Viktade medelvärden igen statistiska + systematiska fel Korrelationer Icke-linjära funktioner Enheter sammanfattning Dimensionsanalys Residualplottar

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Viktade medelvärden igen statistiska + systematiska fel Korrelationer Icke-linjära funktioner Enheter sammanfattning Dimensionsanalys Residualplottar"

Transkript

1 Viktade medelvärden igen statistiska + systematiska fel Korrelationer Icke-linjära funktioner Enheter sammanfattning Dimensionsanalys Residualplottar Fysikexperiment, 7.5 hp 1 1

2 Viktat medelvärde (rep) Problem 7.5 i läroboken Student A: Student B: R = w R i w 1 dr = w i i i R A = 72 ± 8 Ω R B = 78 ± 5 Ω = 8 5 = 76, = = 4, Vikt. medelv. R = 76,3 ± 4,2 Ω % Comsol snutt % Viktat medelvärde: r=[72 78]; dr=[8 5]; w=1./dr.^2; wr=w.*r; R=sum(wr)/sum(w) dr=1/sqrt(sum(w)) Uppgift 7.5b A hade mätt 10 gånger, dvs 8 = x / 10 Antag att felet skall minskas från 8 till 5, dvs 5 = x / N. Vad bör då N vara? Vi får att N = 8 2 / 5 2 * 10 = 25,6 Svar: A bör göra 26 mätningar. Anm. Obs att x är standardavvikelsen som (teoretiskt) har samma värde oberoende av antalet mätningar Fysikexperiment, 7.5 hp 2 Ett enkelt exempel på beräkning av ett viktat medelvärde. Det är mycket vanligt att man i förväg måste beräkna hur många mätningar som krävs för en viss precision. Detta skall ni kunna! Skriv också en generell funktion i ComsolScript som läser in en godtyckligt lång datavektor och felvektor och som beräknar det viktade medelvärdet och dess fel. Vad gör vi om vi känner storleken av ett systematiskt fel i våra data? 2

3 Motivering för kvadratisk addition Systematiskt + statistiskt fel g = 9.83 ± 0.46 ± 2 ( stat) 0.39( syst) m/s Nytt fel : g = 9.83 ± 0.60 m/s Den kvadratiska additionsregeln motiveras av att om de systematiska felen i många experiment fördelar sig runt medelvärdet så utgör den blå och den röda grenen en approximation av den gröna fördelningen med bredden ~0, exp. 8 st < 9 = exp. 9.83±0.6 8 st i svansarna stat. 50 exp. 8 st > x Fysikexperiment, 7.5 hp syst. fel 3 Antag att vi har en fördelning av 50 försök (blå eller röd kurva). Nu antar vi att där finns ett systematiskt fel på 0,39. Hade vi vetat storlek och tecken på det systematiska felet skulle våra mätningar ha resulterat i den blå eller den röda fördelningen. Betrakta den gröna fördelningen (100 försök) vars medelvärde sammanfaller med det sanna värdet (den gröna fördelningen innehåller således inget systematiskt fel). Notera att den röda(gröna) fördelningen har en standardavvikelse som är lika med det statistiska felet 0,46. Som synes av figuren har den gröna fördelningen getts den beräknade standardavvikelsen 0,60 (som beräknats genom en kvadratisk addition av felen). Som ett resultat av detta sammanfaller den gröna fördelningen med den röda och den blå i svansarna. Den procentuella andelen i intervallet ( t σ) 1,4 0,6 är 84%, dvs vi har 16 mätningar som hamnar utanför detta intervall (t-värdet har beräknats som 1,4 = (0,46 + 0,39)/0,6.). Detta motsvarar nära nog precis det antal mätningar som hamnar utanför -1 σ för den blå (8) och +1 σ för den röda (8) fördelningen. Med den kvadratiska additionen av felen får vi alltså i medeltal lika många mätningar som ligger utanför -1 σ för den blå och +1 σ för den röda fördelningen och den gröna kurvan med felet 0,6 kan alltså representera detta faktum. Notera även att vi inte från början kan veta på vilken sida vår fördelning (röd eller blå) kommer att ligga. Man kan således se det som att det gröna experimentet (100 försök) delats i två experiment med demokratiska 50 försök i varje. 3

4 Anpassning av rät linje Problem 8.2 i läroboken Här skall vi anpassa en rät linje till fyra givna punkter med hjälp av Comsol. % Fit a line to a number of measurements (unweighted) x=[ ]; y=[ ]; n=length(x); % ej n=4; xs=sum(x); ys=sum(y); xys=sum(x.*y); xxs=sum(x.*x); d=n*xxs-xs^2; A=(xxs*ys-xs*xys)/d; B=(n*xys-xs*ys)/d; Fysikexperiment, 7.5 hp 4 Enkel ComsolScript kod för att lösa uppgiften. Det är god programmeringsstandard att låta N beror på längden av inputdata i stället för att ersätta N med 4 överallt i koden. På så sätt blir koden mer generell och kan återanvändas för godtyckligt långa inputdata. 4

5 Anpassning av rät linje Problem 8.2 i läroboken Anpassa funktionen y = A + Bx till datapunkterna punkter x y x*y x*x (y - A - B*x)^ , , , ,09 Summa ,8 D= 80 A= 6 B= 1,1 sy= 0, ,95 sa= 0, sb= 0, ,22 Oviktad, linjär anpassning av rät linje till fyra punkter kan enkelt utföras för hand eller i EXCEL. Felet i y = 1 (konstant) Fysikexperiment, 7.5 hp 5 Här har vi använt EXCEL och beräknar parametrarna A och B med hjälp av formlerna i läroboken. Vi beräknar även felen i A och B samt den bästa uppskattningen av osäkerheten i de enskilda y-värdena (s y enligt formel 8.15 i läroboken). 5

6 Korrelationer Ett effektivt sätt att beskriva sambandet mellan två variabler (ett observationspar) är i ett spridningsdiagram (eng. scatterplot). Varje observationspar blir en punkt i diagrammet. De två variablerna i diagrammet nedan synes vara korrelerade. Korrelationen kan vara positiv eller negativ samt karakteriseras av ett visst mått: korrelationskoefficienten. Figur 9.1 i boken Exam score y Homework score x När värdet på storheten på x-axeln ökar ser det ut som att även värdet på y-axeln ökar vi har en positiv korrelation! Men hur trovärdigt är detta samband? Finns det någon objektiv värdering? Fysikexperiment, 7.5 hp 6 Vi skall nu studera fördelningar som inte helt uppenbart är en entydigt linjär funktion om det inte finns en underliggande teori som säger att det skall vara ett linjärt samband. 6

7 Korrelationskoefficienten Med vilken grad av sannolikhet kan vi påstå att det finns ett samband? Svaret ges av korrelationskoefficientens (r) egenskaper. Vi definierar r genom: r = σ σ x xy σ y r = ( xi x )( yi y ) 2 ( x x ) ( y y ) eller ekvivalent som (se problem 9.10 i Taylor) r = i xi yi N x y ( xi N x )( yi N y ) i Fysikexperiment, 7.5 hp 7 Den vanligaste korrelationskoefficenten är produktmomentkorrelationskoefficienten. Den kallas ofta Pearsons korrelationskoefficient efter upphovsmannen, den brittiske statistikern Karl Pearson ( ). 7

8 Korrelationskoefficienten Korrelationskoefficienten, r, definieras som: σ xy r = σ σ x y = N i= 1 N ( x )( ) i= i x yi y 1 2 N ( x x) ( y y) i i= 1 För variabler som har en linjär relation kommer r att ligga nära ±1 (idealt exakt lika med ±1), linjära relationer med positiv riktningskoefficient har r = 1 (oavsett storleken på riktningskoefficienten) och samband med negativ riktningskoefficient har r = -1. i Fysikexperiment, 7.5 hp 8 Nu träder den bistra sanningen fram! De statistiska variablerna Homework score (som vi också skulle kunna kalla Home work ) och Examination score är inte okorrelerade! I detta fall finner vi det naturligt att ju mer arbete man lägger ner på en kurs hemma desto bättre går det på tentamen. I andra fall kan ett samband vara svårare att inse. För att avgöra om det finns ett sådant samband finns verktyget korrelationskoefficient som är definierat ovan. Storheten σ xy kallas kovariansen och definieras i analogi med varianserna σ. Vi noterar att då kovariansen är noll så är korrelationskoefficienten noll, dessutom ges korrelationskoefficientens tecken av tecknet på kovariansen. Den räta linjen är en oviktad anpassning till datapunkterna. 8

9 Exempel med stor spridning 8,0% Fysikexperiment, 7.5 hp 9 Finns det någon korrelation här (verkliga data hämtade från fysiklinjen)? Diagrammet anger tentamenspoäng i respektive ämnen. Bilden är lite oklar så vi måste göra en beräkning. 9

10 Exempel med stor spridning = 8,0% Över hälften av resultaten (7 av 12) visar en tydlig korrelation. Totalt är sannolikheten mindre än ca 8% för att r skall vara större än 0,53. Vi kan misstänka att det finns en korrelation med tillfälliga misslyckanden. Dags att studera Appendix C i läroboken Fysikexperiment, 7.5 hp 10 Korrelationskoefficienten blir 0,53. I den matematiska statistiken kan vi beräkna med vilken sannolikhet data är korrelerade med en given korrelationskoefficient och ett givet antal datapunkter. Det är dags att studera Appendix C i Taylor. Vi går in på raden med N = 12 och finner att sannolikheten är 9,8% för r = 0,5 0ch 3,9% för r = 0,6. Enkel interpolation ger oss värdet 8,0% för r = 0,53. Om r blir lite större, minskar sannolikheten för att data är okorrelerade. En konventionellt vald gräns för en sannolik (möjlig) korrelation går vid 5%, om sannolikheten kryper ner mot 1% talar vi om en signifikant (stark) korrelation. Våra data ligger på gränsen till en möjlig korrelation mellan betygen. 10

11 Exempel på beräkning av r Låt oss ta ett exempel: Korrelation mellan antal sidor per kapitel och antal problem (Taylor). Kapitel N= 11 x Sidantal x= y Anta problem y= x^ sum= y^ sum= x*y sum= r = I diagramform: Antal problem per kapitel Taylors bok Antal sidor per kapitel Fysikexperiment, 7.5 hp 11 Verifiera mina räkningar och visa att sannolikheten för att data är okorrelerade är (mycket) mindre än 0,3%. 11

12 Problem 9.12 i läroboken Den linjära korrelationskoefficienten (r) Studera följande tabell som anger sambandet mellan studieresultat och resultat från läxarbete eller i grafisk form Table 9.3. Student's scores Student, i Homework, x i Exam, yi Figur 9.1 i boken Exam score y Homework score x Fysikexperiment, 7.5 hp 12 Problem 9.12 i läroboken visualiserat. 12

13 Problem 9.12 i läroboken N x i y i x i 2 Exempel på uppställning av data för uträkning. Vi finner att r 10 = 0,78. Vad betyder det? Funktionen P N ( r > r N ) anger sannolikheten att r > r N för N datapunkter om dessa är fullständigt okorrelerade! Funktionen är vanligen tabellerad och vi finner från tabell C (sidan 291 i läroboken) sannolikheterna (i procent): Fysikexperiment, 7.5 hp 13 y i 2 x i y i ,4 77, r = 0,78 N 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0, ,5 < 0,5 0 r 0 0,8% x y sum x 2 sum y 2 sum xy Om 1% < P N < 5% anser vi att vi har ett sannolikt samband! Om P N < 1% anser vi att vi har ett högst troligt samband! Räkningarna kan enkelt göras i EXCEL men skriv gärna en funktion i ComsolScript som gör samma beräkning. Observera interpolationen i tabellen 0,5+(0,8-0,78)*(2-0,5)/(0,8-0,7)=0,8. 13

14 Problem 9.14 i läroboken Uppgift 9.14 i läroboken. Korrelation mellan 100 m sprinterlopp och 1500 m lopp Spelare N= x 100 m x= y 1500 m y= x^2 y^2 x*y sum= sum= sum= r = Problem 9.14 i Taylor 1500 m y = -9,8204x + 383, m Fysikexperiment, 7.5 hp 14 Här kan ni träna själva! 14

15 Programmeringsuppgift Skriv en funktion i ComsolScript som beräknar parametrarna i den viktade minstakvadratmetoden (y = A + k x): Funktionen kallas med: [A da k dk]=linfitw(x,y,dy) I linfitw.m filen: function [A da k dk]=linfitw(x,y,dy) kod Fysikexperiment, 7.5 hp 15 En programmeringsuppgift. Denna funktion skall ni senare använda i laboration 2. 15

16 Exponentfunktioner I Följande exponentialfunktioner är exempel på ickelinjära funktion i x och vi kan inte direkt använda viktad linjär anpassning. I Q N = I 0 e = 0 Q e = N 0 e µ x tτ µ t (absorption av strålning) (RC-krets) (radioaktivt sönderfall) Fysikexperiment, 7.5 hp 16 Exempel på icke-linjära funktioner. De kan enkelt lineariseras genom logaritmering. 16

17 Linearisering genom logaritmering Ofta förekommer samband av typen: y = f(x) = aÿ x b, där a och b är konstanter som skall bestämmas. För fysikaliska samband är parametern b ofta ett hel- eller halvtal. Låt oss istället se på funktionen z = log y = log a + bÿ log x. Denna ekvation är linjär i de nya variablerna z och log x. En viktad linjär anpassning till denna funktion ger oss parametrarna A = log a med felet da, samt b med felet db. Hur beräknar du felet i a? Fysikexperiment, 7.5 hp 17 Observera att även om felen i variabeln y är konstanta, så är felen i variabeln z = ln y inte konstanta utan förändras med y och lika med dz = dy/y. Vad blir felet i parametern a? 17

18 Linjär anpassning Residualplott (Ex. 1) Fysikexperiment, 7.5 hp 18 Det händer ofta att datapunkterna ligger mycket nära den anpassade funktionen. Detta innebär att det är svårt att se hur bra anpassningen är. I det undre diagrammet har skillnaden mellan ett mätvärde och den anpassade räta linjens värde för motsvarande höjdvärde beräknats. Dessa avvikelser skall normalt sprida sig runt 0 och vara N(0,1) fördelade. Fördelen med denna residualplott är att y-skalan expanderar och avvikelserna och felen syns tydligt (i detta fall är emellertid felen stora nog för att synas även i den övre plotten). 18

19 Linjär anpassning Residualplott (Ex. 2) Fysikexperiment, 7.5 hp 19 Här är ett annat exempel. I den övre figuren kan man inte se hur punkterna ligger i förhållande till den anpassade linjen och inte heller felen. I residualplotten är dessa väl synliga och vi ser dessutom att datapunkterna inte ligger på en rät linje i detta fall. Ickelineariteten är mycket liten och syns inte med blotta ögat den finns där emellertid och visar på något (icke önskad) egenskap hos antingen mätutrustningen eller den fysikaliska storhet man mäter på. 19

20 Enheter och enhetssystem Storhet = Mätetal x enhet Längd (L) = 100 m Ström (I) = 0,529 A Hastighet (v) = 90 km/tim Enhetssystem (SI) Definitionen bör baseras på någon i naturen förekommande företeelse Internationellt användbara Relaterat till decimalsystemet Fysikexperiment, 7.5 hp 20 Lite repetition igen. 20

21 SI-systemets grundenheter Längd: En meter (m) är den sträcka, som ljuset tillryggalägger i absolut vakuum under 1/ sekund. Massa: Ett kilogram (kg) är lika med massan av den internationella kilogramprototypen. Tid: En sekund (s) är varaktigheten av perioder av den strålning, som motsvarar övergången mellan de två hyperfinnivåerna i grundtillståndet hos atomen cesium 133. Elektrisk ström: En ampere (A) är storleken av den konstanta elektriska ström som, då den genomflyter två parallella, raka ledare med oändlig längd och försumbart, cirkulärt tvärsnitt och placerade på ett avstånd av en meter från varandra i tomrum, åstadkommer mellan dessa ledare en kraft lika med newton för varje meter ledare. Termodynamisk temperatur: En kelvin (K) är bråkdelen 1/273,16 av den termodynamiska temperaturen vid vattnets trippelpunkt. Ljusstyrka: En candela (cd) är ljusstyrkan i en given riktning från källa, som utsänder monokromatisk strålning med frekvensen hertz och vars strålningsstyrka i denna riktning är 1/683 watt per steradian. Materiemängd: En mol (mol) är materiemängden i ett system innehållande lika många systemelement som det finns atomer i 0,012 kilogram kol Fysikexperiment, 7.5 hp 21 21

22 Supplement till SI-systemet Supplement Planvinkel radian rad rymdvinkel steradian sr Härledda enheter Volym V = L 3 [m 3 ] Hastighet v = s/t [m/s] Kraft F = ma [kg m/s 2 = N] Arbete W=F L [Nm = J = Ws] Tryck p =F/A [N/m 2 = Pa] Tilläggsenheter Tid min, timme, dag Längd ljusår, ångström (Å) Volym liter Energi Ws, kwh Fysikexperiment, 7.5 hp 22 22

23 Dimensionsanalys Mycket ofta finner vi i fysiken samband av typen α y = a b där α, β, γ... kan vara antingen postiva eller negativa. Erfarenhetsmässigt är naturen "snäll"i den bemärkelsen att exponenterna är hel eller halvtal. Låt oss ta ett exempel: Tiden för en pendelrörelse - vi antar att den beror på pendelns längd, massa och tyngdaccelerationen: t = Al α m β g γ där A är en dimensionslös konstant. Fysikalisk storhet Symbol Dimension Enhet tid t T s längd l L m massa m M kg tyngdaccelerationen g L/T 2 m/s 2 γ 1 α β L α + γ β 2γ 1 α + γ β 2γ Vi får sambanden: T = L M = L M T eller s = m kg s 2 T 0 = α + γ 1 1 l 0 = β γ =, α = dvs t = A 2 2 g 1= 2γ Fysikexperiment, 7.5 hp 23 β c γ... Förberedande övning inför laboration 2. Notera att exponenten för massan blir 0 och M 0 1, dvs T är oberoende av massan. 23

24 Dimensionsanalys (forts) Ett kapillärrör sänks ner i en vätska. Experimentellt ser man att vätskan stiger i röret (om den väter glaset). Följande storheter bör vara relevanta för effekten: Fysikalisk storhet Symbol Dimension Enhet stighöjden h L m rörets radie r L m ytspänning γ M/T 2 kg/s 2 vätskans densitet ρ M/L 3 kg/m 3 tyngdaccelerationen g L/T 2 m/s 2 kontaktvinkel θ - - Identifiering av exponenterna ger : 1 = a 3c + d a = 1+ 2c 0 = b + c b = c 0 = 2b 2d d = c Vi söker ett samband : h a b c d e = Cr γ ρ g θ Vi har dimensionsambandet : a L = L ( MT ) ( ML ) ( LT 2 b 3 c 2 Vi kan alltså i princip nöja oss med att experimentellt undersöka hur stighöjden h beror av rörets radie r. Man finner att a γ = -1och h = C, (med C = 2cosθ från teorin) rρg ) d Fysikexperiment, 7.5 hp 24 Ett annat exempel. Man finner att alla variabler behöver inte varieras. 24

25 Atombombsexplosion ρ R R ET = k ρ The Trinity explosion, seconds after detonation. The fireball is about 200 meters wide Fysikexperiment, 7.5 hp 25 Hur kan man uppskatta energin i en atombombsexplosion? Försök visa sambandet ovan. E är den utlösta energin, T är tiden för eldklotet att nå ut till radien R och rho är luftens densitet (det medium som står emot explosionen). Man kan tänka sig en motsvarande sfärisk utvidgning av energin under markytan, men nu med 1000 gånger högre densitet (rho). Trinity was the first test of technology for a nuclear weapon. It was conducted by the United States on July 16, 1945, at a location 35 miles (56 km) southeast of Socorro, New Mexico, on what is now White Sands Missile Range, headquartered near Alamogordo. Trinity was a test of an implosion-design plutonium bomb. The Fat Man bomb, using the same conceptual design, was dropped on Nagasaki, Japan, a few weeks later. The Trinity detonation was equivalent to the explosion of around 20 kilotons of TNT and is usually considered as the beginning of the Atomic Age. Trotyl eller trinitrotoluen (TNT) är ett explosivt, fast ämne som används som sprängmedel. 1 kg TNT motsvarar ca 4x10 6 J). 20 kton TNT motsvarar då 8x10 13 J (motsvarar medelenergibehovet för ca 1000 medelstor villor i Sverige under ett år). 25

Appendix i instruktionen

Appendix i instruktionen Appendix i instruktionen Läs även Appendix A och Appendix B i instruktionerna till laboration 2 2010-10-05 Fysikexperiment, 7.5 hp 1 1 Linearisering genom logaritmering Ofta förekommer samband av typen:

Läs mer

Lektion 5. Analys av en mätövning Några problem ur boken Demolabben Systematiska fel Enheter sammanfattning Dimensionsanalys

Lektion 5. Analys av en mätövning Några problem ur boken Demolabben Systematiska fel Enheter sammanfattning Dimensionsanalys Lektion 5 Analys av en mätövning Några problem ur boken Demolabben Systematiska fel Enheter sammanfattning Dimensionsanalys 005-10-04 Fysikexperiment, 5p 1 Pullfördelningen Mätningen av tyngdaccelerationen:

Läs mer

Fysikaliska modeller. Skapa modeller av en fysikalisk verklighet med hjälp av experiment. Peter Andersson IFM fysik, adjunkt

Fysikaliska modeller. Skapa modeller av en fysikalisk verklighet med hjälp av experiment. Peter Andersson IFM fysik, adjunkt Fysikaliska modeller Skapa modeller av en fysikalisk verklighet med hjälp av experiment Peter Andersson IFM fysik, adjunkt På denna föreläsning Vad är en fysikalisk modell? Linjärisering med hjälp av logaritmer

Läs mer

STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM

STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM Tentamensskrivning i Fysikexperiment, 7,5 hp, för FK2002 Onsdagen den 15 december 2010 kl. 9-14. Skrivningen består av två delar A och B. Del A innehåller enkla frågor och

Läs mer

Sammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1. SI-enheter (MKSA)

Sammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1. SI-enheter (MKSA) Sammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1 Torsdagen den 4/9 2008 SI-enheter (MKSA) 7 grundenheter Längd: meter (m), dimensionssymbol L. Massa: kilogram (kg), dimensionssymbol M.

Läs mer

Experimentella metoder, FK3001. Datorövning: Finn ett samband

Experimentella metoder, FK3001. Datorövning: Finn ett samband Experimentella metoder, FK3001 Datorövning: Finn ett samband 1 Inledning Den här övningen går ut på att belysa hur man kan utnyttja dimensionsanalys tillsammans med mätningar för att bestämma fysikaliska

Läs mer

Experimentella metoder 2013, Räkneövning 3

Experimentella metoder 2013, Räkneövning 3 Experimentella metoder 2013, Räkneövning 3 Problem 1: Fem studenter mätte längden av ett rum, deras resultat blev 3,30 m, 2,90 m, 3,70 m, 3,50 m, och 3,10 m. Inga uppgifter om mätnoggrannheten är kända.

Läs mer

TENTAPLUGG.NU AV STUDENTER FÖR STUDENTER. Kursnamn Fysik 1. Datum LP Laboration Balkböjning. Kursexaminator. Betygsgränser.

TENTAPLUGG.NU AV STUDENTER FÖR STUDENTER. Kursnamn Fysik 1. Datum LP Laboration Balkböjning. Kursexaminator. Betygsgränser. TENTAPLUGG.NU AV STUDENTER FÖR STUDENTER Kurskod F0004T Kursnamn Fysik 1 Datum LP2 10-11 Material Laboration Balkböjning Kursexaminator Betygsgränser Tentamenspoäng Övrig kommentar Sammanfattning Denna

Läs mer

Var försiktig med elektricitet, laserstrålar, kemikalier osv. Ytterkläder får av säkerhetsskäl inte förvaras vid laborationsuppställningarna.

Var försiktig med elektricitet, laserstrålar, kemikalier osv. Ytterkläder får av säkerhetsskäl inte förvaras vid laborationsuppställningarna. Laborationsregler Förberedelser Läs (i god tid före laborationstillfället) igenom laborationsinstruktionen och de teoriavsnitt som laborationen behandlar. Till varje laboration finns ett antal förberedelseuppgifter.

Läs mer

Sammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1. SI-enheter (MKSA)

Sammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1. SI-enheter (MKSA) Sammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1 Torsdagen den 3/9 2009 SI-enheter (MKSA) 7 grundenheter Längd: meter (m), dimensionssymbol L. Massa: kilogram (kg), dimensionssymbol M.

Läs mer

Finns det över huvud taget anledning att förvänta sig något speciellt? Finns det en generell fördelning som beskriver en mätning?

Finns det över huvud taget anledning att förvänta sig något speciellt? Finns det en generell fördelning som beskriver en mätning? När vi nu lärt oss olika sätt att karaktärisera en fördelning av mätvärden, kan vi börja fundera över vad vi förväntar oss t ex för fördelningen av mätdata när vi mätte längden av en parkeringsficka. Finns

Läs mer

Lösningar 15 december 2004

Lösningar 15 december 2004 Lösningar 15 december 004 Tentamensskrivning i Fysikexperiment, 5p, för Fy1100 Onsdagen den 15 december 004 kl. 9-13(14). B.S. 1. En behållare för förvaring av bensin har formen av en liggande cylinder

Läs mer

Ingenjörsmetodik IT & ME 2011 Föreläsning 11

Ingenjörsmetodik IT & ME 2011 Föreläsning 11 Ingenjörsmetodik IT & ME 011 Föreläsning 11 Sammansatt fel (Gauss regel) Felanalys och noggrannhetsanalys Mätvärden och mätfel Medelvärde, standardavvikelse och standardosäkerher (statistik) 1 Läsanvisningar

Läs mer

Konsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter om måttenheter;

Konsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter om måttenheter; Konsoliderad version av Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter om måttenheter; Ändring införd: t.o.m. STAFS 2015:5 1 Dessa föreskrifter ska tillämpas på mätdon som används vid mätning

Läs mer

Övningar till datorintroduktion

Övningar till datorintroduktion Institutionen för Fysik Umeå Universitet Ylva Lindgren Sammanfattning En samling uppgifter att göra i MATLAB, vilka ska utföras enskilt eller i grupp om två. Datorintroduktion Handledare: (it@tekniskfysik.se)

Läs mer

Något om Dimensionsanalys och Mathematica. Assume period T Cm Α g Β L Γ s 1 kg Α m Β m Γ s 1 kg Α m Β. Identify exponents VL HL kg 0 Α m 0 Β Γ s 1 2 Β

Något om Dimensionsanalys och Mathematica. Assume period T Cm Α g Β L Γ s 1 kg Α m Β m Γ s 1 kg Α m Β. Identify exponents VL HL kg 0 Α m 0 Β Γ s 1 2 Β HH/ITE/BN Dimensionsanalys och Mathematica 1 Något om Dimensionsanalys och Mathematica Bertil Nilsson 2016-08-15 Assume period T Cm Α g Β Γ s 1 kg Α m Β m Γ s 2 s 1 kg Α m Β s 2Β m Γ Identify exponents

Läs mer

SVÄNGNINGSTIDEN FÖR EN PENDEL

SVÄNGNINGSTIDEN FÖR EN PENDEL Institutionen för fysik 2012-05-21 Umeå universitet SVÄNGNINGSTIDEN FÖR EN PENDEL SAMMANFATTNING Ändamålet med experimentet är att undersöka den matematiska modellen för en fysikalisk pendel. Vi har mätt

Läs mer

LABORATION 2 UPPTÄCK ETT SAMBAND

LABORATION 2 UPPTÄCK ETT SAMBAND Fysikum FK2002 - Fysikexperiment FK2004 - Exp. fysik för lärare Laborationsinstruktion (28 september 2010) LABORATION 2 UPPTÄCK ETT SAMBAND TÖMNING Mål Idenhärlaborationenskalldubörjamedattställauppenhypotes

Läs mer

EXPERIMENTELLA METODER LABORATION 2 UPPTÄCK ETT SAMBAND BALKEN

EXPERIMENTELLA METODER LABORATION 2 UPPTÄCK ETT SAMBAND BALKEN FYSIKUM Fysikum 21 mars 2005 Stockholms universitet EXPERIMENTELLA METODER LABORATION 2 UPPTÄCK ETT SAMBAND BALKEN FYSIKLINJEN ÅK1 Vårterminen 2005 Mål I den här laborationen skall du börja med att ställa

Läs mer

Ingenjörsmetodik IT & ME 2010 Föreläsning 2. Enheter i SI-systemet Kap 1 Dimensionsanalys Kap 6

Ingenjörsmetodik IT & ME 2010 Föreläsning 2. Enheter i SI-systemet Kap 1 Dimensionsanalys Kap 6 Ingenjörsmetodik IT & ME 2010 Föreläsning 2 Enheter i SI-systemet Kap 1 Dimensionsanalys Kap 6 1 Frågor från förra gången? 2 Likabehandling Funktionsnedsättning Har du en funktionsnedsättning och behöver

Läs mer

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM KH/CW/SS Tentamensskrivning i Experimentella metoder, 1p, för kandidatprogrammet i fysik, /5 01, 9-14 Införda beteckningar skall förklaras och uppställda ekvationer motiveras

Läs mer

Föreläsning 12: Regression

Föreläsning 12: Regression Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är

Läs mer

Stockholms Universitet Fysikum Tentamensskrivning i Experimentell fysik för lärare 7.5 hp, för FK2004. Onsdagen den 14 december 2011 kl 9-14.

Stockholms Universitet Fysikum Tentamensskrivning i Experimentell fysik för lärare 7.5 hp, för FK2004. Onsdagen den 14 december 2011 kl 9-14. Stockholms Universitet Fysikum Tentamensskrivning i Experimentell fysik för lärare 7.5 hp, för FK2004. Onsdagen den 14 december 2011 kl 9-14. Skrivningen består av tre delar: A, B och C. Del A innehåller

Läs mer

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012 Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår

Läs mer

Ingenjörsmetodik IT & ME Föreläsare Dr. Gunnar Malm

Ingenjörsmetodik IT & ME Föreläsare Dr. Gunnar Malm Ingenjörsmetodik IT & ME 2007 Föreläsare Dr. Gunnar Malm 1 Frågor från förra gången Datorer kan beställas på: http://www.kth.se/student/support/ict/ 2.739/1.11102 (bärbar dator vid ICT) U9200 kostar 7

Läs mer

Tentamen i Statistik, STG A01 och STG A06 (13,5 hp) Torsdag 5 juni 2008, Kl

Tentamen i Statistik, STG A01 och STG A06 (13,5 hp) Torsdag 5 juni 2008, Kl Karlstads Universitet Avdelningen för Nationalekonomi och Statistik Tentamen i Statistik, STG A0 och STG A06 (3,5 hp) Torsdag 5 juni 008, Kl 4.00-9.00 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formelsamling, approximationsschema

Läs mer

Experimentell metodik

Experimentell metodik Experimentell metodik Storheter, mätetal och enheter En fysikalisk storhet är en egenskap som kan mätas eller beräknas. En storhet är produkten av mätetal och enhet. Exempel 1: Elektronens massa är m =

Läs mer

Övningsuppgifter till Originintroduktion

Övningsuppgifter till Originintroduktion UMEÅ UNIVERSITET 05-08-01 Institutionen för fysik Ylva Lindgren Övningsuppgifter till Originintroduktion Uppgift 1. I ett experiment vill man bestämma fjäderkonstanten k för en viss fjäder. Med olika kraft

Läs mer

Del A Begrepp och grundläggande förståelse.

Del A Begrepp och grundläggande förståelse. STOCKHOLMS UIVERSITET FYSIKUM Tentamensskrivning i Experimentella metoder, 1 hp, för kandidatprogrammet, år 1 Fredagen den 9 maj 008 kl 9-15. S.H./K.H./K.J.-A./B.S. Införda beteckningar bör förklaras och

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Kontinuerliga sannolikhetsfördelningar (LLL Kap 7 & 9) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics

Läs mer

MVE051/MSG Föreläsning 14

MVE051/MSG Föreläsning 14 MVE051/MSG810 2016 Föreläsning 14 Petter Mostad Chalmers December 14, 2016 Beroende och oberoende variabler Hittills i kursen har vi tittat på modeller där alla observationer representeras av stokastiska

Läs mer

STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM

STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM Tentamensskrivning i Fysikexperiment, 7,5 hp, för FK2002 Onsdagen den 17 december 2008 kl. 9-14. Skrivningen består av två delar A och B. Del A innehåller enkla frågor och

Läs mer

Kovarians och kriging

Kovarians och kriging Kovarians och kriging Bengt Ringnér November 2, 2007 Inledning Detta är föreläsningsmanus på lantmätarprogrammet vid LTH. 2 Kovarianser Sedan tidigare har vi, för oberoende X och Y, att VX + Y ) = VX)

Läs mer

Experimentella metoder 2014, Räkneövning 1

Experimentella metoder 2014, Räkneövning 1 Experimentella metoder 04, Räkneövning Problem : Tio mätningar av en resistans gav följande resultat: Mätning no. Resistans (Ω) Mätning no Resistans (Ω) 0.3 6 0.0 00.5 7 99.98 3 00.0 8 99.80 4 99.95 9

Läs mer

Prediktera. Statistik för modellval och prediktion. Trend? - Syrehalt beroende på kovariater. Sambands- och trendanalys

Prediktera. Statistik för modellval och prediktion. Trend? - Syrehalt beroende på kovariater. Sambands- och trendanalys Statistik för modellval och prediktion att beskriva, förklara och förutsäga Georg Lindgren Prediktera Matematisk statistik, Lunds universitet stik för modellval och prediktion p.1/28 Statistik för modellval

Läs mer

9-2 Grafer och kurvor Namn:.

9-2 Grafer och kurvor Namn:. 9-2 Grafer och kurvor Namn:. Inledning I föregående kapitel lärde du dig vad som menas med koordinatsystem och hur man kan visa hur matematiska funktioner kan visas i ett koordinatsystem. Det är i och

Läs mer

PROGRAMFÖRKLARING I. Statistik för modellval och prediktion. Ett exempel: vågriktning och våghöjd

PROGRAMFÖRKLARING I. Statistik för modellval och prediktion. Ett exempel: vågriktning och våghöjd Statistik för modellval och prediktion att beskriva, förklara och förutsäga Georg Lindgren PROGRAMFÖRKLARING I Matematisk statistik, Lunds universitet stik för modellval och prediktion p.1/4 Statistik

Läs mer

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 9 Joakim Lübeck (Johan Lindström 25 september 217 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB2 F9 1/23 Repetition Inferens för diskret

Läs mer

TMFT13 Fö: Temperaturmätning

TMFT13 Fö: Temperaturmätning TMFT13 Fö: Temperaturmätning Per Sandström Institutionen för Fysik, Kemi och Biologi Grundenheterna i Si-systemet Massa 1 kg Massan av en platina vikt som förvaras i Frankrike. Längd 1 m Det avstånd som

Läs mer

Korrelation kausalitet. ˆ Y =bx +a KAPITEL 6: LINEAR REGRESSION: PREDICTION

Korrelation kausalitet. ˆ Y =bx +a KAPITEL 6: LINEAR REGRESSION: PREDICTION KAPITEL 6: LINEAR REGRESSION: PREDICTION Prediktion att estimera "poäng" på en variabel (Y), kriteriet, på basis av kunskap om "poäng" på en annan variabel (X), prediktorn. Prediktion heter med ett annat

Läs mer

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet

Läs mer

Innehållsförteckning

Innehållsförteckning Innehållsförteckning Inledning 2 Grundläggande fysik 3 SI enheter 3 Area och godstjocklek 4 Tryck 5 Temperatur 7 Densitet 8 Flöde 10 Värmevärde 11 Värmeutvidgning 14 Sträckgränser 15 Allmänna gaslagen

Läs mer

Kapitel 4: SAMBANDET MELLAN VARIABLER: REGRESSIONSLINJEN

Kapitel 4: SAMBANDET MELLAN VARIABLER: REGRESSIONSLINJEN Kapitel 4: SAMBANDET MELLAN VARIABLER: REGRESSIONSLINJEN Spridningsdiagrammen nedan representerar samma korrelationskoefficient, r = 0,8. 80 80 60 60 40 40 20 20 0 0 20 40 0 0 20 40 Det finns dock två

Läs mer

Vetenskaplig metod och statistik

Vetenskaplig metod och statistik Vetenskaplig metod och statistik Innehåll Vetenskaplighet Hur ska man lägga upp ett experiment? Hur hanterar man felkällor? Hur ska man tolka resultatet från experimentet? Experimentlogg Att fundera på

Läs mer

2010-08-30 Fysikexperiment, 7.5 hp 1

2010-08-30 Fysikexperiment, 7.5 hp 1 Presentation av data Medelvärde av grupperade data Slumptal Gränsvärdesfunktioner Normalfördelningsfunktionen Parameterbestämning Minsta kvadratmetoden 010-08-30 Fysikexperiment, 7.5 hp 1 1 Presentation

Läs mer

Lathund fo r rapportskrivning: LATEX-mall. F orfattare Institutionen f or teknikvetenskap och matematik

Lathund fo r rapportskrivning: LATEX-mall. F orfattare Institutionen f or teknikvetenskap och matematik Lathund fo r rapportskrivning: LATEX-mall F orfattare forfattare@student.ltu.se Institutionen f or teknikvetenskap och matematik 31 maj 2017 1 Sammanfattning Sammanfattningen är fristående från rapporten

Läs mer

MVE051/MSG Föreläsning 7

MVE051/MSG Föreläsning 7 MVE051/MSG810 2016 Föreläsning 7 Petter Mostad Chalmers November 23, 2016 Överblick Deskriptiv statistik Grafiska sammanfattningar. Numeriska sammanfattningar. Estimering (skattning) Teori Några exempel

Läs mer

Uppgift 1 (a) För två händelser, A och B, är följande sannolikheter kända

Uppgift 1 (a) För två händelser, A och B, är följande sannolikheter kända Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 9:E JUNI 205 KL 4.00 9.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

Statistik B Regressions- och tidsserieanalys Föreläsning 1

Statistik B Regressions- och tidsserieanalys Föreläsning 1 Statistik B Regressions- och tidsserieanalys Föreläsning Kurskod: 732G7, 8 hp Lärare och examinator: Ann-Charlotte (Lotta) Hallberg Lärare och lektionsledare: Isak Hietala Labassistenter Kap 3,-3,6. Läs

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH MER ON VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS. KOVARIANS OCH KORRELATION. STORA TALENS LAG. STATISTIK.

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH MER ON VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS. KOVARIANS OCH KORRELATION. STORA TALENS LAG. STATISTIK. SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 6 MER ON VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS. KOVARIANS OCH KORRELATION. STORA TALENS LAG. Tatjana Pavlenko 12 september 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition

Läs mer

Linnéuniversitetet Institutionen för fysik och elektroteknik

Linnéuniversitetet Institutionen för fysik och elektroteknik Linnéuniversitetet Institutionen för fysik och elektroteknik Ht2015 Program: Naturvetenskapligt basår Kurs: Fysik Bas 1 delkurs 1 Laborationsinstruktion 1 Densitet Namn:... Lärare sign. :. Syfte: Träna

Läs mer

Ingenjörsmetodik IT & ME 2010 Föreläsning 5

Ingenjörsmetodik IT & ME 2010 Föreläsning 5 Ingenjörsmetodik IT & ME 010 Föreläsning 5 Sammansatt fel (Gauss regel) Felanalys och noggrannhetsanalys Mätvärden och mätfel Medelvärde, standardavvikelse och standardosäkerher (statistik) 1 Frågor från

Läs mer

9 Storheter och enheter

9 Storheter och enheter 9 Storheter och enheter 9.1 SI - DET INTERNATIONELLA ENHETSSYSTEMET SI (Systeme Internationale d'unites), det internationella måttenhetssystemet, är inte ett helt nytt måttsystem. Det bygger på tidigare

Läs mer

FACIT (korrekta svar i röd fetstil)

FACIT (korrekta svar i röd fetstil) v. 2013-01-14 Statistik, 3hp PROTOKOLL FACIT (korrekta svar i röd fetstil) Datorlaboration 2 Konfidensintervall & hypotesprövning Syftet med denna laboration är att ni med hjälp av MS Excel ska fortsätta

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall)

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 9. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 21.02.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 21.02.2012

Läs mer

Kundts rör - ljudhastigheten i luft

Kundts rör - ljudhastigheten i luft Kundts rör - ljudhastigheten i luft Laboration 4, FyL VT00 Sten Hellman FyL 3 00-03-1 Laborationen utförd 00-03-0 i par med Sune Svensson Assisten: Jörgen Sjölin 1. Inledning Syftet med försöket är att

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 10. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 18.02.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 18.02.2016

Läs mer

Matematikcentrum 1(4) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 HT10. Laboration. Regressionsanalys (Sambandsanalys)

Matematikcentrum 1(4) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 HT10. Laboration. Regressionsanalys (Sambandsanalys) Matematikcentrum 1(4) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 HT10 Laboration Regressionsanalys (Sambandsanalys) Grupp A: 2010-11-24, 13.15 15.00 Grupp B: 2010-11-24, 15.15 17.00 Grupp C: 2010-11-25,

Läs mer

Laboration 1 Nedslagskratrar

Laboration 1 Nedslagskratrar Laboration 1 Nedslagskratrar Den här laborationen är uppdelad i två försök, där man i båda försöken ska släppa stålkulor på en sandbädd, vilket kan ses som en mycket enkel simulering av ett meteoritnedslag.

Läs mer

i medelvärdet

i medelvärdet 1. Medelvärde, standardavvikelse och felet i medelvärdet Antag att vi har N mätningar x 1,x,...,x N av en och samma storhet x. Under antagandet att alla avvikelser från medelvärdet är statistiska och små

Läs mer

Medicinsk statistik II

Medicinsk statistik II Medicinsk statistik II Läkarprogrammet termin 5 VT 2013 Susanna Lövdahl, Msc, doktorand Klinisk koagulationsforskning, Lunds universitet E-post: susanna.lovdahl@med.lu.se Dagens föreläsning Fördjupning

Läs mer

Kort om mätosäkerhet

Kort om mätosäkerhet Kort om mätosäkerhet Henrik Åkerstedt 14 oktober 2014 Introduktion När man gör en mätning, oavsett hur noggrann man är, så får man inte exakt rätt värde. Alla mätningar har en viss osäkerhet. Detta kan

Läs mer

EXAMINATION KVANTITATIV METOD vt-11 (110319)

EXAMINATION KVANTITATIV METOD vt-11 (110319) ÖREBRO UNIVERSITET Hälsoakademin Idrott B Vetenskaplig metod EXAMINATION KVANTITATIV METOD vt-11 (110319) Examinationen består av 10 frågor, flera med tillhörande följdfrågor. Besvara alla frågor i direkt

Läs mer

Tentamen Statistik och dataanalys 1, 5p Institutionen för matematik, natur- och datavetenskap, Högskolan i Gävle

Tentamen Statistik och dataanalys 1, 5p Institutionen för matematik, natur- och datavetenskap, Högskolan i Gävle Tentamen Statistik och dataanalys 1, 5p Institutionen för matematik, natur- och datavetenskap, Högskolan i Gävle Lärare: Mikael Elenius, 2006-08-25, kl:9-14 Betygsgränser: 65 poäng Väl Godkänt, 50 poäng

Läs mer

Beskrivande statistik. Tony Pansell, Leg optiker Docent, Universitetslektor

Beskrivande statistik. Tony Pansell, Leg optiker Docent, Universitetslektor Beskrivande statistik Tony Pansell, Leg optiker Docent, Universitetslektor Beskrivande statistik Grunden för all analys är ordning och reda! Beskrivande statistik hjälper oss att överskådligt sammanfatta

Läs mer

Kapitel 1. Kemiska grundvalar

Kapitel 1. Kemiska grundvalar Kapitel 1 Kemiska grundvalar Kapitel 1 Innehåll 1.1 Kemi: en översikt 1.2 Den vetenskapliga metoden 1.3 Storheter och enheter 1.4 Osäkerheter i mätningar 1.5 Signifikanta siffror och beräkningar 1.6 Enhetskonvertering

Läs mer

DELPROV 2/TENTAMEN STRÖMNINGSLÄRA FÖR W, VVR OKTOBER 2003, 08:00-11:00 (Delprov), 08:00-13:00 (Tentamen)

DELPROV 2/TENTAMEN STRÖMNINGSLÄRA FÖR W, VVR OKTOBER 2003, 08:00-11:00 (Delprov), 08:00-13:00 (Tentamen) Joakim Malm Teknisk Vattenresurslära LTH DELPROV /TENTAMEN STRÖMNINGSLÄRA FÖR W, VVR0 4 OKTOBER 003, 08:00-:00 (Delprov), 08:00-3:00 (Tentamen) Tillåtna hjälpmedel: Kom ihåg: För samtliga uppgifter: Rättning:

Läs mer

Vetenskaplig metod och Statistik

Vetenskaplig metod och Statistik Vetenskaplig metod och Statistik Innehåll Hur ska man lägga upp ett experiment? Hur hanterar man felkällor? Hur ska man tolka resultatet från experimentet? Experimentlogg Att fundera på Experiment NE:

Läs mer

Inlämningsuppgift 4 NUM131

Inlämningsuppgift 4 NUM131 Inlämningsuppgift 4 NUM131 Modell Denna inlämningsuppgift går ut på att simulera ett modellflygplans rörelse i luften. Vi bortser ifrån rörelser i sidled och studerar enbart rörelsen i ett plan. De krafter

Läs mer

2.1 Minitab-introduktion

2.1 Minitab-introduktion 2.1 Minitab-introduktion Betrakta följande mätvärden (observationer): 9.07 11.83 9.56 7.85 10.44 12.69 9.39 10.36 11.90 10.15 9.35 10.11 11.31 8.88 10.94 10.37 11.52 8.26 11.91 11.61 10.72 9.84 11.89 7.46

Läs mer

Bild 1. Bild 2 Sammanfattning Statistik I. Bild 3 Hypotesprövning. Medicinsk statistik II

Bild 1. Bild 2 Sammanfattning Statistik I. Bild 3 Hypotesprövning. Medicinsk statistik II Bild 1 Medicinsk statistik II Läkarprogrammet T5 HT 2014 Anna Jöud Arbets- och miljömedicin, Lunds universitet ERC Syd, Skånes Universitetssjukhus anna.joud@med.lu.se Bild 2 Sammanfattning Statistik I

Läs mer

Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, kalkylator i fickformat, samt en egenhändigt skriven A4- sida med valfritt innehåll.

Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, kalkylator i fickformat, samt en egenhändigt skriven A4- sida med valfritt innehåll. Tentamen i Mekanik för F, del B Tisdagen 17 augusti 2004, 8.45-12.45, V-huset Examinator: Martin Cederwall Jour: Ling Bao, tel. 7723184 Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, kalkylator i fickformat,

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer III Innehåll

Läs mer

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller: Matematisk Statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Tentamen TT091A TGMAS15h 7,5 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 30 Maj Tid: 9-13 Hjälpmedel: Miniräknare (nollställd) samt allmänspråklig

Läs mer

Experimentell metodik

Experimentell metodik Experimentell metodik Storheter, mätetal och enheter En fysikalisk storhet är en egenskap som kan mätas eller beräknas. En storhet är produkten av mätetal och enhet. Exempel 1: Elektronens massa är m =

Läs mer

Wilma kommer ut från sitt luftkonditionerade hotellrum bildas genast kondens (imma) på hennes glasögon. Uppskatta

Wilma kommer ut från sitt luftkonditionerade hotellrum bildas genast kondens (imma) på hennes glasögon. Uppskatta TENTAMEN I FYSIK FÖR V1, 18 AUGUSTI 2011 Skrivtid: 14.00-19.00 Hjälpmedel: Formelblad och räknare. Börja varje ny uppgift på nytt blad. Lösningarna ska vara väl motiverade och försedda med svar. Kladdblad

Läs mer

Statistiska metoder för säkerhetsanalys

Statistiska metoder för säkerhetsanalys F10: Intensiteter och Poissonmodeller Frågeställningar Konstant V.v.=Var Cyklister Poissonmodeller för frekvensdata Vi gör oberoende observationer av de (absoluta) frekvenserna n 1, n 2,..., n k från den

Läs mer

Repetition F4. Lunds universitet / Naturvetenskapliga fakulteten / Kemiska institutionen / KEMA00

Repetition F4. Lunds universitet / Naturvetenskapliga fakulteten / Kemiska institutionen / KEMA00 Repetition F4 VSEPR-modellen elektronarrangemang och geometrisk form Polära (dipoler) och opolära molekyler Valensbindningsteori σ-binding och π-bindning hybridisering Molekylorbitalteori F6 Gaser Materien

Läs mer

Del A Begrepp och grundläggande förståelse.

Del A Begrepp och grundläggande förståelse. STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM Tentamensskrivning i Experimentella metoder, 1 hp, för kandidatprogrammet, år 1 Onsdagen den 18 juni 008 kl 9-15. S.H./K.H./K.J.-A./B.S. Införda beteckningar bör förklaras

Läs mer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer Innehåll 1 Korrelation och regression Innehåll 1 Korrelation och regression Spridningsdiagram Då ett datamaterial består av två (eller era) variabler är man ofta intresserad av att veta om det nns ett

Läs mer

Tentamen i statistik (delkurs C) på kursen MAR103: Marina Undersökningar - redskap och metoder.

Tentamen i statistik (delkurs C) på kursen MAR103: Marina Undersökningar - redskap och metoder. Tentamen 2014-12-05 i statistik (delkurs C) på kursen MAR103: Marina Undersökningar - redskap och metoder. Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare och utdelad formelsamling med tabeller. C1. (6 poäng) Ange för

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE1 den 1 mars 214 kl 8.-1. 1. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = 2 arctan x + ln (1 + x 2 ), där

Läs mer

Stokastiska vektorer

Stokastiska vektorer TNG006 F2 9-05-206 Stokastiska vektorer 2 Kovarians och korrelation Definition 2 Antag att de sv X och Y har väntevärde och standardavvikelse µ X och σ X resp µ Y och σ Y Då kallas för kovariansen mellan

Läs mer

Föreläsning 2. Kap 3,7-3,8 4,1-4,6 5,2 5,3

Föreläsning 2. Kap 3,7-3,8 4,1-4,6 5,2 5,3 Föreläsning Kap 3,7-3,8 4,1-4,6 5, 5,3 1 Kap 3,7 och 3,8 Hur bra är modellen som vi har anpassat? Vi bedömer modellen med hjälp av ett antal kriterier: visuell bedömning, om möjligt F-test, signifikanstest

Läs mer

Experimentella metoder 2014, Räkneövning 4

Experimentella metoder 2014, Räkneövning 4 Experimentella metoder, Räkneövning Problem : På polisstationen i Slottshult är man missnöjd med att polisdistriktet utvidgats till att också omfatta grankommunen Järvsprånget Innan utvidningen hade man

Läs mer

Föreläsning 6, Matematisk statistik Π + E

Föreläsning 6, Matematisk statistik Π + E Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss Föreläsning 6, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 2 december 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F6 1/20 Repetition Kovarians Stora

Läs mer

Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp, Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för beräkningsvetenskap Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp, 2015-12-17 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!)

Läs mer

Förslag till EUROPAPARLAMENTETS OCH RÅDETS DIREKTIV. om tillnärmning av medlemsstaternas lagstiftning för måttenheter.

Förslag till EUROPAPARLAMENTETS OCH RÅDETS DIREKTIV. om tillnärmning av medlemsstaternas lagstiftning för måttenheter. EUROPEISKA KOMMISSIONEN Förslag till Bryssel den 27.9.2010 KOM(2010) 507 slutlig 2010/0260 (COD) C7-0287/10 EUROPAPARLAMENTETS OCH RÅDETS DIREKTIV om tillnärmning av medlemsstaternas lagstiftning för måttenheter

Läs mer

3-8 Proportionalitet Namn:

3-8 Proportionalitet Namn: 3-8 Proportionalitet Namn: Inledning Det här kapitlet handlar om samband mellan olika storheter och formler. När du är klar är du mästare på att arbeta med proportionalitet, det vill säga du klarar enkelt

Läs mer

Hur måttsätta osäkerheter?

Hur måttsätta osäkerheter? Geotekniska osäkerheter och deras hantering Hur måttsätta osäkerheter? Lars Olsson Geostatistik AB 11-04-07 Hur måttsätta osäkerheter _LO 1 Sannolikheter Vi måste kunna sätta mått på osäkerheterna för

Läs mer

Kapitel 1. Kemiska grundvalar

Kapitel 1. Kemiska grundvalar Kapitel 1 Kemiska grundvalar Kapitel 1 Innehåll 1.1 Kemi: en översikt 1.2 Den vetenskapliga metoden 1.3 Storheter och enheter 1.4 Osäkerheter i mätningar 1.5 Signifikanta siffror och beräkningar 1.6 Enhetskonvertering

Läs mer

En pendels svängningstid

En pendels svängningstid Använd denna exempelrapport som mall för din rapport. Mer detaljer hittar du i Lathund för rapportskrivning av Merkel, Andersson, Lundquist och Önnegren. Notera att denna exempelrapport beskriver ett mycket

Läs mer

Svar: Inbromsningssträckan ökar med 10 m eller som Sören Törnkvist formulerar svaret på s 88 i sin bok Fysik per vers :

Svar: Inbromsningssträckan ökar med 10 m eller som Sören Törnkvist formulerar svaret på s 88 i sin bok Fysik per vers : FYSIKTÄVLINGEN KVALIFICERINGS- OCH LAGTÄVLING 1 februari 001 LÖSNINGSFÖRSLAG SVENSKA FYSIKERSAMFNDET 1. Enligt energiprincipen är det rörelseenergin som bromsas bort i friktionsarbetet. Detta ger mv sambandet

Läs mer

Vågrörelselära och optik

Vågrörelselära och optik Vågrörelselära och optik Kapitel 14 Harmonisk oscillator 1 Vågrörelselära och optik 2 Vågrörelselära och optik Kurslitteratur: University Physics by Young & Friedman (14th edition) Harmonisk oscillator:

Läs mer

En mycket vanlig frågeställning gäller om två storheter har ett samband eller inte, många gånger är det helt klart:

En mycket vanlig frågeställning gäller om två storheter har ett samband eller inte, många gånger är det helt klart: En mcket vanlig frågeställning gäller om två storheter har ett samband eller inte, många gånger är det helt klart: För en mätserie som denna är det ganska klart att det finns en koppling mellan -variabeln

Läs mer

Kapitel 3. Standardatmosfären

Kapitel 3. Standardatmosfären Kapitel 3. Standardatmosfären Omfattning: Allmänt om atmosfären Standardatmosfären Syfte med standardatmosfären Definition av höjd Lite fysik ISA-tabeller Tryck-, temp.- och densitetshöjd jonas.palo@bredband.net

Läs mer

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM K.H./C.F./C.W. Tentamensskrivning i Experimentella metoder, 1p, för kandidatprogrammet i fysik, 18/6 013, 9-14. Införda beteckningar skall förklaras och uppställda ekvationer

Läs mer

De fysikaliska parametrar som avgör periodtiden för en fjäder

De fysikaliska parametrar som avgör periodtiden för en fjäder De fysikaliska parametrar som avgör periodtiden för en fjäder Teknisk Fysik, Chalmers tekniska högskola, Sverige Robin Andersson Email: robiand@student.chalmers.se Alexander Grabowski Email: alegra@student.chalmers.se

Läs mer

Om-Tentamen Inledande kurs i energiteknik 7,5hp. Lösningsförslag. Tid: , Kl Plats: Östra paviljongerna

Om-Tentamen Inledande kurs i energiteknik 7,5hp. Lösningsförslag. Tid: , Kl Plats: Östra paviljongerna UMEÅ UNIVERSITET Tillämpad Fysik & Elektronik A Åstrand Mohsen Soleimani-Mohseni 2014-11-15 Om-Tentamen Inledande kurs i energiteknik 7,5hp Lösningsförslag Tid: 141115, Kl. 09.00-15.00 Plats: Östra paviljongerna

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 4. b) = 3 1 = 2

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 4. b) = 3 1 = 2 Kapitel.1 101, 102 Exempel som löses i boken 10 a) x= 1 11+ x= 11+ 1 = 2 c) x= 11 7 x= 7 11 = 77 b) x= 5 x 29 = 5 29 = 6 d) x= 2 26 x= 26 2= 1 10 a) x= 6 5+ 9 x= 5+ 9 6= 5+ 5= 59 b) a = 8a 6= 8 6= 2 6=

Läs mer