Utdrag från Verklighetens Kvadratrötter: Sida 1 en bok om matematikens användningsområden skriven av Marcus Näslund. Mer info:

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Utdrag från Verklighetens Kvadratrötter: Sida 1 en bok om matematikens användningsområden skriven av Marcus Näslund. Mer info: www.kvadratrot.se."

Transkript

1 Utdrag från Verklighetens Kvadratrötter: Sida 1 SPORT OCH SPEL Matematik för såväl mentala som fysiska ansträngningar Ekvationslösning, matematiska resonemang, sannolikhetsteori Räkna med slumpen Det var i och med att olika spel såsom tärningsspel och kortspel blev populära och den franska adeln började förlora stora summor som sannolikhetsteorin först blev en matematisk gren. Denna fascination började på 1500-talet och har bara vuxit sedan dess, slumpen är idag ett viktigt beräkningsverktyg. Inom många olika tillämpningar känner vi inte till allt som påverkar det vi vill mäta. Att kunna räkna med slumpen, flera olika värden samtidigt, ger förvånansvärt bra resultat. Sport och spel är tydliga exempel på hur slumpen är en viktig faktor. Ingen känner till alla faktorer som påverkar en kommande match. De som är insatta kan göra goda förutsägelser, men ingen kan veta säkert förrän vinnaren korats. Vore det inte för denna osäkerhet skulle spelbolagen inte ha någon marknad alls. Korrekta matematiska resonemang, statistik och sannolikhetsteori är ovärderliga verktyg i spelsammanhang. Angivelser om hur sannolik en händelse är, till exempel att lag A vinner mot lag B, beräknas tillsammans med erfarna och inom sporten pålästa människor. Sannolikhetsteori, som ursprungligen utvecklades för att kunna vinna på spel, används fortfarande för detta ändamål även om ämnet idag är bredare än så. När mobiltelefoni växte fram i USA auktionerades frekvenser ut till olika telefonbolag. I brist på experter inom området visade det sig att tillämpningsområden som spelteori gav de bästa och mest rättvisa metoderna att ordna försäljningarna på. Inte ens löparbanan går fri från matematiken. De yttre banorna är längre än de inre. Eftersom man vill att alla löpare ska nå mållinjen efter lika lång sträcka så måste de yttersta löparna börja framför de innersta. Frågan om hur mycket längre bakom de ska starta har inte ett självklart svar (utan matematikens hjälp, det vill säga). Andra exempel på sportrelaterad matematik som inte riktigt är på samma tema är inom materialvetenskap där kunskaper i kemi, fysik och matematik blandas för att ta fram bättre, starkare och hållbarare redskap (till exempel tennisracketar, hjälmar och skor). Golfbollar är som bekant fulla av gropar eftersom detta förbättrar deras flygförmåga. Just hur dessa gropar ska se ut och placeras för bästa resultat kan visas med ekvationer inom aerodynamik. Beräkningar av odds En sannolikhet betecknas matematiskt med 0 (0 %) om det är omöjligt, och 1 (100 %) om det garanterat kommer ske. Däremellan används decimaltal för att indikera andra sannolikheter: 0,1 innebär en mycket osannolik händelse och 0,9 en mycket sannolik händelse. 1 0,5 innebär en chans. Inom bettingsammanhang omräknas sannolikheter till hur mycket pengar en spelare kan tjäna vid en korrekt gissning och benämns oftast odds. En händelse som är mycket sannolik ger inte så mycket pengar och har kanske 1,1 i odds. Det vill säga, personen vinner endast 1,1 gånger de satsade pengarna om denna 1 Är det fyra gånger mer sannolikt att något sker än att det inte sker är sannolikheten 0,8. Detta kan också uttryckas som fyra mot ett eller skrivas 4:1. Så kommer dock sannolikheter ej skrivas i denna bok.

2 Utdrag från Verklighetens Kvadratrötter: Sida 2 har rätt. En mycket osannolik händelse kan istället ge kanske 7,8 eller 25 i odds. En potentiellt större vinst, men mindre sannolikhet att det faktiskt blir vinst alls. Att anpassa oddsen korrekt är svårt och görs med goda insikter i de sporter som det gäller. Sannolikheterna måste beräknas (ungefärligt, såklart) och oddsen anpassas så att de är tillräckligt höga för att folk ska vilja spela men samtidigt tillräckligt låga för att företaget inte ska riskera att gå i konkurs. För alla sorters skraplotter genomförs samma beräkningar. Antalet lotter med vinst bestäms utifrån hur stora vinsterna är och hur stor sannolikhet det är att alla vinstlotter hinner skrapas inom en viss tid. Spelföretaget måste se till att ha tillräckligt med pengar att kunna betala ut dessa vinster och därför hinna sälja övriga lotter och få in pengar på det viset först. Dessa statistiska beräkningar kan tas till sin spets och hela sportligor kan placeras i statistiska sammanhang, vilket är vanligt i fotboll och baseboll. 2 Med resultat från uppmätta data (vinster, förluster, spelarkostnader, senaste matcher mot samma lag) och analyser av olika mönster försöker tävlande designa ekvationer som kan förutsäga framtida matcher. Sannolikheter i matematik betecknas oftast med ett P efter engelskans probability. Den händelse det avser skrivs inom parentes efter. Till exempel betecknas sannolikheten att på en tärning få en trea som. Sannolikheten för en händelse beräknas sedan som antalet gynnsamma utfall, alltså de möjligheter man är intresserad av, dividerat med det totala antalet möjligheter. Låt säga att en fotbollsspelare under sin karriär lagt 16 straffsparkar och gjort mål på 7 av dem. Sannolikheten för mål respektive inte mål är enkelt uttryckt: Det är alltså mer sannolikt (56 %) att det inte blir mål på nästa straff. Här kan ännu mer matematik läggas in. Kanske var de flesta missarna för flera år sedan och spelaren har hunnit bli mycket bättre sedan dess. Borde de senaste straffarna påverka sannolikheten mer? Hur långt tillbaka borde historik tas med i beräkningarna? Viktiga frågor för att kunna bestämma bra odds. Att bestämma vem som är bäst Ofta vill personer i sportbranschen kunna uttala sig om hur bra olika personer eller lag är i förhållande till varandra, även utanför tävlingar. De får en viss rankning, ett tal som talar om hur bra de lyckats mot andra. Att rättvist dela ut en rankning är en svår sak. Inte heller finns det någon självklar formel, det är istället något som måste resoneras fram med matematiska kunskaper. Samtidigt måste formeln kunna motiveras och bevisas kunna fungera, så att de bästa lagen faktiskt representeras som bäst. Inom fotboll har det internationella organet FIFA ett poängbaserat rankningsystem, där fler poäng betyder ett bättre lag. Den enklaste varianten är att ett lag får en poäng om det vinner en match och förlorar ett poäng om de förlorar en match. En metod som snabbt kan bli problematisk. Bland hundratals fotbollslag bör ett lag tjäna mer på att vinna en match mot världens bästa än mot världens sämsta. Hur många poäng bör det skilja? 2 Konceptet är känt som statistical soccer och statistical baseball i USA. Dessa är de vanligaste sporterna i detta sammanhang, men samma sak fungerar självklart på vilka som tävlingar helst där tillräckligt med data finns att räkna på.

3 Utdrag från Verklighetens Kvadratrötter: Sida 3 Samtidigt kan inflation förstöra systemet och måste undvikas. Om ett lag får lika mycket poäng för varje vinst så kommer de bättre lagen snabbt kunna dra ifrån de sämre lagen, och då kommer det i framtiden inte synas om något av bottenlagen blivit bättre. För att klättra upp på listan behöver de i så fall orättvist många poäng eftersom skillnaden hunnit bli stor. Ett vanligt sätt att beräkna poängbaserade rankningar av detta slag kallas Elosystemet, döpt efter dess utvecklare Arpad Elo, professor i fysik. Det används idag i många olika sporter som fotboll, basket, baseboll och brädspel som schack, backgammon och go. Vi tänker oss någon sport där spelare A utmanas av spelare B. Det kan röra sig om individer eller hela lag, det gör ingen skillnad. Poängräkningen baseras i Elo-systemet enligt följande idé: om en spelare har 400 Elo-poäng mer än sin motståndare är det 10 gånger mer troligt att denna vinner. Om en spelare har 800 poäng mer än sin motståndare är vinstsannolikheten då gånger större jämfört med motståndaren. Förväntat vunna poäng för spelare A, som varierar beroende på motståndarens styrka, beräknas med: Förväntat vunna poäng ger alltså en indikation för hur stor vinstchansen är. Om låg vinstchans och vice versa. är lågt betyder det en Här används och som beteckningar för hur många poäng (vilken förväntad spelstyrka) spelare A respektive B har. Denna ovanstående är alltså ett mått på det mest sannolika värdet för spelare A:s antal vunna poäng. När matchen eller partiet sedan spelats går det att konstatera hur många poäng som spelare A faktiskt vann,. Kanske ingen alls, om matchen blev en förlust? Poängen uppdateras efteråt med K är en konstant med olika värden hos olika organisationer. Värdet kan också varieras beroende på hur många poäng spelaren redan har, den behöver inte vara densamma för alla spelare. Däremot måste den självklart väljas på ett sätt som gör rankningen rättvis för alla och denna rättvisa måste kunna bekräftas matematiskt. Elo och andra liknande system används inte enbart bland sporter i gammal benämning utan också i stor utsträckning hos e-sporter, dator- och tv-spel, för att kunna matcha spelare med jämbördiga motståndare. Varianter av Elo används på sökmotorer på internet för att bestämma vilka sidor som är mest relevanta enligt vad du sökt efter. Denna teknik kallas Pagerank, uppkallad efter Larry Page som tillsammans med matematikern Sergey Brin först grundade företaget Google Här tydliggörs återigen styrkorna med abstraktion och generalisering. Nästan samma idéer och ekvationer som används för Elo-systemet för sporter tillämpas här på hemsidor. Istället för att ett lag vinner över ett annat hanteras här vilka hemsidor som länkar till andra. Om ingen länkar till en viss hemsida anses den inte så viktig. Skulle istället många länkar leda till hemsidan får den fler poäng och hamnar högre upp på listan med sökresultat. Matematik för att vinna Trots att slumpen är den dominerande faktorn i vanliga spel kan många människor ofta förbättra sina strategier. Slumpmässiga spel såsom kortspel och vanliga casinospel som roulette kallas för stokastiska, till

4 Utdrag från Verklighetens Kvadratrötter: Sida 4 skillnad från brädspel som schack och go där all information alltid är tillgänglig. De benämns istället som deter-ministiska. Ett deterministiskt kortspel skulle innebära att alla kort alltid var uppvända och alla spelare fick veta hur leken var blandad i förväg, men det skulle istället förstöra nöjet med spelet. Spel som bingo eller slantsingling är också slumpmässiga (sto-kastiska), men är för simpla för att val av strategi ska ha någon på-verkan. 3 Kortspel som Blackjack och Poker är tillräckligt komplexa för att olika strategier ska kunna ge olika resultat och är alltså de som är intressanta i sammanhanget. Någon ofelbar strategi som garanterar vinst existerar inte, i och med att spelen är stokastiska. Du kan ha otur. Trots det kan man säga att en strategi är bäst om den har störst sannolikhet att lyckas, även om det finns en viss sannolikhet att man en dag ändå bara förlorar med den. I kortspelet Blackjack är målet att som spelare få högre poäng än dealern utan att få mer än 21. Knektar, damer och kungar räknas som 10. Ess räknas som 1 eller 11, spelaren väljer det som passar bäst. Du som spelare börjar med två kort och kan be om nya tills du är nöjd eller fått mer än 21 och därmed förlorat. Således betyder två damer tjugo poäng. Ess, trea och femma ger eller poäng. Att använda sina kunskaper i matematik för att förbättra sin chans att vinna i kortspel brukar kallas att räkna kort och har i många fall klassats som fusk av casinon och spelbolag. Så ska det självklart inte kallas. Vad det istället visar är matematikens kraft även i spelsamman-hang. Oftast är spelen designade på så vis att du som spelare har större sannolikhet att förlora än att vinna även med bästa möjliga strategi. Vore det på annat vis skulle spelföretaget snabbt gå i konkurs! Men kryphål kan existera och dessa hittar matematiken. Som exempel, vad är sannolikheten att ur en blandad kortlek dra en trea? För en vanlig kortlek finns fyra treor bland totalt 52 kort, så: Vi får aldrig veta i vilken ordning som korten ligger i, den enda information vi får tillgång till är vilka kort som är synliga på bordet. I Blackjack är de synliga korten alla de utdelade förutom ett av dealerns kort, men i olika pokervarianter finns det olika många antal synliga kort. Ibland kan man som spelare bara utgå från sina egna. Därtill kommer en del matematisk och en del psykologisk analys av hur mycket pengar som andra personer har satsat. Har spelaren bra kort, eller är det en bluff? Säg att totalt fyra kort har delats ut, varav du fått två sexor och dealern fått en nia och ett okänt. Antalet kort som du inte känner till är. Det finns alltså 49 möjligheter för nästa kort. Med dina två sexor har du bara fått tolv poäng. Vill du ha ett kort till? Här kommer sannolikhetsteorin in. Eftersom alla tior, knektar, damer och kungar är värda tio poäng betyder det att 16 kort kan ge dig 10 poäng till, totalt 22, så att du förlorar. Sannolikheten för detta med totalt 49 kvarvarande kort är: 3 Om vi antar att spelen fungerar korrekt, alltså att myntet har en chans att visa krona eller klave. Efter tydligare undersökningar kanske det visar sig att myntet inte är äkta och visar klave mycket oftare, varefter den bästa strategin inför en singling vore att alltid gissa på klave.

5 Utdrag från Verklighetens Kvadratrötter: Sida 5 Alltså en stor möjlighet, men fortfarande är det mer troligt (67,35 %) att du får ett kort under 10. I detta fall är det alltså rättfärdigat (med en bästa strategi) att acceptera ett kort till, även om denna strategi omöjligen kan vara perfekt: möjligheten att det blir 22 poäng och förlust finns ändå. 4 I verkligheten blir det mycket svårt för en människa att utföra dessa exakta beräkningar. På något vis måste de förenklas så att huvudräkning kan ge tillräckligt bra resultat. Här finns det många möjliga strategier. På grund av matematikens kraft är det vanligt att använda flera kortlekar samtidigt och blanda inför varje spel för att jämna ut oddsen. Oavsett kan den som vill räkna kort använda följande enklare system. 5 Starta med talet noll i huvudet och följ dessa regler för varje kort som visar sig: Om kortet är: 2, 3, 4, 5, 6: Lägg till 1 Om kortet är: 7, 8, 9: Gör inget Om kortet är: 10, Kn, D, K, E: Dra bort 1 Om du under spelets gång observerar en tvåa, fyra, sexa och en knekt, är bordets nuvarande poäng. Såhär fortsätter du lägga till och ta bort poäng för varje kort som visas. Ett högt värde betyder att det är mer sannolikt att höga kort kommer upp framöver, medan ett lågt värde betyder att det är mer sannolikt att nästa kort är lågt. Värdet används under spelets gång för att ha koll på om nästa kort troligtvis är ett högt eller lågt kort, varefter en spelstrategi kan anpassas. Metoden ger dig en möjlighet att förutsäga nästa kort. Ju snabbare du är på huvudräkning desto mer avancerade system kan användas. En dator har således ett enormt övertag men ingen äkta passion eller förståelse för spelet. Vissa saker kan vi ännu inte, och kommer kanske aldrig kunna, representera med den strikta logiska matematiken. Med andra ord: Sport och spel åtnjuts än så länge bara av människan men aktiviteterna är starkt assisterade av matematiken, vilket detta kapitel gett goda exempel för. 4 Det kan kanske tyckas konstigt att beräkningen inte är då det är fyra kort som ligger på bordet, men eftersom ett av dem inte är uppvänt påverkar det inte sannolikheten för de andra. 5 Denna variant kallas Hi-Lo.

Nationella prov i verkligheten

Nationella prov i verkligheten Nationella prov i verkligheten: Sida 1 Nationella prov i verkligheten Övningsprov Matte 1C (2012) Vad används matematiken till? Vad gör en matematiker? 2 Räkning med procent förekommer i prisberäkningar

Läs mer

5Chans och risk. Mål. Grunddel K 5. Ingressen

5Chans och risk. Mål. Grunddel K 5. Ingressen Chans och risk ål När eleverna har studerat det här kapitlet ska de kunna: förklara vad som menas med begreppet sannolikhet räkna ut sannolikheten för att en händelse ska inträffa känna till hur sannolikhet

Läs mer

Mörkpoker Strategi. 2003 Christian Eriksson och Mikael Knutsson Uppdaterad 2004-01-26

Mörkpoker Strategi. 2003 Christian Eriksson och Mikael Knutsson Uppdaterad 2004-01-26 Mörkpoker Strategi 2003 Christian Eriksson och Mikael Knutsson Uppdaterad 2004-01-26 Innehåll 1 GRUNDLÄGGANDE VISDOM...2 1.1 SATSNINGSRUNDOR...3 1.2 TÄNK IGENOM SITUATIONEN!...4 1.3 DISCIPLIN...5 1.4 BLUFFANDE/VARIERAT

Läs mer

Implicita odds och omvända implicita odds

Implicita odds och omvända implicita odds Kapitel sju Implicita odds och omvända implicita odds Under de tidiga satsningsrundorna och satsningsrundorna i mitten sänks vanligtvis pottoddset avsevärt om du behöver syna framtida satsningar, och du

Läs mer

SANNOLIKHET OCH SPEL

SANNOLIKHET OCH SPEL SANNOLIKHET OCH SPEL I ÖVNINGEN INGÅR ATT: Formulera, analysera och lösa matematiska problem samt värdera valda strategier, metoder och resultat (MA) Tolka en realistisk situation och utforma en matematisk

Läs mer

7-1 Sannolikhet. Namn:.

7-1 Sannolikhet. Namn:. 7-1 Sannolikhet. Namn:. Inledning Du har säkert hört ordet sannolikhet förut. Hur sannolikt är det att få 13 rätt på tipset eller 7 rätt på lotto? I detta kapitel skall du lära dig vad sannolikhet är för

Läs mer

Sannolikhetslära. 1 Enkel sannolikhet. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Sannolikhet och relativ frekvens. Marco Kuhlmann

Sannolikhetslära. 1 Enkel sannolikhet. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Sannolikhet och relativ frekvens. Marco Kuhlmann Marco Kuhlmann Detta kapitel behandlar grundläggande begrepp i sannolikhetsteori: enkel sannolikhet, betingad sannolikhet, lagen om total sannolikhet och Bayes lag. 1 Enkel sannolikhet Den klassiska sannolikhetsteorin,

Läs mer

Bridge. på 10 minuter

Bridge. på 10 minuter Bridge på 10 minuter STEG FÖR STEG Det bästa sättet att lära sig spela bridge på är att börja med en förenklad form av spelet. Varje giv består av två moment, efter det att man delat ut korten: budgivning

Läs mer

Protokoll MiniBridge

Protokoll MiniBridge Protokoll MiniBridge Mer om Bridge Det du nu lärt dig är en enkel form av Bridge. Spelet är dock mer komplicerat än så här och kräver en mycket längre utbildning. Vill du lära dig mer om Bridge? Kontakta

Läs mer

7-2 Sammansatta händelser.

7-2 Sammansatta händelser. Namn: 7-2 Sammansatta händelser. Inledning Du vet nu vad som menas med sannolikhet. Det lärde du dig i kapitlet om just sannolikhet. Nu skall du tränga lite djupare i sannolikhetens underbara värld och

Läs mer

Sannolikhetsbegreppet

Sannolikhetsbegreppet Kapitel 3 Sannolikhetsbegreppet Betrakta följande försök: Ett symmetriskt mynt kastas 100 gånger och antalet krona observeras. Antal kast 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Antal krona 6 12 16 21 25 30 34

Läs mer

Sannolikhetslära till pdf.notebook. May 04, 2012. Sannolikhetslära. Kristina.Wallin@kau.se

Sannolikhetslära till pdf.notebook. May 04, 2012. Sannolikhetslära. Kristina.Wallin@kau.se May 0, 0 Sannolikhetslära Kristina.Wallin@kau.se May 0, 0 Centralt innehåll Sannolikhet Åk Slumpmässiga händelser i experiment och spel. Åk 6 Sannolikhet, chans och risk grundat på observationer, experiment

Läs mer

1 Mätdata och statistik

1 Mätdata och statistik Matematikcentrum Matematik NF Mätdata och statistik Betrakta frågeställningen Hur mycket väger en nyfödd bebis?. Frågan verkar naturlig, men samtidigt mycket svår att besvara. För att ge ett fullständigt

Läs mer

Sannolikhetslära. 1 Grundläggande begrepp. 2 Likformiga sannolikhetsfördelningar. Marco Kuhlmann

Sannolikhetslära. 1 Grundläggande begrepp. 2 Likformiga sannolikhetsfördelningar. Marco Kuhlmann Marco Kuhlmann Detta är en kompakt sammanfattning av momentet sannolikhetslära som ingår i kurserna Matematik 1b och 1c på gymnasiet. I slutet av dokumentet hittar du uppgifter med vilka du kan testa om

Läs mer

Vad kan hända? strävorna

Vad kan hända? strävorna strävorna 4D Vad kan hända? föra, följa och värdera matematiska resonemang sannolikhet Avsikt och matematikinnehåll Innebörden i sannolikhet är en viktig kunskap för alla. Det finns gott om exempel på

Läs mer

Hjälps åt att skriva några rader om senaste scoutmötet i avdelningens loggbok.

Hjälps åt att skriva några rader om senaste scoutmötet i avdelningens loggbok. SCOUTMÖTET KORTSPEL MED OLIKA FÖRUTSÄTTNINGAR Det är bra om du som ledare läser igenom detta innan mötet äger rum. Under dagens möte får scouterna prova på att kommunicera utan att prata med varandra och

Läs mer

getsmart Grå Regler för:

getsmart Grå Regler för: (x²) 1 2 Regler för: getsmart Grå Algebra 8 _ (x²) 1 2 Algebra 4 (2 2³) 1 4 _ xy (2 2³) 1 4 _ xy (x²) 1 2 _ (2 2³) 1 4 _ xy (x²) 1 2 _ (2 2³) 1 4 _ xy 4 Algebra Algebra _ 8 Det rekommenderas att man börjar

Läs mer

Jessica Vesterlund Ulrika Hultberg Åsa Dahbo Eva Samelius

Jessica Vesterlund Ulrika Hultberg Åsa Dahbo Eva Samelius Jessica Vesterlund Ulrika Hultberg Åsa Dahbo Eva Samelius Matteljéns uppdrag är att stödja utvecklingen av matematikutbildning i förskola och skola. Genom att sprida goda undervisningsidéer och forskningsresultat

Läs mer

050504/AE. Regler för Pick n Click

050504/AE. Regler för Pick n Click 050504/AE Regler för Pick n Click Gäller fr o m den 23 maj 2005 1 INNEHÅLLSFÖRTECKNING 1. ALLMÄNNA REGLER... 3 2. SPELPLAN OCH SPELFORMER... 3 3. DELTAGANDE I LOTTERIET... 4 4. KVITT ELLER DUBBELT 5 5.

Läs mer

Smart insatsplan. Bifogat den här artikeln finns en enkel A4 där du kan bokföra insatsplanens spel. Använd den!

Smart insatsplan. Bifogat den här artikeln finns en enkel A4 där du kan bokföra insatsplanens spel. Använd den! Smart insatsplan Artikel är skriven av Johan som äger www.storavinster.se. Vi ger professionella råd om hur du ska spela för att vinna i längden. Du hittar fler artiklar om spel om du besöker hemsidan.

Läs mer

Spelregler för restaurangkasinospel

Spelregler för restaurangkasinospel Spelregler för restaurangkasinospel Innehållsförteckning Allmänt... 2 Dessa spelregler gäller för samtliga restaurangkasinospel... 2 Black Jack... 3 Black Jack Burn... 5 Varianten Two Decks Black Jack...

Läs mer

Statistikens grunder HT, dagtid Statistiska institutionen

Statistikens grunder HT, dagtid Statistiska institutionen Statistikens grunder 1 2013 HT, dagtid Statistiska institutionen Orsak och verkan N Kap 2 forts. Annat ord: kausalitet Något av det viktigaste för varje vetenskap. Varför? Orsakssamband ger oss möjlighet

Läs mer

Handbok Officersskat. Martin Heni Eugene Trounev Granskare: Mike McBride Översättare: Stefan Asserhäll

Handbok Officersskat. Martin Heni Eugene Trounev Granskare: Mike McBride Översättare: Stefan Asserhäll Martin Heni Eugene Trounev Granskare: Mike McBride Översättare: Stefan Asserhäll 2 Innehåll 1 Inledning 5 2 Hur man spelar 6 3 Spelets regler, strategi och tips 7 3.1 Spelbordet..........................................

Läs mer

Hur stor är sannolikheten att någon i klassen har en katt? Hur stor är

Hur stor är sannolikheten att någon i klassen har en katt? Hur stor är Karin Landtblom Hur sannolikt är det? Uttrycket Hur sannolikt är det på en skala? använder många till vardags, ofta med viss ironi. I denna artikel om grunder för begreppet sannolikhet åskådliggör författaren

Läs mer

Memory Det kombinatoriska spelet

Memory Det kombinatoriska spelet Institutionen för naturvetenskap och teknik Memory Det kombinatoriska spelet Simon Sjölund & Erik Åstrand Örebro universitet Institutionen för naturvetenskap och teknik Matematik C, 76 90 högskolepoäng

Läs mer

Slumpförsök för åk 1-3

Slumpförsök för åk 1-3 Modul: Sannolikhet och statistik Del 3: Att utmana elevers resonemang om slump Slumpförsök för åk 1-3 Cecilia Kilhamn, Göteborgs Universitet Andreas Eckert, Linnéuniversitetet I följande text beskrivs

Läs mer

Squash gruppspel i Spånga

Squash gruppspel i Spånga Squash gruppspel i Spånga Spelform: Gruppspel, nio spelare i varje grupp, alla möter alla en gång under 9 veckor. Varje spelare har en spelledig vecka. Rak räkning till 11, efter 10-10 gäller vinst med

Läs mer

Artificial Intelligence

Artificial Intelligence Omtentamen Artificial Intelligence Datum: 2013-01-08 Tid: 09.00 13.00 Ansvarig: Resultat: Hjälpmedel: Gränser: Cecilia Sönströd Redovisas inom tre veckor Inga G 10p, VG 16p, Max 20p Notera: Skriv läsbart!

Läs mer

SVANTE JANSON OCH SVANTE LINUSSON

SVANTE JANSON OCH SVANTE LINUSSON EXEMPEL PÅ BERÄKNINGAR AV SANNOLIKHETER FÖR ATT FELAKTIGT HANTERADE RÖSTER PÅVERKAR VALUTGÅNGEN SVANTE JANSON OCH SVANTE LINUSSON 1. Inledning Vi skall här ge exempel på och försöka förklara matematiken

Läs mer

Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att...

Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att... Innehållsförteckning 2 Innehåll 3 Mina matematiska minnen 4 Korsord - Lodrätt - Vågrätt 5 Chiffer med bokstäver 6 Lika med 8 Formel 1 10 Konsumera mera? 12 Potenser 14 Omkretsen 16 Lista ut mönstret 18

Läs mer

Stora talens lag eller det jämnar ut sig

Stora talens lag eller det jämnar ut sig Stora talens lag eller det jämnar ut sig kvensen för krona förändras när vi kastar allt fler gånger. Valda inställningar på räknaren Genom att trycka på så kan man göra ett antal inställningar på sin räknare.

Läs mer

Allmänt om Pidro. Spelets uppbyggnad

Allmänt om Pidro. Spelets uppbyggnad Allmänt om Pidro Pidro är ett kortspel för fyra personer där ett par spelar mot ett annat par. Lagmedlemmarna sitter mittemot varandra. Pidro liknar t.ex. Bridge i det avseendet att spelet är uppdelat

Läs mer

Matematisk statistik - Slumpens matematik

Matematisk statistik - Slumpens matematik Matematisk Statistik Matematisk statistik är slumpens matematik. Började som en beskrivning av spel, chansen att få olika utfall. Brevväxling mellan Fermat och Pascal 1654. Modern matematisk statistik

Läs mer

Del 8. Taktiska åtgärder

Del 8. Taktiska åtgärder Del 8 Taktiska åtgärder Taktiska åtgärder Inledning I den första volymen, No Limit Hold em, Harringtons expertstrategier för turneringar, Slutspel, koncentrerade vi oss framför allt på värdebetar, satsningar

Läs mer

Laboration 2. Artificiell Intelligens, Ht 2004 2004-10-19 Lärare: Christina Olsén Handledare: Therese Edvall Daniel Ölvebrink

Laboration 2. Artificiell Intelligens, Ht 2004 2004-10-19 Lärare: Christina Olsén Handledare: Therese Edvall Daniel Ölvebrink Artificiell Intelligens, Ht 2004 2004-10-19 Lärare: Christina Olsén Handledare: Therese Edvall Daniel Ölvebrink Laboration 2 Laboranter: Johan Bystedt (dit02lbt) Alexander Pettersson (dit02apn) Stefan

Läs mer

TENTAMEN MOM1 GRUNDLÄGGANDE PROGRAMMERINGSTEKNIK OCH

TENTAMEN MOM1 GRUNDLÄGGANDE PROGRAMMERINGSTEKNIK OCH UMEÅ UNIVERSITET Datavetenskap Marie Nordström 071207 TENTAMEN MOM1 GRUNDLÄGGANDE PROGRAMMERINGSTEKNIK OCH DATORSYSTEM/GRÄNSSNITT, 7.5HP. (5DV074/5DV075) Datum : 071207 Tid : 3 timmar Hjälpmedel : Allt.

Läs mer

2. (7) Ryck kort i spel. Djurkort. 4 Röda Djur. 4 Grå Djur

2. (7) Ryck kort i spel. Djurkort. 4 Röda Djur. 4 Grå Djur 1. (7) Att utmana sina motståndare i detta spel står alla fritt, se till att bli den förste att lägga ett ryck-kort. När alla ryck-kort har vunnits, är den person med flest ryck-kort vinnaren. Detta fartfyllda

Läs mer

Den svenska spelmarknaden hårdnar och att positionera sitt varumärke i konsumenternas medvetande blir allt viktigare för att etablera sig på

Den svenska spelmarknaden hårdnar och att positionera sitt varumärke i konsumenternas medvetande blir allt viktigare för att etablera sig på Varumärkesbok Den svenska spelmarknaden hårdnar och att positionera sitt varumärke i konsumenternas medvetande blir allt viktigare för att etablera sig på marknaden. Vi är MooreGames Tanken kring MooreGames

Läs mer

WEBB365.SE. Hur skriver man sökmotoroptimerade texter

WEBB365.SE. Hur skriver man sökmotoroptimerade texter Hur skriver man sökmotoroptimerade texter Introduktion Det finns mycket man kan göra för att lyckas på nätet och att skriva sökmotoroptimerade texter är definitivt en av de viktigare. I korta ordalag kan

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 1

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 1 Här presenteras förslag på lösningar och tips till många uppgifter i läroboken Matematik 3000 kurs B som vi hoppas kommer att vara till hjälp när du arbetar dig framåt i kursen. Vi har valt att inte göra

Läs mer

Copyright 2013 Digital Solutions AB - Mikael Eriksson SYSTEMET förklarat:

Copyright 2013 Digital Solutions AB - Mikael Eriksson SYSTEMET förklarat: Copyright 2013 Digital Solutions AB - Mikael Eriksson Inga delar av detta material får kopieras i någon form utan speciellt tillstånd från ansvarig utgivare. Detta material är skyddat av upphovsrättslagen.

Läs mer

Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 (Marco Kuhlmann 2013, tillägg och redaktion Mats Dahllöf 2014).

Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 (Marco Kuhlmann 2013, tillägg och redaktion Mats Dahllöf 2014). UPPSALA UNIVERSITET Matematik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 (Marco Kuhlmann 2013, tillägg och redaktion Mats Dahllöf 2014). 9 Sannolikhet Detta kapitel

Läs mer

UPPGIFT 1 KANINER. Håkan Strömberg 1 Pär Söderhjelm

UPPGIFT 1 KANINER. Håkan Strömberg 1 Pär Söderhjelm UPPGIFT 1 KANINER Kaniner är bra på att föröka sig. I den här uppgiften tänker vi oss att det finns obegränsat med hannar och att inga kaniner dör. Vi ska försöka simulera hur många kaninhonor det finns

Läs mer

Kimmo Eriksson Professor i tillämpad matematik

Kimmo Eriksson Professor i tillämpad matematik Kimmo Eriksson Professor i tillämpad matematik Lönar det sig att vara självisk? Kimmo Eriksson Professor i tillämpad matematik Boktips Full av underbara enkla tankeexperiment för att demonstrera skillnaden

Läs mer

SF1901: Övningshäfte

SF1901: Övningshäfte SF1901: Övningshäfte 5 september 2013 Uppgifterna under rubriken Övning kommer att gås igenom under övningstillfällena. Uppgifterna under rubriken Hemtal är starkt rekommenderade och motsvarar nivån på

Läs mer

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. Matematisk statistik Anders Björkström

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. Matematisk statistik Anders Björkström STOCKHOLMS UNIVERSITET 2001-10-22 MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. Matematisk statistik Anders Björkström GRUNDLÄGGANDE MATLAB-TRÄNING för den som aldrig har arbetat med Matlab förut A. Matlabs allmänna

Läs mer

Orienteringsteknik. Steg 1: Att förstå kartans symboler. Steg 2: Att förstå kompassen. Steg 3: Att förstå kartan. Steg 4: Koncentration.

Orienteringsteknik. Steg 1: Att förstå kartans symboler. Steg 2: Att förstå kompassen. Steg 3: Att förstå kartan. Steg 4: Koncentration. Orienteringsteknik Orientering är egentligen världens enklaste sport. Man får facit redan vid start och får kolla på det hur ofta man vill under hela loppet. Trots detta har majoriteten av orienterarna

Läs mer

Bridge. Färgernas rangordning: E K D kn Budgivning > kontrakt + Spel > poängresultat. 4 personer vid varje bord spelar i par

Bridge. Färgernas rangordning: E K D kn Budgivning > kontrakt + Spel > poängresultat. 4 personer vid varje bord spelar i par Bridge 4 personer vid varje bord spelar i par 52 kort = en vanlig kortlek utan jokrar Honnörer Hackor E K D kn 10 9 8 7 6 5 4 3 2 Budgivning > kontrakt + Spel > poängresultat Färgernas rangordning: Ta

Läs mer

Kungar och Skatter. 2. Ta sedan de fyra essen och blanda dem och lägg sedan slumpvis ut ett ess uppvänt i varje hörn (se fig 2).

Kungar och Skatter. 2. Ta sedan de fyra essen och blanda dem och lägg sedan slumpvis ut ett ess uppvänt i varje hörn (se fig 2). Introduktion Spelare: 2-4 Speltid:15min Svårighet:Lätt att lära, svårt att bemästra Komponenter: 52 kort + 1 Joker Kungar och Skatter I Kungar och Skatter spelar varje spelare en kung som beger sig ut

Läs mer

Lotto. Singla slant. Vanliga missuppfattningar vad gäller slumpen. Slumpen och hur vi uppfattar den - med och utan tärning

Lotto. Singla slant. Vanliga missuppfattningar vad gäller slumpen. Slumpen och hur vi uppfattar den - med och utan tärning Slumpen och hur vi uppfattar den - med och utan tärning Ingemar Holgersson Högskolan Kristianstad grupper elever Gr, 7, 9 och. grupp lärarstudenter inriktning matematik Ca i varje grupp Gjord i Israel

Läs mer

Husorgan för ungdomsbridgen

Husorgan för ungdomsbridgen SVERIGES Larsson Melander s 16 STENKLARA SIOR FÖR KORTLIRARE 1 1998 Husorgan för ungdomsbridgen PRIS 19:50 (inkl. moms) ÅRETS SPEL ALLA ÅR TIPSSKOLAN NICHLAS LÄR UT SINA VASSASTE TIPS BRIGEFÖRBUN WWW.ZONE.COM

Läs mer

HCP-Utredningen. Slutrapport

HCP-Utredningen. Slutrapport HCP-Utredningen Slutrapport Historik Hcp i tävlingar har alltid varit omdebatterat och i takt med att prissummorna i hcp-tävlingar ökat har åsikterna blivit allt fler. Hur var det för ca 5-10 år sedan?

Läs mer

Likhetstecknets innebörd

Likhetstecknets innebörd Likhetstecknets innebörd Följande av Görel Sterner översatta och bearbetade text bygger på boken: arithmetic & algebra in elementary school. Portsmouth: Heinemann Elever i åk 1 6 fick följande uppgift:

Läs mer

Copema Supertoto, manual

Copema Supertoto, manual Copema Supertoto, manual Innehåll Sidan Bättre vinstchanser 2 Starta programmet 3 Create system, exempel 1 4 exempel 2 7 exempel 3 10 Ladda upp systemet 12 Rätta systemet 12 Odds 14 Print 15 Supertoto

Läs mer

1014 Att lyckas få ointresserade elever att förstå och uppskatta ämnet matematik

1014 Att lyckas få ointresserade elever att förstå och uppskatta ämnet matematik 1014 Att lyckas få ointresserade elever att förstå och uppskatta ämnet matematik Beskriver några projekt, laborationer och alternativa arbetsformer som gett goda resultat. Diskussion om tillvägagångssätt

Läs mer

Valfritt läromedel för kurs Matematik B Exempel: Räkna med Vux B, Gleerups förlag. Tag kontakt med examinator om du har frågor

Valfritt läromedel för kurs Matematik B Exempel: Räkna med Vux B, Gleerups förlag. Tag kontakt med examinator om du har frågor Våren 010 PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik B Kurskod MA 10 Gymnasiepoäng 50 Läromedel Prov Muntligt prov Valfritt läromedel för kurs Matematik B Exempel: Räkna med Vux B, Gleerups förlag Skriftligt

Läs mer

händelsen som alltid inträffar. Den tomma mängden representerar händelsen som aldrig inträffar.

händelsen som alltid inträffar. Den tomma mängden representerar händelsen som aldrig inträffar. Marco Kuhlmann Detta är en kompakt sammanfattning av momentet sannolikhetslära som ingår i kurserna Matematik 1b och 1c på gymnasiet. 1 Grundläggande begrepp 1.01 När vi singlar slant eller kastar tärning

Läs mer

Spelregler för Vira. Åstols Vira- och Bandyklubb 2006

Spelregler för Vira. Åstols Vira- och Bandyklubb 2006 Spelregler för Vira Åstols Vira- och Bandyklubb 2006 Innehåll 1. Inledning... 3 1.1. Vira...3 2. Speltyper... 4 2.1. Gaskspel...4 2.2. Köpspel...5 2.3. Solospel...7 3. Spelparti... 8 3.1. Medlem...8 3.2.

Läs mer

KURSMATERIAL AVSNITT 1

KURSMATERIAL AVSNITT 1 KURSMATERIAL AVSNITT 1 ÖVERSIKT KURSAVSNITT 1 Grundläggande regler Termer Spelförare &Träkarl Förenklade budregler Korträkning Grundläggande spelteknik några viktiga punkter - Godspelning - Att ta stick

Läs mer

Stockholms Wirasällskaps

Stockholms Wirasällskaps Stockholms Wirasällskaps regler för vira Inledning Vira är ett klassiskt svenskt kortspel, som enligt en muntlig tradition uppfanns vid ett vinterting i Vira bruk i Roslagen cirka 1810. Spelet blev en

Läs mer

SNOOKER. Introduktion och de viktigaste reglerna

SNOOKER. Introduktion och de viktigaste reglerna SNOOKER Introduktion och de viktigaste reglerna Snookerhallen i Stockholm AB Det är tillåtet att sprida materialet, i tryckt form, i sin helhet och utan förändringar. Snookerhallen i Stockholm Krukmakargatan

Läs mer

Resurscentrums matematikleksaker

Resurscentrums matematikleksaker Resurscentrums matematikleksaker Aktiviteter för barn och vuxna Innehåll 1 Bygga lutande torn som inte faller 2 2 Om konsten att vinna betingat godis i spel 5 3 Den snåle grosshandlarens våg 6 4 Tornen

Läs mer

Det här är ett system där vi tjänar pengar på ett av de lagen vi spelar på gör mål, gärna många mål!

Det här är ett system där vi tjänar pengar på ett av de lagen vi spelar på gör mål, gärna många mål! System - Mera Mål! Copyright 2013 Digital Solutions AB www.fotbollspengar.se www.inzideinfo.com www.inthemoneysystem.com Vi vill ha mål, mål, mål mera mål Och mål det kommer det att bli Vi vill ha mål,

Läs mer

Genom att följa dessa steg lär du dig snabbt att spela onlinematcher... och som du kan se är det mycket enkelt, roligt och spännande!

Genom att följa dessa steg lär du dig snabbt att spela onlinematcher... och som du kan se är det mycket enkelt, roligt och spännande! HUR MAN SPELAR ONLINE Genom att följa dessa steg lär du dig snabbt att spela onlinematcher... och som du kan se är det mycket enkelt, roligt och spännande! 0. SKAPA DITT EGET PERSONLIGA EMBLEM OCH DINA

Läs mer

Uppgift 1 (14p) lika stor eller mindre än den förväntade poängen som efterfrågades i deluppgift d? Endast svar krävs, ingen motivering.

Uppgift 1 (14p) lika stor eller mindre än den förväntade poängen som efterfrågades i deluppgift d? Endast svar krävs, ingen motivering. Uppgift 1 (14p) I en hockeymatch mellan lag A och lag B leder lag A med 4-3 när det är en kvart kvar av ordinarie matchtid. En oddssättare på ett spelbolag behöver bestämma sannolikheten för de tre matchutfallen

Läs mer

Centralt innehåll. I årskurs 1.3

Centralt innehåll. I årskurs 1.3 3.5 Matematik Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan.

Läs mer

Välkommen till V4-bibeln

Välkommen till V4-bibeln Välkommen till V4-bibeln Här kommer jag försöka visa hur du kan bli en bättre spelare på just spelet V4 genom att känna till de statistiska grunderna i spelet. V4 har jag valt för att det är ett spel med

Läs mer

Del ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan

Del ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan Del ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan 3.5 Matematik Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet

Läs mer

Art.nr XXL Fjäril

Art.nr XXL Fjäril Art.nr. 25516 XXL Fjäril Spelet utvecklar: Färger: Lära om primära och blandade färger Rörelse i spel/siffror, kvantiteter och former: Kombinera rörelse med matematisk träning, förstå mängder, första siffror,

Läs mer

Spela. Galopp! DEL 5 SYSTEMSPEL PÅ V5, KOMB, TRIPPEL, DAGENS DUBBEL

Spela. Galopp! DEL 5 SYSTEMSPEL PÅ V5, KOMB, TRIPPEL, DAGENS DUBBEL Spela på Galopp! SYSTEMSPEL PÅ V5, KOMB, TRIPPEL, DAGENS DUBBEL GaloppMagasinets spelexpert Geir Stabell har nu kommit till systemspel. Hur du ökar dina vinstchanser och minskar dina insatser. Inte minst

Läs mer

Regler för: getsmart Grön

Regler för: getsmart Grön -6 Regler för: getsmart Grön 8 Hele tall 3 4 Hele tall -6-6 3-6 3 Hele tall 8 Hele tall 3 4 Det rekommenderas att man börjar med att se på powerpoint-reglerna när man ska lära sig olika spel med kortleken!

Läs mer

TDP Regler

TDP Regler Regler Student får lämna salen tidigast en timme efter tentans start. Vid toalettbesök eller rökpaus ska pauslista utanför salen fyllas i. All form av kontakt mellan studenter under tentans gång är strängt

Läs mer

Resurscentrums matematikleksaker

Resurscentrums matematikleksaker Resurscentrums matematikleksaker Aktiviteter för barn och vuxna Innehåll 1 Bygga lutande torn som inte faller 2 2 Om konsten att vinna betingat godis i spel 5 3 Den snåle grosshandlarens våg 6 4 Tornen

Läs mer

LUFFARSCHACKETS GRUNDER

LUFFARSCHACKETS GRUNDER LUFFARSCHACKETS GRUNDER Många har frågat mig: Kan man träna luffarschack? Jodå, svarar jag. Det går alldeles utmärkt och det ger bevisligen resultat. Men lika väl som man inte blir fotbollsproffs efter

Läs mer

Tema Förväntat värde. Teori Förväntat värde

Tema Förväntat värde. Teori Förväntat värde Tema Förväntat värde Teori Förväntat värde Begreppet förväntat värde används flitigt i diskussioner om olika pokerstrategier. För att kunna räkna ut det förväntade värdet så tar du alla möjliga resultat,

Läs mer

Datorlaboration :: 1 Problembeskrivning ::

Datorlaboration :: 1 Problembeskrivning :: Datorlaboration :: Ett hyrbilsföretags problem Laborationen går ut på att lösa Labbuppgift 1 till 5. Laborationen redovisas individuellt genom att skicka laborationens Mathematicafil till Mikael Forsberg

Läs mer

Betyg i årskurs 6. Grundskolans läroplan Kursplan i ämnet matematik

Betyg i årskurs 6. Grundskolans läroplan Kursplan i ämnet matematik Betyg i årskurs 6 Betyg i årskurs 6, respektive årskurs 7 för specialskolan, träder i kraft hösten 2012. Under läsåret 2011/2012 ska kunskapskraven för betyget E i slutet av årskurs 6 respektive årskurs

Läs mer

3Procent. Mål. Grunddel K 3

3Procent. Mål. Grunddel K 3 Procent Mål När eleverna har studerat det här kapitlet ska de kunna: förstå och utföra de tre olika typerna av procentberäkningar räkna ut delen räkna ut hur många procent något är räkna ut det hela använda

Läs mer

Spelregler Pick n Click

Spelregler Pick n Click Spelregler Pick n Click Innehållsförteckning 1 Inledning... 3 1.1 Tillämpliga villkor...3 1.2 Allmänt om Spelformerna...3 1.3 Möjliga Spelsätt...3 1.4 Spelreglernas giltighetstid...3 1.5 Begrepp och definitioner...3

Läs mer

MATEMATIK 3.5 MATEMATIK

MATEMATIK 3.5 MATEMATIK 3.5 TETIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Matematisk

Läs mer

MATEMATIK 5.5 MATEMATIK

MATEMATIK 5.5 MATEMATIK 5.5 TETIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Matematisk

Läs mer

Kap 2: Några grundläggande begrepp

Kap 2: Några grundläggande begrepp Kap 2: Några grundläggande begrepp Varför sannolikhetslära är viktigt? Vad menar vi med sannolikhetslära? Träddiagram? Vad är den klassiska, empiriska och subjektiva sannolikheten? Vad menar vi med de

Läs mer

22,5 högskolepoäng. Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Matematik 3hp. Studenter i inriktningen GSME. TentamensKod:

22,5 högskolepoäng. Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Matematik 3hp. Studenter i inriktningen GSME. TentamensKod: SMID Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: TentamensKod: Matematik 3hp Studenter i inriktningen GSME 22,5 högskolepoäng Tentamensdatum: 12-08-30 Tid: 09.00-13.00 Hjälpmedel: Inga Totalt antal poäng på

Läs mer

Tentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 16 augusti 2007 9 14

Tentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 16 augusti 2007 9 14 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Tentamen för kursen Linjära statistiska modeller 16 augusti 2007 9 14 Examinator: Anders Björkström, tel. 16 45 54, bjorks@math.su.se Återlämning: Rum 312, hus

Läs mer

Lutande torn och kluriga konster!

Lutande torn och kluriga konster! Lutande torn och kluriga konster! Aktiviteter för barn under Vetenskapsfestivalens skolprogram 2001 Innehåll 1 Bygga lutande torn som inte faller 2 2 Om konsten att vinna betingat godis i spel 5 3 Den

Läs mer

Veckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U.

Veckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U. Veckoblad 3 Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U. ya begrepp: likformig fördelning, hypergeometerisk fördelning, Hyp(, n, p), binomialfördelningen, Bin(n, p), och Poissonfördelningen, Po(λ). Standardfördelningarna

Läs mer

Introduktion till sannolikhetslära. Människor talar om sannolikheter :

Introduktion till sannolikhetslära. Människor talar om sannolikheter : F9 Introduktion till sannolikhetslära Introduktion till sannolikhetslära Människor talar om sannolikheter : Sannolikheten att få sju rätt på Lotto Sannolikheten att få stege på en pokerhand Sannolikheten

Läs mer

Ishavsspelet är ett kort- och tärningsspel för 2-4 spelare som bygger på tur och lite strategi

Ishavsspelet är ett kort- och tärningsspel för 2-4 spelare som bygger på tur och lite strategi Ishavsspelet är ett kort- och tärningsspel för 2-4 spelare som bygger på tur och lite strategi Spelet hör ihop med Sveriges Radios julkalender Siri och ishavspiraterna och du kan ladda hem och skriva ut

Läs mer

UPPGIFT 1 V75 FIGUR 1.

UPPGIFT 1 V75 FIGUR 1. UPPGIFT 1 V75 FIGUR 1. Varje lördag året om spelar tusentals svenskar på travspelet V75. Spelet går ut på att finna sju vinnande hästar i lika många lopp. Lopp 1: 5 7 Lopp 2: 1 3 5 7 8 11 Lopp 3: 2 9 Lopp

Läs mer

1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta denna följd av tal, där varje tal är dubbelt så stort som närmast föregående

1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta denna följd av tal, där varje tal är dubbelt så stort som närmast föregående MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Christian Gottlieb Gymnasieskolans matematik med akademiska ögon Induktion Dag 1 1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta

Läs mer

Just another WordPress site

Just another WordPress site Online Casino betyg för Sverige Just another WordPress site MENU INTRODUKTION TILL ONLINE- BONUSAR Online Poker Bonus Online poker är lite annorlunda från de online-kasinon och bookmakers, eftersom du

Läs mer

Institutionen för datavetenskap, DAT060, Laboration 2 2 För denna enkla simulerings skull kommer handen att representeras som ett par tal μ värdet på

Institutionen för datavetenskap, DAT060, Laboration 2 2 För denna enkla simulerings skull kommer handen att representeras som ett par tal μ värdet på DAT 060 Laboration 2 I Malmös kasino Institutionen för datavetenskap 17 juni 2002 Per tänkte dryga ut sitt magra studielån genom att jobba som labbassistent på sommarkursen. Tyvärr fanns det redan tillräckligt

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 6

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 6 freeleaks NpMaB vt2001 1(8) Innehåll Förord 1 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2001 2 Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 3 Del II, 9 uppgifter med miniräknare 6 Förord Skolverket har endast

Läs mer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Satistik och sannolikhetslära Statistik handlar om att utvinna information från data. I praktiken inhehåller de data

Läs mer

Linjära ekvationer med tillämpningar

Linjära ekvationer med tillämpningar UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Olof Johansson, Nina Rudälv 2006-10-17 SÄL 1-10p Linjära ekvationer med tillämpningar Avsnitt 2.1 Linjära ekvationer i en variabel

Läs mer

Spel på någon av spelformerna regleras av villkoren i såväl dessa spelregler som i de allmänna kontovillkoren för ATG:s digitala media.

Spel på någon av spelformerna regleras av villkoren i såväl dessa spelregler som i de allmänna kontovillkoren för ATG:s digitala media. Spelregler Virtuell Racing 1 Inledning Dessa Spelregler omfattar spel på Virtuell Racing (VR) hos ATG (AB Trav och Galopp). Spelformer som omfattas är Vinnare, Plats, Tvilling, Komb och Trio. Virtuell

Läs mer

Pottstorleksfilosofin ett exempel

Pottstorleksfilosofin ett exempel Kapitel fem Pottstorleksfilosofin ett exempel Säg att du spelar ett no limit-spel med mörkar på $2-$5 och $500 stora stackar. Du sitter i stora mörken med Någon inleder satsandet ur mittenposition med

Läs mer

TMS136. Föreläsning 1

TMS136. Föreläsning 1 TMS136 Föreläsning 1 Varför? Om vi gör mätningar vill vi kunna modellera och kvantifiera de osäkerheter som obönhörligen finns Om vi handlar med värdepapper vill kunna modellera och kvantifiera de risker

Läs mer

HANDLEDARE: Jonny Pedersen Datum: (Detta skrevs i November 09)

HANDLEDARE: Jonny Pedersen Datum: (Detta skrevs i November 09) DOKUMENTATIONER IDÈSKISS ÄMNESOMRÅDE: Webbdesign och marknadsföring HANDLEDARE: Jonny Pedersen Datum: (Detta skrevs i November 09) Min idéskiss: Jag ska skapa en hemsida vars syfte är att tjäna pengar.

Läs mer

C++ Slumptalsfunktioner + switch-satsen

C++ Slumptalsfunktioner + switch-satsen C++ Slumptalsfunktioner + switch-satsen Veckans avsnitt består av ett antal lite udda funktioner man kan ha nytta av när man skriver program. Det är en slumptalsgenerator och lite annat smått och gott.

Läs mer