Svensk översättning: Viweka Palm

Transkript

1 Svensk översättning: Viweka Palm

2 FÖRORD Den här boken kan användas till flera av CASIOs grafräknarmodeller. Men knapptrycken som beskrivs och displayerna som visas är hämtade från fx-7400gii. Ofta är det bara små justeringer som ska till för att de ska kunna användas för andra räknarmodeller. Boken ersätter inte användarhandboken, utan är avsett att vara ett bra komplement som ska göra det lättare att använda räknaren för matematiklektionerna i gymnasiet. Exemplena och uppgifterna är baserade för matematik för alla åren i gymnasieskolan. I de första kapitlen är knapptrycken och hur man använder räknaren mer noggrant beskrivet. Förhoppningsvis är de detaljerade anvisningarna till nytta för användare som inte tidigare har använt räknaren. Från kapitel 4 och framåt blir beskrivningrna mindre detaljerade. Om ytterligare instruktioner behövs, hänvisar vi läsaren till användarhandboken. Den här boken syftar inte till att ersätta de ordinarie läromedlen i matematik. I boken gör vi också exempel och uppgifter utan att först ha gått igenom de bakomliggande teorierna. Därför bör boken användas parallellt med läroboken. Eftersom den här boken inte innehåller någon separat övningsbok, uppmanar vi läsaren att också lösa uppgifter från läroboken. Användarhandboken för fx-7400gii är vid den här tidpunkten 413 sidor. Det betyder att det finns många kommandon och funktioner som inte beskrivs i den här boken. Vi har prioriterat de vanligaste funktionerna och kommandon som är nödvändiga för att kunna använda räknaren som ett användbart hjälpmedel i gymnasiet. Jag vill tacka Kjell Skajaa på Casio Scandinavia för ett bra samarbete och för hans hjälp med produktionen av den här boken. Samtidig vill jag tacka tidigare student Eva Skovlund för tester och kritisk granskning. PS. Den här boken är omarbeted från fx-9750gii och anpassad till användning av fx-7400gii. Trondheim - mars 010 Universitetslektor Tor Andersen 1

3 Innhåll 1 Uppstart Huvudmenyn 5 1. Minnet Inställningar SET UP 7 Grundläggande räkning 8.1 Addition och subtraktion 8. Rensa displayen 9.3 Multiplikation 9.4 Division 9.5 Räkna vidare med tidigare svar 10.6 Bråk 10.7 Blandad form 11.8 Bråkdivision 11.9 Potenser 1.10 Signifikanta siffror Kvadratrot och n-te rot 13.1 Räkneregler och formler Logaritmer 15 3 Ekvationer Enkla ekvationer Andragradsekvationer Andragradsekvationer med komplex lösning Tredjegradsekvationer Ekvationssystem med flera okända Logaritmekvationer Exponentialekvationer Arbeta med en formel 7 sida 4 Funktioner och grafer Lägga in funktioner och rita grafer 8 4. Tabell Punkt på grafen, nollpunkt, maximi- och minimipunkt Skärningspunkt mellan grafer Grafisk lösning av ekvationer Derivata och andraderviata Integral - area Integral - volymen av en rotationskropp Integral - ytan av en rotationskropp Integral - båglängd Parameterframställning 48

4 4.1 Polära koordinater Regressionsanalys. Funktionsanpassning Grafisk lösning av olikheter Absolutbeloppsfunktion 60 5 Trigonometri Grader och radianer 6 5. Beräkning av sinus, cosinus och tangens Beräkna vinkeln Trigonometriska funktioner och grafer Trigonometriska ekvationer 7 6 Kombinatorik, sannolikhet och statistik Ordnat urval med återläggning Ordnat urval utan återläggning Oordnat urval utan återläggning Binomiala försök Binomialfördelning Hypergeometrisk fördelning Kurvdiagram Sortering av statistiskt material Medelvärde, median, kvartiler, typtal och variationsbredd Varians och standardavvikelse Väntevärde, varians och standardavvikelse för en stokastisk variabel X 87 7 Tal Stora tal. Summa och fakultet GCD, LCD, MOD och MOD-E Komplexa tal Binära och hexadecimala tal 96 8 Enhetsomvandling Längd, area och volym Omvandlingsformel för Fahrenheit och Celsius Tidsenheter Kraft, tryck, energi och effekt 10 3

5 4

6 1. Att starta 1.1 Huvudmenyn Starta räknaren genom att trycka på AC /ON -knappen. Stäng av räknaren genoma att trycka på följt av. När du slår på räknaren, kommer den här displayen upp. Använd piltangenten för att flytta runt markören i huvudmenyn. På bilden ovan är RUN markerad. Tryck EXE och vi kommer in i RUN. Då får vi den här bilden. Tryck på MENU-knappen för att gå tillbaka till huvudmenyn. I den här boken ska vi behandla följande områden från huvudmenyn. Räkning Statistik Funktioner och grafer. Tabeller Ekvationer och ekvationssystem 5

7 Minneshantering System För PRGM och LINK hänvisar vi till användarhandboken. 1. Minnet Visar hur mycket som är lagrat och hur mycket som är ledigt i de olika områdena i räknarens minne. Kan även användas till att ta bort det du har lagrat i minnet. Var försiktig så du inte tar bort något som inte vill bli av med. Använd piltangenten till att gå till MEMORY. Tryck EXE och vi får den här displayen. Vi hänvisar till användarhandboken. 1.3 Inställningar Gå med piltangenten till SYSTEM och tryck EXE. Genom att trycka F1 kan du justera kontrasten. Du kan också välja språk. Ej svenska. Var försiktig när du använder dig av RESET. I övrigt hänvisar vi till användarhandboken. 6

8 1.4 SET UP Välj RUN i huvudmenyn. Då får du upp följande display. Tryck SHIFT följt av MENU. Då kommer vi in i SET UP. I den här boken går vi ofta in i SET UP. De övriga inställningarna visas i kapitlen efter varje gång vi väljer nya inställningar i SET UP. Använd piltangenten för att gå upp eller ned med markören i SET UP- menyn. Tryck EXE för att bekräfta en inställning. Tryck EXIT för att gå ut ur SET UP. 7

9 . Grundläggande räkning SET UP i exemplen är följande.1 Addition och subtraktion Beräkna: Meny Tryck l Display Tryck l Display Svaret visas efter att vi har tryckt på l. Notera Tecknet för subtraktion är -. Tecknet för negativa tal är n. 8

10 . Rensa displayen Tryck P för radering av sista tecknet. Display Tryck O för att rensa displayen Display.3 Multiplikation Beräkna: 56,53,1 Tryck 56.5m3.1l Display.4 Division Notera: Decimalkommat är en punkt. Beräkna: 68,5:18, Tryck 68.5M18.l Display 9

11 .5 Räkna vidare med tidigare svar Tidigare svar var 37,5. Addera,5 till detta svar. Tryck +.5l Display..6 Bråk Notera: Ans kommer automatiskt upp på displayen Räkna ut: Tryck z3+4z5l Display. Skriv svaret i decimalform. Tryck x 10

12 .7 Blandad form Beräkna: Tryck 3zz5+5z1z3l Display. Observera skillnaderna på blandad bråkform och multiplikation mellan heltal och bråk..8 Bråkdivision Beräkna: Tryck z3m1z6l Display. 11

13 .9 Potenser 3 Beräkna: 3 3 Tryck 3^m3^3l Display. Observera. Observera. Observera. Beräkna: Tryck (5^4m^)M(^3m5^ )l Display. Tryck x 1

14 .10 Signifikanta siffror Räknaren kan visa antalet siginfikanta siffror med hjälp av inställningen Sci i SET UP. Välj Sci genom att trycka F. Skriv in antalet signifikanta siffror. Flytta markören upp och ned med piltangenten. Tryck Exe följt av Exit. Exempel. Ställ tillbaka till Norm..11 Kvadratrot och n-te rot Beräkna: 5 7 Tryck Ls5mLs7l Display. 13

15 Beräkna: Tryck 3L^14m5L^3l Display. Observera att: Observera att:.1 Räkneregler och formler a c a c b b b a c ac b d bd a : c a d ad b d b c bc a b b a a b b a a b c a b c a b c a b c a b c a b a c ( a b) a b ( a b) a b ( a) a n m n m a a a a : a n a a m a a n m a nm n m nm n n n a b a b n a a b b n n q a a a 0 a m p 1 qp 1 1 a m a a p q 1 q p xy x y x y x y n n xy x n y n n x y n n x x x y 1 n Exempel Använd räknaren till att kontrollera reglerna och formlerna 14

16 .13 Logaritmer Logaritmen med basen10 10-logaritm x x 0 lg x x 10 x lg10 Logaritmekvation lg x c x 10 c Logaritmlagar: a och b är positiva tal. 1) lg( a b) lg a lgb ) lg a lg a lgb b x 3) lg a x lg a Observera: lg3 lg3 (lg3) lg3 lg3 Kontrollera med numeriska exempel att logaritmlagarna gäller. Sätt a, b 3 och x 4. Tryck gjm3klg+g3l Display. Logaritmlagen lg( a b) lg a lgb gäller. Tryck gjz3klg-g3l Display Logaritmlagen lg a lg a lgb gäller. b 15

17 Tryck g^4l4mgl Display. Observera skillnaden. x Logaritmlagen lg a xlg a gäller. Kontrollera att ln e x x x lne x. Välj x 5. Tryck LGG5lGLG5l Display. Observera att Observera att Vad blir log1000? Skriv så enkelt som möjligt: 3lg x lg8x 3lg lg x Tryck 3gf-g8f+3g-gfsl 16

18 Display 1. Försök att förklara utan räknare varför svaret blir noll. Om vi ska arbeta med logaritmer med annan bas än 10 eller naturliga logaritmer med basen e, måste vi använda logab. Var hittar vi logab? Display. Tryck EXE. Tryck ivälj calc genom att trycka e Trycku Välj logab genoma att trycka r. Beräkna log8 3 Vi vill ha svaret i bråkform. Tryck SET UP och ställ in Frac Result. Tryck därefter EXIT. 17

19 Tryck ieur8,3lx Display. Kontroll. Förklara. 18

20 3. Ekvationer Räknaren kan lösa ekvationer och ekvationssystem på olika sätt. I det här kapitlet kommer vi att använda följande kommandon: Solve( SolveN( Equation Solv Equation Poly Equation Siml 3.1 Enkla ekvationer Lös ekvationen: 3 x ( x 3) 4x 5 Vi väljer att hämta kommandot Solve( från CATALOG Display Tryck l Tryck därefter 3f-jf-3kL.4f+5,fl Display. Lös ekvationen x 3 x x

21 Den här gången väljer vi att hämta kommandot Solve( med hjälp OPTN-knappen. Display. Display. Tryck OPTN Display. Tryck CALC Display. Tryck Solve Tryck sedan (f-3)z+z3l.fz 3-fz4,fl 0

22 Display. 3. Andragradsekvationer Lös andragradekvationen: x 5x6 0 Vi hämtar kommandot SolveN( med hjälp av OPTN. Tryck sedan fs-5f-6kl Display. Observera: = 0 är inte nödvändigt Tryck d Display. Kommentar: Normalformen för andragradsekvationer är x b b 4ac a ax bx c 0 och har lösningsformeln Lös andragradsekvationen: 3x 10,5x 6 0 Observera: Ekvationen i uppgiften är ordnad i normalform (se ovan). Det betyder att högra sidan är = 0. 1

23 Vi väljer att lösa ekvationen med hjälp av EQUA. Gå tillbaka till MENU.. Gå med piltangenten till EQUA i huvudmenyn. Display. Display. Tryck EXE. Display. Välj POLY genoma att trycka F. Display. Välj :a graden genom att trycka F1. Skriv in koefficienterna i ekvationen 3x 10,5x 6 0 genom att trycka 3ln10.5ln6l

24 Display Tryck F1 och vi får fram lösningen. Display. Decimalform till bråkform. 3.3 Andragradsekvationer med komplex lösning Lös andragradsekvationen: x 3x 5 0 Välj EQUA i huvudmenyn, sedan POLY och Degree. Lägg in koefficienterna i ekvationen genom att trycka nl3ln5l Display. Tryck SOLV. Vi får den här displayen. Vi måste ändra till Complex Mode i SET UP. EXIT och SOLV ger då: Andragradsekvationen har komplex lösning. Observera att 3

25 3.4 Tredjegradsekvationer Räknaren kan lösa polynomekvationer ända upp till sjätte graden. Vi löser här en tredjegradsekvation med hjälp av EQUA och POLY. Lös tredjegradsekvationen: 3 x x x Välj EQUA, POLY och Degree 3 Lägg in koefficienterna genom att trycka1ln4l1l6l Display. Tryck SOLV och vi får lösningen Det kan hända att vi först måste ordna ekvationen i normalform, där den högra sidan måste vara lika med 0. En tredjegradsekvation kan till exempel ha en reell rot och två komplexa rötter. Se nedan. Lös tredjegradsekvationen: 3 x 5x x 0 Välj EQUA, POLY och Degree 3 Lägg in koefficienterna genom att trycka nl5ln1ll Display. lösningar. Här ser vi alltså en reell och två komplexa 4

26 3.5 Ekvationssystem med flera okända Lös ekvationssystemet: x y z 8 x y z 5 x 5y z 15 Välj EQUA, SIML Display. Antal okända (Number Of Unknowns) är 3. Lägg in koefficienterna genom att trycka ln1l1l8l1lln1ln5 l1l5lnln15l Display. Tryck SOLV och vi får lösningarna Gå tillbaka genom att trycka EXIT eller gå direkt till huvudmenyn genom att trycka på MENU-knappen. 3.6 Logaritmekvationer Lös logaritmekvationen: 3 lg xlg x lg16 Tryck ieqgf+gf^3$l.g16, fkl 5

27 Display 1. Observera att vi måste exkludera x 0 när vi löser logaritmekvationer. 3.7 Exponentialekvationer Exponentialekvation x lgb a b x lg a a0 og b 0 Notera n m a a n m x 10 a x lg a x x Lös ekvationen: Tryck iey10^(f)-5m10^f +4kld Display. Observera att ekvationen har två lösningar. Observera att vi inte behöver skriva = 0 6

28 3.8 Arbeta med en formel Beräkna radien i en kon med volymen 3 V 00 cm och höjden h 30 cm. Välj EQUA i huvudmenyn. Välj SOLV genom att trycka F3. Formeln för volymen av en kon är V 1 3 r h. Skriv in formeln och värdena för V och h. Räknaren kommer att söka efter lösningen mellan Lower och Upper. Använd markören för att markera R=. Välj SOLV genom att trycka F6. Konens radie är,5 cm. 7

29 4. Funktioner och grafer 4.1 Lägga in funktioner och rita grafer Lägg in funktionen f som ges av Gå till GRAPH i huvudmenyn. 3 f ( x) x x x och rita grafen. Tryck Exe. Då får vi den här displayen. Lägg in funktionen genom att trycka f^3-fs-f+l Display Välj DRAW genom att trycka F6. Det är inte säkert att grafen ser bra ut och du kanske inte ser den i sin helhet. Det betyder att vi måste ställa in visningsfönstret. Så här gör vi: Tryck dle Display Vi väljer följande inställning. 8

30 Tryck EXIT och välj därefter DRAW. Använd SET UP för att till exempel namnge axlarna. Tryck Exit för att gå tillbaka. I SET UP kan du också välja Grid On eller Coord Off. Display Tryck SHIFT F för att zooma in grafen eller ut Genom att välja ZOOM IN två gånger får vi den här bilden Tryck EXE mellan varje gång. Välj BOX genom att trycka på F1. Med hjälp av BOX kan man visa en mindre del av grafen och sedan förstora den. Flytta markören till en önskad startpunkt. Bekräfta med EXE. Använd markören till att avgränsa området. 9

31 Tryck EXE och vi ser en förstoring av den mindre,valda delen av grafen. Du får tilbaka den ursprungliga bilden genom ORIG. Tryck Lwu Välj ORIG genom att trycka F1 och den ursprungliga bilden är tillbaka. Rita grafen till g som ges av g( x) x x i samma koordinatsystem. För att lättare skilja de två graferna åt kan vi välja en annan linjestil för grafen till g. Välj GRAPH i huvudmenyn. Lägg in funktionsuttrycket vid Y. Välj STYL genom att trycka F4. Display Tryck F4 Tryck EXIT Välj DRAW genom att trycka F6 30

32 Observera: Båda funktionerna måste vara selected (valda) för att kunna rita båda graferna. SEL (select) hittar du på F1-knappen. En funktion är vald då likhetestecknet är mörkare än de övriga som ej är valda. Välj TRCE genom att trycka SHIFT F1. Använd piltangenten som pekar åt höger och vänster. Genom att flytta markören kan vi läsa av sammanhörande värden för x och y. Vi kan hitta särskilda punkter på detta sätt. 4. Tabell Om vi ska rita en graf för hand, bör vi använda oss av en tabell som visar sammanhörande x- värde och y-värde. En sådan tabell kan vi göra med hjälp av räknaren. Gör en tabell för sammanhörande x-värden och y-värden för 3 y x x x. Gå till TABLE i huvudmenyn. Tryck EXE. Skriv in funktionsuttrycket. 31

33 Gå in i SET UP och ställ in Derivative till Off. Tryck Exit för att gå ut ur SET UP. Välj TABL genom att trycka F6. Det är inte säkert att tabellen som du får fram, ser likadan ut. Det beror på vilken Table Setting som är gjord på räknaren. Tryck EXIT. Välj SET genom att trycka F5. Ändra Start, End och Step. Tryck EXE för att bekräfta val. Öva på att använda FORM, DEL, ROW och EDIT. Välj G-CON genom att trycka F5. Dvs från tabell till graf. Tryck EXIT för att gå tillbaka. Välj G-PLT genom att trycka F6. Dvs från tabell till plottade punkter. 3

34 4.3 Punkt på grafen, nollställen, maximi- och minimipunkt a) Lägg in funktionen f som ges av 3 f ( x) x x x och rita grafen. b) Bestäm f (,5) c) Bestäm x när f( x) 1 d) Bestäm grafens eventuella nollställen e) Bestäm grafens eventuella maximi- och minimipunkter. a) Se avsnitt 4.1 och arbeta vidare med grafen på följande display. Använd gärna samma fönster som visas till höger. b) Välj G-Solv genom att trycka SHIFT F5. Tryck F6 och vi får den här displayen Välj Y-CAL genom att trycka F1. Skriv in x-värdet. 33

35 Tryck EXE. Svar: f (,5),65 Kommentar: Vi kan bestämma skärningspunkten mellan grafen och y-axeln genom att använda Y-CAL. Men istället för att sätta x 0, väljer vi att använda Y-ICPT. Välj G-Solv genom att trycka SHIFT F5. Välj Y-ICPT genom att trycka F4 som ger följande. Skärningspunkten på y-axeln är alltså (0,). c) Välj G-Solv genom att trycka SHIFT F5. Tryck F6. Välj X-CAL genom att trycka F. Skriv in y-värdet. 34

36 Tryck EXE. Här har vi ändrat fönstret så att vi ser var på grafen punkten ligger. Svar: när d) Välj G-Solv genom att trycka SHIFT F5. Välj ROOT genom att trycka F1. Hitta övriga nollställen genom att trycka på piltangenten åt höger. Svar: Grafens nollställen är (-1,0),(1,0) och (-1,0). Kommentar: 3 Vi kan lösa ekvationen x x x 0 grafiskt genom att bestämma nollställena på 3 grafen f som ges av f ( x) x x x. Dvs: = 0 och. Läs mer om grafiska lösningar av ekvationer i avsnitt

37 e) Välj G-Solv genom att trycka SHIFT F5. Välj MAX genom att trycka F. Svar: Grafen har maximipunkten ( 0,15,,113). Observera: Om en graf har flera maximipunkter, måste du trycka på piltangenten åt höger för att få fram fram koordinaterna. Välj G-Solv genom att trycka SHIFT F5. Välj MIN genom att trycka F3. Svar: Grafen har minimipunkt (1,549,0,631). Observera: Om en graf har flera minimipunkter, måste du trycka på piltangenten åt höger för att få fram koordinaterna. Kontroll: f ( x) 3x 4x 1. Gå till RUN i huvudmenyn. Välj OPTN, CALC och SolvN. Dvs: f( x) 0 för och 36

38 4.4 Skärningspunkt mellan grafer 3 Rita grafen till funktionen f som ges av f ( x) x x x. Rita grafen till funktionen g som ges av g( x) x x i samma koordinatsystem. Bestäm eventuella skärningspunkter mellan de två graferna. Vi ritade de två graferna i avsnitt 4.1. Display. Välj G-Solv genom att trycka SHIFT F5. Välj ISCT genom att trycke F5. Tryck piltangenten åt höger för nästa skärningspunkt. Svar: Skärningspunkterna mellan graferna är (-1,103,-0,671) och (0,854,0311). Kommentar: Vi kan kontrollera den grafiska lösningen genom att lösa ekvationen 3 x x x x x. Display1. Display. Viktigt att observera: Display visar att det existerar ytterligare en skärninggspunkt utöver de två punkterna som vi hittade grafiskt. För att upptäcka den här skärningspunkten i koordinatsystemet måste vi utöka axlarna i positiv rikning. 37

39 Välj följande Window Då får vi den här displayen. Vi får nu syn på den tredje skärningspunkten med x-värdet 4,49. Välj G-Solv och ISCT. Tryck piltangenten åt höger två gånger för att få fram den sista skärningspunkten mellan graferna. 4.5 Grafisk lösning av ekvationer Först använder vi intersection till att lösa en enkel ekvation. x 3 x x I kapitel 3 löste vi ekvationen i RUN-programmet. Den ekvationen kan även lösas grafiskt. Vi lägger in den vänstra sidan av ekvationen som funktion Y1 och den högra sidan som funktion Y. Display Välj DRAW genom att trycka F6. Ställ in View Window så att du kan se skärningspunkten mellan de två graferna. Välj G-Solv genom att trycka SHIFT F5. 38

40 Display. Välj ISCT genom att trycka F5. Ekvationen x 3 x x har lösningen x Lös andragradsekvationen: x 5x6 0 I den här uppgiften använder vi ROOT för att lösa ekvationen. Display 1. Välj Draw genom att trycka F5. G-Solv följt av ROOT ger: Tryck piltangenten åt höger och den andra lösningen kommer fram. Andragradsekvationen x 5x6 0 har lösningen x 1 och x 6. Lös ekvationssystemet grafiskt x 3y 3 x y 39

41 Först måste vi göra om ekvationen så att den får formen y ax b. Då får vi: y x 1 3 y x Vi lägger in uttrycken för y. Display. Välj DRAW genom att trycka F5. Välj ISCT genom att trycka F5. Ekvationssystemet har lösningen x 3 och y 1. Öva på grafiska lösningar av enkla ekvationer, andragradsekvationer, tredjegradsekvationer, exponentialekvationer, logaritmekvationer och ekvationer med två okända. 40

42 4.6 Derivata och andraderivata Funktionen f ges av Bestäm f (). 3 f ( x) x x x. Gå in i SET UP och ställ in Derivative till On. Gå ut ur SET UP genom att trycka Exit Välj Draw genom att trycka F6 Välj TRACE genom att trycka SHIFT F1. Här ser vi att f (0) 1. Vi ska bestämma f (). Tryck direkt på talet på tangentbordet.. Då får vi följande display. Tryck EXE. Svar: f () 3. 41

43 Kontroll: Välj RUN i huvudmenyn. Därefter välj OPTN och CALC. Välj d/dx genom att trycka F. Lägg in funktionsuttrycket och det angivna x-värdet. Vi får bekräftat att f () 3. Du kan också använda trace för att få derivatans värden till funktionen. Flytta markören med hjälp av piltangenten. När Derivative är inställt på On, kan vi skriva ut en tabell som visar sammanhörande värden för x och y samt derivatans värden. På den här displayen ser vi till exempel att och Funktionen f ges av Bestäm f (3). 3 f ( x) x x x. Välj RUN i huvudmenyn. Därefter välj OPTN och CALC. Välj d /dx genom att trycka F3. Lägg in funktionsuttrycket och det angivna x-värdet. 4

44 Display Svar: f (3) 14 3 Funktionen f ges av f ( x) x x x. Bestäm x-värdet på eventuella inflektionspunkter på grafen f. Vi får att och Svar: Grafen till f har inflektionspunkt för x Integral - area 3 Funktionen f ges av f ( x) x x x. Bestäm arean av området som ligger i första kvadranten och som begränsas av grafen till f och av de två axlarna. Display som visar grafen f. Välj G-Solv genom att trycka SHIFT F5. 43

45 Tryck F6. Välj dx genom att trycka F3. Välj nedre gränsvärde för integralen genom att trycka direkt på talet 0. Då får vi följande display. Tryck EXE för att bekräfta. Välj övre gränsvärde för integralen genom att trycka direkt på talet 1. Tryck EXE för att bekräfta. 44

46 Vi ser att arean som ligger i första kvadranten och som begränsas av grafen till f och de två axlarna, är lika med 1,0833. Kontroll: Gå till RUN i huvdmenyn. Välj OPTN, CALC och dx. Skriv in funktionsuttrycket och gränsvärdena. Tryck EXE. Svaret är alltså Gör om svaret till decimaltal med hjälp av Vi får svaret bekräftat av den grafiska lösningen. 4.8 Integral - volymen av rotationskropp Ett område är begränsat av grafen till där och x-axeln. Vi roterar detta område runt x-axeln. Då får vi en rotationskropp. Beräkna rotationskroppens volym: Volymen av rotationskroppen ges av: Volymen= Gå till RUN i huvudmenyn. Välj OPTN, CALC och dx. Lägg in formeln. Display. Volymen av rotationskroppen är 8. 45

47 Ett område är begränsat av grafen till y x 1 och den räta linjen y x 3. Vi roterar detta område runt x-axeln och vi får en rotationskropp. Beräkna rotationskroppens volym. Gränserna till den specifika integralen är i detta fall x-koordinaterna till skärningspunkterna mellan parabeln och den räta linjen. Display 1. Välj DRAW genom att trycka F6. SHIFT, G-Solv och ISCT ger. Piltangenten åt höger ger den andra skärningspunkten. Vi kan också bestämma skärningspunkternas x-koordinater med hjälp av SolveN. Display. 46

48 Gå till RUN i huvudmenyn. Välj OPTN, CALC och dx. Notera att integranden är differensen mellan y Vi får. ( x 3) och y ( x 1). Display1. Display. 4.9 Integral arean av en rotationskropp Om funktionen f är deriverbar i hela intervallet a x b, är arean till rotationskroppen vi får när kurvan y f ( x) roterar runt x-axeln: b dy S y 1 dx dx a Området är begränsat av halvcirkeln y 1 x och x-axeln roterar runt x-axeln. Rotationskroppen som då uppstår är en sfär med radien 1. Bestäm arean till denna sfär. Först ser vi att 1 x y ( x) 1x 1x som ger ( y ) x 1 x Gå till RUN i huvudmenyn. Välj OPTN, CALC och dx. Lägg in integranden och gränsvärdena i den bestämda integralen. Display 1. Display. Arean av en sfär med radien 1 är 4 r

49 4.10 Integral båglängd Om funktionen y f x har kontinuerlig derivata i hela intervallet a x b, så är båglängden L av kurvan y f ( x) från a till b given som b dy L 1 dx dx. a 4 Bestäm båglängden till kurvan y f x x 1 där 0x Först ser vi att y x x som ger 3 ( y ) 8 x Gå till RUN i huvudmenyn. Välj OPTN, CALC och dx. Lägg in integranden och gränsvärdena i den bestämda integralen. Display. Båglängden L,167 eller Parameterframställning Många mycket intressanta grafer är inte funktionsgrafer av typen y f ( x), men kan beskrivas genom att både x and y själva är funktioner av en så kallad parameter. Cirkeln x y 1 kan till exempel beskrivas parametriskt genom x cos t och y sin t. Här är alltså t den så kallade parametern. En rörlig punkt som följer en kurva, kan alltså beskrivas med en parameter, där parametern t är tiden. En rörlig punkt som är fixerat på ett roterande hjul är ett intressant exempel där parameterframställning kan användas. Den så kallade cykloiden kan beskrivas av en fix punkt på ett hjul när den rullar på ett horisontellt underlag. 48

50 Vi tänker oss att en cirkel med radien rullar på x-axeln utan att glida. En fast punkt P på cirkeln beskriver då en kurva som vi kaller en cykloid. Cykloidens parameterframställning är: x( t) a( t sin t) y( t) a(1 cos t), där a är radien. Rita kurvan på räknaren. Välj GRAPH i huvudmenyn. VäljTYPE genom att trycka F3 Välj Parm genom att trycka F3. Skriv in funktionsuttrycken. Ställ in fönstret. Display1. Display. Tryck EXIT Välj DRAW genom att trycka F6. Grafen ritar cykloiden. 49

51 Kurvan med parameterframställningen kallar Arkimedes spiral. t 0,6. Rita Arkimedes spiral för x t cos t, y t sin t Skriv in funktionsuttrycken. Välj DRAW genom att trycka F6., är en kurvtyp som vi 4.1 Polära koordinater Anta att l är en rätlinjig axel som startar i origo O, och att P är en punkt i planet. Vi kan lokalisera P i förhållande till l och O genom att ange både avståndet r från O till P och vinkeln som linjen OP formar med l. Det ordnade talparet ( r, ) kallar vi de polära koordinaterna till punkten P. De polära koordinaterna till punkten P är inte specifika. Eftesom vinkeln upprepas för varje, är det uppenbart att ( r, ) ( r, ). Ett negativt värde för r motsvarar en förskjutning på 180. Det betyder att ( r, ) ( r, ). Om vi låter axeln l vara den positiva x-axeln, kan punkten P i planet både ha kartesiska koordinater ( xy, ) och polära koordinater ( r, ). Se figuren nedan. Genom att använda definitionen av sinus och cosinus får vi följande sammanhang mellan de kartesiska koordinaterna ( xyoch, ) de polära koordinaterna ( r, ): x rcos, y rsin. Vi kan också uttrycka r och genom x och y. 50

52 y Vi får att r x y och tan. x 1 y Alltså r x y och tan. x Gör om koordinaterna (4, ) 4 Display. från polära koordinater till kartesiska koordinater. Notera att Angle är i Rad-mode. Svar: x och y Gör om koordinaterna för punkten ( 3, 1) från kartesiska koordinater till polära koordinater. Display 1. Display. Svar: r och 6 Kurvan r (1 cos ) har formen av ett hjärta och kallas därför Cardioid. Rita kurvan. Välj TYPE genom att trycka F3. Välj polära koordinater genom att trycka F. 51

53 Lägg in funktionen. Välj DRAW genom att trycka F6. Beräkna arean av området som begränsas av Cardioiden där r (1 cos ). Arean A begränsas av kurvan r f( ) och r r( ) A 1 r d. där, och ges av Display 1. Omräknat till Cenheter. Viktigt att observera: Func Type måste ställas tillbaka till Y= för att beräkna integralen. Räknaren är inte utrustad med d. När vi använder dx, blir uppfattat som en konstant. Därför är det helt nödvändigt att använda X och inte i integranden. 5

54 Beräkna båglängden av Cardioiden som ges i polära koordinater genom r (1 cos ) har en kontinuerlig derivata för, Om r f( ) och om punkten Pr (, ) ligger på kurvan r f( ) och om går från till, ges längden av kurvan: dr L r d d Vi får att d r sin d. Display Båglängden är 16. Generellt är ekvationen för en Cardioid r a(1 cos ). Utmaning. Använd räknaren till att bekräfta att bågländen av en Cardioid generellt ges av 16a och att arean begränsas av en Cardioid som är 6 a. Experimentera med r acos n och r asin n och undersök om det finns något samband mellan antal blad och om huruvida n är jämt eller udda. Se displayerna nedan. Display 1. Display. 53

55 4.13 Regressionsanalys. Funktionsanpassning. En viktig del av användningen av funktioner är att skapa matematiska modeller som ungefär beskriver de sammanhang vi observerar. Observationerna vi gör, tas hand om och läggs in i tabeller. Med hjälp av tabellerna försöker vi skapa modeller som bäst beskriver relationen mellan y-värden och x-värden. Den här processen kallar vi regressionsanalys eller funktionsanpassning. Ett köpcentrum öppnades för några år sedan. Tabellen nedan visar omsättningen de första månaderna efter öppningen. Januari är månad 1, februari är månad och så vidare. Månad Omsättning ( miljoner kronor per månad) 1,8 3, 4, 4,8 5,0 Hitta en modell för omsättningen per månad de 5 första månaderna. Välj STAT i huvudmenyn. Lägg in tabellvärdena i List 1 och List. Tryck F6 och välj därefter CALC genom att trycka F. Välj REG genom att trycka F3. Välj x^ genom att trycka F3. 54

56 Display. QuadReg ger en andragradsfunktion. Vi ser att r 1. Det betyder att funktionen passar helt perfekt. Med hjälp av regressionsberäkning på räknaren har vi sett att funktionen f ges av f ( x) x 0,4x, och att den kan användas som en matematisk modell för omsättningen per månad de 5 första månaderna. Plotta punkterna och rita grafen som visar omsättningen per månad de 5 första månaderna. Välj GRPH genom att trycka F1 Välj SET genom att trycka F6. Välj GPH1 genom att trycka F1. Gör följande val. Tryck EXIT. Välj GPH1 genom att trycka F1.Välj DefG genom att trycka F. Välj DRAW genom att trycka F6. Grafen viser omsättningen per månad de 5 första månaderna. 55

57 Genom åren har skogsskötare mätt höjden på olika träd i olika miljöer. För en viss trädsort mättes höjden under en 30-årsperiod. x ålder [år] f(x) höjd [m] 0 0,45 1,75 3,70 6,10 8,80 11,60 Hitta en matematisk modell som bäst beskriver höjden av den här trädsorten under den här 30- årsperioden. Efter att ha provat och misslyckats med linjär och kvadratisk regression, provar vi CubicReg som passar som handen i handsken. Den här gången väljer vi att lägga in värdena i List 1 på ett tidseffektivt sätt. Välj RUN i huvudmenyn genom att trycka EXE. Tryck OPTN. Välj List genom att trycka F1. Display Välj Seq genom att trycka F5. Skriv in sekvensen och lägg in den i List 1. Startvärde: 0 Slutvärde: 30 Steglängd: 5 Resultatet ser man i STAT Vi kan spara mycket tid genom att lägga in värden i listor på detta sätt speciellt när det handlar om många värden. 56

58 Vi lägger in trädets höjd i List. Välj CALC, REG och x^3 Vi ser att r 1 och det betyder att tredjegradsfunktionen beskriver trädets ökning i höjd nästan perfekt. Tryck EXIT tills du kan välja GPH1 genom att trycka F1. Med hjälp av av regressionsberäkning på räknaren ser vi att funktionen f ges av 3 f ( x) 0,0004 x 0,0x, och kan användas som en matematisk modell för höjden av trädet under den här 30-årsperioden. Vi kan tillåta oss att ta bort förstagradstermen och konstanten. Jämfört med tredjegradstermen och andragradstermen är de två sista termerna försumbara. På displayen nedan har vi definitonsmängden upp till 60 år. Enligt modellen kommer trädet att nå en maximal höjd efter 55 år. Det får oss att tro att modellen inte gäller längre än för 55 år. För ytterligare tillväxt måste vi hitta en ny matematisk modell. Display. Vi kan inte använda en modell där trädets höjd börjar krympa dramatiskt efter att den har nått sin maximala höjd. 57

59 4.14 Grafisk lösning av olikheter När vi löser enkla olikheter, gäller samma räkneregler som för ekvationer, men med ett viktigt undantag: Om vi dividerar eller multiplicerar med ett negativt tal, måste vi vända olikhetstecknet. Lös olikheten: 3x5 5x 3 utan räknare. 3x5 5x 3 3x5x 3 5 x Vi dividerar med på bägge sidor och måste nu vända olikhetstecknet. x 1 Lös olikheten: 3x5 5x 3 med räknare Alternativ I: Display. Välj DRAW genom att trycka F6. Notera att y5x 3 är den brantaste linjen. Eftersom Y1 Y är olikheten uppfylld för x-värden där Y 1 ligger högre än Y. SHIFT, G-Solv och ISCT ger. Alternativ II: Lösning: x 1 3x5 5x 3 3x55x3 0 x 0 58

60 Display Välj DRAW genom att trycka F6. Eftersom Y1 0är olikheten uppfylld för x-värden där Y 1 ligger över x-axeln SHIFT, G-Solv och ROOT ger. Lösning: x 1 Alternativ III. Display. Välj TYPE genom att trycka F3. Tryck F6. Välj Y genom att trycka F1. Lägg in uttrycken. Tryck EXIT och välj DRAW. Området där olikheten är uppfyllt, är skuggad. 59

61 SHIFT, G-Solv och ISCT ger. Lösning: x 1. Observa att Ineq Type är inställt på And i SET UP. Om vi väljer Or på Ineq Type får vi. Se nästa. Display 1. Display Absolutfunktion Rita grafen till funktionen f som ges av f ( x) x. Välj GRAPH i huvudmenyn. Tryck OPTN. 60

62 Välj NUM genom att trycka F5. Välj Abs genom att trycka F1. Skriv in funktionen. Tryck EXE. Välj Draw genom att trycka F6. Rita grafen till funktionen f som ges av f ( x) sin x. Vi lär oss mer om trigonometriska funktioner i kapitel 5. Skriv in funktionen. Välj DRAW genom att trycka F6. 61

63 5. Trigonometri 5.1 Grader och radianer Radianer ges av b v. r Om vi låter vinkeln vara v radianer och n grader, så får vi att v n 180. I SET UP kan vi välja mellan Deg, Rad och Gra. Vi koncentrerar oss på Deg och Rad. Display. Här är Rad valt. Display. Här är Deg valt. Det mycket viktigt att veta om räknaren är inställd i Deg- eller Rad-mode. Gör om o 30 till radianer. Ställ in Angle i Rad-mode. Tryck OPTN och F6. Välj ANGL genom att trycka F4. 6

64 Skriv in gradtalet, välj gradtecknet och tryck EXE. Osv Gör om 3 till grader. Ställ in Angle i Deg-mode. Tryck OPTN, F6, välj ANGL genom att trycka F4, skriv in vinkeln och välj r genom att trycka F. Tryck EXE. 5. Beräkna sinus, cosinus och tangens Sinus till o 45? 63

65 Ställ in Angle i Deg-mode. Tryck på SIN-knappen, skriv in gradtalet och tryck EXE. Om räknaren står i Rad-mode kan du ta reda på vad sinus gradetecknet bakom 45. o 45 är genom att använda Display. Även om vi har valt Rad-mode, får vi rätt svar eftersom vi använder gradtecknet. Utan gradtecknet vill räknaren göra sinus till 45 radianer. Cosinus till 4? Om vi inte har kontrollerat vilken mode som är valt för Angle, måste vi använda r bakom 4. Display. 64

66 Tangens till o 60? Display. Använd gradtecknet om du inte har kontrollerat vilken mode som är valt för Angle. 5.3 Beräkna vinkeln 1 Bestäm vinkeln v när sin v Display. Deg-mode för Angle är valt. Display. Rad-mode för Angle är valt. Bestäm vinkeln v när 1 cos v. Display. Deg-mode för Angle är valt. Display. Rad-mode för Angle är valt. 65

67 Bestäm vinkeln v när tan v 1. Display. Deg-mode är valt för Angle. Display. Rad-mode är valt för Angle. Använd räknaren till att kontrollera formlerna nedan. Enhetsformeln sin ucos u 1 Motsatta vinklar Supplementvinklar Komplementvinklar sin( u) sin u cos( u) cos u tan( u) tan u o sin(180 u) sin u o cos(180 u) cos o tan(180 u) tan o sin(90 u) cos o cos(90 u) sin u u u u Summa och differens sin( u v) sin ucos v cos u sin v cos( u v) cos ucos v sin u cos v tan uv tan u tan v 1 tan u tan v Av detta följer: sin u sin u cos u cos cos sin u u u cos u 1 1sin u tan u tan u 1 tan u 66

68 Display. Enhetsformeln. Lägg märke till parenteserna. Kontrollera de andra formlerna på egen hand. 5.4 Trigonometriska funktioner och grafer Rita grafen till funktionen f som ges av f ( x) sin x där x [0, ] Sätt Angle i Rad-mode. Välj GRAPH i huvudmenyn. Justera graffönstret. Tryck EXE, EXIT och välj DRAW genom att trycka F6. Öva på egen hand med att bestämma extrempunkter och nollställen. Använd G-Solv. Rita grafen till g som ges av g x ( ) cos ( x) där x [, ]. 67

69 Display. Observera att hakparenteserna får man om man trycker SHIFT och sedan + och Display. Eftersom vi har valt definitionsområde, kan vi bara se grafen i området x [, ] Observera. Rad-mode. Rita grafen till h där h( x) sin x och där x [0,3 ] Tryck OPTN, NUM och Abs. Skriv in funktionen och tryck DRAW. Räkna ut arean till området som begränsas av x-axeln och grafen till f som ges av f ( x) cos x där x [, ]. Display. Fönstret. Display. Skriv in funktionen. 68

70 Välj DRAW genom att trycka F6. G-Solv och dx ger. Välj LOWER. Rekommendation: Använd inte piltangenten för att bestämma UPPER. Tryck direkt på den övre gränsens värden. Välj UPPER. Tryck EXE. Arean av det begränsade området är. Kontroll. 69

71 Ett sommardygn i juli mättes utetemperaturen. Mätningen gjordes varannan timme. Temperaturen mättes i grader Celsius ( o C ), och x är antal timmar efter midnatt. x Utetemperatur 0,3 18,6 18,0 18,6 0,4,5 4,8 6,4 7,0 6,4 4,8,5 0,3 Hitta ett funktionsuttryck som passar till de uppmätta temperaturerna. Rita grafen. Lägg in timmarna i List 1 genom att använda Seq. Gå in i STAT. Lägg in temperaturerna i List. Välj CALC genom att trycka F. Välj REG genom att trycka F3. Tryck därefter F6. Välj Sin genom att trycka F4. Funktionen Y = 4,5sin(0.6X.61) +.53 beskriver temperaturutvecklingen under det här dygnet. Välj COPY genom att trycka F6. Gå till GRAPH. Avrunda parametrarna. 70

72 Anpassa fönstret. DRAW ger den här grafen. När ett flygplan faller i en luftficka, börjar vingarnas spetsar att vibrera. Avståndet från vingspetsarna till normalläge efter t sekunder ges av: 0,6t f ( t) 6e sin( t), där f() t mäts i centimeter. Rita grafen till f och bestäm det maximala avståndet från vingspetsarnas läge till normalläge. Lösning: Ställ räknaren i RAD-mode. Välj följande fönster: Xmin: 0, Xmax: 5, Ymin: 5 och Ymax: 5. X- axeln visar tiden i sekunder. Y- axeln visar förändringen på vingarna i centimeter. Lägg in funktionsuttrycket. Välj DRAW genom att trycka F6. G-Solv och MAX ger. Det maximala avståndet inträffar efter 0,44 sekunder och är ca 4,5 cm. 71

73 5.5 Trigonometriska ekvationer Sinus, cosinus och tangens har dessa generella lösningar i radianer: u u0 n cosu a ger u u0 n sinu b ger u u0 n u u0 n tanu c ger u u0 n där u 0 är lösningen du får på räknaren. Lös ekvationen: : där Display. OPTN, CALC och SolvN. Hela uttrycket: SolveN(1+sin X=(cos X)²) Lösning: x 0, x och Grafisk lösning alternativ I: 3 x. Lägg in vänstra sidan som Y1 och högra sidan som Y. Välj DRAW genom att trycka F6. 7

74 G-Solv och ISCT ger. Tryck piltangenten åt höger. Tryck piltangenten åt höger. Den grafiska lösningen bekräftar den algebraiska lösningen. Grafisk lösning alternativ II: Ekvationen omformas till: där Lägg in vänstra sidan som Y1. Välj DRAW genom att trycka F6. Hela uttrycket är 1+sin X-(cos X)²,[0,π]. G-Solv och ROOT ger. Tryck piltangenten åt höger. 73

75 Tryck piltangenten åt höger. Observera att x inte är en lösning eftersom x 0,. 6. Kombinatorik, sannolikhet och statistik 6.1 Ordnat urval med återläggning Ordnat urval med återläggning. N n r Vi drar r element från n element med återläggning. Ordningen har betydelse. Vi drar 3 element med återläggning från en mängd av 1 element. Hur många ordnade urval kan vi få? Display. Antalet ordnade urval med återläggning är 178. Hur stor är sannolikheten att få yatzy i ett kast? Display 1. Display. Sannolikheten är 0,077 %. 74

76 6. Ordnat urval utan återläggning Ordnat urval utan återläggning. n! npr ( n r)! Vi drar r element från n element utan återläggning. Ordningen har betydelse. Bestäm antal möjligheter att dra 5 kort ur en samling på 13 kort, när vi tar hänsyn till ordningen (permutationer) på de 5 korten vi drar. OPTN och F6 ger. Välj PROB genom att trycka F. Välj npr genom att trycka F. Tryck piltangenten åt vänster för att placera markören framför P. Skriv in 13P5 och tryck EXE. Svar: Antal möjligheter är Kontroll: Fakultet hittar vi till vänster om npr. 75

77 6.3 Oordnat urval utan återläggning Oordnat urval utan återläggning n! ncr r!( n r)! Vi drar r element från n element utan återläggning. Ordningen har ingen betydelse Bestäm antal möjligheter att dra 5 kort ur en samling på 13 kort, när vi inte tar hänsyn till ordningen på de 5 korten vi drar. OPTN, F6 och PROB ger. Välj ncr genom att trycka F3. Skriv in 13C5. Svar: Antal möjligheter är 187. Kontroll: 6.4 Binomiala försök Vi ska nu se på försök som upprepas n gånger. Varje försök har bara två möjliga utfall, lyckat eller misslyckat. Sannolikheten att lyckas är densamma i varje försök. Utfallen av de olika försöken är oberoende. Detta kallar vi binomiala försök. Binomiala forsök Sannolikheten att lyckas inträffar x gånger av n n x P( X x) p (1 p) x x 0,1,,3,..., n nx Antal oberoende försök är n. p är den konstanta sannolikheten att lyckas. Antalet lyckade försök är x. Vi kastar en vanlig tärning 5 gånger. Hur stor är sannolikheten att få två sexor? 76

78 Sannolikheten att få en sexa är 1 6. Det betyder att sannolikheten att inte få en sexa är 5 6. OPTN, F6 och PROB ger. Välj ncr genom att trycka F3. Skriv in formeln. Sannolikheten att få två sexor är 0,16. Vi kastar en vanlig tärning 7 gånger. Hur stor är sannolikheten att få mellan 10 och 14 sexor? Vi ska alltså bestämma P(10 X 14) där X antalet sexor. Välj Seq i Catalog. Display. Välj STAT i huvudmenyn 1VAR genom att trycka F1. Välj CALC genom att trycka F och därefter Sannolikheten P(10 X 14) 0,57. 77

79 6.5 Binomialfördelning Vi kastar ett mynt 50 gånger. Låt X vara antal gånger vi får krona. Sannolikhetsfördelningen för X blir en binomialfördelning. Sannolikheten att lyckas är exakt p 0,5. Antingen får vi krona eller klave i ett kast. Display. Gör sannolikhetsfördelningen i försöket ovan Lägg in sannolikheten att få klave från 0 till 50 gånger i List. Vi observerar att: x 50x 50 P( X x) 0,5 0,5 0,5 x x Display. Välj STAT i huvudmenyn. Välj GRPH och därefter SET. 78

80 Välj GPH1 genom att trycka F Hypergeometrisk fördelning Hypergeometrisk fördelning X är antalet speciella element i urvalet M N M x n x P ( X x) N n Mängd med N element som består av M speciella Vi väljer slumpmässigt n element. Vi har 10 vita och 8 röda kulor i en låda och vi tar slumpmässigt ut 5 kulor. Hur stor är sannolikheten att vi tar vita och 3 röda kulor? Formeln ger. : 79

81 6.7 Kurvdiagram Tabellen nedan visar oljeproduktionen i ett OPEC-land mellan åren 1990 till 005. Produktionen är i 1000 ton. Årtal Produktion Visa produktionsutvecklingen under den här perioden i ett kurvdiagram. Vi lägger in årtalen från 1995 till och med 005 i List 1 med hjälp av Seq. Display När vi går in i STAT ser vi att årtalen ligger i följd i List 1. Talen för produktionen lägger vi i List. Display. Välj GRPH genom att trycka F1. Välj SET genom att trycka F6. Sätt Graph Type till xyline. Välj GPH1 genom att trycka F1. 80

82 6.8 Sortering av statistiskt material Vilket år var oljeproduktionen minst och vilket år var produktionen störst? I ett så begränsat material som vi arbetar med här, är det möjligt att hitta informatinonen utan hjälp av räknaren. Men om materialet vore mer omfattande, skulle det här förfarandet vara till stor nytta. Tryck EXIT och F6 tills du får den här displayen. Välj TOOL genom att trycka F1. VäljSRT-A genom att trycka F1. Ange antal listor. Tryck EXE. SRT-A betyder att det ska sorteras i stigande följd. Ange baslistan. Tryck EXE. Välj den sammanhörande listan. Tryck EXE. Årtal och produktion ska inte separeras, utan hållas ihop under sorteringen. Oljeproduktionen är minst år 1997 och störst år

83 6.9 Medelvärde, median, kvartiler, typtal och variationsbredd Medelvärdet Summan av alla värden dividerat med antal värden Genomsnitt i frekvensfördelningar Median Typtal Variationsbredden Övre kvartil Nedre kvartil Kvartilavstånd Kvartilavvikelse x1 x x3... xn x n h1 x1 h x h3x3... hp x x n m f x 1 1 m f n... m k Det mittersta värdet när datamaterialet är sorterat i stigande ordning. Värde i datamaterialet som förekommer flest gånger. Variationsbredd= högsta värde lägsta värde Värden i ett sorterat datamaterial där 5 % av observationsvärdena har ett högre värde. Värden i ett sortert datamaterial där 5 % av observationsvärdena har ett lägre värde. Kvartilavstånd= Övre kvartil nedre kvartil Kvartilavvikele =kvartilavsåndet/ p f k Där x1, x är observerade värden. När värdet x förekommer gånger i n observationer. i h i k intervaller med mittpunkt m1, m,... m och tillhörande k frekvenser f1, f,... f k Observera! Om antal observationer är jämna siffror, blir medianen medelvärdet av de två mittersta värdena. Kvartilavståndet påverkas inte av de 5 % största eller minsta värdena. Kvartilavståndet har därför en bra spridning, även om värdena i datamaterialet är ojämnt fördelat. Det gjordes flera mätningar av trafikbuller i en stad. Följande data (i db) registrerades 5,0 54,4 54,8 55,1 55,9 56,1 56,1 57, 57,6 58,1 58, 59,4 59,4 59,9 60,6 60,7 61,1 61,3 6,1 6,3 63,0 63,4 63,7 63,9 63,9 64,5 64,8 65,1 65,9 66,5 66,7 67,1 68,9 69,1 70,4 7,8 Bestäm medelvärdet, medianen, övre- och nedre kvartilen, typtal och variationsbredden. 8

84 Lägg in datan i List 1. Välj CALC genom att trycka F. Välj1VAR genom att trycka F1. Tryck nedåt med piltangenten. Medelvärdet är 61,4 db. Medianen är 61,3 db. Nedre kvartilen är 57,6 db och övre kvartilen är 64,8 db. Tryck nedåt med piltangenten. Dessa tre resultat finns flest gånger i datamaterialet. Typtal är 56,1 db, 59,4 db och 63,9 db. 83

85 Variationsbredden är differensen mellan högsta och lägsta värdet i datamaterialet. maxx minx 70,4 5 18,4 dvs. 18,4 db På ett matematikprov fick eleverna i en klass följande betyg Hitta medelvärdet, medianen och variationsbredden. Lägg in betygen i List 1 i STAT. I den här uppgiften ska vi hitta medelvärdet, medianen och variationsbredden i RUN-MAT. Hitta Mean och Median i Catalog. Den här differensen ger variationsbredden Varians och standardavvikelse Varians ( x x) ( x x)... ( x x) s n x är medelvärdet 1 n Ett mått för spridningen i förhållande till genomsnittet. Standardavvikelse ( x1 x) ( x x)... ( xn x) s Kvadratroten av variansen. n Standardavvikelse är ett mått på hur stor variation det är i det statistiska materialet vi behandlar. Variabeln vi mäter, kan vi kalla X, då vi ofta kallar standardavvikelsen för σ x, SD(x) eller s x. Vi antar att vi har en uppsättning mätningar av värde X. Dessa kan vi kalla x 1, x,..., x n. För att räkna ut standardavvikelsen måste vi först räkna ut medelvärdet x eller ˆ x. 84

86 Formeln för att räkna ut standardavvikelsen är: SD( x) n i1 ( x x) ( xi x) i1 Standardavvikelsen är kvadratroten av variansen som ges av VAR( x) n I vår formel för standardavvikelsen har vi valt att dividera med n. Ibland dividerar vi kvadratsumman med n - 1. När vi dividerar kvadratsumman med n, får vi standardavvikelsen av en population. Standardavviklesen för stickprov får vi genom att dividera med n 1. Om urvalet är stort, dvs n är stort, spelar det inte så stor roll om vi dividerar med n eller n 1. Räknaren skiljer mellan standardavvikelse av population och standardavvikelse av stickprov. Standardavvikelse av en population skrivs x, medan standardavvikelsen av ett stickprov skrivs x n 1. Först ska vi göra några beräkningar för hand. n i n n Honungsproduktion En honungsproducent har 53 bikupor. För att göra tabellen mer praktisk har biodlaren klassindelat materialet. Vi ska alltså behandla så kallat klassindelat material. Tabellen nedan visar bland annat honungsproduktionen i kilogram per bikupa under en säsong. Det är inte möjligt att hitta den exakta medelvikten från talen i tabellen, men vi kan hitta ett ungefärligt medelvärdet med hjälp av klassmitten för klasserna. Klassmitten är medelvärdet av det nedre och övre värdet i intervallet. Vi antar att alla bikuperna i en klass har en vikt som svarar mot mittpunktens värde. Vi får följande tabell: Vikt [kg] Frekvens f Klassmitt x m Klassumman f x m Kvadratisk avvikelse f ( x x) [10,0> [0,30> [30,40> [40,50> [50,60> [60,70> [70,100> Sum För att vi ska kunna fylla in värdena i den sista kolumnen måste vi räkna ut medelvärdet. Vi f x 195 hittar medelvärdet med x m 36, det vill säga cirka 36 kg. n 53 m 85

87 Standardavvikelsen: x n n i1 ( x x) i n = ,84, dvs 18,84 kg. 53 Hur kan vi använda räknaren i det här problemet? Vi vill naturligtvis kunna mata räknaren med viktklasserna och frekvensen för att därefter låta räknaren hantera det tidskrävande beräkningsarbetet. Men hur hittar räknaren klassmittens värde? Vi lägger in den nedre gränsen för klasserna i List 1 och den övre gränsen i List. List 1+List Frekvenserna lägger vi i List 3. Så lägger vi in formeln i List 4. Det betyder att List 4 kommer att ha klassernas klassmitten. Display1. Display. Display 3. Välj följande SET för 1 Var Tryck EXIT och F1. Räknaren bekräftar att medelvärdet är x 36,3 och att standardavvikelsen är x 18,84. n 86

88 6.11 Väntevärde, varians och standardavvikelse för en stokastisk variabel X Väntevärde: E( X ) x P( X x) Variansen: Standardavvikelsen: VAR(X ) I en binomialfördelning är E( X ) VAR X x E X P X x ( ) ( ( )) ( ) Räknereglerna för väntevärdet och variansen: E( a bx ) a b E( X ) E( X Y) E( X ) E( Y) VAR a bx b VAR X ( ) ( ) np och VAR( X ) np(1 p) Om X och Y är oberoende, gäller: VAR( X Y) VAR( X) VAR( Y) Tabellen visar sannolikhetsfördelningen av X. x P(X=x) Beräkna EX ( ) och VAR( X ). Lägg in sannolikhetsfördelningen i Listor. Nästa display visar hur vi kan räkna med listor. Lägg produkten av List 1 och List i List 3. Sum List 3 ger väntevärdet EX ( ). 87

89 Display. Variansen VAR( X ),5. Vi tjänar mycket tid genom att arbeta med listorna på det här sättet 7. Tal 7.1 Stora tal. Summa och fakultet Låt oss börja med den välkända historien om uppfinningen av schackspelet. Indiens härskare blev mycket begeistrad av uppfinningen av schackspelet som en av de vise männen i härskarens palats hade gjort. Härskaren sa att den vise mannen själv fick bestämma sin belöning för uppfinningen. Uppfinnaren av schackspelet var en duktig matematiker. Han föreslog för sin herre att han gärna ville ha ett riskorn i den första rutan på schackbrädet, det dubbla antalet riskorn i den följande rutan osv med dubblering av antalet riskorn för varje ruta på brädet i de övriga 6 rutorna på schackbrädet. Härskaren tyckte detta var en blygsam belöning. Han beordrade sina tjänare att skaffa riskornen för att uppfylla den vise mannens önskan. Men härskaren blev mycket förvånad över hur snabbt schackbrädet blev täckt av riskorn och hur snabbt det gick innan hela palatset var fyllt. Antalet riskorn i den sista rutan på schackbrädet kan vi skriva som upphöjt till eller som Hur många riskorn blev det totalt? Vi summerar antalet riskorn i alla de 64 rutorna på schackbrädet. Då får vi n n0 Gå in i RUN och välj OPTN. Välj CALC genom att trycka F3. 88

90 Tryck F6. Välj ( genom att trycka F3. Skriv in summan och tryck EXE. Notera att vi får samma svar genom. Talet har 0 siffror. Varför? 64 Om vi vill veta hur många siffror 1 har, kan vi göra följande uträkning. Du hittar Int genom OPTN, F6, NUM (F3). Int ger heltalsvärden. Eftersom alla funktioner och kommandon ligger i Catalog, kan du också hitta Int där. Vi ser att svaret har en siffra mindre än antalet siffror. Vi kan också presentera stora tal med hjälp av fakultetsfunktionen på räknaren. Vi minns att n! = 1 (n 1) n. 89

91 Gå in i RUN-MAT. Tryck OPTN och F6. Välj PROB genom att trycka F. Det största talet vi kan lägga in. 69! har 99 siffror. Vi noterar följande kapacitetsbegränsning. 7. GCD, LCD, MOD och MOD-E Räknaren är utrustad med olika funktioner som: GCD (a,b) (greatest common divisor of a and b) största gemensamma delare (divisor) för a och b LCM (a,b) (least common multiple of a and b) minsta gemensamma multipel för a och b MOD (a,b) (a modulo b, i.e. the remainder when a is divided by b) a modul b, dvs. resten när a divideras med b De engelska förklaringarna förklarar förkortningarna. 90

92 Hitta största gemensamma delare för 34 och 18. Gå til RUN i huvudmenyn. Tryck OPTN och F6. Välj NUM genom att trycka F3. Tryck F6. Välj GCD genom att trycka F. Skriv in talen. och är den största gemensamma delaren för 34 Display. Hitta den minsta gemensamma multipel för 34 och 180. och är minsta gemensamma multipel för 34 91

93 Bestäm resten när 34 divideras med 180. Utan användning av MOD måste vi göra följande uträkning. Användning av MOD. Resten är alltså 54. Display. Hitta den gemensamma multipeln till bråken och Gemensamma multipeln är 84. Bestäm resten i beräkningen 3 8 : 5 Utan användning av MOD-E måste vi göra följande uträkning. Med användning av MOD-E. 9

94 7.3 Komplexa tal Hitta realdelen och imaginärdelen till det komplexa talet 3 4i. Tryck OPTN. Välj CPLX genom att trycka F. Tryck F6. Välj ReP genom att trycka F1. Skriv in talet. Realdelen är 3. Välj ImP genom att trycka F. Skriv in talet. Imaginärdelen är 4. Display. Räkna ut: (3 4i) ( 7i). 93

95 Generellt gäller: ( a bi) ( c d i) a c ( b d)i Display Beräkna: (3 4i) ( 5i) Det inversa värdet av det komplexa talet ( a bi) skriver vi som 1 a b Följande räkneregel gäller: ( a bi) i a b a b ( a i) 1 b. Bekräfta räkneregelen ovan genom att räkna ut (5 3i) 1. Display Sätt a 5 och b 3och kontrollera själv. Hitta det komplexa konjugatet till 3 4i Display. 94

96 Experimentera med ett komplext tal och dess konjugat. Vilka räkneregler för summa, differens, multiplikation och division kan du bekräfta på räknaren? Hitta absolutvärdet till 5 3i. Tryck OPTN och CPLX. Välj Abs genom att trycka F. Skriv in talet. Vilken räkneregel ser ut att gälla? Hitta argumentet till 3 3i. VäljArg genom att trycka F3. Skriv in talet. Räknaren är i RAD-mode. Varför blir argumentet 4 i detta fall? Skriv det komplexa talet 3+3i på exponentiell form. Tryck OPTN, CPLX, F6. Skriv in talet, F3 och EXE. I exponentiell form: i 4 3 e. 95

97 Skriv det komplexa talet i 3 e på formen a bi. Display. 7.4 Binära och hexadecimala tal Gör om det binära talet till decimaltal. Gå in i SET UP. Ändra Mode till Bin. Tryck EXIT. Skriv in det binära talet. Välj DISP genom att trycka F3. Tryck F1. 96

98 När vi har valt Bin-Mode kan vi skriva d före ett tal för att uttrycka att vi skriver ett tal i decimalform. Tryck F1 och skriv d107. Här ser vi att har gjorts om till Visa på räknaren att det hexadecimala talet 7CB16 är lika med Vi väljer att göra om decimaltalet 1995 till hexadecimal form. Välj Hex-mode. Tryck EXIT och F1. Skriv in d1995. Du kan utföra addition, subtraktion, multiplikation och division i de olika talsystemen. Öva själv. 8. Enhetsomvandlig 8.1 Längd, area och volymenheter Gör om till meter. a),54 cm b) 1 mile 97

99 a) Välj RUN i huvudmenyn. Tryck OPTN. Välj CONV genom att trycka F5. Skriv inn,54. Välj LENG genom att trycka F. Gå nedåt med piltangenten till cm. Tryck EXE. Tryck F1. Välj LENG genom att trycka F. Gå nedåt med piltangenten till m. Tryck EXE två gånger. Svar:,54 cm 0,054 m. b) Skriv in 1. Välj LENG. Gå höger med piltangenten till Length. Gå nedåt med piltangenten till mile. 98

100 Tryck EXE och F1. Välj LENG, Length1 och m för meter. Display. Svar: 1 mile 1609,344 m Gör om 500 cm till m. Skriv in 500. Välj AREA och cm. Tryck EXE och F1. Välj AREA och gå med piltangenten till m.tryck EXE två gånger. 99

101 Svar: 500 cm 0,5 m. Gör om 1 amerikansk gallon till liter. Välj VLUM. Samma förfande som ovan. Svar: 1 gal 3,785 liter 8. Omvandlingsformel för Fahrenheit och Celsius Använd räknaren till att bestämma en formel för att omvandla från Celsius till Fahrenheit. Gå till RUN. Lägg in några grader Celsius i List 1. Använd CONV till att konvertera Celsiusgrader i List 1 till Fahrenheitgrader. Lägg Fahrenheitgraderna i List. Det är viktigt att lära sig att arbeta med listor på det här sättet. Välj STAT i huvudmenyn. Vi får bekräftat att Celsiusgraderna ligger i List 1 och att de konverterade Fahrenheitgraderna ligger i List. Listorna kan också ges namn. 100

102 Välj CALC, REG, X och ax+b. Svar: F 1,8 C 3 eller 9 F C 3 5 Pröva själv att bestämma formeln för omvandling av Fahrenheit till Celsius. Den ska bli: 5 C ( F 3) Tidsenheter Hur många sekunder går det på en vecka? Gå till CONV. Lägg in 1. Välj TIME. Gå nedåt med piltangenten till week. Tryck EXE och F1. Markera s. 101