två diagonaliseringsmetoder är tänkbara: Om x = Sbx, så x T Qx = bx T S T QSbx d.v.s. Q övergår i S T QS. (Obs. Underförstått vid koordinatbyten, är att S existerar, så att till varje x svarar ett precis ett bx, och tvärtom.) Jämför transformationsformeln för kvadratiska former med den för linjära avbildningar: linjära avbildningar : A övergår i S AS kvadratiska. former : Q övergår i S T QS 3

4 Med kvadratkomplettering Varje kvadratisk form kan diagonaliseras med kvadratkomplettering, se Persson&Böiers, Analys i flera variabler, sid.9-9. Exempel: 3x 2 +2y 2 +3z 2 2xy 2yz samla föst alla termer som innehåller x = 3 µx 2 23 xy +2y 2 2yz +3z 2 = µ = 3 x 2 µ 2 3 y 3 3 y +2y 2 2yz +3z 2 = titta nu på resterande termer som innehåller y µ = 3 x 2 3 y y2 2yz +3z 2 = 5 yz +3z 2 = µ = 3 x 2 3 y + 5 µ y z 3 5 z2 +3z 2 = µ = 3 x 2 3 y + 5 µ y µ = 3 x 2 3 y + 5 µ y z z2 Kvadratkompletteringsräkningarna visar sig allmänt vara identiska med Gausselimination utan rad- eller kolonnbyten : addera (ekv ) till ekv /3 3 addera 3 (ekv 2) till ekv /3 2/5 Nu är diagonalelementen 3, 5/3, 2/5 precis de koefficienter som skall stå framför kvadraterna efter kvadratkompletteringen! Koordinatbytet bx = x 3 y by = y 3 5 z bz = z överför överför 3x 2 +2y 2 +3z 2 2xy 2yz i 3bx by bz2 4

5 Med ON-koordinatbyte Kvadratiska former kan alltid diagonaliseras med ett ortonormerat koordinatbyte! Följer av spektralsatsen: Eftersom Q är symmetrisk, så finns en ortogonal S, sådan att S QS = diagonal med Q:s reella egenvärden λ,..., λ n i diagonalen. Men S ortogonal S = S T 5. Bestäm ett ortogonalt koordinatbyte som överför den kvadratiska formen q (x, y) =x 2 +4xy 2y 2 på diagonalform. Ange även diagonalformen. Ett möjligt svar: µ x y = 5 µ 2 2 q (bx, by) = 2bx 2 3by 2 µ bx by 6. Antag att Q är symmetrisk och alla dess egenvärden är lika, = λ. I så fall måste det gälla att Q = λi varfördet? Kan samma slutsats dras, om Q inte är symmetrisk? Klassifikation Kvadratiska former indelas i positivt definita : q (x) >, för alla x 6= positivt semidefinita : q (x), för alla x, men med likhet för ngt x 6= negativt definita negativt semidefinita indefinita såväl q (x) > som q (x) < inträffar 7. Ibland kan typfrågan avgöras direkt ur definitionen. Matriser av typ A T A är positivt semidefinita, eftersom x T A T Ax = (Ax) T (Ax) = (längden av vektorn Ax) 2 = = Ax 2 för alla x Typindelningen kan relateras till frågan om vad egenvärdena till Q har för tecken : positivt definit alla egenvärden är > positivt semidefinit alla egenvärden är och är ett egenvärde negativt definit alla egenvärden är < negativt semidefinit alla egenvärden är och är ett egenvärde indefinit såväl positiva som negativa egenvärden För att avgöra typ räcker det med kvadratkomplettering. Definition 6 Mankallarensymmetriskmatris positivt definit, positivt semidefinit, etc., om motsvarande kvadratiska form är av resp. typ. M.a.o.: n n-matrisen A kallas positivt definit, om x T Ax för alla x 6= 5

6 Tröghetsindex & tröghetslagen Ännu precisare uttalanden är möjliga: Anta att i någon bas. Definiera q (x) =d x 2 + d 2 x d n x 2 n σ + = antalet positiva tal bland d,d 2,..., d n σ = antalet negativa tal bland d,d 2,..., d n (n σ + σ = antalet nollor bland d,d 2,..., d n.) Tröghetslagen för kvadratiska former säger att antalen σ + och σ är desamma oavsett hur diagonaliseringen gått till Obs! Själva talen d,d 2,..., d n blir i allmänhet olika vid olika diagonaliseringar det är deras tecken som (löst uttryckt) håller sig konstant i ovannämnda mening. En ekvivalent karaktärisering av talen σ + och σ, som visar att de enbart beror på den kvadratiska formen q i sig och inte på basvalet: σ + = den största möjliga dimensionen av ett underrum på vilket q är positivt definit σ = den största möjliga dimensionen av ett underrum på vilket q är negativt definit T.ex. är q (x, y, z) =x 2 +2y 2 3z 2 positivt definit på det 2-dimensionella underrmmet z =, men inte på hela R 3, därför σ + =2. Den är negativt definit på underrummet x = y =, men inte på något större underrum, därför σ =. Definition 7 Talparet kallas tröghetsindex för q. (σ +, σ ) Spektrumklyvning I och med att en möjlig diagonalisering är med ON-bas av egenvektorer till Q, vilket leder till att d k :na = egenvärdena λ k till Q så kan kvadratkomplettering/gausselimination utnyttjas till att bestämma antalet egenvärden i ett givet intervall (a, b): Förutsätt att inga egenvärden råkar vara = a eller b. Kvadratkomplettera Q ai och räkna antalet kvadrater med + = antalet egenvärden >a Gör på samma sätt med Q bi. Differensen mellan de erhållna antalen ger antalet egenvärden i intervallet (a, b). Kvadratkompletteringen kan göras effektivt med Gausselimination. 8. Låt A = Avgör med ovan skissade metod hur många egenvärden A har i intervallet [.5, 2.5] Kontrollera med Matlab. 9. Visa att alla egenvärden till n n-matrisen (nollor överallt utom i och strax under och över diagonalen) är negativa, genom att betrakta motsvarande kvadratisk form. 6

7 Lösning: Matrisen svarar mot den kvadratiska formen 2x 2 2x x 2 n +2x x 2 +2x 2 x x n x n Försök att skriva om som en summa av kvadrater: x 2 (x x 2 ) 2 (x 2 x 3 ) 2 (x 3 x 4 ) 2... (x n x n ) 2 x 2 n och likhet kan inträffa endast när alla x j =. Alltså är den kvadratiska formen negativt definit, vilket betyder att alla egenvärden måste vara negativa.. Låt a vara ett givet reellt tal och sätt a A = n Visa att den symmetriska matrisen A har högst ett negativt egenvärde. Visa också att för stora värden på n har A precis ett negativt egenvärde. (Betrakta den till A hörande kvadratiska formen.) Lösning: Den kvadratiska formen är ax 2 +2x x 2 +2x x x x n +2x x nx 2 n Para ihop kvadraterna på andra raden med var sin dubbla produkt och kvadratkomplettera, så kan summan skrivas Efter variabelbytet ax x 2 x 2 +2x x 2 x 3 +2x n x 2 x n +2x n n = ax x 2 + x x x 3 + x x n x n + x 2 n n x2 + µ = a x 2 n +2 x 2 + x x 3 + x n x n + x 2 n bx = x bx 2 = x 2 2 x bx 3 = x 3 3 x... bx n = x n n x har vi alltså en summa av kvadrater, där minst n st. har positiva koefficienter. Enligt tröghetslagen hade vi fått lika många positiva/negativa koefficienter, om vi diagonaliserat med egenvektorer. Då skulle koefficienterna varit = egenvärdena. Alltså: A har minst n positiva egenvärden, högst negativt. För tillräckligt stora n blir a n < För dem har vi exakt negativt egenvärde, resten positiva. 7

8 . Inlämningsuppgift till den 25/9. Låt a varaettreellttal>. och n ett positivt heltal. Vad kan du säga om tecknet på egenvärdena till matrisen A n = n... a genom att kvadratkomplettera den kvadratiska form på R n som definieras av A n? Kontrollera några specialfall med dator! Andragradskurvor Wahde, kap.5.7 En kurva i planet som, med lämpligt val av ON-koordinatsystem, kan beskrivas av en ekvation av formen x 2 a 2 + y2 b 2 =, a,b konstanter, kallas ellips x 2 a 2 + y2 b 2 =, a,b konstanter, kallas hyperbel y = ax 2,akonstant, kallas parabel (Persson&Böiers: Analys i flera variabler, sid.9-2.) Gemensamt namn för dessa är andragradskurvor, ioch med att uttrycken består av termer av grad 2 i x och y. Men hur ser t.ex. kurvan 2x 2 4xy +5y 2 = ut? (Den borde också klassificeras som andragradskurva.) 2. Visa att vänsterledet kan skrivas som en matrisprodukt: 2x 2 4xy +5y 2 = x y µ µ α β x β γ y µ α β Kalla för A. β γ (Genom att kräva att A är symmetrisk, blir A entydigt bestämd, annars finns oändligt många möjligheter.) Räkna ut α, β och γ. Svar: µ 2 2 A = Vad händer nu om vi gör ett ortogonalt koordinatbyte (vrider och/eller speglar koordinataxlarna): µ µ x x = P y y P ortogonal 2 2 matris Matrisprodukten i högerledet ovan övergår då i µ bx by ba bx by =...bx bxby +...by 2 medenviss2 2-matris A b Hur får man ba ur matriserna ba och P? Svar: ba = P T AP 8

9 4. Tittapåsats5. i Wahde hur skulle man kunna välja P för att bxby-termen skall försvinna? Svar: Låt en ON-bas av egenvektorer till A utgöra kolonnerna i P. (Möjligt, enligt spektralsatsen för reella symmetriska matriser.) Då är P T = P µ P T AP = P λ AP = λ 2 λ, λ 2 = egenvärdena till A 5. Genomför räkningarna i det konkreta exemplet. Hur ser vår kurva ut? Svar: Egenvektorer är (, 2) med egenvärde 6 (2, ) med egenvärde (Notera att dessa är ortogonala.) Tar vi dessa riktningar till nya koordinataxlar så antar ekvationen formen 6bx 2 + by 2 = d.v.s vi har en ellips med halvaxlar / 6 och : Wahde, övn a)-d) Andragradsytor Wahde, kap.5.7 Låt q vara en kvadratisk form R 3 R och c en fix konstant. För ett givet val av origo betraktar vi mängden av punkter P vars ortsvektorer u = OP uppfyller q (u) =c Enligt diagonaliseringssatsen finns en ON-bas ˆx, ŷ, ẑ sådan att ekvationen blir av formen Följande fall kan inträffa: λ, λ 2, λ 3 > λ, λ 2 >, λ 3 < λ ˆx 2 + λ 2 ŷ 2 + λ 3 ẑ 2 = c c> : ellipsoid ˆx-, ŷ-, ẑ-axlarna kallas ellipsoidens huvudaxlar c = : en punkt, (,, ) c< : mängden är tom c> : enmantlad hyperboloid (Tänk på att skärningarna med planen ˆx =samt ˆx 2 = är hyperbler.) Om λ = λ 2 är ytan rotationssymmetrisk kring ˆx 3 -axeln och kallas därför rotationshyperboloid c = : kon c< : tvåmantlad hyperboloid (Hyperbelgrenarna är nu vridna 9 jämfört med fallet c>.) Övriga fall, där alla λ j 6=, återföres på föregående genom multiplikation med. λ 3 = Ytan genereras av en andragradskurva som translateras parallellt med ˆx 3 -axeln. samt några urartningsfall. 9

10 Allmänna andragradsytor Definieras av en ekvation av formen nx a jk x j y k + j,k= nx b i x i = c i= Efter ett ortonormerat koordinatbyte x = Tˆx som överför q på diagonalform fås nx λ iˆx 2 i + i= i= nx ˆb iˆx i = c i= Om alla egenvärden λ i 6=, kan man kvadratkomplettera: Ã nx λ i ˆx i + ˆb! 2 i = c 2λ i Efter förflyttning av origo til punkten ˆb 2λ, ˆb 2 2λ 2, ˆb 3 2λ 3 har vi alltså samma typ av ekvation som ovan. Om däremot något egenvärde är =, t.ex. λ 3 =fås λ ˆx 2 + λ 2ˆx ˆb 3ˆx 3 = c, ˆb3 6= samt några urartningsfall. 7. Wahde, övn e)-i) (Du kan också titta på nedanstående lösta exempel först.) 8. Beskriv den yta i R 3, som definieras av ekvationen 3x 2 +3y 2 +2z 2 +2xz +2yz =? För att spara tid, får du egenvektorer till den relevanta matrisen (Vilken är den? Hur kontrollerar du att informationen är riktig?) (,, ) med egenvärdet 4 (,, ) med egenvärdet 3 (,, 2) med egenvärdet Lösning : Matrisen som svarar mot den kvadratiska formen i vänsterledet är Det är den som har ovannämnda egenvektorer, t.ex. är 3 3 =4 2 Som förväntat från spektralsatsen, är egenvektorerna sinsemellan ortogonala: (,, ) (,, ) =, etc. Väljer vi ett koordinatsystem med samma origo, men med de nya ˆx-, ŷ-, ẑ-axlarna pekandes i ovannämnda egenvektorers riktning, så antar ekvationen formen 4ˆx 2 +3ŷ 2 +ẑ 2 = En ellipsoid med halvaxlar /2, / 3 resp. :

11 9. Beskriv den yta i R 3 som definieras av ekvationen 2xy +2xz +2yz = Den relevanta matrisen har egenvektorerna (,, ) med egenvärdet 2 (,, ) och (,, ) med egenvärdet är en tvåmantlad hyperboloid och bestäm dess symmetriaxlar. Lösning: Matrisen svarande mot den kvadratiska formen i vänsterledet är Resonemang som i föregående. Efter införande av nya koordinataxlar som pekar i egenvektorernas riktning ser ekvationen ut så här: 2ˆx 2 ŷ 2 ẑ 2 = En s.k. tvåmantlad rotationshyperboloid. Ytan fås genom att rotera hyperbeln 2ˆx 2 ŷ 2 =kring ˆxaxeln. (I och med att ŷ och ẑ förekommer enbart i kombinationen ŷ 2 +ẑ 2 =(avståndet till ˆx-axeln) 2 så blir ytan rotationssymmetrisk kring ˆx-axeln. Hade vi haft olika positiva koefficienter framför ŷ 2 resp. ẑ 2, hade vi sagt: tvåmantlad elliptisk hyperboloid.) Bestäm typ och symmetriaxlar för den yta som definieras av Lösning: Vänsterledet kan skrivas x 2 + yz = x (y + z)2 (y z)2 4 Med kvadratkomplettering går det alltid att avgöra ytans typ, däremot inte, i allmänhet, symmetriaxlarnas riktningar. Men här är det så enkelt att basbytet ˆx ŷ = x y ẑ z är ortogonalt, om än ej normerat. För normering dividera rader 2 och 3 med 2. Obs. att matrisen är inversen (och alltså efter normering: transponatet) till den matris som innehåller de nya basvektorerna som kolonner. De nya axlarna ˆx, ŷ, ẑ har alltså riktningarna (,, ) (,, ) (,, ) Ytan är en enmantlad hyperboloid. 2. Bestäm typ och symmetriaxlar för x 2 +2xy +2xz = har egenvektorerna (,, ) med egenvärde (2,, ) med egenvärde 2 (,, ) med egenvärde Alltså en hyperbolisk cylinder.

12 22. Låt A =(a jk )=matrisen för ortogonal projektion på ett plan π genom origo i R 3. Karaktärisera ytan Lösning: Låt 3X a jk x j x k = j,k= e,e 2 = två sinsemellan ortogonala vektorer som spänner upp π e 3 = enhetsnormal till π Då är {e,e 2,e 3} en ON-bas av egenvektorer till projektionsmatrisen A. Egenvärdena är, resp.. I denna bas antar ytans ekvation formen bx 2 + by 2 = d.v.s. vi har en cylinder med radie och planets normallinje genom origo som axel. Samtidig diagonalisering 23. Givet två kvadratiska former i n variabler, med matriser K och M, så är det ibland önskvärt att kunna diagonalisera dem samtidigt, d.v.s. hitta inverterbar S så att S t KS och S t MS båda är diagonala I ett viktigt specialfall är detta alltid möjligt: Om den ena av dem, säg M är positivt definit (se nedan). visar sig fungera som vanlig diagonalisering, fast med M i stället för enhetsmatrisen I : Bestäm nollställena till det (K λm) För varje nollställe λ j : Bestäm icke-trivial lösn. s j till (K λ j M) s j = s j :na bildar kolonnerna i S 2

13 Max- och minprinciper Givet en symmetrisk matris A, oavsett varifrån den kommer (och symmetriska matriser dominerar i tillämpningarna!), så kan man få intressant information om matrisen och speciellt dess egenvärden, genom att betrakta motsvarande kvadratiska form x T Ax 24. Wahde, övn Låt Q vara en symmetrisk matris. Visa att följande två problem har samma lösning: i) Bestäm x T Qx min x6= x T x samt de x för vilka minimum antas. ii) Bestäm minsta egenvärdet till Q samt motsvarande egenvektorer. Störningsanalys 26. Betrakta det linjära ekvationssystemet Ax = b där A är en n n matris, x och b kolonnvektorer En naturlig fråga i sammanhanget är: Om man ändrar högerledet b lite grann, kommer då också lösningen x att ändras lite eller kan den bli helt annorlunda? Säg nu att b ändras till b+δb och attx då ändras till x+δx (δb och δx är alltså kolonnvektorer av samma dimension som b och x). Ett sätt att precisera frågan är då följande: Är kvoten relativ ändring i x relativ ändring i b δx / x = δb / b liten eller stor? varvid (x,x 2,..., x n ) = q x 2 + x x2 n Man kan då visa att det till varje matris A finns ett minsta tal - betecknas kak, med egenskapen att Ax kak x, för alla kolonnvektorer x Visa att (om vi antar att inversen existerar) δx / x δb / b kak A 27. Som föregående uppgift, men i stället för att ändra högerledet ändrar vi lite grann på koefficienterna imatrisena : matrisen ändras till A + δa, ochlösningen ändras då till x + δx. I analogi med ovan betraktar vi kvoten Visa att denna är δx / x δa / A. kak A Med. menar jag att man får försumma vissa små termer. 3

14 Definition 8 Talet kak A Program för den närmaste framtiden: kallas konditionstalet för matrisen A och är alltså ett mått på hur känsligt ekvationssystemet i värsta fall kan vara för störningar i indata. En allmän tumregel: matriser med stort konditionstal skall man akta sig för, när det gäller numeriska beräkningar! OBS! Egentligen kan man tänka sig oändligt många andra sätt att mäta vektorers storlek vi återkommer till detta senare. Därför kan man definiera oändligt många andra normer och varje norm leder till ett konditionstal. Ovan har vi det vanligaste norm-2-konditionstalet. MATLAB: cond. 28. Visa att q kaxk kak =max x6= kxk = λ max (A T A) där λ max A T A betecknar största egenvärdet till A T A. Tisdag den 25/9 och fredag den 28/9 : Kommer jag att gå in mer på differentialekvationer. Repetera hur man löser differentialekvationer med Laplacetransformering. (Glöm inte övn. på sid.3 i Linjär avbildningar-häftet.) Titta på integrerande faktor-metoden i envariabelanalysen: Persson&Böiers, Analys i en variabel, sid ). Lösning av differentialekvationer med anstas av partikulärlösning, liknande kap. 8.7 i Persson&Böiers ovan, kommer att dyka upp. Onsdag den 26/9 Övning kl. 8- OBS! (Är bortrest resten av onsdagen och hela torsdagen.) 29. Via att, om A är inverterbar, så är A = p λmin (A T A) 3. Visa att konditionstalet är för alla A med likhet då och endast då A är en skalär multipel av en ortogonal matris. 4