0 z och z e 2x2 3y 2. { u = x + 3y v = x 3y.

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "0 z och z e 2x2 3y 2. { u = x + 3y v = x 3y."

Transkript

1 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals 9 4 4, kl INGA HJÄLPMEEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.. a) efinera begreppen stationär punkt och lokal etrempunkt. (.) b) Finn alla lokala etrempunkter till f(, ) = och ange deras karaktär. (.8). Beräkna volmen av den kropp K i R 3 som begränsas av olikheterna 3. Lös differentialekvationen z och z e 3. 3f + f = + 36, genom att t.e. göra variabelbtet { u = + 3 v = 3. Bestäm också den lösning som uppfller f(, ) =. 4. Låt f(, ) = 3 6. a) Hur varierar tillväthastigheten av f i punkten ( 3, ), om vi tittar i riktningar som ligger mellan riktningen ( 3, ) och medurs till riktningen ( 3, )? (.5) b) Bestäm en ekvation för tangentplanet till z = f(, ) i punkten (, 3, 3). (.5) 5. a) Vad menas med att fältet (P (, ), Q(, )) är ett potentialfält i det öppna området Ω? (.3) b) Beräkna kurvintegralen ( + ) d + ( + ) d, γ där kurvan γ är = sin från (, ) till (π, ). (.7) 6. Bestäm det största och minsta avståndet från kurvstcket till origo = 7,,

2 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING FLERIMENSIONELL ANALYS 9-3- kl 8-3 INGA HJÄLPMEEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.. a) Bestäm en ekvation för tangentplanet till tan + + z 3 = 3 i punkten (,, ). (.3) b) Beräkna lim e. (.3) + c) I vilken riktning har en funktion f(, ) sin maimala tillväthastighet, och hur stor är den? Bevisa dina påståenden. (.4). a) Bestäm alla lokala etrempunkter av f(, ) = e + och deras karaktär. (.6) b) Bestäm eventuella största och minsta värden av f i R. (.4) 3. Lös differentialekvationen f + f =,, > t e genom att införa de na variablerna { u = +, v =. Bestäm speciellt den lösning som uppfller f(, ) = Beräkna + dd, där ges av olikheterna + 4,. 5. a) Härled med hjälp av Greens formel en metod att beräkna arean av ett plant område. (.3) b) Visa att g( + ) (, ) är ett potentialfält i R för alla g C (R ). (.3) c) et ( elektrostatiska fältet runt ) en punktladdning i origo ges i lämpliga enheter av ( + ),. Beräkna arbetet som fältet uträttar då en likadan 3/ ( + ) 3/ enhetsladdning förflttas längs kurvan = cos() från punkten (π, ) till oändligheten. (.4) 6. Beräkna ( + + z ) dddz, där en apelsinklfta som beskrivs av olikheterna + + z, 3 z. LYCKA TILL!

3 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals 9, kl INGA HJÄLPMEEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.. a) Vad menas med att en kvadratisk form är negativt definit? (.) b) Finn alla lokala etrempunkter till f(, ) = 4 och ange deras karaktär. (.8). Låt f(, ) = 3 och låt P vara punkten (5, 3). a) Mellan vilka värden varierar riktningsderivatan till f i punkten P? (.5) b) Bestäm tangentplanet till z = f(, ) i P. (.5) 3. Lös differentialekvationen f f = 3 + 3,, >, genom att t.e. göra variabelbtet { u = v =. Bestäm också den lösning som uppfller f(, ) = cos. 4. a) Visa att om vektorfältet F = (P, Q) är ett potentialfält i en öppen mängd Ω så är Q = P i Ω. (.3) b) Beräkna kurvintegralen ( + γ ) d + där kurvan γ går längs parabelbågen ( ) + ln( + ) + d, + ( )( ) = 3 från (, 3) till (, 3). (.7) 5. Bestäm största avståndet från origo till ellipsen =. 6. Beräkna volmen av den ändliga kropp som ges av olikheterna + 3 z, + 3 z och z.

4 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING FLERIMENSIONELL ANALYS 8 6 kl 8 3 HJÄLPMEEL: Inga. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Rita gärna figurer i förekommande fall.. Beräkna dubbelintegralen ( + ) dd, där är triangeln med hörn i punkterna (, ), (, ) och (, ).. Lös differentialekvationen f f = ( + ), t e genom att införa de na variablerna { u = + v =. Bestäm speciellt den lösning som uppfller f(, ) = sin. 3. a) Bestäm en ekvation för tangentplanet till konen + (z + ) = i punkten (3, 4, 6). b) Har funktionen f(, ) = en lokal etrempunkt i origo? (Motivera ditt svar.) (.5) (.5) 4. Bestäm största och minsta värde av funktionen på cirkelskivan + 5. f(, ) = Var god vänd!

5 5. a) Visa att för ett konservativt vektorfält F = (P, Q) med potentialen U är F dr = U(b) U(a) γ om kurvan γ är C samt börjar i punkten a och slutar i punkten b. b) Beräkna kurvintegralen ( sin cos ) d + cos d, γ (.5) där γ är parabelbågen från (, ) till (, 4). = (.5) 6. Låt b vara ett givet tal sådant att < b <. Hur stor andel av klotet + + z har avstånd högst b till punkten (,, )? GO JUL OCH GOTT NYTT ÅR!

6 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals 8 3, kl. 8 3 INGA HJÄLPMEEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.. a. efinera begreppet stationär punkt för en funktion av flera variabler. (.) b. Finn alla lokala etrempunkter av f(, ) = ( + )( + ) och ange deras karaktär. (.8). Lös differentialekvationen f f =,, genom att t.e. göra variabelbtet { u = + v =. Bestäm den lösning som uppfller f(, ) = ( + ). 3. a. Härled med hjälp av Greens formel en formel för att beräkna arean av ett plant område A med hjälp av en kurvintegral. (.3) b. Beräkna kurvintegralen I = γ ( ) ( d + + ) d, där kurvan γ går från (, ) till (3, 3) längs kurvan = ( ) 3. (.7) 4. Beräkna största och minsta avstånd från origo till superellipsen = Beräkna volmen av den kropp i R 3 som ges av olikheterna + z 4, och z. 6. Låt C vara clindern som ges av + och z. Med hjälp av två plan skärs bitar av C bort så att vi får en n kropp K av det som är kvar. Projektionen av K på -planet är enhetscirkelskivan centrerad i origo. Projektionen av K på z-planet är en kvadrat med hörn i (,, ), (,, ), (,, ) och (,, ). Projektionen av K på z-planet är en triangel med hörn i Bestäm volmen av K. (,, ), (,, ) och (,, ).

7 ÄÍÆ ËÌ ÃÆÁËà À ËÃÇÄ Å Ì Å ÌÁÃ Ì ÆÌ Å ÆËËÃÊÁÎÆÁÆ ÁÆ À ÄÈÅ ÄºÄ Ò Ò ÖÒ ÐÐÚ Ö Ö Ñ ÓÖ ÒØÐ ÑÓØ Ú Ö Ò Öº Ð Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ ¾¼¼ ¹¼ ¹¾ Ð ½ µ ØÑ ÐÐ Ø Ø ÓÒÖ ÔÙÒ Ø ÖØ ÐÐ k)öôó Ø ÚØ Ò Ø ¼º¾µ ½º µî Ñ Ò Ñ ØØ Ò Ú Ö Ø ÓÖÑQ(h, ¾ºÄ Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ Ò Î Ð Ú Ø Ø ÓÒÖ ÔÙÒ Ø ÖÒ ÖÚ ÒÐÓ Ð ÜØÖ ÑÔÙÒ Ø Ö ¼º µ f(, ) = f + f = 5 ÒÓÑ ØØ Ò Ö ÒÝ Ú Ö Ð ÖÒ { u = + ÙÖ Òº º )Ó Ö Ø Ò Ö ÒØÚ ØÓÖÒ ØÑÓ ÒÐ Ò Ò ÓÑÙÔÔ ÝÐÐ Öf(, ) ºËØØf(, ) = e 4, > ÀÙÖ Ò ØÚÜ Öf ÒÒ Ö ØÒ Ò 3)º ¼º¾µ µê Ø Ò Ú ÙÖÚ Òf(, ) = º Ö Ò grad ) ÒÔÙÒ Ø Ö ¼º µ µ Ö Ò Ö ØÒ Ò Ö Ú Ø Ò Úf ÔÙÒ Ø ÒP : (, ) Ö ØÒ Ò Ò(4, µáú Ð ÒÖ ØÒ Ò ÚÜ Öf Ò ØÙØ Ò ÖÒÔÙÒ Ø ÒP : ºÁ ØØÐÑÔÐ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ý Ø Ñ Ö Ú Ò Ö Ø ÐÐ Ð ÚÓÐ Ø ÖÒ µ ØÑ Ò Ú Ø ÓÒ ÖØ Ò ÒØÔÐ Ò ØØ ÐÐÝØ Òz = f(, º Ö Ò ØÖ ÔÔ Ð ÒØ Ö Ð Ò 6 z dddz ÖÖÓÑÖ Ø + + z ÓÖ Úº Ö Ò Ò Ð Ú Ð Ò ÑØ Ö Ò ÚÓÐÝÑ Ò Ú Ò Ð Ñ ÓÑ Ð ÒÖ Î Ö Ó ÚÒ (, ) = (, )º º z º v = + = + º f(, z 4 +, z + +, z. (, )

8 ))Ö ØØÔÓØ ÒØ Ð ÐØ Ò ÔÔ ÒÑÒ ¼º µ º µî ØØÓÑÚ ØÓÖ ÐØ Ø(P(, ), Q(, Ω Ö Q µ Ö Ò ÙÖÚ ÒØ Ö Ð Ò ÄÝ Ø ÐÐ γ ÖγÖÔ Ö Ð Ò= 4 )º ¼º µ ÖÒ(, Ωº = P + d d )Ø ÐÐ(,

9 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals 8-5-3, kl 8-3 INGA HJÄLPMEEL. Motivera lösningarna väl.. Låt vara det begränsade område som begränsas av linjen = och parabeln =. Beräkna dubbelintegralen d d.. Bestäm största och minsta värde av funktionen f (, ) = + på cirkelskivan Bestäm de lösningar till differentialekvationen f f = som uppfller f (, ) = 3 4. Beräkna kurvintegralen d + d + + eempelvis genom att göra variabelbtet { u =, v = +. ett kvarts varv längs cirkel + = 4 från (, ) till (, ). 5. Beräkna volmen av den begränsade kropp som begränsas av de två paraboloiderna z = + 7 och z = Ett bergs höjd ges av f (, ) = e (enheterna är km). Var någonstans på nivån e km över havet är berget brantast? TREVLIG SOMMAR!

10 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals kl 8 3 Hjälpmedel: Inga. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Förklara dina beteckningar.. Beräkna dubbelintegralen dd där = {(, );,, 4}.. Bestäm största och minsta värde av funktionen i området :, Visa att de båda nivåtorna f(, ) = z ln( + z) = och e + z = tangerar varandra i punkten (,, ), dvs visa att de har samma tangentplan i denna punkt. Ange också en ekvation för detta tangentplan. 4. a) Visa att om U är en potentialfunktion till vektorfältet F = (P, Q) i området Ω, och γ är en kurva i Ω från startpunkten a till slutpunkten b, så är F dr = U(b) U(a). γ b) Beräkna kurvintegralen ( ) + d + ( ) + d γ (.5) där γ betecknar halvcirkelbågen i övre halvplanet från (, ) till (, ). (.5) 5. Låt K vara den kropp som bestäms av olikheterna z 9 och,, z. Gör en skiss av K, samt beräkna K:s massa om dess densitet är ρ(,, z) = z. 6. Bestäm alla funktioner u(, ) som uppfller de båda differentialekvationerna u + u = och u + u =. Ledtråd: Lös först den första ekvationen, t.e. genom att övergå till polära koordinater. LYCKA TILL!

11 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals kl 8 3 INGA HJÄLPMEEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Förklara dina beteckningar och ge tdliga och enkla svar där så är möjligt.. Bestäm alla lösningar till differentialekvationen genom att göra variabelbtet f + f = 4 { u = + v = + Bestäm också den lösning f(, ) som uppfller villkoret f(, ) = för alla.. a) Vad menas med att en kvadratisk form Q(h, k) är positivt definit? (.) b) Bestäm alla stationära punkter och alla lokala etrempunkter till funktionen f(, ) = (.8) 3. Låt K vara den kropp som beskrivs av olikheterna + + z och z +. Gör en skiss av K samt beräkna massan av K, om densiteten är (,, z) = z. 4. a) Formulera satsen om Greens formel med alla förutsättningar. (.3) b) Låt γ vara övre halvan av ellipsen 4 + = genomlöpt från punkten (, ) till 9 punkten (, ). Beräkna kurvintegralen + d d. (.7) + γ 5. Bestäm de eventuella största och minsta värdena av f(,, z) = + z under bivillkoret a) + + z = (.3) b) + + z = (.7) 6. Sätt f(, ) = Låt z = g(, ) vara en ekvation för tangentplanet i punkten (,, ) till tan z = f(, ). Visa att f(, ) g(, ) för alla (, ). Låt vara cirkelskivan ( ) + ( + ) a, där a är en given positiv konstant. Visa att (f(, ) g(, )) dd < 5 4, om a <. Lcka till!

12 ÄÍÆ ËÌ ÃÆÁËà À ËÃÇÄ Å Ì Å ÌÁÃ Ì ÆÌ Å ÆËËÃÊÁÎÆÁÆ ÁÆ À ÄÈŠĺ Ä Ê ÁÅ ÆËÁÇÆ ÄÄ Æ Ä Ë Ä Ò Ò ÖÒ ÐÐÚ Ö Ö Ñ ÓÖ ÒØÐ ÑÓØ Ú Ö Ò Öº ¾¼¼ ¹¼½¹½¼ н ½ ½º Ö Ò 4+4º Ò Ú Ò Ö Ö ØÖº ¼º µ ÖÖØÖ Ò ÐÒÑ ÖÒ (, ) (, ¾º µ ØÑ ÐÐ Ø Ø ÓÒÖ ÔÙÒ Ø ÖØ ÐÐf(, )Ø ÐÐ ÒÔ ÖØ ÐÐ Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ Ò ¼º µ º = +3 µ ØÑ Ø Ö Ø Ó Ñ Ò Ø ÚÖ Úf(, = Ô Ö Ð Ú Ò + º ØÑ ÐÐ Ð Ò Ò Öf(, f + f =, >, >, Ø ÐÐ Ü ÑÔ Ð ÒÓÑ ØØ Ö Ú Ö Ð ÝØ Ø º Ö Ò ÙÖÚ ÒØ Ö Ð Ò ØÑÓ ÒÐ Ò Ò Ø ÐÐ Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ ÒÓÚ Òµ ÓÑÙÔÔ ÝÐÐ Öf(, ) ÒÓÑÐ ÔØ ØØÚ ÖÚ ÔÓ Ø ÚÐ º )º ¼º µ ¼º µ µγö ØÖØ Ð Ò ØÝ Ø ÖÒ(, )Ø ÐÐ(, µγö Ö ÐÒ( c Ð Ö ÑÑ ÓÑÚÓÐÝÑ Ò µ¹ùôô Ø Òº Ó ÔÐ Ò Ø ¼º µ ) + = ¼º µ º µ Ö Ò ÚÓÐÝÑ Ò Ú Ò ÖÒ ÖÓÔÔ ÓÑ ÖÒ ÚÝØ Òz = + µ ØÑ ÓÒ Ø ÒØ Òc ØØÚÓÐÝÑ Ò Ú Ò ÖÓÔÔ ÓÑ ÖÒ ÚÝØÓÖÒ z= Ó z= )º ØÑÔÙÒ Ø ÒPº ¼º µ º µ Ú ØØÚ ØÓÖÒgradf(a, Ä Ã ÌÁÄÄ ¼º µ b)öòóöñ ÐØ ÐÐ ÙÖÚ Òf(, ) = f(a, b) ÔÙÒ Ø Ò(a, µì Ò ÒØÔÐ Ò Ø ÔÙÒ Ø ÒPØ ÐÐ Ö Ò + + z = Ö ÒÓÑÔÙÒ Ø ÖÒ (, (,, )Ó (,, z = º ( + ) dd )Ó (, )º u = v = γ d + d = º + b)º, )

13 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals 7--7 kl 8 3 INGA HJÄLPMEEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.. Beräkna integralen d d över triangeln med hörn i punkterna (3, ), (, ) och (, ).. a) efiniera begreppet riktningsderivata för en reellvärd funktion av två variabler. (.3) b) I vilken riktning har f(, ) sin maimala tillväthastighet, och hur stor är denna? (.4) c) Ange en ekvation för tangentplanet till tan z = 3 i punkten (,, ). (.3) 3. a) Bestäm den allmänna lösningen f(, ) till differentialekvationen f f = e, genom användning av variabelbtet u = +, v = e. (.6) b) Bestäm sedan lösningen som uppfller f(, ) = +. (.4) 4. Beräkna största och minsta värde av funktionen f(, ) = + +, över området = { +, }. 5. Kroppen K är homogen och består av ett halvklot med radie för z samt en uppochnervänd kon z + för z. z-aeln är en smmetriael för kroppen och därmed ligger kroppens masscentrum i en punkt z MC på z-aeln. Rita en skiss av kroppen och bestäm punkten z MC. 6. Bestäm kurvintegralen (ln ( + ) + γ + )d + + d, där kurvan γ går från punkten (, ) till punkten (, ) längs = ln ln. LYCKA TILL!

14 ÄÍÆ ËÌ ÃÆÁËà À ËÃÇÄ Å Ì Å ÌÁÃ Ì ÆÌ Å ÆËËÃÊÁÎÆÁÆ ÁÆ À ÄÈŠĺ Ä Ê ÁÅ ÆËÁÇÆ ÄÄ Æ Ä Ë Ä Ò Ò ÖÒ ÐÐÚ Ö Ö Ñ ÓÖ ÒØÐ ÑÓØ Ú Ö Ò Öº ¾¼¼ ¹½¼¹¾¼ Ð ½ ½º Ö Ò º Ò Ú Ò Ö Ö ØÖº ¼º µ ÖÖØÖ Ò ÐÒÑ ÖÒ (, ) (, ¾º µ ØÑ ÐÐ Ø Ø ÓÒÖ ÔÙÒ Ø ÖØ ÐÐf(, º ØÑ ÐÐ Ð Ò Ò ÖØ ÐÐ ÒÔ ÖØ ÐÐ Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ Ò º Ø ÖÒ ÓÑÖ ¼º µ ) = + µ ØÑ Ø Ö Ø Ó Ñ Ò Ø ÚÖ Úf(, ) = + ÓÑ Ú ÖÒ Ú ÙÖÚÓÖÒ = Ó = Ø ÐÐ Ü ÑÔ Ð ÒÓÑ ØØ Ö Ú Ö Ð ÝØ Ø ÚÓÐÝÑ Ò ÚKº º Ö Ò ÒÒ º ) ÑØ Ò Ò ÓÖÑ Ð Ö Ö Ò Ò Ú ºÄØKÚ Ö Ò ÖÓÔÔ ÓÑ ÚÓÐ Ø ÖÒ + + z z Ó Ò Ô Ø Ò Òº ) ÒÑ Ü Ñ Ð Ø ÐÐÚÜØ Ø ØÓ ÙÖ ØÓÖÖ ÒÒ º Ú ¼º¾µ ¼º µ º µ Ò Ö Ö ÔÔ ØÖ ØÒ Ò Ö Ú Ø Öf(, Ú Ö Ò ºµ 5 Ú ÒØÙ ÐÐ ÔÙÒ Ø ÖÓ Ö ØÒ Ò Ö 4º ÒÒ ØÒ ÓÒÔÙÒ Ø ¼º µ µáú Ð ÒÖ ØÒ Ò Öf(, µäøf(, ) = ln( + )Ó ÐØÚ Ö Ö Ò Ò + (a, b) Ó Ò ÓÒÖ ØÒ Ò v ØØf v(a, b) = böø ÐÓ γö Ò Ø Ö ÐÒ ¹ÔÐ Ò Ø ØØÚ ÖÚ ÔÓ Ø ÚÐ ºÎ Ð ÓÐ ÚÖ Ò Ò º ØÖ Ø ÙÖÚ ÒØ Ö Ð ÒK(a, b) = (a + b) 3 d + (a + b) 3 d Ä Ã ÌÁÄÄ γ Öa, K(a, b) ÒØ a + b = e dd )Ó (, )º f f = 4( ), { u = + v =

15 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING FLERIMENSIONELL ANALYS 7-8- kl 83 INGA HJÄLPMEEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Skriv fullständiga meningar och förklara dina beteckningar. Alla svar skall förenklas.. Låt vara det ändliga område i första kvadranten som begränsas av linjerna =, =, samt hperbeln =. Beräkna dubbelintegralen dd.. a) I vilken riktning har f(, ) sin maimala tillväthastighet, och hur stor är denna? Förklara varför. (.5) b) Sätt f(, ) =. Rita nivåkurvan f(, ) =. Beräkna gradf(, ) och + rita in gradientvektorn i guren. (.) c) Bestäm en ekvation för tangentplanet till tan z = f(, ) i punkten (,, ) om f(, ) = +. (.3) 3. Bestäm största och minsta värde av funktionen i området 4. f(, ) = + 4. Bestäm den lösning f(, ) till den partiella dierentialekvationen f f = för >, >, som uppfller f(, ) = sin, genom att göra variabelbtet u =, v = Beräkna kurvintegralen ( arctan ) d + γ ( arctan ) + d, där γ är den båge av cirkeln ( ) + ( ) = som går från (3, 3) till (, ) ovanför linjen =. 6. Låt K vara den kropp som beskrivs av olikheterna + + 4z 4, z 4. Beskriv kroppen K med hjälp av en skiss och ord. Beräkna volmen av K. Lcka till!

16 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals 7 5 kl 8 3 INGA HJÄLPMEEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Skriv fullständiga meningar och förklara dina beteckningar. Ge tdliga och enkla svar där så är möjligt.. Beräkna dubbelintegralen (, ), (, ) och (, ). dd, om är triangeln med hörn i punkterna +. a) Bestäm en ekvation för tangentplanet i punkten (,,) till tan e + z + cos( z) =. (.5) b) Vektorn grad f(a, b) är normal till kurvan f(, ) = f(a, b) i punkten (a, b). Bevisa detta. (.5) 3. Bestäm den allmänna lösningen till den partiella differentialekvationen f + 3f = { u = 3 genom att bta variabler genom v = +. Bestäm sedan den lösning f(, ), som uppfller f(, ) = 7 för alla. 4. Bestäm största och minsta värde av funktionen f(, ) = + + i området : Kroppen K beskrivs av olikheterna z + och + + z. K:s densitet är (,, z) = +. Beräkna K:s massa. 6. Beräkna kurvintegralen + d d, om γ är cirkeln + γ a) + 4 = genomlöpt ett varv i positiv led. (.5) b) = genomlöpt ett varv i positiv led. (.5) Lcka till!

17 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals 7-4-3, kl 4-9 INGA HJÄLPMEEL. Motivera lösningarna väl.. Beräkna dubbelintegralen d d där är det område mellan kurvorna + = och = som innehåller punkten (, ).. Bestäm de lösningar till differentialekvationen f + f = 4, för >, >, som uppfller f (, ) =, eempelvis genom att göra variabelbtet { u =, v =. 3. a) Visa att vektorn grad f (a, b) är normal till kurvan f (, ) = f (a, b) i punkten (a, b). (,5) b) Bestäm tangentplanet till funktionstan z = f (, ) = 3 i punkten där (, ) = (3, ). (,5) 4. Bestäm största och minsta värde av funktionen i området. f (, ) = Beräkna volmen av den kropp som beskrivs av olikheterna + + 4z 4, z 4 och z. Gör en skiss av kroppen. 6. Vektorfältet (P, Q) kan skrivas (P(, ), Q(, )) = f (r)(, ) där r = ( + ) /. a) Bestäm alla kontinuerligt deriverbara funktioner f (r) av en variabel sådana att (P, Q) blir ett potentialfält i högra halvplanet ( > ). (,5) b) Låt vara kurvan 3 = från punkten (, ) till (, ). Beräkna kurvintegralen Pd + Q d för de funktioner f som bestämts ovan. (,5) LYCKA TILL!

18 ÄÍÆ ËÌ ÃÆÁËà À ËÃÇÄ Å Ì Å ÌÁÃ Ì ÆÌ Å ÆËËÃÊÁÎÆÁÆ ÁÆ À ÄÈÅ ÄºÄ Ò Ò ÖÒ ÐÐÚ Ö Ö Ñ ÓÖ ÒØÐ ÑÓØ Ú Ö Ò Öº Ð Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ Ë Ö Ú ÙÐÐ ØÒ Ñ Ò Ò ÖÓ Ö Ð Ö Ò Ø Ò Ò Öº ØÝ Ð Ó Ò Ð Ú Ö ¾¼¼ ¹¼ ¹¼ Ð ½ Ö ÖÑ Ð Øº ½º Ö Ò Ñ Ò Ú ÖÓÔÔ ÒK ÓÑ ÚÓÐ Ø ÖÒ ¾º µä ÒÔ ÖØ ÐÐ Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ Ò + + z,,, z, ÓÑ Ò Ø Ø ÒÖρ(,, º ¼º µ ÒÓÑ ØØ Ò Ö ÒÝ Ú Ö Ð Ö{ º u ¼º µ Q)Ö ØØÔÓØ ÒØ Ð ÐØ ØØÓÑÖ Ωº ¼º¾µ )Ð ÖÔ ÙÖÚ Ò µ ØÑ ÒÐ Ò Ò Ø ÐÐ Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ Ò µ ÓÑÙÔÔ ÝÐÐ Öf(, ) > º ØÑ Ø Ö Ø Ó Ñ Ò Ø ÚÖ Úf(, ) = (, + =,, º µ Ò Ø ÓÒ Ò Ú ØØ ÐØ Ø(P, Q)Ö ØØÔÓØ ÒØ Ð ÐØ Ω Ö Q µ Ú ØØÓÑ(P,, ÖγÖ Ò Ø Ö ÐÒ ÒÓѹ µäøp(, ) =, Q(, ) = Ó Ω ºÄØKÚ Ö Ò ÖÒ ÖÓÔÔ ÓÑ Ö Ú ÚÓÐ Ø ÖÒ Ω Q) ØØÔÓØ ÒØ Ð ÐØ ¼º µ + + Ö Ò ÙÖÚ ÒØ Ö Ð Ò γ ) d+q(, ) d Ð ÔØ ØØÚ ÖÚ ÔÓ Ø ÚÐ ºÎ ØØ P Ö Ò ÚK ÑØ Ö Ò ÚÓÐÝÑ Ò ÚKº Ωº Ö(P, + + z 9Ó z µî ØØ ÒÓÑ ÚÒ Ò ÚÔÙÒ Ø ÒPÐ ÖY Ú ÖØ Ò ÒØÔÐ Ò Ø Pº ¼º µ µ ØÑ Ò Ú Ø ÓÒ ÖØ Ò ÒØÔÐ Ò ØØ ÐÐÝØ ÒY ÔÙÒ Ø ÒPº ¼º µ ºÄØYÚ Ö ÝØ Òz= Ó P ÒÔÙÒ ØÔÝØ Ò Ö ÄÝ Ø ÐÐ = z) = zº f + f + + = 3, >, > = v = = + Ωº ¼º¾µ = P : (, ) (, ). P(, = Q 7. = º

19 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals 7--, kl 4-9 INGA HJÄLPMEEL. Motivera lösningarna väl.. Låt vara det begränsade område som begränsas av linjen = och parabeln =. Beräkna dubbelintegralen 3 d d.. Bestäm en potential till det konservativa kraftfältet ( + 3, sin ) och beräkna kurvintegralen ( + 3) d + ( sin ) d längs kurvan = sin från (, ) till (Ô, ). 3. Bestäm största och minsta värde av funktionen f (, ) = + på triangeln med hörn i (, ), (3, ) och (3, 3). 4. Bestäm de lösningar till differentialekvationen f + f = som uppfller f (, ) = eempelvis genom att göra variabelbtet { u =, v =. 5. Beräkna volmen av den begränsade kropp som begränsas av de två paraboloiderna z = 4 och z = + ( + ) + ( ). 6. Ett bergs höjd ges av f (, ) = e 8, (, ) R, (enhet km). Var är berget högst? Var är berget brantast? LYCKA TILL!

20 ÄÍÆ ËÌ ÃÆÁËà À ËÃÇÄ Å Ì Å ÌÁÃ Ì ÆÌ Å ÆËËÃÊÁÎÆÁÆ ÁÆ À ÄÈÅ ÄºÄ Ò Ò ÖÒ ÐÐÚ Ö Ö Ñ ÓÖ ÒØÐ ÑÓØ Ú Ö Ò Öº Ä Ê ÁÅ ÆËÁÇÆ ÄÄ Æ Ä Ë ¾¼¼ ½¾ ½¾ к½ ½ ½º µ Ò Ö Ö ÔÔ ØÖ ØÒ Ò Ö Ú Ø Ö ÒÖ ÐÐÚÖ ÙÒ Ø ÓÒ ÚØÚÚ Ö Ð Öº µ Ò Ò ÓÖÑ Ð Ö Ö Ò Ò ÚÖ ØÒ Ò Ö Ú Ø Òº ¼º¾µ ¼º µ t ÒÓÑ Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ò ¼º µ µ Ö Ò Ö ØÒ Ò Ö Ú Ø Ò Úf(,, z) = + + z ÔÙÒ Ø Òa Ö ØÒ Ò Òv=(,, ¾º µìö Ò ÓÖÑ Ö ÙØØÖÝ Ò f Ó f t)ø ÐÐ Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ Ò ¼º µ ¼º µ µ ØÑ ÒÐ Ò Ò f(, ÓÑÙÔÔ ÝÐÐ ÖÚ ÐÐ ÓÖ Øf(, ) º µî ØØ ÙÒ Ø ÓÒ Òf(, º ÒÓÑ Ú Ð Ò Ò Ò µî ØØ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö ØØÑ Ò Ø ÚÖ Ó ØÑ ØØ º Ò Ö Ø Ö Ø ÚÖ º ¼º µ ¼º µ ) = ( ), >, < ØØÓÑÖ Aº ØÑ Ö Ò ÚAº { º µî Ñ Ò Ñ ØØÔÓØ ÒØ Ð ÐØ µ Ò ÒÔÓØ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒØ ÐÐ Ø Ð ØÖÓ Ø Ø ÐØ Ø º Ó ¼º µ Ú Ö Ö Ö Ð Ú Ò + º ØÑÚÓÐÝÑ Ò Ú Ò ÖÒ ÖÓÔÔK ÓÑ ÖÒ ÚÝØÓÖÒ z= z = + dr ÖσÖ ÒÒ Ø ÚØÓÖ ÒØ Ö Ò Ø Ö ÐÒº ¼º µ ¼º µ. Ç ÂÍÄ µ Ö Ò σ E )º { u = t v = + t. f t + f = = sin()º u = 3 v = 3 /3 ( ) E = +, + = (,, )

21 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals 6--, kl 4-9 INGA HJÄLPMEEL. Motivera lösningarna väl.. Området ges av olikheterna, och +. Beräkna dubbelintegralen d d. ( + ). Bestäm största och minsta värde av funktionen f (, ) = 3 + på cirkelskivan För vilka värden på konstanten d tangerar planet tan + + 4z =? + 4z = d 4. Bestäm de lösningar till differentialekvationen som uppfller f f =, f (, ) = eempelvis genom att göra variabelbtet { u =, 5. Beräkna kurvintegralen ( ) d v =. ( ) d där är parabeln = + från (, ) till (, 6). 6. Ett glas vars kupa har formen z = +, z, är fllt till en viss höjd med vatten. När glaset snurras (med konstant vinkelhastighet kring z-aeln) följer vattentan tan z = ( + + )/. Hur mcket vatten är det i glaset och till vilken höjd når det när glaset är i vila? LYCKA TILL!

22 ÄÍÆ ËÌ ÃÆÁËà À ËÃÇÄ Å Ì Å ÌÁÃ Ì ÆÌ Å ÆËËÃÊÁÎÆÁÆ ÁÆ À ÄÈÅ ÄºÄ Ò Ò ÖÒ ÐÐÚ Ö Ö Ñ ÓÖ ÒØÐ ÑÓØ Ú Ö Ò Öº Ä Ê ÁÅ ÆËÁÇÆ ÄÄ Æ Ä Ë Ë Ö Ú ÙÐÐ ØÒ Ñ Ò Ò ÖÓ Ö Ð Ö Ò Ø Ò Ò Öº ÐÐ Ú Ö ÐÐ Ö Ò Ð º ¾¼¼ ¹¼ ¹¾ Ð ½ º Ö Ò Ù Ð ÒØ Ö Ð Ò Ó ½ºÄØÚ Ö Ø ÖÒ ÓÑÖ ÓÑ ÖÒ Ú ÙÖÚ Ò z)ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÚØÖ Ú Ö Ð Öº = Ð Ò ÖÒ = Ó = c) Ú ØØÔ Ø Ò º Ú Ø Ú ÓÖÑ ÐÒ ÖÖ ØÒ Ò Ö Ú Ø Ò z) ÔÙÒ Ø Ò ¼º µ ¾º µ Ò Ö Ö ÔÔ Ø Ö fóñf = f(,, Ò Ò ÓÑ ØÖ ØÓÐ Ò Ò Ú Ö f(a, b, º Ö Ò Ø Ö Ø Ó Ñ Ò Ø ÚÖ Ø ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÖÚ ÒØ ºµ º ¼º µ ¼º µ µî Ö ØÑ Ü Ñ Ð ÚÖ Ø ÚÖ ØÒ Ò Ö Ú Ø Ò Úf(,, (a, b, ØÖ Ò ÐÒÑ ÖÒ ¼ ¼µ ¼ ¾µÓ ¾ ¾µº µ ØÑØ Ò ÒØÔÐ Ò Ø ÔÙÒ Ø Ò(3,, )Ø ÐÐÝØ Ò z + = ºÌÖ Ò ÓÖÑ Ö Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ Ò º Ö Ò Ú ÖÓÔÔ Ò ÑØ Ö Ò ÚÓÐÝѺ Ó ºÄØKÚ Ö Ò ÖÒ ÖÓÔÔ ÓÑ ÖÒ ÚÝØÓÖÒ z = + z = + + º Ö Ò ÙÖÚ ÒØ Ö Ð Ò ) ÓÑÙÔÔ ÝÐÐ Ö Ú Ø ÓÒ Òº. Ó ØØ ÒÓÑ ØØ Ò Ö ÒÝ Ú Ö Ð ÖÒ u= 3 3, v = 3 3 Ü ÑÔ ÐÔ Ò ÙÒ Ø ÓÒf(, ÄÝ Ø ÐÐ Ö ÙÖÚ ÒγÖÔ Ö Ð Ò= ÖÒ(, e dd. c). f(, ) = e ( ) ( ) f f + = ( + ), >, >, γ + + d d )Ø ÐÐ(, )º

23 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING FLERIMENSIONELL ANALYS kl 8 3 INGA HJÄLPMEEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.. Bestäm största och minsta värde av funktionen i området = {(, );, }.. Beräkna f(, ) = ( )e T sin ( + )dd där T är triangeln med hörn i punkterna (, π), (π, ) och (π, 4π). 3. Beräkna volmen av den ändliga kropp som begränsas av torna z = + och z = Betrakta den partiella differentialekvationen där < < π, < < π. sin f cos sin f =, a) Bestäm alla lösningar till differentialekvationen med hjälp av substitutionen u = sin, v = cos. (.6) b) Bestäm också den lösning som dessutom uppfller kravet att f( π 4, ) =. (.4) 5. Låt z = f(, ) vara en funktion sådan att f (5, 4) = och f (5, 4) =. a) Ange en riktning i vilken riktningsderivatan av f(, ) i punkten (5, 4) är lika med. (.3) b) Tangentplanet π till tan z = f(, ) i punkten (5, 4, f(5, 4)) går genom origo. Bestäm en ekvation för π. (.3) c) Kan kurvan = vara en nivåkurva till funktionen f(, )? (.4) Var god vänd

24 6. a) Om kraftfältet (P, Q) är ett potentialfält så är P = Q. För att även omvändningen skall gälla fordras att fältet är definierat i ett område Ω med en speciell egenskap. Vilken? (.) ( ) b) Är kraftfältet (P, Q) = +, ett potentialfält i Ω, där Ω är hela + -planet förutom punkten (, )? (.3) ( ) c) Hitta en potentialfunktion till kraftfältet (P, Q) = +, i området + = {(, ); ( ) + < }. (.5) LYCKA TILL!

25 ² É ª š «³ «ª ª ª ««ª š ««² «ª ³ «³ Ü Û Û Ü! " # $%'& ( )* )* FBGHG?IKJLGBMCJNFHIPO -QSRUT;V WYX[Z]\_^a`cbedEf]g h ijh duk delm'nbopn;qsrctnn?rumyvcrcwpw;rctzr {=ltlm}~s~srj %}~ t~;}'nb 8wƒo qsrj % 8opc}'t'opn;qsrct+k CvtNop{N Swpŵ m' Š cn?~co qsrj %}'nbopn;qsrct YŒ{=ltLvw rctzr~copn?r '}' Ž}Y YvnBopn;qsrct+k Za} c~kwƒo qsr YŒ }'nkvw r m'rct~s ctem( ct* %l Nwƒo qc Šk TB * (š cœ Bž ŸCC C? ( s L + šlžc ( ±C Cœs (š Cž (, ) (, ) (, 3) ª;² e dd Cª «cš p ;š K š C C + «(, )³ (Ÿ C cš F * + šlžcœs Lž C Kœ K ( f(, ) = ln( + ) ªS² ±C Cœs ( P : (, )³ žs µ +šl cœ Bž š œ C K ŸC +š cž Yžc ž= f ±C Cœs L + P šz œs L C C + (3, )³ 8¹K³»º H ½¼j K + ¾ (œs 4ž4 L š6ÿc ( ¾ K 4 cœcšz 4ža f cš + YžÁŸC + C Bže C c 4œ;Kšz 4ž ªc«ª «P? (  Y + +œs cž L cš. C 4 cœcšâ cž4 C Yžc K ( s u ³UÀ ª;² P ³ ¹S³ˆÃ V# *ÄE 4 K 4žcšžŸC ( c ( Bž Æ + šl c K LžcŸC œš ªc«Åª ª ±C± Æ + šl c K Lžc ž= ª «Ç ± Èžc C ' ; Lžc œ z +šlž ª;² z = 3 ³ É K Lž u Æ +šl cœ Bž u Ž ; C Ÿ «KÊ ±C Cœs Ë ; C cÿ ±C Cœs ( C eœ šÿc Bž4 L +š ªSª ( T, T, z T ) + až= T = K dddz K dddz, T ªS² z T žc Cžc 4 M *žs µì C +šlž ž4 L z ( š ( + C Á ( +Ÿ žc Èž cšk L 4 z L C C sžcš ªc«ÎÍ ³ ¹S³ˆÏ H ÑÐe Lž ž4 z 8 c L ' ª «(P (, ), Q(, )) cš. + z ± ( s L žc 8 c ª L cš P = Q ³ ¹S³ˆÏ ÒCšz 4žc γ s 4šÓ š c ±C Cœs L + (5, ) L ±K Cœs L ( Ô? (  Y cšõž= Ö 4 Lž šl 4 LžØ Ùz + z Ž œc + ( 5, Ú ) Kš +šl cœ Bž œcšz ; s ( šžc + ª;² γ Þ γ d d³ 4 z žs µ + z Y u  L šz z Lž «f Ê ª;² H âájž4š f C c Á  L šz z Yž ª ª;² f(, ) = 4 ³ 5 C z Lž[ c 4šŸC : + ³ K z Yž 4 cšzÿc * R ã + z L ŸC L ¾ 8žc ã ¹S³Ýº 8¹K³àß ¹S³ˆÏ ç

26 É «² œ ª ª š «I žs 4 z u z LšÂ ± ª;² H â + z Y { = r cos θ = r sin θ ³ r f r f ª;² r f #ŸC (šz 4ž4 +Ÿ ž ; z ( ( KŸC ªS² ª;² θ r ³ 8¹K³ˆÃ ŸC ( c C C f(, ) L ÆŸK Æ (š + s L Èž4 (œs 4ž4 C + ª ªc«±C± p ; (š S œ šz + f + f = f(, ) = šážc Èž ³ 8¹K³»º ] 58-8-zç

27 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals kl 8 3 INGA HJÄLPMEEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Skriv fullständiga meningar och förklara dina beteckningar. Ge tdliga och enkla svar där så är möjligt.. Betrakta funktionen f(,) = och punkten P : (3,). a) Rita den nivåkurva till f som går genom P, och bestäm en ekvation för nivåkurvans tangent i P. (.5) b) I vilken riktning från P har f(, ) maimal tillväthastighet, och hur stor är denna maimala tillväthastighet? (.) c) Vilken är den maimala tillväthastigheten för f(, ), om man undersöker alla riktningar från alla punkter i området : 5 5, 5 5? (.3). a) Vad menas med att en kvadratisk form Q(h,k) är positivt definit? (.) b) Bestäm alla stationära punkter och alla lokala etrempunkter till funktionen f(, ) = (.8) 3. Låt K vara den begränsade kropp som begränsas av -planet och tan z =. a) Skissera K samt beräkna volmen av K. (.4) b) Beräkna massan av K, om densiteten är ρ(,,z) = z. (.6) 4. a) Formulera satsen om Greens formel med alla förutsättningar. (.3) b) Låt γ vara den övre Z halvan av enhetscirkeln genomlöpt från (,) till (,). Beräkna kurvintegralen (+)d+( + )d. (.7) γ 5. Kroppen K är begränsad och homogen med densiteten och begränsas av torna z = + och + +z = 4 samt innehåller punkten (,,). Beräkna tröghetsmomentet för K m.a.p. z-aeln, d.v.s. beräkna integralen ZZZ J = ( + )dddz. K 6. En funktion u(,) kallas harmonisk i en öppen mängd, om u + u = för alla (,) i. a) Låt u(,) = + a 3, där a är en konstant. Bestäm konstanten a så att u(,) blir harmonisk i = R. (.3) b) Låt = {(, ); (, ) (, )}. Bestäm alla harmoniska funktioner u(, ) i av formen u(,) = f(r), där r = + och f är en två gånger kontinuerligt deriverbar funktion av en variabel. (.7) Lcka till!

28 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals 6-- kl 4 9 INGA HJÄLPMEEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. ZZ. Beräkna dubbelintegralen (,),(,) och (,) dd där är triangeln med hörn i punkterna. Bestäm alla lösningar av formen u(, ) = f(), >, > till differentialekvationen u u = 3. Rita de nivåkurvor till f(,) = + som går genom punkterna (,),(,) och (3,). Rita också ut gradienterna till f i dessa punkter. Beräkna riktningsderivatan av f i punkten (, ) i riktning mot punkten (3, ). 4. Undersök största och minsta värde för funktionen f(,) = +( ) a) då = b) då c) då 5. Man kan lösa ut z direkt ur ekvationen z = men man kan också göra det approimativt i närheten av punkten (,,) med hjälp av Talorutveckling. Talorutveckla funktionen f(,,z) = z kring punkten (,,) och lös ut z ur ekvationen p (,,z) =. Här betder p Talorpolnomet av grad. Vad blir z med de två metoderna? Kommentera de z-värden du får för = =. ZZZ 6. Beräkna tröghetsmomentet J = + dddz för kroppen K K : a + b + z,,, z, c LYCKA TILL!

29 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals 3 december 5 kl 4 9 Hjälpmedel: Inga. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Skriv fullständiga meningar och förklara dina beteckningar. Alla svar skall förenklas så långt som möjligt.. Beräkna dubbelintegralen där ges av och. dd. Låt f(, ) = e + ( + ). a) Bestäm tangentplanet till f(, ) i punkten (a, b) = (, ). (.3) b) Nivåkurvan f(, ) = definierar en funktion () nära punkten (, ). Bestäm (). (.) c) Teoriuppgift: Låt (a, b) vara en punkt på en nivåkurva f(, ) = C. Visa att grad f(a, b) är en normal till nivåkurvan. (.5) 3. Beräkna största och minsta värde av funktionen f(, ) = på den kompakta mängd som begränsas av = och =. 4. Beräkna kurvintegralen (e cos( ) + )d + (e (sin( ) cos( )) + )d γ där γ är kurvan = genomlöpt i övre halvplan ( ) från (, ) till (, ). 5. Bestäm alla lösningar till differentialekvationen f + f f =, >, > som är på formen f(, ) = g( + ), där g är en funktion av en variabel. Bestäm också den lösning som dessutom uppfller f(, ) = 3 +. Ledning: Någonstans i räkningarna är det lämpligt att införa h = g som n obekant. 6. Bestäm volmen av den kropp K som ges av olikheterna + z och + z. Lcka till!

30 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING FLERIMENSIONELL ANALYS 5 kl. 4 9 INGA HJÄLPMEEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.. Beräkna Z Z. Sätt där är triangeln. 4 e dd, f(,) = + 6. Bestäm funktionens största värde i det kompakta område som begränsas av kurvorna =, = och = en partiella differentialekvationen u + u = ( ) kan bland annat utgöra modell för ett svängande membran. I höger halvplan söker vi alla lösningar till ekvationen som är konstanta på strålarna = k genom origo, dvs. som är av formen u(,) = f( ), där f är en funktion av en variabel. Uppgift: Bestäm alla funktioner f av en variabel sådana att u(,) = f( ) löser ( ) i >. Ledning: Någonstans i räkningarna är det lämpligt att införa f = g som n obekant. 4. a) Bevisa följande variant av Greens formel: där E ges av olikheterna Z E Z Z P Pd = E dd, ϕ() ψ(), a b. (.6) b) Formulera med alla förutsättningar den sats som ur villkoret P = Q drar slutsatser om kurvintegralens oberoende av vägen. Visa hur den kan bevisas med hjälp av Greens formel. (.4) 5. Betrakta den funktion f:(,) (u,v) från R till R som ges av { u = + v = 3. a) Bestäm funktionalmatrisen för f. (.3) V. g. vänd.

31 b) Bestäm matrisen för den linjära avbildning som är linjariseringen av f i punkten (,). (.3) c) Använd linjariseringen för att finna en approimativ lösning nära (, ) till ekvationssstemet { + = = 3.6. (.4) 6. Ett ägg har formen av en ellipsoid med två av alarna parallella med -planet, den tredje parallell med z-aeln, och med centrum i (,,c) där c >. ess ekvation är (z c) = 8. (Att detta är en ellipsoid behöver inte verifieras, och för problemets lösning räcker det att veta att det är en äggformad kropp.) Ägget sänks försiktigt från hög höjd ner i skålen z = + genom att man minskar värdet på c, utan att göra några rotationer eller vridningar. Vi vill studera problemet på vilken höjd ägget hamnar när det inte kan sänkas tterligare. Uppgift: Bestäm det värde på c för vilket ägget vilar i skålen, och ange också tangeringspunkternas koordinater. L Y C K A T I L L!

32 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals 4 p kl 8 3 Inga hjälpmedel är tillåtna. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Skriv fullständiga meningar och förklara dina beteckningar.. Bestäm alla stationära punkter samt alla lokala maimi- och minimipunkter till funktionen. Bestäm alla lösningar av formen till den partiella differentialekvationen f(,) = + +. f(,) = g(r) där r = + f + f =, (,) (,). + Bestäm också den lösning som uppfller kravet lim f(,) = a) Visa att om F(,) = ( P(,),Q(,) ) är ett potentialfält i ett öppet område Ω, så är Q = P i Ω. (.3) b) Gäller omvändningen till implikationen i deluppgift a? (.) c) Beräkna kurvintegralen Z γ (+ ) 3/ d+ (+ d, ) 3/ där γ är övre halvan av enhetscirkeln från (,) till (,). (.5) 4. Beräkna volmen av den kropp som bestäms av olikheterna + och + z. 5. a) Använd den allmänna feluppskattningsformeln (differentialuppskattning) för att göra en uppskattning av funktionsvärdet för f(,) = sin+ då och har värdena och maimalfelen = π ±., = ±.. (.5) b) Bestäm tangentplanet till tan sin+ z = i den punkt där = π och =. (.3) c) Utgående från punkten (π, ), ökar eller minskar funktionsvärdena hos f (i deluppgift a) i riktningen (, )? (.) 6. Ytan z = + + +, beskriver ett terrängavsnitt i en bergskedja. Var på berget och i vilken riktning har berget störst lutning? Ange även den maimala lutningen.

33 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals kl 8 3 INGA HJÄLPMEEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. ZZ. Beräkna dubbelintegralen dd över området :,.. a) Temperaturen på en platta (-planet) är T(,) = e. I vilken riktning, utgående från punkten (,), är temperaturökningen per längdenhet störst? Finns det någon riktning där den är? (Riktningen efterfrågas ej). (.5) b) Linearisera T(,) i punkten (,). Vilket värde på temperaturen i punkten (,.) får man om man approimerar temperaturen med lineariseringen? (.5) 3. a) Undersök största och minsta värde för funktionen f(,) = + i området,,. (.) b) Lös problemet i a) grafiskt genom att rita nivåkurvor till f. (.) c) efiniera begreppet lokalt maimum. (.) d) efiniera begreppet globalt maimum. (.) e) efiniera begreppet stationär punkt. (.) 4. Lös den partiella differentialekvationen f + f =, f(,) = e, >, > genom att bta till de na variablerna u =, v =. Z 5. Beräkna kurvintegralen e d+e d där γ är den räta linjen från (,) till (,) på tre γ olika sätt genom att använda a) definitionen av kurvintegral b) Greens formel c) potential. 6. Låt MT T beteckna en Modell av Turning Torso som har höjden h och kvadratiskt tvärsnitt med sidan d. d cos πz πz sin h h d MT T : d sin πz πz + cos h h d z h Beräkna volmen av MT T samt tröghetsmomentet ZZZ J = + dddz MTT LYCKA TILL!

34 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING FLERIMENSIONELL ANALYS kl 8-3 INGA HJÄLPMEEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar.. Låt vara triangeln med hörn (,), (,π) och (π,π). Beräkna dubbelintegralen Z Z (+)cos (+) dd. Beräkna kurvintegralen Z där (e + ) d+e d γ a) γ är linjestckena från (, ) till (, ) och från (, ) till (, ) (.5) b) γ är parabelbågen = från (,) till (,). (.5) 3. a) Lös för >, > differentialekvationen f f = 3 genom att göra variabelbtet (.7) { u = / v = b) Bestäm alla lösningar som även uppfller f(, ) =. (.3) 4. a) Visa att vektorn grad f(a,b) är normalvektor till kurvan f(,) = f(a,b) i punkten (a,b). (.5) b) För vilka punkter på tan ( + ) z + = gäller att tangentplanet i punkten är parallellt med planet z =? (.5) 5. Bestäm största och minsta värde av funktionen i området + 6, +. f(,) = + 4+ VÄN

35 6. Låt K vara en homogen begränsad kropp som begränsas av torna z = 9 och z = +. a) Beräkna volmen av K. (.4) b) Beräkna masscentrums koordinater ( mc, mc,z mc ) för kroppen K. För masscentrums -koordinat mc för en homogen kropp K gäller RRR K mc = RRR dddz K dddz och motsvarande för mc och z mc. (.6) LYCKA TILL!

36 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals kl 4 9 Hjälpmedel: Inga. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Skriv fullständiga meningar och förklara dina beteckningar. Ge tdliga och enkla svar där så är möjligt.. Beräkna dubbelintegralen ZZ där = {(,);, }. e dd,. a) Teorifråga: I vilken riktning har f(, ) sin maimala tillväthastighet, och hur stor är den? Förklara (=bevisa) varför. (.5) b) Visa att punkten P : (,,) ligger på tan z = ln(+3), och bestäm en ekvation för tangentplanet i P till tan. (.5) 3. Bestäm den allmänna lösningen till den partiella differentialekvationen f f =, >, > { u = genom att göra variabelbtet. v = Bestäm sedan den lösning till differentialekvationen som uppfller villkoret f(,) = sin för >. 4. Låt γ vara cirkeln ( ) + = 4 genomlöpt ett varv i positiv led (moturs). Z a) Beräkna kurvintegralen d d. (.6) b) Beräkna kurvintegralen γ Z 5. Sätt f(,) = γ + d+ d. (.4) + a) Bestäm största och minsta värdet av f(,) under bivillkoret + =. (.5) b) Bestäm f :s största och minsta värde i området : +. (.3) c) Har f någon lokal etrempunkt i det inre av : +? (.) 6. en begränsade kroppen K begränsas av torna z = och z = 4. Kroppen K:s densitet är ρ(,,z) = i någon lämplig enhet. Beräkna K:s massa. Lcka till!

37 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals 5--, kl 4-9 INGA HJÄLPMEEL. Motivera lösningarna väl.. Bestäm en potential till det konservativa kraftfältet ( cos kurvintegralen ( cos ) d ( ) d ) och beräkna längs kurvan sin från ( ) till ( ).. a) Visa att vektorn grad f (a b) är normal till kurvan f ( ) f (a b) i punkten (a b). b) Bestäm tangentplanet till funktionstan z f ( ) 3 i punkten där ( ) ( ). 3. Bestäm största och minsta värde av funktionen f ( ) 3,. 3 3 i kvadraten 4. Bestäm de lösningar till differentialekvationen f f 3 som uppfller f ( ) sin eempelvis genom att göra variabelbtet u v 5. Beräkna volmen av den begränsade kropp som begränsas av de två paraboloiderna z 5 ( ) och z 3 ( ). 6. Ett bergs höjd ges av f ( ) e, ( ). Var är berget högst? Var är berget brantast? LYCKA TILL!

38 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals 4--4, kl 4-9 INGA HJÄLPMEEL. Motivera lösningarna väl.. Området ges av olikheterna, och. d ( d ) 3. Bestäm alla lösningar till differentialekvationen f u genom att göra variabelbtet f v Bestäm också den lösning som uppfller villkoret f () e. Beräkna dubbelintegralen 3. Bestäm den punkt på paraboloiden där tans tangentplan är parallellt 3z med planet 4 z 4. Ange också tangentplanets ekvation. 4. Bestäm största och minsta värde av funktionen f () på cirkelskivan Beräkna kurvintegralen ( d längs parabeln ( ) från ) till (). 6. Medelvärdet av en funktion f (z) över ett område kan beräknas genom () d f (z) d d dz där() är volmen av. Låt nu vara ett klot med radien R. Beräkna medelvärdet av avståndet till klotets rand för punkter i klotet. GO JUL!

39 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals 4--3 kl 4 9 INGA HJÄLPMEEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.. Bestäm alla lösningar f(, ) till differentialekvationen (ledning: polära koordinater). f f =. a) Vektorn grad f(a,b) är normal till kurvan f(,) = f(a,b) i punkten (a,b). Förklara varför. (.5) b) Bestäm tangentplanet till f(,) = i punkten (,). (.5) 3. a) Beräkna kurvintegralen I γ + d+ + d över kurvan γ : frhörningen med hörn i punkterna (,), (, ), (, ) och (, ) genomlöpt i positiv riktning. (.6) b) Beräkna motsvarande integral över kurvan γ : cirkeln med centrum i punkten (,) och radien. (.4) 4. Beräkna integralen ZZ över området E = { + 4 4; }. e ( +4 ) dd E 5. Beräkna masscentrums koordinater för den homogena kropp som begränsas av torna z = + och + + z = 6. Kom ihåg att MC = RRR K ρ d d dz/ RRR K ρ d d dz och motsvarande för och z. 6. Beräkna största och minsta värdet av funktionen + på det obegränsade området i planet: +. Ange i vilka punkter i området dessa värden antas. LYCKA TILL!

40 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING FLERIMENSIONELL ANALYS kl 8-3 INGA HJÄLPMEEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar.. Låt vara triangeln med hörn (,), (π,) och (π,π). Beräkna dubbelintegralen Z Z cos( )d d. Låt f vara en differentierbar reellvärd funktion definerad på hela R 3 och (a,b,c) en punkt i R 3. a) Ange någon geometrisk tolking av grad f (a, b, c). (.) b) Låt γ vara en C -kurva med parameterframställningen (,,z) = ((t),(t),z(t)), som ligger på nivåtan f(,,z) = f(a,b,c) ock går genom punkten (a,b,c). Visa att grad f (a,b,c) är en normalvektor till kurvan γ. (.4) c) Bestäm tangentplanet i punkten (,, ) till tan z + =. (.4) 3. Bestäm största och minsta värde av funktionen i rektangeln, 3 4. f(,) = a) Lös den partiella differentialekvationen f f + f = genom att göra variabelbtet (.7) { u = + v = b) Bestäm alla lösningar som även uppfller f(,) = sin och f(,) = f(,). (.3) VÄN!

41 5. Bestäm massan av halvklotet om densiteten är ρ(,,z) = z. + +(z ), z 6. Beräkna kurvintegralen Z Γ + +(+) d+ +(+) d där Γ är parabeln = 3 från ( 3,) till ( 3,). LYCKA TILL!

42 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals kl 8 3 INGA HJÄLPMEEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Z Z. Beräkna integralen dd där : {(,); +,, }. 3. a) I vilken riktning har f(,) sin maimala tillvät? Hur stor är denna? (.) b) Bevisa svaren i a). (.3) c) Vad menas med att en funktion av två variabler har ett lokalt maimum i en punkt (,). (.) d) Vad menas med ett potentialfält och vad menas med en potential? Ange en förutsättning som måste gälla för att det skall finnas en potential till vektorfältet (P, Q). (.3) 3. Låt f(,) = ( + ) + vara definierad i R. Bestäm alla stationära punkter till f samt karaktären på punkterna. 4. Beräkna kurvintegralen Z (e sin+)d+(e cos+3)d, γ där γ är en fjärdedel av enhetscirkeln genomlupen från punkten (,) till punkten (,). 5. Bestäm tngdpunkten av den homogena kroppen K, som definieras av ekvationerna + + z z 4 och z +. Tngdpunktens koordinater ges av formeln T = RRR K dddz RRRK dddz, T och z T analogt. Tips: + + z z 4 är ekvationen för ett klot. 6. ifferentialekvationen u = K, där K är en konstant och är Laplaceoperatorn definierad av u = u + u, har lösningar u(,) som bara beror på avståndet från (,) till origo, dvs lösningar på formen u(,) = f(r), där r = +. Bestäm alla sådana lösningar. LYCKA TILL OCH TREVLIG SOMMAR!

43 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals 4-4- kl 8 3 INGA HJÄLPMEEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.. Bestäm största och minsta värde av funktionen f(,) = + på triangeln med hörn i (, ),(, ) och (, ). { = r cosθ. a) Visa att f + f = f θ vid variabelbtet b) Bestäm den lösning till differentialekvationen f + f = = r sinθ (.4) som uppfller f(,) = sin. (.6) 3. a) Ange någon geometrisk tolkning av grad f(a, b, c). (.) b) Mellan vilka värden varierar riktningsderivatan av g(,) om man står i en punkt (a,b)? Bevisa ditt påstående. (.5) c) Bestäm tangentplanet i punkten (,, 3) till tan + z = 5. (.3) 4. Låt γ vara kurvan 4 + = 4,, från punkten (,) till (,). Z a) Beräkna ( + ) d +(3 + 4) d genom att parametrisera kurvan. (.5) b) Beräkna γ Z γ ( + ) d +(3 + 4) d med hjälp av Greens formel. (.5) 5. Området z 5 delas av planet ++z = 5 i två delar. Beräkna de bägge delarnas volmer. 6. En metod för att approimativt hitta en lokal minpunkt till funktionen f(,) i närheten av punkten (a,b) är följande. Ersätt funktionen med dess Talorpolnom av grad, kring punkten (a,b). Bestäm minpunkten till Talorpolnomet istället. Utför detta för funktionen f(,) = e och punkten (,). Glöm inte att kontrollera att du får en minpunkt till Talorpolnomet. Funktionen f har en lokal minpunkt? Motivera detta. LYCKA TILL!

44 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals 4-3- kl 4 9 Hjälpmedel: Inga. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Skriv fullständiga meningar och förklara dina beteckningar. Alla svar skall förenklas så långt som möjligt.. Området i första kvadranten begränsas av de räta linjerna =, = och =. Beräkna dubbelintegralen ZZ (+) dd.. Bestäm den allmänna lösningen till den partiella differentialekvationen f + f = { u = + genom att införa na variabler (u,v) genom v =. Bestäm sedan den lösning till differentialekvationen som uppfller villkoret f(,) = e för alla. 3. a) Bestäm största och minsta värdet av funktionen f(, ) = under bivillkoret = 5. (.5) b) Teorifråga: Visa att vektorn grad f(a, b) är normal till kurvan f(, ) = f(a, b) i punkten (a,b). (.5) 4. a) Beräkna kurvintegralen Z γ cosd+cos d, om γ är det räta linjestcket från punkten (,) till punkten (,). (.5) b) Kan man bestämma funktionen a() så att fältet a()(+,) blir ett potentialfält i R? (.5) 5. Beräkna masscentrum ( mc, mc,z mc ) för den homogena tårtbiten K : + + z R,, z. För masscentrums -koordinat mc för en homogen kropp K gäller RRR K mc = dddz RRRK dddz. och motsvarande för mc och z mc. Var god vänd!

45 6. Låt z = g(, ) vara en ekvation för tangentplanet i punkten (,, 4) till tan z = f(,) = 9. Bestäm största och minsta värdet av g(,) f(,) i cirkelskivan + 9. Lcka till!

46 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGSFÖRSLAG Flerdimensionell anals 9 4 4, kl a) Se sidorna 99 och i boken. b) För att finna stationära punkter deriverar vi partiellt och får ekvationssstemet { f = 4 + = f = = Från den andra ekvationen får vi att vi måste ha = eller =. Antag först att =, då ger första ekvationen = 4 = ( )( + ), dvs vi får punkterna (, ) och (, ). Om vi nu tittar på =, då ger första ekvationen att = 4 = ( ), vilket ger punkten (, ). Alltså har vi fått de stationära punkterna (, ), (, ) och (, ). Fortsatt derivering ger f =, f =, f =. För att avgöra de stationära punkternas karaktär tittar vi på den kvadratiska formen Q(h, k). - I punkten (, ) får vi Q(h, k) = h + 8hk. Vi har Q(, ) = och Q(, ) = 6 och därför är Q indefinit och vi har en sadelpunkt. - I punkten (, ) får vi Q(h, k) = h 8hk. Vi har Q(, ) = och Q(, ) = 6 och därför är Q indefinit och vi har en sadelpunkt. - I punkten (, ) får vi Q(h, k) = h +4k. Vi ser att Q är positivt definit och vi har därför en lokal min-punkt Vi får alltså en lokal etrempunkt, (, ), vilken är en lokal min-punkt.. Ur de givna olikheterna får vi z e +3. Eftersom projektionen på -planet, av kroppen som bildas, är hela -planet kan vi nu ställa upp volmsintegralen, e 3 V = dz dd = 3 dd. R Vi bter till elliptiskt-polära koordinater: = r cos t { r = 3 r sin t t π R e J(r, t) = 6 r. etta ger oss V = lim R Z R Z π = π 6 lim R = π 6 lim R = π 6. 6 re r dtdr» R e r e R + «

47 3. erivering ger f = f u u + f u v = f u + f v, Insättning ger f = f u u + f u v = 3f u 3f v 3(f u + f v) + (3f u 3f v) = u, vilket vi förenklar till f u = u. Integration m.a.p u leder till f = u + g(v), för en godtcklig deriverbar funktion g. Återgår vi till (, ) får vi f(, ) = ( + 3) + g( 3). et etra villkoret ger f(, ) = + g() =, ur vilket vi får g(t) = t och därför f(, ) = ( + 3) + ( 3) = a) Låt v vara en vektor med längd. å är Speciellt f v = gradf v = (3 6, 3 ) v f v ( 3, ) = (3, 3 3) v cos α = 6 cos α där α är vinkeln mellan (3, 3 3) och v. Vi ser att riktningsderivatan är som störst då α =, dvs då vi tittar i riktningen (3, 3 3). enna riktning ligger dock utanför det intervall vi är intresserade av. Vinkeln för riktningen (3, 3 3) från -aeln är π 3, riktningarna ( 3, ) och ( 3, ) svarar mot vinklarna π 6 respektive π 6 från -aeln. Eftersom cos är avtagande på intervallet [, π] så ser vi att vi får största värdet på riktningsderivata då vi väljer v så att α = π 3 π 6 = π 6, vilket ger 6 cos π 6 = 6 3 = 3 3. et minsta värdet får vi då vi väljer v så att α = π 3 + π 6 = π, vilket ger värdet. Alltså; riktningsderivatan varierar mellan f v ( 3, ) 3 3. b) Sätt g(,, z) = f(, ) z. å kan vi se f som nivåtan g(,, z) = och vi ser att g(, 3, 3) = ; alltså ligger punkten på tan. Normalen till g i punkten (, 3, 3) ges av gradienten, grad g(, 3, 3) = (3 6, 3, ) = (3,, ). (,,z)=(,3, 3) Tangentplanet blir nu 3 + z + d =, och vi kan bestämma d då vi vet att planet ska gå genom punkten (, 3, 3). etta ger oss 3 + z 9 =. 5. a) Se sidan 344 i boken. b) Alt. Vi söker en potential U till fältet (P, Q). Primitiv funktion till P i är + + h(), för någon deriverbar funktion h. eriverar vi detta m.a.p får vi: + h (). Jämförelse med Q ger att h () =, dvs h() = + C. ärför får vi U(, ) = () C, vilken är en potential i det enkelt sammanhängande området R. etta ger oss U(π, ) U(, ) = 4π.

48 Alt. Eftersom P = Q i R kan vi bta väg till linjestcket δ mellan start och slutpunkt. En parametrisering av δ är (, ) = (, )+t(π, ), t. Vi får Z δ P d + Qd = Z ( + πt) π dt = 4π Z t dt = 4π ˆt = 4π. 6. Vi tittar på avståndet från origo i kvadrat, dvs vi låter f(, ) = +. Vi söker maimum av f under bivillkoret g(, ) = = 7 med,. Eftersom bivillkoret är en en kompakt mängd, finns optimum. För optimum måste grad f(, ) vara parallell med grad g(, ), eller ligga i någon av ändpunkterna till kurvan. Gradient-villkoret ger med determinantmetoden; 3 6 = 6( ) =. Vi får de tre möjligheterna =, = eller =. Om vi antar = ger bivillkoret () = 7 3 = 7 = 3. vilket i sin tur ger att = 6. Avståndet i punkten (6, 3) till origo ges nu av f(6, 3) = = 45 = 3 5. Vi ser de två övriga fallen sammanfaller med att undersöka randpunkterna. I randpunkten med = får vi 3 = 7, dvs = 3 3 5, vilket också är denna punkts avstånd till origo. Om vi tittar på randpunkten där = får vi 3 = 7, dvs = 3 3. Vi har nu fått tre kandidatvärden till ma och min. et som återstår är att välja ut de två vi söker. et är klart att 3 3 > Följande implikation ( } 5) 6 = 5 3 = 5 ( 3 5 > 3 ) 6 = = ger 3 5 > 3 3 > 3 3 5, vilket direkt ger oss största avstånd, 3 5, och minsta,

49 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR FLERIMENSIONELL ANALYS 9-3- kl 8-3. a) Ytan är nivåta till f(,, z) = + +z 3, alltså gradf är normalvektor till tangentplanet. grad f = (,, 3z) grad f(,, ) = (,, 3) tangentekvation ges av + ( ) + 3(z ) = + + 3z 6 =. Svar: + + 3z 6 = b) Vi inför polära koordinater = r cos θ, = r sin θ e = } cos θ{{ sin θ} r} {{ e r }, begränsad r +. Svar: c) Se boken, Sats 7, sidan a) Stationära punkter är lösningar till { f = e + + e + = ( + )e + = = eller =, f = e + + e + = ( + )e + = = eller =. etta ger stationära punkter: (, ) och (, ). Beräkna andra derivator: f = ( + )e +, f = ( + )( + )e +, f = ( + )e +. (, ) : Q(h, k) = h + hk + k = e hk indefinit (tar båda positiva och negativa värden) sadelpunkt. (, ) : Q(h, k) = e h + hk e k = e (h + k ) negativt definit lokal maimipunkt. Svar: (, ) är lokal maimipunkt. b) Välj =, + : f(, ) = e + = e e + största värdet saknas. Välj =, + : f(, ) = e = e e minsta värdet saknas. Svar: Båda största och minsta värdena saknas. 3. Enligt kedjeregeln har vi f = f u + f v,f = f u + f v ( ). Sätt in i ekvationen f + f = (f u + f v) + (f u f v) = 4f u = v. Integrera map u: f(u, v) = 4 uv + g(v) f(, ) = 4 ( + )( ) + g( ), g C.

50 en speciella lösningen f(, ) = 4 4 +g( ) = 4 [ = t] g(t) = t 4 t = 3 4 t f(, ) = 4 ( + )( ) ( ) = ( )( 4 ( + ) ( )) = ( )( ). Svar: den allmäna lösningen f(, ) = 4 ( + )( ) + g( ), g C, den speciella lösningen f(, ) = ( )( ). 4. Inför polära koordinater = r cos θ, = r sin θ. I de polära koordinaterna beskrivs mängden som E: r, θ π/4. Funktionaldeterminanten är r i E. + dd = E Resten av lösningen är bara Endim: I = = = 4 = 4 π/4 r r cos θ sin θ π/4 + r cos θ r drdθ = r cos θ sin θ r dθdr = I. + r cos θ r cos θ( sin θ) + r cos θ r [ ln( + r cos θ) ] θ=π/4 θ= dr = dθdr = [kedjeregeln g() = cos ] = r(ln( + r ) ln( + r /)) dr = [t = r ] = 4 4 ln( + t) dt 4 4 ln( + t/) dt = I I. Två ganska lika integraler I och I beräknas: I = 4 4 r(ln( + r ) ln( + r /)) dr = 4 ln( + t) dt = [partiell integration] = 4 [( + t) ln( + t)]4 4 (ln( + t) ln( + t/)) dt = = 4 [( + t) ln( + t) t]4 = 4 (5 ln ln 3 + ) = 5 4 ln ln 3. 4 dt = I = 4 4 ln( + t/) dt = [ = t/] = ln( + ) d = [partiell integration] = = [( + ) ln( + ) ] = (3 ln 3 ln + ) = 3 ln 3 ln. Sammanlagt I = I I = 5 4 ln 5 ( ) ln 3 + ln = 5 4 ln 5 9 ln 3 + ln. 4 Alternativ lösning: Vi delar i två delar längs : :,, 4

Ì ÆÌ Å Æ ËØ Ø Ø ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ö Á ÌÅ˽ ¼ ÑÒ Ò Ò ½ Ñ Ö ¾¼¼ Ð Ô Îº ÂÓÙÖ ÂÓ Ò Ù Ø Ú ÓÒ Ò Òº ½ À ÐÔÑ Ð ÍØ Ð ÓÖÑ Ð ÑÐ Ò Ñ Ø ÐÐ Ö Ì Ô ÙÖ Ò ÒÚÒ ÓÖ Ð Ø Ó ØÝÔ Ó Ò Ö Ò Ó º ÈÓÒ Ö Ò Ò ÍÔÔ Ø ÖÒ Ö Ú ÖÚ Ð ØÝÔ Ö Ò Ø ØØ ÐØ

Läs mer

Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)

Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z) Kap. 15.1 15.2, 15.4, 16.3. Vektorfält, integralkurva, konservativa fält, potential, linjeintegraler av vektorfält, enkelt sammanhängande område, oberoendet av vägen, Greens formel. A 1701. Undersök om

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015 Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 215 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016 Institutionen för matematik SF166 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 16 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna jälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011,

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011, SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011, 08.00-13.00 Skrivtid: 5 timmar Inga tillåtna hjälpmedel Eaminator: Hans Thunberg Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maimalt fyra poäng. På

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016 Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende. Institutionen för matematik KTH MOELLTENTAMEN Tentamensskrivning, år månad dag, kl. x. (x + 5).. 5B33, Analytiska metoder och linjär algebra. Uppgifterna 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga

Läs mer

Tentamen i TATA43 Flervariabelanalys

Tentamen i TATA43 Flervariabelanalys Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i TATA4 Flervariabelanalys 5--7 kl 8 Inga hjälpmedel tillåtna inte heller miniräknare 8//6 poäng med minst /4/5 uppgifter

Läs mer

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,

Läs mer

ÃÓÑÔÙØØÓÒÐÐ ÁÒØÐÐÒ ÐÓÖØÓÒ ¾ Ê ËÚÒÖ ÖÞ ÅÙ Ø ÀÒ ÇÐÓ ÓÒ ÑÖ ¾¼¼¾ ÁÒÒÐÐ ½ ËÝØØ Ñ ÒÒ ÐÓÖØÓÒ ¾ ÌÓÖ ÒÐÝ º½ ÖÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ ÅÖ ÖÙ º º º º º º º º º º º º

Läs mer

15 Multipelintegraler, sfäriska koordinater, volymberäkningar

15 Multipelintegraler, sfäriska koordinater, volymberäkningar Nr 5, 9 april -5, Amelia 5 Multipelintegraler, sfäriska koordinater, volmberäkningar 5. Multipelintegraler et finns många tillämpningar där fler än tre variabler är aktuella. I statistik kan vi vilja undersöka

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen --9 EL A. En kulle beskrivs approximativt av funktionen 5 hx, ) + 3x + i lämpliga enheter där hx, ) är höjden. Om du befinner dig i punkten,, ) på kullen,

Läs mer

Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns

Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Q Flervariabelanalys 8--1 Skrivtid: 8-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Tentand

Läs mer

18 Kurvintegraler Greens formel och potential

18 Kurvintegraler Greens formel och potential Nr 8, 6 april -5, Amelia 8 Kurvintegraler Greens formel och potential 8. Greens formel Vi studerar i detta avsnitt kurvor i planet, i R. En kurvintegral är som vi sett en integral på en kurva i planet.

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-9-6 DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y

Läs mer

Repetitionsuppgifter. Geometri

Repetitionsuppgifter. Geometri Endimensionell anals, Geometri delkurs B1 1. Fra punkter A, B, C och D ligger pa en cirkel med radien 1 dm. Se guren! Strackorna AD och BD ar lika langa. Vidare ar vinkeln BAC och vinkeln ABC 100. D Berakna

Läs mer

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet

Läs mer

) 2 = 1, där a 1. x + b 2. y + c 2

) 2 = 1, där a 1. x + b 2. y + c 2 ap 7 Användningar av multipelintegraler Arean av ett plant område 0 Beräkna arean av det område som begränsas av följande kurvor: A a (x y) 2 + x 2 = a 2 A b xy =, xy = 8, y = x och y = 2x (x > ) A c y

Läs mer

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 2. Beräkna gränsvärdet (eller visa att det inte finns):

Läs mer

ÁÒÒ ÐÐ ÓÑ ØÖ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÔ ÒØÓ Ð¹Ã Û Ö ÞÑ Ð Ö Ø Ð Ö ÔÖ Ø ÙØ ÓÖÑ ÙÒ Ö ½ ¼¼¹ Ó ½ ¼¼¹Ø Рغ Î Ø º ÖØ ¾

ÁÒÒ ÐÐ ÓÑ ØÖ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÔ ÒØÓ Ð¹Ã Û Ö ÞÑ Ð Ö Ø Ð Ö ÔÖ Ø ÙØ ÓÖÑ ÙÒ Ö ½ ¼¼¹ Ó ½ ¼¼¹Ø Рغ Î Ø º ÖØ ¾ Å Ø Ñ Ø Ò ¾¼½¾¹¼ ¹½ Æ Ö Ò Ð Ð Ö Ò ØÓÖ Æ Ð Ö ÓÒ Ò Ð º Ö ÓÒ Úº ½ ÁÒÒ ÐÐ ÓÑ ØÖ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÔ ÒØÓ Ð¹Ã Û Ö ÞÑ Ð Ö Ø Ð Ö ÔÖ Ø ÙØ ÓÖÑ ÙÒ Ö ½ ¼¼¹ Ó ½ ¼¼¹Ø Рغ Î Ø º ÖØ ¾ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÑ ØÖ Ð Ñ ÒØ ÙÔÔ Ú Ö Ö Ú Ò

Läs mer

ÝÖ Ö Ò ØØ Ò Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó Ú ÓÒ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ÙØ Ö Å ÌÄ Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÒ ¹» Ü ÑÔ Ðº ÇÑ Ø Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Ø ½ ¾ Ò Ú Å ÌÄ ¹ÔÖÓÑÔØ Ò ÒÑ ØÒ Ò Ò Ú

ÝÖ Ö Ò ØØ Ò Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó Ú ÓÒ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ÙØ Ö Å ÌÄ Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÒ ¹» Ü ÑÔ Ðº ÇÑ Ø Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Ø ½ ¾ Ò Ú Å ÌÄ ¹ÔÖÓÑÔØ Ò ÒÑ ØÒ Ò Ò Ú ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÌÄ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Å Ø Ñ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ø ØÝÔ Ö Ó Ú Ö Ð Ö Î ØÓÖ Ö»Ð ØÓÖ ½ ÝÖ Ö Ò ØØ Ò Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó Ú ÓÒ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ÙØ Ö Å ÌÄ Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÒ ¹» Ü ÑÔ Ðº ÇÑ Ø Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ

Läs mer

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Jan Eriksson sin( + ) sin + + n 6 LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 och MMA1 Basutbildning II i matematik

Läs mer

Inlämningsuppgift nr 2, lösningar

Inlämningsuppgift nr 2, lösningar UPPALA UNIVRITT MATMATIKA INTITUTIONN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 8 Inlämningsuppgift nr, lösningar. Visa att ekvationen x + x(y ) + (y ) + z + sin(yz) definierar z som en funktion

Läs mer

Lösningar kapitel 10

Lösningar kapitel 10 Lösningar kapitel 0 Endimensionell analys Fabian Ågren, π Lösta uppgifter 0............................................... 0............................................... 0.6..............................................

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-6-4 DEL A 1. Funktionen f är definierad på området som ges av olikheterna x > 1/ och y > genom f(x, y) ln(x 1) + ln(y) xy x. (a) Förklara vad det

Läs mer

Tentan , lösningar

Tentan , lösningar UPPALA UNIVERITET MATEMATIKA INTITUTIONEN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 2008 Tentan 2008-12-16, lösningar 1. Avgör om det finns någon punkt på ytan (x 1) 2 + 2(y 1) 2 + 2z 8 som är

Läs mer

¾ ½ ½¼ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò Ø Ò Ö Ì½ Ä ÓÖ Ø ÓÒ Ö Ð Ö Ø ¾¼¼¼»¾¼¼½ ÝÐÐ ØØ Ò ÑÒ Ó Ô Ö ÓÒÒÙÑÑ Ö Ñ Ð ÐÐ Ö ÑÓØ Ú Ö Ò º Ç Ë ÇÑ ÒØ ÒÒ Ú ØØ Ò Ø Ñ Ú Ö ÓÚ Ò Ò Ò Ö Ù Ò Ò Ú ØØ Ò Ö Ùй Ø Ø Ø Ö ÔÔÓÖØ Ö Ó Ò Ö ÔÔÓÖØ Ö Ò Ý Ø Ñ

Läs mer

(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z

(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z UPPAA UNIVERITET Matematiska institutionen Abrahamsson, 4715, 7-57 (tyf, 47119, 77-517) Prov i matematik IT, K, X, W, EI, MI, NVP samt fristående kurs. Flerdimensionell analys och Analys MN 5-1-9 krivtid:

Läs mer

Vi har. x (xy2 ) + y ( yz2 ) + z (zx2 ) = y 2 z 2 + x 2 = x 2 + y 2 z 2, xy 2 yz 2 zx 2

Vi har. x (xy2 ) + y ( yz2 ) + z (zx2 ) = y 2 z 2 + x 2 = x 2 + y 2 z 2, xy 2 yz 2 zx 2 Lektion 6, Flervariabelanals den februari 6.. Beräkna div F och rot F av F e + e. Divergensen och rotationen ges av div F F,,,, + + + +, rot F F,,,, e e e z, +,,,. rot F F,, e e e z z, z, z z z, + z, z

Läs mer

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9: Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Inger Sigstam Envariabelanalys, hp --6 Uppgifter till lektion 9: Lösningar till vårens lektionsproblem.. Ett fönster har formen av en halvcirkel ovanpå en

Läs mer

För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg

För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MAB 8 Skrivtid: 9:-4:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler bifogas

Läs mer

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x = UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 2004 02 4 Skrivtid: 0-5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande

Läs mer

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015 SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt

Läs mer

MMA127 Differential och integralkalkyl II

MMA127 Differential och integralkalkyl II Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA127 Differential och integralkalkyl II Tentamen Lösningsförslag 211.8.11 14.3 17.3 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial (gradskiva

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016 SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Kontrollskrivning 1A

Kontrollskrivning 1A Kontrollskrivning 1A i 5B1147 Flervariabelanalys för E, vt 2007. 1. Låt g(t) vara en deriverbar envariabelsfunktion. Visa att tvåvariabelsfunktionen f(x, y) = g(2x y 2 ) satisfierar den partiella differentialekvationen

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013 SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mattias Dahl Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. De tre

Läs mer

Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder.

Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. Kap 5.7, 7. 7.. Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. 8. (A) Beräkna arean av det ändliga område som begränsas av kurvorna x a. y = + x och y = b. y = x e x och y = x

Läs mer

Kap Dubbelintegraler.

Kap Dubbelintegraler. Kap 4. 4.. ubbelintegraler. A. Beräkna följande dubbelintegraler a. d. (x + y) dxdy, över kvadraten x 3, y. (sin y + y cos x) dxdy, då ges av x π, y π. x cos xy dxdy, då ges av x π, y. xy cos (x + y )

Läs mer

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015 SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt

Läs mer

Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper

Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning Ellipser och hyperbler är, liksom parabeln, s.k. kägelsnitt, dvs kurvor som uppkommer

Läs mer

TMV036/MVE350 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt KI, del C

TMV036/MVE350 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt KI, del C MATEMATIK Hjälpmedel: Inga Chalmers tekniska högskola atum: 23-3-5 kl. 8.3 2.3 Tentamen Telefonvakt: Elin Solberg tel. 73-8834 TMV36/MVE35 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt KI, del C Tentan rättas och

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som

Läs mer

u(t) = u 0 sin(ωt) y(t) = y 0 sin(ωt+ϕ)

u(t) = u 0 sin(ωt) y(t) = y 0 sin(ωt+ϕ) Ã Ô ¹ ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ÌÚ ÖÙÒ ÔÖ Ò Ô Ö Ö ØØ Ý Ñ Ø Ñ Ø ÑÓ ÐÐ Ö ÓÑ Ò Ö Ó Ø µ Ý Ð Ø ÑÓ ÐÐ Ý º ÒÚÒ Ò ØÙÖÐ Ö Ñ Ð Ò Ò Ö Ð Ò Æ ÛØÓÒ Ð Ö Ø Øµº Á Ð Ò Ú ÝÔÓØ Ö Ó ÑÔ Ö Ñ Ò µº Ë Ã Ô ¾ ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ÒÒ Ø Ò ÑÒ ËÝ Ø Ñ

Läs mer

Matematik D (MA1204)

Matematik D (MA1204) Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och

Läs mer

ÖVNINGSTENTOR I MATEMATIK DEL C (MED LÖSNINGSFÖRSLAG)

ÖVNINGSTENTOR I MATEMATIK DEL C (MED LÖSNINGSFÖRSLAG) ÖVNINGSTENTOR I MATEMATIK DEL C (MED LÖSNINGSFÖRSLAG) 0 ÖVNINGSTENTAMEN DEL C p Beräkna sidan AC p Bestäm f ( 0 ) då f ( ) ( ) p Ange samtliga etrempunkter till funktionen f ( ) 6. Ange även om det är

Läs mer

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel 070 4 4075 Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN 006-05-4 Skrivtid: 5 0. Hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall åtföljas

Läs mer

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta 325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,

Läs mer

MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen , kl och v 4 =

MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen , kl och v 4 = MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen 9--7, kl. 8.3 -.3 TMV36 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del B Telefonvakt: Richard Lärkäng, telefon: 73-8834 Inga hjälpmedel. Kalkylator ej tillåten. Uppgifterna

Läs mer

Ð ËÅ ½¹½¾¹¼¾ ½ ÅØØ ØÐ ÔÔÒÒ ÇÖÖÒÒ ÖÐÖ ÑØØ ÔÔÒØ ÐÓÒ ½º¾ Ñ ¼ ØÒÓÐÓÖ ÒÖÚÖÒº ¾ ÓÖÑÐ µ ÌÐÐ ÑØ ÓÖÖÒ ÚÐ ÓÖ ÂÓÑ ÅÐÐ ÚÖº µ ÌÐÐ ÑØ ÖØÖÖ ÚÐ Ö ÒÒ Ö ÓÒ ÚÖº µ ÌÐÐ Ù ØÖÒ ÑÒ ÚÐ ÌÓÑ ÏÖ ÜØÙ ÑÙ ÑØ ÂÓÒ ÀÖ ØÖØÙ ¹ ÑÙ º µ ÁÒ

Läs mer

1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av

1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-41 1 För ingenjörs- och distansstudenter Flervariabelanalys ma1b 15 1 14 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja

Läs mer

DUBBELINTEGRALER. Rektangulära (xy) koordinater

DUBBELINTEGRALER. Rektangulära (xy) koordinater ubbelintegraler. -koordinater UBBELINTEGRALER. Rektangulära ( koordinater efinition. Låt zf(, vara en reell funktion av två variabler och. Vi delar integrationsområde (definitionsområde) i ändligt antal

Läs mer

Explorativ övning Vektorer

Explorativ övning Vektorer Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken

Läs mer

Möbiusgruppen och icke euklidisk geometri

Möbiusgruppen och icke euklidisk geometri 94 Möbiusgruppen och icke euklidisk geometri Lars Gårding Lunds Universitet Meningen med detta förslag till enskilt arbete är att alla uppgifter U redovisas skriftligt med fulla motiveringar och att alla

Läs mer

20 Integralkalkyl i R 3

20 Integralkalkyl i R 3 Nr,9maj-,Amelia Integralkalkl i R 3 VI kommer härnäst att studera integraler av tredimensionella vektorfält: F(,, ) = (P (,, ), Q(,, ), R(,, )). Vi generaliserar kurvintegraler och Greens formel från R

Läs mer

2. Avgör om x och z är implicit definierade som funktion av y via följande ekvationssystem. x 3 + xy + y 2 + z 2 = 0 x + x 3 y + xy 3 + xz 3 = 0

2. Avgör om x och z är implicit definierade som funktion av y via följande ekvationssystem. x 3 + xy + y 2 + z 2 = 0 x + x 3 y + xy 3 + xz 3 = 0 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För distans och campus Flervariabelanalys ma1b 14 1 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel, förutom den bifogade formelsamlingen. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) f(x, y, z) = (x 2 + yz, y 2 x ln x) 3. Beräkna en vektor som är tangent med skärningskurvan till de två cylindrarna

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) f(x, y, z) = (x 2 + yz, y 2 x ln x) 3. Beräkna en vektor som är tangent med skärningskurvan till de två cylindrarna ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys mk1b 13 8 Skrivtid: 9:-14:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler

Läs mer

Tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2 Tentamen TMA43 Flervariabelanalys E2 22-- kl. 8.3 2.3 Eaminator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, halmers Telefonvakt: Fredrik Lindgren, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2001 3. Skolverkets svar, #1 #6 9. Några lösningar till D-kursprov vt 2001 10

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2001 3. Skolverkets svar, #1 #6 9. Några lösningar till D-kursprov vt 2001 10 JENSENvuutbildning NpMaD vt för Ma4 (4) VERSION UNDER ARBETE. Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN Skolverkets svar, # #6 9 Några lösningar till D-kursprov vt Digitala verktg är

Läs mer

Sammanfattning TATA43

Sammanfattning TATA43 Sammanfattning TATA43 Innehåll Förkunskap... 2 Beskrivning av mängder... 2 Beskrivning av funktioner/tor... 4 Implicita funktioner... 4 Polära koordinater... 4 Rmdpolära koordinater... 4 Clindriska koordinater...

Läs mer

u av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1)

u av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1) ATM-Matematik Mikael Forsberg 734 41 3 31 Flervariabelanalys mag31 1669 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel förutom bifogad formelsamling. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

ÈÖÓ Ö ÑÚ Ö Ö ÙÒ ÖÚ Ò Ò ÓÑ Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ¹Ñ ØÓ Ò Ã Ò Ø Ö Ø ÒÓÑ Ú Ð Ò Ò Ö ÙØ Ð Ò Ò Ò Ú ÐÑ Ö ÂÓÒ Ø Ò Ð Ø Ø ÝÐÐ Ö Ò Ø ÒÒ ÙÖ Ö Ò Ê ÑÐ ÂÓ Ò Î ÐÐÝ ÓÒ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø Ú Ø Ò Ô Ö ÐÑ Ö Ø Ò ÓÐ Ø ÓÖ ÙÒ Ú Ö

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet

AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet Kurvintegralener Kurvor på parameterform Låt xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem i rummet. En rymdkurva på parameterform ges av tre ekvationer x = x(t),

Läs mer

Datorövning 2 med Maple, vt

Datorövning 2 med Maple, vt Flerdimensionell analys, vt 1 2009 Datorövning 2 med Maple, vt 1 2009 Under denna datorövning skall vi lösa uppgifter i övningshäftet med hjälp av Maple. Vi skall beräkna partiella derivator, transformera

Läs mer

Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009

Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009 Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009 Serier 1. Visa att för en positiv serie är summan oberoende av summationsordningen. 2. Visa att för en absolutkonvergent serie är summan oberoende av summationsordningen.

Läs mer

Studiehandledning. till 5B4004 ANALYS II. Distanskurs 10 poäng

Studiehandledning. till 5B4004 ANALYS II. Distanskurs 10 poäng Studiehandledning till 5B4004 ANALYS II Distanskurs 10 poäng Kurslitteratur: Persson/Böiers: Analys i flera variabler./ Studentlitteratur. Övningar till Analys i flera variabler/ Lunds Tekniska Högskola

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)

Läs mer

Matematik E (MA1205)

Matematik E (MA1205) Matematik E (MA105) 50 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret 003-004 Betygskriterier enligt Skolverket KRITERIER FÖR BETYGET GODKÄND

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN3 Lösningsförslag 0.03.30 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

Övningar till kapitel 1

Övningar till kapitel 1 Övningar till kapitel. Skissera för hand och/eller med Maple de delmängder av R som beskrivs av följande ekvationer och olikheter. a) > 0, >0 b) = +, 0, 0 c) = d) e) = f) >3 g)

Läs mer

Tentamen 973G10 Matematik för lärare årskurs 4-6, del2, 15 hp delmoment Geometri 4,5 hp, , kl. 8-13

Tentamen 973G10 Matematik för lärare årskurs 4-6, del2, 15 hp delmoment Geometri 4,5 hp, , kl. 8-13 Kurskod: 9G0 Provkod: STN Tentamen 9G0 Matematik för lärare årskurs -, del, 5 hp delmoment Geometri,5 hp, 0-0-08, kl 8- Tillåtna hjälpmedel : Passare, linjal För varje uppgift ska fullständig lösning med

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE , kl

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE , kl Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE35 26-4-2, kl. 4-8 Hjälpmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: anknytning 5325 Telefonvakt: Edvin Wedin För godkänt krävs minst 2 poäng. Betyg 3: 2-29.5 poäng, betyg

Läs mer

½ ÐÐ Ö À ÖÖ ÇÐÓ Ó ÐÚÓÖÒ À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö ÓÑ ÓØØ ¹ Ö Û Ö ÐÐ Ö Ö Ñ¹ Ð Ù Ò ÓÒÓÑ ØÝ Ø ¹À ÖÖ ÇÐÓ ÓÑÑ Ö Ñ ÒÖ Ó Ò Ö Ð Û Ö Òº À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö Ö Ö ÒÒ Ö Ò ÒØÞ Ñ Ð Û Öº

½ ÐÐ Ö À ÖÖ ÇÐÓ Ó ÐÚÓÖÒ À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö ÓÑ ÓØØ ¹ Ö Û Ö ÐÐ Ö Ö Ñ¹ Ð Ù Ò ÓÒÓÑ ØÝ Ø ¹À ÖÖ ÇÐÓ ÓÑÑ Ö Ñ ÒÖ Ó Ò Ö Ð Û Ö Òº À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö Ö Ö ÒÒ Ö Ò ÒØÞ Ñ Ð Û Öº Æ Ö Ø Ö Â ÒÙ Ö ¾¼¼ ½ ÐÐ Ö À ÖÖ ÇÐÓ Ó ÐÚÓÖÒ À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö ÓÑ ÓØØ ¹ Ö Û Ö ÐÐ Ö Ö Ñ¹ Ð Ù Ò ÓÒÓÑ ØÝ Ø ¹À ÖÖ ÇÐÓ ÓÑÑ Ö Ñ ÒÖ Ó Ò Ö Ð Û Ö Òº À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö Ö Ö ÒÒ Ö Ò ÒØÞ Ñ Ð Û Öº Ö ÒØÞ Ö Ð Ó Ð Û Ñ Ð Û ÓÒ Ò ÓØØ

Läs mer

Lektion 1. Kurvor i planet och i rummet

Lektion 1. Kurvor i planet och i rummet Lektion 1 Kurvor i planet och i rummet Innehål Plankurvor Rymdkurvor Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar

Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 3 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDIFYSIKER, FMS012/MASB03, HT12 Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x. Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0.0.05 08.0 0.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

2.5 Partiella derivator av högre ordning.

2.5 Partiella derivator av högre ordning. 2.3 Kedjeregeln Pass 4 Antag att: 1. funktionen f( x) = (f 1 (x 1, x 2,..., x n ),..., f m (x 1, x 2,..., x n )) är dierentierbar i N R n ; 2. funktionen g( t) = (g 1 (t 1, t 2,..., t p ),..., g n (t 1,

Läs mer

Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i.

Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Fredrik Strömberg och Leo Larsson Prov i matematik Fristående kurs Matematik MN 00-0-0 Skrivtid: 9.00 4.00 Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel:

Läs mer

Ø Ú Ø Ò Ô Ö Ø Ò Ç Ð ÓÒ ² Ñ Ð À Ú Ð Ö Ò Ú Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ¾¼¼¼ ¼ ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ö Ú Ò ÓÑ Ò Ð Ú Ø Ö Ø ÓÑ ÖÚ Ö ØØ Ö ÐÐ Ò Ò Ø Ü Ñ Ò Ø Ú Ø Ò Ôº ÐÐØ Ñ Ø Ö Ð ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ú Ð Ø ÒØ Ö ÚÖØ Ø Ö Ð Ú Ø ØÝ Ð Ø ÒØ Ö Ø Ó Ò Ø

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2 Lösningsförslag till tentamen TMA3 Flervariabelanalys E2 23--6 kl. 8.3 2.3 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Adam Andersson, telefon: 73 88 3 Hjälpmedel: bifogat

Läs mer

Tentamen i Envariabelanalys 1

Tentamen i Envariabelanalys 1 Linköpings universitet Matematiska institutionen Matematik och tillämpad matematik Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 4--8 kl. 8.. Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga,

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkl ÖVN Lösningsförslag 0.04.0 4.0 6.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

Vindkraft och försvarsintressen på Gotland

Vindkraft och försvarsintressen på Gotland Dnr 421-2744-10 1(15) Vindkraft och försvarsintressen på Gotland Redovisning av ett samverkansprojekt mellan Länsstyrelsen, Region Gotland och Försvarsmakten 2011 Projektet har bekostats av Energimyndigheten,

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

1. Rita in i det komplexa talplanet det område som definieras av följande villkor: (1p)

1. Rita in i det komplexa talplanet det område som definieras av följande villkor: (1p) TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF TEN Datum: -- Tid: :5-7:5 Hjälpmedel: Formelblad, delas ut i salen Miniräknare (av vilken tp som hels Förbjudna hjälpmedel: Ägna formelblad, telefon, laptop

Läs mer

Matematik och modeller Övningsuppgifter

Matematik och modeller Övningsuppgifter Matematik och modeller Övningsuppgifter Beräkna a) d) + 6 b) 7 (+) + ( 9 + ) + 9 e) 8 c) ( + (5 6)) f) + Förenkla följande uttryck så långt som möjligt a) ( ) 5 b) 5 y 6 5y c) y 5 y + y y d) +y y e) (

Läs mer

Ø Ú Ø Ò Ô ÊÓ ÖØ Ù Ø Ú ÓÒ Ó È Ö¹ÇÚ Ê Ò Ý ÓÓØÔÖ ÒØ ÌÓÓÐ ÓÜ Ö Ñ ÛÓÖ Ü Ñ Ò Ö Ø ¾¼¼¼ ¼ ÓÓØÔÖ ÒØ ÌÓÓÐ ÓÜ Ö Ñ ÛÓÖ ÊÓ ÖØ Ù Ø Ú ÓÒ Ó È Ö¹ÇÚ Ê Ò Ý ¾¼¼¼ Ö ØØ ÖÒ Ó Ã ÖÐ Ø ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ö Ú Ò ÓÑ Ò Ð Ú Ø

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2014-01-14 Tid: förmiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.

MATEMATIK Datum: 2014-01-14 Tid: förmiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel. MATEMATIK Datum: -- Tid: förmiddag Chalmers Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.: 7-88 Lösningar till tenta i TMV Analys och linjär algebra K/Bt/Kf,

Läs mer

kan vi uttrycka med a, b och c. Avsnitt 2, Vektorer SA + AB = SB AB = SB SA = b a, Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut.

kan vi uttrycka med a, b och c. Avsnitt 2, Vektorer SA + AB = SB AB = SB SA = b a, Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut. vsnitt 2, Vektorer kan vi uttrycka med a, b och c. W109 är basytan (en kvadrat) i en regelbunden fyrsidig pyramid med spetsen. Låt = a, = b och = c. eräkna. Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste

Läs mer

x) 3 = 0. 1 (1 + 2x) Bestäm alla reella tal x som uppfyller att 0 x 2π och att tangenten till kurvan y = sin(cos(x)) är parallell med x-axeln.

x) 3 = 0. 1 (1 + 2x) Bestäm alla reella tal x som uppfyller att 0 x 2π och att tangenten till kurvan y = sin(cos(x)) är parallell med x-axeln. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Erik Darpö TENTAMEN I MATEMATIK MMA11 Matematisk grundkurs TEN Datum: 11 juni 014

Läs mer

Teorifrå gor kåp

Teorifrå gor kåp Teorifrå gor kåp. 2.2 5.2 Funktioner och dess grafer 1) Vad är en funktion? 2) Vad är den naturliga definitionsmängden ge några eempel 3) Vad är en värdemängd? 4) Vad är en sammansatt funktion? 5) Varför

Läs mer

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a 2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a Ett plan är en yta som inte är buktig och som är obegränsad åt alla håll. På ett plan kan man rita en linje som är rak (rät). En linje är obegränsad åt båda

Läs mer

d) cos ( v) = a Se facit. Se facit. b) Se facit. sin x har maxvärdet 1 och minvärdet 1. c) ymax ymin

d) cos ( v) = a Se facit. Se facit. b) Se facit. sin x har maxvärdet 1 och minvärdet 1. c) ymax ymin d) cos ( v) a Kapitel 7 Rita t.e. figur enligt s 9 fel. Rita t.e. figur enligt s 9 rätt. c) Huvudräkning: 8 6 Tredje kvadranten fel. d) tan v tan (v + n 8 ) rätt 8 Pythagoras: motstående katet sin v /,6

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel. MATEMATIK Datum: 0-08-9 Tid: eftermiddag Chalmers Hjälmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.: 0703-088304 Lösningar till tenta i TMV036 Analys och linjär algebra

Läs mer