KAPITEL 8. Absolutbelopp. 1. Absolutbelopp.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "KAPITEL 8. Absolutbelopp. 1. Absolutbelopp."

Transkript

1 KAPITEL 8 Absolutbelopp. 1. Absolutbelopp. Vi har redan introducerat absolutbelopp av komplexa tal: Kom ihåg att z är avståndet från z till origo i det komplexa talplanet. Om nu z = a 2 R ligger på den reella talaxeln, d v s är ett reellt tal, så är a förstås avståndet till origo längs den reella talaxeln (vi kan knappast korta ner avståndet med en utflykt i det komplexa talplanet). Alltså är t ex 3 =3ochmergenerellt,oma 0såär a = a. För negativa tal som 3harvi 3 =3, eller 5 =5. Det är alltså lätt att beskriva vad det innebär att ta absolutbeloppet av ett reellt tal som vi möter ansikte mot ansikte: vi plockar bort ett eventuellt minustecken. Hur ska vi formulera detta? Vi tittar på fallet att a är negativt igen. Då är a = b, där b är positiv. Avståndet från a till origo är just b, såviharatt a = b. Itermerava är b = a, så uttryckt så här har vi har faktiskt klistrat på ett minustecken a = b = a. Alltså är t ex 3 = ( 3) = 3. Vi skulle alltså kunna definiera absolutbeloppet för reella tal direkt, utan att bekymra oss om avstånd mellan komplexa tal, på följande sätt. Definition 20. Om a är ett reellt tal, så är 8 >< a om a 0, a = 0 om a =0 >: a om a apple 0. Observera att fallet a =0täcks av alla tre rader i definitionen, men de ger allihop samma värde: 0 = 0 = 0. Vi ritar upp grafen y = x till absolutbeloppet, som funktion av x. Observera att funktionsvärdena ju är längder av sträckor, och därmed aldrig negativa. Därför ligger grafen i övre planhalvan. Observera vidare att x = x, och att detta svarar mot att grafen är symmetrisk kring y-axeln. Formen på absolutbeloppets definition, med olika fall kan verka främmande, om man vill att ens funktioner ska ha stadiga formler typ x 2 (e x +23)somdefinition,menär inte konstigare än att det kostar olika för icke-studenter och studenter att åka buss. Först avgör ju biljettförsäljaren om x är en student eller inte, sedan bestäms biljettpriset B(x) på basis av detta. Det är alltså även där en uppdelning i fall. Uppdelningen i fall är ofta väsentlig i lösningen av problem som innehåller absolutbelopp. 114

2 1. ABSOLUTBELOPP Figur 1. Grafen y = x Exempel 87. Lös ekvationen x 3 +2x =0. Lösning: För att kunna räkna på detta vill vi gärna bli av med absolutbeloppstecknen. Det kan vi göra om vi vet tecknet på x 2, eftersom det följer ur definitionen att ( x 3 om x 3 0 () x 3, x 3 = (x 3) om x 3 apple 0 () x apple 3. Den punkt x där vi växlar rad i denna definition av x 3 är x =3.Första raden i definitionen används när x 3, andra raden när x apple 3. För att göra sig av med absolutbelopp bör vi alltså dela upp lösningen i flera fall. Fall 1: Vi letar lösningar som uppfyller x 3. I detta intervall är x 3 +2x = x 3+2x =3x 3. Ska x 3 +2x vara 0 så är 3x 3=0 () x =1. Det är bara det att vi tittar just nu efter lösningar som är 3, och det är inte 1. Alltså är detta inte en giltig lösning! Vi drar slutsatsen att ekvationen inte har några lösningar x som är 3. Fall 2: Vi letar nu lösningar som uppfyller x apple 3. Då är x 3 +2x = (x 3) + 2x = x +3, och om detta ska vara 0 så är x +3=0 () x = 3. Denna lösning uppfyller verkligen villkoret x apple 3, och är därmed en lösning till den ursprungliga ekvationen. Vi kan se detta fenomen på grafen y = x 3 +2x. Vi letar nollställen till funktionen, d v s punkter där grafen skär x-axeln. Till vänster om x =3, sammanfaller grafen med linjen y = x +3 och de har det gemensamma nollstället x = 3. Till höger om x = 3, sammanfaller grafen y = x 3 + 2x istället med linjen y = 3x 3 (som syns streckad i bilden). Denna linje skär x-axeln i x =1, men denna punkt ligger inte på grafen y = x 3 +2x.

3 ABSOLUTBELOPP Figur 2. Grafen y = x 3 +2x och linjen y =3x 3(streckad) -2 Nu ett lite mer involverat exempel: Exempel 88. Lös ekvationen x 1 + x +1 =3. Lösning: För att kunna tillämpa våra kunskaper om lineära ekvationer på detta vill vi, som i förra exemplet, gärna bli av med absolutbeloppstecknen. Det kan vi göra om vi vet tecknet på både x 1 och x +1. Brytpunkterna när vi växlar rad i definitionen av x 1 är x 1=0 () x =1, och för x +1 är den x +1=0 () x = 1. Vi kan alltså dela upp lösningen i tre fall, som svarar mot de tre intervall som dessa två punkter delar in reella talaxeln i. I vart och ett av intervallen kan vi ersätta absolutbeloppen med ett enda lineärt uttryck. Fall 1: Vi letar lösningar som uppfyller x 1. Dåär både x +1 och x 1 positiva, så att x +1 = x +1, och x 1 = x 1. Alltså reduceras vänstra ledet till x 1 + x +1 =(x 1) + (x +1)=2x och vi söker lösningen till ekvationen 2x =3. Svaret är x =3/2 och eftersom 3/2 1 så är detta alltså en giltig lösning. Fall 2: Vi letar lösningar som uppfyller 1 apple x apple 1. Då är x 1 negativ och x 1 = (x 1), medan x +1 fortfarande är positiv och alltså x +1 = x +1. Alltså reduceras vänstra ledet till x 1 + x +1 = (x 1) + (x +1)=2.

4 1. ABSOLUTBELOPP. 117 Likheten 2=3är förstås nonsens; hur vi än väljer x så kan vi aldrig få 2=3. Det blir inga lösningar i detta fall. Fall 3: Vi letar lösningar som uppfyller x apple 1. Dåär både x 1 och x +1 negativa och x 1 = (x 1), och x +1 = (x +1). Därmed reduceras vänstra ledet till x 1 + x +1 = (x 1) (x +1)= 2x och vi letar efter lösningar till 2x =3 () x = 1.5. Denna lösning är giltig eftersom den är mindre än 1. Ekvationen har alltså två lösningar: x = ±3/ Figur 3. Grafen y = x 1 + x +1 och linjen y =3. Vi kan studera grafen y = x 1 + x+1 för att se hur detta syns på den. Denna gång är vi ute efter x-koordinater för skärningen med den horisontella linjen y =3, streckad i figuren. Vi fann de två värden x = ±3/2 som också är uppenbara i figuren Tänk nu att vi skjuter linjen y =3uppåt eller nedåt, d v s vi tittar på linjen y = b för varierande b. När b =3hade vi två skärningspunkter med grafen, d v s två lösningar till x 1 + x+1 = b. Om b sedan ökar från b =3har vi fortfarande två lösningar, liksom också i början när b minskar. Men när så b =2har vi plötsligt oändligt många lösningar, och sedan när b<2 så finns det inga lösningar alls. Detta illustrerar olika fall som kan förekomma. Ett ännu mer involverat exempel. Exempel 89. Lös ekvationen x 2 + x +1 =3. Lösning: Igen är idén att bestämma intervall där vi kan ersätta alla absolutbeloppen med bestämda lineära uttryck. Startande inifrån i uttrycket, ser vi först att x växlar lineärt uttryck i x =0, ty om x 0 så är ju x = x, medan om x apple 0 så är x = x. I det första fallet är alltså x 2 = x 2, som i sin tur växlar definitionsrad i x =2.

5 ABSOLUTBELOPP. När x apple 0 är x 2 = x 2 som växlar definitionsrad i x = 2. Det sista uttrycket i ekvationen x +1 växlar definitionsrad i x = 1. Vi har alltså identifierat punkter 2, 1, 0, 2, så att i intervallen mellan dem kan vi ersätta hela x 2 + x +1 med ett enda lineärt uttryck. Det ger oss 5 fall. Vi kan se detta i bilden nedan av grafen y = x 1 + x +1. Den består av 5 bitar av olika linjer, i dessa olika intervall. Fall 1: Vi letar lösningar som uppfyller x 2. Dåär x 2 + x + 1 = 2x 1, och enda lösningen till 2x 1=3är x =2. Denna lösning uppfyller x 2 och är alltså en giltig lösning. Fall 2: Vi letar lösningar som uppfyller 0 apple x apple 2. I detta intervall är x 2 + x+1 = x 2 + x +1 = (x 2) + (x +1)=3, d v s den är konstant. Alltså är alla punkter i intervallet lösningar. Fall 3: Vi letar lösningar som uppfyller 1 apple x apple 0. I intervallet är x 2 + x +1 = x 2 + x +1 =(x +2)+(x +1) = 3x +3, och enda lösningen till 3x +3 = 3 är x =0. Fall 4: Vi letar lösningar som uppfyller 2 apple x apple 1. Då är x 2 + x +1 = x 2 + x +1 =(x +2) (x +1)=1, och det finns inga lösningar till 1=3. Fall 5: Vi letar lösningar som uppfyller x apple 2. Då är x 2 + x +1 = x 2 + x +1 = (x +2) (x +1)= 2x 3, och lösningen x = 3 till 2x 3=3 ligger också i rätt intervall. Sammanfattningsvis har vi visat att den ursprungliga ekvationen löses av alla x, som antingen är 3 eller ligger i intervallet 0 apple x apple Räkneregler. Vi har tidigare visat vissa räkneregler för absolutbeloppet av komplexa tal. De är också lätta att visa direkt från definitionen som vi gav nyss. De två sista reglerna i satsen nedan dyker ofta upp i räkningar. Sats 48. Antag att x, y 2 R. Då är (1) x 0, med likhet bara om x=0, (2) xy = x y, (3) x/y = x / y, där y 6= 0 (4) x = x, (5) y x = x y. Exempel 90. Lite eftertanke ger att räknereglerna också kan användas när vi har fler tal. T ex så har vi ( 2.1) 2 ( 0.5) = = =2.1.

6 2. RäKNEREGLER Figur 4. Grafen y = x 2 + x +1 och linjen y =3. På liknande sätt generaliserar vi fräckt (2) ovan till p p ( 2) 20 = 2 20 =( p 2) 20 =2 10 = Att beskriva intervall med absolutbelopp. Om a, b 2 R så är a b avståndet mellan a och b på reella tallinjen. Detta är en viktig och användbar intuition och förklarar till en del varför absolutbelopp så ofta dyker upp. Avståndet mellan t ex 2och 3 är 3 ( 2) =5. Det kvittar i vilken ordningen vi skriver dem, så vi har a b = b a. Exempel 91. Bestäm alla x för vilka x 17 =3. Lösning: vi kan beskriva detta i ord som att vi söker punkter x vars avstånd till 17 på tallinjen är 3. Uppenbarligen är x =17+3=20en lösning, liksom 17 3=14. Mer generellt har vi i figuren nedan att x a = inträ ar precis när avståndet från x till a är, d v s precis för x = a +, respektive x = a. Då har vi förflyttat oss från a med avståndet antingen åt höger eller vänster. Intervallet mellan dessa två punkter består av de punkter vars avstånd till a är mindre än eller lika med, d v s de punkter som uppfyller x a apple, ochär ett behändigt sätt att beskriva intervall på. a - e a a + e Figur 5. Intervallet {x 2 R : x a apple }.

7 ABSOLUTBELOPP. Exempel är ett närmevärde med 3 signifikanta si ror på. Att säga att de tre si rorna är signifikanta innebär (åtminstone) att hävda att 3.14 apple = 0.005, eller att apple apple 3.145, d v s att ligger nånstans i ett visst intervall, symmetriskt kring Absolutbelopp och kvadratrötter. För att återgå till komplexa tal visade vi med Pythagoras formel att z = p zz. För reella tal a 2 R, som ju uppfyller ā = a säger detta a = p a 2 Vi kan förstås se detta direkt från Definition 20: Poängen är att kvadratroten ur ett positivt tal b alltid är den positiva lösningen till x 2 = b. Om nu b = a 2, så har ekvationen x 2 = a 2 de två rötterna ±a, och kvadratroten är alltså den av dessa som är positiv. Men detsamma är ju sant för a, och nyttigt att ha som reflex: a är det av de två talen a, a som är positivt Exempel 93. Förenkla p (x 1) 2. x 1 Lösning: Det är frestande att dra kvadratroten ur kvadraten: p (x 1) 2 = x 1 och få att kvoten är 1. Men detta är fel, ty p (x 1) 2 = x 1 är bara sant om x 1 0. Om istället x 1 < 0 så är p (x 1) 2 = (x 1), och kvoten blir 1. Ett bättre sätt att förenkla är alltså att skriva p (x 1) 2 x 1 = x 1 x 1 (Uttrycket är odefinierad om x = 1.) ( ( (x 1)/(x 1) om x>1 1 om x>1, (x 1)/(x 1) om x<1 1 om x<1. 4. Triangelolikheten. Ett resultat som var lätt att motivera geometriskt i det komplexa talplanet var triangelolikheten: z + u apple z + u, som ju egentligen bara sade att summan av längderna av två sidor i en triangel är större än längden av den tredje. Triangelolikheten är förstås sann för reella tal också, och vi kan bevisa den direkt, som en övning att hantera olikheter.

8 4. TRIANGELOLIKHETEN. 121 Sats 49. Om a, b 2 R, så a + b apple a + b. Bevis. Vi utnyttjar att x är det positiva av de två talen a, a, speciellt det största av dem. Vi har alltså att a apple a och b apple b, vilket ger att a + b apple a + b. Dessutom är a apple a, och tillsammans med att b apple b får vi att Men a + b är antingen a + b eller Alltså följer satsens olikhet. (a + b) apple a + b. (a + b) ochbägge har vi visat är mindre än a + b. En tillämpning av triangelolikheten på a b = a +( b) ger varianten att a b apple a + b = a + b. Idén med satsen och dess variant är att vi vill uppskatta storleken på a ± b, i termer av storleken av a och b och vi kan inte göra en bättre uppskattning om vi har att göra med skillnaden a b än om vi arbetar med a + b. Exempel 94.. Antag att vi i ett experiment mäter a respektive b och får närmevärdena ã =2.10 respektive b =3.20, med en skattad osäkerhet av högst I själva verket är vi intresserade av c =17a + b. (Låter lite som en chick-lit roman, eller hur?) Vad är nu noggranheten i närmevärdet c =17ã + b =28.40? och Lösning: Vad vi vet, översatt i absolutbelopp är att och vi vill skatta c får vi a ã apple 10 2 b b apple 10 2, c. Tillämpar vi triangelolikheten och räkneregler för absolutbelopp, c c = 17(a ã)+(b b) apple 17(a ã) + (b b) apple apple =0.18. Eller annnorlunda uttryckt så ligger c i intervallet c apple 0.18 () apple c apple Osäkerheten i mätningen har alltså fortplantat sig och vuxit rejält.

9 ABSOLUTBELOPP Omvända triangelolikheten. Ibland kan man vara intresserad av att uppskatta a + b med en undre gräns i termer av a och b istället för en övre gräns som triangelolikheten ger. Det bästa vi kan göra är den här lite sunkiga s k omvända triangelolikheten. Sats 50. Om a, b 2 R så Bevis. Skriv a =(a a b apple a + b. b)+b och tillämpa triangelolikheten a = (a b)+b apple a b + b. På samma sätt fås b = (b a)+a apple a b + a. (Kom ihåg att b a = a b.) Denförsta olikheten innebär (subtrahera b från båda leden) att a b apple a b, och ur den andra fås på samma sätt, genom subtraktion med a, att b a apple a b. Alltså är både a b och b a = ( a b ) mindreän a b. Men ett av dessa tal är lika med a b, så vi har visat att a b apple a b. Byter vi nu b mot b, såfår vi olikheten i satsen. 5. Fler exempel på livet med absolutbelopp. Nu i komplexa talplanet. Geometriskt är livet bara värt att leva i C. Exempel 95. Bestäm vilka z 2 C som uppfyller z +1+i =2. Lösning: Kom ihåg att avståndet mellan två komlexa tal i talplanet ges av absolutbeloppet av deras skillnad. Genom att skriva ekvationen som z +1+i = z ( 1 i) =2, ser vi att vi kan uttrycka villkoret som att avståndet från z till 1 i ska vara precis 2. Svaret är alltså en cirkel i komplexa talplanet med radie 2 och centrum 1 i. En variation: Exempel 96. Bestäm vilka z 2 C som uppfyller 13z +1+i =2. Lösning: Genom att skriva om: 13z +1+i = 13(z ( 1 i) =13 z 13 ( 1 i) =2 13

10 5. FLER EXEMPEL På LIVET MED ABSOLUTBELOPP. NU I KOMPLEXA TALPLANET. 123 och dela med 13 får vi det ekvivalenta villkoret ( 1 i) z = , som uttrycker villkoret att z ligger på en cirkel med radie 2/13 och centrum 1/13 i/13. Exempel 97. Bestäm vilka z 2 C som uppfyller Lösning: Genom att skriva om får vi ekvationen z +1 = p 2 z + i. z +1 z + i = p 2. Eftersom detta är positiva tal, är denna ekvation ekvivalent med Sätter vi z = x + yi så får vi ( z +1 ) 2 =2( z + i ) 2. (x +1) 2 + y 2 =2(x 2 +(y +1) 2 ) () x 2 2x + y 2 +4y +1=0. Kvadratkomplettera nu det sista uttrycket: (x 2 2x)+(y 2 +4y)+1 = (x 1) 2 1+(y +2) = 0 () (x 1) 2 +(y +2) 2 =4. Men det sista uttrycket är precis z (1 2i) 2, så ekvationen svarar mot cirkeln med radie 2 och centrum 1 2i. z (1 2i) =2, Man tröttnar ibland på cirklar och vill ha linjer: Exempel 98. Bestäm vilka z 2 C som uppfyller z +1 = z + i. Eftersom detta är positiva tal, är denna ekvation ekvivalent med Sätter vi z = x + iy så får vi ( z +1 ) 2 =( z + i ) 2. (x +1) 2 + y 2 = x 2 +(y +1) 2 () 2x 2y =0. Svaret är alltså linjen Re z = x = y =Imz. Slutligen leker vi lite. Exempel 99. Titta på de två sista exemplen, som specialfall av en allmännare ekvation z u = R z w, där u och v är två fixa komplexa tal, och K är ett reellt tal. Gör tankeexperimentet att vi upprepar räkningarna ovan. Det som i det sista exemplet gjorde att x 2 och y 2 -termerna försvann var att K =1(kolla!). Detta gjorde att vi fick en linje. (Vi kunde förstås också ha fått en ekvation 0 = 0 men det låtsas vi inte om). Är det så

11 ABSOLUTBELOPP. att x 2 och y 2 -termerna inte försvinner så har de samma koe cient och vi får efter en tänkt kvadratkomplettering ekvationen för en cirkel (det skulle kunna gå fel och vara en radie som ska vara ett negativt tal och då finns det inga lösningar, men det fallet struntar vi i). Alltså har vi (någorlunda) utan att jobba analyserat vad som kan hända, och ser att vi (utom dom där degenerade fallen när vi inte har några lösningar alls eller allt är lösningar) får cirklar eller linjer som lösningar till ekvationen. 6. Övningar. (1) Bestäm (a ett reellt tal) f) p ( a) 2. a) 5, b) 5, c) p 5 2, d) p ( 5) 2, e) p a 2, (2) Lös ekvationerna (x antas vara ett reellt tal) a) x = 3, b) x = 0, c) x = 3, d) x 1 =3, e) 2x 1 =3, f) 1 x =3. (3) Rita mängden av de reella, respektive komplexa tal för vilka a) x apple 3, b) x 2, c) x 1 apple 5, d) x +2 < 3. (4) Rita graferna a) y = x, b) y = x 1, c) y = x +3. (5) Rita graferna a) y = x +2x, b) y = x 1 x, c) y = x +3 2x. (6) Lös ekvationerna a) x x =2, b) x 2 +2 x 3=0, c) x 2 +2 x+1 1=0. (7) Lös ekvationen x +1 + x 1 =4 (8) Rita i det komplexa talplanet de z som uppfyller z +2 =1. (9) Bestäm alla komplexa tal z för vilka z +2 = z 2. (10) Bestäm alla komplexa tal z för vilka z 1 =2 z +1. (11) Bestäm alla komplexa tal z för vilka 1/z 1/4 =1/4.

12 KAPITEL 9 Olikheter. 1. Olikheter med obekanta behandlas som ekvationer... nästan. En olikhet som x +2apple 5, där problemet är att bestämma de x 2 R för vilka olikheten är sann, kan vi förstås lösa genom att dra bort 2 från bägge sidor: x +2apple 5 () (x +2) 2 apple 5 2 () x apple 3. Principen, som vi använder, kan vi uttrycka mer abstrakt som att a apple b () a + c apple b + c, där a, b, c 2 R. Detta är samma teknik som för lineära ekvationer. På liknande vis kan vi lösa 2x 3, genom att multiplicera med 1/2 på bägge sidor: Mer generellt är principen att 2x 3 () 2x 3 () x 3 2. a apple b () ac apple bc, där a, b, c 2 R och, OBS! c>0. (c 6= 0för att vi ska få en ekvivalent olikhet.) Här kommer en skillnad gentemot ekvationslösning vi kan inte multiplicera med vad som helst och få en ekvivalent olikhet, utan endast med positiva tal. Titta på ett exempel: vi har att 2 0, men det är inte sant att 2 ( 1) = 2 0 ( 1) = 0. Men lugn, det är inte kaos. Mer abstrakt igen, det som händer när vi multiplicerar med ett negativt tal är att olikheten byter riktning: a apple b () ac bc, där a, b, c 2 R och, OBS! c<0. Exempel 100. Vi kan se varför i ett exempel. Antag att a apple b, och att vi vill multiplicera bägge sidor med med c = 2. Då har vi först 2a apple 2b. Genom att sedan dra bort först 2b och därefter 2a från bägge sidor får vi 2a apple 2b () 2a 2b apple 0 () ( 2)b apple ( 2)a () ( 2)a ( 2)b. 125

13 OLIKHETER. Alltså har vi visat a apple b () ( 2)a ( 2)b, där a, b 2 R. Kontentan är att om vi alltså bara håller reda på tecknet på allt vi multiplicerar (eller delar med) och byter riktning på våra olikheter, när det är minus, så kan vi lösa olikheter precis som ekvationer. Exempel 101. Bestäm för vilka x som 3e x xe x < 5e x. Lösning: 3e x xe x < 5e x () (3 x)e x < 5e x () 3 x<5, eftersom e x > 0 alltid är positivt och skilt från 0, så att vi kan dela med det. Vidare är 3 x<5 () x<2 () x> 2, (vi drog bort 3 från bägge sidor, och multiplicerade sedan med 1 och bytte riktning på olikheten.) Svaret är alltså att olikheten är sann för alla x> Tallinjen. För att få en intuitiv bild över tal och olikheter är tallinjen oslagbar. Olikheten a apple b tolkas som att punkten som svarar mot talet a ligger till vänster om punkten som svarar mot talet b på tallinjen. För att få a + c från a flyttar vi punkten a precis c steg från a, antingen åt höger, om c är positivt, eller åt vänster om c är negativt. Vi kan alltså tolka addition som förflyttning av punkter på tallinjen. Vi kan på den göra oss en bild av varför a apple b () a + c apple b + c, där a, b, c 2 R. Det säger ju bara följande: om a ligger till vänster om b, och vi samtidigt flyttar dessa punkter c steg, och får a + c respektive b + c, så liggger a + c till vänster om b + c. Vi kan också skapa konkreta bilder av abstrakt nonsens som a apple b och b apple c =) a apple c. Detta säger ju bildmässigt bara att om a ligger till vänster om b och b ligger till vänster om c, så ligger a till vänster om c. E ektiv problemlösning handlar mycket om att skapa sig enkla intuitiva bilder som dessa, ett slags principskisser över hur situationen ser ut. 2. Teckenstudium. Antag att vi vill veta när funktionen f(x) =(x 1)(x +2)är positiv, d v s vi vill ta reda på för vilka x som (x 1)(x +2) 0. Vi vet ju att produkten av två positiva liksom två negativa tal är positiv, och att produkten av ett positivt och ett negativt tal är negativ. Om vi alltså vet tecknet på respektive faktor i (x 1)(x +2) kan vi lösa problemet.

14 2. TECKENSTUDIUM. 127 Men det är lätt att se: faktorn x 1 är 0 när x =1,positivnär x>1, samt negativ när x<1. Den andra faktorn x +2är 0 när x = 2, positiv när x> 2, samt negativ när x< 2. Vi kan alltså dela upp tallinjen i tre intervall, med egenskapen att vi vet tecknet på faktorerna och därmed funktionen f(x) ivarjeintervall.inedanståendetabell är den översta linjen en tallinje, med x = 2ochx =1markerade.Varjeradunder tallinjen hör till en funktion, och på den raden under varje punkt på tallinjen (nåja, inte alla punkter...) står tecknet av radens funktion i den punkten. x -2 1 x+2: x-1: f(x)= (x-1)(x+2): Ur de två första radernas tecken vid ett visst x kan vi få produkten f(x):s tecken. Det ger tecknena i f(x):s rad. Från tabellen kan vi sedan avläsa att f(x) 0 () x apple 2ellerx 1. Vi ser samma resultat i grafen y = f(x), som ligger ovanför x-axeln precis när funktionen är positiv Figur 1. Grafen till y =(x +2)(x 1). Samma teknik fungerar när det är fråga om division eller flera faktorer. Det viktiga är då hur många negativa tal vi behöver multiplicera eller dela för att få vår funktion. Är det ett udda antal så är produkten negativ, medan om det är ett jämnt antal så är den positiv.

15 OLIKHETER. Exempel 102. När är funktionen f(x) = (x 1)(x +1)ex > 0? (x 3)(x +5) Lösning: Vi har fem faktorer. De fyra lineära x +5,x+1,x 1, x 3 växlar tecken när x = 5, x = 1, x =1, respektive x =3. Den femte e x är alltid positiv och spelar därför ingen roll för resultatet (Vi kan dela med den och få en ekvivalent olikhet.). Vi ritar upp en tabell över faktorernas tecken, och fyller sedan i deras tecken: x x+5: x+1: x-1: x-3: f(x): + +? ? Den sista raden får vi genom att på en viss plats står det + om det är ett jämnt antal minustecken i kolonnen ovanför, och - om det är ett udda antal. Vid x = 5 och x =3är funktionen inte definierad, något som vi markerat med?. Ur tabellen kan vi slutligen avläsa att f(x) > 0 precis när x< 5, eller 1 <x<1, eller x>3. 3. Fler exempel. Exempel 103. När är 1 (x 2)(x 4) 1 (x 1)(x 2)? Lösning: Vi kan lösa detta genom att skriva om olikheten så att det blir en fråga om teckenstudium: Olikheten är ekvivalent med att r(x) 0, där 1 r(x) = (x 2)(x 4) x 1 = (x 1)(x 2)(x 4) 3 = (x 1)(x 2)(x 4). 1 (x 1)(x 2) = x 4 (x 1)(x 2)(x 4) =

16 x x-1: x-2: x-4: r(x): ? +? - - -? FLER EXEMPEL. 129 Ur detta ser vi att svaret är 1 <x<2 eller x>4. (Observera att för x =1, 2, 4 är åtminstone en av kvoterna inte definierad, så dessa punkter ingår definitivt inte.) Vi ser samma resultat i grafen y = f(x), som ligger ovanför x-axeln precis när funktionen är positiv: Figur 2. Grafen till y = 1 (x 2)(x 4) 1 (x 1)(x 2). Varning: Idettaexempel, skullemanocksålätt (men felaktigt) kunnat tänka så här: multiplicera bägge sidor med (x- 2)(x- 1)(x- 4) så att vi blir av med bråkskräpet. Det ger x 1 x 4 () 3 0, vilket alltid är sant, och därför är olikheten också sann. Problemet med detta resonemang är att tecknet på det som vi multiplicerar med, varierar med x, och är speciellt ibland negativ, och därför får vi inte en ekvivalent olikhet - kom ihåg diskussionen i första sektionen.

17 OLIKHETER. Ibland kan man förstås gå rakt på: Exempel 104. När är x 2 x ? Lösning: Eftersom x 2 0 för alla x, så är x > 0. Alltså kan vi multiplicera med x 2 +4, och får den ekvivalenta olikheten x 2 0 () x Olikheten mellan det aritmetiska och geometriska medelvärdet. Slutligen ska vi beskriva en användbar olikhet, en av många. Att summera ett antal tal och dela med antalet tal är ett sätt att få fram ett medelvärde. Men det finns andra. Texkanmanviktadeolikatalen: M(a 1,a 2 )=0.9a a 2. Orsaken kan vara att man anser att mätvärdet a 1 från en viss källa är 9 gånger mer troligt att vara korrekt, än från den mer slarviga och kanske suspekta källan som ger a 2. Då skulle man kunna välja att bara ange a 1, men då slänger man bort information, en av kyrkans sju dödssynder (bland de övriga märks att dela med 0, och ha åtrå efter sin nästas datoralgebrassystem). Istället tilldelar man alltså den suspekta informationenen mindre vikt. En väsentlig egenskap som ett medelvärde ska uppfylla för att det ska kallas ett medelvärde är att, om alla talen är lika med ett tal a, ska medelvärdet ge detta tal. I exemplet ovan är t ex M(a, a) =0.9a +0.1a = a. Det mest använda medelvärdet, vårt vanliga, kallas ibland det aritmetiska och definieras som: A := a 1 + a a n. n Här har vi n tal a 1,a 2,...,a n, och tar summan och delar med antalet tal. Är alla n talen samma tal a så är medelvärdet na/n = a. Ett annat vanligt medelvärde är att ta produkten av n icke-negativa tal och sedan dra n:te roten ur dem: G := (a 1 a 2...a n ) 1 n = n p a 1 a 2...a n. Så t ex är det geometriska medelvärdet av 2 och 18: G = p 2 18 = 6, medan det vanliga medelvärdet är A = 10. Om alla a i är samma tal a så är G = a, så det är OK att se G som ett slags medelvärde. IexempletserviattA G, och detta är faktiskt alltid sant. Sats 51. Antag att a i 0,i=1, 2,...,n är icke-negativa reella tal. Då är A G.

18 5. ÖVNINGAR. 131 Bevis. Vi nöjer oss med att visa detta när endast två tal a, b är involverade. Eftersom a, b är icke-negativa, så är de kvadrater (av sina kvadratrötter). Alltså finns det ickenegativa x och y så att a = x 2,b= y 2. Då är och och det vi ska visa är att G = p ab = p x 2 y 2 = xy A = x2 + y 2, 2 x 2 + y 2 2 Vi formulerar om olikheten genom att multiplicera med 2 och flytta över: xy. x 2 + y 2 2xy () x 2 + y 2 2xy =(x y) 2 0 Men en kvadrat är alltid positiv, så den sista olikheten är alltid sann, och därmed också A G som vi startade med. Vi kan också lägga märke till att vi har likhet precis när x y =0 () x = y () a = b. 5. Övningar. (1) Använd huvudräkning för att ordna talen , , i storleksordning. (2) Lös olikheterna a) 3x +1 < 2, b) 3x +2 apple 1, c) 3x +1 > 5x +2, d) (x 3)(x +3)apple x 2, e) (x +1)(x 2) apple x 2 +2x. (3) Lös olikheten 3x +1 x +2 < 2. (4) Lös olikheterna a) x 2 < 4, b) x 2 > 4, c) (x +1) 2 > (x +5) 2. (5) Lös olikheterna a) x2 +1 x (6) Lös olikheten <x, b) 2x2 x +2 <x 2, c) x2 +2 x 2 +1 > 1. x(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x 5)(x 6) > 0. (7) Lös olikheten 3x +1 x +2 < 2 x +3. (8) Lös olikheten ( 1) n 1, (n 2 Z) (9) Bevisa A G för fyra tal, genom att utgå ifrån att du känner till att den gäller för två tal.

19 Kapitel 8 (1) a) 5, b) 5, c) 5, d) 5, e) a, f) a. (2) a) x = ±3, b) x =0, c) saknar lösningar, d) x = 2ochx =4, e) x = 1ochx =2, f) x = 2ochx =4. (3) De reella talmängderna är alla intervall, utom b) som är två oändliga intervall. Ikomplexatalplanetär de alla cirkelskivor utom b) som är hela planet utom punkter inuti cirkeln med centrum i origo och radie 2. Observera vilka intervall (cirklar) som är slutna respektive öppna. (4) Se figur Figur 1. Graferna y = x, y = x 1,y = x +3. Observera att de två sista graferna har samma form och bara är omflyttningar av varandra( translaterade parallellt med x-axeln). (5) Se figur Figur 2. Graferna y = x +2x, y = x 1 x, y = x +3 2x.

20 (6) a) x = 1, b) x = 1ochx =1, c) x = 1. (7) x = ±2. (8) Cirkeln med centrum i punkten ( 2, 0) och radien 1. (9) Alla z på den imaginära axeln. (Ansätt z = x + yi.) (10) Cirkeln med radie 4/3 ochcentrumi( 5/3, 0). (11) Linjen Re z =2. Kapitel 9 (1) < < , (2) a) x<1/3, b) x 1/3, c) x< 1/2, d) alltid sann, e) x 2/3. (3) 2 <x<3 (4) a) 2 <x<2, b) x>2ellerx< 2, c) (x < 3. (5) a) x<0, b) x< 2, c) alla x. (6) 0 <x<1eller2<x<3eller4<x<5ellerx>6. (7) 3 <x< 2ellerx> 2. (8) ( 1) n =1omn är jämnt och 1annars,såsvaretblirallajämna n.

Kompendium i Algebra, del 3 för fysikinriktade kandidatprogram. Rikard Bøgvad och Paul Vaderlind

Kompendium i Algebra, del 3 för fysikinriktade kandidatprogram. Rikard Bøgvad och Paul Vaderlind Kompendium i Algebra, del 3 för fysikinriktade kandidatprogram Rikard Bøgvad och Paul Vaderlind Innehåll Kapitel 1. Absolutbelopp. 1 1. Absolutbelopp. 1 2. Räkneregler. 5 2.1. Att beskriva intervall med

Läs mer

Ekvationer och olikheter

Ekvationer och olikheter Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När

Läs mer

TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter

TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter TATM79: Föreläsning Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter Johan Thim 15 augusti 015 1 Absolutbelopp Absolutbelopp Definition. För varje reellt x definieras absolutbeloppet x enligt { x, x 0 x

Läs mer

Komplexa tal: Begrepp och definitioner

Komplexa tal: Begrepp och definitioner UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,

Läs mer

TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter

TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter Johan Thim 2 augusti 2016 1 Absolutbelopp Absolutbelopp Definition. För varje reellt x definieras absolutbeloppet x enligt { x, x 0

Läs mer

Avsnitt 3, introduktion.

Avsnitt 3, introduktion. KTHs Sommarmatematik Introduktion 3:1 3:1 Avsnitt 3, introduktion. Teckenstudium Här tränas teckenstudium av polynom och rationella funktioner (som är kvoter av polynom). Metoden går ut på att man faktoriserar

Läs mer

Talmängder N = {0,1,2,3,...} C = {a+bi : a,b R}

Talmängder N = {0,1,2,3,...} C = {a+bi : a,b R} Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5 Viktiga exempel 1., 1.4, 1.8 Övningsuppgifter I 1.7, 1.8, 1.9 Extrauppgifter 1,,, 4 Den teori och de exempel, som kommer att presenteras här, är normalt vad jag kommer att

Läs mer

Block 1 - Mängder och tal

Block 1 - Mängder och tal Block 1 - Mängder och tal Mängder Mängder och element Venndiagram Delmängder och äkta delmängder Union och snittmängd Talmängder Heltalen Z Rationella talen Q Reella talen R Räkning med tal. Ordning av

Läs mer

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b

Läs mer

Kvalificeringstävling den 30 september 2008

Kvalificeringstävling den 30 september 2008 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2008 Förslag till lösningar Problem 1 Tre rader med tal är skrivna på ett papper Varje rad innehåller tre

Läs mer

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största

Läs mer

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet

Läs mer

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför

Läs mer

Komplexa tal. i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = i 2 = 1, i 5 = i,...

Komplexa tal. i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = i 2 = 1, i 5 = i,... Komplexa tal Vi inleder med att repetera hur man räknar med komplexa tal, till att börja med utan att bekymra oss om frågor som vad ett komplext tal är och hur vi kan veta att komplexa tal finns. Dessa

Läs mer

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer

Läs mer

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8. Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +

Läs mer

Vektorn w definieras som. 3. Lös ekvationssystemet algebraiskt: (2p) 4. Förenkla uttrycket så långt det går. (2p)

Vektorn w definieras som. 3. Lös ekvationssystemet algebraiskt: (2p) 4. Förenkla uttrycket så långt det går. (2p) 1. Linjerna y=2x+4, y=4 och x=3 innesluter tillsammans en triangel. Linjen y=5,5 skär triangeln i två punkter. Beräkna sträckan mellan dessa två punkter. 2. Vektorn w definieras som w = 2u v där u = (7,1)

Läs mer

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR ABSOLUTBELOPP Några eempel som du har gjort i gymnasieskolan: a) b) c) 5 5 Alltså et av ett tal är lika med själva talet om talet är positivt eller lika med et av är lika med det motsatta talet om är negativt

Läs mer

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi A1:an Repetition Philip Larsson 6 april 013 1 Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi 1.1 Delmängd Om ändpunkterna ska räknas med används symbolerna [ ] och raka sträck. Om ändpunkterna inte skall

Läs mer

Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret.

Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. NAN: KLASS: Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. 1) a) estäm ekvationen för den räta linjen i figuren. b) ita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 1106 d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs. Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer

Läs mer

.I Minkowskis gitterpunktssats

.I Minkowskis gitterpunktssats 1.I Minkowskis gitterpunktssats Minkowskis sats klarar av en mängd problem inom den algebraiska talteorin och teorin för diofantiska ekvationer. en kan ses som en kontinuerlig, eller geometrisk, variant,

Läs mer

Övningshäfte 2: Komplexa tal

Övningshäfte 2: Komplexa tal LMA100 VT007 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet

Läs mer

Funktioner. Räta linjen

Funktioner. Räta linjen Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter

Läs mer

Referens :: Komplexa tal

Referens :: Komplexa tal Referens :: Komplexa tal Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. Definition av komplexa tal Definition 1. Ett komplext tal z är ett tal på formen

Läs mer

i=1 β i a i. (Rudolf Tabbe.) i=1 b i a i n

i=1 β i a i. (Rudolf Tabbe.) i=1 b i a i n Årgång 48, 1965 Första häftet 2505. Låt M = {p 1, p 2,..., p k } vara en mängd med k element. Vidare betecknar M 1, M 2,..., M n olika delmängder till M, alla bestående av tre element. Det gäller alltså

Läs mer

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter

Läs mer

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar TATM79: Föreläsning 4 Polynomekvationer och funktioner Johan Thim 2 augusti 2016 1 Polynomekvationer Vi börjar med att upprepa definitionen av ett polynom. Polynom Definition. Ett polynom p(z) är ett uttryck

Läs mer

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013 Repetitionsuppgifter inför Matematik Matematiska institutionen Linköpings universitet 0 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Facit 4 Repetitionsuppgifter inför Matematik Repetitionsuppgifter

Läs mer

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal

Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande aktivitet

Läs mer

Denna uppdelning är ovanlig i Sverige De hela talen (Både positiva och negativa) Irrationella tal (tal som ej går att skriva som bråk)

Denna uppdelning är ovanlig i Sverige De hela talen (Både positiva och negativa) Irrationella tal (tal som ej går att skriva som bråk) UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Olof Johansson, Nina Rudälv 2006-10-24 SÄL 1-10p Avsnitt 1.1 Grundläggande begrepp Detta avsnitt behandlar de symboler som används

Läs mer

Sidor i boken 8-9, 90-93

Sidor i boken 8-9, 90-93 Sidor i boken 8-9, 90-93 Absolutbelopp Men först lite om Absolutbelopp., kallas absolutbeloppet av, och är avståndet för till origo på tallinjen. Som bekant är avståndet till origo för talet 4, 4. Detta

Läs mer

Övningshäfte 2: Komplexa tal (och negativa tal)

Övningshäfte 2: Komplexa tal (och negativa tal) LMA110 VT008 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal (och negativa tal) Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal och att fundera på några begreppsliga svårigheter som negativa

Läs mer

Complex numbers. William Sandqvist

Complex numbers. William Sandqvist Complex numbers Hur många lösningar har en andragradsekvation? y = x 2 1 = 0 Två lösningar! Kommer Du ihåg konjugatregeln? Svaret kan ju lika gärna skrivas: x 1 = 1 x2 = + 1 Hur många lösningar har den

Läs mer

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5 Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5 5.3. Vi använder Euklides algoritm och får 4485 = 1 3042 + 1443 3042 = 2 1443 + 156 1443 = 9 156 + 39 156 = 4 39. Alltså är sgd(3042, 4485) = 39. Om vi startar

Läs mer

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,

Läs mer

SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1

SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1 SAMMANFATTNING TATA4 ENVARIABELANALYS LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 04 Senast reviderad: 05-06-0 Författare: Viktor Cheng INNEHÅLLSFÖRTECKNING Diverse knep...3

Läs mer

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Andreas Axelsson Vi beskriver här de grundläggande teknikerna för att lösa icke-linjära ekvationssystem. Detta är en nödvändig kunskap för att kunna lösa diverse

Läs mer

Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer)

Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Faktorsatsen 1. Pettersson: teori och exempel på sid. 21-22 Det intressanta är följande idé: Om man på något sätt (Vilket det är en annan fråga, se nedan!) har

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1 Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall

Läs mer

A-del. (Endast svar krävs)

A-del. (Endast svar krävs) Lösningar till tentamen i Matematik grundkurs den 7 juni 011. A-del. (Endast svar krävs) 1. Förenkla så långt som möjligt. Svar: 1 1 1 1 +1. Skriv talet på formen a + ib. Svar: 1 + i 3. Beräkna 10 + 5i

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson LÄSANVISNINGAR VECKA 36 VERSION 1. ARITMETIK FÖR RATIONELLA OCH REELLA TAL, OLIKHETER, ABSOLUTBELOPP ADAMS P.1 Real Numbers and the Real

Läs mer

8-6 Andragradsekvationer. Namn:..

8-6 Andragradsekvationer. Namn:.. 8-6 Andragradsekvationer. Namn:.. Inledning Nu har du arbetat en hel del med ekvationer där du löst ut ett siffervärde på en okänd storhet, ofta kallad x. I det här kapitlet skall du lära dig lösa ekvationer,

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken Z

Sammanfattningar Matematikboken Z Sammanfattningar Matematikboken Z KAPitel procent och statistik Procent Ordet procent betyder hundradel och anger hur stor del av det hela som något är. Procentform och 45 % = 0,45 6,5 % = 0,065 decimalform

Läs mer

Övning log, algebra, potenser med mera

Övning log, algebra, potenser med mera Övning log, algebra, potenser med mera Uppgift nr 1 Förenkla uttrycket x 3 + x 3 + x 3 + x 3 + x 3 Uppgift nr 2 Förenkla x x x+x x x Uppgift nr 3 Skriv på enklaste sätt x 2 x x x 8 x x x Uppgift nr 4 Förenkla

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 2

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 2 Kapitel.1 101, 10 Exempel som löses i boken. 103 Testa genom att lägga linjalen lodrätt och föra den över grafen. Om den på något ställe skär grafen i mer än en punkt så visar grafen inte en funktion.

Läs mer

Komplexa tal. z 2 = a

Komplexa tal. z 2 = a Moment 3., 3.2.-3.2.4, 3.2.6-3.2.7, 3.3. Viktiga exempel 3.-3.8, 3.9,3.20 Handräkning 3.-3.0, 3.5a-e, 3.7, 3.8, 3.25, 3.29ab Datorräkning Komplexa tal Inledning Vi skall i följande föreläsning utvidga

Läs mer

TAL OCH RÄKNING HELTAL

TAL OCH RÄKNING HELTAL 1 TAL OCH RÄKNING HELTAL Avsnitt Heltal... 6 Beräkningar med heltal...16 Test Kan du?... 1, 27 Kapiteltest... 28 Begrepp addition avrundning bas differens division exponent faktor kvadratroten ur kvot

Läs mer

den reella delen på den horisontella axeln, se Figur (1). 1

den reella delen på den horisontella axeln, se Figur (1). 1 ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - KOMPLEXA TAL Det nns era olika talmängder; de positiva heltalen (0, 1,,... kallas de naturliga talen N, tal som kan skrivas som kvoter av andra tal kallas rationella

Läs mer

Avsnitt 1, introduktion.

Avsnitt 1, introduktion. KTHs Sommarmatematik Introduktion 1:1 1:1 Kvadratkomplettering Avsnitt 1, introduktion. Det här är en viktig teknik som måste tränas in. Poängen med kvadratkomplettering är att man direkt kan se om andragradsfunktionen

Läs mer

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar 1 Tisdag v 2 Speglingar, translationer och skalningar Ofta i matematik och i matematiska kurser är det så att man måste kunna några grundläggande exempel utantill och man måste kunna några regler som säger

Läs mer

Abstrakt algebra för gymnasister

Abstrakt algebra för gymnasister Abstrakt algebra för gymnasister Veronica Crispin Quinonez Sammanfattning. Denna text är föreläsningsanteckningar från föredraget Abstrakt algebra som hölls under Kleindagarna på Institutet Mittag-Leffler

Läs mer

vilket är intervallet (0, ).

vilket är intervallet (0, ). Inledande kurs i matematik, avsnitt P. P..3 Lös olikheten 2x > 4 och uttryck lösningen som ett intervall eller en union av intervall. P..7 Lös olikheten 3(2 x) < 2(3 + x), Multiplicera båda led med 2.

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 4. b) = 3 1 = 2

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 4. b) = 3 1 = 2 Kapitel.1 101, 102 Exempel som löses i boken 10 a) x= 1 11+ x= 11+ 1 = 2 c) x= 11 7 x= 7 11 = 77 b) x= 5 x 29 = 5 29 = 6 d) x= 2 26 x= 26 2= 1 10 a) x= 6 5+ 9 x= 5+ 9 6= 5+ 5= 59 b) a = 8a 6= 8 6= 2 6=

Läs mer

Checklista för funktionsundersökning

Checklista för funktionsundersökning Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara

Läs mer

För att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 10) skrivs dessa

För att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 10) skrivs dessa Avsnitt Olika typer av tal För att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 0) skrivs dessa 0,,2,3,...,9,0,,... Samma naturliga tal

Läs mer

Bisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2

Bisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2 Kapitel 4 Bisektionsalgoritmen Vi ska konstruera lösningar till algebraiska ekvationer av formen f(x) = 0 med hjälp av bisektionsalgoritmen (intervallhalveringsmetoden). På samma gång ska vi se hur man

Läs mer

29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5.

29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5. Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den 3 november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1 a) Lös den diofantiska ekvationen 9x + 11y 00 b) Ange alla lösningar x, y) sådana

Läs mer

Linjära ekvationer med tillämpningar

Linjära ekvationer med tillämpningar UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Olof Johansson, Nina Rudälv 2006-10-17 SÄL 1-10p Linjära ekvationer med tillämpningar Avsnitt 2.1 Linjära ekvationer i en variabel

Läs mer

Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I

Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Se slide 1: det är i rymden oftast lättast att jobba med parametrar för linjer och ekvationer för plan. Exempel: Låt l : (x, y, z) = (1 t, 3 + t, 4t), t R och

Läs mer

FÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06

FÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06 FÖRELÄSNING ANALYS MN DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Detta är föreläsningsanteckningar för distanskursen Matematik A - analysdelen vid Uppsala universitet höstterminen 2006. Förberedande material Här har

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Moment 5.1-5.5 Viktiga exempel 5.1-5.10 Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Kvadratiska linjära ekvationssystem Vi startar vår utredning med det vi känner bäst till, ekvationssystem

Läs mer

Göra lika i båda leden

Göra lika i båda leden Modul: Algebra Del 6: Sociomatematiska normer Göra lika i båda leden Cecilia Kilhamn, Göteborgs Universitet och Lucian Olteanu, Linnéuniversitetet Ordet algebra kommer från det arabiska ordet al-djabr

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

Funktionsstudier med derivata

Funktionsstudier med derivata Funktionsstudier med derivata Derivatan ett kraftfullt verktyg för att studera och tolka funktioner Det här avsnittet handlar om att man kan använda derivatan till att bestämma en funktions egenskaper

Läs mer

Övningar - Andragradsekvationer

Övningar - Andragradsekvationer Övningar - Andragradsekvationer Uppgift nr 1 x x = 36 Uppgift nr 2 x² = 64 Uppgift nr 3 0 = x² - 81 Uppgift nr 4 x² = -81 Uppgift nr 5 x² = 7 Ange också närmevärden med 3 decimaler med hjälp av miniräknare.

Läs mer

ANDREAS REJBRAND 2014-04-25 Matematik http://www.rejbrand.se. Numeriska serier. Andreas Rejbrand, april 2014 1/29

ANDREAS REJBRAND 2014-04-25 Matematik http://www.rejbrand.se. Numeriska serier. Andreas Rejbrand, april 2014 1/29 Numeriska serier Andreas Rejbrand, april 2014 1/29 1 Inledning Författarens erfarenhet säger att momentet med numeriska serier är ganska svårt för många studenter i inledande matematikkurser på högskolenivå.

Läs mer

OM KOMPLEXA TAL. 1 Om a är ett positivt reellt tal så betecknar a det positiva reella tal vars kvadrat är a men det är

OM KOMPLEXA TAL. 1 Om a är ett positivt reellt tal så betecknar a det positiva reella tal vars kvadrat är a men det är OM KOMPLEXA TAL Inledning. Vilka olika talområden finns det? Jag gör en snabb genomgång av vad ni tidigare stött på, bl.a. för att repetera standardbeteckningarna för de olika talmängderna. Positiva heltal,

Läs mer

Möbiusgruppen och icke euklidisk geometri

Möbiusgruppen och icke euklidisk geometri 94 Möbiusgruppen och icke euklidisk geometri Lars Gårding Lunds Universitet Meningen med detta förslag till enskilt arbete är att alla uppgifter U redovisas skriftligt med fulla motiveringar och att alla

Läs mer

Diagnostiskt test för Lp03

Diagnostiskt test för Lp03 Diagnostiskt test för Lp --6, kl. 9.5 Inga miniräknare/formelsamlingar. Redovisa dina resonemang/räkningar.. Skriv namn, vilket år du senast läste matematik, vilken kurs det var, vilket betyg du fick..

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016 Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri

Läs mer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både

Läs mer

Introduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR

Introduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Höstterminen 006 Introduktionskurs i matematik för civilingenjörsprogrammet F Tentamen på Introduktionskursen i matematik äger rum lördagen den 6 september

Läs mer

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 1.1Introduktion Introduktion Avsnitt 1 handlar till att börja med om hantering av bråkstreck. Samtidigt ges exempel och övningar

Läs mer

Matematik Steg: Bas. Mål att sträva mot Mål Målkriterier Omdöme Åtgärder/Kommentarer

Matematik Steg: Bas. Mål att sträva mot Mål Målkriterier Omdöme Åtgärder/Kommentarer Matematik Steg: Bas ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och enkla tal i talområdet 0-10 bråk- och decimalform ordningstal upp till 5 ha en grundläggande rumsuppfattning och kunna

Läs mer

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt1 2015 Erik Darpö ii 0. Förberedelser Nedanstående uppgifter är avsedda att användas som ett självdiagnostiskt test. Om du har problem med att lösa

Läs mer

Lokala mål i matematik

Lokala mål i matematik Lokala mål i matematik År 6 År 7 År 8 År 9 Taluppfattning (aritmetik) förstår positionssystemets uppbyggnad med decimaler ex: kan skriva givna tal adderar decimaltal ex: 15,6 + 3,87 subtraherar decimaltal

Läs mer

Föreläsning 9: Komplexa tal, del 2

Föreläsning 9: Komplexa tal, del 2 ht016 Föreläsning 9: Komplexa tal, del Den komplexa exponentialfunktionen För att definiera den komplexa exponentialfunktionen utgår vi ifrån att den ska följa samma regler som för reella tal. Vi minns

Läs mer

Modul 1 Mål och Sammanfattning

Modul 1 Mål och Sammanfattning Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation

Läs mer

För att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 10) skrivs dessa

För att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 10) skrivs dessa Avsnitt 1 Olika typer av tal För att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (asen 10) skrivs dessa 0, 1, 2, 3,..., 9, 10, 11,.... Samma

Läs mer

Svar och anvisningar till arbetsbladen

Svar och anvisningar till arbetsbladen Svar och anvisningar till arbetsbladen Repetitionsmaterial (Facit) Anders Källén Notera att detta är första versionen av svaren Både felräkningar och feltrck kan förekomma! Fingeröfningar Övning,, c) 0,

Läs mer

Gamla tentemensuppgifter

Gamla tentemensuppgifter Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Moment Viktiga eempel Övningsuppgifter I Inga Inga Inga Grafritning Vi använder en sjustegsprocess Funktionens definitionsmängd 2 Funktionens skärningspunkter med alarna Asymptoter 4 Stationära punkter

Läs mer

Finaltävling i Lund den 19 november 2016

Finaltävling i Lund den 19 november 2016 SKOLORNS MTEMTIKTÄVLING Svenska matematikersamfundet Finaltävling i Lund den 19 november 2016 1. I en trädgård finns ett L-format staket, se figur. Till sitt förfogande har man dessutom två färdiga raka

Läs mer

Svar och arbeta vidare med Student 2008

Svar och arbeta vidare med Student 2008 Student 008 Svar och arbeta vidare med Student 008 Det finns många intressanta idéer i årets Känguruaktiviteter. Problemen kan inspirera undervisningen under flera lektioner. Här ger vi några förslag att

Läs mer

PROBLEMLÖSNINGSUPPGIFTER

PROBLEMLÖSNINGSUPPGIFTER PROBLEMLÖSNINGSUPPGIFTER ADDERA RÄTT 1. Bestäm vilka siffror bokstäverna A, B, C, och D bör bytas ut mot i additionen nedan för att additionen ska vara riktig. A 6 3 7 B 2 + 5 8 C D 0 4 2 2. Gör ett eget

Läs mer

Repetition av matematik inför kurs i statistik 1-10 p.

Repetition av matematik inför kurs i statistik 1-10 p. Karlstads universitet Leif Ruckman Summasymbolen. Repetition av matematik inför kurs i statistik 1-10 p. I stället för att skriva en lång instruktion att vissa värden skall summeras brukar man använda

Läs mer

1.1 Polynomfunktion s.7-15

1.1 Polynomfunktion s.7-15 1.1 Polynomfunktion Vad är då en funktion? En funktion är en regel i matematiken som beskriver sambandet mellan två storheter. T.ex. Hur många hjul har 3 bilar? 3 4 = 12 Hur många hjul har 4 bilar? 4 4

Läs mer

Matematisk kommunikation för Π Problemsamling

Matematisk kommunikation för Π Problemsamling Problemsamling Charlotte Soneson & Niels Chr. Overgaard september 200 Problem. Betrakta formeln n k = k= n(n + ). 2 Troliggör den först genom att exempelvis i summan +2+3+4+5+6 para ihop termer två och

Läs mer

Kapitel 7. Kontinuitet. 7.1 Definitioner

Kapitel 7. Kontinuitet. 7.1 Definitioner Kapitel 7 Kontinuitet 7.1 Definitioner Vi har sett på olika typer av funktioner. Vi skall fortsätta att undersöka dem, men ur en ny synvinkel. Vår utgångspunkt är nu att försöka undersöka om de är sammanhängande.

Läs mer

MMA127 Differential och integralkalkyl II

MMA127 Differential och integralkalkyl II Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA127 Differential och integralkalkyl II Tentamen Lösningsförslag 211.8.11 14.3 17.3 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial (gradskiva

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE1 den 1 mars 214 kl 8.-1. 1. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = 2 arctan x + ln (1 + x 2 ), där

Läs mer

1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta denna följd av tal, där varje tal är dubbelt så stort som närmast föregående

1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta denna följd av tal, där varje tal är dubbelt så stort som närmast föregående MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Christian Gottlieb Gymnasieskolans matematik med akademiska ögon Induktion Dag 1 1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta

Läs mer