BEHANDLING AV MÄTDATA

Transkript

1 Avd. för fysik och elektroteknik BEHANDLING AV MÄTDATA Innehåll Introduktion NOGGRANNHET OCH PRECISION FELKLASSER Grova fel Systematiska fel Instrumentfel Inverkan av yttre faktorer Avläsningsfel Oregelbundna fel (tillfälliga fel) ANGIVANDE AV MÄTRESULTAT STATISTISK BEHANDLING AV OREGELBUNDNA FEL MAXIMALFEL SAMMANSATTA FEL MINSTA KVADRATMETODEN DIAGRAM REFERENSER...12 INSTUDERINGSUPPGIFTER...13 ÖVNINGSUPPGIFTER...14 (Efter ett original från Linköpings tekniska högskola)

2 Behandling av mätdata 1 Introduktion Vid alla mätningar som man utför får man alltid ett mätresultat som är ett närmevärde till det sanna värdet. Felaktigheterna i mätresultatet beror dels på mätutrustningen samt den person som utför mätningarna. Man behöver alltså ett sätt att avgöra kvalitén på mätningarna som man utför. Vi skall därför lite kort titta närmare på hur man på olika sätt kan ge ett sådant kvalitetsmått. Det är också mycket viktigt att man vid presentationen av ett mätresultat anger kvalitetsmåttet, eftersom detta kan ha betydelse för hur man skall tolka resultatet. Ett mycket vanligt fel är att man tolkar ett mätresultat mycket noggrannare än vad det i verkligheten är. 1. NOGGRANNHET OCH PRECISION I dagligt tal använder man sig av en rad olika uttryck för att ange en mätnings kvalitet, t ex noggrannhet, tillförlitlighet, exakthet. Inom mätteknik används framförallt uttrycket noggrannhet och precision. Precision hos en mätning är en egenskap som anger graden av överensstämmelse mellan resultaten av upprepade mätningar hos en storhet. Noggrannhet är däremot en egenskap som anger graden av överensstämmelse mellan mätresultaten och det sanna värdet. Onoggrannhet är uppgift om gränser för systematiskt och tillfälligt fel. Mätningarna i figur l har samma precision, men mätning b har högre noggrannhet. Mätserie Mätserie Fig. 1 a Sant värde Fig. 1 b Sant värde Det s. k. sanna värdet är en matematisk abstraktion och kan aldrig bestämmas genom experiment.

3 Behandling av mätdata 2 2. FELKLASSER Man brukar dela upp de feltyper som förekommer i följande tre huvudklasser: Grova fel Systematiska fel (regelbundna fel) Oregelbundna fel 2.1 Grova fel Grova fel uppkommer ofta på grund av misstag vid avläsning av instrument, protokollföring av data. etc. Det är t ex lätt att kasta om ett par siffror när man skall protokollföra ett värde. Grova fel kan man till stor del undvika genom noggrannhet. Ofta kan man upprepa en mätning och då gärna med andra inställningar på instrumentet och på så sätt undvika grova fel. 2.2 Systematiska fel Dessa fel är lagbundna och verkar vid upprepade mätningar alltid i samma riktning. De beror på fel i den använda apparaturen eller metoden. De systematiska felen kan indelas i tre undergrupper Instrumentfel Inverkan av yttre faktorer Avläsningsfel Instrumentfel Alla instrument är behäftade med vissa fel som finns specificerade i datablad. För ett vanligt universalinstrument av analog typ (med visare) kan osäkerheten t ex anges till ±1 % av fullt utslag på det använda mätområdet. För digitalvoltmetrar gäller ofta att felet specificeras i % av avläst värde plus % av högsta visade värde alternativt antal enheter i sista siffran (t ex ±1 enhet). Sista siffran hos en digitalvoltmeter blir ju alltid osäker. Om sista siffran egentligen borde vara 1,5 så visar voltmetern antingen 1 eller 2. Det fel som fabrikanten uppger gäller vanligen endast under en begränsad tid och med tilltagande ålder kan noggrannheten försämras. Vanligt är också att ett instrument visar ett värde som alltid är för högt eller alltid för lågt, systematiskt fel. Ett sådant fel kan elimineras om instrumentet jämförs med ett annat instrument med högre noggrannhet. Detta kallas för att kalibrera instrumentet. Om ett instrument inte visar rätt kan det ändå användas om det har kalibrerats så att kan känner dess korrektion. Följande samband gäller: Rätt värde = Avläst värde + korrektion

4 Behandling av mätdata 3 Korrektionen kan vara positiv eller negativ, vanligt är att korrektionen införes i ett diagram, korrektionsskurva. Korrektionskurva för voltmeter: Avläst värde Fig 2. Korrektionskurva Om man avläser värdet 5,0 på voltmetern är alltså det rätta värdet 4,9V. Ett vanligt systematiskt fel är att man använder ett instrument på ett felaktigt sätt. Ett exempel är att man använder en lågohmig voltmeter för att mäta i en högohmig krets. Det finns en mängd sådana exempel och en viktig uppgift inom mättekniken är just att lära sig hur man ska undvika sådana fel Inverkan av yttre faktorer De yttre förhållandena under en mättning kan orsaka stora systematiska fel. Många experiment påverkas av temperaturen i försökslokalen. Speciellt bör man undvika stora temperaturgradienter. En annan vanlig felkälla kan vara förekomsten av elektriska eller magnetiska fält i laboratoriet. Se upp med att placera mätutrustning nära dataskärmar och datorer. Dessa yttre faktorer är ofta svåra att upptäcka och kräver förutseende och gott omdöme. Exempel på andra s. k. influensstorheter är lufttryck, fukthalt och nätspänning Avläsningsfel Om flera personer avläser ett instrument kommer man att märka att avläsningarna kan variera något. En person kan ha en tendens att alltid få ett högre värde än någon annan etc. Sådana naturliga variationer kan motverkas genom förnuftig konstruktion av instrumenten, t ex kan man undvika parallaxfel hos visarinstrument genom att använda spegelskalan.

5 Behandling av mätdata Oregelbundna fel (tillfälliga fel) Hur mycket man än försöker åtgärda felkällor så kommer man att finna att resultaten från upprepade mätningar kommer att variera, om mätningen har tillräcklig upplösning. Oregelbundna fel förutsätts ha egenskaperna att positiva och negativa fel är lika vanliga och små fel är vanligare än stora och de förutsätts oftast var normalfördelade. Vi skall här titta på hur man med olika matematiska metoder kan behandla och presentera sådana fel. 3. ANGIVANDE AV MÄTRESULTAT Onoggrannheten bör i regel redovisas med separat angivna gränser för systematiskt och tillfälligt fel. I vissa fall, då det saknar betydelse, kan sammanslagning till ett totalfel vara berättigat. 4. STATISTISK BEHANDLING AV OREGELBUNDNA FEL Låt oss som exempel ta det enkla fallet att vi mäter diametern hos en tråd med hjälp av en mikrometerskruv. Vidstående värden erhölls: Mätning nr Diameter 2,005 2,009 2,008 2,006 2,006 2,007 2,007 2,004 2,005 2,007 2,006 2,008 2,006 2,006 2,005 För att få en bättre överskådlighet är det lämpligt att rita ett s k histogram.

6 Behandling av mätdata 5 Fig. 3. Histogram. För att beskriva resultatet bör vi ge någon form av medelvärde samt också hur stor spridningen i mätdata är. Den vanligaste typen av medelvärde är det aritmetiska medelvärdet. Detta definieras på följande sätt: Antag att våra mätresultat ger x 1, x 2,... x n. Aritmetiska medelvärdet brukar betecknas x och är då x1 + x2 + x xn x = n eller kortare skrivet med summatecken n 1 x = x n i i= 1 En annan typ av medelvärde ar medianvärdet, som är det mellersta av alla mätvärden om de numreras efter ökande storhet.för ett jämnt antal mätvärden definieras medianvärdet som medelvärdet av de två mellersta mätvärdena. Typvärdet är det mest förekommande mätvärdet, d v s det värde som motsvarar den hösta stapeln i fig. 3. Bredden på histogrammet i fig. 3 är ett mått på spridningen eller precisionen i mätningen. Det vanligaste spridningsmåttet är standardavvikelsen som definieras enligt följande: s = n ( xi x) 2 i= 1 n 1 Här är x i de olika mätvärdena, x deras aritmetiska medelvärde och n antalet matvärden. Standardavvikelsen ar alltså relaterad till medelvärdet och därmed till begreppet precision. Faktorn n - 1 i nämnaren kan synas

7 Behandling av mätdata 6 egendomlig, men den kan härledas strikt genom statistiska betraktelser. s, som vi får fram på detta sätt, är standardavvikelsen i enskild mätning, d v s var och en av de 15 mätningar som vi hade tidigare har standardavvikelsen s. Om vi gör en ny mätning kommer resultatet med viss sannolikhet att hamna mellan gränserna ±s. Vi kan utan bevis konstatera att mellan gränserna ±s hamnar ca 68 % av alla mätningar, mellan ±2s hamnar ca 95 % av alla mätvärden och mellan ±3s är siffran i det närmaste 100 %. Exakt 100 % kan man aldrig komma upp till. Som vi tidigare konstaterat är standardavvikelsen s ett mått på mätmetodens kvalitet och s anger sannolikheten att en enda godtycklig mätning ligger i ett intervall kring det sanna mätvärdet. Det sannolika felet i medelvärdet av alla mätningarna bör rimligen vara mindre än felet i en mätning och detta medelvärdets standardavvikelse, s m, ges av s m = s n = n i= 1 ( x i x) n( n 1) 2 Tolkningen av s m sker på samma sätt som ovan, d v s om vi gör en ny mätserie skall dess medelvärde hamna inom ±s m med ca 68 % sannolikhet o s v. Som en tumregel brukar man ange att för att få göra en statistisk behandling bör man ha minst 10 mätvärden. Om antalet är mindre bör man istället använda sig av maximalfelsberäkning. 5. MAXIMALFEL Vid ett litet antal mätningar brukar man låta den största avvikelsen från medelvärdet, som erhållits vid mätningarna., vara ett mått på felet. Alternativt användes ( x max - x min ) / 2. Felet vid dessa uppskattningar växer dock med antalet mätningar, vilket gör denna behandling motsägelsefull. Den användes ju också när antalet mätdata är mindre än 10. Exempel: Vid en mätning har följande mätvärden erhållits: Mätning x i [m] nr 1 3,8 2 4,1 3 4,2 4 3,9

8 Behandling av mätdata 7 3,8 + 4,1 + 4,2 + 3,9 x = = 4 Maxfel: Δ x = ± 0,2 m alternativt 42, 38, Δ x = ± =± 02, m. 2 Resultat av mätningen x = (4,0 ± 0,2) m. 40, Felet på 0,2 m är ett s k absolutfel. Det kan även anges som relativfel. x = 4,0 m ± 5 % m. Dessa felgränser är ett mått på precisionen hos mätningarna. m. 6. SAMMANSATTA FEL Hittills har vi bara behandlat den typ av mätningar där mätresultatet erhålls direkt efter en mätning. I praktiken är det ofta så att man får göra flera mätningar och stoppa i resultaten i en formel för att få fram den önskade storheten. T ex kan vi bestämma resistansen för ett motstånd enligt Ohms lag genom att mäta spänning och ström Låt oss först titta på vilka räkneregler som gäller för maximalfel. Vid subtraktion och addition adderas de absoluta felen. Exempel: x = a - b Δx max = 0,2 + 0,2 = 0,4 V a = (10,0 + 0,2) V b = (5,0 + 0,2) V x = (5,0 ± 0,4) V Då man behandlar produkter och kvoter brukar man använda sig av s k logaritmisk derivering för att förenkla räkningarna. Antag att vi söker storheten Q och att denna fas ur de uppmätta storheterna R, S och T på följande sätt Q R k S l = m ; T k l RS Först logaritmeras uttrycket till lnq = ln m = kln R+ lln S + mlnt T Därefter differentieras hela uttrycket

9 Behandling av mätdata 8 ΔQ ΔR ΔS Δ = k + l m T Q R S T För att man inte skall beskyllas för någon lättsinnig optimism bör man förutsatta det ogynnsammaste fallet, nämligen när alla fel adderas. Med användande av absolutbelopp fås: ΔQ ΔR ΔS Δ = k + l + m T ; OBS. plus-tecknet. Q R S T Slutsatsen är alltså att vid multiplikation och division adderas de relativa felen. Om en variabel förekommer på flera ställen i funktionen skall det differentierade uttrycket omformas innan absoluttecken utsätts. Räknereglerna för sammansättning av de statistiska felen (standardavvikelserna) är nästan lika som för maximalfelen, men istället för addition av absolutfelen resp de relativa felen så användes i båda fallen kvadratisk addition. Sammanställning över räkneregler för sammansättning av fel: De sammansatta statistiska felen blir mindre än motsvarande sammansättning av maximalfel. Felangivelser, vare sig det är statistiska eller maximalfel, bör normalt inte anges med mer än två signifikanta siffror.

10 Behandling av mätdata 9 7. MINSTA KVADRATMETODEN En vanlig typ av mätningar är där man bestämmer ett antal punkter i ett xy-diagram och skall försöka finna en funktion som ansluter så bra som möjligt till mätvärdena. Det enklaste (och vanligaste) fallet är när man skall anpassa en rät linje till ett antal mätpunkter i ett diagram, men även anpassning av andragradsfunktioner och högre förekommer. Antag att vi fått mätvärden enligt figur 3. Fig. 4. I fig. 3 har tills vidare felgränserna utelämnats, vilket egentligen inte är riktigt, utan dessa bör också utritas (se nedan). Problemet är nu hur vi skall dra en rät linje som ansluter så bra som möjligt till mätpunkterna. Enklast är då att med en linjal passa in den räta linjen sa bra som möjligt enligt ögonmått. Ett matematiskt riktigare sätt är att ta avstånden a 1, a 2, a 3 och a 4 och bilda summan S = a + a + a + a a 1, a 2, a 3 och a 4 väljes sedan så att S blir så liten som möjligt (minsta kvadratmetoden). Att utföra detta är matematiskt ganska jobbigt, men som väl är så finns det numera datorer som är villiga att hjälpa till. Nu visar det sig oftast att ögonmåttet, åtminstone för räta linjer, brukar vara fullt tillräckligt. Vi skall som avslutning på detta avsnitt titta på några regler för hur man skall redovisa mätresultat i diagram.

11 Behandling av mätdata DIAGRAM Det är oftast en klar fördel om man kan redovisa resultaten av mätningar i ett diagram. I en figur kan man i regel på ett ögonblick avgöra vad som är väsentligt och intressant, medan det kan vara nog så. tidsödande att vaska fram samma information ur en tabell. Följande synpunkter skall beaktas vid kurvritning: Enheter på axlar väljs till 1, 2 eller 5 mm eller tiopotenser av dessa. Enheternas storlek och origo väljs så, att kurvan med tillräcklig tydlighet lämnar de sökta uppgifterna. Två exempel visar detta: Kurvan bör om möjligt luta ca 45 % mot axlarna. Fig. 5 Om axelskärningen ej sammanfaller med variablernas nollpunkter gör man som i fig. 5. När man ritar ett diagram börjar man med att införa de observerade punkterna i diagrammet. Man bör inte använda prickar, vilka lätt kan förväxlas med t ex flugsmuts, utan kors eller kryss eller små cirklar. Sedan tänker man efter, med vilken noggrannhet punkterna är bestämda. Är noggrannheten mycket stor, bör kurvan noga ansluta sig till punkterna. Är noggrannheten liten kanske man kan dra en rät linje eller en jämnt krökt kurva. Hur kurvan skall dras ser man enklast och säkrast om man ritar in de maximala felen.

12 Behandling av mätdata 11 Exempel: Dra kurvan till punkterna t = l00 (s) y = (m) under förutsättning att de maximala felen hos y uppgår till a) 8 enheter b)1 enhet Fig. 6a. Fig. 6b. Om inte bara y utan även t är behäftad med fel, blir det i stället för staplar ett kvadrat kring varje mätpunkt. Även då en kurva dragits skall mätpunkterna vara kvar i diagrammet. De markeras tydligt genom kryss eller cirklar. Endast härigenom kan man efteråt bedöma kurvans verkliga exakthet. Använd kurvmall vid all kurvritning.

13 Behandling av mätdata 12 Datorn är ett utmärkt hjälpmedel vid kurvritning. T. ex. så finns bra möjligheter i Excel. Matematisk behandling och diagram kan också ske med programmet MATLAB. Det enda fall där man förbinder de olika mätpunkterna med räta linjer i stället för utjämnade kurvor är kalibreringskurvor. I detta fall anser man de olika mätpunkterna som korrekta och drar korrektionskurvan som en rät linje från punkt till punkt (se fig. 2). Kurvor har fördelen gentemot tabeller att vara överskådliga. När det gäller att noggrant redovisa experimentella resultat är tabellen givetvis överlägsen kurvan. Varje kolumn i en tabell förses med en rubrik som talar om vilken fysikalisk storhet som finns i kolumnen och i vilken enhet storheten är angiven. Om vi har många tiopotenser bör dessa skrivas i tabellhuvudet. Ström [ A ] Magnetfält [10-3 Vs /m 2 ] 10 1,0 15 1,5 20 1,7 I de allra flesta fall så redovisas mätdata också i tabellform när diagram ritas. 9. REFERENSER Swedish National Centre of Metrology.

14 Behandling av mätdata 13 INSTUDERINGSUPPGIFTER l. Vad menas med noggrannhet och precision? 2. Vilka felklasser förekommer? 3. De systematiska felen kan bero på flera olika saker. Ange några. 4. Vad menas med korrektion och korrektionskurva? 5. Vad menas med oregelbundna fel? 6. Definiera begreppet medelvärde (3 typer). 7. Vad menas med standardavvikelse i enskild mätning samt medelvärdets standardavvikelse och hur definieras dessa? 8. När skall statistisk felbehandling respektive maximalfelsbehandling användas? 9. Hur definieras maximalfel? 10. Vad menas med a) absolutfel b) relativfel 11. Vilka räkneregler gäller för sammansättning av maximalfel respektive statistiska fel? 12. Hur skall felgränser ritas i diagram?

15 Behandling av mätdata 14 ÖVNINGSUPPGIFTER l. Beräkna medelvärdet Mätn. nr x [mm] och medelvärdets 1 10,51 standaravvikelse i 2 10,56 vidstående mätserie. 3 10, , , , , , , , Beräkna medelvärde Mätn. nr x [V] och fel i vidstående 1 3,26 mätserie. 2 3,12 3 3,20 4 3,19 En termometer med nedanstående kalibreringskurva användes vid ett försök. Följande tabell erhölls: Beräkna medelvärde Mätn. nr x [ C] och fel i vidstående 1 4,1 mätserie. 2 4,3 3 4,2 4 4,0 Kalibreringskurva. 4. Resistansen R hos ett motstånd bestämdes genom att mäta spänningen U över motståndet och strömmen I genom motståndet. Beräkna resistansen om fõljande mätvärden erhölls: U = (96,4 + 0,5) V; I = (8,1 + 0,2) ma De angivna felen är maximalfel. Svar: R = ( 11,9 + 0,4 ) kω 5. Två motstånd har resistansen R 1 = (10,0 + 0,2) Ω respektive R 2 = (20,0 + 0,5) Ω. Felen ar givna som max.-fel. Vad är totala resistansen, R tot (med max.fel) när de a) Seriekopplas b) Parallellkopplas Svar: a) (30,0 ± 0,7) Ω b) (6,7 ± 0,2) Ω