Formelsamling för TMV120 : HT-10

Transkript

1 Formelsamling för TMV120 : HT-10 Följane är en lista över saker man ska kunna till tentan. Det ieala är förstås att man ska förstå allting på listan så att man kan svara på teorifrågor, och att man kan tillämpa kunskapen till att lösa räkneuppgifter, som utgör majoriteten av tentan. Fakta grupperas i fem kategorier : D : efinition. Du ska kunna efinitionen av et nämna begreppet. F : formel. Oftast en algebraisk formel som man ska kunna utantill eller kunna härlea. M : en rutinmeto för att lösa en speciell typ av problem, som man ska kunna tillämpa. S : en sats vars formulering man ska kunna utantill och kunna återge. SS : en sats som man essutom ska kunna bevisa. SM 1.1 Algebraiska räknelagar : kommutativa, associativa och istributiva lagarna (D). Bråkräkningslagarna (S). SM 1.2 SM 1.3 Potenslagarna. Se också lagarna i avsnitt 1.6, 1.7 och

2 SM 1.4 Räknelagar för olikheter. SM 1.5 Absolutbeloppsfunktionen (D). SM 1.9 Stanarfaktoriseringarna (F). Allmänna konjugatlagen (SS). Binomialsatsen / Pascals triangel (S). SM 2.2 Kvaratkomplettering (M). Rötterna till en kvaratisk ekvation (F) Faktorsatsen (SS). Polynomivision (M). ax 2 + bx + c = 0 x = b ± b 2 4ac. 2a SM 2.5 C : P4 Definitionsmäng och väremäng till en funktion (D). Perioisk funktion (D). Jämn och ua funktion (D). Speglingssymmetrier och grafer (M : se boxen på s.29). C : P5 Summa, proukt, kvot, sammansättning av funktioner (D). f(x) = x, f(x) = x (D). f(x) = sgn(x) (D). Styckvis efiniera funktion (D). 2

3 C : P7 En raian (D). π raianer = 180 graer (SS). Cosinus och sinus av en vinkel (D). Definitionerna till e anra trigonometriska funktionerna i termer av sinus och cosinus (D). Graferna till e trigonometriska funktionerna (F). Följane lista av ientiteter hos e trigonometriska funktionerna (SS) : sin(θ + 2π) = sin θ, cos(θ + 2π) = cos θ, sin( θ) = sin θ, cos( θ) = cos θ, cos(π θ) = cos θ, sin(π θ) = sin θ, cos(π + θ) = cos θ, sin(π + θ) = sin θ, cos(π/2 + θ) = sin θ, sin(π/2 + θ) = cos θ, Sinuslagen : cos(π/2 θ) = sin θ, cos 0 = sinπ/2 = 1, cos π/2 = sin 0 = 0, cos π = sin π/2 = 1, cos π/3 = sinπ/6 = 1/2, cos π/6 = sin π/3 = 3/2, cos π/4 = sin π/4 = 1/ 2, sin A a cos 2 θ + sin 2 θ = 1, = sinb b = sin C. c Följane ientiteter ska u kunna men behöver ej kunna bevisa (F/S) : och e speciella fallen (F) cos(a ± B) = cos Acos B sin Asin B, sin(a ± B) = sinacos B ± cos Asin B, tan A ± tan B tan(a ± B) = 1 tan Atan B, cos 2A = cos 2 A sin 2 A = 2cos 2 A 1 = 1 2sin 2 A, 3 sin 2A = 2sin Acos A, tan 2A = 2tan A 1 tan 2 A.

4 Dessutom (F/S) Cosinuslagen : a 2 = b 2 + c 2 2bccos A, b 2 = a 2 + c 2 2accos B, c 2 = a 2 + b 2 2abcos C. C : Appenix I Reella och imaginära elarna till ett komplex tal (D). Aition och multiplikation av komplexa tal (F). Absolutbeloppet av ett komplex tal (D/F). Konjugaten till ett komplex tal (D). Division av komplexa tal (F). Arganiagrammet (D). Argumentet av ett komplex tal (D). Polär representation av ett komplex tal (D). Följane formler ska kunna bevisas (SS) : z 2 = zz, zw = z w, z + w z + w, arg(zw) = arg z + arg w (De Moivres sats). Man ska kunna formulera och tillämpa följane konsekvens av De Moivres Sats (S/F) : (cos θ + isin θ) n = cos nθ + isin nθ. Lay Gausselimination (M). De tre typer av lösningsmäng (S). Unerbestäma och överbestäma system (D). Gränsväre (D) C : 1.2 lim f(x) = L. x a 4

5 Ensiiga gränsvären (D) lim f(x) = L. x a ± Ett existenskriterium (S) lim x a f(x) = L lim x a x a f(x) = lim f(x) = L. + Regler för gränsväreberäkningar : Theorem 2 (S). C : 1.3 Oänliga g.v. (loräta asymptoter) (D) lim f(x) = + x a + (och anra teckenkombinationer). G.v. i oänlighet (D), antingen lim f(x) = + x + (och anra teckenkombinationer) eller (vågräta asymptoter) lim f(x) = L. x ± G.v. i oänlighet för rationella funktioner : texten i marginalen på s.74 (S). C : 1.4 Kontinuitet i en punkt (D). Vänster/höger kontinuitet i en punkt (D). Kontinuitet på en öppen/sluten intervall (D). Theorems 6,7 (S). Borttagbar singuläritet/iskontinuitet (Removable singularity/iscontinuity) (D). Theorem 9 : Mellanligganeväresatsen (S). Theorem 8 : Extremväresatsen (S). C : 2.1 Tangentlinjen till en kurva i en punkt (D). Normallinjen till en kurva i en punkt (D). 5

6 C : 2.2 Derivatan till en funktion i en punkt (D/F). Deriverbarhet på en öppen/sluten intervall (D). (s.102) Härlening från själva efinitionen av erivata av följane formel (SS) : Leibniznotationen (D). x xn = nx n 1 (n N {0}). (1) C : 2.3 Theorems 2,3,4,5 : Reglerna för erivering av summor, proukter, reciprocals och kvot (SS). Utvigning av (1) till alla heltal n (via reciprocal rule) (SS). Theorem 1 : Deriverbarhet Kontinuitet (SS). Theorem 6 : Kejeregeln (F/S). Theorem 8 : Ett speciellt g.v. (SS) C : 2.4 C : 2.5 sin x lim = 1. (2) x 0 x Theorem 9 : Härlening från (2) och efinitionen av erivata att (SS) sin x = cos x. (3) x Theorem 10 och boxen p s.123 : Härlening från (2), (3) och eriveringsreglerna av erivatorna till e anra trigonometriska funktionerna (SS). 6

7 C : 2.8 Växane/avtagane funktion i en punkt / på en intervall (D). Theorem 15 : Rolles sats (SS). Theorem 11 : Meeleväresatsen (SS). Theorem 12 : f > 0 f växane, mm (SS). C : 3.1 Ett-till-ett (injektiv) funktion (D). Inversfunktion (D). Grafen till en inversfunktion (M). Boxen p s.166 : Egenskaper hos inversfunktioner (F/S). Derivering av inversfunktioner via kejeregeln (SS) : [f 1 (x)] = Allmänna potenslagarna s.170 (S). Logaritmen (D) : 1 f [f 1 (x)]. (4) C : 3.2 log a x = y ef a y = x. C : 3.3 Logaritmlagarna s.171 (SS : ska kunna härleas från potenslagarna). Theorem 1 : Härlening (SS) av logaritmens erivata från (4) ovan och (6) nean x log a x = Logaritmisk erivering (M). Definitionen av Eulertalet (D) 1 x(ln a), speciellt C : 3.4 x ln x = 1 x. e = lim n (1 + 1/n)n (5) 7

8 och följaktligen (SS) e x = lim n (1 + x/n)n. Obs! Eq. (5) är en sats i boken (Theorem 6), inte en efinition. Detta pga att boken börjar me logaritmen och efinierar exponentialen som inversen till logaritmen, mean att jag gjore tvärtom på mina föreläsningar. Derivering av allmänna potensfunktioner (S) : x ax = a x ln a, speciellt Theorems 4,5 (SS). Följane stanargränsvären (SS) : x ex = e x. (6) e x 1 ln(1 + x) lim = lim = 1. x 0 x x 0 x C : 3.5 Definitionsmängerna, väremängerna och graferna till e invers-trignometriska funktionerna (S). Följane erivator m.h.a. (4) och formlerna från avsnitt 2.5 (SS) : 1 x sin 1 x =, 1 x 2 1 x cos 1 x =, 1 x 2 x tan 1 x = x 2. C : 4.4 Absolut max/min (D). Lokal max/min (D). Kritisk punkt (D). Singulär punkt (D). Theorem 7 : Första erivatans test (S). 8

9 C : 4.5 Konkav upp/ner (D). Inflektionspunkt (D). Theorems 9,10 (S). C : 4.6 Lorät/vågrät/sne asymptot (D). Asymptotisk uppförane hos rationella funktioner (S : boxen på s.247, som sammanfattar materialet om rationella funktioner från Kapitel 1). C : 10.1 Cartesiskt koorinatsystem (D). Högerhänt system (D). Avstånsformeln via Pythagoras i två och tre imensioner (SS). Ekvationerna till en sfär och en cyliner (F). C : 10.2 Aition av vektorer (D/F). Stanarbas { i, j, k} m.a.p. ett Cartesiskt koorinatsystem (D). Skalärmultiplikation (D/F). Egenskaper (S) hos skalärproukten (s.574, efter Definition 3). Skalär/vektor projektion (D/F). C : 10.3 Vektor/kryss proukt (D/F). Egenskaper (S) hos vektorproukten (boxen på s.579). Skalärtrippelproukt (D), tolkning som volymen av ett parallelopipe (S) och beräkning som en eterminant (F). C : 10.4 Ekvationen (SS) till ett plan (boxen p s.586). Parametriska (F) ekvationen till en linje i sina olika former (boxar p s ). Avstånet mellan en punkt och ett plan (SS). Avstånet mellan en punkt och en linje (SS). 9