5.2 Vad är en funktion?

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "5.2 Vad är en funktion?"

Transkript

1 5.2 Vad är en funktion? Funktion och funktionsvärde Tänk dig att två personer är ute och går i solskenet. Deras skuggor faller på marken. Längden av en persons skugga bestäms av personens langd. Om vi kallar personens langd for r och skuggans längd för1 så är skuggans langd 7 en funktion av personens langd x. Beroende och oberoende voriabel Vid ett visst tillfälle på dagen är skuggan 2,5 gånger längre än personerna. Ekvationen eller samban det y - 2,5x beskriver skuggans 1ängd som funktion av personens langd. Skuggans längd 1 beror av personens längd x. Eftersom värdet på beror av värdet på x, kallas för den beroende variabeln och x för den oberoende variabeln. Funktionsvärde Man liknar ibland en funktion vid en maskin som när man sätter in ett värde på den obe- roende variabeln. ser tillbaka ett värde nå den beroende variabeln enligt en regel. tll------i-."*-'oo Lt)x ^ vårt exempel ovan är regeln att talet som man sätter in multipliceras med 2,5. Om man sätter in talet 120, så ger funktionen tillbaka/rznktionsvördet 2,5. 20 = 300. Om man sätter in 180, så ger funktionen tilibaka fr-rnktionsvärdet 2, = 450 och om man sätter in x, så ger funktionen tillbaka funktionsvärdet 2,5x. Att det till varje värde på r fi.nns endast ett bestämt värde på y ar ett krav för att sambandet ska vara en funktion. Funktion En funktion är ett samband eller ett beroende mellan två variabler. Man säger att y ar en funktion av r, om det till varje värde pä x endast finns e// bestämt värde på y. Funktionsuttryck ?--) f(120) = 3oo,._, _ x ) l\x) = z,sx För att tydligt visa att funktionsvärdet beror av värdet på x, använder man skrivsättet/(x). vårt exempel är funktionsvärdet av talet 120 lika med 300 och man säger att " f av 120 är 300'1 Det skrivs f(120) = 300. På samma sätt säger man att'fav x dr 2,5x" och skriver f(x) = 2,5x. Uttrycket f(x) = 2,5x kallas funktionsuttrycket. Namnet på funktionen ärf t/8 rur <TroNER o s 2 vad ÄR EN FUNr<T on?

2 -- En funktion kan beskrivas med hjalp av ett funktionsuttryck, en tabell eller en graf. De beskriver alla den regel som bestämmer funktionen. Grafen till en funktion, till exempel den som bestäms av f(x) :2,5x, kan vi rita i ett koordinatsystem genom att sätta y = f(x). Det betyder att man avsätter funktionsvärdena eft er y- axeln. f(x) = z,sx t, Skuggan är 2,5 gånger 1 längre än personen : x y=f(x) r20 ' ' 150, i l Exempel: Funktionen / bestäms av funktionsuttrycket f(x) = 3x + +. a) Bestäm/(3) b) Bestäm/(-3) c) Lös ekvationen f(x) = t0 Lösning a) Eftersom f(x)=zx+4 såar f(3) =3.3+4=3 Svar: /(3) = 13 b) Eftersom f(x)=zx+4 såar f(-3) =3.(-3) -t4=-5 Svar: /(-3) = -5 c) Ekvationen f(x) = l0 är detsamma som 3x*4=0 3x= 6 ^"-1 Svar: Ekvationen /(x) = 10 har lösningen x = 2. Exempel: Lösning: Grafen till funktionen f ar ritad i koordinatsystemet. a) Bestäm/(3) b) For vilket värde pä x är f(x) = 97 a) Eftersom y = f(x) avläser vi y där x = 3. Svar:fl3)= 4 b) Vi söker det värde pä x dar y = 0, dvs. där grafen skär x-axeln. Svar:/(x)=0dåx=6 r,i,l fl ;r iri i,t il'i )l 'l ii lr i, li il FUNt<T ONER o s.2 VAD ÄR EN FUN <TtON? ryg

3 (1:', Exempel, Lät f(x) = x2 + 2x och g(x) = 2x - 3. Bestäm a) f(-4) - s(4) b) Lösning: a) fl-4)-g(4) = ((-q2 +2'(4))-(2'(4) -3) = (16-8) - (-8-3) =8-(-11)=i9 b) f(q) - g(a) = (a2 + 2'a) -(2'a- 3) = a2 + 2a-2a+ 3 = a2 + 3 Ersätt x med t NVÅ 1 ' 5201 koordinatsystemet är grafen till funktionen/ ritad. Bestäm a) f(3) S2g2 Lätf(x)=3x- ochberäkna b) devärden päxdäflx) =g a) /(1) b) f(o) c) f(-2) 5203 Låt h(x) = sf - zx + 2 och beriikna a) h(3) b) h(6) c) h(-3) 5204 Lät f(x) = 3x + 4. Bestäm NVÅ 2 a) f(2) b)f(a) c) xomf(x)=19 52OS Lät f(x) = 4f + 2x- 1 och g(x) = 2x2 + L. Bestäm och förenkla a) f(z)-s3) b) c) f(a) + g(2a) 5205 Bestäm x onf(x) = 3x * 2 och a) f(x+1)=11 c) f(3x - r) = 26 b) f(2x) = s 5207 Bestäm med hjalp av defi.nitionen av en funktion, vilka av graferna som visar ett funktionssamban d dar y är en funktio n av x? NVÅ 3 Vilken eller vilka av ftljande värdetabeller beskriver 7 som en funktion av x? Motivera ditt svar. 1--"-'r* xiv ri2 zl s :å1 jt 4i9 --*i-- * iv *-1-. 7i2 2,2 3!2 ql z l* t xiy 2i7 ;T- 2i ett koordinatsystem ritas en linje, som är parallell med 7-axeln och skär x-axeln för x = 7.Kan den linjen beskriva grafen till en funktion 7 = Motivera ditt svar. 52lO Lätf(x) = 4x-2 och g(x) = x-. Bestäm r då flg(x)) = sz' 5211 Bestäm k och m if(x) = kx + m om f(l*-2) = 6x-5. i pu, t** ; j, Punl tr8o rurrrroruer o s.2 vad ÄR EN FUNKTToN?

4 _-- Defini ti onsmängd och värdemängd En affär har följande specialerbjudande: 0m du har bonusl<ort, så fåt du l<öpa Cashewnötter för 4 krlhg. 0bsl max 1 kg/l<und. Definitionsmcingd Ycirdemcingd Pr.rn (ten ingår inte i delin t ons och värdemänqden. J. Punkten ingår definitions och värdemånqden. Kostnaden är i detta fall beroende av mängden nötter man köper och kan beskrivas med funktionsuttrycket f(x) = +x där x är vikten och flx) är kostnaden. Kostnaden för att köpa till exempel 2 hg cashewnötter är 8 kr eftersom f(z) = +. 2 = 8.Att köpa en negativ mängd nötter är inte möjligt. Därför är det endast vikter från och med 0 hg till och med l0 hg som uppf'ller butikens villkor. Det är bara de värden på x som uppfrller 0 < x < 10 som kan användas som värden på den oberoende variabeln. Dessa x-värden kallas för funktionens deftnitionsmängd. Vikten 0 hg ger kostnaden 0 kr (lägsta kostnad) och vikten l0 hg ger kostnaden 40 kr (högsta kostnad). Det minsta möjliga funktionsvärdet är alltså,(0) : O och det största möjliga funktionsvärdet är fl10) = 40. Funktionsvärdena är alla värden från och med 0 till och med 40. Dessa 1-värden kallas för funktion ens v är demöngd. Grafen till höger beskriver hur kostnaden f beror av vikten x. Den frllda ringen i figuren betyder att punkten där ringen är placerad ingår i både definitionsmängden och värdemängden. En punkt som inte ingår i definitionseller värdemängden markeras med en ring som inte är fylld. se$r*iå8{cns:xeffregd Definitionsmängden till en funktion är alla de värden som den oberoende variabeln kan anta. Vrirdenröngd då Värdemängden till en funktion består av alla funktionsvärden som funktionen antar när den oberoende variabeln väljs ur definitionsmängden. FriNr<T oner o 5.2 vad ÄR e n runrrtotr!81

5 Definitionsmängd och värdemängd En aftär har foljande specialerbjudande: 0m du har bonusl<ort, så får du l<öpa Cashewnötter för 4 krlhg. Obs! max 1 kg/kund. Definitionsmiingd Kostnaden är i detta fall beroende av mängden nötter man köper och kan beskrivas med funktionsuttrycket f(x) = +x där x är vikten och /(x) är kostnaden. Kostnaden för att köpa till exempel 2 hg cashewnötter är g kr eftersom f(z) = +'2 = 8.Att köpa en negativ mängd nötter är inte möjligt. Därför är det endast vikter från och med 0 hg till och med 10 hg som upp- $,ller butikens villkor. Det är bara de värden på x som uppfyller 0 < x < 10 som kan användas som värden på den oberoende variabeln. Dessa x-värden kallas för funktionens definitionsmängd. Vdrdemöngd Punkten inqår inte defin tions och värdenränqden J" Pun (ten ingår i detinitions och värdemänqden. vikten 0 hg ger kostnaden 0 kr (lägsta kostnad) och vikten l0 hg ger kostnaden 40 kr (högsta kostnad). Det minsta möjliga funktionsvärdet är alltså.(o) = O och det största möjliga funktionsvärdet är /(10) = 40. Funkrionsvärdena är aila värden från och med 0 till och med 40. Dessa 7-värden kallas för funktion ens vcirdemängd. Grafen tiil höger beskriver hur kostnaden / beror av vikten x. Den Szllda ringen i figuren betyder att punkten där ringen är placerad ingår i både definitionsmängden och värdemängden. En punkt som inte ingår i definitionseller värdemängden markeras med en ring som inte är fzlld. 0e$nd&domsmöngd Definitionsmängden till en funktion är alia de värden som den oberoende variabeln kan anta. Vffrderraeimgd värdemängden till en funktion består av alla funktionsvärden som funktionen antar när den oberoende variabeln välis ur delinitionsmängden. FUN <TroNER o 5.2 vad Äa ru puuxrrot: l8t

6 ((, Exempelt Bestäm definitions- och värdemängd till funktionen/med hjälp av grafen. j --t-'.'f -,-L-- N 52 i Lösning: Grafen till funktionen börjar i punkten med koordinaterna (-2, 3) och slutar i (4, -1).Den frllda ringen innebär att punkten tillhör både definitions- och värdemängden. Eftersom ringen vid den andra punkten inte är fflld, så tillhör den punkten varken definitionsmängden eller värdemängden. Svar: Definitionsmängden dr -2 <x < 4 och värdemängden är -t < f(x) < ((i1;. Exempet: Lösntng: En liten glasburk rymmer 150 cm3 och väger tom 105 g. Glasburken s'lls med linolja som har densiteten 0,94 glcm3. a) Ange vikten av burk och linolja, T g, som en funktion av hur mycket linolja, x cm3, som fi.nns i burken. b) Vilken är funktionens definitions- och värdemängd? a) Linoljans vikt ar 0,94 glcm3 och glasburkens vikt är 105 g' Det ger Y=0,94x+05,ii Linoljans viä f,iasburkens vrl<t Svar:7 =0,94x+ 105 b) Glasburken kommer att innehålla mellan 0 cm3 och 150 cm3linolja. En tom glasburk väger 105 g och en full burk väger (0,94 ' ) g= Svar: Definitionsmängden är 0 < x ( 150 cm3 och värdemängden är 105<y<246g /t' Exempel: Bestäm definitionsmängden till funktionerna som ges av a) f(x) = 3x b) /(x) = 1 x_ 4 Lösning: a) b) Definitionsmängden är alla r-värden. Nämnaren i ett uttryck kan inte vara noll eftersom division med noll inte är definierad, x - 4 kan alltså inte vara noll. Det betyder att x kan vara alla värden utom 4. Definitionsmängden består av alla x + 4' tr82 run<rroner o s.2 vad ÄR EN FUN(TloN?

7 -- håcvå å 5212 Ange definitionsmängd och värdemängd till funktionerna/och g med hjalp av graferna Grafen visar kostnaden att hyra en bil som funktion av antalet körda kilometer. l<r Hyres kostn a d 200 Sträcka km a) Varför utgår inte grafen från origo? 5213 en annons kan man läsa: r-ösyrrrscools 3,so krlhg Max 1 kg/l<und Ange definitionsmängd och värdemängd för priset på lösviktsgodis om en kund köper x hg och betalar 1 kr. b) Bestäm definitions- och värdemängd. c) Ange ett funktionsuttryck som beskriver kostnaden att hyra bil sorn funktion av körsträckan Ange definitionsn-rängd och värdemängd till den avbildade funktionen Ett test av bildäck i farter mellan 30 km/h och 140 km/h visar att bromssträckan på torrt underlag kan beskrivas som en funktion av farten. funktionen är f(x) = 0,02x2 bromssträckan i meter och x farten i km/h. a) Ange funktionens definitionsmängd. b) Ange funktionens värdemängd. rusvå ä 'l'o ax 5215 Grafen visar temperaturen hos vatten som värms till kokning och sedan får svalna. Ange funktionens värdemängd. "C Ange definitionsmängden till funktionerna. ll a) y=- b\ y- - 1 X- / c) /- \x 5219 En cylindrisk regnvattentunna har en bottenarea som är 0,80 m2. a) Ange vattenvolymen, Vm3, som funktion av hur högt vattnet står i tunnan, x m. b) Tunnan rymmer maximalt 0,96 m3. Ange funktionens definitions- och värdemängd min 5220 Ange definitionsmängden till funktionerna _) vr a) */ vl - ' b) g(') 3x+4 = #i c) h(x)=13-4x d) D(x) = -l- ' r/x-4 FUNr<T oner o s.2 vad ÄR EN FUNt(r oru: t83

8 -,- Exponentialfunkti oner På en ö fanns det vid ett visst tillfäiie pingviner. Ett år senare fanns det pingviner. Populationen hade ökat med 520 individer. Det motsvarar en ökning med 6,5 o/o pä ett år. Vill man beskriva populationens storlek framåt i tiden, kan man använda sig av en matematisk modell. det här avsnittet kommer vi att jämföra två olika modeller som kan användas för att beskriva populationens förändring. Linjcir modell Om vi antar att pingvinpopulationen ökar med lika många pingviner varje år, så kan populationen beskrivas med N(r) = 520t Antal so ooo O <n nq per är Antal från början där N(f) ärantaletpingviner /årefter det att mätningen startade. 10 ooo Grafen är en rät linje. Man säger att pingvinpopulationen växer linjärt med tiden. ExponentieLL modell många fall är det rimligare att anta att en popuiation ökar med lika många procent varje år. Om antalet pingviner är och ökar med 6,5 o/o per är, så blir ökningen: Tid (år) Antal pingviner ,05s=8s ,0552 =9O ,0653=9664 Exponenten v sar anta et år f B 000.1,065t Ökningen kan beskrivas med exp o n enti alfunkti o n en N(t) =8000'1,065r Anta frånbörjan Förändringsfa<tornmotsvarar en ökn nq med 6,5 o/o där N(, är antaiet pingviner f år efter mätningen startade. Man säger att pingvinpopulationen växer exponentiellt med tiden. Antal oo t84 rur.'l<roruer o s.2 vad AR EN FUN <TroN?

9 -r Den linjära modellen beskriver något som hela tiden ökar med samma antai och den exponentiella modellen beskriver något som hela tiden ökar med ika många procent. - xp mrx eat ti{ea åfaara $eedora En funktion som ges av f(x) = Ca" kallas för en exponentialfunktion. C och a är konstanter och a > 0. Upprepade procentuella förändringar där förändringsfaktorn är konstant, beskrivs av exponentialfunktioner. Grafen till vänster visar en exponentialfunktion med a > och grafen til1 höger har a <. båda fallen är C > 0. t=ca' 0<r<1 Exenrpel: Antalet bakterier i ett biologiskt forsok kan beskrivas med funktionen N dar lv14 = ,04t, ddr t ar antalet minuter efter försökets start. a) Hur många bakterier fanns det vid försökets start? b) Hur många bakterier finns det en timme efter försökets start? c) Vad betyder 1,04 i formeln? Lösning: a) Vid försökets start är r - 0. Vi bestämmer N(0) N(0) = ,040= 1700'1= ,040=1 b) c) : 700 ' 1,0460 = min på en tirnme ^f(60) Att förändringsfaktorn här är 1,04 betyder att antalet bakterier ökar med 4 o/o per minut. FUN <TroNER o 5.2 vad Äa eu ruurrtorur t8!

10 (; Exempel: nköpspriset på en traktor är kr. Tiaktorns värde minskar därefter med 18 o/o per är. a) Ange en ekvation av formen 7 = Cd sombeskriver traktorns värde ykr efter x är. b) Lösning: a) Efter hur många år är traktorn värd mindre än 1, kr? En minskning med 18 %o innebär att förändringsfaktorn dr 0,82, a = 0,82. Det återstår att bestämma C i funktionen y - C ' 0,82". Om x = 0 ar y = 372 }}},vilket ger = C' 0,820 och alltså C = b) Svar: Ekvationen är y = ' 0,82* Vi löser ekvationen = ,82'genom att fcirst rita graferna trll yr= (VL i ekvationen) och y2= ' 0,82' (HL i ekvationen). Sedan bestämmer vi x-värdet för grafernas skärningspunkt. Det gör vi med hjälp av grafräknaren. Tryck K& och skriv in efteryt och ,82'efter Yr. Om du har standardfönstret inställt, så syns inga grafer när du och ändra fönsterinställningen som i bilden till höger. Tiyck ffilt8f!! igen. Bestäm skärningspunkten t.ex. med hjälp av räknarens intersectfunktion (se s. 160). Detger x=5,7. Svar: Efter 6 är är traktorn värd mindre än kr. N 522 NVÅ Kapitalet K kr på ett bankkonto ges av funktionsuttrycket K(t) = ',02t, ddt t ar tiden räknad i år. a) Hur mycket pengar frnns det på kontot efter 8 år? b) Vad betyder talet i funktionsuttrycket? 5222 Vilken graf hör ihop med vilken funktion? f(x) = z" g(x) = 3* h(x) = 9,4* P(x)=2'+3 q(x) = 2' rururrroruer o s.2 vad ÄR EN FUNKTToN?

11 _ Temperaturen T oc på kaffet i Klas termos f timmar efter att termosen f'llts kan beskrivas med funktionen T, dar T(r) = 96 ' 0,961 a) Vilken temperatur hade kaffet då det hälldes i termosen? b) Vilken temperatur har kaffet efter 5 timmar? Rita grafen till/(x) - 2', g(x) = 3'och h(.x) - 4'i samma koordinatsystem. a) Graferna skär varandra i samma punkt. Vilken är skärningspunkten? 5229 Ett radioaktivt preparat sönderfalier enligt funktionen som ges av N(r) = N0 ' 2 t/r, där.aj är mängden radioaktir,t preparat, r tiden efter det att försöket börjat, N6 den ursprungliga mängden och T den så kallade haiveringstiden (den tid det tar för mängden radioaktivt preparat att haiveras). Hur många procent återstår av föliande ämnen efter år? a) z:st b) t*c c) 3sS Ämne Halveringstid 14f 5, år r{ä\rå ff b) Går även graferna tiil p(r) = 5' och cl6) - 0,5'genom samma Punkt? c) Förklararesultatet. TaNa 15,0 h ' 'S BB dyqn /r opb 22,3 är 22oRn 55,5 s 2rBU 4,5, 10e år s225 Antalet bakterier i en bakterieodling antas förändras enligt funktionen,ay' som ges av ^'(d ' 1,044t, ddr t ar tiden i minuter och N1t1 är antalet bal<terier. a) Hur många bakterier fanns det när odlingen påbörjades? b) Hur många bakterier finns det efter en timme? c) Efter hur lång tid är det bakterier i odlingen? Lös uppgiften med hjalp av grafräknaren eller pröva dig fram. f{e&rå ffi 5230 Lena har kr i månadslön. Hon ska tår en löneförhöjning varje år och får välja mellan två alternativ. Alternativ 1: Höjning av månadslönen med kr Alternativ 2: Höjning av månadslönen med 4 7o Skriv en formel som visar Lenas månadslön efter / år enligt a) Alternativ Befolkningsantalet i ett land har sedan år 1980 utvecklats enligt N(r) = 3,2 ' 1'039r, där l,r(r) ar invånarantalet i miljoner och t är antalet år efter år Tolka konstanterna 3,2 och 1,039 i formeln Therese matar in funktionerrla f = )x, y - 22',/ = 3" och f = 4'pä sin grafräknare' När hon ritar graferna, så ser hon bara tre grafer i stället för f,ra. Förklara varför Temperaturen T'C på kaffet i Kas termos i uppgift 5223 beskrivs av funktionen T - 96' 0,96r, f timmar efter att termosen fyllts. Klas dricker inte kaff'e som är kallare än 60 "C vid serveringen. Hur länge duger kaffet i termosen åt Klas? b) Alternativ 2 c) Nar är de olika alternativen bäst för Lena? 5231 Rita graferna tillflx) = 2'och S(x) = 0,5'i samma koordinatsystem. Graferna är varandras spegelbild iy-axeln. Förklara varför Mattias inventerar ett område för att bestämma hur vanlig en viss växt är. Han lägger ut en provruta och räknar alla plantor av den arten i det området. Han hittar 22 exemplar. Efter 2 år gör han om inventeringen och finner då 26 exemplar i samma ruta. Hur många exemplar borde han finna efter ytterligare 8 år om förändringen sker a) linjärt b) exponentiellt FUN<TroNER o 5 2 vad AR EN FUN<rrortr: 187

12 r Potensekvationer Potensfunktioner f(x) = f g(x) = f Potensfunktioner Du har tidigare i kursen studerat andra- och tredjegradsekvationer, som till exempel x2=4 x3=27 De här ekvationerna är av formen x' = a ddtr n och a är konstanter. Ekvationerna kallas p o t en s ekv ati o ne:r' Funktionerna som ges av f(x) = x2 och g(x) = x3 är exemp elpä potensfunktioner. Vi ritar grafernatill funktionerna. Titta på grafen till höger. Funktionen/som ges av av f(x) = x2 har bara funktionsvärden som är större än eller lika med 0. Funktionens värdemängd är alltså /(r) > o. Grafen till funktionen/skar linien y = 4 itvä punkter. Potensekvationen x2 = 4 hat alltså två lösningar. Man kan också se att potensekvationen f = -3 saknar lösningar, eftersom grafen till funktionen/aldrig skär injen y = -3' Potensekvationer med jämna heltalsexponenter' som till exempel x4 = 7 \ eller 3x8 = 347, har ingen, en eller två lösningar. Om exponenten i funktionsuttrycket är ett udda positilt heltal, som i g(x) = 13, så kan funktionen även ha negativa funktionsvärden. Se grafen här nedanför. Grafen till funktionen gskär linien y = 3 i en punkt. Potensekvationen x3 = 3 har alltså bara en lösning. Funktionen är definierad för alla x och alla värden på g(x) är möjliga. Grafen till funktionen kommer darfor också att skära linjen y = -2 i en punkt. Det innebär att även potensekvationen x3 = -2 har en lösning. Potensekvationer med udda heltalsexponenter, som till exempel / = 38 eller 2x7 = -726,har alltid endast en lösning. Potensekuction En ekvation av formen xn = a, där r och a är konstanter, kallas en potensekvation. Potensekvationer med jämna heltalsexponenter har ingen, en eller två lösningar. Potensekvationer med udda heltalsexponenter har alltid endast en lösning.!88 rurur<rtoruer o s.2 vad ÄR EN FUNKToN?

13 Potensfunktfon - En funktion av formen f(x) = Cxo, där C och c är konstanter, kallas ta din minirciknare För att beräkna uttrycket 19 Välj sedan 5:H{ och tryckfg lffi 4 *f9 l. Jll När du är i MATH meyn vä jer du 5:'"{ qenom att tryc(a på ail Exempet: Lös ekvationerna a) x6-729 b) 3rc c) 4x7 = -120 Lösning: a) x6 = 729 d- x = +\ / 29 x=*3 Svar: x = -3 och x: 3 Järnn exponent ger här två lösn ngar. Beräkna med räl<naren b) 3xa = _768 Drv dera båda led med 3 3x4, _ xa = -256 Svar: Ekvationen saknar lösning. c) 4x7 : -f20 D v dera båda led med 4 x7 : -30 Det går inte att dra ljärderoten ur ett negativt tal * ='"rs4p = _1,6 Udda exponent ger a tid exal(t en ösning svar:x='i=o =-1,6 Exempel: Lösning: När Alice sätter in kr i en sparfond med fast ränta blir hon lovad att beloppet kommer att fördubblas på 12 år. Vilken är fondens årsränta? Om förändringsfaktorn är x så får vi ekvationen x12 = Efter tolv år har beloppet fördubblats xr2 =2 * - +'V2 Vl har delat bägge led med Använd räl<naren. Den negat va roten är nte intressant x = 1,059 Svar: Är fondens årsränta 5,9 o/o, sä fordubblas beloppet pä 12 är. FUN <TtoNER o 5.2 vad Än rn ruu <rroru: t8$

14 (.(n'. Exempel: Antalet invånare i en kommun minskade pä7 är frän till Hur stor var den genomsnittliga ärliga minskningen uttryckt i procent? 52 Lösning: Den årliga minskningen ger förändringsfaktorn x. Vi ska lösa ekvationen = x 'x7 t56?= " ,Di 278 ^- \:z567 ^.7 _ x = 0,975 På 7 år minskar antalet invånare från ill Vi delar båda led med Udda exponent ger exal(t en lösning, Använd räl(naren 52i Förändringsfaktorn x = 0,975 motsvarar en minskning med - 0,975 = 0,025 = 2,5 o/o. Svar: Antalet invånare i kommunen minskade i genomsnitt med2,5 o/o. GrafiskLösning: Om duvilllosa ekvationen grafiskt, såbörjar du med att skriva in y, = och lz= ' x7 på din grafritande räknare. För att sedan kunna rita graferna till funktionerna och se var de skär varandra, så måste du först ställa in räknarens fönster. och välj till exempel Hmin = 0, HrrEH = 2, Yrrr in = 0 och Yrnax = Bestäm var grafernaskär varandra genom att trycka o.ft välja 5 : i n t e F s E c t. Besvara frågorna F i r s t c u r v e?, Second curve? och EueEs? med att trycka (Om det finns flera skärningspunkter att välja på, så måste man ställa sig i närheten av rätt punkt när räknaren frågar Eues=?) NVÅ Lös ekvationerna \1 a) X'= O b) x2=-l ^r --3- i- t) * --L/ Lös ekvationerna. Svara med en decimals noggrannhet. a) x5= b) x7-2= 23 c) 3x5 + 12= L t9o FUNKTToNER o s.2 vad ÄR EN FUN<TloN?

15 -.- s235 Para ihop rätt graf med rätt funktionsuttryck. A: f(x') = x2 B: g(x) = x3 C: h(x'; = Ya 5235 Vilka av fttnktionerna är potensfunktioner? A flx) -3' B l(x)-xs-x2+2 C,(") :3r2's D lx) -"ruo v--l E flx) -:' '2 F flx) - 5/o Använd graferna och uppskatta lösningarna till ekvationerna a) x"=j b) x3=-2.) / L,/ ^ Lös ekvationerna a) 13=-11 b) Bestäm sidan i en kub med volymen 10,6 cm3. x4=-8 c) x6= Låt/(r) - 12 och S(r) : x3. Sätt ut rätt tecken (<, > eller =) mellan funktionsvärdena. a) f(-+) s(-4) b) fl2) s(2) c) flo) s(0) 5243 vilka punkter skiir grafern:r till funktionernei!(x) = 3x2 och g(x) = 3r varandra? Fs$H-*.&,- ä 5244 Lös ekvationernir, -t -J.1 ) /"'/ =/" b) 16' 42 = 4'. rl cj J-"J-J Para ihop rätt graf med rätt funktionsuttryck om h(x)=f(.x).x h(x) g(x)= h./\x/ /(r) = (g(x)) Bestäm radien hos en men JJ,) cm-. pingisboll med voly Värdet av en tavla ökade från kr till 270 0A0 kr på fem år. Bestärn den genomsnittliga årliga ökningen uttryckt i procent. s240 Lös ekvationerna.5 3l.)--=J" b) 24'= 28, -) -l\ cl )-: f--' 5241 På 10 år har värdet av Lars lottovinst på kr vuxit enligt funktionen /C där ((r) : xr0, till kr. K är kapitalet i kronor och r är förändringsfaktorn. Hur stor har den årliga räntan varit? FUNKT oner o s 2 vad ÄR EN FUN(T on? 191

16 s2* o 5249,,ö 5250 o Ge exempel på en potensfunktion som har a) exakt en negativ lösning b) ingen lösning c) två lösningar Ge exempel på en potensekvation med jamn exponent som har exakt en lösning' Lät f(x) = x3. Ange ett funktionsuttryck g(x) ' f(x) + g(x), sä au f(-2) = g(-2)' 5251 Lös ekvationerna a) (5x- 4)a =-L2 b) (2x- 8)3 = Emma köper aktier för pengarna som hon har ärrt. Aktiernas värde fördubblas på 6 år' Beräkna den genomsnittliga tillväxten per år' 5253 För en potensfunktion /på fotmen f(x\ = Cxo gäller attl(1) = ochf(2) = ' Bestäm konstanterna C och ai funktionsuttrycket Ange definitions- och värdemängd till funktionen som ges av f(x) = 4Yz' 5355 Funktionerna/och gbestäms av uttrycken f(x) = och g(x) = x2' Bestäm 5255 Värdet på ett hus i Dallas minskade på tre år till halva det ursprungliga värdet' NVÄ 3 a) Bestäm den årliga genomsnittliga minskningen i Procent. b) Vardet på huset var efter minskningen dollar. Vad blir värdet på huset efter ytterligare två år om minskningen fortsätter i samma takt? 5257 Vilken definitionsmdngdhat y = Qlo om a är ett heltal mindre än 0? 5258 En cylinderformad plåtburk har volymen 1,00 dm3 och höjden 12 cm' Om du skulle kunna forma en sfär med samma volym som cylindern, hur stor radie skulle den i så fall ha? Str Stockl gär ge störsti 15 00( thon r Enl loppet som sl stader hade s budsk över att ett Tur marat, övrigt Han g stockl över h Distar Halva Må!-1...; ; Q Ge exempet på när det är tämptigt att anvdnda sig av linjära modeller och när det är tämptigt att använda sig av exponentietla modeller' O Hur ser grafen ti[[ en exponentiatfunktion ut om o = t i f(x) = Ca'? O Finns det potensfunktioner som bara har positiva funkt'ionsvärden? ovadärski[lnadenmellanfunktionsuttrycketförenexponentialfunkt'ionoch funktionsutffycket för en potensfunktion? OArdetmöjtigtförenfunktionfattd.efinitionsmängdenbeståravettsåkallat öppetintervatl,(ocx<bdäroochbärkonstanter)'samtidigtsomvärdemängden är ett slutet intervall (c < f(x) < d dät c och d är konstanter)? Ture kan r Pet. tern: dista Arrp, linjer t92 FUN<TloNER o s 2 vad ÄR EN FUN <rlon?

Träningsprov funktioner

Träningsprov funktioner Träningsprov funktioner 1. Använd koordinatsystemet nedan a) Vilka koordinater är markerade? b) Markera följande koordinater E: 0,6, F: 3, 2, G: 1, 2 och H: ( 3,2). 2. Skriv en berättelse som överensstämmer

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 2

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 2 Kapitel.1 101, 10 Exempel som löses i boken. 103 Testa genom att lägga linjalen lodrätt och föra den över grafen. Om den på något ställe skär grafen i mer än en punkt så visar grafen inte en funktion.

Läs mer

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................

Läs mer

14 min 60 s min 42 s 49m 2 =18 s m 2, alltså samma tid. Vi kan säga att den tid som mamman behövde åt dammsugning var beroende av husets storlek.

14 min 60 s min 42 s 49m 2 =18 s m 2, alltså samma tid. Vi kan säga att den tid som mamman behövde åt dammsugning var beroende av husets storlek. PASS 10. FUNKTIONER 10.1 Grundbegrepp om funktioner Mamman i den finländska modellfamiljen från pass fyra brukade dammsuga det 100 m 2 stora huset varje lördag. Det tog 30 minuter. Efter att pappan hade

Läs mer

Lathund, samband & stora tal, åk 8

Lathund, samband & stora tal, åk 8 Lathund, samband & stora tal, åk 8 Den vågräta tallinjen kallas x-axeln och den lodräta tallinjen kallas y-axeln. Punkten där tallinjerna skär varandra kallas origo (0,0). När man beskriver en punkt i

Läs mer

Matematik A Testa dina kunskaper!

Matematik A Testa dina kunskaper! Testa dina kunskaper! Försök i största möjliga mån att räkna utan hjälp av boken, skriv små noteringar i kanten om ni tycker att ni kan uppgifterna, att ni löste dem med hjälp av boken etc. Facit kommer

Läs mer

Funktioner Exempel på uppgifter från nationella prov, Kurs A E

Funktioner Exempel på uppgifter från nationella prov, Kurs A E Funktioner Exempel på uppgifter från nationella prov, Kurs A E Uppgifter ur Nationella prov Kurs A Ur del II utan räknare: När en frysbox stängs av stiger temperaturen. Följande formel kan användas för

Läs mer

2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat

2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat 2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat A Punkten P har koordinaterna x och y P = (x, y) i enhetscirkeln gäller att { x = cos x y = sin x P = (cos x, sin x) För vinkeln

Läs mer

Logaritmer. Joakim Östlund Patrik Lindegrén Andreas Lillqvist Carlos

Logaritmer. Joakim Östlund Patrik Lindegrén Andreas Lillqvist Carlos Logaritmer Joakim Östlund Patrik Lindegrén Andreas Lillqvist Carlos 24 september 2003 Innehåll 1 Introduktion 2 2 Naturliga logaritmer 3 2.1 Talet e................................. 3 2.2 Den naturliga

Läs mer

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 7, H15

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 7, H15 M0038M Differentialkalkyl, Lekt 7, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 21 Tentamen M0038M Tentamensdatum 2015-10-28 Sista anmälningsdag 2015-10-08 Tentamensanmälan

Läs mer

Provet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng.

Provet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng. NpMac vt 01 Del I Del II Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-15. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för del I och del II tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser

Läs mer

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1) a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

Funktionsstudier med derivata

Funktionsstudier med derivata Funktionsstudier med derivata Derivatan ett kraftfullt verktyg för att studera och tolka funktioner Det här avsnittet handlar om att man kan använda derivatan till att bestämma en funktions egenskaper

Läs mer

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och

Läs mer

Kap 1: Aritmetik - Positiva tal - " - " - " - " - - " - " - " - " -

Kap 1: Aritmetik - Positiva tal -  -  -  -  - -  -  -  -  - År Startvecka Antal veckor 2013 34 18 Planering för ma 1b/c - ma 5000- boken OBS: För de i distansgruppen, meddela lärare innan prov. (justeringar för 1c ännu ej genomförda) Vecka Lektio n (2h) Datum Kapitel

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs Tolkning Deltagaren skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för vardagsliv och vald studieinriktning

Läs mer

Lite extramaterial i anslutning till boken

Lite extramaterial i anslutning till boken Lite extramaterial i anslutning till boken Kapitel 1 Elementär algebra Prioritetsregler för räknesätten Det är av avgörande betydelse i vilken ordning räkneoperationer utförs. För att på ett otvetydigt

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 4 april 06 (prövningstillfälle 6) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer Höstlov Uppgift nr 1 Ge en lösning till ekvationen 0 434,2-13x 3 Ange både exakt svar och avrundat till två decimalers noggrannhet. Uppgift nr 2 Huvudräkna lg20 + lg50 Uppgift nr 3 Ge en lösning till ekvationen

Läs mer

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 6 feb 16 (prövningstillfälle ) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 4. b) = 3 1 = 2

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 4. b) = 3 1 = 2 Kapitel.1 101, 102 Exempel som löses i boken 10 a) x= 1 11+ x= 11+ 1 = 2 c) x= 11 7 x= 7 11 = 77 b) x= 5 x 29 = 5 29 = 6 d) x= 2 26 x= 26 2= 1 10 a) x= 6 5+ 9 x= 5+ 9 6= 5+ 5= 59 b) a = 8a 6= 8 6= 2 6=

Läs mer

Upphämtningskurs i matematik

Upphämtningskurs i matematik Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna

Läs mer

Matematik Ten 1:3 T-bas Nya kursen

Matematik Ten 1:3 T-bas Nya kursen Matematik Ten 1: T-bas 00-08-09 Nya kursen 1. Förenkla uttrycket 1 + 1 a b a b b a så långt som möjligt. (1p). Lös ekvationen + 1 = 0. (p). En rät linje går genom punkterna (1, 5) och (5, 7). Ange a så

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 1106 d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna

Läs mer

Fria matteboken: Matematik 2b och 2c

Fria matteboken: Matematik 2b och 2c Fria matteboken: Matematik 2b och 2c Det här dokumentet innehåller sammanfattning av teorin i matematik 2b och 2c, för gymnasiet. Dokumentet är fritt att använda, modifiera och sprida enligt Creative Commons

Läs mer

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning. Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera

Läs mer

Tal Räknelagar. Sammanfattning Ma1

Tal Räknelagar. Sammanfattning Ma1 Tal Räknelagar Prioriteringsregler I uttryck med flera räknesätt beräknas uttrycket i följande ordning: 1. Parenteser 2. Potenser. Multiplikation och division. Addition och subtraktion Exempel: 5 22 1.

Läs mer

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs Tolkning Deltagaren skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för vardagsliv och vald studieinriktning

Läs mer

2320 a. Svar: C = 25. Svar: C = 90

2320 a. Svar: C = 25. Svar: C = 90 2320 a Utgå ifrån y = sin x Om vi subtraherar 25 från vinkeln x, så kommer den att "senareläggas" med 25 och således förskjuts grafen åt höger y = sin(x 25 ) Svar: C = 25 b Utgå ifrån y = sin x Om vi adderar

Läs mer

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 4, H15

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 4, H15 M0038M Differentialkalkyl, Lekt 4, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 28 Lekt 3 Om f (x) = 2 x 2 och g(x) = x + 2, bestäm nedanstående funktion och dess definitionsmängd.

Läs mer

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER 1. Figuren visar grafen till funktionen f där f(x) = x 3 3x 2. I punkter där xkoordinaterna är 1 respektive 3 är tangenter till

Läs mer

y = x x = Bestäm ekvationen för en linje där k = 2 och som går genom punkten ( 1, 3). 2/0/0

y = x x = Bestäm ekvationen för en linje där k = 2 och som går genom punkten ( 1, 3). 2/0/0 Del A: Digitala verktyg är tillåtna. Skriv dina lösningar på separat papper. 1) En TV reparatörs arbete kostar kronor, där antalet arbetstimmar. y = 200 + 150x x = a) Ange och tolka den linjära funktionens

Läs mer

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare Karlstads universitet 19-0 april Exempel på elevaktiviteter framtagna i skolutvecklingsprojektet IKT och lärande i matematik 1

Läs mer

NpMa2b Muntlig del vt 2012

NpMa2b Muntlig del vt 2012 Till eleven - Information inför den muntliga provdelen Du kommer att få en uppgift som du ska lösa skriftligt och sedan ska du presentera din lösning muntligt. Om du behöver får du ta hjälp av dina klasskamrater

Läs mer

Mål. talföljder ~ använda räta linjens ekvation. formel variabel. funktion. värdetabell graf tabell. räta linjens ekvation aritmetisk talföljd

Mål. talföljder ~ använda räta linjens ekvation. formel variabel. funktion. värdetabell graf tabell. räta linjens ekvation aritmetisk talföljd Mål När du har arbetat med det här kapitlet ska du kunna: ~ beskriva begreppen funktion och linjär funktion ~ tolka linjära funktioner grafer och formler med ord, ~ använda formler som beskriver linjära

Läs mer

Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret.

Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. NAN: KLASS: Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. 1) a) estäm ekvationen för den räta linjen i figuren. b) ita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare.

Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare. Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare. Dina lösningar på denna del görs på separat papper som ska lämnas in innan du får tillgång till din miniräknare. Observera

Läs mer

Matematik 1 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS

Matematik 1 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 1 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 1 digitala övningar med TI-82 Stat, TI-84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel

Läs mer

Godisförsäljning. 1. a) Vad blir den totala kostnaden om klassen köper in 10 kg godis? Gör beräkningen i rutan nedan.

Godisförsäljning. 1. a) Vad blir den totala kostnaden om klassen köper in 10 kg godis? Gör beräkningen i rutan nedan. Godisförsäljning För att samla in pengar till en klassresa har Klass 9b på Gotteskolan bestämt sig för att hyra ett bord och sälja godis på Torsbymarten. Det kostar 100 kr att hyra ett bord. De köper in

Läs mer

Prov kapitel 3-5 - FACIT Version 1

Prov kapitel 3-5 - FACIT Version 1 Prov kapitel 3-5 - FACIT Version 1 1. Lös ekvationerna algebraiskt a. 13 x + 17 = 7x + 134 Svar: x = 117 / 6 = 19.5 b. x 10 = 84 Svar: x = 84 0.1 = 1.5575 2. Beräkna a. 17 % av 3500 = 595 b. 3 promille

Läs mer

Repetitionsuppgifter 1

Repetitionsuppgifter 1 Repetitionsuppgifter 1 1 Är talet a) 5 ett heltal b) 9 ett naturligt tal c) π ett rationellt tal d) 5 ett reellt tal 6 2 Rita av figuren och placera in talen rätt talmängd. naturliga tal hela tal rationella

Läs mer

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer

Läs mer

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 Digitala övningar med TI-8 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 digitala övningar med TI-8 Stat, TI-84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel kan

Läs mer

Kvalificeringstävling den 30 september 2008

Kvalificeringstävling den 30 september 2008 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2008 Förslag till lösningar Problem 1 Tre rader med tal är skrivna på ett papper Varje rad innehåller tre

Läs mer

Funktioner. Räta linjen

Funktioner. Räta linjen Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter

Läs mer

Modul 1 Mål och Sammanfattning

Modul 1 Mål och Sammanfattning Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation

Läs mer

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b

Läs mer

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för

Läs mer

1.1 Polynomfunktion s.7-15

1.1 Polynomfunktion s.7-15 1.1 Polynomfunktion Vad är då en funktion? En funktion är en regel i matematiken som beskriver sambandet mellan två storheter. T.ex. Hur många hjul har 3 bilar? 3 4 = 12 Hur många hjul har 4 bilar? 4 4

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

1.2 Polynomfunktionens tecken s.16-29

1.2 Polynomfunktionens tecken s.16-29 Detta avsnitt handlar om olikheter. < mindre än > större än mindre än eller lika med (< eller =) större än eller lika med (> eller =) Vilka tal finns mellan 2 och 5? Alla tal som är större än 2. Och samtidigt

Läs mer

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Provet omfattar s. 102-135 (kap 4) och s.183-186, 189, 191, 193, 200-215. Repetition: Repetitionsuppgifter 4, läa 13-16 (s. 255 260) samt andra övningsuppgifter

Läs mer

Uppgiftshäfte Matteproppen

Uppgiftshäfte Matteproppen Uppgiftshäfte Matteproppen Emma ndersson 0 Joar Lind 0 Sara Lundsten 05 Malin Forsberg 06 UPPSL UNIVERSITET Innehåll Uppdelning av häfte Uppgifter Block. Bråkräkning........................ Uttryck..........................

Läs mer

Vektorn w definieras som. 3. Lös ekvationssystemet algebraiskt: (2p) 4. Förenkla uttrycket så långt det går. (2p)

Vektorn w definieras som. 3. Lös ekvationssystemet algebraiskt: (2p) 4. Förenkla uttrycket så långt det går. (2p) 1. Linjerna y=2x+4, y=4 och x=3 innesluter tillsammans en triangel. Linjen y=5,5 skär triangeln i två punkter. Beräkna sträckan mellan dessa två punkter. 2. Vektorn w definieras som w = 2u v där u = (7,1)

Läs mer

polynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner

polynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. Desto trevligare blir det då att konstatera att det finns enkla deriveringsregler,

Läs mer

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1: Som en inledning till begreppet derivata, ska vi här diskutera genomsnittlig förändingshastighet. Utan att veta vad som hänt mellan två givna tider t 1 och t 2 kan vi läsa av temperaturen, beloppet, hastigheten,

Läs mer

Röd kurs. Multiplicera in i parenteser. Mål: Matteord. Exempel. 1 a) 4(x- 5) b) 5(3 + x) 3 Om 3(a + 4) = 36, vad är då 62 2 FUNKTIONER OCH ALGEBRA

Röd kurs. Multiplicera in i parenteser. Mål: Matteord. Exempel. 1 a) 4(x- 5) b) 5(3 + x) 3 Om 3(a + 4) = 36, vad är då 62 2 FUNKTIONER OCH ALGEBRA Röd kurs Mål: I den här kursen får du lära dig att: ~ multiplicera parenteser ~ använda kvadreringsregler ~ använda konjugatregeln ~ uttrycka formler på olika sätt Matteord första kvadreringsregeln andra

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs C, kapitel 1

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs C, kapitel 1 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Här presenteras förslag på lösningar oc tips till många uppgifter i läroboken Matematik 000 kurs C Komvu som vi oppas kommer att

Läs mer

Matematik E (MA1205)

Matematik E (MA1205) Matematik E (MA105) 50 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret 003-004 Betygskriterier enligt Skolverket KRITERIER FÖR BETYGET GODKÄND

Läs mer

varandra. Vi börjar med att behandla en linjes ekvation med hjälp av figur 7 och dess bildtext.

varandra. Vi börjar med att behandla en linjes ekvation med hjälp av figur 7 och dess bildtext. PASS 8 EKVATIONSSYSTEM OCH EN LINJES EKVATION 8 En linjes ekvation En linjes ekvation kan framställas i koordinatsystemet Koordinatsystemet består av x-axeln och yaxeln X-axeln är vågrät och y-axeln lodrät

Läs mer

MATEMATIK FÖR KURS B (NV/AB-boken och B-boken version 1)

MATEMATIK FÖR KURS B (NV/AB-boken och B-boken version 1) NATUR OCH KULTURS PROV VÅRTERMINEN 1997 MATEMATIK FÖR KURS B (NV/AB-boken och B-boken version 1) Provets omfattning: t o m kapitel 5.6 i Matematik 2000 NV kurs AB. Provets omfattning: t o m kapitel 3.5

Läs mer

Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)?

Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)? I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) x + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7) oc (4, ). Dessutom finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10) Sekantens riktningskoefficient

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken Y

Sammanfattningar Matematikboken Y Sammanfattningar Matematikboken Y KAPitel 1 TAL OCH RÄKNING Numeriska uttryck När man beräknar ett numeriskt uttryck utförs multiplikation och division före addition och subtraktion. Om uttrycket innehåller

Läs mer

Komvux/gymnasieprogram:

Komvux/gymnasieprogram: Namn: Skola: Komvux/gymnasieprogram: Anvisningar: Tidsbunden del består av två delar, Del I och Del II. Den sammanlagda provtiden är 120 minuter varav högst 30 minuter för Del I. Till uppgifterna i Del

Läs mer

Den räta linjens ekvation

Den räta linjens ekvation Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är

Läs mer

Övning log, algebra, potenser med mera

Övning log, algebra, potenser med mera Övning log, algebra, potenser med mera Uppgift nr 1 Förenkla uttrycket x 3 + x 3 + x 3 + x 3 + x 3 Uppgift nr 2 Förenkla x x x+x x x Uppgift nr 3 Skriv på enklaste sätt x 2 x x x 8 x x x Uppgift nr 4 Förenkla

Läs mer

VECKANS LILLA POSTKODVINST á 1.000 kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 219 lottnummer 1.000 kronor vardera:

VECKANS LILLA POSTKODVINST á 1.000 kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 219 lottnummer 1.000 kronor vardera: Dragningsresultat vecka 27-2015 Här nedan kan du se om du är en av de lyckliga vinnarna i veckans utlottning i Svenska PostkodLotteriet. När du har vunnit betalar vi automatiskt ut dina vinstpengar till

Läs mer

Ekvationer och olikheter

Ekvationer och olikheter Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När

Läs mer

Modul 4 Tillämpningar av derivata

Modul 4 Tillämpningar av derivata Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,

Läs mer

Räknarinstruktioner för CASIO FX-9750GII till Matematik Origo 2c

Räknarinstruktioner för CASIO FX-9750GII till Matematik Origo 2c Räknarinstruktioner för CASIO FX-9750GII till Matematik Origo 2c Sidan 17 Lös ekvationen med hjälp av den grafritande räknaren Vi löser uppgiften med hjälp av grafprogrammet GRAPH. Skriv först om ekvationen

Läs mer

Sammanfattning: Matematik 1b

Sammanfattning: Matematik 1b Sammanfattning: Matematik 1b Ma1c kräver kompletterande delar om vektorer samt trigonometri 1. Kapitel 1: Aritmetik Centrala delar i kapitlet: - Räkneordning - Tal i bråkform och decimalform - Tal i potensform

Läs mer

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html

Läs mer

MATEMATIK 5 veckotimmar

MATEMATIK 5 veckotimmar EUROPEISK STUDENTEXAMEN 2010 MATEMATIK 5 veckotimmar DATUM : 4 Juni 2010 SKRIVNINGSTID : 4 timmar (240 minuter) TILLÅTNA HJÄLPMEDEL : Skolans formelsamling Icke-programmerbar, icke-grafritande räknedosa

Läs mer

Block 4 - Funktioner. Funktionsbegreppet Definitionsmängd

Block 4 - Funktioner. Funktionsbegreppet Definitionsmängd Block 4 - Funktioner Funktionsbegreppet Definitionsmängd Värdemängd Grafen för en funktion Polynom Konstanta polynom Linjära polynom Andragradspolynom Potenser, exponential- och logaritmfunktioner Potensfunktioner

Läs mer

Exempel. Vi skall bestämma koordinaterna för de punkter som finns i bild 3. OBS! Varje ruta motsvarar 1mm

Exempel. Vi skall bestämma koordinaterna för de punkter som finns i bild 3. OBS! Varje ruta motsvarar 1mm Koordinatsystem Koordinatsystem För att verktygen i en CNC-maskin skall kunna styras exakt till samtliga punkter i maskinens arbetsrum, använder man sig av ett koordinatsystem. Den enklaste formen av koordinatsystem

Läs mer

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 8..05 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll och poängsättningar som ges här är inte bindande för studentexamensnämndens bedömning. Censorerna beslutar

Läs mer

Planering för matematik 2a OBS: Provdatumen är endast förslag, kontakta läraren innan du kommer och vill ha prov

Planering för matematik 2a OBS: Provdatumen är endast förslag, kontakta läraren innan du kommer och vill ha prov År Startvecka 2013 2 Planering för matematik 2a OBS: Provdatumen är endast förslag, kontakta läraren innan du kommer och vill ha prov Vecka Lektion (2h) Datum Kapitel Avsnitt 2 Ti 08-jan Kap 1: Räta linjen

Läs mer

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson ATT KUNNA TILL MA1203 Matte C 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson Sida 2 av 5 Att kunna till prov C1 Kunna kvadreringsreglerna! (...utan att titta i formelsamlingen) Kunna konjugatregeln! (...utan

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS A VÅREN Del I

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS A VÅREN Del I Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap 3 Sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av juni månad 2002. NATIONELLT

Läs mer

En uppgift eller text markerad med * betyder att uppgiften kan uppfattas som lite svårare. ** ännu svårare.

En uppgift eller text markerad med * betyder att uppgiften kan uppfattas som lite svårare. ** ännu svårare. Matematik b, repetition Kan du det här? Primitiva funktioner och integraler o o o Vad menas med primitiv funktion? Kan du hitta en primitiv funktion? Vad menas med en integral? Kan du beräkna en integral?

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)

Läs mer

a) Ange ekvationen för den räta linjen L. (1/0/0)

a) Ange ekvationen för den räta linjen L. (1/0/0) Delprov B: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1. Ange det uttryck som ska stå i parentesen för att likheten ska gälla. ( ) ( x 5) = x 5 (1/0/0).

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

MATEMATIK KURS A Våren 2005

MATEMATIK KURS A Våren 2005 MATEMATIK KURS A Våren 2005 1. Vilket tal pekar pilen på? 51 52 53 Svar: (1/0) 2. Skugga 8 3 av figuren. (1/0) 3. Vad är 20 % av 50 kr? Svar: kr (1/0) 4. Hur mycket vatten ryms ungefär i ett dricksglas?

Läs mer

Uppgift 1-9. Endast svar krävs. Uppgift 10-14. Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Delprov B och Delprov C tillsammans.

Uppgift 1-9. Endast svar krävs. Uppgift 10-14. Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Delprov B och Delprov C tillsammans. Delprov B Delprov C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-9. Endast svar krävs. Uppgift 10-14. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för Delprov B och Delprov C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser

Läs mer

Repetitionsuppgifter D5

Repetitionsuppgifter D5 Repetitionsuppgifter D5 1. Skriv koordinaterna för punkterna A-D 2. Rita ett liknande koordinatsystem och markera punkterna E = (1,0), F = (6,1), G = (5,6) H = (0,5) 3. Diagrammet visar hur mycket bensin

Läs mer

a) Ange ekvationen för den räta linjen L. (1/0/0)

a) Ange ekvationen för den räta linjen L. (1/0/0) Delprov B: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1. Ange det uttryck som ska stå i parentesen för att likheten ska gälla. ( ) ( x 5) = x 5 (1/0/0).

Läs mer

1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av

1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-41 1 För ingenjörs- och distansstudenter Flervariabelanalys ma1b 15 1 14 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 2

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 2 Kapitel 2.1 2101, 2102, 2103, 2104 Exempel som löses i boken. 2105 Hela cirkeln är 100 %. Den ofärgade delen är 100 % - 45 % = 55 % 2106 a) Antalet färgade rutor 3 = b) 3 = 0, 6 c) 0,6 = 60 % Totala antalet

Läs mer

Avsnitt 3, introduktion.

Avsnitt 3, introduktion. KTHs Sommarmatematik Introduktion 3:1 3:1 Avsnitt 3, introduktion. Teckenstudium Här tränas teckenstudium av polynom och rationella funktioner (som är kvoter av polynom). Metoden går ut på att man faktoriserar

Läs mer

i=1 β i a i. (Rudolf Tabbe.) i=1 b i a i n

i=1 β i a i. (Rudolf Tabbe.) i=1 b i a i n Årgång 48, 1965 Första häftet 2505. Låt M = {p 1, p 2,..., p k } vara en mängd med k element. Vidare betecknar M 1, M 2,..., M n olika delmängder till M, alla bestående av tre element. Det gäller alltså

Läs mer

Räknarinstruktioner för CASIO FX-9750GII till Matematik Origo 1b

Räknarinstruktioner för CASIO FX-9750GII till Matematik Origo 1b Räknarinstruktioner för CASIO FX-9750GII till Matematik Origo 1b Sidan 30 Beräkna uttrycket Uppgiften beräknas i programmet RUN-MAT. Gör så här: Gå först in i huvudmenyn genom att trycka p. Markera RUN-MAT.

Läs mer

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson , MA104 Senaste uppdatering 009 04 03 Dennis Jonsson Lösningar till Matematik 3000 Komvu Kurs D, MA104 Fler lösningar kommer fortlöpande. Innehåll 110... 6 111... 6 11... 6 1130... 7 1141... 7 114... 8

Läs mer

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7 TM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41331 Pär Hemström 06-64896 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma034a 01 10 01 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS A HÖSTEN 2000. Del I

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS A HÖSTEN 2000. Del I Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap 3 Sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av 010. NATIONELLT KURSPROV I

Läs mer

Uppgift Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans.

Uppgift Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans. NpMab ht 01 Del B Del C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-16. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet

Läs mer

lång och 15 cm bred. Hur stor area har tomten i verkligheten? 4,5 2 l b) 2-2- 3 4

lång och 15 cm bred. Hur stor area har tomten i verkligheten? 4,5 2 l b) 2-2- 3 4 LÄXA 12 1 Beräkna med huvudräkning a) En kvadrat har arean 81 cm 2. Hur stor är omkretsen? b) Hur mycket kostar 600 g fläskfile, om priset per kilogram är 120 kr? c) En burk energidryck innehåller 200

Läs mer