Överbryggningskurs i matematik del I. Teknik och Samhälle 2012

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Överbryggningskurs i matematik del I. Teknik och Samhälle 2012"

Transkript

1 Överbryggningskurs i matematik del I Teknik och Samhälle 0 Malmö 0

2

3 Förord och studietips Föreliggande kompendium i två delar är en överbryggning mellan gymnasiets och högskolans matematikkurser. Målet med kompendiet är att du skall få möjlighet att repetera och förstärka dina tidigare kunskaper, så att du kommer väl förberedd till de nya kurserna på högskolan. Till kompendiet hör ett omfattande digitalt material, som bland annat omfattar videoinspelningar och förklaringar hur man löser vissa typer av uppgifter, övningar med det dynamiska geometriprogrammet GeoGebra och digitala träningsuppgifter med tips. Allt material finns att ladda ner från Vid matematikstudier är det viktigt att du själv är aktiv: räkna, lös uppgifter och ge dig inte förrän du förstår vad du gör. Matematik har en viktig kommunikativ sida och du har mycket att vinna på att arbeta tillsammans med andra. Genom att diskutera och försöka förklara vad du inte riktigt har greppat, alternativt förklara för någon annan hur något begrepp fungerar, får du en djupare förståelse och kunskaper som är mera användbara. Att kunna kommunicera är i sig själv en viktig kompetens som du måste träna på. I många fall kan du enkelt lösa uppgifterna i kompendiet genom att använda en avancerad miniräknare eller program som t.ex. WoframAlpha. Om du gör detta missar du hela poängen med uppgifterna, ty det är inte svaret som är det intressanta. Det som är viktigt är de mönster och strukturer du kommer fram till och får förståelse för när du arbetar med uppgifterna. Vi vill därför råda dig att i så liten utsträckning som möjligt använda miniräknare! Var istället observant på samband, strukturer och lösningsmetoder och sträva efter förståelse i varje steg. Behöver man lära sig formler och uttryck utantill? Ja, det finns en mycket stor vinst med detta, eftersom formler och samband måste vara tillgängliga under problemlösning i vad vi skulle kunna kalla en mental verktygslåda. Det är just genom att ha formler och samband tillgängliga i huvudet, som du kan se hur de kan kombineras för att lösa ett problem. Det är dock eftersträvansvärt att du sätter in formler i ett sammanhang och försöker komma ihåg dem i form av konkreta mentala bilder snarare än att se det som att bara lära sig utantill. Matematiska begrepp kan representeras på olika sätt som kan skilja sig mycket åt och ha olika funktion. Ofta delar vi in representationer i fem kategorier: fysisk, bildlig eller grafisk, verbal, numerisk och symbolisk. Vilken eller vilka representationer som är att föredra beror på vad den skall användas till. För att få en djupare förståelse av matematiska begrepp måste vi erövra olika representationer och även kunna göra översättningar mellan dem. Här har det talade språket en viktig funktion. Normalt använder vi det talade språket för att stegvis bygga upp representationer från konkreta och vardagsnära till mera abstrakta. Samtidigt används språket för att utforska, kontrastera och se sambanden mellan olika representationer. Den som har tillgång till flera olika representationer för att beskriva samma matematiska begrepp har en rikare och mera funktionell begreppskunskap. Att kunna växla mellan olika representationer är också något som många menar starkt bidrar till

4 4 problemlösningsförmågan. Via videoinspelningarna kommer du att få tillgång till den verbala representationen och se hur olika begrepp kan ringas in och förklaras. Bland det digitala materialet som hör till kompendiet finns även övningar med programmet GeoGebra. Detta program är konstruerat på ett sådant sätt att du aktivt kan se och utforska samband mellan olika representationer, speciellt de grafiska, numeriska och symboliska (eller abstrakta). Vi uppmanar dig att aktivt ta del av både videoinpspelningarna och GeoGebra parallellt med att du arbetar med övningarna i kompendiet. Materialet och uppgifterna i kompendiet har generöst ställts till förfogande av Bertil Nyman och Göran Emanuelsson, till vilka vi riktar ett stort tack! Stort tack också till studenterna i referensgruppen, som har bidragit med konstruktiva synpunkter och nya ideer. Lycka till med dina mattestudier Matematiklärarna på Teknik och Samhälle, Malmö Högskola Malmö, juni 0 c Upphovsrätt: Bertil Nyman, Göran Emanuelsson och matematiklärarna på Teknik och samhälle, Malmö högskola För frågor eller kommentarer skicka ett mail till Per Jönsson:

5 Innehåll Numerisk räkning 9. Hela tal Decimaltal Avrundning Addition och subtraktion Multiplikation Division Primtal och faktoruppdelning Potenser Räkning på datorn Reella tal 9. Rationella tal De fyra räknesätten med positiva rationell tal Räkning med negativa tal Reella tal Absolutbelopp Kvadratrötter 3 3. Beräkning av kvadratrötter Räkning med kvadratrötter Herons metod Uttryck med variabler Ett uttrycks värde Förenkling av uttryck med variabler Parentesreglerna Distributiva lagen Multiplikationsregler Konjugatregeln Kvadreringsregler Kuberingsregler Uppdelning i faktorer Bråk Addition och subtraktion av bråk Multiplikation och division av bråk Räkning med kvadratrötter Koordinater Koordinater på en rät linje Koordinatsystem. Talpar Tillämpning: Eniros rita och mät

6 6 INNEHÅLL 6 Funktioner Inledande exempel Linjära funktioner Proportionalitet Polynom och polynomfunktioner Polynomfunktioner av andra graden Polynomfunktioner av tredje graden Rationella funktioner Exempel på funktioner som inte är rationella Funktioner av flera variabler Det allmänna funktionsbegreppet Ekvationer och olikheter Ekvationer Ekvationer av första graden Några problem som kan lösas med hjälp av ekvationer Olikheter av första graden Ekvationer av andra graden Formel för lösning av ekvation av andra graden Vektorer Exempel på storheter som kan åskådliggöras med pilar Vektorer Addition av vektorer Subtraktion av vektorer Multiplikation av en vektor med ett tal Parallella vektorer Uppdelning av en vektor i komposanter Ortsvektorer Koordinatframställning av vektorer Räkning med koordinatframställda vektorer Linjära ekvationer och olikheter 9 9. Ekvationen y = kx + m Ekvationen x = p Ekvationen ax + by + c = Bestämning av en rät linjes ekvation Linjära ekvationssystem med två obekanta Lösning av linjära ekvationssystem med två obekanta De trigonometriska funktionerna 9 0. Sinus och cosinus för en vinkel Tangens och cotangens för en vinkel Sinus, cosinus osv. för spetsiga vinklar Trigonometriska funktioner på dator Inversa trigonometriska funktioner på dator Rätvinkliga trianglar Potenser 43. Potenser med heltalsexponenter Potenser med exponenter som inte är heltal Beräkning av potenser på dator Räkneregler för potenser Funktionen y = 0 x

7 INNEHÅLL 7 Logaritmer 55. Definition av logaritmer Räkneregler för logaritmer Ekvationen a x = b Polynom. Algebraiska ekvationer 6 3. Polynom De fyra räknesätten med polynom Faktorsatsen Faktoruppdelning av polynom Algebraiska ekvationer Ekvationssystem En funktions derivata Tangenten till en kurva Derivator En viktig deriveringsregel Om derivatans definition Om derivatans beteckning Fart och acceleration A Matlab och GNU Octave över nätet 83

8 8 INNEHÅLL

9 Kapitel Numerisk räkning. Hela tal Tal som anger antal, dvs. talen i mängden N = { 0,,, 3,... } kallas naturliga tal. N är en delmängd av mängden av hela tal som består av positiva hela tal, negativa hela tal och talet noll. De hela talen kan illustreras med punkter på en tallinje: naturliga tal negativa hela tal positiva hela tal. Decimaltal Varje tal som kan skrivas med ett ändligt antal siffror i decimalsystemet kallas decimaltal. De hela talen är decimaltal. Men mellan de hela talen finns det oändligt många andra decimaltal, t. ex. 0.34,.567, 0.8 osv. U Ange de decimaltal a, b, c,..., u som pilarna i nedanstående figurer pekar på.

10 0 Numerisk räkning U Vilka av följande tal är decimaltal? Skriv dessa tal i decimalform. a) 3 g) 7 0 b) 7 4 h) 3 5 c) 5 i) 9 50 d) 5 6 j) 8 75 e) 8 k) 5 f) 4 9 l) 00.3 Avrundning E Om en bil dragit 30 liter bensin under en färd på 3 mil, så har det gått åt 30 3 liter/mil = liter/mil. Bensinförbrukningen är naturligtvis angiven med för många decimaler. Värdet bör avrundas avrundning till tre decimaler avrundning till två decimaler avrundning till en decimaler avrundning till heltal Lämpligt är väl att avrunda till 0.94 liter/mil. E 004 hade Malmö invånare. Vi rundar av detta tal till hela 0-tal: hela 00-tal: hela 000-tal: hela tal: hela tal: Avrundning: Om den första siffran som utesluts (eller ersätts med en nolla) är 0,,, 3, 4 så avrundar man nedåt, dvs. den sista behållna siffran ändras ej 5 så avrundar man i allmänhet uppåt, dvs. den sista behållna siffran ökas med ett 6, 7, 8, 9 så avrundar man uppåt Avrundning av ett tal ger ett närmevärde till talet med ett antal decimaler eller ett antal gällande siffror. Närmevärdena i exempel har 5, 4, 3, respektive gällande siffra. Någon gång kan det vara tveksamt om man skall avrunda uppåt eller nedåt. Om man t. ex. vill ha ett närmevärde med en decimal till 3.75 så duger 3.7 och 3.8 lika bra. I ett sådant fall brukar man avrunda så att närmevärdets sista decimal eller gällande siffra blir jämn. E 3 Några avrundningar

11 .4 Addition och subtraktion U 3 Vid 0 o C och atm väger m 3 luft.93 kg. Runda av vikten till ett närmevärde med a) två decimaler b) en decimal U 4 Sveriges areal är km. Runda av arealen till ett närmevärde med a) fyra b) tre c) två gällande siffror U 5 Avrunda följande tal till närmevärden med tre gällande siffror: a) b) c) d) U 6 Ange ett närmevärde med två decimaler till följande tal: a) b) 0.49 c) d) e) 4.5 f) g) h) U 7 Följande bråk är inte decimaltal. Bestäm närmevärden med två decimaler till bråken. a) 3 b) 6 c) 3 7 d) Addition och subtraktion Vi ska nu repetera de fyra räknesätten med decimaltal. Till att börja med bryr vi oss inte om negativa tal. De behandlar vi längre fram. U 8 Beräkna (helst i huvudet): a) Summan av talen (termerna).38 och.9. b) Differensen av talen.65 och U 9 När man räknar ut en summa så spelar det ingen roll i vilken ordning man adderar termerna. Detta kan man ibland ha nytta av vid huvudräkning. Exempel: = (5 + 75) + 48 = = 48 Beräkna på liknande sätt följande summor i huvudet: a) b) c) d) U 0 Summan kan beräknas så här: = ( + 9) + ( + 8) + (3 + 7) + (4 + 6) + 5 = = 45 Beräkna på liknande sätt: a) b)

12 Numerisk räkning U Figuren nedan är en grundritning av en byggnad. Räkna ut de mått som fattas (och som betecknas x och y) x y m U a) Vad är vinkelsumman i en triangel? b) Räkna ut den tredje vinkeln i triangeln nedan Multiplikation Enklare multiplikationer gör vi normalt i huvudet. Då större faktorer skall multipliceras kan vi använda följande uppställning: Uppställningen och räkningarna finns förklarade på en videoinspelning. U 3 U 4 Beräkna a) produkten av faktorerna 8 och 37 b) summan av termerna 8 och 37. När man räknar ut en produkt, så spelar det ingen roll i vilken ordning man multiplicerar faktorerna. Detta kan man ibland ha nytta av vid huvudräkning. Exempel: = (4 5) 9 = 00 9 = 900 Beräkna på liknande sätt följande produkter i huvudet: a) b) c) d) e) f) U 5 (Video) Nu gäller det att placera decimaltecknet på rätt ställe. Som bekant ska produkten ha lika många decimaler som faktorerna har tillsammans. Exempel:

13 .6 Division = 0.3 faktorerna har + = decimaler tillsammans = faktorerna har 3 + = 5 decimaler tillsammans = faktorerna har = 4 decimaler tillsammans Beräkna på liknande sätt följande produkter i huvudet: a) b) c) U 6 U 7 U 8 U 9 Räkna om följande farter till kilometer per timme ( m/s = m/h = 3.6 km/h) a) Sköldpadda 0.08 m/s b) 400-meterslöpare 9. m/s c) Älg.5 m/s d) Barracuda 36 m/s e) Svala 60 m/s Det ryska överljudsplanet Tupolev Tu-44 har en maxfart på Mach.35. Hur många kilometer per timme är det? Mach = 35 km/h (=ljudets fart). Ett rum är 6.5 m långt, 4.85 m brett och.5 m högt. a) Beräkna rummets volym b) Vad väger luften i rummet? m 3 luft väger.93 kg. Vattenytan i en damm är m. Hur många kubikmeter vatten ska tappas ur dammen för att vattenytan skall sjunka 5 mm?.6 Division Det är värdefullt att kunna utföra så kallad lång division av naturliga tal för hand, inte minsta för att underlätta polynomdivision längre fram. Algoritmen man använder är alltid densamma men uppställningen kan variera. Här skall vi använda den så kallade trappan. Om vi t.ex. skall utföra divisionen 83 blir räkningarna Kvoten vid divisionen blir 63 och resten 4 (divisionen går inte jämnt upp). Resultatet kan skrivas 83 3 = Vi kan också skriva om resultatet utan något divisionstecken 83 = Lång division illustreras med hjälp av flera exempel på video.

14 4 Numerisk räkning U 0 Detta är en kvot: Talet 0.4 är täljare och talet 5 är nämnare. a) Räkna ut kvoten b) Hur kan man kontrollera resultatet genom multiplikation? E 4 U U U 3 U 4 U 5 U 6 U 7 (Video) Vi repeterar hur man placerar decimaltecknet i en kvot. a) b) = 0.0 = = 0.06 Eftersom 5 inte går jämnt upp i 8 men i 80 så har vi satt en nolla i slutet av täljaren. c) = = d) = 80 5 = 6 När nämnaren inte är ett ental, så multiplicerar vi täljaren och nämnaren med något av talen 0.0, 0., 0, 00, så att nämnaren blir ett ental. Här har vi multiplicerat med 0.0 respektive 000. Placera decimaltecknet på rätt ställe i följande kvoter a) e) i).8 7 m) b) f) j) n) c) g) k) o) d). 40 h) l) p) Hur många papper är det i en 4.8 cm tjock bunt om varje papper är cm tjockt? ( Räkna om följande till meter per sekund km/h = m/s = ) 3.6 m/s a) 70 km/h b) 90 km/h c) 0 km/h d) 750 km/h En biltur på 86 km tog h 35 min a) Räkna om tiden i timmar b) Beräkna medelfarten Ett stycke bly har volymen.3 cm 3 och vikten 39 g. Beräkna blyets densitet. Hur lång tid tar det för ljudet att gå km? Ljudets fart i luft är 340 m/s. Hur stor tidsvinst i sekunder gör man om man kör mil med farten 00 km/h istället för 90 km/h?

15 .7 Primtal och faktoruppdelning 5.7 Primtal och faktoruppdelning Ett naturligt tal som är större än och inte delbart med något annat tal än sig själv och talet kallas primtal. Det finns oändligt många primtal. De fem minsta primtalen är, 3, 5, 7 och. Talet 5 kan skrivas 5 = 3 5. Talet är delbart med både 3 och 5 och är alltså inget primtal. Aritmetikens fundamentalsats, som bevisades redan av Euklides, säger att varje naturligt tal som är större än kan skrivas som en produkt av primtal. Bortsett från ordningsföljden är primtalsfaktorerna entydigt bestämda. Ett bevis av aritmetikens fundamentalsats kan du hitta här E 5 U 8 U 9 Vi ska skriva talet 8 som en produkt av primtalsfaktorer. Talet är jämnt och vi kan bryta ut 8 = 9 Talet 9 kan i sin tur skrivas 9 = 3 3. Vi får 8 = 3 3 = 3 Vi har talet 55. En undersökning visar att talet är delbart med 5 och 55 = 5 05 Talet 05 kan skrivas som 05 = 5, där = 3 7. Detta ger slutligen 55 = = Det krävs ibland mycket arbete att primtalsfaktorisera tal och man kan då använda dator. Skriv upp de tio första primtalen. Dela upp följande tal i primtalsfaktorer. a) 5 b) 6 c) 8 d) 79 e) 60 f) 75 g) 56.8 Potenser E är en potens med basen 3 och exponenten 4. U 30 a) 3 4 = = 8 läses 3 upphöjt till 4 b) 5 = 5 5 = 5 läses 5 upphöjt till c) 5 3 = = 5 läses 5 upphöjt till 3 Beräkna följande potenser i huvudet a) 7 b) 3 c) 3 3 d) 4 e) 5 4 f) 5 g) 3 5 h) 6 i) 0.3 j). 3 k) 0. 3 l) 0. 4 Man definierar också potenser där exponenten är noll eller ett negativt heltal. Vi nöjer oss tillsvidare med fallet då basen är 0: 0 0 = 0 = 0 0 = 0. 0 = 00 0 = = = = = 0.000

16 6 Numerisk räkning Observera att exponenten anger antalet nollor då potensen skrivs på vanligt sätt, 0 5 får 5 nollor, likaså = 0 5 = = Potenser med basen 0 används för att skriva stora och små tal på ett kort sätt. U 3 E 7 U 3 U 33 U 34 U 35 Skriv som en tiopotens (namn på stora tal finns här): a) en miljon b) en miljard c) en biljon d) en triljon e) en hundratusendel f) en miljondel Omskrivning till potensform: a) = (4 miljoner) b) = (4.5 miljoner) c) Den svenska stadsskulden var i slutet av 0 ungefär 08 miljarder kronor, dvs =.08 0 kr d) = e) = f) Chansen att vinna högsta vinsten på en lott i penninglotteriet kan anges till = Skriv följande mätetal utan tiopotenser: a) mil (avståndet till månen) b) mil (avståndet till solen) c) m 3 (vattenmängden i världshaven) d) 0 9 s (en nanosekund) e) s (tiden för ljuset att gå en mil) Skriv som produkten av ett tal mellan och 0 och en tiopotens: a) mil (solens diameter) b) o C (temperaturen i solens centrum) c) m/s (ljushastigheten) d) s (additionstid för miniräknare) e) kg (elektronens massa) Man beräknar att det finns biljoner ton salt i världshaven. Skriv detta tal med tiopotenser. Krabbnebulosan är resterna av en supernova (exploderande stjärna) som observerades år 054.

17 .9 Räkning på datorn 7 Skriv med hjälp av en tiopotens avståndet till nebulosan, dvs km U 36 Skriv som en tiopotens: a) b) c) d) e) f) U 37 Hur många sandkorn är det i m 3 sand, om varje korn upptar en volym av mm 3? U 38 U 39 U 40 Jordens massa är kg. Uttryck massan i a) gram b) ton a) Uttryck ljusfarten m/s i km/s. b) I astronomin använder man längdenheten ljusår. Det är den sträcka ljuset går på ett år. Hur många km är ljusår? Ett år är ungefär sekunder. Hur många km är det till a) närmaste fixstjärna, avstånd 4.3 ljusår. b) Andromedagalaxen, avstånd 0 6 ljusår?.9 Räkning på datorn Vid räkning på datorn kan man använda matematikprogram som Matlab eller GNU Octave. De vanliga räkneoperationerna är definierade enligt tabellen nedan ˆ5 potens (upphöjt till) prioritet * multiplikation prioritet / division prioritet + addition prioritet 3 - subtraktion prioritet 3 Då två räkneoperationer har samma prioritetsordning utförs beräkningarna från vänster till höger. För att beräkna 3 skriver vi *3^ Eftersom ^ har högst prioritet börjar Octave med att beräkna 3^. Sedan följer multiplikation med och Octave svarar

18 8 Numerisk räkning ans = 8 Division och multiplikation har samma prioritet. Då vi skriver /*3 börjar Octave från vänster och beräknar / sedan följer multiplikation med 3, vilket ger svaret ans =.5000 För att undvika missförstånd bör vi sätta ut parenteser och istället skriva talet som (/) 3. Vi kan lagra tal i variabler som sedan används i beräkningar. Antag att vi har en triangel med basen b = 8 och höjden h = 3. Arean kan då beräknas genom att ge kommandona b = 8 h = 3 A = b*h/ Octave svarar A = Det är ofta en god ide att spara värden i variabler och arbete med dessa då det ger en bra överblick av beräkningarna. Observera att vi måste använda decimalpunkt i stället för decimalkomma. Till exempel ska vi skriva.3 i stället för, 3. Stora och små tal skrivs lättast i exponentform. Så skriver vi 7.5 e 6 i stället för e i stället för Vid utskrift till skärmen visas tal normalt med 5 värdesiffror i ett fält som är maximalt 0 positioner brett. För att se alla värdesiffror ger vi kommandot format long varefter alla tal skrivs ut med 6 siffror.

19 Kapitel Reella tal. Rationella tal Ett tal som kan skrivas a b eller a, där a och b är naturliga tal och b 0, kallas b ett rationellt tal. a b kallas ett bråk med täljaren a och nämnaren b. E 8 På denna tallinje har vi delat sträckorna mellan heltalspunkterna i 6 olika delar: Ovanför delningspunkterna har vi skrivit de motsvarande rationella talen. Somliga av dessa är decimaltal, t.ex. 3 6 = = 9 6 =.5 Andra är inte decimaltal, t.ex. 6 = = Varje rationellt tal kan skrivas som bråk på oändligt många sätt, t.ex. eller 4 = 4 = 8 = 3 = 6 4 = 0 5 =... 3 = 4 6 = 6 9 = 8 = 0 5 = 8 =... (se figuren) Två bråk är lika (dvs. betecknar samma rationella tal) om det ena bråket fås ur det andra genom att täljaren och nämnaren multipliceras med samma tal (förlängning) eller

20 0 Reella tal divideras med samma tal (förkortning) I allmänhet försöker man ange bråktal på enklaste formen så att täljare och nämnare inte har någon gemensam faktor. Man säger då att talet är skrivet på enklaste bråkform. Ett systematiskt sätt att hitta den enklaste bråkformen är att primtalsfaktorisera täljare och nämnare och att förkorta med alla gemensamma primtalsfaktorer. Vi har t.ex. att = = 7 = U 4 Skriv följande rationella tal som bråk med nämnaren : a) 5 b) c) 4 3 d) 7 4 e) 5 6 U 4 U 43 U 44 U 45 U 46 Skriv följande bråk på enklaste form genom primtalsfaktorisering: a) 9 6 f) 5 45 b) 6 8 g) c) 0 h) 4 63 d) 6 4 i) 84 7 e) 6 30 j) Skriv följande par av rationella tal som bråk med samma nämnare, och avgör vilket av de två talen som är störst: a) 3 och 5 4 d) 4 9 och 5 b) 3 och 5 e) 3 3 och 4 8 c) 5 6 och 6 7 f) 7 5 och 4 (Video) Det rationella talet 6/37 är inget decimaltal. Ty talets decimalutveckling har oändligt många decimaler: 6 = Decimalutveckla följande tal för hand. Ta med 0 decimaler (det är lättare än det låter): a) 4 3 b) 9 c) 7 9 d) 5 Om du tittar på decimalutvecklingarna i förra uppgiften, så ser du att det är periodiska, dv.s samma decimaltal eller grupp av decimaler (perioden) återkommer regelbundet. Decimalutvecklingen av ett godtyckligt rationellt tal, som inte är ett decimaltal, har denna egenskap. Decimalutveckla följande tal för hand, och stryk under perioderna: a) 7 b) 37 c) 8 Decimalutveckla talet 4 för hand, och studera de rester, som erhålls vid divisionen. 7 Vilka tal kan uppträda som rester? Vad händer, när en rest uppträder för andra gången? Försök nu förklara, varför decimalutvecklingen blir periodisk. Mot varje periodisk decimalutveckling svarar ett rationellt tal, som har denna decimalutveckling. E 9 Vilket rationellt tal har decimalutvecklingen ? Sätt x =

21 . De fyra räknesätten med positiva rationell tal Genom att multiplikation med 0 resp. 000 får vi decimalutvecklingar, i vilka decimaltecknet står omedelbart före resp. omedelbart efter första perioden: 0 x = x = Subtraherar vi 000 x med 0 x, så försvinner alla decimalerna 990 x = 6 x = = = 7 5 = 7 55 U 47 Vilket rationellt tal har decimalutvecklingen a) b) c) d) De fyra räknesätten med positiva rationell tal Det är lätt att addera och subtrahera två rationella tal som är skrivna som bråk med samma nämnare. Det är bara att addera eller subtrahera täljarna. E 0 a) = b) = 6 9 = = = 7 5 = = 6 Har termerna inte samma nämnare, så börjar man med att skriva termerna som bråk med samma nämnare. E a) 4 3 = = 3 b) 4 + = 3 + = 4 = 3 = 3 c) I uppgift c) är nämnarna 6 och 5. Det minsta tal i vilket både 6 och 5 går upp, är 30. Därför förlänger vi bråken så att båda får nämnaren 30: = = 30 = = 7 0 För att förlänga med så lite som möjligt letar man upp den minsta gemensamma nämnaren. Ett systematiskt sätt att göra detta är att primtalsfaktorisera nämnarna och leta upp den minsta produkt av primtal som innehåller alla faktorer för nämnarna. 7 E a) Nämnarna är = 3 och 30 = 3 5. De primtal som ingår är (med potensen ), 3 och 5. Den minsta gemensamma nämnaren är alltså 3 5 = 60. För att få denna nämnare får vi förlänga med 5 resp. : = = = 09 60

22 Reella tal b) Nämnarna är 8 = 3 och 8 = 3. De primtal som ingår är (med potensen 3) och 3 (med potensen ). Den minsta gemensamma nämnaren är alltså 3 3 = 7. För att få denna nämnare får vi förlänga med 9 resp. 4: = = = 43 7 Beräkna följande summor och differenser: U 48. a) U 49. a) 6 b) b) 3 8 c) c) U 50. a) + 6 d) b) 6 e) c) 3 4 f) U 5. a) U 5. a) b) b) 7 5 c) c) U 53 Om täljaren i ett bråk är större än nämnaren, så är bråket större än. Ett sådant bråk skrivs ofta på blandad form. Exempel: 8 3 = 6 + = = + 3 = 3 a) Skriv bråken 4 3, 9 4 och 0 7 b) Skriv talen 3, 3 3 och 5 6 på blandad form. som bråk. U 54 Beräkna a) 3 3 b) 3 4 c) 6 3 U 55 Vad blir följande summor? Räkna ut det eller försök att se det direkt ur figuren a) 3 + b) d) c)

23 . De fyra räknesätten med positiva rationell tal 3 U 56 Beräkna U 57 a) d) b) 3 + e) c) 3 6 f) Kör man med farten 70 km/h, så hinner man 7 mil på timme. Att köra mil tar alltså /7 timme. ( Om man kör med 80 km/h istället för 70 km/hm så blir tidsvinsten på mil 7 ) h. Hur många sekunder är det? 8 Produkter av två bråk får man genom att multiplicera täljarna för sig och nämnarna för sig. E 3 a) = 3 5 = b) 4 7 = 4 7 = 8 c) = = 5 8 Ifall det skulle finnas någon som undrar varför man gör så här, så lämnar vi följande förklaringar: a) = = 5 7 b) 4 7 = = = 8 c) = = = 5 8 = 5 8 Beräkna följande produkter: U 58. a) 6 3 U 59. a) 3 U 60. a) b) 8 4 c) b) b) c) d) 3 8 d) c)

24 4 Reella tal U 6. a) U 6. a) 7 ( ) b) ( ) 3 c) 4 b) 4 33 ( ) 3 d) 3 c) ( ) 4 Om två tal har produkten, så sägs det ena talet vara det inverterade talet till det andra. E 4 a) Det inverterade talet till 3 är 3, ty 3 3 =. E 5 a) b) Det inverterade talet till 4 är 4, ty 4 4 =. c) Det inverterade talet till 5 6 är 6 5, ty =. Division med ett tal kan utföras genom multiplikation med det inverterade talet. b) c) = = = = = = 4 5 Motivering: Division av 4 5 med 5 6 ska ge ett tal x sådant att x 5 6 = 4 5. Vi multiplicerar bägge leden med 6 5 och får: x } {{ 5 } = , x = = 4 5 U 63 Beräkna följande kvoter a) 7 b) 3 c) d) 3 6 e) 3 4 f) 4 3 g) U 64 En biltur på 60 km tog 40 minuter. Vilken var medelfarten? Räkna så här: 40 min = h = 3 h, medelfarten = 60 3 km/h U 65 Räkna ut medelfarten i följande fall. Gör som i förra uppgiften. a) 0 km på 6 min b) 30 km på 5 min c) 54 km på 45 min d) 65 km på 50 min

25 .3 Räkning med negativa tal 5 U 66 I svenska flaggan är bredden av de gula banden /5 av flaggans höjd och /8 av dess längd. 5 U 67 U 68 U 69 8 Beräkna med hjälp av dessa tal hur stor del av flaggan är a) gul b) blå Beräkna (Multiplicera täljaren och nämnaren med 6). Beräkna följande uttryck (genom att multiplicera täljaren och nämnaren med lämpligt valt heltal) a) b) 3 c) Beräkna produkten av följande 99 faktorer ( a) ( + ) + ) ( + ) ( + ) (... + ) ( b) ) ( ) ( ) (... ) Räkning med negativa tal Negativa tal motsvaras på en tallinje av punkter som ligger till vänster om punkten noll. På en tallinje motsvaras addition och subtraktion med ett positivt tal a av en förflyttning a längdenheter åt höger respektive vänster. E 6 På tallinjen nedan illustrerar vi några additioner och subtraktioner med talet 5: = 7 5 = = =

26 6 Reella tal = 3 5 = = 7 5 = U 70 U 7 E 7 Beräkna: a) 7 4 b) 4 7 c) d) 5 8 e) 8 5 f) g) h) i) Beräkna: a) b) 6 9 c) d) e) f) En mera omfattande operation = = = = ( ) ( ) = = = 5 Motivering: Utgående från punkten noll på tallinjen ska vi göra två förflyttningar åt höger och tre åt vänster. Ordningen mellan dessa spelar ingen roll. Vi slår ihop förflyttningarna åt höger till en förflyttning, likaså förflyttningarna åt vänster, och detta markerar vi med parenteser. U 7 Beräkna: a) b) c) Två tal som skiljer sig i fråga om tecknet, t.ex. 9 och 9, kallas motsatta tal. Addition med ett negativt tal sker genom subtraktion med det motsatta talet a + ( b) = a b ( a) + ( b) = a b Subtraktion med ett negativt tal sker genom addition genom med det motsatta talet a ( b) = a + b ( a) ( b) = a + b E 8 Några exempel 6 + ( 9) = 6 9 = 3 6 ( 9) = = ( 9) = 6 9 = 5 6 ( 9) = = 3

27 .3 Räkning med negativa tal 7 U 73 U 74 U 75 Beräkna: a) 8 + ( 7) b) (.5) c) 8 ( 7) d) 0.7 (.5) e) 8 + ( 7) f) (.5) g) 8 ( 7) h) 0.7 (.5) Beräkna: a) ( 5) + 4 ( 3) b) ( 7) + ( 8) ( 9) ( c) ) ( + ) ( d) ) ( ) ( + ) 6 3 Den högsta och den lägsta temperatur som under 900-talet uppmätts i Stockholm är: o ( ) 8. o (5..94) Vilken är differensen av dessa temperaturer, dvs. vad är o ( 8. o ) U 76 Om ett föremål kastas eller skjuts rakt upp i luften med farten 50 m/s, så har det efter t sekunder farten v m/s där v = t Beräkna farten efter a).5 s b) 5 s c) 7.5 s d) 0 s De två sista farterna blev negativa. Förklara vad detta betyder. Produkten och kvoten av två tal med samma tecken är positiv, två tal med olika tecken är negativ a( b) = ab E 9 ( a)( b) = ab a b = a b = a b a b = a b Exempel på produkter a) 4 ( 5) = 0 b) ( 4) ( 5) = 0 c) 0 4 = 5 d) 0 5 = 4 e) 0 4 = 5 Motiveringar:

28 8 Reella tal a) 4 ( 5) = ( 5) + ( 5) + ( 5) + ( 5) = 0 b) Teckenändring i båda leden av 4 ( 5) ger ( 4) ( 5) = 0 c) Fås ur a) genom division av bägge led med 4 d) Fås ur a) genom division av bägge led med 5 e) Fås ur b) genom division av bägge led med 4 U 77 Beräkna följande produkter: a) 5 ( ) b) ( 5) c) ( 5) ( ) d) 0.8 ( 5) e) ( 0.5) ( 0.6) f) 4 ( 6) g).6 ( 0.05) h) ( ) ( 3) ( 4) U 78 U 79 Beräkna följande kvoter: a) 8 d) b) 8. e) 0.5 Beräkna följande potenser: c) 8 f) a) ( ) b) ( ) 3 c) ( ) 4 d) ( 0.3) e) ( 0.) 3 f) ( ) 3.4 Reella tal Med kvadratroten ur ett positivt tal a menas det positiva tal vars kvadrat är a. Kvadratroten ur a betecknas a Kvadratroten ur noll är noll 0 = 0. E 0 U 80 Exempel på kvadratrötter a) 4 = ty = 4 b) 5 = 5 ty 5 = 5 c) 0.09 = 0.3 ty 0.3 = 0.09 Bestäm följande kvadratrötter (pröva dig fram): a) b) 9 c) 64 d) 00 e) 44 f).44 g) 0.04 h) E Vad är? Vi försöker genom prövning hitta ett tal vars kvadrat är :

29 .4 Reella tal 9.4 =.96.5 =.5.4 = = = = = = = = Nu orkar vi inte längre. Vi nöjer oss med att vi fått reda på att ligger mellan.44 och.44, dvs. att.44 < <.44. Man kan bevisa att det inte finns något decimaltal eller något bråk vars kvadrat är, dvs. att inte är ett rationellt tal. Beviset finns här. Ett tal som inte är ett rationellt tal kallas ett irrationellt tal. Ett sådant tals decimalutveckling har oändligt många decimaler och är inte periodisk. E. a) = är ett irrationellt tal. Detsamma gäller om de flesta kvadratrötter, t.ex. 3, 5 och 6 (men inte 4) b) π = är ett irrationellt tal. c) är inte ett irrationellt tal. Decimalutvecklingen har visserligen oändligt många decimaler, men den är periodisk. Talet är rationellt och lika med 6/37 (se exempel E 9). d) är ett irrationellt tal. Ty denna decimalutveckling har oändligt många decimaler och är inte periodisk. De rationella och irrationella talen kallas med ett gemensamt namn reella tal. Mot varje rationellt tal svarar en punkt på tallinjen. Men det finns punkter på tallinjen som inte motsvaras av rationella tal. Däremot gäller: Mot varje punkt på tallinjen svarar ett reellt tal, och omvänt motsvaras varje reellt tal av en punkt på tallinjen π 0 3 U 8 På tallinjen ovan är tolv tal markerade. Vilka av dessa är a) reella b) irrationella c) rationella d) hela e) naturliga f) decimaltal?

30 30 Reella tal.5 Absolutbelopp Med absolutbeloppet av ett reellt tal menas talet självt om det är positivt eller noll, och talet med ombytt tecken om det är negativt. Absolutbeloppet av talet a betecknas a. E 3. a) 6 = 6 b) 0 = 0 c) 6 = 6 d) 5 8 = 5 8 e) = f) 5 = 3 = 3 U 8 Vad är a) 3 b) 3 c).7 d) 35 U 83 Vad gäller om absolutbeloppet av två motsatta tal a och a? U 84 Finns det något tal a för vilket a < 0? U 85 U 86 U 87 Beräkna: a) 6 7 b) c) d) 3 e) f) ( g) ( ) 3 h) 37 i) 4 9 8) 3 Vilket är på en tallinje avståndet till punkten 0 från punkten a) 5 b) 5 c) 4 d) 4 e) a? För vilka hela tal x gäller att a) x < 3 b) x 3? (Tecknet betyder mindre än eller lika med.) U 88 För vilka reella tal x är a) x = b) x = 9 c) x = 0 d) x = e) x = x f) x = x?

31 Kapitel 3 Kvadratrötter 3. Beräkning av kvadratrötter U 89 U 90 U 9 Kvadratrötter beräknas enklast på dator. Kommandot för kvadratrot är sqrt. För att beräkna 7 med hjälp av Matlab eller GNU Octave skriver vi sqrt(7) och får resultatet ans =.6458 Bestäm med hjälp av dator närmevärden till: a) 8 b) 79 c) 34.5 Följande kvadratrötter skall bestämmas exakt utan hjälp av dator: a) 00 b) c) d) 0.0 e) f) Antag att ett föremål faller från en höjd av h meter. Då slår det i marken med farten v km/h, där v fås ur följande (approximativa) formel: v = 6 h U 9 Räkna ut farten om höjden är a) m b) 0 m c) 40 m Om man står h meter ovanför havsytan, så kan man se s kilometer ut över havet, där s 3.8 h Räkna med hjälp av denna formel ut hur långt man kan se från en klippa som är: a) 0 m hög b) 50 m hög Vi erinrar om Pytagoras sats: I en rätvinklig triangel är summan av kvadraterna på kateterna lika med kvadraten på hypotenusan. U 93 Beräkna hypotenusan i en rätvinklig triangel, där kateterna har följande längder (i t.ex. centimeter): a) och b) 3 och 4 (egyptisk triangel) c) 5 och 8

32 3 Kvadratrötter U 94 İ en rätvinklig triangel är hypotenusan 7 cm och ena kateten 4 cm. Hur lång är den andra kateten? x + 4 = 7, x + 6 = 49 se figuren 7 x x = 33 x = Kateten är 5.74 cm U 95 U 96 U 97 Beräkna tredje sidan i en rätvinklig triangel där hypotenusan och ena kateten är a) 3 cm och cm b) 65 mm och 3 mm En likbent triangel har sidorna 6 cm, 9 cm och 9 cm. a) Beräkna höjden mot den minsta sidan (rita en figur). b) Beräkna triangelns area. En cirkel har radien 5 mm. Från en punkt som ligger 36 mm från cirkelns medelpunkt dras tangenter till cirkeln, Hur långa är dessa tangenter? (se figuren) 5 36 U 98 En pendel med längden a har svängningstiden a T = π g Här skall a mätas i meter och T i sekunder, och g är tyngdaccelerationen 9, 8 m/s. Beräkna svängningstiden hos en pendel med längden 75 cm. 3. Räkning med kvadratrötter E 4 a) ( 3) = 3 Ty 3 är ju det positiva tal vars kvadrat är 3. b) ( 3) = 3 3 = ( 3) = 4 3 = c) 3 = 9 = 3 d) ( 3) = 9 = 3 = 3 Exemplet illustrerar följande regler: ( a) = a, a 0 a = a kvadratrot är alltid positiv

33 3. Räkning med kvadratrötter 33 U 99 U 00 E 5 Bestäm: a) ( 7) b) ( 7) c) 7 d) ( 7) ( ) (3 ) ( e) f) g) 3 ) ( 5 h) Beräkna: a) (4 5) b) ( 3 ) c) Beräkna 8 ( ) 6 d) Så här kan man göra (men det är inte så bra) ( 5 0 ) ) Bättre är att räkna så här 8 = 8 = 6 = 4 Om talen a och b är 0, så är a b = ab Ty vänster ledets kvadrat är ( a b) = ( a) ( b) = ab, och vänstra ledet är alltså, liksom högra ledet, kvadratrot ut ab. Eftersom båda leden är kvadratroten ur samma tal ab måste båda leden vara lika. På samma sätt inser man att a a = b b U 0 E 6 Beräkna: a) 3 b) 4.5 c) 3 6 d) e) 3 f) Vi kan flytta in en faktor under rotmärket om denna faktor kvadreras: 6 = 36 = U 0 Skriv följande uttryck som bara en rot: a) 3 b) 3 c) 5 0. d) 7 3 I sista uppgiften använde du följande regel: För positiva tal a och b gäller att a b = a b Regeln kan också användas baklänges. E 7 a) 45 = 3 5 = 3 5 b) + 8 = + = + = 3 = 3 = 8 U 03 Flytta ut kvadratiska faktorer ur följande kvadratrötter: a) b) 0 c) 7 d) 7 e) 8

34 34 Kvadratrötter U 04 U 05 E 8 Förenkla och beräkna: a) 7 (= 3 3 3) b) Visa att a) = 5 b) = 50 (Observera mycket noga att a + b inte är lika med a + b) Ibland väljer man att ta bort rotuttryck i nämnaren. Det kan man göra på följande sätt: 6 = 6 = 6 = 3 Man kan också göra så här = = = 8 = 3 = 3 U 06 U 07 U 08 U 09 Ta bort roten ur nämnaren. Räkna som i första delen i exemplet ovan a) b) c) e) Visa med hjälp av Pytagoras sats: Diagonalen i en kvadrat med sidan a är a (rita figur). a) Beräkna diagonalen i en kvadrat med sidan 8 cm. b) Beräkna sidan i en kvadrat med diagonalen 8 cm. Nedan har vi en liksidig triangel med sidan a a 3 30 a 60 a U 0 U U Visa med hjälp av Pytagoras sats att höjden är a 3. En liksidig triangel har sidan 5 cm. Beräkna a) triangelsn höjd b) triangelns area Beräkna arean av en triangel i vilken två sidor är 9 cm och mellanliggande vinkel 0 o. Beräkna arean av en regelbunden sexhörning med sidan 5 mm. 3.3 Herons metod Vi ska beräkna kvadratroten ur det positiva talet A. Geometriskt är detta likvärdigt med att konstruera en kvadrat vars area är A. Antag att vi startar med ett ungefärligt värde x 0 på kvadratroten till A. Detta motsvarar geometriskt, om vi ska ha arean A, en rektangel med kantlängderna x 0 och A/x 0. För att göra rektangeln

35 3.3 Herons metod 35 mera kvadratisk kan vi ersätta x 0 med ett tal x som är medelvärdet av x 0 och A/x 0 x = ) (x 0 + Ax0. Vi använder sedan x som nytt startvärde, och beräknar ett bättre värde x x = ) (x + Ax. och så vidare till det att det beräknade talet inte ändrar sig nämnvärt. Metoden är känd som Herons metod efter den grekiske matematikern och uppfinnaren. Den intresserade kan läsa mer i här Processen illustreras nedan x 0 A x A A/x 0 A/x E 9 Vi ska använda Herons metod för att beräkna. Vi börjar med det ungefärliga värdet x 0 = på roten, och har räkningarna x = ( + ) =.5 x = x 3 = x 4 = (.5 + ) ( ( ) ) Talen närmar sig snabbt det riktiga värdet som är U 3 Använd Herons metod för att bestämma ett närmevärde till 7. Tag x 0 = 3 som startvärde. Gör tre förbättringar och jämför ditt beräknade värde med det värde du får från datorn.

36 36 Kvadratrötter

37 Kapitel 4 Uttryck med variabler 4. Ett uttrycks värde E 30 Antag att det finns 40 liter bensin i tanken på en bil och att bilen drar 0.8 liter per mil vid landsvägskörning. Efter x mils körning har det gått åt 0.8x liter, och kvar i tanken är så här många liter: x Detta är ett exempel på ett uttryck med en variabel x. För t.ex. x = 5 har uttrycket följande värde: = 40 = 8 Efter 5 mils landsvägskörning är det alltså 8 liter bensin kvar i tanken. I tabellen nedan har vi angett uttryckets värde för några värden på x. En sådan tabell kallas värdetabellen för uttrycket. x x U 4 Vid ett test av en Saab 95 bestämde man bl.a bränsleförbrukningen vid olika farter. Det visade sig att bränsleförbrukningen i liter per mil vid farten x km/h rätt väl angavs av uttrycket x. Gör med hjälp av detta uttryck en värdetabell som visar bränsleförbrukningen vid farterna 50, 70, 90, 0 och 30 km/h. U 5 I bl. a. USA mäter man temperaturen i grader Fahrenheit. t grader Fahrenheit motsvarar så här många grader Celsius: t 3.8

38 38 Uttryck med variabler Gör en värdetabell för detta uttryck. Låt t vara 0, 3, 50, 60, 70, 80, 90 och 00. Använd miniräknare eller dator för beräkningarna. U 6 Vi har en likbent triangel enligt figuren x x a) Skriv upp ett uttryck för arean av detta triangelområde. b) Beräkna uttryckets värde då x är 5, och 60. U 7 a) Skriv upp ett uttryck för längden av hypotenusan i triangeln. b) Beräkna uttryckets värde då x är 3, 5 och 8. U 8 Detta är ett uttryck med två variabler x och y: 3x 4y + 5 Uttryckets värde för x =, y = 3 är = = Detta värde finns i värdetabellen här bredvid. Räkna ut de värden som saknas och fyll i tabellen. x y 3x 4y U 9 Medelvärdet av två tal x och y är x + y. Skriv upp ett uttryck för: a) medelvärdet av tre tal x, y och z b) medelvärdet av fyra tal a, b, c och d. U 0 Figuren på nästa sida föreställer ett rätblock med kantlängderna x, y och z.

39 4. Förenkling av uttryck med variabler 39 x y z Skriv upp uttryck för a) areorna av de tre sidytor som syns i figuren b) hela begränsningsytans area c) volymen. U Beräkna värdet av vart och ett av följande uttryck för x = 0., y = 0.5 och z = 0.8: a) x + y + z b) xy + yz + zx c) xyz d) xy z e) y + z x f) y x + z 4. Förenkling av uttryck med variabler E 3 Värdet av uttrycket 8x + 6x 4x för x =.7 kan beräknas så här: = = = 7 Men detta sätt att räkna är opraktiskt. Det är bättre att först förenkla uttrycket och sedan sätta in x =.7: 8x + 6x 4x = 4x 4x = 0x 0.7 = 7 U Förenkla följande uttryck: a) 7x + 5x b) 7x 5x c) 5x 7x d) 8a + 7a e) 9t 3t f) z z g) x + 3x + 4x h) 5y + 0y 5y i) a 5a + 8a j) 9x 5x x U 3 Beräkna värdet av uttrycket 9x 7x + 5x 3x för x = 0.75

40 40 Uttryck med variabler U 4 U 5 Uttrycket 3x + 4y kan inte förenklas, ty de båda termerna innehåller ju olika variabler. Följande uttryck kan däremot förenklas: a) 3x + 4y + x y b) x y + x 3y c) a b 3a 4b + 5a + 6b d) 4x 3y 7z 3x 7z + y + 3z Beräkna värdet av uttrycket 3x 4y + 5 x + 7y 6 för x = 0.3, y = 0. U 6 Förenkla uttrycket 0ab 4bx 6ax + 7bx ab ab + 3bx 4ax 4.3 Parentesreglerna E 3 a) 4 + (8 3) = = 9 Parentesen anger att man först ska räkna ut differensen 8 3. Men man kan också räkna så här 4 + (8 3) = = 3 = 9 b) 4 (8 3) = 4 5 = 9 Om vi tar bort parentesen får vi ett felaktigt resultat: = 6 3 = 3 Men om vi tar bort parentesen och samtidigt ändrar tecken i parenteser (dvs. ändrar 8 3 till 8 + 3), så får vi rätt resultat: 4 (8 3) = = = 9 c) 4 (8 + 3) = 4 = 3 Kan också räknas så här: 4 (8 + 3) = = 6 3 = 3 d) 3x (x 3) = 3x x 3 = 5x + e) 3x + 4 (x 3) = 3x + 4 x + 3 = x + 7 En parentes som föregås av ett plustecken kan utan vidare tas bort. En parentes som föregås av ett minustecken kan tas bort om man samtidigt ändrar tecken för termerna i parentesen. U 7 Skriv följande uttryck utan parenteser: a) x + (y + z) b) x + (y z) c) x (y + z) d) x (y z)

41 4.4 Distributiva lagen 4 U 8 U 9 U 30 Förenkla följande uttryck: a) 3 x + (4 + 3x) b) 3 x (4 + 3x) c) (x + y) + (x y) d) (x + y) (x y) e) a b + (a b) f) a b (a b) Förenkla följande uttryck: a) 5x (3y x) + (3x 7y) b) (8x 7y 5) (7x 6y 3) c) (a + b + c) (a + b c) (a b + c) ( a + b + c) d) [x ( x)] (Tag t.ex. först bort parentesen, sedan klammern.) e) 5a + x [4 (x 3a + )] [(5x + a) (x a)] Beräkna värdet av uttrycket 7x + 3y [x (8y + x) (3y x)]+ +[(5x + y) (5x 9y)] för x = 69, y = 56 U 3 U 3 U 33 Inneslut inom parentes de två sista termerna i a) x + y z b) x y + z c) x y z Inneslut inom parentes de tre sista termerna i a) x y z + u b) a b + 3c 4d Vilket värde har uttrycket [a (b c)] [b (c a)] [c (a b)] om a + b + c = 0? 4.4 Distributiva lagen E 33. a) 3(x + ) = (x + ) + (x + ) + (x + ) = = x + + x + + x + = 3x + 6 Enklare är att räkna på följande sätt: 3(x + ) = 3 x + 3 = 3x + 6 Andra ledet har vi fått genom att multiplicera in trean i parentesen. b) (3x 4) = 3x 4 + 3x 4 = 6x 8 Samma resultat får vi genom att multiplicera in tvåan: (3x 4) = 3x 4 = 6x 8 U 34 Skriv om följande uttryck genom att multiplicera in faktorer: a) (x + 3) b) 3(x 4) c) 4( 3x) d) 3(x 5) e) 6(x + y) f) 5(x y)

42 4 Uttryck med variabler Den räknelag som vi använt ovan kallas den distributiva lagen. Den kan formuleras på följande sätt: a(b + c) = ab + ac Här får a, b och c vara vilka tal (eller uttryck) som helst. U 35 Hur kan man med hjälp av figurerna nedan se att likheten ovan gäller för positiva tal a, b och c? a(b + c) a ab ac a b + c b c U 36 Med hjälp av den distributiva lagen kan man ibland räkna ut ganska svåra produkter i huvudet. Exempel: 5 9 = 5(0 ) = = = 7(30 + ) = = 544 Försök att på liknande sätt räkna ut följande produkter i huvudet: a) 8 39 b) 5 4 c) 75 d) 5 9 e) 3 5 f) 4 48 g) 99 h) 6 98 E 34. a) x(x 3) = x x x 3 = x 6x b) a(a + b) = a a + a b = a + ab c) (3x 4) 3(x 3) = 6x 8 6x + 9 = Observera teckenändringen. Den beror på att det står ett minustecken framför sista parentesen. U 37 U 38 Skriv om följande uttryck med hjälp av den distributiva lagen: a) x(x ) b) 3x(x + ) c) x(3x 4) d) x(x + y) e) a(a b) f) 3a(a + 3b) Förenkla följande uttryck: a) x 3( x) b) (x 3) c) x(x 4) + 3(x 4) d) x(x ) 3(x ) e) 3(x ) + x(x 3) f) a(a + b) b(a b)

43 4.5 Multiplikationsregler 43 U 39 U 40 U 4 Förenkla följande uttryck: a) 6(8x 7y 5) 7(7x 6y 3) b) x(y z) y(x z) + z(x y) c) 3x(3y + 7z) 8y(x z) 5z(4x + 3y) Om n successivt ersätts med talen,, 3, 4,..., kommer n att ge de jämna talen, 4, 6, 8,... Ange ett uttryck, som på motsvarande sätt ger alla de positiva hela tal, som är a) delbara med 3 b) udda. Om m och n är naturliga tal, så är m, n och (m + n) jämna tal. Formeln m + n = (m + n) uttrycker, att summan av två jämna tal är ett jämnt tal. Bevisa följande formler, och tolka dem på liknande sätt: a) m + (n ) = (m + n) b) (m ) + (n ) = (m + n ) 4.5 Multiplikationsregler E 35.Vi multiplicerar två potenser med samma bas: a 3 a 5 = (a a a) (a a a a a) = a 8 Resultatet kan skrivas så här: a 3 a 5 = a 3+5 = a 8 Man multiplicerar två potenser med samma bas genom att addera exponenterna, dvs. a m a n = a m+n Potenserna i vänstra ledet är nämligen produkter av m respektive n faktorer a. Alltså är vänstra ledet en produkt av m + n faktorer a, dvs. lika med a m+n. U 4 U 43 Skriv som en potens: a) a a b) x x 3 c) x 3 x 4 d) a a 6 e) (x ) = x x =... f) (a 3 ) g) (x ) 3 Förenkla följande uttryck: a) x x x 3 b) x 3x c) 4a 3 5a d) (3x) e) (x ) f) x y x 3 y Enligt den distributiva lagen är (a + b)x = ax + bx Om man byter ut x mot c + d, så får man (a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d)

44 44 Uttryck med variabler och alltså är (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd Högra ledet får man så här: Varje term i den ena parentesen multipliceras med var och en av termerna i den andra parentesen, och de fyra erhållna produkterna adderas (se video). E 36. a) ( + 3)(4 + 5) = = = = 45 Kontroll: ( + 3)(4 + 5) = 5 9 = 45 b) (x + 3)(x + ) = x x + x + 3 x + 3 = = x + x + 6x + 3 = x + 7x + 3 I följande exempel använder vi teckenreglerna: En produkt av två faktorer får plustecken eller minustecken beroende på om faktorerna har samma eller olika tecken. c) (x )(x + 3) = x + 3x x 6 = x + x 6 d) (x )(x 3) = x 3x x + 6 = x 5x + 6 U 44 Hur kan man med hjälp av figuren nedan se att regeln (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd gäller för positiva tal a, b, c och d? a ac ad b bc bd c d U 45 U 46 Utför följande multiplikationer, och förenkla om möjligt resultaten: a) (x + )(x + ) b) (x )(x + ) c) (x + )(x ) d) (x )(x ) Utför följande multiplikationer, och förenkla om möjligt resultaten: a) (x 3)(x + 5) b) (x + )(3x + ) c) ( + t)(3 t) d) (a + b)(a b)

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning Moment Begreppsbildning Mätningar och enheter Algebra och ekvationer Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Bedömningsgrunder för uppnåendemålen känna igen naturliga tal kunna positiva heltal:

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken Y

Sammanfattningar Matematikboken Y Sammanfattningar Matematikboken Y KAPitel 1 TAL OCH RÄKNING Numeriska uttryck När man beräknar ett numeriskt uttryck utförs multiplikation och division före addition och subtraktion. Om uttrycket innehåller

Läs mer

Matematik Uppnående mål för år 6

Matematik Uppnående mål för år 6 Matematik Uppnående mål för år 6 Allmänt: Eleven ska kunna förstå, lösa samt redovisa problem med konkret innehåll inom varje avsnitt. Ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och

Läs mer

Torskolan i Torsås Mars 2007. Matematik. Kriterier för betyget godkänd. Metoder: Arbetssätt. Muntligt. Problemlösning

Torskolan i Torsås Mars 2007. Matematik. Kriterier för betyget godkänd. Metoder: Arbetssätt. Muntligt. Problemlösning Torskolan i Torsås Mars 2007 Matematik Kriterier för betyget godkänd Metoder: Arbetssätt Ta ansvar för sin egen inlärning. Göra läxor. Utnyttja lektionstiden (lyssna, arbeta). Utnyttja den hjälp/stöd som

Läs mer

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg Tema: Pythagoras sats Linnéa Utterström & Malin Öberg Innehåll: Introduktion till Pythagoras sats! 3 Pythagoras sats! 4 Variabler! 5 Potenser! 5 Att komma tillbaka till ursprunget! 7 Vi bevisar Pythagoras

Läs mer

Kunskapsmål och betygskriterier för matematik

Kunskapsmål och betygskriterier för matematik 1 (1) 2009-0-12 Kunskapsmål och betygskriterier för matematik För betyget G i matematik skall eleven kunna utföra beräkningar, lösa problem samt se enklare samband utifrån de kunskapsmål som anges under

Läs mer

Kap 1: Aritmetik - Positiva tal - " - " - " - " - - " - " - " - " -

Kap 1: Aritmetik - Positiva tal -  -  -  -  - -  -  -  -  - År Startvecka Antal veckor 2013 34 18 Planering för ma 1b/c - ma 5000- boken OBS: För de i distansgruppen, meddela lärare innan prov. (justeringar för 1c ännu ej genomförda) Vecka Lektio n (2h) Datum Kapitel

Läs mer

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24 Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass 1 Mål att sträva mot Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven S11 utvecklar intresse för matematik

Läs mer

Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping

Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping Enhet 591 Ekholmen Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping Fakta Förståelse Färdighet Förtrogenhet De olika formerna samspelar och utgör varandras förutsättningar. För att

Läs mer

Uppdaterad 2003-10-14 Allmänt Läroplanens mål för matematik finns att ta del av för elever och målsmän på webbadressen: http://www.skolverket.se.

Uppdaterad 2003-10-14 Allmänt Läroplanens mål för matematik finns att ta del av för elever och målsmän på webbadressen: http://www.skolverket.se. Matematik Uppdaterad 2003-10-14 Allmänt Läroplanens mål för matematik finns att ta del av för elever och målsmän på webbadressen: http://www.skolverket.se. ADDITION, SUBTRAKTION, DIVISION OCH MULTIPLIKATION.

Läs mer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer Höstlov Uppgift nr 1 Ge en lösning till ekvationen 0 434,2-13x 3 Ange både exakt svar och avrundat till två decimalers noggrannhet. Uppgift nr 2 Huvudräkna lg20 + lg50 Uppgift nr 3 Ge en lösning till ekvationen

Läs mer

Kap1 1.1 Tal i olika former Mål Mål Mål Mål Mål Mål Rek. uppgifter 1101, 1106, 1107, 1113, 1118, 1120 Talmängder

Kap1 1.1 Tal i olika former Mål Mål Mål Mål Mål Mål Rek. uppgifter 1101, 1106, 1107, 1113, 1118, 1120 Talmängder Kap1 1.1 Tal i olika former Mål Mål Mål Mål Mål Mål Rek. uppgifter Känna till de vanligaste talmängderna och de Veta hur talmängderna betecknas Ha kunskap om hur de olika talmängderna är 1101, 1106, 1107,

Läs mer

MATEMATIK - grunderna och lite till - Hans Elvesjö

MATEMATIK - grunderna och lite till - Hans Elvesjö MATEMATIK - grunderna och lite till - Hans Elvesjö 1 Största delen av boken ligger på höstadienivå med en mindre del på gymnasienivå Den har ej för avsikt att följa läroplanen men kan med fördel användas

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

Kommunövergripande Mål i matematik, åk 1-9

Kommunövergripande Mål i matematik, åk 1-9 Kommunövergripande Mål i matematik, åk 1-9 Många skolor har lagt ner mycket tid på att omforma de mål som anges på nationell nivå till undervisningsmål på den egna skolan. Tanken är att vi nu ska kunna

Läs mer

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra Matematik 1a Centralt innehåll Metoder för beräkningar med reella tal skrivna på olika former inom vardagslivet och karaktärsämnena, inklusive överslagsräkning, huvudräkning och uppskattning samt strategier

Läs mer

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1. Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet.

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1. Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet. FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet. Detta material är en utskrift av det webbaserade innehållet i wiki.math.se/wikis/forberedandematte Studiematerialet

Läs mer

Matematik. Mål att sträva mot. Mål att uppnå. År 1 Mål Kriterier Eleven ska kunna. Taluppfattning koppla ihop antal och siffra kan lägga rätt antal

Matematik. Mål att sträva mot. Mål att uppnå. År 1 Mål Kriterier Eleven ska kunna. Taluppfattning koppla ihop antal och siffra kan lägga rätt antal Matematik Mål att sträva mot Vi strävar mot att varje elev ska utveckla intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik utveckla sin förmåga att

Läs mer

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs Tolkning Deltagaren skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för vardagsliv och vald studieinriktning

Läs mer

Linjär algebra med tillämpningar, lab 1

Linjär algebra med tillämpningar, lab 1 Linjär algebra med tillämpningar, lab 1 Innehåll Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Uppgifterna i denna laboration täcker kapitel 1-3 i läroboken. Läs igenom motsvarande kapitel. Sitt

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

Matematik. Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det fjärde skolåret. Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det femte skolåret

Matematik. Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det fjärde skolåret. Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det femte skolåret Balderskolan, Uppsala musikklasser 2009 Matematik Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det fjärde skolåret läsa och skriva tal inom talområdet 0 10 000 räkna de fyra räknesätten med olika metoder

Läs mer

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs Tolkning Deltagaren skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för vardagsliv och vald studieinriktning

Läs mer

Matematik 3000 kurs A

Matematik 3000 kurs A Studieanvisning till läroboken Matematik 3000 kurs A Innehåll Kursöversikt...4 Vad skall du kunna efter Matematik kurs A?...5 Så här jobbar du med boken...6 Studieenhet Arbeta med tal...7 Studieenhet Procent...12

Läs mer

Addera. Skriv mellanled. Subtrahera Skriv mellanled. 532-429 1685-496 1 1 10 10 10

Addera. Skriv mellanled. Subtrahera Skriv mellanled. 532-429 1685-496 1 1 10 10 10 Namn: Hela och halva tusental till 00 000 Addera och subtrahera. 000+ 000= 000 000+ 00 = 00 000-000= 000 000-00 = 00 Skriv talen i fallande ordningsföljd. 000 0 00 0 00 0 00 00 0 000 0 00 0 00 0 00 0 00

Läs mer

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet

Läs mer

Jörgen Lagnebo PLANERING OCH BEDÖMNING MATEMATIK ÅK 8

Jörgen Lagnebo PLANERING OCH BEDÖMNING MATEMATIK ÅK 8 PLANERING OCH BEDÖMNING MATEMATIK ÅK 8 TERMINSPLAN HÖSTTERMINEN ÅK 8: 1 1.1 ANDELEN 2 1.2 HÖJNING OCH SÄNKNING 3 FORTS. 1.2 HÖJNING OCH SÄNKNING 4 1.3 HUR STOR ÄR DELEN 1 5 AKTIVITET + 1.4 HUR STOR ÄR

Läs mer

Talmönster och algebra. TA

Talmönster och algebra. TA Talmönster och algebra. TA Diagnoserna i området avser att kartlägga om eleverna kan upptäcka talmönster samt på olika sätt bearbeta algebraiska uttryck och ekvationer. Förståelse av koordinatsystem och

Läs mer

Elever skall i samtliga årskurser ges tillfälle till regelbunden träning i muntliga och skriftliga räknemetoder

Elever skall i samtliga årskurser ges tillfälle till regelbunden träning i muntliga och skriftliga räknemetoder Matematik Elever skall i samtliga årskurser ges tillfälle till regelbunden träning i muntliga och skriftliga räknemetoder Ämnets syfte och roll i utbildningen Grundskolan har till uppgift att hos eleven

Läs mer

ha utvecklat sin taluppfattning till att omfatta hela tal och rationella tal i bråk- och decimalform.

ha utvecklat sin taluppfattning till att omfatta hela tal och rationella tal i bråk- och decimalform. 1 (6) 2005-08-15 Matematik, år 9 Mål för betyget Godkänd Beroende på arbetssätt och arbetsmaterial kan det vara svårt att dela upp dessa uppnående mål mellan skolår 8 och skolår 9. För att uppnå godkänd

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

Repetitionsuppgifter 1

Repetitionsuppgifter 1 Repetitionsuppgifter 1 Beräkna 1 a) 0,5 + 0,7 b) 0,45 + 1,6 c) 2,76 0,8 2 a) 4,5 10 b) 30,5 10 c) 0,45 1 000 3 Vilka av produkterna är a) större än 6 1,09 6 0,87 6 1 6 4,3 6 0,08 6 b) mindre än 6 4 Skriv

Läs mer

Planering för matematik 2a OBS: Provdatumen är endast förslag, kontakta läraren innan du kommer och vill ha prov

Planering för matematik 2a OBS: Provdatumen är endast förslag, kontakta läraren innan du kommer och vill ha prov År Startvecka 2013 2 Planering för matematik 2a OBS: Provdatumen är endast förslag, kontakta läraren innan du kommer och vill ha prov Vecka Lektion (2h) Datum Kapitel Avsnitt 2 Ti 08-jan Kap 1: Räta linjen

Läs mer

(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C

(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C Sats 1.3 De Morgans lagar för mängder För alla mängder A och B gäller att (A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B C A C B C (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B

Läs mer

Repetitionsuppgifter 1

Repetitionsuppgifter 1 Repetitionsuppgifter 1 1 Vilka tal pekar pilarna på? a) b) Skriv talen med siffror 2 a) trehundra sju b) femtontusen fyrtiofem c) tvåhundrafemtusen tre 3 a) fyra tiondelar b) 65 hundradelar c) 15 tiondelar

Läs mer

Proppteori Komplement till propplektionerna

Proppteori Komplement till propplektionerna Innehåll Proppteori Komplement till propplektionerna Petter Helgesson 3 juli 0 0 Kära recce! 7 Uttryck 8 Ekvationer 8.0. Exempel: Lös ekvationen 4x = 6.......... 8. Andragradsekvationer.......................

Läs mer

Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av år 5 enligt nationella kursplanen

Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av år 5 enligt nationella kursplanen MATEMATIK Mål att sträva mot enligt nationella kursplanen Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte. Kurser i ämnet

MATEMATIK. Ämnets syfte. Kurser i ämnet MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

Matematik A Testa dina kunskaper!

Matematik A Testa dina kunskaper! Testa dina kunskaper! Försök i största möjliga mån att räkna utan hjälp av boken, skriv små noteringar i kanten om ni tycker att ni kan uppgifterna, att ni löste dem med hjälp av boken etc. Facit kommer

Läs mer

Välkommen till Borgar!

Välkommen till Borgar! Välkommen till Borgar! Välkommen till Borgar! Vi ser fram emot att snart träffa en ny årskull med naturettor och hoppas att du kommer att trivas mycket bra hos oss. Studier i naturvetenskapliga ämnen förutsätter

Läs mer

MATEMATIK KURS A Våren 2005

MATEMATIK KURS A Våren 2005 MATEMATIK KURS A Våren 2005 1. Vilket tal pekar pilen på? 51 52 53 Svar: (1/0) 2. Skugga 8 3 av figuren. (1/0) 3. Vad är 20 % av 50 kr? Svar: kr (1/0) 4. Hur mycket vatten ryms ungefär i ett dricksglas?

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

Matematikpärmen 4-6. 105 fullmatade arbetsblad i matematik för åk 4-6. Massor med extrauppgifter.

Matematikpärmen 4-6. 105 fullmatade arbetsblad i matematik för åk 4-6. Massor med extrauppgifter. M A T E M A T I K P Ä R M E N - 6 Matematikpärmen -6 Arbetsblad med fri kopieringsrätt! 05 fullmatade arbetsblad i matematik för åk -6. Massor med extrauppgifter. Materialet är indelat i 7 områden per

Läs mer

Repetitionsuppgifter 1

Repetitionsuppgifter 1 Repetitionsuppgifter 1 1 Är talet a) 5 ett heltal b) 9 ett naturligt tal c) π ett rationellt tal d) 5 ett reellt tal 6 2 Rita av figuren och placera in talen rätt talmängd. naturliga tal hela tal rationella

Läs mer

RÖDA TRÅDEN MATEMATIK F-KLASS ÅK

RÖDA TRÅDEN MATEMATIK F-KLASS ÅK RÖDA TRÅDEN MATEMATIK F-KLASS ÅK 5 F-KLASS TALUPPFATTNING ALGEBRA Hur enkla mönster i talföljder och enkla geometriska mönster kan konstrueras, beskrivas och uttryckas Matematiska likheter och likhetstecknets

Läs mer

sex miljoner tre miljarder femton miljoner trehundratusen 6 000 000 520 000 > 50 200 40 000 500 > 40 000 050 5 505 050 < 5 505 500

sex miljoner tre miljarder femton miljoner trehundratusen 6 000 000 520 000 > 50 200 40 000 500 > 40 000 050 5 505 050 < 5 505 500 Namn: Förstå och använda stora tal som miljoner och miljarder Skriv talen med siffror. sex miljoner tre miljarder femton miljoner trehundratusen Läs talen först. Använd sedan > eller > < Vilket tal

Läs mer

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Provet omfattar s. 102-135 (kap 4) och s.183-186, 189, 191, 193, 200-215. Repetition: Repetitionsuppgifter 4, läa 13-16 (s. 255 260) samt andra övningsuppgifter

Läs mer

1 mindre än 2 > 3 = Hur stor andel är färgad? Sätt ut < eller > Storlek på bråk. Skriv på två sätt. Skriv i blandad form. Skriv som bråk.

1 mindre än 2 > 3 = Hur stor andel är färgad? Sätt ut < eller > Storlek på bråk. Skriv på två sätt. Skriv i blandad form. Skriv som bråk. täljare bråkstreck ett bråk nämnare Vilket bråk är störst? Ett bråk kan betyda mer än en hel. Olika bråk kan betyda lika mycket. _ 0 två sjundedelar en hel och två femtedelar > 0 > 0 < > > < > Storlek

Läs mer

ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik

ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik Övergripande Mål: formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, använda och analysera matematiska begrepp och samband

Läs mer

Begrepps- och taluppfattning Du förstår sambandet mellan tal och antal, t.ex. genom att hämta rätt antal föremål till muntligt givna tal.

Begrepps- och taluppfattning Du förstår sambandet mellan tal och antal, t.ex. genom att hämta rätt antal föremål till muntligt givna tal. MATEMATIK ÅR1 MÅL Begrepps- och taluppfattning Kunna talbildsuppfattning, 0-10 EXEMPEL Du förstår sambandet mellan tal och antal, t.ex. genom att hämta rätt antal föremål till muntligt givna tal. Kunna

Läs mer

Studiehandledning. kurs Matematik 1b

Studiehandledning. kurs Matematik 1b Studiehandledning kurs Matematik 1b Innehållsförteckning Inledning och Syfte... 1 Ämnesplan för ämnet matematik... 1 Ämnets syfte... 1 Centralt innehåll... 2 Problemlösning... 2 Taluppfattning, aritmetik

Läs mer

KRAVNIVÅER. Åtvidabergs kommuns grundskolor MATEMATIK

KRAVNIVÅER. Åtvidabergs kommuns grundskolor MATEMATIK KRAVNIVÅER Åtvidabergs kommuns grundskolor MATEMATIK Reviderade april 2009 Förord Välkommen att ta del av Åtvidabergs kommuns kravnivåer och bedömningskriterier för grundskolan. Materialet har tagits fram

Läs mer

STYRANDE SATSER. 1) Skriv ett program som räknar ut hur många år du har till pensionen. Vi räknar här med att man pensioneras det år man fyller 65 år.

STYRANDE SATSER. 1) Skriv ett program som räknar ut hur många år du har till pensionen. Vi räknar här med att man pensioneras det år man fyller 65 år. STYRANDE SATSER 1) Skriv ett program som räknar ut hur många år du har till pensionen. Vi räknar här med att man pensioneras det år man fyller 65 år. Vilket år är du född? 1971 Då har du bara 35 år kvar

Läs mer

Kursplan för Matematik

Kursplan för Matematik Sida 1 av 5 Kursplan för Matematik Inrättad 2000-07 SKOLFS: 2000:135 Ämnets syfte och roll i utbildningen Grundskolan har till uppgift att hos eleven utveckla sådana kunskaper i matematik som behövs för

Läs mer

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Karlstads GeoGebrainstitut Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet Mats Brunström Maria Fahlgren GeoGebra ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Invigning

Läs mer

Talområden. Utvidga talområden: - naturliga tal. - hela tal. -100, -5 0, 1, 2 o.s.v. - rationella tal. - reella tal. π, 2 o.s.v.

Talområden. Utvidga talområden: - naturliga tal. - hela tal. -100, -5 0, 1, 2 o.s.v. - rationella tal. - reella tal. π, 2 o.s.v. TALUPPFATTNING Mål som eleven ska ha uppnått i slutet av det nionde skolåret: Eleven skall ha förvärvat sådana kunskaper i matematik som behövs för att kunna beskriva och hantera situationer samt lösa

Läs mer

SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR

SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR STUDIEAVSNITT 3 SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR I detta avsnitt ska vi titta på några av de skogliga tillämpningar på geometri som finns. SKOGSKARTAN EN MODELL AV VERKLIGHETEN Arbetar man i skogen klarar man sig

Läs mer

REPETITION 2 A. a) Är sträckan proportionell mot tiden? b) Beräkna medelhastigheten under de fem första sekunderna.

REPETITION 2 A. a) Är sträckan proportionell mot tiden? b) Beräkna medelhastigheten under de fem första sekunderna. REPETITION Hur mcket är a) 9 b) 00 0 c) 00 På en karta i skala : 0 000 är det, cm mellan två små sjöar. Hur långt är det i verkligheten? Grafen visar hur långt en bil hinner de se första sekunderna efter

Läs mer

Ämnesplaner för matematik grundskolan enligt Lgr11 och gymnasieskolan enligt Gy11

Ämnesplaner för matematik grundskolan enligt Lgr11 och gymnasieskolan enligt Gy11 Ämnesplaner för matematik grundskolan enligt Lgr11 och gymnasieskolan enligt Gy11 I ämnesplanen för grundskolans matematik har tidigare ering markerats om det är Matematik eller en högre kurs eller momentet

Läs mer

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow Matematik i Gy11 110912 Susanne Gennow Var finns matematik? Bakgrund Nationella utredning 2003 PISA 2009 TIMSS Advanced 2008 Skolinspektionens rapporter Samband och förändring åk 1 3 Olika proportionella

Läs mer

EXTRA UPPGIFTER I C++ PROGRAMMERING-A

EXTRA UPPGIFTER I C++ PROGRAMMERING-A EXTRA UPPGIFTER I C++ PROGRAMMERING-A Uppgifterna är ej sorterade efter svårighetsgrad 1. Gör ett program som kan beräkna arean och omkretsen av en cirkel om användaren (du) matar in cirkelns radie. Skapa

Läs mer

Matematik 1A 4 Potenser

Matematik 1A 4 Potenser Matematik 1A 4 Potenser förklara begrepp t ex. potens, bas, exponent och grundpotensform (Nivå E C) tolka, skriva och räkna med tal i grundpotensform (Nivå E A) helst kunna redogöra för räkneregler för

Läs mer

kan använda sig av matematiskt tänkande för vidare studier och i vardagslivet kan lösa problem och omsätta idéer i handling på ett kreativt sätt

kan använda sig av matematiskt tänkande för vidare studier och i vardagslivet kan lösa problem och omsätta idéer i handling på ett kreativt sätt Lokal pedagogisk planering Matematik år 2 Syfte Undervisningen i matematikämnet ska syfta till att eleverna ska utveckla kunskaper om matematik och visa intresse och tilltro till sin förmåga att använda

Läs mer

Kängurutävlingen Matematikens hopp

Kängurutävlingen Matematikens hopp Kängurutävlingen Matematikens hopp Junior 2010 Här följer svar, rättningsmall och redovisningsblanketter. Förutom svar ger vi också några olika lösningsförslag. De flesta problem kan lösas på flera sätt

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1) a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

Kommentarer till uppbyggnad av och struktur för ämnet matematik

Kommentarer till uppbyggnad av och struktur för ämnet matematik 2011-06-10 Kommentarer till uppbyggnad av och struktur för ämnet matematik Likheter och skillnader jämfört med den gamla kursplanen Ämnesplanen i gymnasieskola 2011 (Gy 2011) har en ny struktur jämfört

Läs mer

Approximation av funktioner

Approximation av funktioner Vetenskapliga beräkningar III 8 Kapitel Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner I allmänhet kan inte ens elementära funktioner

Läs mer

3-5 Miniräknaren Namn:

3-5 Miniräknaren Namn: 3-5 Miniräknaren Namn: Inledning Varför skall jag behöva jobba med en massa bråk, multiplikationstabeller och annat när det finns miniräknare som kan göra hela jobbet. Visst kan miniräknare göra mycket,

Läs mer

Kursplan Grundläggande matematik

Kursplan Grundläggande matematik 2012-12-06 Kursplan Grundläggande matematik Grundläggande matematik innehåller tre delkurser, sammanlagt 600 poäng: 1. Delkurs 1 (200 poäng) GRNMATu, motsvarande grundskolan upp till årskurs 6 2. Delkurs

Läs mer

PROVUPPGIFTER. Steg 9 10 Bråk och procent. Godkänd 9 10 1 Skriv 0,03 i procentform. 2 Skriv i blandad form.

PROVUPPGIFTER. Steg 9 10 Bråk och procent. Godkänd 9 10 1 Skriv 0,03 i procentform. 2 Skriv i blandad form. Steg 9 10 Bråk och procent Godkänd 9 10 1 Skriv 0,03 i procentform. 16 2 Skriv i blandad form. 5 3 Vilket eller vilka av talen är lika med en åttondel? 0,8 2 8 2 16 0,12 1,8 4 Skriv 7 % i decimalform.

Läs mer

Fira Pi-dagen med Liber!

Fira Pi-dagen med Liber! Fira Pi-dagen med Liber! Specialuppdrag från Uppdrag: Matte o Kul-diagram o Geometri med färg UPPDRAG: MATTE Mattedetektiverna Mattespanarna Hej! Den 14 mars är det Pi-dagen (3.14). Det är värt att uppmärksammas

Läs mer

Högskoleprovet Kvantitativ del

Högskoleprovet Kvantitativ del Högskoleprovet Kvantitativ del Här följer anvisningar till de kvantitativa delproven XYZ, KVA, NOG och DTK. Provhäftet innehåller 40 uppgifter och den totala provtiden är 55 minuter. Ägna inte för lång

Läs mer

Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan

Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust

Läs mer

fredag den 11 april 2014 POOL BYGGE

fredag den 11 april 2014 POOL BYGGE POOL BYGGE KLADD Såhär ser min kladd ut: På min kladd så bestämde jag mig för vilken form poolen skulle ha och ritade ut den. På min kladd har jag även skrivit ut måtten som min pool skulle vara i. Proportionerna

Läs mer

Innehållsförteckning. Installation Inledning Pedagogisk bakgrund Arbeta med Matematik Screening Basnivå Kalkylator Inställningar Namn Period.

Innehållsförteckning. Installation Inledning Pedagogisk bakgrund Arbeta med Matematik Screening Basnivå Kalkylator Inställningar Namn Period. 2 Resultat Innehållsförteckning Installation Inledning Pedagogisk bakgrund Arbeta med Matematik Screening Basnivå Kalkylator Inställningar Namn Period Screeningmoment Talserier Jämnt - udda Tal och obekanta

Läs mer

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 8..05 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll och poängsättningar som ges här är inte bindande för studentexamensnämndens bedömning. Censorerna beslutar

Läs mer

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Frågeställning Av en cirkulär pappersskiva kan en cirkelsektor med en viss vinkel klippas bort. Med den resterande sektorn går

Läs mer

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 1.1Introduktion Introduktion Avsnitt 1 handlar till att börja med om hantering av bråkstreck. Samtidigt ges exempel och övningar

Läs mer

Wiggo Kilborn. Om tal i bråkoch decimalform en röd tråd

Wiggo Kilborn. Om tal i bråkoch decimalform en röd tråd Wiggo Kilborn Om tal i bråkoch decimalform en röd tråd Tal i bråkoch decimalform en röd tråd Wiggo Kilborn Nationellt centrum för matematikutbildning Göteborgs universitet 20 Detta verk är licensierad

Läs mer

Matematisk Grundkurs

Matematisk Grundkurs LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematisk Grundkurs för högskoleingenjörer inom byggnadsteknik Peter Holgersson Institutionen för teknik och naturvetenskap Sida 2 Syfte och mål Kursen syftar till att bidra till

Läs mer

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Detta kapitel är en liten matematisk vägledning om att beräkna tillväxttakten i Excel. Här visas exempel på potenser och logaritmer och hur dessa funktioner beräknas

Läs mer

Studiehandledning för Matematik 1a

Studiehandledning för Matematik 1a Studiehandledning för Matematik 1a Innehåll Studiehandledning för Matematik 1a... 1 Inledning och Syfte... 2 Ämne - Matematik... 3 Ämnets syfte... 3 Matematik 1a... 4 Centralt innehåll... 4 Kunskapskrav...

Läs mer

Kompendium i Algebra grundkurs. Rikard Bøgvad

Kompendium i Algebra grundkurs. Rikard Bøgvad Kompendium i Algebra grundkurs Rikard Bøgvad Förord. Detta kompendium innehåller material till första terminens kurs i algebra vid matematiska institutionen vid Stockholms universitet, närmare bestämt

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

MATEMATIK. Läroämnets uppdrag

MATEMATIK. Läroämnets uppdrag MATEMATIK Läroämnets uppdrag Syftet med undervisning i matematik är att utveckla ett logiskt, exakt och kreativt matematisk tänkande hos eleven. Undervisningen skapar en grund för förståelsen av matematiska

Läs mer

DIGITALA VERKTYG ÄR INTE TILLÅTNA. Namn:... Klass/Grupp:...

DIGITALA VERKTYG ÄR INTE TILLÅTNA. Namn:... Klass/Grupp:... DIGITALA VERKTYG ÄR INTE TILLÅTNA Namn:... Klass/Grupp:... Del I 1. Bestäm värdet av 25 3x om x = 2 Svar: (1/0/0) 2. Vilket tal ska stå i rutan för att likheten ska stämma? 2 3 + + 1 =1 Svar: (1/0/0) 9

Läs mer

Del ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan

Del ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan Del ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan 3.5 Matematik Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet

Läs mer

En siffra har olika värde beroende på vilken plats i talet den har. 48 = 4 tiotal 8 ental 327 = 300 + 20 + 7. Alla tal ligger på en tallinje.

En siffra har olika värde beroende på vilken plats i talet den har. 48 = 4 tiotal 8 ental 327 = 300 + 20 + 7. Alla tal ligger på en tallinje. En siffra har olika värde beroende på vilken plats i talet den har. 48 = 4 tiotal 8 ental 7 = + + 7 Siffran 6 betyder 6 tusental = 6 tusental hundratal 4 8 7 6 9 tiotal ental Siffran 9 betyder 9 tiotal

Läs mer

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem Avsnitt Linjära ekvationssystem Elementära radoperationer Gausseliminering Exempel Räkneschema Exempel med exakt en lösning Exempel med parameterlösning Exempel utan lösning Slutschema Avläsa lösningen

Läs mer

Talsystem Teori. Vad är talsystem? Av Johan Johansson

Talsystem Teori. Vad är talsystem? Av Johan Johansson Talsystem Teori Av Johan Johansson Vad är talsystem? Talsystem är det sätt som vi använder oss av när vi läser, räknar och skriver ner tal. Exempelvis hade romarna ett talsystem som var baserat på de romerska

Läs mer

Microsoft Office Excel, Grundkurs 1. Introduktion

Microsoft Office Excel, Grundkurs 1. Introduktion Dokumentation - Kursmaterial Innehåll 1. Introduktion 1.1. Programfönster 1.2. Inskrift och redigering 1.3. Cellformat 1.4. Arbeta med formler Kursövning E1.xlsx Egna Övningar E1E.xlsx - OnePRO IT, Bengt

Läs mer

2012-01-12 FÖRSLAG TILL KURSPLAN INOM KOMMUNAL VUXENUTBILDNING GRUNDLÄGGANDE NIVÅ

2012-01-12 FÖRSLAG TILL KURSPLAN INOM KOMMUNAL VUXENUTBILDNING GRUNDLÄGGANDE NIVÅ Matematik, 600 verksamhetspoäng Ämnet handlar bland annat om mängder, tal och geometriska figurer. Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska

Läs mer

Stavelsen Det talade ordet Läsa via skrivandet Strukturerad inlärning Vi arbetar i studiegrupper, dvs. ettor och tvåor tillsammans i mindre grupper.

Stavelsen Det talade ordet Läsa via skrivandet Strukturerad inlärning Vi arbetar i studiegrupper, dvs. ettor och tvåor tillsammans i mindre grupper. Stavelsen Det talade ordet Läsa via skrivandet Strukturerad inlärning Vi arbetar i studiegrupper, dvs. ettor och tvåor tillsammans i mindre grupper. Lokala mål Tala och lyssna: Jag kan lyssna och förstå

Läs mer

Laboration 1. "kompilera"-ikonen "exekvera"-ikonen

Laboration 1. kompilera-ikonen exekvera-ikonen Programmerade system I1 Syfte Laboration 1. Syftet med denna laboration är dels att göra dej bekant med de verktyg som kan vara aktuella i programmeringsarbetet, dels ge en första inblick i att skriva

Läs mer

Välkomna till Numme och MATLAB, 9 hp, för Materialdesign och Energi&Miljö, årskurs 2

Välkomna till Numme och MATLAB, 9 hp, för Materialdesign och Energi&Miljö, årskurs 2 Välkomna till Numme och MATLAB, 9 hp, för Materialdesign och Energi&Miljö, årskurs 2 Kursen avses ge dig kunskap om numeriska metoder, hur man kan använda dessa genom elementär programmering i MATLAB samt

Läs mer

NpMa3c Muntligt delprov Del A ht 2012

NpMa3c Muntligt delprov Del A ht 2012 Till eleven - Information inför det muntliga delprovet Du kommer att få en uppgift som du ska lösa skriftligt och sedan ska du presentera din lösning muntligt. Om du behöver får du ta hjälp av dina klasskamrater

Läs mer

Om LGR 11 FÖRMÅGOR CENTRALT INNEHÅLL. De matematiska förmågor som undervisningen i åk 1-9 syftar till att eleverna ska utveckla.

Om LGR 11 FÖRMÅGOR CENTRALT INNEHÅLL. De matematiska förmågor som undervisningen i åk 1-9 syftar till att eleverna ska utveckla. Om LGR 11 FÖRMÅGOR FÖRMÅGOR Lgr 11: Genom undervisningen i matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt

Läs mer

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Andreas Axelsson Vi beskriver här de grundläggande teknikerna för att lösa icke-linjära ekvationssystem. Detta är en nödvändig kunskap för att kunna lösa diverse

Läs mer

Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600

Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600 Kurs: Matematik Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600 lust att utforska matematiken som sådan. Matematisk verksamhet är till sin lad till den samhälleliga, sociala och tekniska utvecklingen. Kunskaper

Läs mer