Lektion 1 ht Talsystem. Algebraisk räkning. Kvadratrötter. Mängder

Transkript

1 ÁÒ Ö ÙÖ Ò Ò Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ Ð ÙÖ ½ Ö Ã Å Ó Æ ÐÔ Ø ½ ¾¼½¼ Á Ö Ø Ð ÙÖ Ò Ò Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ ÒØÖÓ Ù Ö ØØ Ö Ø ØØ ÙÒ Ö Ö Ò ÚÒ Ò ÖÒ ÓÑ ÐÐ Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ñ ÖÙÔÔ Öº ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÑ ÙÖ Ð ØØ Ö ØÙÖ ÙÒ ÖÚ Ò Ò Ø Ö ÑºÑº ÒÒ ØØ ÑØ Ô ÙÖ ÔÖÓ Ö ÑÑ Øº ÀÖ ÓÑÑ Ö Ú ØØ Ö Ú ÙÖ ÙÒ ÖÚ Ò Ò Ñ ØÓ Ò ÙÒ¹ Ö Öº Ë Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ê Ò ÚÒ Ò ÖÒ ÓÑ ÒÒ Ô Ø ØÓÖ Ñ Ø ÝØ Ö Ò ÑÒ Ø ÐÐ Ð Ø ÓÒ Öº È ÐÐ Ð Ø ÓÒ Ö ÓÑÑ Ö ÙÒ ÖÚ Ò Ò Ò ØØ Ö Ú ÓÖÑ Ú Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ñ ÖÙÔÔ Ö ÓÑ ¹ ØÙ ÒØ Ö Ñ ÚÒ Ò Ð Ö Ò ÓÑ Ò Ð Ö º ÖÙÔÔ Ò ÐÒ Ò ÓÑÑ Ö ØØ ÙÒ Ö Ø Ö Ø ÚÒ Ò ¹ Ø ÐÐ ÐРغ Î Ö ÙÒ ÖÚ Ò Ò ÖÙÔÔ ØØ Ö Ø ÐÐ ÑÑ Ò Ò Ð Ø ÓÒ Ð Ó ÐÖ Ö Ò ÔÖ Ø Ö Ñ Ò ÖÙÔÔ Ø Øº ÈÐ Ò Ö Ò Ò Ú Ú Ö Ð Ø ÓÒ ØÖ Ú Ð Ø ÓÒ Ð Ñ Ò ØÖÙ Ø ÓÒ Ö ÓÑ Ú ÓÑ Ö Ô Ð Ø ÓÒ Òº ØØ ÐÐ Ö ØØ Ð ÚÒ Ò ÙÔÔ Ø Ö Ó ØØ ÖÙÔÔ ÙØ Ö Ö ÔÔ Ö Ð ¹ Ö Ò Ö Ó Ü ÑÔ Ð ÖÒ Ó Òº Ä Ø ÓÒ Ð Ò ÓÑÑ Ö ØØ Ð ÙØ ÖÚ Ó Ö Ø Ö ÒÒ Ø ÐÐ Ò Ð Ô ÙÖ Ñ Òº ÒÓÑ ØØ Ö Ø Ó ÙØ Ö Ø ÐÐ ÑÑ Ò ÖÙÔÔ Ò Ö Ò ÚÐ ÒÓÑØÒ Ø ÙÔÔ Ø Ö Ö ÐÖ Ò Ø Ô ØØ Ø ÚØ Øغ ØØ ÑÝ Ø Ö ØØ ØØ ÐÖ ÒÝ Ö Ö ØØ Ö Ö Ð Ö Ò Ø Ò Ö Ö Ò ÓÒ ÒÒ Òº ÄÖ Ö Ò ÓÑÑ Ö Ð Ø Ò ØØ Ú Ö Ð Ø ÓÒ Ð Ò ÖÙÒØ Ø ÐÐ ÖÙÔÔ ÖÒ Ó Ú Ö Ô Ö ÓÖº Ö ØØ ÖÙÔÔ Ö Ø Ø ÙÒ Ö Ö Ø ÑÝ Ø Ú Ø Ø ØØ Ñ Ò Ö Ö Ö Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ò Ô Ø Øغ Á Ð Ø ÓÒ Ð Ø Ö Ö Ò Ð Ø ÓÒ ÒÒ Ö Ö Ð ÒÚ Ò Ò Ö Ò Ö Ò Ø Ð Ø ÓÒº Ö ØØ ÖÙÔÔ Ö Ø Ø ÙÒ Ö Ø ÚØ ÖÚ Ö Ö Ð Ö Ú ÐÐ ÖÙÔÔ Òº È Ð Ø ÓÒ Ð Ø ÒÒ Ó Ò Ð Ø Ñ ÙÔÔ Ø Ö ÓÑ ÙÒ Ö Ö ÓÑ Ñ Ö Ø Ø ÐÐ Ò Ø Ð Ø ÓÒº Ì Ò Ò Ö ØØ ÖÙÔÔ Ù ÓÒ Ò ÙÒ Ö Ð Ø ÓÒ Ò ÙÒ ÖÐØØ Ö Ø Ø Ñ ÑÙÔÔ Ø ÖÒ ÒÓÑ ØØ Ñ Ò ÙØ Ö Ø ÒÓÑ ÐÐ Ú Ø ÑÓÑ Òغ Ø Ö Ó Ò Ø ÓÑ Ò Ö Ö ÙØ Ò Ö ÓÑÑ Ò Ö Ø Ö Ø ÓÑ Ò Ö Ñ Ð Øµ ØØ ÖÙÔÔ Ò ØÖ ÙØ Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ø Ó Ð Ö Ú Ò ÑÙÔÔ Ø ÖÒ Ñ Ò Ñغ ÇÑ ÚÒ Ò ÙÔÔ Ø Ö ØØ Ô Ò Ò Ó ÖÙÔÔ Ð ÓÐ Ð ÚÒ Ò ÙÔÔ Ø Ö Ö Ø Ø ØØ Ø ØØ Ø ÐÐ Ò Ñ Ø Ñ Ø º ÙØÚ Ð ÙÔÔ Ø ÖÒ Ô Ð Ø ÓÒ Ð Ò ÓÑ ØØ Ð Ñ Ò ÑÙÑ Ö ØØ Ø ÐÐ Ò ÙÖ Òº Ø Ö Ö Ö Ú Ø Ø ØØ Ñ Ò Ø Ö Ø Ò Ú Ö Ö Ò ÒÐÖÒ Ò Ó ØÖÒ Ö ÜØÖ ÑÝ Ø Ô ØÝÔ Ö Ú ÙÔÔ Ø Ö Ñ Ò ØÝ Ö Ö Ö ÐØ ÚÖ ÐÐ Ö ÒÒ Ö ØØ Ñ Ò Ú Ö ØÖÒ Ñ Ö Ôº Ø Ö ÑÝ Ø Ú Ø Ø ØØ Ð ÙÔÔ Ø ÖÒ ÙÒ Ö ÖÙ Ö Ò ÁÒ Ö Ò Ø Ð Ø ÓÒ º ÒÒ Ö Ð Ö Ø Ö Ð Ø Ö Ò ØÖÒ Ò º È Ñ Ò Ö ÖÒ ÓÑÑ Ö Ú ØØ ÒÓÑ Ó ÙØ Ö ØØ ÒØ Ð ÚÒ Ò ÙÔÔ Ø Ö Ö Ô Ö Ò Ú Ò ÒÒ Ðк ÙÔÔ Ø Ö Ö Ó Ø Ø Ò ÓØ ÚÖ Ö Ò Ð Ø ÓÒ ÙÔÔ Ø ÖÒ Ñ Ò Ö ÑÝ Ø Ú Ø ØÖÒ Ò Ø Ö ÓÑ ÒÒ ÐÐ Ö ÑÒ ÒØÖ Ð ÑÓÑ Òغ Ö Ö Ö ØØ ÑÒ Ú Ø Ö Ò ÒÓÑ ÙÔÔ Ø ÖÒ Ö Ñ Ò Ö Øº ÒÒ Ö ÓÑÑ Ò Ø ÓÒ ÐÐ Ö Ö ÐØ ÓÑ Ñ Ò Ø Ö Ô Ò ÓØ Ú Ö ØÝ Ò Ñ Ò Ö ÙÔÔ Ø ÖÒ Ö Ó ØÖÒ Ò Ô Ð Ø ÚÖ Ö ÙÔÔ Ø Öº Ç Ú ØØ ÓÑ Ñ Ò ÒÒ Ö Ð Ñ Ò Ö ÙÔÔ Ø ÖÒ ÒÒ Ò ÐÐ Ö Ö Ø Ú Ø Ø ØØ Ñ Ò ÐØ Ö Ô Ñ Ò Ö Ø Ó Ò Ð Ö ÙÔÔ Ð Ø ÙÔÔ Ø ÖÒ Ø Öغ

2 ÆÖÚ ÖÓ Ø Ö ÐÔÒ Ò Ø ÒÚÒ Ò Ò ËÑ ÖÙÔÔ ÖÒ Ö Ø Ö ØØ ÓÒØ ÒÙ Ø Ø Ö Ø Øº ÆÖÚ ÖÓÒ Ö ÒØ Ó Ð ØÓÖ Ñ Ò Ò ÒÖÚ ÖÓ ÖÚ Ö ØØ Ñ ØÓ Ò ÙÒ Ö Ö º ÍØ ÝØ Ø Ú Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ø Ö ÑÖ ÓÑ ÒØ ÐÐ ÖÙÔÔÑ Ð ÑÑ ÖÒ Ö Ñ Ð Ø Òº Ò Ñ Ð Ñ Ò ÖÙÔÔ Ö ÚÖØ ØØ Ö Ø ÐÐ Ù ÓÒ ÖÒ ÓÑ ÓÒ» Ò ÒØ Ö Ö Ö ØØ Ô ÑÑ ØØ ÓÑ ÚÖ º Ø ÙÒ Ö Ö Ò ØÙÖÐ ØÚ ÒØ ÐÐ Ö Ö ÓÑ Ò ÓÒ Ú ÖÙÔÔÑ Ð Ñ¹ Ñ ÖÒ ÐÔ Ö Ø Öº Ö Ö ØÐÐ Ö Ñ ØÓ Ò ÜØÖ Ö Ú Ô ØØ ÐÐ Ö Ö Ö Ó Ò Ö Ñ º ÆÖÚ ÖÓ Ó Ñ Ò ÑØ Ø ÑÔÓ Ö Ö ÑØ Ø Ø ÐÐ Ø ÖÖ Ò Ö Ö Ú Ö Ó Ò ØØ Ð Ö Ø ÒØ Ñ Ò Ó Ö ÐÐ Ñ Ö ÙØ ÝØ Ú Ð Ø ÓÒ ÖÒ º Ö ÓÔÔÒ Ò Ú ÓÑÑ Ö ÔÖ Ò ØØ ÙÔÔ ØØ ÓÑ ÔÓ Ø Úº ØØ Ö Ø ØØ ÑÒØ Ø ÑÔÓ ÙÒ Ö Ð ÙÖ Ò Ö ÜØÖ Ú Ø Ø ÙÖ Ö Ñ Ø Ñ Ø Ø Ö ÓÑ Ø Ñ Ø Ú ÒÒ ÐÐ Ø Ý Ö Ô ØØ Ñ Ò Ø ÐÐ Ó Ó ÓÖØ Ø Ö ÙÖ ÑÓÑ Òغ ÌÓØ Ð Ö Ø Ø Ò ½ ¼ Ø ÑÑ Ö Ö Ò ÑÔÓÒ ÙÖ µ Ö ÙÖ Ò Ò Ð ÙÔÔ ØÖ Ð Ö ¹ Ñ Ð Ø Ñ Ö Ø ÙÒ Ö ÙÖ Ò Ò Ó Ø ÒØ Ñ Ò ÒÐ Ò Ò º Ò Ú Ö Ð Ö Ò Ò Ö ØØ Ø Ò Ö Ñ Ö Ø Ó Ø ÒØ Ñ Ò ÒÐ Ò Ò ÙØ Ö ÙÒ Ö ÐÚ Ö Ø Ø Òº ÒÒ Ö ÐÒ Ò Ö Ø Ø Ò ÝÒ Ø ÐÐ ÔÐ Ò Ö Ò Ò Ú ÙÖ Òº Á Ñ Ö Ø Ø Ò Ö ØØ Ö Ò ÑÙÔÔ Ø Ö Ó Ö Ö Ð Ö ÙÖ Ó Òº Ñ Ø ÓÒ Ò ÔÐ Ò Ö Ò Ò Ú Ð Ø ÓÒ ÖÒ Ö ØØ ÒÒ ÐÐ Ø Ú Ö Ð ÓÑ ÑÝ Ø Ö ØØ ÒÒ Ñ ÙÒ Ö Ò Ð Ø ÓÒ Ñ Ò ÓÑ ÖÙÔÔ Ò ÒØ ÒÒ Ö ÒÓÑ ÒÒ ¹ ÐÐ Ø Ö Ø Ú Ø Ø ØØ ØØ ÐÙØ Ö ÓÑ Ñ Ö Ø º ÇÑÚÒØ ÓÑ ÖÙÔÔ Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ø Ú Ö Ò Ñ Ò ÐÑÔÐ ØÚ Ö Ó Ñ Ñ Ö Ø Øº Ö Ð Ò Ò Ö È Ö Ð Ò Ò ÖÒ Ö Ú ÒÓÑ ÒÝØØ ØÓ º Ø Ö ÐØØ Ö ØØ Ò Ñ ÓÑ Ñ Ò ÙÑÑ Ø ÒÓÑ Ó Ò Ú Ö Ð Ò Ò Ò Ò Ð ÓѺ Á ÙÖ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ò Ñ Ò Ú Ð Ú Ò ØØ Ó Ò ÓÑ Ò Ð º Ë Ö Ë ØÖ Ò ÙÖ Ö Åµ Ò Ö Ý ÙÐ ÙÖ Ö Ã Ó Æµ ÁÒ Ö Ð Ø ÓÒ ½ Ä Ú Ö ØÐ Ø ÒÓÑ Ú Ò ØØ Ò ¼º½ ¼º¾ Ó ÔÔ Ò Ü º½º Ä Ò Ð Ò ÒÓ Ö ÒÒ Ö ÓÑ Ö Ö Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ ½ Ü ÑÔ Ð º µ Ü ÑÔÐ Ò ¹ º½½¹½ µ

3 Lektion 1 ht 2010 Talsystem Algebraisk räkning Kvadratrötter Mängder 1 Gå igenom och diskutera i grupp de exempel, som nämndes i Inför lektion 1 och som eventuellt ställt till 2 Talsystem: I kap. 0.1 redogörs för de olika talsystemen, som vi ska arbeta med. Kontrollera att alla i gruppen vet vad som menas med naturliga tal, hela tal, rationella tal, irrationella tal och reella tal. Ge gärna exempel! Lös uppgifterna 0.1 och 0.3a. (Den sista uppgiften har ett L framför sig. Det betyder att det finns en lösning till denna uppgift efter svaren.) 3 Algebraisk räkning: Det är kolossalt viktigt att behärska algebraisk räkning. Den används hela tiden vid formelhantering, ekvationslösning och härledningar och inte bara i matematik utan i alla sammanhang, där man arbetar med matematiska modeller. I den första uppgiften ska kvadreringsreglerna och konjugatregeln användas. Lös 0.4a. Ni får sedan träna mer på detta på de särskilda färdighetsträningsövningarna. I de följande uppgifterna ska uttryck faktoriseras. De ska alltså skrivas som produkten av polynom, och det är meningen att man ska ha så många faktorer som möjligt. De verktyg man kan använda är att bryta ut och att använda konjugat- och kvadreringsreglerna. Lös 0.8, 0.10 och Lös också 0.19ab, där man börjar med att faktorisera täljaren och nämnaren. Om man ska addera eller subtrahera bråk, så gör man först liknämnigt. Försök alltid hitta den minsta gemensamma nämnaren till de ingående bråken! Lös 0.17a, 0.19c, 0.20 och Lös också Om man ska multiplicera eller dividera bråk med varandra, så behöver man räknereglerna a b c d = ac bd och a b c d Lös 0.28 och = a b d c. 4 Kvadratrötter: Diskutera först definitionen av kvadratrot. Vad är det för skillnad mellan å ena sidan 4 och å andra sidan lösningen till ekvationen x 2 = 4? Varför vill man inte definiera 9 som ±3? För att få bort kvadratrötter ur nämnare kan man förlänga med nämnarens konjugatkvantitet. Lös För att klara nästa uppgift behöver man använda räkneregler för kvadratrötter. Se boken s. 14. Lös 0.34abc. Framför denna uppgift står ett T. Det betyder att det finns tips att läsa före svaren.

4 5 Mängder: I appendix B1, s kan man läsa om de begrepp och beteckningar som behövs i denna kurs. Lös uppgiften B.1. Inför lektion 2 A Lös uppgifterna 0.2, 0.3b, 0.11, 0.15, 0.21, 0.27a, 0.30 och B Läs översiktligt igenom avsnitten 0.3, 0.4 och 0.5 samt appendix B.2. C Läs sedan följande noggrannare som förberedelse inför lektion 2: Exempel 10 (s.17) Exempel 13 (s.20) Exempel 16 (s.23) Exemplen (s.26 27)

5 Lektion 2 ht 2010 Logik: implikation och ekvivalens Andragradsuttryck: kvadratkomplettering och ekvationslösning Rotekvationer: kvadrering och falska rötter Olikheter: introduktion av teckentabell Räta linjer: räta linjens ekvation och graf 1 Gå igenom och diskutera i grupp de uppgifter från Inför lektion 2 som eventuellt ställt till 2 Implikation och ekvivalens: Diskutera i gruppen betydelsen av symbolerna och. Titta på s i boken. Lös sedan uppgifterna B.2 och B.3a. 3 Kvadratkomplettering: Det är konsten att skriva om ett andragradsuttryck som en kvadrat + en konstant. Det får alltså inte finnas något x utanför kvadraten. Studera ex. 10 (s.17) i boken och lägg märke till hur man använder kvadreringsregeln baklänges". Denna omskrivning, som kallas kvadratkomplettering, kräver lite träning. Lös sedan uppgift Ett skäl att kvadratkomplettera är det då faktiskt blir möjligt att lösa ekvationer av typen x 2 + px + q = 0 Man kommer fram till en välkänd formel. Vilken? Lös sedan uppgift 0.44, antingen med hjälp av kvadratkomplettering eller med den färdiga formeln. Lös också 0.46a. 4 Rotekvationer: Ekvationer som innehåller rotuttryck kan man lösa genom att kvadrera både vänsterled och högerled. Gå igenom ex. 13 (s.20). Fastän ekvationen ger två lösningar (x = 8 och x = 3) är en av dessa falsk. Varför? En ledtråd kan ni få genom att lösa de båda uppgifterna 0.47a och 0.47b. Börja med att kvadrera bägge led och lös den andragradsekvation som uppkommer. Testa sedan era rötter genom att stoppa in dessa i respektive ekvation. Slutsats? 5 Olikheter: Börja med att lösa uppgift Man kan addera och subtrahera lika mycket på båda sidor om ett olikhetstecken. Man kan också multiplicera och dividera båda leden i en olikhet med positiva tal. Vid multiplikation och division med negativa tal kastas olikhetstecknet om. Testa själv att multiplicera olikheten 2 < 3 med ett negativt tal! Lös 0.51ad. Läs igenom ex. 16 (s.23). Varför löser man inte olikheten på följande sätt? x x 1 x (x 1) x2 + 1 x 1 (x 1)x x2 + 1 x 2 x x 1. Vad är felet? Studera nu teckentabellen i ex. 16 och försök att förstå vad den säger. Teckentabeller återkommer senare i kursen. Lös därefter uppgifterna 0.52 och 0.54.

6 6 Räta linjer: En rät linje (som inte är parallell med y-axeln) beskrivs med hjälp av ekvationen y = kx + m där k anger linjens lutning (riktningskoefficient) och m var linjen skär y-axeln (se s i boken). Lös uppgift I d)-uppgiften ser ekvationen inte ut som ovan. Varför? Vad har denna linje för lutning? Lös också 0.60a. Inför lektion 3 A B Lös uppgifterna 0.46b, 0.53, 0.55a, B.3b, och B.4. Läs appendix B.2 igen och försök förstå alltsammans. Lägg märke till hur implikations- och ekvivalenspilar används vid ekvationslösning. Läs översiktligt igenom avsnitten P.1, P.2 och P.3 i geometriboken. C Läs sedan följande noggrannare som förberedelse inför lektion 3: Axiomen 1 4 Definitionerna 1 4 Vad satserna 1 11 säger

7 Lektion 3 ht 2010 Implikation och ekvivalens Geometri: direkta följder av axiomen Geometri: triangelns area och Pythagoras sats Potenser 1 Gå igenom och diskutera i grupp de uppgifter från Inför lektion 3 som eventuellt ställt till 2 Implikation och ekvivalens: Detta jobbade ni med under lektion 2. Diskutera igenom uppgifterna B.3b och B.4, om ni inte redan har gjort det. Lös sedan följande uppgift (nr 3abc) från tentamen : Är följande implikationer sanna eller falska? Motivera! a) x > 2 = x 1 b) x 2 2x 3 = 0 = x = 3 c) x = 3 = x 2 2x 3 = 0 3 Följder av axiomen: I geometrikursen får ni se ett exempel på hur en matematisk teori byggs upp. Man utgår från en (så liten som möjlig) samling utsagor, s.k. axiom. Sedan använder man logikens lagar och tidigare resultat för att bygga upp teorin och få nya sanna utsagor, s.k. satser. Lös uppgifterna P.1, P.2, P.3, P.5a och P.8. Kontrollera inför varje uppgift att ni vet vad bisektris, kongruent etc. betyder. 4 Triangelns area och Pythagoras sats: I de följande uppgifterna finns inga färdiga figurer. Det är oftast en utmärkt idé att börja med att rita en stor vacker figur och sätta ut beteckningar. Lös P.10, P.12a, P.14 och P Potenser: Kontrollera först att ni kan potenslagarna (s. 72 i boken). Man behöver också veta att a 1 n = n a, om n är ett positivt heltal och a > 0. Lös från det utdelade appendixet PL uppgifterna PL.1abde, PL.3ac, PL.4ab och PL.5ab. Lös också 1.54bc från övningsboken. Inför lektion 4 A B Lös uppgifterna P.6, P.11, PL.1cf, PL.3bd, PL.4cd, PL.5c och 1.54d. Läs översiktligt igenom avsnitten t.o.m. exempel 30 i analysboken och kap. P.4 och P.5 i geometriboken. C Läs sedan följande noggrannare som förberedelse inför lektion 4: Exempel 30 (s.79 i analysboken) I geometriboken: Definition 10 (s.30) och vad satserna säger. D Observera att på nästa lektion, lektion 4, behövs miniräknare!

8 Lektion 4 ht 2010 Logaritmer Geometri: likformighet 1 Gå igenom och diskutera i grupp de uppgifter från Inför lektion 4 som eventuellt ställt till 2 Logaritmer: Det är förstås oerhört viktigt att kunna definitionen av logaritm: x är a-logaritmen för y, om och endast om y = a x. Under denna lektion arbetar vi med baserna a = 10 och a = e. För räkning med logaritmer gäller de s.k. logaritmlagarna. Dem kommer vi att jobba med under nästa lektion. Vi börjar med 10-logaritmer och vet då att y = 10 x x = lg y. Lös PL.6a, PL.7a och PL.8a. Om det känns motigt, lös fler deluppgifter! Nu kommer uppgifter på naturliga logaritmer. Vi vet då att y = e x x = ln y. Lös PL.11a, PL.12a och PL.13a. Om det känns motigt, lös fler deluppgifter! 3 Likformighet: Rita (fina) figurer! Det underlättar. Lös uppgifterna P.22, P.26, P.28 och P.29a. Kontrollera inför varje uppgift att ni vet vad transversal, bisektris etc. betyder. 4 Redovisningsuppgiften: Ni kan diskutera den och hjälpas åt. Inför lektion 5 A B Lös uppgifterna PL.6b, PL.7b, PL.8b, PL.11b, PL.12b, PL.13b samt P.23 och P.29b. Läs översiktligt igenom kapitlen 1.6 och 1.7. Hoppa över alla bevis för de olika gränsvärdena. Detta tas upp i delkurs A2. C Läs sedan följande noggrannare som förberedelse inför lektion 5: Potenslagarna s.72 Första stycket i och figuren på s.74 Första stycket i och figurerna på s.75 och 76 Avsnittet fram till exempel 31 Avsnittet 1.7.2

9 Lektion 5 ht 2010 Potensfunktioner Exponentialfunktioner Användning av potenslagar Användning av logaritmlagar Logaritmfunktioner 1 Gå igenom och diskutera i grupp de uppgifter från Inför lektion 5 som eventuellt ställt till 2 Potensfunktioner: De ser ut så här: f(x) = x α. Lös uppgiften Jämför era figurer med bilden på s.74 i boken. 3 Exponentialfunktioner: De ser ut så här: f(x) = a x. Lös uppgiften Jämför era figurer med bilderna på s.75 och 76 i boken. 4 Användning av potenslagar: Potenslagarna finns på s.72 i boken. Lös först uppgiften 1.57 (Tips: sätt först x 1 3 = t). Lös sedan uppgifterna 1.61 och 1.63ab. 5 Logaritmlagar: De finns i boken på s.80. Börja med att skriva upp dem dels för 10-logaritmer och dels för naturliga logaritmer. I den sista formeln (39) kan ni sätta först a = 10 och b = e och sedan tvärtom. Lös 1.64 och Det är förstås viktigt att man inte hittar på egna logaritmlagar, som inte gäller! Lös 1.66 genom att hitta på ett s.k. motexempel. Lös också 1.69 och 1.70a. I ekvationer, som innehåller logaritmer, måste man vara försiktig och först tänka efter vilka x, som överhuvudtaget kan användas. Vad kan x vara i 1.72abc för att termerna i ekvationerna ska ha en mening? Lös sedan de tre ekvationerna. 6 Logaritmfunktioner: Rita först kurvan y = ln x. Jämför med bokens bild på s.83. Lös uppgiften 1.74df genom att först använda logaritmlagarna och sedan rita. 7 Två svårare uppgifter: Lös 1.63b och Inför lektion 6 A B Lös uppgifterna 1.62, 1.63c, 1.72de, och PL.9b. Läs översiktligt igenom avsnitten P.6 samt T.1 T.4. C Läs sedan följande noggrannare som förberedelse inför lektion 6: Exempel 1,2,3,4 (s.50 51) Definition 3 (s.53) Exempel 12 (s.65)

10 Lektion 6 ht 2010 Randvinkelsatsen Trigonometriska funktioner i en rätvinklig triangel Trigonometriska funktioner av en godtycklig vinkel Areasatsen, cosinussatsen och sinussatsen Cirkelns omkrets och area 1 Gå igenom och diskutera i grupp de uppgifter från Inför lektion 6 som eventuellt ställt till 2 Randvinkelsatsen: Slå upp randvinkelsatsen på sidan 38 och låt var och en i gruppen illustrera den med ett enkelt exempel. Använd då någon av vinklarna 30, 45, 60 eller 90. Studera lösningen till P.33a och lös sedan P.33b och P Trigonometriska funktioner i en rätvinklig triangel: Detta finns sammanfattat i figurerna på sidan 51. Lös T.1, T.2, T.3 och T.7. 4 Trigonometriska funktioner av en godtycklig vinkel: Börja med att rita enhetscirkeln definiera cos α, sin α, tan α, cot α för godtyckligt α. Varför har de olika period? Kontrollera att alla i gruppen förstår exempel 6 på sidan 55. Lös T.13, T.14, T.15acfgh. 5 Areasatsen, cosinussatsen och sinussatsen: Lös T.19, T.20, T Cirkelns omkrets och area: Du måste vara absolut säker på dessa formler. Hur kan man använda begreppen längdskala och areaskala för att skilja dem åt? Lös T.29. Inför lektion 7 A B Lös uppgifterna P.38, T.4, T.15bde, T.16, T.23, T.32. Läs översiktligt igenom kapitlet om Analytisk geometri i geometrikompendiet. C Läs sedan följande noggrannare som förberedelse inför lektion 7: Exempel 2 (s.89-90) Exempel 6 (s.93) Exempel 8 (s.96) Stycket Normal till linje (s.96-97) Exempel 11 (s. 99)

11 Lektion 7 ht 2010 Koordinatsystem och avstånd Kurvor och deras ekvationer Räta linjen och dess normal Parabel, cirkel, ellips och hyperbel 1 Gå igenom och diskutera i grupp de uppgifter från Inför lektion 7 som eventuellt ställt till 2 Koordinatsystem och avstånd: Beskriv med ord vad x betyder geometriskt och visa det även med en figur. Lös uppgifterna A.1bf och A.2b. Rita figur i samtliga fall. 3 Kurvor och deras ekvationer: Lös A.5ae, A.6ghi. Om man har ett funktionsuttryck y = f(x) och istället vill ha en funktionskurva som ligger två längdenheter längre ned hur skall man då modifiera funktionsuttrycket? Om man vill ha en kurva som ligger tre längdenheter åt vänster? 4 Räta linjen och dess normal: Lös uppgift A.7, A.8, A.9 tillsammans. Lös följande problem: Vinkeln mellan en viss rät linje och x-axeln är 30. Linjen har positiv riktningskoefficient och går genom punkten ( 3, 2). Bestäm en ekvation för linjen. Visa, utan att titta i boken, att riktningskoefficienten till en normal till en linje med riktningskoefficient k är 1 k. Bestäm sedan en ekvation för den normal till linjen ovan som går genom punkten ( 3, 2). 5 Parabel, cirkel, ellips och hyperbel: Lös övning A.17. Bestäm en ekvation för en parabel som har vertex i punkten ( 1, 2) och symmetriaxel parallell med y-axeln. Hur många sådana parabler finns det? Läs exempel 15a i boken. Lös sedan övningarna A.13 och A.19. Gå noga igenom exempel 17 på sid Slå sedan igen boken och låt någon i gruppen förklara beviset av subtraktionsformeln för de andra. De som lyssnar får ställa frågor och komma med hjälp på vägen om den som förklarar kör fast. Lös uppgifterna A.16 och A.18. Inför lektion 8 A Lös uppgifterna A.3, A.4, A.5i, A.6abg, A.10b, A.12, A.15. B Läs översiktligt igenom avsnitten 1.1, 1.2, 1.3, och C Läs sedan följande noggrannare som förberedelse inför lektion 8: Exempel 1 (s.37) Avsnittet (s.43-45) Avsnittet (s.48-50)

12 Lektion 8 ht 2010 Funktioner och grafer Absolutbelopp Andragradsfunktioner 1 Gå igenom och diskutera i grupp de uppgifter från Inför lektion 8 som eventuellt ställt till 2 Funktioner och grafer: För en funktion f är alltid funktionsvärdet y = f(x) entydigt bestämt av variabelvärdet x. Lös 1.5 och 1.6ab. Man kan ofta tänka på en funktion som en anordning, där man matar in något (variabelvärdet) och får ut något (funktionsvärdet). Om t.ex. f(x) = 2x, så är f(a + b) = 2(a + b) och f( 1 z ) = 2 1 z. Lös 1.2abef. Om man har en funktion med tillhörande graf och byter x mot x a, så får man en ny funktion. Den nya funktionens graf ser ut som den ursprungligas graf, men den är flyttad. Hur? Lös 1.7abcde. 3 Absolutbelopp (definition och grafisk tolkning): Med absolutbeloppet x avses talet x utan eventuellt minustecken, d.v.s. storleken av talet x. T.ex. 3 = 3 och 4.2 = 4.2 Studera den matematiska definitionen av absolutbelopp överst på s.43. Fundera över och diskutera hur definitionen överensstämmer med definitionen ovan. Hur kan x i definitionen vara ett positivt tal? Observera att ett minustecken framför ett tal kan tolkas på flera olika sätt. Minustecknet i talet 5 skapar ett negativt tal, medan minustecknet i talet x med fördel i stället ses som något som ändrar tecknet på talet x. Lös 1.9a,b,c,d,e. Lägg märke till svaret i e-uppgiften. Ovan har vi tittat på den matematiska definitionen av absolutbelopp. Det finns också en grafisk tolkning av absolutbelopp när de förekommer på formen x y, nämligen som avståndet mellan talen x och y på tallinjen (se gärna figuren längst ner på s.43). Speciellt betyder x storleken av talet x. Detta jobbade ni med under förra lektionen. Lös 1.10abcd och 1.13c.

13 4 Absolutbelopp (ekvationer och grafritning): I ekvationer med absolutbelopp inblandade använder man ofta definitionen. Titta igen på definitionen på s.43. Vad får man, om man i definitionen byter ut x mot t.ex. x + 2? Eller mot x 3? Diskutera detta och kolla med läraren, om ni är osäkra. Lös 1.11a och 1.16a. Vid grafritning är det också bra att använda definitionen för att få funktionen beskriven på ett enkelt sätt i olika intervall. Lös 1.14ab och 1.15a. 5 Andragradsfunktioner (grafritning): Vi studerar nu andragradskurvor. När man väl kvadratkompletterat en sådan är det lätt att rita grafen för den. Andragradskurvan y = (x 1) ser precis ut som en x 2 -kurva, men är flyttad ett steg åt höger och två steg uppåt. Observera det skenbart märkliga att grafen flyttas åt höger då vi har ett minustecken innanför parentesen. Jämför med 1.7abcde, som ni nyss löste. Lös Lägg märke till vilka regler ni använder när ni flyttar kurvan. Diskutera och lös uppgift Hur beräknar man skärningen mellan två kurvor? Inför lektion 9 A Lös uppgifterna 1.4, 1.7fghi, 1.10ef, 1.13d, 1.14c, 1.15b, 1.16b, 1.23a och B Läs översiktligt igenom och B.3 C Läs sedan följande noggrannare som förberedelse inför lektion 9: Sidorna 51 och 52 om hur polynomdivision går till visat med ett exempel. Formuleringen av faktorsatsen på sidan 53. Låt som exempel f(x) = x 2 + x 2. Hitta ett α som gör att satsen gäller. Vilken blir slutsatsen? Exempel 13 på sidan 54. (Utför själv polynomdivisionen på ett papper och kontrollera att du får samma resultat som i boken!) Exempel 6 på sidan 498. Exempel 15 på sidan 59.

14 Lektion 9 ht 2010 Polynomdivision Faktorsatsen: tillämpning vid lösning av polynomekvationer Summatecknet Σ Geometrisk summa 1 Gå igenom och diskutera i grupp de uppgifter från Inför lektion 9 som eventuellt ställt till 2 Polynomdivision: Vi går nu tillbaka till att studera polynom, och det är dags att repetera polynomdivision från gymnasiekursen. Polynomdivision är bl.a. nödvändigt för att lösa s.k. polynomekvationer. Studera uppställningen nederst på s.51. Hur utförs beräkningarna? Lägg märke till var täljare och nämnare skrivs och var kvoten respektive resten erhålls. Jämför sedan med resultatet längst ner på s.52. Lös sedan uppgift 1.30a. Tänk på att polynomdivisionen ej är avslutad förrän graden för resten är mindre än graden för nämnaren. 3 Faktorsatsen: Med hjälp av den viktiga faktorsatsen i kombination med polynomdivision är det nu möjligt att lösa polynomekvationer. Läs igenom formuleringen av faktorsatsen (Sats 3, s.53) och tänk efter vad den säger. Gå sedan igenom ex. 13 och lägg märke till hur faktorsatsen används. I uppgiften får man roten x = 4 redan från början. Hur hade man burit sig åt i annat fall? Observera att faktorsatsen garanterar att resten från polynomdivisionen blir noll. Lös därefter uppg. 1.31a,d,e och 1.32b,e genom att använda faktorsatsen kombinerat med polynomdivision. Tag reda på rötterna antingen genom lösningsformeln för andragradsekvationer eller genom att gissa en korrekt rot. Vad händer egentligen i 1.32b? I uppgift 1.31a hade man inte behövt använda sig av faktorsatsen, utan kunde ha faktoriserat direkt. Hur? På nästa sida fortsätter lektionen.

15 4 Summatecknet Σ: Vi ska nu lära oss ett bekvämt sätt att skriva ner en summa med hjälp av summatecknet Σ. Om vi exempelvis vill uttrycka summan av de fyra första heltalskvadraterna, d.v.s. 1 2, 2 2, 3 2 och 4 2, skriver vi = 4 k 2. Uttrycket k 2 innanför summatecknet är den formel som talar om hur varje term i summan ska se ut, och under och ovanför summatecknet står beskrivet att vi, i tur och ordning, ska sätta in talen k = 1, 2, 3 och 4 i denna formel för att skapa summans termer. Ta en titt på summan i uppgift B.10a. Observera att man här använder sig av bokstaven n i stället för k som summationsindex. Valet av namn på summationsindexet påverkar inte själva summan eftersom indexet enbart används för att beskriva själva formelns utseende. Diskutera igenom detta i gruppen så att alla är med på varför. Lös uppgift B.10a. Lös sedan uppgift B.10c. Denna summa är lite speciell eftersom termerna är konstanta. Studera gärna ex. 8 (s.499) först. Studera därefter gemensamt ex. 6 (s.498) om hur man själv kan beskriva summor. Lös uppgift B.11a,b. 5 Geometrisk summa: Vissa typer av summor förekommer oftare än andra i tillämpningar. Ett exempel på en sådan är en s.k. geometrisk summa (t.ex. insättning på bankkonto med ränta på ränta). Studera definitionen mitt på s.58. Vad karakteriserar egentligen en geometrisk summa? Ta sedan en titt på uträkningsformeln (sats 5) på samma sida. Gå igenom ex. 15 (s.59) och lös sedan uppgift 1.35a,b,d. Lägg märke till vad som i varje uppgift motsvarar a respektive x i formuleringen av Sats 5. Lös uppgift 1.36a,b. Skriv gärna ut summan på vanligt sätt först om ni känner er ovana vid summabeteckningen. Lös sedan uppgift 1.37b. Här har vi k i stället för k i exponenten. Går det att skriva om termerna så att vi får k i exponenten i stället? Vilket tal motsvarar talet x? k=1 Inför lektion 10 A B Lös uppgifterna 1.30b, 1.31bcf 1.35c, 1.36c, 1.37ac 1.39 och B.10b Läs översiktligt igenom kap (s.60 67) och (s.87 94) C Läs sedan följande lite noggrannare som förberedelse till lektion 10. Definitionen av binomialkoefficient på s.62. Ta reda på vad k! och ( n k ) betyder. Sats 6 (Binomialsatsen), (s.63 64) och ex. 21 (s.64). Pascals triangel (s.65 66) och ex. 22 (s.66). Studera bilderna på s.87, 90 och 91.

16 Lektion 10 ht 2010 Binomialkoefficienter och binomialsatsen Pascals triangel Rationella funktioner: exempel på grafritning Invers och sammansatt funktion 1 Gå igenom och diskutera i grupp de uppgifter från Inför lektion 10 som eventuellt ställt till 2 Binomialkoefficienter: Ta reda på vad k! och ( n k ) betyder. Hur kan man tolka dessa tal i praktiken? Lös sedan uppgift 1.41a,b. 3 Binomialsatsen: Binomialsatsen kan sägas vara en slags generalisering av kvadreringsregeln för (heltals)exponenter större än två. Titta på formuleringen i Sats 6 (s.63). Lägg märke till hur summan beskrivs med hjälp av summatecknet Σ. Formeln på s.63 är egentligen ett specialfall av den allmänna formeln eftersom den andra termen i parentesen är lika med 1. Den allmänna formeln ges av (a + b) n = ( n 0 )b n + ( n 1 )ab n 1 + ( n 2 )a 2 b n ( n n 1)a n 1 b + ( n n)a n = n n = ( n k )ak b n k = ( n k )an k b k k=0 Observera att det totala antalet a och b i varje term hela tiden är n. Binomialkoefficienterna ( n k ) har ni redan stött på under punkt 2 och känner till en färdig formel för. Försök nu att använda satsen för att beräkna uttrycken i uppgift 1.42a,b. (OBS! I uppgift 1.42a skulle ni direkt kunna använda kvadreringsregeln i stället, men prova att använda binomialsatsen genom att räkna ut binomialkoefficienterna ( n k ) även här.) 4 Pascals triangel: I stället för att räkna ut binomialkoefficienterna varje gång finns det ett smidigt sätt att bestämma dessa (om n är relativt litet). Titta på triangeln mitt på s.66. Hur har denna konstruerats? Denna triangel kallas Pascals triangel och har den goda egenskapen att den (n + 1):a raden innehåller binomialkoefficienterna för (a + b) n. Kontrollera att detta stämmer för 1.42a,b och lös sedan uppgift 1.42c och 1.43a,b med hjälp av Pascals triangel. Ibland är dock n så stort att metoden med Pascals triangel blir klumpig. Hur löser man lättast uppgift 1.44? 5 Rationella funktioner: Lös uppgift 1.51a,c. Kan ni använda någon av reglerna från uppgift 1.8 (lektion 8)? Lös sedan uppgift 1.51f (läs gärna tipset först). k=0

17 6 Invers funktion: Studera de två graferna på s.87. Vad menas egentligen med att en funktion är injektiv? En injektiv funktion kallas ibland också för omvändbar. Det innebär att man kan bilda en ny funktion f 1 genom att byta plats på x- och y-axeln i grafen för f. Det går också bra att spegla f:s graf i linjen y = x. Denna funktion kallas inversen till f. Observera att detta var precis vad ni gjorde i lektion 5 när ni bildade logaritmfunktionen, vilket också syns tydligt i figuren på s.90. Tydligen är funktionen a log x invers till funktionen a x. Studera även grafen på s.92. Vilken är inversen till f(x) = x 2? Lös uppgift Kom ihåg att en funktion har en invers om och endast om den är injektiv. Varför måste en funktion vara injektiv för att ha en invers? Studera gemensamt ex. 38 (s.90). En invers till en funktion f kan man bestämma genom att sätta funktionen f(x) = y (eller f(x) = s som i exemplet) och sedan försöka lösa ut x uttryckt i y. Lös uppgift 1.84 och 1.86a,b. 7 Sammansatt funktion: Med sammansättningen (f g)(x) av de två funktionerna f(x) och g(x) menas (f g)(x) = f(g(x)) Studera gemensamt ex. 40 (s.93). Lös sedan 1.89b,c och 1.86d (f och g). Lägg märke till vad som händer i 1.86d. Inför lektion 11 A Lös uppgifterna 1.41c, 1.43c, 1.45, 1.86c, 1.87abc, 1.89ad, 1.139a. B Läs översiktligt igenom kap och 1.9 t.o.m. ex. 51. C Läs sedan noggrannare vad de olika termerna likhet, uppåt begränsad i kap betyder Exempel 50 och 51 på s formlerna (55) (60) på s Exempel 53 på s. 107

18 Lektion 11 ht 2010 Terminologi för funktioner Enkla trigonometriska ekvationer Trigonometriska formler 1 Gå igenom och diskutera i grupp de uppgifter från Inför lektion 11 som eventuellt ställt till 2 Terminologi för funktioner: Diskutera vad termerna monoton, injektiv, uppåt/nedåt begränsad och begränsad betyder. Lös sedan uppgift 1.90ab. Vad innebär det att en funktion är jämn/udda? Diskutera och ge enkla exempel. Lös sedan uppgift 1.92abc. 3 Enkla trigonometriska ekvationer: Det har ni redan tränat på, men kontrollera nu att ni kan lösa sådana genom att först lösa uppgift 1.94 och sedan 1.96adf. Studera Exempel 51 s.103 och lös sedan 1.99a. 4 Trigonometriska formler: Det finns väldigt många sådana. Somliga ser man direkt i enhetscirkeln, t.ex. sin(x + π) = sin x. Andra formler måste man härleda med ett visst besvär. På lektion 7 studerade ni beviset för formeln för cos(α β). Den formeln är sedan utgångspunkt för de flesta andra formler. Om man lär sig den (eller någon av de tre andra s.k. additionsformlerna) utantill, så kan man sedan lätt få fram de tre övriga. Tre formler är superviktiga: trigonometriska ettan och formlerna för sin 2x och cos 2x. De två sista används mycket ofta baklänges, och därför är det så bra att kunna dem utantill. Ett studietekniskt tips: Att skriva en egen lista på formler är mycket bra! I de följande uppgifterna behöver man först använda en trigonometrisk formel. Lös 1.106ab. Mer träning på att använda trigonometriska formler kommer här: Lös och Inför lektion 12 A Lös uppgifterna 1.90d, 1.92de, 1.96bce, 1.100, 1.106d och B Läs översiktligt igenom resten av kap. 1.9 (sid sid 118), 1.10 och C Läs sedan noggrannare Exempel 54 på sid 109 om hjälpvinkelmetoden. Definition av och exempel på användning av arcsin på sid Lägg speciellt märke till hur graferna på sidan 119 ser ut och hur de tre graferna är kopplade till varandra.

19 Lektion 12 ht 2010 Hjälpvinkelmetoden Arcusfunktionerna Hyperboliska funktioner 1 Gå igenom och diskutera i grupp de uppgifter från Inför lektion 12 som eventuellt ställt till 2 Hjälpvinkelmetoden: Ett funktion av typen f(x) = a sin x + b cos x kan alltid skrivas om till en enda sinusfunktion (eller cosinusfunktion). Detta har man nytta av bl.a. vid ekvationslösning eller då man vill rita grafen till funktionen. Studera hur man går till väga i exempel 54 (s.109). Här används formel (57), s.105. Var? Vad är det för faktor som bryts ut i exemplet? Varför? Försök nu att lösa uppgift och 1.103b. 3 Arcussinus: En av huvuduppgifterna idag är att införa inversfunktioner till sinus, cosinus och tangens (och även cotangens); de så kallade arcusfunktionerna. Dessa är nödvändiga då vi t.ex. har beräknat ett visst sinusvärde, men vill ha reda på en vinkel som ger detta värde. Studera grafen för sinusfunktionen överst på s.119. Är denna funktion injektiv (omvändbar)? Jämför nu med grafen nederst till vänster på s.119. Är denna funktion injektiv? Den sistnämnda grafen visar sinusfunktionen, men enbart i intervallet mellan π 2 och π 2. Om vi byter plats på x- och y-axeln får vi grafen till den inversa funktionen som betecknas arcsin x (se grafen längst ner till höger på s.119). Funktionen arcsin x kan man därför beskriva som följer: arcsin x är den vinkel (i radianer) mellan π 2 och π 2 vars sinusvärde är x (1) Använd nu denna beskrivning för att lösa uppgift Glöm inte att rita ut enhetscirkeln! Stäng därefter boken och lös uppgift Hur avläser man definitions- och värdemängd? 4 Arcuscosinus: Försök nu själv att på motsvarande sätt som i 3 införa inversen till cos x genom att lösa uppgift Jämför sedan era svar med graferna på s.121. Försök även att beskriva arccos x på motsvarande sätt som i (1) ovan. Lös uppgift 1.116a,b. Varför får man olika svar i a och b?

20 5 Arcustangens och arcuscotangens: Försök nu själva att införa funktionen arctan x på samma sätt som i 2 och 3 ovan genom att lösa uppgift Jämför sedan med grafen på s.123. Hur begränsar man definitionsmängden för tan x innan man bildar inversen? Formulera även motsvarigheten till (1) för arctan x. Lös uppgift Funktionen cot x används inte lika ofta som tan x i praktiska sammanhang, framförallt eftersom cot x = 1 tan x. Ta i alla fall även en titt på grafen för arccot x längst ner på s.123, och jämför sedan med grafen för cot x på s Hyperboliska funktioner: Ni ska även känna till definitionen för (och kunna räkna med) de s.k. hyperboliska funktionerna cosh x = ex + e x och sinh x = ex e x 2 2 Kontrollera att påståendena i 1.130a,b stämmer! De hyperboliska funktionerna förekommer i olika praktiska tillämpningar. Bland annat kan man med dessa beskriva en så kallad kedjekurva; den kurva som uppkommer då t.ex. ett snöre hängs upp mellan två spikar. Inför lektion 13 och 14 A B Lös uppgifterna 1.103ac, 1.122, 1.124, och 1.130cd. Lektion 13 och 14 kommer att ägnas åt repetition av kursen och övningsräkning av gamla tentor. Se igenom lektionsbladen 1-6 inför lektion 13 och lektionsbladen 7-12 inför lektion 14. Notera vilka avsnitt du känner att du skulle vilja öva mera på. Ägna sedan lektionen åt att tillsammans gå igenom dessa lektionsavsnitt och se över övningsuppgifter i avsnitten som varit svåra eller inte hunnits med. Har ni tid över kan ni också välja ut någon eller några gamla tentamina som ni först tittar på var och en för sig hemma och sedan diskuterar/löser under lektionen.