Fö 1 - TMEI01 Elkraftteknik Trefassystemet

Transkript

1 Fö 1 - TMEI01 Elkraftteknik Trefassystemet Per Öberg 13 januari 2013

2 Outline 1 Introduktion till Kursen

3 Outline 1 Introduktion till Kursen 2 Repetition växelströmslära

4 Outline 1 Introduktion till Kursen 2 Repetition växelströmslära 3 Huvudspänning och fasspänning

5 Outline 1 Introduktion till Kursen 2 Repetition växelströmslära 3 Huvudspänning och fasspänning 4 Y- och D-koppling

6 Outline 1 Introduktion till Kursen 2 Repetition växelströmslära 3 Huvudspänning och fasspänning 4 Y- och D-koppling 5 Y- och D-koppling

7 Outline 1 Introduktion till Kursen 2 Repetition växelströmslära 3 Huvudspänning och fasspänning 4 Y- och D-koppling 5 Y- och D-koppling 6 Symmetrisk och osymmetrisk belastning

8 Outline 1 Introduktion till Kursen 2 Repetition växelströmslära 3 Huvudspänning och fasspänning 4 Y- och D-koppling 5 Y- och D-koppling 6 Symmetrisk och osymmetrisk belastning 7 Beräkningsexempel

9 Introduktion till Kursen Kursledning Per Öberg, examinator och lektionsassistent Sivert Lundgren, lektionsassistent Kurshemsida Kursplanering, föreläsningar och lektioner Uppgiftslösningar Gamla tentor Labbar för nedladdning Fortlöpande information Kursmaterial Bok: Elkraftteknik av Franzén och Lundgren Labbar: PM laddas ner från hemsidan och skrivs ut (helst i A4 format)

10 Introduktion forts. Laborationer 3 St laborationer, (Lab 5,6 och 7) Laborationerna hålls i ELLA/ELLE i A-Huset (Korridor C mellan ing. 13 och 15.) Teckningslistor medtages på Fö2, sedan i A-Huset på Elektrotekniks anslagstavla, (Korridor C mellan ing ) Elsäkerhet under labbarna. Svårigheter i kursen Beteckningar!!! Knöliga uttryck Tumregler, olika approach beroende på situation Tillämpar ellära, mekanik, matematik, (elektromagnetism)... men övning ger färdighet. Vore det inte svårt så satt vi inte här.

11 Repetition växelströmslära: Introduktion till växelström Tidsbaserat: Sinusformad spänning, olika skrivsätt u(t) = U 0 sin (ω t) = û sin (ω t) Effektivvärde: Det kvadratiska medelvärdet av en elektrisk storhet kallas effektivvärde 1 T U = u T 2 (t) dt = = û 0 2 Jämför med effekt för likström i resistans P = U I = U2 R. Vi medelvärdesbildar alltså något som är proportionellt mot effekt och alltså enkelt kan användas i effektberäkningar. Notationsregler lik- och växelspänningsstorheter För växelspänning används både U 0 och û för att notera toppvärde. U däremot betyder effektivvärde av sinusformad storhet eller likströmststorhet.

12 Repetition växelströmslära: Exempel tidsbaserade räkningar Sinusformad ström och spänning: i(t) u(t) = U 0 sin (ω t) i(t) = I 0 sin ( ω t ) ϕ }{{} Fasvinkel Samband mellan storheterna: / / u(t) = Faradays lag = di(t) L dt U 0 sin (ω t) = I 0 L d sin( ω t ϕ ) = ωli 0 cos (ω t ϕ) dt Slutsats: (Att använda vid definition av jω-medoden) 1 U 0 = ωli 0, jämför ohms lag U = R I 2 sin (ω t) = cos (ω t ϕ) ϕ = + π 2 eller 90 Strömmen kommer alltså 90 efter spänningen eftersom vi drar bort ϕ = π 2 u L

13 Repetition växelströmslära: Utvikning Faradays lag Faradays lag e = N d Magn. flöde Länkat flöde {}}{{}}{ φ(t) = d λ(t) = L di(t) dt dt }{{} dt För linjära material

14 Repetition växelströmslära: Definition jω-metoden Ersättningsregler: u(t) = U 0 sin (ω t) Vektor {}}{ Ū = U 0 e j 0 = U e j 0 2 i(t) = I 0 sin (ω t ϕ) Ī = I 0 2 e j ϕ = I e j ϕ Kom ihåg från komplex-matte: j 2 = 1 1 j = j e jϕ = cos (ϕ) + j sin (ϕ) Z = a + j b = a 2 + b 2 e j ϕ = Z e j ϕ ( ) ϕ = arctan b a för positiva a (Annars ±180 ) U är effektivvärde Ū eller ibland U är en komplex vektor med längd U

15 Repetition växelströmslära: Definition jω-metoden Illustration visardiagram Im j wl Ohms lag: Ū = Z Ī med Z = R + j X Resistans: R Z = R Se exemplet 90 = π 2 R Induktans: L Z = jωl Re Kapacitans: C Z = 1 jωc = j ωc j wc Im Ū = U e j ϕ j U sin (ϕ) U cos (ϕ) Re

16 Repetition växelströmslära: Exempel Ex: Beräkna dels grafisk, dels exakt Ī med Ū som referens: I I R I C I L u(t) = U 2 sin(ωt) u R C L Exakt: Ū = U e j0 Grafiskt: Ī = ĪR + ĪC + ĪL = Ū R + Im Ū 1/jωC + Im Ū jωl = U ( 1 R + jωc j ) ωl Ī C Ī R Ū Ī R Ū Re Ī Ī L Re Ī L Ī C

17 Repetition växelströmslära: Exempel - försmak av komplex effekt Exempel på fall där jωl och 1 jωc tar ut varandra.: I I C I L u C L Antag att Ī C = Ī L, dvs ωl = 1 ωc. Då blir Ī = 0 och 1 Z Tot = =. Samtidigt går en ström jωc j ĪC och ĪL mellan ωl kapacitansen och induktansen fram och tillbaka, fram och tillbaka, tills kretsen bryts. Komplex effekt Vi säger att den komplexa effekten Q C = 1 ωc I2 C = ωl I2 L = Q L skapas i kapacitansen och förbrukas i induktansen.

18 Huvudspänning och fasspänning 3-fas växelström: 3st växelspänningar med samma amplitud förskjutna 120 sinsemellan. Fördelar: Spänningar och strömmar summerar till 0 vid symmetrisk belastning behöver ingen återledare. En trefas-generator som lastas symmetriskt, dvs med lika stora laster på alla faser, ger ett statiskt (dvs icke-pulserande) lastmoment. En slinga som roterar i ett magnetfält alstrar spänningen e(t) = ê sin (ωt) V. Fält B N B S Ström Tre slingor 120 förskjutna alstrar symmetrisk 3-fas växelspänning.

19 Huvudspänning och fasspänning Fas-spänningar i ett 3-fas system. Lika amplitud ger symmetrisk 3-fas u 1 = û 1 sin (ωt) u 2 = û 2 sin (ωt 120 ) u 3 = û 3 sin (ωt 240 ) Komplex notation Ū 1 = U 1 e j0 Ū 2 = U 2 e j120 Ū 3 = U 3 e j240 Ū 3 Im Tips: (När det är jobbigt att slå på räknaren) Ū = 2π/3 Ū = 2π/3 Re e j120 = cos(120 ) + j sin(120 ) = j 3 2 e j120 = 1 2 j triangel: Om cos(ϕ) = 0.8 så är sin(ϕ) = 0.6 och tvärs om. (ϕ = 36.9 )

20 Huvudspänning och fasspänning Ū 3 Huvudspänning U H Fasspänning U F Ū 31 Ū 1 Huvud och fasspänning U H = 3U F Symmetrisk 3-fas: U 1 = U 2 = U 3 Ū 31 är spanningen från 1 till 3 Ū 2 ( ) ( Ū 31 = Ū 3 Ū 1 = U e j120 1 = U j ( ) = U j 1 2 }{{} Längden 1 Ū 12 = Ū 1 Ū 2 = U 3e j30 Ū 23 = Ū 2 Ū 3 = U 3e j90 = U 3 e j210 ) 2 1 = U ( j 3 2 ) =

21 Huvudspänning och fasspänning Ū 31 Ū Ū 1 Ū 12 Beteckningar: 3-fas med nolledare betecknas U H / U F Ex: 400/230 Saknas nolledare kallas det 3xU H Ex: 3x400 Ū 2 Fasledarna kallas L 1, L 2, L 3 alt. R, S, T Ū 23 Nolledare betecknas N

22 Y- och D-koppling Y-koppling: (Även stjärnkoppling) Alt. representation Ū 1 L 3 L 1 L 1 Ī L1 Z I L = U F Z = U H 3Z L 2 Ī L2 Z N L 3 Ī L3 Z N Ī 0 = 0 Vid symmetrisk last Vid Y-koppling ligger spänningen U F över respektive last. Strömmen genom lasten betecknas linjeström. L 2

23 Y- och D-koppling D-koppling: (Även triangel/delta) Ū 31 L 1 Ī L1 Ī 12 Notera Spänningen över, och därmed Ū 12 Z Ī 31 Ī L2 strömmen genom, respektive last L 2 för en D-koppling är 3 ggr Z större än vid Y-koppling med Ū Z Ī Ī L3 samma komponenter. Därför L 3 utvecklas 3 ggr mer effekt (se t.ex. P = RI 2 = U2 R ) Vid D-koppling ligger spänningen U H = 3U F över respektive last. Strömmen genom lasten betecknas fasström. I 12 = I 31 = I 23 = I F = I Fasström I L = Linjeström I L = 3I F 3I Räknas ut direkt eller från effektsamband

24 Y- och D-koppling: Härledning ekvivalens Betrakta kretsschemat för Y- och D-kopplingarna För Y-kopplingen har vi med U 1 som referens Ī L1,Y = Ū1 Z = U F Z, Ī L2,Y =..., Ī L3,Y =... Med Ū 1 som referens får vi för D-kopplingen Ū 31 D-Koppling Ī L1 L 1 Ī 12 Ū 12 Z Ī L2 L 2 Ū Z Ī Ī L3 L 3 Y-Koppling Ī 31 Z Ī 12 = Ū12 Z = Ū1 Ū 2 = j30 3U F e Z 1 Z L 1 Ī L1 Ū 1 Z Ī 31 = Ū31 Z = Ū3 Ū1 Z Ī L1, = Ī12 Ī31 = 3U F = j210 3U F e 1 Z (e j30 e j210 ) }{{} 3 L 2 Ī L2 L 3 Ī L3 1 Z = 3U F Z Z Z Slutsats: I Li, = 3 I Li,Y, dvs en D-kopplad last drar 3 ggr mer ström och effekt än en Y-kopplad. Strömmarna har samma fas.

25 Y- och D-koppling: Ekvivalens Eftersom enda skillnaden mellan en Y-kopplad och D-kopplad last är att linjeströmmar vid D-koppling blir 3 ggr större än för Y-koppling så kan vi dra följande slutsats. Z D Z D Z D Z D = 3 Z Y Z Y Z Y Z Y Ekvivalens mellan Y- och D-kopplingar Vi kan alltid ersätta en Y-kopplad last med en D-kopplad ekvivalent last enligt formeln Z D = 3 Z Y

26 Symmetrisk och osymmetrisk belastning Ū 1 L 1 Ī L1 Z Vi osymmetrisk belastning blir L 2 Ī L2 Z nollströmmen I N 0 L 3 Avbrott N Ī 0

27 Beräkningsexempel 1.22 a-c Givet: 380/220 Trefas med nolledare f = 50 Hz Z 1 = 44 Z 2 = / Tolka texten / = ωl sin(ϕ) (cos(ϕ) + j sin(ϕ)) = =30 {}}{ 2π (0.8 + j 0.6) = 50 (0.8 + j 0.6) 1 Z 3 = 30 j ωc 30 j 40 = 50 (0.6 j 0.8) a) Beräkna linjeströmmarna L 1 L 2 Ī L1 Ī L2 Z1 Z 2 Ī L,1 = Ū1 220 ej0 = = 5 A Z 1 44 Ī L,2 = Ū2 220 e j120 = Z 2 50 e j arg( Z 2) Ī L,3 = Ū3 220 e j240 = Z 3 50 e j arg( Z 3) = 4.4 j 36.9 e j120 A = 4.4 +j 53.1 e j240 A L 3 N Ī L3 Ī 0 Z 3

28 Beräkningsexempel 1.22 a-c b) Rita linjeströmmarna i ett visardiagram I 3 I I

29 Beräkningsexempel 1.22 a-c b) forts.. Beräkna nollströmmen grafiskt I 180 I I3 I

30 Beräkningsexempel 1.22 a-c c) Beräkna nollströmmen analytisk Ī 0 = Ī L1 + Ī L2 + Ī L3 = I L1 e j0 + I L2 e j I L3 e j186.9 = = (cos( ) + j sin( )) (cos( ) + j sin( )) = = j j 0.53 = j1.20 = I 0 = Ī 0 = Re 2 + Im A arg(ī0) = arctan( ) = Jämför med den grafiska lösningen!

31 Fö 2 - TMEI01 Elkraftteknik Trefas effektberäkningar Per Öberg 29 januari 2013

32 Outline 1 Trefaseffekt 2 Aktiv, reaktiv och skenbar effekt samt effektfaktor 3 Beräkningsexempel Beräkningsexempel 1.22d 5 Faskompensering 6 Beräkningsexempel Mätning av effekt

33 Trefaseffekt: Y-koppling Betrakta en symmetrisk Y-koppling (lika stora laster i varje gren) Linjeström = Fasström P Y /3 Ū F L 1 Ī L1 Z L 2 Ī L2 Z L 3 Ī L3 Z En tredjedel av effekten utvecklas i varje resistans/kretselement Spänningen över lasterna är fas-spänningen U F Strömmen genom lasterna är linjeströmmen I L,Y P Y,3fas = 3 U F I L,Y cos(ϕ) = 3 U H I L cos(ϕ)

34 Trefaseffekt: D-koppling Betrakta en symmetrisk D-koppling (lika stora laster i varje gren) L 1 Ī L Ū H Z Ī Ū H L 2 Z Ū H Z L 3 P.s.s. som för Y-koppling utvecklas en tredjedel av effekten i varje gren Spänningen över lasterna är huvud-spänning U H Strömmen genom lasterna är fasströmmen I P,3fas = 3 U H I cos(ϕ) = 3 U H IL 3 cos(ϕ) = 3 U H I L cos(ϕ) Slutsats: Trefaseffekten för både Y- och D-kopplingar skrivs P 3fas = 3 U H I L cos(ϕ)

35 Aktiv, reaktiv och skenbar effekt samt effektfaktor Effektbegrepp - (vad är egentligen komplex effekt?) Momentan effekt skrivs: p(t) = u(t) i(t) = û sin(ωt) î sin(ωt ϕ) P = Aktiv effekt, dvs medelvärdet av den momentant utvecklade effekten Vi har att P = U I cos(ϕ). Härledning: P = T 1 T p(t)dt = û î T sin(ωt) [sin(ωt) cos(ϕ) cos(ωt) sin(ϕ)] dt = 0 T / 0 T / sin(ωt) cos(ωt) = 0 = û î T 0 T cos(ϕ) sin 2 (ωt)dt = û î T 0 T cos(ϕ) 1 cos(2ωt) dt = 0 2 û î T2 cos(ϕ) = û î cos(ϕ) = U I cos(ϕ) T 2 2 Q = Reaktiv effekt, en hjälpstorhet som håller reda på effekt som flödar fram och tillbaka S = P + j Q - Komplex effekt Komplex effekt P är medelvärde, Q - mängden som flödar fram och tillbaka, S - den skenbara effekten

36 Aktiv, reaktiv och skenbar effekt samt effektfaktor Betrakta en krets bestående av en spänningskälla, Ū = 1 V, och en komplex last Z = j 0.6, dvs Ī = 1 A, ϕ 37. Den momentana effekten är p(t) = u(t) i(t) = û sin(ωt) î sin(ωt ϕ) = 2 sin(ωt) sin(ωt 37 ) = /Se t.ex. härledning ovan/ = p A (t) + p R (t) p A (t) = cos(ϕ) (1 cos(2ωt)) p R (t) = sin(ϕ) sin(2ωt) Notera: cos och sin är fasförskjutna 90 = vi representerar P och Q som visare med 90 vinkelskillnad. Power Motsvarar reaktiv effekt Motsvarar skenbar effekt Motsvarar aktiv effekt Angle [deg] Momentan Aktiv Reaktiv

37 Trefaseffekt: Sammanfattning Total aktiv effekt: P 3fas = 3 U H I L cos(ϕ) W reaktiv effekt: Q 3fas = 3 U H I L sin(ϕ) VAr skenbar effekt: S 3fas = 3 U H I L VA Im S Q Alternativ: Antag att Z = R +j X P Re P 3fas = 3 R I 2 Q 3fas = 3 X I 2 S 3fas = 3 Z I 2

38 Beräkningsexempel 1.7 Givet: Ū 1 Ū 1 L 1 Ū 2 L 2 Ī L1 Ī L2 Z Z Z = 6 + j 8 Ω Z = 10, dvs 345-triangel U H = 220 V U F = 127 V Symmetrisk last Ū 3 L 3 Ī L3 Z Sökt: a) I L, b) P 3fas,Q 3fas,S 3fas, c) cos(ϕ) Lösning: a) I L = U F Z = U H/ 3 R2 + X = 220/ 3 = 12.7 A 2 10 b) P 3fas = 3 R I 2 L P 3fas = = 2903 W c) Q 3fas = 3 X IL 2 Q 3fas = = 3871 VAr S 3fas = P3fas 2 + Q2 3fas = 4839 VA (alt.s 3fas = 3 Z I 2 ) cos(ϕ) = P 3fas S =

39 Beräkningsexempel 1.7 Alternativ lösning: a) Lös på samma sätt c) och b) P 3fas = S 3fas cos(ϕ), med / S 3fas = 3 U F I L = U F = U / H = 3 U H I L 3 ( ) X ϕ = arctan = 53.1 cos(ϕ) = 0.6 R P 3fas = 3 U H I L cos(ϕ) = = 2903 W

40 Beräkningsexempel 1.22d d) Beräkna totala aktiva och reaktiva effekten från nätet (Observera att I och Ī betecknar samma sak) P Tot = R 1 I R 2 I R 3 I 2 3 = = = = = 2.5 kw Q Tot = ωl Ī2 2 1 ωc Ī3 2 = = = = 194VAr

41 Faskompensering Strömvärmeförluster dimensionerar den maximala överföringskapaciteten hos t.ex. en ledare eller transformator. Dessa beror på strömmens storlek. För ett visst effektbehov hos slutkunden (Aktiv effekt) är det därför önskvärt att minimera den reaktiva effekten så att strömmens storlek minimeras. (Vi har ju P = U I cos(ϕ)) Enligt tidigare svenska normer gällde att Q 0.75P. Man brukar säga att induktanser förbrukar reaktiv effekt medan kapacitanser genererar kapacitiv effekt. Följaktligen har vi Kapacitans: Q < 0, (Vi har ju Z = j ωc Induktans: Q > 0 för en kapacitans) (Om tecknen känns konstiga: Notera att P > 0 oftast betyder att effekt förbrukas i en last)

42 Faskompensering Faskompensering För att minska den reaktiva effekten hos en förbrukare kan effekten genereras på plats. Detta kallas faskompensering. När man vill påverka cos(ϕ) används parallellkopplade kondensatorer, eller shunt-kondensatorer. När man vill förbättra spänningsfallet hos en ledare används serie-kondensatorer.

43 Faskompensering: Exempel på parallellkopplad kondensator Före kompensering Im Efter kompensering Im cos(ϕ) = 0.8 P Re P Re S Q ind. S Q ind. Q kond. Induktiv last Kondensator Induktiv last Parallellkopplad kondensator Vid parallellkoppling påverkas inte den aktiva effektförbrukningen P eftersom spänningen över den induktiva lasten är densamma

44 Beräkningsexempel 5.8 Givet: P 1, P 2, U H, o.s.v. (se figur) Sökt: Beräkna I L och cos(ϕ Tot ) Lösning: Vi har att P Tot,3fas = P 1 + P 2 + P 3 = = = 94 kw Q Tot,3fas = Q 1 + Q 2 + Q 3 = U H = 380 V f = 50 Hz Förenklat ritsätt L 1 L 2 L 3 Ī L Faktiskt koppling sin(ϕ 1) Q 1 = P 1 = 80 = 77.1 kvar cos(ϕ 1) 0.72 sin(ϕ 2) 0.8 Q 2 = P 2 = 14 = kvar cos(ϕ 2) 0.6 Q 3 = 3 U 2 H ωc = π = 65.3 kvar = kvar = 30.5 kvar S Tot,3fas = PTot,3fas 2 + Q2 Tot,3fas = 98.8 kvar Vi får därför S = 3 U F I L I L = S Tot,3fas 3 UH cos(ϕ Tot ) = P Tot,3fas S Tot,3fas = = ind. = 150 A och P 1 = 80 kw cos(ϕ) = 0.72ind. P 2 = 14 kw cos(ϕ) = 0.6ind. P 3 = 0 C = 480 µf D-koppl.

45 Mätning av effekt: Tvåwattmetermetoden Trick för att slippa 3 wattmetrar - 3 wattmerar, en för varje fas, fungerar alltid! - 1 wattmeter räcker om lasten är symmetrisk. (Vi kan ju multiplicera med 3) Metoden fungerar även i osymmetriskt belastade system vid allmän kurvform (dvs även vid icke-sinus). Kräver att nolledare saknas i systemet. Härledning: Kom ihåg definitionen av momentan effekt p(t) = u(t) i(t). För tre faser har vi p 3fas (t) = u 1 i 1 + u 2 i 2 + u 3 i 3 = /Vilket kan skrivas som/ = = (u 1 u 2 ) i 1 + (u 3 u 2 ) i 3 + u 2 (i 1 + i 2 + i 3 ) }{{}}{{}}{{} u 12 u 32 =0 om nolla saknas = u 12 i 1 + u 32 i 3 =

46 Mätning av effekt: Tvåwattmetermetoden L 1 Ī 1 Ū 12 P I 3-fas Last cos ϕ L 2 P I = U 12 I 1 cos(30 + ϕ) P II = U 32 I 3 cos(30 ϕ) P I + P II = U H I L (cos(ϕ) cos(30 ) sin(ϕ) sin(30 )+ L 3 Ū 32 + cos(ϕ) cos(30 ) + sin(ϕ) cos(30 ) ) = = 3 U H I L cos(ϕ) = P 3fas P II P I = = U H I L sin(ϕ) = Q 3fas 3 tan(ϕ) = Q 3fas = 3 PII P I P 3fas P II + P I Överkurs: Vid användning av tvåwattmeter-metoden kan ibland P I eller P II bli negativt. Alla wattmetrar kan inte hantera detta utan visar siffror utan tecken. Ibland måste därför tecknet på P I eller P II kastas om för att få rätt värden. Ī 3 P II

47 Fö 3 - TMEI01 Elkraftteknik Enfastransformatorn Per Öberg 20 januari 2013

48 Outline 1 Transformatorns grunder 2 Omsättning 3 Ideal transformator, kretsschema och övertransformering 4 Icke ideal transformator 5 Full- och spartransformatorn (Vridtransformatorn)

49 Transformatorns grunder En elektromagnetisk maskin utan rörliga delar. Arbetar enligt induktionsprincipen Användbar endast för växelström Huvuduppgiften är att omvandla (transformera) spänningen för en växelström Kan även användas för att isolera elektriska kretsar från varandra. N1 - varv N2 - varv

50 Primär- och sekundärlindning Primärlindningen tar emot energi från källan Sekundärlindningen avger energi till förbrukaren Upplindning är lindningen med högre spänning Nedlindningen är lindningen med lägre spänning Ok Ben Ben Energi inmatas Energi utmatas Primärlindning Sekundärlindning

51 Figur : Transformatorn och dess referensriktningar. En spänning u 1 (t) läggs på på primärsidan varpå en annan spännning u 2 (t) uppstår på sekundärsidan. Transformatorns arbetssätt 1 Spänningen u 1 (t) läggs på transformatorns primärsida 2 Det pulserande flödet som uppstår alstrar den inducerade emk n e 1 (t) och e 2 (t). Riktningen på spänningarna är sådana att de försöker motverka strömförändringar. 3 Den inducerade spänningen e 2 (t) driver en ström i 2 (t) 4 Förluster i transformatorn ger ett spänningsfall och utspänningen från transformatorn är u 2 (t) i 1 (t) i 2 (t) u 1 (t) e 1 (t) N1 - varv N2 - varv e 2 (t) u 2 (t) Magnetflöde Φ 1

52 Omsättning vid tomgång Storleken av de inducerade spänningarna är dφ(t) e n (t) = N n dt di(t) e n (t) = L n dt Uttryckt i magnetflöde Uttryckt i ström och induktans Utgående från ett givet magnetflödet Φ = ˆΦ sin(ωt) får vi alltså emk erna dφ(t) e 1 (t) = N 1 dt dφ(t) e 2 (t) = N 2 dt = N 1 d dt ˆΦ sin(ωt) = ωn 1 ˆΦ cos(ωt) Med komplex notation för spänningarna och flödet så fås E 1 = ωn 1 Φ j E 2 = ωn 2 Φ j

53 Omsättning forts. Spänningarna E 1 och E 2 hänger alltså ihop enligt Spänningslagen E 1 N 1 = E 2 N 2 / / ideal transformator U 1 = N 1 U 2 N 2 För en ideal transformator så är dessutom instoppad effekt lika med uttagen effekt, dvs S 1 = S 2. Alltså gäller att Vilket ger oss Strömlagen E 1 I 1 = E 2 I 2 I 1 I 2 = N 2 N 1

54 Kretsschema för ideal transformator För en ideal transformator så är spänningarna e n (t) = u n (t) lika. Symbolen för en ideal transformator brukar ritas enligt I 1 I 2 U 1 U 2 N1 N2 Figur : Symbol och referensriktningar för en ideal transformator.

55 Övertransformering av impendans Alla laster på sekundärsidan av en ideal transformator kan övertransformeras till en ekvivalent last på primärsidan. I 1 I 2 I 1 U 1 N1 N2 U 2 U 1 Z 2 Z 2 I fallet ovan så blir I 1 lika stor för ett visst U 1 under förutsättning att ( ) 2 Z 2 N1 = Z 2 N 2

56 Icke ideal transformator: Förluster I en verklig transformator så har vi förluster Magnetiseringsförluster, eller Järnförluster, dvs förluster som uppkommer p.g.a. ommagnetisering av järnet. Strömförluster, eller Kopparförluster, dvs R I 2 förluster i lindningarna. Magnetflödet bestäms av spänningen så järnförluster är tomgångsförluster medan kopparförlusterna bestäms av strömmen och därmed belastningsgraden. Kopparförluster P Cu = P FB = Belastningsförluster Järnförluster P Fe = P F 0 = Tomgångsförluster

57 Icke ideal transformator: Modell och Kretsschema R 1 jx 1 I I 1 I 2 R 2 jx 2 I 0 U 1 R 0 jx 0 U 2 Z B N 1 N 2 Figur : Modell av en icke ideal transformator som en ideal transformator med externa förluster. Tomgångsförlusterna uppstår i R 0 och belastningsförlusterna i R 1 resp. R 2. P P FB I F 0 I 1 I 2 R 2 jx 2 I 0 U 1 R 0 jx 0 U 2 Z B N 1 N 2 Figur : Förenklad modell av en icke ideal transformator. Här har strömförlusterna från primärsidan övertransformerats till sekundärsidan. Felet hos modellen blir litet eftersom I 0 är litet i förhållande till I 1

58 Icke ideal transformator: Tomgångsprov Tomgångsprov P F 0 kan mätas vid ett s.k. tomgångsprov. Detta görs genom att transformatorn drivs i tomgång vid märkspänning på primärsidan U 1 = U 1M och den tillförda effekten P F 0 och tomgångsströmmen I = I 0 mäts. P I F 0 I 1 I 2 R 2 jx 2 U 1 = U 1M I 0 R 0 jx 0 N 1 N 2 Tomgång I 1 = I 2 = 0 Vi har då att P F 0 = U 0 I 0 cos(φ 0 )

59 Icke ideal transformator: Kortslutningsprov Kortslutningsprov P FB vid märkström, P FBM, kan mätas vid ett s.k. kortslutnignsprov. Provet går till så att nedsidan kortsluts medan uppsidan matas med märkström I 1M. Spänningen U 1K justeras alltså så att I 1K = I 1M. Försummas P F 0 så är kortslutnigsförlusterna samma som belastningsförlusterna vid märkström. Nedsidan, t.ex. sekundärsidan, kortsluts I 1K P FB I 1 I 2K R 2 jx 2 U 1K N 1 N 2 Kortslutning I 0 << I 1K I 0 försummas Vi har då att P FKM = P FBM = R 2 I 2 2K = R 2I 2 2M

60 Icke ideal transformator: Spänningsfall Utspänningen från en transformator U 2 är lägre än den ideala utspännigen U 20 och skillnaden kallas transformatorns spänningsfall. I I 1 I2 R 2K jx 2K I 0 U 1 R 0 jx 0 Z B U20 U 2 cos ϕ 2 ind. N 1 N 2 För en given induktiv last Z B med cos ϕ 2 så kan vi skriva U 20 = (U 2 + R 2K I 2 cos ϕ 2 + X 2K I 2 sin ϕ 2 ) 2 + (X 2K I 2 cos ϕ 2 R 2K I 2 sin ϕ 2 ) 2 eller förenklat U 20 (U 2 + R 2K I 2 cos ϕ 2 + X 2K I 2 sin ϕ 2 )

61 Icke ideal transformator: Spänningsfall I 2 R 2K jx 2K U 20 ϕ 2 z Z B U 20 U 2 cos ϕ 2 ind. jx 2K I 2 x ϕ 2 y R 2K I 2K U 2 x = R 2K I 2 cos ϕ 2 y = X 2K I K sin ϕ 2 Spänningsfallsformeln ϕ 2 I 2 z = X 2K I 2 cos ϕ 2 R 2K I 2 sin ϕ 2 U 20 (U 2 + R 2K I 2 cos ϕ 2 + X 2K I 2 sin ϕ 2 )

62 Belastningsgrad, förluster och verkningsgrad Märkeffekten för en transformator är alltid den skenbara effekten S M = U 1M I 1M = U 2M I 2M Anledningen är att transformatorns lindningar tål en viss ström innan isoleringen smälter. En märkbelastad transformator avger märkeffekten i lasten på sekundärsidan med en viss effektfaktor cos ϕ 2 P 2M (ϕ 2 ) = U 2 I 2M cos ϕ 2 Belastningsgraden x definieras som förhållandet mellan lastström och märkström eller avgiven effekt och märkeffekt enligt x = I 2 I 2M = P 2 P 2M

63 Belastningsgrad, förluster och verkningsgrad Verkningsgraden beror på instoppad effekt och avgiven effekt enligt η = P 2 P 1 = P 2 P 2 + P F 0 + P FB Tomgångsförlusterna P F 0 är konstanta Belastningsförlusterna P FB ökar med strömmen i kvadrat P FB = x 2 P FKM Verkningsgraden blir då uttryckt i belastningsgrad η = P 2 P 1 = x P 2M x P 2M + P F 0 + x 2 P FKM

64 Full- och spartransformatorn (Vridtransformatorn) Ställbar utspänning Primärsida Sekundärsida Figur : Konceptuell bild av en spartransformator. Flyttas den övre anslutningen på sekundärsidan så kan spänningen varieras. Detta kallas vridtransformator. För en viss genomgångseffekt S g = U 1 I 1 = U 2 I 2 så blir typeffekten S t = S g U 1 U 2 U 1. För extremfallet U 1 = U 2 så blir transformatorn alltså helt obelastad. Observera att begreppen uppsida nedsida kan bli förvirrande för en vridtransformator.

65 Fö 4 - TMEI01 Elkraftteknik Trefastransformatorn Introduktion till Likströmsmaskinen Per Öberg 22 januari 2013

66 Outline 1 Trefastransformatorn Distributionsnätet Uppbyggnad Kopplingsarter Ekvivalent Kretsschema Beräkningsexempel 2 Likströmsmaskinen Introduktion Ekvivalent Kretsschema Separat, Shunt, Serie och Kompound kopplingar Startström och Startpådrag Beräkningsexempel

67 Distributionsnätet

68 Trefastransformatorn: Uppbyggnad Alt 1: Använd tre st. likadana enfastransformatorer -> Mindre vanligt -> Lägre effektivitet än alternativet Alt 2: Gemensam järnkärna för hela transformatorn, en s.k. trefastransformator -> Summan av magnetflödena är alltid noll vid symmetrisk trefas. Därför behövs ingen magnetisk återledare. -> Det räcker alltså med en trebent transformator, dvs ett ben för varje fas.

69 Uppbyggnad, forts. r R R S T s S r s t t T Figur : Uppbyggnad av trefas krafttransformator och dess schemasymbol vid Y-koppling. De tre faserna R, S och T har en uppsänningslidning och en nedspänningslindning på varje ben.

70 Kopplingsarter Lindnignarna på en trefastransformator brukar Y-kopplas, D-kopplas eller Z-kopplas. IL A=R B=S C=T N U F Y-koppling U H A=R I L I F B=S C=T D-koppling I A=R L B=S C=T N U F 3 Z-koppling Magnetfältet från en D-kopplad lindning blir 3 ggr. större än vid Y-kopplad lindning. -> Spänningen på nedsidan blir 3 ggr. större för D-kopplad lindning än för Y-kopplad lindning på uppsidan. De två lindningsdelarna i Z-kopplingen är två hälfter av en lindningsfläta kopplade så att spänningarna blir motkopplade och fasförskjutna 60. -> Mindre vanligt U F 3

71 Kopplingsarter, forts. Transformatorkopplingar betecknas enligt Uppspänningslindning Y-koppling Y y D-koppling D d Z-koppling Z z Nedspänningslindning Fasläget för en trefaslindning uttrycks enligt klockmetoden Ex: YNd5 betyder att uppspänningssidan är Y-kopplad med nollluttag och nedspänningssidan D-kopplad samt 150 efter uppsidans spänning.

72 Ekvivalent Kretsschema Ofta försummas tomgångsförlusterna vid utritning av trefastransformatorns kretsschema. Räkningarna görs enklast under antagandet att transformatorn består av tre st Y-kopplade enfastransformatorer. -> Förutsätter balanserad last. I 1 I 2 R 2 jx 2 U 1 3 U 20 3 U 2 3 Z B N 1 N 2 Figur : Ekvivalent per Y-fas schema för trefastransformator. Notera att U 1 här representerar huvudspänningen på primärsidan, inte fasspänning nummer 1.

73 Beräkningsexempel 2.14 Rita ekvivalent per fas schema I 1 I 2 R 2 jx 2 U 1 3 U 20 3 U 2 3 Z B N 1 N 2

74 Beräkningsexempel 2.14 a) Sökt: I 1M och I 2M Givet: S M = 50 kva, U 1M = 10 kv, U 2M = 0, 4 kv Lösning: Använd definitionen av trefaseffekt för upp-sidan och ned-sidan S M = 3 U 1M I 1M = 3 U 2M I 2M = { I1M = = = 2, 9 A I 2M = 3 = 72, 2 A b) Sökt: R 1K och R 2K, dvs kortslutningsresistansen sett från primär och sekundärsidan. Givet: P FBM = 870 W Lösning: Effekten i varje gren är en tredjedel så vi har att P FBM = 3 R 1K I1M 2 = 3 R 2K I2M 2 = 870 R 1K = 3 2,9 = 34, 8 Ω = R 2K = 3 72,2 = 55, 2 mω = R 2 1K ( U2M U 1M ) 2

75 Beräkningsexempel 2.14 c) Sökt: X 1K och X 2K, dvs kortslutningsreaktans sett från primär och sekundärsidan. Givet: P FBM = 870 W, u Z = 3, 4%. Här är u Z det procentuella impedansspänningsfallet vid märkström. Lösning: Procentuella spänningsfallet är spänningsfallet över Z 1K eller Z 2K vid märkström på resp. sida. Z 1 I 1K I 2K R 2 jx 2 U 1K 3 = Z 1K I 1K (1) U 1K 3 U Z1 3 U Z2 3 U 1K = uz 100 U 1M = 3, = 340 V (2) Z 1K = R 2 1K + X 2 (3) 1K X 2K = X 1K ( U2M U 1M ) 2 (4) (1)&(2) = Z 1K = N 1 N 2 U 1K 340 = = 68 Ω 3 I1K 3 2, 9 (3) = X 1K = 58, 4 Ω ( ) (4) = X 2K = 58, = 93, 5 mω

76 Beräkningsexempel 2.14 d) Sökt: U 2, spänningen över lasten Givet: U 1 = U 1M U 20 = U 2M, Märkbelastning I 2 = I 2M, cos ϕ 2 Lösning: Rita figur och sätt ut kända och okända storheter. Använd spänningsfallsformeln I1 I 2 R 2 jx 2 U 1M 3 U 20 3 U 2 3 Z B cos ϕ 2 ind. N 1 N 2 U 20 3 U I 2 (R 2K cos ϕ 2 + X 2K sin ϕ 2 ) = U , 2 ( 55, , , , 6 ) = U 2 387, 4 V

77 Beräkningsexempel 2.14 e) Sökt: η, för märkbelastningsfallet Givet: U 2, I 2M, cos ϕ 2, P F 0, P FBM Lösning: Räkna ut P 2M för driftsfallet och använd formeln för effektivitet P 2M = 3 U 2 I 2M cos ϕ 2 = 3 387, 4 72, 2 0, 8 = W η = P 2M = P 2M + P F 0 + P FBM = 97, 5 % Notera: P 2M beror både på belastningsgrad x (via U 2 ) och effektfaktor cos ϕ 2. Detta syns inte explicit i formeln i boken x P 2M η = x P 2M + P F 0 + x 2 P FKM Formeln borde allstå egentligen förtydligas med P 2M (x, cos ϕ 2 ).

78 Beräkningsexempel 2.14 f) Sökt: Belastningsgraden för max verkningsgrad Givet: P F 0, P FBM Lösning: Försumma P 2M s beroende på belastningsgrad och ställ upp verkningsgraden som funktion av belastnignsgrad. x P 2M η(x) = x P 2M + P F 0 + x 2 P FKM = f (x) g(x) η (x) = f (x) g(x) f (x) g (x) g(x) 2 = ) P 2M (x P 2M + P F 0 + x 2 P FBM x P FBM (P 2M + 2 x P FBM ) g(x) 2 = x P 2 2M + P 2M P F 0 + x 2 P 2M P FBM x P 2 2M 2 x2 P 2M P FBM g(x) 2 = ) P 2M P F 0 x 2 P 2M P P 2M (P F 0 x 2 P FBM FBM g(x) 2 = g(x) ) 2 η (x) =0 = (P F 0 x 2 P FBM = 0 = x ηmax = PF 0 P FBM

79 Beräkningsexempel 2.14 g) Sökt: I 1K om transformatorn kortsluts trefasigt på sekundärsidan Givet: U 1 = U 1M, Z 1Tot = Z 1K Lösning: Använd ohms lag på den kortslutna kretsen I 1K = U 1M 3 Z1K = = 85 A

80 Likströmsmaskinen: Introduktion Fält B S Ankarström N B F N B S F F = l J B Illustration av DC-motor, Wikimedia Commons

81 Introduktion, forts. En likströmsmaskin kan arbeta både som motor och generator. Högt startmoment, snabb acceleration, enkel att styra För en likströmsmaskin är ankare och rotor samma sak. (Ankarlindningen är alltid den som är AC ström i) Stator Rotor Kommutator Ankarström Figur : Benämningar för de olika delarna i en DC-motor

82 ω = ω 0 Fältström, I f,eff Huvudflöde och Ankarflöde Flödet från statorlindningen, eller fältlindningen, kallas huvudflöde -> Huvudflödet bestäms i princip av magnetiseringsströmmen I m Typisk Magnetiseringskurva för DC motorer Ankar emk, E 0 Flödet genom maskinen kallas Φ och vi har alltså i princip Φ(I m ) = f (I m ) = / för det linjära området / k I m Φ ger upphov till en varvtalsberoende elektromotorisk kraft i ankarkretsen enligt E = k 1 n Φ

83 Huvudflöde och Ankarflöde Ankarströmmen ger upphov till ett tvärs-riktat ankarflöde som påverkar storleken på huvudflödet för stora ankarströmmar. Figur : Skiss av distorsion av huvudflöde p.g.a. ankarflöde. När ankarflödet ökar p.g.a. ökad belastning så distorderas fältet allt mer. Detta leder till magnetisk mättning i de delar som utsätts för störst flöden och därmed fältförsvagning.

84 Ekvivalent Kretsschema Magnetiseringsström Lindningsresistans Lindningsresistans Ankarström R I a a I m Fältlindning Mot-EMK U m E U a R m Ankarspänning Fältlindningsspänning Figur : Ekvivalent kretsschema för DC-maskin samt benämningar på de olika komponenterna. Magnetiseringsstorheterna kallas ibland för fältstorheter, dvs I f, U f, R f o.s.v.

85 Elektriska och Magnetiska Samband Kirchoffs spänningslag ger oss U R a I a E = 0 Den varvtalsberoende elektromotoriska kraften är E = k 1 Φ n = k 2 Φ ω Strömmen i magnetiseringslidningen blir I m = U m R m Magnetfältet för det linjära området är Φ = k I m

86 Separat, Shunt, Serie och Kompound kopplingar Figur : Olika kopplingsvarianter för lindningarna hos en DC-maskin. Den separatmagnetiserade har samma driftsegenskaper som en permanentmagnetiserad eftersom strömmen som genererar huvudflödet är helt frikopplad från ankarkretsen.

87 Startström och Startpådrag Eftersom E = k 1 Φ n = 0 vid start så blir starströmmen hög för alla likströmsmaskiner. Startströmmen blir speciellt hög för den seriekopplade varianten eftersom de är designade med lägre lindningsresistanser. Lösningen är att koppla på ett s.k. startpådrag som begränsar strömmen i startögonblicket. Startpådraget kopplas ur så snart motorn fått upp farten.

88 Beräkningsexempel 3.1, startpådrag Sökt: Storleken på pådragsmotståndet R p som ger I a,start 2 I a,drift Givet: U a = 220 V, R a = 2 Ω, I a,drift = 10 A Lösning: Rita figur och ställ upp strömsambandet för ankarkretsen. Ia Ra = 2 Ω Rm E Ua = 220 V Rp Pådragsmotstånd U a R a I a E R p I a = 0 I a,start 2 I a,drift = 20 Vid start är E = k 1 Φ n = 0 och därmed så gäller I a,start = U a R a + R p 20 R a + R p R p 9 Ω

89 Fö 5 - TMEI01 Elkraftteknik Likströmsmaskinen Per Öberg 29 januari 2013

90 Outline 1 Repetition Ekvivalent Kretsschema 2 Mekaniska Samband 3 Driftegenskaper Motordrift Separatmagnetiserad likströmsmotor Shuntmagnetiserad likströmsmotor Seriemagnetiserad likströmsmotor Kompoundmagnetiserad likströmsmotor 4 Verkningsgrad

91 Likströmsmaskinen: Introduktion Fält B S Ankarström N B F N B S F F = l J B Illustration av DC-motor, Wikimedia Commons

92 Introduktion, forts. Stator Rotor Kommutator Ankarström Figur : Benämningar för de olika delarna i en DC-motor

93 Huvudflöde och Ankarflöde

94 Kretsschema och Samband Kirchoffs spänningslag ger oss U a I a R a E a = 0 Den varvtalsberoende elektromotoriska kraften är E a = k 1 Φ n = k 2 Φ ω ω = n 2π 60 Strömmen i magnetiseringslidningen blir I m = U m R m Magnetfältet för det linjära området är Φ = k I m Varvtalsformeln n = U a I a i R i k 1 Φ Um Alternativt ritsätt Um Im Rm Im Rm Ia Ia Ea Ra Ea Kretsschema Ra Ua Ua

95 Mekaniska Samband Det elektrodynamiska vridmomentet, M (eller ibland T ), dvs det som uppstår på lindningsaxeln beror på magnetfältet enligt ( ) M = k 2 I a Φ(I m ) Φ = k I m för det linjära området k 2 k I a I m Den elektriskt genererade mekaniska effekten, P, är P = M ω = I a k 2 Φ(I m ) ω = E a I a }{{} E a Förluster från lagerfriktion och ventilation kallas tomgångsförluster P F 0 Den avgivna effekten P avg blir P avg = E a I a P F 0 Axelmomentet, dvs det moment som lämnar maskinen blir M a = M P F 0 ω

96 Repetition Separat, Shunt, Serie och Kompound kopplingar

97 Separatmagnetiserad likströmsmotor U m I m R m I a R a E a U a Typisk momentkurva R a 1.25 R a = 0 Momentkurva Shunt och Separatmotor 1200 Kretsschema U a = E a + I a R a E a = k 2 Φ ω = k 1 Φ n I m = U m R m Φ k I m M = k 2 Φ I a Driftsekvationer Varvtal n [rpm] Moment M [Nm] Momentkurva R a = 0 U a = E a n = konst. R a 0 E a minskar med M n = avtar med M

98 Shuntmagnetiserad likströmotor I m R m I a R a E a U a Typisk momentkurva R a 1.25 R a = 0 Momentkurva Shunt och Separatmotor 1200 Kretsschema U a = E a + I a R a E a = k 2 Φ ω = k 1 Φ n I m = U a R m Φ k I m M = k 2 Φ I a Driftsekvationer Varvtal n [rpm] Moment M [Nm] Momentkurva R a = 0 U a = E a n = konst. R a 0 E a minskar med M n = avtar med M

99 Seriemagnetiserad likströmsmotor I a R a E a R m Im = Ia U a Kretsschema U a = E a + I a (R m + R a ) E a = k 2 Φ ω = k 1 Φ n Varvtal n [rpm] Momentkurva Seriemotor I m = I a Φ k I m = k I a M = k 2 Φ I a k 2 k Ia 2 Driftsekvationer Moment M [Nm] Momentkurva M 0 Φ 0 n n 0 E a 0 I a I a,max M M max

100 Kompoundmagnetiserad likströmsmotor (Överkurs) I a R a Im,se I m,sh U a = 240 V E a R m,se R m,sh Kretsschema, Long-Shunt U a = E a + I a (R m,se + R a ) E a = k 2 Φ Tot ω = k 1 Φ Tot n I m,se = I a I m,sh = Φ Tot U a R m,sh k sh I m,sh + k se I a M = k 2 Φ Tot I a Driftsekvationer Varvtal n [rpm] Perfekt Motkompounderad Motkompounderad Medkompounderad Shunt Momentkurva Kompoundmotor Moment M [Nm] Momentkurva

101 Varvtalsstyrning av likströmsmotor 1 Seriereglering, ökning av R i ankarkretsen. Detta minskar spänningen över ankaret och sänker alltså E a och därmed varvtalet. 2 Fältreglering (ändring av I m och därmed Φ). Minskas fältet så ökar varvtalet enligt varvtalsformeln. Dock måste I a öka för att bibehålla momentet. 3 Ankarspänningsreglering (ändring av U a ). Förutsätter styrbar spänningskälla.

102 Ex 3.9, Varvtalsförändring vid ändrad lindningsresistans Givet: I a,i = 20 A vid n I = 1000 rpm. Belastningsmomentet är konstant. Mekaniska förluster försummas och motorn är linjär. Sökt: Varvtalet om R m ökas 25% Rita Figur: I m R m I a R a = 0.6 Ω E a Shuntmotorkoppling U a = 250 Lösning: Använd E a = k 1 Φ n för de två fallen och lös ut varvtalet. Fall I är före och Fall II efter ändringen. Fall I: Kirchoffs lag ger E a,i E a,i = U a I a,i R a = , 6 = 238 V k 1 Φ I = E a,i n I = 0, 238 Fall II: Momentet är konstant men flödet har minskat så (1) M I = M II k 2 Φ I I a,i = k 2 Φ II I a,ii (2) Φ = k I m = k Um R m Φ II = Φ I Rm,I R m,ii = 0, 8 Φ I (1)&(2) = I a,ii = , 8 = 25 A Varvtalet kan nu lösas ut enligt k 1 Φ II {}}{ U a I a,ii R a 0, 8 k 1 Φ I n II = 0 n II = 250 0, , 8 0, 238 = 1234 rpm

103 Ex 3.9, Grafisk beskrivning 1500 Momentkurva Ex 3.9 Originalkurva Kurva efter justering Varvtal n [rpm] Moment M [Nm]

104 Verkningsgrad Förlusterna hos en likströmsmaskin kan skrivas som P F 0 Tomgångsförluster, ofta varvtalsberoende P FB P FM Belastningsförluster, P FB = R a I 2 a Magnetiseringsförluster, P FM = R m I 2 m = U m I m Verkningsgraden blir därmed η = P Avg P In = P In (P F 0 + P FM + P FB ) P In

105 Ex 3.12, Verkningsgrad och varvtalsberäkning Givet: Shuntkopplad elmaskin med R a = 0, 5 Ω, R m = 250 Ω. Fall I: Olastad generator, U a,i = 250 V vid n I = 1000 rpm. Fall II: Motor vid tomgång, I a,ii + I m,ii = 4 A, vid U a,ii = 250 V. Fall III: Lastad motor, I a,iii + I m,iii = 40 A, Φ III = 0, 96Φ I Sökt: a) Varvtal n III och b) Verkningsgrad η III Lösning: a) Räkna ut k 1 Φ I och sätt in i U a,iii I a,iii R a k 1 Φ III n III }{{} E a,iii I m R m = 250 Ω I a R a = 0.5 Ω E a U a = 250 V

106 Ex 3.12, forts. Fall I: För en shuntgenerator i tomgång så är I a = I m och I m = Ua R m = 1 A. Kirchoffs lag ger U a,i I a,i R a k 1 Φ I n }{{} I = 0 så E a,i k 1 Φ I = U a,i I a,i R a , 5 1 = = 0, 2505 n I 1000 Fall III: Kirchoffs lag ger U a,iii I a,iii R a k 1 Φ III n III = 0. Vi har dessutom att I a,iii = 40 I m,iii = 40 1 = 39 A k 1 Φ III = 0, 96 k 1 Φ I = 0, 96 0, 2505 Vi har alltså slutligen: n III = U a,iii I a,iii R a , 5 = = 958, 5 rpm 0, 96 k 1 Φ I 0, , 96

107 Ex 3.12, forts. Lösning: b) Räkna ut förlusterna P F 0 från Fall II samt belastnings och magnetiseringsförlusterna, P FB = R a I 2 a och P FM = U m I m för Fall III. Använd sedan verkningsgradsformeln. Vi har att P tillf = U a I a = = 10 kw I a,ii = 4 I m,ii = 4 1 = 3 A P F 0 = E II I a,ii = (U a R a I a,ii ) I a,ii = = (250 0, 5 3) 3 = 745, 5 W P FB = R a I 2 a = , 5 = 760, 5 W P FM = U m I m = = 250 W η = P avg P tillf = P tillf P F 0 P FM P FK P tillf = = , 5 760, = 82, 4% Notera att P F 0 är konstant, P FM är proportionell mot U m och P FB varierar med belastningen. Därför kan vi använda P F 0 och P FM från Fall I och II i uträkningarna för Fall III.

108 Ex 3.20 Kompoundkopplad motor Givet: En kompoundkopplad motor, med shuntgrenen närmast spänningskällan. Designad för U a = 240V och I Tot = 80 A. Förlusterna i ankarkretsen är 2,6%, i shuntlindningen 2% och i serielindningen 1,2% av totala ineffekten. Driftsfall n = 1200 rpm. Sökt: R m,sh, R m,se, E a, M avg Lösning: Räkna ut effekterna och använd sambanden mellan ström och effekt för att få fram resistanserna. Därefter kan kirchoffs lag användas för att räkna ut mot-emk n. P In = U I P In = = W P FBa = 2, P In = 192 2, 6 = 499, 2 W P FM,sh = P In = 385 W P FM,se = 1, P In = 230, 4 W

109 Ex 3.20, forts. Fortsätt med att räkna ut strömmarna och sedan resistanserna från effekterna P FBa,se I a R a Im,se Im,sh P IN P FM,se P FM,sh U a = 240 V E a R m,se R m,sh Kretsschema med utsatta effekter för kompoundkopplingen P FM,sh = U a I m,sh I m,sh = = 1, 6 A = R m,sh = U I m,sh = 240 1, 6 = 150 Ω I a = I Tot I m,sh I a = 78, 4 A = R m,se = P Fm,se I 2 a = R a = P Fa,se I 2 a = 37.4 mω = 81, 2 mω Kirchoffs spänningslag ger nu E a enligt 0 = U a R m,se I a R a I a E a = E a = U a R m,se I a R a I a = = 230, 7 V Slutligen kan då momentet räknas ut från effekten P = I a E a = W P = M ω = M = P w = P n 60 = 144 Nm 2π

110 Fö 6 - TMEI01 Elkraftteknik Asynkronmaskinen Per Öberg 29 januari 2013

111 Outline 1 Introduktion Asynkronmaskin 2 Uppbyggnad och Arbetssätt Synkrona och Asynkrona Varvtalet 3 Förluster och Verkningsgrad 4 Beräkningsexempel

112 Introduktion Asynkronmaskin Asynkronmaskinen eller asynkronmotorn kallas även Växelströmsmotorn Induktionsmotorn Fördelar Enkel och robust konstruktion Goda driftsegenskaper Stor överbelastningsförmåga Lätt att sköta Fungerar både som motor och generator, kräver då reaktiv effekt för att kunna generera aktiv effekt. Ett roterande magnetfält skapas i statorn som sedan drar med sig rotorn.

113 Uppbyggnad info/technology/motoren/three_ phase_motor.html Figur : Illustration av 4-polig trefas-lindad asynkronmaskin, t.v. (Wikimedia Commons) och 2-polig trefas-lindad stator, t.h. (Zeitlauf)

114 Uppbyggnad, forts. Figur : Urskuren induktionsmotor (Electric Motors)

115 Rotorkonstruktioner soc/es/nov1997/09/ INDEX.HTM Figur : Exempel på släpringad lindad rotor (Polytechnic University of Japan), t.v. och burlindad rotor, t.h. (Wikimedia Commons)

116 Arbetssätt 1 Statorn till en trefas asynkronmaskin ansluts till ett symmetriskt trefasnät 2 De tre växelspänningarna skapar då ett roterande magnetflöde i statorn. 3 Rotorn som från början står still i det roterande magnetflödet får en inducerad spänning i sig, precis som sekundärsidan på en transformator. 4 Den inducerade spänningen skapar en ström och därmed ett magnetfält i den kortslutna rotorn 5 Magnetfältet från rotorn och statorn skapar tillsammans ett vridmoment på motorns axel.

117 Roterande flöde Ögonblicksbild av

118 Flödets rotationshastighet, det synkrona varvtalet En asynkronmaskin byggs med ett visst antal poler, t.ex. 2, 4, 6 o.s.v. Om statorlindningen är tvåpolig motsvarar den i varje ögonblick två magnetpoler, en nord och en syd, en fyrpolig två nord och två syd o.s.v. För en elektrisk period på T = 1 f så hinner nord- och sydpol byta plats två ggr. För en p-polig maskin så hinner alltså magnetflödet bara 2 p varv per elektrisk period. Det synkrona varvtalet är hastigheten med vilket magnetflödet roterar Det synkrona varvtalet n s = 2 60 f p rpm

119 Rotorns rotationshastighet, det asynkrona varvtalet U 1 I 1 Synkron frekvens f 1 Förenklat 3-fas kretsschema Statorsida R 1 + jx 1 E 1 Rotorsida R 2 + jx 2 E 2 I 2 fr Relativ frekvens mellan stator och rotor Nomenklatur Synkront varvtal n s = n 1 = magnetfältets varvtal Asynkront varvtal n 2 = rotorns varvtal Eftersläpning (relativ-skillnad) s = n 1 n 2 n 1 Lindningarna hos Statorn och Rotorn samverkar som en transformator och spänningen E 1 från statorlindningen inducerar en spänning E 2 = s E 2,max med frekvensen f r = s f 1 Vid olastad motor är eftersläpningen mycket liten så E 2 0 och f r 0 I startögonblicket är s = 1 så både frekvens och spänning i rotorn har sina maxvärden.

120 Kretsschema, förklarande illustration, ingår ej i kursen Per fas, ekvivalent kretsschema sett från statorn. Jämför med kretsschema för transformatorn. Kretsschemat används i den här kursen endast för att illustrera hur man kan räkna ut moment, förluster och driftsegenskaper. Statorström Rotorström, övertransformerad till statorsidan R 1 jx 1 I 1 jx 2 I 2 U 1 R 0 I 0 jx 0 R 2 s Tre faser Momentet går att teckna som en funktion av ström enligt T mech = 3 R2 s I 2 2 ω 1 (Jämför med likströmsmaskin) De elektriska förlusterna består av R I 2 förluster i lindningsresistanserna

121 Förluster och Verknignsgrad Effektförluster sett från kretsschemat R 1 Tre faser P Cu1 R 0 I 1 I 2 I 0 jx0 Effektbetraktelse P Fe1 P 1 = tillförd effekt P 2 R 2 s P 12 = luftgapseffekten P F 1 = Statorförluster P Cu2 P F 2 = Rotorförluster P 2 P 2a = axeleffekten P FR = friktionsförluster Tillförd effekt: P 1 = 3U H I L cos ϕ Statorförluster: P F 1 = P Fe1 + P Cu1 Järnförl.: P Fe1 Resistansförl.: P Cu1 = 3 R 1,Y I1 2 Luftgapseffekt: P 12 = P 1 P F 1 P 12 = M ω 1 Rotorförluster: P F 2 = P Cu2 +P }{{} Fe2 = försumbara = s P 12 = P = s 2 1 s Effekten: P 2 = M ω 2 P 2 = P 12 P F 2

122 Beräkningsexempel Asynkronmotorn En tvåpolig asynkronmotor belastas med ett moment så att den avgivna effekten blir 4,0 kw. Statorn är D-kopplad och matas med 400V 50Hz varvid den skenbara effekten blir 5,0kVA. Lindningsresistansen är 0,5 Ω vardera och statorns järnförluster 1 uppskattas till 75 W. Motorns eftersläpning vid ovannämnda belastning är 3,0%. Friktion försummas. a): Beräkna belastningsmomentet och motorns varvtal. b): Beräkna rotorns förluster och den effekt som tillförs rotorn. c): Beräkna strömförbrukningen och statorns kopparförluster. d): Bestäm verkningsgraden och effektfaktorn. 1 Kan uppskattas med ett tomgångsprov, precis som för transformatorn.

123 Beräkningsexempel Asynkronmotorn, a) a): Beräkna belastningsmomentet och motorns varvtal. Varvtal, n: Motorn har två poler och frekvensen är 50 Hz n 1 = 120 f p = 3000 rpm (Synkrona varvtalet) s = n 1 n 2 n 1 = n 2 = (1 s) n 1 = 0, = 2910 rpm (Asynkrona varvtalet) Moment Momentet kan räknas ut från effekten och varvtalet enligt M = P 2 ω 2 (1) ω 2 = 2π 60 n 2 (2) (1)&(2) = M = 60 P 2 = 60 2π n 2 2π = 13, 1 Nm 2910

124 Beräkningsexempel Asynkronmotorn, b) b): Beräkna rotorns förluster och den effekt som tillförs rotorn. Effektbetraktelse P 1 = tillförd effekt P 12 = luftgapseffekten P 2 P F 1 = Statorförluster P F 2 = Rotorförluster P 2a = axeleffekten P FR = friktionsförluster De sökta effekterna är P 12 och P Cu2 P 12 = M ω 1 = P 2 n 1 ω 1 = P 2 = 4124 W ω 2 n 2 P Cu2 = s P 12 = 0, = 124 W = s 1 s P 2 = 0, = 124 W Tillförd effekt: P 1 = 3U H I L cos ϕ Statorförluster: P F 1 = P Fe1 + P Cu1 Järnförl.: P Fe1 Resistansförl.: P Cu1 = 3 R 1,Y I1 2 Luftgapseffekt: P 12 = P 1 P F 1 P 12 = M ω 1 Rotorförluster: P F 2 = P Cu2 +P }{{} Fe2 = försumbara = s P 12 = = s 1 s P2 Effekten: P 2 = M ω 2 P 2 = P 12 P F 2

125 Beräkningsexempel Asynkronmotorn, c) c): Beräkna strömförbrukningen och statorns kopparförluster. -> Använd den givna skenbara effekten för att räkna ut linjeströmmen. Statorn är D-kopplad så strömmen I 1 genom lindningarna är I L 3. S = 3 U H I L = 5000 }{{} = I L = 7, 22 A givet ( ) 2 P Cu1 = 3 R 1 I1 2 IL = 3 R 1 = R 1 IL 2 = 3 = 0, 50 7, 22 2 = 26 W

126 Beräkningsexempel Asynkronmotorn, d) d): Bestäm verkningsgraden och effektfaktorn. -> Verkningsgraden är som vanligt avgiven effekt delat med instoppad η = P 2a P 1 = P 2 P 12 + P Cu1 + P Fe1 = = 95% där P FR = 0 och P 1 = P 12 + P Cu1 + P Fe1 har använts. För att räkna ut effektfaktorn används P 1 och S enligt cos ϕ = P 1 S = P 12 + P Cu1 + P Fe1 S = 4225 = 0,

127 Ex Effektfaktor och verkningsgrad Givet: Trefas asynkronmotor ansluten till U H = 400 V. I 1 = 30 A och s = 3% vid märkdrift. Rotorströmmen I 2 = 90 A vid kortsluten lindning. Y-kopplad rotor, 20 mω/fas, D-kopplad stator, 0, 60 Ω/gren. Järnförluster i statorn P Fe1 = 300 W, friktion försummas. Sökt: Effektfaktor cos ϕ och verkningsgrad η för märkdriftsfallet. Rita Figur: I 1 = 30 A R 1 = 0, 60 Ω I 1 3 P Cu1 3 R 2 = 20 mω I 2 = 90 A P Cu2 3 Lösning: Räkna ut förlusteffekterna direkt från strömmarna. Använd sedan specialsambandet mellan eftersläpning, kopparförluster och elektrodynamiskt överförd effekt. P Fe1 = 300 W P Cu1 = 3 R 1 ( I1 3 ) 2 = 540 W P Cu2 = 3 R 2 I 2 2 = 486 W P 2 = P Cu2 1 s = W s P FR = 0 W η = P2a = P 1 P 2a = = P 2a + P FR + P Cu1 + P Fe1 + P Cu2 = 92, 2%

128 Ex forts Lösning: cos ϕ cos ϕ = P1 S = P2 + P F = = 0, 82 3 UH I Extrauppgift: Motorn är 4-polig, vilket är det lastande momentet? Lösning: 4-polig motor ger det synkrona varvtalet n 1 = 1500 rpm. Slippet eller eftersläpningen är 3% så det asynkrona varvtalet blir n 2 = n 1 (1 s) = 0, = 1455 rpm Den mekaniska effekten är P 2a = P 2 = M ω 2 så M = P2 P2 60 = = 103 Nm ω 2 n 2 2π

129 Fö 7 - TMEI01 Elkraftteknik Asynkronmaskinen och Synkronmaskinen Per Öberg 5 februari 2013

130 Outline 1 Asynkronmaskinens Momentkurva Härledning Momentkurva vid ändring av spänning Momentkurva för små eftersläpningar Momentkurva vid inkoppling av yttre pådragsresistans Momentkurva vid ändring av frekvens 2 Tekniker för start av Asynkronmotorn 3 Varvtalsstyrning 4 Beräkningsexempel Synkronmaskinen

131 Asynkronmaskinens Momentkurva, härledning (överkurs) Betrakta kretsschemat R 1 jx 1 I 1 Statorström jx 2 I 2 Rotorström, övertransformerad till statorsidan U 1 3 R 0 I 0 jx 0 R 2 s Tre faser Sen tidigare vet vi att momentet kan skrivas som strömmen genom rotorresistansen R 2 s enligt T = 3 R2 s I 2 2 ω 1 (Jämför med serie-likströmsmaskin)

132 Asynkronmaskinens momentkurva, härledning (överkurs) Kretsschemat kan ritas om med hjälp av thevenins theorem enligt R 1,eq jx 1,eq I 2 jx 2 U1,eq 3 R 2 s Tre faser Här är U 1,eq = k eq U 1 medan Z 1,eq = R 1,eq + j X 1,eq = j X0 (R1+j X1) R 1+j (X 1+X 0) Ur kretsschemat kan sedan strömmens storlek I 2 räknas ut och vi får ( ) 2 U1 R T = 2 s 3 3 k 2 eq ω 1 (R 1,eq s + R 2 ) 2 }{{} R2 2 +s 2 (X 1,eq + X 2 ) }{{} kallas ofta X 2

133 Asynkronmaskinens momentkurva Efter förenkling och ihopslagning av konstanterna i momentuttrycket fås T = k U 2 1 s R 2 R (s X 2) 2 Exempel på momentkurva M Max Moment [Nm] M Start M M Arbetspunkt Asynkron hastighet n 2 [rpm] n 2 n 1

134 Momentkurva vid ändring av spänning Momentekvationen: T = k U 2 1 s R 2 R 2 2 +(s X2)2 Ur momentekvationen så framgår att vid ändring från spänning U ( ) 1 till U 1 så skalas momentkurvan med faktorn U 2 1 U 1 1 Om spänningen sänks med en faktor 3 så skalas kurvan till en tredjedels höjd enligt nedan. Om lasten antas ha ett konstant moment så flyttas då arbetspunkten enligt figuren Exempel på sänkt spänning Original U 1 3 Moment [Nm] Arbetspunkt Asynkron hastighet n 2 [rpm]

135 Asynkronmaskinens momentkurva för små eftersläpningar Vid normal drift är s litet, typiskt några procent, så (s X 2 ) 2 R2 2 Momentkurvan kan då approximeras med en enklare funktion T k U1 2 1 s = k 0 U1 2 s R 2 Momentkurva små eftersläpningar Arbetspunkt n 2 n 1

136 Momentkurva vid inkoppling av pådragsresistans För en släpringad asynkronmaskin kan momentkurvan ändras genom att koppla in en yttre pådragsresistans. I momentekvationen ser vi detta som T = k U1 2 R 2 + R Y s (R 2 + R Y ) 2 + (s X 2 ) 2 Momentkurva extra pådragsresistans Moment [Nm] M Max Asynkron hastighet n 2 [rpm] n 1 Original R R 2 2 Maxmomentet hos kurvan påverkas inte av pådraget. För ett visst R Y så är M ST = M Max

137 Moment vid ändring av frekvens, härledning (överkurs) När man har tillgång till en spänningskälla med variabel frekvens så är det frestande att använda detta för styrning av asynkronmaskinen. I momentekvationen så har frekvensberoendet hos X 2 och k inte skrivits ut explicit. Egentligen så är ju X 2 = ω 1 L 2 = X 2,M k = k ω ω 1 = k f 0 f 2 1,M ω 1 ω 1 ω 1,M = X 2,M f 1 f 1,M där X 2,M är X 2 vid märkfrekvens. (k ω och k f 0 är hjälpkonstanter) Vi kan då skriva om momentekvationen med s = ω1 ω2 ω 1 T = k ω ω 1 U 2 1 s = k f 0 ( U1 f 1 ) 2 R 2 R (s X 2,M ) 2 ω 1 ω 1,M R 2 / ω (ω 1,M (R 2 / ω)) 2 + (X 2,M ) 2 = ω ω 1