Varför blir matematik så svårt?
|
|
- Lina Karlsson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Varför blir matematik så svårt? Johan Lithner Det är känt att många studerande arbetar på ett matematiskt ytligt sätt. Här ges exempel på hur rutinartade elevstrategier ger upphov till svårigheter. Situationerna är hämtade från grundläggande universitetsstudier men kunde lika gärna ha kommit från grund- eller gymnasieskolan. Några undersökningar som behandlar rutiniseringens karaktär och orsaker behandlas och analyseras. Förslag ges till egna observationer. Matematik ett efterfrågat ämne Första året av matematikstudier vid universitet och högskola är numera, liksom gymnasieskolan sedan en tid, av massutbildningskaraktär. Efterfrågan från samhället på personer med matematikintensiva utbildningar är mycket större än tillgången, t ex inom naturvetenskap, teknik och datavetenskap. Kortfattat kan man säga att vi har ett stort problem: Vi klarar inte att hjälpa tillräckligt många att nå en önskad matematisk kompetens. Förutom i samhällsperspektivet är studiemisslyckande naturligtvis även ett stort problem från individens perspektiv. I storleksordningen % (beroende på studieinriktning) avbryter sina högskolestudier i matematik. Jag uppskattar att % av de som fullföljer gör det med mycket stora svårigheter. Även bland majoriteten av de som genomför studierna finns tydliga tecken på stora svagheter i kompetens. Undersökningarna som beskrivs i det följande gäller inledande högskolestudier. Troligen är problemen ungefär de samma i gymnasiet och kanske även på högstadiet. Detta är också ett internationellt problem (Artigue 1998; Niss 1998). Johan Lithner är universitetslektor i matematikdidaktik vid Umeå universitet. Varför forska? Centrala frågor att studera i sammanhanget är: a) Vad är problemens karaktär? b) Vilka är problemens orsaker? c) Vilka är de bästa åtgärderna? Jag har under de senaste åren läst om och, på ett ibland mer och ibland mindre strukturerat sätt, diskuterat dessa frågor med bl a lärare, matematiker, forskare, administratörer och studerande. Jag slås då av den mycket stora mångfalden och spridningen hos svaren; t ex att eleverna är lata, ointelligenta eller att de inget lär sig på tidigare utbildningsstadier, att undervisningen är dåligt anpassad till elever/studenter eller målen, att det antingen är för lite eller för mycket av prov, betyg, algoritmer, grafräknare, föreläsningar, smågruppsundervisning, projektarbeten, individualisering, verklighetsmatematik, undersökande arbetssätt, ämnesstoff, svåra eller enkla uppgifter. Eller att svårigheterna orsakas av massutbildningen, resursminskningar, ändrade attityder etc. Mer om gymnasieelevers och lärares synpunkter kring detta finns att läsa i Gustafsson (2000). Från denna mångfald och spridning kan man dra två hypotetiska slutsatser: 1. Svaren på frågorna a c ovan är komplexa. Detta styrks även av forskningens samlade resultat, många komplicerade faktorer inverkar (Niss 1998). 46 Nämnaren nr 4, 2000
2 2. Vi vet relativt lite om problemen. Det är ett i sig relativt påstående, men man kan notera avsaknaden av tydliga svar i forskningslitteraturen. Tusentals lärare och forskare världen över har länge arbetat hårt med att utveckla matematikundervisningen samtidigt som många svårigheter kvarstår. En konsekvens är att det är svårt att föreslå välgrundade åtgärder. Därför är det rimligt att utvecklingsförsöken kompletteras med forskning kring ovanstående frågor. En undersökning Inom frågeställningarna a c ovan finns, på en mer preciserad nivå, en mycket stor mängd frågor som kan undersökas ur en mängd olika aspekter. En av dessa är: Vad är karaktären och orsakerna beträffande studenters svårigheter vid arbete med matematikuppgifter? En av anledningarna till att undersöka denna fråga är helt enkelt att minst hälften av studietiden i matematik används till att arbeta med förproducerade matematikuppgifter. Dessutom examineras och diagnosticeras de på uppgifter i olika typer av prov och tester. Här ges en beskrivning av en undersökning som resulterade i två rapporter (Lithner 2000a; 2000b). Den första behandlar en bredare fråga, med utgångspunkt från fyra studenters arbete med två uppgifter: Vilka är de avgörande svårigheterna för dessa fyra studenter i arbetet med uppgifterna? Studenterna mötte en mängd, mindre och större, svårigheter, men vilka av dessa var avgörande för deras framsteg och motgångar, och vilka är perifera? Resultaten ledde till en ytterligare, mer avgränsad och djupare analys av samma material: Vilka typer av matematiska resonemang använder studenter i problematiska situationer, och varför? Nämnaren nr 4, 2000 Fyra förstaårsstudenter arbetade enskilt med uppgifterna i en tentamensliknande situation, med grafräknare som enda hjälpmedel. Arbetet videofilmades och tolkades med avseende på det bakomliggande resonemanget, varför göra si eller så i en viss situation, för att försöka förklara orsakerna till framsteg och motgångar. Denna tolkning diskuterades med studenten ca tre dagar efter videoinspelningen, och studenten fick möjlighet att föreslå korrigeringar och förtydliganden. I (Lithner 2000b) avgränsades analysen med hjälp av vissa teoretiska ramverk. Nedan beskrivs kort tre situationer, för fler och utförligare beskrivningar, se Lithner (2000a; 2000b). Det bör påpekas att det är vanliga och representativa svårigheter som fokuseras, inte dramatiska extremfall som kan vara intressanta i kuriosamening. Studenternas arbete Exempel 1 Som ett delmoment i en uppgift ska Alf söka max till vinstfunktionen: V(x) = x x , x tillhör [400, 600] Alf deriverar V och söker nollstället till derivatan: V (x) = 2x 1300 = 0 => x = 650 Han deriverar igen och får andraderivatan: V (650) = 2 Alf använder alltså en standardprocedur för att med förstaderivatan lokalisera eventuella extremvärden. Sedan försöker han klassificera dem som maximum eller minimum med hjälp av andraderivatatestet: Om förstaderivatan V (a) är noll så har funktionen V en extrempunkt (max, min eller inflektionspunkt) i x = a, eftersom tangenten där är horisontell. Om dessutom andraderivatan V (x) är positiv för x i en omgivning till a (vilket den är i detta fall), så har V ett minimum i x = a, eftersom lutningen hos grafen ökar när x ökar dvs kurvan är konkav uppåt och har ett minimum i x = 650. Alf missar att x = 650 ligger utanför intervallet [400, 600], samt att kurvan är U-formad och har max i ändpunkten x =
3 Alf blir lite förbryllad och säger: Konstigt, det känns som det skulle vara ett minimum, eftersom V är positiv. Efter en stunds tvekan beslutar han sig för att byta metod: Vi kan strunta i andraderivatan, och undersöka förstaderivatan nära x = 650. Alf kommer fram till att V (600) är negativt och att V är positivt till höger om x=650, så han ritar: Alf använder här en annan standardprocedur, undersökning av förstaderivatans tecken: V är negativt och därför är V avtagande till vänster om x = 650, och V positivt och därför är V växande till höger om x = 650. Det medför att V har ett minimum i x = 650. Alf blir än mer förbryllad: Det känns som det blir ett minimum? Vad håller jag på med? Under några minuter svänger han hit och dit, och vet inte riktigt vad han ska göra. Halvt uppgiven beräknar han V(650) och kommer till sin stora förvåning fram till att det blir negativt: V(650) = 2500 Alf anser att en negativ vinst är orimlig, och ifrågasätter därför sitt tidigare arbete, men först efter att 10 minuter passerat sedan han beräknade V (x) = 2 ovan. Efter ytterligare någon minut kommer han på att kontrollera ändpunkterna och löser deluppgiften korrekt. Mycket kan sägas om hans arbete, t ex kunde han ritat en graf med grafräknaren och förmodligen snabbt rett ut problemen ovan. Det centrala i Alfs arbete är att han är förbryllad över två motsägelsefulla påståenden: i) Han förväntar sig att finna max vid V (x)= 0 (fel) ii) Han tror att V (650) = 0 och V (650)=2 => x = 650 min (rätt) Alf avfärdar ii) på grund av att: a) Enligt hans erfarenhet är det extremt vanligt att hitta svaret till en max- eller min-uppgift där derivatan är noll. Denna förväntan är mycket stark. b) Trots att han rätt säker på ii), har han aldrig förstått varför och kan inte testa om det stämmer genom något matematiskt resonemang. Alf försöker inte ens. Exempel 2 a) Skissa grafen till f (x). b) Vad är f( 2), f (0) och f (2)? c) Skissa grafen till g(x), om g (x) = f(x). y 1 Jan arbetar med uppgift 2a, och ritar först linjen y = 2 för intervallet ( 3, 1). Han säger sedan att den (f) borde bli 0 på ( 1, 0), men han tvekar en stund och ritar inte ut linjen y = 0. Istället skissar han skickligt grafen till f på (0, 4): Anledningen till Jans tvekan över grafens utseende på intervallet ( 1, 0) är enbart att grafen ser ovanlig ut. Funktionen är inte kontinuerlig på hela intervallet ( 3, 4). Jan reder ut svårigheten genom att skriva: f(x) = 2, f (x) =0. Han ritar omedelbart in linjen y = 0 på intervallet ( 1, 0), verkar nöjd med detta och går direkt till nästa uppgift. Jan reflekterar inte över varför problemen bakom hans tvekan lösts. Att med den algoritmiska metoden bestämma f (x) upplevs som välbekant (och därför säkert). Det 1 f( x) x 48 Nämnaren nr 4, 2000
4 räcker för att han ska bli nöjd. Han har egentligen inte alls behandlat frågan om diskontinuitet. Grafen är väsentligen riktig, men han har inte reflekterat över om f är definierad i x = 1 och x = 0. Exempel 2c är ovanligt, men det är inte uppgiftens karaktär som är mest intressant, utan det sätt som Per (en annan student) arbetar med den. I intervallet ( 3, 1) försöker Per lösa uppgiften med välbekanta algoritmiska metoder: Eftersom grafen till f(x) är en linje kan den skrivas på formen y = kx + m. Bestäm k och m, och integrera därefter. Per gör flera slarvfel och först efter 20 minuter kommer han fram till nedanstående felaktiga skiss av g(x): Per reflekterar inte över sitt svar, utan går omedelbart till nästa deluppgift. Jag avbryter honom: Är f derivatan till g? Nej, derivatan till g är positiv (han pekar på sin figur ovan), men inte f (han pekar på ( 3, 1) i figuren i Exempel 2). Kan du utifrån detta resonemang göra en grov skiss av g på ( 3, 1)? Först är derivatan positiv (han pekar på figuren i Exempel 2), sen negativ: Mina frågor ger endast försiktig ledning. Per har redan kunskapsbasen för att skickligt konstruera en helt annan typ av matematiskt resonemang än tidigare och det tar honom bara någon minut att komma fram Nämnaren nr 4, 2000 till en hyfsad figur. Varför gör Per inte så själv från början? Resonemanget kunde ju t ex förfinats till en mer precis figur, eller använts som stöd till hans första algoritmiska metod. Han säger senare att han är ovan vid att konstruera denna typ av resonemang, och att det känns säkrare med välbekanta algoritmiska metoder. Analys av exemplen Antag att man hamnar i någon svårighet i en uppgiftslösningssituation. Då är ett möjligt sätt beskriva lösningsförsöket följande struktur (Lithner 2000b): (1) Problematisk situation. En svårighet där det inte är uppenbart hur man ska fortsätta. (2) Strategival. En möjlighet är att välja (i vid mening: välja, minnas, rekonstruera, konstruera, etc) en strategi som kan lösa svårigheten. Detta val kan stödjas av en Förutsägande argumentation: Kommer strategin att lösa den problematiska situationen? (3) Strategigenomförande. Kan stödjas av Verifierande argumentation: Har strategin löst den problematiska situationen? (4) Slutsats. Ett resultat erhålls. Förenklat kan första delen av Alfs arbete struktureras som: (2) Strategival: Maximeringsuppgifter löses genom att identifiera var derivatan är 0, därför att man brukar göra så. (3) Strategigenomförande: Man verifierar att svaret är rätt genom att tillämpa välbekanta testmetoder. Denna erfarenhetsbaserade strategi är matematiskt ytlig, men även stabil. Det tar lång tid innan han överger den. Jans arbete: (1) Problematisk situation: Grafen han vill rita upplever han som troligen fel, eftersom de brukar vara kontinuerliga på hela intervallet. Hur ser f ut på (-1, 0)? (2) Strategival: Deriveringsalgoritmen, eftersom den är välbekant och säker. 49
5 Metoden övertygar p g a att den är välbekant, han har egentligen inte behandlat den matematiska orsaken (var f är definierad) till svårigheterna. Pers arbete (i 20 min) fram till den första, felaktiga, figuren: (2) Strategival: Den mest välbekanta metoden är att identifiera k och m i y=kx+m. Integrerar sen med välbekant algoritm. (3) Strategigenomförande: Kunde ha lyckats, men det innehåller många steg vilka ger några slarvfel. Ingen verifierande argumentation eller kontroll av svaret. Huvudorsaken till dessa studenters svårigheter i de beskrivna situationerna är att i väsentligen hela deras arbete gäller att: (A) Resonemangen baseras väsentligen enbart på (ibland ytliga och övergeneraliserade) väletablerade erfarenheter från inlärningsmiljön, även i icke-rutinmässiga situationer, eller där rutinerna trasslar till sig. En annan typ av resonemang genomför Per, först när han noterar att hans första figur är felaktig: (1) Problematisk situation: Figuren riktig? (2) Strategival: Anta figuren riktig, testa om derivatan av figuren ger f(x). (3) Strategigenomförande: Figurens derivata är positiv, men f är inte positiv. (4) Slutsats: Figuren är felaktig. I nästa steg skissar Per en hyfsad graf: (2) Strategival: Omformulera frågan: Hur ser grafen till g ut, om f är dess derivata? (3) Strategigenomförande: f beskriver lutningen hos g, och är först positiv, sedan 0 och sedan negativ, dvs g ökar först, blir sedan horisontell för att slutligen avta. Resonemangen baseras här på matematiska egenskaper hos derivatan. I motsats till ovan, beror framstegen på: (B) En konstruktion av resonemang som baseras på matematiska egenskaper hos de inblandade komponenterna. Slutsats Huvudorsaken till dessa studenters svårigheter i beskrivna situationer är deras genomgående fokus på resonemang av typ (A) och frånvaron av resonemang av typ (B), även där det senare relativt enkelt kunde lett till stora framsteg. För en utförligare argumentation, samt analys av relationen till Schoenfelds (1985, 1992) aspekter av problemlösningskompetens, se Lithner (2000b). Följdfrågor och fortsatta undersökningar Om det beskrivna arbetssättet är representativt för matematikstuderande och slutsatsen ovan är riktig, så leder det till en naturlig följdfråga: Varför detta arbetssätt? En av många centrala aspekter att undersöka är studerandes arbete med uppgifter i läroboken, eftersom de ofta ägnar minst halva sin studietid åt detta. I (Lithner 2000c) undersöktes möjligheten (inte hur studenter i själva verket gör) att lösa uppgifter ur läroböcker från inledande universitetsnivå på ett matematiskt ytligt sätt, utan att ta hänsyn till de grundläggande matematiska egenskaperna hos de i lösningen inblandade komponenterna, jämför (B) ovan. Analysmetod och resultat är förmodligen liknande för t ex gymnasieböcker. Resultaten kan kortfattat beskrivas som att ca 70% av uppgifterna kan lösas genom strategivalet att på ett matematiskt ytligt sätt identifiera liknande lösta exempel eller någon form av regel, och strategigenomförandet att kopiera dessa. Detta kan göras utan att konstruera egna resonemang, ja t om utan att överhuvudtaget beakta de (ofta avancerade) matematiska egenskaperna hos uppgiftens komponenter. I ca 20 % av uppgifterna är strategivalet fortfarande att identifiera liknande exempel eller regler, men i strategigenomförandet måste en mindre lokal modifiering av den givna lösningsmetoden göras. I endast 10 % av uppgifterna måste de globala matematiska egenskaperna beaktas och egna resonemang konstrueras. Dessa kan kallas kreativa problem. Dessa återfinns nästan bara bland de svåra uppgifterna i slutet, vilket medför att merparten av de studerande kanske aldrig ens provar denna typ. 50 Nämnaren nr 4, 2000
6 Hur studenter i själva verket arbetar med läroboken har jag också undersökt (Lithner 2000d). Studenter har filmats när de arbetar med sina normala hemstudier. Resultaten indikerar att studenterna oftast är inriktade på den identifierings- och kopieringsstrategi som beskrivs ovan, ibland på ett långt drivet, och matematiskt sett, extremt ytligt vis. I den mån de eftersträvar förståelse i uppgiftslösningsprocessen är det huvudsakligen på lokal detaljnivå, inte att för att förstå de övergripande idéerna eller (där de kör fast) basera resonemangen på egna konstruktioner utgående från de matematiska egenskaperna. En av huvudorsakerna till problemen kan finnas i den inlärningsmiljö vi erbjuder våra elever: De kanske fostras i att inte tänka matematiskt utan att istället bara söka efter givna lösningsprocedurer? Det senare är naturligtvis inget fel i sig, problemet uppstår när sökande efter givna procedurer är den enda metoden man ser som tänkbar, och att man i varje problematisk situation blir ställd när ingen sådan kan minnas eller hittas. Detta kan i sin tur leda till ett arbetssätt som baseras på resonemang (A) ovan. Några frågeställningar och förslag till aktiviteter Hur arbetar dina elever? Ofta är det svårt att hinna med mer än att rusa runt i klassrummet och slänga ur sig tips, ledtrådar och hänvisningar till lösta exempel när eleverna behöver hjälp med uppgifter. Det kan leda till nya insikter i deras arbetssätt, om man har möjlighet att under en längre tid, säg minuter, tyst följa en eller några elevers arbete utan att vägleda dem, endast be dem förklara hur de resonerar. Smågruppsarbete En metod som ibland, men definitivt inte alltid, kan ge mer tid till för mer ingående matematiska resonemang med eleverna är smågruppsarbete (ca fyra /grupp), där en av gruppens huvuduppgifter är att hjälpa varandra när man kör fast, innan man ber om lärarens hjälp. Se tex Dunkels (1996). Finns det kreativa uppgifter? Vilken typ av uppgifter dominerar i din lärobok? Kopieringsuppgifter där det är lätt att hitta liknande lösta exempel, eller mer kreativa problem? Är alla uppgifter som kräver egna, kreativa, lösningsresonemang samtidigt mycket svåra, eller finns det kreativa problem som även de elever som har svårt med studierna kan lösa? Hur ser det ut i Nationella proven? Schoenfeld (1985) beskriver utförligt och informativt undersökningar om elevers arbete med kreativa problem. Referenser Artigue, M. (1998). What can we learn from Didactic Research carried out at University Level, Preproceedings. ICMI Study Conference, On the Teaching and Learning of Mathematics at University Level. Singapore. Dunkels, A. (1996). Contributions to Mathematical Knowledge and its Acquisition. Doctoral thesis, Luleaa University. Sweden. Gustafsson, B. (2000). Lärare och elevers synpunkter på elevernas matematiksvårigheter. C-uppsats under bearbetning. Lithner, J. (2000a). Mathematical reasoning and familiar procedures. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, Vol. 31, no 1. Lithner, J. (2000b). Mathematical reasoning in school tasks. Educational Studies in Mathematics 41(2). Lithner, J. (2000c). Mathematical reasoning in calculus textbook exerciseses. Research reports in mathematics education 1, Department of mathematics. Umeaa university. Lithner, J. (2000d). Students mathematical reasoning in textbook exercises. Under bearbetning. Niss, M. (1998). Aspects of the nature and state of research in mathematics education. Documenta Mathematica. Extra volume, ICM 98, III. Schoenfeld, A. (1985). Mathematical problem solving. Academic Press. Schoenfeld, A.. (1992). Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition and sense-making in mathematics. In D. Grouws (Ed.). Handbook for Research on Mathematics Teaching and Learning. Macmillan. Nämnaren nr 4,
6 Derivata och grafer
6 Derivata och grafer 6.1 Dagens Teori När vi plottar funktionen f(x) = x + 1x 99x 8 med hjälp av dosan kan man få olika resultat beroende på vilka intervall man valt. 00000 100000-00 -100 100 00-100000
Läs merFunktionsstudier med derivata
Funktionsstudier med derivata Derivatan ett kraftfullt verktyg för att studera och tolka funktioner Det här avsnittet handlar om att man kan använda derivatan till att bestämma en funktions egenskaper
Läs merTillfällen att utveckla fördjupad förståelse en bristvara?
Modul: Undervisa matematik utifrån förmågorna Del 5: Resonemangsförmåga Tillfällen att utveckla fördjupad förståelse en bristvara? Örjan Hansson, Högskolan Kristianstad Matematiklärande är en komplex process
Läs merFör elever i gymnasieskolan är det inte uppenbart hur derivata relaterar
Thomas Lingefjärd, Djamshid Farahani & Güner Ahmet En motorcykels färd kopplad till derivata Gymnasieelevers erfarenhet av upplevda hastighetsförändringar ligger till grund för arbete med begreppet derivata.
Läs merHur kan forskningen bidra till utvecklingen av matematikundervisningen?
Hur kan forskningen bidra till utvecklingen av matematikundervisningen? Johan Lithner Johan.Lithner@math.umu.se Umeå Forskningscentrum För Matematikdidaktik www.ufm.org.umu.se 1 Frågor att fundera över
Läs merf(x) = x 2 g(x) = x3 100 h(x) = x 4 x x 2 x 3 100
8 Skissa grafer 8.1 Dagens Teori När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera.
Läs merFigur 1: Påverkan som processer. Vad tycker elever om matematik och matematikundervisning?
Modul: Problemlösning Del 1: Matematiska problem Känsla för problem Lovisa Sumpter När vi arbetar med matematik är det många faktorer som påverkar det vi gör. Det är inte bara våra kunskaper i ämnet som
Läs merChecklista för funktionsundersökning
Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara
Läs merVÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVEXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER
Stationära och infleionspunkter VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER STATIONÄRA(KRITISKA) PUNKTER KONVEXA OCH KONKAVA FUNKTIONER INFLEXIONSPUNKTER EXTREMPUNKTER OCH EXTREMVÄRDEN Definition (Globalt maimum)
Läs merf(x) = x 2 g(x) = x3 100
När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera. Här ska vi se vad som händer
Läs merH1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic ============================================================
H9, Introduktionskurs i matematik EXTREMPUNKTER ============================================================. EXTREMPUNKTER OCH EXTREMVÄRDEN Definition. (Globalt maimum) Låt vara en punkt definitionsmängden
Läs merBedömningsanvisningar
Bedömningsanvisningar Exempel på ett godtagbart svar anges inom parentes. Till en del uppgifter är bedömda elevlösningar bifogade för att ange nivån på bedömningen. Om bedömda elevlösningar finns i materialet
Läs merVÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVÄXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER
Stationära och infleionspunkter VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER STATIONÄRA(KRITISKA) PUNKTER KONVÄXA OCH KONKAVA FUNKTIONER INFLEXIONSPUNKTER 3 VÄXANDE och AVTAGANDE FUNKTIONER i) Om funktionen y f ()
Läs merVilka typer av matematiska resonemang (ut)värderas i skolmatematiken?
Vilka typer av matematiska resonemang (ut)värderas i skolmatematiken? - En analys av svenska gymnasieprov Mattebron.se En mötesplats för gymnasielärare och högskolelärare i matematik Göteborg 4 maj 2007
Läs merBedömningsanvisningar
Bedömningsanvisningar Exempel på ett godtagbart svar anges inom parentes. Till en del uppgifter är bedömda elevlösningar bifogade för att ange nivån på bedömningen. Om bedömda elevlösningar finns i materialet
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man
Läs mer5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.
Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter
Läs merVi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.
Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8 Figur : Vi konstaterar följande: Då
Läs merProblemlösning Fk- åk 3 19/ Pia Eriksson
Problemlösning Fk- åk 3 19/12 2013 Pia Eriksson Fyra glaskulor och tre pappersstjärnor väger 63 gram. Tre glaskulor och två pappersstjärnor väger 46 gram. Alla glaskulor väger lika mycket och alla pappersstjärnor
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 10 Institutionen för matematik KTH 19 september 2016 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel (men inte bara) hastighet.
Läs merMAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp
MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största
Läs merHandledning Det didaktiska kontraktet. 19 september 2012
Handledning Det didaktiska kontraktet 19 september 2012 Dagens teman Begreppsföreställning och begreppskunskap igen Handledning Det didaktiska kontraktet Begreppsföreställning och begreppsdefinition Begreppsföreställning
Läs merEnvariabel SF1625: Föreläsning 11 1 / 13
Envariabel SF1625: Föreläsning 11 1 / 13 Att göra denna vecka 2 / 13 Översikt över modul 4 (seminarium nästa måndag) Förändringstakter (4.1) Newton-Raphson (4.2) L Hopitals regel (4.3) Analys av funktioner
Läs merMatematiskt resonemang
Matematiskt resonemang - en studie av uppgifterna i en lärobok på gymnasiet Rebecka Eklund och Martin Sundström Examensarbete 10 poäng HT 06 Examensarbete på Lärarprogrammet, 180 p Institutionen för Matematik
Läs merNpMa3c vt Kravgränser
Kravgränser Provet består av ett muntligt delprov (Del A) och tre skriftliga delprov (Del B, Del C och Del D). Tillsammans kan de ge 66 poäng varav 25 E-, 24 C- och 17 A-poäng. Observera att kravgränserna
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN3 Lösningsförslag 0.03.30 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:
Läs merNågra viktiga satser om deriverbara funktioner.
Några viktiga satser om deriverbara funktioner Rolles sats Differentialkalkylens medelvärdessats (=) 3 Cauchys medelvärdessats Sats Om funktionen f är deriverbar i en punkt x 0 så är f kontinuerlig i samma
Läs merArtiklar i avhandlingen
Algoritmiska, intuitiva och formella aspekter av matematiken i dynamiskt samspel En studie av hur studenter nyttjar sina begreppsuppfattningar inom matematisk analys www.math.chalmers.se/math/research/preprints
Läs merUPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER
UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER 1. Figuren visar grafen till funktionen f där f(x) = x 3 3x 2. I punkter där xkoordinaterna är 1 respektive 3 är tangenter till
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 4: Tillämpningar av derivata Institutionen för matematik KTH 22-23 september 2015 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel
Läs merKognitiva verktyg för lärande i matematik tankekartor och begreppskartor
Barbro Grevholm Kognitiva verktyg för lärande i matematik tankekartor och begreppskartor Barbro Grevholm er professor i matematikkdidaktikk ved Høgskolen i Agder, Norge og Högskolan Kristianstad, Sverige,
Läs mer4 Fler deriveringsregler
4 Fler deriveringsregler 4. Dagens Teori Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: f(x) = 2x4 x3 + 2x
Läs merC. Stöd för lärarlagets lägesbedömning av undervisningsprocessen
C. Stöd för lärarlagets lägesbedömning av undervisningsprocessen Det här materialet är riktat till lärare och lärarlag och är ett stöd för skolans nulägesbeskrivning av matematikundervisning. Målet är
Läs merModul 4 Tillämpningar av derivata
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,
Läs merDagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.
Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att
Läs merSamhället och skolan förändras och matematikundervisningen som den
Saman Abdoka Elevens bakgrund en resurs De senaste tjugo åren har inneburit stora förändringar för såväl samhälle som skolmatematik. Ur en lång erfarenhet av att undervisa i mångkulturella klassrum ger
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merI arbetet hanterar eleven flera procedurer och löser uppgifter av standardkaraktär med säkerhet, både utan och med digitala verktyg.
Kunskapskrav Ma 2a Namn: Gy Betyg E D Betyg C B Betyg A 1. Begrepp Eleven kan översiktligt beskriva innebörden av centrala begrepp med hjälp av några representationer samt översiktligt beskriva sambanden
Läs merSimulerat kreativt resonemang i matematikföreläsningar
Simulerat kreativt resonemang i matematikföreläsningar Kristin Grahn Vt 2009 Examensarbete på programmet för tillämpad matematik, 15 hp Institutionen för matematik och matematisk statistik Sammanfattning
Läs merTentamensinstruktioner. Vid skrivningens slut
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP14/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för I och Ii Datum: 13:e januari 2011 Tid: 8.00 13.00 Hjälpmedel: Kurslitteratur av Lundgren m fl: Optimeringslära
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merSidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c
Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +
Läs merx 4 a b X c d Figur 1. Funktionsgrafen y = f (x).
Konveitet En funktionsgraf, som inte är en rät linje, böjer ofta av åt ett bestämt håll i ett visst intervall. För en funktion som är deriverbar två gånger kan man med hjälp av andraderivatan ta reda på
Läs merLikhetstecknets innebörd
Modul: Algebra Del 5: Algebra som språk Likhetstecknets innebörd Följande av Görel Sterner (2012) översatta och bearbetade text bygger på boken: Carpenter, T. P., Franke, M. L. & Levi, L. (2003). Thinking
Läs merx +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.
Lösningar till tentamen i Inledande matematik för M/TD, TMV155/175 Tid: 2006-10-27, kl 08.30-12.30 Hjälpmedel: Inga Betygsgränser, ev bonuspoäng inräknad: 20-29 p. ger betyget 3, 30-39 p. ger betyget 4
Läs merVäxande och avtagande
Växande och avtagande Innehåll 1 Växande och avtagande 1 Andraderivatan.1 Andraderivatan och acceleration................... Andrederivatans tecken.........................1 Andraderivatans nollställen:
Läs mery y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x
Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för
Läs mer13 Potensfunktioner. Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till
3 Potensfunktioner 3. Dagens teori Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8
Läs mer9 Skissa grafer. 9.1 Dagens Teori
9 Skissa grafer 9.1 Dagens Teori Så här hittar man etrempunkter, ma-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f() med hjälp av i första hand f () 1 Bestäm f () och f () 2 Lös ekvationen f () = 0. Om
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg OvnTenta Matematik Skrivtid. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på
Läs merEn vanlig uppgift är att bestämma max resp min för en trigonometrisk funktion och de x- värden för vilka dessa antas.
Max och min för trigonometriska funktioner En vanlig uppgift är att bestämma max resp min för en trigonometrisk funktion och de x- värden för vilka dessa antas. Ta t.ex y = 12 sin(3x-90) När man ska studera
Läs merVariation i matematikundervisningen
Stefan Löfwall Karlstads universitet Variation i matematikundervisningen Idag diskuterar man mycket behovet av att variera matematikundervisningen. Inte minst betonas detta i Skolverkets rapport Lusten
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 5 Institutionen för matematik KTH 5 september 2017 Hur mycket behöver man jobba? Vi har ett gemensamt ansvar: Jag visar vad som behöver göras Men det är ni som måste göra det Viktigt faktum:
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.08.09 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:
Läs merDenna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som
Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Jan Eriksson sin( + ) sin + + n 6 LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 och MMA1 Basutbildning II i matematik
Läs merLäsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte.
Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik Avsnitt 6.6 ingår inte. Avsnitt 6.1 Detta avsnitt illustrerar hur sekanten övergår i en tangent genom att den ena skärningspunkten rör sig mot den andra.
Läs merMälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation
Mälardalens ögskola Akademin för undervisning, kultur oc kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0..08 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna
Läs merResonemangsförmåga. Örjan Hansson, Högskolan Kristianstad
Modul. Undervisa matematik utifrån förmågorna Del 5: Resonemangsförmåga Resonemangsförmåga Örjan Hansson, Högskolan Kristianstad Resonemangsförmåga handlar om att utveckla ett logiskt och systematiskt
Läs merBedömningsanvisningar
Bedömningsanvisningar NpMab ht 01 Eempel på ett godtagbart svar anges inom parentes. Till en del uppgifter är bedömda elevlösningar bifogade för att ange nivån på bedömningen. Om bedömda elevlösningar
Läs merSammanfattning Rapport 2010:13. Undervisningen i matematik i gymnasieskolan
Sammanfattning Rapport 2010:13 Undervisningen i matematik i gymnasieskolan 1 Sammanfattning Skolinspektionen har granskat kvaliteten i undervisningen i matematik på 55 gymnasieskolor spridda över landet.
Läs merHögskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I
Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer MA71A Matematik för lärare C, delkurs Matematisk
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 10 hp STS, X 010-10-7 Genomgånget på föreläsningarna 11-15. Föreläsning 11, 4/11 010: Här kommer vi in i kapitel 4, som handlar om
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström MVE475 Inledande Matematisk Analys
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 1715 kl. 14. - 18. Tentamen Telefonvakt: Jonny Lindström 733 674 MVE475 Inledande Matematisk Analys Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv
Läs merOlika proportionella samband, däribland dubbelt och hälften.
Karin Landtblom & Anette De Ron Gruppera mera! Dubbelt och hälften är vanliga inslag i den tidiga matematikundervisningen. Elever ska ringa in hälften av något eller rita så att det blir dubbelt så många.
Läs merResonemangskrav i lärarhandledningens provuppgifter
Resonemangskrav i lärarhandledningens provuppgifter I vilken utsträckning fordras kreativt resonemang av eleven? Jonas Marklund Jonas Marklund VT 2014 Examensarbete, 30 hp Lärarprogrammet institutionen
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Lösningar till kryssproblemen 1-5. Uppgifter till lektion 1: = 10 x. = x 10.
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 10 hp STS, X 2010-10-27 Uppgifter till lektion 1: 1. Lös olikheten 2x + 1 > 3. Lösningar till kryssproblemen 1-5. Lösning. Olikheten
Läs merEpisoderna i denna artikel är hämtade
JONAS EMANUELSSON Berätta vad du tänker! Två berättelser om rätt och fel svar Artikeln handlar om de frågor lärare ställer till sina elever i klassrummet och vad som händer i den efterföljande interaktionen.
Läs merMMA127 Differential och integralkalkyl II
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA127 Differential och integralkalkyl II Tentamen Lösningsförslag 211.8.11 14.3 17.3 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial (gradskiva
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Christoffer Standar LMA033a Matematik BI
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 443 kl. 8.3.3 Tentamen Telefonvakt: Christoffer Standar 73 88 34 LMA33a Matematik BI Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden
Läs merNATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C HÖSTEN 2009
Anvisningar Provtid Hjälpmedel Provmaterialet Provet Poäng och betygsgränser NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C HÖSTEN 2009 240 minuter för Del I och Del II tillsammans. Vi rekommenderar att du använder
Läs merKan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.
Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera
Läs mer5 Blandade problem. b(t) = t. b t ln b(t) = e
5 Blandade problem 5.1 Dagens Teori Ett person sätter in 10000 kr på banken vid nyår 2000 till 4% ränta. Teckna en funktion, b(t) för beloppets utveckling. b(t) = 10000 1.04 t Skriv om funktionen med basen
Läs merMMA127 Differential och integralkalkyl II
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA17 Differential och integralkalkyl II Tentamen Lösningsförslag 9..19 8. 11. Hjälpmedel: Endast skrivmaterial (gradskiva tillåten).
Läs merKlassrumshantering Av: Jonas Hall. Högstadiet. Material: TI-82/83/84
Inledning Det som är viktigt att förstå när det gäller grafräknare, och TI s grafräknare i synnerhet, är att de inte bara är räknare, dvs beräkningsmaskiner som underlättar beräkningar, utan att de framför
Läs merUPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard Jörgen Östensson Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA1 8 3 31 Skrivtid: 8: 13:. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merDen här modulen är valbar för er som får statsbidrag för Matematiklyftet.
Problemlösning Den här modulen är valbar för er som får statsbidrag för Matematiklyftet. Denna modul riktar sig till dig som arbetar i årskurserna 1-3 och handlar om hur du kan utveckla din undervisning
Läs merinte följa någon enkel eller fiffig princip, vad man nu skulle mena med det. All right, men
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Christian Gottlieb Gymnasieskolans matematik med akademiska ögon Induktion Dag 2. Explicita formler och rekursionsformler. Dag mötte vi flera talföljder,
Läs merMatematik 3c Kap 3 Kurvor, derivator och integraler
Matematik 3c Kap 3 Kurvor, derivator och integraler Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html
Läs merM0038M Differentialkalkyl, Lekt 16, H15
M0038M Differentialkalkyl, Lekt 16, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 25 Repetition Lekt 15 Femte och trettioförsta elementet i en aritmetisk talföljd är 7
Läs merConstanta Olteanu, Linnéuniversitetet och Anna-Lena Ekdahl, Högskolan i Jönköping
Modul: Algebra Del 3: Bedömning för utveckling av undervisningen i algebra Intervju Constanta Olteanu, Linnéuniversitetet och Anna-Lena Ekdahl, Högskolan i Jönköping I en undervisning kan olika former
Läs merGamla tentemensuppgifter
Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi
Läs merKreativt matematiskt grundat resonemang
Kreativt matematiskt grundat resonemang förekommer det i lärargenomgångar på gymnasienivå, och i så fall, på vilket sätt? Maria Tranbeck Vt 2010 Examensarbete, 30 hp Lärarprogrammet, 270 hp Institutionen
Läs merVad är ett problem? Kerstin Hagland och Johan Åkerstedt
Modul: Problemlösning Del 1: Matematiska problem Vad är ett problem? Kerstin Hagland och Johan Åkerstedt Var och en av oss har föreställningar om vad matematik är. Dessa föreställningar är ofta ganska
Läs merx sin(x 2 )dx I 1 = x arctan xdx I 2 = x (x + 1)(x 2 2x + 1) dx
TM-Matematik Mikael Forsberg XXX-XXX DistansAnalys Envariabelanalys Distans ma034a ot-nummer 3 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Läs merMA2001 Envariabelanalys
MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 2 Mikael Hindgren 12 november 2018 Derivatan av inversen till en funktion Exempel 1 y = f (x) = x är strängt växande och har en invers. Bestäm Df (x) och
Läs mer3 Deriveringsregler. Vi ska nu bestämma derivatan för dessa fyra funktioner med hjälp av derivatans definition
3 Deriveringsregler 3.1 Dagens Teori Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. 3.1.1 Vi är på jakt efter ett mönster
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0.06. 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna
Läs merPlanering för kurs C i Matematik
Planering för kurs C i Matematik Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs C Antal timmar: 85 (70 + 15) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att C-kursen studeras på 85 klocktimmar.
Läs merJust nu pågår flera satsningar för att förbättra svenska elevers måluppfyllelse
Andersson, Losand & Bergman Ärlebäck Att uppleva räta linjer och grafer erfarenheter från ett forskningsprojekt Författarna beskriver en undervisningsform där diskussioner och undersökande arbetssätt utgör
Läs merMoment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73
Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar
Läs merTeori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 3216) Figur 1:
Teori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 316) Figur 1: a) Bestäm y som funktion av x genom att utnyttja likformiga trianglar. Se figur 1. b) Ange funktionens definitionsmängd
Läs merTIMSS Advanced 2008. Vad kan den användas till? Peter Nyström Umeå universitet. Peter Nyström Umeå universitet. Ett syfte med TIMSS är
TIMSS Advanced 2008 Vad kan den användas till? Peter Nyström Umeå universitet Ett syfte med TIMSS är att beskriva och jämföra elevprestationer både nationellt och internationellt samt redovisa elevernas
Läs mer30-40 år år år. > 60 år år år. > 15 år
1 av 14 2010-11-02 16:21 Namn: Skola: Epostadress: 1. Kön Kvinna Man 2. Ålder < 30 år 30-40 år 41-50 år 51-60 år > 60 år 3. Har varit verksam som lärare i: < 5 år 6-10 år 11-15 år > 15 år 4. Har du en
Läs merDe flesta lärare har antagligen upplevt
TORULF PALM Problem med verkligheten att lösa tillämpade matematikuppgifter Här beskrivs forskning kring elevers arbete med tillämpade uppgifter, med fokus på elevlösningarnas verklighetsöverensstämmelse.
Läs merSpridningen är vanligtvis stor i en klass när det gäller vad elever tycker om,
Kerstin Johnsson & Jonas Bergman Ärlebäck Godissugen! En tankeavslöjade aktivitet för att introducera området funktioner I den här artikeln diskuteras en aktivitet som introducerar funktioner i åk 8 genom
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.06.5 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:
Läs merKONTROLLSKRIVNING. Matematik C. Datum: Tid:
KONTROLLSKRIVNING Kursnummer: Moment: Program: Rättande lärare: Eaminator: Datum: Tid: Hjälpmedel: Omfattning oc betygsgränser: HF00 Matematik C KS4 Tekniskt basår Bengt Andersson oc Staffan Linnæus Niclas
Läs merPedagogiskt café. Problemlösning
Pedagogiskt café Problemlösning Vad är ett matematiskt problem? Skillnad mellan uppgift och problem - Uppgift är något som eleven träffat på tidigare, kan lösa med vanliga standardmetoder - Matematiskt
Läs merVisible teaching visible learning. Formativ bedömning en väg till bättre lärande
Bedömning Summativ Formativ bedömning en väg till bättre lärande Gunilla Olofsson Formativ ------------------------------------------------- Bedömning som en integrerad del av lärandet Allsidig bedömning
Läs merLikhetstecknets innebörd
Likhetstecknets innebörd Följande av Görel Sterner översatta och bearbetade text bygger på boken: arithmetic & algebra in elementary school. Portsmouth: Heinemann Elever i åk 1 6 fick följande uppgift:
Läs mer