5.2 Vad är en funktion?

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "5.2 Vad är en funktion?"

Transkript

1 5.2 Vad är en funktion? Funktion och funktionsvärde Tänk dig att två personer är ute och går i solskenet. Deras skuggor faller på marken. Längden av en persons skugga bestäms av personens langd. Om vi kallar personens langd for r och skuggans längd för1 så är skuggans langd 7 en funktion av personens langd x. Beroende och oberoende voriabel Vid ett visst tillfälle på dagen är skuggan 2,5 gånger längre än personerna. Ekvationen eller samban det y - 2,5x beskriver skuggans 1ängd som funktion av personens langd. Skuggans längd 1 beror av personens längd x. Eftersom värdet på beror av värdet på x, kallas för den beroende variabeln och x för den oberoende variabeln. Funktionsvärde Man liknar ibland en funktion vid en maskin som när man sätter in ett värde på den obe- roende variabeln. ser tillbaka ett värde nå den beroende variabeln enligt en regel. tll------i-."*-'oo Lt)x ^ vårt exempel ovan är regeln att talet som man sätter in multipliceras med 2,5. Om man sätter in talet 120, så ger funktionen tillbaka/rznktionsvördet 2,5. 20 = 300. Om man sätter in 180, så ger funktionen tilibaka fr-rnktionsvärdet 2, = 450 och om man sätter in x, så ger funktionen tillbaka funktionsvärdet 2,5x. Att det till varje värde på r fi.nns endast ett bestämt värde på y ar ett krav för att sambandet ska vara en funktion. Funktion En funktion är ett samband eller ett beroende mellan två variabler. Man säger att y ar en funktion av r, om det till varje värde pä x endast finns e// bestämt värde på y. Funktionsuttryck ?--) f(120) = 3oo,._, _ x ) l\x) = z,sx För att tydligt visa att funktionsvärdet beror av värdet på x, använder man skrivsättet/(x). vårt exempel är funktionsvärdet av talet 120 lika med 300 och man säger att " f av 120 är 300'1 Det skrivs f(120) = 300. På samma sätt säger man att'fav x dr 2,5x" och skriver f(x) = 2,5x. Uttrycket f(x) = 2,5x kallas funktionsuttrycket. Namnet på funktionen ärf t/8 rur <TroNER o s 2 vad ÄR EN FUNr<T on?

2 -- En funktion kan beskrivas med hjalp av ett funktionsuttryck, en tabell eller en graf. De beskriver alla den regel som bestämmer funktionen. Grafen till en funktion, till exempel den som bestäms av f(x) :2,5x, kan vi rita i ett koordinatsystem genom att sätta y = f(x). Det betyder att man avsätter funktionsvärdena eft er y- axeln. f(x) = z,sx t, Skuggan är 2,5 gånger 1 längre än personen : x y=f(x) r20 ' ' 150, i l Exempel: Funktionen / bestäms av funktionsuttrycket f(x) = 3x + +. a) Bestäm/(3) b) Bestäm/(-3) c) Lös ekvationen f(x) = t0 Lösning a) Eftersom f(x)=zx+4 såar f(3) =3.3+4=3 Svar: /(3) = 13 b) Eftersom f(x)=zx+4 såar f(-3) =3.(-3) -t4=-5 Svar: /(-3) = -5 c) Ekvationen f(x) = l0 är detsamma som 3x*4=0 3x= 6 ^"-1 Svar: Ekvationen /(x) = 10 har lösningen x = 2. Exempel: Lösning: Grafen till funktionen f ar ritad i koordinatsystemet. a) Bestäm/(3) b) For vilket värde pä x är f(x) = 97 a) Eftersom y = f(x) avläser vi y där x = 3. Svar:fl3)= 4 b) Vi söker det värde pä x dar y = 0, dvs. där grafen skär x-axeln. Svar:/(x)=0dåx=6 r,i,l fl ;r iri i,t il'i )l 'l ii lr i, li il FUNt<T ONER o s.2 VAD ÄR EN FUN <TtON? ryg

3 (1:', Exempel, Lät f(x) = x2 + 2x och g(x) = 2x - 3. Bestäm a) f(-4) - s(4) b) Lösning: a) fl-4)-g(4) = ((-q2 +2'(4))-(2'(4) -3) = (16-8) - (-8-3) =8-(-11)=i9 b) f(q) - g(a) = (a2 + 2'a) -(2'a- 3) = a2 + 2a-2a+ 3 = a2 + 3 Ersätt x med t NVÅ 1 ' 5201 koordinatsystemet är grafen till funktionen/ ritad. Bestäm a) f(3) S2g2 Lätf(x)=3x- ochberäkna b) devärden päxdäflx) =g a) /(1) b) f(o) c) f(-2) 5203 Låt h(x) = sf - zx + 2 och beriikna a) h(3) b) h(6) c) h(-3) 5204 Lät f(x) = 3x + 4. Bestäm NVÅ 2 a) f(2) b)f(a) c) xomf(x)=19 52OS Lät f(x) = 4f + 2x- 1 och g(x) = 2x2 + L. Bestäm och förenkla a) f(z)-s3) b) c) f(a) + g(2a) 5205 Bestäm x onf(x) = 3x * 2 och a) f(x+1)=11 c) f(3x - r) = 26 b) f(2x) = s 5207 Bestäm med hjalp av defi.nitionen av en funktion, vilka av graferna som visar ett funktionssamban d dar y är en funktio n av x? NVÅ 3 Vilken eller vilka av ftljande värdetabeller beskriver 7 som en funktion av x? Motivera ditt svar. 1--"-'r* xiv ri2 zl s :å1 jt 4i9 --*i-- * iv *-1-. 7i2 2,2 3!2 ql z l* t xiy 2i7 ;T- 2i ett koordinatsystem ritas en linje, som är parallell med 7-axeln och skär x-axeln för x = 7.Kan den linjen beskriva grafen till en funktion 7 = Motivera ditt svar. 52lO Lätf(x) = 4x-2 och g(x) = x-. Bestäm r då flg(x)) = sz' 5211 Bestäm k och m if(x) = kx + m om f(l*-2) = 6x-5. i pu, t** ; j, Punl tr8o rurrrroruer o s.2 vad ÄR EN FUNKTToN?

4 _-- Defini ti onsmängd och värdemängd En affär har följande specialerbjudande: 0m du har bonusl<ort, så fåt du l<öpa Cashewnötter för 4 krlhg. 0bsl max 1 kg/l<und. Definitionsmcingd Ycirdemcingd Pr.rn (ten ingår inte i delin t ons och värdemänqden. J. Punkten ingår definitions och värdemånqden. Kostnaden är i detta fall beroende av mängden nötter man köper och kan beskrivas med funktionsuttrycket f(x) = +x där x är vikten och flx) är kostnaden. Kostnaden för att köpa till exempel 2 hg cashewnötter är 8 kr eftersom f(z) = +. 2 = 8.Att köpa en negativ mängd nötter är inte möjligt. Därför är det endast vikter från och med 0 hg till och med l0 hg som uppf'ller butikens villkor. Det är bara de värden på x som uppfrller 0 < x < 10 som kan användas som värden på den oberoende variabeln. Dessa x-värden kallas för funktionens deftnitionsmängd. Vikten 0 hg ger kostnaden 0 kr (lägsta kostnad) och vikten l0 hg ger kostnaden 40 kr (högsta kostnad). Det minsta möjliga funktionsvärdet är alltså,(0) : O och det största möjliga funktionsvärdet är fl10) = 40. Funktionsvärdena är alla värden från och med 0 till och med 40. Dessa 1-värden kallas för funktion ens v är demöngd. Grafen till höger beskriver hur kostnaden f beror av vikten x. Den frllda ringen i figuren betyder att punkten där ringen är placerad ingår i både definitionsmängden och värdemängden. En punkt som inte ingår i definitionseller värdemängden markeras med en ring som inte är fylld. se$r*iå8{cns:xeffregd Definitionsmängden till en funktion är alla de värden som den oberoende variabeln kan anta. Vrirdenröngd då Värdemängden till en funktion består av alla funktionsvärden som funktionen antar när den oberoende variabeln väljs ur definitionsmängden. FriNr<T oner o 5.2 vad ÄR e n runrrtotr!81

5 Definitionsmängd och värdemängd En aftär har foljande specialerbjudande: 0m du har bonusl<ort, så får du l<öpa Cashewnötter för 4 krlhg. Obs! max 1 kg/kund. Definitionsmiingd Kostnaden är i detta fall beroende av mängden nötter man köper och kan beskrivas med funktionsuttrycket f(x) = +x där x är vikten och /(x) är kostnaden. Kostnaden för att köpa till exempel 2 hg cashewnötter är g kr eftersom f(z) = +'2 = 8.Att köpa en negativ mängd nötter är inte möjligt. Därför är det endast vikter från och med 0 hg till och med 10 hg som upp- $,ller butikens villkor. Det är bara de värden på x som uppfyller 0 < x < 10 som kan användas som värden på den oberoende variabeln. Dessa x-värden kallas för funktionens definitionsmängd. Vdrdemöngd Punkten inqår inte defin tions och värdenränqden J" Pun (ten ingår i detinitions och värdemänqden. vikten 0 hg ger kostnaden 0 kr (lägsta kostnad) och vikten l0 hg ger kostnaden 40 kr (högsta kostnad). Det minsta möjliga funktionsvärdet är alltså.(o) = O och det största möjliga funktionsvärdet är /(10) = 40. Funkrionsvärdena är aila värden från och med 0 till och med 40. Dessa 7-värden kallas för funktion ens vcirdemängd. Grafen tiil höger beskriver hur kostnaden / beror av vikten x. Den Szllda ringen i figuren betyder att punkten där ringen är placerad ingår i både definitionsmängden och värdemängden. En punkt som inte ingår i definitionseller värdemängden markeras med en ring som inte är fzlld. 0e$nd&domsmöngd Definitionsmängden till en funktion är alia de värden som den oberoende variabeln kan anta. Vffrderraeimgd värdemängden till en funktion består av alla funktionsvärden som funktionen antar när den oberoende variabeln välis ur delinitionsmängden. FUN <TroNER o 5.2 vad Äa ru puuxrrot: l8t

6 ((, Exempelt Bestäm definitions- och värdemängd till funktionen/med hjälp av grafen. j --t-'.'f -,-L-- N 52 i Lösning: Grafen till funktionen börjar i punkten med koordinaterna (-2, 3) och slutar i (4, -1).Den frllda ringen innebär att punkten tillhör både definitions- och värdemängden. Eftersom ringen vid den andra punkten inte är fflld, så tillhör den punkten varken definitionsmängden eller värdemängden. Svar: Definitionsmängden dr -2 <x < 4 och värdemängden är -t < f(x) < ((i1;. Exempet: Lösntng: En liten glasburk rymmer 150 cm3 och väger tom 105 g. Glasburken s'lls med linolja som har densiteten 0,94 glcm3. a) Ange vikten av burk och linolja, T g, som en funktion av hur mycket linolja, x cm3, som fi.nns i burken. b) Vilken är funktionens definitions- och värdemängd? a) Linoljans vikt ar 0,94 glcm3 och glasburkens vikt är 105 g' Det ger Y=0,94x+05,ii Linoljans viä f,iasburkens vrl<t Svar:7 =0,94x+ 105 b) Glasburken kommer att innehålla mellan 0 cm3 och 150 cm3linolja. En tom glasburk väger 105 g och en full burk väger (0,94 ' ) g= Svar: Definitionsmängden är 0 < x ( 150 cm3 och värdemängden är 105<y<246g /t' Exempel: Bestäm definitionsmängden till funktionerna som ges av a) f(x) = 3x b) /(x) = 1 x_ 4 Lösning: a) b) Definitionsmängden är alla r-värden. Nämnaren i ett uttryck kan inte vara noll eftersom division med noll inte är definierad, x - 4 kan alltså inte vara noll. Det betyder att x kan vara alla värden utom 4. Definitionsmängden består av alla x + 4' tr82 run<rroner o s.2 vad ÄR EN FUN(TloN?

7 -- håcvå å 5212 Ange definitionsmängd och värdemängd till funktionerna/och g med hjalp av graferna Grafen visar kostnaden att hyra en bil som funktion av antalet körda kilometer. l<r Hyres kostn a d 200 Sträcka km a) Varför utgår inte grafen från origo? 5213 en annons kan man läsa: r-ösyrrrscools 3,so krlhg Max 1 kg/l<und Ange definitionsmängd och värdemängd för priset på lösviktsgodis om en kund köper x hg och betalar 1 kr. b) Bestäm definitions- och värdemängd. c) Ange ett funktionsuttryck som beskriver kostnaden att hyra bil sorn funktion av körsträckan Ange definitionsn-rängd och värdemängd till den avbildade funktionen Ett test av bildäck i farter mellan 30 km/h och 140 km/h visar att bromssträckan på torrt underlag kan beskrivas som en funktion av farten. funktionen är f(x) = 0,02x2 bromssträckan i meter och x farten i km/h. a) Ange funktionens definitionsmängd. b) Ange funktionens värdemängd. rusvå ä 'l'o ax 5215 Grafen visar temperaturen hos vatten som värms till kokning och sedan får svalna. Ange funktionens värdemängd. "C Ange definitionsmängden till funktionerna. ll a) y=- b\ y- - 1 X- / c) /- \x 5219 En cylindrisk regnvattentunna har en bottenarea som är 0,80 m2. a) Ange vattenvolymen, Vm3, som funktion av hur högt vattnet står i tunnan, x m. b) Tunnan rymmer maximalt 0,96 m3. Ange funktionens definitions- och värdemängd min 5220 Ange definitionsmängden till funktionerna _) vr a) */ vl - ' b) g(') 3x+4 = #i c) h(x)=13-4x d) D(x) = -l- ' r/x-4 FUNr<T oner o s.2 vad ÄR EN FUNt(r oru: t83

8 -,- Exponentialfunkti oner På en ö fanns det vid ett visst tillfäiie pingviner. Ett år senare fanns det pingviner. Populationen hade ökat med 520 individer. Det motsvarar en ökning med 6,5 o/o pä ett år. Vill man beskriva populationens storlek framåt i tiden, kan man använda sig av en matematisk modell. det här avsnittet kommer vi att jämföra två olika modeller som kan användas för att beskriva populationens förändring. Linjcir modell Om vi antar att pingvinpopulationen ökar med lika många pingviner varje år, så kan populationen beskrivas med N(r) = 520t Antal so ooo O <n nq per är Antal från början där N(f) ärantaletpingviner /årefter det att mätningen startade. 10 ooo Grafen är en rät linje. Man säger att pingvinpopulationen växer linjärt med tiden. ExponentieLL modell många fall är det rimligare att anta att en popuiation ökar med lika många procent varje år. Om antalet pingviner är och ökar med 6,5 o/o per är, så blir ökningen: Tid (år) Antal pingviner ,05s=8s ,0552 =9O ,0653=9664 Exponenten v sar anta et år f B 000.1,065t Ökningen kan beskrivas med exp o n enti alfunkti o n en N(t) =8000'1,065r Anta frånbörjan Förändringsfa<tornmotsvarar en ökn nq med 6,5 o/o där N(, är antaiet pingviner f år efter mätningen startade. Man säger att pingvinpopulationen växer exponentiellt med tiden. Antal oo t84 rur.'l<roruer o s.2 vad AR EN FUN <TroN?

9 -r Den linjära modellen beskriver något som hela tiden ökar med samma antai och den exponentiella modellen beskriver något som hela tiden ökar med ika många procent. - xp mrx eat ti{ea åfaara $eedora En funktion som ges av f(x) = Ca" kallas för en exponentialfunktion. C och a är konstanter och a > 0. Upprepade procentuella förändringar där förändringsfaktorn är konstant, beskrivs av exponentialfunktioner. Grafen till vänster visar en exponentialfunktion med a > och grafen til1 höger har a <. båda fallen är C > 0. t=ca' 0<r<1 Exenrpel: Antalet bakterier i ett biologiskt forsok kan beskrivas med funktionen N dar lv14 = ,04t, ddr t ar antalet minuter efter försökets start. a) Hur många bakterier fanns det vid försökets start? b) Hur många bakterier finns det en timme efter försökets start? c) Vad betyder 1,04 i formeln? Lösning: a) Vid försökets start är r - 0. Vi bestämmer N(0) N(0) = ,040= 1700'1= ,040=1 b) c) : 700 ' 1,0460 = min på en tirnme ^f(60) Att förändringsfaktorn här är 1,04 betyder att antalet bakterier ökar med 4 o/o per minut. FUN <TroNER o 5.2 vad Äa eu ruurrtorur t8!

10 (; Exempel: nköpspriset på en traktor är kr. Tiaktorns värde minskar därefter med 18 o/o per är. a) Ange en ekvation av formen 7 = Cd sombeskriver traktorns värde ykr efter x är. b) Lösning: a) Efter hur många år är traktorn värd mindre än 1, kr? En minskning med 18 %o innebär att förändringsfaktorn dr 0,82, a = 0,82. Det återstår att bestämma C i funktionen y - C ' 0,82". Om x = 0 ar y = 372 }}},vilket ger = C' 0,820 och alltså C = b) Svar: Ekvationen är y = ' 0,82* Vi löser ekvationen = ,82'genom att fcirst rita graferna trll yr= (VL i ekvationen) och y2= ' 0,82' (HL i ekvationen). Sedan bestämmer vi x-värdet för grafernas skärningspunkt. Det gör vi med hjälp av grafräknaren. Tryck K& och skriv in efteryt och ,82'efter Yr. Om du har standardfönstret inställt, så syns inga grafer när du och ändra fönsterinställningen som i bilden till höger. Tiyck ffilt8f!! igen. Bestäm skärningspunkten t.ex. med hjälp av räknarens intersectfunktion (se s. 160). Detger x=5,7. Svar: Efter 6 är är traktorn värd mindre än kr. N 522 NVÅ Kapitalet K kr på ett bankkonto ges av funktionsuttrycket K(t) = ',02t, ddt t ar tiden räknad i år. a) Hur mycket pengar frnns det på kontot efter 8 år? b) Vad betyder talet i funktionsuttrycket? 5222 Vilken graf hör ihop med vilken funktion? f(x) = z" g(x) = 3* h(x) = 9,4* P(x)=2'+3 q(x) = 2' rururrroruer o s.2 vad ÄR EN FUNKTToN?

11 _ Temperaturen T oc på kaffet i Klas termos f timmar efter att termosen f'llts kan beskrivas med funktionen T, dar T(r) = 96 ' 0,961 a) Vilken temperatur hade kaffet då det hälldes i termosen? b) Vilken temperatur har kaffet efter 5 timmar? Rita grafen till/(x) - 2', g(x) = 3'och h(.x) - 4'i samma koordinatsystem. a) Graferna skär varandra i samma punkt. Vilken är skärningspunkten? 5229 Ett radioaktivt preparat sönderfalier enligt funktionen som ges av N(r) = N0 ' 2 t/r, där.aj är mängden radioaktir,t preparat, r tiden efter det att försöket börjat, N6 den ursprungliga mängden och T den så kallade haiveringstiden (den tid det tar för mängden radioaktivt preparat att haiveras). Hur många procent återstår av föliande ämnen efter år? a) z:st b) t*c c) 3sS Ämne Halveringstid 14f 5, år r{ä\rå ff b) Går även graferna tiil p(r) = 5' och cl6) - 0,5'genom samma Punkt? c) Förklararesultatet. TaNa 15,0 h ' 'S BB dyqn /r opb 22,3 är 22oRn 55,5 s 2rBU 4,5, 10e år s225 Antalet bakterier i en bakterieodling antas förändras enligt funktionen,ay' som ges av ^'(d ' 1,044t, ddr t ar tiden i minuter och N1t1 är antalet bal<terier. a) Hur många bakterier fanns det när odlingen påbörjades? b) Hur många bakterier finns det efter en timme? c) Efter hur lång tid är det bakterier i odlingen? Lös uppgiften med hjalp av grafräknaren eller pröva dig fram. f{e&rå ffi 5230 Lena har kr i månadslön. Hon ska tår en löneförhöjning varje år och får välja mellan två alternativ. Alternativ 1: Höjning av månadslönen med kr Alternativ 2: Höjning av månadslönen med 4 7o Skriv en formel som visar Lenas månadslön efter / år enligt a) Alternativ Befolkningsantalet i ett land har sedan år 1980 utvecklats enligt N(r) = 3,2 ' 1'039r, där l,r(r) ar invånarantalet i miljoner och t är antalet år efter år Tolka konstanterna 3,2 och 1,039 i formeln Therese matar in funktionerrla f = )x, y - 22',/ = 3" och f = 4'pä sin grafräknare' När hon ritar graferna, så ser hon bara tre grafer i stället för f,ra. Förklara varför Temperaturen T'C på kaffet i Kas termos i uppgift 5223 beskrivs av funktionen T - 96' 0,96r, f timmar efter att termosen fyllts. Klas dricker inte kaff'e som är kallare än 60 "C vid serveringen. Hur länge duger kaffet i termosen åt Klas? b) Alternativ 2 c) Nar är de olika alternativen bäst för Lena? 5231 Rita graferna tillflx) = 2'och S(x) = 0,5'i samma koordinatsystem. Graferna är varandras spegelbild iy-axeln. Förklara varför Mattias inventerar ett område för att bestämma hur vanlig en viss växt är. Han lägger ut en provruta och räknar alla plantor av den arten i det området. Han hittar 22 exemplar. Efter 2 år gör han om inventeringen och finner då 26 exemplar i samma ruta. Hur många exemplar borde han finna efter ytterligare 8 år om förändringen sker a) linjärt b) exponentiellt FUN<TroNER o 5 2 vad AR EN FUN<rrortr: 187

12 r Potensekvationer Potensfunktioner f(x) = f g(x) = f Potensfunktioner Du har tidigare i kursen studerat andra- och tredjegradsekvationer, som till exempel x2=4 x3=27 De här ekvationerna är av formen x' = a ddtr n och a är konstanter. Ekvationerna kallas p o t en s ekv ati o ne:r' Funktionerna som ges av f(x) = x2 och g(x) = x3 är exemp elpä potensfunktioner. Vi ritar grafernatill funktionerna. Titta på grafen till höger. Funktionen/som ges av av f(x) = x2 har bara funktionsvärden som är större än eller lika med 0. Funktionens värdemängd är alltså /(r) > o. Grafen till funktionen/skar linien y = 4 itvä punkter. Potensekvationen x2 = 4 hat alltså två lösningar. Man kan också se att potensekvationen f = -3 saknar lösningar, eftersom grafen till funktionen/aldrig skär injen y = -3' Potensekvationer med jämna heltalsexponenter' som till exempel x4 = 7 \ eller 3x8 = 347, har ingen, en eller två lösningar. Om exponenten i funktionsuttrycket är ett udda positilt heltal, som i g(x) = 13, så kan funktionen även ha negativa funktionsvärden. Se grafen här nedanför. Grafen till funktionen gskär linien y = 3 i en punkt. Potensekvationen x3 = 3 har alltså bara en lösning. Funktionen är definierad för alla x och alla värden på g(x) är möjliga. Grafen till funktionen kommer darfor också att skära linjen y = -2 i en punkt. Det innebär att även potensekvationen x3 = -2 har en lösning. Potensekvationer med udda heltalsexponenter, som till exempel / = 38 eller 2x7 = -726,har alltid endast en lösning. Potensekuction En ekvation av formen xn = a, där r och a är konstanter, kallas en potensekvation. Potensekvationer med jämna heltalsexponenter har ingen, en eller två lösningar. Potensekvationer med udda heltalsexponenter har alltid endast en lösning.!88 rurur<rtoruer o s.2 vad ÄR EN FUNKToN?

13 Potensfunktfon - En funktion av formen f(x) = Cxo, där C och c är konstanter, kallas ta din minirciknare För att beräkna uttrycket 19 Välj sedan 5:H{ och tryckfg lffi 4 *f9 l. Jll När du är i MATH meyn vä jer du 5:'"{ qenom att tryc(a på ail Exempet: Lös ekvationerna a) x6-729 b) 3rc c) 4x7 = -120 Lösning: a) x6 = 729 d- x = +\ / 29 x=*3 Svar: x = -3 och x: 3 Järnn exponent ger här två lösn ngar. Beräkna med räl<naren b) 3xa = _768 Drv dera båda led med 3 3x4, _ xa = -256 Svar: Ekvationen saknar lösning. c) 4x7 : -f20 D v dera båda led med 4 x7 : -30 Det går inte att dra ljärderoten ur ett negativt tal * ='"rs4p = _1,6 Udda exponent ger a tid exal(t en ösning svar:x='i=o =-1,6 Exempel: Lösning: När Alice sätter in kr i en sparfond med fast ränta blir hon lovad att beloppet kommer att fördubblas på 12 år. Vilken är fondens årsränta? Om förändringsfaktorn är x så får vi ekvationen x12 = Efter tolv år har beloppet fördubblats xr2 =2 * - +'V2 Vl har delat bägge led med Använd räl<naren. Den negat va roten är nte intressant x = 1,059 Svar: Är fondens årsränta 5,9 o/o, sä fordubblas beloppet pä 12 är. FUN <TtoNER o 5.2 vad Än rn ruu <rroru: t8$

14 (.(n'. Exempel: Antalet invånare i en kommun minskade pä7 är frän till Hur stor var den genomsnittliga ärliga minskningen uttryckt i procent? 52 Lösning: Den årliga minskningen ger förändringsfaktorn x. Vi ska lösa ekvationen = x 'x7 t56?= " ,Di 278 ^- \:z567 ^.7 _ x = 0,975 På 7 år minskar antalet invånare från ill Vi delar båda led med Udda exponent ger exal(t en lösning, Använd räl(naren 52i Förändringsfaktorn x = 0,975 motsvarar en minskning med - 0,975 = 0,025 = 2,5 o/o. Svar: Antalet invånare i kommunen minskade i genomsnitt med2,5 o/o. GrafiskLösning: Om duvilllosa ekvationen grafiskt, såbörjar du med att skriva in y, = och lz= ' x7 på din grafritande räknare. För att sedan kunna rita graferna till funktionerna och se var de skär varandra, så måste du först ställa in räknarens fönster. och välj till exempel Hmin = 0, HrrEH = 2, Yrrr in = 0 och Yrnax = Bestäm var grafernaskär varandra genom att trycka o.ft välja 5 : i n t e F s E c t. Besvara frågorna F i r s t c u r v e?, Second curve? och EueEs? med att trycka (Om det finns flera skärningspunkter att välja på, så måste man ställa sig i närheten av rätt punkt när räknaren frågar Eues=?) NVÅ Lös ekvationerna \1 a) X'= O b) x2=-l ^r --3- i- t) * --L/ Lös ekvationerna. Svara med en decimals noggrannhet. a) x5= b) x7-2= 23 c) 3x5 + 12= L t9o FUNKTToNER o s.2 vad ÄR EN FUN<TloN?

15 -.- s235 Para ihop rätt graf med rätt funktionsuttryck. A: f(x') = x2 B: g(x) = x3 C: h(x'; = Ya 5235 Vilka av fttnktionerna är potensfunktioner? A flx) -3' B l(x)-xs-x2+2 C,(") :3r2's D lx) -"ruo v--l E flx) -:' '2 F flx) - 5/o Använd graferna och uppskatta lösningarna till ekvationerna a) x"=j b) x3=-2.) / L,/ ^ Lös ekvationerna a) 13=-11 b) Bestäm sidan i en kub med volymen 10,6 cm3. x4=-8 c) x6= Låt/(r) - 12 och S(r) : x3. Sätt ut rätt tecken (<, > eller =) mellan funktionsvärdena. a) f(-+) s(-4) b) fl2) s(2) c) flo) s(0) 5243 vilka punkter skiir grafern:r till funktionernei!(x) = 3x2 och g(x) = 3r varandra? Fs$H-*.&,- ä 5244 Lös ekvationernir, -t -J.1 ) /"'/ =/" b) 16' 42 = 4'. rl cj J-"J-J Para ihop rätt graf med rätt funktionsuttryck om h(x)=f(.x).x h(x) g(x)= h./\x/ /(r) = (g(x)) Bestäm radien hos en men JJ,) cm-. pingisboll med voly Värdet av en tavla ökade från kr till 270 0A0 kr på fem år. Bestärn den genomsnittliga årliga ökningen uttryckt i procent. s240 Lös ekvationerna.5 3l.)--=J" b) 24'= 28, -) -l\ cl )-: f--' 5241 På 10 år har värdet av Lars lottovinst på kr vuxit enligt funktionen /C där ((r) : xr0, till kr. K är kapitalet i kronor och r är förändringsfaktorn. Hur stor har den årliga räntan varit? FUNKT oner o s 2 vad ÄR EN FUN(T on? 191

16 s2* o 5249,,ö 5250 o Ge exempel på en potensfunktion som har a) exakt en negativ lösning b) ingen lösning c) två lösningar Ge exempel på en potensekvation med jamn exponent som har exakt en lösning' Lät f(x) = x3. Ange ett funktionsuttryck g(x) ' f(x) + g(x), sä au f(-2) = g(-2)' 5251 Lös ekvationerna a) (5x- 4)a =-L2 b) (2x- 8)3 = Emma köper aktier för pengarna som hon har ärrt. Aktiernas värde fördubblas på 6 år' Beräkna den genomsnittliga tillväxten per år' 5253 För en potensfunktion /på fotmen f(x\ = Cxo gäller attl(1) = ochf(2) = ' Bestäm konstanterna C och ai funktionsuttrycket Ange definitions- och värdemängd till funktionen som ges av f(x) = 4Yz' 5355 Funktionerna/och gbestäms av uttrycken f(x) = och g(x) = x2' Bestäm 5255 Värdet på ett hus i Dallas minskade på tre år till halva det ursprungliga värdet' NVÄ 3 a) Bestäm den årliga genomsnittliga minskningen i Procent. b) Vardet på huset var efter minskningen dollar. Vad blir värdet på huset efter ytterligare två år om minskningen fortsätter i samma takt? 5257 Vilken definitionsmdngdhat y = Qlo om a är ett heltal mindre än 0? 5258 En cylinderformad plåtburk har volymen 1,00 dm3 och höjden 12 cm' Om du skulle kunna forma en sfär med samma volym som cylindern, hur stor radie skulle den i så fall ha? Str Stockl gär ge störsti 15 00( thon r Enl loppet som sl stader hade s budsk över att ett Tur marat, övrigt Han g stockl över h Distar Halva Må!-1...; ; Q Ge exempet på när det är tämptigt att anvdnda sig av linjära modeller och när det är tämptigt att använda sig av exponentietla modeller' O Hur ser grafen ti[[ en exponentiatfunktion ut om o = t i f(x) = Ca'? O Finns det potensfunktioner som bara har positiva funkt'ionsvärden? ovadärski[lnadenmellanfunktionsuttrycketförenexponentialfunkt'ionoch funktionsutffycket för en potensfunktion? OArdetmöjtigtförenfunktionfattd.efinitionsmängdenbeståravettsåkallat öppetintervatl,(ocx<bdäroochbärkonstanter)'samtidigtsomvärdemängden är ett slutet intervall (c < f(x) < d dät c och d är konstanter)? Ture kan r Pet. tern: dista Arrp, linjer t92 FUN<TloNER o s 2 vad ÄR EN FUN <rlon?

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet

Läs mer

Matematik A Testa dina kunskaper!

Matematik A Testa dina kunskaper! Testa dina kunskaper! Försök i största möjliga mån att räkna utan hjälp av boken, skriv små noteringar i kanten om ni tycker att ni kan uppgifterna, att ni löste dem med hjälp av boken etc. Facit kommer

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1) a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

Kap 1: Aritmetik - Positiva tal - " - " - " - " - - " - " - " - " -

Kap 1: Aritmetik - Positiva tal -  -  -  -  - -  -  -  -  - År Startvecka Antal veckor 2013 34 18 Planering för ma 1b/c - ma 5000- boken OBS: För de i distansgruppen, meddela lärare innan prov. (justeringar för 1c ännu ej genomförda) Vecka Lektio n (2h) Datum Kapitel

Läs mer

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs Tolkning Deltagaren skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för vardagsliv och vald studieinriktning

Läs mer

NpMa2b Muntlig del vt 2012

NpMa2b Muntlig del vt 2012 Till eleven - Information inför den muntliga provdelen Du kommer att få en uppgift som du ska lösa skriftligt och sedan ska du presentera din lösning muntligt. Om du behöver får du ta hjälp av dina klasskamrater

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs Tolkning Deltagaren skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för vardagsliv och vald studieinriktning

Läs mer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer Höstlov Uppgift nr 1 Ge en lösning till ekvationen 0 434,2-13x 3 Ange både exakt svar och avrundat till två decimalers noggrannhet. Uppgift nr 2 Huvudräkna lg20 + lg50 Uppgift nr 3 Ge en lösning till ekvationen

Läs mer

Repetitionsuppgifter 1

Repetitionsuppgifter 1 Repetitionsuppgifter 1 1 Är talet a) 5 ett heltal b) 9 ett naturligt tal c) π ett rationellt tal d) 5 ett reellt tal 6 2 Rita av figuren och placera in talen rätt talmängd. naturliga tal hela tal rationella

Läs mer

Godisförsäljning. 1. a) Vad blir den totala kostnaden om klassen köper in 10 kg godis? Gör beräkningen i rutan nedan.

Godisförsäljning. 1. a) Vad blir den totala kostnaden om klassen köper in 10 kg godis? Gör beräkningen i rutan nedan. Godisförsäljning För att samla in pengar till en klassresa har Klass 9b på Gotteskolan bestämt sig för att hyra ett bord och sälja godis på Torsbymarten. Det kostar 100 kr att hyra ett bord. De köper in

Läs mer

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Provet omfattar s. 102-135 (kap 4) och s.183-186, 189, 191, 193, 200-215. Repetition: Repetitionsuppgifter 4, läa 13-16 (s. 255 260) samt andra övningsuppgifter

Läs mer

Planering för matematik 2a OBS: Provdatumen är endast förslag, kontakta läraren innan du kommer och vill ha prov

Planering för matematik 2a OBS: Provdatumen är endast förslag, kontakta läraren innan du kommer och vill ha prov År Startvecka 2013 2 Planering för matematik 2a OBS: Provdatumen är endast förslag, kontakta läraren innan du kommer och vill ha prov Vecka Lektion (2h) Datum Kapitel Avsnitt 2 Ti 08-jan Kap 1: Räta linjen

Läs mer

Sammanfattning: Matematik 1b

Sammanfattning: Matematik 1b Sammanfattning: Matematik 1b Ma1c kräver kompletterande delar om vektorer samt trigonometri 1. Kapitel 1: Aritmetik Centrala delar i kapitlet: - Räkneordning - Tal i bråkform och decimalform - Tal i potensform

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken Y

Sammanfattningar Matematikboken Y Sammanfattningar Matematikboken Y KAPitel 1 TAL OCH RÄKNING Numeriska uttryck När man beräknar ett numeriskt uttryck utförs multiplikation och division före addition och subtraktion. Om uttrycket innehåller

Läs mer

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 8..05 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll och poängsättningar som ges här är inte bindande för studentexamensnämndens bedömning. Censorerna beslutar

Läs mer

MATEMATIK FÖR KURS B (NV/AB-boken och B-boken version 1)

MATEMATIK FÖR KURS B (NV/AB-boken och B-boken version 1) NATUR OCH KULTURS PROV VÅRTERMINEN 1997 MATEMATIK FÖR KURS B (NV/AB-boken och B-boken version 1) Provets omfattning: t o m kapitel 5.6 i Matematik 2000 NV kurs AB. Provets omfattning: t o m kapitel 3.5

Läs mer

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Karlstads GeoGebrainstitut Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet Mats Brunström Maria Fahlgren GeoGebra ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Invigning

Läs mer

MATEMATIK KURS A Våren 2005

MATEMATIK KURS A Våren 2005 MATEMATIK KURS A Våren 2005 1. Vilket tal pekar pilen på? 51 52 53 Svar: (1/0) 2. Skugga 8 3 av figuren. (1/0) 3. Vad är 20 % av 50 kr? Svar: kr (1/0) 4. Hur mycket vatten ryms ungefär i ett dricksglas?

Läs mer

Kap1 1.1 Tal i olika former Mål Mål Mål Mål Mål Mål Rek. uppgifter 1101, 1106, 1107, 1113, 1118, 1120 Talmängder

Kap1 1.1 Tal i olika former Mål Mål Mål Mål Mål Mål Rek. uppgifter 1101, 1106, 1107, 1113, 1118, 1120 Talmängder Kap1 1.1 Tal i olika former Mål Mål Mål Mål Mål Mål Rek. uppgifter Känna till de vanligaste talmängderna och de Veta hur talmängderna betecknas Ha kunskap om hur de olika talmängderna är 1101, 1106, 1107,

Läs mer

REPETITION 2 A. a) Är sträckan proportionell mot tiden? b) Beräkna medelhastigheten under de fem första sekunderna.

REPETITION 2 A. a) Är sträckan proportionell mot tiden? b) Beräkna medelhastigheten under de fem första sekunderna. REPETITION Hur mcket är a) 9 b) 00 0 c) 00 På en karta i skala : 0 000 är det, cm mellan två små sjöar. Hur långt är det i verkligheten? Grafen visar hur långt en bil hinner de se första sekunderna efter

Läs mer

Provlektion till Uppdrag: Matte 9

Provlektion till Uppdrag: Matte 9 Provlektion till Uppdrag: Matte 9 Linjära funktioner En resa i biljettdjungeln I läromedlet Uppdrag: Matte arbetar eleverna med två spår, Uppdrag eller Räkna på. Här kommer ett prov på en lektion där uppdraget

Läs mer

Studiehandledning. kurs Matematik 1b

Studiehandledning. kurs Matematik 1b Studiehandledning kurs Matematik 1b Innehållsförteckning Inledning och Syfte... 1 Ämnesplan för ämnet matematik... 1 Ämnets syfte... 1 Centralt innehåll... 2 Problemlösning... 2 Taluppfattning, aritmetik

Läs mer

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Frågeställning Av en cirkulär pappersskiva kan en cirkelsektor med en viss vinkel klippas bort. Med den resterande sektorn går

Läs mer

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014 LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite

Läs mer

Bedömning av muntliga prestationer

Bedömning av muntliga prestationer Bedömningsstöd i matematik på gymnasial nivå Bedömning av muntliga prestationer Materialet har framställts under 2013 av PRIM-gruppen vid Stockholms universitet i samarbete med Institutionen för tillämpad

Läs mer

Bedömningsexempel. Matematik kurs 1c

Bedömningsexempel. Matematik kurs 1c Bedömningsexempel Matematik kurs 1c Innehåll Inledning... 3 Bedömning... 3 Exempeluppgifter som är representativa för Del I... 5 Exempeluppgifter som är representativa för Del II och Del III... 9 Exempel

Läs mer

VECKANS LILLA POSTKODVINST á 1.000 kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 270 lottnummer 1.000 kronor vardera:

VECKANS LILLA POSTKODVINST á 1.000 kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 270 lottnummer 1.000 kronor vardera: Dragningsresultat vecka 14-2015 Här nedan kan du se om du är en av de lyckliga vinnarna i veckans utlottning i Svenska PostkodLotteriet. När du har vunnit betalar vi automatiskt ut dina vinstpengar till

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 2

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 2 Kapitel 2.1 2101, 2102, 2103, 2104 Exempel som löses i boken. 2105 Hela cirkeln är 100 %. Den ofärgade delen är 100 % - 45 % = 55 % 2106 a) Antalet färgade rutor 3 = b) 3 = 0, 6 c) 0,6 = 60 % Totala antalet

Läs mer

ha utvecklat sin taluppfattning till att omfatta hela tal och rationella tal i bråk- och decimalform.

ha utvecklat sin taluppfattning till att omfatta hela tal och rationella tal i bråk- och decimalform. 1 (6) 2005-08-15 Matematik, år 9 Mål för betyget Godkänd Beroende på arbetssätt och arbetsmaterial kan det vara svårt att dela upp dessa uppnående mål mellan skolår 8 och skolår 9. För att uppnå godkänd

Läs mer

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning Moment Begreppsbildning Mätningar och enheter Algebra och ekvationer Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Bedömningsgrunder för uppnåendemålen känna igen naturliga tal kunna positiva heltal:

Läs mer

VECKANS LILLA POSTKODVINST á 1.000 kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 172 lottnummer 1.000 kronor vardera:

VECKANS LILLA POSTKODVINST á 1.000 kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 172 lottnummer 1.000 kronor vardera: Dragningsresultat vecka 12-2015 Här nedan kan du se om du är en av de lyckliga vinnarna i veckans utlottning i Svenska PostkodLotteriet. När du har vunnit betalar vi automatiskt ut dina vinstpengar till

Läs mer

Högskoleprovet. Block 1. Anvisningar. Övningsexempel. Delprovet innehåller 22 uppgifter.

Högskoleprovet. Block 1. Anvisningar. Övningsexempel. Delprovet innehåller 22 uppgifter. Block 1 2010-10-23 Högskoleprovet Svarshäfte nr. DELPROV 1 NOGa Delprovet innehåller 22 uppgifter. Anvisningar Varje uppgift innehåller en fråga markerad med fet stil. Uppgiften kan även innehålla viss

Läs mer

Torskolan i Torsås Mars 2007. Matematik. Kriterier för betyget godkänd. Metoder: Arbetssätt. Muntligt. Problemlösning

Torskolan i Torsås Mars 2007. Matematik. Kriterier för betyget godkänd. Metoder: Arbetssätt. Muntligt. Problemlösning Torskolan i Torsås Mars 2007 Matematik Kriterier för betyget godkänd Metoder: Arbetssätt Ta ansvar för sin egen inlärning. Göra läxor. Utnyttja lektionstiden (lyssna, arbeta). Utnyttja den hjälp/stöd som

Läs mer

Hur länge ska fisken vara i dammen?

Hur länge ska fisken vara i dammen? Hur länge ska fisken vara i dammen? Frågeställning Uppgift 10 fiskodling Uppgiften går ut på att ta reda på hur länge ett stim fisk ska växa upp i en fiskodling för att få den maximala vikten tillsammans.

Läs mer

Högskoleprovet. Block 1. Anvisningar. Övningsexempel. Delprovet innehåller 22 uppgifter.

Högskoleprovet. Block 1. Anvisningar. Övningsexempel. Delprovet innehåller 22 uppgifter. Block 1 2009-03-28 Högskoleprovet Svarshäfte nr. DELPROV 1 NOGg Delprovet innehåller 22 uppgifter. Anvisningar Varje uppgift innehåller en fråga markerad med fet stil. Uppgiften kan även innehålla viss

Läs mer

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Detta kapitel är en liten matematisk vägledning om att beräkna tillväxttakten i Excel. Här visas exempel på potenser och logaritmer och hur dessa funktioner beräknas

Läs mer

DIGITALA VERKTYG ÄR INTE TILLÅTNA. Namn:... Klass/Grupp:...

DIGITALA VERKTYG ÄR INTE TILLÅTNA. Namn:... Klass/Grupp:... DIGITALA VERKTYG ÄR INTE TILLÅTNA Namn:... Klass/Grupp:... Del I 1. Bestäm värdet av 25 3x om x = 2 Svar: (1/0/0) 2. Vilket tal ska stå i rutan för att likheten ska stämma? 2 3 + + 1 =1 Svar: (1/0/0) 9

Läs mer

Matematik. Kursprov, vårterminen 2012. Elevhäfte. Del I och Del II. Elevens namn och klass/grupp

Matematik. Kursprov, vårterminen 2012. Elevhäfte. Del I och Del II. Elevens namn och klass/grupp Kursprov, vårterminen 2012 Matematik Elevhäfte Del I och Del II 1b Elevens namn och klass/grupp Prov som återanvänds omfattas av sekretess enligt 17 kap. 4 offentlighets- och sekretesslagen. Detta prov

Läs mer

Konsultarbete, Hitta maximal volym fo r en la da

Konsultarbete, Hitta maximal volym fo r en la da Konsultarbete, Hitta maximal volym fo r en la da Uppgift 2. Maximal låda. I de fyra hörnen på en rektangulär pappskiva klipper man bort lika stora kvadrater. Flikarna viks sedan upp så att vi får en öppen

Läs mer

Högskoleprovet. Block 5. Anvisningar. Övningsexempel. Delprovet innehåller 22 uppgifter.

Högskoleprovet. Block 5. Anvisningar. Övningsexempel. Delprovet innehåller 22 uppgifter. Block 5 2008-04-05 Högskoleprovet Svarshäfte nr. DELPROV 9 NOGf Delprovet innehåller 22 uppgifter. Anvisningar Varje uppgift innehåller en fråga markerad med fet stil. Uppgiften kan även innehålla viss

Läs mer

Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping

Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping Enhet 591 Ekholmen Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping Fakta Förståelse Färdighet Förtrogenhet De olika formerna samspelar och utgör varandras förutsättningar. För att

Läs mer

Kunskapsmål och betygskriterier för matematik

Kunskapsmål och betygskriterier för matematik 1 (1) 2009-0-12 Kunskapsmål och betygskriterier för matematik För betyget G i matematik skall eleven kunna utföra beräkningar, lösa problem samt se enklare samband utifrån de kunskapsmål som anges under

Läs mer

PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN

PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN Institutionen för beteendevetenskapliga mätningar PBMaE 5-5 Umeå universitet Provtid PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN Del I: Uppgift -9 Del II: Uppgift -7 Anvisningar Totalt 4 minuter

Läs mer

Högskoleverket. Delprov NOG 2005-04-09

Högskoleverket. Delprov NOG 2005-04-09 Högskoleverket Delprov NOG 2005-04-09 1. Eva, Pia och Linus köpte totalt 18 frukter. Hur många frukter köpte Eva? (1) Eva och Linus köpte sammanlagt dubbelt så många frukter som Pia. (2) Pia köpte tre

Läs mer

Grafräknare för alla

Grafräknare för alla Grafräknare för alla Ett antal exempel på hur du kan använda grafräknare i undervisningen Dagens grafiska miniräknare är avancerade små apparater. Det som för några år sedan bara kunde utföras av ganska

Läs mer

Ansvariga lärare: Yury Shestopalov, rum 3A313, tel 054-7001856 (a) Problem 1. Använd Eulers metod II (tre steg) och lös begynnelsevärdesproblemet

Ansvariga lärare: Yury Shestopalov, rum 3A313, tel 054-7001856 (a) Problem 1. Använd Eulers metod II (tre steg) och lös begynnelsevärdesproblemet FACIT: Numeriska metoder Man måste lösa tre problem. Problemen 1 och är obligatoriska, och man kan välja Problemet 3 eller 4 som den tredje. Hjälp medel: Miniräknare (med Guidebook för miniräknare) och

Läs mer

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april. Liten introduktionsguide för nybörjare

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april. Liten introduktionsguide för nybörjare GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare 19-20 april Liten introduktionsguide för nybörjare GeoGebra 0 Introduktionsövningar till GeoGebra När man startar GeoGebra är det

Läs mer

SF1635, Signaler och system I

SF1635, Signaler och system I SF635, Signaler och system I Tentamen tisdagen 0--, kl 4 00 9 00 Hjälpmedel: BETA Mathematics Handbook Räknedosa utan program Formelsamling i Signalbehandling (rosa), Formelsamling för Kursen SF635 (ljusgrön)

Läs mer

Tal Repetitionsuppgifter

Tal Repetitionsuppgifter epetitionsuppgifter Till varje kapitel finns repetitionsuppgifter i form av Arbetsblad. Uppgifterna är relaterade till innehållet i respektive kapitel och täcker hela kapitlet. De uppgifter som kräver

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

Matematik Uppnående mål för år 6

Matematik Uppnående mål för år 6 Matematik Uppnående mål för år 6 Allmänt: Eleven ska kunna förstå, lösa samt redovisa problem med konkret innehåll inom varje avsnitt. Ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och

Läs mer

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium. Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter

Läs mer

Karolina Klü ft (4/2/0)

Karolina Klü ft (4/2/0) Karolina Klü ft (4/2/0) Klüft tävlade i sjukamp och var en av Sveriges främsta medaljkandidater i VM i friidrott 2005. I sjukamp tävlar deltagarna i olika grenar. För att kunna summera resultaten från

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS A HÖSTEN 2000. Del II

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS A HÖSTEN 2000. Del II Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap 3 Sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av 2010. Anvisningar Provtid

Läs mer

Teresia Månsson, VFU, Matematik 5, 2014-12-10

Teresia Månsson, VFU, Matematik 5, 2014-12-10 Temauppgifter Syfte Det är tänkt att det ska finnas möjlighet med uppgiften att öva på följande förmågor: begrepps-, procedur-, problemlösning, kommunikations-, resonemang, modelleringsförmåga och relevansförmåga

Läs mer

ffi8cf Till föijd crv devqlveringen av den svensko kronon uppstod kursföriuster på 75 miljoner kronor på moderbologets utländsko lån.

ffi8cf Till föijd crv devqlveringen av den svensko kronon uppstod kursföriuster på 75 miljoner kronor på moderbologets utländsko lån. ffi8cf Pressmeddelonde Aktiebologet SKF:s styrelse sommonträdde föjonde uppgifter lömnodes om resultotet noderno 1977. p& onsdogerl, vorvid för de försto åtto må- SKF-koncernen Under perioden jonuori ti

Läs mer

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24 Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass 1 Mål att sträva mot Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven S11 utvecklar intresse för matematik

Läs mer

Repetitionsuppgifter 1

Repetitionsuppgifter 1 Repetitionsuppgifter 1 1 Vilka tal pekar pilarna på? a) b) Skriv talen med siffror 2 a) trehundra sju b) femtontusen fyrtiofem c) tvåhundrafemtusen tre 3 a) fyra tiondelar b) 65 hundradelar c) 15 tiondelar

Läs mer

Nationalekonomi Institutionen för ekonomisk och industriell utveckling LINKÖPINGS UNIVERSITET. Matematik och nationalekonomi, en introduktion

Nationalekonomi Institutionen för ekonomisk och industriell utveckling LINKÖPINGS UNIVERSITET. Matematik och nationalekonomi, en introduktion Nationalekonomi Institutionen för ekonomisk och industriell utveckling LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematik och nationalekonomi, en introduktion Thomas Sonesson 01 Förord Nationalekonomi är en vetenskap som

Läs mer

SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR

SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR STUDIEAVSNITT 3 SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR I detta avsnitt ska vi titta på några av de skogliga tillämpningar på geometri som finns. SKOGSKARTAN EN MODELL AV VERKLIGHETEN Arbetar man i skogen klarar man sig

Läs mer

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Andreas Axelsson Vi beskriver här de grundläggande teknikerna för att lösa icke-linjära ekvationssystem. Detta är en nödvändig kunskap för att kunna lösa diverse

Läs mer

Matematisk Grundkurs

Matematisk Grundkurs LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematisk Grundkurs för högskoleingenjörer inom byggnadsteknik Peter Holgersson Institutionen för teknik och naturvetenskap Sida 2 Syfte och mål Kursen syftar till att bidra till

Läs mer

Undervisningsplanering i Matematik KURS C (100 poäng) Kurskod: MA1203

Undervisningsplanering i Matematik KURS C (100 poäng) Kurskod: MA1203 Undervisningsplanering i Matematik KURS C (100 poäng) Kurskod: MA1203 Styrdokument: Kursplan i matematik med betygskriterier. Läromedel: Matematik 3000 N&K. Lån för studerande upp till 20 år De studerande

Läs mer

13 eecm= 4rr^ 4 r2cm= 4lL ^ 24 lm6cm= 4Oe ^ = l7: 2s 4m2crrr =? az ^ 2815dm. zo rcm= 4Ot. e edm= 0.? 1032cm= 431 114cm= 4o?

13 eecm= 4rr^ 4 r2cm= 4lL ^ 24 lm6cm= 4Oe ^ = l7: 2s 4m2crrr =? az ^ 2815dm. zo rcm= 4Ot. e edm= 0.? 1032cm= 431 114cm= 4o? Lfi,ngd i deeimalform 1 12dm= 4Z ---------------- 21 8m7 = 0 12 ro= --------a 4?o 13 ee= 4rr = 2 of 322m58= lre za 33 73 dm= Zr J_m 1032= 431 30 2m4dm.-..7-114= 4o? * 31 25dm= 4tf 14 2 m65 = 21 6f 346m5dm=

Läs mer

Bedömningsexempel. Matematik kurs 1b

Bedömningsexempel. Matematik kurs 1b Bedömningsexempel Matematik kurs 1b Innehåll Inledning... 3 Bedömning... 3 Exempeluppgifter som är representativa för Del I... 5 Exempeluppgifter som är representativa för Del II och Del III... 9 Exempel

Läs mer

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow Matematik i Gy11 110912 Susanne Gennow Var finns matematik? Bakgrund Nationella utredning 2003 PISA 2009 TIMSS Advanced 2008 Skolinspektionens rapporter Samband och förändring åk 1 3 Olika proportionella

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden 824 17. MATEMATISK MODELLERING: DIFFERENTIALEKVATIONER 20 15 10 5 0-5 10 20 40 50 60 70 80-10 Innetemperaturen för a =1, 2och3. Om vi har yttertemperatur Y och startinnetemperatur I kan vi med samma kalkyl

Läs mer

Välkommen till Borgar!

Välkommen till Borgar! Välkommen till Borgar! Välkommen till Borgar! Vi ser fram emot att snart träffa en ny årskull med naturettor och hoppas att du kommer att trivas mycket bra hos oss. Studier i naturvetenskapliga ämnen förutsätter

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS A VÅREN 2000. Del I

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS A VÅREN 2000. Del I Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap 3 Sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av 2010. NATIONELLT KURSPROV

Läs mer

Precis som var fallet med förra artikeln, Geogebra för de yngre i Nämnaren

Precis som var fallet med förra artikeln, Geogebra för de yngre i Nämnaren Publicerad med tillstånd av Nämnaren Thomas Lingefjärd Geogebra i gymnasieskolan En tilltalande egenskap med Geogebra är att programmet kan användas tvärs över stora delar av utbildningssystemets matematikkurser.

Läs mer

Med ett samband menar vi hur något beror av någonting annat. Det skulle t.ex. kunna vara (sant eller inte):

Med ett samband menar vi hur något beror av någonting annat. Det skulle t.ex. kunna vara (sant eller inte): Linjära samband Räta linjens ekvation Förmågan att se, analsera och förstå olika samband är egenskaper som är viktiga att ha i vardagslivet men oundvikliga för kommande studier och arbetsliv. Med ett samband

Läs mer

DOP-matematik Copyright Tord Persson. Logövningar. Slumpad ordning. Uppgift nr 10 Lös ekvationen 10 y = 0,001. Uppgift nr 13 Lös ekvationen lg x = 4

DOP-matematik Copyright Tord Persson. Logövningar. Slumpad ordning. Uppgift nr 10 Lös ekvationen 10 y = 0,001. Uppgift nr 13 Lös ekvationen lg x = 4 Logövningar Uppgift nr 1 lg y -2 Uppgift nr 2 Huvudräkna lg200 + lg5 Uppgift nr 3 71 z 70 Uppgift nr 4 Ange derivatan till y e x Uppgift nr 5 Skriv 3 lg5 som en logaritm utan faktor framför. Uppgift nr

Läs mer

PROVUPPGIFTER. Steg 9 10 Bråk och procent. Godkänd 9 10 1 Skriv 0,03 i procentform. 2 Skriv i blandad form.

PROVUPPGIFTER. Steg 9 10 Bråk och procent. Godkänd 9 10 1 Skriv 0,03 i procentform. 2 Skriv i blandad form. Steg 9 10 Bråk och procent Godkänd 9 10 1 Skriv 0,03 i procentform. 16 2 Skriv i blandad form. 5 3 Vilket eller vilka av talen är lika med en åttondel? 0,8 2 8 2 16 0,12 1,8 4 Skriv 7 % i decimalform.

Läs mer

Lösningsskisser till Tentamen 0i Hållfasthetslära 1 för 0 Z2 (TME017), = @ verkar 8 (enbart) skjuvspänningen xy =1.5MPa. med, i detta fall,

Lösningsskisser till Tentamen 0i Hållfasthetslära 1 för 0 Z2 (TME017), = @ verkar 8 (enbart) skjuvspänningen xy =1.5MPa. med, i detta fall, Huvudspänningar oc uvudspänningsriktningar n från: Huvudtöjningar oc uvudtöjningsriktningar n från: (S I)n = 0 ) det(s I) =0 ösningsskisser till där S är spänningsmatrisen Tentamen 0i Hållfastetslära för

Läs mer

Matematik 3000 kurs A

Matematik 3000 kurs A Studieanvisning till läroboken Matematik 3000 kurs A Innehåll Kursöversikt...4 Vad skall du kunna efter Matematik kurs A?...5 Så här jobbar du med boken...6 Studieenhet Arbeta med tal...7 Studieenhet Procent...12

Läs mer

1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid

1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 02 10 25. RÄNTA 1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid

Läs mer

POSTKODVINSTER á 1.000 kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 234 lottnummer 1.000 kronor vardera:

POSTKODVINSTER á 1.000 kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 234 lottnummer 1.000 kronor vardera: Dragningsresultat vecka 04-2015 Här nedan kan du se om du är en av de lyckliga vinnarna i veckans utlottning i Svenska PostkodLotteriet. När du har vunnit betalar vi automatiskt ut dina vinstpengar till

Läs mer

1. Amanda tänker på ett femsiffrigt heltal. Talet börjar med 1 och slutar med 8. Vilket är talet?

1. Amanda tänker på ett femsiffrigt heltal. Talet börjar med 1 och slutar med 8. Vilket är talet? 2 1. Amanda tänker på ett femsiffrigt heltal. Talet börjar med 1 och slutar med 8. Vilket är talet? (1) Tiotalssiffran är dubbelt så stor som tusentalssiffran. (2) Hundratalssiffran är hälften så stor

Läs mer

Högskoleverket. Delprov NOG 2002-10-26

Högskoleverket. Delprov NOG 2002-10-26 Högskoleverket Delprov NOG 2002-10-26 1. Det ordinarie priset på en skjorta, som såldes på rea, var 600 kr. Inför slutrean sänktes priset till halva ursprungliga reapriset. Vad var det ursprungliga reapriset

Läs mer

Högskoleprovet Kvantitativ del

Högskoleprovet Kvantitativ del Högskoleprovet Kvantitativ del Här följer anvisningar till de kvantitativa delproven XYZ, KVA, NOG och DTK. Provhäftet innehåller 40 uppgifter och den totala provtiden är 55 minuter. Ägna inte för lång

Läs mer

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM K.H./C.F./C.W. Tentamensskrivning i Experimentella metoder, 1p, för kandidatprogrammet i fysik, 18/6 013, 9-14. Införda beteckningar skall förklaras och uppställda ekvationer

Läs mer

Högskoleprovet. Block 1. Anvisningar. Övningsexempel. Delprovet innehåller 22 uppgifter.

Högskoleprovet. Block 1. Anvisningar. Övningsexempel. Delprovet innehåller 22 uppgifter. Block 1 2010-04-10 Högskoleprovet Svarshäfte nr. DELPROV 1 NOGc Delprovet innehåller 22 uppgifter. Anvisningar Varje uppgift innehåller en fråga markerad med fet stil. Uppgiften kan även innehålla viss

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS A HÖSTEN 2000. Del I

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS A HÖSTEN 2000. Del I Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap 3 Sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av 2010. NATIONELLT KURSPROV

Läs mer

Låt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo.

Låt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo. UDDA FUNKTIONER OCH DUBBELINTEGRALER. Från en variabelanalys vet vi att integral över ett symetrisk intervall, av en udda funktion är lika med 0. 0 om är udda. T ex 0 Här upprepar vi def. av udda ( och

Läs mer

ARBETSBLAD 1. 2 Procent. 1. Hur stor del är färgad? Bråkform Decimalform Procentform

ARBETSBLAD 1. 2 Procent. 1. Hur stor del är färgad? Bråkform Decimalform Procentform ARBETSBLAD 1 Procent i olika form 1. Hur stor del är färgad? Bråkform Decimalform Procentform a) b) c) d) 2. Skriv i procentform. a) 0,06 b) 0,19 c) 0,024 d) 0,801 e) 1,07 f) 0,003 3. Skriv i decimalform.

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS A VÅREN 1999. Tidsbunden Del II

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS A VÅREN 1999. Tidsbunden Del II Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av november 1999. NATIONELLT

Läs mer

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra Matematik 1a Centralt innehåll Metoder för beräkningar med reella tal skrivna på olika former inom vardagslivet och karaktärsämnena, inklusive överslagsräkning, huvudräkning och uppskattning samt strategier

Läs mer

Potens- och exponentialfunktioner

Potens- och exponentialfunktioner Potens- och exponentialfunktioner 1. Potenser med reell exponent..2 2. Jämförelser mellan exponentialfunktioner och linjära funktioner 5 3. Exponential- och potensfunktioner...14 Matematiken i historien,

Läs mer

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg Tema: Pythagoras sats Linnéa Utterström & Malin Öberg Innehåll: Introduktion till Pythagoras sats! 3 Pythagoras sats! 4 Variabler! 5 Potenser! 5 Att komma tillbaka till ursprunget! 7 Vi bevisar Pythagoras

Läs mer

Optimering av depåpositioner för den minimala bensinförbrukningen i öknen

Optimering av depåpositioner för den minimala bensinförbrukningen i öknen Optimering av depåpositioner för den minimala bensinförbrukningen i öknen Frågeställning: En jeep kan sammanlagt ha 200 liter bensin i tanken samt i lösa dunkar. Jeepen kommer 2,5 km på 1 liter bensin.

Läs mer

Repetitionsuppgifter 1

Repetitionsuppgifter 1 Repetitionsuppgifter 1 Beräkna 1 a) 0,5 + 0,7 b) 0,45 + 1,6 c) 2,76 0,8 2 a) 4,5 10 b) 30,5 10 c) 0,45 1 000 3 Vilka av produkterna är a) större än 6 1,09 6 0,87 6 1 6 4,3 6 0,08 6 b) mindre än 6 4 Skriv

Läs mer

NpMa3c Muntligt delprov Del A ht 2012

NpMa3c Muntligt delprov Del A ht 2012 Till eleven - Information inför det muntliga delprovet Du kommer att få en uppgift som du ska lösa skriftligt och sedan ska du presentera din lösning muntligt. Om du behöver får du ta hjälp av dina klasskamrater

Läs mer

Övningar till datorintroduktion

Övningar till datorintroduktion Institutionen för Fysik Umeå Universitet Ylva Lindgren Sammanfattning En samling uppgifter att göra i MATLAB, vilka ska utföras enskilt eller i grupp om två. Datorintroduktion Handledare: (it@tekniskfysik.se)

Läs mer

MATEMATIK - grunderna och lite till - Hans Elvesjö

MATEMATIK - grunderna och lite till - Hans Elvesjö MATEMATIK - grunderna och lite till - Hans Elvesjö 1 Största delen av boken ligger på höstadienivå med en mindre del på gymnasienivå Den har ej för avsikt att följa läroplanen men kan med fördel användas

Läs mer

Till några uppgifter behöver endast svar anges. De är markerade med Endast svar krävs.

Till några uppgifter behöver endast svar anges. De är markerade med Endast svar krävs. Anvisningar Del II Provtid Hjälpmedel Del II 120 minuter för Del II. Miniräknare, formelblad och linjal. Del II består av 11 uppgifter. Till de flesta uppgifterna räcker det inte med endast svar, utan

Läs mer

1 mindre än 2 > 3 = Hur stor andel är färgad? Sätt ut < eller > Storlek på bråk. Skriv på två sätt. Skriv i blandad form. Skriv som bråk.

1 mindre än 2 > 3 = Hur stor andel är färgad? Sätt ut < eller > Storlek på bråk. Skriv på två sätt. Skriv i blandad form. Skriv som bråk. täljare bråkstreck ett bråk nämnare Vilket bråk är störst? Ett bråk kan betyda mer än en hel. Olika bråk kan betyda lika mycket. _ 0 två sjundedelar en hel och två femtedelar > 0 > 0 < > > < > Storlek

Läs mer