Tillförlitlighet i livslängdsanalyskedjan - Life Management RM12 -

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Tillförlitlighet i livslängdsanalyskedjan - Life Management RM12 -"

Transkript

1 Tillförlitlighet i livslängdsanalyskedjan - Life Management RM1 - The information contained in this document is Volvo Aero Corporation Proprietary Information and it shall not either in its original or in any modified form, in whole or in part be reproduced, disclosed to a third party, or used for any purpose other than that for which it is supplied, without the written consent of Volvo Aero Corporation. Any infringement of these conditions will be liable to legal action.

2 Tillförlitlighet i livslängdsanalyskedjan Bakgrund Kort beskrivning av en tillförlitlighetsmetod Tillämpning av metoden vid tre skeden av produktutveckling Praktisk demonstration av metoden mha Excel , Slide

3 Tillförlitlighet i livslängdsanalyskedjan Metod framtagen av FCC och Volvo Aero: TBLP (TillförlitlighetsBestämd LivslängdsPrediktering) Bakgrund till samarbetet: Life Management RM1, livslängdssiffra i underhållsplanen Vilken säkerhetsfaktor skall vi använda? Validering av modeller i livslängdsanalyskedjan Kontakt med Thomas Svensson, FCC, på UTMISmöte , Slide 3

4 Life Management RM1 Några tiotal syntetiska flyguppdrag ( uppdragsmix ) utgör grunden vid livslängdsberäkningen u-spåret i bakre fläktnav , Slide 4

5 Livslängdssiffra i underhållsplanen: I beräkningarna gjorda hypotesval : Nedan beräknade värden gäller den kritiska punkten i u-spåret, där radien är r=1.0 mm ( K full, K part och N ELCF har med uppdragsmixen att göra och används för att mha i drift mätta motorparametrar beräkna förbrukad livslängd) K full K part N ELCF Livsl. i flygtid(timmar) (beräknad mha -3sigma data) EOT(timmar) Oktaeder-skjuvsp., SWT, Neuber- regeln Cx0000. Ax1000. Bx1000. I underhållsplanen: 0.75xBx1000=Bx750 timmar, -> flygtid 0.75xAx1000= Ax750 timmar I de fortsatta analyserna är A=1.50, i verkligheten något annat , Slide 5

6 Metodens förutsättningar i korthet: Δε σ -Vi har en livslängdsmodell, exempelvis E -Vi vet/antar att utmattningslivslängd är log-normalfördelad. En generell tillförlitlighetsmodell kan vi få om: ' = f f b ' ( N) + ε ( N) c θ( ~ X) Z-Vi skriver om och tar naturliga logaritmen: -Vi förenklar uttrycket ovan genom en Taylor-utveckling: ( Δε,θ) + X + X + K+ X + Z + Z + Z 1 p 1 q lnn = f K+,~,θ(1) där f ( Δ ε, ) representerar livslängdsmodellen, med Δε som töjningsomfånget och med ( θ 1, K, θ ) som modellparametrarna. r (1) är alltså TBLP-metodens tillförlitlighetsmodell Modellparametrar: utmattningsdata, medelspänningsinflytande, fleraxlighet, plasticeringsinverkan, sekvenseffekter, toleransinverkan etc. Xi och Zk representerar olika källor till =θ spridningar respektive osäkerheter ; ln N = g Δε tot, De antas ha 0 i medelvärde och variansernaτ respektive i δ k , Slide 6

7 I fortsättningen kallar jag mätta parametrars standardavvikelse för spridning (scatter),τ i, och standardavvikelsen för osäkerhet i modellparametrar för osäkerhet (uncertainty), δ k En grundförutsättning för alla tillförlitlighetsmetoder är att fördelningsfunktionen för slutresultatet är känd (vi antog log-normal) Trots detta medger metoden att man hos modellparametrarna kan ha godtyckliga och okända fördelningsfunktioner. Är de okända måste man dock göra antaganden om fördelningsfunktionerna vad gäller form och spridning/osäkerhet. När dessa är fastställda och beräknade, antar vi att summeringar kan göras enligt (1) FE-analyser, med möjlighet att variera geometrin vid kritiska punkter CUMFAT-körningar, som ger påverkan från de olika parametrarna på livslängden (CUMFAT är Volvo Aeros egenutvecklade program för sprickinitieringsanalys) , Slide 7

8 Resulterande standardavvikelse fås genom summeringar av spridningar och osäkerheter med hjälp av roten ur summan på kvadraterna : τ sum = τ + τ + 1 n 1 m... τ + δ + δ +... δ Summan blir (ungefär) normalfördelad enligt centrala gränsvärdessatsen , Slide 8

9 Centrala gränsvärdessatsen Central Limit Theorem : Summafördelning för Likformig fördelning Summafördelning för Badkarsfördelning , Slide 9

10 Metoden syntetiserad i form av ett Excel-sheet : , Slide 10

11 Vi tänker oss 3 utgångslägen för de analyser vi skall genomföra: 1. Ingen komponentprovning utförd, ingen driftserfarenhet tillgänglig (ofta förekommande utgångsläge). Komponentprov utfört, ingen driftserfarenhet tillgänglig (behov av komponentprov kan vara en följd av att man genomfört analyser med förutsättningar enligt 1. ) 3. Komponentprov utfört, motorparametrar mätta under flygning (i Volvo Aeros åtagande vad gäller Life Management RM1 får vi så småningom tillgång till mätningar av hur motorn faktiskt använts) , Slide 11

12 1. Ingen komponentprovning utförd, ingen driftserfarenhet tillgänglig 1500x0.75= , Slide 1

13 Tillförlitlighet Utmattning: TBLP Spridning mellan batchar τ =0.05 Bedömning och analys av materialdata: 0.1 LCF, R=0, 366.3K Strainrange Cycles to initiation, average E+06 Cycles to initiation, minimum E+06 ln(ave) ln(min) Strainrange Life, cycles minimum366.3k mean366.3k 3sigma=ln(ave)-ln(min) std=sigma=3sigma/ Average scatter from selected 3 levels (calculated as the root of the average value of the variance sigma ) τ within = 0.91 Livslängdsberäkning med medeldata, som förutsätts av metoden, ger livslängden 4165 timmar, att jämföra med -3sigma-data, som ger 1500 timmar τ within Statistisk-(anpassnings-)osäkerhet, 4 parametrar 40 prover ger = τ + τ τ = δ = τ within = = = , Slide 13

14 Ingående modellers osäkerhet: Hur bra beskriver Basquin-Coffin-Mansonformen LCF-kurvan? Antag att felet maximalt ger upphov till 5% osäkerhet i livslängden (standardavvikelsen antas vara 5% av medelvärdet) och alltså δ = , Slide 14

15 Bedömning och analys av geometriinverkan: toleranssättningen av u-spåret bedöms vara helt och hållet avgörande Toleranssättningen ger att livslängden kan ligga mellan 0.5. N och. N. Antag likformig fördelning: Original u-groove nodes compared to Modified u- groove nodes 4.00E E-0 radius (m) 3.80E E-0 NEWNODES OLDNODES Detta ger spridningen: 3.60E z-coordinate (m) τ = 1 1 ( ln( ) ln( 0. 5) ) = ln( ) 1 1 = , Slide 15

16 Ingående modellers osäkerhet: Bedömning av medelspänningsinflytande Antag likformig fördelning mellan Morrow (5409 timmar) och Smith-Watson-Topper (4165 timmar), detta ger osäkerheten: 1 δ = ( ln( 5409) ln( 4165) ) = , Slide 16

17 Ingående modellers osäkerhet: Bedömning av inverkan av fleraxlighet Antag likformig fördelning mellan Oktaeder- (4165 timmar) och Skjuvspänningshypotesen (1 timmar), detta ger osäkerheten : δ = 1 1 ( ln( 4165) ln( 1) ) = , Slide 17

18 Ingående modellers osäkerhet: Bedömning av inverkan av plasticering Antag likformig fördelning mellan Linjära regeln (4930 timmar) och Neubers regel (4165 timmar), detta ger osäkerheten : 1 δ = ( ln( 4930) ln( 4165) ) = , Slide 18

19 Ingående modellers osäkerhet: Bedömning av inverkan av kvaliteten på FE-modellen Modellkvaliteten bedöms ge att spänningen kan ligga på nominellt värde plus minus 3%. Med lutningskoefficienten 6 (konservativt) bör då livslängden ligga mellan N och N. Antag likformig fördelning: 1 δ = ( ln( 1. 18) ln( 0. 85) ) = , Slide 19

20 Ingående modellers osäkerhet: Bedömning av inverkan av sekvenseffekter Tidigare erfarenheter antyder att sekvenseffekter kan ge halvering såväl som dubblering av livslängden, som då skall ligga mellan 0.5. N och. N. Antag likformig fördelning: 1 δ = ( ln( ) ln( 0. 5) ) = , Slide 0

21 Bedömning av lastosäkerhet: Lasten är mycket väl beskriven och flygning skall ske med riktlinjer enligt lastbeskrivningen Därför bedöms att lastosäkerhetens inverkan på livslängden är likformigt fördelad mellan N och 1.5. N Detta ger osäkerheten : 1 δ = ( ln( 1. 5) ln( ) ) = , Slide 1

22 , Slide

23 Uppdatering; Komponentprov *) genomfört, provet bedöms vara relevant och ge önskad information om: inverkan av fleraxlighet (konstantamplitud med rätt spänningstillstånd) sekvenseffekter (uppdragsliknande lastsekvens, uppdrag i uppdragsmixen, med rätt spänningstillstånd) *) : Validerande prov för att kvalificera analysmodeller för användning i motorkomponentens miljö , Slide 3

24 . Komponentprov utfört, ingen driftserfarenhet tillgänglig 1500x0.75= , Slide 4

25 Inverkan av fleraxlighet: provet gav att livslängden var faktorn 1.65 längre än tidigare predikterad Detta ger då att predikterad livslängds medelvärde ökar från 4165 timmar till 6873 timmar Samtidigt blir spridningen för fleraxlighetsinverkan, som beräknas på provutfallet för konstantamplitud: Antal cykler till brott. N (mv= ) ln(n) Uppskattad spridning t*std(ln(n)) τ = 0.16 τ = t n n 1 n [ ln( N i ) ln( N) ] i= 1 Table 1. Scaling factor from the t-distribution > τ = [( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ] = , Slide 5

26 Sekvenseffekter: även detta prov gav att livslängden var faktorn 1.65 längre än tidigare predikterad. Detta tyder på att vi inte har några sekvenseffekter, eftersom sekvenseffektsprovet hade samma fleraxlighet som fleraxlighetsprovet. Fleraxlighet och sekvenseffekter tillsammans ger då (oförändrat) att predikterad livslängds medelvärde ökar från 4165 timmar till 6873 timmar Samtidigt blir spridningen för inverkan av sekvenseffekter, beräknad på provutfallet för sekvensen uppdrag : Antal sekvenser till brott. N (mv= ) ln(n) Uppskattad spridning t*std(ln(n)) τ = τ = [( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ] = , Slide 6

27 Tillförlitlighet Utmattning: TBLP Statistical uncertainty due to updating, multiaxiality: δ = δ ˆ θ n τ + n = = sequence effects: δ = δ ˆ θ n τ + n Pooled scatter: = τ pooled = ( 5 1) Here: τ pooled = 1 ( ) = t ( n1 1) τ1 + ( n 1) τ ( nk ) ( n + n n k) n = Skalfaktor från t-fördelning k τ k , Slide 7

28 , Slide 8

29 3. Komponentprov utfört, motorparametrar mätta under flygning 1500x0.75= , Slide 9

30 Uppdatering; mätningar av motorparametrar på motorer i tjänst. Användande av de uppmätta parametrarna (i stället för uppdragsmixens syntetiskt bestämda) för att beräkna laster, och så småningom livslängd, ger ca 30% längre livslängd Medelvärdet för predikterad livslängd ökar därmed med faktorn 1.36, till 9345 timmar Lastosäkerheten förändras; ur en rapport över bland annat beräknad skada baserat på uppmätta parametrar kontra syntetiskt bestämda parametrar kan följande tabell ställas upp (16 st u-spår): δ = , Slide 30

31 , Slide 31

Effektivare lågtryckskompressor - med flera användningsområden

Effektivare lågtryckskompressor - med flera användningsområden Effektivare lågtryckskompressor - med flera användningsområden Karl-David Pettersson & Torbjörn Salomonson The information contained in this document is Volvo Aero Corporation Proprietary Information and

Läs mer

Signaturanpassning av motorutlopp

Signaturanpassning av motorutlopp Signaturanpassning av motorutlopp Bernhard Gustafsson & Stefan Trollheden The information contained in this document is Volvo Aero Corporation Proprietary Information and it shall not either in its original

Läs mer

Ariane 6, ett genombrott för Sandwich teknologin

Ariane 6, ett genombrott för Sandwich teknologin Ariane 6, ett genombrott för Sandwich teknologin Ulf Palmnäs The information contained in this document is GKN Aerospace Sweden AB Proprietary information and it shall not either in its original or in

Läs mer

4. Ny svensk rymdteknik och nya produkter

4. Ny svensk rymdteknik och nya produkter 4. Ny svensk rymdteknik och nya produkter Peter Alm The information contained in this document is GKN Aerospace Sweden AB Proprietary information and it shall not either in its original or in any modified

Läs mer

Ny leverantörbas för effektivare utveckling av bränslesnåla flygmotorer 2009-02-05

Ny leverantörbas för effektivare utveckling av bränslesnåla flygmotorer 2009-02-05 Ny leverantörbas för effektivare utveckling av bränslesnåla flygmotorer 2009-02-05 Session 5: Ny fordonsteknik nya affärer The information contained in this document is Volvo Aero Corporation Proprietary

Läs mer

Automatiserad röntgen i industriell miljö med CR-teknik

Automatiserad röntgen i industriell miljö med CR-teknik Automatiserad röntgen i industriell miljö med CR-teknik Peter Fridolf, GKN Aerospace Sweden AB 9654 Process Engineering Manufacturing Methods 2015-04-28 The information contained in this document is GKN

Läs mer

Tekniska kluster Lessons Learned

Tekniska kluster Lessons Learned Innovair årsmöte Johan Vallhagen, 2016-09-20 The information contained in this document is GKN Aerospace Sweden AB Proprietary information and it shall not either in its original or in any modified form,

Läs mer

Gränslastberäkning en enkel och snabb väg till maximal bärförmåga

Gränslastberäkning en enkel och snabb väg till maximal bärförmåga Gränslastberäkning en enkel och snabb väg till maximal bärförmåga Mikael Möller & Anders Olsson Stockholm, 2014 Confidentiality This document contains elements protected by intellectual property rights

Läs mer

ÄNDRING CHANGE T = TILLKOMMER / ADDED V = VAR / WAS U = UTGÅR / DELETED

ÄNDRING CHANGE T = TILLKOMMER / ADDED V = VAR / WAS U = UTGÅR / DELETED ÄNDRINGSINFORMATION CHANGE INFORMATION DATUM DATE SIDA PAGE ÄNDRING CHANGE T = TILLKOMMER / ADDED V = VAR / WAS U = UTGÅR / DELETED STANDARD 6771 2003-04-22 Se ÄI / See CI JUSTERBLECK Stål SHIMS Steel

Läs mer

Ingenjörsmetodik IT & ME 2011 Föreläsning 11

Ingenjörsmetodik IT & ME 2011 Föreläsning 11 Ingenjörsmetodik IT & ME 011 Föreläsning 11 Sammansatt fel (Gauss regel) Felanalys och noggrannhetsanalys Mätvärden och mätfel Medelvärde, standardavvikelse och standardosäkerher (statistik) 1 Läsanvisningar

Läs mer

Mälardalens Högskola. Formelsamling. Statistik, grundkurs

Mälardalens Högskola. Formelsamling. Statistik, grundkurs Mälardalens Högskola Formelsamling Statistik, grundkurs Höstterminen 2015 Deskriptiv statistik Populationens medelvärde (population mean): μ = X N Urvalets medelvärde (sample mean): X = X n Där N är storleken

Läs mer

2. Förklara vad en egenfrekvens är. English: Explain what en eigenfrequency is.

2. Förklara vad en egenfrekvens är. English: Explain what en eigenfrequency is. Linköpings Universitet, Hållfasthetslära, IEI/IKP TENTAMEN i Mekaniska svängningar och utmattning, TMMI09 2007-10-16 kl 14-18 L Ö S N I N G A R ---- SOLUTIONS 1. Ange sambanden mellan vinkelfrekvens ω,

Läs mer

Grundläggande matematisk statistik

Grundläggande matematisk statistik Grundläggande matematisk statistik Kontinuerliga fördelningar Uwe Menzel, 8 www.matstat.de Begrepp fördelning Hur beter sig en variabel slumpmässigt? En slumpvariabel (s.v.) har en viss fördelning, d.v.s.

Läs mer

Fatigue Properties in Additive manufactured Titanium & Inconell

Fatigue Properties in Additive manufactured Titanium & Inconell Fatigue Properties in Additive manufactured Titanium & Inconell UTMIS, Jönköping, 6/2-2018 PÄR JOHANNESSON, TORSTEN SJÖGREN Research Institutes of Sweden RISE Safety and Transport Mechanics Research 2015

Läs mer

Säkerhetsfaktorer på en höft, genom magi eller på ingenjörsmässig grund? Konstruktörens problem

Säkerhetsfaktorer på en höft, genom magi eller på ingenjörsmässig grund? Konstruktörens problem 3-4 Oktober 0 thomas.svenssson@sp.se På en höft partiella säkerhetsfaktorer Genom magi probabilistisk dimensionering γ ( failure) Prob 0000 På ingenörsmässig grund summering av varianser γ S d S τ Praktiskt

Läs mer

Samarbete inom svensk transportforskning Flygmotorer Bengt-Olof Elfström IVA Workshop 29 april 2010

Samarbete inom svensk transportforskning Flygmotorer Bengt-Olof Elfström IVA Workshop 29 april 2010 Samarbete inom svensk transportforskning Flygmotorer Bengt-Olof Elfström IVA Workshop 29 april 2010 The information contained in this document is Volvo Aero Corporation Proprietary Information and it shall

Läs mer

STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM

STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM Tentamensskrivning i Fysikexperiment, 7,5 hp, för FK2002 Onsdagen den 15 december 2010 kl. 9-14. Skrivningen består av två delar A och B. Del A innehåller enkla frågor och

Läs mer

Finns det över huvud taget anledning att förvänta sig något speciellt? Finns det en generell fördelning som beskriver en mätning?

Finns det över huvud taget anledning att förvänta sig något speciellt? Finns det en generell fördelning som beskriver en mätning? När vi nu lärt oss olika sätt att karaktärisera en fördelning av mätvärden, kan vi börja fundera över vad vi förväntar oss t ex för fördelningen av mätdata när vi mätte längden av en parkeringsficka. Finns

Läs mer

7.5 Experiment with a single factor having more than two levels

7.5 Experiment with a single factor having more than two levels 7.5 Experiment with a single factor having more than two levels Exempel: Antag att vi vill jämföra dragstyrkan i en syntetisk fiber som blandats ut med bomull. Man vet att inblandningen påverkar dragstyrkan

Läs mer

Experimentella metoder 2014, Räkneövning 1

Experimentella metoder 2014, Räkneövning 1 Experimentella metoder 04, Räkneövning Problem : Tio mätningar av en resistans gav följande resultat: Mätning no. Resistans (Ω) Mätning no Resistans (Ω) 0.3 6 0.0 00.5 7 99.98 3 00.0 8 99.80 4 99.95 9

Läs mer

Behov Reducerad bränsleförbrukning och miljöpåverkan

Behov Reducerad bränsleförbrukning och miljöpåverkan Volvo Aero Nyttan av deltagande i EU:s ramprogram Vilken nytta och effekt har ni haft av deltagande? Vilka är fördelarna/nackdelarna med att delta/inte delta? Prof Bengt-Olof Elfström Forskningschef The

Läs mer

Forskningsmetodik 2006 lektion 2

Forskningsmetodik 2006 lektion 2 Forskningsmetodik 6 lektion Per Olof Hulth hulth@physto.se Slumpmässiga och systematiska mätfel Man skiljer på två typer av fel (osäkerheter) vid mätningar:.slumpmässiga fel Positiva fel lika vanliga som

Läs mer

Lathund Autogiro NovaSecur

Lathund Autogiro NovaSecur Lathund Autogiro NovaSecur Rev. 2011-05-06 Version 2.85-2011 Neither the whole nor any part of the information contained in, or the product described in this manual, may be adapted or reproduced in any

Läs mer

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet

Läs mer

TAMS79: Föreläsning 6. Normalfördelning

TAMS79: Föreläsning 6. Normalfördelning TAMS79: Föreläsning 6 Normalfördelningen Johan Thim (johan.thim@liu.se 3 november 018 Normalfördelning Definition. Låt µ R och > 0. Om X är en stokastisk variabel med täthetsfunktion f X ( = 1 ( ep ( µ,

Läs mer

En klusterledares funktion och uppgifter

En klusterledares funktion och uppgifter En klusterledares funktion och uppgifter NFFP7 uppstartsseminarium Johan Vallhagen, 2017-01-27 The information contained in this document is GKN Aerospace Sweden AB Proprietary information and it shall

Läs mer

Tentamen i matematisk statistik

Tentamen i matematisk statistik Sid (7) i matematisk statistik Statistik och kvalitetsteknik 7,5 hp Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare. Studenterna får behålla tentamensuppgifterna. Skrivtid: 4.00-7.00 ger maximalt 24 poäng. Betygsgränser:

Läs mer

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 10 27 november 2017 1 / 28 Idag Mer om punktskattningar Minsta-kvadrat-metoden (Kap. 11.6) Intervallskattning (Kap. 12.2) Tillämpning på

Läs mer

[2015] AB SANDVIK MATERIALS TECHNOLOGY. ALL RIGHTS RESERVED.

[2015] AB SANDVIK MATERIALS TECHNOLOGY. ALL RIGHTS RESERVED. [2015] AB SANDVIK MATERIALS TECHNOLOGY. ALL RIGHTS RESERVED. This document is the property of AB Sandvik Materials Technology and contains information proprietary to AB Sandvik Materials Technology and

Läs mer

Lö sningsfö rslag till tentamen i matematisk statistik Statistik öch kvalitetsteknik 7,5 hp

Lö sningsfö rslag till tentamen i matematisk statistik Statistik öch kvalitetsteknik 7,5 hp Sid (7) Lö sningsfö rslag till tentamen i matematisk statistik Statistik öch kvalitetsteknik 7,5 hp Uppgift Nedanstående beräkningar från Minitab är gjorda för en Poissonfördelning med väntevärde λ = 4.

Läs mer

Experimentella metoder 2013, Räkneövning 3

Experimentella metoder 2013, Räkneövning 3 Experimentella metoder 2013, Räkneövning 3 Problem 1: Fem studenter mätte längden av ett rum, deras resultat blev 3,30 m, 2,90 m, 3,70 m, 3,50 m, och 3,10 m. Inga uppgifter om mätnoggrannheten är kända.

Läs mer

Utfärdad av Compiled by Tjst Dept. Telefon Telephone Datum Date Utg nr Edition No. Dokumentnummer Document No.

Utfärdad av Compiled by Tjst Dept. Telefon Telephone Datum Date Utg nr Edition No. Dokumentnummer Document No. Utfärdad av Compiled by Tjst Dept. Telefon Telephone David Andersson BUM 733 684 Stämpel/Etikett Security stamp/label ÅTDRAGNINGSMOMENT TIGHTENING TORQUE Granskad av Reviewed by Göran Magnusson Tjst Dept.

Läs mer

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk 2017-06-01 kl. 8:30-13:30 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Ivar Simonsson, telefon: 031-7725325 Hjälpmedel: Valfri

Läs mer

Två parametrar: µ (väntevärdet) och σ (standardavvikelsen) µ bestämmer normalfördelningens läge

Två parametrar: µ (väntevärdet) och σ (standardavvikelsen) µ bestämmer normalfördelningens läge Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik Matematisk statistik AK för ekosystemteknik, FMSF75 OH-bilder 28-9-3 Normalfördelningen, X N(µ, σ) f(x) = e (x µ)2 2σ 2, < x < 2π σ.4 N(2,).35.3.25.2.5..5

Läs mer

LÅGCYKELUTMATTNING (engelska: LOW CYCLE FATIGUE, LCF)

LÅGCYKELUTMATTNING (engelska: LOW CYCLE FATIGUE, LCF) LÅGCYKELUTMATTNING (engelska: LOW CYCLE FATIGUE, LCF) Rekapitulation från högcykelutmattning (HCF): Vi skär alltså normalt av Haigh-diagrammet med en linje som gör att vi inte tillåter att bli. Men i en

Läs mer

Tentamen i Sannolikhetslära och statistik Kurskod S0008M

Tentamen i Sannolikhetslära och statistik Kurskod S0008M Tentamen i Sannolikhetslära och statistik Kurskod S0008M Poäng totalt för del 1: 25 (9 uppgifter) Tentamensdatum 2011-06-04 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson,

Läs mer

Office Quick 7.5. Handbok. 2010-06-04, Rev C www.aastra.com CUSTOMERS, PARTNERS

Office Quick 7.5. Handbok. 2010-06-04, Rev C www.aastra.com CUSTOMERS, PARTNERS Office Quick 7.5 Handbok 2010-06-04, Rev C www.aastra.com CUSTOMERS, PARTNERS Innehåll 1 Sammanfattning... 3 2 Använda Quick... 4 2.1 Starta programmet... 4 2.2 Logga in... 4 2.3 Ändra lösenord... 5 2.4

Läs mer

ÄNDRING CHANGE T = TILLKOMMER / ADDED V = VAR / WAS U = UTGÅR / DELETED

ÄNDRING CHANGE T = TILLKOMMER / ADDED V = VAR / WAS U = UTGÅR / DELETED ÄNDRINGSINFORMATION CHANGE INFORMATION DATUM DATE SIDA PAGE ÄNDRING CHANGE T = TILLKOMMER / ADDED V = VAR / WAS U = UTGÅR / DELETED STANDARD 12791 20121 Se ÄI / See CI SEXKANTSSKRUVAR Mgängor Stål, hållfasthetsklass

Läs mer

Tentamen i Statistik, STG A01 och STG A06 (13,5 hp) Torsdag 5 juni 2008, Kl

Tentamen i Statistik, STG A01 och STG A06 (13,5 hp) Torsdag 5 juni 2008, Kl Karlstads Universitet Avdelningen för Nationalekonomi och Statistik Tentamen i Statistik, STG A0 och STG A06 (3,5 hp) Torsdag 5 juni 008, Kl 4.00-9.00 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formelsamling, approximationsschema

Läs mer

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 6 13 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Mer om väntevärden och varianser (Kap. 5.2 5.3) Beroendemått (Kap. 5.4) Summor, linjärkombinationer

Läs mer

Styr- och kontrolldiagram ( )

Styr- och kontrolldiagram ( ) Styr- och kontrolldiagram (8.3-8.5) När vi nu skall konstruera kontrolldiagram eller styrdiagram är det viktigt att vi har en process som är under kontroll! Iden med styrdiagram är att med jämna tidsmellanrum

Läs mer

Forskningsmetodik 2006 lektion 4 Felkalkyl. Per Olof Hulth

Forskningsmetodik 2006 lektion 4 Felkalkyl. Per Olof Hulth Forskningsmetodik 006 lektion 4 Felkalkyl Per Olof Hult Hult@pysto.se Föreläsning 4 Forskningsmetodik 007 Felkalkyl Ofta mäter man inte direkt den storet som är den intressanta, utan en grundläggande variael

Läs mer

Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar

Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, FÖR I/PI, FMS 121/2, HT-3 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar

Läs mer

INTERAKTIVA UTBILDNINGAR. UPPDRAG: Trafikutbildning åt Örebro kommun. KUND: Agresso Unit4

INTERAKTIVA UTBILDNINGAR. UPPDRAG: Trafikutbildning åt Örebro kommun. KUND: Agresso Unit4 ANTON IVANOV portfolio illustrationer 2000-2008 INTERATIVA UTBILDNINGAR UPPDRAG: Trafikutbildning åt Örebro kommun. UND: Agresso Unit4 2 ANTON IVANOV 2008 INTERATIVA UTBILDNINGAR UPPDRAG: Arbetsmiljöutbildning

Läs mer

Föreläsning 12: Linjär regression

Föreläsning 12: Linjär regression Föreläsning 12: Linjär regression Matematisk statistik Chalmers University of Technology Oktober 4, 2017 Exempel Vi vill undersöka hur ett ämnes specifika värmeskapacitet (ämnets förmåga att magasinera

Läs mer

Klassificering av brister från internaudit

Klassificering av brister från internaudit Klassificering av brister från internaudit Del-21G seminarium 2015 Jukka Salo Slou Klassificering av brister från internaudit Vid VK har det visat sig att Procedurer för klassificering av brister finns,

Läs mer

medelvärdet för tid svarar mot medelvärdet för hastighet

medelvärdet för tid svarar mot medelvärdet för hastighet Felkalkyl Ofta mäter man inte direkt den storet som är den intressanta, utan en grundläggande variael som sedan används för att eräkna det som man är intresserad av. Se till exempel på ur det går till

Läs mer

episurf.com Stora Aktiedagen, 13 november 2017

episurf.com Stora Aktiedagen, 13 november 2017 episurf.com Stora Aktiedagen, 13 november 2017 This document has been prepared by EPISURF MEDICAL AB solely for information purposes. The document and all information contained herein may not be reproduced,

Läs mer

Monte Carlo-metoder. Bild från Monte Carlo

Monte Carlo-metoder. Bild från Monte Carlo Monte Carlo-metoder 0 Målen för föreläsningen På datorn Bild från Monte Carlo http://en.wikipedia.org/wiki/file:real_monte_carlo_casino.jpg 1 Begrepp En stokastisk metod ger olika resultat vid upprepning

Läs mer

Stokastiska vektorer

Stokastiska vektorer TNG006 F2 9-05-206 Stokastiska vektorer 2 Kovarians och korrelation Definition 2 Antag att de sv X och Y har väntevärde och standardavvikelse µ X och σ X resp µ Y och σ Y Då kallas för kovariansen mellan

Läs mer

Tentamenskrivning: TMS145 - Grundkurs i matematisk statistik och bioinformatik,

Tentamenskrivning: TMS145 - Grundkurs i matematisk statistik och bioinformatik, Tentamenskrivning: TMS145 - Grundkurs i matematisk statistik och bioinformatik, 7,5 hp. Tid: Lördag den 18 april 2009, kl 14:00-18:00 Väg och vatten Examinator: Olle Nerman, tel 7723565. Jour: Frank Eriksson,

Läs mer

Föreläsning 15: Faktorförsök

Föreläsning 15: Faktorförsök Föreläsning 15: Faktorförsök Matematisk statistik Chalmers University of Technology Oktober 17, 2016 Ensidig variansanalys Vi vill studera om en faktor A påverkar en responsvariabel. Vi gör totalt N =

Läs mer

Hur måttsätta osäkerheter?

Hur måttsätta osäkerheter? Geotekniska osäkerheter och deras hantering Hur måttsätta osäkerheter? Lars Olsson Geostatistik AB 11-04-07 Hur måttsätta osäkerheter _LO 1 Sannolikheter Vi måste kunna sätta mått på osäkerheterna för

Läs mer

Underhållsplanering för flerkomponentsystem kostnadseffektivisering med hjälp av en optimeringsmodell för opportunistiskt underhåll

Underhållsplanering för flerkomponentsystem kostnadseffektivisering med hjälp av en optimeringsmodell för opportunistiskt underhåll Underhållsplanering för flerkomponentsystem kostnadseffektivisering med hjälp av en optimeringsmodell för opportunistiskt underhåll Dr Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola

Läs mer

Grundläggande matematisk statistik

Grundläggande matematisk statistik Grundläggande matematisk statistik Väntevärde, varians, standardavvikelse, kvantiler Uwe Menzel, 28 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@matstat.de www.matstat.de Väntevärdet X : diskret eller kontinuerlig slumpvariable

Läs mer

Svar till övningar med jämna nummer i Milton & Arnold, ht 2010

Svar till övningar med jämna nummer i Milton & Arnold, ht 2010 Svar till övningar med jämna nummer i Milton & Arnold, ht 2010 Kapitel 1 8b) Ja c)s = {h, mh, mmh, mmmh, mmmmh, mmmmm} d) A 1 = {mh}; A 2 = {h, mh}; Nej, A 1 A 2 = {mh} = 10 a)12 b) 60 c) 360 14 a) 2 4

Läs mer

Thomas Stenberg

Thomas Stenberg Thomas Stenberg 073 0289101 thoste@kth.se Kungliga Tekniska Högskolan Avdelningen för Farkost och Flyg Institutionen för Lättkonstruktioner Växlande laster som gradvis nöter materialet tills dess att haveri

Läs mer

TMS136. Föreläsning 7

TMS136. Föreläsning 7 TMS136 Föreläsning 7 Stickprov När vi pysslar med statistik handlar det ofta om att baserat på stickprovsinformation göra utlåtanden om den population stickprovet är draget ifrån Situationen skulle kunna

Läs mer

Sveriges internationella överenskommelser

Sveriges internationella överenskommelser Sveriges internationella överenskommelser ISSN 1102-3716 Utgiven av utrikesdepartementet Nr18 Överenskommelse med Japan om utbyte av finansiell information som hänför sig till penningtvätt och finansiering

Läs mer

Nr 17 Överenskommelse med Thailand om radioamatörverksamhet

Nr 17 Överenskommelse med Thailand om radioamatörverksamhet Nr 17 Överenskommelse med Thailand om radioamatörverksamhet Bangkok den 18 januari och 19 april 2002 Regeringen beslutade den 29 november 2001 att ingå överenskommelsen i form av skriftväxling. Överenskommelsen

Läs mer

Stokastiska processer med diskret tid

Stokastiska processer med diskret tid Stokastiska processer med diskret tid Vi tänker oss en följd av stokastiska variabler X 1, X 2, X 3,.... Talen 1, 2, 3,... räknar upp tidpunkter som förflutit från startpunkten 1. De stokastiska variablerna

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 6. Normalfördelning, Centrala gränsvärdessatsen, Approximationer Jan Grandell & Timo Koski 06.02.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik

Läs mer

SF1911: Statistik för bioteknik

SF1911: Statistik för bioteknik SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 6. TK 14.11.2016 TK Matematisk statistik 14.11.2016 1 / 38 Lärandemål Stokastiska modeller för kontinuerliga datatyper Fördelningsfunktion (cdf) Sannolikhetstäthetsfunktion

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Kontinuerliga sannolikhetsfördelningar (LLL Kap 7 & 9) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics

Läs mer

Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning

Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning Anna Lindgren 29+3 september 216 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F7: normalfördelning 1/18 Kovarians, C(X, Y) Repetition Normalfördelning

Läs mer

Bayesianska numeriska metoder I

Bayesianska numeriska metoder I Baesianska numeriska metoder I T. Olofsson Marginalisering En återkommende teknik inom Baesiansk inferens är det som kallas för marginalisering. I grund och botten rör det sig om tillämpning av ett specialfall

Läs mer

METAFLEX transportmått transportmått transportmått

METAFLEX transportmått transportmått transportmått MetaFlex MTFLX 5 8 050 68 0 85 7 90 5 5 000 59 transportmått 907 57 transportmått 505 7 transportmått MTFLX 5kom 8 8 59 7 80-pendling 0 58+7 898 90 80 880 00 76 09 587 950 560 55 55 MTFLX 6 585 76 650

Läs mer

Malmö Stads Gatukontor

Malmö Stads Gatukontor Malmö Stads Gatukontor Hur jämför vi de hårda och de mjuka delarna av verksamheten? Hur används budgeten bäst? SROI (Social Return on Investment) l SROI utvecklades under 1990-talet inom den sociala

Läs mer

Grundläggande matematisk statistik

Grundläggande matematisk statistik Grundläggande matematisk statistik Linjär Regression Uwe Menzel, 2018 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@matstat.de www.matstat.de Linjär Regression y i y 5 y 3 mätvärden x i, y i y 1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x

Läs mer

Kort om mätosäkerhet

Kort om mätosäkerhet Kort om mätosäkerhet Henrik Åkerstedt 14 oktober 2014 Introduktion När man gör en mätning, oavsett hur noggrann man är, så får man inte exakt rätt värde. Alla mätningar har en viss osäkerhet. Detta kan

Läs mer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer Innehåll 1 Analys av korstabeller 2 Innehåll 1 Analys av korstabeller 2 Korstabeller Vi har tidigare under kursen redan bekantat oss med korstabeller. I en korstabell redovisar man fördelningen på två

Läs mer

Grundläggande Lastanalys

Grundläggande Lastanalys SP Bygg och Mekanik Pär Johannesson Par.Johannesson@sp.se Nivåkorsningar Lastspektrum Rainflowmatris 1 Målet med lastanalys Vi behöver verktyg för att: Beskriva lasten så att informationen blir användbar.

Läs mer

F18 MULTIPEL LINJÄR REGRESSION, FORTS. (NCT

F18 MULTIPEL LINJÄR REGRESSION, FORTS. (NCT Stat. teori gk, ht 006, JW F18 MULTIPEL LINJÄR REGRESSION, FORTS. (NCT 1.1, 13.1-13.6, 13.8-13.9) Modell för multipel linjär regression Modellantaganden: 1) x-värdena är fixa. ) Varje y i (i = 1,, n) är

Läs mer

Kapitel 7 Samplingfördelningar och Centrala gränsvärdessatsen

Kapitel 7 Samplingfördelningar och Centrala gränsvärdessatsen Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 7 Samplingfördelningar och Centrala gränsvärdessatsen 1 Statistikor och samplingfördelningar I Kapitel 6 studerades metoder för att bestämma sannolikhetsfördelningen

Läs mer

Föreläsning 12: Regression

Föreläsning 12: Regression Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är

Läs mer

Envägs variansanalys (ANOVA) för test av olika väntevärde i flera grupper

Envägs variansanalys (ANOVA) för test av olika väntevärde i flera grupper Envägs variansanalys (ANOVA) för test av olika väntevärde i flera grupper Tobias Abenius February 21, 2012 Envägs variansanalys (ANOVA) I envägs variansanalys utnyttjas att

Läs mer

P R O B L E M

P R O B L E M Tekniska Högskolan i Linköping, IEI /Tore Dahlberg TENTAMEN i Hållfasthetslära - Dimensioneringmetoder, TMHL09, 2008-08-14 kl 8-12 P R O B L E M med L Ö S N I N G A R Del 1 - (Teoridel utan hjälpmedel)

Läs mer

Lösningar till tentamensskrivning för kursen Linjära statistiska modeller. 14 januari

Lösningar till tentamensskrivning för kursen Linjära statistiska modeller. 14 januari STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Lösningar till tentamensskrivning för kursen Linjära statistiska modeller 14 januari 2010 9 14 Examinator: Anders Björkström, tel. 16 45 54, bjorks@math.su.se

Läs mer

Laboration med Minitab

Laboration med Minitab MATEMATIK OCH STATISTIK NV1 2005 02 07 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Silvelyn Zwanzig, Tel. 471 31 84 Laboration med Minitab I denna laboration skall du få stifta bekantskap med ett statistiskt

Läs mer

Hållfasthetslära. VT2 7,5 p halvfart Janne Färm

Hållfasthetslära. VT2 7,5 p halvfart Janne Färm Hållfasthetslära VT2 7,5 p halvfart Janne Färm Fredag 27:e Maj 10:15 15:00 Föreläsning 19 Repetition PPU203 Hållfasthetslära Fredagens repetition Sammanfattning av kursens viktigare moment Vi går igenom

Läs mer

PPU408 HT15. Beräkningar stål. Lars Bark MdH/IDT

PPU408 HT15. Beräkningar stål. Lars Bark MdH/IDT Beräkningar stål 1 Balk skall optimeras map vikt (dvs göras så lätt som möjligt) En i aluminium, en i höghållfast stål Mått: - Längd 180 mm - Tvärsnittets yttermått Höjd: 18 mm Bredd: 12 mm Lastfall: -

Läs mer

Skjuvhållfastheten i kontaktytan mellan berg och betong under betongdammar

Skjuvhållfastheten i kontaktytan mellan berg och betong under betongdammar Skjuvhållfastheten i kontaktytan mellan berg och betong under betongdammar Alexandra Krounis KTH/SWECO Handledare: Stefan Larsson KTH Fredrik Johansson KTH/SWECO Stockholm, 2014 Bakgrund I Sverige finns

Läs mer

7.1 Hypotesprövning. Nollhypotes: H 0 : µ = 3.9, Alternativ hypotes: H 1 : µ < 3.9.

7.1 Hypotesprövning. Nollhypotes: H 0 : µ = 3.9, Alternativ hypotes: H 1 : µ < 3.9. Betrakta motstånden märkta 3.9 kohm med tolerans 1%. Anta att vi innan mätningarna gjordes misstänkte att motståndens förväntade värde µ är mindre än det utlovade 3.9 kohm. Med observationernas hjälp vill

Läs mer

Beräkna standardavvikelser för ledtider

Beräkna standardavvikelser för ledtider Handbok i materialstyrning - Del B Parametrar och variabler B 4 Beräkna standardavvikelser för ledtider De formler som traditionellt används för beräkning av standardavvikelser för efterfrågevariationer

Läs mer

Kungliga Tekniska Högskolans Finanssällskap Årsstämma 2011

Kungliga Tekniska Högskolans Finanssällskap Årsstämma 2011 Kungliga Tekniska Högskolans Finanssällskap Årsstämma 2011 Kungliga Tekniska Högskolans Finanssällskap Lindstedtsvägen 30 114 28 Stockholm SWEDEN Årsstämma KTHFS 2011 Innehållsförteckning 1. Kallelse till

Läs mer

Experimentella metoder 2014, Räkneövning 4

Experimentella metoder 2014, Räkneövning 4 Experimentella metoder, Räkneövning Problem : På polisstationen i Slottshult är man missnöjd med att polisdistriktet utvidgats till att också omfatta grankommunen Järvsprånget Innan utvidningen hade man

Läs mer

Återblick på föreläsning 22, du skall kunna

Återblick på föreläsning 22, du skall kunna Återblick på föreläsning 22, du skall kunna beskriva det principiella utseendet för en elastiskplastisk materialmodell beskriva von Mises och Trescas flytvillkor beräkna von Mises och Trescas effektivspänningar

Läs mer

Laboration 1 Mekanik baskurs

Laboration 1 Mekanik baskurs Laboration 1 Mekanik baskurs Utförs av: Henrik Bergman Mubarak Ali Uppsala 2015 01 19 Introduktion Gravitationen är en självklarhet i vår vardag, de är den som håller oss kvar på jorden. Gravitationen

Läs mer

Kalibreringsfel 0.01V 0.01V -0.02V V 0.005V 0V -0.01V 0.02V. Sant värde. Medeloperatör. Karl. Maria Linn Annika Bo Peter Thomas.

Kalibreringsfel 0.01V 0.01V -0.02V V 0.005V 0V -0.01V 0.02V. Sant värde. Medeloperatör. Karl. Maria Linn Annika Bo Peter Thomas. Mätutrustning Elektriskt brus 0mV -2mV 2mV 1mV 5mV 4mV 2mV -3mV e 9 e 2 e 8 e e 2 3 e 5 e=0 e 7 e 1 e e 4 6 e 10 Okända felkällor Matarspänning 10.2V 10.1V 9.8V 9.7V 9.9V 10V 10.1V 9.6V Sant värde Kalibreringsfel

Läs mer

7.5 Experiment with a single factor having more than two levels

7.5 Experiment with a single factor having more than two levels Exempel: Antag att vi vill jämföra dragstyrkan i en syntetisk fiber som blandats ut med bomull. Man vet att inblandningen påverkar dragstyrkan och att en inblandning mellan 10% och 40% är bra. För att

Läs mer

Weibullanalys. Maximum-likelihoodskattning

Weibullanalys. Maximum-likelihoodskattning 1 Weibullanalys Jan Enger Matematisk statistik KTH Weibull-fördelningen är en mycket viktig fördelning inom tillförlitlighetsanalysen. Den används ofta för att modellera mekaniska komponenters livslängder.

Läs mer

MSG830 Statistisk analys och experimentplanering

MSG830 Statistisk analys och experimentplanering MSG830 Statistisk analys och experimentplanering Tentamen 20 Mars 2015, 8:30-12:30 Examinator: Staan Nilsson, telefon 073 5599 736, kommer till tentamenslokalen 9:30 och 11:30 Tillåtna hjälpmedel: Valfri

Läs mer

FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD Sannolikhetsteori. Beskrivning av data. Läges-, spridnings- och beroendemått

FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD Sannolikhetsteori. Beskrivning av data. Läges-, spridnings- och beroendemått LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD 208-08-26 Sannolikhetsteori Följande gäller för sannolikheter: 0 P(A P(Ω = P(A

Läs mer

Hållfasthetslära. Böjning och vridning av provstav. Laboration 2. Utförs av:

Hållfasthetslära. Böjning och vridning av provstav. Laboration 2. Utförs av: Hållfasthetslära Böjning och vridning av provstav Laboration 2 Utförs av: Habre Henrik Bergman Martin Book Mauritz Edlund Muzammil Kamaly William Sjöström Uppsala 2015 10 08 Innehållsförteckning 0. Förord

Läs mer

Föreläsning 11. Slumpvandring och Brownsk Rörelse. Patrik Zetterberg. 11 januari 2013

Föreläsning 11. Slumpvandring och Brownsk Rörelse. Patrik Zetterberg. 11 januari 2013 Föreläsning 11 Slumpvandring och Brownsk Rörelse Patrik Zetterberg 11 januari 2013 1 / 1 Stokastiska Processer Vi har tidigare sett exempel på olika stokastiska processer: ARIMA - Kontinuerlig process

Läs mer

This exam consists of four problems. The maximum sum of points is 20. The marks 3, 4 and 5 require a minimum

This exam consists of four problems. The maximum sum of points is 20. The marks 3, 4 and 5 require a minimum Examiner Linus Carlsson 016-01-07 3 hours In English Exam (TEN) Probability theory and statistical inference MAA137 Aids: Collection of Formulas, Concepts and Tables Pocket calculator This exam consists

Läs mer

Blandade problem från elektro- och datateknik

Blandade problem från elektro- och datateknik Blandade problem från elektro- och datateknik Sannolikhetsteori (Kapitel 1-10) E1. En viss typ av elektroniska komponenter anses ha exponentialfördelade livslängder. Efter 3000 timmar brukar 90 % av komponenterna

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Fredag 8 december 2006, Kl

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Fredag 8 december 2006, Kl Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Fredag 8 december 2006, Kl 08.15-13.15 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formelsamling, approximationsschema och tabellsamling (dessa skall returneras). Egen

Läs mer

Lathund fo r rapportskrivning: LATEX-mall. F orfattare Institutionen f or teknikvetenskap och matematik

Lathund fo r rapportskrivning: LATEX-mall. F orfattare Institutionen f or teknikvetenskap och matematik Lathund fo r rapportskrivning: LATEX-mall F orfattare forfattare@student.ltu.se Institutionen f or teknikvetenskap och matematik 31 maj 2017 1 Sammanfattning Sammanfattningen är fristående från rapporten

Läs mer