0 z och z e 2x2 3y 2. { u = x + 3y v = x 3y.

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "0 z och z e 2x2 3y 2. { u = x + 3y v = x 3y."

Transkript

1 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals 9 4 4, kl INGA HJÄLPMEEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.. a) efinera begreppen stationär punkt och lokal etrempunkt. (.) b) Finn alla lokala etrempunkter till f(, ) = och ange deras karaktär. (.8). Beräkna volmen av den kropp K i R 3 som begränsas av olikheterna 3. Lös differentialekvationen z och z e 3. 3f + f = + 36, genom att t.e. göra variabelbtet { u = + 3 v = 3. Bestäm också den lösning som uppfller f(, ) =. 4. Låt f(, ) = 3 6. a) Hur varierar tillväthastigheten av f i punkten ( 3, ), om vi tittar i riktningar som ligger mellan riktningen ( 3, ) och medurs till riktningen ( 3, )? (.5) b) Bestäm en ekvation för tangentplanet till z = f(, ) i punkten (, 3, 3). (.5) 5. a) Vad menas med att fältet (P (, ), Q(, )) är ett potentialfält i det öppna området Ω? (.3) b) Beräkna kurvintegralen ( + ) d + ( + ) d, γ där kurvan γ är = sin från (, ) till (π, ). (.7) 6. Bestäm det största och minsta avståndet från kurvstcket till origo = 7,,

2 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING FLERIMENSIONELL ANALYS 9-3- kl 8-3 INGA HJÄLPMEEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.. a) Bestäm en ekvation för tangentplanet till tan + + z 3 = 3 i punkten (,, ). (.3) b) Beräkna lim e. (.3) + c) I vilken riktning har en funktion f(, ) sin maimala tillväthastighet, och hur stor är den? Bevisa dina påståenden. (.4). a) Bestäm alla lokala etrempunkter av f(, ) = e + och deras karaktär. (.6) b) Bestäm eventuella största och minsta värden av f i R. (.4) 3. Lös differentialekvationen f + f =,, > t e genom att införa de na variablerna { u = +, v =. Bestäm speciellt den lösning som uppfller f(, ) = Beräkna + dd, där ges av olikheterna + 4,. 5. a) Härled med hjälp av Greens formel en metod att beräkna arean av ett plant område. (.3) b) Visa att g( + ) (, ) är ett potentialfält i R för alla g C (R ). (.3) c) et ( elektrostatiska fältet runt ) en punktladdning i origo ges i lämpliga enheter av ( + ),. Beräkna arbetet som fältet uträttar då en likadan 3/ ( + ) 3/ enhetsladdning förflttas längs kurvan = cos() från punkten (π, ) till oändligheten. (.4) 6. Beräkna ( + + z ) dddz, där en apelsinklfta som beskrivs av olikheterna + + z, 3 z. LYCKA TILL!

3 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals 9, kl INGA HJÄLPMEEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.. a) Vad menas med att en kvadratisk form är negativt definit? (.) b) Finn alla lokala etrempunkter till f(, ) = 4 och ange deras karaktär. (.8). Låt f(, ) = 3 och låt P vara punkten (5, 3). a) Mellan vilka värden varierar riktningsderivatan till f i punkten P? (.5) b) Bestäm tangentplanet till z = f(, ) i P. (.5) 3. Lös differentialekvationen f f = 3 + 3,, >, genom att t.e. göra variabelbtet { u = v =. Bestäm också den lösning som uppfller f(, ) = cos. 4. a) Visa att om vektorfältet F = (P, Q) är ett potentialfält i en öppen mängd Ω så är Q = P i Ω. (.3) b) Beräkna kurvintegralen ( + γ ) d + där kurvan γ går längs parabelbågen ( ) + ln( + ) + d, + ( )( ) = 3 från (, 3) till (, 3). (.7) 5. Bestäm största avståndet från origo till ellipsen =. 6. Beräkna volmen av den ändliga kropp som ges av olikheterna + 3 z, + 3 z och z.

4 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING FLERIMENSIONELL ANALYS 8 6 kl 8 3 HJÄLPMEEL: Inga. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Rita gärna figurer i förekommande fall.. Beräkna dubbelintegralen ( + ) dd, där är triangeln med hörn i punkterna (, ), (, ) och (, ).. Lös differentialekvationen f f = ( + ), t e genom att införa de na variablerna { u = + v =. Bestäm speciellt den lösning som uppfller f(, ) = sin. 3. a) Bestäm en ekvation för tangentplanet till konen + (z + ) = i punkten (3, 4, 6). b) Har funktionen f(, ) = en lokal etrempunkt i origo? (Motivera ditt svar.) (.5) (.5) 4. Bestäm största och minsta värde av funktionen på cirkelskivan + 5. f(, ) = Var god vänd!

5 5. a) Visa att för ett konservativt vektorfält F = (P, Q) med potentialen U är F dr = U(b) U(a) γ om kurvan γ är C samt börjar i punkten a och slutar i punkten b. b) Beräkna kurvintegralen ( sin cos ) d + cos d, γ (.5) där γ är parabelbågen från (, ) till (, 4). = (.5) 6. Låt b vara ett givet tal sådant att < b <. Hur stor andel av klotet + + z har avstånd högst b till punkten (,, )? GO JUL OCH GOTT NYTT ÅR!

6 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals 8 3, kl. 8 3 INGA HJÄLPMEEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.. a. efinera begreppet stationär punkt för en funktion av flera variabler. (.) b. Finn alla lokala etrempunkter av f(, ) = ( + )( + ) och ange deras karaktär. (.8). Lös differentialekvationen f f =,, genom att t.e. göra variabelbtet { u = + v =. Bestäm den lösning som uppfller f(, ) = ( + ). 3. a. Härled med hjälp av Greens formel en formel för att beräkna arean av ett plant område A med hjälp av en kurvintegral. (.3) b. Beräkna kurvintegralen I = γ ( ) ( d + + ) d, där kurvan γ går från (, ) till (3, 3) längs kurvan = ( ) 3. (.7) 4. Beräkna största och minsta avstånd från origo till superellipsen = Beräkna volmen av den kropp i R 3 som ges av olikheterna + z 4, och z. 6. Låt C vara clindern som ges av + och z. Med hjälp av två plan skärs bitar av C bort så att vi får en n kropp K av det som är kvar. Projektionen av K på -planet är enhetscirkelskivan centrerad i origo. Projektionen av K på z-planet är en kvadrat med hörn i (,, ), (,, ), (,, ) och (,, ). Projektionen av K på z-planet är en triangel med hörn i Bestäm volmen av K. (,, ), (,, ) och (,, ).

7 ÄÍÆ ËÌ ÃÆÁËà À ËÃÇÄ Å Ì Å ÌÁÃ Ì ÆÌ Å ÆËËÃÊÁÎÆÁÆ ÁÆ À ÄÈÅ ÄºÄ Ò Ò ÖÒ ÐÐÚ Ö Ö Ñ ÓÖ ÒØÐ ÑÓØ Ú Ö Ò Öº Ð Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ ¾¼¼ ¹¼ ¹¾ Ð ½ µ ØÑ ÐÐ Ø Ø ÓÒÖ ÔÙÒ Ø ÖØ ÐÐ k)öôó Ø ÚØ Ò Ø ¼º¾µ ½º µî Ñ Ò Ñ ØØ Ò Ú Ö Ø ÓÖÑQ(h, ¾ºÄ Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ Ò Î Ð Ú Ø Ø ÓÒÖ ÔÙÒ Ø ÖÒ ÖÚ ÒÐÓ Ð ÜØÖ ÑÔÙÒ Ø Ö ¼º µ f(, ) = f + f = 5 ÒÓÑ ØØ Ò Ö ÒÝ Ú Ö Ð ÖÒ { u = + ÙÖ Òº º )Ó Ö Ø Ò Ö ÒØÚ ØÓÖÒ ØÑÓ ÒÐ Ò Ò ÓÑÙÔÔ ÝÐÐ Öf(, ) ºËØØf(, ) = e 4, > ÀÙÖ Ò ØÚÜ Öf ÒÒ Ö ØÒ Ò 3)º ¼º¾µ µê Ø Ò Ú ÙÖÚ Òf(, ) = º Ö Ò grad ) ÒÔÙÒ Ø Ö ¼º µ µ Ö Ò Ö ØÒ Ò Ö Ú Ø Ò Úf ÔÙÒ Ø ÒP : (, ) Ö ØÒ Ò Ò(4, µáú Ð ÒÖ ØÒ Ò ÚÜ Öf Ò ØÙØ Ò ÖÒÔÙÒ Ø ÒP : ºÁ ØØÐÑÔÐ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ý Ø Ñ Ö Ú Ò Ö Ø ÐÐ Ð ÚÓÐ Ø ÖÒ µ ØÑ Ò Ú Ø ÓÒ ÖØ Ò ÒØÔÐ Ò ØØ ÐÐÝØ Òz = f(, º Ö Ò ØÖ ÔÔ Ð ÒØ Ö Ð Ò 6 z dddz ÖÖÓÑÖ Ø + + z ÓÖ Úº Ö Ò Ò Ð Ú Ð Ò ÑØ Ö Ò ÚÓÐÝÑ Ò Ú Ò Ð Ñ ÓÑ Ð ÒÖ Î Ö Ó ÚÒ (, ) = (, )º º z º v = + = + º f(, z 4 +, z + +, z. (, )

8 ))Ö ØØÔÓØ ÒØ Ð ÐØ Ò ÔÔ ÒÑÒ ¼º µ º µî ØØÓÑÚ ØÓÖ ÐØ Ø(P(, ), Q(, Ω Ö Q µ Ö Ò ÙÖÚ ÒØ Ö Ð Ò ÄÝ Ø ÐÐ γ ÖγÖÔ Ö Ð Ò= 4 )º ¼º µ ÖÒ(, Ωº = P + d d )Ø ÐÐ(,

9 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals 8-5-3, kl 8-3 INGA HJÄLPMEEL. Motivera lösningarna väl.. Låt vara det begränsade område som begränsas av linjen = och parabeln =. Beräkna dubbelintegralen d d.. Bestäm största och minsta värde av funktionen f (, ) = + på cirkelskivan Bestäm de lösningar till differentialekvationen f f = som uppfller f (, ) = 3 4. Beräkna kurvintegralen d + d + + eempelvis genom att göra variabelbtet { u =, v = +. ett kvarts varv längs cirkel + = 4 från (, ) till (, ). 5. Beräkna volmen av den begränsade kropp som begränsas av de två paraboloiderna z = + 7 och z = Ett bergs höjd ges av f (, ) = e (enheterna är km). Var någonstans på nivån e km över havet är berget brantast? TREVLIG SOMMAR!

10 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals kl 8 3 Hjälpmedel: Inga. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Förklara dina beteckningar.. Beräkna dubbelintegralen dd där = {(, );,, 4}.. Bestäm största och minsta värde av funktionen i området :, Visa att de båda nivåtorna f(, ) = z ln( + z) = och e + z = tangerar varandra i punkten (,, ), dvs visa att de har samma tangentplan i denna punkt. Ange också en ekvation för detta tangentplan. 4. a) Visa att om U är en potentialfunktion till vektorfältet F = (P, Q) i området Ω, och γ är en kurva i Ω från startpunkten a till slutpunkten b, så är F dr = U(b) U(a). γ b) Beräkna kurvintegralen ( ) + d + ( ) + d γ (.5) där γ betecknar halvcirkelbågen i övre halvplanet från (, ) till (, ). (.5) 5. Låt K vara den kropp som bestäms av olikheterna z 9 och,, z. Gör en skiss av K, samt beräkna K:s massa om dess densitet är ρ(,, z) = z. 6. Bestäm alla funktioner u(, ) som uppfller de båda differentialekvationerna u + u = och u + u =. Ledtråd: Lös först den första ekvationen, t.e. genom att övergå till polära koordinater. LYCKA TILL!

11 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals kl 8 3 INGA HJÄLPMEEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Förklara dina beteckningar och ge tdliga och enkla svar där så är möjligt.. Bestäm alla lösningar till differentialekvationen genom att göra variabelbtet f + f = 4 { u = + v = + Bestäm också den lösning f(, ) som uppfller villkoret f(, ) = för alla.. a) Vad menas med att en kvadratisk form Q(h, k) är positivt definit? (.) b) Bestäm alla stationära punkter och alla lokala etrempunkter till funktionen f(, ) = (.8) 3. Låt K vara den kropp som beskrivs av olikheterna + + z och z +. Gör en skiss av K samt beräkna massan av K, om densiteten är (,, z) = z. 4. a) Formulera satsen om Greens formel med alla förutsättningar. (.3) b) Låt γ vara övre halvan av ellipsen 4 + = genomlöpt från punkten (, ) till 9 punkten (, ). Beräkna kurvintegralen + d d. (.7) + γ 5. Bestäm de eventuella största och minsta värdena av f(,, z) = + z under bivillkoret a) + + z = (.3) b) + + z = (.7) 6. Sätt f(, ) = Låt z = g(, ) vara en ekvation för tangentplanet i punkten (,, ) till tan z = f(, ). Visa att f(, ) g(, ) för alla (, ). Låt vara cirkelskivan ( ) + ( + ) a, där a är en given positiv konstant. Visa att (f(, ) g(, )) dd < 5 4, om a <. Lcka till!

12 ÄÍÆ ËÌ ÃÆÁËà À ËÃÇÄ Å Ì Å ÌÁÃ Ì ÆÌ Å ÆËËÃÊÁÎÆÁÆ ÁÆ À ÄÈŠĺ Ä Ê ÁÅ ÆËÁÇÆ ÄÄ Æ Ä Ë Ä Ò Ò ÖÒ ÐÐÚ Ö Ö Ñ ÓÖ ÒØÐ ÑÓØ Ú Ö Ò Öº ¾¼¼ ¹¼½¹½¼ н ½ ½º Ö Ò 4+4º Ò Ú Ò Ö Ö ØÖº ¼º µ ÖÖØÖ Ò ÐÒÑ ÖÒ (, ) (, ¾º µ ØÑ ÐÐ Ø Ø ÓÒÖ ÔÙÒ Ø ÖØ ÐÐf(, )Ø ÐÐ ÒÔ ÖØ ÐÐ Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ Ò ¼º µ º = +3 µ ØÑ Ø Ö Ø Ó Ñ Ò Ø ÚÖ Úf(, = Ô Ö Ð Ú Ò + º ØÑ ÐÐ Ð Ò Ò Öf(, f + f =, >, >, Ø ÐÐ Ü ÑÔ Ð ÒÓÑ ØØ Ö Ú Ö Ð ÝØ Ø º Ö Ò ÙÖÚ ÒØ Ö Ð Ò ØÑÓ ÒÐ Ò Ò Ø ÐÐ Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ ÒÓÚ Òµ ÓÑÙÔÔ ÝÐÐ Öf(, ) ÒÓÑÐ ÔØ ØØÚ ÖÚ ÔÓ Ø ÚÐ º )º ¼º µ ¼º µ µγö ØÖØ Ð Ò ØÝ Ø ÖÒ(, )Ø ÐÐ(, µγö Ö ÐÒ( c Ð Ö ÑÑ ÓÑÚÓÐÝÑ Ò µ¹ùôô Ø Òº Ó ÔÐ Ò Ø ¼º µ ) + = ¼º µ º µ Ö Ò ÚÓÐÝÑ Ò Ú Ò ÖÒ ÖÓÔÔ ÓÑ ÖÒ ÚÝØ Òz = + µ ØÑ ÓÒ Ø ÒØ Òc ØØÚÓÐÝÑ Ò Ú Ò ÖÓÔÔ ÓÑ ÖÒ ÚÝØÓÖÒ z= Ó z= )º ØÑÔÙÒ Ø ÒPº ¼º µ º µ Ú ØØÚ ØÓÖÒgradf(a, Ä Ã ÌÁÄÄ ¼º µ b)öòóöñ ÐØ ÐÐ ÙÖÚ Òf(, ) = f(a, b) ÔÙÒ Ø Ò(a, µì Ò ÒØÔÐ Ò Ø ÔÙÒ Ø ÒPØ ÐÐ Ö Ò + + z = Ö ÒÓÑÔÙÒ Ø ÖÒ (, (,, )Ó (,, z = º ( + ) dd )Ó (, )º u = v = γ d + d = º + b)º, )

13 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals 7--7 kl 8 3 INGA HJÄLPMEEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.. Beräkna integralen d d över triangeln med hörn i punkterna (3, ), (, ) och (, ).. a) efiniera begreppet riktningsderivata för en reellvärd funktion av två variabler. (.3) b) I vilken riktning har f(, ) sin maimala tillväthastighet, och hur stor är denna? (.4) c) Ange en ekvation för tangentplanet till tan z = 3 i punkten (,, ). (.3) 3. a) Bestäm den allmänna lösningen f(, ) till differentialekvationen f f = e, genom användning av variabelbtet u = +, v = e. (.6) b) Bestäm sedan lösningen som uppfller f(, ) = +. (.4) 4. Beräkna största och minsta värde av funktionen f(, ) = + +, över området = { +, }. 5. Kroppen K är homogen och består av ett halvklot med radie för z samt en uppochnervänd kon z + för z. z-aeln är en smmetriael för kroppen och därmed ligger kroppens masscentrum i en punkt z MC på z-aeln. Rita en skiss av kroppen och bestäm punkten z MC. 6. Bestäm kurvintegralen (ln ( + ) + γ + )d + + d, där kurvan γ går från punkten (, ) till punkten (, ) längs = ln ln. LYCKA TILL!

14 ÄÍÆ ËÌ ÃÆÁËà À ËÃÇÄ Å Ì Å ÌÁÃ Ì ÆÌ Å ÆËËÃÊÁÎÆÁÆ ÁÆ À ÄÈŠĺ Ä Ê ÁÅ ÆËÁÇÆ ÄÄ Æ Ä Ë Ä Ò Ò ÖÒ ÐÐÚ Ö Ö Ñ ÓÖ ÒØÐ ÑÓØ Ú Ö Ò Öº ¾¼¼ ¹½¼¹¾¼ Ð ½ ½º Ö Ò º Ò Ú Ò Ö Ö ØÖº ¼º µ ÖÖØÖ Ò ÐÒÑ ÖÒ (, ) (, ¾º µ ØÑ ÐÐ Ø Ø ÓÒÖ ÔÙÒ Ø ÖØ ÐÐf(, º ØÑ ÐÐ Ð Ò Ò ÖØ ÐÐ ÒÔ ÖØ ÐÐ Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ Ò º Ø ÖÒ ÓÑÖ ¼º µ ) = + µ ØÑ Ø Ö Ø Ó Ñ Ò Ø ÚÖ Úf(, ) = + ÓÑ Ú ÖÒ Ú ÙÖÚÓÖÒ = Ó = Ø ÐÐ Ü ÑÔ Ð ÒÓÑ ØØ Ö Ú Ö Ð ÝØ Ø ÚÓÐÝÑ Ò ÚKº º Ö Ò ÒÒ º ) ÑØ Ò Ò ÓÖÑ Ð Ö Ö Ò Ò Ú ºÄØKÚ Ö Ò ÖÓÔÔ ÓÑ ÚÓÐ Ø ÖÒ + + z z Ó Ò Ô Ø Ò Òº ) ÒÑ Ü Ñ Ð Ø ÐÐÚÜØ Ø ØÓ ÙÖ ØÓÖÖ ÒÒ º Ú ¼º¾µ ¼º µ º µ Ò Ö Ö ÔÔ ØÖ ØÒ Ò Ö Ú Ø Öf(, Ú Ö Ò ºµ 5 Ú ÒØÙ ÐÐ ÔÙÒ Ø ÖÓ Ö ØÒ Ò Ö 4º ÒÒ ØÒ ÓÒÔÙÒ Ø ¼º µ µáú Ð ÒÖ ØÒ Ò Öf(, µäøf(, ) = ln( + )Ó ÐØÚ Ö Ö Ò Ò + (a, b) Ó Ò ÓÒÖ ØÒ Ò v ØØf v(a, b) = böø ÐÓ γö Ò Ø Ö ÐÒ ¹ÔÐ Ò Ø ØØÚ ÖÚ ÔÓ Ø ÚÐ ºÎ Ð ÓÐ ÚÖ Ò Ò º ØÖ Ø ÙÖÚ ÒØ Ö Ð ÒK(a, b) = (a + b) 3 d + (a + b) 3 d Ä Ã ÌÁÄÄ γ Öa, K(a, b) ÒØ a + b = e dd )Ó (, )º f f = 4( ), { u = + v =

15 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING FLERIMENSIONELL ANALYS 7-8- kl 83 INGA HJÄLPMEEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Skriv fullständiga meningar och förklara dina beteckningar. Alla svar skall förenklas.. Låt vara det ändliga område i första kvadranten som begränsas av linjerna =, =, samt hperbeln =. Beräkna dubbelintegralen dd.. a) I vilken riktning har f(, ) sin maimala tillväthastighet, och hur stor är denna? Förklara varför. (.5) b) Sätt f(, ) =. Rita nivåkurvan f(, ) =. Beräkna gradf(, ) och + rita in gradientvektorn i guren. (.) c) Bestäm en ekvation för tangentplanet till tan z = f(, ) i punkten (,, ) om f(, ) = +. (.3) 3. Bestäm största och minsta värde av funktionen i området 4. f(, ) = + 4. Bestäm den lösning f(, ) till den partiella dierentialekvationen f f = för >, >, som uppfller f(, ) = sin, genom att göra variabelbtet u =, v = Beräkna kurvintegralen ( arctan ) d + γ ( arctan ) + d, där γ är den båge av cirkeln ( ) + ( ) = som går från (3, 3) till (, ) ovanför linjen =. 6. Låt K vara den kropp som beskrivs av olikheterna + + 4z 4, z 4. Beskriv kroppen K med hjälp av en skiss och ord. Beräkna volmen av K. Lcka till!

16 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals 7 5 kl 8 3 INGA HJÄLPMEEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Skriv fullständiga meningar och förklara dina beteckningar. Ge tdliga och enkla svar där så är möjligt.. Beräkna dubbelintegralen (, ), (, ) och (, ). dd, om är triangeln med hörn i punkterna +. a) Bestäm en ekvation för tangentplanet i punkten (,,) till tan e + z + cos( z) =. (.5) b) Vektorn grad f(a, b) är normal till kurvan f(, ) = f(a, b) i punkten (a, b). Bevisa detta. (.5) 3. Bestäm den allmänna lösningen till den partiella differentialekvationen f + 3f = { u = 3 genom att bta variabler genom v = +. Bestäm sedan den lösning f(, ), som uppfller f(, ) = 7 för alla. 4. Bestäm största och minsta värde av funktionen f(, ) = + + i området : Kroppen K beskrivs av olikheterna z + och + + z. K:s densitet är (,, z) = +. Beräkna K:s massa. 6. Beräkna kurvintegralen + d d, om γ är cirkeln + γ a) + 4 = genomlöpt ett varv i positiv led. (.5) b) = genomlöpt ett varv i positiv led. (.5) Lcka till!

17 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals 7-4-3, kl 4-9 INGA HJÄLPMEEL. Motivera lösningarna väl.. Beräkna dubbelintegralen d d där är det område mellan kurvorna + = och = som innehåller punkten (, ).. Bestäm de lösningar till differentialekvationen f + f = 4, för >, >, som uppfller f (, ) =, eempelvis genom att göra variabelbtet { u =, v =. 3. a) Visa att vektorn grad f (a, b) är normal till kurvan f (, ) = f (a, b) i punkten (a, b). (,5) b) Bestäm tangentplanet till funktionstan z = f (, ) = 3 i punkten där (, ) = (3, ). (,5) 4. Bestäm största och minsta värde av funktionen i området. f (, ) = Beräkna volmen av den kropp som beskrivs av olikheterna + + 4z 4, z 4 och z. Gör en skiss av kroppen. 6. Vektorfältet (P, Q) kan skrivas (P(, ), Q(, )) = f (r)(, ) där r = ( + ) /. a) Bestäm alla kontinuerligt deriverbara funktioner f (r) av en variabel sådana att (P, Q) blir ett potentialfält i högra halvplanet ( > ). (,5) b) Låt vara kurvan 3 = från punkten (, ) till (, ). Beräkna kurvintegralen Pd + Q d för de funktioner f som bestämts ovan. (,5) LYCKA TILL!

18 ÄÍÆ ËÌ ÃÆÁËà À ËÃÇÄ Å Ì Å ÌÁÃ Ì ÆÌ Å ÆËËÃÊÁÎÆÁÆ ÁÆ À ÄÈÅ ÄºÄ Ò Ò ÖÒ ÐÐÚ Ö Ö Ñ ÓÖ ÒØÐ ÑÓØ Ú Ö Ò Öº Ð Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ Ë Ö Ú ÙÐÐ ØÒ Ñ Ò Ò ÖÓ Ö Ð Ö Ò Ø Ò Ò Öº ØÝ Ð Ó Ò Ð Ú Ö ¾¼¼ ¹¼ ¹¼ Ð ½ Ö ÖÑ Ð Øº ½º Ö Ò Ñ Ò Ú ÖÓÔÔ ÒK ÓÑ ÚÓÐ Ø ÖÒ ¾º µä ÒÔ ÖØ ÐÐ Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ Ò + + z,,, z, ÓÑ Ò Ø Ø ÒÖρ(,, º ¼º µ ÒÓÑ ØØ Ò Ö ÒÝ Ú Ö Ð Ö{ º u ¼º µ Q)Ö ØØÔÓØ ÒØ Ð ÐØ ØØÓÑÖ Ωº ¼º¾µ )Ð ÖÔ ÙÖÚ Ò µ ØÑ ÒÐ Ò Ò Ø ÐÐ Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ Ò µ ÓÑÙÔÔ ÝÐÐ Öf(, ) > º ØÑ Ø Ö Ø Ó Ñ Ò Ø ÚÖ Úf(, ) = (, + =,, º µ Ò Ø ÓÒ Ò Ú ØØ ÐØ Ø(P, Q)Ö ØØÔÓØ ÒØ Ð ÐØ Ω Ö Q µ Ú ØØÓÑ(P,, ÖγÖ Ò Ø Ö ÐÒ ÒÓѹ µäøp(, ) =, Q(, ) = Ó Ω ºÄØKÚ Ö Ò ÖÒ ÖÓÔÔ ÓÑ Ö Ú ÚÓÐ Ø ÖÒ Ω Q) ØØÔÓØ ÒØ Ð ÐØ ¼º µ + + Ö Ò ÙÖÚ ÒØ Ö Ð Ò γ ) d+q(, ) d Ð ÔØ ØØÚ ÖÚ ÔÓ Ø ÚÐ ºÎ ØØ P Ö Ò ÚK ÑØ Ö Ò ÚÓÐÝÑ Ò ÚKº Ωº Ö(P, + + z 9Ó z µî ØØ ÒÓÑ ÚÒ Ò ÚÔÙÒ Ø ÒPÐ ÖY Ú ÖØ Ò ÒØÔÐ Ò Ø Pº ¼º µ µ ØÑ Ò Ú Ø ÓÒ ÖØ Ò ÒØÔÐ Ò ØØ ÐÐÝØ ÒY ÔÙÒ Ø ÒPº ¼º µ ºÄØYÚ Ö ÝØ Òz= Ó P ÒÔÙÒ ØÔÝØ Ò Ö ÄÝ Ø ÐÐ = z) = zº f + f + + = 3, >, > = v = = + Ωº ¼º¾µ = P : (, ) (, ). P(, = Q 7. = º

19 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals 7--, kl 4-9 INGA HJÄLPMEEL. Motivera lösningarna väl.. Låt vara det begränsade område som begränsas av linjen = och parabeln =. Beräkna dubbelintegralen 3 d d.. Bestäm en potential till det konservativa kraftfältet ( + 3, sin ) och beräkna kurvintegralen ( + 3) d + ( sin ) d längs kurvan = sin från (, ) till (Ô, ). 3. Bestäm största och minsta värde av funktionen f (, ) = + på triangeln med hörn i (, ), (3, ) och (3, 3). 4. Bestäm de lösningar till differentialekvationen f + f = som uppfller f (, ) = eempelvis genom att göra variabelbtet { u =, v =. 5. Beräkna volmen av den begränsade kropp som begränsas av de två paraboloiderna z = 4 och z = + ( + ) + ( ). 6. Ett bergs höjd ges av f (, ) = e 8, (, ) R, (enhet km). Var är berget högst? Var är berget brantast? LYCKA TILL!

20 ÄÍÆ ËÌ ÃÆÁËà À ËÃÇÄ Å Ì Å ÌÁÃ Ì ÆÌ Å ÆËËÃÊÁÎÆÁÆ ÁÆ À ÄÈÅ ÄºÄ Ò Ò ÖÒ ÐÐÚ Ö Ö Ñ ÓÖ ÒØÐ ÑÓØ Ú Ö Ò Öº Ä Ê ÁÅ ÆËÁÇÆ ÄÄ Æ Ä Ë ¾¼¼ ½¾ ½¾ к½ ½ ½º µ Ò Ö Ö ÔÔ ØÖ ØÒ Ò Ö Ú Ø Ö ÒÖ ÐÐÚÖ ÙÒ Ø ÓÒ ÚØÚÚ Ö Ð Öº µ Ò Ò ÓÖÑ Ð Ö Ö Ò Ò ÚÖ ØÒ Ò Ö Ú Ø Òº ¼º¾µ ¼º µ t ÒÓÑ Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ò ¼º µ µ Ö Ò Ö ØÒ Ò Ö Ú Ø Ò Úf(,, z) = + + z ÔÙÒ Ø Òa Ö ØÒ Ò Òv=(,, ¾º µìö Ò ÓÖÑ Ö ÙØØÖÝ Ò f Ó f t)ø ÐÐ Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ Ò ¼º µ ¼º µ µ ØÑ ÒÐ Ò Ò f(, ÓÑÙÔÔ ÝÐÐ ÖÚ ÐÐ ÓÖ Øf(, ) º µî ØØ ÙÒ Ø ÓÒ Òf(, º ÒÓÑ Ú Ð Ò Ò Ò µî ØØ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö ØØÑ Ò Ø ÚÖ Ó ØÑ ØØ º Ò Ö Ø Ö Ø ÚÖ º ¼º µ ¼º µ ) = ( ), >, < ØØÓÑÖ Aº ØÑ Ö Ò ÚAº { º µî Ñ Ò Ñ ØØÔÓØ ÒØ Ð ÐØ µ Ò ÒÔÓØ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒØ ÐÐ Ø Ð ØÖÓ Ø Ø ÐØ Ø º Ó ¼º µ Ú Ö Ö Ö Ð Ú Ò + º ØÑÚÓÐÝÑ Ò Ú Ò ÖÒ ÖÓÔÔK ÓÑ ÖÒ ÚÝØÓÖÒ z= z = + dr ÖσÖ ÒÒ Ø ÚØÓÖ ÒØ Ö Ò Ø Ö ÐÒº ¼º µ ¼º µ. Ç ÂÍÄ µ Ö Ò σ E )º { u = t v = + t. f t + f = = sin()º u = 3 v = 3 /3 ( ) E = +, + = (,, )

21 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals 6--, kl 4-9 INGA HJÄLPMEEL. Motivera lösningarna väl.. Området ges av olikheterna, och +. Beräkna dubbelintegralen d d. ( + ). Bestäm största och minsta värde av funktionen f (, ) = 3 + på cirkelskivan För vilka värden på konstanten d tangerar planet tan + + 4z =? + 4z = d 4. Bestäm de lösningar till differentialekvationen som uppfller f f =, f (, ) = eempelvis genom att göra variabelbtet { u =, 5. Beräkna kurvintegralen ( ) d v =. ( ) d där är parabeln = + från (, ) till (, 6). 6. Ett glas vars kupa har formen z = +, z, är fllt till en viss höjd med vatten. När glaset snurras (med konstant vinkelhastighet kring z-aeln) följer vattentan tan z = ( + + )/. Hur mcket vatten är det i glaset och till vilken höjd når det när glaset är i vila? LYCKA TILL!

22 ÄÍÆ ËÌ ÃÆÁËà À ËÃÇÄ Å Ì Å ÌÁÃ Ì ÆÌ Å ÆËËÃÊÁÎÆÁÆ ÁÆ À ÄÈÅ ÄºÄ Ò Ò ÖÒ ÐÐÚ Ö Ö Ñ ÓÖ ÒØÐ ÑÓØ Ú Ö Ò Öº Ä Ê ÁÅ ÆËÁÇÆ ÄÄ Æ Ä Ë Ë Ö Ú ÙÐÐ ØÒ Ñ Ò Ò ÖÓ Ö Ð Ö Ò Ø Ò Ò Öº ÐÐ Ú Ö ÐÐ Ö Ò Ð º ¾¼¼ ¹¼ ¹¾ Ð ½ º Ö Ò Ù Ð ÒØ Ö Ð Ò Ó ½ºÄØÚ Ö Ø ÖÒ ÓÑÖ ÓÑ ÖÒ Ú ÙÖÚ Ò z)ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÚØÖ Ú Ö Ð Öº = Ð Ò ÖÒ = Ó = c) Ú ØØÔ Ø Ò º Ú Ø Ú ÓÖÑ ÐÒ ÖÖ ØÒ Ò Ö Ú Ø Ò z) ÔÙÒ Ø Ò ¼º µ ¾º µ Ò Ö Ö ÔÔ Ø Ö fóñf = f(,, Ò Ò ÓÑ ØÖ ØÓÐ Ò Ò Ú Ö f(a, b, º Ö Ò Ø Ö Ø Ó Ñ Ò Ø ÚÖ Ø ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÖÚ ÒØ ºµ º ¼º µ ¼º µ µî Ö ØÑ Ü Ñ Ð ÚÖ Ø ÚÖ ØÒ Ò Ö Ú Ø Ò Úf(,, (a, b, ØÖ Ò ÐÒÑ ÖÒ ¼ ¼µ ¼ ¾µÓ ¾ ¾µº µ ØÑØ Ò ÒØÔÐ Ò Ø ÔÙÒ Ø Ò(3,, )Ø ÐÐÝØ Ò z + = ºÌÖ Ò ÓÖÑ Ö Ö ÒØ Ð Ú Ø ÓÒ Ò º Ö Ò Ú ÖÓÔÔ Ò ÑØ Ö Ò ÚÓÐÝѺ Ó ºÄØKÚ Ö Ò ÖÒ ÖÓÔÔ ÓÑ ÖÒ ÚÝØÓÖÒ z = + z = + + º Ö Ò ÙÖÚ ÒØ Ö Ð Ò ) ÓÑÙÔÔ ÝÐÐ Ö Ú Ø ÓÒ Òº. Ó ØØ ÒÓÑ ØØ Ò Ö ÒÝ Ú Ö Ð ÖÒ u= 3 3, v = 3 3 Ü ÑÔ ÐÔ Ò ÙÒ Ø ÓÒf(, ÄÝ Ø ÐÐ Ö ÙÖÚ ÒγÖÔ Ö Ð Ò= ÖÒ(, e dd. c). f(, ) = e ( ) ( ) f f + = ( + ), >, >, γ + + d d )Ø ÐÐ(, )º

23 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING FLERIMENSIONELL ANALYS kl 8 3 INGA HJÄLPMEEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.. Bestäm största och minsta värde av funktionen i området = {(, );, }.. Beräkna f(, ) = ( )e T sin ( + )dd där T är triangeln med hörn i punkterna (, π), (π, ) och (π, 4π). 3. Beräkna volmen av den ändliga kropp som begränsas av torna z = + och z = Betrakta den partiella differentialekvationen där < < π, < < π. sin f cos sin f =, a) Bestäm alla lösningar till differentialekvationen med hjälp av substitutionen u = sin, v = cos. (.6) b) Bestäm också den lösning som dessutom uppfller kravet att f( π 4, ) =. (.4) 5. Låt z = f(, ) vara en funktion sådan att f (5, 4) = och f (5, 4) =. a) Ange en riktning i vilken riktningsderivatan av f(, ) i punkten (5, 4) är lika med. (.3) b) Tangentplanet π till tan z = f(, ) i punkten (5, 4, f(5, 4)) går genom origo. Bestäm en ekvation för π. (.3) c) Kan kurvan = vara en nivåkurva till funktionen f(, )? (.4) Var god vänd

24 6. a) Om kraftfältet (P, Q) är ett potentialfält så är P = Q. För att även omvändningen skall gälla fordras att fältet är definierat i ett område Ω med en speciell egenskap. Vilken? (.) ( ) b) Är kraftfältet (P, Q) = +, ett potentialfält i Ω, där Ω är hela + -planet förutom punkten (, )? (.3) ( ) c) Hitta en potentialfunktion till kraftfältet (P, Q) = +, i området + = {(, ); ( ) + < }. (.5) LYCKA TILL!

25 ² É ª š «³ «ª ª ª ««ª š ««² «ª ³ «³ Ü Û Û Ü! " # $%'& ( )* )* FBGHG?IKJLGBMCJNFHIPO -QSRUT;V WYX[Z]\_^a`cbedEf]g h ijh duk delm'nbopn;qsrctnn?rumyvcrcwpw;rctzr {=ltlm}~s~srj %}~ t~;}'nb 8wƒo qsrj % 8opc}'t'opn;qsrct+k CvtNop{N Swpŵ m' Š cn?~co qsrj %}'nbopn;qsrct YŒ{=ltLvw rctzr~copn?r '}' Ž}Y YvnBopn;qsrct+k Za} c~kwƒo qsr YŒ }'nkvw r m'rct~s ctem( ct* %l Nwƒo qc Šk TB * (š cœ Bž ŸCC C? ( s L + šlžc ( ±C Cœs (š Cž (, ) (, ) (, 3) ª;² e dd Cª «cš p ;š K š C C + «(, )³ (Ÿ C cš F * + šlžcœs Lž C Kœ K ( f(, ) = ln( + ) ªS² ±C Cœs ( P : (, )³ žs µ +šl cœ Bž š œ C K ŸC +š cž Yžc ž= f ±C Cœs L + P šz œs L C C + (3, )³ 8¹K³»º H ½¼j K + ¾ (œs 4ž4 L š6ÿc ( ¾ K 4 cœcšz 4ža f cš + YžÁŸC + C Bže C c 4œ;Kšz 4ž ªc«ª «P? (  Y + +œs cž L cš. C 4 cœcšâ cž4 C Yžc K ( s u ³UÀ ª;² P ³ ¹S³ˆÃ V# *ÄE 4 K 4žcšžŸC ( c ( Bž Æ + šl c K LžcŸC œš ªc«Åª ª ±C± Æ + šl c K Lžc ž= ª «Ç ± Èžc C ' ; Lžc œ z +šlž ª;² z = 3 ³ É K Lž u Æ +šl cœ Bž u Ž ; C Ÿ «KÊ ±C Cœs Ë ; C cÿ ±C Cœs ( C eœ šÿc Bž4 L +š ªSª ( T, T, z T ) + až= T = K dddz K dddz, T ªS² z T žc Cžc 4 M *žs µì C +šlž ž4 L z ( š ( + C Á ( +Ÿ žc Èž cšk L 4 z L C C sžcš ªc«ÎÍ ³ ¹S³ˆÏ H ÑÐe Lž ž4 z 8 c L ' ª «(P (, ), Q(, )) cš. + z ± ( s L žc 8 c ª L cš P = Q ³ ¹S³ˆÏ ÒCšz 4žc γ s 4šÓ š c ±C Cœs L + (5, ) L ±K Cœs L ( Ô? (  Y cšõž= Ö 4 Lž šl 4 LžØ Ùz + z Ž œc + ( 5, Ú ) Kš +šl cœ Bž œcšz ; s ( šžc + ª;² γ Þ γ d d³ 4 z žs µ + z Y u  L šz z Lž «f Ê ª;² H âájž4š f C c Á  L šz z Yž ª ª;² f(, ) = 4 ³ 5 C z Lž[ c 4šŸC : + ³ K z Yž 4 cšzÿc * R ã + z L ŸC L ¾ 8žc ã ¹S³Ýº 8¹K³àß ¹S³ˆÏ ç

26 É «² œ ª ª š «I žs 4 z u z LšÂ ± ª;² H â + z Y { = r cos θ = r sin θ ³ r f r f ª;² r f #ŸC (šz 4ž4 +Ÿ ž ; z ( ( KŸC ªS² ª;² θ r ³ 8¹K³ˆÃ ŸC ( c C C f(, ) L ÆŸK Æ (š + s L Èž4 (œs 4ž4 C + ª ªc«±C± p ; (š S œ šz + f + f = f(, ) = šážc Èž ³ 8¹K³»º ] 58-8-zç

27 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals kl 8 3 INGA HJÄLPMEEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Skriv fullständiga meningar och förklara dina beteckningar. Ge tdliga och enkla svar där så är möjligt.. Betrakta funktionen f(,) = och punkten P : (3,). a) Rita den nivåkurva till f som går genom P, och bestäm en ekvation för nivåkurvans tangent i P. (.5) b) I vilken riktning från P har f(, ) maimal tillväthastighet, och hur stor är denna maimala tillväthastighet? (.) c) Vilken är den maimala tillväthastigheten för f(, ), om man undersöker alla riktningar från alla punkter i området : 5 5, 5 5? (.3). a) Vad menas med att en kvadratisk form Q(h,k) är positivt definit? (.) b) Bestäm alla stationära punkter och alla lokala etrempunkter till funktionen f(, ) = (.8) 3. Låt K vara den begränsade kropp som begränsas av -planet och tan z =. a) Skissera K samt beräkna volmen av K. (.4) b) Beräkna massan av K, om densiteten är ρ(,,z) = z. (.6) 4. a) Formulera satsen om Greens formel med alla förutsättningar. (.3) b) Låt γ vara den övre Z halvan av enhetscirkeln genomlöpt från (,) till (,). Beräkna kurvintegralen (+)d+( + )d. (.7) γ 5. Kroppen K är begränsad och homogen med densiteten och begränsas av torna z = + och + +z = 4 samt innehåller punkten (,,). Beräkna tröghetsmomentet för K m.a.p. z-aeln, d.v.s. beräkna integralen ZZZ J = ( + )dddz. K 6. En funktion u(,) kallas harmonisk i en öppen mängd, om u + u = för alla (,) i. a) Låt u(,) = + a 3, där a är en konstant. Bestäm konstanten a så att u(,) blir harmonisk i = R. (.3) b) Låt = {(, ); (, ) (, )}. Bestäm alla harmoniska funktioner u(, ) i av formen u(,) = f(r), där r = + och f är en två gånger kontinuerligt deriverbar funktion av en variabel. (.7) Lcka till!

28 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals 6-- kl 4 9 INGA HJÄLPMEEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. ZZ. Beräkna dubbelintegralen (,),(,) och (,) dd där är triangeln med hörn i punkterna. Bestäm alla lösningar av formen u(, ) = f(), >, > till differentialekvationen u u = 3. Rita de nivåkurvor till f(,) = + som går genom punkterna (,),(,) och (3,). Rita också ut gradienterna till f i dessa punkter. Beräkna riktningsderivatan av f i punkten (, ) i riktning mot punkten (3, ). 4. Undersök största och minsta värde för funktionen f(,) = +( ) a) då = b) då c) då 5. Man kan lösa ut z direkt ur ekvationen z = men man kan också göra det approimativt i närheten av punkten (,,) med hjälp av Talorutveckling. Talorutveckla funktionen f(,,z) = z kring punkten (,,) och lös ut z ur ekvationen p (,,z) =. Här betder p Talorpolnomet av grad. Vad blir z med de två metoderna? Kommentera de z-värden du får för = =. ZZZ 6. Beräkna tröghetsmomentet J = + dddz för kroppen K K : a + b + z,,, z, c LYCKA TILL!

29 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals 3 december 5 kl 4 9 Hjälpmedel: Inga. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Skriv fullständiga meningar och förklara dina beteckningar. Alla svar skall förenklas så långt som möjligt.. Beräkna dubbelintegralen där ges av och. dd. Låt f(, ) = e + ( + ). a) Bestäm tangentplanet till f(, ) i punkten (a, b) = (, ). (.3) b) Nivåkurvan f(, ) = definierar en funktion () nära punkten (, ). Bestäm (). (.) c) Teoriuppgift: Låt (a, b) vara en punkt på en nivåkurva f(, ) = C. Visa att grad f(a, b) är en normal till nivåkurvan. (.5) 3. Beräkna största och minsta värde av funktionen f(, ) = på den kompakta mängd som begränsas av = och =. 4. Beräkna kurvintegralen (e cos( ) + )d + (e (sin( ) cos( )) + )d γ där γ är kurvan = genomlöpt i övre halvplan ( ) från (, ) till (, ). 5. Bestäm alla lösningar till differentialekvationen f + f f =, >, > som är på formen f(, ) = g( + ), där g är en funktion av en variabel. Bestäm också den lösning som dessutom uppfller f(, ) = 3 +. Ledning: Någonstans i räkningarna är det lämpligt att införa h = g som n obekant. 6. Bestäm volmen av den kropp K som ges av olikheterna + z och + z. Lcka till!

30 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING FLERIMENSIONELL ANALYS 5 kl. 4 9 INGA HJÄLPMEEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.. Beräkna Z Z. Sätt där är triangeln. 4 e dd, f(,) = + 6. Bestäm funktionens största värde i det kompakta område som begränsas av kurvorna =, = och = en partiella differentialekvationen u + u = ( ) kan bland annat utgöra modell för ett svängande membran. I höger halvplan söker vi alla lösningar till ekvationen som är konstanta på strålarna = k genom origo, dvs. som är av formen u(,) = f( ), där f är en funktion av en variabel. Uppgift: Bestäm alla funktioner f av en variabel sådana att u(,) = f( ) löser ( ) i >. Ledning: Någonstans i räkningarna är det lämpligt att införa f = g som n obekant. 4. a) Bevisa följande variant av Greens formel: där E ges av olikheterna Z E Z Z P Pd = E dd, ϕ() ψ(), a b. (.6) b) Formulera med alla förutsättningar den sats som ur villkoret P = Q drar slutsatser om kurvintegralens oberoende av vägen. Visa hur den kan bevisas med hjälp av Greens formel. (.4) 5. Betrakta den funktion f:(,) (u,v) från R till R som ges av { u = + v = 3. a) Bestäm funktionalmatrisen för f. (.3) V. g. vänd.

31 b) Bestäm matrisen för den linjära avbildning som är linjariseringen av f i punkten (,). (.3) c) Använd linjariseringen för att finna en approimativ lösning nära (, ) till ekvationssstemet { + = = 3.6. (.4) 6. Ett ägg har formen av en ellipsoid med två av alarna parallella med -planet, den tredje parallell med z-aeln, och med centrum i (,,c) där c >. ess ekvation är (z c) = 8. (Att detta är en ellipsoid behöver inte verifieras, och för problemets lösning räcker det att veta att det är en äggformad kropp.) Ägget sänks försiktigt från hög höjd ner i skålen z = + genom att man minskar värdet på c, utan att göra några rotationer eller vridningar. Vi vill studera problemet på vilken höjd ägget hamnar när det inte kan sänkas tterligare. Uppgift: Bestäm det värde på c för vilket ägget vilar i skålen, och ange också tangeringspunkternas koordinater. L Y C K A T I L L!

32 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals 4 p kl 8 3 Inga hjälpmedel är tillåtna. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Skriv fullständiga meningar och förklara dina beteckningar.. Bestäm alla stationära punkter samt alla lokala maimi- och minimipunkter till funktionen. Bestäm alla lösningar av formen till den partiella differentialekvationen f(,) = + +. f(,) = g(r) där r = + f + f =, (,) (,). + Bestäm också den lösning som uppfller kravet lim f(,) = a) Visa att om F(,) = ( P(,),Q(,) ) är ett potentialfält i ett öppet område Ω, så är Q = P i Ω. (.3) b) Gäller omvändningen till implikationen i deluppgift a? (.) c) Beräkna kurvintegralen Z γ (+ ) 3/ d+ (+ d, ) 3/ där γ är övre halvan av enhetscirkeln från (,) till (,). (.5) 4. Beräkna volmen av den kropp som bestäms av olikheterna + och + z. 5. a) Använd den allmänna feluppskattningsformeln (differentialuppskattning) för att göra en uppskattning av funktionsvärdet för f(,) = sin+ då och har värdena och maimalfelen = π ±., = ±.. (.5) b) Bestäm tangentplanet till tan sin+ z = i den punkt där = π och =. (.3) c) Utgående från punkten (π, ), ökar eller minskar funktionsvärdena hos f (i deluppgift a) i riktningen (, )? (.) 6. Ytan z = + + +, beskriver ett terrängavsnitt i en bergskedja. Var på berget och i vilken riktning har berget störst lutning? Ange även den maimala lutningen.

33 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals kl 8 3 INGA HJÄLPMEEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. ZZ. Beräkna dubbelintegralen dd över området :,.. a) Temperaturen på en platta (-planet) är T(,) = e. I vilken riktning, utgående från punkten (,), är temperaturökningen per längdenhet störst? Finns det någon riktning där den är? (Riktningen efterfrågas ej). (.5) b) Linearisera T(,) i punkten (,). Vilket värde på temperaturen i punkten (,.) får man om man approimerar temperaturen med lineariseringen? (.5) 3. a) Undersök största och minsta värde för funktionen f(,) = + i området,,. (.) b) Lös problemet i a) grafiskt genom att rita nivåkurvor till f. (.) c) efiniera begreppet lokalt maimum. (.) d) efiniera begreppet globalt maimum. (.) e) efiniera begreppet stationär punkt. (.) 4. Lös den partiella differentialekvationen f + f =, f(,) = e, >, > genom att bta till de na variablerna u =, v =. Z 5. Beräkna kurvintegralen e d+e d där γ är den räta linjen från (,) till (,) på tre γ olika sätt genom att använda a) definitionen av kurvintegral b) Greens formel c) potential. 6. Låt MT T beteckna en Modell av Turning Torso som har höjden h och kvadratiskt tvärsnitt med sidan d. d cos πz πz sin h h d MT T : d sin πz πz + cos h h d z h Beräkna volmen av MT T samt tröghetsmomentet ZZZ J = + dddz MTT LYCKA TILL!

34 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING FLERIMENSIONELL ANALYS kl 8-3 INGA HJÄLPMEEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar.. Låt vara triangeln med hörn (,), (,π) och (π,π). Beräkna dubbelintegralen Z Z (+)cos (+) dd. Beräkna kurvintegralen Z där (e + ) d+e d γ a) γ är linjestckena från (, ) till (, ) och från (, ) till (, ) (.5) b) γ är parabelbågen = från (,) till (,). (.5) 3. a) Lös för >, > differentialekvationen f f = 3 genom att göra variabelbtet (.7) { u = / v = b) Bestäm alla lösningar som även uppfller f(, ) =. (.3) 4. a) Visa att vektorn grad f(a,b) är normalvektor till kurvan f(,) = f(a,b) i punkten (a,b). (.5) b) För vilka punkter på tan ( + ) z + = gäller att tangentplanet i punkten är parallellt med planet z =? (.5) 5. Bestäm största och minsta värde av funktionen i området + 6, +. f(,) = + 4+ VÄN

35 6. Låt K vara en homogen begränsad kropp som begränsas av torna z = 9 och z = +. a) Beräkna volmen av K. (.4) b) Beräkna masscentrums koordinater ( mc, mc,z mc ) för kroppen K. För masscentrums -koordinat mc för en homogen kropp K gäller RRR K mc = RRR dddz K dddz och motsvarande för mc och z mc. (.6) LYCKA TILL!

36 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals kl 4 9 Hjälpmedel: Inga. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Skriv fullständiga meningar och förklara dina beteckningar. Ge tdliga och enkla svar där så är möjligt.. Beräkna dubbelintegralen ZZ där = {(,);, }. e dd,. a) Teorifråga: I vilken riktning har f(, ) sin maimala tillväthastighet, och hur stor är den? Förklara (=bevisa) varför. (.5) b) Visa att punkten P : (,,) ligger på tan z = ln(+3), och bestäm en ekvation för tangentplanet i P till tan. (.5) 3. Bestäm den allmänna lösningen till den partiella differentialekvationen f f =, >, > { u = genom att göra variabelbtet. v = Bestäm sedan den lösning till differentialekvationen som uppfller villkoret f(,) = sin för >. 4. Låt γ vara cirkeln ( ) + = 4 genomlöpt ett varv i positiv led (moturs). Z a) Beräkna kurvintegralen d d. (.6) b) Beräkna kurvintegralen γ Z 5. Sätt f(,) = γ + d+ d. (.4) + a) Bestäm största och minsta värdet av f(,) under bivillkoret + =. (.5) b) Bestäm f :s största och minsta värde i området : +. (.3) c) Har f någon lokal etrempunkt i det inre av : +? (.) 6. en begränsade kroppen K begränsas av torna z = och z = 4. Kroppen K:s densitet är ρ(,,z) = i någon lämplig enhet. Beräkna K:s massa. Lcka till!

37 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals 5--, kl 4-9 INGA HJÄLPMEEL. Motivera lösningarna väl.. Bestäm en potential till det konservativa kraftfältet ( cos kurvintegralen ( cos ) d ( ) d ) och beräkna längs kurvan sin från ( ) till ( ).. a) Visa att vektorn grad f (a b) är normal till kurvan f ( ) f (a b) i punkten (a b). b) Bestäm tangentplanet till funktionstan z f ( ) 3 i punkten där ( ) ( ). 3. Bestäm största och minsta värde av funktionen f ( ) 3,. 3 3 i kvadraten 4. Bestäm de lösningar till differentialekvationen f f 3 som uppfller f ( ) sin eempelvis genom att göra variabelbtet u v 5. Beräkna volmen av den begränsade kropp som begränsas av de två paraboloiderna z 5 ( ) och z 3 ( ). 6. Ett bergs höjd ges av f ( ) e, ( ). Var är berget högst? Var är berget brantast? LYCKA TILL!

38 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals 4--4, kl 4-9 INGA HJÄLPMEEL. Motivera lösningarna väl.. Området ges av olikheterna, och. d ( d ) 3. Bestäm alla lösningar till differentialekvationen f u genom att göra variabelbtet f v Bestäm också den lösning som uppfller villkoret f () e. Beräkna dubbelintegralen 3. Bestäm den punkt på paraboloiden där tans tangentplan är parallellt 3z med planet 4 z 4. Ange också tangentplanets ekvation. 4. Bestäm största och minsta värde av funktionen f () på cirkelskivan Beräkna kurvintegralen ( d längs parabeln ( ) från ) till (). 6. Medelvärdet av en funktion f (z) över ett område kan beräknas genom () d f (z) d d dz där() är volmen av. Låt nu vara ett klot med radien R. Beräkna medelvärdet av avståndet till klotets rand för punkter i klotet. GO JUL!

39 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals 4--3 kl 4 9 INGA HJÄLPMEEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.. Bestäm alla lösningar f(, ) till differentialekvationen (ledning: polära koordinater). f f =. a) Vektorn grad f(a,b) är normal till kurvan f(,) = f(a,b) i punkten (a,b). Förklara varför. (.5) b) Bestäm tangentplanet till f(,) = i punkten (,). (.5) 3. a) Beräkna kurvintegralen I γ + d+ + d över kurvan γ : frhörningen med hörn i punkterna (,), (, ), (, ) och (, ) genomlöpt i positiv riktning. (.6) b) Beräkna motsvarande integral över kurvan γ : cirkeln med centrum i punkten (,) och radien. (.4) 4. Beräkna integralen ZZ över området E = { + 4 4; }. e ( +4 ) dd E 5. Beräkna masscentrums koordinater för den homogena kropp som begränsas av torna z = + och + + z = 6. Kom ihåg att MC = RRR K ρ d d dz/ RRR K ρ d d dz och motsvarande för och z. 6. Beräkna största och minsta värdet av funktionen + på det obegränsade området i planet: +. Ange i vilka punkter i området dessa värden antas. LYCKA TILL!

40 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING FLERIMENSIONELL ANALYS kl 8-3 INGA HJÄLPMEEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar.. Låt vara triangeln med hörn (,), (π,) och (π,π). Beräkna dubbelintegralen Z Z cos( )d d. Låt f vara en differentierbar reellvärd funktion definerad på hela R 3 och (a,b,c) en punkt i R 3. a) Ange någon geometrisk tolking av grad f (a, b, c). (.) b) Låt γ vara en C -kurva med parameterframställningen (,,z) = ((t),(t),z(t)), som ligger på nivåtan f(,,z) = f(a,b,c) ock går genom punkten (a,b,c). Visa att grad f (a,b,c) är en normalvektor till kurvan γ. (.4) c) Bestäm tangentplanet i punkten (,, ) till tan z + =. (.4) 3. Bestäm största och minsta värde av funktionen i rektangeln, 3 4. f(,) = a) Lös den partiella differentialekvationen f f + f = genom att göra variabelbtet (.7) { u = + v = b) Bestäm alla lösningar som även uppfller f(,) = sin och f(,) = f(,). (.3) VÄN!

41 5. Bestäm massan av halvklotet om densiteten är ρ(,,z) = z. + +(z ), z 6. Beräkna kurvintegralen Z Γ + +(+) d+ +(+) d där Γ är parabeln = 3 från ( 3,) till ( 3,). LYCKA TILL!

42 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals kl 8 3 INGA HJÄLPMEEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Z Z. Beräkna integralen dd där : {(,); +,, }. 3. a) I vilken riktning har f(,) sin maimala tillvät? Hur stor är denna? (.) b) Bevisa svaren i a). (.3) c) Vad menas med att en funktion av två variabler har ett lokalt maimum i en punkt (,). (.) d) Vad menas med ett potentialfält och vad menas med en potential? Ange en förutsättning som måste gälla för att det skall finnas en potential till vektorfältet (P, Q). (.3) 3. Låt f(,) = ( + ) + vara definierad i R. Bestäm alla stationära punkter till f samt karaktären på punkterna. 4. Beräkna kurvintegralen Z (e sin+)d+(e cos+3)d, γ där γ är en fjärdedel av enhetscirkeln genomlupen från punkten (,) till punkten (,). 5. Bestäm tngdpunkten av den homogena kroppen K, som definieras av ekvationerna + + z z 4 och z +. Tngdpunktens koordinater ges av formeln T = RRR K dddz RRRK dddz, T och z T analogt. Tips: + + z z 4 är ekvationen för ett klot. 6. ifferentialekvationen u = K, där K är en konstant och är Laplaceoperatorn definierad av u = u + u, har lösningar u(,) som bara beror på avståndet från (,) till origo, dvs lösningar på formen u(,) = f(r), där r = +. Bestäm alla sådana lösningar. LYCKA TILL OCH TREVLIG SOMMAR!

43 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals 4-4- kl 8 3 INGA HJÄLPMEEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.. Bestäm största och minsta värde av funktionen f(,) = + på triangeln med hörn i (, ),(, ) och (, ). { = r cosθ. a) Visa att f + f = f θ vid variabelbtet b) Bestäm den lösning till differentialekvationen f + f = = r sinθ (.4) som uppfller f(,) = sin. (.6) 3. a) Ange någon geometrisk tolkning av grad f(a, b, c). (.) b) Mellan vilka värden varierar riktningsderivatan av g(,) om man står i en punkt (a,b)? Bevisa ditt påstående. (.5) c) Bestäm tangentplanet i punkten (,, 3) till tan + z = 5. (.3) 4. Låt γ vara kurvan 4 + = 4,, från punkten (,) till (,). Z a) Beräkna ( + ) d +(3 + 4) d genom att parametrisera kurvan. (.5) b) Beräkna γ Z γ ( + ) d +(3 + 4) d med hjälp av Greens formel. (.5) 5. Området z 5 delas av planet ++z = 5 i två delar. Beräkna de bägge delarnas volmer. 6. En metod för att approimativt hitta en lokal minpunkt till funktionen f(,) i närheten av punkten (a,b) är följande. Ersätt funktionen med dess Talorpolnom av grad, kring punkten (a,b). Bestäm minpunkten till Talorpolnomet istället. Utför detta för funktionen f(,) = e och punkten (,). Glöm inte att kontrollera att du får en minpunkt till Talorpolnomet. Funktionen f har en lokal minpunkt? Motivera detta. LYCKA TILL!

44 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Flerdimensionell anals 4-3- kl 4 9 Hjälpmedel: Inga. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Skriv fullständiga meningar och förklara dina beteckningar. Alla svar skall förenklas så långt som möjligt.. Området i första kvadranten begränsas av de räta linjerna =, = och =. Beräkna dubbelintegralen ZZ (+) dd.. Bestäm den allmänna lösningen till den partiella differentialekvationen f + f = { u = + genom att införa na variabler (u,v) genom v =. Bestäm sedan den lösning till differentialekvationen som uppfller villkoret f(,) = e för alla. 3. a) Bestäm största och minsta värdet av funktionen f(, ) = under bivillkoret = 5. (.5) b) Teorifråga: Visa att vektorn grad f(a, b) är normal till kurvan f(, ) = f(a, b) i punkten (a,b). (.5) 4. a) Beräkna kurvintegralen Z γ cosd+cos d, om γ är det räta linjestcket från punkten (,) till punkten (,). (.5) b) Kan man bestämma funktionen a() så att fältet a()(+,) blir ett potentialfält i R? (.5) 5. Beräkna masscentrum ( mc, mc,z mc ) för den homogena tårtbiten K : + + z R,, z. För masscentrums -koordinat mc för en homogen kropp K gäller RRR K mc = dddz RRRK dddz. och motsvarande för mc och z mc. Var god vänd!

45 6. Låt z = g(, ) vara en ekvation för tangentplanet i punkten (,, 4) till tan z = f(,) = 9. Bestäm största och minsta värdet av g(,) f(,) i cirkelskivan + 9. Lcka till!

46 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGSFÖRSLAG Flerdimensionell anals 9 4 4, kl a) Se sidorna 99 och i boken. b) För att finna stationära punkter deriverar vi partiellt och får ekvationssstemet { f = 4 + = f = = Från den andra ekvationen får vi att vi måste ha = eller =. Antag först att =, då ger första ekvationen = 4 = ( )( + ), dvs vi får punkterna (, ) och (, ). Om vi nu tittar på =, då ger första ekvationen att = 4 = ( ), vilket ger punkten (, ). Alltså har vi fått de stationära punkterna (, ), (, ) och (, ). Fortsatt derivering ger f =, f =, f =. För att avgöra de stationära punkternas karaktär tittar vi på den kvadratiska formen Q(h, k). - I punkten (, ) får vi Q(h, k) = h + 8hk. Vi har Q(, ) = och Q(, ) = 6 och därför är Q indefinit och vi har en sadelpunkt. - I punkten (, ) får vi Q(h, k) = h 8hk. Vi har Q(, ) = och Q(, ) = 6 och därför är Q indefinit och vi har en sadelpunkt. - I punkten (, ) får vi Q(h, k) = h +4k. Vi ser att Q är positivt definit och vi har därför en lokal min-punkt Vi får alltså en lokal etrempunkt, (, ), vilken är en lokal min-punkt.. Ur de givna olikheterna får vi z e +3. Eftersom projektionen på -planet, av kroppen som bildas, är hela -planet kan vi nu ställa upp volmsintegralen, e 3 V = dz dd = 3 dd. R Vi bter till elliptiskt-polära koordinater: = r cos t { r = 3 r sin t t π R e J(r, t) = 6 r. etta ger oss V = lim R Z R Z π = π 6 lim R = π 6 lim R = π 6. 6 re r dtdr» R e r e R + «

47 3. erivering ger f = f u u + f u v = f u + f v, Insättning ger f = f u u + f u v = 3f u 3f v 3(f u + f v) + (3f u 3f v) = u, vilket vi förenklar till f u = u. Integration m.a.p u leder till f = u + g(v), för en godtcklig deriverbar funktion g. Återgår vi till (, ) får vi f(, ) = ( + 3) + g( 3). et etra villkoret ger f(, ) = + g() =, ur vilket vi får g(t) = t och därför f(, ) = ( + 3) + ( 3) = a) Låt v vara en vektor med längd. å är Speciellt f v = gradf v = (3 6, 3 ) v f v ( 3, ) = (3, 3 3) v cos α = 6 cos α där α är vinkeln mellan (3, 3 3) och v. Vi ser att riktningsderivatan är som störst då α =, dvs då vi tittar i riktningen (3, 3 3). enna riktning ligger dock utanför det intervall vi är intresserade av. Vinkeln för riktningen (3, 3 3) från -aeln är π 3, riktningarna ( 3, ) och ( 3, ) svarar mot vinklarna π 6 respektive π 6 från -aeln. Eftersom cos är avtagande på intervallet [, π] så ser vi att vi får största värdet på riktningsderivata då vi väljer v så att α = π 3 π 6 = π 6, vilket ger 6 cos π 6 = 6 3 = 3 3. et minsta värdet får vi då vi väljer v så att α = π 3 + π 6 = π, vilket ger värdet. Alltså; riktningsderivatan varierar mellan f v ( 3, ) 3 3. b) Sätt g(,, z) = f(, ) z. å kan vi se f som nivåtan g(,, z) = och vi ser att g(, 3, 3) = ; alltså ligger punkten på tan. Normalen till g i punkten (, 3, 3) ges av gradienten, grad g(, 3, 3) = (3 6, 3, ) = (3,, ). (,,z)=(,3, 3) Tangentplanet blir nu 3 + z + d =, och vi kan bestämma d då vi vet att planet ska gå genom punkten (, 3, 3). etta ger oss 3 + z 9 =. 5. a) Se sidan 344 i boken. b) Alt. Vi söker en potential U till fältet (P, Q). Primitiv funktion till P i är + + h(), för någon deriverbar funktion h. eriverar vi detta m.a.p får vi: + h (). Jämförelse med Q ger att h () =, dvs h() = + C. ärför får vi U(, ) = () C, vilken är en potential i det enkelt sammanhängande området R. etta ger oss U(π, ) U(, ) = 4π.

48 Alt. Eftersom P = Q i R kan vi bta väg till linjestcket δ mellan start och slutpunkt. En parametrisering av δ är (, ) = (, )+t(π, ), t. Vi får Z δ P d + Qd = Z ( + πt) π dt = 4π Z t dt = 4π ˆt = 4π. 6. Vi tittar på avståndet från origo i kvadrat, dvs vi låter f(, ) = +. Vi söker maimum av f under bivillkoret g(, ) = = 7 med,. Eftersom bivillkoret är en en kompakt mängd, finns optimum. För optimum måste grad f(, ) vara parallell med grad g(, ), eller ligga i någon av ändpunkterna till kurvan. Gradient-villkoret ger med determinantmetoden; 3 6 = 6( ) =. Vi får de tre möjligheterna =, = eller =. Om vi antar = ger bivillkoret () = 7 3 = 7 = 3. vilket i sin tur ger att = 6. Avståndet i punkten (6, 3) till origo ges nu av f(6, 3) = = 45 = 3 5. Vi ser de två övriga fallen sammanfaller med att undersöka randpunkterna. I randpunkten med = får vi 3 = 7, dvs = 3 3 5, vilket också är denna punkts avstånd till origo. Om vi tittar på randpunkten där = får vi 3 = 7, dvs = 3 3. Vi har nu fått tre kandidatvärden till ma och min. et som återstår är att välja ut de två vi söker. et är klart att 3 3 > Följande implikation ( } 5) 6 = 5 3 = 5 ( 3 5 > 3 ) 6 = = ger 3 5 > 3 3 > 3 3 5, vilket direkt ger oss största avstånd, 3 5, och minsta,

49 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR FLERIMENSIONELL ANALYS 9-3- kl 8-3. a) Ytan är nivåta till f(,, z) = + +z 3, alltså gradf är normalvektor till tangentplanet. grad f = (,, 3z) grad f(,, ) = (,, 3) tangentekvation ges av + ( ) + 3(z ) = + + 3z 6 =. Svar: + + 3z 6 = b) Vi inför polära koordinater = r cos θ, = r sin θ e = } cos θ{{ sin θ} r} {{ e r }, begränsad r +. Svar: c) Se boken, Sats 7, sidan a) Stationära punkter är lösningar till { f = e + + e + = ( + )e + = = eller =, f = e + + e + = ( + )e + = = eller =. etta ger stationära punkter: (, ) och (, ). Beräkna andra derivator: f = ( + )e +, f = ( + )( + )e +, f = ( + )e +. (, ) : Q(h, k) = h + hk + k = e hk indefinit (tar båda positiva och negativa värden) sadelpunkt. (, ) : Q(h, k) = e h + hk e k = e (h + k ) negativt definit lokal maimipunkt. Svar: (, ) är lokal maimipunkt. b) Välj =, + : f(, ) = e + = e e + största värdet saknas. Välj =, + : f(, ) = e = e e minsta värdet saknas. Svar: Båda största och minsta värdena saknas. 3. Enligt kedjeregeln har vi f = f u + f v,f = f u + f v ( ). Sätt in i ekvationen f + f = (f u + f v) + (f u f v) = 4f u = v. Integrera map u: f(u, v) = 4 uv + g(v) f(, ) = 4 ( + )( ) + g( ), g C.

50 en speciella lösningen f(, ) = 4 4 +g( ) = 4 [ = t] g(t) = t 4 t = 3 4 t f(, ) = 4 ( + )( ) ( ) = ( )( 4 ( + ) ( )) = ( )( ). Svar: den allmäna lösningen f(, ) = 4 ( + )( ) + g( ), g C, den speciella lösningen f(, ) = ( )( ). 4. Inför polära koordinater = r cos θ, = r sin θ. I de polära koordinaterna beskrivs mängden som E: r, θ π/4. Funktionaldeterminanten är r i E. + dd = E Resten av lösningen är bara Endim: I = = = 4 = 4 π/4 r r cos θ sin θ π/4 + r cos θ r drdθ = r cos θ sin θ r dθdr = I. + r cos θ r cos θ( sin θ) + r cos θ r [ ln( + r cos θ) ] θ=π/4 θ= dr = dθdr = [kedjeregeln g() = cos ] = r(ln( + r ) ln( + r /)) dr = [t = r ] = 4 4 ln( + t) dt 4 4 ln( + t/) dt = I I. Två ganska lika integraler I och I beräknas: I = 4 4 r(ln( + r ) ln( + r /)) dr = 4 ln( + t) dt = [partiell integration] = 4 [( + t) ln( + t)]4 4 (ln( + t) ln( + t/)) dt = = 4 [( + t) ln( + t) t]4 = 4 (5 ln ln 3 + ) = 5 4 ln ln 3. 4 dt = I = 4 4 ln( + t/) dt = [ = t/] = ln( + ) d = [partiell integration] = = [( + ) ln( + ) ] = (3 ln 3 ln + ) = 3 ln 3 ln. Sammanlagt I = I I = 5 4 ln 5 ( ) ln 3 + ln = 5 4 ln 5 9 ln 3 + ln. 4 Alternativ lösning: Vi delar i två delar längs : :,, 4

Ì ÆÌ Å Æ ËØ Ø Ø ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ö Á ÌÅ˽ ¼ ÑÒ Ò Ò ½ Ñ Ö ¾¼¼ Ð Ô Îº ÂÓÙÖ ÂÓ Ò Ù Ø Ú ÓÒ Ò Òº ½ À ÐÔÑ Ð ÍØ Ð ÓÖÑ Ð ÑÐ Ò Ñ Ø ÐÐ Ö Ì Ô ÙÖ Ò ÒÚÒ ÓÖ Ð Ø Ó ØÝÔ Ó Ò Ö Ò Ó º ÈÓÒ Ö Ò Ò ÍÔÔ Ø ÖÒ Ö Ú ÖÚ Ð ØÝÔ Ö Ò Ø ØØ ÐØ

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2001 3. Skolverkets svar, #1 #6 9. Några lösningar till D-kursprov vt 2001 10

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2001 3. Skolverkets svar, #1 #6 9. Några lösningar till D-kursprov vt 2001 10 JENSENvuutbildning NpMaD vt för Ma4 (4) VERSION UNDER ARBETE. Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN Skolverkets svar, # #6 9 Några lösningar till D-kursprov vt Digitala verktg är

Läs mer

Vindkraft och försvarsintressen på Gotland

Vindkraft och försvarsintressen på Gotland Dnr 421-2744-10 1(15) Vindkraft och försvarsintressen på Gotland Redovisning av ett samverkansprojekt mellan Länsstyrelsen, Region Gotland och Försvarsmakten 2011 Projektet har bekostats av Energimyndigheten,

Läs mer

Ø Ú Ø Ò Ô Ö Ø Ò Ç Ð ÓÒ ² Ñ Ð À Ú Ð Ö Ò Ú Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ¾¼¼¼ ¼ ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ö Ú Ò ÓÑ Ò Ð Ú Ø Ö Ø ÓÑ ÖÚ Ö ØØ Ö ÐÐ Ò Ò Ø Ü Ñ Ò Ø Ú Ø Ò Ôº ÐÐØ Ñ Ø Ö Ð ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ú Ð Ø ÒØ Ö ÚÖØ Ø Ö Ð Ú Ø ØÝ Ð Ø ÒØ Ö Ø Ó Ò Ø

Läs mer

Ø Ú Ø Ò Ô ÊÓ ÖØ Ù Ø Ú ÓÒ Ó È Ö¹ÇÚ Ê Ò Ý ÓÓØÔÖ ÒØ ÌÓÓÐ ÓÜ Ö Ñ ÛÓÖ Ü Ñ Ò Ö Ø ¾¼¼¼ ¼ ÓÓØÔÖ ÒØ ÌÓÓÐ ÓÜ Ö Ñ ÛÓÖ ÊÓ ÖØ Ù Ø Ú ÓÒ Ó È Ö¹ÇÚ Ê Ò Ý ¾¼¼¼ Ö ØØ ÖÒ Ó Ã ÖÐ Ø ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ö Ú Ò ÓÑ Ò Ð Ú Ø

Läs mer

Ï Ö Ð Ä Æ Ò Ò ÐÝ Ó Ø Ë ÙÖ ØÝ Ò Æ Ó Á ¼¾º½½ ¹ À Ò Ð Ò Ò ÙÖ Ò ¾¼¼½ ÌÓ ÂÓÒ ÓÒ Ø Ó º Ø º Ö ÈÖÓ Ø Ø Ø ÊÓÝ Ð ÁÒ Ø ØÙØ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý ÃÌÀµ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å ÖÓ Ð ØÖÓÒ Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ì ÒÓÐÓ Ý ÁÅÁ̵ Á ÓÖ Ø Ò ½ ¼ Ã Ø ËÛ Ò

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel. MATEMATIK Datum: 0-08-9 Tid: eftermiddag Chalmers Hjälmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.: 0703-088304 Lösningar till tenta i TMV036 Analys och linjär algebra

Läs mer

Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = 27 36 + 3 1+ 4 1 = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9

Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = 27 36 + 3 1+ 4 1 = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad 9.5. Prov c a b 8+ d / 8 + / + 7 6 + + + + 5 d / 5 5 ( 5 5 8 8 + 5 5 5 6 6 5 9 8 5 5 5 5 7 7 5 5 d π sin d π sin d u( s s' π / cos U( s π cos

Läs mer

Programmering med Java. Grunderna. Programspråket Java. Programmering med Java. Källkodsexempel. Java API-exempel In- och utmatning.

Programmering med Java. Grunderna. Programspråket Java. Programmering med Java. Källkodsexempel. Java API-exempel In- och utmatning. Programmering med Java Programmering med Java Programspråket Java Källkodsexempel Källkod Java API-exempel In- och utmatning Grunderna Erik Forslin ÓÒ º Ø º Rum 1445, plan 4 på Nada 08-7909690 Game.java

Läs mer

Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund

Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism En civilingenjör ska kunna idealisera ett givet verkligt problem, göra en adekvat fysikalisk modell och behandla modellen med matematiska

Läs mer

PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN

PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN Institutionen för beteendevetenskapliga mätningar PBMaE 5-5 Umeå universitet Provtid PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN Del I: Uppgift -9 Del II: Uppgift -7 Anvisningar Totalt 4 minuter

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

SF1646, Analys i era variabler, 6 hp, för I1, läsåret 2007.2008.

SF1646, Analys i era variabler, 6 hp, för I1, läsåret 2007.2008. SF1646, Analys i era variabler, 6 hp, för I1, läsåret 2007.2008. Anders Karlsson, Inst för Matematik, KTH January 22, 2008 Kursinnehåll: Grundläggande kurs i di erential- och integralkalkyl i era variabler.

Läs mer

Undervisning och studier i matematik med hjälp av datorprogrammet Graphmatica

Undervisning och studier i matematik med hjälp av datorprogrammet Graphmatica Undervisning och studier i matematik med hjälp av datorprogrammet Graphmatica Thomas Lingefjärd Göteborg 9 Thomas Lingefjärd Introduktion till Graphmatica 1 Kort om Graphmatica Graphmatica har funnits

Läs mer

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18. Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.

Läs mer

Experimentversion av Endimensionell analys 1

Experimentversion av Endimensionell analys 1 Matematikcentrum Matematik Eperimentversion av Endimensionell anals Alternativ eamination Under lp 999 kommer för Bi 99, L 99 och V 99 att ges en något modifierad kurs i Endimensionell anals. Kursen avviker

Läs mer

ANDREAS REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se. Coulombs lag och Maxwells första ekvation

ANDREAS REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se. Coulombs lag och Maxwells första ekvation ANDREA REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se oulombs lag och Maxwells första ekvation oulombs lag och Maxwells första ekvation Inledning Två punktladdningar q 1 samt q 2 i rymden

Läs mer

Uppgift 1-6. Endast svar krävs. Uppgift 7-15. Fullständiga lösningar krävs. 150 minuter för Del B och Del C tillsammans.

Uppgift 1-6. Endast svar krävs. Uppgift 7-15. Fullständiga lösningar krävs. 150 minuter för Del B och Del C tillsammans. Del B Del C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-6. Endast svar krävs. Uppgift 7-15. Fullständiga lösningar krävs. 150 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet består

Läs mer

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Karlstads GeoGebrainstitut Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet Mats Brunström Maria Fahlgren GeoGebra ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Invigning

Läs mer

Låt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo.

Låt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo. UDDA FUNKTIONER OCH DUBBELINTEGRALER. Från en variabelanalys vet vi att integral över ett symetrisk intervall, av en udda funktion är lika med 0. 0 om är udda. T ex 0 Här upprepar vi def. av udda ( och

Läs mer

Approximation av funktioner

Approximation av funktioner Vetenskapliga beräkningar III 8 Kapitel Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner I allmänhet kan inte ens elementära funktioner

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18. Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 9--6 DAG: Fredag 6 januari 9 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Riktade sträckor och Geometriska vektorer En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Elementa Årgång 4, 94 Årgång 4, 94 Första häftet 47. Om en triangels hörn speglas i motstående sidor, bilda spegelbilderna en liksidig triangel. Beräkna den ursprungliga triangelns vinklar. 48. Att konstruera

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1) a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet

Läs mer

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 8..05 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll och poängsättningar som ges här är inte bindande för studentexamensnämndens bedömning. Censorerna beslutar

Läs mer

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden 824 17. MATEMATISK MODELLERING: DIFFERENTIALEKVATIONER 20 15 10 5 0-5 10 20 40 50 60 70 80-10 Innetemperaturen för a =1, 2och3. Om vi har yttertemperatur Y och startinnetemperatur I kan vi med samma kalkyl

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2005

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2005 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen fram till och med den 10 juni 2005. Anvisningar NATIONELLT

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

Matematik. Mål att sträva mot. Mål att uppnå. År 1 Mål Kriterier Eleven ska kunna. Taluppfattning koppla ihop antal och siffra kan lägga rätt antal

Matematik. Mål att sträva mot. Mål att uppnå. År 1 Mål Kriterier Eleven ska kunna. Taluppfattning koppla ihop antal och siffra kan lägga rätt antal Matematik Mål att sträva mot Vi strävar mot att varje elev ska utveckla intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik utveckla sin förmåga att

Läs mer

Beräkningsmetoder för superellipsens omkrets

Beräkningsmetoder för superellipsens omkrets Beräkningsmetoder för superellipsens omkrets Frågeställning Svar 1. Vi förväntades ta reda på olika metoder för att beräkna en superellips eller en ellips omkrets. o Givet var ellipsens ekvation:. (Källa

Läs mer

Uppgifter till KRAFTER

Uppgifter till KRAFTER Uppgifter till KRAFTER Peter Gustavsson Per-Erik Austrell 1 Innehåll 1 Introduktion till statiken... 3 A-uppgifter...3 2 Krafter... 5 A-uppgifter...5 B-uppgifter...5 3 Moment... 7 A-uppgifter...7 B-uppgifter...9

Läs mer

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Frågeställning Av en cirkulär pappersskiva kan en cirkelsektor med en viss vinkel klippas bort. Med den resterande sektorn går

Läs mer

SF1635, Signaler och system I

SF1635, Signaler och system I SF65, Signaler och system I Tentamen tisdagen 4--4, kl 8 Hjälpmedel: BETA Mathematics Handbook. Formelsamling i Signalbehandling rosa), Formelsamling för Kursen SF65 ljusgrön). Obs : Obs : Obs : Obs 4:

Läs mer

Med ett samband menar vi hur något beror av någonting annat. Det skulle t.ex. kunna vara (sant eller inte):

Med ett samband menar vi hur något beror av någonting annat. Det skulle t.ex. kunna vara (sant eller inte): Linjära samband Räta linjens ekvation Förmågan att se, analsera och förstå olika samband är egenskaper som är viktiga att ha i vardagslivet men oundvikliga för kommande studier och arbetsliv. Med ett samband

Läs mer

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014 LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd är att räkna upp de elementen i mängden, tex Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK Mat-11510 Grundkurs

Läs mer

Kängurutävlingen Matematikens hopp

Kängurutävlingen Matematikens hopp Kängurutävlingen Matematikens hopp Junior 2010 Här följer svar, rättningsmall och redovisningsblanketter. Förutom svar ger vi också några olika lösningsförslag. De flesta problem kan lösas på flera sätt

Läs mer

Kortaste Ledningsdragningen mellan Tre Städer

Kortaste Ledningsdragningen mellan Tre Städer Kortaste Ledningsdragningen mellan Tre Städer Tre städer A, B och C, belägna som figuren till höger visar, ska förbindas med fiberoptiska kablar. En så kort ledningsdragning som möjligt vill uppnås för

Läs mer

Syftet med veckans övningar. Något om MATLAB. Vecka 1 matte D del C

Syftet med veckans övningar. Något om MATLAB. Vecka 1 matte D del C Vecka 1 matte D del C handlar om olika typer av integraler. Metoden går tillbaka till antiken; genom triangulering kan man beräkna arean av oregelbundna polygoner. Har men en figur med krokiga begränsningslinjer

Läs mer

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Provet omfattar s. 102-135 (kap 4) och s.183-186, 189, 191, 193, 200-215. Repetition: Repetitionsuppgifter 4, läa 13-16 (s. 255 260) samt andra övningsuppgifter

Läs mer

³ «±³ ±² ±¾± ² <¹¹² ²¹ ò Ó µl ÚÓÍó ² <¹¹² ²¹ ïí ª;² ²¹ ò

³ «±³ ±² ±¾± ² <¹¹² ²¹ ò Ó µl ÚÓÍó ² <¹¹² ²¹ ïí ª;² ²¹ ò ÛÓÑ îðïí Ô< ³» ¼ èóîì Ê< ¾» *µ ²< ر ² ¹»²±³º* ¼»»µ²± ±¹ ¼ ¹ Ô< ³» ¼ íë ÒÎ ë îðïíñ ÜÛÔï ÍÊÛÎ ÙÛÍ ÔÛÜßÒÜÛ ÚßÝÕÌ ÜÒ ÒÙ ÚJÎ ÓßÍÕ Òó ÊÛÎÕÌÇÙó Ó\ÌÌÛÕÒ Õò ÕÑÒÌÎÑÔÔÛÎßÜ ËÐÐÔßÙß îð ððð ÛÈò ïííîóð ³»¼ ² ó ±½ ó³±¼»»

Läs mer

Undervisningsplanering i Matematik KURS C (100 poäng) Kurskod: MA1203

Undervisningsplanering i Matematik KURS C (100 poäng) Kurskod: MA1203 Undervisningsplanering i Matematik KURS C (100 poäng) Kurskod: MA1203 Styrdokument: Kursplan i matematik med betygskriterier. Läromedel: Matematik 3000 N&K. Lån för studerande upp till 20 år De studerande

Läs mer

Teresia Månsson, VFU, Matematik 5, 2014-12-10

Teresia Månsson, VFU, Matematik 5, 2014-12-10 Temauppgifter Syfte Det är tänkt att det ska finnas möjlighet med uppgiften att öva på följande förmågor: begrepps-, procedur-, problemlösning, kommunikations-, resonemang, modelleringsförmåga och relevansförmåga

Läs mer

Tentamensinstruktioner. Vid skrivningens slut

Tentamensinstruktioner. Vid skrivningens slut Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP14/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för I och Ii Datum: 13:e januari 2011 Tid: 8.00 13.00 Hjälpmedel: Kurslitteratur av Lundgren m fl: Optimeringslära

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 Prov som ska återanvändas omfattas av sekretess enligt 17 kap. 4 offentlighets- och sekretesslagen (009:400). Avsikten är att detta prov ska kunna återanvändas t.o.m. 017-06-0. Vid sekretessbedömning ska

Läs mer

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april. Liten introduktionsguide för nybörjare

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april. Liten introduktionsguide för nybörjare GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare 19-20 april Liten introduktionsguide för nybörjare GeoGebra 0 Introduktionsövningar till GeoGebra När man startar GeoGebra är det

Läs mer

Matematik Uppnående mål för år 6

Matematik Uppnående mål för år 6 Matematik Uppnående mål för år 6 Allmänt: Eleven ska kunna förstå, lösa samt redovisa problem med konkret innehåll inom varje avsnitt. Ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och

Läs mer

9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar

9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar 9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar 9.43 b) Villkor för att linan inte skall glida ges av ekv (4.1.6). 9.45 Ställ upp grundekvationerna, ekv (9.2.1) + (9.2.4), för trådrullen. I momentekvationen,

Läs mer

Tal Repetitionsuppgifter

Tal Repetitionsuppgifter epetitionsuppgifter Till varje kapitel finns repetitionsuppgifter i form av Arbetsblad. Uppgifterna är relaterade till innehållet i respektive kapitel och täcker hela kapitlet. De uppgifter som kräver

Läs mer

ha utvecklat sin taluppfattning till att omfatta hela tal och rationella tal i bråk- och decimalform.

ha utvecklat sin taluppfattning till att omfatta hela tal och rationella tal i bråk- och decimalform. 1 (6) 2005-08-15 Matematik, år 9 Mål för betyget Godkänd Beroende på arbetssätt och arbetsmaterial kan det vara svårt att dela upp dessa uppnående mål mellan skolår 8 och skolår 9. För att uppnå godkänd

Läs mer

NFYA02: Svar och lösningar till tentamen 140115 Del A Till dessa uppgifter behöver endast svar anges.

NFYA02: Svar och lösningar till tentamen 140115 Del A Till dessa uppgifter behöver endast svar anges. 1 NFYA: Svar och lösningar till tentamen 14115 Del A Till dessa uppgifter behöver endast svar anges. Uppgift 1 a) Vi utnyttjar att: l Cx dx = C 3 l3 = M, och ser att C = 3M/l 3. Dimensionen blir alltså

Läs mer

Mer om reella tal och kontinuitet

Mer om reella tal och kontinuitet Kapitel R Mer om reella tal och kontinuitet I detta kapitel formulerar vi ett av de reella talens grundläggande axiom, axiomet om övre gräns, och studerar några konsekvenser av detta. Med dess hjälp kommer

Läs mer

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg Tema: Pythagoras sats Linnéa Utterström & Malin Öberg Innehåll: Introduktion till Pythagoras sats! 3 Pythagoras sats! 4 Variabler! 5 Potenser! 5 Att komma tillbaka till ursprunget! 7 Vi bevisar Pythagoras

Läs mer

WALLENBERGS FYSIKPRIS

WALLENBERGS FYSIKPRIS WALLENBERGS FYSIKPRIS KVALIFICERINGS- OCH LAGTÄVLING 7 januari 0 SVENSKA FYSIKERSAMFUNDET LÖSNINGSFÖRSLAG. (a) Falltiden fås ur (positiv riktning nedåt) s v 0 t + at t s 0 a s,43 s. 9,8 (b) Välj origo

Läs mer

Kapitel Grafer för koniska sektioner

Kapitel Grafer för koniska sektioner Kapitel 14 Grafer för koniska sektioner Det går att rita en graf över följande koniska sektioner med hjälp av räknarens inbyggda funktioner. Parabelgraf Cirkelgraf Elliptisk graf Hyperbelgraf 14-1 Före

Läs mer

Matematik A Testa dina kunskaper!

Matematik A Testa dina kunskaper! Testa dina kunskaper! Försök i största möjliga mån att räkna utan hjälp av boken, skriv små noteringar i kanten om ni tycker att ni kan uppgifterna, att ni löste dem med hjälp av boken etc. Facit kommer

Läs mer

1 Duala problem vid linjär optimering

1 Duala problem vid linjär optimering Krister Svanberg, april 2012 1 Duala problem vid linjär optimering Detta kapitel handlar om två centrala teoretiska resultat för LP, nämligen dualitetssatsen och komplementaritetssatsen. Först måste vi

Läs mer

Högskoleprovet. Block 5. Anvisningar. Övningsexempel. Delprovet innehåller 22 uppgifter.

Högskoleprovet. Block 5. Anvisningar. Övningsexempel. Delprovet innehåller 22 uppgifter. Block 5 2008-04-05 Högskoleprovet Svarshäfte nr. DELPROV 9 NOGf Delprovet innehåller 22 uppgifter. Anvisningar Varje uppgift innehåller en fråga markerad med fet stil. Uppgiften kan även innehålla viss

Läs mer

Bayesianska numeriska metoder I

Bayesianska numeriska metoder I Baesianska numeriska metoder I T. Olofsson Marginalisering En återkommende teknik inom Baesiansk inferens är det som kallas för marginalisering. I grund och botten rör det sig om tillämpning av ett specialfall

Läs mer

Krafter och moment. mm F G (1.1)

Krafter och moment. mm F G (1.1) 1 Krafter och moment 1.1 Inledning örståelsen för hur olika typer av krafter påverkar strukturer i vår omgivning är grundläggande för ingenjörsvetenskapen inom byggnadskonsten. Gravitationskraften är en

Läs mer

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra Matematik 1a Centralt innehåll Metoder för beräkningar med reella tal skrivna på olika former inom vardagslivet och karaktärsämnena, inklusive överslagsräkning, huvudräkning och uppskattning samt strategier

Läs mer

Idealgasens begränsningar märks bäst vid högt tryck då molekyler växelverkar mera eller går över i vätskeform.

Idealgasens begränsningar märks bäst vid högt tryck då molekyler växelverkar mera eller går över i vätskeform. Van der Waals gas Introduktion Idealgaslagen är praktisk i teorin men i praktiken är inga gaser idealgaser Den lättaste och vanligaste modellen för en reell gas är Van der Waals gas Van der Waals modell

Läs mer

3. Lös ekvationen 3 + z = 3 2iz och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

3. Lös ekvationen 3 + z = 3 2iz och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA Grundläggande vektoralgebra TEN4 Datum:

Läs mer

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium. Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter

Läs mer

Något om Integraler och Mathematica

Något om Integraler och Mathematica HH/ITE/BN Integraler och Mathematica Något om Integraler och Mathematica Bertil Nilsson 5-8-5 tan 6 tan 6 3 tan 4 6 3 3 tan 4 6 3 3 tan 4 6 3 3 tan 4 6 3 4 3 log 6 4 3 log 6 log log 4 3 log 6 4 3 log 6

Läs mer

STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM

STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM Tentamensskrivning del 2 i Fysik A för Basåret Tisdagen den 10 april 2012 kl. 9.00-13.00 (Denna tentamen avser andra halvan av Fysik A, kap 2 och 7-9 i Heureka. Fysik A)

Läs mer

r 2 Arbetet är alltså endast beroende av start- och slutpunkt. Det följer av att det elektriska fältet är konservativt ( E = 0).

r 2 Arbetet är alltså endast beroende av start- och slutpunkt. Det följer av att det elektriska fältet är konservativt ( E = 0). 1 Föreläsning 2 Motsvarar avsnitten 2.4 2.5 i Griffiths. Arbete och potentiell energi (Kap. 2.4) r 1 r 2 C Låt W vara det arbete som måste utföras mot ett givet elektriskt fält E, då en laddning Q flyttas

Läs mer

REPETITION 2 A. a) Är sträckan proportionell mot tiden? b) Beräkna medelhastigheten under de fem första sekunderna.

REPETITION 2 A. a) Är sträckan proportionell mot tiden? b) Beräkna medelhastigheten under de fem första sekunderna. REPETITION Hur mcket är a) 9 b) 00 0 c) 00 På en karta i skala : 0 000 är det, cm mellan två små sjöar. Hur långt är det i verkligheten? Grafen visar hur långt en bil hinner de se första sekunderna efter

Läs mer

SF1635, Signaler och system I

SF1635, Signaler och system I SF635, Signaler och system I Tentamen tisdagen 0--, kl 4 00 9 00 Hjälpmedel: BETA Mathematics Handbook Räknedosa utan program Formelsamling i Signalbehandling (rosa), Formelsamling för Kursen SF635 (ljusgrön)

Läs mer

Känguru 2014 Student sida 1 / 8 (gymnasiet åk 2 och 3)

Känguru 2014 Student sida 1 / 8 (gymnasiet åk 2 och 3) Känguru 2014 Student sida 1 / 8 NAMN GRUPP Poängsumma: Känguruskutt: Lösgör svarsblanketten. Skriv ditt svarsalternativ under uppgiftsnumret. Felaktigt svar ger minus 1/4 poäng av uppgiftens totala poängantal.

Läs mer

Gör Din egen kurvkatalog

Gör Din egen kurvkatalog 86 Gör Din egen kurvkatalog Hans Riesel KTH Krav på utrustning. För denna uppgift måste du ha tillgång till en grafisk dataterminal, så att Du kan rita kurvor på dataskärmen. Du behöver inte ha tillgång

Läs mer

Stokastisk geometri. Lennart Råde. Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet

Stokastisk geometri. Lennart Råde. Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet Stokastisk geometri Lennart Råde Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet Inledning. I geometrin studerar man geometriska objekt och deras inbördes relationer. Exempel på geometriska objekt

Läs mer

2 Tillämpad Matematik I, Övning 1 HH/ITE/BN. De objekt som finns G men inte i H.

2 Tillämpad Matematik I, Övning 1 HH/ITE/BN. De objekt som finns G men inte i H. HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning 0 3 Tillämpad Matematik I Övning Allmänt 0 Övningsuppgifterna, speciellt Typuppgifter i första hand, är exempel på uppgifter du kommer att möta på tentamen. På denna

Läs mer

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar 1 Diskreta slumpvariabler En slumpvariabel tilldelar tal till samtliga utfall i ett slumpförsök. Vi

Läs mer

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1 Omfattning Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll Olika aspekter av linjära ekvationssystem 1. skärning mellan geometriska

Läs mer

Lösningsskisser till Tentamen 0i Hållfasthetslära 1 för 0 Z2 (TME017), = @ verkar 8 (enbart) skjuvspänningen xy =1.5MPa. med, i detta fall,

Lösningsskisser till Tentamen 0i Hållfasthetslära 1 för 0 Z2 (TME017), = @ verkar 8 (enbart) skjuvspänningen xy =1.5MPa. med, i detta fall, Huvudspänningar oc uvudspänningsriktningar n från: Huvudtöjningar oc uvudtöjningsriktningar n från: (S I)n = 0 ) det(s I) =0 ösningsskisser till där S är spänningsmatrisen Tentamen 0i Hållfastetslära för

Läs mer

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow Matematik i Gy11 110912 Susanne Gennow Var finns matematik? Bakgrund Nationella utredning 2003 PISA 2009 TIMSS Advanced 2008 Skolinspektionens rapporter Samband och förändring åk 1 3 Olika proportionella

Läs mer

Svaren på förståelsedelen skall ges på tesen som skall lämnas in.

Svaren på förståelsedelen skall ges på tesen som skall lämnas in. Dugga i Elektromagnetisk fältteori F. för F2. EEF031 2005-11-19 kl. 8.30-12.30 Tillåtna hjälpmedel: BETA, Physics Handbook, Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori, Valfri kalkylator men inga egna anteckningar

Läs mer

FACIT TILL TENTAMEN, 30/4, 2011 Delkurs 1 FRÅGA 1

FACIT TILL TENTAMEN, 30/4, 2011 Delkurs 1 FRÅGA 1 17 FACIT TILL TENTAMEN, 3/4, 211 Delkurs 1 FRÅGA 1 I. c.(x) 38,25 euro. II. b.(x) Om MC < ATC så sjunker ATC. III. c.(x) 1/3 av skattebördan bärs av konsumenterna och resten av producenterna. 1 3Q = 1

Läs mer

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM K.H./C.F./C.W. Tentamensskrivning i Experimentella metoder, 1p, för kandidatprogrammet i fysik, 18/6 013, 9-14. Införda beteckningar skall förklaras och uppställda ekvationer

Läs mer

Uppdaterad 2003-10-14 Allmänt Läroplanens mål för matematik finns att ta del av för elever och målsmän på webbadressen: http://www.skolverket.se.

Uppdaterad 2003-10-14 Allmänt Läroplanens mål för matematik finns att ta del av för elever och målsmän på webbadressen: http://www.skolverket.se. Matematik Uppdaterad 2003-10-14 Allmänt Läroplanens mål för matematik finns att ta del av för elever och målsmän på webbadressen: http://www.skolverket.se. ADDITION, SUBTRAKTION, DIVISION OCH MULTIPLIKATION.

Läs mer

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM KH/CW/SS Tentamensskrivning i Experimentella metoder, 1p, för kandidatprogrammet i fysik, /5 01, 9-14 Införda beteckningar skall förklaras och uppställda ekvationer motiveras

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP14/TEN 1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för I, Ii och TB Datum: 24 augusti 2009 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Lundgren m fl: Optimeringslära och/eller Lundgren

Läs mer

Konsultarbete, Hitta maximal volym fo r en la da

Konsultarbete, Hitta maximal volym fo r en la da Konsultarbete, Hitta maximal volym fo r en la da Uppgift 2. Maximal låda. I de fyra hörnen på en rektangulär pappskiva klipper man bort lika stora kvadrater. Flikarna viks sedan upp så att vi får en öppen

Läs mer

Laboration i Geometrisk Optik

Laboration i Geometrisk Optik Laboration i Geometrisk Optik Stockholms Universitet 2002 Modifierad 2007 (Mathias Danielsson) Innehåll 1 Vad är geometrisk optik? 1 2 Brytningsindex och dispersion 1 3 Snells lag och reflektionslagen

Läs mer

VECKANS LILLA POSTKODVINST á 1.000 kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 172 lottnummer 1.000 kronor vardera:

VECKANS LILLA POSTKODVINST á 1.000 kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 172 lottnummer 1.000 kronor vardera: Dragningsresultat vecka 12-2015 Här nedan kan du se om du är en av de lyckliga vinnarna i veckans utlottning i Svenska PostkodLotteriet. När du har vunnit betalar vi automatiskt ut dina vinstpengar till

Läs mer

MATEMATIK FÖR KURS B (NV/AB-boken och B-boken version 1)

MATEMATIK FÖR KURS B (NV/AB-boken och B-boken version 1) NATUR OCH KULTURS PROV VÅRTERMINEN 1997 MATEMATIK FÖR KURS B (NV/AB-boken och B-boken version 1) Provets omfattning: t o m kapitel 5.6 i Matematik 2000 NV kurs AB. Provets omfattning: t o m kapitel 3.5

Läs mer

om Stockholm Befolkning Basområdeslistan 2012

om Stockholm Befolkning Basområdeslistan 2012 2012 IÅ I 1 1 2 2012 3 I 3 O 3 4 O 4 O 5 OC ÖCI 1 O, 20111231 2 3 20111231, 20111231,, 1 ÖO w 2012 2011,,,,, 1 O (O) U O : 2011 2011 ( ) ( ) ://www 2 OÅI 2012 I O : 1990 U (U) x / 1987 1999 I: (YO) (

Läs mer

DIGITALA VERKTYG ÄR INTE TILLÅTNA. Namn:... Klass/Grupp:...

DIGITALA VERKTYG ÄR INTE TILLÅTNA. Namn:... Klass/Grupp:... DIGITALA VERKTYG ÄR INTE TILLÅTNA Namn:... Klass/Grupp:... Del I 1. Bestäm värdet av 25 3x om x = 2 Svar: (1/0/0) 2. Vilket tal ska stå i rutan för att likheten ska stämma? 2 3 + + 1 =1 Svar: (1/0/0) 9

Läs mer

Förord. Innehåll. 1 Tal 4. 4 Algebra 42. 2 Bråk och procent 18. 5 Statistik och sannolikhet 54. 6 Tid, hastighet och skala 60.

Förord. Innehåll. 1 Tal 4. 4 Algebra 42. 2 Bråk och procent 18. 5 Statistik och sannolikhet 54. 6 Tid, hastighet och skala 60. Förord Det här häftet är tänkt som ett komplement till kapitel 5, Genrepet, i läroboken Matte Direkt år 9. Häftet vänder sig främst till de elever som har svårigheter att klara Genrepets nivå i boken och

Läs mer

Fira Pi-dagen med Liber!

Fira Pi-dagen med Liber! Fira Pi-dagen med Liber! Specialuppdrag från Uppdrag: Matte o Kul-diagram o Geometri med färg UPPDRAG: MATTE Mattedetektiverna Mattespanarna Hej! Den 14 mars är det Pi-dagen (3.14). Det är värt att uppmärksammas

Läs mer

Välkommen till Borgar!

Välkommen till Borgar! Välkommen till Borgar! Välkommen till Borgar! Vi ser fram emot att snart träffa en ny årskull med naturettor och hoppas att du kommer att trivas mycket bra hos oss. Studier i naturvetenskapliga ämnen förutsätter

Läs mer

Högskoleprovet Kvantitativ del

Högskoleprovet Kvantitativ del Högskoleprovet Kvantitativ del Här följer anvisningar till de kvantitativa delproven XYZ, KVA, NOG och DTK. Provhäftet innehåller 40 uppgifter och den totala provtiden är 55 minuter. Ägna inte för lång

Läs mer

exakt en exponent x som satisfierar ekvationen. Den okända exponent x i ekvationen = kallas logaritm av b i basen a och betecknas x =log

exakt en exponent x som satisfierar ekvationen. Den okända exponent x i ekvationen = kallas logaritm av b i basen a och betecknas x =log LOGARITMER Definition av begreppet logaritm Betrakta ekvationen =. Om a är ett positivt tal skilt från 1 och b >0 då finns det exakt en exponent x som satisfierar ekvationen. Den okända exponent x i ekvationen

Läs mer

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24 Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass 1 Mål att sträva mot Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven S11 utvecklar intresse för matematik

Läs mer

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs Tolkning Deltagaren skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för vardagsliv och vald studieinriktning

Läs mer